za nosa prema slici potrebno je odrediti τ αc 3 osovina prema slici opterećena je momentima m 1 =...
TRANSCRIPT
1
Za nosač prema slici potrebno je odrediti τ1, τ2, αc.
ZADANO: M1 = 900 Nm M2 = 150 Nm d1 = 5 cm d2 = 2,5 cm l = 1 m G = 80 G Pa ΣMX = 0 MA – M1 + M2 = 0 MA = 750 Nm
44
11 613592
32mmdI p ==
π
44
22 38750
32mmdI p ==
π
NmmNmMt 10750 750 21 ⋅==
3
331
1 255001650
16mmdWp =
⋅==ππ
τ1 =Mt1
Wp1
⋅ r1 =750 ⋅103
25500⋅25
τ1 = 30,56 MPa
2
3
332
2 31001625
16mmdWp =
⋅==ππ
τ 2 =Mt2Wp2
⋅ r2 =150 ⋅103
3100⋅12,5 =
MPa 89,482 =τ
!88,0 0153,0
32501080
10107504
3
33
1
1 ≈=⋅
⋅
⋅⋅== rad
GIlM
p
tB π
α
048892,010810101500153,0 3
33
2
2 =⋅
⋅⋅−=−=
p
tBC GI
lMαα
!92,1 0336,0 −=−= radCα
2
2
1
2
1
1
pppC GI
lMGIlM
GIlM
−−=α
32251080
1010150
32501080
1010150
32501080
10109004
3
33
43
33
43
33
⋅⋅
⋅⋅−
⋅⋅⋅
⋅⋅−
⋅⋅
⋅⋅=
πππαC
αC = 0,0183-0,0030-0,0489 αC = -0,0336 rad = - 1,92 °
3
Osovina prema slici opterećena je momentima M1 = 8 kNm i M2 = 2 kNm Dimenzionirati osovinu ako je τdop = 80 MPa
ΣMX = 0 MA – M1 + M2 = 0 MA = 6 kNm
dopp
t
WM
ττ ≤=1
11
mmM
Wdop
tp 75000
80106 6
11 =
⋅=≥
τ
7500016)2( 3
≥dπ
7500168 3
≥⋅ dπ
d ≥ 36,28 mm
dopp
t
WM
ττ ≤=2
22
1628,36
102 6
2 ⋅⋅
=π
τ
τ2 = 213,3 MPa 3
62
1 2500080102 mm
MW
dop
tp =
⋅==
τ
2500016
3
≥dπ
d ≥ 50,29 mm
5
Za zadatak prema slici potrebno je odrediti promjer na mjestu najvećih naprezanja. Zadano:
M1 = 1,0 kNm M2 = 3,0 kNm τdop = 50 MPa d = ?
ΣMX = 0 -MA + M2 – M1 = 0 MA = M2 – M1 = 3 – 1 = 2 -M1 = -1 k Nm MA = 2 k Nm
NmkNmMM At 1022 3max ⋅===
≤⋅==2
maxmaxmax
dIM
WM
p
t
p
tτ
6
dopt ddM
τπ
≤⋅2
32
4max
mM
ddop
t 0588,010501021616
36
3
3max =
⋅
⋅⋅=⋅≥
πτπ
d = 58,8 mm Uzeto: d = 60 mm
7
Na vratilu promjera d = 4 cm nalazi se pogonska remenica 3 i radne remenice 1, 2, 4 i 5. Kutna brzina rotacije vratila je ω = 80 rad/s a modul smicanja G = 8 ⋅ 104 MN/m2 (80 GPa);
dopušteno tangencijalno naprezanje )(60 60 2 MPamMN
d =τ i dopušteni kut uvijanja po
jedinici dužine αd = 2 ⋅ 10-2 rad/m. Odrediti snagu pogonskog stroja P3 u kW, ako je snaga radnih strojeva: P1 = P P2 = 4 P P4 = 3 P P5 = 2 P
2102 −⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
dopdxdα rad/
ωPM t =
DIMENZIONIRANJE NA ČVRSTOĆU: DIMENZIONIRANJE NA KRUTOST:
dpt WM τ⋅=max p
td GJ
lM ⋅≥ maxα
sNmW 11 =
ddPP
τπ
ωω⋅≤⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛→
165 3
max p
t
GIM
dxd
=α 1 Nm = 1 J
ωτπ
⋅⋅≤ ddP16
3
max
32
4
max
dG
P
lGd
πω
⋅
≥
8
80106016
)104( 632
max ⋅⋅⋅⋅⋅
≤−πP
32
4
max
ωπα
⋅⋅⋅≤
dl
GP
d
Pmax ≤ 60300 W (SP) 32
80)104(102108 42210
max⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
≤−− πP
Pmax = ≤ 60,3 kW Pmax ≤ 32200 W Pmax = 5 P Pmax ≤ 32,2 kW
WP 120605
60300=≤ Pmax = 5 P
P ≤ 12,06 kW WP 64405
32200=≤
P0 = 2 Pmax = 2 ⋅ 60,3 = 120,6 kW P≤ 6,44 kW P0 = 120,6 kW P0 = 2 Pmax = 10 P = 64,4 kW P0 = PEM P0 = 64,4 kW
( ) NmmdWM dopdoppdopt 753982601640
16
33
=⋅⋅
==≤π
τπ
τ = 754 Nm
P = M ⋅ ω
ωωPPM == 1
1
ωωPPM 42
2 ==
ω3
3P
M =
ωωPPM 34
4 ==
ωωPP
M 255 ==
ωωPP
M 255 ==
ΣMX = 0 M1 + M2 – M3 + M4 + M5 = 0
M3 = M1 + M2 + M4 + M5 ωωωωωPPPPP 10234
=+++=
P3ω
=10Pω
P3 = 10 P
Mt( )max =5Pω
NmP 7545≤
ω
(Mt)max ≤ 754 Nm
kWWP 064,12 120645
80754==
⋅≤
9
P3 = 10 P = 120,64 kW P3 ≤ 120,64 kW KRUTOST
( )dopp
t
dxd
GIM
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≤=αα max
( ) 324
3max 10102
32401080 −− ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≤πα
doppt dxdGIM
( ) NmNmmMt 402 402124max =≤ ( ) 402max ≤tM
4025≤
ωP
kWWP 43,6 64325
80402==
⋅≤
P3 = 10 P ≤ 64,3 kW (P3)MAX = 64,3 kW
10
Na vratilo prema slici, uklješteno na oba kraja, djeluju momenti uvijanja Mt u presjecima C i D. Odrediti reaktivne momente MA i MB ako je zadano: Mt, l, Jp
RAVNOTEŽA: ΣMX = 0 MA + MB – 2Mt = 0 UVJET DEFORMACIJE ϕB = 0
0
2
22
2
2=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−−++⋅
⋅
GJl
GJlM
GJlM
GIlM
GJlM
GJlM
ppt
p
t
p
B
p
B
p
B
MB (2+2+1) – Mt (2+2+2) = 0
tB MM56
=
tBtA MMMM542 =−=
DIJAGRAM RASPODJELE MOMENATA UVIJANJA KUTEVI UVIJANJA
p
t
p
t
C IGlM
IG
lM
58
254
=⋅
=ϕ
p
t
p
t
D IGlM
IG
lM
56
56
=⋅
=ϕ
12
Na vratilo prema slici, potrebno je odrediti promjer d Zadano: τdop = 50 Mpa, M = 1 kNm
MA + MB = M (1) αB = 0
0211
=⋅
−⋅
−⋅
p
B
p
B
p GIlM
GIlM
GIlM (2)
323216 44 ππ dG
lMdG
lM BA ⋅=
⋅
MA = 16 MB
Ip1 =16d4π
32= 16 Ip2
16 /0 16 16 222
⋅=−−p
B
p
B
p IM
IM
IM
M – MB – 16 MB = 0
kNmMMB 171
171
==
tB MM171
=
kNmMM A 1716
1716
==
tA MM1716
=⇒
34max 1732
32161716
dMd
d
MCA =⋅=− π
τ
14
Vratilo uklješteno na oba kraja i opterećeno momentima prema slici. Odrediti: a) relativne momente u A i B, b) skicirati dijagram raspodjele momenta uvijanja, c) skicirati dijagram kuteva te presjek Zadano: Mt, d, l, G.
ΣMX = 0 -MA + Mt – Mt + MB = 0 MA = MB
Ip1 =(2d)4π32
= 16 d4π32
=d4π2
= 16
Ip2 =d4π32
15
GIM
IGlM
IGlM
IGlM
IGlM
IGlM B
p
B
p
B
p
t
p
t
p
t +⋅
+⋅
+⋅
−⋅
−⋅
21211
4916GdlM t
π−
αB = 0, αA = 0 αB = αA + αC/A + αD/C + αB/D = 0
0 16 16
)( 2222121
=++−=+−
+⋅
p
A
p
A
p
t
p
A
p
A
p
At
p
A
IM
IM
IM
IM
IGlM
IGlMM
IGlM
MA – 16 Mt + 16 MA + MA = 0 18 MA = 16 Mt
MA = MB = tM98
αA = 0
441
/ 916
298
98
0GdlM
dG
lMIG
lMtt
p
t
ACAC ππααα ==
⋅+=+=
=⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−++=++=
24//
91
9160
p
tt
CDACAD IG
lM
GdlM
παααα
444 93216
3291
916
GdlM
dG
lMGdlM ttt
πππ−
=−=
4916GdlM t
D πα −=
αB = 0
16
Na vratilo uklješteno na A djeluju momenti M1 = 400 Nm i M2 = 150 Nm. Odrediti max. tang. naprezanja u dijelovima vratila AB i BC, te zaokret presjeka C. Zadano: a = 1 m, dv = 5 cm, du = 3 cm, d = 4 cm, G = 8 · 104 Mpa.
ΣMX = 0 MA – M1 + M2 = 0 MA = M1 – M2 = 250 Nm
MPad
ddM v
uv
AAB 7,1110
25
1032
)35(250
232
(8
84444max =⋅⋅
⋅−
=⋅−
= −
−ππτ
τmaxAB = 11,7 Mpa 62
844
2max 1094,1110
24
10324150
232
⋅=⋅⋅
⋅
=⋅= −
−ππτ
ddM
BC
τmaxBC = 11,94 MPa αA= 0
αC = αA + αB /A + αC /B =−MA ⋅ aG ⋅ Ip1
+M2lG ⋅ Ip2
=−MA ⋅ a
G (dv4 − du
4 )π32
+M2l
G d4π32
444
1 4,5332
)(cm
ddI uvp =
−= π
44
2 13,2532
cmdI p ==π
αc 2264864 10746,010585,0
13,25101081150
104,53101081250 −−
−⋅+⋅−=
⋅⋅⋅
⋅+
⋅⋅⋅⋅
⋅−=
αC = +0,161 · 10-2 rad
17
Na vratilu promjera d nalazi se pogonska remenica i radne remenice B, C i D. Preko pogonske remenice dovodi se snaga P0 = 56 kW, a radni strojevi trebaju snage P1 = 8 kW, P2 = 16 kW i P3 = 32 kW. Broj okretaja vratila je 750 okr/min. Odrediti promjer vratila ako je zadano: τd = 60 Mpa (dopušteno trajanje naprezanja za uvijanje), αd = 2 · 10-2 rad/m (dopušteni kut uvijanja po jedinici duljine vratila), G = 8 · 104 (modul smicanja).
KUTNA BRZINA VRATILA:
30750
30ππ
ω⋅
==n
ω = 78,54 rad/sek
NmssNmPM 86,101
/54,78/108 3
11 =
⋅==
ω
NmPM 72,20354,781016 9
22 =
⋅==
ω
NmP
M 02,71300 ==
ω
NmP
M 44,40733 ==
ω
ΣMX = 0 -M1 – M2 + M0 – M3 = 0
18
PRORAČUN NA KRUTOST
p
AtAD GI
lM max/max ==αα
dt
AD dG
Ml
απ
α≤=
32
4maxmax
10210844,40732
104
⋅⋅⋅≥
πd
d ≥ 0,0401 m d = 40 mm PRORAČUN NA ČVRSTOĆU:
dt ddM
τπ
τ ≤⋅=2
32
4max
max
mM
dd
t 0356,0106044,4071616
36
3 max =⋅
⋅=≥πτπ
19
Skicirati dijagrame momenata torzije i kuteva zakreta za osovinu zadanu i opterećenu prema slici.
ΣMX = 0 -MA + 3 M – 2 M + 3 M – 2 M = 0 MA = 2 M
-MA + MX = 0
Mx = MA = 2 M
-MA + 3 M + MX = 0
20
MX = MA – 3 M = 2 M – 3 M = - kut zakreta: dAqI rp ∫= 2
2
GIlM
p ⋅
⋅=α
8324
32
44
1
4 ddIdI ppπππ
=⋅
=→=
32
4
2dI pπ
=
αA = 0
441
168202GdMl
GdlM
GIlM
pAB ππ
αα =⋅⋅
+=⋅
⋅+=
4441
8816GdMl
GdMl
GdMl
GIlM
pBC πππ
αα =−=⋅
⋅−+=
4442
24328GdMl
GdMl
GdMl
GIlM
pCD πππ
αα −=⋅
−=⋅
⋅−+=
4442
83224GdMl
GdMl
GdMl
GIMl
pDE πππ
αα =⋅
+−
=+=
441
24822GdMl
GdMl
GIlM
pEF πππ
αα =⋅
=⋅
⋅−+=
21
Odrediti relativne momente u uklještenjima za vratilo zadano prema slici i to za slučaj a) punog vratila b) šuljeg vratila
Izračunati tangencijalna naprezanja u točkama D, E i F.
Mt = MtA + MtB
32
4dI pπ
=
I p1 =π ⋅(2d)4
32=16πd
4
32
a) Puno vratilo αB = 0 uvjet deformacije
02
11
=⋅
⋅+
⋅
⋅+
⋅
⋅−
⋅
⋅−=
p
tB
p
tB
p
t
p
tB IG
aMIGaM
IGaM
IGaM
α
aGI
IGaM
IGaM
IGaM
IGaM p
p
tB
p
tB
p
t
p
t ⋅⋅=
⋅
⋅+
⋅
⋅+
⋅⋅
⋅−
⋅
⋅− 16 /0
162
16
021616 =++−− tBtBtt MMMM 18 MtB = 17 Mt
ttB MM1817
=
22
Potrebno je dimenzionirati vratilo duljine l = 0,7 m koje pri vrtnji od 1 800 okr/min prenosi snagu od P = 8 kW. Vratilo je opterećeno dinamički istosmjerno te je dopušteno naprezanje τdop = 35 MPa, a dopušteni kut uvijanja ϕdop = ¼ °. Modul smicanja materijala vrtila je G = 80 GPa. Zadano: l = 0,7 m n = 1 800 okr/min = 30 okr/s P = 8 kW = 8 000 W τdop = 35 MPa ϕdop = ¼ ° = 0,004363 rad G = 80 GPa = 80 000 MPa Rješenje: Moment uvijanja koji opterećuje vratilo:
MU = 159 ⋅ !"
= 159 ⋅ # %%%&%
= 42 400 Nmm
Iz uvjeta čistoće (τ ≤ τdop) dobiva se: '()* O τdop → Wp P
'()*
Wp P +, +%%&%
P1 211,43 mm3
-. /0
P1 211,42 → d P/0 / ,//,+&
. d ≥ 18,34 mm. Iz uvjeta krutosti (ϕ ≤ ϕdop) dobiva se:
ϕ = '( 23 4*
O ϕdop → lp P '( 2
3 56*
Ip = -. &,
≥ '( 2
3 56* , odakle je
d ≥&, '7 23 56*
8 = &, +, +%% 9%%#% %%% %,%%+&0&
8
d ≥ 30,05 mm.
Kako dimenzije vratila trebaju zadovoljiti i uvjet čvrstoće i uvjet krutosti, treba se usvojiti promjer vratila d = 32 mm.
23
Izračunajte naprezanje i kut uvijanja šupljeg vratila poprečnog presjeka dv/du = 30/20 mm duljine l = 0,4 m, koji pri vrtnji od n = 900 okr/min prenosi snagu od P = 10 kW. Modul smicanja materijala vratila je G = 80 GPa. Izračunajte naprezanje u slojevima materijala na unutarnjem promjeru poprečnog presjeka te nacrtajte kvalitativnu raspodjelu naprezanja po poprečnom presjeku. Zadano: l = 0,4 m = 400 mm dv/du = 30/20 mm n = 900 okr/min = 15 okr/s P = 10 kW = 10 000 W G = 80 GPa = 80 000 MPa Rješenje: Moment uvijanja vratila:
MU = 159 ⋅ !"
= 159 ⋅ /% %%%/:
= 106 000 Nmm Omjer unutarnjeg i vanjskog promjera:
β = -(-;
= ,%&%
= 0,667
Moment inercije površine poprečnog presjeka:
Ip = Ipv – Ipu = -;8 &,
- -(8 &,
= -;8 &,
⋅ 1 − -(-;
+
Ip = -;8 &,
⋅ (1-β4) = &%8 &,
⋅ (1 - 0,6674) = 63 813,6 mm4
Moment otpora površine poprečnog presjeka:
Wp = 2*
>?@A =
2*5;B
= , 2*-;
= , 0& #/&,0
&% = 4 254,24 mm3
τmaks = '7)* = /%0 %%%+ ,:+,,+
= 24,92 MPa
Kut uvijanja vratila:
ϕ = '( 23 4*
= /%0 %%% +%%#% %%% 0& #/&,0
= 0,008305 rad
ϕ = 0,008305 ⋅ /#%
= 0,48
24
Naprezanje u materijalu na unutrašnjem promjeru poprečnog presjeka računamo iz sličnosti trokuta kako je prikazano na slici:
5;B
>?@A =
5(B
>?@A ;; -;, >?@A
= -(, >?@A
τ1 = -(-; ⋅ τmaks = β ⋅ τmaks = 0,667 ⋅ 24,9 = 16,6 MPa
25
Izračunajte duljinu l šupljeg vratila načinjenog od čelika vanjskog promjera dv = 60 mm i unutrašnjeg promjera du = 20 mm. Zadani su modul smicanja G = 84 000 MPa i najveće dozvoljeno naprezanje čelika τdop = 94,2 MPa te kut uvijanja ϕ = 6°. Koliki moment uvijanja prenosi vratilo? Zadano: dv = 60 mm du = 20 mm G = 84 000 MPa τdop = 35 MPa
ϕdop = 6° ⋅
/#% = &% rad
____________________ l = ? MU = ? Rješenje: Iz formule za najveće dozvoljeno tangencijalno naprezanje
τdop = '7)*
dobije se: MU = Wp ⋅ τdop
Polarni moment otpora za poprečni presjek oblika kružnog vijenca izračuna se prema formuli:
Wp = /0
⋅ -;8C -(8 -;
, Wp = ,D8 /0
⋅ (1 - β4)
pa je: Wp = 4,19 ⋅ 104 mm3
i moment uvijanja je: MU = Wp ⋅ τdop = 4,19 ⋅ 104 ⋅ 94,2 MU = 3 946 980 Nmm = 3 947 Nm. Duljina osovine izračuna se iz formule za kut uvijanja, pri čemu moramo poznavati polarni moment inercije za zadani oblik poprečnog presjeka:
ϕ = '( 23 4*
i Ip = (-;8C -(8)
&,
Prvo se izračuna polarni moment inercije:
26
Ip = (0%8C ,%8)
&, = 1,257 ⋅ 10-4 m4
a nakon uvrštavanja u formulu za kut torzije dobije se duljina osovine:
l = 3 4* '7
=
&% ⋅ #+ %%% /,,:9 /%G
& H+0 H#%
l = 2 800 mm = 2,8 m
27
Čelično vratilo duljine l = 2 m i polarnog momenta inercije I? = +: ⋅ 10-4 m4 uvije se za
kut torzije ϕ1 = 1°, pod djelovanjem momenta uvijanja MU = 10 kNm. Koliko najviše smije iznositi moment uvijanja ako se isto vratilo smije uvijati najviše za ϕ2 = 2,5° ? Zadano: l? = 2 000 mm
I? = +: ⋅ 10-4 mm4
ϕ1 = 1° =
/#% rad
MU1 = 10? Nmm l? = l? = 2 000 mm
I? = I? = +: ⋅ 10-4 m4
ϕ2 = 2,5° = 2,5° ⋅
/#% rad
_______________________ MU2 = ? Rješenje: Kako u primjeru proučavamo jedno vratilo, njegov materijal, polarni moment inercije i duljina jednaki su za oba opterećenja. Iz zadanih podataka s indeksima ? izračunamo modul smicanja, kao karakteristiku materijala vratila.
ϕ1 = '(? 2?3 4*J
/#% = /%? , %%%
3 8K /%?
G = 84 000 MPa Kako su modul smicanja, polarni moment inercije i duljina vratila stalne veličine, uvrštavamo ih u formulu za drugi kut uvijanja, ϕ2 = 2,5°.
ϕ2 = '(? 2?3 4*B
iz koje ćemo dobiti moment uvijanja pri drugom kutu uvijanja.
2,5 ⋅
/#% =
'7? , %%%
# %%% 8K /%?
28
MU2 = 25 ⋅ 104 Nmm = 25 ⋅ 103 Nm = 25 kNm. Okrugli štap različitih promjera d1 i d2 te duljina l1 i l2 ukliješten je i opterećen momentom uvijanja, prema slici. Potrebno je izračunati ukupni kut uvijanja točke C.
Zadano: MU = 2 kNm = 2 000 000 Nmm d1 = 40 mm d2 = 25 mm l1 = 1 m = 1 000 mm l2 = 0,8 m = 800 mm G = 85 GPa = 85 000 MPa ____________________________ ϕ? = ? Rješenje: Zbog različitog promjera vratilo će se drukčije uvijati na dužini l1 i dužini l2. Kut zakreta točke B:
ϕB = '( 2J3 4*?
= , %%% %%% / %%%#: %%% 8L
8 .B
= 0,0936 rad
Kut zaokreta točke C u odnosu na točku B:
ϕC/B = '( 2B3 4*B
= , %%% %%% #%%#: %%% BK
8 .B
= 0,4908 rad
Ukupni kut uvijanja točke C iznosi: ϕC =ϕB + ϕC/B = 0,0936 + 0,4908 = 0,5844 rad
ϕC = 0,5844 rad ⋅ /#%
= 33,48°
!