zbieżność szeregu fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

•Warunki zbieżności Dirichleta•Zachowanie szeregu Fouriera w punktach nieciągłości•Peter G. L. Dirichlet•Zbieżność średniokwadratowa•Twierdzenie Parsevala•Moc ułamkowa•Efekt Gibbsa•Okna Fejera, Lanczosa...•Podsumowanie

Zbieżność szeregu Fouriera


Szereg Fouriera sygnału x(t)

,2,1,0

1

o

o

o

n

dtetxT

X

eXtx

Ttxtx

Ttjn

n

n

tjnn

mnT

mndtee

ee

ne

T tmjtjn

tjmtjn

tjn

,

,0

,2,1,0,

o

oo

oo

o

Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]:

klasa sygnałów AA1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju,A2) posiada skończoną liczbę ekstremów,A3) jest ograniczonyklasa sygnałów BB1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II rodzaju,B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunki A1A3,B3) jest bezwzględnie całkowalny

to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny (jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich punktach jego ciągłości.


Warunek zbieżnościDirichleta (I)

T

dttx

Warunki Dirichleta są warunkami wystarczającymi.

tx

Warunek Dirichleta (I)


czas

x(t)

0 T

sygnał klasy AI

I



czas

x(t)

0 T

sygnał klasy B

III



txtxtxtx

2

1limlim

2

1

oo

W punktach nieciągłości I rodzaju szereg Fourieraprzyjmuje wartość:

sugerujący, że w punktach nieciągłości sygnałux(t) jego wartość powinna być równa średniejarytmetycznej granicy lewo- i prawostronnej.

Umowa ta gwarantuje zbieżność szeregu Fouriera dosygnału we wszystkich chwilach czasu (ale jednostajnąwyłącznie w punktach ciągłości).


Zachowanie szeregu Fouriera w punkcie nieciągłości

czas

x(t)

0 Tt

x(t-)

x(t+)

txtxtx2

1


Punkt nieciągłości

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

2

4

6

8

10

12Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości

czas

(10 harmonicznych)


Punkt nieciągłości

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

2

4

6

8

10

12Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości

czas

(20 harmonicznych)


Warunek zbieżnościDirichleta - II

T

dttx

1

0 1

121o0n

i ii

nii

txtx

Ttttttt EOGRANICZON WAHANIE

warunek II

Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]:

klasa sygnałów AA1) ma wahanie ograniczone

klasa sygnałów BB1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II rodzaju,B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunek A1,B3) jest bezwzględnie całkowalny

to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny (jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich punktach jego ciągłości.

warunek I


Warunek zbieżności Dirichleta - II

20,2sin2ln tttx

Sygnał bezwzględnie całkowalny wg. G. M. Fichtenholz„Rachunek różniczkowy i całkowy”, tom II, str. 507

2

odttx


Warunek zbieżności Dirichleta - II

20,cos2sin2ln1

tnntttxn


Peter Gustav Lejeune Dirichlet

• Matematyk niemiecki, I poł. XIX wieku• Najważniejsze osiągnięcia:

• teoria liczb - funkcje dzeta• teoria mnogości - zasada szufladkowa• teoria szeregów - zasada zbieżności


Peter Gustav Lejeune DirichletFunkcje dzeta Riemanna:(przypadek funkcji Dirichleta)

1Re,11

snsn

s

Tożsamość Eulera:

pierwszych liczbzbiór ,1Re,11

1

ps

ps

ps


Peter Gustav Lejeune DirichletHipoteza Riemanna:(nieudowodniona do dzisiaj)

1Re0,011

snsn

s

jbs 2

1

Wszystkie miejsca zerowe (a jest ich nieskończenie wiele)funkcji dzeta Riemanna mają postać:

Dowód hipotezy Riemanna zmieniłbyoblicze teorii liczb; obliczenia numerycznewskazują, że przeszło 1,5 x 109 liczb spełniahipotezę Riemanna.


Peter Gustav Lejeune DirichletTwierdzenie o liczbach pierwszych:(korzysta z funkcji dzeta Dirichleta)

x

x

xx

xx

x

xxx

x dla

ln1

lnlim

2, pierwszych liczb liczba -

Błąd oszacowania:

x = 1010 4,5%x = 1014 3,0%x = 1018 2,5%


Peter Gustav Lejeune DirichletZasada pudełkowa Dirichleta:

Jeżeli N przedmiotów umieścimy w K < N pudełkach,to w którymś z pudełek znajdą się co najmniej 2 przedmioty.

N = 4K = 3

Zastosowanie:W Krakowie mieszkają 2 osoby mające tę samą liczbęwłosów na głowie (N 800.000)Największa liczba włosów na głowie - K = 500 000


Zbieżność średniokwadratowa

aproksymacjaszeregiem Fouriera

k

kn

tjnn

n

tjnn

eXtx

eXtx

o

o

a

szereg Fouriera

Średniokwadratowy błąd aproksymacji

01

o

2a

2 T

dttxtxT

e


Zbieżność średniokwadratowa

Szereg Fouriera stanowi aproksymację średniokwadratowąsygnału. Warunkiem jej istnienia jest skończona wartość całki:

01 2

o

22

kk

knn

TXdttx

Te

T

dttxT o

21

a więc skończona energia (moc) sygnału.


Twierdzenie Parsevala

n

n

TXdttx

T

2

o

21

Twierdzenie Parsevala pozwala wyznaczyć moc sygnału:

T

dttxT

Po

21

w dziedzinie częstotliwości:

n

nXP2


Moc ułamkowa 1

22

ou

k

nn

k

knn XXkfP

0 5 10 15 20 25 30 350

0.05

0.1

0.15

0.2

kfo

|Xk|

Moc ułamkowa T = 1

t

1


Moc ułamkowa tn

ne

n

jtx

n

tjn

nn

o1

2

o

sin11

2

11

22

1

0 5 10 15 20 25 30 3575

80

85

90

95

100

kf0

P(kf o

) [%

]

Sygnał piłokształtny

%9916

%954

%902

ou

ou

ou

fP

fP

fP

T = 1

t

1


Moc ułamkowa(sygnał piłokształtny - 90%)

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1Aproksymacja sygnału piłokształtnego

2 harmoniczne90% mocy sygnału

T = 1

t

1



0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1Aproksymacja sygnału piłokształtnego

4 harmoniczne95% mocy sygnału

T = 1

t

1



0 0.5 1 1.5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Aproksymacja sygnału piłokształtnego

16 harmonicznych99% mocy sygnału

T = 1

t

1


Efekt Gibbsa

-0.5 0 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

efekt Gibbsa

Impuls prostokątny11 harmonicznych


Efekt Gibbsa

-0.5 0 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

efekt Gibbsa



Efekt Gibbsa

Efekt Gibbsa występuje w punktach nieciągłości sygnału,

a objawia się jako nadmierne oscylacje aproksymacji

skończonym szeregiem Fouriera; poziom oscylacji jest

niezależny od długości aproksymacji.


Okna Fejera, Lanczosa...

k

kn

tjnnn

n

tjnn

eXwts

eXtx

o

o

Funkcja okna (ang. window) knwn ,0

jest dobierana w celu minimalizacji efektu Gibbsa.

W klasycznej aproksymacji jest stosowaneokno prostokątne o wagach knwn ,1


Okna Fejera, Lanczosa...Okno prostokątne Okno Fejera

knwn ,1 knknwn ,/1

Okno Lanczosa

Okno von Hanna, Hamminga, Kaisera...

xxxSa

knknSawn

/sin

,/



-15 -10 -5 0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Okna aproksymacji szeregiem Fouriera

numery wyrazów szeregu Fouriera n

wa

ga

wn

okno prostokątneokno Fejeraokno Lanczosaokno von Hanna

podwójna szerokość okna 2*k + 1



-0.5 0 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

okno prostokatneimpuls prostokątny

okno Fejeraokno Lanczosa




Okna, efekt Gibbsa, błąd aproksymacji...

Okna Fejera, Lanczosa pozwalają w dużym stopniu zmniejszyć

efekt Gibbsa (oscylacje w pobliżu punktu nieciągłości sygnału),

ale kosztem wzrostu błędu średniokwadratowego.

Pamiętajmy, że przecież szereg Fouriera (z oknem prostokątnym)

stanowi najlepszą aproksymację sygnału,

zapewniającą minimum błędu średniokwadratowego.


Podsumowanie• Warunki Dirichleta zapewniają zbieżność szeregu Fouriera do wartości sygnału; w punktach nieciągłości szereg Fouriera generuje „średnią arytmetyczną” nieciągłości.• Praktycznym warunkiem zbieżności jest skończona wartość mocy sygnału (zbieżność średniokwadratowa).• Ze zbieżności średniokwadratowej wynika twierdzenie Parsevala pozwalające wyznaczyć moc sygnału poprzez moc poszczególnych składowych harmonicznych.• Moc ułamkowa (konsekwencja tw. Parsevala) pozwala szacować w praktyce użyteczną szerokość pasma sygnału.• W pobliżu punktów nieciągłości aproksymacja szeregiem Fouriera wykazuje nadmierne i utrzymujące się fluktuacje (efekt Gibbsa).• Okna Fejera, Lanczosa i inne pozwalają redukować efekt Gibbsa, ale kosztem dokładności aproksymacji.

zbieżność szeregu fouriera

Documents