ydad 4 funciones de varias variables - ivanacal | a ... · plano xy sobre el cual están definidas...

Y D A D 4 F u n c i o n e s de v a r i a s v a r i a b l e s

Huracán

4 . 1 0 Campos vectoriales I Introducción E l m o v i m i e n t o d e l v i e n t o o e l flujo d e fluidos p u e d e n d e s c r i b i r s e m e d i a n t e u n campo de velocidades e n e l q u e es p o s i b l e a s i g n a r u n v e c t o r e n c a d a p u n t o r e p r e s e n t a n d o l a v e l o c i d a d d e u n a partícula e n e l p u n t o . V e a l a FIGURA 4.10.1 a) y b). A d v i e r t a q u e , e n e l c a m p o d e v e l o c i d a d e s s o b r e p u e s t o a u n a i m a g e n d e satélite d e u n huracán e n l a f o t o a l m a r g e n , l o s v e c t o r e s m u e s t r a n c l a r a m e n t e l a rotación característica e n e l s e n t i d o c o n t r a r i o a l d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j d e l o s v i e n t o s d e n t r o d e u n área d e b a j a presión. L o s v e c t o r e s más l a r g o s c e r c a d e l c e n t r o d e l c a m p o i n d i c a n v i e n t o s d e m a y o r v e l o c i d a d q u e l o s d e l a p e r i f e r i a d e l c a m p o . E l c o n c e p t o d e u n campo de fuerza desempeña u n p a p e l i m p o r t a n t e e n mecánica, e l e c t r i c i d a d y m a g n e t i s m o . V e a l a figura 4 . 1 0 . 1 c ) y d). E n e s t a sección e s t u d i a r e m o s u n a n u e v a función v e c t o r i a l q u e d e s c r i b e a u n c a m p o d e v e c t o r e s , o campo vectorial, b i d i m e n s i o n a l o t r i d i m e n s i o n a l y l a conexión e n t r e l o s c a m p o s v e c t o r i a l e s y l a s i n t e g r a l e s d e línea.

^ \\/

i 4 v c) Campo de fuerza inversa

al cuadrado; la magnitud de la fuerza de atracción es más grande cerca de la partícula

a) Flujo de aire alrededor de un ala de avión: | \a | > | v¿ |

b) Flujo laminar de la sangre en una arteria; las capas cilindricas de sangre fluyen más rápido cerca del centro de la arteria

FIGURA 4.10.1 Ejemplos de campos vectoriales

d) Líneas de fuerza alrededor de dos cargas iguales positivas

I Campos vectoriales U n campo vectorial e n e l e s p a c i o b i d i m e n s i o n a l e s u n a función d e v a l o r e s v e c t o r i a l e s

F U , y ) = P(x,y)i + Q(x,y)j

q u e a s o c i a u n único v e c t o r b i d i m e n s i o n a l F ( x , y) c o n c a d a p u n t o (x, y) e n u n a región R e n e l p l a n o xy s o b r e e l c u a l están d e f i n i d a s l a s f u n c i o n e s c o m p o n e n t e s e s c a l a r e s P y Q. D e m a n e r a s i m i l a r , u n c a m p o v e c t o r i a l e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l e s u n a función

¥(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z )k

q u e a s o c i a u n único v e c t o r t r i d i m e n s i o n a l F ( x , y, z) c o n c a d a p u n t o (x, y, z) e n u n a región D d e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l c o n u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s xyz.

f?T37iHTSFl C a m p o vectorial en el espacio bidimensional

G r a f i q u e e l c a m p o v e c t o r i a l b i d i m e n s i o n a l F(JC, y) = —yi + xj.

Solución U n a m a n e r a d e p r o c e d e r c o n s i s t e s i m p l e m e n t e e n e l e g i r p u n t o s e n e l p l a n o xy y después g r a n e a r e l v e c t o r F e n c a d a p u n t o . P o r e j e m p l o , e n ( 1 , 1 ) dibujaríamos e l v e c t o r F ( l , 1 ) = —i + j .

P a r a e l c a m p o v e c t o r i a l d a d o e s p o s i b l e d i b u j a r d e m a n e r a sistemática v e c t o r e s d e l a m i s m a l o n g i t u d . O b s e r v e q u e | F | = V x 2 + y2, y p o r e l l o l o s v e c t o r e s d e l a m i s m a l o n g i t u d k d e b e n y a c e r a l o l a r g o d e l a c u r v a d e f i n i d a p o r + y2 = k\ e s t o es , e n c u a l q u i e r p u n t o s o b r e e l círcul o x2 + y2 = k2, u n v e c t o r tendría l a m i s m a l o n g i t u d k. P o r s i m p l i c i d a d v a m o s a e l e g i r círculos q u e t i e n e n a l g u n o s p u n t o s e n e l l o s c o n c o o r d e n a d a s e n t e r a s . P o r e j e m p l o , p a r a k = 1 , k = 2 t e n e m o s :

E n x2 + y2 = 1 : E n l o s p u n t o s ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( - 1 , 0 ) , ( 0 , — 1 ) , l o s v e c t o r e s c o r r e s p o n d i e n t e s j , —i, - j , i t i e n e n l a m i s m a l o n g i t u d 1 . E n x2 +y2 = 2: E n l o s p u n t o s ( 1 , 1 ) , ( - 1 , 1 ) , ( - 1 , - 1 ) , ( 1 , - 1 ) , l o s v e c t o r e s c o r r e s p o n d i e n t e s - i + j , - i - j , i - j , i + j t i e n e n l a m i s m a l o n g i t u d V2.

4 . 1 0 C a m p o s v e c t o r i a l e s 185

S o b r e x 2 + y2 = 4 : E n l o s p u n t o s (2, 0 ) , ( 0 , 2), (-t e s 2j, -2i, -2j , 2i t i e n e n l a m i s m a l o n g i t u d 2.

•2, 0 ) , ( 0 , -2), l o s v e c t o r e s c o r r e s p o n d i e n -

L o s v e c t o r e s e n e s t o s p u n t o s se i l u s t r a n e n l a FIGURA 4.10.2. •

E n g e n e r a l , e s c a s i i m p o s i b l e d i b u j a r c a m p o s v e c t o r i a l e s a m a n o y p o r e l l o d e b e m o s c o n f i a r e n tecnologías c o m o l a s d e u n S A C . E n l a FIGURA 4.10.3 h e m o s m o s t r a d o u n a versión g e n e r a d a p o r c o m p u t a d o r a d e l c a m p o v e c t o r i a l d e l e j e m p l o 1 . M u c h a s v e c e s c u a n d o l o s v e c t o r e s s e d i b u j a n c o n s u l o n g i t u d c o r r e c t a , e l c a m p o v e c t o r i a l l u c e a m o n t o n a d o c o n v e c t o r e s q u e se t r a s l a p a n . V e a l a figura 4 . 1 0 . 3 a ) . U n S A C escalará l o s v e c t o r e s d e m a n e r a t a l q u e l o s q u e se m u e s t r a n t i e n e n l o n g i t u d e s p r o p o r c i o n a l e s a s u l o n g i t u d v e r d a d e r a . V e a l a figura 4 . 1 0 . 3 b ) . E n l a figura 4 . 1 0 . 3 c ) se p r e s e n t a l a versión n o r m a l i z a d a d e l m i s m o c a m p o v e c t o r i a l ; e n o t r a s p a l a b r a s , t o d o s l o s v e c t o r e s t i e n e n l a m i s m a l o n g i t u d u n i t a r i a . A d v i e r t a q u e l a pequeña inclinación e n l a s r e p r e s e n t a c i o n e s d e l c a m p o v e c t o r i a l d e l a figura 4 . 1 0 . 3 se d e b e n a l h e c h o d e q u e e l S A C c a l c u l a y gráfica e l v e c t o r e n l a dirección a p r o p i a d a c o n e l p u n t o i n i c i a l ( s u c o l a ) d e l v e c t o r u b i c a d a e n u n p u n t o e s p e c i f i c a d o .

F ( 0 , 2)

F ( - 2 , 0)

FIGURA 4.10.2

bidimensional

Campo vectorial

del ejemplo 1

/<<<< ;

' . > * * > ' • ' • > , > v 1 » 1 * \ '

" • • • * » * T - , » > t t t t 1 • \ \ * 1 •* X l » , ( H l ) l '

• 1, V X \ X *

1 \ \ >> X > * V A . } \ > *

! \ \ v x >. -

s , , * « « » * t ; i , „ v V V < > / * ' : / • •

¿ ; v y x / / -± .P f-f'.

jr,** A ; / S -• y v v * " » * •

s , , * « « » * t ; i , „ v V V < > / * ' : / • •

¿ ; v y x / / -± .P f-f'.

jr,** A ; / S -

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

á) Campo vectorial sin escalamiento

FIGURA 4.10.3 Campo vectorial del ejemplo 1

- 2 - 1 0 1 2

b) Campo vectorial con escalamiento

V S / S ' — ' — -

/ /•/,*< S:-"^ •/////*•' / / / / I l i lW~

1 1 I I i \ \ \ \ \ N \ \ \

. \ \ \ \ V \ \ N ^ -

\ W . N " " - -• \ \ \ \ x —

. . < \ s \ S -, A \ \ \ \ " , A \ \ \ \ • • . w \ \ \ \ -v \ \ \ \ \ \ : v . \ \ M \ -t t t t t t t:

111 t t • ^ / / 1 1 1 1 • ^ • / / / / / / .

.—>AA// /-•^A.AA///:

A S S / / " _ —j*ÁA A •/*/'.

- 2 - 1 0 1 2

c) Campo vectorial normalizado

E n l a FIGURA 4.10.4 se i l u s t r a n d o s c a m p o s v e c t o r i a l e s e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l .

a ) F ( x , y , z) = yj b)¥(x,y,z) = xi + yi + zk FIGURA 4.10.4 Campos vectoriales en el espacio tridimensional

I Campos vectoriales gradiente A s o c i a d o c o n u n a función / d e d o s o t r e s v a r i a b l e s h a y u n c a m p o v e c t o r i a l . P a r a u n a función d e d o s v a r i a b l e s / ( x , y ) , e l g r a d i e n t e

V / ( x , y ) = / r ( x , y ) i + / v ( x , y ) j 0 ) d e f i n e u n c a m p o v e c t o r i a l b i d i m e n s i o n a l l l a m a d o campo gradiente d e / . P a r a u n a función d e t r e s v a r i a b l e s / ( x , y, z), e l c a m p o g r a d i e n t e t r i d i m e n s i o n a l d e / s e d e f i n e c o m o

V / ( x , y, z) = Ux, y, z)\ + Ux, y, z)j + fz(x, y , z)k. (2)

1 8 6 _ \ I A D 4 F u n c i o n e s de v a r i a s v a r i a b l e s

Campo gradiente EJEMPLO 2 D e t e r m i n e e l c a m p o g r a d i e n t e d e /(x, y) = x — y .

Solución P o r definición, e l c a m p o g r a d i e n t e d e fes

dxl dyl Vf(x,y) = ±i + - } 2xi - 2yj.

- 1 - V

- 2 - 1

FIGURA 4.10.5 de / y campo % ejemplo 4

O 1 2

Curvas de nivel

radíente d e / e n el

R e c u e r d e d e l a sección 4.1 q u e l a s c u r v a s d e f i n i d a s p o r f(x, y) = c , p a r a c a d e c u a d a , se d e n o m i n a n curvas de nivel d e / . E n e l e j e m p l o 5, l a s c u r v a s d e n i v e l d e / s o n l a f a m i l i a d e hipérb o l a s x 2 — y2 = c, d o n d e c e s u n a c o n s t a n t e . C o n l a a y u d a d e u n S A C , h e m o s s u p e r p u e s t o e n l a FIGURA 4.10.5 u n m u e s t r e o d e l a s c u r v a s d e n i v e l x 2 — y2 = c y v e c t o r e s e n e l c a m p o g r a d i e n t e V / ( x , y) = 2xi - 2yj. P a r a u n m a y o r énfasis v i s u a l h e m o s e l e g i d o g r a n e a r t o d o s l o s v e c t o r e s e n e l c a m p o d e m a n e r a q u e s u s l o n g i t u d e s s e a n l a s m i s m a s . C a d a v e c t o r e n e l c a m p o g r a d i e n t e V / ( x , y) = 2xi — 2yj e s p e r p e n d i c u l a r a a l g u n a c u r v a d e n i v e l . E n o t r a s p a l a b r a s , s i l a c o l a o p u n t o i n i c i a l d e u n v e c t o r c o i n c i d e c o n u n p u n t o (x, y) s o b r e u n a c u r v a d e n i v e l , e n t o n c e s e l v e c -

; t o r e s p e r p e n d i c u l a r a l a c u r v a d e n i v e l e n (x, y).

I Campos vectoriales conservativos U n c a m p o v e c t o r i a l F s e d i c e q u e e s conservativo s i F p u e d e e s c r i b i r s e c o m o u n g r a d i e n t e d e u n a función e s c a l a r <fi. E n o t r a s p a l a b r a s , F e s c o n s e r v a t i v o s i e x i s t e u n a función <¡) t a l q u e F = V</>. L a función 4> r e c i b e e l n o m b r e d e función potencial d e F .

1 ~~ ^ .... ' s / / / :

0.8 _ ^ »• y y s / / / : —• J4 -» / x / / / :

0.6 * * ^ s / / / / • / / : ~ J> * r / / / / / :

0.4 r , , • / / t t t t \ r * 4 / t t f f t t :

0.2 , 4 4 4 t i t t t l : i f t f :

0 T , i . < . 4 . í . t t t t t t : 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

FIGURA 4.10.6 Campo vectorial conservativo del ejemplo 5

Campo vectorial conservativo EJEMPLO 3 D e m u e s t r e q u e e l c a m p o v e c t o r i a l b i d i m e n s i o n a l F(x, y) = yi + xj e s c o n s e r v a t i v o .

Solución C o n s i d e r e l a función <f>(x, y) = xy. E l g r a d i e n t e d e l a función e s c a l a r </> e s

d<f>, d<¡>

dx + V = 3 * + f

C o m o V</> = F(x, y) c o n c l u i m o s q u e F(x, y) = yi + xj e s u n c a m p o v e c t o r i a l c o n s e r v a t i v o y q u e 4> e s u n a función p o t e n c i a l d e F . E l c a m p o v e c t o r i a l se p r e s e n t a e n l a FIGURA 4.10.6- •

D e s d e l u e g o , n o t o d o c a m p o v e c t o r i a l e s u n c a m p o c o n s e r v a t i v o a u n q u e m u c h o s c a m p o s v e c t o r i a l e s e n c o n t r a d o s e n física s o n c o n s e r v a t i v o s . ( V e a e l p r o b l e m a 43 e n l a sección " D e s a r r o l l e s u c o m p e t e n c i a 4.10".) P a r a l o s propósitos p r e s e n t e s , l a i m p o r t a n c i a d e l o s c a m p o s v e c t o r i a l e s c o n s e r v a t i v o s será e v i d e n t e e n l a s i g u i e n t e sección c u a n d o c o n t i n u e m o s c o n n u e s t r o e s t u d i o d e i n t e g r a l e s d e línea.

I Prueba para un campo conservativo H a y u n a f o r m a s e n c i l l a d e d e t e r m i n a r s i F e s c o n s e r v a t i v o . E l s i g u i e n t e t e o r e m a e s u n a p r u e b a p a r a u n c a m p o v e c t o r i a l c o n s e r v a t i v o q u e r e c u r r e a l a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s d e l a s f u n c i o n e s c o m p o n e n t e s d e F = P\ + Qj.

Teorema 4.10.1 P r u e b a p a r a u n c a m p o c o n s e r v a t i v o

S u p o n g a q u e F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j e s u n c a m p o v e c t o r i a l c o n s e r v a t i v o e n u n a región a b i e r t a R y q u e P y Q s o n c o n t i n u a s y t i e n e n p r i m e r a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s c o n t i n u a s e n R. E n t o n c e s

^ = * 2 ( 3 )

dy dx

p a r a t o d o (x, y) e n R. I n v e r s a m e n t e , s i s e c u m p l e l a i g u a l d a d (3) p a r a t o d o (x, y) e n u n a región R s i m p l e m e n t e c o n e x a , e n t o n c e s F = Pi + Qj e s c o n s e r v a t i v o e n R.

D E M O S T R A C I Ó N PARCIAL P r o b a m o s l a p r i m e r a m i t a d d e l t e o r e m a . S u p o n e m o s q u e l a s f u n c i o n e s c o m p o n e n t e s d e l c a m p o v e c t o r i a l c o n s e r v a t i v o F = Pi + Qj s o n c o n t i n u a s y t i e n e n p r i -

4 . 1 0 C a m p o s v e c t o r i a l e s 187

m e r a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s c o n t i n u a s e n u n a región a b i e r t a R. P u e s t o q u e F e s c o n s e r v a t i v o , e x i s t e u n a función p o t e n c i a l </> t a l q u e

d<¡> d<b F = Pi + Qj = V<¿ = - ^ i + -~i.

y * dx d y J

Así, P = d(f>/dx y Q = dcf>/dy. E n e s t e c a s o

dP _ d (d<t>\ = d24> dQ = d ídc¡)\ = d2c¡> dy dy\dxj dydx dx dx\dy J dxdy'

D e l t e o r e m a 4 . 3 . 1 , l a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s m i x t a s d e s e g u n d o o r d e n s o n i g u a l e s y p o r e l l o dP/dy = dQ/dx c o m o f u e d e m o s t r a d o . •

EJEMPLO 4 Empleo del teorema 4.10.1

E l c a m p o v e c t o r i a l c o n s e r v a t i v o F ( x , y) = y i + x j e n e l e j e m p l o 2 es c o n t i n u o y t i e n e f u n c i o n e s c o m p o n e n t e s c u y a s p r i m e r a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s s o n c o n t i n u a s e n t o d a l a región a b i e r t a R c o n s i s t e n t e e n t o d o e l p l a n o x y . C o n l a s i d e n t i f i c a c i o n e s P = y y Q = x se d e d u c e d e ( 3 ) d e l t e o r e m a 4 . 1 0 . 1 ,

dP= = dQ m

dy dx'

Empleo del teorema 4.10.1 EJEMPLO 5

D e t e r m i n e s i e l c a m p o v e c t o r i a l F ( x , y ) = ( x 2 — 2 y 3 ) i + ( x + 5 y ) j e s c o n s e r v a t i v o .

Solución C o n P = x2 - 2 y 3 y Q = x + 5 y , e n c o n t r a m o s

dP . 2 dQ

C o m o dP/dy # dQ/dx p a r a t o d o s l o s p u n t o s e n e l p l a n o , s e s i g u e d e l t e o r e m a 4 . 1 0 . 1 q u e F n o es c o n s e r v a t i v o . •

EJEMPLO 6 Empleo del teorema 4.10.1

D e t e r m i n e s i e l c a m p o v e c t o r i a l F ( x , y ) = —ye ^ i — xe x > j e s c o n s e r v a t i v o .

Solución C o n P = -ye y Q = -xe e n c o n t r a m o s

dP dy = xve — e ' =

dQ dx'

L a s c o m p o n e n t e s d e F s o n c o n t i n u a s y t i e n e n d e r i v a d a s p a r c i a l e s c o n t i n u a s . D e t a l m o d o , ( 3 ) s e c u m p l e e n t o d o e l p l a n o x y , q u e e s u n a región s i m p l e m e n t e c o n e x a . D e l i n v e r s o d e l t e o r e m a 4 . 1 0 . 1 c o n c l u i m o s q u e F e s c o n s e r v a t i v o . •

DESARROLLE SU COMPETENCIA Las r e s p u e s t a s de los p r o b l e m a s i m p a r e s c o m i e n z a n e n la página R E S - 1 4 .

= Fundamentos

E n l o s p r o b l e m a s 1 -6 , g r a f i q u e a l g u n o s v e c t o r e s r e p r e s e n t a t i v o s e n e l c a m p o v e c t o r i a l d a d o .

1 . F ( x , y ) = x i + y j 2. F ( x , y ) = - x i + y j 3. F ( x , y ) = y i + x j 4. F ( x , y ) = x i + 2 y j 5. F ( x , y ) = y j 6. F ( x , y ) = x j

E n l o s p r o b l e m a s 7 - 1 0 , a s o c i e l a figura d a d a c o n u n o d e l o s c a m p o s v e c t o r i a l e s e n á)-d).

a ) F ( x , y ) = - 3 i + 2 j b) F ( x , y ) = 3 i + 2 j c ) F ( x , y ) = 3 i - 2 j d) F ( x , y ) = - 3 i - 2 j

- i

- 2

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y


y y y y y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y


y y y y y y y y y y y y y y y y

'y y y y y

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

- 1 0 1

FIGURA 4.10.7 Campo vectorial del problema 7

8 8 . N I D A D 4 F u n c i o n e s de v a r i a s v a r i a b l e s

10.

2 • w v • v w ^ w ; w v W W V N w v v v v w v w w w ;

i • v w W W W ' w v w w w ! w v W ' W W

0 • v w w w w W W W . 0 w v w v WVW*» W V V w ; v w V W N ^ W V W W V

1 • v w w w ' w W W . V O w v \ \ \ \ \ ^ w w w v w w w w

2 v w w v • w w w ; -2 -1 0 1 2

12.

FIGURA 4.10.8 Campo vectorial del problema !

2

1

y y y y y y y y y y y y y y y • • V jSSVjS y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

. y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

- 2 - 1 0 1 2


N k V N » . N « . v » . - ' » . W > » . " v - v N < . > » . W V v » . N » . N » . v » . > v v » . v » . N » . > x N » . N « . v « . v . . N » . w w w v w w w w \ W N . V S N N . N . S S \ . V ^ \ .

W W - - » . v » . > i « . N » . W W > * . w

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - 2 - 1 0 1 2


E n l o s p r o b l e m a s 1 1 - 1 4 , a s o c i e l a figura d a d a c o n u n o d e l o s c a m p o s v e c t o r i a l e s e n a)-d).

11.

a) V(x,y, z) = b) F(x,y,z) = 0 V(x,y,z) = d) F ( x , y,. : ) =

2 - ^ » 1 ~ \

i \ • Z 0

-1

-2

JCÍ + j + k

14.


13.

z 0



E n l o s p r o b l e m a s 1 5 - 2 0 , e n c u e n t r e e l c a m p o g r a d i e n t e d e l a función/ d a d a .

15. f(x, y ) = g ( 3 x - 6y)2 16. f(x, y) = x - y + Ix e o s 5xy

17. f(x, y,z) = x t a n ~ ' y z 18. f(x, y,z) = x - x2yzA

19. f(x, y, z) = y + z - xe~y

20. f(x,y, z) - l n ( x 2 + 2 / + 3 z 6 )

E n l o s p r o b l e m a s 2 1 - 2 4 , a s o c i e e l c a m p o v e c t o r i a l c o n s e r v a t i v o d a d o F c o n u n a d e l a s f u n c i o n e s p o t e n c i a l e n a)-d).

FIGURA 4.10.11 Campo vectorial del problema

a) 4>(x,y) = \x2 + | y 3 - 5 b) <Kx, y) = x2 + b2

c) 4>(x,y) = \x2+ y2 - 4 d) 4>{x, y ) = 2x + b2 + l

2 1 . F(x, y) = 2xi + yj 22. F ( * , y ) = x\ + 23 . F(x, y) = 2 1 + y j 24. F ( x , y ) = xi + y2i

E n l o s p r o b l e m a s 2 5 - 2 8 , e l c a m p o v e c t o r i a l d a d o e s c o n s e r v a t i v o . M e d i a n t e e n s a y o y e r r o r , d e t e r m i n e u n a función p o t e n c i a l <fi p a r a F . 25. F(x, y ) = c o s x i + ( 1 - s e n y ) j

26. F(x,y) = e " T i - xe~yj

27. F(x,y,z) = i + 2yj - 1 2 z 2 k 28. F(x, y, z) = y V i + 2 x y z 3 j + 3 x y ¥ k

E n l o s p r o b l e m a s 2 9 - 3 6 , d e t e r m i n e s i e l c a m p o v e c t o r i a l d a d o es u n c a m p o c o n s e r v a t i v o . S i e s así, e n c u e n t r e l a función p o t e n c i a l 4> p a r a F .

29. F ( x , y ) = ( 4 x 3 y 3 + 3 ) i + (3x4y2 + l ) j

30. F(x,y) = 2xyH + 3y2(x2 + l ) j 31 . F(x, y) = y2 e o s x y 2 i - 2 x y s e n x y 2 j

32. F(x, y) = (x2 + y2 + \y\xi + yj)

33. F(x,y) = (x3 + y)i + (x + y3)j

34. F(x, y) = 2elyi + xe2yj

4.11 R o t a c i o n a l y d i v e r g e n c i a 1 8 9

35. F(x, y, z) = 2xi + (3y2 - z)j ~ >k

36. F( .v. y . z) = 2xy\ + (x2 - ze~y)j + (e~y - l ) k .

= P r o b l e m a s c o n c a i c u l a d o r a / S A C E n l o s p r o b l e m a s 3 7 - 4 2 . u t i l i c e u n S A C p a r a s u p e r p o n e r l a s gráficas d e l c a m p o g r a d i e n t e d e / y l a s c u r v a s d e n i v e l d e / s o b r e e l m i s m o c o n j u n t o d e e j e s c o o r d e n a d o s . 37. f(x. y) = x + 3 y 38. f(x, y) = x - y2

39. f(x. y) = s e n x s e n y 40. f(x, y) = s e n x + s e n y

41 . f{x, y) = eeos y 42. f(x, y ) = c o s ( x + y )

EE Piense en ello

43. T o d o c a m p o d e f u e r z a s im e r s o a l c u a d r a d o F = c r / | r | 3 , d o n d e c e s u n a c o n s t a n t e y r = v i - y j + ^ k , e s c o n s e r v a t i v o . D e m u e s t r e l o a n t e r i o r d e i e r m i n a n d o l a función p o t e n c i a l 4>(x, y , z) p a r a F .

44. ¿Dos f u n c i o n e s d i f e r e n t e s fy g p u e d e n t e n e r e l m i s m o c a m p o g r a d i e n t e ?

ydad 4 funciones de varias variables - ivanacal | a ... · plano xy sobre el cual están definidas...

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