Una Introduccion a las Algebras GeometricasAlgebra Geometrica Euclideana Bidimensional

Edgar Vera Saravia 1

edverasar@gmail.com

Resumen

Ofrecemos una introduccion a las Algebras Geometricas presentan-do el algebra geometrica euclideana bidimensional canonica AGC(2),como una extension natural de la R-algebra conmutativa de los numeroscomplejos C. Este es un punto de partida para el estudio de una es-tructura propuesta como modelo unificador para la fundamentacionmatematica de la fsica.En terminos matematicos mas precisos lo que haremos es simplementeconstruir un algebra de Clifford asociada al espacio euclideano R2.

Presentacion

Que es Algebra Geometrica?Es una estructura matematica que ofrece una algebrizacion de la geometra,fue creada por William K. Clifford, entre los anos 1876 y 1882, conjugandolos aportes pioneros que Grassmann y Hamilton presentaron en 1844. Enel caso bidimensional, que veremos aqu, es la estructura que completa laampliacion de los numeros reales a los numeros complejos, mostrando quelos complejos y su contenido geometrico estan determinados por la metricaeuclideana del plano.Por que no es tan conocida?De un lado porque la version matematica, llamada precisamente Algebras deClifford, tiene un desarrollo sofisticado y, de otro, porque la interpretacionincompleta del tema que a fines del siglo XIX realizo Gibbs, al crear los espa-cios vectoriales, parecio ser suficiente durante el siglo XX, aun cuando en lasegunda decada de dicho siglo Heisenberg manifesto que la fsica requera unamatematica completamente nueva, que incluyera algebras no conmutativas.Fue en esa lnea que trabajaron Pauli y Dirac.

1Departamento de Matematica de la UNMSM, Lima, Peru

1

Para que sirve?Es un tema que ha sido recreado en mas de una oportunidad en otras areas,siendo la mas significativa la que se hizo en la fsica, dada su antigua inter-accion con la matematica y que en este caso se aprecia ntidamente. En [1],[8] y [9] pueden apreciarse algunas aplicaciones actuales.

1. Motivacion Historica

1.1. La Historia Reciente

Se inicia en la decada de los 20 del siglo XX cuando Dirac, trabajando en suTeora Cuantica del Electron, tuvo la necesidad de una estructura matematicaA que sea un R-espacio vectorial donde se pueda multiplicar de tal formaque, mediante dichas operaciones, A sea generada por n de sus elementos{aj}. Su objetivo era poder linealizar un operador cuadratico en el siguientesentido:

D21 + ... +D2n = (a1D1 + ... + anDn)

2.

Es claro que esto es posible si y solo si

a2j = 1 R y aiaj = ajailo que, a su vez, es equivalente a la llamada condicion de Dirac:

aiaj + ajai = 2ij i, j {1, ..., n}.Esto muestra de inmediato que el producto en A debe ser no conmutativo; esmenos inmediato percatarse que A debe tener dimension 2n como R-espaciovectoral.Como es natural, en la busqueda de dicha estructura se recurrio a las algebrasno conmutativas mas conocidas en la epoca: Las algebras de matrices. Elestudio se inicio en dimensiones tres y cuatro: Primero Pauli, en su Teorano-Relativista del Electron, uso como A las matrices complejas 22 y como{aj} las matrices que llevan su nombre. Dirac utilizo las matrices complejas4 4 como A y las matrices que llevan su nombre como {aj}.Observacion 1.1. Por cuestiones didacticas y de divulgacion trataremosaqu el caso bidimensional, en efecto:

2

R y C son las R-algebras conmutativas mas conocidas.

Entre las R-algebras no-conmutativas la mas conocida es R22, llamadasimplemente algebra de las matrices reales 2 2.

1.2. R22: Las matrices reales 2 2, una R-algebra noconmutativa especial

Aqu vamos a mostrar que R22, como R-espacio vectorial, tiene una basemuy particular que posee algunas propiedades realmente maravillosas, entreellas unas muy parecidas a las requeridas por Dirac.La base en consideracion es {m0, m1, m2, m3}, donde las matrices mi son,respectivamente,

(1 00 1

),

(0 11 0

),

(1 00 1

)y

(0 11 0

)

Proposicion 1.2. Es facil verificar que estas matrices determinan una R-base de R22 y cumplen las siguientes tres identidades:

mimj +mjmi = 2ijm0 i, j {1, 2}m1m2 = m3m3m3 = m0

En realidad basta considerar las dos primeras porque la tercera es consecuen-cia de estas.Obviamente la primera es casi lo requerido por Dirac (decimos casi, porqueel producto de una matriz por si misma es otra matriz y no un numero).El lector puede intentar determinar las matrices (R Pauli)m1 y m2 usandomatrices con entradas enteras y las identidades arriba.

Corolario 1.3. De lo anterior se concluye de inmediato que:

R22 = {a0m0 + a1m1 + a2m2 + a3m1m2/aj R}

Resulta que m0 y las matrices m1 y m2 generan R22 y las dos ultimas

cumplen la condicion de Dirac

mimj +mjmi = 2ijmo i, j {1, 2}.

3

Debemos mencionar que, en este contexto, R22 resulta un ejemplo de lasalgebras de Clifford de matrices usadas en la Fsica-Matematica.

Proposicion 1.4. La base considerada permite verificar que:

1. R22 contiene una copia isomorfa de la R-algebra conmutativa de losnumeros complejos C. Basta asociar m0 con 1 y m3 con .

2. R22 contiene una copia isomorfa del R-espacio vectorial canonico R2

que asocia las matrices m1 y m2 con la base canonica e1 y e2 respecti-vamente.

El lector debe haberse percatado que si en lugar de ijm0 R22 se tuvierasimplemente ij R tendriamos satisfecha la demanda de Dirac en dimension2. Es justamente eso lo que se consigue al construir AG(2).

1.3. Retomando la propuesta de Clifford: El ProgramaHestenes

La pre-historia de la demanda de Dirac por un modelo matematico apropiadopara el desarrollo de la fsica se remonta al siglo XVII, como se desprendede lo mencionado por Leibniz en una misiva enviada a Huygenz en 1679,despues de conocer la Geometra Analtica creada por Descartes y Fermat[5]:

la fsica no podra avanzar mas a no ser que se encuentre un nuevometodo de analisis mas geometrico, que permita expresar y operarcon direcciones tan directamente como el algebra (de los numerosreales) representa y opera con las magnitudes (longitudes de lageometra analitica) 2

A fines del siglo XVIII, en 1796, el agrimensor noruego Caspar Wessel fueel primero en dar una presentacion geometrica de los numeros complejos lamisma que, por motivos idiomaticos, solo fue conocida un siglo despues, [2]y [3].Grassmann y Hamilton brindaron su aporte fundamental en la primera mitaddel siglo XIX y en la segunda mitad del mismo siglo Clifford completo elproceso creador, [5] y [6].

2traduccion del autor

4

Lo que hizo Dirac fue recrear, desde la perspectiva geometrica de la Fsica-Matematica, el aporte de Clifford.El Programa Hestenes propugna, desde la decada de los 60 del siglo XX,retomar el estudio del algebra geometrica como modelo unificador para lafundamentacion matematica de la fsica pero sin recurrir a representacionesmatriciales, [5]. Sin duda Hestenes tomo en cuenta dos cosas: De un lado lomencionado por Dirac en un congreso sobre los fundamentos matematicos dela teora cuantica:

Aprend a desconfiar de todo concepto fsico como base para unateora. Uno debe confiar en un esquema matematico, aun cuandoa primera vista el esquema no aparezca relacionado con la fsica.Uno debe concentrarse en conseguir la matematica que interesa 3

De otro lado fue un detalle explicitado en la introduccion de [7]

en electrodinamica cuantica se ha encontrado que muchas manip-ulaciones algebraicas involucrando matrices de Dirac pueden serrealizadas de modo mas eficiente sin usar matriz alguna 4

En la proxima seccion haremos una presentacion alternativa de las ideasde Hestenes recurriendo a R-subespacios vectoriales de anillos de polinomiosreales, en una y varias variables, editando los resultados obtenidos con las ma-trices y modificando convenientemente el correspondiente producto de poli-nomios.

2. AG(2): El Algebra Geometrica Euclideana

Canonica del R2

Usaremos como estructuras iniciales los siguientes R-espacios vectoriales:

1. El espacio de pares ordenados de numeros reales

R2 = {a1e1 + a2e2/aj R}

donde e1 y e2 indicaran los elementos de su base canonica.

3traduccion del autor4traduccion del autor

5

2. El subespacio del anillo de polinomios reales R[e1, e2], en las variablese1 y e2

P(2) = {a0 + a1e1 + a2e2 + a3e1e2/aj R}La eleccion de las variables en el segundo caso es intencional, posteriormentequedara claro que la identificacion con la base canonica del R2 es valida ynatural.

2.1. El algebra geometrica euclideana bidimensionalAG(2)

Definicion 2.1. El algebra geometrica euclideana canonica bidimensionalAG(2) AG(2,0) sera el R-espacio P(2) provisto del producto de polinomiosmodificado por la siguiente condicion que llamaremos condicion de Diraceuclideana

eiej + ejei = 2ij i, j {1, 2}Este producto modificado sera llamado producto geometrico (euclideano)de AG(2).

Observacion 2.2. 1. Mas adelante veremos que la condicion de Dirac essimplemente una forma alternativa de introducir la metrica euclideanacanonica en el R2 y determinar la ortonormalidad de su base canonica.

2. Por que considerar e1e2 y no e2e1? Sin duda se trata de una opcionante una dualidad, pero hay que respetar convenios heredados: Comoveremos dentro de poco, usando el producto geometrico euclideano, setiene e1(e1e2) = e2 y e2(e1e2) = e1 lo que permite asociar e1e2 con larotarcion en

2de un vector, en el sentido antihorario.

Es decir, veremos que en AG(2) es posible matematizar el conceptogeometrico de orientacion y usarlo algebraicamente.

Definicion 2.3. Lo que haremos es transcribir la terminologa y propiedadesde los polinomios al contexto de las algebras geometricas:

1. AG(2)j denotara la familia de los polinomios homogeneos de grado jde AG(2) y seran llamados de j-vectores, j {0, 1, 2}.

2. Los elementos de AG(2) seran llamados multi-vectores (euclideanos).

Observacion 2.4. De la definicion anterior tenemos:

6

1. La igualdad de polinomios se traducira como: Todo elemento M deAG(2) se escribe de manera unica como suma de j-vectores:

M = M0 + M1 + M2 donde Mj AG(2)j

2. De modo mas preciso

{1, e1, e2, e1e2} es una R-base de AG(2)

3. Existe un isomorfismo natural, como R-espacios vectoriales, entre AG(2)1 y R2

4. Usaremos las identidades

AG(2)0 = R, AG(2)1 R2 y AG(2)2 = Re1e2

Las demostraciones de las afirmaciones que haremos a continuacion son sen-cillas y las dejamos como ejercicio para el lector. Sera el mejor modo defamiliarizarse con esta nueva estructura que mejora sustantivamente la granutilidad de los numeros complejos.

Proposicion 2.5. Como {1, e1, e2, e1e2} es una base del R-espacio vectorialAG(2), siendo {e1, e2} la base canonica del R2, los siguientes resultados sonvalidos

1. e2e1 = e1e2, es decir, AG(2) es no conmutativa.2. e1e1 = e2e2 = 1, es decir, e1 y e2 son races cuadradas de 1.

3. (e1e2)(e1e2) = 1, es decir, e1e2 es raz cuadrada de -1.4. Dados los multi-vectores

A = a0 + a1e1 + a2e2 + a3e1e2 yB = b0 + b1e1 + b2e2 + b3e1e2 se tiene

AB = c0 + c1e1 + c2e2 + c3e1e2 donde

c0 = a0b0 + a1b1 + a2b2 a3b3c1 = a0b1 + a1b0 + a3b2 a2b3c2 = a0b2 + a2b0 + a1b3 a3b1c3 = a0b3 + a3b0 + a1b2 a2b1

7

5. De lo anterior resulta que el producto geometrico de un 1-vector consigomismo

(a1e1 + a2e2)(a1e1 + a2e2) = a21 + a

22 0

coincide con el valor de la forma cuadratica euclideana del R2 evaluadaen dicho vector, es decir; la estructura de algebra geometrica de AG(2)determina la metrica euclideana del R2.

6. Concluir que e1e2 6 R R2 y tambien que todo vector unitario es unaraz cuadrada de 1.

7. Existe un isomorfismo natural, como R-espacios vectoriales, entre AG(2)y R22 que preserva los productos considerados en cada caso.

Recomendamos al lector que se inicia en el tema realizar la demostracion de laproposicion anterior, antes de continuar, para familiarizarse con la estructurade AG(2) y, de modo particular, en el uso de las propiedades que caracterizanel producto geometrico euclideano:

e1e1 = e2e2 = 1, e2e1 = e1e2 y (e1e2)(e1e2) = 1

Observacion 2.6. 1. El lector mas informado debe haberse percatado quelo que acabamos de hacer ha sido construir AG(2) como un algebra deClifford generada por el R-espacio vectorial R2 provisto de la metricaeuclideana canonica.

2. En este contexto se puede demostrar, sin usar propiedades de poli-nomios, que

{1, e1, e2, e1e2} es una R-base de AG(2)

Notacion 2.7. Debido a nuestra estrategia de divulgacion del tema usaremoslas siguientes notaciones e identificaciones:

1. R(2,0): El espacio vectorial R2 provisto de la metrica euclideana

2. S(2,0) = {w R2/w2 = 1}: La frontera del disco unitario del R(2,0)

3. AG(2)2 e1e2 C4. C(2,0) = AG(2)0 AG(2)2 C

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Importante:

1. En 3 y 4 estamos en realidad introduciendo C(2,0), llamada subalgebrapar de AG(2), una version mejorada de los numeros complejos ya queahora sera un 2-vector y, como veremos, pasa a contener informacionsobre la orientacion del R2.

2. Las identificaciones realizadas nos permiten considerar

R C AG(2) y tambien R2 AG(2)

Podemos concluir: Eligiendo convenientemente ciertas propiedades del alge-bra de matrices reales R22, hemos construido el algebra geometrica eu-clideana bidimensional AG(2) mejorando y ampliando C (ahora tendremoslos numeros complejos repotenciados C(2,0).

2.2. Resultados Adicionales

Veamos ahora como se mejora la relacion algebra-geometra en el contexto deAG(2): Podremos representar de un mejor modo los conceptos ya conocidosy, ademas, el nuevo lenguaje nos permitira introducir otros.

Observacion 2.8. Dados los 1-vectores

v = v1e1 + v2e2, w = w1e1 + w2e2 R2

se tiene:

1. La aplicacion v R2 7 e1v C(2,0) , con inversa z 7 e1z ,establece el conocido isomorfismo de R-espacios vectoriales entre R2 y C

2.vw = (v1w1 + v2w2) + (v1w2 v2w1) C(2,0)Cwv = (w1v1 + w2v2) + (w1v2 w2v1) C(2,0)C

3. Los primeros sumandos de las identidades anteriores son iguales a unvalor real conocido, el producto escalar euclideano v.w = w.v

4. Los segundos sumandos de las identidades anteriores corresponden aun mismo 2-vector, con signos opuestos, caracterizado por el hecho queel valor absoluto de su factor escalar, | v1w2 v2w1 |, es precisamenteel area del paralelogramo determinado por los 1-vectores v y w, cuandoson l.i. (y cero cuando son colineales).

9

Proposicion 2.9. Lo anterior, junto con la conocida descomposicion de unproducto en su parte simetrica y antisimetrica

vw =vw + wv

2+

vw wv2

permiten establecer:

1. vw+wv2

= v1w1 + v2w2 = v.w AG(2)02. vwwv

2= (v1w2 v2w1) AG(2)2

Definicion 2.10. Con las notaciones anteriores, dados los 1-vectores v y w,establecemos las siguientes definiciones en el contexto del AG(2):

1. El producto escalar euclideano, v.w, como la parte simetrica del pro-ducto geometrico vw

v.w =vw + wv

2 AG(2)0

2. El producto exterior, vw, como la parte anti-simetrica del productogeometrico vw

v w = vw wv2

AG(2)2

3. e1 e2 = e1e2 C(2,0) sera llamado 2-vector basico euclideano.Ampliando la conocida representacion de Grassmann para los 1-vectores co-mo segmentos orientados de recta, los 2-vectores son representados comociertos segmentos orientados de plano: Dados los 1-vectores l.i. v y w , el2-vector v w sera representado por el paralelogramo determinado por di-chos vectores y el angulo orientado (v, w), segun el criterio dado despuesdel grafico donde establecemos algunas precisiones al concepto tradicional deangulo

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v + w

v

v w v + w

. v

. w w v

0 .

. w

0

Criterio 2.11. Dados a, b S(2,0) l.i. consideraremos:1. (a, b) el angulo con vertice en el origen, comprendido dentro del par-

alelogramo determinado por dichos vectores y orientado de a hacia b

2. (b, a) se relaciona con b a si y solo si (a, b) se relaciona cona b

3. A cada angulo se le asociara, como su medida euclideana, un unicovalor ((a, b)) ], [

4. a = cose1 + sene2 = ((e1, a))

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5. La formula de Euler, solo por comodidad notacional por cuanto nohemos definido la exponencial de un 2-vector,

e cos + sen u = e1e S(2,0) \ {e1} y = ((e1, u))

6. El angulo orientado entre dos vectores l.i. sera el angulo orientado delos correspondientes vectores unitarios.

Importante: Tomar nota de lo siguiente

1. Respecto a lo establecido en el tercer criterio, seguiremos usando ex-presiones como angulo orientado (a, b) ], [para referirnos aun angulo en el contexto arriba indicado. Tambien llamaremos anguloorientado a multiplos de esos valores.

2. En relacion a la formula considerada en el quinto criterio, para realizaroperaciones (por ejemplo demostrar que ve = ev) debe usarse laforma explcita cos + sene1e2

En el paragrafo 4.4 hacemos una propuesta para matematizar la idea deangulo orientado.

Observacion 2.12. Dados los 1-vectores a, b, v y w, con las notaciones an-teriores, tenemos:

1. Todo 2-vector es multiplo del 2-vector basico :

v w = (v1w2 v2w1) = | v.e1 v.e2w.e1 w.e2 |

2. De lo anterior resulta la identidad:

(v w)(v w) = (| v.e1 v.e2w.e1 w.e2 |)2

3. Sigue que:(v w)(w v) = (| v.e1 v.e2w.e1 w.e2 |)2

precisamente el cuadrado del area del paralelogramo determinado porlos 1-vectores v y w.

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4. De 1 y e1 e2 = e1e2 sigue

(a b)(e2 e1) = | a.e1 a.e2b.e1 b.e2 |

De esta identidad, por linealidad, resulta:

(a b)(w v) = | a.v a.wb.v b.w |

En particular tenemos una formula invariante (valida cualquiera quesean las coordenadas que se usen) para calcular el area del paralelogramodeteminado por dos vectores l.i. v y w :

(v w)(w v) = | v.v v.wv.w w.w | 0

5. Se cumple la siguiente identidad entre los productos geometrico, interiory exterior.

vw = v.w + v wla cual establece la descomposicion unica del producto geometrico dedos 1-vectores como suma de un 0-vector con un 2-vector.

6. Una relacion entre producto exterior y producto interior

v w = v.(w)

7. Una alternativa para la descomposicion unica del producto geometricode dos 1-vectores dada en 5

vw = v.w + v w = v.w + v.(w)

Proposicion 2.13. Los bivectores (complejos puros repotenciados) tienenlas siguientes propiedades:

1. El producto exterior de 1-vectores es anti-simetrico y bilineal:

v w = w v

(u+ v) w = (u w) + (v w) donde , Ru (v + w) = (u v) + (u w) donde , R

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2. El producto exterior de 1-vectores permite caracterizar la dependencialineal de pares de vectores:

v w = 0 v y w son l. d.

o, de modo equivalente,

v w 6= 0 v y w son l. i.

Proposicion 2.14. Dados los 1-vectores v y w se tiene:

1. v y w son ortogonales v.w = 0 vw = wv2. v y w son colineales v w = 0 vw = wv3. vw = v.w v y w son colineales4. vw = v w v y w son ortogonales. Este resultado es importante

porque da condiciones para reemplazar v w por vw lo que simplificamuchos calculos.

Proposicion 2.15. Dado el 1-vector v = v1e1 + v2e2 se tiene:

1. v(= v2e1 + v1e2) es el 1-vector que resulta de rotar v un angulo 22. v(= v2e1 v1e2) es el 1-vector que resulta de rotar v un angulo 23. v = v

Corolario 2.16. Dados u, v S(2,0) se tiene:

u y v son ortogonales uv = e1e2 Definicion 2.17. Dados u, v S(2,0) diremos que (el par ordenado de vec-tores):

1. (u, v) es una base ortonormal positivamente orientada (bon+)si uv = e1e2

2. (u, v) es una base ortonormal negativamente orientada (bon)si uv = e2e1

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Corolario 2.18. Si u S(2,0) entonces los pares ordenados abajo indicadoscumplen:

1. (u, u) es una bon+ de R2 y toda bon+ es de esa forma.

2. (u, u) es una bon de R2 y toda bon es de esa forma.Corolario 2.19. Usando 7 de la observacion 2.12 tenemos la descomposicionde v R2 en la bon (u, u), v = vuu = (vu)u = (v.u)u+ v.(u)u.Notacion 2.20. Dados u S(2,0), y ], [

1. u : R2 R2 denotara la reflexion respecto de la recta l que pasa por

el origen y es ortogonal a u

2. 2 : R2 R2 indicara el giro orientado (euclideano) en el angulo

orientado 2

El algebra geometrica, como su nombre lo indica, permite algebrizar las re-flexiones y rotaciones de un buen modo

Proposicion 2.21. u(v) = uvu v R2.Para una demostracion basta usar la descomposicion de v dada en el corolario2.19 y guiarse por el siguiente diagrama:

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v l

.

u u u(v)

0

l .

Corolario 2.22. Toda reflexion es una isometra.

En efecto:

(u(v))2 = u(v)u(v) = (uvu)(uvu) = uvuuvu = uv2u = v2uu = v2

A seguir prarafraseamos, en el contexto de AG(2), el teorema de la geometraeuclideana que establece que toda rotacion (giro orientado en nuestro caso)es el producto de dos reflexiones:

Proposicion 2.23. Dados u, v S(2,0)l.i., si = ((u, v)) ], [, enel contexto del Criterio 2.11, entonces la composicion vu de las reflexionesu y v es igual al giro orientado 2. Recprocamente, todo giro orientado2 se descompone de ese modo, sin unicidad de los vectores unitarios con-siderados.

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Corolario 2.24. 1. Todo giro orientado es una isometra.

2. Los giros orientados 2 = vu y 2 = uv son uno inverso del otro.

Proposicion 2.25. En las condiciones de la proposicion 2.23 y usando elcriterio 2.11, tenemos:

1. = ((u, v)) = uv = e y vu = e

2.2 [w] = e

we y 2 [w] = ewe

Para una demostracion de 1 usar 4 del criterio 2.11 dos veces:Primero con u y = ((e1, u)) ], [ para obtenere1u = e

y ue1 = e

A seguir con v y = ((e1, v)) ], [ para obtenere1v = e

y ve1 = e

Lo que permite concluir:

uv = ue1e1v = e() = e y, analogamente, vu = e

Importante:

1. No se afirma = , porque esto no es verdad en todos los casos,sino la igualdad de los valores de las funciones sen y cos en dichosangulos.

2. Recordar lo comentado despues del criterio 2.11

3. Algunas aplicaciones simples

A seguir apreciaremos las bondades de AG(2) en el estudio de la geometradel R(2,0).La proposicion 2.15 garantiza la siguiente

REGLA PRACTICA 1Dado el 1-vector v

Basta calcular v (v , respectivamente)para tener el vector que resulta al girar v noventa grados

en sentido anti-horario (horario, respectivamente)

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Ejemplo 3.1. Si v= 4e1 3e2 entonces v = ve1e2 = ... = 3e1 + 4e2El corolario 2.18 justifica la

REGLA PRACTICA 2Dado u S(2,0) , el par ordenado

(u, u) ((u, u), respectivamente) es una base ortonormalcon la misma (opuesta, respectivamente) orientacion

que la base canonica (e1, e2)

El corolario 2.19 sustenta la

REGLA PRACTICA 3Fijado u S(2,0) y dado v R2

Como v=vuu=(vu)uBasta calcular explcitamente vu

para tener la descomposicion de v en la bon (u, u).

Ejemplo 3.2. Si u = 43310

e1 4+33

10e2 y v = 10e1 10e2 , como

vu = (1 + 73) (73) , resulta v = (1 +3)u (73)u

La proposicion 2.21 justifica la

REGLA PRACTICA 4Fijado u S(2,0) y dado v R2

Basta calcular uvupara tener el vector reflejado de v en relacion a

la recta que pasa por el origen y es ortogonal a u.

Nuestra ultima regla practica resulta de 2 de la proposicion 2.25. Es impor-tante tener presente que los calculos se realizan en AG(2).

REGLA PRACTICA 5Dados w R2 y ], [Basta calcular e2we2

para tener el vector que resulta de girar wel angulo orientado 2.

4. Propuestas para ampliar resultados

Para lo que sigue se requiere conocimientos de algebra lineal y geometradiferencial.

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4.1. Sobre la estructura

El siguiente resultado matematiza lo comentado en 1 de la observacion 2.4

Proposicion 4.1. Las siguientes identidades, como R -espacios vectoriales,son equivalentes:

1. AG(2)= AG(2)0 AG(2)1 AG(2)2

2. AG(2) R R2 Ri R2 CObservacion 4.2. De lo anterior tenemos

1. Todo elemento M de AG(2) se escribe de manera unica como:

M = M0 + M1 + M2 donde Mj AG(2)j

2. AG(2)0AG(2)2 = C(2,0) es llamada subalgebra par de AGC(2).A seguir extendemos a multi-vectores los conceptos de producto escalar yproducto exteriror e introducimos el concepto de producto interior:

Definicion 4.3. Dados Aj AG(2)j y Bk AG(2)k1. Aj Bk = AjBk|jk| es llamado producto interior de los multivec-

tores Aj y Bk .

2. Aj Bk = AjBkj+k si j + k 2 y cero de otro modo, es llamadoproducto exterior de los multivectores Aj y Bk .

3. Aj.Bj = Aj Bj = AjBj0 es llamado producto escalar de losmultivectores Aj y Bj .

4. Aj =|Aj.Aj | es llamada j-magnitud euclideana del j-vector Aj.

Observacion 4.4. De 3 y 4 de la observacion 2.12, para 2-vectores tenemos:

1. (a b).(v w) = (a b)(v w)2. v w = |v1w2 v2w1| = | v.v v.wv.w w.w | precisamente el area del paralelo-

gramo determinado por los 1-vectores v y w.

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Proposicion 4.5. La estructura algebraica de AG(2) no depende de la baseortonormal considerada. Es decir, dados u1, u2 S(2,0) se tiene:

1. (u1, u2) es una base ortonormal (euclideana) de R2 si y solo si cumple

la condicion de Dirac uiuj + ujui = 2ij i, j {1, 2}2. Si (u1, u2) es una bon de R

2 entonces se cumple la igualdad de conjuntos

AG(2) = {b0 + b1u1 + b2u2 + b3u1u2/bj R}

3. Repitiendo con una bon {u1, u2} el proceso realizado con la base canonica,AG(2) admite una estructura de algebra geometrica asociada a dichabase

4. El producto de dos 1-vectores no depende de la bon+ considerada y porlo tanto el producto de multivectores no depende de la bon+ considerada

5. Dada una bon {u1, u2}, extendiendo a todo AG(2) la aplicacion (ei) =ui resulta un automorfismo (isomorfismo de algebras geometricas deAG(2) consigo mismo) y recprocamente, todo automorfismo de AG(2)es de esa forma

4.2. Sobre un caso no-euclideano

Ademas de R2 y P(2) usaremos las siguientes variaciones del delta de Kro-necker:Con 1 k n y i, j {1, ..., n} (n=2 en nuestro caso) usaremos :

(n,k)ij =

1 si 1 i = j k0 si i 6= j1 si k + 1 i = j n

Definicion 4.6. El algebra geometrica hiperbolica bidimensional AG(2,1)sera el R-espacio P(2) provisto del producto de polinomios modificado por lacondicion (hiperbolica) de Dirac

eiej + ejei = 2(2,1)ij i, j {1, 2}.

Este producto modificado sera llamado producto geometrico (hiperbolico)de AG(2,1).

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Observacion 4.7. Resaltamos algunas diferencias con el caso euclideano

1. e1e1 = (e1e2)(e1e2) = 1, es decir, e1 y e1e2 son races cuadradas de 1.

2. e2e2 = 1, es decir, e2 es raz cuadrada de -1.3. El producto geometrico (hiperbolico) de un 1-vector consigo mismo

(a1e1 + a2e2)(a1e1 + a2e2) = a21 a22

puede asumir cualquier valor real y coincide con el valor de la for-ma cuadratica hiperbolica del R2 evaluada en dicho vector, es decir; laestructura de algebra geometrica de AG(2,1) determina la metricahiperbolica del R2.

Notacion 4.8. Usaremos las siguientes notaciones:

1. R(2,1): El espacio vectorial R2 provisto de la metrica hiperbolica

2. S(2,1) = {w R2/w2 = 1}: La frontera del disco unitario del R(2,1)

3. S(2,1)i indicara la rama de la hiperbole que contiene a ei

4. C(2,1) = AG(2, 1)0AG(2, 1)2: La R-algebra de los numeros hiperboli-cos (repotenciados)

Definicion 4.9. Dados los 1-vectores v y w, establecemos las siguientes defini-ciones en el contexto del AG(2,1) :

1. El producto escalar hiperbolico, v.w, como la parte simetrica del pro-ducto geometrico vw

v.w =vw + wv

2 AG(2, 1)0

2. El producto exterior hiperbolico, vw, como la parte anti-simetricadel producto geometrico vw

v w = vw wv2

AG(2, 1)2

3. e1 e2 = e1e2 C(2,1) sera llamado 2-vector basico hiperbolico

21

Criterio 4.10. Dados a, b S(2,1)1 l.i. consideraremos:1. (a, b) el angulo con vertice en el origen, comprendido dentro del par-

alelogramo determinado por dichos vectores y orientado de a hacia b.

2. (a, b) = (b, a) a b = b a3. A cada angulo se le asociara, como su medida hiperbolica, un unico

valor ((a, b)) R4. a = coshe1 + senhe2 = ((e1, a))5. La formula (solo por comodidad notacional por cuanto no hemos definido

la exponencial de un 2-vector hiperbolico)

e cosh + senh u = e1e S(2,1)1 y = ((e1, u))6. El angulo orientado entre dos vectores l.i. sera el angulo orientado de

los correspondientes vectores unitarios.

Importante: En relacion a la formula considerada en el quinto criterio, esimportante tomar nota que para realizar operaciones debe usarse la formaexplcita cosh + senhe1e2Procediendo de modo similar al caso euclideano tendremos los conceptos degiro orientado hiperbolico, como por ejemplo

Definicion 4.11. Dados w R21 = {(a, b) R2/b < a y a 0} y R2 [w] = e

we

indicara el giro orientado (hiperbolico) en el angulo orientado 2

4.3. Sobre la derivada geometrica

Definicion 4.12. Dado un abierto Rk, 1 k 2,1. C() denotara la familia de funciones C de en R2. La funcion con valores multivectoriales

f : p 7 f(p) =3

m=0

fm(p)em AG(2), con e0 = 1 y e3 = e1e2

es llamada C si cada funcion coeficiente fm C()C(, AG(2)) denotara la familia de funciones multivectoriales C

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3. Para k 2 y j=1,2; la aplicacion

j : f C(, AG(2)) 7 jf =3

m=0

jfmem C(, AG(2))

es llamada operador j-derivada parcial

4. Con k 2, la aplicacion

: f C(, AG(2)) 7 f C(, AG(2)), donde

f(p) = e11f(p) + e22f(p)es llamada operador derivada geometrica.Aqui es importante tener en cuenta el orden considerado porque losproductos se realizan en AG(2).

Proposicion 4.13. En las condiciones de la definicion anterior se tiene:

1. C(, AG(2)) es un anillo y tambien un C()-modulo2. El operador es casi una derivacion (es lineal y cumple la identidad

de Leibniz de modo parcial, por causa de la anticonmutatividad)

Observacion 4.14. El valor explcito de f(p)

(1f1+2f2)(p)+(1f02f3)(p)e1+(2f0+1f3)(p)e2+(1f22f1)(p)e1e2puede obtenerse, de modo alternativo, como sigue:

1. Considerar = e11 + e22, en ese orden, como un 1-vector simbolico2. Efectuar el producto (e11 + e22)(

3m=0 fmem) en AG(2), agrupar y

evaluar en p

Corolario 4.15. Usando 1 de la proposicion 4.1 se tienen los casos partic-ulares:

1. El gradiente

g C(, AG(2)0) = g(p) = 1g(p)e1+2g(p)e2 C(, AG(2)1)

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2. La divergencia y el birotacional

g C(, AG(2)1) = g(p) = .g(p)+g(p) C(, AG(2)0AG(2)2)

3. El .ortogradiente

g C(, AG(2)2) = g(p) = 2g(p)e1+1g(p)e2 C(, AG(2)1)

El corolario anterior nos sugiere que la derivada geometrica generaliza elhamiltoniano; en efecto, bastara establecer:

1. El flujo geometrico de funciones con valores multivectoriales como unageneralizacion del concepto fsico de flujo, remplazando la integral deun producto interno por la integral de un producto geometrico.

2. El hamiltoniano geometrico de funciones con valores multivectorialescomo una generalizacion del concepto fsico de hamiltoniano, reem-plazando el cociente con la medida convencional por el cociente con lamedida orientada (area orientada en nuestro caso).

Comencemos precisando algunos conceptos en el contexto euclideano canonico:

1. Dado P = (p1, p2) R2, K indicara un rectangulo, de ladosparalelos a los ejes coordenados, centrado en P y contenido en . Kdenotara su frontera orientada positivamente (sentido antihorario).

2. Dada f C(, AG(2)) cosideraremos

f =3

m=0

fmem C(, AG(2))

en el contexto que corresponda.

3. : [0, a] R2 indicara la parametrizacion por longitud de arco de K,de clase C por partes, que la recorre siguiendo la orientacion dada.

4. |K| = K sera el area orientada de K, donde K es el area usual.Definicion 4.16. Dada g C(, AG(2))

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1. El flujo geometrico de g que atraviesa K sera

FK [g] = a0

(t)g((t))dt C(, AG(2))

aqu usamos 2, dada arriba, con f = (t)g((t)) (el orden es impor-tante porque el producto es en AG(2))

2. El hamiltoniano geometrico de g en P sera

H [g] (P ) = lmKP

1

|K|FK [g] AG(2)

Proposicion 4.17.H [g] (P ) = g(p)

Para una demostracion considerar K como el rectangulo P0P1P2P3 donde

P0 = (p1 x2, p2 y

2), P1 = (p1 +

x

2, p2 y

2),

P2 = (p1 +x

2, p2 +

y

2) y P3 = (p1 x

2, p2 +

y

2)

Comenzando en P0, lm indicara el correspondiente lado de K, orientadopositivamente.

1|K|FK [g] = 1(xy)

4m=1

lm(t)g((t))dt

1xy

()[e1g(p1, p2 y2 )x+ e2g(p1 + x2 , p2)y+e1g(p1, p2 + y2 )x e2g(p1 x2 , p2)y]

= e1g(p1+

x2,p2)g(p1x2 ,p2)

x+ e2

g(p1,p2+y2)g(p1,p2y2 )y

Para la aproximacion hemos usado el teorema del valor medio para integralesen cada segmento separadamente, considerando el valor de g en el puntomedio de dicho segmento.El resultado deseado sigue al tomar el lmite cuando K colapsa hacia P.

Para incluir el caso afn y obtener resultados mas generales se requierenalgunos conceptos adicionales:

Definicion 4.18. Con las notaciones y terminologa de la definicion anterior

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1. : AG(2) , donde es la proyeccion al primer factor, esllamado fibrado geometrico trivial asociado a .

2. La secciones S : AG(2) (cumplen S = 1) son llamadascampos multivectoriales (CMV) asociados a .Escribiendo S(p) = (p,s(p)) diremos que S es un CMV C si s lo es.() denotara la familia de los CMV C asociados a .

3. Con las adaptaciones del caso, consideraremos j-fibrados geometri-cos triviales y j-campos vectoriales (j-CV)

: AG(2)j y S : AG(2)jj () denotara la correspondiente familia de los j-CV C

4. Dado un CMV S = (1, s), el CMV S = (1,s) es llamadocampo derivada geometrica del campo S.Esto determina un operador : () () que tambien serallamado operador derivada geometrica (el contexto determinara el casoa considerar).

Proposicion 4.19. En las condiciones de la definicion anterior, el corolario4.15 determina los operadores:

1. : 0 () 1 ()2. : 1 () 0 () 2 ()3. : 2 () 1 ()

Observacion 4.20. Considerando j () 0 cuando j Z\{0, 1, 2} pode-mos concluir que, dado un j-CV, el operador derivada geometrica genera dosCV: Un (j-1)-CV y un (j+1)-CV.

4.4. Sobre una alternativa a las formas diferenciales

Ak() denotara la familia de k-formas diferenciales C (k-FD) asociadas alabierto .Es facil ver que el teorema de representacion de Riesz (1-TRR) estableceuna relacion biyectiva entre 1 () y A1(), esto permitio en su momentoextender resultados relacionados con los 1-CV a las k-FD.

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Ahora mostraremos que generalizando el 1-TRR es posible establecer unarelacion biyectiva entre formas diferenciales y campos multivectoriales. Ob-viamente nos limitaremos al caso bidimensional.

Proposicion 4.21. Teorema de representacion de Riesz para funcionalesbilineales antisimetricas (2-TRR). : R2R2 R es una funcional bilineal antisimetrica sss existe un unico2-vector B AG(2)2 tal que (v, w) = B.(v w) .Una demostracion sigue de:

(v, w) =

1i

3. 1 = 2

Para una demostracion de la equivalencia de las dos primeras identidades seusa dos veces 1 de la proposicion 2.25:En primer lugar, poniendo

= ((e1, a)) y = ((e1, b)) ], [se tiene

a = cose1 + sene2 y b = cos e1 + sen e2

de donde tenemosab = ae1e1b = e

() = e1

En segundo lugar, procediendo de modo analogo, pero ahora con u y v ,tendremos

vw = e2

Corolario 4.25. cos 1 = a.b y sen 1 = a.(b) = (a b)A continuacion presentamos los ingredientes para dar una definicion:

Proposicion 4.26. Dados los 1-vectores a, b, v y w S(2,0), se tiene:1. La relacion (a, b) (v, w) a b = v w

es una relacion de equivalencia en S(2,0) S(2,0)

2. ab = vw a.b = v.w y a b = v w3. (v.w)2 + ((v w))2 = 1

La segunda afirmacion sigue de 1 de la observacion 4.2.Para la tercera afirmacion recordar las identidades

v.w =vw + wv

2y (v w) = (vw wv

2)

y, a seguir, hacer los calculos requeridos en AG(2).

Definicion 4.27. Dados los 1-vectores v y w S(2,0),1. Definimos el angulo orientado de v a w como:

(v, w) = (v, w) S(2,0) S(2,0)/ la clase de equivalencia de la relacion establecida en la proposicion an-terior.

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2. Definimos cos(v, w) = v.w y sen(v, w) = (v w) = v.(w)A modo de conclusion podemos decir:

1. El concepto de angulo orientado no depende de la condicion de Dirac.

2. La medida de un angulo orientado y el concepto de giro orientado sonalgebrizados por pares de 1-vectores unitarios (digamos u y v, de talmodo que los sentidos opuestos estan determinados por los productosgeometricos uv y vu).

3. As como la metrica euclideana del plano y los numeros complejos sondeterminados por la estructura de AG(2), tambien los conceptos de giroorientado, seno y coseno son determinados por dicha estructura.

4. Finalmente, si tomamos en cuenta el isomorfismo entre R2 y C, explic-itado en 1 de la observacion 2.8, aparece una relacion de giro orientadocon pares ordenados de numeros complejos que evoca la idea primigeniade spinor dada por Pauli.

Referencias

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[3] Bekken, O. Wessel on Vectors, Notes of a Workshop on the History ofMathematics, Norway 1988.

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[5] Hestenes, D. New Foundations for Classical Mechanics, Kluwer AcademicPublishers, 1993.

[6] Lounesto, P. Clifford Algebras and Spinors, Cambridge University Press,2001.

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[7] Snigg, J. Clifford Algebra, A Computacional tool for Physicists, OxfordUniversity Press, 1997.

[8] Vaz Jr., J. A algebra geometrica do espaco euclideano e a teora de Pauli,Revista Brasileira de Ensino de Fsica, Vol. 19 numero 2, 1997.

[9] Vaz Jr., J. A algebra geometrica do espaco-tempo e a teora da relativi-dade, Revista Brasileira de Ensino de Fsica, Vol. 22 numero 1, 2000.

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