zakon potencije (“power law”)
DESCRIPTION
Zakon potencije (“Power Law”). f ( x ) ~ x α log f(x ) ~ α log x. Zakon potencije u biomehanici. Ć elija. Molekul. Tkivo. Sistem. Karakteristike zakona potencije. Zakon potencija nema odre đ enu vremensku skalu. Konsekventno: Puzanje: J ( t ) ~ t α Relaksacija: G ( t ) ~ t α - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Zakon potencije u biomehanici
time (sec)1 10 100
Stre
ss (k
Pa)
0.1
1
Control, =0.053After elastase, same length=0.054
After elastase, same mean force=0.049
= a + b*t-
MolekulMolekul ĆĆelijaelija
TkivoTkivo SistemSistem
Karakteristike zakona potencije
Zakon potencija nema određenu vremensku skalu. Konsekventno:
• Puzanje: J(t) ~ tα
• Relaksacija: G(t) ~ tα
• Fazni pomak: tgφ α
Frakcioni izvod kao matematički okvir za opis ponašanja po zakonu
potencijeRimanova definicija frakcionog izvoda:Rimanova definicija frakcionog izvoda:
gde je 0 α < 1.
t
t tdf
dtdfD
0
)(
)()(
)1(1)(
Osnovni reološki model
Relacija napon-deformacija pri smicanju:
TT DDtt((αα))((γγ))
α = 0 T Dt(0)(γ) = γ(t) - Hukov zakon
α 1 T Dt(1)(γ) = - njutnovski fluid)(t
Generalni reološki model
n
ktkSt
kDGTbDT1
)()( )()(
gde su 0 β < 1 and 0 α1 < α2 <…< αn < 1.
(Pritz, 1996)
Prelaz iz vremenskog u frekventni domen
Dinamički modul: G* = F[T]/F[γ] = G + iG
F[Dt(α)(f)] = (iω)αF[f]
)(1
)(* 1
ib
iGG
n
kkS
k
Ponašanje na visokim frekvencijama
1
1
)( )()1(n
kntkS
kDGTb
Merenja: ω , d(logG)/d(logω) 1.
Model: ω :
αn β 1 αn 1 i β 0.
2)(sin~"
nn n
bG
Pojednostavljenje modela
)()(tS DGT
Pretpostavke i definicije: b = 0; αn = 1; n = 2; λ1 λ; λ2 μ; α1 α
Predviđanja modela
2sin
2cos)(* iGG S
)()1(
)()( tttHGtG S
•DinamiDinamiččki modul:ki modul: γ = γ0eiωt
•ModulModul relaksacijerelaksacije napona:napona: γ = γ0H(t)
•ModulModul puzanja:puzanja: T = T0H(t)1)(,0)(0 SGtJttJt
Zadovoljen uslov: G(t) = 1/J(t) kada t 0, .
Fitovanje modela
Uslovi Gs
Pa(s/rad) (Pa) (Pa.s)
Kontrolni 1162.1905 0.2335 598.4835 1.5393
p 0.0064 <0.0001 0.1552 <0.0001
Histamin 1383.2984 0.2212 1139.7425 1.067
p 0.0125 0.0002 0.0545 <0.0001
DBcAMP 345.0529 0.3097 186.1381 1.3356
p 0.009 <0.0001 0.2506 <0.0001
CytoD 215.1585 0.286 0 0.7654
p <0.0001 <0.0001 1 <0.0001
Fitovanje pojdnostavljenog modela
Uslovi G0 Ω0 α μ(kPa) (rad/s) (Pa·s)
Kontrolni 2.01 107
HistaminDBcAMP
CytoD
4.870.8338.9 47.2
30.7 0.185 0.1900.1800.185 0.1900.180
0.164 0.1690.1580.164 0.1690.158
0.256 0.2600.2510.256 0.2600.251
0.313 0.3200.3070.313 0.3200.307
1.76 1.931.591.76 1.931.59
1.23 1.371.091.23 1.371.09
1.50 1.631.361.50 1.631.36
0.78 0.860.700.78 0.860.70
Vrednosti parametara sa intervalom sigurnosti od 95%Vrednosti parametara sa intervalom sigurnosti od 95%
Fizička interpretacija modela - reologija mekog stakla
• Kada je efektivna temperatura fluktuacije = 0, element ostaje zarobljen u energetskom kavezu – čvrsto (“stakleno”) stanje.
• Kada je > 0, element iskače iz kaveza – prelaz od čvrstog ka tečnom stanju.
• Kada je = 1 – njutnovski fluid.
Enegretski kavezEnegretski kavez
(Sollich, 1998)
Veza izmedju reologije stakla i modela sa frakcionim izvodima
2sin
2cos*
00 iGG
• α = 0 G = G0, G = 0; čvrsto telo čiji je modul elastičnosti G0;
• α = 1 G = 0, G = (G0/Ω0)ω; njutnovski fluid čija je viskoznost G0/Ω0.
(Fabry et al., 2001)
Faza Fluorescencija (0.2 μm)
Ćelijski prednapon deformiše elastičnu podlogu
Furijeova naponska mikroskopijaE = 1.3 kPa h = 70 μm
20 m
Displacement field
200 Pa
150
100
50
0
Polje deformacije
Matematički algoritam
Furijeova naponska mikroskopija
(Butler et al., 2002)
Displacement field
200 Pa
150
100
50
0
Polje Polje deformacije napona
Matematički algoritam
(Butler et al., 2002)
Furijeova naponska mikroskopija
Veza između eksponenta α i prednapona
2cos1.0'
'
00
GG
cPG
2cos1.0
0
0
cGP
(Stamenović et al., 2004)
Za ω = 0.1 Hz:
On Power Laws in Nature“In ordinary systems all quantities follow bell curves, and correlations decay rapidly, obeying exponential laws. But all that changes if the system is forced to undergo a phase transition. Then power laws emerge – nature’s unmistakable sign that chaos is departing in favor of order. The theory of phase transitions told us … that power laws are not just another way of characterizing a system’s behavior. They are the patent signatures of self-organization in complex systems.”
Albert-László Barabási: Albert-László Barabási: Linked: The New Science of Networks.Linked: The New Science of Networks.Perseus Publishing, Cambridge, MA, 2002.Perseus Publishing, Cambridge, MA, 2002.