z-0,2z-l - imt mines albi
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École des Mines d'Albi-CarmauxFormation Initiale 3ième année
Décembre 2003
AUTOMATIQUEANALYSE ET COMMANDE DES SYSTÈMES LINÉAIRES
CONTINUS OU ÉCHANTILLONNÉS(Notes de cours et TD autorisées)
- Les 5 exercices sont indépendants -
Les calculs doivent être détaillés au maximum.
Exercice 1 :
On considère un processus continu de fonction de transfert:
G(p) = 1
On réalise une commande numérique de ce système suivant le schéma de la figure 1.
u(t) 1 1 y(t)1 . Proce~UB 1
1.-- _mm___mmm mmm_m_._mm- --~--!
Lmmm mmm_m___m_~;~!mmm_1
ORDINATEUR
FIG. 1 - Processus continu dans une boucle numérique d'asservissement
On choisit un correcteur numérique de fonction de transfert:
C(z) = z-0,2z-l
1
On choisit une fréquence d'échantillonnage de 2, 5 Hz. \1.1) Calculer la fonction de transfert numérique ~~:~ en boucle fermée (FTBF).
Donner son gain statique (justifier le résultat).
1.2) Après avoir remarqué que la FTBF correspond à un deuxième ordre numérique,utiliser les abaques fournies en annexe1 pour déterminer:
a) le dépassement en réponse à un échelon,
b) l'instant du premier dépassement.
Exerc~ 2 :/
On considère le schéma de la figure 2.
CALCULATEUR
r------------1 1
1 e(kT) + E(kT) : T:J1 Gc(z) 1 :l1 lu(kT)
1 1
1
1 11-------------
BOZ
H G(p) ~~S(t)s(kT) 1 T
FIG. 2 -
Un calcul de correcteur numérique a conduit à l'équation récurrente suivante:
u(k) = u(k - 1) - e(k + 1) + €(k)
2.1) Calculer la fonction de transfert Gc(z) du correcteur numérique correspondant.
2.2) Expliquer pourquoi ce correcteur n'est pas utilisable.
1Les abaques utilisées devront être jointes à la copie.
2
Exercice 3 :
On considère le circuit électrique de la figure 3.
i(t) R--
u(t) 1
c
FIG.3 - ....
u(t) désigne la tension d'excitation du circuit.vc(t) désigne la tension aux bornes du condensateur.i(t) désigne le courant parcourant le circuit. Il sera considéré comme la sortie du système.
C..J.À -
On choisit comme vecteur d'état: x(t) = vc(t)...
u(. =-
3.1) Donner la représentation d'état du système correspondant au vecteur d'état choisi.
3.2) En déduire la fonction de transfert du système ~~.
.
.1.
,.\ t 11
J- =.u ,)- ~L(\\
f'
Exercice 4 :1J
On considèrele systèmeldiscr~dont une représentation d'état est donnée par :
x(k + 1) = Fx(k) + Gu(k)
avec:
F = [ -o~ 16 !1 ]
1ACalculer les pôles du système. Commentaire.
4.2) Calculer la commande par retour d'état qui permet d'obtenir un système en bouclefermée présentant 2 pôles égaux à Zl,2 = 0,5 :f:j 0, 5.
4.3) Calculer la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) correspondante. -
3
"'\
'\
Exercilé 5 :,On considère le système continu dont une représentation d'état est donnée par :
[ ~: ] = [ - ~ ~] [ ~: ] + [ ~ ] u
y = [1 0] [ ~~ ]
5.1) Ce système est-il commandable? Est-il observable?
On échantillonne ce système avec une période T.
5.2) Calculer la représentation d'état du système échantillonné correspondant.
\0 5.3) Quelle condition doit vérifier la période T pour garantir la commandabilité etl'observabilité du système échantillonné?
\D(%)
Dépassement indiciel D(%) =/("(,/;)
oy<o
o ..........--..-..Zo
y>o
r r~~or--r I------
"(
-80° -40" -20" 20" 40°
6
z-zoH(z)=(Z-Zl)(Z-Zt)
Temps du premier maximum na = f (Y.ç)
100"
--~:r:r:
na
Zo o1<0
o Zo1> 0
150"
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