Determinazione approssimata degli zeri di una funzione Quando si vuole risolvere un’equazione del tipo

non sempre si hanno a disposizione degli strumenti che permettano di determinare le soluzioni esatte. In tal caso è possibile utilizzare dei metodi numerici che, a partire da un valore iniziare, fanno sì che si possa determinare delle approssimazioni delle soluzioni con un errore che può essere stabilito a priori. Risolvere la suddetta equazione equivale a determinare gli zeri della funzione

e, per tale ragione, è possibile utilizzare i teoremi sulle funzioni che assicurano l’esistenza e l’unicità di essi in un determinato intervallo. Quindi, per trovare le soluzioni approssimate dell’equazione è necessario:

determinare gli intervalli in cui sono presenti una o più soluzioni;

determinare il loro valore approssimato. La prima operazione prende il nome di separazione delle soluzioni ed è possibile effettuarla grazie ai seguenti teoremi sulle funzioni. Il primo teorema assicura l’esistenza delle eventuali soluzioni in un determinato intervallo, gli altri due ne assicurano l’unicità.

Teorema Enunciato

T. di esistenza degli zeri Se è una funzione continua nell’intervallo chiuso e se , allora l’equazione ammette almeno una soluzione nell’intervallo aperto .

1° teorema di unicità della soluzione

Data la funzione continua nell’intervallo chiuso , se e se in , allora l’equazione ammette una e una sola soluzione nell’intervallo aperto .

2° teorema di unicità della soluzione

Data la funzione continua nell’intervallo chiuso e derivabile due volte nell’intervallo aperto , se e se è sempre positiva o sempre negativa in , allora l’equazione ammette una e una sola soluzione nell’intervallo aperto .

Di seguito viene illustrato uno dei metodi numerici che prende il nome di metodo di bisezione.

Metodo di bisezione Il metodo di bisezione si articola nei seguenti passi: 1. si determina l’intervallo in cui è presente una sola soluzione dell’equazione,

utilizzando i teoremi precedentemente enunciati; 2. si suddivide l’intervallo in due parti uguali e si stabilisce in quale delle due si trova

lo zero, cioè: si pone e e si considera

; successivamente si calcola

e quindi: a. se , allora si pone e , b. se , allora si pone e ;

3. si itera il procedimento fin quando non si trova quel valore tale che ; ovvero, se un tale valore non viene trovato, si costruisce la seguente successione di sottointervalli, ciascuna contenuta nel precedente e di ampiezza:

e possono essere date le seguenti condizioni di arresto:

, con piccolo a piacere;

, con piccolo a piacere. Gli intervalli hanno ampiezza:

Se si indica con come stima della soluzione esatta , dimostra che l’errore assoluto è tale che:

Per stimare l’errore relativo, si utilizza invece la seguente formula:

in formule si ha:

Esempio 1: Utilizzando il metodo di bisezione ricercare le soluzioni approssimate della seguente equazione, con un’approssimazione relativa di :

Risoluzione: Utilizziamo il metodo grafico per determinare l’intervallo in cui cade la soluzione . Riscrivendo l’equazione sotto forma di sistema, si ha:

e, tracciando le funzioni in un sistema di assi cartesiani, otteniamo il grafico a fianco. Da tale grafico si deduce che la soluzione dell’equazione cade all’interno dell’intervallo . Poiché la funzione è continua nell’intervallo e:

e ;

; la soluzione è unica per il primo teorema di unicità della soluzione. Dopo aver predisposto la seguente tabella in Excel:

ai bi ci f(ai) f(bi) f(ci) f(ai)*f(ci) f(bi)*f(ci) r

0 2 3 2,5 -2 8 1,625 -3,25 13

1 2 2,5 2,25 -2 1,625 -0,48438 0,96875 -0,78711 0,111111

2 2,25 2,5 2,375 -0,48438 1,625 0,490234 -0,23746 0,796631 0,052632

3 2,25 2,375 2,3125 -0,48438 0,490234 -0,01636 0,007923 -0,00802 0,027027

4 2,3125 2,375 2,34375 -0,01636 0,490234 0,232025 -0,0038 0,113747 0,013333

5 2,3125 2,34375 2,328125 -0,01636 0,232025 0,106617 -0,00174 0,024738 0,006711

deduciamo che la soluzione cercata è quella con un’approssimazione di , cioè si ricava dalla tabella che .

Esempio 2: Utilizzando il metodo di bisezione ricercare le soluzioni approssimate della seguente equazione, con un’approssimazione relativa di :

Risoluzione: Utilizziamo il metodo grafico per determinare l’intervallo in cui cade la soluzione . Riscrivendo l’equazione sotto forma di sistema, si ha:

e, tracciando le funzioni in un sistema di assi cartesiani, otteniamo il grafico a fianco. Da tale grafico si deduce che la soluzione dell’equazione cade all’interno dell’intervallo . Poiché la funzione è continua nell’intervallo e:

e ;

; la soluzione è unica per il primo teorema di unicità della soluzione. Dopo aver predisposto la seguente tabella in Excel:

ai bi ci f(ai) f(bi) f(ci) f(ai)*f(ci) f(bi)*f(ci) r

0 -1 0 -0,5 -0,63212 1 0,106531 -0,06734 0,106531

1 -1 -0,5 -0,75 -0,63212 0,106531 -0,27763 0,175498 -0,02958 0,333333

2 -0,75 -0,5 -0,625 -0,27763 0,106531 -0,08974 0,024914 -0,00956 0,2

3 -0,625 -0,5 -0,5625 -0,08974 0,106531 0,007283 -0,00065 0,000776 0,111111

4 -0,625 -0,5625 -0,59375 -0,08974 0,007283 -0,0415 0,003724 -0,0003 0,052632

5 -0,59375 -0,5625 -0,57813 -0,0415 0,007283 -0,01718 0,000713 -0,00013 0,027027

6 -0,57813 -0,5625 -0,57031 -0,01718 0,007283 -0,00496 8,53E-05 -3,6E-05 0,013699

7 -0,57031 -0,5625 -0,56641 -0,00496 0,007283 0,001155 -5,7E-06 8,41E-06 0,006897

8 -0,57031 -0,56641 -0,56836 -0,00496 0,001155 -0,00191 9,46E-06 -2,2E-06 0,003436

9 -0,56836 -0,56641 -0,56738 -0,00191 0,001155 -0,00038 7,15E-07 -4,3E-07 0,001721

10 -0,56738 -0,56641 -0,56689 -0,00038 0,001155 0,00039 -1,5E-07 4,5E-07 0,000861

deduciamo che la soluzione cercata è quella con un’approssimazione di , cioè si ricava dalla tabella che .

Esempio 3: Utilizzando il metodo di bisezione ricercare le soluzioni approssimate della seguente equazione, con un errore relativo :

Risoluzione: Utilizziamo il metodo grafico per determinare l’intervallo in cui cade la soluzione . Riscrivendo l’equazione sotto forma di sistema, si ha:

e, tracciando le funzioni in un sistema di assi cartesiani, otteniamo il grafico a fianco. Da tale grafico si deduce che la soluzione dell’equazione cade all’interno dell’intervallo . Poiché la funzione è continua nell’intervallo e:

e ;

; la soluzione è unica per il primo teorema di unicità della soluzione. Dopo aver predisposto la seguente tabella in Excel:

ai bi ci f(ai) f(bi) f(ci) f(ai)*f(ci) f(bi)*f(ci) r

0 1 2 1,5 -0,84147 0,090703 -0,49749 0,418628 -0,04512

1 1,5 2 1,75 -0,49749 0,090703 -0,23399 0,116407 -0,02122 0,142857

2 1,75 2 1,875 -0,23399 0,090703 -0,07909 0,018505 -0,00717 0,066667

3 1,875 2 1,9375 -0,07909 0,090703 0,003986 -0,00032 0,000362 0,032258

deduciamo che la soluzione cercata è quella per cui , ovvero .

Esempio 4: Utilizzando il metodo di bisezione ricercare le soluzioni approssimate della seguente equazione:

Risoluzione: Utilizziamo il metodo grafico per determinare l’intervallo in cui cade la soluzione . Riscrivendo l’equazione sotto forma di sistema, si ha:

e, tracciando le funzioni in un sistema di assi cartesiani, otteniamo il grafico a fianco. Da tale grafico si deduce che la soluzione dell’equazione cade all’interno dell’intervallo . Poiché la funzione è continua nell’intervallo e:

e ;

;

la soluzione è unica per il primo teorema di unicità della soluzione. Dopo aver predisposto la seguente tabella in Excel:

ai bi ci f(ai) f(bi) f(ci) f(ai)*f(ci) f(bi)*f(ci) r

0 1 2 1,5 -3 0,693147 -1,34453 4,033605 -0,93196

1 1,5 2 1,75 -1,34453 0,693147 -0,37788 0,508079 -0,26193 0,142857

2 1,75 2 1,875 -0,37788 0,693147 0,144234 -0,0545 0,099975 0,066667

3 1,75 1,875 1,8125 -0,37788 0,144234 -0,12014 0,045398 -0,01733 0,034483

4 1,8125 1,875 1,84375 -0,12014 0,144234 0,011216 -0,00135 0,001618 0,016949

deduciamo che la soluzione cercata è .

Erasmo Modica www.matematica.blogscuola.it

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