zatvoreno regulaciono kolo
TRANSCRIPT
UPRAVLJAČKA KONFIGURACIJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
- ZATVORENO REGULACIONO KOLO -
Elementi:•Proces (objekat upravljanja)•Merni element•Regulator•Izvršni element
- ZATVORENO REGULACIONO KOLO - Uvod
PROMENLJIVE:
x - postavna tačka, odnosno željena vrednost regulisanog izlazay - regulisani izlazym - izmerena vrednost regulisanog izlaza
ε=x-ym - greška
p - upravljački signal m – manipulativna - regulaciona promenljival - spoljašnji poremećaj - promenljiva opterećenja
REGULATOR U ZATVORENOM REGULACIONOM KOLU
Uloga regulatora: Matematički obrađuje signal greške: i na izlazu daje upravljački signal - naređenje izvršnom elementu
)()()( ty tx = t m−ε))(()( tFtp ε=
Funkcija F definiše upravljački zakon ⇔ tip regulatora
Proporcionalni (P) regulator
(t) K = p(t) c ε
Kc – pojačanje regulatora
Proporcionalno-integralni (PI) regulator
∫ετ
+ε= dttK
tKtpi
cc )()()(
Kc – pojačanje regulatoraτi – integralno vreme
Proporcionalno-diferencijalni (PD) regulator
Kc – pojačanje regulatoraτd – diferencijalno vreme
dt
tdKtKtp dcc
)()()(
ετ+ε=
Proporcionalno-integralno-diferencijalni (PID) regulator
Kc – pojačanje regulatoraτi – integralno vremeτd – diferencijalno vreme
∫ ετ+ετ
+ε=dt
tdKdtt
KtKtp dc
i
cc
)()()()(
Dvopoložajni – ON-OFFregulator
ZRK - Regulator u zatvorenom regulacionom kolu
Prenosne funkcije regulatora
Proporcionalni (P) regulator
K = (s)
P(s) = (s)G cPc, ε
Proporcionalno-integralni (PI) regulator
τε s
1 + 1 K =
(s)
P(s) = (s)G
icPIc,
Proporcionalno-diferencijalni (PD) regulator
s) + (1 K = (s)
P(s) = (s)G dcPDc, τε
Proporcionalno-integralno-diferencijalni (PID) regulator
ττε
s + s
1 + 1 K =
(s)
P(s) = (s)G d
icPIDc,
τi→∞, PID→PDτd→0, PID→PI
ZRK - Regulator u zatvorenom regulacionom kolu
Frekventne karakteristike regulatora
P regulator
K = )(jG cPc, ω
0 = ))(Im(
= ))(Re(
ω
ω
jG
KjG
c,P
cc,P
0 = ))(
= ))(
ωϕ
ω
j
KjAR
c,P
cc,P
ZRK - Regulator u zatvorenom regulacionom kolu – frekventne karakteristike
PI regulator
ωτ
ωτ
ω j1
- 1 K = j
1 + 1 K = )(G
ic
icPIc,
ωτω
ω
i
cPIc,
cPIc,
K- = ))(jGIm(
K = ))(jGRe(
ωτωφ
ωτω
iPIc,
2i
cPIc,
1 - = )(
)(
1 + 1 K = )(AR
arctan
-1
Integralnodejstvo
Integralnodejstvo
ZRK - Regulator u zatvorenom regulacionom kolu – frekventne karakteristike
PD regulator
j) + (1 K = )(jG dcPDc, ωτω
( )( ) ωτ=ω
=ω
dcPDc
cPDc
KjG
KjG
)(Im
)(Re
,
,
)( =
)(+1 K = )(AR
dPDc,
2dcPDc,
ωτφ
ωτω
arctan
+1
Diferencijalnodejstvo
Diferencijalnodejstvo
ZRK - Regulator u zatvorenom regulacionom kolu – frekventne karakteristike
PID regulator
ωτωτω j +
j
1 + 1 K = )(jG d
icPIDc,
ωτωτω
ω
1 - K = ))(jG( Im
K = ))(jG( Re
idcPIDc,
cPIDc,
ωτωτωφ
ωτωτω
idPIDc,
id
2
cPIDc,
1 - = )(
1 - + 1 K = )(AR
arctan
-1 +1
K
Diferencijalnodejstvo Diferencijalno
dejstvo
Integralnodejstvo
Integralnodejstvo
DINAMIKA ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA
X - Postavna tačkaL - Opterećenje (poremećaj)Y - Izlazna (regulisana) promenljivaε - GreškaM – Regulaciona (manipulativna) promenljivaP - Upravljački signalYm- Izmerena veličine izaza
Gp - prenosna funkcija procesa u odnosu na
regulacionu promenljivu (Y/M)
Gpl - prenosna funkcija procesa u odnosu na
promenljivu opterećenja (Y/L)
Gm - prenosna funkcija mernog elementa
Gc - prenosna funkcija regulatora
Gv - prenosna funkcija izvršnog elementa
Dinamika zatvorenog regulacionog kola
Prenosne funkcije
Prenosna funkcija otvorenog kola
(s)G (s)G (s)G (s)G = G(s) mpvc
Prenosne funkcije zatvorenog kola
G(s) + 1
(s)G (s)G (s)G = (s)G (s)G (s)G (s)G + 1
(s)G (s)G (s)G = X(s)
Y(s) = (s)W
pvc
mpvc
pvcX
- U odnosu na postavnu tačku
- U odnosu na opterećenje
G(s) + 1
(s)G = (s)G (s)G (s)G (s)G + 1
(s)G = L(s)
Y(s) = (s)W
pl
mpvc
plL
Karakteristična jednačina ZRK
0 = (s)G (s)G (s)G (s)G + 1 = G(s) + 1 mpvc
Dinamika zatvorenog regulacionog kola
Vremenski odzivi ZRK sa P regulatorom
1 = (s)G 1, = (s)G ,K = (s)G ,sK
sGsG mvccp
pplp 1
)()(+τ
==
Primer 1: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu postavne tačke
0 = L(s) ,s
1 = X(s)
1+sK K + 1
1+sK K
= (s)G (s)G (s)G (s)G + 1
(s)G (s)G (s)G =
X(s)
Y(s) = (s)W
p
pc
p
pc
mpvc
pvcX
τ
τ
1 + sK =
1 + sK K + 1
K K + 1K K
= (s)We
e
pc
p
pc
pc
Xττ
ττ pe < K K + 1
=
K K + 1K K
= K
pc
pe
pc
pce
ττ
Ekvivalentno pojačanje
Ekvivalentna vremenska konstanta
)e - (1 K = (t)y e/ -te
p τ
|x(t) - y(t)| = GSSt ∞→lim
Greška stacionarnog stanja - OFFSET
K K + 1
1 = K - 1 = GSS
pce
0 1),K( 0GSS K eec →τ→→⇒∞→
Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa P regulatorom
1 = (s)G 1, = (s)G ,K = (s)G ,sK
sGsG mvccp
pplp 1
)()(+τ
==
Primer 2: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu opterećenja
K K + 1 =
K K + 1K
= K
pc
pe
pc
pe
ττ
|x(t) - y(t)| = GSSt ∞→lim
1 + sK K + 1
1 + sK
= (s)G (s)G (s)G (s)G + 1
(s)G =
L(s)
Y(s) = (s)W
p
pc
p
p
mpvc
plL
τ
τ
1 + sK =
1 + sK K + 1
K K + 1K
= (s)We
e
pc
p
pc
p
Lττ
K K + 1K
= K = GSSpc
pe
00 →τ→→⇒∞→ eec ),K( 0GSS K
)e - (1 K = (t)y e/ -te
p τ
ssL , = sX
1)(0)( =
Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa P regulatorom
Primer 3: Proces II reda, odziv na stepenastu promenu postavne tačke
1 = (s)G = (s)G ,K = (s)G ,1 + s 2 + s
K = (s)G mvccp
2p
pp ξττ
0 = L(s) ,s
1 = X(s)
1 + s 2 + s K =
1 + sK K + 1
2 + s
K K + 1
K K + 1K K
= (s)W
ee2
e2
e
pc
pp2
pc
2p
pc
pc
X
ξττ
ξττ
K K + 1 =
K K + 1 =
K K + 1K K
= K
pc
pe
pc
pe
pc
pce
ξξ
ττ
K K + 1
1 = K - 1 = GSS
pce
00,1,0 , KGSS : K eeec →ξ→τ→→∞→
Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PI regulatorom
Primer 1: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu postavne tačke
0 = L(s) ,s
1 = X(s)
1 = (s)G = (s)G ,1 + s
K = (s)G , s
1 + 1 K = (s)G vm
p
pp
icc
τ
τ
1 + sK
s1
+ 1 K + 1
1 + sK
s1
+ 1 K =
X(s)
Y(s) = (s)W
p
p
ic
p
p
ic
X
τ
τ
τ
τ
1 + s 2 + s
s + 1 =
1 + sK K
1 + 1 + s
K K
s + 1 = (s)W
ee22
e
i
pci
2
pc
ip
iX
τξττ
τ
τττ
K K
K K + 1
2
1 = ,
K K
=
pc
pc
p
ie
pc
ipe
ττξττ
τ
ξξ
τ
ξ
ξ
τ
ξ
ξτ
τ
τξ
τξ
- 1
+ t - 1
- 1
e - 1 +
t -1
e - 1
= y(t)
e
2e
e
2e
2e
/ t-
e
2e/ t-
2ee
i
ee
ee
arctansin
sin
Za ξe<1:
1)(lim =∞→
ty t
0)()(lim =−=∞→
txty GSSt
Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PI regulatorom
Primer 2: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu opterećenja
K K
K K + 1
2
1 = ,
K K
=
pc
pc
p
ie
pc
ipe
ττξττ
τ0)(lim =
∞→ty
t0)()(lim =−=
∞→txty GSS
t
1 = (s)G = (s)G ,1 + s
K sG= (s)G ,
s
1 + 1 K = (s)G vm
p
pplp
icc
τ=
τ
)(
ssL , = sX
1)(0)( =
1 + sK
s
1 + 1 K + 1
1 + sK
= L(s)
Y(s) = (s)W
p
p
ic
p
p
L
τ
τ
τ
1 + s 2 + s
sK =
1 + sK K
1 + 1 + s
K K
sK =sW
ee22
e
c
i
pci
2
pc
ip
c
i
Lτξτ
τ
τ
ττ
τ
)(
Za ξe<1:
τξ
ξττ τξ t
- 1 e
- 1
K/ = y(t)
e
2e/ t -
2ee
ci ee sin
Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PD regulatorom
Primer 1: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu postavne tačke
1 = (s)G = (s)G ,1 + s
K = (s)G s), + (1 K = (s)G mv
p
ppdcc
ττ
0 = L(s) ,s
1 = X(s)
1 + sK s) + (1 K + 1
1 + sK s) + (1 K
X(s)
Y(s) = (s)W
p
pdc
p
pdc
X
ττ
ττ
=
1 + s
sK + K = 1 + s
K K + 1
K K +
sK K + 1
K K + K K + 1
K K
= (s)We
ee
pc
dpcp
pc
dpc
pc
pc
Xτττ
τ21
K K + 1
K K + = ,
K K + 1
K K = K ,
K K + 1K K
= Kpc
dpcpe
pc
dpce
pc
pce
τττ
τ21
e K - K K y(t) e/ t-
e1e
ee
τ
τ
+= 21
K K + 1
1 GSS
pc
=
K K + 1 >
K K + 1
K K +
pc
p
pc
dpcp τττ
PD P
Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PD regulatorom
Primer 2: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu opterećenja
1 = (s)G = (s)G ,1 + s
K sG(s)G s), + (1 K = (s)G mv
p
pplpdcc
τ==τ )(
s L(s) ,= X(s)
10 =
K K + 1
K GSS
pc
p=
1 + sK s) + (1 K + 1
1 + sK
= L(s)
Y(s) = (s)W
p
pdc
p
p
L
ττ
τ
1 + sK =
1 + sK K + 1
K K + K K + 1
K
= (s)We
e
pc
dpcp
pc
p
Lτττ
K K + 1
K K + =
K K + 1K
= Kpc
dpcpe
pc
pe
τττ,
)e - (1 K = y(t) e/ -te
τ
τττ
ττξττ
τττ
dpc
p
i
pc
pc
epc
pciedi
pc
ipe
+ K K
K K
K K + 1
2
1 =
2
1
K K
K K + 1 = , +
K K
=
1 + s 2 + s
sK/ =
1 + sK K
K K + 1 + s +
K K
sK = (s)W
ee22
e
ci
pc
pci
2di
pc
ip
c
i
Lτξτ
τ
τ
ττττ
τ
Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PID regulatorom
1 = (s) G = (s)G ,1 + s
K = (s)G = (s)G , s + s
1 + 1 K = (s)G mv
p
pppld
icc
τ
ττ
s L(s) ,= X(s)
10 =
1 + sK s +
s1
+ 1 K + 1
1 + sK
= L(s)
Y(s) = (s)W
p
pd
ic
p
p
L
τ
ττ
τ
Primer 1: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu opterećenja
τξ
ξττ τξ t
-1 e
-1 K = y(t)
e
2e / t -
2eec
i ee sin
0 = y(t) = GSStlim
∞→
Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK - pregled
ZAKLJUČCI
P regulacija:1. Ne menja se red sistema2. Ubrzava se odziv; Kc ↑ brzina odziva ↑ 3. Postoji greška stacionarnog stanja, Kc ↑
GSS ↓4. Za sisteme II i višeg reda, Kc ↑, ξe i Pe ↓
(oscilatorniji sistem).
PI regulacija:1. Eliminiše grešku stacionarnog stanja
(GSS=0)2. Povećava red sistema za jedan3. Kc ↑ brzina odziva ↑, Pe ↓, ξe ↓ 4. τi ↑, Pe, ξe ↑5. Smanjuje se stabilnost ZRK
PD regulacija1.Ne menja se red sistema2.Postoji greška stacionarnog stanja (ista kao
za P), Kc ↑ GSS ↓3.τe veće nego za P regulator, τd ↑ τe ↑
(smanjuje se brzina odziva)4.Povećava stabilnost ZRK
PID regulacija1. Eliminiše grešku stacionarnog stanja
(GSS=0)2. Povećava red sistema za jedan3. Kc ↑ brzina odziva ↑, Pe ↓, ξe ↓ 4. τi ↑, Pe, ξe ↑5. τd ↑ brzina odziva ZRK ↓6. Može se podesiti stabilnost ZRK
STABILNOST ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA
Potreban i dovoljan uslov da je linearan sistem stabilan je da su svi realni koreni karakteristične jednačine negativni, a da kompleksni koreni imaju negativan realni deo.
Stabilnost sistema
Koreni karakteristične
jednačine
Karakteristična jednačina ZRK
0)(1 =sG +
0)()()()(1 =+ sGsGsGsG mpvc
Kc (τi, τd)
↑
stabilni nestabilni
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola
Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti (Laplasov domen)
011
10 = a + sa+ ... + s a + s a nnnn
−−Karakteristična jednačina ZRK u obliku:
- Moguće samo za sisteme sa nagomilanim parametrima- a0, a1, ..., an – funkcije parametara regulatora
Test 1: Ukoliko svi koeficijenti karakterističnog polinoma (a0, a1, ..., an ) nisu istog znaka, sistem je sigurno nestabilan. (Potreban uslov da bi sistem bio stabilan.)
I II III IV
1234...
n+1
a0
a1
b1
c1
.
.
.w1
a2
a3
b2
c2
.
.
.w2
a4
a5
b3
c3
a6 a7
Test 2: Rutova šema
.... ,c
c b - b c = d
... ,b
b a - a b = c ,b
b a - a b = c
... ,a
a a - a a = b ,a
a a - a a = b
1
21211
1
31512
1
21311
1
50412
1
30211
Ukoliko su svi koeficijenti u prvoj koloni Rutove šeme istog znaka, sistem je stabilan. (Dovoljan uslov da bi sistem bio stabilan.)
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola
Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti - primer
Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa procesom III reda i P regulatorom
1)()(,)(,)1(
8/1)(
3===
+sGsGKsG
s =sG mvccp
Karakteristična jednačina ZRK:
0 = )1+(s
1/8 K + 1 3c 0 =
8K + 1 + s3 + s 3 + s
c23⇔
Test 1: Svi koeficijenti karakterističnog polinoma su pozitivni. Potrebni uslovi za stabilnost ZRK ispunjeni za ∀ Kc
Test 2: Rutova šema
I II III
1234
13
(8-Kc/8)/3(1+Kc/8)
3(1+Kc/8)
00
00
c
cc
Kzac
KK
b
∀>
⇒
0
64 < 0 > 3
/8 - 8 =
1
1
01
03
/8 - 8
3
/8) + (11 - 33
=+
=××
c ,8K =
b
b a - a b = c
b ,K = K = a
a a - a a = b
2c
1
21311
2cc
1
30211
ZRK je: - stabilno za Kc<64- na granici stabilnosti za Kc=64- nestabilno za Kc>64
Definicija: Pojačanje regulatora za koje je ZRK na granici stabilnosti naziva se KRAJNJE POJAČANJE - Ku
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola
Metoda geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine ZRK (Dijagram položaja korena (DPK) karakteristične jednačine ZRK)
- Laplasov domen -
Definicija: DPK je grafički prikaz, u s-ravni, svih korena karakteristične jednačine ZRK pri promeni pojačanja regulatora (Kc) od 0 do ∞. Svakom korenu odgovara jedna linija u s-ravni – grana.
Na osnovu DPK se može zaključiti:1. Za koje vrednosti Kc je ZRK slabilno (deo dijagrama levo od Im-ose), nestabilno
(deo dijagrama desno od Im-ose) i na granici stabilnosti (preseci grana sa Im-osom).
2. Za koje vrednosti Kc je kolo neoscilatorno (svi koreni realni), a za koje oscilatorno (konjugovano-kompleksni koreni).
3. Koji koreni karakteristične jednačine ZRK su za dato Kc dominantni
Karakteristična jednačina ZRK 0)()()()(1 =+ sGsGsGsG mpvc
Kc
↑
Ograničenje: Samo za sisteme sa nagomilanim parametrima
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - DPK
Prenosna funkcija otvorenog kola
mn ,)p-(s ... )p-(s )p-(s
)z-(s ... )z-(s )z-(s K =
D(s)
N(s) K = G(s)
n21
m21 ≥
Karakteristična jednačina ZRK:
0 = )p-(s ... )p-(s )p-(s
)z-(s ... )z-(s )z-(s K + 1
n21
m21 0 = )z-(s ... )z-(s )z-(s K + )p-(s ... )p-(s )p-(s m21n21⇔
Kc
↑
Osnovne karakteristike dijagrama položaja korena
- Broj grana u DPK je jednak broju polova prenosne funkcije otvorenog kola- Grane polaze iz polova (za Kc=0), a završavaju se u nulama (za Kc→∞) prenosne
funkcije otvorenog kola - Ako je n>m, postoji n-m asimptota, kojima grane teže kad Kc→∞
1. Broj grana, početak i kraj grana u DPK
Osnovne karakteristike dijagrama položaja korena - nastavak
2. Realni i konjugovano-kompleksni koreni - Za sve sisteme drugog i višeg reda, koreni karakteristične jednačine mogu biti realni i/ili
konjugovano kompleksni - Pri povećanju Kc par realnih korena može da predje u par konjugovano-kompleksnih
korena (tačka razdvajanja) ili obrnuto (tačka spajanja) - Konjugovano-kompleksni koreni uvek javljaju u paru ⇔ čitav dijagram mora da bude
simetričan u odnosu na reanu osu
3. Preseci grana sa imaginarnom osom- Rešenja karakteristične jednačine koja leže na Im-osi (realni delovi jednaki nuli)- Ovim rešenjima odgovara ZRK koje je na granici stabilnosti- Pojačanje regulatora za koje se dobija presek sa Im-osom – KRAJNJE POJAČANJE (Ku)- Odsečak grane na Im-osi odgovara frekvenciji kojom ZRK koje je na granici stabilnosti
osciluje sa konstantnom amplitudom – KRITIČNA FREKVENCIJA (ω0 ili ωu)- Grane mogu da seku Im-osu jednom, više puta ili nijednom
Napomena: Vrednosti Ku i ω0 uvek idu u paru. U principu sistem može imati jedan, više ili nijedan takav par vrednosti.
DEFINICIJA: Krajnje pojačanje je ona vrednost pojačanja regulatora za koju je ZRK sistem na granici stabilnosti. Kritična frekvencija je ona frekvencija sa kojom takvo kolo na granici stabilnosti osciluje sa konstantnom amplitudom.
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - DPK
PRIMERI
Primer 1. ZRK sa procesom III reda i P regulatorom
1)()(,)(,)1(
8/1)(
3===
+sGsGKsG
s =sG mvccp
0 = )1+(s
1/8 K + 1 3c 0 =
8K + 1 + s3 + s 3 + s
c23⇔
p1=p2=p3=-1
Kc=64
Kc=64
Ku=64ω0=1.73
ZRK je: - Stabilno za Kc<64- Na granici stabilnosti za Kc=64- Nestabilno za Kc>64
ZRK je oscilatorno za svako Kc
3)1(
8/)(
+=
s
KsG c
Prenosna funkcija otvorenog kola
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri
Primer 2. ZRK sa procesom III reda i PI regulatorom
p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-0.33
ZRK je: - Stabilno za Kc<43.9- Na granici stabilnosti za Kc=43.9- Nestabilno za Kc>43.9
)1+(s s
1/ + s
8K = G(s) 3
ic τ
(a) τi=3.03
(b) τi=0.8 p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-1.25
Kc=43.9
Kc=43.9
Kc=11.3
Kc=11.3
Ku=43.9ω0=1.47
Ku=11.3ω0=0.897
ZRK je: - Stabilno za Kc<11.3- Na granici stabilnosti za Kc=11.3- Nestabilno za Kc>11.3
s=-0.31, Kc=0.87
s=-1.36, Kc=4.6
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri
(b) τi=0.8, τd=0.4
(a) τi=3.03, τd=0.4
p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-2.11, z2=-0.39
Stabilno za svako Kc
p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-1.25±1.25j
Stabilno za Kc<26.9 i Kc>95.1Na granici st. za Kc=26.9 i Kc=95.1 Nestabilno za 26.9<Kc<95.1
Primer 3. ZRK sa procesom III reda i PID regulatorom 3)1(
8/1
+
ττ s
s + s
1 + 1 K = (s)G d
icc
(c) τi=0.8, τd=0.2
Ku2=95.07ω02=2.05
Kc=26.9
Kc=26.9
Kc=95.1
Kc=95.1
Ku1=26.93ω01=1.206
s=-0.29, Kc=0.84
Sistem sa uslovnom stabilnošću
p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=z2=-2
Ku=14.6ω0=0.97
Stabilno za Kc<14.61Na granici st. za Kc=14.61Nestabilno za Kc>14.61
Kc=14.6
Kc=14.6
s=-0.63, Kc=0.36
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri
Pregled uticaja tipa i parametara regulatora na stabilnost zatvorenog regulacionog kola
Tip τi i τdKu ω0
Oblast stabilnosti
P - 64 1.73 Kc<64
PI τi=3.03 43.9 1.47 Kc<43.9
τi=0.8 11.3 0.897 Kc<11.3
PID τi=3.03, τd=0.4 - - ∀ Kc
τi=0.8, τd=0.4 26.93, 95.07 1.206, 2.05 Kc<26.96, Kc>95.07
τi=0.8, τd=0.2 14.61 0.97 Kc<14.61
ZAKLJUČCI:-Dodavanje integralne akcije smanjuje stabilnost ZRK-Stabilnost ZRK se smanjuje sa smanjenjem integralnog vremena-Dodavanje diferencijalne akcije povećava stabilnost ZRK-Stabilnost ZRK se povećava sa povećanjem diferencijalnog vremena
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri
Nestabilan sistem u otvorenom kolu
Primer 1: Sistem I reda sa P regulatorom 1 - s
K K = G(s)p
pcτ
ZRK: - stabilno za Kc>1/Kp
- na granici za Kc=1/Kp
- nestabilno za Kc<1/Kp
Primer 2: Sistem III reda sa P regulatorom )1)(1)(1( 321 −τ+τ+τ s s s
K K = G(s)
ppp
pc
(a) ZRK - stabilno za Ku1<Kc<Ku2
- nestabilno za Kc<Ku1 i Kc>Ku2
(b) ZRK nestabilno za svako Kc
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri
Bodeov kriterijum stabilnosti zatvorenog regulacionog kola
Bodeov misaoni eksperimentDefinicija: Zatvoreno regulaciono kolo će biti stabilno ako je vrednost amplitudne karakteristike otvorenog kola koja odgovara kritičnoj frekvenciji manja od 1, biće nestabilno ako je ova vrednost veća od 1, i biće na granici stabilnosti ukoliko je jednaka 1.
AR(ω0)<1 – ZRK stabilnoAR(ω0)=1 – ZRK na granici st.AR(ω0)>1 – ZRK nestabilno
Kritična frekvencija ω0
π−=ωφ )( 0
AR i φ – amplitudna i fazna karakteristika otvorenog kola (odgovaraju prenosnoj funkciji G(s))
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola
GRAFIČKA INTERPRETACIJA
U Bodeovim dijagramima U Nikvistovom dijagramu
AR(ω), φ(ω), G(jω) – karakteristike otvorenog kola – odgovaraju prenosnoj funkciji otvorenog kola G(s)=Gc(s)Gv(s)Gp(s)Gm(s) )()()()()(
)()()()()(
ωφ+ωφ+ωφ+ωφ=ωφ
ωωωω=ω
mpvc
mpvc ARARARARAR
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – Bodeov kriterijum
OSNOVNE KARAKTERISTIKE I OGRANIČENJA:1. Zaključak o stabilnosti zatvorenog kola se dobijaju na osnovu amplitudne i fazne
karakteristike otvorenog kola2. Može se primeniti i na sisteme sa rasporedjenim parametrima (sisteme sa mrtvim
vremenom)3. Može se primeniti samo za sisteme koji su stabilni u otvorenom kolu (stabilan proces)4. Mogu se primeniti samo ako su AR i φ monotono opadajuće funkcije frekvencije (ne
može se primeniti za sisteme sa uslovnom stabilnošću)
ODREDJIVANJE KRAJNJEG POJAČANJA I KRITIČNE FREKVENCIJE
π−=ωφ+ωφ+ωφ+ωφ=ωφ )()()()()( 00000 mpvc
Kritična frekvencija ω0 rešenje jednačine
Krajnje pojačanje Ku
( )1000010 )()()()(
1
)(
1
== ωωωω=
ω=
cc KmpvcK
u ARARARARARK
Kc<Ku – ZRK je stabilnoKc=Ku – ZRK na granici stabilnostiKc>Ku – ZRK nestabilno
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – Bodeov kriterijum
0,01 0,1 1 10 100-6,28
-4,71
-3,14
-1,57
0,00
1,57
0,01 0,1 1 10 10010-3
10-2
10-1
100
101
16.32
-π
π/2
0
-2π
φ(rad)
ω
0.0612
AR
STABILNOST ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA – BODEOV KRITERIJUM
PRIMERI
Primer 1: Proces sistem I reda sa mrtvim vremenom, P regulator
1 + se K = (s)G (s)G = G(s)
s-0.1
cpc
ωωωφωφωφω
ωωω
0.1 - )(- = )( + )( = )(
+ 1
1 K = )(AR )(AR = )AR(
pc
2cpc
arctan
πωωωφ - = 0.1 - - = 000 )arctan()( min32.160 rad/ =ω⇒
cc K + 1
1 K AR 0612.0)(
20
0 =ω
=ω
Uticaj mrtvog vremena na stabilnost ZRK
D↑ ⇒ φ(ω)↓ ⇒ ω0 ↓ ⇒ AR(ω0) ↑ ⇒ Ku ↓ZAKLJUČAK: - Mrtvo vreme smanjuje stabilnost ZRKMrtvo vreme smanjuje stabilnost ZRK
- Što je D veće, ZRK je manje stabilno
35.16)(
1
10
=ω
==
AR
KcK
u⇒
Primer 2: Proces sistem III reda, P, PI, PID regulator
(1) P regulator
0,1 1 10-270
-180
-90
0
0,1 1 1010-4
10-3
10-2
10-1
100
1.73
φ(o)
ω(rad/min)
0.0156
AR
(2) PI regulator
0,1 1 10-270
-180
-90
0
0,1 1 1010-4
10-3
10-2
10-1
100
101
0.879
P
(b)
(a)
1.47
φ(o)
ω(rad/min)
(b)(a)P
0.0880.0228
AR
(3) PID regulator
)1+(s
1/8 = (s)G 3p
0,1 1 10-270
-180
-90
0
0,1 1 1010-4
10-3
10-2
10-1
100
101
2.07
(c)
0.97
P
(b)
(a)
1.206
φ(o)
ω(rad/min)
0.0105
(c)
(b)(a)P0.0684
0.037
AR(a) τi=3.03(b) τi=0.8
(a) τi=3.03, τd=0.4 (b) τi=0.8, τd=0.4 (c) τi=0.8, τd=0.2
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – Bodeov kriterijum - Primeri
STABILNOST ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA – BODEOV KRITERIJUM - PRIMERI
Primer 2 - pregled
Tip τi i τd ω0 (presek sa φ=-π) Ku (1/AR(ω0)) Oblast stabilnosti
P - 1.73 64 Kc<64
PI τi=3.03 1.47 43.9 Kc<43.9
τi=0.8 0.897 11.3 Kc<11.3
PID τi=3.03, τd=0.4 - - ∀ Kc
τi=0.8, τd=0.4 1.206, 2.05 26.93, 95.07 Bodeov kriterijum stabilnosti neprimenljiv
τi=0.8, τd=0.2 0.97 14.61 Kc<14.61
Uticaj integralne i diferencijalne akcije na stabilnost ZRK
-Dodavanje integralne akcije ⇒ φ(ω)↓ ⇒ ω0 ↓ ⇒ AR(ω0) ↑ ⇒ Ku ↓
−τi ↓ ⇒ φ(ω)↓ ⇒ ω0 ↓ ⇒ AR(ω0) ↑ ⇒ Ku ↓- Dodavanje diferencijalne akcije ⇒ φ(ω) ↑ ⇒ ω0 ↑ ⇒ AR(ω0) ↓ ⇒ Ku ↑
- τd ↑ ⇒ φ(ω) ↑ ⇒ ω0 ↑ ⇒ AR(ω0) ↓ ⇒ Ku ↑
ZAKLJUČAK: - Dodavanje integralne akcije smanjuje stabilnost ZRK.
- Što je τi manje, kolo je manje stabilno
- Dodavanje diferencijalne akcije povećava stabilnost ZRK
- Što je τd veće, kolo je stabilnije
Zatvoreno regulaciono kolo
POKAZATELJI RELATIVNE STABILNOSTI ZRK
Nije dovoljno da je ZRK stabilno – neophodno je da postoji “rezerva stabilnosti” – stepen sigurnostiRazlozi: - Analiza stabilnosti ZRK se zasniva na približnim modelima
- Analiza stabilnosti ZRK se zasniva na linearizovanim modelima – nisu dovoljno pouzdani pri promeni radne tačke
- Fizičke i fizičko-hemijske karakteristike mnogih objekata upravljanja se menjaju u toku njihove eksploatacije (prljanje površina, deaktivacija katalizatora i sl.)
Korišćenjem logike Bodeovog kriterijuma stabilnosti, pokazatelji relativne stabilnosti se definišu preko frekventnih karakteristika otvorenog kola – kao udaljenost od kritične tačke:
odnosno:
π−=ωφ=ω )(,1)( 00AR
( ) ( ) 0)(Im,1)(Re 00 =ω−=ω jGjG
Zatvoreno regulaciono kolo – Relativna stabilnost
Pretek pojačanja (granica pojačanja, rezerva pojačanja, rezerva stabilnosti po modulu) – definiše odstojanje ZRK od granice stabilnosti mereno jedinicama amplitudne karakteristike otvorenog kola.
π−=ωφπ−=ωφω
=ω
=)(0)(0
00)(
1
)(
1
jGARm
c
u
K
Km =
nestabilnoZRK1
istabilnostgranicinaZRK1
stabilnoZRK1
⇔<
⇔=
⇔>
m
m
m
Preporuka: m=1.7 do 2
Pretek faze (granica faze, rezerva faze, rezerva stabilnosti po fazi) – definiše odstojanje ZRK od granice stabilnosti mereno jedinicama fazne karakteristike otvorenog kola.
|))(j( arg)( 1 = |)G(j|11)(1 11 ω=ω ωπωφπγ G + = | + = AR
nestabilnoZRK0
istabilnostgranicinaZRK0
stabilnoZRK0
⇔<γ
⇔=γ
⇔>γ
Preporuka: γ=30 do 45o
Važi samo za P regulator
Zatvoreno regulaciono kolo – Relativna stabilnost
ω0
ω1
1
NIKVISTOV KRITERIJUM STABILNOSTI
Košijeva teorema Z-P=N: Ako kompleksna funkcija F(s) ima Z nula i P polova unutar određene oblasti u ravni nezavisne promenljive s, obuhvaćene zatvorenom konturom C, slika zatvorene konture C u F-ravni će obići oko koordinatnog početka (tačke (0,0)) tačno N=Z-P puta. Pri tome se obilaženje u smeru kazaljke na satu uzima sa pozitivnim znakom, a obilaženje u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu sa negativnim znakom.
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Primena Z-P=N teoreme na ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola
Oblast: desna poluravan kompleksne s-ravni
Kontura C
Funkcija)())((
)())(()(1)(
21
21
N
M
pspsps
zszszsKsGsF
−−−−−−=+=
Nule f-je F(s) ≡ koreni karakteristične j-ne ZRKPolovi f-je F(s) ≡ polovi f-je G(s) (p.f. otvorenog kola)
Z nula f-je F unutar konture CP polova f-je F unutar konture C
ZRK stabilno ⇔ svi koreni karakteristične jednačine ZRK u levoj poluravni ⇔ Z=0
Slučaj 1: Otvoreno kolo stabilno ⇔ P=0 ⇒ N=0 (ZRK je stabilno ako slika konture C u F-ravni ne obilazi oko koordinatnog početka)Slučaj 2: Otvoreno kolo nestabilno ⇔ P≠0 ⇒ N=-P (ZRK je stabilno ako slika konture C u F-ravni obilazi oko koordinatnog početka tačno – P puta)
Praktična primena: Zbog jednostavnosti se, umesto funkcije F(s)=1+G(s) i njenih nula, obično ispituje funkcija G(s) kojom je definisana prenosna funkcija otvorenog kola i posmatra broj obilazaka slike konture C oko tačke (-1,0) u G-ravni
)1)(1)(1()(
321 + s+ s+ s
K = sG
τττPrimer:
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Nikvistov dijagram(hodograf vektora G(jω)
KONAČNA DEFINICIJA NIKVISTOVOG KRITERIJUMA STABILNOSTI:
1. Ukoliko sistem ne sadrži ni jedan nestabilan element u otvorenom kolu, zatvoreno regulaciono kolo će biti stabilno ako i samo ako Nikvistov dijagram otvorenog kola (hodograf vektora G(jω)) ne obilazi oko tačke (-1,0). Ako Nikvistov dijagram obilazi oko tačke (-1,0) zatvoreno regulaciono kolo je nestabilno, a ako prolazi kroz nju, zatvoreno regulaciono kolo je na granici stabilnosti.
2. Ukoliko sistem sadrži P elemenata koji su nestabilni u otvorenom kolu, zatvoreno regulaciono kolo će biti stabilno ako i samo ako hodograf vektora G(jω) obilazi oko tačke (-1,0) tačno P puta, u smeru suprotnom smeru kretanja kazaljke na satu.
ALTERNATIVNA DEFINICIJA: Zatvoreno regulaciono kolo je stabilno ako se tačka (-1,0) uvek nalazi za leve strane posmatrača koji putuje duž hodografa vektora G(jω) u smeru porasta frekvencije.
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Slučaj 1: Jednostavni sistemi – stabilan proces, monotono opadajuće frekventne karakteristike otvorenog kola
Stabilno ZRK
ZRK na granici stabilnosti Nestabilno ZRK
Primena identična kao za Bodeov kriterijum stabilnosti
Kritična frekvencija:
( ) π−=ωφ⇔=ω )(0)(Im 00jG
Kc<Ku – ZRK je stabilnoKc=Ku – ZRK na granici stabilnostiKc>Ku – ZRK nestabilno
( )101010 )(
1
)(
1
)(Re
1
=== ω=
ω=
ω=
ccc KKKu ARjGjG
K
Krajnje pojačanje:
ω0
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Slučaj 2: Polovi prenosne funkcije otvorenog kola na imaginarnoj osi
Primena identična kao za Slučaj 1
Kc<Ku – ZRK je stabilnoKc=Ku – ZRK na granici stabilnostiKc>Ku – ZRK nestabilno
1) + s( 1) + s( s
K = G(s)
21 ττPrimer:
s-ravan G-ravan
ω0
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Slučaj 3: Sistemi sa uslovnom stabilnošću
Primer: 1) + s( 1) + s( 1) + s( 1) + s(
1) + s( K = G(s)
pppp
z
τττττ
4321
1
Nikvistov dijagram DPK
K = K K = K K = K ZATI STABILNOSGRANICI NAZRK
K > K K < K < K ZANESTABILNOZRK
K< K < K K < K ASTABILNO ZZRK
ucucuc
ucucu
ucuuc
321
321
321
∨∨
∨
∨
1031033
1021022
1011011
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
==
==
==
ω=
ω=
ω=
ω=
ω=
ω=
cc
cc
cc
KK
u
KK
u
KK
u
ARjGK
ARjGK
ARjGK
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Slučaj 4: Nestabilan proces
1 - sK K = G(s)
p
pc
τPrimer:
πωτω
ωτω
- )( arctan = )G(j arg p
22p
pc
+ 1
K K = |)G(j|
Nisu frekventne karakteristike!
K1/ > K ASTABILNO ZZRK
K = K ZATI STABILNOSGRANICI NAZRK
K1/ < K ZANESTABILNOZRK
pc
pc
pc
P=1 – broj polova O.K. u desnoj poluravniUslov stabilnosti: N=-1!
pu K
K1=
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom
(a) τi=3.03 min, τd=0.4 min, (b) τι=0.8 min, τd=0.4min, (c) τι=0.8 min, τd=0.2 min
1 = (s)G = (s)G ,)1 + (s
1/8 = (s)G mv3p
s+ s 3 + s 3 + s
1 + s + s 8
K = )1 + (s
1/8 s +
s
1 + 1 K = G(s)
234
i2
di
i
c3d
ic
ττττ
ττ
ωωωωωτττωτττ
τω
ωωωτωτττωττ
τω
+ 3 + 3 +
1 - )3 - + (3 + )3 - (
8K = ))(G(j Im
1 + 3 + 3 +
3) - ( + ) 3 - 3 + (1 + -
8K = ))(G(j Re
357
2idi
4dii
i
c
246
i2
idi4
di
i
c
Zamenom s=jω ⇒ G(jω)
τττ→ω∞→ω→ω
ii
i 0.375 - 0.125 =
8
3 - ))(G(j Re, - ))(G(j Im cc KK :0
Asimptota kad ω →0:
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom - nastavak
Slučaj (a) τi =3.03 min, τd =0.4 min, za Kc=1:
ωωωωωωω
ωωωωωω
+ 3 + 3 +
0.041 - 0.201 - 0.025- = )))(G(j Im
1 + 3 + 3 + 10x1.24 + 0.284- 0.05-
= )))(G(j Re
357
24
246
-324
0.00124 ))(G(j Re , - ))(G(j Im →ω∞→ω→ω : 0
Asimptota:
ω∀<ω zajG 0))(Im(
⇓Nema preseka sa negativnim delom Re-ose
⇓ZRK stabilno za svako Kc
Kritična frekvencija: Im(G(jω)=0
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom - nastavak
Slučaj (b) τi =0.8 min, τd =0.4 min, za Kc=1:
Asimptota:
ωωωωωωω
ωωωωωω
+ 3 + 3 +
0.15625 - 0.14375 + 0.025- = ))(G(j Im
1 + 3 + 3 +
0.34375 - 0.55- 0.05- = ))(G(j Re
357
24
246
24
0.34375- ))(G(j Re , - ))(G(j Im →ω∞→ω→ω : 0
0 = 0.15625 - 0.14375 + 0.025- 0 = ))(G(j Im 20
400 ωω⇔ω
rad/min 2.07 = irad/min 02ωω 1.206 = 01
0.0105 = |))Re(G(j| = )AR( =
0.037 = |))Re(G(j
020202
01
ωωωω
AR
| = )AR( = AR 0101
95.07 = 0.0105
1 = K
26.93 = 0.037
1 = K
u
u
2
1
Uslovna stabilnost!
ZRK stabilno za Kc<26.93 ili Kc>95.07ZRK nestabilno za 26.93<Kc<95.07ZRK na granici stabilnosti za Kc=26.93 i Kc=95.07
Kritična frekvencija:
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom - nastavak
Slučaj (c) τi =0.8 min, τd =0.2 min, za Kc=1:
Asimptota – ista kao pod (b)
ωωωωωωω
ωωωωωω
+ 3 + 3 +
0.15625 - 0.11875 + 0.05 = ))(G(j Im
1 + 3 + 3 +
0.34375 - 1.55- 0.025- = ))(G(j Re
357
24
246
24
0 = 0.15625 - 0.11875 + 0.05 0 = ))(G(j Im 20
400 ωω⇔ω
Kritična frekvencija:
Rešenja: −
=ω94.0
32.320
rad/min 0.97 = 0ω
0.0684 = |))Re(G(j 0ωω | = )AR( = AR 00
14.61 = 0.0684
1 = K u
ZRK stabilno za < 14.61ZRK nestabilno za >14.61ZRK na granici stabilnosti za Kc=14.61
IZBOR I PROJEKTOVANJE REGULATORA ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA
1. Izbor tipa regulatora 2. Definisanje vrednosti parametara regulatora - podešavanje regulatora3. Definisanje kriterijuma za ocenu kvaliteta ponašanja sistema
Zatvoreno regulaciono kolo – Kriterijumi kvaliteta regulacije
Osnovni zahtevi koje sistem upravljanja treba da ostvari:1. Stabilnost2. Što bolje otklanjanje dejstva poremećaja3. Dobro praćenje promena postavne tačke4. Eliminisanje ili svodjenje na malu vrednost greške stacionarnog stanja (Offseta)5. Izbegavanje jako velikih promena manipulativne promenljive6. Neosetljivost sistema na promenu radnih uslova i nedovoljnu tačnost modela
KRITERIJUMI ZA OCENU KVALITETA REGULACIJE
1. Kriterijumi u vremenskom domenu-Greška stacionarnog stanja (P regulacija) -Prekoračenje (Pr=B/D)-Odnos slabljenja (O.S.=C/B)-Vreme uspona tu
-Vreme smirenja ts
1)12)((
)()(
22< ,
+s+ssQ
sP=sW e
eee
ξτξτ
ZRK je najčešće oscilatoran sistem: x(t)
GSS
U principu:Kad Kc↑: GSS↓, ξe ↓, Pr ↑, O.S. ↑, tu ↓, ts ↑(Poželjno: GSS=0, malo Pr, mali O.S., malo tu i
malo ts)
Kompromisno rešenje Kc za koje je O.S.≈1/4
Zatvoreno regulaciono kolo – Kriterijumi kvaliteta regulacije
2. Kriterijumi u Laplasovom domenu
Obezbedjuje da ZRK bude dovoljno stabilno
Obezbedjuje da ZRK ne bude previše oscilatorno
Zatvoreno regulaciono kolo – Kriterijumi kvaliteta regulacije
( ) +te KA = ty nt-p n
φξ−ω
ξ−− ωξ 2
21sin
1
11)(
ξωωξφ =
= n
ncosZa nedovoljno prigušen sistem II reda:
τ=constξ=const
3. Kriterijumi u frekventnom domenu
Zatvoreno regulaciono kolo – Kriterijumi kvaliteta regulacije
- Pretek pojačanja i pretek faze - Pokazatelji relativne stabilnosti m i γ
π−=ωφπ−=ωφω
=ω
=)(0)(0
00)(
1
)(
1
jGARm |))(j( arg)( 1 = |)G(j|11)(1 11 ω=ω ωπωφπγ G + = | + = AR
Preporuka: m=1.7 do 2 γ=30 do 45o
ω0
ω1
1
ω0
ω1
1
ω0
ω1
1
ω0
ω1
Izbor i projektovanje regulatora ZRK - Izbor tipa i parametara regulatora
Izbor tipa regulatora
Kvalitativni prikaz odziva ZRK na promenu opterećenja
Praktična pravila:1. P regulator za regulaciju nivoa i pritiska u rezervoarima za skladištenje fluida2. PI regulator za regulaciju protoka3. PID regulator za regulaciju temperature i sastava
Izbor parametara regulatora
Treba naći kompromisno rešenje koje će da pomiri osnovne zahteve:-ZRK treba da bude što stabilnije-ZRK treba da ima što brži odziv-ZRK treba što brže da se smiruje-Treba zadovoljiti zahteve definisane različitim kriterijuima kvaliteta regulacije
Izbor i projektovanje regulatora ZRK - Izbor tipa i parametara regulatora
Cigler-Nikols (Ziegler-Nichols) Z-N (1942)
Metode zasnovane na krajnjem pojačanju Ku i krajnjem periodu Pu =2π/ω0
Ku i Pu se odredjuju za Gc(s)=1
Tip regulatora
Kc τi τd
P 0.5Ku - -
PI 0.45Ku Pu/1.2 -
PID 0.6Ku Pu/2 Pu/8
Poluempirijske metode za podešavanje parametara regulatora
πωφ −=)( 0
Kritična frekvencija ω0 Krajnje pojačanje Ku
10 )(
1
=
=cK
u ARK
ω
Izbor i projektovanje regulatora ZRK - Izbor tipa i parametara regulatora
PRIMER: Odredjivanje parametara regulatora metodom Cigler-Nikolsa
1)()(,)1+(
1/8)( 3 == sGsG
s = sG vmp
min63.3rad/min,73.1,64 0 ==ω= uu P K
Tip R. Parametar Z-N
P Kc 32.00
PI Kc 29.10
τi 3.03
Kc 37.65
PID τi 1.82
τd 0.45
Tip R. Kc τi τd
P 0.5Ku - -
PI 0.45Ku Pu/1.2 -
PID 0.6Ku Pu/2 Pu/8
Izbor i projektovanje regulatora ZRK - Izbor tipa i parametara regulatora
tip GSS Pr O.S Vreme usp. (min)
P 0.200 0.542 0.390 1.6
PI 0 0.563 0.583 1.8
PID 0 0.403 0.169 1.4
Kriterijumi kvaliteta regulacije u vremenskom domenu
Tip regulatora τ1 (min) τ2 (min) ωn (rad/min) ξ
P 0.386 - 1.390 0.148
PI 0.406 3.330 1.270 0.092
PID 0.831 1.005 1.469 0.273
)+2+s1)(+s1)(+s(
P(s)=W(s)
2nn
221 ωωξττPokazatelji u Laplasovom domenu
Tip regulatora m γ (o)
P 2.00 27.00
PI 1.51 14.50
PID ∞ 31.00
Kriterijumi u frekventnom domenu
Prednosti i nedostaci konfiguracije upravljanja sa negativnom povratnom spregom
Prednosti Nedostaci
1. Deluje na osnovu direktnog merenja izlaza kojim treba upravljati2. Ne zahteva identifikaciju ni merenje poremećaja3. Povećava brzinu odziva sistema4. Smanjuje uticaj nelinearnosti5. Nije mnogo osetljiva na greške modelovanja (mogu da se koriste približni modeli)6. Nije mnogo osetljiva na promenu parametrara procesa
1. Upravljačka akcija deluje tek nakon što se uticaj poremećaja odrazi na izlaz iz sistema2. Ne zadovoljava za regulaciju sporih procesa ili procesa sa velikim mrtvim vremenom3. Zatvoreno regulaciono kolo može da postane nestabilno