zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 zadanie 6. trójkąt abc jest...
TRANSCRIPT
![Page 1: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie”
Zadanie 1.
Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano
punkty E, F oraz D, że |AE| = |BF| = |CD| = 3
1|AB|
(rysunek obok).
a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest równoboczny.
b) Udowodnij, że DE AB, EF BC, DF AC.
Zadanie 2.
Punkt S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC,
punkty A1, B1, C1 są odpowiednio środkami boków BC,
AC, AB, zaś punkty K, L, M – środkami odcinków SA,
SB, SC (rysunek obok).
Wykaż, że A1B1C1 KLM.
Zadanie 3.
W trójkącie ABC dwusieczna kąta B przecina bok AC
w punkcie M. Przez punkt M prowadzimy prostą
równoległą do BC, przecinającą bok AB w punkcie N.
Udowodnij, że |MN| = |BN|.
Zadanie 4.
Kąty ABC oraz DBC to kąty przyległe. Poprowadzono
dwusieczne tych kątów oraz prostą, równoległą do
prostej AD, która przecina te dwusieczne odpowiednio
w punktach E i F, zaś ramię BC – w punkcie K (rysunek
obok).
Udowodnij, że |EK| = |KF|.
Zadanie 5.
W trójkącie ABC przedłużono bok AB poza
wierzchołek B i odłożono taki odcinek BD, że
|BD| = |BC|. Następnie połączono punkty C i D
(rysunek obok).
Wykaż, że |CDA| = 2
1|CBA|.
TOMASZ GRĘBSKI
![Page 2: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Zadanie 6.
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym
równoramiennym. Z punktu M, należącego do
przeciwprostokątnej BC, poprowadzono odcinki MD
oraz MS, prostopadłe odpowiednio do
przyprostokątnych AC oraz AB (rysunek obok).
Udowodnij, że |MD| + |MS| = |AB|.
Zadanie 7.
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M,
należącego do przeciwprostokątnej BC, poprowadzono
odcinki MD oraz MS, prostopadłe odpowiednio
do przyprostokątnych AC oraz AB (rysunek obok).
Udowodnij, że .1|AC|
|MS|
|AB|
|DM|
Zadanie 8.
W trójkącie prostokątnym ABC przedłużono
przeciwprostokątną AB i tak obrano na przedłużeniach
punkty D i E, że |AD| = |AC| oraz |BE| = |BC|
(rysunek obok). Udowodnij, że | DCE| = 135.
Zadanie 9.
W okręgu poprowadzono średnicę AB i równoległą
do niej cięciwę CD (rysunek obok).
Udowodnij, że |ACD| – |CDA| = 90.
Zadanie 10.
Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb
całkowitych, z których najmniejszą jest liczba 2k – 3,
gdzie kC, podzielona przez 3 daje resztę 2.
Zadanie 11.
Wykaż, że jeśli x jest liczbą całkowitą nieparzystą to
liczba postaci x6 – x
4 – x
2 + 1 jest podzielna przez 32.
Zadanie 12.
W trójkącie ABC długości boków wynoszą:
|AB| = c, |AC| = b, |BC| = a, gdzie 0 < a < b < c.
Pole tego trójkąta wynosi 3. Wykaż, że |AC| > 6 .
TOMASZ GRĘBSKI
![Page 3: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Zadanie 13.
W równoległoboku ABCD poprowadzono dwusieczne
kątów wewnętrznych BAD oraz ADC,
które przecięły się w punkcie M (rysunek obok).
Wykaż, że AMD jest prosty.
Zadanie 14.
Wykaż, że jeśli a > 2 i b < 4, to .a2b42
ab
Zadanie 15.
Wiadomo, że x + y + 2 = 0. Udowodnij, że wartość
wyrażenia x2
+ y2 + xy – 4 jest najmniejsza
dla x = y = – 1.
Zadanie 16.
Wykaż, że jeśli x > k, to wyrażenie x3
+ 5x – kx2 – 5k
przyjmuje tylko wartości dodatnie.
Zadanie 17.
W trapezie ABCD podstawy mają długości:
|AB| = a oraz |CD| = b, gdzie a > b > 0 oraz
|BAD| + |ABC| = 90. Środek M podstawy AB
połączono ze środkiem N podstawy DC (rysunek obok).
Wykaż, że |MN| = 2
ba .
Zadanie 18.
Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego prawdziwa jest
nierówność tg2 + ctg
2 2.
Zadanie 19.
W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD oraz CE,
które przecięły się w punkcie M. Wiadomo, że
|AD| |CE| = 3 oraz |MAC| + |ACM| = 60.
Wykaż, że pole trójkąta ABC wynosi 1.
Zadanie 20.
Udowodnij, że jeśli x2 + x = y
2 + y, to
x = y lub y = – x – 1.
TOMASZ GRĘBSKI
![Page 4: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Zadanie 21.
Wykaż, że jeśli a i b nie są równe zeru i a + b 0 i
3
1
ba
a
, to
ba
b
3
33.
Zadanie 22.
Udowodnij, że iloczyn cyfr dowolnej liczby
czterocyfrowej jest mniejszy od tej liczby.
Zadanie 23.
Udowodnij, że funkcja
f(x) = x25x
x25x10x3
23
, gdzie x R – {– 5, 0, 5},
nie ma miejsc zerowych.
Zadanie 24.
Udowodnij, że zbiór wartości funkcji
f(x) = 4x
16x8x2
, gdzie x – 4,
jest dwuelementowy.
Zadanie 25.
Wykaż, że jeśli a – b < 0 i a + b > 0, to |a| < |b|.
Zadanie 26.
Udowodnij, że jedynym rozwiązaniem równania
x2 + y
2 – 12x + 2y + 37 = 0 jest para liczb (6, – 1).
Zadanie 27.
Na bokach AC oraz BC trójkąta ABC tak wybrano
punkty M i N, że MN || AB oraz |BN|
|NC|k, k(0,1).
Pole trójkąta ABC wynosi S.
Wykaż, że pole trójkąta MNC jest równe 2
2
)1k(
Sk
.
TOMASZ GRĘBSKI
![Page 5: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Zadanie 28.
Wykaż, że jeśli aR i bR, gdzie a 0, b 0 i a + b 0
oraz 3a2
– 3ab = ab – b2, to
2
1
ba
ba
lub 0
ba
ba
.
Zadanie 29.
Długość a boku rombu oraz długości jego przekątnych
d1, d2 spełniają warunek d1 d2 = a2.
Udowodnij, że kąt ostry rombu spełnia warunek:
0 < tg < 1.
Zadanie 30.
W kole o środku O i promieniu r (r > 0) zaznaczono kąt
środkowy AOB o mierze 120. Następnie
poprowadzono styczne do okręgu o(O, r) w punktach A
i B, które przecięły się w punkcie C (rysunek obok).
Wykaż, że odległość punktu C od środka okręgu jest
równa długości średnicy tego okręgu.
Zadanie 31.
Trójkąt ABC jest prostokątny. Punkt D jest spodkiem
wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną AB oraz
3|AD| = |DB| (rysunek obok).
Wykaż, że |CAD| = 60.
Zadanie 32.
Rzucono raz dwiema kostkami do gry. Rozważmy
zdarzenia:
A – na co najmniej jednej kostce wypadło sześć oczek,
B – na każdej kostce wypadła parzysta liczba oczek.
Wykaż, że P(A – B) = 6
1.
Zadanie 33.
W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku BC.
Wykaż, że AD2ACAB .
TOMASZ GRĘBSKI
![Page 6: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Zadanie 34.
Romb ABCD zawiera się w płaszczyźnie . Przez
środek symetrii rombu prowadzimy prostą p,
prostopadłą do płaszczyzny . Na prostej p (poza
płaszczyzną ), wybieramy punkt M (rysunek obok).
Wykaż, że punkt M jest równo odległy od boków
rombu.
Zadanie 35.
Okręgi o1(O1, r1) oraz o2(O2,r2), gdzie r1> r2 są
zewnętrznie styczne w punkcie S. Przez punkt S
prowadzimy prostą k, która przecina okrąg o1
w punkcie A i okrąg o2 w punkcie B oraz prostą l,
która przecina okrąg o1 w punkcie C i okrąg o2 w
punkcie D (rysunek obok).
Wykaż, że AC || BD.
Zadanie 36.
Dany jest sześcian ABCDA1B1C1D1. Punkt O jest
punktem przecięcia przekątnych kwadratu BCC1B1
(rysunek obok).
Wykaż, że odcinek DO jest prostopadły do odcinka BC1.
TOMASZ GRĘBSKI
![Page 7: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/7.jpg)
Elżbieta Świda
Elżbieta Kurczab
Marcin Kurczab
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
„na dowodzenie”
na obowiązkowej maturze
z matematyki
![Page 8: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/8.jpg)
Zadanie
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.
Z punktu M, należącego do przeciwprosto-
kątnej BC, poprowadzono odcinki MD oraz
MS, prostopadłe odpowiednio do przypro-
stokątnych AC oraz AB (rysunek obok).
Udowodnij, że .1|AC|
|MS|
|AB|
|DM|
![Page 9: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/9.jpg)
Założenie:
ABC – prostokątny, |BAC| = 90,
MBC, MD AC oraz MS AB
Teza: 1|AC|
|MS|
|AB|
|DM|
Dowód (I sposób):
DMC ABC na podstawie cechy kkk, bo |BAC| = |MDC| = 90 (z założenia)
|ACB| = |DCM| (wspólny kąt),
stąd |CB|
|CM|
|AB|
|DM|
MSB ABC na podstawie cechy kkk, bo |BAC| = |BSM| = 90 (z założenia)
|ABC| = |SBM| (wspólny kąt),
stąd |CB|
|MB|
|AC|
|MS|
|CB|
|MB|
|CB|
|CM|
|AC|
|MS|
|AB|
|DM|
|CB|
|MB||CM|
|CB|
|CB| = 1.
![Page 10: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/10.jpg)
Dowód (II sposób):
PAMC + PABM = PABC, zatem
2
1|AC||DM| +
2
1|AB||MS| =
2
1|AC||AB|
Po podzieleniu obu stron równości przez
2
1|AC||AB| otrzymuję:
.1|AC|
|MS|
|AB|
|DM|
![Page 11: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/11.jpg)
Zadanie
W trójkącie ABC długości boków wynoszą:
|AB| = c, |AC| = b, |BC| = a, gdzie 0 < a < b < c.
Pole tego trójkąta wynosi 3.
Wykaż, że |AC| > 6 .
![Page 12: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/12.jpg)
Założenie:
ABC – dowolny, |AB| = c, |AC| = b,
|BC| = a, gdzie 0 < a < b < c, PABC = 3
Teza:
|AC| > 6
Dowód:
Prowadzę wysokość AD trójkąta ABC z wierzchoł-
ka A na bok BC. Wprowadzam oznaczenie:
|AD| = h, h > 0.
PABC = 2
1|BC||AD| =
2
1ah = 3, skąd ah = 6.
a < b (z założenia)
h b
Otrzymuję: ah < b2 czyli b2 > 6, skąd b > 6
(bo z założenia b > 0). Zatem
|AC| > 6 .
![Page 13: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/13.jpg)
Zadanie
Trójkąt ABC jest prostokątny. Punkt D jest
spodkiem wysokości opuszczonej na prze-
ciwprostokątną AB oraz 3|AD| = |DB|.
Wykaż, że |CAD| = 60.
![Page 14: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/14.jpg)
Założenie:
ABC – prostokątny,
AB – przeciwprostokątna,
CD – wysokość ABC, 3|AD| = |DB|
Teza:
|CAD| = 60
Dowód:
Z twierdzenia o wysokości w trójkącie prostokątnym poprowadzonej na
przeciwprostokątną: |CD|2 = |AD| |DB|.
Z założenia wiem, że 3|AD| = |DB|, stąd |CD|2 = 3|AD|2, zatem
2
|AD|
|CD|
= 3,
czyli 3|AD|
|CD| .
W trójkącie prostokątnym CDA:
tg |CAD| = 3|AD|
|CD| , skąd |CAD| = 60.
![Page 15: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/15.jpg)
Zadanie
W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD
oraz CE, które przecięły się w punkcie M.
Wiadomo, że |AD| |CE| = 3 oraz
|MAC| + |ACM| = 60.
Wykaż, że pole trójkąta ABC wynosi 1.
![Page 16: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/16.jpg)
Założenie: AD, CE – środkowe w trójkącie ABC,
AD CE = {M}, |AD||CE| = 3 oraz
|MAC| + |ACM| = 60
Teza:
PABC = 1
![Page 17: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/17.jpg)
Dowód (I sposób):
|AMC| = 180 – (MAC| + |ACM|) =
= 180 – 60 = 120 (z założenia i sumy miar ką-
tów wewnętrznych w trójkącie AMC)
|DMC| = 180 – |AMC| = 180 – 120 = 60
(z własności kątów przyległych)
PCMD = |MD||MC|2
1 sin , gdzie = |DMC| oraz
|MC| = 3
2|CE| i |MD| =
3
1|AD| (z własności środkowych),
skąd PCMD = |AD|3
1|CE|
3
2
2
1 sin60 =
2
3|AD||CE|
9
1 = |AD||CE|
18
3
Z założenia |AD| |CE| = 3 , więc PCMD = 6
1
Wiadomo, że PABC = 6 PCMD = 66
1 = 1.
![Page 18: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/18.jpg)
Dowód (II sposób):
|AMC| = 180 – (MAC| + |ACM|) =
= 180 – 60 = 120 (z założenia i sumy miar kątów
wewnętrznych w trójkącie AMC)
|DMC| = 180 – |AMC| = 180 – 120 =
= 60 (z własności kątów przyległych)
W trójkącie MDC prowadzę wysokość CK na bok MD,
gdzie |CK| = 2
3|MC| (bo
2
360sin
|MC|
|CK| )
Z własności środkowej |MC| = |CE|3
2, zatem |CK| = |CE|
3
3
PABC = 2PADC, bo trójkąty ADC oraz ABD mają wspólną wysokość – wysokość
trójkąta ABC poprowadzona na bok BC oraz |CD| = |DB| – z założenia, zatem
PABC = 2 |CE||AD|3
3|CE|
3
3|AD||CK||AD|
2
1 ,
ale z założenia |AD| |CE| = 3 , więc PABC = 1.
![Page 19: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/19.jpg)
Zadanie
Okręgi o1(O1, r1) oraz o2(O2,r2), gdzie r1 > r2
są zewnętrznie styczne w punkcie S. Przez
punkt S prowadzimy prostą k, która przeci-
na okrąg o1 w punkcie A i okrąg o2 w punk-
cie B oraz prostą l, która przecina okrąg o1
w punkcie C i okrąg o2 w punkcie D.
Wykaż, że AC || BD.
![Page 20: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/20.jpg)
Założenie: Okręgi o1(O1, r1), o2(O2,r2), gdzie r1 > r2,
są zewnętrznie styczne w punkcie S.
Sk i k o1 = {A} i k o2 = {B}
Sl i l o1 = {C} i l o2 = {D}
Teza: AC || BD
![Page 21: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/21.jpg)
Dowód:
Prowadzę prostą p przechodzącą przez punkt S styczną
jednocześnie do obu okręgów.
Na prostej p wybieram punkty M i N (jak na rysunku).
| ACS| = |ASM| – z własności kąta wpisanego i
dopisanego opartych na tym samym łuku
|ASM| = |NSB| – z własności kątów wierz-
chołkowych
|NSB| = |BDS| – z własności kąta dopisanego
i wpisanego opartych na tym samym łuku
więc |ACS| = |BDS|
Rozważam proste AC oraz BD przecięte prostą l.
Kąty ACS oraz BDS są kątami naprzemianległymi we-
wnętrznymi i |ACS| = |BDS|, więc
proste AC i BD są równoległe.
![Page 22: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/22.jpg)
Zadanie
Wykaż, że jeśli a 0 i b 0 i a + b 0 i 3
1
ba
a
,
to ba
b
3
33.
![Page 23: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/23.jpg)
Założenie:
a 0 i b 0 i a + b 0 i 3
1
ba
a
Teza:
ba
b
3
33
Dowód (I sposób):
Z założenia 3
1
ba
a
, więc baa3 , skąd b = a( 3 – 1).
Zatem 3
33
3
13
3a
)13(a
a3aa
)13(a
)13(aa
)13(a
ba
b
.
![Page 24: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/24.jpg)
Dowód (II sposób):
Z założenia wiem, że a 0, więc 3
1
a
b1
1
a
baa
a
ba
a
,
Skąd 13a
b , zatem
3
33
3
13
131
13
a
b
a
aa
b
ba
b
![Page 25: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/25.jpg)
Dowód (III sposób):
Wiadomo, że 1ba
b
ba
a
, stąd
ba
b
= 1 – ba
a
,
zatem:
ba
b
= 1 – 3
1= 3
13 = 3
33.
![Page 26: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/26.jpg)
Zadanie
Udowodnij, że iloczyn cyfr dowolnej liczby czterocyfrowej jest mniej-
szy od tej liczby.
![Page 27: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/27.jpg)
Założenie:
a – cyfra tysięcy liczby czterocyfrowej, a{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
b – cyfra setek liczby czterocyfrowej, b{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
c – cyfra dziesiątek liczby czterocyfrowej, c{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
d – cyfra jedności liczby czterocyfrowej, d{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
1000a + 100b + 10c + d – liczba czterocyfrowa
Teza:
abcd < 1000a + 100b + 10c + d
Dowód:
Z założenia wiem, że b 9 i c 9 i d 9, więc
abcd a999 < a1010 10 = 1000a < 1000a + 100b + 10c + d.
![Page 28: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/28.jpg)
Zadanie
Udowodnij, że jedynym rozwiązaniem równania
x2 + y
2 – 12x + 2y + 37 = 0
jest para liczb (6, –1).
![Page 29: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/29.jpg)
Założenie: x2 + y2 – 12x + 2y + 37 = 0 – równanie z niewiadomymi x i y.
Teza: Para liczb (6, –1) jest jedynym rozwiązaniem danego równania.
Dowód:
Równanie x2 + y2 – 12x + 2y + 37 = 0 sprowadzam do postaci:
(x2 – 12x + 36) – 36 +( y2 + 2y + 1) – 1 + 37 = 0
Na podstawie wzorów skróconego mnożenia otrzymuję:
(x – 6)2 + (y + 1)2 = 0.
Suma dwóch nieujemnych składników (x – 6)2 oraz (y + 1)2 wynosi zero, za-
tem wnioskuję, że każdy składnik jest równy zeru:
(x – 6)2 = 0 i (y + 1)2 = 0, skąd x = 6 i y = –1.
Zatem jedynym rozwiązaniem równania x2 + y2 – 12x + 2y + 37 = 0 jest
para liczb (6, –1).
![Page 30: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/30.jpg)
Zadanie
Wykaż, że jeśli x > k, to wyrażenie
x3 + 5x – kx
2 – 5k
przyjmuje tylko wartości dodatnie.
![Page 31: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/31.jpg)
Założenie: x > k
Teza: Wyrażenie x3 + 5x – kx2 – 5k przyjmuje tylko wartości dodatnie.
Dowód:
Zastosuję metodę grupowania wyrazów by przedstawić wyrażenie
x3 + 5x – kx2 – 5k
w postaci iloczynowej:
x3 + 5x – kx2 – 5k = x(x2 + 5) – k(x2 + 5) = (x2 + 5)(x – k)
Czynnik x2 + 5 jest dodatni dla każdego xR.
Z założenia wiem, że x > k, więc x – k > 0.
Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, zatem (x2 + 5)(x – k) > 0, co ozna-
cza, że wyrażenie x3 + 5x – kx2 – 5k przyjmuje tylko wartości dodatnie.
![Page 32: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/32.jpg)
Zadanie
Wykaż, że jeśli a > 2 i b < 4, to .a2b42
ab
![Page 33: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/33.jpg)
Założenie: a > 2 i b < 4
Teza:
a2b42
ab
Dowód (I sposób):
Z założenia wiem, że a > 2 i b < 4, zatem
a – 2 > 0 i b – 4 < 0.
Iloczyn liczb o różnych znakach jest ujemny, więc
(a – 2)(b – 4) < 0, skąd
ab – 4a – 2b + 8 < 0, czyli ab + 8 < 2b + 4a, zatem
2
ab+ 4 < b + 2a.
![Page 34: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/34.jpg)
Dowód (II sposób):
Wystarczy udowodnić, że 0a2b42
ab .
Najpierw przedstawię wyrażenie a2b42
ab w postaci iloczynowej:
a2b42
ab =
2
1(ab + 8 – 2b – 4a) =
2
1[a(b – 4) – 2(b – 4)] =
= 2
1(b – 4)(a – 2)
Z założenia wiem, że b < 4, czyli b – 4 < 0
Z założenia wiem, że a > 2, więc a – 2 > 0
Iloczyn liczb o różnych znakach jest ujemny, więc (b – 4)(a – 2) < 0,
skąd
2
1(b – 4)(a – 2) < 0, zatem 0a2b4
2
ab .
![Page 35: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/35.jpg)
Zadanie
Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego prawdziwa jest nierówność
tg2 + ctg
2 2.
![Page 36: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/36.jpg)
Założenie:
– kąt ostry
Teza:
tg2 + ctg
2 2
Dowód (I sposób):
Dla dowolnej liczby dodatniej a prawdziwa jest nierówność
a + a
1 2.
Wiadomo, że ctg = tg
1, gdzie – kat ostry, więc ctg
2 = 2tg
1
Ponieważ tg2 > 0, więc nierówność tg
2 + 2tg
1 2 jest prawdziwa.
![Page 37: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/37.jpg)
Dowód (II sposób):
Dla dowolnego kąta ostrego , prawdziwa jest nierówność
(tg – ctg )2 0
Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia otrzymuję:
tg2 – 2tg ctg + ctg
2 0, zatem tg
2 + ctg
2 2tg ctg
Ze związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego
kąta wiem, że
tg ctg = 1, więc tg2 + ctg
2 2.
![Page 38: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/38.jpg)
Zadanie
Dany jest sześcian ABCDA1B1C1D1.
Punkt O jest punktem przecięcia prze-
kątnych kwadratu BCC1B1 (rysunek
obok).
Wykaż, że odcinek DO jest prostopadły
do odcinka BC1.
![Page 39: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/39.jpg)
Założenie: sześcian ABCDA1B1C1D1,
O – punkt przecięcia przekątnych ściany
BCC1B1
Teza:
DO BC1
![Page 40: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie” · 2 Zadanie 6. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051012/60329137aeb7206819468a0d/html5/thumbnails/40.jpg)
Dowód:
Rozpatruję trójkąt DBC1. Jest to trójkąt równo-
ramienny, ponieważ
|DB| = |DC1|.
Punkt O (jako punkt przecięcia przekątnych
kwadratu) dzieli przekątną BC1 na połowy.
Odcinek DO jest więc środkową poprowadzoną
w trójkącie równoramiennym DBC1 do podstawy
BC1, jest więc wysokością w tym trójkącie, zatem
DO BC1