Zeittafel zur Geschichte der Mathematik

Mathematik der Antike .

Thales von Milet (624–547 v. Chr.)Pythagoras (580–500 v. Chr.)Sokrates (469–399 v. Chr.)Demokritos (460–371 v. Chr.)Platon (428–348 v. Chr.)Aristoteles (384–322 v. Chr.)Euklid (365–300 v. Chr.)Archimedes (287–212 v. Chr.)Ptolemaios (85–169 n. Chr.)Diophantos (um 250 n. Chr.)

Mathematik des Mittelalters .

Al-Kwarizmi (um 800)Saraf ad-Din at-Tusi (1125–1213)Fibonacci (1180–1227).

Mathematik der Renaissance Die Renaissance (Wiedergeburt) geht im 15. Jahrhundert vonFlorenz aus. In der Malerei und bildenden Kunst entstehen die Meisterwerke von Leonardo daVinci (1452–1519), Michelangelo Bounarroti (1475-1564) und Raffaelo Santi (1483–1520).

Regiomontamus (1436–1476)Copernicus (1473–1543)Adam Ries (1492–1559)Stifel (1497–1567)Cardano (1501–1576)Bombielli (1526–1572)Vieta (1550–1603)

Mathematik in der Zeit des Rationalismus Die europäische Geistesgeschichte wird von zweiunterschiedlichen Philosophien geprägt, die wesentlich auf Francis Bacon (Dominanz des Ex-periments und der Erfahrung) und René Descartes (Dominanz des Denkens und der Ideen)zurückgehen.

Tycho Brahe (1546–1601)Neper (1550–1617)Bacon (1561–1626)Galilei (1564–1642)Kepler (1571–1630)Descartes (1596–1650)Fermat (1601–1665)Pascal (1623–1662)Huygens (1629–1695)

E. Zeidler (Ed.), Springer-Taschenbuch der Mathematik, DOI 10.1007/978-3-8348-2359-5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden 2013

1268 Geschichte der Mathematik

Mathematik des Aufklärungszeitalters Der Hauptvertreter der Aufklärung ist der französi-sche Philosoph Voltaire (1694–1778).

Newton (1643–1727)Leibniz (1646–1716)Jakob Bernoulli (1654–1705)Johann Bernoulli (1667–1748)Taylor (1685–1731)Daniel Bernoulli (1700–1782)Euler (1707–1783)Lagrange (1736–1813)Laplace (1749–1827)Monge (1746–1818)Legendre (1752–1832)

Mathematik des 19. Jahrhunderts Die Mathematik des 19. Jahrhunderts, die durch Gauß,Cauchy, Riemann, Lie, Klein und Poincaré wesentlich geprägt wurde, veränderte vollstän-dig das Gesicht der Mathematik (vgl. [Klein 1925]). Im 19. Jahrhundert wurden die Begriffe„Mannigfaltigkeit, Krümmung, nichtkommutative Algebra und Symmetriegruppe“ klar vonden Mathematikern herausgearbeitet. Diese Begriffe spielen eine zentrale Rolle in Einsteinsallgemeiner Relativitätstheorie und in der Quantenphysik des 20. Jahrhunderts.

Fourier (1768–1830)Gauß (1777–1855)Bolzano (1781–1848)Poisson (1781–1840)Poncelet (1788–1967)Cauchy (1789–1855)Möbius (1790–1868)Lobatschewski (1792–1856)

Abel (1802–1829)Bólyai (1802–1860)Jacobi (1804–1851)Dirichlet (1805–1895)Hamilton (1805–1865)Grassmann (1809–1877)Liouville (1809– 1882)Kummer (1810–1893)Galois (1811-1832)Sylvester (1814–1897)Boole (1815–1869)Weierstraß (1815–1897)Cayley (1821–1895)Hermite (1822–1901)Tschebyschew (1821–1894)Kronecker (1823–1891)

Riemann (1826–1866)Dedekind (1831–1916)Maxwell (1831–1879)Beltrami (1835–1900)

Geschichte der Mathematik 1269

Jordan (1838–1922)Darboux (1842–1917)Lie (1842–1899)Boltzmann (1844–1906)Max Noether (1844–1921)Cantor (1845–1918)Clifford (1845–1879)Schur (1845–1945)Picard (1846–1941)Frobenius (1849–1917)Klein (1849–1925)

Ricci-Curbastro (1853–1925)Poincaré (1854–1912)Bianchi (1856–1928)Ljapunow (1857–1918)Hurwitz (1859–1959)Hilbert (1862–1943)Hausdorff (1868–1942)Minkowski (1864–1909)Élie Cartan(1869–1951)

Hurwitz und Minkowski waren die akademischen Lehrer des jungen Einstein (1879–1955) ander ETH Zürich.

Mathematik des 20. Jahrhunderts Im 20. Jahrhundert findet eine Explosion des mathemati-schen Wissens statt, wie in keinem anderen Jahrhundert zuvor.

1. Einerseits werden die Erkenntnisse des 19. Jahrhunderts wesentlich vertieft. Das betrifft:Algebra, algebraische Geometrie, Zahlentheorie, Logik, Differenzialgeometrie, Liegruppen undLiealgebren, komplexe Analysis, Theorie der dynamischen Systeme und der partiellen Diffe-renzialgleichungen, Variationsrechnung, harmonische Analysis, Wahrscheinlichkeitsrechnungund mathematische Statistik.

2. Andererseits entstehen völlig neue Gebiete der Mathematik:

– algebraische Topologie, Differenzialtopologie, homologische Algebra, de Rham-Kohomologie, Kohomologie von Liealgebren, Garbenkohomologie, Theorie der Faserbün-del, algebraische und topologische K-Theorie, Quantengruppen und Deformationstheoriefür mathematische Strukturen, Hodgetheorie, Theorie der Motive (allgemeine Kohomo-logietheorie)

– Maß- und Integrationstheorie, lineare und nichtlineare Funktionalanalysis, Ope-ratoralgebren, nichtkommutative Geometrie,

– dynamische Optimierung und optimale Steuerung; lineare, konvexe, ganzzahlige Opti-mierung, Spieltheorie,

– Wahrscheinlichskeitstheorie (basierend auf der Maßtheorie), stochastische Prozesseund stochastische Integrale, Informationstheorie, Ergodentheorie, Chaostheorie, Bedie-nungstheorie,

– Wissenschaftliches Rechnen zur Lösung partieller Differentialgleichungen in Technik undNaturwissenschaften (finite Elemente, Mehrgitterverfahren, Wellenelemente (wavelets),hierarchische Matrizen und Tensorverfahren, Verfahren zur Entschlüsselung der DNA),

1270 Geschichte der Mathematik

– mathematische Biologie, mathematische Physik,

– Wirtschaftsmathematik (mathematische Ökonomie), Finanzmathematik, Versicherungs-mathematik,

– Algorithmik, Informatik und Komplexitätstheorie, Beweistheorie, Computeralgebra,Theorie der biologischen Computer und der Quantencomputer.

3. Um schwierige Probleme zu lösen, werden immer abstraktere Hilfsmittel entwickelt (z. B.die von Alexandre Grothendieck (geb. 1928) geschaffene Theorie der Schemata, die diealgebraische Geometrie und die Zahlentheorie unter einem Dach vereint).

4. Die wesentlichen mathematischen Strukturen werden axiomatisch herausgefiltert (z. B. to-pologische Räume, metrische Räume, Mannigfaltigkeiten, Faserbündel, Hilberträume, Ba-nachräume, Gruppen, Ringe, Körper, von Neumann-Algebren, C∗-Algebren, Wahrscheinlich-keitsräume). In diesem Zusammenhang wird um 1950 eine neue Theorie der mathematischenStrukturen geschaffen, die man Kategorientheorie nennt und inzwischen auch von Physikernangewandt wird, um Einsteins allgemeines Relativitätsprinzip auf die Quantengravitation zuübertragen.

Die Hilbertschen Probleme: Auf dem zweiten Weltkongress der Mathematiker in Paris imJahre 1900 formulierte David Hilbert dreiundzwanzig, außerordentlich schwierige mathemati-sche Probleme. Die meisten dieser Probleme konnten im 20. Jahrhundert gelöst werden. Dasfindet man in den folgenden beiden Büchern:Yandell, B., The Honors Class: Hilbert’s Problems and Their Solvers, Peters Ltd, Natick, Massachusetts (2001).

Odifreddi, P., The Mathematical Century: The 30 Greatest Problems of the Last 100 Years, Princeton UniversityPress, Princeton, New Jersey (2004).

Im Jahre 1994 konnte Andrew Wiles (geb. 1953) die Richtigkeit der Fermatschen Vermutungbeweisen. Dieses Problem bestand seit über 350 Jahren (vgl. Kapitel 2). Hierzu empfehlen wirdas folgende Buch:

Singh, S., Fermats letzter Satz: die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. Carl HanserVerlag, München (1997).

Die Millenniumsprobleme: Im Jahre 2000 fand in Paris zur Erinnerung an Hilberts berühmtenVortrag im Jahre 1900 eine Feier im Amphitheater der Französischen Akademie statt. Dortformulierte das Clay Institute (Cambridge, Massachusetts, USA) sieben Milleniumsprobleme, diefolgende Gebiete betreffen:

– algebraische Geometrie (Hodge-Vermutung),

– mathematische Physik (Turbulenz und Quantenfeldtheorie),

– theoretische Informatik (Hauptproblem der Komplexitätstheorie),

– Topologie (Poincaré-Vermutung) und

– Zahlentheorie (Riemannsche Vermutung und Birch–Swinnerton Vermutung).

Diese Probleme werden ausführlich in dem folgenden Buch erläutert:

Devlin, E., The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time, BasicBooks, Perseus, New York (2002).

Für die Lösung jedes dieser Probleme ist ein Preisgeld von einer Million Dollar ausgesetzt.

Die Poincaré-Vermutung und die Ricci-Strömung auf Mannigfaltigkeiten: Eines der Mille-niumsprobleme konnte inzwischen gelöst werden. Der russische Mathematiker Grigori Jakowle-witsch Perelman (geb. 1966) bewies in genialer Weise die Poincaré-Vermutung. Diese betrifft die

Geschichte der Mathematik 1271

Charakterisierung der dreidimensionalen Sphäre durch topologische Invarianten.65 Interessantist, dass Perelman eine physikalisch motivierte Idee benutzte. Auf der Erdoberfläche gibt es eineWasserströmung der Weltmeere, die durch ein Geschwindigkeitsvektorfeld beschrieben werdenkann. Analog ist es möglich, Geschwindigkeitsvektorfelder (Tangentenvektorfelder) auf allgemei-nen Mannigfaltigkeiten zu benutzen, um Strömungen auf Mannigfaltigkeiten zu konstruieren.Perelman verwendet die sogenannte Ricci-Strömung, um eine vorgegebene dreidimensionaleMannigfaltigkeit mit geeigneten, einfachen topologischen Invarianten in eine dreidimensionaleSphäre stetig zu deformieren. Die entscheidende technische Schwierigkeit besteht darin, dass dieStrömung im Laufe der Zeit Singularitäten entwickeln kann, so dass die Strömung zusammen-bricht. Diese kritische Situation konnte Perelman durch feinsinnige Überlegungen ausschließen.Wir empfehlen das folgende Buch:

O’Shea, D., Poincarés Vermutung: Die Geschichte eines mathematischen Abenteuers. Fischer, Frankfurt/Main(2007).

Das Erbe von Riemann: Um das qualitative Verhalten komplexwertiger analytischer Funk-tionen und ihrer Integrale zu verstehen, führte Riemann den Begriff der Riemannschen Flächeein, die eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit darstellt. Damit ergab sich das Programm, dieStruktur von Mannigfaltigkeiten zu untersuchen. Ende des 19. Jahrhunderts bewies Poincaré,dass auf einer zweidimensionalen Sphäre (z. B. auf der Erdoberfläche) jedes stetige Geschwin-digkeitsfeld mindestens einen Staupunkt besitzt, in dem die Geschwindigkeit verschwindet. Dasist der Prototyp für tiefliegende Zusammenhänge zwischen

– der Topologie einer Mannigfaltigkeit (gegeben zum Beispiel durch die Eulercharakteristikeiner Sphäre) und

– den auf der Mannigfaltigkeit existierenden analytischen Objekten (z. B. Geschwin-digkeitsfelder oder allgemeinere physikalische Felder, Differentialformen, Integrale).

Diese faszinierende Entwicklungslinie der Mathematik begann Mitte des 19. Jahrhundertsmit dem Satz von Riemann–Roch über Riemannsche Flächen. Im Jahre 1953 gelang FriedrichHirzebruch (geb. 1927) ein Durchbruch, der die algebraische Geometrie und die Topologieder Mannigfaltigkeiten in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts revolutionierte und funda-mentale Neuentwicklungen der Mathematik veranlasste. Hirzebruch verallgemeinerte den Satzvon Riemann–Roch auf komplexe Vektorbündel über kompakten komplexen n-dimensionalenMannigfaltigkeiten. Das ist der Satz von Riemann–Roch–Hirzebruch. Dafür erhielt FriedrichHirzebruch den Wolfpreis im Jahre 1988 (vgl. [Chern und Hirzebruch 2001]). Diese Entwick-lungslinie gipfelte in dem Atiyah–Singer-Indextheorem, das im Jahre 1963 von Michael Atiyah(geb. 1929) und Isadore Singer (geb. 1924) bewiesen wurde. Dabei wurde gezeigt,

– dass die Struktur der Lösungsmengen von elliptischen Differentialgleichungen (z. B. diestationäre Wärmeleitungsgleichung) auf einer kompakten Mannigfaltigkeit (z. B. einerSphäre)

– von der Topologie der Mannigfaltigkeit abhängt (vgl. Kapitel 19 im Handbuch).

Diese Abhängigkeit kann explizit mit Hilfe topologischer Invarianten beschrieben werden. Dasist ein tiefer Zusammenhang zwischen Analysis und Topologie. Sir Michael Atiyah erhielt 1966die Fieldmedaille, und im Jahre 2003 wurde ihm zusammen mit Isadore Singer der Abelpreisverliehen. Die seit 1936 aller vier Jahre verliehene Fieldsmedaille (für Mathematiker unter 40Jahren) und der im Jahre 2004 ins Leben gerufene Abelpreis für Mathematik sind mit demNobelpreis vergleichbar.

65Die Erdoberfläche ist eine schwach deformierte zweidimensionale Sphäre.

1272 Literatur zur Geschichte der Mathematik

Literatur zur Geschichte der Mathematik

Wußing, H.: 6000 Jahre Mathematik: Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. Bd. 1, 2. Springer,Heidelberg (2008)

Scriba, C. und Schreiber, P.: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen. 2. Auflage.Springer, Heidelberg (2005)

Alten, W. et al.: 4000 Jahre Algebra: Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Heidelberg (2003)

Sonar, T.: 3000 Jahre Analysis: Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Heidelberg (2011)

Atiyah, M. und Iagolnitzer, D.: Fields Medalists’ Lectures. World Scientific, Singapore (2003)

Chern, S. und Hirzebruch, F. (Hrsg.): Wolf Prize in Mathematics, vols. 1, 2. World Scientific,Singapore (2001)

Harenberg Lexikon der Nobelpreisträger. Harenberg-Verlag, Dortmund (2000)

Klein, F.: Geschichte der Mathematik des 19. Jahrhunderts. Springer, Berlin (1925)

Monastirsky, M.: Modern Mathematics in the Light of the Fields Medals. Peters, Wellersley,Massachusetts (1997)

Zeidler, E.: Gedanken zur Zukunft der Mathematik. In: H. Wußing, 6000 Jahre Mathematik, Bd. 2,pp. 553–586. Springer, Heidelberg (2008)

Biographien bedeutender Wissenschaftler in Mathematik, Informatik und Physik:

Gillispie, C. (ed.): Dictionary of Scientific Biography. Scribner, New York (1970–1980)

Gottwald, S., Ilgauds, H., und Schlote, K. (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Leipzig,Bibliographisches Institut (1990)

Kraft, F.: Vorstoß ins Unbekannte: Lexikon großer Naturwissenschaftler. Wiley, Weinheim (1999)

Bell, E.: Men of Mathematics: Biographies of the Greatest Mathematicians of all Times. New York,Simon (1986)

Brennan, R.: Heisenberg Probably Slept Here: The Lifes, Times, and Ideas of the Great Physicistsof the 20th Century, Wiley, New York (1997)

von Weizsäcker, C.: Große Physiker: von Aristoteles bis Heisenberg. Carl Hanser Verlag, München(1999)

Wußing, H.: Von Leonardo da Vinci bis Galilei; Mathematik und Renaissance. EAGLE, Leipzig(2010)

Wußing, H.: Von Gauß bis Poincaré: Mathematik und Industrielle Revolution. EAGLE, Leipzig(2009)

Infeld, L.: Wen die Götter lieben. Schönbrunn-Verlag, Wien (1954) (das kurze Leben des EvaristeGalois (1811–1832))

Wußing, H.: Adam Ries, 3. erweiterte Auflage. EAGLE, Leipzig (2009)

Wußing, H.: Isaac Newton, 4. Auflage. Teubner-Verlag, Leipzig (1990)

Thiele, R.: Leonhard Euler. Teubner-Verlag, Leipzig (1982)

Literatur zur Geschichte der Mathematik 1273

Wußing, H.: Carl Friedrich Gauß, 6., erweiterte Auflage. EAGLE, Leipzig (2011)

Laugwitz, B.: Bernhard Riemann (1826–1866). Wendepunkte in der Auffassung der Geometrie.Birkhäuser, Basel (1995)

Monastirsky, M.: Riemann, Topology, and Physics. Basel, Birkhäuser (1987)

Tobies, R.: Felix Klein. Teubner-Verlag, Leipzig (1982)

Tuschmann, W. und Hawking P.: Sofia Kovalevskaja. Ein Leben für Mathematik und Emanzipati-on. Birkhäuser, Basel (1993)

Kanigel, R.: Der das Unendlich kannte: das Leben des genialen Mathematikers Srinivasa Rama-nujan, 2. Auflage. Wiesbaden, Vieweg (1999)

Reid, C.: Hilbert. Springer, New York (1970)

Reid, C.: Courant in Göttingen und New York. Springer, New York. (1976)

Regis, E.: Einstein, Gödel & Co. Genialität und Exzentrizität: die Princeton-Geschichte. Basel,Birkhäuser (1989)

Macrae, N.: John von Neumann: Mathematik und Computerforschung – die Facetten einesGenies. Fischer, Frankfurt/Main (1965)

Wiener, N.: Mathematik mein Leben. Fischer, Frankfurt/Main (1965)

Weil, A.: Lehr- und Wanderjahre eines Mathematikers. Birkhäuser, Basel (1993)

Zuse, K.: Der Computer – mein Lebenswerk, 3. Auflage. Springer, Berlin (1993)

Mathematische Symbole

Die folgende Liste umfasst häufig benutzte Symbole.

Logische Symbole

A → B Aus A folgt B (d. h., die Aussage A ist hinreichend für B, und B istnotwendig für A).

A ↔ B Das Symbol bedeutet: A → B und B → A (d. h., A ist hinreichend undnotwendig für B).

A∨ B Es gilt die Aussage A oder die Aussage B.

A∧ B Es gelten die Aussagen A und B.

¬A Es gilt nicht die Aussage A (Negation von B).∀x : . . . Alle Dinge x besitzen die Eigenschaft ". . .".

∃ x : . . . Es existiert ein Ding x mit der Eigenschaft ". . .".

∃! x : . . . Es existiert genau ein Ding x mit der Eigenschaft ". . .".

� Ende eines Beweises; andere Schreibweise „q.e.d.“ (lateinisch: quod eratdemonstrandum - was zu beweisen war)

x = y Das Ding x ist gleich dem Ding y.

x �= y Das Ding x ist nicht gleich dem Ding y.

x ∼ y Das Element x der Menge M is äquivalent zu dem Element y der Menge M.

M/ ∼ Menge der Äquivalenklassen bezüglich der Äquivalenzrelation ∼ auf derMenge M

f (x) := x2 f (x) ist definitionsgemäß gleich x2.

f (x) ≡ 0 Die Funktion f ist identisch gleich 0 (d. h., f (x) = 0 für alle x).

f = const Die Funktion f ist konstant (d. h., f (x) nimmt für alle Punkte x den gleichenWert an).

Mengen

x ∈ M x ist ein Element der Menge M.

x �∈ M x ist nicht ein Element der Menge M.

S ⊆ M, S ist eine Teilmenge von M (vgl. 4.3.1).1

S ⊂ M, S � M S ist eine echte Teilmenge von M (d. h. S ⊆ M und S �= M).

{x ∈ M : ...} Menge aller Elemente von M mit der Eigenschaft ". . .".

∅ leere Menge

1Unsere Konvention ist mnemotechnisch so gewählt, dass S ⊆ M bzw. S ⊂ M den Relationen s ≤ m bzw. s < m für reelleZahlen entspricht.

1276 Mathematische Symbole

M ∪ N Vereinigung der Mengen M und N (d. h., die Menge aller Elemente, die inM oder N enthalten sind)

M ∩ N Durchschnitt der Mengen M und N (d. h., die Menge aller Elemente, diein M und N enthalten sind)

M \ N Differenzmenge (d. h., die Menge aller Elemente von M, die nicht zu Ngehören)

A× B kartesische Produktmenge (d. h., die Menge aller geordneten Paare (a, b)mit a ∈ A, b ∈ B)

2M Potenzmenge von M (d. h. die Menge aller Teilmengen von M)

∂M Rand der Menge M

M Abschluss der Menge M (M := M ∪ ∂M)

int M Inneres (lateinisch: interior) der Menge M (int M := M \ ∂M)

meas M Maß (measure) der Menge M

card M Kardinalzahl der Menge M (vgl. 4.4.4.2)

ℵ Aleph (hebräischer Buchstabe)

ℵ0 Kardinalzahl der Menge N der natürlichen Zahlen (vgl. 4.4.4.3)

d(x, y) Abstand (distance) des Punktes x von dem Punkt y (vgl. 1.3.2)

Abbildungen

f : X → Y Die Funktion (oder Abbildung) f ordnet jedem Element x von X genauein Element f (x) von Y zu.

f : X ⊆ M → Y Dieses Symbol steht für das Symbol f : X → Y zusammen mit derZusatzinformation X ⊆ M.

D( f ), dom( f ) Definitionsbereich der Funktion f (d. h., f (x) ist genau für alle Punkte xin D( f ) erklärt)

R( f ), im( f ) Wertevorrat (range) oder Bild (image) der Funktion f (d. h., R( f ) ist dieMenge aller Punkte f (x) mit x ∈ D( f ))

f (A) Bild der Menge A (d. h., f (A) besteht aus genau allen Punkten f (x) mitx ∈ A)

f−1(B) Urbild der Menge B (d. h., f−1(B) besteht aus genau allen Punkten x mitf (x) ∈ B)

I, id identische Abbildung oder Einheitsoperator (d. h. für die Abbildung I :X → X gilt I(x) := x für alle x ∈ X)

Zahlen

N Menge der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, . . .

N+ Menge der positiven (eigentlichen) natürlichen Zahlen 1, 2, . . .

Z Menge der ganzen Zahlen 0,±1,±2, . . .

Q Menge der rationalen Zahlenab

(a, b ∈ Z, b �= 0)

Mathematische Symbole 1277

R Menge der reellen Zahlen

C Menge der komplexen Zahlen

K K = R oder K = C

Rn Menge der n-Tupel (x1, x2, . . . , xn), wobei x1, x2, . . . , xn reelle Zahlen sind

Cn Menge der n-Tupel (x1, x2, . . . , xn), wobei x1, x2, . . . , xn komplexe Zahlensind

π Ludolfsche Zahl (sprich: pi); π = 3, 14 159 . . .

e Eulersche Zahl; e = 2, 71 82 818 . . .

C Eulersche Konstante; C = 0, 57 72 . . .

Natürliche Zahlen

n! n-Fakultät; n! = 1 · 2 · · · n (0! = 1)(mn

)Binomialkoeffizient,

(52

)=

5 · 41 · 2,

(mn

)=

m · (m− 1) · · · (m− n + 1)n!

Ganze Zahlen

a ∈ Z a ist ein Element der Menge Z, d. h. a ist eine ganze Zahl.

a ≡ b mod p Die ganze Zahl a ist kongruent zur ganzen Zahl b modulo p, d. h., dieDifferenz b− a ist durch die ganze Zahl p teilbar.

Reelle Zahlen und Grenzwerte

a < b Die reelle Zahl a ist kleiner als die reelle Zahl b.

a = b a ist gleich b.

a ≤ b a ist kleiner oder gleich b.

a ( b a ist wesentlich kleiner als b.

a �= b a ist ungleich b.

[a, b] abgeschlossenes Intervall, [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (d. h., [a, b] istdefinitionsgemäß die Menge aller reellen Zahlen x mit a ≤ x ≤ b)

]a, b[ offenes Intervall, ]a, b[:= {x ∈ R : a < x < b}[a, b[ halboffenes Intervall, [a, b[:= {x ∈ R : a ≤ x < b}sgn(a) Vorzeichen (sign) der reellen Zahl a (z. B. sgn(±2) = ±1, sgn(0) = 0)

min{a, b} die kleinere der beiden reellen Zahlen a und b

max{a, b} die größere der beiden reellen Zahlen a und b

∑ni=1 ai die Summe a1 + a2 + . . . + an

∏ni=1 ai das Produkt a1 · a2 · · · an

|a| Betrag der reellen Zahl a (|a| := a, falls a ≥ 0, sonst |a| := −a)

inf M Infimum der Menge M reeller Zahlen (vgl. 1.2.2.3)

sup M Supremum der Menge M reeller Zahlen (vgl. 1.2.2.3)

1278 Mathematische Symbole

limn→∞

xn Grenzwert (lateinisch: limes) der reellen Zahlenfolge (xn) (z.B limn→∞1n=

0; vgl. 1.2.3.1)

limn→∞

xn oberer Grenzwert (lateinisch: limes superior) (vgl. 1.2.4.3)

limn→∞

xn unterer Grenzwert (lateinisch: limes inferior) (vgl. 1.2.4.3)2

|x| Euklidische Norm für x ∈ Rn, |x| :=√

∑nj=1 x2

i

〈x|y〉 Euklidisches Skalarprodukt für x, y ∈ Rn, 〈x|y〉 := ∑nj=1 xjyj

f = o(g), x → a Der Quotientf (x)g(x)

strebt gegen null für x → a.

f = O(g), x → a Der Quotientf (x)g(x)

ist beschränkt in einer Umgebung des Punktes a (ohne

Berücksichtigung des Punktes a).

f ∼= g, x → a Der Quotientf (x)g(x)

strebt gegen eins für x → a.

Komplexe Zahlen

i imaginäre Einheit, i2 = −1

z komplexe Zahl, z = x + yi; x und y sind reelle Zahlen

Re z Realteil der komplexen Zahl z = x + yi, Re z := x

Im z Imaginärteil der komplexen Zahl z = x + yi, Im z := y

z̄ konjugiert komplexe Zahl zu der komplexen Zahl z = x + yi, z̄ := x− yi

|z| Betrag der komplexen Zahl z = x + yi, |z| :=√

x2 + y2

arg z Argument der komplexen Zahl z = reiϕ, r := |z|, arg z := ϕ, −π < ϕ ≤ π

(vgl. 1.1.2)

〈z|w〉 Skalarprodukt in dem Hilbertraum Cn, 〈z|w〉 := ∑nj=1 z̄jwj, z, w ∈ Cn

|z| Norm des Elements z von Cn, |z| :=√〈z|z〉 =

√∑n

j=1 |zj|2

Elementare Funktionen

Die Eigenschaften der elementaren Funktionen findet man in 0.2.√

x die positive Quadratwurzel aus der positiven reellen Zahl x; z. B.√

4 = 2(√

0 = 0)n√

x n-te Wurzel aus x; z. B. 23 = 8 ergibt 3√

8 = 2

ex, exp(x) Exponentialfunktion von x

ln x natürlicher Logarithmus von x (lateinisch: logarithmus naturalis)

loga x Logarithmus von x zur Basis a

sin x, cos x Sinus von x, Kosinus von x

tan x, cot x Tangens von x, Kotangens von x

arcsin x, arccos x Arkussinus von x, Arkuskosinus von x

2Zum Beispiel gilt limn→∞(−1)n = −1 und limn→∞(−1)n = 1.

Mathematische Symbole 1279

arctan x, arccot x Arkustangens von x, Arkuskotangens von x

sinh x, cosh x Sinus hyperbolicus von x, Kosinus hyperbolicus von x

tanh x, coth x Tangens hyperbolicus von x, Kotangens hyperbolicus von x

Arsinh x, Arcosh x Areasinus von x, Areakosinus von x

Artanh x, Arcoth x Areatangens von x, Areakotangens von x

Differentiation

f ′(x),d f (x)

dxAbleitung der Funktion f an der Stelle x (vgl. 1.4.1)

f ′′, f (2) zweite Ableitung der Funktion f

∂ f∂x

, fx partielle Ableitung der Funktion f nach x (vgl. 1.5.1)

∂2 f∂y∂x

, fxy zweite partielle Ableitung von f zunächst nach x dann nach y

∂j f partielle Ableitung∂ f∂xj von f nach xj

∂α f Abkürzung für die partielle Ableitung ∂α11 ∂α2

2 · · · ∂αnn f , d. h. ∂α f (x) :=

∂|α| f (x)∂α1 x1∂α2 x2 · · · ∂αn xn

mit x = (x1, x2, . . . , xn), α = (α1, α2, . . . , αn) und

|α| = α1 + α2 + . . . + αn

d f totales Differential der Funktion f (vgl. 1.5.10.1)

dω Cartansche Ableitung der Differentialform ω (vgl. 1.5.10.4)

∇ Nablaoperator; ∇ :=∂

∂xi +

∂

∂yj +

∂

∂zk

grad T Gradient des Temperaturfeldes T; grad T = ∇T (vgl. 1.9.4)

div v Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes v; div v = ∇v (vgl. 1.9.4)

rot v Rotation des Geschwindigkeitsfeldes v; rot v = ∇× v (vgl. 1.9.4)

ΔT Laplaceoperator Δ := ∇∇ angewandt auf das Temperaturfeld T; ΔT =∇(∇T) = div grad T (vgl. 1.9.4)

Integration∫f (x)dx unbestimmtes Integral; z. B.

∫3x2dx = x3 + const (vgl. 0.9.1)

b∫a

f (x)dx Integral der Funktion f über das Intervall [a, b] (vgl. 0.9.2)

∫M

f (x)dx Integral der Funktion über die Teilmenge M des Rn (vgl. 0.1.7)

∫M

ω Integral der Differentialform ω über die Mannigfaltigkeit M (vgl. 1.7.6)

∫M

f dF Oberflächenintegral der Funktion f ; dabei ist dF das Differential des Flä-chenmaßes auf der Fläche M (vgl. 1.7.7)

1280 Mathematische Symbole

Vektoren, Matrizen und lineare Räume

a + b Summe der beiden Vektoren a und b (vgl. 1.8.1)

αa Produkt des Vektors a mit der reellen Zahl α (vgl. 1.8.1)

ab Skalarprodukt der beiden Vektoren a und b (vgl. 1.8.3)

a× b Vektorprodukt der beiden Vektoren a und b (vgl. 1.8.3)

(abc) Spatprodukt (a× b)× c

i, j, k orthonormierte Basisvektoren eines (rechtshändigen) kartesischen Koordi-natensystems; diese Vektoren besitzen die Länge eins, sie stehen paarweiseaufeinander senkrecht und sind wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfingerder rechten Hand orientiert (vgl. 1.8.2).

AT transponierte Matrix zur Matrix A (Vertauschung von Zeilen und Spalten;vgl. 2.1.3)

A∗ adjungierte Matrix zur Matrix A (Vertauschung der Zeilen mit den Zeilenund Übergang zu den konjugiert komplexen Elementen; vgl. 2.1.3)

A−1 inverse Matrix zu der quadratischen Matrix A (vgl. 2.1.3)

Rang A Rang der Matrix A (vgl. 2.1.4.4)

det A Determinante der quadratischen Matrix A (vgl. 2.1.2, 2.3.3.2)

tr A Spur (trace) der quadratischen Matrix A (vgl. 2.1.3, 2.3.3.2)

δjk Kroneckersymbol (δjk := 1 für j = k und δjk := 0 für j �= k)

E, I Einheitsmatrix (vgl. 2.1.3)

span S die lineare Hülle der Teilmenge S des linearen Raumes L (d. h., span S istder kleinste lineare Unterraum des linearen Raumes L, der die Menge Senthält; vgl. 2.3.4.1)

X⊕Y direkte Summe der linearen Räume X und Y (vgl. 2.3.4.3)

X×Y kartesisches Produkt der linearen Räume X und Y (vgl. 2.4.3.1)

X/Y Faktorraum des linearen Unterraumes Y von X (bzw. Faktorgruppe oderFaktorring) (vgl. 2.3.4.2)

a⊗ b Tensorprodukt der Multilinearformen a und b (vgl. 2.4.2 im Handbuch)

a ∧ b äußeres Produkt der antisymmetrischen Multilinearformen a und b(a ∧ b = a⊗ b− b⊗ a; vgl. 2.4.2.1 im Handbuch)

X⊗Y Tensorprodukt der linearen Räume X und Y (vgl. 2.4.3.1 im Handbuch)

X ∧Y äußeres Produkt (Graßmannprodukt) der linearen Räume X und Y (vgl.2.4.3.3 im Handbuch)

Mathematische Symbole 1281

Funktionenräume

C(G) Menge aller stetigen Funktionen f : G → R auf der offenen Menge G desRaumes Rn

Ck(G) Menge aller stetigen Funktionen f : G → R, die stetige partielle Ableitun-gen bis zur Ordnung k besitzen

C(G) Menge aller stetigen Funktionen f : G → R

Ck(G) Menge aller Funktionen f : G → R vom Typ Ck(G), die sich zusammen mitallen partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k stetig auf den Abschluss Gder offenen Menge G fortsetzen lassen

C∞(G) Menge aller glatten Funktionen f : G → R auf der offenen Menge G(d. h., f ist stetig auf G und besitzt stetige partielle Ableitungen beliebigerOrdnung auf G)

C∞0 (G) Menge aller Funktionen aus C∞(G), die außerhalb irgendeiner kompakten

Teilmenge von G gleich null sind

L2(G) Menge aller messbaren Funktionen f : G → R mit∫G| f (x)|2dx < ∞ (Das

Integral ist im Sinne des Lebesgueintegrals zu verstehen (vgl. Kapitel 10im Handbuch)

Griechisches Alphabet

A, α Alpha I, ι Jota R, �, ρ Rho

B, β Beta K, κ, κ Kappa Σ, σ, ς Sigma

Γ, γ Gamma Λ, λ Lambda T, τ Tau

Δ, δ Delta M, μ My Y, υ Ypsilon

E, ε, ε Epsilon N, ν Ny Φ, ϕ, φ Phi

Z, ζ Zeta Ξ, ξ Xi X, χ Chi

H, η Eta O, o Omikron Ψ, ψ Psi

Θ, ϑ, θ Theta Π, π Pi Ω, ω Omega

Index

a-priori Abschätzung, 482Abbildung, 743, 1842

bijektive, 744flächentreue, 715injektive, 744inverse, 744konforme, 528, 551, 556Korrespondenz, 746längentreue, 715ordnungstreue, 750surjektive, 744winkeltreue, 715

Abbildungsgrad, 547Abbildungssatz von Riemann, 551Abelsche Gruppe, 627Abelsches Integral, 142, 528Abelsches Summationsverfahren, 399Abhängigkeit von Funktionen, 288Abhängigkeitsgebiet, 519Ableitung

äußere, 301einer Funktion mehrerer Variabler, 259Fréchet-, 280, 500höhere, 260Kettenregel, 298logarithmische, 134partielle, 130, 278Richtungs-, 293verallgemeinerte, 349

Ableitungsgleichungen, 720Abrundung, 877Abschluss, 254Abschätzung

Fehler, 294Restglied, 269

Absicherungsstrategie, 1020, 1024absolute Häufigkeit, 848absolute Integralinvariante von Poincaré-Cartan, 500absolute Konvergenz, 387Abstand, 27, 251, 690

hyperbolischer, 687komplexer Zahlen, 529zwischen zwei Punkten, 17

Abstiegsrichtung, 1050abwickelbare Regelfläche, 719Abzählbarkeit, 1168Adams-Bashforth-Verfahren, 921Adams-Moulton-Verfahren, 922Adams-Verfahren, 921Adaptivität, 951Additionsformel für Mittelwerte, 821Additionstheorem, 54, 57additive Gruppe

Rang, 633Torsion, 633

Adjunkte eines Matrixelements, 580Ähnlichkeitssatz (Matrizen), 611äquivalente Wörter, 577affiner Unterraum, 622Ähnlichkeit in der Geometrie, 664Ähnlichkeitssatz, 671Ähnlichkeitstransformation, 552, 605Aleph, 1842Algebra

Ereignisse, 831Fundamentalsatz, 594Lie, 612lineare, 614

algebraische Funktion, 528, 650algebraische Körpererweiterung, 642algebraische Topologie, 536algebraisches Element, 642algebraisches Komplement, 624Algorithmus, 876, 1112, 1146

Aitken-Neville-, 896Clenshaw-, 913Euklidischer, 593, 599, 600Gaußscher, 588Gaußscher Eliminations-, 879komplexer, 875QR-, 887randomisierter, 1228stabiler, 878

allgemeine Lösungen (linearer Gleichungssysteme),587

Alphabet, 1108Alternantensatz, 913alternierende Gruppe, 629Amoroso-Robinson-Gleichung, 1093Analogieprinzip, 566Analyse

Fehler-, 876harmonische

numerische Behandlung, 967Multiskalen-, 972

analytische Fortsetzung, 395, 567analytische Funktion, komplexe, 539analytische Geometrie, 689analytische Zahlentheorie, 655Anfangsbedingung, 428Anfangsrandwertaufgabe, 945Anfangswertproblem, 442, 945

Eindeutigkeit, 468numerische Behandlung, 915

Annuität, 986Anordnungsaxiom, 682Ansatz, 266Antinomie von Burali-Forti, 759Approximation

Fourier-, 910

A 1283

gleichmäßige, 913im quadratischen Mittel, 909numerische, 909Polynom-, 911Tschebyschew-, 913

Approximationsalgorithmus, 1214Approximationssatz von Poisson, 851Äquipotentiallinie, 564äquivalenter Ausdruck, 753Äquivalenz, logische, 729Äquivalenzklasse, 748Äquivalenzprinzip, 981, 1003Äquivalenzproblem, 1232Äquivalenzrelation, 748Äquivalenzsatz, 947Arbeit, 507Arbitrage, 1016arbitragefreier Preis, 1019Areasinus, 72Arithmetica, 649arithmetische Progression, 655arithmetische Reihe, 31arithmetisches Mittel, 39, 399Arkuskosinus, 70Arkuskotangens, 70Arkussinusfunktion, 70Arkustangens, 70Armijo-Schrittweite, 1051Ars Magna, 596, 597Assoziativgesetz, 226, 236, 306, 404, 627, 630, 741

im Ring, 633Asymptote, 708

einer Hyperbel, 22asymptotisch stabil, 472asymptotische Formel, 656asymptotische Gleichheit, 118, 249asymptotische Reihe, 117Atiyah-Singer-Indextheorem, 620Aufgabe

gutgestellte, 977schlechtgestellte, 977

auflösbare Gruppe, 633Aufzinsungsfaktor, 982Ausdruck, 751, 755Ausgabedaten, 876Ausgangsgrad, 1063Ausgleichsmethode, 889Ausgleichsprinzip, Gaußsches, 889Aussage, 727, 751Aussagenlogik, 754Ausscheideordnung, 998äußere Ableitung, 301äußere direkte Summe, 625äußere Ladungsdichte, 521äußeres Produkt, 303Auszahlungsfunktion, 1001, 1073Ausübungspreis, 1018automorphe Funktion, 528automorphe Gruppe der komplexen Zahlenebene,

555Automorphismus, siehe Bewegungäußerer Punkt, 253

Axiom, 761Archimedes, 684Hilbertsches für reelle Zahlen, 234Mengentheorie, 756Pasch, 682Wahrscheinlichkeitsrechnung, 827

Babuška-Brezzi-Bedingung, 939Bachelier-Modell, 1025Bahnkurve eines Massenpunktes, 364Banachraum, 261, 615Banachscher Fixpunktsatz, 447, 905Barriere-Option, 1018Barwert, 981, 982, 984, 985, 1002

erwarteter, 1002Barwertvergleich, 981Basis

duale, 626Orthonormal-, 910reziproke, 363Riesz-, 973

Basislösung, zulässige, 1032Basispunktwert, 994BDF-Verfahren, 922bedingte Wahrscheinlichkeit, 831Bedingung

Babuška-Brezzi-, 939hinreichende, 729Lax, 487notwendige, 729

begleitendes Dreibein, 709, 712Bellmansche dynamische Optimierung, 799Bellmansche Wirkungsfunktion, 799Bellmansches Optimalitätsprinzip, 1057Bernoullis Gesetz der großen Zahl, 849Bernoullische Gleichung, 563Bernoullische Polynome, 105Bernoullische Ungleichung, 38Bernoullische Zahlen, 35, 900Berührungstransformation, 459, 510Beschleunigungsvektor, 365Beschränktheitskriterium, 387Besselsche Differentialgleichung, 475Besselsche Funktion, 113, 119Bestellmenge, optimale, 1097bestimmtes Integral, 136Betafunktion, 113Betrag, 224Bettische Zahl, 633Bewegung, 663

Brownsche, 515chaotische, 506Gruppe, 664quantisierte, 522quasiperiodische, 507

Bewegungsgleichung, 465Euler, 498Planet, 439Poissonsche, 780

Beweis, 729Eindeutigkeit, 733Existenz, 733

1284 D

falscher, 737indirekter, 732konstruktiver, 734per Induktion, 732

Beweismethoden, 732Beweisverifikation, 1196Bifurkation, 290, 457, 775biholomorphe Funktion, 550bijektiv, 619, 744Bilanzgleichung, 377Bildmenge, 743Bildpunkt, 743Binomialkoeffizient, 576Binomialmodell, 1017, 1020Binomialverteilung, 1006, 1009

negative, 1006, 1009binomische Formel, 32binomische Reihe, 34binomische Ungleichung, 38binomischer Koeffizient, 32binomischer Lehrsatz, 33, 576binomisches Integral, 142biquadratische Gleichung, 597Bisektionsmethode, 904Black-Scholes-Gleichung, 1027Black-Scholes-Modell, 1025, 1026Black-Scholes-Preis, 1027, 1028Bogenlänge, 322, 347, 703, 714Bogenmaß, 6Boltzmannkonstante, 525, 658, 825Bootstrapping, 992Bouligand-Kegel, 1044Brachystochronenproblem, 772Break-even-Analyse, 1097Brechungsindex, 771Brennpunkt, 9

einer Ellipse, 21einer Hyperbel, 23einer Parabel, 23

Brownsche Bewegung, 515, 1025Buchproblem, 576Buffonsches Nadelproblem, 830Bündel, Kotangential-, 504Burali-Forti Paradoxon, 759Burgersgleichung, 486, 488

Call-Option, 1018Cantors Strukturierung des Unendlichen, 757Cartan-Kählerscher Satz, 308Cartanscher Differentialkalkül, 297, 302, 330, 502casus irreducibilis, 596Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung, 531Cauchyfolge, 243Cauchykriterium, 243Cauchysche Integralformel, 536Cauchyscher Hauptwert, 322Cauchyscher Integralsatz, 533Cauchysches Prinzip, 387Ceres, 45Chaos, 651chaotische Bewegung, 485, 506Charakter (Dirichlet), 659

Charakteristik, 441, 443, 483, 486, 519, 944charakteristische Gleichung, 603chemische Reaktion, 427chemisches Potential, 508, 827χ2-Verteilung, 857Cholesky-Verfahren, 883Cholesky-Zerlegung, 882Christoffelsymbol, 720Churchsche These, 1159Clenshaw-Algorithmus, 913Clusteranalyse, 870Courant-Isaacson-Rees-Verfahren, 946Cournotscher Punkt, 1097Cramér-Lundberg-Modell, 1010Cramersche Regel, 589Crank-Nicholson-Schema, 942CRR-Modell, 1017, 1020

Darstellungsformel von Cauchy, 539Daubechies-Wavelets, 976DCF-Methode, 988de Morgansche Regel, 731, 742de Rhamsche Kohomologie, 308, 346, 614Deckungskapital, 1003Dedekindscher Schnitt, 235Defekt, 883Definitionsbereich, 47, 743Dehnung, 370Dekomposition, 1049Delisches Problem, 639, 647Delta, 1029Delta-Plus-Ansatz, 994Deltadistribution, 411, 433Deltafunktion, 410Derivat, 1017Descartes Zeichenregel, 598Determinante, 579

Differentiation, 581Entwicklungssatz, 580Funktional-, 306Gramsche, 363numerische Berechnung, 882Vandermondsche, 581Wronski-, 924

Determinantensatz, 611Determinismus, 1226Dezimalzahl, 220Diagnoalisierungskriterium, 611Diagonaldominanz

irreduzible, 937starke, 881

Diagonalisierung, 604gemeinsame, 610

Diagonalisierungsmethode, 1170Diagonalsprache, 1171Dichte, 498

äußere Ladungs-, 521dichte Menge, 292Dielektrizitätskonstante, 521, 523Diffeomorphismus, 291

globaler, 292Differential, 1090

D 1285

Fréchet, 296totales, 130, 301, 454Transformationsregel, 297vollständiges, 1094

Differential- und Integralrechnung, 428, 650und Variationsrechnung, 431

Differentialform, 303, 537Produktregel, 307pull-back, 501Transformationsregel, 305

Differentialgeometrie, 538, 701Differentialgleichung, 650

Anfangswertproblem, 442, 915Kompatibilitätsbedingung, 442

Bernoullische, 452Besselsche, 475Charakteristiken, 443Clairautsche, 458elliptische, 443, 933

numerische Behandlung, 932Erhaltunsgröße, 483exakte, 454Hamilton-Jacobi, 489, 492Hamiltonfunktion, 489homogene, 439hyperbolische, 443

Charakteristik, 944numerische Behandlung, 944

Integral, 483Konvektions-Diffusions-, 937lineare, 438Lösung, 401, 404, 441Navier-Stokes, 938nichtlineare, 439Ordnung, 437parabolische, 443

numerische Behandlung, 941quasilineare, 440Randbedingung, 431Randwertproblem, 924Reduktion, 437Riccatische, 452, 800schwache Formulierung, 929schwache Lösung, 950semilineare, 440singuläre Lösung, 458Stokes, 938Systeme von, 437Variationsformulierung, 929Zurückführung auf Integralgleichung, 435

Differentialgleichungssystem, steifes, 919, 920Differentialkalkül

Cartan, 297, 302, 502Leibniz, 296, 297, 302

Differentialoperator, 402Symbol, 620

Differentialtopologie, 308Differentialungleichung, 482Differentiation, 404

elementarer Funktionen, 126Funktion einer Variablen, 128Funktion mehrerer Variabler, 130

implizite, 289Kettenregel, 128Kettenregel (mehrere Variable), 130numerische, 893, 898Produktregel, 128Quotientenregel, 128skalare Multiplikation, 128Summenregel, 128

Differenzdividierte, 895Rückwärts-, 928symmetrische, 928Vorwärts-, 928

Differenzengleichung, 414, 416, 928Friedrichs-, 946Lax-Wendorff-, 946

Differenzenmethode, 926Differenzenoperator, 947

dissipativer, 949konsistenter, 947stabiler, 947

differenzierbare Funktion, 260Differenzierbarkeit, 247Diffusionsgleichung, instationäre, 515Diffusionsterm, 933Dimension, 358

linearer Raum, 616Diracsche Deltadistribution, 521Diracsche Deltafunktion, 410, 432direkte Summe, 623Dirichletkriterium, 396Dirichletprinzip, 562Dirichletreihe, 544Dirichletsche L-Reihe, 651, 659Dirichletsche Randbedingung, 933Dirichletsches Lokalisierungsprinzip für Primzahlen,

659Diskont, 981Diskontfaktor, 991Diskontzertifikat, 1018diskretes Denken, 649Diskretisierung, 928

adaptive, 951Diskretisierungsfehler

globaler, 916lokaler, 916, 921

Diskriminante, 77, 232, 595, 600Diskriminanzanalyse, 871Dispersionsrelation, 529Disquisitiones arithmeticae, 649, 651Distribution, 349, 401, 411, 432, 527, 561

Diracsche Delta-, 521Schwartzsche Delta-, 411

Distributivgesetz, 226, 236, 307, 404, 741im Ring, 633

divergente Reihe, 386Summation, 398

Divergenz, 368, 372dividierte Differenz, 895Division, Polynom-, 592Dodekaeder, 15Doppelsumme, 390

1286 E

Doppelverhältnis, 453, 556Drehgruppe, 694Drehimpuls, 377, 445Drehinvarianz, 445Drehmoment, 377Drehspiegelung, 693Drehung, 604, 693

infinitesimale, 370Dreieck, 6, 8, 684

ähnliches, 671Flächeninhalt, 691fundamentale Gesetze, 665gleichschenkliges, 666gleichseitiges, 8, 666kongruentes, 671rechtwinkliges, 8, 666Schwerpunkt, 670Seitenhalbierende, 670sphärisches, 672, 676stumpfwinkliges, 666

Dreiecksberechnung, 669Dreiecksgestalt, 588Dreiecksmatrix, 882Dreiecksungleichung, 38, 40, 224, 314, 336, 665, 677Dreikörperproblem, 485Drift, 1026Druck, 284, 498, 508, 563duale Basis, 626dualer Operator, 627dualer Raum, 626Dualität, 1083

konjugierte, 1083Lagrange-duale Aufgabe, 1049, 1058lineare Optimierung, 1032schwache, 1084, 1089starke, 1084, 1089superadditiv duale, 1059

Dualitätslücke, 1049Dualitätsungleichung, 42Dualkegel, 1076Dualproblem, vektorielles, 1089Dualzahl, 221Duration, 994

modifizierte, 994Durchschnittsfunktion, 1092Durchschnittsmenge, 751dynamische Optimierung, Bellmansche, 799dynamisches System, 430, 651Dyson, Formel von, 469Dämpfung, 425Dämpfungseffekt, 407

Ebene, 27hyperbolische, 686Poincaréische, 686

ebene Figuren, 7ebene Geometrie, 681ebene Trigonometrie, 665Ebenengleichung, 692Effektivzinssatz, 983effiziente Lösung, 1077Effizienzmenge, 1077

schwache, 1078Eichfeldtheorie, 308, 527Eigenlösung, 424

asymptotisches Verhalten, 478Eigenschwingung, 423, 512eigentliche Bewegung, 693Eigenvektor, 602Eigenwert, 602

algebraische Vielfachheit, 603, 610Differentialgleichung, 477einfacher, 477geometrische Vielfachheit, 610

Eigenwertproblem, 423Jacobisches, 784Laplacegleichung, 797numerische Behandlung, 884

Eikonalgleichung, 489, 492, 771Eindeutigkeit

Anfangswertproblem, 468der Laplacetransformation, 403Lösung der Wärmeleitungsgleichung, 433Lösung des Randwertproblems, 475Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen,

447Satz von Picard-Lindelöf, 429Z-Transformation, 414

Eindeutigkeitsbeweis, 733Eindeutigkeitsprinzip, 446Eindeutigkeitssatz

globaler, 448Wielandt, 571

einfach zusammenhängendGebiet, 528Menge, 255

einfache Gruppe, 629Eingabedaten, 876Eingabefehler, 878Eingangsgrad, 1063Einheitskreis, 58Einheitsmatrix, 557, 584Einheitsnormalenvektor, 692Einheitsoperator, 1842Einheitsvektor, 357Einhüllende, 458Einschrittverfahren, 916

konsistentes, 916Einsteinsche Summenkonvention, 303, 713elastische Membran, 795elastischer Stab, 431Elastizität, 527, 1091, 1094Elastizitätsmatrix, 1095Elastizitätstheorie, 775elektrische Ladungsdichte, 520elektrischer Stromdichtevektor, 520elektrisches Feld, 521Elektrodynamik, 308

Gleichungen der, 520elektromagnetische Welle, 402Elektrostatik, 521, 566elektrostatisches Potential, 521Element, 738

algebraisches, 642

E 1287

transzendentes, 642Elementarereignis, 815elementarsymmetrische Funktion, 599, 646Elementarteilchen, 775Elementarteiler, 611Elemente, 31, 234, 652, 761Ellipse, 9, 20

geometrische Charakterisierung, 21Gärtnerkonstruktion, 21Planetenbewegung, 45Umfang, 9

Ellipsoid, 13Oberfläche eines, 13

elliptische Funktion, 651elliptischer Sektor, 9elliptisches Integral, 13, 112, 142, 528, 774

zweiter Gattung, 10empirische Verteilungsfunktion, 861endlicher Automat, 1121, 1138

nichtdeterministischer, 1138Endwert, 981, 984, 985Energie, 284, 445, 493, 523, 650

freie, 510potentielle, 375spezifische innere, 508thermische, 507

Energieerhaltung, 377, 444, 455, 499, 769, 779Energieprinzip, 446Entropie, 507, 808, 825, 949

als Lagrangescher Multiplikator, 808spezifische, 508

Entropiebedingung, 487, 950Entscheidungsproblem, 1113Entscheidungsträger, 1073Entwicklungssatz, 477

für das Vektorprodukt, 362für Determinanten, 580

epimorphes Bild, 631Epimorphismus, 630Epizykel, 43ε-Beschränkungsmethode, 1082, 1087ε-Umgebung, 238, 554Erdbeben, 402Ereignis, 815, 1226

Algebra, 831elementares, 1226fast sicheres, 830fast unmögliches, 830unabhängiges, 833

Erhaltung des Phasenvolumens, 779Erhaltungsform, 949Erhaltungsgesetz, 466, 497Erhaltungsgröße, 483

in Involution, 505Erhaltungssatz, 377, 444Erlanger Programm, 663Erlebensfall, 997erste Fundamentalform, 714Erwartungswert, 819

Schätzfunktion, 857zufällige Variable, 838

Erweiterungskörper, algebraisch abgeschlossener, 643

erzeugendes Element, 632Euklidische Bewegung, 693Euklidische Bewegungsgruppe, 693Euklidische Geometrie, 664, 693Euklidische Norm, 252, 280Euklidischer Algorithmus, 593, 599, 600, 651, 653Euklidischer Höhensatz, 667Euklidischer Kathetensatz, 667Euklidisches Parallelaxiom, 685Euler-Lagrange-Gleichung, 431, 444, 457, 492, 766,

778, 793Euler-MacLaurinsche Summenformel, 105, 900Euler-Verfahren, 916Eulerformel, 400, 405, 543Eulerprodukt, 545Eulersche Betafunktion, 113Eulersche Formel, 57Eulersche Funktion, 53Eulersche Gammafunktion, 113, 570Eulersche Gleichung, 498

verallgemeinerte, 809Eulersche Homogenitätsrelation, 1095Eulersche Konstante, 5, 203Eulersche ϕ-Funktion, 654Eulersche Polyederformel, 15Eulersche Produktformel, 62Eulersche Substitution, 141Eulersche Zahlen, 37Eulerscher Multiplikator, 455Eulersches Integral, 118Exponent, 27Exponentialfunktion, 53, 54, 110, 404

allgemeine, 56Matrizen, 612

Exponentialverteilung, 820, 1007Extrapolation, 896Extremum, 270Extremwertaufgabe, 804Extremwerttheorie, 1014Extremwertverteilung, 1014Exzentrizität

lineare und numerische, 20einer Hyperbel, 22einer Parabel, 22, 23

F-Differential, siehe Fréchet-DifferentialF-Test, 87, 860Faktor, 869Faktoranalyse, 870Faktorengruppe, 631Faktorenring, 634Faktormenge, 748Faktorraum, 623, 748Fakultät, 3Fallgesetz von Galilei, 773Faltung, 403, 413, 1007, 1013

zweier Folgen, 414Faltungsregel, 404Familie von Mengen, 750fast überall, 334Feder, 422Fehler

1288 F

Eingabe-, 878erster Art, 860globaler Diskretisierungs-, 916lokaler Diskretisierungs-, 916, 921mittlerer, 890relativer, 877zweiter Art, 860

Fehlerabschätzung, 294a posteriori, 736a priori, 736

Fehleranalyse, 876Rückwärts-, 878Vorwärts-, 878

Fehlerfortpflanzung, 296Fehlerindikator, 952Fehlerordnung, 917Fehlerschätzer, 953

Babuška-Rheinboldt-, 953Fehlerwahrscheinlichkeit, 1228, 1230, 1232, 1233Feld, 235

elektrisches, 521kugelsymmetrisches, 373skalares, 367

Feldlinien, 374Fermatsche Vermutung, 650Fermatsches Prinzip, 492, 770Feynmanintegral, 433FFT, 968Fields-Medaille, 650Finanzmathematik, 981Fingerabdruck, 1231, 1233Finite-Element-Methode, 930

gemischte, 940konforme, 935

Fixpunkt, 556Fixpunktiteration, 905Fixpunktsatz, Banachscher, 905F.-John-Bedingungen, 1046flächentreue Abbildung, 715Fluchtgeschwindigkeit für die Erde, 464Fluktuationsprinzip, 826Fluss, 379, 950, 1065

numerischer, 950Stärke, 1066

Fläche, 614, 712Abbildung, 715abwickelbare, 719erste Fundamentalform, 714Hauptkrümmungsrichtung, 717kanonisches kartesisches Koordinatensystem,

717konstanter Gaußscher Krümmung, 717Orientierung, 716quadratische, 607, 697Riemannsche, 529, 551, 554, 650von Körpern, 11zweite Fundamentalform, 716

Flächeninhalt eines Kreises, 330Flüssigkeit, 508

ideale, 498inkompressible, 498

Flüssigkeitsströmung, 379

FolgeFaltung, 414komplexer Zahlen

Konvergenz, 530von Funktionen, 390

Konvergenz, 530zulässige, 414

Formkanonische, 502quadratische, 607

positiv definit, 608symplektische, 496, 609

Formelbinomische, 576Cardanosche, 596Dysonsche, 469Euler-MacLaurinsche Summenformel, 105Eulersche, 400, 543Eulersche Produkt-, 62Gaußsche Multiplikationsformel, 571Gaußsche Produktdarstellung, 571Greensche, 349Heronische, 666Legendresche, 13Möbiussche Umkehr-, 654Moivresche, 60Mollweidsche, 666, 678Nepersche, 678Poissonsche, 562Schwarz-Christoffelsche Abbildungsformel, 560Stirlingsche, 3, 571, 849

Forward Rate, 991Forward Rate Agreement, 997Forward-Kontrakt, 1018, 1019Fourierapproximation, 910Fourierfilter, 974Fourierintegral, 396

Operator, 609Fourierintegraltransformation, 971Fourierkoeffizient, 395

verallgemeinerter, 477Fouriermethode, 511Fourierraum, 408Fourierreihe, 120, 395, 511

Glattheit, 397Superpositionsprinzip, 396

Fouriertransformation, 185, 197, 408diskrete, 967Funktion in L1, 412inverse, 412schnelle, 968

FRA, 997Fréchet-Ableitung, 280, 500Fréchet-Differential, 296Fréchet-Verteilung, 1015Fredholmsche Alternative, 474, 590freie Energie, 510Freiheitsgrad, 427, 777Frequenz, 228Friedrichs-Verfahren, 946Frobenius-Begleitmatrix, 909Fundamentalform

F 1289

erste, 714Kählermannigfaltigkeit, 539zweite, 716

Fundamentallösung, 470Fundamentalsatz

Algebra, 528, 542, 548, 594arbitragefreie Bewertung

erster, 1017zweiter, 1020

Arithmetik, 652Differential- und Integralrechnung, 136, 309,

315, 325, 340, 534Euler, 657Logik, 731Riemann, 657

Funktion, 1842Abbildungsgrad, 547Abhängigkeit, 288Ableitung einer Vektorfunktion, 365algebraische, 528, 650analytische, 539analytische Fortsetzung, 567automorphe, 528Bellmansche Wirkungs-, 799beschränkte, 541Bessel, 113, 119Beta (B), 113biholomorphe, 550differenzierbare, 247, 260Dirac δ, 432Eikonal, 771elastische, 1092elementarsymmetrische, 599, 646endlichvieldeutige, 570erzeugende, von Jacobi, 495Exponentialfunktion, 110exponentiell wachsende, 1093fallende, 48fast überall stetige, 313Funktionaldeterminante, 281Gammafunktion, 16, 113, 576ganze, 542ganze rationale, 74gebrochen rationale, 75gerade, 50glatte, 278globale analytische, 529Graph einer, 276Greensche, 406, 432, 521, 561

Symmetrie, 521Grenzwert einer, 233Groß O, 250Hamiltonsche, 496Hankel, 114harmonische, 517, 560hebbare Singularität, 541Hermitesche, 117, 525holomorphe, 531homogene, 1094Hyperbelfunktion, 66, 110Integral, 308inverse, 48, 264

isolierte Singularität, 541Jacobideterminante, 281K-monoton wachsend, 1080Klasse C[a, b] und Ck [a, b], 261Klassifikation, 744klein o, 250komplex differenzierbare, 531komplexe Ableitung, 531komplexwertige, 277, 314konjugierte, 1083konjugierte harmonische, 560konkave, 274, 1043konvexe, 274, 1043Kugel-, 526Laguerresche, 117, 526Legendresche, 109, 116linear wachsende, 1093lineare, 51logarithmisches Integral, 656Logarithmusfunktion, 111, 112lokal konkave, 272lokal konvexe, 272lokale analytische, 529lokales Verhalten, 294MacDonaldsche, 115mehrdeutige, 557mehrerer Variabler, 256

Ableitung, 259Fréchet-differenzierbar, 280

meromorphe, 543Möbiussche, 654monoton fallende, 263monoton wachsende, 263multiplikative, 545Neumannsche, 114, 119Nullstelle, 74

Vielfachheit, 542oberhalb stetige, 1073periodische, 50Pol, 541progressiv wachsende, 1093proportionalelastische, 1092quadratische, 51Quadratwurzel, 49rationale, 601

mehrerer Variabler, 139reelle, 47rekursive, 757Residuum, 541Riemannsche ζ-Funktion, 104, 544, 657stark K-monoton wachsend, 1080stetige Vektor-, 364streng K-monoton wachsend, 1080streng konvexe, 274, 1043superadditive, 1059Taylorentwicklung, 415Transformation, 49trigonometrische, 57, 110

inverse, 70unelastische, 1092ungerade, 50unterhalb stetige, 1073

1290 g

verallgemeinerte, 411, 527Verteilung, 81wachsende, 48Wahrheitswert, 752Weierstraßsche, 785wesentliche Singularität, 541zufällige, 814zulässige, 334, 403zusammengesetzte, 284

Funktionalanalysis, 402, 562Funktionaldeterminante, 281, 306Funktionalgleichung, 657Funktionenfolge, 390

gleichmäßie Konvergenz, 540Grenzwert, 391

Funktionenräume, Bezeichnung, 1847Funktor, 755Fünfeck, 7

Galerkin-Verfahren, 965Galoisfeld, 637Galoistheorie, 10Gamma, 1029Gammafunktion, 16, 112, 570

Eindeutigkeitssatz von Wielandt, 571Integral, 179Stirlingsche Reihe für, 118

Gammaverteilung, 1007ganze Funktion, 542ganze rationale Funktion, 74ganze Zahl, 217

Kontruktion der Menge, 758Garbentheorie, 528Gas, 508Gasdynamik, 527Gauß-Algorithmus, 588, 879Gauß-Jordan-Verfahren, 881Gauß-Quadratur, 901Gauß-Seidel-Iteration, 955Gauß-Tschebyschew-Quadratur, 902Gaußsche Glockenkurve, 81Gaußsche Krümmung, 717Gaußsche Normalverteilung, 338, 409, 820Gaußscher Restklassenring, 635Gaußsches Ausgleichsprinzip, 889Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz, 296Gaußsches Fehlerintegral, 115Gaußverteilung, 844Gebiet, 255

einfach zusammenhängendes, 528kontrahierbares, 385

Geburtstagsproblem, 816Generalisator, 728generisch, 292Geodäsie, 672

erste Grundaufgabe, 673sphärische, 675

geodätische Krümmung, 722geodätische Linie, 775, 790Geometrie

Ahnlichkeit, 664analytische Ebenen, 16

Axiome, 682ebene, 681elliptische, 685Euklidische, 664hyperbolische, 686, 772konforme, 555nichtarchimedische, 684nichteuklidische, 685, 772Riemannsche, 308, 688sphärische, 675symplektische, 308, 609

geometrische Optik, 489, 490, 609Fermatsches Prinzip, 492

geometrische Reihe, 30, 103, 107, 386, 402geometrisches Mittel, 39geordnetes Paar, 742Gerade, 16, 27, 681, 689

y-Schnittpunkt, 17Abschnittsgleichung, 18Anstieg, 17Gleichung, 17parallele, 685unendlich ferne, 687

Geradengleichung, 689Gesamtenergie, 377Gesamtereignis, 815Gesamtheit, 738Gesamtkrümmung, 722Gesamtschaden, 1005, 1008Gesamtschadenverteilung, 1007Geschichte der Mathematik, 1833

Zeittafel, 1833Geschwindigkeitsfeld, 502Geschwindigkeitspotential, 563Geschwindigkeitsvektor, 365Geschwindigkeitsverteilung, 825Gesetz der großen Zahl, 817, 849

schwaches, 845starkes, 855

Gewinnmaximierung, 1097Gewinnschwelle, 1097gewöhnliche Differentialgleichung, 404, 428, 612

a-priori Abschätzung, 482Eigenwert, 477Eindeutigkeit der Lösung, 447Existenz der Lösung, 447Existenz- und Eindeutigkeitssatz, 479Fundamentallösung, 470homogene, 453höhere Ordnung, 455lineare, 471lokal eindeutig lösbar, 447Lösungsmethode, 447numerische Behandlung, 915Randwertproblem, 474Satz von Cauchy, 479Stabilität, 471

Gibbssche Gleichung, 436Gibbssche Grundgleichung der Thermodynamik, 507Givens-Methode, 886Givens-Transformation, schnelle, 887glatte Funktion, 278

G 1291

Gleichgewicht, 421instabiles, 440Kräfte-, 431stabiles, 440, 907

gleichmäßige Konvergenz, 390Funktionenfolge, 540

gleichschenkliges Dreieck, 666gleichseitiges Dreieck, 666Gleichung

Bernoullische, 563Bewegungsgleichung von Euler, 498biquadratische, 597Burgers, 486, 488characteristische – einer Matrix, 603Differenzen, 414, 416Eikonal, 489, 492Energieerhaltung, 455Euler-Lagrange, 431, 457, 492, 766, 793für die spezifische Wärme, 380Gibbssche, 436Hamilton-Jacobi, 494Hamilton-Jacobi-Bellman, 800Hamiltonsche kanonische, 494Helmholtz-, 933instationäre Diffusions-, 515instationäre Wärmeleitungs-, 514kanonische, 489Kontinuitäts, 497kubische, 595Lagrangesche Bewegungsgleichung, 767Laplace-, 438, 562, 933Lösen von, 229Mainardi-Codazzi, 720Maxwellsche, 520, 566Newtonsche Bewegungsgleichung, 493, 494, 522nichtlineare

numerische Lösung, 903Parseval-, 413, 970Poisson-, 516, 933Potential-, 933quadratische, 52, 595Schrödinger-, 522schwingende Saite, 797stationäre Wärmeleitungs-, 516Wachstums-, 420Wellen-, 518Wärmeleitungs-, 428, 437, 941

Gleichungssystem, 290homogenes lineares, 588inhomogenes lineares, 588iterative Lösung, 884, 954Kondition eines, 883lineares, 586

numerische Lösung, 879nichtlineares, 905tridiagonales, 883

Gleitkommadarstellung, 876global, 265global inverse Funktion, 265Glättungsiteration, 959Gödelscher Unvollstandigkeitssatz, 762Gödelscher Vollständigkeitssatz, 756

goldene Regel der mathematischen Statistik, 855Grad, 5

Differentialform, 303einer ganzen rationalen Funktion, 74eines Knotens, 1069

Gradient, 367, 372Vektor, 372

Gradientenverfahren, 958Graduierung, 625Gram-Matrix, 909Gramsche Determinante, 363Graph, 47, 276, 744, 1062

bipartiter, 1068Eulerscher Kreis, 1070gerichteter, 1062Gerüst, 1064Hamiltonkreis, 1071Inzidenzmatrix, 1065Kreis, 1063paarer, 1068regulärer, 1069residualer, 1066schlichter, 1063stark zusammenhängender, 1070ungerichteter, 1062vollständiger, 1068zusammenhängender, 1070

Gravitationskonstante, 45, 378Gravitationskraft, 45Greensche Formel, 349Greensche Funktion, 406, 432, 521, 561

Symmetrie, 521, 561Grenzfunktion, 1090Grenzrate der Substitution, 1095Grenzwert, 233, 238, 364, 397

einer Funktion, 245einer Zahlenfolge, 233im metrischen Raum, 251oberer, 244uneigentlicher, 239unterer, 244

Grenzwertformel, 313Grenzwertsatz

globaler, 850lokaler, 849

Griechen, 1030griechisches Alphabet, 1847Groß O einer Funktion, 250Großkreis, 675Grundgleichungen der geometrischen Optik, 770Grundintegrale, 132Grundversuch, 847Grundzustand, 784Gruppe, 627

Abelsche, 627additive, 630allgemeine lineare - GL(n, C), 585allgemeine lineare - GL(n, R), 627alternierende, 629Assoziativgesetz, 627auflösbare, 633Automorphismus, 630

1292 i

einfache, 629Euklidische Bewegungsgruppe, 694Homologie, 633Homomorphismus, 630

Kern, 631innerer Automorphismus, 630inverses Element, 627Isomorphismus, 630Kleinsche Vierer-, 629kommutative, 627Lie, 612Matrix, 627multiplikative, 627neutrales Element, 627symmetrische, 628

Gruppentheorie, 575größter gemeinsamer Teiler (ggT), 653

Polynome, 593Guldinsche Regel, 355Gumbelverteilung, 1015

Haarscher Raum, 913Halbordnung, 1076

koordinatenweise, 1076Halteproblem, 1176Hamilton-Jacobische Differentialgleichung, 489, 492,

779Hamiltonoperator, 523Hamiltonsche Funktion, 496Hamiltonsche kanonische Gleichung, 494, 776, 778Hamiltonsche Mechanik, 489

Zweikörperproblem, 493Hamiltonsche Strömung, 499, 779Hamiltonsches Prinzip der stationären Wirkung, 767,

777Hamiltonsches System, nichtentartetes, 506Handelsstrategie, 1015

selbstfinanzierende, 1016, 1021, 1027Hankelsche Funktion, 113, 114harmonische Analyse, 967harmonische Funktion, 517, 560

konjugierte, 560harmonischer Oszillator, 365, 405, 422, 471, 524, 614,

775, 782Greensche Funktion, 406mit Reibung, 406

harmonisches Mittel, 39Harnacksche Ungleichung, 518Häufigkeit, absolute, 848Hauptachse einer Matrix, 605Hauptfaserbündel, 308Hauptkrümmung, 717Hauptkrümmungsradius, 717Hauptsatz der Thermodynamik

erster, 507zweiter, 488, 507

Hauptsatz über additive Gruppen, 632Hauptsatz über lokale Diffeomorphismen, 291Hauptsatz über mehrfache Nullstellen, 600Hauptwert, 558Heaviside-Kalkül, 402heavy-tailed, 1007

hebbare Singularität, 541hebbare Unstetigkeit, 77Hedging-Strategie, 1020Heisenbergklammer, 781Heisenbergsche Nullpunktsenergie, 525Heisenbergsche Unschärferelation, 777Helmholtz-Gleichung, 933Helmholtzscher Wirbelsatz, 498Herleitungsregel, 754Hermitesche Funktion, 117, 525Hermitesche Polynome, 117Heronische Formel, 8, 666Hessenberg-Matrix, 886Hilbert-Schmidt-Theorie, 474Hilbertraum, 395, 615

Orthonormalsystem, 525Hilbertsche Axiome

der Geometrie, 681für reelle Zahlen, 234

Hilbertsches invariantes Integral, 500Himmelsmechanik, siehe Physik, Himmelsmechanik,

507Histogramm, 80, 863Höhensatz des Euklid, 667Hohlzylinder, 11Höldersche Ungleichung, 41holomorphe Funktion, 531

analytische Fortsetzung, 567Potenzreihenentwicklung, 539

Holomorphieprinzip, 393homogenes Randwertproblem, 474homologer Weg, 535Homologie, 536Homologiegruppe, 633Homomorphismus

Gruppe, 630Ring, 634

homotoper Weg, 535Homotopie, 536Homöomorphiesatz, 291Homöomphismus, 291Horner-Schema, 907Huygenssches Prinzip, 520, 771Hydrodynamik, 527, 563Hyperbel, 21Hyperbelfunktion, 66, 110

inverse, 72Hyperbelsektor, 9hyperbolische Ebene, 686

Bewegungungsgruppe, 688hyperbolische Geometrie, 686hyperbolische Trigonometrie, 687hypergeometrische Reihe, 109Hypotenuse, 8, 667Häufungspunkt, 244, 254Höhenlinie, 1095Höhensatz des Euklid (eines Dreiecks), 8Höldersche Ungleichung, 40

ideale Flüssigkeit, 498ideale Teilmenge eines Ringes, 634identische Abbildung, 745, 1842

I 1293

Identität von Lagrange, 362Ikosaeder, 15imaginäre Einheit, 222Imaginärteil einer komplexen Zahl, 529Implikation, 728implizite Funktionen, Satz über, 288, 290Impuls, 377, 445, 768

verallgemeinerter, 778Impulserhaltung, 769Index, 620Indikatorfunktion, 848Indikatrix, 492Individuenbereich, 754Individuenvariable, 755Induktion, 236Induktionsbeweise, 732Induktionsgesetz, 236Induktivität, 406Infimum, 237infinitesimal, 428Information, 808injektiv, 619, 744inkompressible Flüssigkeit, 498inkorrekt gestelltes Problem, 420, 434Innere-Punkte-Algorithmus, 1037Innere-Punkte-Methode, 1036innerer Automorphismus, 630innerer Punkt, 253inneres Produkt, 502instabil, 472instabiles Gleichgewicht, 440Instabilität, 420instationärer Prozess, 440Integrabilitätsbedingung, 436, 720

Thermodynamik, 509integrables System, 504

Störung, 506Integral, 308

Abelsches, 142, 528einer Differentialgleichung, 483elliptisches, 112, 142, 528, 774Eulersches, 118Exponentialfunktion, 115Feynman-, 433Gammafunktion, 179invariantes Hilbertsches, 500Konstantenregel, 134Lebesgue-, 312, 396

Grenzwertformel, 313Logarithmusfunktion, 115mehrere Variable, 137Mehrfach-, 307Pfad-, 433rationale Funktion, 137Restglied, 270Stieltjes-, 837Substitution, 138Substitutionsregel, 317, 329Summenregel, 134unbestimmtes, 310, 317uneigentliches, 311Ungleichung, 40

über unbeschränkte Intervalle, 320Integralalgorithmus, 656Integralformel von Cauchy, 536Integralgleichung, 435, 650Integralgleichungsmethode, 963Integralinvariante

absolute, von Poincaré-Cartan, 500relative, von Poincaré, 500

Integralkosinus, 115Integralkriterium, 388Integralkurve, 563Integraloperator, 620

Fourier, 609Integralsatz von Stokes, 380Integralsinus, 115Integraltransformation, 401Integralungleichung, 40Integration

elementarer Funktionen, 132iterierte, 326numerische, 893partielle, 316Substitutionsregel, 339Transformationsprinzip, 340von Partialbrüchen, 138über unbeschränkte Funktionen, 321, 333über unbeschränkte Gebiete, 332

Integrationsregeln, 134Integritätsbereich, 634Interpolation

numerische, 893Spline-, 897trigonometrische, 967, 968von Tabellen, 88

Interpolationsfehler, 896Interpolationsformel

baryzentrische, 894Lagrangesche, 894, 898Newtonsche, 895

Interpolationspolynom, 893Interpolationsproblem, 893Intervall, 222intuitionistische Mathematik, 762Invariantentheorie, 575invarianter Torus, 505invarianter Unterraum, 625invariantes Integral von Hilbert, 500Invarianz unter Zeittranslation, 445Invarianzprinzip, 258, 314, 336inverse Abbildunge, 744inverse Funktion, 264

Ableitung, 265inverses Element, 627

der Addition, 235der Multiplikation, 236

inzident, 681Inzidenzaxiom, 682irrationale Zahl, 219irreversibler thermodynamischer Prozess, 507isolierte Singularität, 541Isomorphie, 617Isomorphiesatz, 623

1294 K

erster, 631zweiter, 632

Isomorphismus eines Ringes, 634isoperimetrisches Problem, 789

der Königin Dido, 788Itô-Kalkül, 1022, 1023Iteration, 241

effiziente, 955Fixpunkt-, 905Glättungs-, 959Jacobi-, 955Konvergenz, 954Konvergenzgeschwindigkeit, 955lineare, 954Richardson-, 954Schwarz-

additive, 961Iterationsmatrix, 954Iterationsverfahren, 954

Jacobi-Determinante, 281Jacobi-Iteration, 955Jacobi-Matrix, 281, 905Jacobisches Eigenwertproblem, 784Jacobisches Signaturkriterium, 607Jahresersatzrate, 982Jensensche Konvexitätsungleichung, 41Jensensche Ungleichung, 40, 41Jordankurve, 532, 534Jordankästchen, 610Jordansche Normalform, 610

Kählermannigfaltigkeit, 539KAM-Theorie, 506kanonische Abbildung, 623kanonische Form, 502kanonische Ordnung, 1111kanonische Transformation, 495kanonisches kartesisches Koordinatensystem, 717Kantenzug, 1063Kapillarfläche, 775Kapital, 981Kapitalfunktion, 1002Kardinalzahl, 759

Arithmetik, 760Produkt, 760Summe, 760

kartesische Koordinaten, 26, 540, 689kartesisches Produkt, 622, 743, 750Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen, 1047, 1083Katastrophentheorie, 707Kategorientheorie, 1836Katenoid, 794Kathete, 667Kathetensatz des Euklid, 667Kaufoption, 1018Kaustik, 780Kegel, 713, 1076

echter, 1076konvexer, 1076spitzer, 1076

Kegelhalbordnung, 1076

strenge, 1078Kegelschnitt, 24, 607, 694

Normalform, 607Kegelstumpf, 12Keil (geometrische Figur), 12Keplersches Gesetz, 43, 495, 507

drittes, 468erstes, 467zweites, 468

Kern, 619eines Gruppenhomormorphismus, 631

Kettenbruch, 651Kettenbruchentwicklung, 4Kettenregel, 128, 262, 283, 284, 295, 531

höhere Ableitungen, 298mehrerer Variabler, 130

Klammer, Lagrangesche, 503klein o, 299

einer Funktion, 250Kleinsche Vierergruppe, 629Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV), 652K-Monotonie, 1080Kodierungstheorie, viiiKodimension, 617Kollokation, 925, 932Kolmogorow-Smirnow-Test, 862Kolmogorowsche Axiome der Wahrscheinlichkeits-

rechnung, 827Kombinatorik, 575kombintorische Topologie, 633Kommutationszahlen, 999kommutativer Ring, 633kommutatives Diagramm, 745Kommutativgesetz, 226, 236, 404, 627, 630, 741kompakte Menge, 254, 554komplexe Ableitung, 531komplexe Ebene, 223

Riemannsche Metrix, 538komplexe Funktion

differenzierbare, 531Grenzwert, 530Konvergenz einer Folge, 530Pol, 543

komplexe Mannigfaltigkeit, 551komplexe Potenzreihe, 531komplexe Zahl, 223, 529

Abstand, 529Imaginärteil, 529konjugierte, 223, 226Polarkoordinaten, 224Realteil, 529Wurzel, 227

komplexe Zahlenebene, abgeschlossene, 553Komplexitätsklassen, 1189Komplexitätsmaße, 1184Komplexitätstheorie, 54, 876Kondition(szahl), 878, 884Konfigurationsraum, 778konforme Abbildung, 528, 551, 556konforme Geometrie, 555kongruent, 681Kongruenz, 683

K 1295

Kongruenzaxiom, 684Kongruenzsatz, 671konjugierter Punkt, 785Konjunktion, 728Konkavität, lokale, 267Konsistenz von Differenzenoperatoren, 947Konstante

Boltzmannkonstante, 525, 825Dielektrizitätskonstante, 521Eulersche, 3, 5, 203Gravitationskonstante, 45, 378Ludolf (π), 3mathematische, 3

Konstruktion mit Zirkel und Lineal, 646Konstruktion regelmäßiger Vielecke, 648kontinuierliches Denken, 649Kontinuitätsgleichung, 379, 497

Elektrodynamik, 520Kontinuum, 760Kontinuumshypothese, 760kontrahierbares Gebiet, 385kontravariante Koordinaten, 363Konvektionsterm, 933konvergente Reihe, 386

Cauchy, 387Konvergenz

absolute, 387Cauchykriterium, 243einer Zahlenfolge, 241im quadratischen Mittel, 398lineare, 904quadratische, 736Quotientenkriterium, 387Teilfolgenkriterium, 244Wurzelkriterium, 388Zahlenfolge, 238

Konvergenzgeschwindigkeit, 955Konvergenzkreis, 392, 528, 531, 539Konvergenzordnung, 904Konvergenzradius, 392, 612konvexe Funktion, 274konvexe Menge, 274Konvexität, 994

lokale, 267Konvexitätskriterium, 805Konvexitätsungleichung, 41Koordinaten

kontravariante, 363kovariante, 363krummlinige, 350

Koordinatensystem, 358koordinatenweise Halbordnung, 1076korrekt gestelltes Problem, 420, 423, 434, 736Korrelationskoeffizient, 821, 823, 842

empirischer, 85Korrelationstest, 860Korrespondenz, 746, 1068Kosekant, 57Kosinus hyperbolicus, 66Kosinusfunktion, 57Kosinussatz, 665, 677Kosinustransformation, 186

Kosmologie, 47, 527Kotangens hyperbolicus, 68Kotangensfunktion, 63Kotangentialbündel, 504kovariante Koordinaten, 363kovarianter Tensor, 713Kovarianz, 822

zufälliger Variabler, 842Kovarianzmatrix, 843Kraft, 45, 357, 377Kraftdichte, 498Kreis, 8, 19Kreisfrequenz, 228Kreiskegel, 12, 354

Volumen, 328Kreispendel, 773

Bewegungsgleichung, 791Kreisring, 9Kreisteilungsgleichung, 642, 648Kreisteilungskörper, 575Kreiszylinder, 354kritischer Punkt, 271Kroneckersymbol, 605Kräftegleichgewicht, 431Krümmung, 701, 703

eines Kreises, 20geodätische, 722Hauptkrümmungsradius, 717lokale, eines Graphen, 267Riemannscher Tensor, 720

Krümmungsradius, 26, 703kubische Gleichung, 595Kugel, 11

Abschnitt, 12Oberfläche, 15Schicht, 13Volumen, 15

Kugelflächenfunktion, 526Kugelkoordinaten, 351, 523Kupon, 988Kupon-Swap, 992Kurs, 988Kurve, 532

Bogenlänge, 703ebene, 702geschlossene, 533homologe, 535homotope, 535Normalenvektor, 703Parameterdarstellung, 702singulärer Punkt, 706Tangente an eine, 703

Kurvenintegral, 345, 509, 528, 533Körper, 636

Automorphismus, 636der rationalen Funktionen, 638

Körpererweiterungalgebraische, 642endliche, 640Grad, 640normale, 643separable, 643

1296 L

transzendente, 642

Ladungsströmung, 380Lagrangefunktion, 766, 1046

Konvexität, 785modifizierte, 797Sattelpunkt, 1050

Lagrangeinterpolation, 894Lagrangepolynom, 894Lagrangesche Bewegungsgleichung, 767Lagrangesche Klammer, 491, 503Lagrangesche Mannigfaltigkeit, 491, 503Lagrangescher Multiplikator, 788, 797Laguerresche Funktion, 117, 526Laguerresche Polynome, 116, 902längentreue Abbildung, 715Laplacegleichung, 438, 562, 933

Eigenwertproblem, 797Laplaceoperator, 285, 368, 372, 514Laplacescher Entwicklungssatz, 580Laplacetransformation, 198, 403, 423, 426

inverse, 408Laufzeit, 981Laurentreihe, 540, 541

Hauptteil, 544Laurentsche Entwicklung, 540Lax-Wendorff-Verfahren, 946Lebensversicherung, kapitalbildende, 998Lebensversicherungsmathematik, 997Lebensversicherungsvertrag, 1001Lebesgueintegral, 312, 396

allgemeines, 335Grenzwertformel, 313

Lebesguemaß, 312, 334verschwindendes, 313

leere Menge, 740, 756Leerverkauf, 1089Legendrebedingung, 785Legendresche Funktion, 116Legendresche Polynom, 902Legendresche Polynome, 109, 116, 526, 911Legendresche Reihe, 113Legendretransformation, 459, 492, 778

allgemeine, 511Lehrsatz, binomischer, 33Leibnizsche Notation, 260, 282, 296, 301Leibnizsche Produktregel, 261Leibnizsche Regel, 550Leibnizsche Reihe, 4, 103, 389, 395Leibnizscher Differentialkalkül, 297, 302Leibnizsches Kriterium, 389Leistungsbarwert, 1002Leistungsstrom, 1001Lemma von

Gronwall, 480Poincaré, 502Weyl, 517Zorn, 749

Leray-Schrauder-Prinzip, 430Levi-Civita-Tensor, 716Lichtstrahl, 489, 770Liealgebra, 612

bezüglich Poissonklammer, 780Liegruppe, 308, 612

allgemeine lineare, 585light-tailed, 1007linear unabhängig, 590, 615lineare Algebra, Numerik, 879lineare Form, 626lineare Gleichung, 405lineare Hülle, 624lineare Mannigfaltigkeit, 622lineare Optimierung

Optimalmengenabbildung, 1038Optimalwertfunktion, 1037

lineare Regression, 871lineare Unabhängigkeitsbedingung, 1047linearer Operator, 617

Basiswechsel, 621Determinante, 622Matrix, 621Spur, 622

linearer Raum, 615affiner Unterraum, 622äußere direkte Summe, 625Dimension, 616direkte Summe, 623dualer, 626Isomorphien, 617kartesisches Produkt, 622normierter, 358Orthonormalbasis, 605

lineares Funktional, 626Linearisierungsprinzip, 614Linearität, 404Linearkombination, 615Lipschitzstetig, 448Log-Gammaverteilung, 1007Log-Normalverteilung, 1007, 1026Logarithmengesetze, 29logarithmische Ableitung, 134Logarithmus, 29, 55

natürlicher, 29, 55Logarithmusfunktion, 27, 111, 112

allgemeine, 56Hauptwert, 559Matrix, 613Riemannsche Fläche, 559

Logik, 751logische Gesetze, 730logische Symbole, 1841lokal, 265

konvex und konkav, 272lokal inverse Funktion, Satz über, 265Lokal-Global-Prinzip, 528lokale Suche, 1220lokaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace, 849Lookback-Option, 1018Losgröße, optimale, 1097Lösung

effiziente, 1077eigentlich effiziente, 1078global optimale, 1042lokal optimale, 1042

L 1297

optimale, 1032schwach effiziente, 1078verallgemeinerte, 487Verzweigung, 290

LösungsalgorithmusBranch-and-bound, 1054Christofides, 1072Dijkstra, 1063dynamische Optimierung, 1058Floyd und Warshall, 1064Ford und Fulkerson, 1067Goldberg und Tarjan, 1068Gradientenverfahren, 1051Greedy, 1060, 1061Hierholzer, 1070Innere-Punkte-Methode, 1036Kruskal, 1065Näherungsschema, 1060Newton-Verfahren, 1051Potenzialmethode, 1041primaler Simplexalgorithmus, 1034Quasi-Newton-Verfahren, 1051Schnittalgorithmus, 1056

Lottoproblem, 576, 815LR-Zerlegung, 880lumping, 944Lundberg-Bedingung, 1012Lundberg-Ungleichung, 1012Lückensatz, 655

MacDonaldsche Funktion, 115Mächtigkeit des Kontinuums, 760Magnetostatik, 566Majorantenbedingung, 269Majorantenkriterium, 387Mannigfaltigkeit, 614

Kähler, 539komplexe, 551Lagrangesche, 491, 503Riemannsche, 538

Mantisse, 877Marginalanalyse, 1090Markowitz-Modell, 1085Marktzinssatz, 988Martingal, 1005, 1017Martingalmaß, äquivalentes, 1016, 1028Massendichte, 486, 508Massenerhaltung, 486Massenpunkt, Bahnkurve, 364Matching, 1068

perfektes, 1068perfektes minimalen Gewichtes, 1069

Mathematik des 20. Jahrhunderts, 1835mathematisch positiver Sinn, 58mathematische Statistik, 79, 855

goldene Regel, 855Hauptsatz, 862Tabellen, 88

mathematische Stichprobe, 856mathematische Symbole, 1841Matrix, 582

adjungierte, 585

bidiagonale, 883charakteristische Gleichung, 603diagonalisierbare, 604, 612Dreiecks-, 882Elementarteiler, 611Exponentialfunktion, 612Frobenius-Begleit-, 909Gramsche, 909Hessenberg-, 886hierarchische, 965Hilbert-, 910Householder-, 887, 891inverse, 585invertierbare, 585Iterations-, 954Jacobi-, 281, 905Jordansche Normalform, 610Kondition einer, 884kontragrediente, 586Kovarianzmatrix, 843linear unabhängige Zeilen, 590Logarithmusfunktion, 613M- –, 937normale, 603Normalform, 604orthogonale, 608Polarzerlegung, 613Produkt, 583Präkonditionierungs-, 956Pseudoinverse, 806Quadratwurzel, 613Rang, 590reguläre, 585Resolvente, 603Resolventenmenge, 602Rotations-, 885schiefadjungierte, 603schiefsymmetrische, 609selbstadjungierte, 603Singulärwertzerlegung einer, 892skalare Multiplikation, 582Spektralradius, 602spektraläquivalente, 956Spektrum, 602, 612Spur, 586stark diagonaldominante, 881Steifigkeits-, 930Summe, 582symmetrische, 607

definit, 608Signatur, 606

Toeplitz-, 969transponierte, 581, 585unitäre, 603Verstärkungs-, 948ähnliche, 604

Matrixelement, 582Adjunkte, 580

Matrixinversion, 882, 967Matrixspiel, 1074Matrizengleichung, 587Matroid, 1061

1298 M

maximales Element, 749Maximalflussproblem, 1066Maximum

lokales, 266strenges lokales, 270

Maximum-Likelihood-Methode, 867Maximum-Likelihood-Schätzfunktion, 867Maximumprinzip, 446, 518, 540, 933Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung, 825Maxwellsche Gleichungen, 520, 566, 776Maß

einer Menge, 336Lebesgue, 312, 334

Mechanik, 308, 365klassische, 609Poissonsche, 504

Mehrband-Turingmaschine, 1154, 1189mehrdeutige Funktion, 557Mehrfach-Schießverfahren, 926Mehrfachintegral, 307Mehrgitterverfahren, 958Mehrschrittverfahren, 920

explizites, 921implizites, 921nullstabiles, 921Ordnung, 921

Mehrzieloptimierung, 1078Menge, 739

abzählbare, 747beschränkte, 253Definition, 740der Alternativen, 1030dichte, 292Differenz, 741disjunkte, 740Durchschnitt, 740, 751durchschnittsfremde, 740einfach zusammenhängende, 255endliche, 747geschlossene, 253Gleichheit, 739kartesisches Produkt, 743, 750kompakte, 254, 554Komplement, 742konvexe, 274, 1043leere, 740, 756maximales Element, 749Maß einer, 336Mächtigkeit, 747Nachfolger, 757offene, 253, 554total geordnete, 749unendliche, 747Urbild, 746Vereinigung, 741, 751zulässige, 334zulässiger Punkte, 1030, 1032zusammenhängende, 255, 554

Mengenfamilie, 750Mengensymbole, 1841Mengensystem, 750Mengentheorie, 738

Axiome, 756Merkur (Periheldrehung des), 46meromorphe Funktion, 543Messgruppe, 869Messreihe, 79, 856

statistische Auswertung, 83Methode

der Fingerabdrücke, 1231, 1233der kleinsten Quadrate, 397, 806, 889der Normalgleichungen, 889der Orthogonaltransformation, 890der stationären Phase, 119Differenzen-, 926Eigenwert-, 909Finite-Element-, 925, 930Galerkin-, 925Givens-, 886Monte-Carlo-, 829Newton-Kantorowitsch-, 906Randelement-, 963

metrischer Raum, 251, 358Umgebung, 253

metrischer Tensor, 347, 715Metropolis-Algorithmus, 1223Mexikanischer Hut, 972Millenniumsprobleme, 1836Minimalfläche, 717, 775, 794Minimalgerüstproblem, 1065Minimalkostenflussproblem, 1067Minimum

lokales, 266, 804schwaches, 768starkes, 768strenges lokales, 270

Minimumprinzip, 478, 809Minimumproblem, 397Minkowskische Ungleichung, 40, 41Mittelpunktregel, 900Mittelwert, 39, 819

Additionsformel, 821arithmetischer, 39empirischer, 79geometrischer, 39harmonischer, 39Produktformel, 824quadratischer, 39

Mittelwerteigenschaft, 518Mittelwertsatz, 263

Integralrechnung, 314, 337mittlerer Fehler, der Beobachtung, 890Möbiussche Funktion, 654Möbiussche Umkehrformel, 654Möbiustransformation, 556, 688Modell

Bernoullisches, 847dynamisches, 1005individuelles, 1005kollektives, 1005statisches, 1005von Bachelier, 1025von Black und Scholes, 1025, 1026von Cox, Ross, Rubinstein, 1017

m 1299

von Cramér-Lundberg, 1010modifiziertes Lottoproblem, 576modifziertes Wortproblem, 576modus ponens, 731, 754Mollweidsche Formel, 666, 678Monodromiesatz, 568Monomorphismus, 630Monopol, 1097monoton fallend, 48Monotonie, 314, 337Monotoniekriterium von Dirichlet, 396Monte-Carlo-Methode, 829monton wachsend, 48Mordellsche Vermutung, 650Morseindex, 606Multigraph, 1063multiple Regression, 871multiplikative Gruppe, 627Multiplikator, Eulerscher, 455Multiskalen-Analyse, 972multivariate Analyse, 869Musik, 512

n-te Variation, 293Nablaoperator ∇, 371, 373Nachbarschaft, 1219Nachfolgemenge, 757natürliche Zahl, 217, 757Navier-Stokes-Gleichung, 938Nebenbedingung, 787

implizite, 787integrale, 787

Nepersche Formel, 678Neptun, 46Nettodeckungskapital, 1003Nettoprämie, 1003Nettoprofitbedingung, 1011Nettorisikoprämie, 1008Neumannsche Funktion, 113, 114, 119neutrales Element

additives, 630der Addition, 235der Multiplikation, 236einer Gruppe, 627im Ring, 633

Newton-Cotes-Quadraturformel, geschlossene, 899Newton-Interpolation, 895Newton-Polynom, 895Newton-Verfahren, 904Newtonsche Bewegungsgleichung, 376, 427, 437, 464,

493, 522Newtonsche binomische Reihe, 107Newtonsche Mechanik, 44Newtonsche Regel, 598Newtonsches Bewegungsgesetz, 44, 365Nichtdeterminismus, 1138, 1160nichtentartetes Hamiltonsches System, 506nichtlineare Differentialgleichung, 439Nichtstandardanalysis, 297Noethertheorem, 445Norm

Euklidische, 252, 280

Maximum-, 913Tschebyschew-, 913

normale Körpererweiterung, 643Normalenableitung, 367Normalform, Kegelschnitt, 607Normalgleichungsmethode, 889Normalteiler, 629Normalverteilung, 81, 89, 820

Mittelwert, 81Streuung, 81Test auf, 861

NP, 1195, 1198NP-schwer, 1200, 1212NP-Schwierigkeit, 1212NP-vollständig, 1200NP-Vollständigkeit, 1207NPO, 1211Nullelement, 741Nullmatrix, 582Nullstelle

Hauptsatz über mehrfache -n, 600Vielfachheit, 542, 594

Nullstellenprinzip, 548Nullstellensatz, 475Nullteiler, 584, 633Numerik, 876

gewöhnliche Differentialgleichung, 915harmonische Analyse, 967hyperbolische Differentialgleichung, 944inverse Probleme, 977parabolischer Differentialgleichungen, 941partieller Differentialgleichungen, 927Randwertproblem, 924

numerische Approximation, 909Näherungsalgorithmus

absoluter, 1060ε-optimaler, 1060

Näherungsmethode von Ritz, 476

Obelisk, 12obere Halbebene, 556, 686obere Schranke, 237Oberflächenintegral, 348offene Menge, 554Oktaeder, 14Operator

Differentialoperator, 402Fourierintegral, 401identischer, 619inverser, 619Laplace-, 285, 368, 372, 514linearer, 617Nabla ∇, 371Pseudodifferentialoperator, 401Strömungs-, 497Verschiebung, 414

Optik, geometrische, 609Optimalitätsbedingungen, 1080, 1089

Karush-Kuhn-Tucker, 1083Optimierung

diskrete, 1053dynamische, 1057

1300 P

lineare, 1030nichtlineare, 1042

OptimierungsaufgabeBottleneck-Transportproblem, 1041diskrete, 1053duale lineare, 1032duale nichtlineare, 1049Engpasstransportproblem, 1041ganzzahlige lineare, 1053klassisches Transportproblem, 1039kombinatorische, 1053kürzester Weg, 1063lineare, 1030lineares Zuordnungsproblem, 1041, 1069Maximalflussproblem, 1066Mengenaufteilungsproblem, 1062Mengenüberdeckungsproblem, 1062Minimalgerüstproblem, 1065Minimalkostenflussproblem, 1067nichtlineare, 1042Normalform, 1031offenes Transportproblem, 1039primale, 1048Problem des Postboten, 1070quadratisches Zuordnungsproblem, 1061Rundreiseproblem, 1072subset-sum problem, 1062

Optimierungsproblem, 1115Option, 1017

amerikanische, 1021asiatische, 1018europäische, 1018, 1027, 1028replizierbare, 1019

Optionspreis, 1020ordinale Summe, 758ordinales Produkt, 759Ordinalzahl, 758Ordinalzahlarithmetik, 759Ordnung, 1075

Differentialgleichung, 437partielle, 1076

Ordnungsrelation, 749Orientierung, 716

Kurve, 533Orthogonalität, 605Orthogonalitätsrelation, 395Orthogonalmatrix, 608Orthonormalbasis, 605, 910Orthonormalsystem, 605

vollständiges, 525Orthonormalystem, 395Oszillationssatz, 475Oszillator, harmonischer, 365, 405, 422, 524, 775

mit Reibung, 406

P, 1191, 1195, 1198p-adische Zahl, 528Panjer-Rekursion, 1009, 1010Parabel, 23Parabelsektor, 9Paraboloid, 540Parallaxe, 5, 6

Parallele, 685Parallelenaxiom, 761Parallelenproblem, 685Parallelepiped, 693Parallelogramm, 7Parallelströmung, 564Paralleltransport, 500Parameterintegral, 355Parameterschätzung (Statistik), 856Pareto-optimal, 1077Paretoverteilung, 1007Parsec, 5Parsevalsche Gleichung, 413, 970Partialbruchzerlegung, 62, 405, 415, 543, 601

unendliche, 106Partialsumme, 386partielle Ableitung, 130, 278partielle Differentialgleichung, 428, 443

Cauchy-Riemannsche, 531Charakteristiken, 483, 486, 519Hamilton-Jacobi, 779numerische Behandlung, 927

partielle Integration, 134, 316, 349Pascalsches Dreieck, 33Periheldrehung, 46Periode, 50Permanenzprinzip, 398, 567Permutation, 576, 628

gerade, 578, 629ungerade, 578, 629Vorzeichen, 578, 628zyklische, 629

Permutationsgruppe, 628, 633Pfadintegral, 433Phasengeschwindigkeit, 228Phasenraum, 498, 778

Volumenform, 499philosophische Erkenntnistheorie, 760Photon, 784Photonentheorie, 782Physik

Himmelsmechanik, 118, 464, 485, 507, 651klassische Mechanik, 44, 365

π, Transzendenz, 647Pivotelement, 879Plancksches Strahlungsgesetz, 525, 782Plancksches Wirkungsquantum, 522, 781Planet, 507Planetenbewegung, 43, 378

Keplersche Gesetze, 467Platonischer Körper, 14Pluto, 46PO, 1212Poincarésche Regel, 307Poincarésche Vermutung, 1836Poincaré-Modell, 686Poissongleichung, 516, 933

Randwertaufgabe, 795Poissonklammer, 504, 780Poissonsche Bewegungsgleichung, 780Poissonsche Formel, 562Poissonsche Mechanik, 504

P 1301

Poissonscher Approximationssatz, 851Poissonverteilung, 851, 1006, 1009Pol, 541Polarkoordinaten, 24, 285, 329, 350, 494Polarzerlegung, 613Politik, 1057Polstellensatz, 543Polyeder, reguläres, 14Polygon, 639Polynom, 258, 592, 642

charakteristisches, 921Diskriminante, 600größter gemeinsamer Teiler (ggT), 593Hermitesches, 117Interpolations-, 893irreduzibles, 643Lagrange-, 894Laguerre-, 116, 902Legendre-, 116, 526, 902, 911mehrerer Variabler, 139Newton-, 895Nullstelle, 594Produktdarstellung, 594Resultante, 600Ring, 642seperables, 643symmetrisches, 599trigonometrisches, 910, 967Tschebyschew-, 902, 912Zerfällungskörper, 643

Polynomapproximation, 911Polynomdivision, 592Polynome, 1232polynomialzeit-reduzierbar, 1191polynomielle Reduktion, 1200polynomischer Lehrsatz, 34Polynomring, 634Polypol, 1097Pontrjaginsches Maximumprinzip, 802Portfolio

effizientes, 1086eigentlich effizientes, 1087risikominimales, 1087

Portfoliobildmenge, 1087Portfoliooptimierungsproblem, 1086Portfoliorendite, 1086Portfoliovarianz, 1085, 1086positiver Umlaufsinn, 20Postulat, 761Potential, 375

chemisches, 508, 809Doppelschicht-, 963Einfachschicht-, 963elektrisches, 566elektrostatisches, 521Geschwindigkeits-, 563

Potentialformel, 344, 345Potentialgleichung, 933potentielle Energie, 375, 378Potenzfunktion, 52, 569Potenzgesetz, 27Potenzmenge, 746

Potenzmengenkonstruktion, 1142Potenzreihe, 106, 386, 392, 528

komplexe, 531Konvergenzkreis, 528Konvergenzradius, 392Tabelle, 106

Potenzsumme, 35Prämienbarwert, 1002Prämienstrom, 1001Pricing, 996Primkörper, 637Primzahl, 545, 652

Lokalisierungsprinzip von Dirichlet, 659Primzahlsatz, 655, 1229Primzahlverteilungsfunktion, 655Primzahlzwillinge, 660Prinzip

Analogie-, 566Cavalieri, 325, 328, 339, 354der maximalen Entropie, 808der stationären Wirkung, 431Dirichlet-, 562Fermatsches, 492, 770Fluktuationsprinzip, 826Gleichgewichts-, 440Hamiltonsches Prinzip der stationären Wir-

kung, 767Heisenbergsche Unschärferelation, 777Huygenssches, 520, 771Leray-Schrauder, 430Lokal-Global-, 528Maximum-, 446, 518, 540Minimum-, 478Permanenz-, 567Rouchésches Nullstellen-, 548Schwarzsches Spiegelungs-, 569Superposition, 438Transformations-, 340Variations-, 517

Prisma, 11Problem

der geometrischen Optik, 770des kürzesten Weges, 770, 1063des Postboten, 1070inverses, 977mit Nebenbedingungen, 787

Probleme der AntikeDreiteilung eines beliebigen Winkels, 639Quadratur des Kreises, 639

Unlösbarkeit, 647Winkeldreiteilung, Unlösbarkeit, 648Würfelverdopplung (Delisches Problem), 639,

647Produkt

äußeres, 303inneres, 502ordinales, 759Symbol, 30unendliches, 125Wallissches, 400

Produktdarstellung eines Polynoms, 594Produktformeln, 103

1302 r

für die Mittelwerte, 824Produktregel, 128, 261, 531

Differentialformen, 307Leibnizsche, 261

ProduktreiheCauchy, 390

Produktsatz von Weierstraß, 543Produktsymbol (∧), 303Projektionsabbildung, 745Propagator, 451, 469Protokoll, zufallsgesteuertes, 1229Proxima Centauri, 6Prozess

chemischer, 527instationärer, 440stationärer, 517stochastischer, 515, 814

Prädikatenlogik, 754Prädiktor-Korrektor-Verfahren, 922Präkonditionierung, 956pull-back, 501Pumping-Lemma, 1136Punkt, 681

Bifurkations-, 290Punktelastizität, 1091Punktladung, 566Put-Call-Parität, 1020Put-Option, 1018Pyramide, 12Pyramidenstumpf, 12Pythagoräische Schule, 234

QR-Algorithmus, 888QR-Zerlegung, 887Quader, 11Quadrat, 7quadratische Fläche, 607, 697quadratische Form, 607quadratische Gleichung, 52, 231, 595quadratische Konvergenz, 736quadratisches Mittel, 39Quadratsumme, 35Quadratur

Gauß-, 901numerische, 898

QuadraturformelGauß-Laguerre-, 902Gauß-Legendre-, 902Gauß-Tschebyschew-, 902interpolatorische, 899Newton-Cotes-, 899

Quadratwurzel, Riemannsche Fläche der, 557qualitativ, 267Qualitätskontrolle, 851Quantenelektrodynamik, 439, 527Quantenfeldtheorie, 433, 651, 658Quantenmechanik, 504, 814Quantensysteme, 615Quantentheorie, 402, 527Quantenzahl, 523quantisierte Bewegung, 522Quantisierung, 504, 650

Quantisierungsregel von Bohr und Sommerfeld, 781Quantisierungsregel von Heisenberg, 781Quantisierungsregel von Schrödinger, 781quantitativ, 267quasilineare Differentialgleichung, 440quasiperiodische Bewegung, 504, 507Quaternion, 637Quelle, 1065Quellströmung, 564Quellstärke, 563Quotientenkörper, 638Quotientenregel, 128, 261, 531

radioaktiver Zerfall, 418Rand, 254, 535Rand-Eigenwertproblem, 513Randbedingung, 431

Dirichletsche, 933natürliche, 792Neumann-, 933

Randelementmethode, 963Randwertproblem, 432, 474

äußeres, 964homogenes, 474numerische Behandlung, 924

Rang, 620Rangkriterium, 590Rangsatz, 590, 625Rate, 984Ratenfunktion, 1009rationale Funktion, 405, 601

allgemeine, 78Integration, 137Körper, 638mehrerer Variabler, 139Partialbruchzerlegung, 601

rationale Zahl, 219Raum

Lp, 412Haarscher, 913Hilbert, 395linearer, 615lokalkonvexer, 615metrischer, 251, 358Schwartz S , 412Sobolev-, 527, 934topologischer, 554

Raumkurve, 708Reaktionskinetik, 426Reaktionsterm, 933Realteil einer komplexen Zahl, 529Rechengenauigkeit, relative, 877rechte Handregel, 343Rechteck, 7Rechteckimpuls, 409rechter Winkel, 5rechtshändiges System, 26rechtwinkliges Dreieck, 666Reduktion, 1172Reduktionsprinzip, 437reelle Zahl, 216

Vollständigkeit, 235

R 1303

RegelCramersche, 589de l’Hospital, 248, 268Differentiation der inversen Funktion, 129Guldinsche, 355Leibniz, 550Poincaré, 307

Regelungstechnik, 404, 452Regression

lineare, 871multiple, 871

Regressionsgerade, 85, 823, 843, 890Regressionskurve, 844Regula falsi, 904Regularisierung, Tychonow-Phillips, 979reibungsfreier Markt, 1015, 1021Reihe

arithmetische, 31asymptotische, 117Cauchysche Produktreihe, 390Dirichlet-, 544Dirichletsche L-Reihe, 659divergente, 386Doppelsumme, 390Fourier, 120, 511geometrische, 30, 107, 386, 402gleichmäßig konvergente, 390Glieder, 386hypergeometrische, 109Konvergenzkriterium, 387Konvergenzradius, 392Laurent, 540

Hauptteil, 544Legendresche, 113Leibnizkriterium, 394Leibnizsche, 4, 103, 389Newtonsche binomische, 107Potenzreihe, 106spezielle, 103Taylor, 266, 393unendliche, 386

Rekursionssatz von Dedekind, 757rekursiv, 1113, 1149, 1166rekursiv aufzählbar, 1149rekursive Funktion, 757Relation, 748

logische, 754relativ prim, 653relative Häufigkeit, 817relative Integralinvariante von Poincaré, 500relativistische Bewegungsgleichung, 776Renaissance, 1833Rendite, 983Renormierung, 658Rente

dynamische, 984ewige, 984

Rentenrechnung, 984Residuenkalkül, 528, 564Residuensatz, 545Residuum, 418, 541, 883, 889, 952Resolvente

kubische, 597Matrix, 603

Resolventenmenge, 602resonanter Torus, 506Resonanz, 425, 506Restglied, 269Restklasse, 634Restlebensdauer, 997Restschuld, 986Reststrahlung, 46Resultante, 600reversibler thermodynamischer Prozess, 507reziproke Basis, 363Reziprozitätsgesetz, 650Rheologier, 775Rho, 1029Rhombus, 7Riccatische Differentialgleichung, 800Ricci-Strömung, 1837Richardson-Iteration, 954Richtungsableitung, 293, 367, 1044Riemannsche Fläche, 529, 551, 554, 650

der Quadratwurzel, 557topologischer Typ, 558Verzweigungspunkt, 559

Riemannsche Geometrie, 308, 688Riemannsche Mannigfaltigkeit, 538Riemannsche Metrik

auf C, 538auf Flächen, 721

Riemannsche Vermutung, 545, 649, 654, 658Riemannsche Zahlenkugel, 555Riemannsche ζ-Funktion, 104, 544, 650, 651, 657

Funktionalgleichung, 657Riemannscher Krümmungstensor, 720Riesz-Basis, 973Ring, 582, 633

Automorphismus, 634Homomorphismus, 634ideale Teilmenge, 634kommutativer, 633mit Einselement, 633Polynom, 642Restklasse, 634

risikoavers, 1087Risiko-Ertrags-Präferenz-Parameter, 1087Risikolebensversicherung, 998Risikomaß, 1085Risikomodell, 1010Risikoprozess, 1011Risikoteilung, 1014Romberg-Schema, 897Romberg-Verfahren, 900Rotation, 368, 372Rotationskörper, 355Rotationsmatrix, Jacobi-, 885Routh-Hurwitz-Kriterium, 473Rudolphinische Tafeln, 29Rückversicherung, 1014Ruin, 1011Ruintheorie, 1010, 1013Ruinwahrscheinlichkeit, 1011

1304 S

Rundung, 877Rundungsfehler, 878Runge-Kutta-Fehlberg-Verfahren, 919Runge-Kutta-Verfahren

explizites, 917implizites, 919

Russelsche Antinomie, 739Rückkopplung, 800

S-Matrix, 469, 529SAT, 1207Sattelpunkt, 810, 939, 1050Sattelpunktmethode, 119Sattelpunktproblem, 938Satz von

Abel, 393Atiyah-Singer, 620Bayes, 833Bolzano, 248Bolzano (über Nullstellen), 259Bolzano–Weierstrass, 244, 254Bonnet, 722Borel und Cantelli, 854Cantor, 748Cartan-Kähler, 308, 436Cauchy, 539Cauchy-Morera, 533Chebychev, 845Church, 756Cook, 1202de Rham, 346, 537Dirichlet, 655Dirichlet-Jordan, 412Euklid, 652Euler, 34, 657, 659Euler-d’Alembert, 608Euler-Meusnier, 719Féjer, 399Fubini, 137, 325, 326, 338Gauß, 137, 330, 341Gauß (über n-Ecke), 10Gauß (über Konstruktionen), 648Gauß-Stokes, 137, 325, 330Glivenko, 862Gödel-Cohen, 760Hadamard, 292Hardy, 658Hattendorf, 1004Helmholtz (Wirbelsatz), 498Hilbert (über reelle Zahlen), 684Jacobi, 490Kelvin (Wirbelsatz), 498Kolmogorow, 845Kolmogorow-Smirnov, 862Lagrange, 490Lebesgue, 264Legendre, 656Liapunov, 472Liouville, 499, 505, 542, 779Mittag-Leffler, 543Moivre, 818Moivre und Laplace, 849

Noether, 445, 769Peano, 448Perron, 604Picard, 541, 542Picard-Lindelöf, 429, 447Poincaré, 308Poisson, 851Pythagoras, 8, 322, 667, 687Rice, 1181Riemann, 657Rouché, 548Schröder-Bernstein, 748Schwarz, 279Steinitz (algebraischer Abschluss), 643Steinitz (Tausch einer Basis), 616Stokes, 307, 340, 380, 497, 537Sturm, 475, 599Taylor, 269, 294Thales von Milet, 671, 672Vieta, 595, 596, 599Weierstrass, 247, 259Yau, 539

Satz überÄquivalenz (Differenzenoperatoren), 947inverse Funktionen, 550

Schadenhöhenverteilung, 1006Schadenversicherungsmathematik, 997, 1005Schauderscher Fixpunktsatz, 448Scheitelkreis, 26Scheitelpunkt, 704Schiefkörper, 636

Charakteristik, 636schiefsymmetrische Matrix, 609Schießverfahren, 925

Mehrfach-, 926Schlussfolgerung, 728Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren, 606Schockwelle, 486Schranke

obere, 749Schrittweite, 916Schrittweitensteuerung, 918Schrödingergleichung, 522, 781Schubfachprinzip, 578schwache Lösung, 950schwaches Gesetz der großen Zahl, 845Schwartzraum, 412Schwartzsche Deltadistribution, 411Schwarz-Christoffelsche Abbildungsformel, 560Schwarz-Iteration, additive, 961schwarzes Loch, 784Schwarzsche Ungleichung, 40Schwarzsches Spiegelungsprinzip, 569Schwerkraft, 45Schwerpunkt, 353, 377schwingende Saite, 512

Bewegungsgleichung, 797Schwingkreis, 406Schwingung, 228, 396, 409

charakteristische, 423dominierende, 402gedämpfte Schwingung, 409

S 1305

Schätzfunktion, 857Erwartungswert, 857Varianz, 857

Sechseck, 7seismografische Welle, 402Sekant, 57Sekantenmethode, 904Sektor

Ellipse, 9Hyperbel, 9Parabel, 9

Selbstadaptivität, 952Selbsterregungsprozess, 422semilineare Differentialgleichung, 440Senke, 1065seperables Polynom, 643Sexagesimalsystem, 5Sieb des Eratosthenes, 652Signatur, 606Signaturkriterium von Jacobi, 607Signifikanzniveau, 860Signifikanztest (t-Test), 859Simplexalgorithmus, 1034Simpson-Regel, 899

summierte, 899Simulated Annealing, 1222Simulation, 1130Singularität, 706singuläre Flächenpunkte, 713Singulärwertzerlegung, 892Sinus hyperbolicus, 66Sinusfunktion, 57

Taylorentwicklung, 270Sinussatz, 665, 677Sinustransformation, 192Sirius, 6Skalar, 357skalares Feld, 367Skalarisierung, 1080

lineare, 1079, 1086Pascoletti-Serafini, 1081

Skalarisierungsfunktion, 1080Skalarisierungsmethoden, 1081, 1083Skalarprodukt, 361Skalierungsfunktion, 973Skalierungsgleichung, 973Slater-Bedingung, 1084Sobolevraum, 349, 527, 934Sonne, 360, 507

Tod der, 47Sonnensystem, Stabilität, 507SOR-Verfahren, 956Spatprodukt, 362Speicherplatzkomplexität, 1184Spektralanalyse, 402Spektralradius, 602, 612, 954Spektralsatz, 604Spektraläquivalenz, 956Spektrum, 602, 612spezielle Relativitätstheorie, 308spezifische Wärme, 380, 509sphärische Geometrie, 675

sphärischer Exzess, 677sphärischer Winkel, 676sphärisches Dreieck, 672, 676

Berechnung, 679Flächeninhalt, 678

Spiegelung, 225am Einheitskreis, 552

Spieltheorie, 1073Nash-Gleichgewicht, 1073

Spline-Interpolation, 897Spot Rate, 991Sprache, 1111Spur einer Matrix, 586Spursatz, 611Stab, wärmeleitender, 514stabiles Gleichgewicht, 440Stabilität, 293, 421, 429

CFL-Bedingung, 948Differenzenoperator, 947Differenzenverfahren, 942Gebiet der absoluten, 920Gesetz von Liapunov, 472numerische, 878optimale, 948unbedingte, 943von-Neumann-Bedingung, 949

Stammfunktion, 310, 315Standardabweichung, 79, 819, 839Standardmodell, 658

der statischen kollektiven Risikotheorie, 1006starke Korrelation, 823starkes Gesetz der großen Zahl, 845starkes Minimum, 768stationäre Phase, 119stationärer Prozess, 440, 517stationärer Punkt, 1046Statistik, Vergleich zweier Messreihen, 84statistische Hypothese, 856statistische Mechanik, 825statistische Physik, 308, 651, 658, 824

Grundproblem, 808Steinitzscher Austauschsatz, 616Steinitzscher Satz (über den algebraischen Ab-

schluss), 643Stellen, signifikante, 878Sterbetafel, 998, 999Sterbeverteilung, 1000Sterbewahrscheinlichkeit, 998stereographische Projektion, 555stetig, Lipschitz-, 448stetige Funktion zwischen metrischen Räumen, 257Stetigkeit, 257

Grenzwertkriterium, 247Komponentenregel, 258Kompositionssatz, 247

Steuerungsgleichung, 799Rückkopplung, 800

Steuerungstheorie, 777, 798Stichprobenfunktion, 856Stieltjes-Integral, 837Stirlingsche Formel, 3, 571, 849stochastischer Prozess, 515, 814

1306 T

Stokes-Gleichung, 938Strahl, 682Strahlensatz, 672Strategie

gemischte, 1074reine, 1074

Strategiemenge, 1073Strecke, 682Streumatrix, 469Streuung, 79, 834, 839Streuungsquadrat, 834Strike-Preis, 1018Stringtheorie, 539, 775Stromdichte, 383Stromlinie, 374, 496, 563Stromstärke, 406Struktur, symplektische, 538Strömung

Flüssigkeit, 379Hamiltonsche, 499, 779Ladungs-, 380symplektische, 502volumentreue, 498, 499Wärme-, 380

Strömungsgleichung, 563Strömungsoperator, 497

Linearisierung, 500Studentsche Verteilung, 92Störung, 293Subdifferential, 809, 1044Subgradient, 809Substitution, Eulersche, 141Substitutionsregel, 134, 325

für Integrale, 317Subtangente, 810Sumer, 5Summationssymbol, 386Summationsverfahren, zulässiges, 398Summe

direkte, 624ordinale, 758Symbol, 30Winkel im n-Eck, 7

Summenregel, 128, 261, 531Superkommutativität, 307Superpositionsprinzip, 438, 452, 588, 614Superstringtheorie, 651Supremum, 237surjektiv, 619, 744Swap, 992, 996Swap Rate, 992Swapsatz, 996Symmetrie, 308, 445symplektische Form, 489, 496, 609symplektische Geometrie, 308, 609

auf der komplexen Zahlenebene, 538kanonische Differentialform, 489von C, 538

symplektische Struktur, 504, 538symplektische Transformation, 496, 501

t-Test, 86

t-Verteilung, 857Tail, 1007Tangens hyperbolicus, 68Tangensfunktion, 63Tangenssatz, 665Tangente, 259, 266, 703

an eine Ellipse, 21an eine Hyperbel, 22an eine Kurve, 614an eine Parabel, 23an einen Kreis, 19Gleichung, 259

Tangentialebene, 614, 713Tangentialraum, 614Tautologie, 730, 753Taylorentwicklung, 366, 415, 419, 614, 702Taylorreihe, 266, 393

integrales Restglied, 270Restglied, 269

Taylorscher Satz, 269, 294Teiler, 651Teilfolge, 243

konvergente, 254Teilmenge, 739Temperatur, 284, 658

absolute, 809Temperaturverteilung, 514Tensor

kovarianter, 713Levi-Civita, 716metrischer, 715

Tensorprodukt, 303χ2-Anpassungstest, 864Testen einer Hypothese, 852Tetraeder, 14theorema egregium, 436, 702, 720Theorie

algebraischer Funktionen, 575allgemeine Relativitätstheorie, 527analytische Zahlentheorie, 655Dynamische Systeme, 651Eichfeldtheorie, 308, 527elliptische Integrale, 10Epistemologie, 761Galois, 10geometrische Funktionentheorie, 528Hilbert-Schmidt, 474Quantenfeldtheorie, 658Quantentheorie, 527Regelungstechnik, 452Relativitätstheorie, 308statistische Physik, 808Steuerungstheorie, 798Stringtheorie, 539Superstringtheorie, 651

Thermodynamik, 284, 308, 436freie Energie, 510Integrabilitätsbedingung, 509Prozess, 507

Theta, 1029Tilgung, 986Todesfall, 997

T 1307

Tonnenkörper, 13Topologie, 430, 614

kombinatorische, 633topologischer Raum, 554Torsionsgruppe, 633Torus, 13, 355, 504

invarianter, 505resonanter, 506

total geordnete Menge, 749totale Wahrscheinlichkeit, 832totales Differential, 130, 301, 454Transformation

Berührungs-, 510Differentialformen, 305Drehung, 604Fourier, 185, 408Fourier-Integral-, 971Fourierkosinus, 411Fouriersinus, 411Funktion, 49holomorphe, 550Integral-, 401kanonische, 495Laplace, 198, 403

inverse, 408Laplace und Fourier, 413Legendre, 778

allgemeine, 511Rück-, 968sinh, 903symplektische, 496, 501tanh, 903Wavelet, 972Z, 209, 414

Transformationsgruppe, 628Transformationsregeln für Differentiale, 297Translation, 693Transporttheorem, 497Transposition, 628Transversalitätsbedingung, 792transzendente Körpererweiterung, 642transzendentes Element, 642Trapez, 7Trapezmethode, 919Trapezregel, 899

summierte, 899Tangenten-, 900

Trend, 1026Trennung der Variablen, 449, 450Triangulierung, 930Trigonometrie

ebene, 665hyperbolische, 687sphärische, 675

trigonometrische Funktion, 110inverse, 70

trivialer Normalteiler, 629Trägheitsgesetz von Sylvester, 607Trägheitsmoment, 353Tschebyschew-Norm, 913Tschebyschew-Polynom, 902, 912Tschebyschewsche Ungleichung, 819, 840

TSP, 1116Turingmaschine, 1146

nichtdeterministisch, 1160

Überlauf, 878Überlebensfunktion, 998Überrelaxationsverfahren, 956Umgebung im metrischen Raum, 253Unabhängigkeitssystem, 1060Unbestimmte, 229unbestimmter Ausdruck, 241unbestimmtes Integral, Berechnung, 134uneigentlicher Grenzwert, 239unendlich ferne Gerade, 687unendlich klein, 296Unendlich, Cantors Strukturierung, 757unendliche Reihe, 269, 386unendliches Produkt, 125, 400Unendlichkeit, 54Ungleichung, 231

Bernoullische, 38binomische, 38Dreieck, 38Dualität, 42für Mittelwerte, 39Harnacksche, 518Höldersche, 40Jensensche, 40Minkowskische, 40Schwarzsche, 40Tschebyschewsche, 819, 840Youngsche, 39

Uniformisierungsssatz, 551universelle Sprache, 1174Unmenge, 739Unstetigkeit, hebbare, 77Unterdeterminante, 590

Haupt-, 607untere Schranke, 237Untergruppe, 629

triviale, 629Unterkörper, 636Unterlauf, 878Unterraum, 617

invarianter, 625Unterring, 634Uranus, 46Urbild, 746Urbildmenge, 1842Urknall, 46

Vanna, 1030Variable, zufällige, 814, 835Varianz, 819, 834, 839

empirische, 79Schätzfunktion, 857

Varianz-Swap, 1024Varianzanalyse, 869Variation

beschränkte, 1001erste, 768Kombinatorik, 576

1308 W

n-te, 293quadratische, 1023, 1025zweite, 300, 768

Variation der Konstanten, 456Variationsprinzip, 517Variationsproblem, 767Variationsrechnung, 650Vega, 1029Vektor, 357

Addition, 357freier, 357, 360linear unabhängiger, 358, 615Linearkombination, 358orthogonaler, 361, 605skalare Multiplikation, 357Skalarprodukt, 361Spatprodukt, 362zufälliger, 822

Vektoralgebra, 689Vektorbündel, 614Vektorfeld, 368

Feldlinie, 374Stromlinie, 496

Vektorfunktion, 364Ableitung, 365stetige, 364Taylorentwicklung, 366

Vektorgradient, 368Vektoriteration von Wielandt-, 888Vektorminimumproblem, 1077Vektoroptimierung, 1075Vektoroptimierungsproblem

duales, 1084konvexes, 1081primales, 1083

Vektorprodukt, 361verallgemeinerte Eulersche Gleichung, 809verallgemeinerte Funktion, 411verallgemeinerte Heronische Flächenformel, 678verallgemeinerte Lösung, 487verallgemeinerter Impuls, 778verallgemeinerter Wirbelsatz von Helmholtz, 500Verdichtungsprozess, 488Verdopplungsformel von Legendre, 571Verdopplungsproblem, 983Vereinigung von Mengen, 751Vereinigung, disjunkte, 743Verfahren

ABM43-, 922Adams-, 921Adams-Bashforth-, 921Adams-Moulton-, 922BDF-, 922Cholesky-, 883Courant-Isaacson-Rees-, 946Diskretisierungs-, 928Euler-, 916Galerkin-, 965Gradienten-, 958Newton-Kantorowitsch-, 906Prädiktor-Korrektor-, 922Ritz-Galerkin-, 929

Runge-Kutta-, 917Runge-Kutta-Fehlberg-, 919SOR-, 956Überrelaxations-, 956

Verfahrensfehler, 879Verifizierer, 1197Verkaufsoption, 1018Verkehr (Schiff- und Luftfahrt), 680Verlust eines Lebensversicherungsvertrages, 1004Vermutung

Mordell, 650Primzahlzwillinge, 660Riemannsche, 545

Verpflanzungsprinzip, 550Verrentung, 984Verschiebungsoperator, 414Versicherungsmathematik, 997Verteilung

Binomial-, 1006χ2, 93Gamma-, 1006Gaußsche, 409, 844Gaußsche Normal-, 338Log-Normal-, 1006Normal, 81Poissonsche, 851, 1006subexponentielle, 1013Weibull-, 1006

Verteilungsfunktion, 81, 819, 835bedingte, 844Wilcoxon-Test, 866

Vertrauensintervall, 81, 820, 840, 853, 855Verzinsung

gemischte, 982geometrische, 982lineare, 981stetige, 984unterjährige, 983vorschüssige, 981

Verzweigungsprinzip, 1054Verzweigungspunkt, 559Vieleck, regelmäßiges, 10, 648Vielfachheit einer Nullstelle, 542Viereck, 6Volatilität, 1024, 1026

implizierte, 1030implizite, 1030

Volga, 1030vollständiges Marktmodell, 1020Vollständigkeit der reellen Zahlen, 235Volumen

Kreiskegel, 328Parallelepiped, 693von Körpern, 11

Volumenableitung, 378Volumenform, 348, 499Volumenpotential, 382Vomma, 1030

Wachstumdegressives, 1093progressives, 1093

W 1309

Wachstumsgeschwindigkeit, 1091, 1093Wachstumsgleichung, 420Wachstumsrate, 1026Wachstumstempo, 1093Wahrscheinlichkeit, 81, 815, 1226

bedingte, 831Grundversuch, 847totale, 832

Wahrscheinlichkeitmaß, 827Wahrscheinlichkeitsdichte, 819, 836, 841Wahrscheinlichkeitsmodell, 815Wahrscheinlichkeitsraum, 1227Wahrscheinlichkeitstheorie, 396, 1226Wahrscheinlichkeitsverteilung, 1227Waldsche Gleichungen, 1008Wallissches Produkt, 400Wasserstoffatom, 523

Quantenzahlen, 523Wavelet, 971

Daubechies-, 976Haar-, 971Momente, 972Ordnung, 972Transformation, 972

Wechselwirkung, 527Weg, 1063

einfacher, 1063homologer, 535homotoper, 535

Wegintegral, 533Weibullverteilung, 1007, 1015Weierstraßsche E-Funktion, 785weißes Rauschen, 410Welle

elektromagnetische, 402seismografische, 402

Wellenfront, 443, 490, 771Wellengleichung, 518Wendepunkt, 271, 704Wert, 1002Wertebereich, 743Wertetabelle, 47Wertevorrat, 47, 743Wertpapierportfolio, 1085Wertprozess, 1015, 1021wesentliche Singularität, 541wichtige Ungleichungen, 38Widerstand, 406Wiener-Prozess, 1025Wilcoxon-Test, 87, 866Winkel, 5, 692

sphärischer, 676winkeltreue Abbildung, 715Winkelvariable, 504, 783Wirbel, 497Wirbellinie, 497Wirkung, 776Wirkungsquantum, Plancksches, 522Wirkungsvariable, 505, 783wissenschaftliches Rechnen, siehe NumerikWohlordnungssatz von Zermelo, 750Wolf-Preis, 650

Wort, 1108Wortproblem, 576Wronskideterminante, 470Wurzel, n-te, 28Wurzelfunktion, 27Wurzelkriterium, 388Wärme, 396

analytische Theorie, 512Diffusion, 515Stromdichte, 516

Wärmeleitung, 428, 433, 515Wärmeleitungsgleichung, 437

instationäre, 514stationäre, 516

Wärmequelle, 515Wärmeströmung, 380Wörter, äquivalente, 577Würfel, 11, 14

Youngsche Ungleichung, 39

Z-Transformation, 209, 401Zahl

Bernoullische, 35Eulersche, 37komplexe, 529p-adisch, 528π, 3π, Transzendenz, 647

Zahlenfolge, 238beschränkte, 242Cauchy, 243Grenzwert, 233, 238konvergente, 238, 241monoton fallende, 243monoton wachsende, 243

Zahlentheorie, moderne Strategie, 650Zahlkreis, 252Zahlkörper, 575Zahlungsstrom, 988, 1001

Bewertung eines, 1002Zeitkomplexität, 1184Zeitrente, 984Zeitwert, 981, 982, 984zentraler Grenzwertsatz, 820, 846Zentralfeld, 373Zerfällungskörper, 643Zerlegung

Cholesky-, 882LR-, 880

Zerlegungsprinzip, 341Zertifikat, 1195Zeuge, 1195, 1232Zielfunktion, 1030Zielgewichtung, 1081Zinsen, 981Zinseszins, 982Zinsintensität, 984Zinssatz, 981

äquivalenter, 983effektiver, 983konformer, 983

1310 Z

relativer, 983Zinsstrukturkurve, 990Zinsswap, 996Zirkulation, 381, 497, 563Zirkulationsströmung, 564Zufall, 1224Zufallssteuerung, 1225Zufallsvariable, 79Zufallsvektor, 822, 840, 841

Regressionskurve, 844zufällige Funktion, 814zufällige Variable, 814, 835

diskrete, 837Erwartungswert, 838Korrelationstest, 860Kovarianz, 842Mittelwert, 838Momente, 840unabhängige, 824, 842Varianz, 839, 842

zufälliges Ereignis, 814Zukunft der Mathematik, 1zulässige Folge, 414zulässige Funktion, 403zulässiger Bereich, 1077zusammenhängende Menge, 255, 554Zustandsgleichung, thermodynamische, 509Zustandsraum, 539Zustandssumme, 651, 658Zwei-Personen-Nullsummenspiel, 1074Zwei-Personen-Spiel, 1073Zweikörperproblem, 464, 493zweite Fundamentalform, 716Zwischenwertsatz, 248, 259zyklische Gruppe, 632Zykloidenbogen, 773Zyklus, 629Zylinder, 11Zylinderkoordinaten, 350