y i a dy i by z - tottori university
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1
材料力学Ⅰ 練習問題 5 章解答例
【5.1】
≪解答例≫
(a) 上下対称の形状であるため,中立軸は上下方向
の真中になる。中立軸に対する全体の断面形状の断
面二次モーメント zI は,正方形の断面二次モーメント
szI から円形の断面二次モーメント czI を引けばよい。
ここで,公式から,
4
12sz
aI (1.1)
4
64cz
dI
(1.2)
したがって,
4 4
12 64z sz cz
a dI I I
(1.3)
上下対称であるから,
1 2 2
ae e e (1.4)
断面係数は,
3 4
6 32zI a d
Ze a
(1.5)
(b) 断面 2 次モーメントが既知である基本形状の,三
角形 4 つと長方形1つに分けて,それぞれの断面 2 次
モーメントの和によって,総合の断面 2 次モーメントと
する方法もあるが,ここでは,断面 2 次モーメントの定
義式から積分によって求める方法を示す。
解図 1.1 より, y の位置における微小幅 dy の幅 yb
は次式で表される。
0y の場合
2 ( 2 )3 / 2
22
3
y
yb a a a
ay
a
(1.6)
解図 1.1 正六角形の断面二次モーメント
0y の場合
2 ( 2 )3 / 2
22
3
y
yb a a a
ay
a
(1.7)
断面 2 次モーメントの定義より,
3 /2 02 2
0 3 /2
3 /2 2
0
0 2
3 /2
3 4 3 /20
3 4 0
3 /2
4 4
4 4
4
2 ( )3
2 ( )3
12[ ]
3 4 31
2[ ]3 4 3
3 3 32( )
8 64
3 3 32( )
8 64
5 3
16
a
z y ya
a
a
a
a
I y b dy y b dy
yy a dy
yy a dy
ay y
ay y
a a
a a
a
(1.8)
断面係数 Z は,
y
y
dy
z
by
a
2a
3
2a
3
2a
2
1 2
3
2e e a e (1.9)
であるので,
4 35 3 2 5
16 83zI
Z a ae a
(1.10)
(c) 解図 1.2 に示すように,直径を 1z 座標とし r 座
標系を考える。
図 1.2 半円の中立軸に平行な座標系 z1
中立軸の位置を求めるために,断面一次モーメント
1zJ を求める。
1 0 0
r r
z yJ ydA yb dy
ここで,
siny r
cos cosdy
r dy r dd
2 cosyb r
したがって,
1
/2 3 2
0
3 3 /2 30
2 sin cos
1 22 [ cos ]
3 3
zJ r d
r r
(1.11)
一方,半年の面積 A は,
2
2
rA
(1.12)
一方,半円の中立軸までの距離 e は,
1
3
2
2 2 4
3 3zJ r r
eA r
(1.13)
中立軸 z に関する断面二次モーメント zI と中立軸に
平行な 1z 軸に関する端面二次モーメント1z
I の間には,
次の平行軸の定理が成り立つ。
1
2z zI I e A (1.14)
ここで,
1
2 2
0 0
/2 4 2 2
0
4/2 2
0
4/2
0
4 4/2
0
2 sin cos
sin 22
(1 cos 4 )4
1[ sin 4 ]
4 4 8
r r
z yI y dA y b dy
r d
rd
rd
r r
(1.15)
したがって,
1
2 22 4
2
4
16
8 9 28
( )8 9
z z
r rI I e A r
r
(1.16)
また,
1
3 4
3e r e r
(1.17.1)
2
4
3e e r
(1.17.2)
したがって,
41
1
3
8 3( )8 9 (3 4)
3 8( )
(3 4) 8 9
zIZ r
e r
r
(1.18.1)
y
dy
z1
y
by
2r
3
42
2
3
8 3( )8 9 4
3 8( )
4 8 9
zIZ r
e r
r
(1.18.2)
【5.2】
≪問題訳≫
図 5.57 に示されるように,面積の中心を通り水平軸
に対する断面二次モーメントを求めよ。
≪解答例≫
解図 2.1 に示すように,H 型鋼は 3 つの長方形に分
けることができる。それぞれの長方形の断面二次モー
メント 1I , 2I は,
解図 2.1 3 つの長方形から成る H 型鋼
3 341 1
1
5 203333 mm
12 12
b hI
(2.1)
3 342 2
2
20 5208.3 mm
12 12
b hI
(2.2)
したがって,全体の断面二次モーメント I は,
1 2
4 4
2 2 3333.3 208.3
6874.9 mm 6875 mm
I I I
(2.3)
【5.3】
解図 3.1 に示すように,丸棒から最大の長方形断面
の棒を切り出すとき,円形断面に接する。三平方の定
理より,
2 2 2b h d (3.1)
解図 3.1 長方形の幅,高さと直径の関係
(a) 最大曲げ応力は次式で与えられる。
max
M
Z (3.2)
したがって,断面係数が最大になるように長方形断面
を切り出せば,曲げ応力を最小にできる。長方形断面
の断面係数は式(3.1)を考慮して,
2 2 2( )
6 6
bh b d bZ
(3.3)
変数 b で微分して,
2 230
6
dZ d b
db
(3.4)
極を求めると,
3
db (3.5)
増減表を作ると,
b 0 / 3d d
/dZ db 2 / 6d 0 2 / 3d
Z 0 3 / 9 3d 0
z
h1h2
b1b2b1
y
z
b
hd
4
したがって,最大の断面係数は,
3
db (3.6)
2 2 2
3d d b d (3.7)
(b) たわみを最小にするためには,曲げ剛性を最大
にすればよい。すなわち,形状に関しては,断面 2 次
モーメントを最大にすればよい。長方形断面の断面 2
次モーメントは,
3 2 2 3
12 12
bh d h hI
(3.8)
変数 h で微分して,
2 5 7 2 2 5
2 6 8 2 6 8
(6 8 ) (3 4 )0
24 12
dI d h h d h h
dh d h h d h h
(3.9)
極を求めると,
3
2h d (3.10)
増減表を作ると,
h 0 3 / 2d d
/dZ dh 0 0
Z 0 43 / 64d 0
したがって,最大の断面係数は,
3
2h d (3.11)
2 2
2
db d h (3.12)
【5.4】
≪問題訳≫
図 5.58 に示されるように,単純支持はり AB が長さ l
= 4m でスパン全体に q = 10N/m の等分布荷重がかか
っている。断面形状は長方形である。最大の曲げ応力
max と最大の平均せん断応力 max を求めよ。
≪解答例≫
全体のフリーボディダイアグラムを描くと解図 4.1 となる。
解図 4.1 全体のフリーボディダイアグラム
左右対称であるから,
A B 2
qlR R (4.1)
任意の位置 x での仮想断面を考え,仮想断面を含む
FBD を描くと解図 4.2 となる。
解図 4.2 仮想断面を含む部分的 FBD
力のつり合いから,
A 0F qx R
A ( 2 )2
qF R qx l x (4.2)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
A 02
xM qx R x
2
( )2 2A
qx qxM R x l x (4.3)
SFD と BMD は解図 4.3 となる。
A
q
B
RA RB
A
q
RA
x
MF
5
解図 4.3 SFD と BMD
任意の仮想断面上の最大応力は次式で与えられる。
max 2
6M M
Z bh (4.4)
したがって,はり全体での最大応力は最大モーメント
の位置,すなわちはりの中心で生じる。
2max
max 2 2
2
3 3 2
6 2
6 3
4
3 10 4
4 10 10 (5 10 )
480 10 N/m
480 MPa
M ql
bh bh
(4.5)
最大平均せん断応力は,最大のせん断力が生じる位
置で生じる。すなわち,A 点,B 点である。
maxmax
3 3
6 2
210 4
2 10 10 5 10
0.4 10 N/m
0.4 MPa
F ql
A bh
(4.6)
【5.5】
≪解答例≫
(a)
全体のフリーボディダイアグラムは解図 5.1 となる。
解図 5.1 全体のフリーボディダイアグラム
左右対称であるから,
A B 2
bqR R (5.1)
3 つの区間に分けて,仮想断面に作用するせん断力F
とモーメント M を求めると,
(i) AC 間
AC 間の仮想断面を含む FBD は解図 5.2 となる。
解図 5-2 AC 間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いより,
A A02
bqF R F R (5.2)
仮想断面回りのモーメントのつり合いより,
A A02
bqM R x M R x x (5.3)
(ii) CD 間
CD 間の仮想断面を含む FBD は解図 5.3 となる。
解図 5.3 CD 間の仮想断面を含む FBD
SFD
BMD
2
ql
2
qlA
B
2
8
ql
BA
q
RA RB
C DA B
RA
A F M
x
q
RA
CA F M
x
(l-b)/2
6
力のつり合いより,
A ( ) 02
l bF R q x
A ( ) ( )2 2
l b lF R q x q x
(5.4)
仮想断面回りのモーメントのつり合いより,
2A ( ) 0
2 2
q l bM R x x
2A
2
2 2
( )2 2
( )2 2 2
{ ( ) }2 2
q l bM R x x
bq q l bx x
q l bx lx
(5.5)
(iii) DB 間
DB 間の仮想断面を含む FBD は解図 5.4 となる。
解図 5.4 DB 間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いより,
B B02
bqF R F R (5.6)
仮想断面回りのモーメントのつり合いより,
B B( ) ( ) ( )2
bqM R l x M R l x l x
(5.7)
以上より,SFD と BMD を描くと図 5.5 となる。
解図 5.5 SFD と BMD
(b)
各位置でのモーメント M に対する最大応力 max は
断面係数を Z とすると,式(5.7)で与えられる。
max
M
Z (5.7)
したがって,最大応力はモーメントに比例しており,は
り全体での最大応力は,最大モーメントの位置で生じ
る。一方,【5.5(a)】の結果より,BMD が解図 5.5 のよう
に得られている。その最大モーメントは, / 2x l の位
置で,その値は式(5.8)となる。
max
(2 )
8
qb l bM
(5.8)
正方形断面形状の断面係数 Z は,
4 32
12 6
a aZ
a (5.9)
したがって,最大応力 max は,
maxmax 3
3
(2 ) 6
83 (2 )
4
M qb l b
Z aqb l b
a
(5.10)
【5.6】
≪解答例≫
全体のフリーボディダイアグラムを描くと,解図 6.1 と
なる。
RB
BM F
l-x
-qb/2
qb/2
CD
AB
BMD b(l-b)/2 (l-b)/2
qb(l-b)/4qb(2l-b)/8
C DA B
SFD
7
解図 6.1 全体のフリーボディダイアグラム
支持点 B,C での反力は,力のつり合いとモーメント
のつり合いから求めることができるが,ここでは左右対
称であることを利用して,
B C (2 )2
qR R a l (6.1)
SFD と BMD を描くために,3 区間に分けてせん断力
F と曲げモーメント M を求める。
(i) AB 間
AB 間の仮想断面を含む FBD は解図 6.2 となる。
解図 6.2 AB 間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いから,
0F qx F qx (6.2)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
221
02 2
qxM M qx (6.3)
(ii) BC 間
BC 間の仮想断面を含む FBD は解図 6.3 となる。
解図 6.3 BC 間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いから,
B 0F qx R
B ( )2
lF qx R q a x (6.4)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
2
B ( ) 02
qxM R x a
2
2
1 1( 2 )( )
2 21
{ ( 2 )( )}2
M qx q l a x a
q x l a x a
(6.5)
(iii) CD 間
CD 間の仮想断面を含む FBD は解図 6.4 となる。
解図 6.4 CD 間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いから,
0F qx F qx (6.6)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
2( 2 )0
2
q l a xM
21( 2 )
2M q x l a (6.7)
以上から,SFD,BMD は解図 6.5 となる。
q
RB RC
AB C
D
q
A F M
x
q
RB
AB
x-a
x
F M
D
q
M F
l+2a-x
8
解図 6.5 SFD と BMD
【5.7】
≪問題訳≫
図 5.61 に示されるように,合板はりが断面積 4cm ×
6cm になるように 3 枚の 2cm×4cm の板が貼り付けられ
て い る 。 貼 り 付 け 接 合 の 許 容 せ ん 断 応 力 は
5 MPaa である。もしはりが 10cm の長さで,両端が
単純支持される場合,スパンの真中にかけることがで
きる安全な荷重 Pmax はどれだけか。対応する最大曲
げ応力はどれだけか。
≪解答例≫
解図 7.1 に示すように,断面を高さ h,幅 b の長方形
断面で,中立軸を原点に下向きに y 座標を考える。
解図 7.1 断面の座標系
長方形断面の場合,断面に生じるせん断応力は,教
科書 p.78,式(5.40)から,
2
2
3 4(1 )
2
F y
bh h (7.1)
したがって。接着剤で貼り合わせている面の y 座標を
代入すれば,その面に作用するせん断応力が求めら
れる。最大のせん断応力が許容せん断応力以下にな
ればよい。そのためには,式(7.1)から最大となるせん
断力を求める必要がある。このはりは単純支持で中央
に集中荷重が作用するから,軸方向の全体のフリーボ
ディダイアグラムを描くと,解図 7.2 となる。
解図 7.2 全体のフリーボディダイアグラム
左右対称であることから,
A B 2
PR R (7.2)
最大のせん断力を求めるため,区間に分けて仮想断
面に生じるせん断力とモーメントを求めていく。
(i) 区間 1 0 / 2x l
この区間の仮想断面を含む FBD は解図 7.3 となる。
解図 7.3 0 / 2x l 間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いから,
A A02
PF R F R (7.3)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
A A02
PM R x M R x x (7.4)
(ii) 区間 2 / 2l x l
この区間の仮想断面を含む FBD は解図 7.4 となる。
ql/2
-ql/2-qa
qaA B
C D
SFD
BMD
-qa2/2-qa2/2
l aa
q(l2-4a2)/8
A B C D
b
z
y
h
P
A B
RA RB
A
RA
x
F M
9
解図 7.4 / 2l x l 間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いから,
B B02
PF R F R (7.5)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
B B( ) 0 ( ) ( )2
PM R l x M R l x l x
(7.6)
以上から SFD と BMD は解図 7.5 となる。
解図 7.5 SFD と BMD
したがって,せん断力 F の最大値は P/2 である。接着
面の y 座標を ygとすると,式(7.1)より,
2
2
43(1 )
4 a
yP
bh h g (7.7)
P について解いて,
3
2 2
4
3( 4 )abh
Ph y
g
したがって,
3
max 2 2
3 6
2 2
4
3( 4 )
4 0.04 0.06 5 10
3(0.06 4 0.01 )
18000 N 18 kN
abhP
h y
g
(7.8)
一方,解図 7.5 の BMD より最大の曲げモーメントは,
maxmax
3
4
18 10 0.1450 Nm
4
P lM
(7.9)
したがって最大応力は,
max maxmax 2
2
6
6
6 450
0.04 0.06
18.75 10 Pa 18.8 MPa
M M
Z bh
(7.10)
【5.8】
≪問題訳≫
図 5.62 に示されるはりに対して,SFD と BMD を描
き,点 B におけるたわみ B とたわみ角 B を求めよ。曲
げ剛性は EI とせよ。
≪解答例≫
全体のフリーボディダイアグラムを解図 8-1 に示す。
解図 8-1 全体のフリーボディダイアグラム
力のつり合いから,
A C 0R R (8.1)
A 点回りのモーメントのつり合いから,
B
RB
l-x
FM
P/2
-P/2
SFD
A B
Pl/4
l/2A B
BMD
CAB
M0
RA
RC
10
00 C C0
MM R l R
l (8.2)
式(8.2)を式(8.1)に代入して,
0A C
MR R
l (8.3)
次に,SFD と BMD を描くために,2 つの区間に分け
て,せん断力 F と曲げモーメント M を求める。
(i) AB 間
AB 間の仮想断面を含む FBD は解図 8.2 になる。
解図 8.2 AB 間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いから,
0A A0
MF R F R
l (8.4)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
0A A0
MM R x M R x x
l (8.5)
(ii) BC 間
BC 間の仮想断面を含む FBD は解図 8.3 になる。
解図 8.3 BC 間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いから,
0C C0
MF R F R
l (8.6)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
C ( ) 0M R l x
0C ( ) ( )
MM R l x l x
l (8.7)
以上から,SFD と BMD は解図 8.4 となる。
解図 8.4 SFD と BMD
2 区間に分けてたわみ曲線を求める。
(i) AB 間
たわみの基礎式に式(8.5)のモーメントを代入すると,
201
2
Md y Mx
EI EIldx (8.8)
順次積分して,
201
1 1( )2
Mdy xC
dx EIl (8.9)
30
1 1 2( )6
M xy C x C
EIl (8.10)
(ii) BC 間
たわみの基礎式に式(8.7)のモーメントを代入すると,
202
2( )
Md y Mx l
EI EIldx (8.11)
順次積分して,
2022 3
1{ ( ) }
2
Mdyx l C
dx EIl (8.12)
A
RA
F M
x
C
RC
M F
l-x
A C
-M0/l
bM0/l
-aM0/l
a b
SFD
BMD
11
302 3 4
1{ ( ) ( ) }
6
My x l C x l C
EIl (8.13)
境界条件は,
0x で 1 0y (8.15)
x l で 2 0y (8.16)
連続の条件は,
x a で 1 2 (8.17)
x a で 1 2y y (8.18)
境界条件を用いる。式(8.15)を式(8.10)に,式(8.16)を
式(8.13)に適用して,
2 4 0C C (8.19)
連続の条件,式(8.17)と式(8.18)を適用すると,
22
1 3
1( )
2 2
aC a l C
2 21 3
1( )
2C C b a (8.20)
33
1 3
1( ) ( )
6 6
aC a a l C a l
3 31 3
1( )
6C a C b a b (8.21)
式(8.20)と式(8.21)の連立方程式を解いて,
2 21
1(2 2 )
6C b ab a (8.22)
2 23
1( 2 2 )
6C b ab a (8.23)
したがって,
22 201
1
1{ (2 2 )}
2 6
Mdy xb ab a
dx EIl (8.24)
32 20
1
1{ (2 2 ) }
6 6
M xy b ab a x
EIl (8.25)
B 点では,x=a を代入して,
B 1
32 20
0
( )
1{ (2 2 ) }
6 6( )
3
y a
M ab ab a a
EIlMab b a
l EI
(8.26)
B 1
22 20
2 20
2 20
20
20
( )
1{ (2 2 )}
2 6
( )
3
( 2 3 )
3
{( ) 3 }
3
3
3
a
M ab ab a
EIlMb ab a
l EIMb ab a ab
l EIMa b ab
l EIMl ab
l EI
(8.27)
【5.9】
≪解答例≫
非常に微小な構造であるが,単純な片持ちはりとし
てモデル化できる。この場合の,フリーボディダイアグ
ラムは解図 9.1 となる。
解図 9.1 フリーボディダイアグラム
力のつり合いから,
A A0P R R P (9.1)
また,A 点回りのモーメントのつり合いから,
A A0Pl M M Pl (9.2)
位置 x の仮想断面左側部の FBD は解図 9.2 となる。
解図 9.2 仮想断面に働くせん断力とモーメント
A
RA
P
B
MA
A
RA
F
M
x
MA
12
解図 9.2 において,力のつり合いから,
A A0F R F R P (9.3)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
A A 0M M R x
上式を解いて,
A A ( )M M R x P l x (9.4)
式(9.4)をたわみの基礎式に代入して,
2
2( )
z z
d y M Pl x
dx EI EI (9.5)
順次積分して,
2
1( )2z
dy P xlx C
dx EI (9.6)
32
1 2( )6 2z
P x ly x C x C
EI (9.7)
境界条件は,左端( 0x )が固定端なので,
0 0
0 0
x
x y
で
で (9.8)
式(9.8)を式(9.6),(9.7)に適用して,
1 0C , 2 0C (9.9)
最終的に,たわみ角,たわみの式は以下の式となる。
( )2z
Pl xl
EI (9.10)
2
( )2 3z
Px xy l
EI (9.11)
一方,断面形状は,幅 45 μmb ,高さ 4.6 μmh の
長方形である。その断面二次モーメント zI は,
3 6 6 3
24 4
45 10 (4.6 10 )
12 12
365.0 10 m
z
bhI
(9.12)
先端のたわみ は,式(9.11)に x l を代入して,
3
6 6 3
9 24
3
6
3
100 10 (180 10 )
3 190 10 365.0 10
100 0.18
3 190 365.0
2.803 10 m 2.80 μm
z
Pl
EI
(9.13)
【5.10】
(a) パスタをはりと考え,1 個質量 m の 5 円玉 n 個の
吊り下げは,スパン中央への集中荷重と考えると,全
体のフリーボディダイアグラムは解図 10.1 となる。図中
の gは重力加速度である。
解図 10.1 全体のフリーボディダイアグラム
これは,スパンの中心に集中荷重がかかる単純支
持はりの問題であり,断面形状が異なるが,【5.7】と同
様な問題である。したがって,重なる導出は省き【5.7】
の結果を用いることとする。
式(7.9),(7.10)より,
maxmax 3
8
4
M Pl nm l
Z Z d
g (10.1)
最大応力が引張強さ以下でなければいけないから,
3
8B
nm l
d
g (10.2)
したがって,
3
6 3 3
3
8
25 10 3.141 (1.6 10 )
8 4 10 9.801 0.110.25
B dn
m l
g
(10.3)
5 円玉は 1 個単位であるため,解答は整数で答える必
要がある。したがって,解は 10 個となる。
P=nmg
A B
RA RB
13
(b) 【5.7】の結果を流用したわみ曲線を求める。通常
2 区間に分けて境界条件と連続の式を適用して未定
係数を求めるが,ここでは左右対称であることを利用し,
区間 1 のたわみ曲線だけを求めることとする。
(i) 区間 1 0 / 2x l
たわみの基礎式に,式(7.4)を代入すると,
21
2 2
d y M Px
EI EIdx (10.4)
順次積分して,
21
1 1( )2 2
dy P xC
dx EI (10.5)
3
1 1 2( )2 6
P xy C x C
EI (10.6)
境界条件は,
0x で 1 0y (10.7)
左右対称の条件は,
2
lx で 1 0 (10.8)
式(10.7)を式(10.6)に適用して,
2 0C (10.9)
式(10.8)を式(10.5)に適用して,
2
1 8
lC (10.10)
したがって,たわみ曲線は,
2 2
1
2 2
4
( )4 3 4
16( )
4 3
Px x ly
EI
nm x l x
d E
g
(10.11)
最大たわみは,
max 1
2 2 3
4 4
3 3
3 4 9
( )2
8 4( )
4 12 3
4 10 4 10 9.801 0.1
3 (1.6 10 ) 3 10
0.008463 m 8.46 mm
ly y
nm l l l nm l
d E d E
g g (10.12)
【5.11】
≪問題訳≫
図 5.65 に示されるように,直径 d = 5cm の片持ちは
りの端に集中荷重 P = 500N が負荷されている。以下
の値を求めよ。
(a) 最大の曲げ応力が生じる位置
(b) 最大の曲げモーメント
(c) はりの端での曲げ変形
片 持 ち は り は 木 材 で で き て お り , ヤ ン グ 率 は
10 GPaE である。
≪解答例≫
全体のフリーボディダイアグラムは解図 11.1 となる。
解図 11.1 全体のフリーボディダイアグラム
力のつり合いから,
A B 0R R P (11.1)
A 点回りのモーメントのつり合いから,
B B0l
aR lP R Pa
(11.2)
式(11.2)を式(11.1)に代入して,
A B
l aR P R P
a
(11.3)
最大の曲げモーメントを求めるために BMD を描く。こ
P
A CB
RARB
14
こでは必要とされていないが,SFD も描くことにする。2
つの区間に分けて考える。
(i) 第 1 区間 0 x a
この区間の仮想断面を含む FBD は解図 11.2 となる。
解図 11.2 第 1 区間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いより,
A A0l a
F R F R Pa
(11.4)
仮想断面回りのモーメントのつり合いより,
A 0M xR
A
l aM R x Px
a
(11.5)
(ii) 第 2 区間 a x l
この区間の仮想断面を含む FBD は解図 11.3 となる。
解図 11.3 第 2 区間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いより,
0F P F P (11.6)
仮想断面回りのモーメントのつり合いより,
( ) 0 ( )M l x P M l x P (11.7)
以上の結果から,SFD と BMD は解図 11.4 となる。
解図 11.4 SFD と BMD
(a) ある仮想断面に生じている曲げモーメントを M と
すると,その断面上の最大曲げ応力は,次式で与えら
れる。
max
M
Z (11.8)
断面は一様なので断面係数 Z は一定である。したがっ
て,はり全体での最大曲げ応力を生じる位置は,最大
曲げモーメントが生じる位置である。解図 11.4 の BMD
より,最大の曲げ応力が生じる位置は,
0.5 mx (11.9)
(b) 最大の曲げモーメントは,解図 11.4 の BMD より,
max 750 NmM (11.10)
モーメントの正負は回転方向を表している。
(c) たわみ曲線を求める。区間に分けて考えると,
(i) 第 1 区間 0 x a
たわみの基礎式に式(11.5)の M を代入して,
21
2
d y M P l ax
dx EI EI a
(11.11)
順次積分して,
21
1 1
( ){ }
2
dy P l a xC
dx EI a
(11.12)
A
RA
F M
x
P
CFM
l-x
-1500 N
500 N
-750 Nm
0.5 m 1.5 m
SFD
BMD
15
3
1 1 2
( ){ }
6
P l a xy C x C
EI a
(11.13)
(ii) 第 2 区間 a x l
たわみの基礎式に式(11.7)の M を代入して,
22
2( )
{ ( ) ( )}
d y M Pl x
dx EI EIP
x a l aEI
(11.14)
順次積分して,
22
23
1{ ( ) ( )( ) }
2
dy
dxP
x a l a x a CEI
(11.15)
3 22
3 4
1 ( ){ ( ) ( )
6 2( ) }
P l ay x a x a
EIC x a C
(11.16)
境界条件と連続の条件は,
0x で, 1 0y (11.17)
x a で, 1 2 0y y (11.18)
x a で, 1 2 (11.19)
式(11.17),(11.18)を適用して,
2 0C (11.20)
1
( )
6
a l aC
(11.21)
4 0C (11.22)
式(11.19)を適用して,
2 2
3
( ) ( )( )
2 6 3
l a a a a l aC
a
(11.23)
したがって,求めたい先端部を含むたわみ曲線の式
は,
22 { ( ) 3( )( )
62 ( )}( )
Py x a l a x a
EIa l a x a
(11.24)
x = l を代入して,
2
2 2
4
2
9 4
{ ( ) 3( ) 2 }( )6
( ) 64 ( )
3 3
64 500 2 (2 0.5)
3 10 10 0.050.2444 m
24.4 cm
Pl a l a a l a
EI
Pl l a Pl l a
EI Ed
(11.25)
【5.12】
≪解答例≫
フリーボディダイアグラムを描くと,解図 12.1 となる。
解図 12.1 フリーボディダイアグラム
支持点の反力 AR , BR は,通常は力のつり合いとモー
メントのつり合いから求める。しかしながら,本問題で
は左右対称であるため,
A B 2
PR R (12.1)
3 つの区間に分けて仮想断面上のせん断力 F とモー
メント M を求める。
(i) 第 1 区間 0 x l
この区間の仮想断面を含む FBD は解図 12.2 となる。
解図 12.2 第 1 区間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いから,
A A02
PF R F R (12.2)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
A D
RA RBP/2 P/2
B C
A
RA
M
F
x
16
A A02
PM R x M R x x (12.3)
(ii) 第 2 区間 2l x l
この区間の仮想断面を含む FBD は解図 12.3 となる。
解図 12.3 第 2 区間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いから,
A A0 02 2
P PF R F R (12.4)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
A ( ) 02
PM R x x l
A ( )2 2
P PM R x x l l (12.5)
(iii) 第 3 区間 2 3l x l
この区間の仮想断面を含む FBD は解図 12.4 となる。
解図 12.4 第 3 区間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いから,
B B02
PF R F R (12.6)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
B (3 ) 0M R l x
B (3 ) (3 )2
PM R l x l x (12.7)
したがって,SFD,BMD は解図 12.5 となる。
解図 12.5 SFD と BMD
次に,たわみ曲線を求める。通常 3 区間に分ける問
題であるが,3 区間に分けると積分定数が 6 つ出てき
て 6 元連立方程式となり大変である。左右対称である
ことから,左側半分 2 区間だけを考える。その場合の
境界条件と連続の条件は,
10 0x y で (12.8.1)
1 2x l y y で (12.8.2)
1 2x l で (12.8.3)
23 / 2 0x l で (12.8.4)
(i) 第 1 区間 0 x l
21
2 2
d y M Px
dx EI EI (12.9)
21
1 1( )2 2
dy P xC
dx EI (12.10)
3
1 1 2( )2 6
P xy C x C
EI (12.11)
(ii) 第 2 区間 3 / 2l x l
22
2 2
d y M Pl
dx EI EI (12.12)
22 3{ ( ) }
2
dy Pl l x C
dx EI (12.13)
22 3 4{ ( ) ( ) }
2 2
P ly l x C l x C
EI (12.14)
A
RA P/2
F
Mx
B
D
RB
M
F
3l-x
SFD
BMD
P/2
-P/2A B
Pl/2
l llA B
17
式(12.8.1)を式(12.11)に,式(12.8.4)を式(12.13)に適
用すると,
2 0C (12.15)
2
3 3
3( ) 0
2 2
ll l l C C (12.16)
式(12.8.2)と式(12.8.3)を適用すると,
2 22
1 3 1 32 2
l lC C C C l (12.17)
3 3 33
1 4 4
5
6 6 6
l l lC l C C l (12.18)
したがって,
22
1 ( )2 2
P xl
EI (12.19)
3 22 2
1 ( ) ( )2 6 2 6
P x Px xy l x l
EI EI (12.20)
2
3( )
2 2
Pll x
EI (12.21)
32 2
2
22
5{ ( ) ( ) }
2 2 6
1 5{ ( ) ( ) }
2 2 6
P l ly l x l l x
EI
Pl ll x l l x
EI
(12.22)
剛体の取っ手は変形しないから,荷重点の変位は B
点のたわみと等しくなる。したがって,
2 32 5
( )2 6 12
Pl l Pll
EI EI (12.23)
【5.13】
≪問題訳≫
図 5.67 に示されるように,等分布荷重 q が片持ちは
りに負荷されている。SFD と BMD を描け。
≪解答例≫
全体のフリーボディダイアグラムは解図 13.1 となる。
解図 13.1 全体のフリーボディダイアグラム
力のつり合いから,
A A0qa R R qa (13.1)
A 点回りのモーメントのつり合いから,
A A( ) 0 ( )2 2
a aM qa l M qa l
(13.2)
2 区間に分けて,仮想断面に生じるせん断力 F と曲げ
モーメント M を求める。
(i) 第 1 区間 0 x l a
この区間の仮想断面を含む FBD は解図 13.2 となる。
解図 13.2 第 1 区間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いから,
A A0F R F R qa (13.3)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
A A 0M M R x
A A
{( ) }2
M M R x
aqa l x
(13.4)
(ii) 第 2 区間 l a x l
この区間の仮想断面を含む FBD は解図 13.3 となる。
qMA
RA
CAB
x
MMA
RA
FA
18
解図 13.3 第 2 区間の仮想断面を含む FBD
力のつり合いから,
( ) 0 ( )F q l x F q l x (13.3)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
2 2( ) ( )0
2 2
l x l xM q M q
(13.4)
以上の結果から,SFD と BMD は解図 13.4 となる。
解図 13.4 SFD と BMD
【5.14】
≪解答例≫
L 字型の取っ手 BC に関するフリーボディダイアグラ
ムを描くと解図 14.1 となる。また,取っ手 BC の B 点に
作用する支点反力とモーメントが,片持ちはりの B 点
に大きさ同じで向きが逆に作用すると考えると,片持ち
はりのフリーボディダイアグラムは解図 14.2 となる。
解図 14.1 取っ手の FBD
解図 14.2 片持ちはり AB の FBD
解図 14-1 において,力のつり合いから
B B0P R R P (14.1)
また,B 点回りのモーメントのつり合いから,
B B02 2
l PlP M M (14.2)
次に,解図 14.2 において,力のつり合いから
A B A B0R R R R P (14.3)
また,A 点回りのモーメントのつり合いから,
A B B 0M R l M
上式を解いて,
A B B
2 2
M R l M
Pl PlPl
(14.4)
任意の位置 x の仮想断面を含む FBD は解図 14.3 と
なる。
CF
l-x
M
q
qa
l-a a
-qa(l-a/2)
-qa2/2
SFD
BMD
MB
RB
P
B
A
A
RARB
MB
B
MA
19
解図 14.3 仮想断面を含む FBD
力のつり合いから,
A A0F R F R P (14.5)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
A A 0M M R x (14.6)
上式を解いて,
A A
( )2 2
M M R x
Pl lPx P x
(14.7)
以上の結果から,SFD と BMD は解図 14.4 となる。
解図 14.4 SFD と BMD
【5.15】
≪解答例≫
問題では求められていないが,支持点での反力,SFD,
BMD 等のはりに関する一連の情報もここで解いておく。
まず,フリーボディダイアグラムは解図 15.1 となる。
解図 15.1 フリーボディダイアグラム
力のつり合いから,
B C 2R R P (15.1)
A 点回りのモーメントのつり合いから,
C ( 2 ) ( ) 0Pa R l a P l a
CR P (15.2)
式(15.2)を式(15.1)に代入して,
B C2R P R P (15.3)
SFD と BMD を描くために,3 区間に分けてせん断力
と曲げモーメントを求める。
(i) 0 x a
この区間の仮想断面を考えると解図 15.2 となる。
解図 15.2 第 1 区間の仮想断面の FBD
力のつり合いから,
0F P F P (15.4)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから
0M Px M Px (15.5)
(ii) a x l a
この区間の仮想断面を考えると解図 15.3 となる。
A
RA
F
M
x
MA
P
A B
Pl/2A
B-Pl/2
SFD
BMD
P P
A DB C
RB RC
P
A MF
x
20
解図 15.3 第 2 区間の仮想断面の FBD
力のつり合いから,
B 0F P R
B 0F P R (15.6)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから
B ( ) 0M Px R x a
( )M Px P x a Pa (15.7)
(iii) l a x l
この区間の仮想断面を考えると解図 15.4 となる。
解図 15.4 第 3 区間の仮想断面の FBD
力のつり合いから,
0F P F P (15.8)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから
( ) 0M P l x
( )M P l x (15.9)
以上を図示すると, SFD,BMD は解図 15.5 となる。
解図 15.5 SFD と BMD
次に,中央のたわみを求めていく。通常の方法では,
各区間に対するたわみの基礎式の微分方程式の一
般解を求め,境界条件や連続の条件から積分定数を
決定する。しかしながら,本問題は 3 つの区間に分か
れるため,積分定数は 6 個現れ 6 元連立方程式を解
く必要がある。手計算ではかなり大変な作業になるた
め,積分の形の工夫が必要である。ここでは,本問題
が左右対称であること,すなわち,真ん中ではたわみ
角は 0 であることを利用して,2 つの区間だけで解いて
みる。この場合,境界条件と連続の条件は以下のよう
になる。
1 0x a y で (15.10.1)
2 0x a y で (15.10.2)
1 2x a で (15.10.3)
2/ 2 0x l で (15.10.4)
第 1 区間,第 2 区間に対して,たわみの基礎式を求
め,解くと,
(i) 第 1 区間( 0 x a )
21 1
2
{( ) }
d y M Px
dx EI EIP
x a aEI
(15.11)
順次積分して,
P
AB
MF
x
x-a
RB
a
P
DFM
l-x
SFD
BMD
-P
P
A B C D
-Pa
a l-2a a
A B C D
21
11
21
1{ ( ) ( ) }
2
dy
dxP
x a a x a CEI
(15.12)
3 21
1 2
1{ ( ) ( )
6 2( ) }
P ay x a x a
EIC x a C
(15.13)
(ii) 第 2 区間( a x l a )
22 2
2
d y M Pa
dx EI EI (15.14)
順次積分して,
22 3{ ( ) }
dy Pa x a C
dx EI (15.15)
22 3 4{ ( ) ( ) }
2
P ay x a C x a C
EI (15.16)
式(15.10.1)と(15.10.2)を式(15.13),(15.16)に適用して,
2 0C , 4 0C (15.17)
式(15.10.4)を式(15.15)に適用して,
3 3( ) 0 ( )2 2
l la a C C a a
(15.18)
式(15.10.3)を式(15.12), (15.15)に適用して,
1 3 ( )2
lC C a a (15.19)
したがって,第 2 区間のたわみの式は,
2 ( )( )2
Pay x l a x a
EI (15.20)
中央部のたわみ Cy は,式(15.20)に / 2x l を代入す
して,
2C
( 2 )( )
2 2 8
Pa l Pa l ay a
EI EI
(15.21)
【5.16】
≪解答例≫
教科書 p.73 式(5.22)に従い,
1 1 2
1
1 1 2
1
1
1 1 1 1 2 10
1 1 2 2
2 21 1
1 0 21 1 2 2
2 2 21 1 2 1 2 1
1 1 2 2
2 21 1 2 1 2 2 2
1 1 2 2
1( [ ] [ ] )
2 2
{( ) }
2( )
2
2( )
A
h h h
h
h h hh
y dAy
A
y b dy y b dy
b h b h
y yb b
b h b h
b h b h h h
b h b h
b h b h h b h
b h b h
(16.1)
また,教科書 p.76 式(5.16)に従い,
1 1 2
1
1 1 2
1
2
2 21 1 2 1
3 3
1 2
3 311
3 321 2 1
3 2 211 1 1
3 2 222 2 1 2 1
3 31 1 2 2
1 1 1
2 2
[ ] [ ]3 3
{( ) }3
{( ) ( ) }3
( 3 3 )3
{ 3 ( ) 3 ( ) }3
( )3(
A
h y h h y
y h y
h y h h yy h y
I y dA
y b dy y b dy
y yb b
bh y y
bh h y h y
bh h y h y
bh h h y h h y
b h b hb h y h y
b h h
1 1 2
3 31 1 2 2
1 2 2 1 2 1 1
3 31 1 2 2
1 2 2 1 2 1 1 2 2
)( )
3( ){ ( ) }
3( ){ ( ) ( ) }
y h h y
b h b h
h y b h h h y b h y
b h b h
h y b h h h b h b h y
(16.2)
ここで,
2 21 1 2 2
11 1 2 22( )
b h b hh y
b h b h
22
2 2 1 2 1 1 2 2
2 21 1 2 1 2 2 2
2 2 1 2
2 21 1 2 2
( ) ( )
2( )
2
2
b h h h b h b h y
b h b h h b hb h h h
b h b h
したがって,
3 3 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2
( )
3 4( )
b h b h b h b hI
b h b h
(16.3)
≪別解≫
解図 16-1 に示すように,2 つの長方形に分けて考える。
解図 16.1 2 つの長方形から成る凸型断面
それぞれの長方形の面積を A1,A2 とすると,
1 21 2 1 1 2( ) ( )
2 2
h hy A A A h A
したがって,
1 1 1 2 2
1 2
1 1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
2 21 1 2 1 2 2 2
1 1 2 2
(2 )
2( )
(2 )
2( )
2
2( )
h A h h Ay
A A
h b h h h b h
b h b h
b h b h h b h
b h b h
(16.4)
また,それぞれの長方形の中立軸に対する断面 2 次
モーメントを I1,I2,全体の中立軸 z までの距離を d1,
d2 とすると,全体の中立軸 z に対する断面 2 次モーメ
ント Iz1,Iz2 は,平行軸の定理より,
21 1 1 1
321 1 1
1 1
3 221 1 1
1 1 1
31 1
1 1 1
( )12 2
( )12 4
( )3
zI I d A
b h hy b h
b h hy h y b h
b hy h yb h
(16.5)
22 2 2 2
322 2 2
1 2 2
3 222 2 2
1 1 2 2 2
32 2
1 1 2 2 2
( )12 2
{( ) ( ) )12 4
( )( )3
zI I d A
b h hh y b h
b h hh y h y h b h
b hh y h y h b h
(16.6)
したがって,凸型断面の全体の断面 2 次モーメントは,
1 2
31 1
1 1 1
32 2
1 1 2 2 2
3 31 1 2 2
1 1 2 2 2 1 1 2 2
( )3
( )( )3
3( ){( ) ( ) }
z z zI I I
b hy h yb h
b hh y h y h b h
b h b h
h y h h b h b h b h y
(16.7)
式(16.7)は式(16.2)と同一である。したがって,別解法
で解いても,解は最終的には式(16.3)となる。
【5.17】
≪解答例≫
典型的な片持ちはりの問題である。壁からの反力を
AR ,固定モーメントを AM として,フリーボディダイアグ
ラムを描くと解図 17.1 となる。
解図 17.1 全体のフリーボディダイアグラム
力のつり合いから,
A A0 100 NP R R P (17.1)
zd1
d2
z1
y
A
RA
P
B
MA
23
また,A 点回りのモーメントのつり合いから,
A A0 10 NmPl M M Pl (17.2)
次に,任意の位置 x で仮想断面を考え,仮想断面を
含む FBD を描くと解図 17.2 となる。
解図 17.2 仮想断面に働くせん断力とモーメント
解図 17.2 において,力のつり合いから,
A A0 100 NF R F R (17.3)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
A A 0M M R x
したがって,
A A ( )
100(0.1 ) Nm
M M R x P l x
x
(17.4)
以上から,SFD と BMD は解図 17.3 となる。
解図 17.3 SFD と BMD
断面形状は,一辺 a の正方形なので,その断面二次
モーメント zI は,
4 3 4
9
9 4
(10 10 )
12 1210
1012
0.8333 10 m
z
aI
(17.5)
BMD より,モーメントの最大値 maxM は, 0x で
max 10 NmM (17.6)
したがって, 0x の仮想断面における垂直応力は,
max9
9
10
0.8333 10
12 10 Nm
My y
I
y
(17.7)
上式より
0 0
0 0
y
y
で 引張応力
で 圧縮応力
したがって,引張最大応力ははり上面で,また,圧縮
最大応力ははり下面で生じ,その絶対値は上下面とも
等しく次の式(17.8)で与えられる。
9max
6 2
12 10 ( 0.01)
120 10 N/m 120 MPa
(17.8)
≪先端のたわみを求める問題≫
式(17.4)をたわみの基礎式に代入して,
2
2( )
d y M Pl x
dx EI EI (17.9)
順次積分して,
21
1( )
2
dy Px lx C
dx EI (17.10)
3 21 2
1( )
6 2
P ly x x C x C
EI (17.11)
境界条件は,左端( 0x )が固定端なので,
0 0
0 0
x
x y
で
で (17.12)
式(17.12)を式(17.10),(17.11)に適用して,
A
RA
F
M
x
MA
100 N
A B
A B
-10 Nm
SFD
BMD
24
1 0C , 2 0C (17.13)
たわみ角とたわみの式を整理して,
1( )
2
Pxl x
EI (17.14)
2 1( )
2 3
Pxy l x
EI (17.15)
したがって,曲げモーメントによる先端のたわみ M
は,式(17.15)に x l を代入して,
2 3
3 3
4 4
3
4 9
3
1( )
2 3 3
12 4
3
4 100 0.1
0.01 200 10
0.2000 10 m 0.200 mm
M
Pl Pll l
EI EI
Pl Pl
E a a E
(17.16)
一方,せん断力によるたわみは,せん断ひずみによる
変形量である。正方形も含む長方形断面の中立軸に
おけるせん断ひずみは次の式で与えられる。
3
2
F
A (17.17)
解図 17.3 の SFD より,本問題のせん断力は全長に渡
り一定であり,以下の値となる。
F P (17.18)
したがって,
2
2 9
6
3 3
2 23 100 0.1
2 0.01 80 10
1.875 10 m=1.88 μm
F
Pl Pll l
G AG a G
(17.19)
【5.18】
≪解答例≫
全体のフリーボディダイアグラムは解図 18.1 となる。
解図 18.1 全体のフリーボディダイアグラム
力のつり合いから,
A A0P R R P (18.1)
A 点回りのモーメントのつり合いから,
A A0Pa M M P a (18.2)
2 区間に分けて,たわみ曲線を求める。
(i) AB 間(第 1 区間) 0 x a
AB 間の仮想断面を含む FBD は解図 18.2 となる。
解図 18.2 AB 間の仮想断面を含む FBD
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
A A 0M M R x
A A
( )
M M R x
P x a
(18.3)
たわみの基礎式に代入して,
21
2( )
d y M Px a
dx EI EI (18.4)
順次積分して,
211 1
1( )2
dy Px ax C
dx EI (18.5)
3 21 1 2
1( )6 2
P ay x x C x C
EI (18.6)
y
x
P
MA
RA
ACB
x
MMA
RA
FA
25
この区間での境界条件は,
0x で 1 0 (18.7)
0x で 1 0y (18.8)
境界条件を適用することで,
1 0C , 2 0C (18.9)
したがって,
3 21
2 3
1( )6 2
1( )2 6
P ay x x
EIP a
x xEI
(18.10)
(ii) BC 間(第 2 区間) a x a b
BC 間の仮想断面を含む FBD は解図 18.3 となる。
解図 18.3 BC 間の仮想断面を含む FBD
仮想断面回りのモーメントのつり合いから,
0M (18.11)
たわみの基礎式に代入して,
22
20
d y M
dx EI (18.12)
順次積分して,
22 3( )
dy PC
dx EI (18.13)
2 3 4{ ( ) }P
y C x a CEI
(18.14)
AB 間のはりと BC 間のはりは繋がっているから,連続
の条件から,
x a で 1 2 (18.15)
x a で 1 2y y (18.16)
連続の条件を適用することで,
2
3 2
aC ,
3
4 3
aC (18.17)
したがって,
2 3
2
3 2
{ ( ) )2 3
{ ( )}3 2
P a ay x a
EI
P a ax a
EI
(18.18)
CF
l-x
M