xxxiv cnmac - congresso nacional de · pdf filedas transformadas integrais ao cálculo...
TRANSCRIPT
XXXIV CNMAC - CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA
Das transformadas integrais ao Cálculo Fracionário à Engenharia de Produção
Pedro Felipe Pavanelo Ramos – Aluno de Engenharia de Produção, Faculdade de
Engenharia – UNESP – 17033-360, Bauru, SP, Brasil.
e-mail: [email protected]
Rubens Figueiredo Camargo – Docente do Departamento de Matemática, Faculdade de
Ciências – UNESP – 17033-360, Bauru, SP, Brasil.
e-mail: [email protected]
RESUMO
A principal razão para se estudar equações diferenciais é buscar compreender algo acerca dos
processos físicos que elas visam representar, a importância de tais equações é que mesmo as
equações mais simples correspondem a modelos físicos de grande utilidade [1].
Assim, é necessário fazer a descrição da ocorrência de fenômenos ou o funcionamento de
sistemas da vida real em várias áreas do conhecimento, notadamente na física e na engenharia, a
saber, áreas envolvidas nas aplicações do presente trabalho. Matematicamente, a descrição dos
referidos fenômenos e sistemas recebe o nome de modelo matemático e é feita por meio da
construção de hipóteses relacionadas a funções e suas respectivas taxas de variação, o que remete ao
conceito de derivada. Dessa forma, podemos dizer que a representação matemática dessas hipóteses
pode ser expressa por uma equação diferencial ou um conjunto de equações diferenciais [4].
Muitos modelos matemáticos apresentam considerável proximidade com a realidade, contudo,
não são capazes de descrevê-la perfeitamente. Há um grande número de situações-problema nas
quais se torna muito difícil prever o comportamento das variáveis envolvidas, como é caso do
mercado de ações, no âmbito da economia e também da dengue, no que se refere à saúde, visto que
ambos são influenciados por fatores de difícil análise, o que faz com que suas modelagens sejam
extremamente complexas. Diante disso, é evidente a necessidade da construção de modelos mais
precisos, a fim de que descrever tais fenômenos de forma que sejam mais próximos da realidade.
Nesse contexto, o chamado cálculo de ordem não-inteira, popularizado como cálculo
fracionário, tem um papel de elevado destaque. Embora alguns fatores tenham contribuído para que
o mesmo não fosse utilizado em grande escala, como a existência de uma série de definições não
equivalentes para a derivada fracionária e uma interpretação física e geométrica não evidente, o
cálculo fracionário provou ser uma das ferramentas mais precisas para refinar a descrição de
103
ISSN 1984-8218
fenômenos. A forma usual de se utilizar a modelagem feita por equações de ordem não-inteira
baseia-se em substituir a derivada de ordem inteira da equação diferencial ordinária ou parcial que
descreve um dado fenômeno por uma de ordem não-inteira. De maneira natural, esse método nos
conduz a equações diferenciais de ordem não-inteira e a necessidade de resolvê-las [2].
Além disso, o cálculo fracionário possibilitou o surgimento de importantes resultados,
generalizações e métodos analíticos de suma importância para a matemática aplicada.
Existe uma série de definições propostas para a derivada de ordem não-inteira que são
baseadas em generalizações da derivada de ordem inteira, dentre as mais relevantes é importante
citar a definição de Riemann-Liouville, que é a derivada de ordem fracionária mais conhecida e, por
conseguinte, a mais utilizada. A derivada de Grünwald-Letnicov, que tem como principio a
definição da derivada de ordem inteira e é especialmente utilizada na resolução de problemas
numéricos. E a chamada definição segundo Caputo, que apesar de ser mais restritiva, é a que será
apresentada e utilizada no presente trabalhos, pois esta é a mais adequada quando trabalhamos com
problemas físicos [3].
Este trabalho tem como motivação utilizar as ferramentas matemáticas apresentadas na
resolução do clássico problema da Tautócrona, também conhecida como Curva Isocrônica. Trata-se
uma ciclóide e é a curva na qual o tempo gasto por um objeto para deslizar sem fricção em
gravidade uniforme até seu ponto de mínimo, independentemente de seu ponto de partida.
Dessa forma, têm por objetivo resolver o problema da tautócrona com base em equações
diferenciais nas versões convencional e fracionária, a fim de analisar os dois métodos e compará-
los, visando analisar a proximidade entre a realidade e os resultados encontrados, bem como
observar o refinamento gerado pela utilização da versão de ordem não-inteira.
Palavras-chave: Modelagem matemática, Cálculo Fracionário, Tautócrona
Referências
[1] BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de
Contorno. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1998. 532p.
[2] CAMARGO, R. F. Do Teorema de Cauchy ao método de Cagniard. 2005. 118f. Dissertação
(Mestrado em Matemática) – UNICAMP. Campinas. 2005.
[3] CAMARGO, R. F. Cálculo Fracionário e Aplicações. 2009. 141f. Tese (Doutorado em
Matemática) – UNICAMP. Campinas. 2005.
[4] ZILL, D. G. Equações Diferenciais com aplicações em modelagem. 2. ed. São Paulo: Cengage
Learning, 2011. 410p.
104
ISSN 1984-8218