zadatak 081 (filip, više nije srednja škola · 2018-07-07 · težinom. mica sjekira osu đena je...
TRANSCRIPT
1
Zadatak 081 (Filip, više nije srednja škola ☺☺☺☺)
Tri zatvorenice dobile su poklon tvornice Zvečevo u kojem se nalazilo 109 čokolada.
Dogovorile su se da čokolade podijele u skladu s dužinom zatvorske kazne, godinama starosti i
težinom. Mica Sjekira osuđena je na 20 godina, ima 42 godine i teška je 105 kilograma. Lolita je
osuđena na 15 godina, stara je 20 godina i teška 38 kilograma. Đurđa je osuđena na 8 godina, ima 60
godina i teška je 65 kilograma. Koliko će čokolada dobiti svaka zatvorenica?
Rješenje 081 Ponovimo!
Složenim računom diobe služimo se kada su dijelovi veličine koju treba podijeliti razmjerni s više
veličina. Kada neku veličinu trebamo podijeliti na dijelove x1, x2, x3, …, xn upravo razmjerno s trima
veličinama zadanim nizovima brojeva:
, , , ... , , , , ... , , , , ... ,1 2 3 1 2 3
, ,1 2 3
a a a a b b b b c c c cn n n
tada je
1 1 1 1 2 2 2 2 3, , ..
3.
3 3,x k a b c x k a b c x k a b c x k a b cn n n n= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
gdje je k koeficijent razmjernosti.
Označimo broj čokolada prve zatvorenice Mice Sjekire s x1, broj čokolada druge zatvorenice Lolite s
x2 i treće zatvorenice Đurđe s x3.
Tada je:
109.1 2 3
x x x+ + =
Veličine su upravo razmjerne (više godina zatvora – više čokolada, više godina starosti – više
čokolada, veća težina – više čokolada).
Prva zatvorenica Mica Sjekira dobila je:
20 42 105 88000 .1 1
x k x k= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
Druga zatvorenica Lolita dobila je:
15 20 38 11400 .2 2
x k x k= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
Treća zatvorenica Đurđa dobila je:
8 60 65 31200 .3 3
x k x k= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
Ukupno je
88000 11400 31200 130 600 .1 2 3 1 2 3
x x x k k k x x x k+ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ + + = ⋅
Računamo k koeficijent razmjernosti.
metoda/ : 130 600
komparacije
130 6001 2 3
130 600 109 130 600 109109
1 2 3
x x x kk k
x x x
+ + = ⋅⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒
+ + =
109
.130 600
k⇒ =
Broj čokolada iznosi:
• Prva zatvorenica Mica Sjekira
2
880001
10988000 73.109 1 1130 600
130 600
x k
x xk
= ⋅
⇒ = ⋅ ⇒ ==
• Druga zatvorenica Lolita
114002
10911400 10.109 2 2130 600
130 600
x k
x xk
= ⋅
⇒ = ⋅ ⇒ ==
• Treća zatvorenica Đurđa
312003
10931200 26.109 3 3130 600
130 600
x k
x xk
= ⋅
⇒ = ⋅ ⇒ ==
Vježba 081 Tri zatvorenice dobile su poklon tvornice Zvečevo u kojem se nalazilo 218 čokolada.
Dogovorile su se da čokolade podijele u skladu s dužinom zatvorske kazne, godinama starosti i
težinom. Mica Sjekira osuđena je na 20 godina, ima 42 godine i teška je 105 kilograma. Lolita je
osuđena na 15 godina, stara je 20 godina i teška 38 kilograma. Đurđa je osuđena na 8 godina, ima 60
godina i teška je 65 kilograma. Koliko će čokolada dobiti svaka zatvorenica?
Rezultat: 146, 20, 52.
Zadatak 082 (Željko, srednja škola)
Prosječna visina djevojčica u nekom razredu je 164 cm, a dječaka 172 cm. Ako je prosječna
visina u razredu 167 cm, koliki je omjer broja djevojčica i broja dječaka u razredu?
Rješenje 082 Ponovimo!
Neka je dan skup n pozitivnih brojeva { }, , , ... , .1 2 3
a a a an Tada je aritmetička sredina ili prosjek
An brojeva a1, a2, a3, … , an definirana izrazom
...1 2 3 .
a a a anAn
n
+ + + +=
Ako su a1, a2, a3, … , an veličine čiji se prosjek traži i imamo
f1 veličine a1
f2 veličine a2
………….….
fn veličine an,
tada je prosječna vrijednost vagana (ponderirana) aritmetička sredina:
....1 1 2 2 3 3
...1 2 3
f a f a f a f an nAn
f f f fn
⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅=
+ + + +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Neka je x broj djevojčica, a y broj dječaka u razredu. Budući da je prosječna visina djevojčica u
razredu 164 cm, dječaka 172 cm, a prosječna visina svih u razredu 167 cm, slijedi:
( )164 172 164 172
167 7 /16x y x y
x y xx
yy
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= ⇒ = ⋅
++ ⇒
+
( )164 172 167 164 172 167 167x y x y x y x y⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒
3
172 167 167 164 5 3 3 5 3 51
/3
y y x x y x y x yy
x⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅= ⋅⋅
⋅ ⇒
5: 5 : 3.
3
xx y
y⇒ = ⇒ =
Vježba 082
Prosječna visina djevojčica u nekom razredu je 164 cm, a dječaka 172 cm. Ako je prosječna
visina u razredu 167 cm, koliki je omjer broja dječaka i broja djevojčica u razredu?
Rezultat: 3 : 5.
Zadatak 083 (4A, TUPŠ)
Voda čini 3
5 mase odrasloga čovjeka. Koliko je kilograma bjelančevina u tijelu čovjeka mase
60 kg ako je omjer bjelančevina i vode u njegovu tijelu 3 : 10?
Rješenje 083 Ponovimo!
1.
nn =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Ako su a i b brojevi, kažemo da je kvocijent a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
Kako zapisati od ?a
xb
.a
xb
⋅
Ako voda čini 3
5 mase odrasloga čovjeka, onda u tijelu čovjeka mase 60 kg ima 36 kg vode.
603 3 3
60 12 35 5
6.1
⋅ = ⋅ = ⋅ =
Iz omjera bjelančevina b i vode v u čovjekovu tijelu izračunamo broj kilograma bjelančevina.
: 3 : 10: 36 3 : 10 10 108 10 108 1/ : 1 0.8
60 .
3
b vb b b b
v
=⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
=
U tijelu čovjeka ima 10.8 kg bjelančevina.
4
Vježba 083
Voda čini 3
5 mase odrasloga čovjeka. Koliko je kilograma bjelančevina u tijelu čovjeka mase
50 kg ako je omjer bjelančevina i vode u njegovu tijelu 3 : 10?
Rezultat: 9 kg.
Zadatak 084 (4A, TUPŠ)
Za brojeve c, d vrijedi da je c : d = 2 : 5 i d = 2 · c + 10. Koliko je c?
Rješenje 084
Ponovimo!
Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (količnik) omjera.
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
1.inačica
Iz sustava jednadžbi dobije se c.
( )metoda
supstit
: 2 : 5 5 25 2 2 10
2 uc j2 e1 i0 10
c d c dc c
d c d c
= ⋅ = ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⇒
= ⋅ + = ⋅ +
5 4 20 5 4 20 20.c c c c c⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ =
2.inačica
Izračunamo faktor razmjernosti ili proporcionalnosti k.
( )metoda
faktor razmjernostisup
2 , 5: 2 : 5
5 2stitucije
2 102 10
2 10
c k d kc d
k kd c
d
k
c
= ⋅ = ⋅=
⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⇒= ⋅ +
= ⋅ +
−
5 4 10 5 4 10 10.k k k k k⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ =
Broj c iznosi:
22 10 20.
10
c kc c
k
= ⋅⇒ = ⋅ ⇒ =
=
Vježba 084
Za brojeve c, d vrijedi da je c : d = 2 : 5 i d = 2 · c + 10. Koliko je d?
Rezultat: 50.
5
Zadatak 085 (4A, 4B, TUPŠ)
Omjer duljina dviju dužina bio je 2 : 5. Svaka dužina skraćena je za 1.6 cm te je omjer
skraćenih dužina 2 : 7. Kolika je bila razlika njihovih duljina prije skraćivanja?
. 3 . 5 . 6 . 10A cm B cm C cm D cm
Rješenje 085
Ponovimo!
Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (količnik) omjera.
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Neka su x i y duljine zadanih dužina. Tada vrijedi sustav jednadžbi.
( ) ( ) ( ) ( )
: 2 : 5 5 2 5 2
1.6 : 1.6 2 : 7 7 1.6 2 1.6 7 11.2 2 3.2
x y x y x y
x y x y x y
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⇒ ⇒ ⇒
− − = ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ −
5 2 0 5 2 0
7 2 3.2 11.2 7 2
metoda suprotnih
koeficijenat8 a
x y x y
x y x y
⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⋅ − ⋅ = − + ⋅ − ⋅ =
( )/ 15 2 0 5 2 02 8 2 8 4.
7 2 87 2/ : 2
8
x y x yx x x
x yx y
⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
⋅ − ⋅ =⋅ − ⋅
⋅ −
=
Računamo y.
( )5 2 0
5 4 2 0 20 2 0 2 20 2 2 / : 20 10.4
x yy y y y y
x
⋅ − ⋅ =⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒
=− =
Razlika duljina dužina prije skraćivanja iznosila je:
410 4 6 .
10
x cmy x cm cm cm
y cm
=⇒ − = − =
=
Odgovor je pod C.
Vježba 085
Omjer duljina dviju dužina bio je 4 : 10. Svaka dužina skraćena je za 1.6 cm te je omjer
skraćenih dužina 2 : 7. Kolika je bila razlika njihovih duljina prije skraćivanja?
. 3 . 5 . 6 . 10A cm B cm C cm D cm
Rezultat: C.
6
Zadatak 086 (Lucija, graditeljska tehnička škola)
Broj 2400 podijeli na tri dijela koji su u omjeru 3 : 5 : 8.
Rješenje 086
Ponovimo!
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
Ako postoji n jednakih omjera
:1 1
a b k=
:2 2
a b k=
:3 3
a b k=
...
: ,a b kn n =
produženi razmjer je
: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3
a a a a b b b bn n=
Produženi razmjer ima sljedeća svojstva:
( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 1 1
a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =
( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 2 2
a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =
( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 3 3
a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =
...
( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3
.a a a a b b b b a bn n n n± ± ± ± ± ± ± ± =
1.inačica
Broj 2400 podijelit ćemo na tri broja a, b i c u zadanom omjeru. Zato pišemo:
metoda
supstitucijekoeficijent propo
3
5: : 3 : 5 : 8
82 40
rcionalnos0
2 40
ti
0
a k
b ka b c
c ka b c
a b c
k
= ⋅
= ⋅=
⇒ = ⋅ ⇒ ⇒+ + =
+
−
+ =
3 5 8 2 400 16 2 400 16 / : 12 400 150.6k k k k k k⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Tada je:
[ ]
3 3 150 450
5 5 150 750 .
8 8 150 0
150
12 0
k
a k a a
b k b b
c k c c
=
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ =
= ⋅ = ⋅ =
2.inačica
Broj 2400 podijelit ćemo na tri broja a, b i c u zadanom omjeru. Uporabit ćemo svojstvo produženog
razmjera.
Broj a
• 2 400 , : : 3 : 5 : 8.a b c a b c+ + = =
7
( ) ( ): 3 5 8 : 3 2 400 : 16 : 3 16 7 200a b c a a a+ + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒
/ :1 16 7 200 450.6a a⇒ ⋅ = ⇒ =
Broj b
• 2 400 , : : 3 : 5 : 8.a b c a b c+ + = =
( ) ( ): 3 5 8 : 5 2 400 : 16 : 5 16 12 000a b c b b b+ + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒
/16 12 00 :0 750.16b b⇒ ⋅ = ⇒ =
Broj c
• 2 400 , : : 3 : 5 : 8.a b c a b c+ + = =
( ) ( ): 3 5 8 : 8 2 400 : 16 : 8 16 19 200a b c c c c+ + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒
/ :1 16 19 200 120 .6 0c c⇒ ⋅ = ⇒ =
Ili
( ) ( ) ( )2 400 450 750 2 400 1200 1200.c a b c a b= + + − + = − + = − =
3.inačica
Traženi brojevi su:
• 3 3
2 400 2 400 4503 5 8 16
⋅ = ⋅ =+ +
• 5 5
2 400 2 400 7503 5 8 16
⋅ = ⋅ =+ +
• 8 8
2 400 2 400 1200.3 5 8 16
⋅ = ⋅ =+ +
Vježba 086
Broj 4800 podijeli na tri dijela koji su u omjeru 3 : 5 : 8.
Rezultat: 900, 1500, 2400.
Zadatak 087 (Matea, hotelijerska škola)
U miješanome je voćnom soku omjer količina soka jabuke i soka naranče 1 : 4, a omjer
količina soka limuna i soka naranče 2 : 5. Koji je omjer količina soka jabuke i soka limuna?
. 1 : 2 . 3 : 9 . 4 : 5 . 5 : 8A B C D
Rješenje 087
Ponovimo!
Omjer je kvocijent dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (kvocijent) omjera.
Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem.
( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅
( ) ( ): : : .:a b a n b n=
Ako postoji n jednostavnih omjera, takvih da je
8
:1 2 1
:2 3 2
:3 4 3
....................
:1 1
a a k
a a k
a a k
a a knn n
=
=
=
=− −
produženi omjer je
: : : : ... : :1 3 4
.2 1
a a a a a ann−
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
Svojstvo razmjera
: : : .:a b c d b a d c= ⇒ =
Ako postoji n jednakih omjera
:1 1
a b k=
:2 2
a b k=
:3 3
a b k=
...
: ,a b kn n =
produženi razmjer je
: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3
a a a a b b b bn n=
Produženi razmjer ima svojstvo:
( ) ( ) ( ) ( ): : : ... : : : : ... : , 01 2 3 1 2 3
.a a a a b n b n b n b n nn n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≠
: :: : : :
: :, , .
a b a b x ya b a c a ca b c x y z
c d b c y zc d b d b d
= = ⋅⇒ = ⇒ = ⋅ =
= = ⋅
: .a c a d a d
b d b c b c
⋅= ⋅ =
⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅ Neka je:
a – količina soka jabuke
b – količina soka naranče
c – količina soka limuna.
1.inačica
metod: 1 a
z
: 4 42 4 5 8 5
: amjen2 : 5 2 e5
a b b aa c a c
c b b c
= = ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒
= ⋅ = ⋅
9
1/
8
58 5 : 5 : 8.
8c
aa c a c
c⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =⋅
⋅
Odgovor je pod D.
2.inačica
podijelimo
jednak
1
: 1 : 4 1 2 1 54: :
: 2 : 5 2 4 5
5
o 4 2sti
a
a b a c a bb
c b c b b b c
b
==
⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒=
=
1 5 5: 5 : 8.
4 2 8
a ac
cba
b
c⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =
Odgovor je pod D.
3.inačica
( ) ( )
( ) ( )
: 1 5 : 4 5: 1 : 4 : 1 : 4 : 5 : 20
: 2 : 5 : 5 : 2 : 20 : 8: 5 4 : 2 4
a ba b a b a b
c b b c b cb c
= ⋅ ⋅= = =⇒ ⇒ ⇒ ⇒
= = == ⋅ ⋅
: : 5 : 20 : 8 : : : 20 : : 5 :8 8.5a b bac c a c⇒ = ⇒ = ⇒ =
Odgovor je pod D.
Vježba 087
U miješanome je voćnom soku omjer količina soka jabuke i soka naranče 1 : 4, a omjer
količina soka limuna i soka naranče 2 : 5. Koji je omjer količina soka limuna i soka jabuke?
. 2 : 1 . 9 : 3 . 5 : 4 . 8 : 5A B C D
Rezultat: D.
Zadatak 088 (Petra, ekonomska škola)
Ako je 3 : 5 7 : 11, koliko je : ?x y x y=
Rješenje 088
Ponovimo!
Omjer je kvocijent dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (kvocijent) omjera.
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
.1,a c a c a b
b d b d b a
⋅⋅ = ⋅ =
⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
10
1.inačica
3 7 3 7 353 : 5 7 : 11 : 35 : 33.
5 11 5 1
5/
1 333
x x xx y x y
y y y
⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = =⋅= ⇒ ⇒
⋅ ⋅
2.inačica
353 : 5 7 : 11 33 35 33 35 : 35 : 33.
3
1/
33 3
xx y x y x y x y
yy= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =⋅
⋅ Vježba 088
Ako je 4 : 5 7 : 11, koliko je : ?x y x y=
Rezultat: 35 : 44.
Zadatak 089 (ABC, ekonomska škola)
Tri prijatelja dijele dobit u omjeru 5 : 6 : 9. Razlika između onoga koji je dobio najviše i onoga
koji je dobio najmanje je 2540 kn. Koliko je iznosila njihova ukupna dobit?
. 8890 . 10160 . 12 700 . 16933A kn B kn C kn D kn
Rješenje 089
Ponovimo!
Omjer je kvocijent dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (kvocijent) omjera.
Ako postoji n jednakih omjera
:1 1
a b k=
:2 2
a b k=
:3 3
a b k=
...
: ,a b kn n =
produženi razmjer je
: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3
a a a a b b b bn n=
Kako se računa od ?a
xb
.a
xb
⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
1.inačica
Neka je:
• a iznos dobiti prvog prijatelja
• b iznos dobiti drugog prijatelja
• c iznos dobiti trećeg prijatelja.
Prema uvjetima zadatka dobije se:
11
koeficij
5
6: : 5 :
ent proporciona
6 : 9 .9
lnosti
a
k
k
b ka b c
c k
= ⋅
−
= ⋅= ⇒
= ⋅
Iz razmjera vidi se da je treći prijatelj dobio najviše, a prvi najmanje. Budući da je razlika između
onoga koji je dobio najviše i onoga koji je dobio najmanje 2540 kn, vrijedi jednadžba:
2540 9 5 2540 4 2540 4 2540 6 5./ : 4 3c a k k k k k− = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Sada je:
55 635 3175 kn
66 635 3810 kn .
99 635 5715 kn
635
a ka a
b kb b
c kc c
k
= ⋅= ⋅ =
= ⋅⇒ = ⋅ ⇒ =
= ⋅= ⋅ =
=
Ukupna dobit iznosila je:
3175 3810 5715 12 700 .a b c kn kn kn kn+ + = + + =
Odgovor je pod C.
2.inačica
Budući da tri prijatelja cjelokupnu dobit dijele u omjeru 5 : 6 : 9, podijelit ćemo dobit na 20
(20 = 5 + 6 + 9) jednakih dijelova. Tada će prvi prijatelj dobiti pet dvadesetina, drugi šest dvadesetina
i treći prijatelj dobit će devet dvadesetina cjelokupnog iznosa. Najviše je dobio treći, a najmanje prvi
prijatelj. Razlika među njima je
9 5 4 1.
20 20 2
4
200 5− = = =
jedna petina cjelokupne dobiti i iznosi 2540 kn
Ako sa x označimo cjelokupnu dobit tada vrijedi jednadžba:
1 12540 2540 12700 .
5 5/ 5x x x kn⋅⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Odgovor je pod C.
Vježba 089
Tri prijatelja dijele dobit u omjeru 9 : 6 : 5. Razlika između onoga koji je dobio najviše i onoga
koji je dobio najmanje je 2540 kn. Koliko je iznosila njihova ukupna dobit?
. 8890 . 10160 . 12 700 . 16933A kn B kn C kn D kn
Rezultat: C.
Zadatak 090 (Ivana, gimnazija)
U nekoj šumi omjer stabala graba i stabala hrasta iznosi 11 : 14. Koliki će biti omjer stabala
graba i stabala hrasta u toj šumi kada se posiječe 4
11 stabala graba, a sadnjom poveća broj stabala
hrasta za 1
?6
12
. 3 : 7 . 7 : 12 . 11 : 24 . 25 : 36A B C D
Rješenje 090
Ponovimo!
,1
, , .
a
a c a c a d n a c a d b cb ncb d b d b c b d b d
d
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⋅ = = = − =
⋅ ⋅ ⋅
.a c a d b c
b d b d
⋅ + ⋅=
⋅+
Omjer je kvocijent dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je: a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (kvocijent) omjera.
Kako se računa od ?a
xb
.a
xb
⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
11 : 14
Ako slovom g označimo broj stabala graba, a slovom h broj stabala hrasta, onda se njihov omjer može
zapisati kao
11: 11 : 14 .
14
gg h
h= ⇒ =
Kada se u toj šumi posiječe 4
11 stabala graba ostat će:
4 4 1 4 11 4 71 .
1 1 1 1 111 11 1 11 11 11g g g g g g g g g g g
−= − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅
Kada se u toj šumi sadnjom poveća za 1
6 broj stabala hrasta bit će:
1 1 1 1 6 1 71 .
1 1 1 1 16 6 1 6 6 6h h h h h h h h h h h
+= + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅
13
Računamo novi omjer.
7 1
6 61 11 1 11 1 11 1 17 1 11 11
1 1 1 1 16 6 6
7
7
g g gg g g g gg g
h h h h h h hh h h
⋅ ⋅ ⋅⋅
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒⋅
⋅ ⋅ ⋅
11 6 11
14 11 14
6 11 3 1 31 1 1 1 : 3 : 7.1 111 14 1 7 7
1 1 1 1
g g g g gg h
h h h hh⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ ==
Odgovor je pod A.
Vježba 090
U nekoj šumi omjer stabala graba i stabala hrasta iznosi 22 : 28. Koliki će biti omjer stabala
graba i stabala hrasta u toj šumi kada se posiječe 4
11 stabala graba, a sadnjom poveća broj stabala
hrasta za 1
?6
. 3 : 7 . 7 : 12 . 11 : 24 . 25 : 36A B C D
Rezultat: A.
Zadatak 091 (Dražen, srednja škola)
U kojem omjeru treba pomiješati 5 – postotnu i 50 – postotnu otopinu neke tvari da bi se
dobila 25 – postotna otopina te tvari?
. 7 : 5 . 5 : 4 . 3 : 2 . 2 : 3A B C D
Rješenje 091
Ponovimo!
.a a c
cb b
⋅⋅ =
Omjer je kvocijent dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (kvocijent) omjera.
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100. Postotak p je broj
jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine.
Na primjer,
9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .
100 100 100%
1100 00
pp= = = = =
Kako se računa ''... p% od x...''?
.100
px⋅
14
Označimo slovom x količinu prve, a slovom y količinu druge otopine. Tada će vrijediti:
( ) ( )5 50 25 5 50 25
100 100 100 100 100/
00
02
1x y x y x y x y⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅= ⋅ ⇒
( )10 5 10 5 5 5 5 10 4 5x y x y x y x y x x y y x y⇒ + ⋅ = ⋅ + ⇒ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ − ⋅ = − ⋅ ⇒
( )5 5 5
4 5 : 5 : 4.4 4
1/ 4
4: /
xx y x y x y x
yy
y⇒ − ⋅ = − ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅⋅−
Odgovor je pod B.
Vježba 091
U kojem omjeru treba pomiješati 1 – postotnu i 10 – postotnu otopinu neke tvari da bi se
dobila 5 – postotna otopina te tvari?
. 7 : 5 . 5 : 4 . 3 : 2 . 2 : 3A B C D
Rezultat: B. Zadatak 092 (Josip, gimnazija)
Ako je omjer razlike, zbroja i umnoška dvaju brojeva jednak 1 : 2 : 6, koliki je kvocijent tih
brojeva?
Rješenje 092
Ponovimo!
Omjer je kvocijent dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (kvocijent) omjera.
Ako postoji n jednakih omjera
:1 1
a b k=
:2 2
a b k=
:3 3
a b k=
...
: ,a b kn n =
produženi razmjer je
: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3
a a a a b b b bn n=
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Neka su a i b dva broja za koje vrijedi uvjet zadatka.
( ) ( ) ( ): : 1 : 2 : 6 2 .
6
koeficijent razmjernosti
a b k
a b a b a b a b k
a b k
k
− =
− + ⋅ = ⇒ + = ⋅ −
⋅ = ⋅
Računamo broj b.
15
metoda suprotnih 1/
koeficijena
32 3 2 3 .
ta 22 2
a b ka k a k a k
a b k
− =⇒ ⇒ ⋅ ⋅= ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅
+ = ⋅
Promatramo sustav:
2/
33 3
6 6 4.22 2
63
a kk b k k b k b
a b kk
= ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ =
⋅ =
⋅⋅
⋅
Broj a možemo izračunati na tri načina.
1.inačica
4 42
4 2 2
metoda s
4
uprotnih
koeficijenat4
a
a b ka k a k
a b ka k a k
b
− =− = − =
+ = ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒+ = ⋅ − ⋅ = −
=
( )( )
4 2 2 812 12 12.
2 42
/ 2/
41
a k a ka a a
a ka k
− = − ⋅ + ⋅ = −⇒ ⇒ ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ =
−
⋅ −⋅
⋅ =− ⋅ = −−
−
Tada je
: 12 : 4 : 3.a b a b= ⇒ =
2.inačica
4 4 46
4 6 4 6
metoda
/ : 2 2 34
zamjene
a b ka k a k a k
a b ka k a k a k
b
− =− = − = − =
⋅ = ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
=
( )2 3 4 2 3 12 2 3 12 12a a a a a a a⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ − ⋅ = − ⇒ − = − ⇒
( )12 12/ 1 .a a⋅ −⇒ − = − ⇒ =
Tada je
: 12 : 4 : 3.a b a b= ⇒ =
3.inačica
24 2 2 4 metoda suprotni
64 6 4 6 0
4
h
koeficijenata
a b ka k a k
a b ka k a k
b
+ = ⋅+ = ⋅ − ⋅ = −
⋅ = ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ =
=
( )2 4 3 6 1212.
4 60
3
04
/
6
a k a ka
a ka k
− ⋅ = − − ⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ =
⋅ − ⋅ =⋅ − ⋅ =
⋅ −
Tada je
: 12 : 4 : 3.a b a b= ⇒ =
Vježba 092
Ako je omjer razlike, zbroja i umnoška dvaju brojeva jednak 2 : 4 : 12, koliki je kvocijent tih
brojeva?
Rezultat: : 3.a b =
Zadatak 093 (Lara, gimnazija)
Površina slike na platnu u kinu proporcionalna je kvadratu udaljenosti projektora od platna.
Kada je projektor udaljen 6 m, površina slike je 5.76 m2.
a) Kolika je površina slike, ako je projektor udaljen 20 m?
b) Kolika je udaljenost projektora, ako je površina slike 10 m2?
16
Rješenje 093
Ponovimo!
Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (količnik) omjera.
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
2, 0, , .
nna a
a b a b a a anbb
= ⋅ = ⋅ = ≥
a2
a1
P2
P1
a)
22 2 2 2 2 2 2: :
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 21
1/
21
aP P a a P a P a P P P P
aa
a a= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ = ⋅⋅= ⋅ ⇒
2 2 21
2
1
2
1
5.76 5.762 1 2 2
5.7620
2020
6 66
P P P P
Pa
a
aa
⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒
=
=
=
⇒
210 2
5.76 64 .2 23
P P m⇒ = ⋅ ⇒ =
b)
17
2 2 2 2 2 2 2 22: :1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1
1
1/
1
PP P a a P a P a P
Pa P a a a
P= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ = ⋅⋅= ⋅ ⇒
2 2 2 22 2 22 1 2 2
1 1
/1 1
1
P P Pa a a a a a
P P P⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒
61
102
5.7
2102 6 7.91 .
2 1 2 25.761
61
Pa a a a m
PP
a
P⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅= ⇒
=
=
=
Vježba 093
Površina slike na platnu u kinu proporcionalna je kvadratu udaljenosti projektora od platna.
Kada je projektor udaljen 3 m, površina slike je 5.76 m2. Kolika je površina slike, ako je projektor
udaljen 10 m?
Rezultat: 64 m2.
Zadatak 094 (Leon, gimnazija)
Imamo dvije bačve s otopinom octa u vodi. U prvoj je bačvi omjer octa i vode 1 : 2, a u
drugoj, dvostruko većoj, omjer je 1 : 3. Ako sadržaje obje bačve izlijemo u neku treću, koliki će omjer
octa i vode biti u njoj?
Rješenje 094
Ponovimo!
Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (količnik) omjera.
Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem.
( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅
( ) ( ): : : .:a b a n b n=
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
1, , .
a c a d b c n a c a d b cn
b d b d b d b d
⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅+ = = − =
⋅ ⋅
Kako zapisati da je broj b dvostruko veći od broja a?
2 22
, , .b b
b a aa
= ⋅ = =
Neka je V volumen prve bačve. Druga će imati volumen 2 · V. Kada sadržaje obje izlijemo u neku
treću u njoj će biti volumen 3 · V.
U prvoj bačvi je omjer 1 : 2. To znači da je octa
1,
3V⋅
18
a vode
2.
3V⋅
U drugoj bačvi je omjer 1 : 3. To znači da je octa
1 12
4
12 ,
4 2V V V⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
a vode
3 32
4
32 .
4 2V V V⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
Miješanjem u trećoj bačvi dobije se volumen 3 · V. U njoj je octa
1 1 2 3 5,
3 2 6 6
V VV V V
⋅ + ⋅⋅ + ⋅ = = ⋅
a vode
5 3 5 18 5 133 .
6 1 6 6 6
V VV V V V V
⋅ − ⋅⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = = ⋅
Računamo omjer octa i vode u trećoj bačvi:
5 13 5 6 13 6 6 6
6
5 13: : : 5 : 13.
6 6 6 66V V
VV V V
V V VV⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
1 : 31 : 2
Vježba 094
Imamo dvije bačve s otopinom octa u vodi. U prvoj je bačvi omjer octa i vode 2 : 4, a u
drugoj, dvostruko većoj, omjer je 2 : 6. Ako sadržaje obje bačve izlijemo u neku treću, koliki će omjer
octa i vode biti u njoj?
Rezultat: 5 : 13.
Zadatak 095 (4B, TUPŠ)
Omjer duljina dviju dužina bio je 2 : 5. Svaka dužina skraćena je za 1.6 cm te je omjer
skraćenih dužina 2 : 7. Kolika je bila razlika njihovih duljina prije skraćivanja?
. 3 . 5 . 6 . 10A cm B cm C cm D cm
Rješenje 095
Ponovimo!
Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (količnik) omjera.
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
19
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Neka su x i y duljine dviju dužina prije skraćivanja. Tada vrijede razmjeri:
( ) ( ) ( ) ( )
: 2 : 5 2 5
1.6 : 1.6 2 : 7 7 1.6 2 1.6
x y y x
x y x y
= ⋅ = ⋅⇒ ⇒
− − = ⋅ − = ⋅ −
5 52 5
2 27 11.2 2 3.2
7 2 3.2 11.2 7 2 8
/ : 2y x y x y x
x yx y x y
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⋅ − = ⋅ −⋅ − ⋅ = − + ⋅ − ⋅ =
5 57 2 8 7 8 7 5 8
2
metoda2
zamjene 2x x x x x x⇒ ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒
2 8 2 8 / : 2 4 .x x x cm⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Računamo y.
55 5
4 10 .22
4
42
y xy y y cm
x
= ⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =
=
Razlika duljina dužina prije skraćivanja iznosila je:
10 4 6 .y x cm cm cm− = − =
Odgovor je pod C.
Vježba 095
Omjer duljina dviju dužina bio je 4 : 10. Svaka dužina skraćena je za 1.6 cm te je omjer
skraćenih dužina 2 : 7. Kolika je bila razlika njihovih duljina prije skraćivanja?
. 3 . 5 . 6 . 10A cm B cm C cm D cm
Rezultat: C.
Zadatak 096 (MP, TUPŠ)
Zadani omjer 3 12
:4 18
napiši u obliku omjera prirodnih brojeva.
Rješenje 096
Ponovimo!
, .1
n a c a cn
b d b d
⋅= ⋅ =
⋅
Omjer je kvocijent dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (količnik) omjera.
Vrijednost omjera se ne mijenja ako se članovi omjera pomnože (proširivanje omjera) s nekim realnim
20
brojem različitim od nule.
( ) ( ) .: :a b k a n b n k= ⇒ ⋅ ⋅ =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅ omjer pomnožimo najmanjim
drugi razlomak 12zajedničkim višekra
3 12 3 3 2: : :
4 18 4 4 3tnikom
skratimo brojem 6 18nazivnika 4 i 3, tj. brojem 12
= = = = =
3 2 3 12 2 12 312 : 12 : :
12 2 12
4 34 3 4 1 3 1 1 1= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
3 3 2 4: 9 : 8.
1 1 1 1= ⋅ ⋅ =
Vježba 096
Zadani omjer 3 1
:4 5
napiši u obliku omjera prirodnih brojeva.
Rezultat: 15 : 4.
Zadatak 097 (4B, TUPŠ)
Težina nekog objekta obrnuto je proporcionalna kvadratu njegove udaljenosti od središta
Zemlje. Na Zemljinoj površini, što je 6400 km od središta Zemlje, težina astronauta je 824 N. Koliko
je taj astronaut udaljen od Zemljine površine ako mu je težina 74 N?
. 1918 . 14956 . 82 467 . 447 634A km B km C km D km
Rješenje 097
Ponovimo!
1 2: ,, , 0.a a b a b a b a a a
b= ⋅ ⋅ = ⋅ = ≥
Ako su a i b brojevi, kažemo da je količnik a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.
Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem.
( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅
( ) ( ): : : .:a b a n b n=
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
hR
A
21
Neka je h udaljenost astronauta od Zemljine površine. Tada je njegova udaljenost od središta Zemlje
jednaka .R h+
Vrijedi razmjer:
( )( ) ( )
1 1 2 22 2: :
1 1 12 2G G G R G R h G R h G R
R R h
= ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⋅ ⇒+
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
11
1/ /
1 1
G GG R h G R R h R R h R
G GG⇒ ⋅ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅⋅ ⇒
2 2
1 1 1 1
G G G GR h R R h R R h R h R R
G G G G⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ = ⋅ − ⇒
6 400
824
7
8241 6 400 1 14956 .
741 4
1
R km
G N
G N
G Nh R h km h km
G N⇒ = ⋅ − ⇒
=
=
=
⇒ = ⋅ − ⇒ =
Odgovor je pod B.
Vježba 097
Težina nekog objekta obrnuto je proporcionalna kvadratu njegove udaljenosti od središta
Zemlje. Na Zemljinoj površini, što je 6400 km od središta Zemlje, težina astronauta je 1648 N. Koliko
je taj astronaut udaljen od Zemljine površine ako mu je težina 148 N?
. 1918 . 14956 . 82 467 . 447 634A km B km C km D km
Rezultat: B.
Zadatak 098 (4B, TUPŠ)
Ivica i Marica dijele određenu svotu novca u omjeru 4 : 5. Na kraju Marica ima 60 kn. Koliko
su novca imali?
Rješenje 098
Ponovimo!
Ako su a i b brojevi, kažemo da je količnik a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.
Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem.
( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅
( ) ( ): : : .:a b a n b n=
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
1.inačica
Maričin udio je 60 kn, a to je 5 dijelova pa svaki dio iznosi 12 kn.
60 : 5 12 .kn kn=
Ukupno je bilo 9 dijelova (4 + 5) što iznosi 108 kn.
12 9 108 .kn kn⋅ =
2.inačica
Neka je x Ivičina svota novca. Tada vrijedi razmjer.
22
: 60 4 : 5 5 240 5 240 / : 45 8 .x x x x kn= ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Ivica i Marica imali su 108 kn.
60 48 108 .kn kn kn+ =
Vježba 098
Ivica i Marica dijele određenu svotu novca u omjeru 2 : 3. Na kraju Marica ima 60 kn. Koliko
su novca imali?
Rezultat: 100 kn.
Zadatak 099 (Mario, srednja škola)
Ako je a : b = 2 : 3 i c : b = 5 : 6, koliko je a : c?
. 4 : 5 . 5 : 4 . 2 : 5 . 3 : 5A B C D
Rješenje 099
Ponovimo!
, .
a
a b a b a db
cc d c d b c
d
= ⋅⇒ = =
= ⋅
Ako su a i b brojevi, kažemo da je količnik a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.
Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem.
( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅
( ) ( ): : : .:a b a n b n=
Produženi omjer je skraćeni način pisanja n jednostavnih omjera.
Ako postoji n jednostavnih omjera, takvih da je
:1 2 1
:2 3 2
:3 4 3
...
:1 1,
a a k
a a k
a a k
a a knn n
=
=
=
=− −
produženi omjer je:
: : : ... :1 2
.3
a a a an
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
23
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
1.inačica
( ) ( ): 2 2 : 3 2: 2 : 3 : 2 : 3 : 4 : 6
: 5 : 6 : 6 : 5 : 6 : 5: 6 : 5
a ba b a b a b
c b b c b cb c
= ⋅ ⋅= = =⇒ ⇒ ⇒ ⇒
= = ==
: 4 :: 4 : 5.
: : 5
6
6
b
b
aa c
c
=⇒ ⇒ =
=
Odgovor je pod A.
2.inačica
podijelimo 3
jed
2 2 2: 2 : 3 3 3
5 5: 5 : 6 na5
66
kosti
6
a a a
a b b b
c cc b c
bb
b
b
==
⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒=
=
2
41 : 4 : 5.5 5
2
a aa c
c c⇒ = ⇒ = ⇒ =
Odgovor je pod A.
Vježba 099
Ako je a : b = 2 : 3 i c : b = 5 : 6, koliko je c : a?
. 4 : 5 . 5 : 4 . 2 : 5 . 3 : 5A B C D
Rezultat: B.
Zadatak 100 (Katarina, maturantica)
Umnožak dvaju pozitivnih brojeva je 640. Koliki je njihov zbroj ako im je omjer 2 : 5?
. 42 . 48 . 56 . 64A B C D
Rješenje 100
Ponovimo!
,1
.n m n m
a a a a a+
= ⋅ =
Ako su a i b brojevi, kažemo da je kvocijent a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
1.inačica
Neka su x i y traženi pozitivni brojevi. Tada možemo zapisati sustav od dvije linearne jednadžbe sa
dvije nepoznanice.
24
640640 640 640
5: 2 : 5 2
metoda
/ : 2 zamjen2
e5 2 5
x yx y x y x y
x y y x y x y x
⋅ =⋅ = ⋅ = ⋅ =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
5 5 5 2 22 2 2 2640 640 640 640
2 2 2 5
2/ 640
5 5x x x x x x⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅⋅ ⇒
2 2 2120 2 256 2
u56 25
vjet6 16/
0.x x x x x
x⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ ⇒ =
>
Računamo y.
165 5
16 516 8 40.2
22
5
x
y y y yy x
=
⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ == ⋅
Njihov zbroj iznosi:
16 40 56.x y x y+ = + ⇒ + =
Odgovor je pod C.
2.inačica
Neka su x i y traženi pozitivni brojevi. Iz zadanog omjera slijedi:
2: 2 : 5 .
5
x tx y
y t
= ⋅= ⇒
= ⋅
Dalje je:
2 22/640 2 5 640 10 640 10 : 10640
5x y t t t t
x t
y t⋅ = ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ =
⋅⇒
= ⋅
=
2 264 64 6/ 4 8.t t t t⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Njihov zbroj iznosi:
2 5 7 7 8 52
65
.x t
y tx y t t t+ = = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅
⋅
==
=
⋅
Odgovor je pod C.
Vježba 100
Odmor!
Rezultat: …