PROBLEMI ATTUALI E PROSPETTIVENELL’INGEGNERIA DELLE STRUTTURE

Convegno in onore di FRANCO MACERI26-27 Settembre, 2013 – Maratea (PZ)

SULL’ANALISI LIMITE DI PANNELLI INMURATURA FIBRORINFORZATI

M. Lucchesi , M. , N. Zani" # "Š ýilhav

"Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale,Universita' di Firenze,Piazza Brunelleschi 6,

50121 FirenzeItalia

#Institute of Mathematics of the AV CRŽitná 25

115 67 Prague 1Czech Republic

Sia un corpo rinforzato con fibre. Le fibre sonoH Ԥ #

schematizzate come una famiglia di curve regolari cheYnon si intersecano.Indicati con e gli stati di sforzo, con X T bb e le forze dimassa, e i carichi esterni di superficie,s s agenti sul corpo enella fibra, rispettivamente,

s

s

Ω

il sistema di forze applicate e' in equilibrio se soddisfal'equazione dei lavori virtuali:

( (H

X f? f?† . † ._ [# "

Y

T =

' ' ' !H f, = =† . † . † . †? ? ? ?_ [ [# " "

Yb f`Y

per ogni ? ? œ !− G Ð ß Ñ À Þ_ #H ‘ lW

Facciamo l'ipotesi che la matrice del composito siacostituta da materiale non resistente a trazione e la fibra damateriale elastico lineare.

Analisi limite

Uno stato di sforzo per il composito e' costituito da unacoppia che diremo seÐ ß Ñ +773==3,36/X T

- e ( sono funzioni a quadratoX > >ÑT R Œsommabile; - X B BÐ Ñ Ÿ ! − R quasi per ogni e 0 quasi perSogni B − Y

e con i carichi se soddisfa il teorema dei lavori/;?363,<+>9virtuali.

Diremo che i carichi sono se esiste uno stato-97:+>3,363di sforzo ammissibile che li equilibra.Ð ß ÑX T

Siano

0Ð Ñ œ Ð Ñ † Ð Ñ œ R" "

# #I X I I e f ( )% % %

la densita' di energia di deformazione della matrice e dellafibra. Indichiamo con

fEÐ Ñ œ? ( (H Y

0 . ._ [# "

l'energia di deformazione, con

WÐ Ñ œ? , =' ' 'H f† . † . † .? ? ?_ [ [# " "

Yb

†!f`Y

= ?

il e conlavoro dei carichi F E WÐ Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ? ? ?

l' del composito.energia potenziale totale

Sotto opportune ipotesi si dimostra che il funzionale dell'energia potenziale e' limitato inferiormente se e solo se icarichi sono compatibili.

A direct approach to fiber and membrane reinforced bodies.Part I. Stress concentrated on curves for modelling fiber reinforcedmaterials. , 537-558Continuum echanics and thermodynamics7 25(2013). A direct approach to fiber and membrane reinforced bodies.Part II. Membrane reinforced bodies. Continuum mechanics andthermodynamics (in press).

p

q

p

x

y

oq

Ω1

Ω2

γ1

X/ // /< œ Þ

: Œ; Œœ # # "

" " #

in in

in /HH

H #

= ÐBÑ œ B :Ð: ;Ñ œ B" ":;

È É, =

p

x

y

o

Ω1

Ω2

q

γ1

γ2

= ÐBÑ œ :B Ð: ;Ñ #RÐ: ;ÑB RÐR #;6Ñ##É È È

=##

#;#œ R #:;B # #R;B RÐR #;6Ñ

È É È È

p

x

y

o q

p

x

y

o q

p

F

b

y

x

α

p

F

bγ

1

y

x

Ω1

Ω2

X/ // /< œ

Ð,C :Ñ Œ,Ð ÐBÑ CÑ Œœ # # "

# # #

in in H

= H

= = = =ww w"

,J J" "

: œ ß Ð!Ñ œ ! Ð!Ñ œ J , "

= ÐBÑ œ J -9=2Ð# BÑ ""# J:

#, 0,Ê Š ‹É#

,

=":#, 0

,œ =382 B " ÞŠ ‹Š ‹É

p

F

b

γ1

γ2

y

x

Ω1

Ω2

α

= =ww#

,JR JR#

: œ ßcos cos! !

= =ÐB Ñ œ C ÐB Ñ œ! ! !w :B , .BR

JR, ! "!B!' = !

!

sincos

p

b2

h1

b2 b1

h2

q

p

h1

h2

b2 b1 b2q

x

y

o

2ΩΩ3

γ2

a

c

F1

d

e

1Ω

γ3

γ1

Uno stato di sforzo equilibrato e compatibile e' dato da:

X/ // /!

< œ: Œ; Œ

ÚÛÜ

# # "

" " #

$

in in in

in /HHH

H #

= ÐBÑ œ B :Ð: ;Ñ œ B" ":;

È É, =

= ÐBÑ œ J : ÐB +Ñ## # # , È

=#: +: #J-+ :#J J #J

#œ B B #

= ÐBÑ œ #+:;B J #-J; + :Ð: ;Ñ$# # ,È

=$J "; ;

# #œ #+:;B J #-J; + :;È

Mantenendo costante, si incrementa il valore del carico : ;fino al collasso . Si ha, detti e ; 2 œ 2 2 , œ , #,- " # " #

b1b2 b2

h2

h1

a

p

q

x

y

o

A

BC

D

1Ω 3Ω Ω1

2Ω

γ1

γ2

γ3

+ œ J œ, 2 , 22 2 2

2

:, 2 2

#2" " # # " #

"

## #

#

#"

ˆ ‰È Š ‹È È, ,

; œ :-

, 2 #, , 2 2 2 #, 2 2 2

2 2

# #" #" " # # # #

"#

È È ÈŠ ‹ Š ‹È ÈÈ.

Per , , si ha .2 ,2 , :

;" "

# #

-œ $ œ # œ "

h2

b2

h1

b1b2C

ΙB

A

Stresses represented by measures in the theory of masonry bodies. IIICanadian Conf. Of nonlinear solids mechanics, Toronto, 25-29 giugno2008, Canada

b1

h1

B

b2

p

h2

q

b2

x

y

o

1Ω γ12

γ

γ3

γ4

γ5

Ω2

3Ω

Analogamente al caso precedente, uno stato di sforzoequilibrato e compatibile e' dato da

X/ // /!

< œ: Œ; Œ

ÚÛÜ

# # "

" " #

$

in in in

in /HHH

H #

con la presenza di 5 curve di singolarita'

= ÐBÑ œ ÐJ RÑ : ÐB +Ñ%# # # , È

=%: +:

#ÐJRÑ RJ #ÐJRÑ# #RÐ-2 Ñ+ :œ B B -#

#

= ÐBÑ œ& È#+:;B J #JÐR -;Ñ R #R;2 + :Ð: ;Ñ# # ## ,

=& #JR "

; ;# # #œ #+:;B J #JÐR -;Ñ R #R;2 + :;È .

Mantenendo costante, si incrementa il valore del carico : ;

fino al collasso . Per , , si ha .; œ $ œ # œ "Þ)$(-2 ,2 , :

;" "

# #

-

b1

h1

B

b2

p

h2

q

b2

x

y

o

1Ω γ12

γ

γ3

γ4

γ5

Ω2

3Ω

h2

b2

h1

b1 b2

La soluzione e' nota a meno di un parametro. In figura siplotta il valore della forza normale sulla fibra in funzionedel parametro.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

T/qh vs c

R;2min œ !Þ#)(Þ