Základy ekonometrie

Cvičení 227. září 2010

Metodologický postup

1. Specifikace modelu2. Odhad parametrů (tj. kvantifikace)3. Verifikace4. Využití

1. Specifikace modelu

určení proměnných určení vzájemných vazeb mezi

proměnnými formulace hypotéz – v podobě

algebraických vztahů (tj. jedné či více rovnic)

specifikace náhodných vlivů

2. Odhad parametrů

využití disponibilní (tj. výběrové) informace z dat

použití vhodné odhadové techniky

3. Verifikace aneb jak se odhadnutý model

shoduje s teorií a napozorovanými daty ekonomická (jestli proměnné modelu

mají správný směr a intenzitu) statistická (ověření přesnosti a

významnosti výsledků) ekonometrická (zda byly dodrženy

podmínky pro použití dané odhadové techniky a statistických testů)

4. Využití

Kvalitativní a kvantitativní analýza minulého vývoje

Předpovědi (predikce, prognózy) Volba hospodářské politiky

analýza různých scénářů simulační experimenty

SPECIFIKACE MODELU1. Ekonomický model

Stanovení základní hypotézy (tj. které proměnné použijeme, jak budou působit, jejich intenzita, apod.)

Slovní vyjádření 2. Ekonomicko-matematický model

převedení slovního vyjádření do podoby jedné rovnice (jednorovnicový model) soustavy rovnic (vícerovnicový model)

3. Ekonometrický model zahrnutí faktoru nejistoty v podobě náhodné

složky

Druhy proměnných v modelu I Endogenní

tj. vysvětlované, závisle proměnné hodnoty jsou generovány systémem či

modelem Exogenní

tj. vysvětlující, nezávisle proměnné působí na zkoumaný systém, samy

systémem nejsou ovlivňovány jejich hodnoty jsou determinovány mimo

systém

Zpožděná endogenní

Druhy proměnných v modelu II

Nezpožděné endogenní proměnné vždy v roli vysvětlovaných proměnných

Predeterminované proměnné všechny exogenní proměnné zpožděné endogenní proměnné

Spotřebat = β1 + β2 Příjemt + β3 Spotřebat-1

PredeterminovanéNezpožděná endogenní

Matematický tvar Jednorovnicový model Vícerovnicový model zcela nebo

zdánlivě nezávislých rovnic každou rovnici lze zkoumat buď odděleně nebo

jako vícerozměrný regresní model Simultánní model

nezpožděné endogenní proměnné jak v roli vysvětlovaných, tak vysvětlujících

lze odhadovat jen všechny rovnice najednou

Simultánní model

Analytický tvar

ekonometrie pracuje s ekonometrickými funkcemi buď lineární v parametrech (cca 90%) nebo nelineární, které lze zlinearizovat

logaritmickou či semilogaritmickou transformací (zbývajících cca 10%) např. Cobb-Douglasova produkční funkce logistická křivka

Funkce lineární v parametrech

Funkce nelineární v parametrech

• např. funkce mocninné

• důležitou roli hraje, zda lze funkce zlinearizovat či nikoliv

• nejčastějším způsobem linearizace je

logaritmická transformace

Konstrukce modelu

3 fáze:

i. specifikaceii. kvantifikace (tj. naplnění modelu daty)iii. verifikace

i. ekonomickáii. statistickáiii. ekonometrická

Klasický lineární regresní model (KLRM) obecný model (maticový zápis):

Y = Xβ + u

X – matice (n x (k+1)) pozorování exogenních

(resp. predeterminovaných) proměnných (vč.

úrovňové konstanty)Y – vektor (n x 1) endogenních proměnnýchβ – vektor ((k+1) x 1) parametrůparametrůu – náhodná složka, o které předpokládáme, že má

normální rozdělení N(0,σ2)k - počet vysvětlujících proměnnýchk+1 – počet odhadovaných parametrů

Zápis KLRM po složkách

Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + …βk XK + u

- za předpokladu: n > k(k – počet vysvětlujících proměnných)

- odhadnout koeficienty β – tj. určit b (resp. β^ - tj. odhady β)

Abstraktní X konkrétní model

klasický LRM: Y = βX + u(pracuje s úrovňovou konstantou)

model „naplníme“ daty (tj. provedeme kvantifikaci modelu)=> Y = Xb + e

kde Y jsou napozorované hodnoty, e jsou rezidua

=> kde jsou vyrovnané hodnoty, rezidua jsou 0

Rezidua X náhodná složka

rezidua = rozdíl mezi napozorovanými a vyrovnanými hodnotami:

náhodná složka – rozdíl mezi napozorovanými hodnotami a jejich střední hodnotou:u = Y – E(Y)

Platí: náhodná složka → kvantifikace → reziduum

Bodová odhadová funkce b

vzniká z podmínky, aby součet čtverců reziduí byl minimální

součet čtverců reziduí: eTe

b … ∑ eTe → min

(podmínka pro výpočet odhadové funkce metodou nejmenších čtverců – tj. ordinary least squares)

Bodová odhadová funkce b

b … ∑ eTe → min

? Kdy je funkce minimální ?1. derivace funkce je nulová2. derivace funkce je kladná

Odhad koeficientů β Metoda nejmenších čtverců –

nejznámější technika funkční předpis odhadové funkce:

b = (XTX)-1XTY … bodová odhad.fce- poskytuje odhady:

- nestranné (resp. nevychýlené)- vydatné

bT = (b0, b1, b2,… bk)

Nestrannost odhadu

ß

f(b)

Nestrannost

b

Vydatnost odhadu

ß

f(b)

Vydatnost

b

Velký výběr

počet pozorování n ≥ 30 Konzistentní – bodový odhad b je

konzistentním odhadem, jestliže jeho hodnota s rostoucím počtem pozorování n konverguje ke skutečnému=populačnímu parametru

Asymptoticky nestranný – je to slabší vlastnost, (pokud je odhad asymptoticky nestranný tak je i konzistentní)

Asymptotická vydatnost – rozptyl konverguje k nule rychleji než s použitím jiné odhadové funkce

Příklad

Yi = (5, 4, 6, 4, 3)

Xi = (3, 2, 3, 2, 3)

Yi = β1 + β2 Xi + ui, i = 1, 2, ... 5

Stanovte odhad parametrů β1 a β2, aby součet čtverců odchylek vyrovnaných hodnot od hodnot napozorovaných byl minimální

Napište odhadnutou regresní rovinu Vypočítejte vyrovnané hodnoty Vypočítejte rezidua ei

Graf – skutečná pozorování

Graf – regresní přímka

Skutečné hodnoty vs. vyrovnané