z МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ · МАТЕМАТИКА:...

М А Т Е М А Т И К АЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ

Могилев 2016

Электронный архив

библиотеки

МГУ

имени А

.А. Кулешова

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени А. А. КУЛЕШОВА»

МАТЕМАТИКА: ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ

Учебно-методические материалы

Составители:Т. В. Гостевич, Л. В. Лещенко, В. В. Николаева, С. А. Цевелев

им А А К упеию ваН Г

Могилев МГУ имени А. А. Кулешова

2 0 1 6 .



МГУ

имени А


УДК 514 (075.8) ББК 22.15

М3 4

Печатается по решению редакционно-издательского совета МГУ имени А. А. Кулешова

Коллектив составителей:Т. В. Гостевич, JI. В. Лещенко,В. В. Николаева, С. А. Цевелев

Рецензенты:кандидат педагогических наук, доцент,

заведующий кафедрой педагогики и психологии МГОИРО Т. И. Когачевская;

кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры математики и информатики

МГУ имени А. А. Кулешова Б. Д. Чеботаревский

Математика: элементы геометрии : учебно-методические М34 материалы / составители: Т. В. Гостевич [и др.]. — Могилев : МГУ

имени А. А. Кулешова, 2016. — 52 с . : ил.ISBN 978-985-568-203-6Учебно-методические материалы по математике содержат

теоретические сведения, наборы задач для аудиторных и домашних заданий, тесты по следующим темам: простейшие геометрические фигуры на плоскости и их свойства, построение циркулем и линейкой, элементы аналитической геометрии, геометрические преобразования, многогранники. Для некоторых заданий приведены образцы решения и оформления. Издание может быть также использовано для организации самостоятельной работы студентов.

УДК 514 (075.8) ББК 22.15

© Госгевич Т. В., Лещенко Л. В., Николаева В. В., Цевелев С. А., составление, 2016

ISBN 978-985-568-203-6 ® имени А. А. Кулешова, 2016



МГУ

имени А


Тема 1. ПРОСТЕЙШИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ СВОЙСТВА

Правильность утверждения (теоремы) о свойствах той или иной геометрической фигуры устанавливается путем доказательства. Доказательство — это цепочка умозаключений, в которых посылками являются определения, аксиомы, ранее доказанные теоремы либо заключения предыдущих умозаключений. Доказать теорему — значит построить (найти) ее доказательство.

Пример 1.1. Докажите, что если отрезки, соединяющие середины сторон данного четырехугольника, взаимно перпендикулярны, то и диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.

Решение:Дано:

СABCD — четырехугольник; М, N, Р, К — середи

ны сторон АВ, ВС, CD и DA соответственно, M K 1M N ,M N 1 NP, NP 1 РК, РК1 KN.

Доказать: AC ± BD

А Доказательство:

средняя линия A ABC => MN || ACNN = NC

BM = MA

NN = NC'}=> средняя линия A ABD =» MK || BD MNL BD => - AC _L BD

дано: MK _L MN

1.1 Углы. Прямые углы

Угол

ГТупой

Две прямые

Совпадают

Перпендикулярные Неперпендикулярные



МГУ

имени А


Докажите признаки параллельности прямых:1. Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы

равны, то прямые параллельны.2. Если при пересечении двух прямых третьей соответствующие углы

равны, то прямые параллельны.3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних

углов равна 180°, то прямые параллельны.4. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.5. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они парал

лельны.

1.2 ТреугольникLABCAM — медианаВН— высотаCL — биссектриса угла СNM — средняя линияZA+ZB+ZC = №°.

В

Остроугольный Прямоугольный Тупоугольный

Треугольник

Разносторонний Равнобедренный

Равносторонний Равнобедренныйобщего вида

Докажите признаки равенства треугольникову1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответ

ственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

4



МГУ

имени А


2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

4. Если два угла и сторона, противоположная одному из них, одного треугольника соответственно равны двум углам и стороне, противоположной такому же углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

5. Если две стороны и медиана, проведенная из общей вершины данных сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной из общей вершины данных сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.

6. Если два угла и высота, проведенная из третьего угла, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла, другого треугольника, то такие треугольники равны.

7. Если сторона и проведенные к ней высота и медиана одного треугольника соответственно равны стороне и проведенным к ней высоте и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.

8. Если сторона и высоты, проведенные из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведенным из концов этой стороны, другого треугольника, то такие треугольники равны.

9. Если медиана и два угла, на которые она разбивает угол, одного треугольника соответственно равны медиане и двум углам, на которые она разбивает угол, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников:1. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соот

ветственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Докажите признаки равнобедренного треугольника:1. Если медиана треугольника совпадает с его высотой, то такой тре

угольник равнобедренный.2. Если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то такой

треугольник равнобедренный.3. Если в треугольнике две высоты равны, то такой треугольник равно

бедренный.

Докажите свойства равнобедренного треугольника:1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

5



МГУ

имени А


2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

4. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

5. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин при основании, равны.

1.3 Четырехугольник

Четырехугольник

ГТрапеция

I------------- 'Равнобедренная

--------- 1Прямоугольная

--------- \Четырехугольник

общего вида

Трапеция общего вида Параллелограмм

J i - IРомб Прямоугольник Параллелограмм

{--------- ------------------------- XРомб Квадрат Прямоугольник

общего вида общего вида

общего вида

Докажите признаки параллелограмма:1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то такой

четырехугольник — параллелограмм.2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,

то такой четырехугольник — параллелограмм.3. Если в четырехугольнике диагонали в точке пересечения делятся по

полам, то такой четырехугольник — параллелограмм.4. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то

такой четырехугольник — параллелограмм.5. Если в четырехугольнике сумма углов, прилежащих к каждой из двух

смежных сторон, равна 180°, то такой четырехугольник —►параллелограмм.

Докажите свойства параллелограмма:1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противопо

ложные углы равны.2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

6



МГУ

имени А


3. Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Докажите признаки ромба:1. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то

этот параллелограмм — ромб.2. Если в параллелограмме диагонали делят углы пополам, то этот па

раллелограмм — ромб.

Докажите свойства ромба:1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.2. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Докажите признаки прямоугольника:1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм —

прямоугольник.2. Если в параллелограмме все углы равны, то этот параллелограмм —

прямоугольник.

Докажите свойства прямоугольника:1. У прямоугольника диагонали равны.

Докажите признаки равнобедренной трапеции:1. Если в трапеции углы при основании равны, то она является равно

бедренной.2. Если в трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной.

Докажите свойства равнобедренной трапеции:1. В равнобедренной трапеции углы при основании равны.2. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Разные задачи:1. Две параллельные прямые пересекаются третьей. Докажите, что:а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны;б) биссектрисы соответственных углов параллельны;в) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

2. Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC и перпендикулярная AD, пересекает сторону АС в точке N. Докажите, чтоND \\АВ.

3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите, что углы ACD и BDC равны.

7



МГУ

имени А


4. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла О, пересекает стороны угла в точках А и В, а биссектрису в точке С. Докажите, что биссектриса угла делит отрезок АВ пополам.

5. Отрезки АС и BD пересекаются в точке О так, что АО - ОС. Известно, что AB II DC. Докажите, что OB = OD.

6. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = DO. Z CAD = Z BDA. Докажите, что Д А ОС = Д DOB.

7. На сторонах АВ и АС треугольника ABC отмечены соответственно точки Р и б так, что Z APQ = Z ABC. Докажите, что Z AQP = Z ACB.

8. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки Е й F так, что АЕ = CF. Докажите, что:

a) A BDE = A BDF\ б) Д ADE = Д CDF.9. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла А, пересекает стороны

угла в точках М и N. Докажите, что A AMN равнобедренный.10. Дан равносторонний треугольник ABC. На его сторонах АВ, ВС и СА

отложены соответственно равные отрезки АА\, BBt CCj. Докажите, что AAiB\Ci равносторонний.

11. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Известно, что Z ACD - Z BCD. Докажите, что A BCD равнобедренный.

12. Через середину О отрезка АВ проведена прямая CD, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что луч СО является биссектрисой угла А СВ.

13. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана MB. На продолжении медианы за точкой М отмечена точка D. Докажите, что Д AMD - A CMD.

14. Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.

15. В равнобедренном треугольнике ABC из вершин А и С проведены прямые AN и CN (N на ВС, М на АВ), которые образуют равные углы с основанием АС. Докажите, что MN || АС.

16. В треугольнике ABC через середину одной боковой стороны проведена прямая, параллельная основанию. Докажите, что эта прямая делит другую боковую сторону на две равные части.

17. Докажите, что если отрезки, соединяющие середины соседних сторон данного четырехугольника, равны, то и диагонали четырехугольника равны.

18. Докажите, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

19. Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медааной и высотой, проведенной к гипотенузе.

20. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: ą) Z ВАС = Z AĆD и Z ВСА = Z DAC;

б )АВ U CDh Z A = ZC .

8



МГУ

имени А


21. Через вершину А параллелограмма ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е, а продолжение стороны DC — в точке F. Докажите, что Д EFC — равнобедренный.

22. Докажите, что биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны между собой.

23. Из вершины тупого угла параллелограмма проведены высоты. Докажите, что острый угол между ними равен одному из углов параллелограмма.

24. Докажите, что если середины сторон квадрата последовательно соединить отрезками, то снова получится квадрат.

25. Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма, прилегающих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.

26. Докажите, что в четырехугольнике с непараллельными сторонами середины диагоналей и середины двух противоположных сторон являются вершинами параллелограмма.

27. Диагональ BD квадрата ABCD разделена точками Е й F на три равные части и вершины С и А соединены с точками деления. Докажите, что четырехугольник AECF — ромб.

28. В равнобедренной трапеции ABCD, где А В = CD, проведены диагонали АС и BD, которые пересекаются в точке О. Докажите, что:a) A AOD и А ВОС — равнобедренные; б) АЛОВ = A COD.

29. В трапеции ABCD (ВС || AD) проведена средняя линия MN. Е и F — точки пересечения средней линии с диагоналями АС и BD. Докажите, что

30. В данной равнобедренной трапеции диагонали являются биссектрисами ее острых углов. Докажите, что тупой угол трапеции равен тупому углу между диагоналями.

31. Докажите, что середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.

Тест 1. Геометрические фигуры и их свойства

1. Укажите истинные высказывания для рисунка:а) ломаная и прямая пересекаются в точках А ,С иЕ ;б) кривая и прямая пересекаются в точках А, С иЕ;в) ломаная и кривая пересекаются в точках Л, С и В;г) прямая и ломаная пересекаются в точках А, В и С.

2. Укажите правильное обозначение угла, изображенного на рисунке:г) Z ABC; А,б) Z ВАС; в )ZAC B.

9



МГУ

имени А


3. ABCD ба:

ромб. Укажите рисунок, на котором верно указаны углы ром-

4. Укажите набор отрезков, из которого нельзя составить треугольник:а) а = 5 см, b = 6 см, с = 7 см;б) а = 14,6 см, Ь = 7,9 см, с = 6,7 см;в) а = 1 см, 6 = 1 см, с = 0,9 см;г) а = 3 см, b = 3 см, с = 3 см.

В5. Укажите истинные высказывания:

а) если четырехугольник ABCD — квадрат, то АI Iчетырехугольник ABCD — прямоугольник; [у— I qб) не в каждом прямоугольнике диагонали равны;в) квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны;г) если в четырехугольнике ABCD диагонали равны, то д я

четырехугольник ABCD является квадратом. jx Tnl^——6. Укажите истинные высказывания: D С

а) любой равнобедренный треугольник является равносторонним треугольником;

б) некоторые прямоугольные треугольники являются равносторонними треугольниками;

в) любой равносторонний треугольник является равнобедренным треугольником;

г) существуют тупоугольные треугольники, которые являются равносторонними треугольниками.

7. Укажите истинные высказывания:а) в любом параллелограмме диагонали равны;б) диагонали любого параллелограмма пересекаются и точкой пересе

чения делятся пополам; д________ ив) диагонали параллелограмма ABCD / ^ Х ^ 7

взаимно перпендикулярны;г) у всех параллелограммов углы равны.

10



МГУ

имени А


Тема 2. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ

Перечислим основные задачи на построение, на которые будем ссылаться при выполнении более сложных задач.

1. На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.2. Отложить от данного луча угол, равный данному.3. Поделить данный угол пополам.

4. Поделить данный отрезок пополам.5. Дана прямая и точка на ней. Постро

ить прямую, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой.

6. Дана прямая и точка, которая не лежит на ней. Построить прямую, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой.

7. Дана прямая и точка, которая не лежит на ней. Построить прямую, которая проходит через данную точку и параллельная данной прямой.

Задачи на построение циркулем и линейкой обычно выполняются по схеме, которая состоит из четырех частей:

Анализ задачи — поиск способа решения задачи путем установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Анализ дает возможность составить план решения задачи.

Выполнение построения по намеченному плану.Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям

задачи.Исследование — выяснение вопроса о том, при любых ли данных зада

ча имеет решение и если имеет, то сколько их.В тех случаях, когда задача достаточно проста, некоторые этапы реше

ния пропускаются.Пример 2.1. Построить параллелограмм по двум смежным сторонам и

одной из диагоналей.Решение.

Дано. Три произвольных отрезка a, b u d .I-------------- 1 i---------------------------1 i---------------------- 1

a b d

Анализ. Допустим, что по этим данным параллелограмм ABCD построен. Пусть: AB = a, AD = b, BD = d.

Очевидно, что эта задача основывается на построении треугольника по трем сторонам (Д ABD). (Если за данную диагональ взять диагональ АС, то надо построить Д A DC). Затем Д ABD надо достроить до параллелограмма ABCD, что можно сделать несколькими способами.

11



МГУ

имени А


Построение.1) Проведем произвольную прямую и возьмем на нее произвольную

точку А.2) На данной прямой от данной точки А отложим отрезок AD, равный

отрезку b (задача 1). Получим точку D.3) (Рроводим окружность радиуса а с центром в точке А.4) Проводим окружность радиуса d с центром в точке D.5) Точку В пересечения окружностей соединяем с точками А и D. По

лучим A ABDПримечание. Построение треугольника

ABD по трем сторонам не всегда имеет решение.

Если A ABD построен, достроить его до параллелограмма можно разными способами.

Способ 1.6) От луча BD отложим Z CBD, равный

Z ADB (задача 2).7) От луча BD отложим Z В DC, равный

Z ABD (задача 2).8) Лучи ВС и DC пересекаются в точке

С. Получается параллелограмм ABCD.

D

Способ 2.6') Проводим окружность с центром В и

радиусом AD.7’) Проводим окружность с центром D и

радиусом А В.8') Построенные окружности пересекаются в точке С. Получается па

раллелограмм ABCD.Способ 3.6") Поделим отрезок BD пополам (задача 4). Получим точку О.7”) Проведем луч АО и отложим отрезок ОС, равный отрезку АО (зада

ча 1).8”)ABCD — искомый параллелограмм.

Доказательство.

нию).

Для способа 1.Поскольку Z ADB = Z DBC => AD 11 BC Z ABC = Z BDC => AB \ \ DC ABCD — параллелограмм (по определе-

12



МГУ

имени А


Доказательство.Для способа 2.

Поскольку ВС = AD и DC = AB, то ABCD—параллелограмм (по признаку)

Доказательство.Для способа 3.А О — ОС 1 — точка О — точка ВО = OD J

пересечения диагоналей четырехугольника, в котором они делятся пополам. Значит, ABCD — параллелограмм (по признаку).Исследование. Задача имеет одно решение, если можно построить

A ABD. Если Д ABD построить нельзя, то задача не имеет решений.Разные задачи:1. Дан треугольник ABC. Постройте:а) биссектрису угла А;б) медиану ВМ\в) высоту СН;г) среднюю линию.2. Постройте угол, равный а) 45°; б) 22°30'.3. К данному отрезку Проведите серединный перпендикуляр.4. На стороне ВС треугольника ABC постройте точку, равноудаленную

от вершин А н С.5. Постройте треугольник, если даны:а) две стороны и угол между ними;б) сторона и два прилежащих к ней угла;в) три стороны.6. Постройте равносторонний треугольник по данной стороне..7. Постройте равнобедренный треугольник, если даны:а) основание и угол при основании;б) основание и боковая сторона;в) основание и высота;г) основание и медиана, проведенная к основанию;д) боковая сторона и угол, противолежащий основанию;е) боковая сторона и угол при основании.8. Постройте прямоугольный треугольник, если даны:а) катет и прилегающий к нему острый угол;б) катет и противолежащий острый угол;в) гипотенуза и катет;г) гипотенуза и острый угол;д) острый угол В и биссектриса BD;е) катет и высота к гипотенузе;ж) катет и сумма другого катета и гипотенузы.9. Для данного треугольника постройте:а) вписанную в него окружность;

13



МГУ

имени А


б) описанную около него окружность.10. На расстоянии d проведите прямую, параллельную данной.11. Дан треугольник ABC с прямым углом А. На стороне АВ постройте

точку М, которая находится на расстоянии AM от прямой ВС.12. Постройте параллелограмм:а) по стороне и двум диагоналям;б) по двум сторонам и углу;в) по диагоналям и углу между ними.13. Постройте ромб по диагонали и противоположному углу.14. Постройте равнобедренную трапецию ABCD:а) по основанию AD, углу А и боковой стороне АВ;б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD.15. Постройте прямоугольную трапецию по основаниям и боковой сто

роне, перпендикулярной к основаниям.16. Постройте трапецию:а) по основаниям и боковым сторонам;б) по основаниям и диагоналям.17. Постройте треугольник:а) по стороне, медиане, проведенной к одной из двух других сторон,

и уг лу между данными стороной и медианой;б) по стороне, прилегающему к ней углу и биссектрисе этого угла;в) по стороне, прилегающему к ней углу и высоте, проведенной к этой

стороне;г) по боковой стороне, углу при вершине и медиане к другой боковой

стороне;д) по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла;е) по стороне, высоте, проведенной к ней, и медиане, проведенной к од

ной из двух других сторон.

Тема 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

Отрезок, его длина и середина.Пусть две точки заданы своими координатами: А (хА\ уА) и В (хв\ ув),

тогда:а) расстояние между точками А и В (либо длина отрезка АВ) находится

по формуле

АВ = ^ ( хв - хлУ +(Ув ~Ул ) г ;

б) середина отрезка АВ имеет координаты:т _ * < + * * . . . Ул+У*Д . — --------- Iж у — ---------

2 214



МГУ

имени А


1. Найдите расстояние между двумя точками: А (5; 2) и В (1; - 1).2. Даны вершины треугольника: А (3; 2), В ( - 1; - 1) и С (1; - 6). Найди

те длину его сторон.3. На оси ординат найдите точку, которая находится от точки А (4; - 6)

на расстоянии 5.4. Найдите точку, равноудаленную от трех данных точек А (2; 2),

В (- 5; 1) и С (3; - 5).5. Даны вершины треугольника: А (3; - 7), В (5; 2) и С ( - 1; 0).Найдите: а) середины его сторон;

б) длины медиан.Уравнение прямой.1. Ах + By + С = 0 — общее уравнение прямой.2,у = кх + b — уравнение прямой с угловым коэффициентом.3 -У = У а + к(х - хА) — уравнение прямой, проходящей через точку

А (хА,уА).

4. * *А-= — уравнение прямой, проходящей через точки*в-Хл Ув-Ул

А (ха',Уа) н В (хн-,ув).к - Ув-Ул В этом случае К ~ У _ YЛВ ЛА

5. Найдите точку, в которой прямая, проходящая через две точки: А (4; 1) и В (- 2; 4), пересекает ось абсцисс.

6. На прямой, которая проходит через точки А (- 3; 5) и В ( - 1; 2), найдите точку с абсциссой л: = 5.

7. Найдите угловой коэффициент прямой и длину отрезка, который она отсекает на оси ординат:

2 х - у + 3 = 0;5 х + 2 у -8 = 0;Зх + 8у + 16 = 0.8. Прямая проходит через точки Р (2; - 8) и М (- 1; 7). Найдите угловой

коэффициент прямой и отрезок, который она отсекает на оси ординат.9. Даны вершины треугольника: А (4; 6), В (- 4; 0), С (— 1; - 4). Запиши

те уравнения:а) трех его сторон;б) медианы, проведенной из вершины С.

3.1 Взаимное размещение двух прямых на плоскости

Пусть даны две прямые. Их уравненияА іх + Віу + Ci = 0 либо у = k\X +bt — первая прямая;А 2х + В?у + С2 = 0 либо у = к2х + Ъг — вторая прямая.

15



МГУ

имени А


Тогда при условии

А

В^ ф jj- либо к \* к 2 — прямые пересекаются;

А в Q= —1L * —11 либо к\ = кг и bi *■ Ь2 — прямые параллельны;

ą ą С2Л В С3) — = -J- = —*- либо ki = кг и Ь\ = Ъ2 — прямые совпадают;Ą В2 с г

4) А \А 2 = -В \В 2 или к\-к2 = -1 — прямые перпендикулярны.Точка пересечения прямых есть решение системы

jĄ jc + ą ^ + c ,=0

\ а2Х+В2у +С2 =0.1. Треугольник задан уравнениями своих сторон: у — 1 = 0, х - 2у = 0 и

х = 0. Найдите вершины треугольника.2. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку пересече

ния прямых - З х и у = -2 х + 5 и точку А (2; - 1).3. Даны стороны четырехугольника х - у = 0, х + Зу = 0, х - у - 4 = 0,

Зх + у - 12 = 0. Найдите его диагонали.4. Напишите уравнение прямой, которая проходит через начало коорди

нат и: а) параллельна прямойу= 4дс — 3;_х

б) перпендикулярна прямой У — ~ .

5. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку А (3; - 1) и параллельна:

а) оси абсцисс; б) оси ординат;в) биссектрисе первого координатного угла;г) прямой у = Зх + 7; д) прямой 2х + Зу - 6 = 0.6. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку А (- 1; 4)

и перпендикулярна:а) оси абсцисс; б) оси ординат;в) биссектрисе первого координатного угла;г) прямой у = - 2х + 5; д) прямой 6х - 4у - 9 = 0.7. Даны вершины треугольника: А (4; 6), В (- 4; 0), С (- 1; - 4). Напишите

уравнение высоты, проведенной из вершины А на сторону ВС.8. Даны вершины треугольника А (- 1; - 2), В (3; - 1), С (0; 4). Напишите

уравнения прямых, которые проходят через каждую из этих вершин параллельно противоположной стороне.

9. В треугольнике известны сторона АВ: 4х + у - 12 = 0, высота ВН: 5х - 4у - 15 = 0, высота AM: 2х + 2у - 9 = 0. Напишите уравнения двух других сторон и третьей высоты.

10. Треугольник задан уравнениями своих сторон:х + 2у + 3 = 0, Зх — 7у + 9 = 0 и 5х - Зу — 11 = 0.

Проверьте, что его медианы (высоты) пересекаются в одной точке.

16



МГУ

имени А


3.2 ОкружностьУравнение окружности с центром О (х0, Уо) и радиусом R:( х - Х о )2 + ( у - у о ) 2 = ^ .1. Как расположены точки: А (- 3; 0), В (5; 0), С (4; 2), D (2; 7), Е ( - 4; 6),

F (3; - 1), G (- 2; 3) относительно окружности (х + I)2 + (у - 2)2 = 25?2. Запишите уравнение окружности, в которой:а) центр (2; - 5) и R = 4;б) центр (- 3; 4) и она проходит через начало координат;в) центр (0; 4) и она проходит через точку (5; - 8).3. Напишите уравнение окружности, если известны координаты концов

одного из ее диаметров AB: А (1; 4), В ( - 3; 2).4. На оси абсцисс найдите центр окружности, которая проходит через

точки А (2; 3), В (5; 2). Напишите уравнение этой окружности.5. Напишите уравнение окружности, которая проходит через точки

(3; 0) и (-1; 2), зная, что ее центр лежит на прямой х - у + 2 = 0.6. Напишите уравнение окружности, описанной около треугольника,

вершины которого имеют координаты:а) (7; 7), (0; 8), (-2 ; 4);б) (0; 4), (1; 2), (3; - 2).7. Напишите уравнение окружности, зная, что она касается оси ОХ в

начале координат и пересекает ось OY в точке А (0; 4).8. Окружность касается двух осей координат и проходит через точку

А (2; 0). Запишите уравнение окружности.9. Дана окружность (х - 1) + (у -2 )2 - 25. Запишите уравнение прямой,

которая касается этой окружности в точке (5; 5).10. Как расположена относительно окружности х2 + у2 = 36 прямая:а )х -2 у + 5 = 0 ; б) 5 х - 12у + 26 = 0;в) Зх - 4у + 30 = 0; г) х + у -1 7 = 0.

Разные задачиПри решении более сложных задач надо

ссылаться одновременно на несколько более простых задач.

Пример 3.1. Зная две противоположные вершины ромба: А (8; - 3) и С (10; 11) и длину его стороны А В = 10, найти координаты остальных вершин ромба.

Решение. Поскольку в ромбе все стороны равны, то АВ ~ ВС = 10.

Пусть координаты точки В (х; у), тогда можно составить два уравнения с двумя переменными:

^ (х -8 )2+ (у + 3)2~=10 (АВ); >/(х -1 0 )2+ О '-11)2 =10 (ВС)Так как координаты точки В удовлетворяют двум уравнениям, они будут

являться решением системы уравнений.17



МГУ

имени А


| ( л - 8)2 + (_у + 3)2 =10

[(jc-10)2 + ( j / - l l)2 = 10.Решаем эту системуj x 1 -16х + 64 + у 2 + 6у + 9 = 100

(л2-2 0 * + 100 + / - 2 2 ^ + 121 = 100 4jc-36 + 28у- 112 = 0; ^4х + 2%у- 148 = 0; х + 7 у -3 7 = 0; х = 3 7 -7 у.(37 - 7 у - 8)2 + (у + З)2 = 100;(29 - 7у)2 + (у + 3)2= 100;(292-1 4 ■ 29у + 7 9 / + / + 6у + 9 - 100 = 0;5 0 /+ 400^ + 750 = 0;/ - 8у + 15 = 0; у = 4± V16-15 = 4 ± 1; у = 5 либо у = 3; jc = 2 либодс= 16.Получили две точки: (2; 5) и (16; 3).Если бы мы рассуждали относительно вершины D, получилась бы такая

же система уравнений. Поэтому можно считать, что мы одновременно нашли и координаты точки D.

Когда задача решена аналитически, можно сделать чертеж в системе координат.

18



МГУ

имени А


1. Проверьте, что прямые у = Зх - і , х - 7 у = 7 у й х + у = 7 являются сторонами равнобедренного треугольника.

2. Дана вершина острого угла прямоугольного треугольника А (5; 7) и уравнение противоположного катета 6х + 4у — 9 = 0. Напишите уравнение другого катета.

3. Напишите уравнения сторон квадрата, если известны координаты одной из вершин А (2; - 4) и точки пересечения диагоналей М (5; 2).

4. Даны две точки А ( - 3; 1) и В (3; - 7). На оси ординат найдите такую точку М, что прямые AM и ДМ будут взаимно перпендикулярны.

5. Найдите координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: 2 х - 5 у - 1 = 0 и 2х - 5>' - 34 = 0 и уравнение одной из его диагоналей х + Зу - 6 = 0.

Тест 2. Элементы аналитической геометрии

1. Укажите уравнение прямой, проходящей через точки С (0; 1) и D ( - 2; 0).a) 2„v-x-2 = 0;б) 5х - Зу + 3 = 0;b )у - 2х = 0;г) Зх +у+ 6 = 0.

2. Укажите уравнение прямой, проходящей через точку А (1; 1) и имеющую угловой коэффициент к = 1.a ) y = l - x ; б ) у = х;в)у = х + 2-,г)у = 2 х -1 .

3. Укажите прямую, параллельную прямой 2х + Зу- 7 = 0.а) Зх + 2у - 7 = 0;б) х + Зу - 2 = 0;в) 2х — у — 7 = 0;г) 2х + Зу + 9 = 0.

4. Укажите прямую, перпендикулярную прямой З х - у - 3 = О.а)х + Зу - 17 = 0;б) 2 х - у + 4 = 0;в) х - Зу + 2 ~ 0; т)х+у~ 0.

5. Укажите точку, лежащую на прямой у = 8х - 6.а) (1; 3);б) (0; 6);в) (— i ; —14);г) (2; 9).

19



МГУ

имени А


6. Укажите точку, не лежащую на прямой у = - х + 4.

а) (0; 4);б) (2; 6);в) (-4 ; 2);г) (-* ; 0).

7. Найдите координаты точки пересечения прямой 4 х - 3 у - 10 = 0 с осью

8. Найдите координаты точки, пересечения прямой 2х + 3_у-4 = 0 с осью

в)(0;0);г )(-1 ;2 ).

9. Найдите координаты точки пересечения прямых ,у = 6д:-5и_у = :*: + 7.a )(0 ;-5 );б) (1; 1);в) (2,4; 9,4);г) (1,5; 4).

10. Укажите уравнение прямой, проходящей через точку А (2; 3) и параллельной прямой у = 2х + 5.b ) У ~ х + 1;б)у = 1 х -3 ;в)у = Зх + 2;г)у = 2 х - 1.

11. Укажите уравнение прямой, проходящей через точку В (- 3; 2) и перпендикулярной прямой 1х + 4у - 11 = 0.а )2 х -3 ^ + 1 2 = 0;б) 4х - 1у + 26 = 0;в) 4 х -7 у + 11=0;г)2у- 3х = 0.

12. Найдите расстояние от точки М (- 6; 3) до прямой Здг - 4у + 15 = 0.

абсцисс.

в) (0; 0);г) ( - 2; 0).

ординат.а) (2; 0);

а)3б)4в) 5г) 1.

20



МГУ

имени А


2 у -2 = 0 и у = ^ х + 3 равен:

Тема 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

4.1 Геометрическое преобразование. Перемещение плоскости

Определение. Геометрическим преобразованием / точечного множества М называется взаимно-однозначное отображение множества М на себя: /

М — ► МОпределение. Взаимно-однозначное отображение фигуры на себя на

зывается геометрическим преобразованием фигуры.Таким образом, геометрическое преобразование плоскости П — это

отображение плоскости на себя, при котором каждой точке плоскости П соответствует только одна точка этой же плоскости и каждая точка плоскости П является образом только одной точки этой же плоскости.

Если фигура Ф при преобразовании/ плоскости П перешла в фигуру Ф', то Ф — прообраз фигуры Ф', Ф' — образ фигуры Ф: / (Ф) = Ф'.

Определение. Если / — преобразование плоскости П, то обратным преобразованием плоскости П по отношению к преобразованию / называется такое преобразование / что / ~](А) = В тогда и только тогда, когдат = л .

Определение. Если при преобразовании/ каждая точка плоскости остается неподвижной (совпадает со своим образом), то такое преобразование называется тождественным (или единичным) и обозначается Е.

f= E = V A (f(A )= A ).Определение. Последовательное выполнение двух преобразований / и g

называется их композицией.Обозначается так: g о f

(g o f) (A ) = g(f{A)) = g(B )±C .Определение. Перемещением (изометрией) плоскости называется та

кое преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между точками.V А, В е П (Ai =f(A) л Bi =f(B) id A\Bi - AB).

1. Какие из следующих систем определяют геометрическое преобразование плоскости?

ІЗ.Угол между прямыми х -

а) 0;

о *

\ я г) - •' 2

21



МГУ

имени А


Учитывайте, что (х; у) - координаты дайной точки, а (У; / ) — координаты ее образа.

2. Геометрическое преобразование переводит точку А(х; у) в точку А' (*';/)■

а) Найдите координаты образов точек: А ] (2; 3), Аг ( - 2; 3), А3 (2; - 3),

А4 ( - 2, - 3), Л 5 (- 4,4) при условии, что 1) | * ’ ; 2) -Г ^х + у[у' = 2у + Х [у' = - х - у + 1.

б) Запишите преобразование, обратное данному, и найдите прообразыточек: Л, (3; 5), Л2(- 3; 5), (3 ;- 5), Л4 (4; - 4).

3. Геометрическое преобразование плоскости задано равенствами:fx' = 2 x - y + l

\ у ' = х + 2 у - 3

а) Найдите образ квадрата A BCD с вершинами А (1; 3), В (1; 6), С (4; 6), D (4; 3). Является ли этот образ квадратом?

б) Запишите преобразование, обратное данному.в) Найдите образ квадрата ABCD при обратном преобразовании. Явля

ется ли этот образ квадратом?4. Найдите композиции /■ о / 2 и / 2 о f преобразований плоскости

. |У = 2лг-Зу + 4, (х' = Зх + у - 2 ,f ' : Ь . , Л : г ,- 2 х + у - 3 . [у = х - у + 2.

5. Докажите, что преобразования плоскости:„ (х' = у, [х ' = -v , (х = - х , [х’ = х -6, fx ’ = x + 2,

а) , ; б) ; в) ; г) ; д) \[ у = х . [ у = х . [у = - у . [ у ^ у + 3 . | ^ = у - з .

являются перемещениями.6. Нарисуйте произвольный треугольник. Постройте его образ при не

котором перемещении плоскости. Сколько решений имеет задача? Назовите общее свойство всех образов данного треугольника.

4.2 Осевая симметрияОпределение 1. Осевой симметрией с осью / называется такое перемеще

ние плоскости, при котором все точки прямой / остаюЛя на месте, а полуплоскости, на которые прямая / разбивает плоскость, отображаются одна на другую.

Осевая симметрия с осью 1 обозначается Si:S,

ф —► ф , или Si (Ф) = Ф[ и читается:



МГУ

имени А


«фигура Ф] — образ фигуры Ф при осевой симметрии с осью /» или«фигура Ф] симметрична фигуре Ф относительно оси /».

Построение симметричных точек (по определению 1)Дано: I — ось симметрии, точка X g I.Найти: Х\ = Si (X).Решение. Пусть а и (3 — полуплоскости с границей / и X е а. Тогда X)

будет принадлежать р. Выбираем на оси / две произвольные точки А и В. По определению перемещения имеем: АХt = АХ, ВХ\ = ВХ. Значит, точки X и Х\ одновременно лежат на двух окружностях: Окр,(Л, АХ) и Окр2(В, ВХ), т. е. являются точками пересечения этих окружностей.

Чтобы построить образ точки X при осевой симметрии относительно оси I, нужно выполнить следующие действия:

1) отметить на прямой / две произвольные точки А и В;2) провести две окружности: Окр.(Л, АХ) и Окр.(В, ВХ);3) отметить точки пересечения окружностей;4) X i - общая точка окружностей, лежащая в плоскости р.

л ' - . а

\ / В V’

. . . 'Х у '" - -

Определение 2. Осевой симметрией с осью / называется такое преобразование плоскости, при котором точки прямой / отображаются на себя, а каждая точка X одной полуплоскости отображается на точку X, другой полуплоскости так, что отрезок ХХ\ перпендикулярен прямой I и делится ею пополам.

Построение симметричных точек (по определению 2)h Чтобы построить образ точки X при осевой симмет-

X рии относительно оси /, нужно выполнить следующиедействия:

I 1) построить прямую U, проходящую через точку X,q такую что L 1;

2) отметить точку О = l\ п /;1 3) отложить на прямой /] отрезок ОХ\ = ОХ,

4) Х\ — образ точки X.

При построении образов фигур, составленных из прямых и их частей, используются свойства этих фигур. Поэтому:

• для построения образа отрезка достаточно построить образы его концов;

23



МГУ

имени А


• для построения образа луча достаточно построить образ его начала и еще одной произвольной точки;

• для построения образа прямой достаточно построить образы двух ее произвольных точек;

• для построения образа многоугольника достаточно построить образы его вершин.

Координатное задание осевой симметрииЕсли на плоскости выбрана прямоугольная система координат, то:

• точке М (X,у) симметрична относительно оси абсцисс точка М\ (х, -у);• точке М (х, у) симметрична относительно оси ординат точка М2 (- х, у);• точке М (X, у) симметрична относительно прямой х = у точка Мг (у, х).

7. Дана прямая / и точка А, не лежащая на этой прямой. Постройте точку А' = Si (А), пользуясь только циркулем.

8. Возьмите произвольные точки А и В. С помощью циркуля и линейки постройте их ось симметрии. Сколько решений имеет задача?

9. Даны 3 точки А, А', В. Известно, что А' = Si (А). Постройте образ точки В при этой симметрии. Рассмотрите 2 случая:.

а) А, А', В лежат на одной прямой;б) А, А', В не лежат на одной прямой.10. Даны 4 точки А, В, С, D. Известно, что А - Scd(B). Каким может

быть взаимное расположение точек А, В, С, D111. Какие точки переходят в себя при осевой симметрии относительно

прямой /?12. Какие прямые переходят в себя при осевой симметрии относительно

прямой /?13. Какие окружности переходят в себя при осевой симметрии относи

тельно прямой /? *14. Какие лучи переходят в себя при осевой симметрии относительно

прямой /?15. Какие треугольники переходят в себя при осевой симметрии отно

сительно прямой /?

У

24



МГУ

имени А


16. Какие четырехугольники переходят в себя при осевой симметрии относительно прямой /?

17. Существует ли невыпуклый четырехугольник, который имеет ось симметрии?

18. Какие большие буквы русского (белорусского) алфавита имеют:а) одну ось симметрии; б) две оси симметрии?19. Всегда ли два равных непараллельных отрезка являются симмет

ричными относительно некоторой прямой?20. С помощью циркуля и линейки постройте оси симметрии геометри

ческих фигур: отрезка, угла, равнобедренного треугольника, равностороннего треугольника, прямоугольника, квадрата, ромба, равнобедренной трапеции, правильного шестиугольника, пары параллельных прямых, пары перпендикулярных прямых, пары пересекающихся (неперпендикулярных) прямых. Сколько осей симметрии имеют эти фигуры?

21. Известно, что Sp (А) = А'. Постройте прямую а = Sp (а).• А '

23. Дан треугольник ЛВС. Постройте точку, симметричную точке В относительно прямой АС. Рассмотрите три случая:

а) угол А острый;б) угол А прямой;в) угол А тупой.24. Дан треугольник ABC. Постройте треугольник, симметричный дан

ному относительно:а) стороны АВ;б) средней линии треугольника;в) прямой вне треугольника;г) прямой, проходящей через вершину В;д) прямой, содержащей биссектрису угла ВАС;е) прямой, содержащей высоту, проведенную из угла ABC;ж) прямой, содержащей медиану, проведенную к стороне ВС.

25



МГУ

имени А


25. Постройте треугольник ABC, у которого АВ = 7 см, ВС = 6 см, АС = 5 см. Отметьте на АВ точку X (ВХ = 2 см) и на АС точку У (CY = 3 см). Постройте образ треугольника ABC при симметрии с осью XY. Укажите фигуру, которая является пересечением (объединением) данного треугольника и его образа.

26. Постройте квадрат ABCD со стороной 3 см. Отметьте на ВС точку К так, чтобы ВК = 1 см. Постройте при помощи масштабной линейки образы точки К при симметрии относительно прямых АС и BD.

27. В окружности проведены две параллельные хорды разной длины. Постройте ось симметрии полученной фигуры.

28. Точка Р перемещается по окружности по часовой стрелке. Какую фигуру опишет точка Р', симметричная точке Р относительно прямой /?

/ В каком направлении будет перемещаться точка Р'?О

29. BD - биссектриса угла ABC. На сторонах угла отмечены точки М н К так, что ВМ= ВК. Докажите, что:

а) точки М и К симметричны относительно прямой BD;б) лучи АВ и СВ симметричны относительно прямой BD.30. Постройте точки, симметричные точкам А (2, - 3), В (5,0),

С (0, - 7) относительно:а) оси ОХ; г) биссектрисы I и III координатных углов;б) оси OY; д) биссектрисы П и IV координатных углов.в) прямой у = 2х + 3;Запишите координаты построенных точек.31. Точка А (х, у) отображается при осевой симметрии на точку

А' (2, - 5). Определите координаты точки А, если осью симметрии является:а) ось ОХ; б) ось OY; в) прямая у = х.32. Точки А (х, 7) и В (3 ,ў ) симметричны относительно оси OY. Найди

те недостающие координаты точек.33. Точки А (х, - 2) и В (5, / ) симметричны относительно оси ОХ. Най

дите недосгающие координаты точек.34. Точка А (2, 3) симметрична точке В (6, 1) относительно некоторой

прямой I. Постройте прямую I. Запишите координаты точек пересечения этой прямой с осями координат.

35. Постройте треугольник ABC по координатам его вершин: А (2 ,-3 ), В (-4 , 0), С (3, 4).

Постройте лЛ\В\С\ = Si (л ABC), если:а) / — это прямая у = - 2х + 3;б) I — это прямая у = х - 4;в) / — это прямая у = х + 6.

36. Дан треугольник с вершинами А ( - 3, 2), В (- 6, 4), С (- 2, 5). Постройте треугольник А^В\С\, симметричный треугольнику ABC относительно

26



МГУ

имени А


прямой у = х, и треугольник А2В2С2, симметричный треугольнику А\ВХС\ относительно прямой у = 1. Запишите координаты точек А2, В2, С2.

37. Постройте произвольный треугольник ABC. Пусть Sab, Sac и Sbc - симметрии относительно прямых АВ, АС, ВС соответственно.

а) Найдите образы этого треугольника при композициях симметрий Sab о Sac и Sac ° Sab- Можно ли утверждать, что композиция осевых симметрий является коммутативной?

б) Найдите образы этого треугольника при композициях симметрий (Sab о Sbc) о Sac и Sab о (Sbc о SAc)- Можно ли утверждать, что композиция осевых симметрий является ассоциативной?

38. Дана прямая / и не лежащий на ней отрезок АВ. Постройте равнобедренный треугольник с основанием АВ, вершина которого находится на прямой /.

39. В окружности, центр которой не указан, проведены 2 параллельные неравные хорды. Пользуясь только линейной (без делений), разделите эти хорды пополам. Дана прямая I и точки А и В по одну сторону от этой прямой. На прямой / найдите такую точку:

а) М, чтобы сумма АМ+ MB была наименьшей;б) Р, чтобы прямые АР и ВР образовали с прямой / равные углы.40. Дан треугольник ЛВС и точка М внутри него. Постройте равно

бедренный треугольник с вершиной М, основание, параллельным АВ, и двумя другими вершинами, лежащими на сторонах АС и ВС или на их продолжениях.

4.3 Параллельный переносОпределение. Параллельным переносом (вектором) называется такое

преобразование плоскости, при котором все точки сдвигаются в одном направлении на одно и то же расстояние.

Обозначение: Т, а , АА\ и т. д. а

Построение образа точки при параллельном переносеЧтобы построить образ точки X при параллельном переносе а , надо

выполнить следующие действия:1) провести через точку X прямую /, параллельную а ;2) на прямой / в том же направлении, что и а отложить отрезок XX],

длина которого равна длине вектора а ;

41. Отметьте 3 произвольные точки А, В и С на плоскости. Известно, что точка В является образом точки А при параллельном переносе. Найдите образ точки С при этом параллельном переносе.

42. Какие параллельные переносы переводят в себя данную прямую; полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми?

3)Х х = а (X).

27



МГУ

имени А


А,

При каком условии можно отобразить один отрезок на другой при помощи параллельного переноса?

47. Постройте образы углов при параллельном переносе, заданном па-popf TY>Wf»*r 4 —V 4ъ

При каком условии можно отобразить один угол на другой при помощи параллельного переноса?

48. Нарисуйте произвольный треугольник ABC. Постройте его образы при параллельном переносе, если вектором переноса является:

а) вектор АС;б) вектор BD, где BD - медиана;в) вектор ~AF, где AF - высота;г) вектор СК, где К - внутренняя точка треугольника;д) вектор ВМ, где М - середина медианы BD. В последнем случае по

кажите фигуры, являющиеся пересечением и объединением данного и полученного треугольников.

В каждом случае назовите преобразование, обратное данному.49. Начертите произвольный треугольник ABC. Постройте образ этого

треугольника при параллельном переносе ВЁ, где Е ■»— середина медианы BD.50. Дан параллелограмм ABCD и точка A t внутри его. При параллель

ном переносе точка Л переходит в точку А,. Постройте образ параллелограмма A BCD при этом переносе. Найдите пересечение и объединение параллелограмма и его образа.

А,>

А •

28



МГУ

имени А


51. Пересечением квадрата ABCD и квадрата A\B\C\D\, полученного из квадрата ABCD параллельным переносом, является квадрат. Определите направление параллельного переноса.

52. Существует ли параллельный перенос, при котором:а) одна сторона квадрата отображается на другую;б) одна сторона треугольника отображается на другую?53. Докажите, что перемещение плоскости, при котором каждый луч

отображается на сонаправленный ему луч, является параллельным переносом.54. Треугольник DEF получен из треугольника ABC при помощи па

раллельного переноса. Докажите, что соответствующие медианы этих треугольников параллельны.

55. Постройте образы точек А (2, 5), В (0, -7), С (3,0) при параллельном переносе в направлении оси Ох на 3 единицы; в направлении оси Оу на 5 единиц. Запишите системы уравнений, которые задают эти параллельные переносы.

56. Дано множество точек {А (1, 3), В (-3,7), С (0, 2), D (-2, 4), Е (1, 4), F (0, 7), К (2, 3)}. Выберите такие пары точек, где одна точка пары является образом другой при параллельном переносе в направлении оси Ох; в направлении оси Оу.

57. Параллельный перенос задан вектором, переводящим точку О (0, 0) в точку О (1, 3). Точка А (х, 4) отображается этим вектором в точку А' (-3, У). Восстановите неизвестные координаты.

58. Точка В'(х', -3) является образом точки В (5, у) при параллельном переносе MN (-3,4). Восстановите неизвестные координаты.

{ж' = х + а; , еслиу ' = у + Ь.

при этом переносе образом точки А (1,0) является точка А , (5, -4).60. Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки А

является точка В, а образом точки С — точка D, если:а) А (2, 1), В (1, 0), С (3,-2), D (2, -3);б) А (-2, 3), В (1, 2), С (4, -3), D (7, -2)?61. Точки А (2, -1), В (5,1), С (3, 2) являются вершинами треугольника.

Постройте образ этого треугольника при параллельном переносе, переводящем точку М (-2, -1) в точку М (-1, 2). Запишите координаты вершин полученного треугольника.

62. Дан треугольник ABC: А (-2, -3), В (3, 1), С (-1, 4) и точки D (0, 1), Е (1, 3), F (-2, 2), К (-1, 0). Найдите образ этого треугольника при композиции переносов DE, Тк, £F:

а) Ш о f k ; б) Ш о DE; в) Ш о EF; г) EF о Ш ;ц) (D£ о EF) о FK; е) Ш о (EF о FK). Является ли композиция па

раллельных переносов коммутативной? Ассоциативной?63. Начертите четырехугольник с координатами вершин А (2, 1), В (3,

4), С (6, 4), D (7, 0). Постройте четырехугольник A XB\C\D\ = (b о a){ABCD),29



МГУ

имени А


где а = 2 АС, Ь= DB. Запишите координаты вершин четырехугольника A)B\C\Di. ^

64. Даны две пересекающиеся прямые а и Ь, и отрезок АВ. Постройте отрезок А\В\ с концами на этих прямых такой, что A,Bi = АВ и А\ВХ || АВ.

ш/4 65. Населенные пункты А и В расположены по разныестороны от каналов с параллельными сторонами. Где нужно построить мосты через каналы, чтобы соединить пункты А и В

7~g кратчайшим путем?66. Постройте трапецию по боковым сторонам б и й и ос

нованиям а и с (а > с).67. Постройте треугольник, равный данному, так, чтобы основание его

принадлежало данной прямой т, а вершина — данной прямой /.68. Изображая векторы а + Ь и а-Ь с помощью диагоналей параллело

грамма, найдите условия, при которых а + 6 = р|-|£|.

4.4 Поворот плоскостиОпределение. Поворотом вокруг центра О на угол а называется

преобразование плоскости, при котором точка О остается на месте, а любая точка Л, отличная от точки О, переходит в такую точку А и что 1) О А = О A i и2) величина угла между лучом ОА и его образом ОА} равна а, а — угол поворота, постоянный для всех точек А.

Если фигура Ф! является образом фигуры Ф при повороте вокруг центра О на угол а , то пишут: R " (Ф) = Ф].

Из определения поворота следует, что поворот задается своим центром О, углом поворота а и направлением поворота — по движению часовой стрелки (-) или против движения часовой стрелки (+).

Правила построения образов геометрических фигур при повороте Чтобы построить Ьбраз точки X при повороте

вокруг центра О на угол а , надо выполнить следующие действия:

1) провести луч ОХ;О**-—-----J.______ 2) построить угол ХОХ\ = а;

X 3) на стороне угла ОХ\ отложить ОХ\ = ОХ;*)Xi = R “{X).

69. Фигура Fi является образом фигуры F при повороте вокруг точки Ана угол а . При каком геометрическом преобразовании фигура F является образом фигуры F{! ■ *

70. Возьмите две произвольные разные точки А и В. Постройте образ точки В при повороте вокруг точки А на угол: а) 90; б) 60°; в) - 90°.

71. Постройте образ отрезка АВ при повороте на данный острый угол а относительно центра О, если: а) О еАВ; б) О iAB .

30



МГУ

имени А


72. Постройте образ луча при повороте вокруг центра О на 90° и на (-90°), если: а) точка О совпадает с началом луча; б) точка О лежит на луче;в) точка О не лежит на луче.

73. Постройте образ треугольника при повороте вокруг центра О на данный угол а, если:

а) точка О находится внутри треугольника;б) точка О лежит на одной из сторон;в) точка О совпадает с одной из вершин;г) точка О находится вне треугольника.74. Нарисуйте произвольный треугольник ABC. Постройте его образ

при повороте:а) вокруг вершины В на угол 30°;б) вокруг точки внутри треугольника на угол 90°;в) вокруг точки, которая лежит на стороне АС между точками А и С, на

угол (- 45°);г) вокруг точки вне треугольника на угол (- 90°);д) вокруг вершины А на угол 180°.75. Постройте образ треугольника ABC при повороте вокруг вершины С

на (- 60°). Рассмотрите 3 случая:а) угол С равен 60°; б) угол С тупой; в) угол С прямой.76. Точка А лежит на границе круга. Постройте образ этого круга при

повороте его вокруг точки А на угол 90°. Отметьте штриховкой пересечение данного круга и его

z МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ · МАТЕМАТИКА:...

Documents