zestaw 1. poziom rozszerzony - irek.edu.pl · ©irek.edu.pl 2 zestaw 2. poziom rozszerzony zadanie...

©Irek.edu.pl 1

Zestaw 1. Poziom rozszerzony Zadanie 11 (7 pkt).

Znajdź równanie okręgu będącego obrazem okręgu

x2 + y

2 - 4x + 2y + 1 = O

w jednokładności o środku w punkcie A = (-2,3) i skali k= -4.

Zadanie 12 (5 pkt).

Wyznacz dziedzinę funkcji

Zadanie 13 (7 pkt).

Dany jest układ równań

a) Rozwiąż go i sprawdź, czy ciąg (x, y, z) utworzony z rozwiązań tego

układu jest ciągiem geometrycznym.

b) Rozważmy nieskończony ciąg arytmetyczny, którego trzy pierwsze wyrazy

wynoszą odpowiednio x —3, y +2, z +5, gdzie x, y, z są rozwiązaniami

powyższego układu równań. Oblicz sumę 2005 początkowych wyrazów

tego ciągu.

Zadanie 14 (7 pkt). Napisz równania tych stycznych do wykresu funkcji f(x) =x

3 - 8x,

które są prostopadle do prostej y = 2

1x + 3.

Zadanie 15 (6 pkt). Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba

Ln= lln+2

+ 122n+1

jest podzielna przez 133.

Zadanie 16 (8 pkt). Rozwiąż nierówność

Zadanie 17 (10 pkt).

Przez punkt A = (2,5) poprowadź taką prostą k o współczynniku kierunkowym

ujemnym, aby pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych i

prostą k było najmniejsze. Podaj wzór tej prostej i oblicz pole tego trójkąta.

©Irek.edu.pl 2

Zestaw 2. Poziom rozszerzony

Zadanie 10 (4 pkt). Dany jest wielomian W(x) = x

4 + x

3 - ax + b. Wiedząc, że xo = 1 jest

podwójnym pierwiastkiem tego wielomianu, znajdź resztę z dzielenia

wielomianu W przez dwumian x + 1.

Zadanie 11 (7 pkt).

Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja

jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych?

Zadanie 12 (8 pkt). Wyznacz zbiór wartości parametru a, dla których funkcja

f(x)=3

1 ax

3 - 2x

2 + (a - 3)x + 1

jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych.

Zadanie 13 (4 pkt). Mamy dwie urny U1 i U2. W urnie U1 są 3 kule białe i 2 czarne, w urnie U2 są 4 kule białe i 4 kule czarne. Losujemy jedną kulę z urny U1 i, nie oglądając jej,

wrzucamy do urny U2. Następnie z urny U2 losujemy 2 kule. Oblicz

prawdopodobieństwo, że obie kule wyjęte z urny U2 będą czarne.

Zadanie 14 (9 pkt).

Dla jakich wartości parametru m równanie

(m+1).9

x - 2

.3

x+m - 1=O

ma dwa rozwiązania?

Zadanie 15 (4 pkt). Rozważmy funkcje f(x) = 3

x oraz g(x) = log3 x. Wyznacz wzór funkcji f (g(x)),

określ jej dziedzinę i wykonaj wykres.

Zadanie 16 (5 pkt). Oblicz współrzędne obrazu punktu A(3, 1) w symetrii względem prostej

y = 2x.

Zadanie 17 (9 pkt). Określ liczbę rozwiązań układu

w zależności od parametru a.

©Irek.edu.pl 3


Zadanie 12 (9 pkt).

Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)= x2 + (p+2)x + 1. Wyznacz

wszystkie wartości parametru p, dla których pierwiastki x1, x2 równania f(x) =

O spełniają warunek x12 + x2

2< 3x1x2.

Zadanie 13 (6 pkt).

Rozwiąż równanie

Zadanie 14 (8 pkt). Dane są dwa okręgi: (x-1)

2+(y - 1)

2 = 9 i (x - m)

2+(y- 1)

2= 4. Wyznacz

wszystkie wartości parametru m dla których te okręgi mają dokładnie jeden

punkt wspólny.

Zadanie 15 (5 pkt).

Wyznacz zbiór wartości funkcji

ℜ∈+−= xdlaxxxf 1sin2cos3)( 2

Zadanie 16 (4 pkt).

Korzystając z definicji pochodnej, oblicz pochodną funkcji

f(x) = 32 +x w punkcie x0 =1.

Zadanie 17 (7 pkt). Z talii 52 kart losujemy 4 karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród

wylosowanych kart będą 2 asy lub 2 króle? Podaj wynik z dokładnością do 0,01.

Zadanie 18 (6 pkt).

Dane są proste: 1 o równaniu 3x — 4y + 2 = O i k o równaniu 4x + 3y - 7 = O.

Wyznacz równania dwusiecznych kątów utworzonych przez te proste.

Zadanie 19 (5 pkt). Wykaż, że funkcja f(x) jest parzysta

f(x) = x

xx

+−

2

2log3

©Irek.edu.pl 4


Zadanie 11 ( 13 pkt)

Rozwiąż nierówność

Zadanie 12 (7 pkt).

Rozwiąż równanie


Marcin ma w szafie 10 garniturów, w tym 3 brązowe, oraz 6 par butów, w tym

2 pary brązowych. Codziennie do pracy wkłada garnitur. Jakie jest

prawdopodobieństwo, że Marcin pójdzie do pracy przynajmniej 3 razy w

tygodniu w brązowym garniturze i brązowych butach? Przyjmij, że tydzień ma

pięć dni roboczych. Garnitur i buty Marcin wybiera losowo.

Zadanie 14 (7 pkt). Rozwiąż równanie

Zadanie 15 (7 pkt).

Wyznacz i narysuj zbiór punktów płaszczyzny spełniających warunek

x2 + y

2 = 2|x| + 2y.

Zadanie 16 (6 pkt).

Długości podstaw trapezu równoramiennego wynoszą 4 i 6, a jego wysokość jest równa 2. Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu tego trapezu

wokół krótszej podstawy. Wykonaj odpowiedni rysunek.

©Irek.edu.pl 5


Zadanie 10 (8 pkt).

Dana jest funkcja f(x)= 3mx2- (m+1)x- 1. Rozwiąż metodą graficzną

nierówność f( |x|)≥ 0, wiedząc, że osią symetrii paraboli będącej wykresem

funkcji f jest prosta x=3

1.

Zadanie 11 (6 pkt).

Wykaż, że funkcja f(x) =2

3

−+

x

x jest różnowartościowa.

Zadanie 12 (4 pkt).

Dobierz taką wartość parametru a, aby funkcja f określona

wzorem

była ciągła w punkcie xo = 1.


Rozwiąż równanie

( ) ( )n

nnxxx

n 3963

123limlogloglog

23

9

2

99 ++++++

=+++∞→ K

K

Zadanie 14 (9 pkt).

Suma wysokości i promienia podstawy stożka wynosi 6. Wyznacz wysokość i promień podstawy stożka, dla których objętość tej bryły jest największa.

Zadanie 15 (5 pkt).

Rozwiąż równanie

Zadanie 16 (8 pkt).

Miara kąta zawartego między najkrótszym a najdłuższym bokiem pewnego

trójkąta wynosi 600. Oblicz długości boków tego trójkąta i długość promienia

okręgu na nim opisanego, wiedząc, że najdłuższy bok jest o 3cm dłuższy od

najkrótszego, a trzeci bok jest o 40% dłuższy od najkrótszego.

©Irek.edu.pl 6


Zadanie 11 (6 pkt).

Rozwiąż równanie ( )122 56log12

1log += xx


Zbadaj przebieg zmienności i wykonaj wykres funkcji

K+−+−= 753)( xxxxxf


Ze zbioru Z = x ∈ C : 32x+1

- 244. 3

x + 81 <0 losujemy ze zwracaniem trzy

liczby a, b, c i tworzymy funkcję y = ax2 + bx + c. Oblicz

prawdopodobieństwo zdarzeń: a) A — „otrzymana funkcja jest rosnąca w ℜ”

b) B „otrzymana funkcja jest parzysta”.

Zadanie 14 (8 pkt).

Znajdź wszystkie rozwiązania równania sin2x= |sinx| - sinx

należące do przedziału ππ 4,2 .

Zadanie 15 (4 pkt).

Sprawdź, czy przekształcenie P(x, y) = (-x, y), gdzie x, y ∈ R, jest izometrią. Zadanie 16 (4 pkt).

Pani Zosia zachorowała w Chinach na bardzo groźną chorobę zakaźną zwaną SARS. Ponieważ nie poddała się kwarantannie i leczeniu, w pierwszej

godzinie po przyjeździe do kraju zaraziła dwie osoby. Każda z nowo

zakażonych osób zaraża w ciągu następnej godziny kolejne dwie osoby.

Oblicz, po ilu godzinach na SARS zachoruje całe 1,5-milionowe miasto.

©Irek.edu.pl 7


Zadanie 12 (5 pkt).

Rozwiąż równanie 34x-1

+ 2 . 9

x - 9 =0.

Zadanie 13 (8 pkt).

Dana jest funkcja f(x) =12

2

−x

x

a) Wyznacz wzór funkcji g(x) = f(f(x)).

b) Określ dziedzinę funkcji g.

c) Wyznacz zbiór argumentów, dla których funkcja g przyjmuje wartości

ujemne.

d) Oblicz )(lim3

xfx→

.

e) Oblicz )(lim xfx ∞→

.

Zadanie 14 (7 pkt).

Rozwiąż równanie: cos3x - cosx = sin2x dla x ∈ π2,0

Zadanie 15 (6 pkt). Wykaż, że równanie x

3 + 2x + 7 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek

rzeczywisty.

Zadanie 16 (6 pkt). Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie

|x2 - 2x – 3| = m ma:

a) trzy rozwiązania dodatnie i jedno ujemne,

b) dwa rozwiązania dodatnie i dwa ujemne.


Rozwiąż układ równań:

Zadanie 18 (5 pkt).

Sklep zaopatruje się w owoce cytrusowe pomarańcze i cytryny tylko w dwóch

hurtowniach: H1 i H2, przy czym właściciel sklepu 40% towaru zamawia w

hurtowni H1, pozostałe 60% bierze z hurtowni H2. W tym tygodniu właściciel

kupił 12 kg cytryn i 48 kg pomarańczy w hurtowni H1 oraz 40kg cytryn i 50kg

pomarańczy w hurtowni H2. Pani Małgorzata kupiła 1 kg cytryn. Jakie jest

prawdopodobieństwo, że zakupione cytryny pochodziły z hurtowni H1?

©Irek.edu.pl 8


Zadanie 11 (6 pkt).

Rozwiąż równanie (|x – 1| - 3)sin4x + cos4x – 1

=1

Zadanie 12 (7 pkt). Udowodnij, korzystając z zasady indukcji matematycznej, że

Zadanie 13 (9 pkt).

a) Zbadaj liczbę rozwiązań równania x+5

4

−x = b+5 w zależności od

parametru b.

b) Wykonaj wykres funkcji y = f(b) określającej zależność liczby rozwiązań powyższego równania od parametru b.

c) Podaj wzór funkcji y = f(b).


Niech

Wyznacz zbiory A i B oraz A ∩ B.

Zadanie 15 (8 pkt).

Na podstawie definicji wykaż, że funkcja f(x)= x2 - 4x jest rosnąca dla

każdego x ∈ (2, ∞).

Zadanie 16 (8 pkt).

Mleko o objętości V0 należy wlać do naczynia w kształcie walca i przykryć pokrywą kołową. Wyznacz taki promień podstawy, aby na wykonanie

naczynia zużyć jak najmniej materiału.

©Irek.edu.pl 9

Zestaw 9. Poziom rozszerzony Zadanie 1.

Wiedząc, że tgα =3

4 i a ∈ (0,

2

π )„ sprawdź, że liczby:

sinα, cosα, tgα - 15

14 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Zadanie 2

Wiedząc, że wykres funkcji y = ax + b przechodzi przez punkt A = (6,4),

określ, dla jakich wartości parametru a ∈ R wykresy funkcji y = |x – 2| + 2

oraz y = ax + b nie mają punktów wspólnych.

Zadanie 3.

Dany jest wielomian: W(x) = x3 + 4mx

2 + 4m

2x.

Określ przedziały monotoniczności w zależności od wartości parametru m≥ 0.

Zadanie 4.

Wiedząc, że α, β, y są kątami trójkąta prostokątnego, oblicz wartość wyrażenia:

Zadanie 5. Boki trójkąta równobocznego o polu S podzielono na trzy równe części i na

środkowych z nich zbudowano trójkąty równoboczne. W otrzymanych

trójkątach dwa boki tak samo podzielono na trzy równe części i zbudowano na

nich trójkąty równoboczne. Tak możemy postępować w nieskończoność. Oblicz sumę pól wszystkich trójkątów.

©Irek.edu.pl 10

Zadanie 6. Z punktu A leżącego na okręgu poprowadzono dwie cięciwy równej długości

AK i AM. Wiedząc, że KM =4 i że punkty Ki M dzielą okrąg na dwie części w

stosunku 1:5, oblicz pole koła ograniczonego tym okręgiem.

Zadanie 7.

Odcinek o końcach w punktach A= (2, -3) i B = (6, 1) jest podstawą trójkąta równoramiennego, którego jedno z ramion zawiera się w prostej

x +2y - 8 = O. Wyznacz trzeci wierzchołek i pole tego trójkąta.

Zadanie 8.

Wykaż, że jeśli a∈ (1;∞) i b ∈(l;∞), to logab+logba ≥ 2.

Zadanie 9.

Prostokąt o wymiarach 5 i 12 zgięto wzdłuż przekątnej tak, że płaszczyzny

zawierające obie części prostokąta są prostopadłe. Po zgięciu wierzchołki

prostokąta wyznaczają czworościan. Oblicz objętość tego czworościanu oraz

pole powierzchni kuli opisanej na tym czworościanie.

Zadanie 10.

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy trzy różne liczby.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich suma jest liczbą parzystą?

b) Suma wylosowanych liczb jest parzysta. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

wszystkie wylosowane liczby są parzyste?

©Irek.edu.pl 11


Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 24n+1

+ 34n+1

jest podzielna

przez 5.

Zadanie 2.

Wykonaj wykres funkcji: x

xf 2

1log

2)( =

Dla jakich a ∈ R wykresy funkcji f(x) i g(x)= ax + 1 mają dwa punkty

wspólne?

Zadanie 3.

Dla jakich wartości parametru m ∈ R zbiorem rozwiązań nierówności:

013

222

2

>+−

++

mxx

xx

jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?

Zadanie 4.

Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia:

+−

++

xx

xx

2cossin

2sincos

π

π

W przedziale 2

,4

ππ.

Zadanie 5.

Z miejscowości A do miejscowości B jest 60 km. Rowerzysta na drodze z A

do B jechał ze średnią prędkością 30 km/h. Z jaką średnią prędkością powinien

wracać z B do A, aby średnia prędkość na całej trasie w obie strony

wyniosła 20

Zadanie 6.

Liczbę 12 przestaw w postaci sumy nieskończenie wielu wyrazów ciągu

geometrycznego o ilorazie q =3

2−

Zadanie 7.

Wykaż, że jeżeli trzy kolejne kąty czworokąta wpisanego w okrąg tworzą ciąg

arytmetyczny, to co najmniej dwa kąty tego czworokąta są proste.

©Irek.edu.pl 12

Zadanie 8. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)= 2x

3 - 3x

2 + 5 w punkcie

o odciętej x = 2

1−

Zadanie 9. Dane są punkty: A = (2, -3) i B = (6, 1). Na prostej y = -2 znajdź taki

punkt C, aby pole trójkąta ABC było równe 8.

Zadanie 10.

Podstawą czworościanu ABCS jest trójkąt prostokątny ABC o

przeciwprostokątnej AB = 20 cm i przyprostokątnej BC = 16 cm. Krawędź CS

jest prostopadła do płaszczyzny podstawy i ma długość równą krawędzi AC.

Punkty K, L, M, N są odpowiednio środkami krawędzi AC, BC, BS, AS.

Oblicz pole przekroju czworościanu płaszczyzną wyznaczoną przez punkty K,

L, M, N.

Zadanie 11.

Ośmioosobową grupę przedszkolaków pani ustawia w sposób losowy W pary

(jedna za drugą). Oblicz prawdopodobieństwo tego, że ustalona dwójka dzieci:

a) będzie stała ze sobą w jednej parze,

b) nie będzie stała ze sobą w jednej parze.

©Irek.edu.pl 13


Aby liczbę 373 przedstawić w układzie dwójkowym, dzielimy kolejno przez 2

tę liczbę, a następnie otrzymane ilorazy. Wyniki możemy ująć w następującej

tabeli:

Wynika stąd, że:

373=1.2°+0

.2

1 +1

.2

2+0

.2

3+1

.2

4 + 1

.2

5+1

.2

6 +0

.2

7+1

.2

8= 1011101012.

Przeprowadź analogiczne rozumowanie i przedstaw liczbę 237 w układzie

dwójkowym.

Zadanie 2.

Odległości przedmiotu i obrazu od soczewki spełniają zależność:gbf

111−=

gdzie:

f—ogniskowa soczewki,

g — odległość przedmiotu od soczewki,

b — odległość obrazu od soczewki.

Po przeprowadzeniu doświadczenia i wykonaniu pomiarów otrzymano

następujące wyniki:

b=73±0,5mm, g= 122±0,5mm. Oszacuj długość ogniskowej tej soczewki.

Zadanie 3.

Dla jakich wartości parametru b nierówność 53

52

++−−

bx

bx< O jest spełniona przez

wszystkie liczby rzeczywiste x takie, że |x|≤ 2?

Zadanie 4.

Wyznacz największy wyraz ciągu (an) określonego wzorem an = 100

22 +n

n

Zadanie 5. Rozwiąż równanie:

−=+2

3

5

289

4 2

2x

xx

x

Wskazówka. Warto zastosować podstawienie tx

x=−

2

3

Zadanie 6. Dane są zbiory:

A=(x,y): x≥0 i y≥0

B = (x,y) : y≤-√3x + √3 )

a) Zaznacz na płaszczyźnie współrzędnych zbiór A ∩B.

b) Wyznacz promień największego okręgu zawartego w A ∩ B.

©Irek.edu.pl 14

Zadanie 7. Znajdź liczbę x, która spełnia jednocześnie równanie:

( )( )[ ]axaxaxa

−++=∞→

23

lim

i nierówność x3>x

Zadanie 8. Trójkątna płytka ma szczelnie zakrywać róg prostopadłościennego pokoju, tak

jak to przedstawia rysunek.

Punkt A znajduje się w odległości 9cm od rogu, punkt B w odległości 12cm, a

C na wysokości 16cm nad podłogą. Znajdź długości boków trójkąta ABC i

oblicz jego pole.

Zadanie 9. Wykres funkcji wielomianowej czwartego stopnia jest symetryczny względem

osi y i przechodzi przez punkt P = (0,4), natomiast styczna do wykresu w

punkcie Q = (4,0) jest równoległa do osi x. Znajdź wzór, którym ta funkcja jest

określona i naszkicuj jej wykres.

Zadanie 10. Do prostokątnej tafli szkła o szerokości 4 dm przyłożono szablon w kształcie

paraboli, aby wyciąć fragment witraża. Z pozostałej części tafli artysta musi

jeszcze wykroić prostokąt o możliwie największej powierzchni. Opisaną sytuację przedstawia rysunek.

Podaj wymiary tego prostokąta.

Zadanie 11. Dwie kule o środkach A i B oraz promieniach równych odpowiednio 1 i 3

zawarte są w trzeciej, większej od nich kuli. Wykaż, że jeśli |AB| = 5, to

promień tej największej kuli jest większy lub równy 4,5.

©Irek.edu.pl 15


Korzystając z własności funkcji wykładniczej, uzasadnij, że równanie

3x + 4

x = 5

x ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zadanie 2.

Wykaż, że pole obszaru ograniczonego osią x oraz wykresami funkcji

f(x)= 26

−x

i g(x)=-x2+4x-3 jest mniejsze niż

3

4

Zadanie 3.

Suma n początkowych wyrazów pewnego ciągu (an) jest równa

Sn =4

3

4

1 n

+−

Wykaż, że: a1. a2

. a3

. …

.an =

( )n

nn

−−

⋅ 23 2

1

Zadanie 4.

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania:

02

3cos2

4sin2cos

4sin 22 =+−

+−+

+ xxxxππ

Zadanie 5.

Oblicz wartość wyrażenia x3 +

3

1

x wiedząc, że x +

x

1= 3.

Zadanie 6.

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których nierówność: 1 + log5(x

2 + 1) ≥log5(ax

2 + 4x + a) jest spełniona dla każdego x ∈ R.

Zadanie 7. Rozwiąż równanie:

w którym lewa strona jest zbieżnym szeregiem geometrycznym.

Zadanie 8.

Figurę geometryczną F opisaną nierównością: x

2+ y

2 + 2x - 4y + 1≤ 0

przekształcono symetrycznie względem osi Y. Oblicz pole figury będącej

sumą figury F i jej obrazu w podanej symetrii.

©Irek.edu.pl 16

Zadanie 9. Trzyosobowa komisja kwalifikuje pisarzy do finału literackiej nagrody Nike.

Pisarz zostaje zakwalifikowany, gdy wszyscy członkowie komisji zgodnie

poprą jego kandydaturę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu

kandydatów przynajmniej jeden znajdzie się w finale?

Zadanie 10.

Z ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi postawy długości 6 cm

i wysokości długości 6 cm wykonanego z cegły wycięto wpisany w niego

sześcian.

Czy otrzymana w ten sposób bryła będzie pływała w wodzie?

Uwaga. Ciało pływa w cieczy, gdy jego gęstość jest mniejsza niż gęstość cieczy. Gęstość wody p = 10

3 kg/m

3, gęstość cegły p = 1,5

. l0 kg/m

3. Masę

powietrza zawartego w otrzymanej bryle pomijamy.

©Irek.edu.pl 17


Niech α i β będą kątami przedstawionymi na poniższym rysunku. Oblicz cosβ,

wiedząc, że sinα =5

4

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie, którego lewa strona jest szeregiem geometrycznym:

Zadanie 3.

Wielkość gwiazdowa, tzw. magnitudo (w skrócie mag), jest to powszechnie

używana miara jasności widzialnej obiektów astronomicznych. Do

wyznaczania wielkości gwiazdowej służy wzór:

m = -2,5logE - 14,05,

gdzie:

m — wielkość gwiazdowa,

E — natężenie światła gwiazdy w luksach.

a) Gwiazda Polarna świeci z natężeniem 3,8.10

-7 luksa. Jaka jest wielkość

gwiazdowa Gwiazdy Polarnej?

b) Czy jaśniej świeci gwiazda o wielkości gwiazdowej 1 mag, czy o wielkości

2 mag?

c) Jeśli jedna z dwóch gwiazd świeci z natężeniem 100 razy większym niż druga, to o ile mag różnią się ich wielkości gwiazdowe?

Zadanie 4. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Wynik z pierwszej kostki zapisujemy jako

współrzędną x, z drugiej — jako współrzędną y. Otrzymujemy w ten sposób

punkt (x, y) w układzie współrzędnych.

a) Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymany punkt należy do okręgu:

(x - 3)2+ (y - 4)

2 =5.

b) Rzut powtarzamy. Jeśli otrzymamy ten sam punkt, kończymy

doświadczenie, jeśli inny, to przez oba punkty prowadzimy prostą. Jakie jest

prawdopodobieństwo, że w wyniku tego doświadczenia narysujemy prostą y = x — 2?

©Irek.edu.pl 18

Zadanie 5. Oblicz pole figury określonej układem nierówności:

Zadanie 6.

W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisany jest walec — jedna podstawa

walca jest zawarta w podstawie ostrosłupa, druga podstawa ma jeden punkt

wspólny z każdą ścianą boczną ostrosłupa. Krawędź podstawy ostrosłupa jest

równa wysokości ściany bocznej. Przy jakim stosunku wysokości

walca do wysokości ostrosłupa objętość jest największa?

Zadanie 7.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji, której wzór można zapisać w postaci:

f(x) = k(x - a)(x - b)( x- c).

Korzystając z wykresu, wyznacz wartości a, b, c i k. Podaj zbiór rozwiązań nierówności f(x)≤ x

2 + 3x. Naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(x-4) - 5 i oblicz

jej miejsca zerowe.

Zadanie 8. Funkcja f określona jest następująco:

Oblicz wartości parametrów k i m tak, aby funkcja była ciągła w całej swojej

dziedzinie. Narysuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości. Wyznacz

pochodną i narysuj jej wykres.

©Irek.edu.pl 19


Na podstawie przeprowadzonych badań stwierdzono, że 20 mężczyzn na

1000 i 3 kobiety na 500 posiada wadę wymowy. Spośród 20 losowo

wybranych osób — 10 kobiet 10 mężczyzn wybrano (także losowo) jedną osobę. Okazało się, że nie posiada ona wady wymowy. Jakie jest

prawdopodobieństwo, że był to mężczyzna?

Zadanie 14. Na rysunku przedstawiono wykresy Funkcji f i g.

a) Odczytaj rozwiązania równania f(x) = g(x).

b) Odczytaj rozwiązanie nierówności f(x) ≥g(x).

Zadanie 15. Określ liczbę rozwiązań układu równań

Zadanie 16. Znajdź takie wartości parametru a, dla których liczby:

są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Zadanie 17.

Rozwiąż graficznie równanie:

©Irek.edu.pl 20

Zadanie 18. Równanie

można rozwiązać, stosując metodę podstawiania, w następujący sposób:

Wobec tego dla x ≥-8:

Podstawiamy 8+x = t. Stąd

t2 - 6t + 5 = 0, gdzie t ≥0.

Zatem t1 = 1 lub t2 = 5. Wobec tego

Podnosząc obie strony tych równości do kwadratu, otrzymujemy rozwiązanie:

x = -7 lub x = 17.

Obie liczby spełniają warunek x ≥-8.

Rozwiąż podobnie równanie:

Zadanie 19.

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 4.

Kąt nachylenia płaszczyzny podstawy do płaszczyzny przechodzącej przez

krawędź podstawy i środek krawędzi bocznej ma 300. Oblicz kąt nachylenia

przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.

Zadanie 20. Dany jest punkt P = (0,4) i okrąg o równaniu:

x2 +y2 - 6x + 4 = 0.

Znajdź równania stycznych do tego okręgu przechodzących przez punkt P oraz

miarę kąta ostrego między tymi stycznymi.

Zadanie 21. Narysuj wykresy odpowiednich funkcji, a następnie rozwiąż nierówność:

Zadanie 22.

Dana jest funkcja f(x) =( )2

3

1 x

x

−

a) Zbadaj parzystość funkcji f.

b) Podaj równania asymptot wykresu.

c) Określ przedziały monotoniczności.

d) Wyznacz ekstrema.

©Irek.edu.pl 21


Dany jest trójmian kwadratowy:

Przedstaw iloczyn dwóch różnych rzeczywistych pierwiastków tego trójmianu

jako funkcję zmiennej m. Narysuj wykres tej funkcji i podaj jej zbiór wartości.

Zadanie 12.

Wyznacz liczbę rozwiązań układu równań:

w zależności od parametru a.

Zadanie 13.

Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego (an)

wynosi 28. Suma wyrazów ciągu utworzonego z wyrazów ciągu (an) o

numerach parzystych wynosi 12. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz ciągu (an).

Zadanie 14.

Narysuj wykres funkcji:

f(x) = log3 x,

a następnie, wykonując odpowiednie przekształcenia geometryczne, narysuj

wykres funkcji:

Zadanie 15.

Rozwiąż równanie:

Zadanie 16.

W trójkąt równoramienny wpisano okrąg i poprowadzono styczną do tego

okręgu równoległą do podstawy trójkąta. Pole utworzonego w ten sposób

trapezu stanowi 25

16 pola trójkąta. Oblicz cosinus kąta pomiędzy ramionami

trójkąta.

©Irek.edu.pl 22

Zadanie 17. Niech Z będzie zbiorem punktów o współrzędnych całkowitych należących do

okręgu x2 + (y - 4)

2 = 5. Losujemy dwa różne punkty ze zbioru Z i

prowadzimy przez nie prostą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

współczynnik kierunkowy tej prostej będzie równy 3?

Zadanie 18.

Podstawą graniastosłupa jest równoległobok o bokach długości 4 i 2 oraz

dłuższej przekątnej długości 2 7 . Długość krótszej przekątnej bryły wynosi

2 15 . Oblicz objętość graniastosłupa.

Zadanie 19.

Ile jest takich stycznych do wykresu funkcji

które mają współczynnik kierunkowy równy 8. Podaj równanie jednej z tych

stycznych.

©Irek.edu.pl 23


Dla jakich wartości parametru m wielomian:

ma pierwiastek potrójny? Dla najmniejszej z wyznaczonych wartości m

rozwiąż nierówność W(x) ≤0.

Zadanie 11.

Ciąg opisany jest wzorem rekurencyjnym:

Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu. Wykaż przez indukcję, że znaleziony

wzór jest zgodny z definicją rekurencyjną tego ciągu. Oblicz granicę ciągu.

Zadanie 12.

a) Logarytm dziesiętny pewnej liczby naturalnej wynosi w przybliżeniu 7,813

Ile cyfr ma ta liczba?

b) Wiedząc, że log 3≈ 0,477, oblicz, ile cyfr ma liczba 32005

Zadanie 13.

Wykaż, że jeśli w trapez równoramienny można wpisać okrąg, to pole

powierzchni tego trapezu wyraża się wzorem P = c2 sinα, gdzie α jest miarą

kąta ostrego trapezu, a c - długością ramienia.

Zadanie 14.

Punkty A i B są punktami przecięcia paraboli y = - 4x + 5 z prostą 2x + y - 8 = 0. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty

A i B, którego środek należy do prostej x + y - l = 0.

Zadanie 15.

Walczą ze sobą dwie florecistki: A i B. Zwycięża ta z nich, która pierwsza

osiągnie 15 trafień. Prawdopodobieństwo trafienia przez zawodniczkę A

wynosi 9

5, przez zawodniczkę B -

9

4 Jakie jest prawdopodobieństwo

zwycięstwa florecistki B, jeśli prowadzi ona 13:12?

©Irek.edu.pl 24

Zadanie 16. Mówimy, że wykresy funkcji są styczne, jeśli mają wspólną styczną w swoim wspólnym punkcie. Narysuj parabole

y= -x2 -8x – 7 i y =

2

1 x

2 - 2x – 1

i sprawdź, czy są one styczne.

Zadanie 17. Wyznacz zbiór wartości funkcji

f(x) = 5 sin2 x + 3 cos

2 x.

Zadanie 18.

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość a;

wysokość ściany bocznej wynosi 2a. Oblicz pole przekroju ostrosłupa

płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i przechodzącą przez środki

przeciwległych krawędzi bocznych.

©Irek.edu.pl 25


Wykaż, że jeśli suma trzech liczb jest podzielna przez 3, to także suma ich

sześcianów jest podzielna przez 3.

Zadanie 11.

Na poniższym rysunku przedstawiony jest trójkąt równoboczny i kwadrat.

Oblicz stosunek pola trójkąta do pola kwadratu.

Zadanie 12.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez

wierzchołek ostrosłupa i środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy.

Przekrój jest trójkątem równobocznym.

Oblicz miarę kąta pomiędzy płaszczyznami sąsiednich ścian ostrosłupa.

Zadanie 13.

Chcemy przedstawić liczbę 28 w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb

naturalnych dodatnich. Jeśli takie liczby istnieją, to

28 = m2 - n

2 = (m + n)(m - n) dla m,n ∈N

Liczby m i n możemy znaleźć następująco: zauważmy, że 28 = 2.14. Załóżmy,

że m + n = 14 i m - n = 2. Otrzymujemy więc układ równań

Po dodaniu stronami otrzymamy 2m = 16, zatem m = 8 i n = 6. Tak więc

28 = 82 - 6

2.

a) Stosując analogiczną metodę, przedstaw liczbę 33 jako różnicę kwadratów

dwóch liczb naturalnych.

b) Wykaż, że nie można w ten sposób przedstawić liczby 50.

c) Podaj warunek, jaki spełniają czynniki pierwsze liczby naturalnej, którą można przedstawić jako różnicę kwadratów dwóch liczb naturalnych.

©Irek.edu.pl 26

Zadanie 14. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej parzystej n liczba 13

n + 6 jest

podzielna przez 7.

Zadanie 15.

Rozwiąż nierówność, której lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego:

Zadanie 16. W urnie są 4 kule niebieskie i pewna liczba kul czerwonych. Losujemy 2 kule.

Prawdopodobieństwo, że będą to kule w tym samym kolorze, wynosi 5

3.

a) Ile jest czerwonych kul?

b) Wylosowano kule w tym samym kolorze. Jakie jest prawdopodobieństwo,

że są to kule niebieskie?

Zadanie 17.

Dobierz współczynniki a, b i c we wzorze funkcji f(x) = x3 + ax

2 + bx + c, tak,

aby spełnione były jednocześnie dwa warunki:

• wykres funkcji f przecina się z wykresem funkcji f ` w punkcie (-1,4),

• najmniejszą wartością funkcji f ` jest 3

14− .

Zadanie 18.

Znajdź dziesięć najmniejszych dodatnich rozwiązań równania tg 4x = sin 8x.

Uwaga do zadania 18. Znajomość wzorów na wielokrotności kąta funkcji

trygonometrycznych wykracza poza Podstawę programową, ale jest jednym z

wymagań egzaminacyjnych wymienionych w Informatorze maturalnym.

©Irek.edu.pl 27


Zadanie 1.(4p.) Młodzież pewnego liceum odpowiadała na pytanie ile razy w miesiącu

korzystasz z Internetu?”. Tabela przedstawia opracowane dane ankietowe.

Korzystając z danych w tabeli:

a) Oblicz średnią liczbę uczniów w klasach tego liceum.

b) Oblicz odchylenie standardowe liczby uczniów w poszczególnych klasach,

podając wynik z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

c) Oblicz średnią liczbę dni korzystania z Internetu przez uczniów tej szkoły,

przyjmując, że każdy uczeń w opisywanych grupach dziewcząt i chłopców

danej klasy korzysta z Internetu dokładnie tyle razy ile wynosi średnia dla

danej grupy. Wynik zaokrąglij do części całkowitej.

Zadanie 2. (4p)

Zdarzenia A,B Ω⊂ są niezależne. Wiedząc, że P(A)=3

1 , P(B`) =

2

1, oblicz

P(A`∪ B).

Zadanie 3. (6p.)

Wykaż, korzystając z zasady indukcji matematycznej, że dla każdego n∈ℵ+,

n ≥ 2 prawdziwa jest równość

Zadanie 4. ( 4p) Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

©Irek.edu.pl 28

a) Wiedząc, że prosta o równaniu y + 1 = 2(x - 1 0) jest styczną do

wykresu funkcji f, wyznacz punkt styczności.

b) Naszkicuj wykres funkcji g(x) = sgnf `(x). która przyjmuje wartość 1 gdy

pochodna jest dodatnia, wartość -1, gdy pochodna jest ujemna oraz 0 jeśli pochodna przyjmuje wartość 0.

Zadanie 5 (5p.)

W trójkącie ABC mamy: |AB| = 4, |AC| =6. Suma długości wysokości

opuszczonych na boki AB i AC jest równa długości wysokości opuszczonej na

bok BC. Oblicz obwód trójkąta ABC.

Zadanie 6. (5p.)

Wykaż, że funkcja f określona dla x ∈ R wzorem

jest nieparzysta.

Zadanie 7.(5 P.)

Dany jest nieskończony, malejący ciąg geometryczny (an). Oblicz sumę wszystkich jego wyrazów o numerach parzystych, jeżeli pierwszy wyraz jest

równy 2 oraz 116

13+− += nnn aaa dla n>2.

Zadanie 8. (8p.)

Wyznacz wartości parametru m ∈ R tak, aby równanie

(2m+2)x4 —(m+4)x

2 +1=0

miało cztery pierwiastki rzeczywiste, których suma kwadratów jest równa 2

5

Zadanie 9. (4P.) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest nachylona do

płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 30°. Odległość spodka wysokości

ostrosłupa od krawędzi bocznej ostrosłupa jest równa 2. Oblicz objętość tego

ostrosłupa.

Zadanie 10. (5 P.)

Ze zbioru 1, 2, 3, …, 2005 losujemy kolejno bez zwracania 5 liczb. tworząc

z nich w kolejności losowania ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to

ciąg rosnący.

©Irek.edu.pl 29


Zadanie 1. (3 P.)

Wiedząc, że

narysuj wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = max4 - x

2, 2 - x

dla x ∈<- 3;3>.

Zadanie 2. (5p)

Funkcja f określona jest wzorem:

Wyznacz wszystkie wartości parametru a ∈R, dla których funkcja f jest

ciągła w punkcie x =4.

Zadanie 3. (5p.) Środek masy układu dwóch punktów materialnych A, B o masach

równych odpowiednio m1, m2 to taki punkt S, że m1 SA + m2 SB =0

Korzystając z powyższej definicji, wyznacz współrzędne punktu

S — środka masy układu dwóch punktów materialnych A = (- 3. 3),

B =(7, - 2) o masach odpowiednio m1 =3, m2 =2.

Zadanie 4. (8 p.)

W kulę o promieniu długości 2 został wpisany stożek. Wśród wszystkich

stożków wpisanych w kulę istnieją dwa stożki o objętości 4 razy mniejszej od

objętości kuli. Oblicz, jakie długości mają wysokości tych stożków.

Zadanie 5.(4p.) Wiadomo, że proste AD, BE i CF są równoległe oraz że |AE| = 14, |DO| = 3.

|0C| =8, |BE| =6 i |CF| = 16. Korzystając z podanych na rysunku danych, oblicz

długość odcinka AO.

©Irek.edu.pl 30

Zadanie 7. (5 P.) Nieskończone ciągi geometryczne (an) i (bn) mają wszystkie wyrazy dodatnie,

ich pierwsze wyrazy są równe, iloraz ciągu (bn) jest 7 razy większy od ilorazu

ciągu (an) i suma wszystkich wyrazów ciągu (bn )jest 7 razy większa od sumy

wszystkich wyrazów ciągu (an). Oblicz ilorazy tych ciągów.

Zadanie 6. (6p.)

Dwa prostopadłe boki czworokąta ABCD mają równe długości i zawierają się w dodatnich półosiach układu współrzędnych. Prosta o równaniu y = 2x jest

symetralną jednego z boków czworokąta, a punkt A = (5, 0)—jednym z jego

wierzchołków. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków czworokąta.

Sporządź rysunek w układzie współrzędnych.

Zadanie 8. (5 P.)

Punkt D należy do przeciwprostokątnej równoramiennego trójkąta

prostokątnego ABC oraz |AD|:|DB| = 1 :2. Oblicz cos|∠ADC|. Sporządź rysunek.

Zadanie 9. (9 P.)

Wyznacz zbiór tych wszystkich par (x, y), dla których nierówność

ma sens, i zaznacz ten zbiór na rysunku 1. Następnie rozwiąż podaną nierówność i zbiór jej rozwiązań zaznacz na rysunku 2.

©Irek.edu.pl 31


Zadanie 1(7p.)

Liczby x1 , x2 są pierwiastkami równania

x2 - m

2x- n

2x+m•n=0. Wyznacz m i n, gdzie

Zadanie 2 (3 P.)

Aby napisać równanie prostej, do której należą punkty A = (-1, 2)

i B = (4, 6), postępujemy w następujący sposób:

o jeżeli punkt C = (x, y) należy do prostej AB, to AB jest równoległy do AC .

o istnieje t∈ R takie, że AB =t AC⋅ .

o [5.4] =[t(x+ 1),t(y—2)],

o t=1

5

+x i t=

2

4

−y,

o 4

2

5

1 −=

+ yx

o równanie prostej ma postać: 4x—5y+ 14=0.

Postępując w taki sam sposób, napisz równanie prostej, do której należą punkty A = (0, 5) i B = (- 3, 7).

Zadanie 3 (5 P.)

Funkcja f jest określona wzorem

f(x) =2cos2 x + cosx —l dla x π2,0∈ .

Wyznacz najmniejszą i największą wartość tej funkcji.

Zadanie 4 (4P.)

Naszkicuj wykres funkcji f(x) = |log(x - 1)| - 2. Korzystając z wykresu tej

funkcji, ustal liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od wartości

parametru m ∈ R.

Zadanie 5. (6 p.)

Oblicz pole trójkąta ograniczonego styczną do wykresu funkcji f(x) =x

a

(a > 0,x >0) i osiami układu współrzędnych.

Zadanie 6. (4 P.)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ściany bocznej

ma długość d. Miara kąta utworzonego przez przekątną ściany bocznej

i przekątną podstawy wychodzące z tego samego wierzchołka jest

równa α Oblicz objętość tego graniastosłupa.

©Irek.edu.pl 32

Zadanie 7. (8p.) Napisz równania stycznych do okręgu o równaniu x

2 + y

2 + 6x + = O

w punktach tego okręgu należących do osi OY. Oblicz pole czworokąta,

którego wierzchołkami są: środek okręgu, punkty wspólne okręgu i osi

OY oraz punkt przecięcia stycznych do tego okręgu.

Zadanie 8.(4P.)


Zadanie 9. (4 P.)

Zdarzenia losowe A oraz B są niezależne. Wiadomo, że P(A) = P(B) = P(B`).

Oblicz P(A`∩B`).

Zadanie 10. (5 P.)

W trójkąt równoramienny o podstawie długości a i kącie do niej

przyległym o mierze α wpisano prostokąt tak, że dwa jego wierzchołki

należą do podstawy trójkąta. Środek okręgu opisanego na tym trójkącie należy

do boku prostokąta przeciwległego do podstawy trójkąta. Oblicz pole

prostokąta.

©Irek.edu.pl 33


Zadanie 1. (5P.) Dane są zbiory:

Na płaszczyźnie z wprowadzonym prostokątnym układem współrzędnych

zaznacz zbiory A, B oraz A ∩B.

Zadanie 2 (6p.) Dany jest ciąg arytmetyczny(an), w którym a1 + a3 = - 34 i a2 —a3 = - 4.

Wyznacz liczbę n tak, aby suma n początkowych kolejnych wyrazów

tego ciągu była najmniejsza.

Zadanie 3 ( 8p) Naszkicuj wykres funkcji f określonej

f(x) = sin2x.|tgx|.

Z wykresu odczytaj i zapisz rozwiązania równania f(x) = 1.

Zadanie 4. (5 p.)

W stożek wpisana jest kula. Promień okręgu, który jest wspólną częścią powierzchni kuli i powierzchni stożka, ma długość r, kąt między tworzącą stożka i jego wysokością ma miarę α. Oblicz objętość stożka.

Zadanie 5. (6p.) Ze zbioru liczb 1, 2,3,.... 14 losujemy jednocześnie trzy liczby.

Opisz zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia losowego.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A — iloczyn wylosowanych liczb

jest podzielny przez 33.

Zadanie 6. (5P.) Zaznacz na płaszczyźnie z wprowadzonym prostokątnym układem

współrzędnych zbiór punktów (x,y). których współrzędne spełniają warunek

log(x + y) = logx + logy.

Zadanie 7. (8p.) Wyznacz pole trójkąta o wierzchołkach A = (0, x), B = (x, 3)., C = (1, 3) jako

funkcję f zmiennej x i naszkicuj jej wykres. Wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od wartości parametru m∈R.

Zadanie 8. (7p.) W okrąg o promieniu długości 10 wpisano czworokąt ABCD w taki sposób, że

przekątna AC jest średnicą tego okręgu i tworzy z bokiem AD kąt o mierze

300, a z bokiem AB kąt o mierze 45

0. Oblicz długość przekątnej BD tego

czworokąta oraz jego pole.

©Irek.edu.pl 34


Zadanie 1. (5p.)

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x3 — 3mx

2 — 3mx — 4.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R. dla których funkcja f jest

rosnąca w zbiorze liczb rzeczywistych.

Zadanie 2. (4p.)

Liczby a1, a2, a3…, an są wyrazami ciągu arytmetycznego takimi, że

a1= a i an = b. Wyraź w zależności od a, b, n sumę

Zadanie 3. (9p.)

Rozwiąż nierówność 1 + log

2 (sin2x) + log2

2(sin2x) + ... <0(6).

w której lewa strona jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu

geometrycznego i x ∈ (0; π).

Zadanie 4. (5 p.) Udowodnij, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości

przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków.

Zadanie 5. (8 p.)

Z półkuli o promieniu długości R wycinamy stożek, którego przekrój osiowy

jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej długości 2R. Następnie

prowadzimy płaszczyznę równoległą do podstawy stożka, która przecina

powstałą bryłę. Wyznacz odległość tej płaszczyzny od płaszczyzny podstawy

stożka tak, aby pole otrzymanego przekroju było największe.

Zadanie 6 (5 P.)

Wyznacz wartość parametru a ∈ R tak, aby suma sześcianów różnych

pierwiastków równania 6x2 + 6(a — 1)x — 5a + 2a

2 = O była największa.

Zadanie 7(3 P.) Aby rozwiązać układ równań

©Irek.edu.pl 35

można postąpić w następujący sposób:

• rysujemy trójkąt ABC o bokach długości 50, 60. 70;

• wpisujemy w ten trójkąt okrąg;

• odległości wierzchołków A, B. C od punktów styczności z okręgiem

oznaczamy x, y, z;

• korzystając z własności trójkąta opisanego na okręgu, otrzymujemy:

Postępując analogicznie, rozwiąż układ równań

Zadanie 8.(6 p.)

W okrąg o równaniu x2 + y

2 = 169 wpisano kwadrat ABCD. Wiedząc,

że A = (5, 12), oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków kwadratu.

Zadanie 9.(6 P.) Z koszyka, w którym jest dwa razy więcej kul czarnych niż białych,

losujemy dwa razy po jednej kuli bez zwracania. Opisz zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia losowego. Oblicz, ile jest kul

w koszyku, jeżeli prawdopodobieństwo wylosowania pary kul o różnych

kolorach jest nie mniejsze niż 22

9

©Irek.edu.pl 36


Zadanie 1. (3 punkty) Przyjmujemy, że k jest liczbą wszystkich podzbiorów 7-elementowych zbioru

15-elementowego. Sprawdź, czy:

a) liczba 9 jest dzielnikiem liczby k;

b) liczba 12 jest dzielnikiem liczby k.

Zadanie 2. (4 punkty) Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami czworokąta, gdzie A=(-6,1),

B=(-1,2), C=(2,9), a D jest obrazem punktu B w symetrii osiowej względem

prostej wyznaczonej przez punkty A i C. Oblicz współrzędne punktu D.

Zadanie 3. (4 punkty) Wyznacz a i b wiedząc, że funkcja f określona wzorem

przyjmuje w przedziale obustronnie domkniętym od -1 do 1 najmniejszą wartość dla x=0 i ta najmniejsza wartość jest równa 1. Uzasadnij, że dla

wyznaczonych a i b funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą dla x=0.

Zadanie 4. (5 punktów) Zdarzenia losowe A zawierające się w Ω i B zawierające sie w Ω sa takie, że:

Oblicz prawdopodobieństwo P(A'*B') oraz P(A'|B), gdzie * oznacza przecięcie

zbiorów. Zbadaj, czy A' i B' są zdarzeniami niezależnymi.

Zadanie 5. (6 punktów) Ciąg (an) jest określony wzorem rekurencyjnym

a) Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.

b) Uzasadnij, że ciągi określone za pomocą wyznaczonego wzoru i wzoru

rekurencyjnego są równe.

c) Zbadaj monotoniczność ciągu (an).

Zadanie 6. (7 punktów) Wyznacz wszystkie wartości parametru a zawartego w zbiorze liczb

rzeczywistych, dla których układ równań

©Irek.edu.pl 37

ma co najmniej trzy różne rozwiązania.

Zadanie 7. (9 punktów) Rozwiąż nierówność

gdzie lewa strona jest sumą kolejnych wyrazów pewnego ciągu

arytmetycznego.

Zadanie 8. (3 punkty) W trapezie, którego podstawy mają długości a i b, suma miar kątów

wewnętrznych trapezu przy podstawie a jest równa 900. Udowodnij, że

odcinek łączący środki podstaw trapezu ma długość równą a - b/ 2.

Zadanie 9. (8 punktów) Dany jest trapez prostokątny ABCD, gdzie

Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt BDA.

Wyznacz sumę kwadratów sinusów kątów wewnętrznych trapezu ABCD.

Zadanie 10. (11 punktów) Sześcian o krawędzi długości 1 przecięto płaszczyzną π przechodzącą przez

krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze

x, gdzie x zawiera się w przedziale obustronnie otwarty od ) do π / 2.

Oznaczmy przez f(x) pole przekroju sześcianu płaszczyzną π. a) Zbadaj różniczkowalność funkcji f.

b) Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstremum funkcji f.

c) Naszkicuj wykres funkcji f.

©Irek.edu.pl 38


Zadanie 10 (4p)

Dane jest równanie x2 + (m - 3)x - 4m = 0 z parametrem m.

a. Oblicz, dla jakich wartości parametru m równanie to ma dwa różne

pierwiastki.

b. Oblicz, dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne pierwiastki

o tym samym znaku.

Zadanie 11 (5p)

Sumę piętnastu początkowych wyrazów ciągu (an) określonego wzorem

an =nn ++1

1 można wyznaczyć w następujący sposób:

Zauważmy, że dla każdej liczby naturalnej n ≥1 zachodzi

Postępując podobnie, oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu (bn)

określonego wzorem bn =nn ++ 2

1

Zadanie 12 (6p)

Dany jest ośmiościan foremny o wierzchołkach A, B, C, D, E, F.

a. Naszkicuj ten ośmiościan.

b. Wskaż dowolną parę krawędzi prostopadłych, uzasadnij, że są one

prostopadłe.

c. Wypisz wszystkie pary krawędzi prostopadłych w ośmiościanie,

przyjmując, że para a,b jest równa parze b,a.

©Irek.edu.pl 39

Zadanie 13 (6p) Farmakokinetyka to dział farmakologii badający szybkość procesów

wchłaniania, dystrybucji i wydalania leków z organizmu. Przyjmijmy, że

stężenie f(t) pewnego leku we krwi pacjenta, mierzone w mg/litr, opisane jest

wzorem

f(t)= 2

1

232

t−

⋅

gdzie t to czas w godzinach, mierzony od chwili podania pacjentowi leku, przy

czym t≥ 1.

a. Wyznacz stężenie leku we krwi pacjenta dla t = 2; wynik zaokrąglij do

liczby całkowitej.

b. Oblicz, po jakim czasie od podania leku jego stężenie spadnie do poziomu

8 mg/litr.

c. Tworzymy ciąg (an) tak, że an = f (n) dla n ∈N+ udowodnij, że ciąg (an) jest

ciągiem geometrycznym o ilorazie q =2

2

Zadanie 14 (3p)

Rozwiąż nierówność x

x272 ≤

Zadanie 15 (5p)

Na okręgu o promieniu r obrano dwa punkty A i B tak, że podzieliły one okrąg

na dwa łuki o długościach odpowiednio 3

1 i

3

2 obwodu okręgu. Na krótszym z

tych łuków obrano punkt C tak, że |AC| = 10, |BC|=13.

a. Wyznacz |AB|.

b. Wyznacz r.

Zadanie 16 (lp)

Dana jest parabola opisana równaniem y = (x - 3)2 +1. Tworzymy trójkąty

ABC takie, że punkt A leży w początku układu współrzędnych, punkt B o

współrzędnych (xb, yb) leży na paraboli, punkt C ma współrzędne (xb, 0).

a. Napisz wzór funkcji P, określającej pole trójkąta ABC w zależności od xb

dla xb> 0.

b. Znajdź trójkąt o największym polu dla xb ∈ (0; 3); w odpowiedzi podaj

współrzędne punktu C.

©Irek.edu.pl 40

Zadanie 17 (3p)

Na podstawie danych z rysunku oblicz (sinα + cosα)2

Zadanie 18 (6p)

W poniższej grze wygrana przysługuje każdemu graczowi, który wylosuje

dwie kule zielone. Zasady gry:

gracz rzuca trzykrotnie symetryczną monetą. Jeżeli moneta upadnie

trzykrotnie na tę samą stronę, to gracz uruchamia maszynę losującą Ml; w

przeciwnym wypadku gracz uruchamia maszynę losującą M2. Każda

z maszyn losuje na raz dwie kule. W maszynie Ml jest 10 kul zielonych i 5

czarnych; w maszynie M2 są 2 kule zielone i 13 czarnych.

Oblicz prawdopodobieństwo wygranej tj. prawdopodobieństwo wylosowania

dwóch kul zielonych; wynik podaj w ułamku zwykłym.

Zadanie 19 (5p)

Dane są wyniki x1,x2,. . .,xn. Niech x oznacza ich średnią arytmetyczną, zaś s

oznacza ich standardowe odchylenie. Udowodnij twierdzenia:

a. jeżeli od każdego z wyników x1,x2,. . .,xn, odejmiemy tę samą liczbę rzeczywistą a, to średnia arytmetyczna tak uzyskanych wyników będzie

równa x - a,

b. jeżeli od każdego z wyników x1, x2,.. . , xn,, odejmiemy tę samą liczbę rzeczywistą a, to standardowe odchylenie nie ulegnie zmianie.

©Irek.edu.pl 41


Zadanie 10 (5p) Funkcja J dana jest wzorem f(x) = |x – 2| +|x + 3|.

a. Wyznacz przedział, w którym funkcja f jest stała.

b. Wyznacz równanie osi symetrii wykresu funkcji f

c. Sprawdź, czy funkcja f jest parzysta.

Zadanie 11 (6p) Dany jest kwadrat K o boku a. Dwie proste prostopadłe, przecinające się w

punkcie P należącym do przekątnej kwadratu K wyznaczają w tym kwadracie

dwa mniejsze kwadraty K1 i K2 i dwa prostokąty. Wyznacz, przy jakim

położeniu punktu P suma pól kwadratów K1 i K2 jest najmniejsza.

Zadanie 12 (5p) Figura A opisana jest układem nierówności

Narysuj w podanym układzie współrzędnych figurę A i wyznacz jej pole.

Zadanie 13 (4p)

Na rysunku naszkicowany jest wykres funkcji f (x) = a sin bx dla x ∈<O;2π>.

a. Na podstawie rysunku wyznacz wartości parametrów a i b.

b. Dla znalezionych wartości a i b ustal, ile punktów wspólnych ma wykres

funkcji g (x)= |a sinbx| + 4 z prostą o równaniu y=8 dla x∈<O;2π>.

Zadanie 14 (5p)

Zarząd pewnej spółdzielni mieszkaniowej postanowił, że mieszkańcy

wyższych pięter w blokach wielopiętrowych będą płacić za windę więcej, niż mieszkańcy pięter niższych. Ustalono, że mieszkańcy parteru są zwolnieni z

opłat za windę. Do rozliczania opłat za windę dla mieszkańców pięter od pierwszego do

ostatniego wprowadzono wzór

©Irek.edu.pl 42

gdzie P (k) oznacza procentowy udział mieszkańców piętra o numerze k w

całości kosztów windy w ich bloku; n oznacza liczbę pięter w bloku (np. jeżeli

n = 10, to blok jest dziesięciopiętrowy, czyli ma parter i dziesięć pięter).

Uzasadnij, że mieszkańcy każdego z bloków ponoszą całość kosztów

utrzymania windy w ich budynku.

Zadanie 15 (6p)

Funkcja f dana jest wzorem f (x)= 12 +

−

x

xmgdzie m jest parametrem.

a. Wyznacz pochodną funkcji f.

b. Wyznacz wartość parametru m, wiedząc, że dla x = 2 funkcja osiąga

minimum.

Zadanie 16 (5p) Dane są dwa okręgi O1 (S1,1) i 02 (S2,3), przy czym S1S2 = 8. Leżący na

odcinku S1S2 punkt P jest środkiem jednokładności, która przekształca okrąg

01 na okrąg 02.

a. Wykonaj rysunek.

b. Podaj skalę tej jednokładności.

c. Znajdź długość odcinka PS1.

Zadanie 17 (4p) Ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym wysokość jest równa 6 i krawędź podstawy jest równa 8, przecięto płaszczyzną, zawierająca krawędź boczną i wysokość przeciwległej ściany bocznej.

a. Wykonaj rysunek.

b. Oblicz pole przekroju.

c. Podaj w zaokrągleniu do pełnych stopni kąt nachylenia ściany bocznej do

podstawy ostrosłupa.

Zadanie 18 (5p) Oblicz, dla jakich wartości parametru p równanie kwadratowe

x2 + x + log4 p = 0 ma dwa różne pierwiastki.

Zadanie 19 (5p) Związek Ochrony Praw Konsumenta w pewnym kraju przeprowadził badania

jakości wód mineralnych podawanych w restauracjach. Badania ujawniły, że

w 10 % przebadanych restauracji zamiast wody mineralnej podaje się wodę z

kranu nasyconą dwutlenkiem węgla CO2. Oblicz prawdopodobieństwo, że

wśród 10 losowo wybranych restauracji w tym kraju w dokładnie jednej

podaje się wodę z kranu nasyconą dwutlenkiem węgla CO2 zamiast wody

mineralnej. Wynik zaokrąglij do 3 miejsc po przecinku.

©Irek.edu.pl 43


Zadanie 10 (3p)

Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji f danej wzorem

Zadanie 11 (6p)

Wyznacz długość łamanej, będącej częścią wspólną wykresu funkcji f danej

wzorem f (x) =|x| - 1 i kola o środku w początku układu współrzędnych i

promieniu 5.

Zadanie 12 (6p)

Funkcja f dana jest wzorem f (x)= mx2 + (m + 2)x -

4

1

a. Podaj, dla jakiej wartości parametru m funkcja f jest liniowa.

b. Oblicz, dla jakiej wartości parametru m funkcja f jest kwadratowa i ma

dokładnie jedno miejsce zerowe.

c. Sprawdź, czy poniższa równoważność jest prawdziwa; odpowiedź uzasadnij.

Funkcja f dana wzorem f (x)= mx2 + (m + 2)x -

4

1ma dokładnie jedno miejsce

zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ∈ R zachodzi f (x)≤ O.

Zadanie 13 (3p)

Rozwiąż równanie 4cos2x - 3 = O dla x ∈<-π,π>

Zadanie 14 (4p)

Wykaż, że dla n ∈ N+ prawdziwa jest równość

Zadanie 15 (7p)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), w którym a1 = 1, q = 0,2.

a. Sumę a1 + a2 + a3 +... wszystkich wyrazów ciągu (an) przybliżono sumą jego

pięciu początkowych wyrazów. Oblicz obie sumy i podaj błąd bezwzględny

przybliżenia.

b. Ile co najmniej początkowych wyrazów należy zsumować, aby błąd

przybliżenia był mniejszy niż 10-4

?

©Irek.edu.pl 44

Zadanie 16 (5p)

Wykaż, że styczne do wykresu funkcji f danej wzorem f(x) = x

2 poprowadzone

w punktach P1 = (1,2) i P2=(- 1,- 2) są równoległe.

Zadanie 17 (5p)

Trójkąt ABC (patrz rysunek) jest równoboczny.

Na podstawie rysunku wyznacz wartości a, b, c,

w poniższych równościach.

Zadanie 18 (5p)

Kieliszek ma kształt stożka, którego przekrój osiowy jest

trójkątem równobocznym.

a. Oblicz, jaką część pojemności kieliszka zajmuje wino

nalane do połowy wysokości kieliszka.

c. Oblicz, do jakiej wysokości należy napełnić kieliszek

winem, aby objętość wina była równa połowie pojemności

kieliszka; w obliczeniach przyjmij, że 8,02

13

≈

Zadanie 19 (6p)

Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie symetryczną kostką sześcienną, na której ściankach znajdują się cyfry 3, 4, 5, 6, 7, 8.

a. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma oczek uzyskanych w

dwóch rzutach nie przekracza liczby 14.

b. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że suma oczek uzyskanych w

dwóch rzutach jest równa 10 pod warunkiem, że w każdym z rzutów

uzyskano wynik, będący liczbą nieparzystą.

©Irek.edu.pl 45


Zadanie 11. (5 pkt.)

Oblicz największą wartość funkcji


Rysunek przedstawia sposób wpisywania kolejnych kwadratów — środki

boków danego kwadratu stają się wierzchołkami następnego kwadratu. Oblicz

obwód i pole piątego kwadratu.


Punkty A = (- 4, 3) i B = (6, 7) są symetryczne względem pewnej prostej k.

a) Wyznacz równanie prostej k.

b) Wyznacz obraz punktu P = (8, 2) w symetrii względem prostej k.


W trójkąt równoramienny, którego ramię jest równe 5 cm, a podstawa równa

się 6 cm, wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa jego wierzchołki leżą na

podstawie, a pozostałe leżą na ramionach trójkąta. Wyznacz obwód i pole

prostokąta jako funkcję jego wysokości.


Dana jest funkcja określona wzorem 13 2 += xy

Udowodnij, że dla każdego x ∈ R funkcja ta spełnia warunek: y ∗y′ - 3x = O.

©Irek.edu.pl 46

Zadanie 16. (7 pkt.) Okno ma kształt przedstawiony na rysunku, przy czym półkola i koło są oszklone szkłem koloru żółtego, a pozostała część szkłem koloru błękitnego.

Oblicz pole części oszklonej szkłem koloru błękitnego, wiedząc, że średnica

wielkiego półkola ma 0,8 m.


Soki owocowe rozlewane są do pudełek w kształcie prostopadłościanu, w

którym stosunek długości krawędzi podstawy jest równy 1 : 2, a objętość wynosi 11. Jaka powinna być wysokość pudełka, aby zużyć jak najmniej

materiału na jego wykonanie?


Wykaż, że funkcja f(x) jest nieparzysta.


Oblicz wartość wyrażenia

©Irek.edu.pl 47



Oblicz granicę:


Jakie powinny być boki prostokąta o obwodzie 100 m, aby jego pole było

mniejsze od 400 m2?


Napisz wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji

określonej wzorem f(x) =x2 — x —2 względem prostej y = 1.

Zadanie 15. (7 pkt.) Stosując zasadę indukcji matematycznej, wykaż, że dla każdej liczby

naturalnej dodatniej zachodzi równość:


Dany jest układ równań

a) Rozwiąż ten układ.

b) Dla jakich wartości parametru m rozwiązania x, y, z w podanej kolejności

tworzą ciąg arytmetyczny?


Mając dane współrzędne punktu C = (—5, 0) kwadratu ABCD oraz

współrzędne punktu przecięcia się przekątnych S = (1, 2), wyznacz

współrzędne pozostałych wierzchołków kwadratu ABCD.

©Irek.edu.pl 48

Zadanie 18. (7 pkt.) Wyznacz najmniejszą wartość funkcji:


Wiedząc, że


W pewnym szpitalu na oddziale położniczym badano wagę noworodków i

uzyskano następujące dane (w kg):

3,65 ; 4,0 ; 3,7 ; 3,9 ; 3,95 ; 3,75 ; 3,6 ; 3,7 ; 3,35 ; 3,4 ; 3,85 ; 3,15

4,25 ; 2,9 ; 2,85 ; 4,45 ; 3,7 ; 4,1.

a) Podaj najczęściej występującą wagę noworodków (dominantę). b) Oblicz średnią wagę noworodków.

c) Oblicz, jaki procent noworodków ma wagę poniżej 3 kg.

d) Podaj rozstęp wyników (różnica między największą a najmniejszą wagą). e) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany noworodek ma wagę powyżej 3 kg?

©Irek.edu.pl 49



Dane są zbiory:

Na płaszczyźnie współrzędnych zilustruj zbiory A ∩ B i A ∩ B`.


Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) = ax

2 + bx - 3. Suma miejsc

zerowych funkcji f jest równa 22

1, a suma odwrotności jej miejsc zerowych

jest równa —13

2.

a) Wyznacz współczynniki a i b.

b) Podaj zbiór wartości funkcji f

c) Określ przedziały monotoniczności funkcji f


Funkcja f określona jest wzorem

Rozwiąż równanie )(1

xfx

f =


Oblicz siódmy wyraz ciągu (an), jeżeli suma jego pierwszych n wyrazów jest

równa 5n2 - 4n + 1.


W kulę o promieniu długości R wpisano walec o największej objętości.

Wyznacz stosunek objętości kuli do objętości tego walca.

©Irek.edu.pl 50


W pojemniku znajduje się 200 wybrakowanych części. 60 sztuk odrzucono z

powodu wystąpienia wady A, 40 sztuk z powodu wady B, pozostałe z powodu

wady C. Każda część ma tylko jedną wadę. Oblicz prawdopodobieństwo, że

wybierając losowo z tego pojemnika 3 części, wybierzesz dokładnie:

a) po jednej części z każdą wadą, b) dwie części z wadą A,

c) dwie części z wadą B,

d) wszystkie części z tą samą jedną wadą. Zadanie 18. (5 pkt.)

Oblicz pole i obwód trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o równaniu

x2 +y

2 - 6x + l0y + 16=0.


Korzystając z następującego zestawu danych:

oblicz:

a) średnią arytmetyczną b) medianę i dominantę, c) wariancję i odchylenie standardowe zestawu danych.

©Irek.edu.pl 51



Dla jakich wartości parametru m miejsca zerowe funkcji

f(x) = (2m2 - 1)x

2 - 2mx + 1 spełniają warunek x1

2 +x2

2 >2?


Oblicz wartość wyrażenia


Basia postanowiła codziennie biegać. Pierwszego dnia biegała 20 minut, a

każdego następnego dnia o 5 minut dłużej.

a) Którego dnia Basia będzie biegać 1,5 godziny?

b) Po ilu dniach łączny czas biegania przekroczy 10 godzin?


Półkole o promieniu długości 1 zwinięto w stożek.

Oblicz:

a) miarę kąta rozwarcia przekroju osiowego stożka,

b) pole koła wpisanego w przekrój osiowy tego stożka.

Zadanie 15 (4pkt)

Dla jakiej wartości m wykres funkcji y = x + m ma co najmniej jeden punkt

wspólny z okręgiem o promieniu r, którego środkiem jest początek układu

współrzędnych?


Dwa wierzchołki prostokąta leżą na osi x, a pozostałe należą do paraboli o

równaniu f(x) = 4 – x2 i znajdują się powyżej osi x.

a) Podaj wzór funkcji opisującej pole tego prostokąta w zależności od jego

podstawy.

b) Dla jakiej długości podstawy pole tego prostokąta jest równe 6?

c) Dla jakiej długości podstawy pole tego prostokąta jest największe?

©Irek.edu.pl 52


Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji wykładniczej f

Rozwiąż nierówność: f(x + l)+ 3 f(x— 1)— 5f(x)+ 6<0.


Rozwiąż równanie:


Wiadomo, że zdarzenia A i B są niezależne oraz

©Irek.edu.pl 53



Wyznacz A∪B, A∩B, A\B, B\A zbiorów:


Działka leśna zawierała przed 15 laty 250 000 m3 drewna, a obecnie zawiera

350 000 m3. O ile procent przeciętnie wzrasta ilość drewna na tej działce w

ciągu roku (zakładamy stały przyrost procentowy)?

Zadanie 14. (5 pkt.) Suma współczynników a, b, c równania ax

2 + bx + c = O wynosi 24 Różnica

między tymi współczynnikami jest stała, a jednym z rozwiązań równania jest

liczba—3 Znajdź drugie rozwiązane tego równania.

Zadanie 15. (5 pkt.) Dla jakich wartości parametru p wielomian W(x) = x

3 — 3px + 9p —27 ma

trzy różne pierwiastki rzeczywiste?


W trójkącie ABC mamy |AB| = 6, |AC| = 12, | ∠BAC| = 120°.

Oblicz:

a) sin |∠ABC|,

b) obwód trójkąta ABC.

Zadanie 17. (5 pkt.) Oblicz objętość stożka wpisanego w kulę o promieniu długości R, wiedząc, że

kąt rozwarcia stożka ma miarę 2α.

Zadanie 18. (5 pkt.) Jaką wysokość i jaki promień powinna mieć puszka na konserwy w kształcie

walca o objętości 128π cm3, aby na jej wykonanie zużyć najmniej materiału?

Zadanie 19. (5 pkt.) Pogotowie ratunkowe dysponuje pewną liczbą karetek. Wciągu kilku miesięcy

pracy stwierdzono, że w ciągu doby dana karetka będzie na miejscu w bazie z

prawdopodobieństwem 0,4 jednakowym dla każdej karetki. Oblicz, ile karetek

musi mieć do dyspozycji pogotowie, aby w razie wypadku

prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jedna karetka była na miejscu w

bazie, było większe od 0,9.

Zadanie 20. (6 pkt.) Kasia w ciągu godziny zdradziła sekret Ani trzem koleżankom. Przyjmując, że

każda z koleżanek w ciągu kolejnej godziny opowie sekret Ani trzem innym

koleżankom (nie znającym go jeszcze), oblicz, po jakim czasie sekret będzie

znało ponad 360 osób (wynik podaj w pełnych godzinach).

©Irek.edu.pl 54


Zadanie 12. (7 pkt.) Suma miejsc zerowych funkcji kwadratowej f wynosi —3, a iloczyn miejsc

zerowych jest równy 4

7− . Do wykresu funkcji f należy punkt P (0, -7).

a) Znajdź wzór funkcji f

b) Dla jakich argumentów wartości funkcji f są ujemne?

c) Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f


Wykaż, że 2725725 33 =−−+

Zadanie 14. (4 pkt.) Czy ilustracje geometryczne zbiorów:

A=(x,y): x,y∈ℜ I x2+y

2=1, B=(x,y): x,y ∈ℜ i 21 xy −= ,

(x,y): x,y ∈ℜ i x2 +y

2 =1 i y ≤ O

są wykresami funkcji? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 15. (8 pkt.) Dana jest funkcja f(x) = (2x

2 - 1) (x + 1).

a) Rozwiąż równanie f(sin x) = O.

b) Rozwiąż nierówność f(2x) <2

x + 1.

Zadanie 16. (5 pkt.) Za 3 książki, których ceny tworzą ciąg geometryczny, zapłacono 76 zł.

Najdroższa z tych książek kosztowała o 4 zł mniej niż dwie pozostałe razem.

Ile kosztowała każda książka?

Zadanie 17. (8 pkt.) Dwóch równorzędnych przeciwników gra w szachy. Co jest bardziej

prawdopodobne:

a) wygranie dwóch partii z trzech, czy czterech partii z sześciu rozegranych,

b) wygranie nie mniej niż dwóch partii z trzech, czy nie mniej niż czterech

partii z sześciu rozegranych? (Remisów nie uwzględniamy).

Zadanie 18. (5 pkt.) W prostopadłościanie przekątna d jest nachylona do płaszczyzny podstawy

pod kątem β. Kąt pomiędzy przekątną podstawy i jej bokiem ma miarę α.

Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość prostopadłościanu.

Zadanie 19. (6 pkt.) Puszka na konserwy ma kształt walca. Jaką wysokość i jaki promień podstawy

powinna mieć puszka, aby przy objętości puszki 250 cm3 zużyć jak najmniej

materiału na jej wykonanie?

Zadanie 20. (4 pkt.) Dany jest okrąg o równaniu (x + 2)

2 + (y — 3)

2 = 12 oraz punkt A = (-2, 0).

Napisz równanie symetralnej odcinka, którego końcami są dany punkt A i

środek S danego okręgu.

©Irek.edu.pl 55


Zadanie 13. (8 pkt.) Dla jakich wartości parametru a równanie x

2 - 2x = 2x loga + log

2a - 1 ma dwa

różne pierwiastki dodatnie?


Sporządź wykres funkcji 1

22)(

−

−+=

x

xxf

Zbadaj ciągłość tej funkcji w punkcie x0 = -2.


Rzucamy dwiema kostkami sześciennymi. Oblicz prawdopodobieństwo

wyrzucenia sumy oczek równej 4 pod warunkiem, że bezwzględna wartość różnicy oczek wyrzuconych na poszczególnych kostkach jest równa 2.


Liczba x jest pierwiastkiem równania 2 log x = log (4x — 4), zaś z jest

pierwiastkiem równania 813 1

43

=−

+

z

z

.

a) Wyznacz liczbę y, tak aby liczby x, y, z były trzema kolejnymi wyrazami

ciągu geometrycznego.

b) Znajdź sumę sześciu początkowych wyrazów powyższego ciągu

geometrycznego.


Rozwiąż równanie: sinx +sin2x +sin3x = 4cosxcos2

xcos

2

3x.

Zadanie 18. (5 pkt.) Napisz równanie okręgu symetrycznego do okręgu o równaniu

x2 +y

2 - 4x - 10y + 20 = 0 względem prostej o równaniu x - 2y - 2 = 0.


Jeden z boków kwadratu ABCD jest zawarty w prostej o równaniu

2x –y -2 = 0. Wierzchołek A ma współrzędne (1, 5).

a) Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków tego kwadratu.

b) Oblicz pole kwadratu ABCD.


Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego kąt ostry ma miarę α.

Wszystkie krawędzie boczne mają długość k i są nachylone do podstawy pod

kątem o mierze β. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

©Irek.edu.pl 56



Utarg pewnego sklepu w ciągu tygodnia wynosi

2400 zł. Procentowy rozkład utargu w poszczegól-

nych dniach przedstawiono na diagramie kołowym.

a) Przedstaw dane w postaci diagramu słupkowego.

b) Oblicz średni utarg dzienny.

c) Jaki procent tygodniowego utargu stanowi utarg

w sobotę?


Wyznacz m i n, tak aby równanie x2 + 3mnx + (m

2 + n

2) = O miało dwa

rozwiązania; x1 = 1 oraz x2 = 5.


Wykaż, że jeżeli a ≥ 0 i b ≥ 0, to prawdziwa jest nierówność: (a

5 - 2a

4b + a

3b

2 + a

4b – 2a

3b

2 + a

2b

3) ≥0.


Uzasadnij, że układ równań:

ma dokładnie jedno rozwiązanie.


Oblicz sumę 1 - 4+7-10+13 -16+... „ gdy suma ta ma:

a) 2n składników,

b) 2n + 1 składników,

c) n składników.


Wyznacz obwód i pole trójkąta przedstawionego

na rysunku.


Rozwiąż nierówność logm (4- x2) ≥ logm (6x - 3) z niewiadomą x, wiedząc, że

liczba 1 należy do zbioru rozwiązań tej nierówności.

©Irek.edu.pl 57

Zadanie 19 (4pkt) Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji różniczkowalnej f. Podaj

rozwiązania równania f `(x)=0 należące do przedziału < -5;7>.


Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez

przekątną dolnej podstawy i środki dwóch krawędzi drugiej podstawy. Oblicz

pole i obwód otrzymanego przekroju.

©Irek.edu.pl 58



Sporządź wykres funkcji f(x) = |x + 3| - 2.

a) Wyznacz taki wektor →

v o jaki należy przesunąć wykres funkcji f aby

otrzymać wykres funkcji parzystej.

b) Udowodnij, że funkcja otrzymana w wyniku przesunięcia wykresu funkcji f

o wektor →

v jest funkcją parzystą.


Dane jest przekształcenie P(x, y) → P(2y, - x + 1). Oblicz pole trójkąta

będącego obrazem trójkąta ABC o wierzchołkach A= (0, 0), B = (0,2),

C = (-2, -1) w tym przekształceniu. Sprawdź, czy przekształcenie P jest

izometrią. Zadanie 14. (4 pkt.)

Oblicz granicę: Zadanie 15. (6 pkt.)

a) Sporządź wykres funkcji:

b) Na podstawie wykresu funkcji ustal liczbę pierwiastków równania f(x) = k

w zależności od parametru k.


Wyznacz dziedzinę funkcji f(m) = 21

11

xx+ , gdzie x1, x2 są różnymi

pierwiastkami równania x2- 2x + m

2 -3 =0.


Rozwiąż równanie

©Irek.edu.pl 59

Zadanie 18. (6 pkt.) W sześcianie o boku długości a wybieramy losowo cztery wierzchołki.

a) Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrane punkty będą wierzchołkami

prostokąta.

b) Oblicz sumę pól wszystkich takich prostokątów.


Napisz równanie stycznej do krzywej f(x) =4 - x3, wiedząc, że jest ona

równoległa do prostej 3x +y = 5.


Wódz indiański wysłał trzech zwiadowców na zachód, północ i wschód.

Każdy z nich oddalił się o 5 km od obozu i miał w zasięgu wzroku teren o

promieniu 5 km.

a) Jaki obszar kontrolują zwiadowcy?

b) O ile zmniejszy się kontrolowany teren, jeśli jeden ze zwiadowców zostanie

pojmany przez wrogie plemię (rozpatrz dwa przypadki)?

©Irek.edu.pl 60



Średnia arytmetyczna liczb a i b jest równa 13

9a. Ile wynosi

a

b?


Dla jakich a i b funkcje


Dane są funkcje: f(x) = mx2 + 1 oraz g(x)= logax.

Wiedząc, że do wykresu funkcji f należy punkt A = (-2, -3), a do wykresu

funkcji g należy punkt B = (9, 2), wyznacz:

a) wzory funkcji f i g oraz sporządź ich wykresy,

b) zbiór tych argumentów, dla których g(x) <f(x).


Dany jest trójkąt o bokach długości 3, 6 i 7. Oblicz:

a) pole danego trójkąta,

b) długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 16. (6 pkt.) Wyznacz przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji

f(x) = 2

3

3 x

x

− .


Pole przekroju osiowego stożka jest równe 9 3 . Tworząca stożka jest

nachylona do podstawy pod kątem o mierze 30°. Oblicz objętość i pole

powierzchni bocznej tego stożka.


a) Napisz równanie okręgu o promieniu długości r = 5 wiedząc, że do okręgu

należą punkty A=(5,l) „ B=(1,3).

c) Napisz równanie stycznej do okręgu poprowadzonej w punkcie A.


Dane są zbiory: A = x: x∈R i ( ) 028log 2

3

1 ≥++ xx ,

B=x: x∈ R i 3x+1

+3x - 1

<30

Wyznacz zbiory: A∪B , A∩B „ A`∩B`.

Zadanie 20. (6 pkt.) Dana jest funkcja określona wzorem f(x) = cos 2x - (1 - sin x).

a) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f w przedziale <- π; π>.

b) Rozwiąż nierówność f(x)> 0 w przedziale <- π; π>.

©Irek.edu.pl 61



Niech 1 oznacza iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych. Wykaż, że

1 + 1 jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.


Miejscem zerowym funkcji f(x) = ax + b jest liczba log24, a współczynnik

kierunkowy jest równy granicy ciągu an, gdzie an = nnn −+ 32

Sporządź wykresy funkcji:

a) y= - f(x),

b) y = f( - x)


Dana jest funkcja f(x)=( )

22

23

xx

x

−

−.

a) Rozwiąż nierówność f(x) ≤ x.

b) Ustal liczbę rozwiązań równania |f(x)| = m w zależności od parametru m.


Rozwiąż równanie, w którym lewa strona jest sumą zbieżnego szeregu

geometrycznego


Oblicz bez użycia kalkulatora cos4 105° - sin

4 105°.


Robert znalazł w garażu kwadratowy arkusz blachy o długości 3 dm. Chce z

niego zbudować pojemnik w kształcie prostopadłościanu. Poprosił o pomoc

ojca. Razem zastanawiają się, jakie kwadraty należy wyciąć w narożnikach

arkusza, aby objętość pojemnika była największa. Pomóż im rozwiązać ten

problem.

©Irek.edu.pl 62


Wyznacz współrzędne punktów wspólnych prostej o równaniu -x + y -2 = 0 i

okręgu o środku S = (-3, 2) i promieniu długości 3.


Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość bryły, która powstaje w wyniku

obrotu rombu o długości a i kącie ostrym α wokół prostej zawierającej jeden z

boków tego rombu.


Dwaj strzelcy trafiają do celu z prawdopodobieństwem równym 0,8 i 0,7.

Strzelcy oddają po jednym strzale. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel

zostanie trafiony:

a) dwa razy,

b) dokładnie raz,

c) co najwyżej raz.


Rozwiąż równanie 2

1loglog 2

4

1 −=⋅ xx

©Irek.edu.pl 63



Korzystając z wykresu funkcji y =f(x), wyznacz liczbę pierwiastków równania

f(x) = m w zależności od parametru m i sporządź wykres tej zależności.


Budując halę sportowa, należy wykopać pod fundamenty ziemię o objętości

8000 m3. Przed rozpoczęciem prac skrócono termin prac o 5 dni i przez to

dzienna norma wykopu ziemi wzrosła o 80 m3. Ile dni trwały prace? O ile

procent podwyższono normę?


Dana jest funkcja f(x) = 3

1062

+++

x

xx

a) Wyznacz asymptoty wykresu funkcji f

b) Określ przedziały monotoniczności tej funkcji.

c) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f


Rozwiąż nierówność: sin2x < 1 - cos x dla x ∈ <0; 2π>.


Rozwiąż nierówność: 42

14

≤

+

x

x


Dany jest okrąg (x - 2)2 + (y - 1)

2 = 3,

a) Oblicz pole rombu opisanego na tym okręgu, jeśli kąt ostry rombu ma miarę 60

0.

b) Oblicz długości przekątnych rombu.

c) Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg.

©Irek.edu.pl 64

Zadanie 19. (6 pkt.) Zbadaj monotoniczność i oblicz granicę ciągu (an), gdy


Przekątna prostopadłościanu o długości d tworzy z odpowiednimi ścianami

bocznymi kąty o miarach α i β. Wyznacz objętość tego prostopadłościanu.



Rzucamy pięć razy monetą. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba

wyrzuconych orłów?

©Irek.edu.pl 65



Dany jest wielomian W(x) = -x4 + ax

3 + 7x

2 + bx - 12.

a) Wyznacz a i b, wiedząc, że wielomian W jest podzielny przez trójmian

P(x) = x2+ 3x + 2.

c) Dla wyznaczonych a i b rozwiąż nierówność W(x) ≥ 0.


Podaj ilustrację graficzną równania logy x + logx y =3

10


Dla jakich wartości parametru m liczby sin α i cos α są pierwiastkami

równania x2 + mx -

4

1 = 0?

Zadanie 14. (5 pkt.) Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości a. W trójkąt ten wpisujemy

trójkąty równoboczne w ten sposób, że wierzchołkami nowego trójkąta są środki boków poprzedniego trójkąta.

a) Oblicz pole dziesiątego trójkąta.

b) Oblicz sumę pól wszystkich utworzonych w ten sposób trójkątów.


Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = 12 −x w punkcie x0 = 5.


Rozwiąż nierówność 2|x-1|+1 + 2

2|x-1| + 2 > 6.

Zadanie 17. (4 pkt.) Z talii 24 kart losujemy 3 razy ze zwracaniem po jednej karcie. Oblicz

prawdopodobieństwo, że co najmniej 2 razy wylosujemy kiera.

Zadanie 18. (6 pkt)

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 4

π. Jaki jest kąt wycinka kołowego, który po

zwinięciu tworzy powierzchnię boczną tego stożka?

Zadanie 19. (5 pkt.) Dane są wierzchołki A = (-6, 2) , B = (2, -2) trójkąta ABC oraz punkt

H = (1, 2), w którym przecinają się wysokości tego trójkąta. Oblicz

współrzędne trzeciego wierzchołka trójkąta.

©Irek.edu.pl 66



Dla jakiego parametru m rozwiązaniem układu równań

jest para liczb o przeciwnych znakach? Wyznacz tę parę.

Zadanie 13. (4 pkt.) Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, wiedząc, że jej najmniejsza wartość wynosi - 1, a największa wartość funkcji w przedziale <2; 4> jest o 6 większa

od najmniejszej wartości w tym przedziale. Wykres funkcji kwadratowej jest

symetryczny względem osi y.

Zadanie 14. (4 pkt.) Liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu

W(x) = x4 - 3x

3 - 3x

2 + ax + b.

Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian (x — 2).


Dane są liczby:

a) Wyznacz wyraz a1 i różnicę r, wiedząc, że liczba a jest piątym wyrazem,

natomiast liczba b dwunastym wyrazem ciągu arytmetycznego.

b) Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.


Oblicz cos 2x, wiedząc, że cos x = ( )624

1+


Pole trójkąta prostokątnego jest równe 39 cm2, a wysokość poprowadzona z

wierzchołka kąta prostego tego trójkąta ma 6 cm długości. Oblicz obwód tego

trójkąta.


Wyznacz wartości parametru a, tak aby okręgi:

(x — 3)2 + (y - 2)

2 = 4 i (x - a)

2 + (y + 2)

2 = 9 były styczne zewnętrznie.

©Irek.edu.pl 67

Zadanie 19. (6 pkt.) Rysunek przedstawia przekrój osiowy stożka. Wiedząc,

że miara kąta α jest równa 3

π oblicz miarę kąta wycinka

kołowego, który po zwinięciu tworzy powierzchnię boczną tego stożka.


Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej 10n + 4

n - 2 jest liczbą podzielną

przez 3.

Zadanie 21. (5 pkt.) Uzasadnij, że prosta o równaniu 3x – 4y- 1 = 0 jest styczna do wykresu funkcji

f określonej wzorem f(x)= 53 −x

©Irek.edu.pl 68



Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym


Wiedząc, że 2,6< 7 < 2,7 ‚ oszacuj wartość wyrażenia 3

27 +

Zadanie rozwiązujemy następująco:

Postępując podobnie, uwolnij od niewymierności, a następnie oszacuj wartość

wyrażenia 27

372

−

+


Dla jakich wartości parametru a równanie ax2 - (a - 3)x + 1 = O ma dwa

pierwiastki różnych znaków?


Dany jest wielomian W(x) = 6mx3 — 1 3mx

2 + 1 3m —6. Dla jakiej wartości

parametru m pierwiastkiem wielomianu jest parametr m?

©Irek.edu.pl 69

Zadanie 15. (7 pkt.) Dany jest trójkąt ABC o wierzchołkach A = (2, —3), B = (4, 2) oraz wektor

AB = [6, 8].

a) Oblicz pole trójkąta ABC.

b) Wyznacz współrzędne obrazów wierzchołków trójkąta ABC w

jednokładności o środku w punkcie O(O,O) i skali k=3.

Zadanie 16. (5 pkt.) Dana jest funkcja f(x) = - x

3-px

2+ 5x- 2.

a) Znajdź taką wartość p, dla której funkcja f osiąga minimum w punkcie x =5.

b) Dla wyznaczonego p podaj przedziały monotoniczności funkcji f


Harcerze zorganizowali biwak. Dziewczyny zabrały się do gotowania zupy.

Wspólnymi siłami przygotowały pyszną grochówkę. Zupa znajdowała się w

kotle w kształcie walca o średnicy 8 dm i wysokości 6 dm. Kocioł wypełniony

był grochówką aż po same brzegi. Chochla miała kształt półkuli o promieniu 7

cm. Harcerze i kadra dostali po dwie chochle zupy. Czy wystarczyło zupy dla

210 harcerzy i 9 osób kadry? Jeśli nie wystarczyło, to ile zabrakło chochli

zupy i dla ilu harcerzy?


Sporządź wykresy funkcji f(x) = ax oraz g(x)= logb x, wiedząc, że a jest

rozwiązaniem równania log5 (2a + 4) = 1, zaś b rozwiązaniem równania

( ) 2

123

25,02

1 +−

=

b

b

a) Sprawdź, czy punkt P =(2, )4

1 należy do wykresów obu funkcji.

b) Dla jakich x spełnione są nierówności: f(x) <g(x) ; g(x) <0 ; f(x)> 2?


W urządzeniu jest 5 lamp. Prawdopodobieństwo przepalenia się lampy w

wyniku przepięcia w sieci wynosi 0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w

następstwie przepięcia:

a) nie przepali się żadna lampa,

b) przepali się jedna lampa,

c) przepalą się trzy lampy?

©Irek.edu.pl 70

Zestaw 42 . Poziom rozszerzony


Uporządkuj rosnąco liczby:


Dana jest funkcja f(x)=(p—1)x2—4px+2p—3.

a) Dla jakich p nierówność f(x) <O jest spełniona dla każdego x∈ℜ

b) Dla p = —1 , wyznacz największą wartość funkcji f


Dany jest wielomian W(x)= x4 + 3x

3 + 3x

2 + 8x + 12.

a) Wykaż, że liczba —2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W

b) Rozwiąż nierówność W(x) < 12 + 8x —x3.


Ile wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym a1 = —20 ,2log

16log

5

5=r , należy

dodać, aby suma początkowych wyrazów tego ciągu była równa granicy ciągu


Funkcja f określona jest wzorem f(x) = 2−

−x

bax gdzie

a = [tg2 3O° + ( 1— sin 45

0 )(l +sin 45

0 )

.ctg120

0 +

18

49 ,

b jest większym pierwiastkiem równania x3 — 9x

2 —x + 9 = O.

a) Dla wyznaczonych wartości a i b sporządź wykres funkcji y =f(|x|).

b) Na podstawie sporządzonego wykresu funkcji y =f(|x|) określ liczbę pierwiastków równania f(|x|) = m w zależności od parametru m.


Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych

jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym

trójkącie.

©Irek.edu.pl 71

Zadanie 18. (5 pkt.) Suma długości promienia i wysokości stożka jest równa 12.

a) Dla jakich wartości r i h objętość stożka jest największa?

b) Oblicz największą objętość tego stożka.


Dany jest okrąg k1 o równaniu x2+y

2+6x+5=O oraz okrąg k2 o równaniu

x2+y

2—12x+8y+27=0. Oblicz współrzędne środka i skalę jednokładności, w

której obrazem okręgu k1 jest okrąg k2.


Trzy zakłady produkują towar, który pakowany jest w zestawach po 50 sztuk.

Prawdopodobieństwo wyprodukowania towaru bez wad przez te zakłady jest

odpowiednio równe: 0,98 ; 0,96 ; 0,94.

a) Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wzięta sztuka spośród sztuk

pochodzących z różnych zakładów jest uszkodzona.

b) O ile więcej sztuk wadliwych w jednym zestawie pochodzi z zakładu

trzeciego niż z zakładu pierwszego?

©Irek.edu.pl 72



Wiedząc, że a> O i b> 0, sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie:


Znajdź argumenty, dla których funkcja f(x) = x4— 4x

2 + 5 osiąga wartość

najmniejszą oraz podaj tę wartość. Zadanie 14. (5 pkt.)

Dla jakiej wartości parametru m wartość ułamka 1

12

2

++

+−

xx

mxx jest większa od - 3

dla każdego x ∈ R?


Ciąg liczbowy (an) określony jest wzorem ( )( ) 441

4322

2

++−

++−

nnk

nnk gdzie k jest

parametrem.

a) Dla jakich wartości k granicą ciągu jest liczba 4?

b) Wykaż, że dla k= 1 ciąg jest malejący.


Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych i styczną do

paraboli f(x) = 9—x2 w punkcie P = (2, 5).

Zadanie 17. (5 pkt.) Ołowiany stożek, którego przekrój jest trójkątem równobocznym o boku

długości 8 3 cm, przetopiono na kulę. Oblicz objętość i pole powierzchni tej

kuli.

Zadanie 18. (8 pkt.) Punkty A = (5, 6) i B = (—1, 3) są końcami jednej z wysokości trójkąta

równobocznego. Napisz równania okręgów opisanego na trójkącie oraz

wpisanego w ten trójkąt, wiedząc, że punkt B nie jest jego wierzchołkiem.


Rozwiąż równanie log16 x + log8 x + log4 x + log2 x =83

1.

Zadanie 20. (7 pkt.) Mając dane: P(A) = 0,9 , P(B/A`) = 0,75 , P(B/A) = 0,95 , oblicz P(B).

©Irek.edu.pl 73



Dla jakiej wartości x logx272 jest o 4

11 większy od logx8,5?


Dana jest funkcja 196)( 2 −++−= xxxxf

a) Sporządź wykres funkcji f

b) Sporządź wykres funkcji g(x) = - f(x)

c) Rozwiąż nierówność g(x) ≥ —4.


Napisz równania stycznych do wykresu funkcji f(x) =1

1

+−

x

x i równoległych do

prostej o równaniu y=2x+ 1.


W zależności od parametru m wyznacz liczbę punktów wspólnych okręgu

(x — 1)2 + (y + 3)

2 = 3 i prostej x + y — m = O. Dla m = 1 wykonaj ilustrację

graficzną. Zadanie 16. (3 pkt.)

Oblicz liczbę składników sumy:


Rozwiąż równanie 4 sin2x + sin

22x = 3.


Dany jest trójkąt ABC o bokach długości: 6, 2 5 i 4 2 .

a) Oblicz wartość kosinusa największego kąta.

b) Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 19. (5 pkt.) Szklankę o średnicy 0,3 dm napełniono pepsi—colą do wysokości 2 cm od

górnej krawędzi. Ile kulistych kostek lodu o średnicy 2 cm można wrzucić do

tej szklanki, nie powodując rozlania napoju?

Zadanie 20. (5 pkt.) Pewna gra polega na jednoczesnym rzucie kostką sześcienną i monetą symetryczną. Wygrywamy wtedy, gdy otrzymamy szóstkę na kostce i orła na

monecie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że grając trzy razy, przynajmniej raz

wygramy?

©Irek.edu.pl 74


Zadanie 11. (5 pkt.) Która z liczb a, b, c jest liczbą parzystą:


Wykaż, że dla dowolnego całkowitego m liczba

6

1 . [3m(m + 3) (2m

2 + 6m + 4) +6] jest kwadratem liczby całkowitej.


Oblicz współczynniki a, b i c funkcji f(x) = ax2 + bx + c, wiedząc,

że x1 + x2 = 4 i x1.x2 = —3, natomiast współczynnik a funkcji f jest

mniejszym pierwiastkiem równania 2x2 — 18x = —28.


Rozwiąż nierówność:


Dla jakich wartości parametru m pierwiastkami równania

(x2 — 2mx +m

2 — 1) (x — 1) =0 są trzy kolejne liczby nieparzyste?


Oblicz pole i obwód figury F, gdzie

F= ((x,y):x ∈ R i y∈ R i 1og32(x

2 +y

2)—3 log3 (x

2 +y

2)+2 ≤ 0.

Zadanie 17. (6 pkt.) Dane są okręgi: o1(S1, 1) i o2(S2, 1), gdzie S1 = (3, —1) i S2 = (k, —1).

a) Napisz równanie okręgów i 02.

b) Dla jakich wartości parametru k okręgi 01 i 02 są rozłączne?

c) Przekształć okręgi 01 i 02 w symetrii względem punktu O = (0, 0) i napisz

równania obrazów okręgów 01 i 02, przyjmując k = —1.


Z wierzchołka kwadratu o boku długości 10 narysowano okrąg, tak że punkty

przecięcia okręgu z kwadratem oraz środek tego okręgu utworzyły trójkąt równoboczny. Znajdź długość promienia tego okręgu.

Zadanie 19 ( 6pkt) Jaką największą objętość ma walec wpisany w kulę o średnicy długości 12 cm.

©Irek.edu.pl 75



Dane są zbiory:

Wyznacz zbiory: A ∪ B` , A ∩ B.


Dla jakich liczb całkowitych a liczba aa

aa

2

322

23

−

+− jest także liczbą całkowitą?


Wykaż, że długość przekątnej kwadratu o boku długości

−−+ 26112611 jest liczbą naturalną. Oblicz obwód i pole tego

kwadratu.


Dane są funkcje :f(x)=x2—2(m+3)x—3m+1 i g(x) = x

2+2kx+2k—3.

a) Dla jakich wartości parametrów m i k wykresy funkcji f i g są symetryczne

względem osi x?

b) Dla wyznaczonych wartości m i k napisz postać kanoniczną funkcji f i g.


Wyznacz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w asymptotach

wykresu funkcji f(x) =2

43

−−

x

x , a trzeci bok zawiera się w stycznej do wykresu

tej funkcji w punkcie (1, 1).


Pole przekroju osiowego stożka jest równe P, a kąt rozwarcia stożka ma

miarę α. Oblicz objętość tego stożka oraz jego pole powierzchni bocznej.

©Irek.edu.pl 76

Zadanie 18. (5 pkt.) W ciągu arytmetycznym różnica r jest równa liczbie

natomiast wyraz pierwszy a1= ( )2

12 −

a) Wyznacz wzór na wyraz ogólny tego ciągu.

b) Oblicz sumę 10 początkowych wyrazów tego ciągu.


Rozwiąż równanie cos 2x + cos x =k2 + 4m + 3, wiedząc, że k jest

pierwiastkiem równania


Rozwiąż nierówność ( ) 05loglog 2

4

2

1 ≥− x

©Irek.edu.pl 77


Zadanie 12. (3 pkt)

Dane jest równanie mx2 — 3(m + 1) x + m = 0 z niewiadomą x i parametrem

m ∈ R. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których dane równanie

nie ma rozwiązania.

Zadanie 13. (4 pkt)

A i B są zdarzeniami zbioru Ω i P(B)>O. Sprawdź, czy P(A/B) jest mniejsze

niż

Zadanie 14. (3 pkt)

Udowodnij twierdzenie: Dla wszystkich wartości rzeczywistych zmiennej t

wyrażenie cos(sint) przyjmuje wartości dodatnie.

Zadanie 15. (5 pkt)

Ciąg (an) zdefiniowany jest wzorem rekurencyjnym:

Stosując zasadę indukcji matematycznej, wykaż, że żaden wyraz tego ciągu

nie jest większy niż 1.

Zadanie 16. (4 pkt)

Objętość walca jest równa 250π cm3. Przedstaw pole powierzchni całkowitej

tego walca jako funkcję długości promienia podstawy. Dla jakiej długości

promienia na wykonanie siatki walca zużyje się najmniejszą ilość materiału?

Zadanie 17. (6 pkt)

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji

podstawie wykonanego rysunku określ liczbę rozwiązań równania f(x) = g( x).

Zadanie 18. (4 pkt)


©Irek.edu.pl 78

Zadanie 19. (7 pkt) Rozwiąż nierówność: + + -F ... > 2k— 0.9(9), gdzie lewa strona tej

nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

Zadanie 20. (9 pkt)

W trójkącie jeden z kątów ma miarę 1200, a długości boków tego trójkąta

tworzą ciąg arytmetyczny.

Obwód trójkąta jest równy 30. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu

opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten

trójkąt. Zadanie 21. ( 5pkt)

W pudelku umieszczono 6 kul czarnych i 4 kule białe. Losujemy jedną kulę z

pudelka. Jeżeli będzie to kula biała, to wrzucamy ją z powrotem do pudelka,

jeżeli czarna, to zatrzymujemy. Następnie losujemy z pudełka jednocześnie

dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że obie wylosowane za

drugim razem kule są białe.

zestaw 1. poziom rozszerzony - irek.edu.pl · ©irek.edu.pl 2 zestaw 2. poziom rozszerzony zadanie...

Documents