ANKARA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

SOBOLEV UZAYLARINDA YAKLAŞIM

Sezgin SUCU

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2009

Her hakkı saklıdır

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

SOBOLEV UZAYLARINDA YAKLASIM

Sezgin SUCU

Ankara Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dal¬

Dan¬sman: Doç. Dr. Ertan ·IB·IKL·I

Bu tez alt¬bölümden olusmaktad¬r.

Birinci bölüm giris k¬sm¬na ayr¬lm¬s ve tez hakk¬nda genel bilgiler verilmistir.

·Ikinci bölümde, ileri bölümlerde gerekli olan temel kavramlar ifade edilmistir.

Üçüncü bölümde, düzgünlestirici kavram¬ve bir f fonksiyonunun A�f düzgünlesmesi

tan¬t¬lm¬st¬r. Ayr¬ca A� operatörünün özellikleri incelenmistir.

Dördüncü bölümde, zay¬f türevin tan¬m¬verilmis ve zay¬f türev kavram¬n¬n genel

özellikleri üzerinde ayr¬nt¬l¬olarak durulmustur.

Besinci bölümde, W kp () Sobolev uzaylar¬ tan¬t¬lm¬s, W

kp () Sobolev uzaylar¬n¬n

matematiksel yap¬s¬ incelenmis ve W k2 () uzaylar¬ için alternatif karakterizasyon

verilmistir. Ayr¬ca bu uzaylarda standart norma denk olan normlar elde edilmistir.

Son bölümde ise, Friedrichs yaklas¬m teoremi verilmis ve bu teoremin baz¬önemli

uygulamalar¬ifade edilmistir. Ayr¬ca W kp () Sobolev uzaylar¬n¬n yo¼gun alt uzaylar¬

arast¬r¬lm¬s veW kp () uzaylar¬nda polinomsal yaklas¬m elde edilmistir. Son olarakta,

W r2 ([��; �]) Sobolev uzaylar¬nda trigonometrik yaklas¬m incelenmistir.

Ocak 2009, 138 sayfa

Anahtar Kelimeler : Fonksiyonun düzgünlesmesi, Zay¬f türev, Sobolev uzaylar¬,

Fourier dönüsümü, Yaklas¬m.

i

ABSTRACT

Master Thesis

APPROXIMATION IN SOBOLEV SPACES

Sezgin SUCU

Ankara University

Graduate School of Natural And Applied Sciences

Department of Mathematics

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ertan ·IB·IKL·I

This thesis consists of six chapters.

The �rst chapter is devoted to the introduction and general information about thesis

is given.

In the second chapter, basic concepts needed in the further chapters are explained.

In the third chapter, molli�er and A�f molli�cation of function f are introduced.

Additionaly, general properties of A� operator are examined.

In the fourth chapter, de�nition of weak derivative is given and general characteris-

tics of weak derivative concepts are examined in detail.

In the �fth chapter, W kp () Sobolev spaces are introduced, mathematical structure

of theW kp () spaces is inspected and alternate characterization of the spacesW

k2 ()

is given. Moreover, norms equivalent the standart norm are obtained in these spaces.

In the last chapter, Friedrichs�approximation theorem is given and some important

applications of this theorem are explained. Also, dense subspaces of the W kp ()

spaces are investigated and polynomial approximation in the W kp () spaces is ob-

tained. In the end, trigonometric approximation in W r2 ([��; �]) spaces is examined.

January 2009, 138 pages

Key Words: Molli�cation of function, Weak derivative, Sobolev spaces, Fourier

transform, Approximation.

ii

TESEKKÜR

Bu çal¬sma konusunu bana veren ve arast¬rmalar¬m¬n her asamas¬nda yak¬n ilgi ve

önerileriyle beni yönlendiren dan¬sman hocam Doç. Dr. Ertan ·IB·IKL·I (Ankara

Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü)�ye ve çal¬smalar¬m s¬ras¬nda bana

her zaman destek olan aileme en içten sayg¬ve tesekkürlerimi sunar¬m.

Sezgin SUCU

Ankara, Ocak 2009

iii

·IÇ·INDEK·ILER

ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

TESEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

S·IMGELER D·IZ·IN·I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

SEK·ILLER D·IZ·IN·I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

1. G·IR·IS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. TEMEL KAVRAMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Baz¬Semboller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Kümelerin Geometrik Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Lebesgue ·Integrali ·Için Baz¬Önemli Teoremler . . . . . . 10

2.4 Fourier Dönüsümü ve Fourier Serisi . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Birimin Düzgün Parçalanmas¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Mutlak Süreklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. DÜZGÜNLEST·IR·IC·I ve DÜZGÜNLESMEN·IN BAZI

ÖZELL·IKLER·I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1 Düzgünlestirici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Düzgünlesmenin Baz¬Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. ZAYIF TÜREV ve TEMEL ÖZELL·IKLER·I . . . . . . . . . . 34

4.1 Zay¬f Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Zay¬f Türevin Temel Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5. SOBOLEV UZAYLARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1 Sobolev Uzaylar¬Tan¬m¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Sobolev Uzaylar¬n¬n Temel Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 Sobolev Uzaylar¬n¬n Fourier Dönüsümü Yard¬m¬yla

Karakterizasyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4 Sobolev Uzaylar¬nda Denk Normlar . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

iv

6. SOBOLEV UZAYLARINDA YAKLASIM . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.1 Friedrichs Yaklas¬m Teoremi ve Uygulamalar¬ . . . . . . . . . . . 96

6.2 Düzgün Fonksiyonlar Yard¬m¬yla Yaklas¬m . . . . . . . . . . . . . . 106

6.3 W kp () Sobolev Uzaylar¬nda Polinomsal Yaklas¬m . . . . . . . 116

6.4 W r2 ([��; �]) Sobolev Uzaylar¬nda Trigonometrik Yaklas¬m 124

KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

ÖZGEÇM·IS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

v

S·IMGELER D·IZ·IN·I

N0 Negatif olmayan tamsay¬lar kümesi

� Katl¬indeks

j�j j�j = �1 + :::+ �nNn0 := N0 � :::� N0| {z }

n tane

Katl¬indeks kümesi

h:h:h: Hemen hemen her yerde

f � g f fonksiyonu ile g fonksiyonu h.h.h. esittir.

(f; g)V V uzay¬nda f ile g fonksiyonlar¬n¬n iç çarp¬m¬

D�f := @�1+:::+�nf

@x�11 :::@x�nn

f fonksiyonunun � basamaktan klasik türevi

D�wf :=

�@�1+:::+�nf

@x�11 :::@x�nn

�w

f fonksiyonunun � basamaktan zay¬f türevi

@ kümesinin s¬n¬r¬

B (x; r) x merkezli r yar¬çapl¬aç¬k yuvar

� (n) B (0; 1) � Rn birim yuvar¬n¬n hacmi

!n @B (0; 1) � Rn birim yuvar¬n yüzey alan¬

suppf f fonksiyonunun deste¼gi

A A kümesinin kapan¬s¬

1 �� 1 aç¬k, 1 � ve 1 s¬n¬rl¬

d (x;A) x noktas¬n¬n A kümesine uzakl¬¼g¬

� (A) A kümesinin çap¬

m (A) A � Rn ölçülebilir kümesinin Lebesgue ölçüsü

C () üzerinde sürekli fonksiyonlar uzay¬

C1 () üzerinde sonsuz mertebeden sürekli türeve sahip

fonksiyonlar uzay¬

C10 () içinde kompakt deste¼ge sahip C1 () fonksiyonlar uzay¬

Lp ()1 � p <1 için p -inci mertebeden Lebesgue integrallenebilir

fonksiyonlar uzay¬

L1 () üzerinde h.h.h. s¬n¬rl¬fonksiyonlar¬n uzay¬

Llocp () 8K � kompakt kümesi için f 2 Lp (K)

der u (x) u (x) polinomunun derecesi

vi

W kp () k 2 N0; 1 � p � 1 için Sobolev uzay¬

k:kWkp ()

W kp () Sobolev uzay¬nda standart normbf f fonksiyonunun Fourier dönüsümü

_f f fonksiyonunun ters Fourier dönüsümü

f f fonksiyonunun esleni¼gi

}k der u (x) � k olacak sekilde polinomlar¬n kümesi

� :=[x2

B (x; �) kümesinin � komsulu¼gu

Span (A) A kümesinin gerdi¼gi küme

vii

SEK·ILLER D·IZ·IN·I

Sekil 2:1 @ s¬n¬r¬düzgün olan � R2 kümesi ............................... 7

Sekil 2:2 @ s¬n¬r¬Lipschitz s¬n¬f¬na ait olan � R2 kümesi .......... 8

Sekil 2:3 S¬n¬r¬Lipschitz s¬n¬f¬na ait olmayan 1 ve 2 kümeleri .... 9

Sekil 6:1 @A s¬n¬r¬C1 s¬n¬f¬ndan olmayan A � R2 kümesi ................. 110

Sekil 6:2 @ s¬n¬r¬C1 s¬n¬f¬ndan olan � R2 kümesi ...................... 112

viii

1. G·IR·IS

Bu tezde � Rn aç¬k kümesi üzerinde tan¬ml¬bir f fonksiyonunun düzgünlesmesi,

zay¬f türev, W kp () Sobolev uzaylar¬ve bu uzaylarda hangi kosullar alt¬nda yak-

las¬m¬n olaca¼g¬ayr¬nt¬l¬olarak incelenmistir.

f0 (x) :=

8<: f (x) ; x 2

0 ; x 2 Rnn

olmak üzere ilk olarak !� düzgünlestiricisinin tan¬m¬verilerek bir f fonksiyonunun

(A�f) (x) := (!� � f0) (x)

düzgünlesmesinin tan¬m¬ yap¬lm¬s ve A� operatörünün özellikleri ayr¬nt¬l¬ olarak

arast¬r¬lm¬st¬r. Daha sonra, zay¬f türev kavram¬n¬n tan¬m¬ yap¬larak verilen bir

f 2 Lloc1 () fonksiyonununD�wf 2 Lloc1 () zay¬f türevinin nas¬l hesaplanaca¼g¬örnek-

lerle aç¬klanm¬st¬r. f fonksiyonunun klasik anlamda türevinin sürekli olmas¬halinde

klasik anlamda türevin zay¬f türevle çak¬saca¼g¬gösterilmistir. Ayr¬ca, zay¬f türev

için denk tan¬mlar verilmis ve klasik anlamda türevin baz¬özelliklerinin zay¬f türev

içinde geçerli oldu¼gu gösterilmistir. k 2 N0; 1 � p � 1 olmak üzere

W kp () :=

�f : �! R j f 2 Lloc1 () ; 8 j�j � k için D�

wf 2 Lp ()

Sobolev uzaylar¬n¬n tan¬m¬verilerek bu uzayda norm

kfkWkp ()

:=

8>>>>><>>>>>:

0@Xj�j�k

Z

jD�wf j

p dx

1A 1p

; 1 � p <1

Xj�j�k

esssupx2

jD�wf j ; p =1

ile tan¬mlanm¬st¬r. Bu uzaylara ait olan fonksiyonlara örnekler verilmis ve bu

uzaylar¬n temel özellikleri detayl¬olarak incelenmistir.

1

Ayr¬ca�W kp () uzay¬

�W kp () := C10 ()

Wkp ()

ile tan¬mlanm¬st¬r. = Rn olmas¬durumunda�W kp (Rn) = W k

p (Rn) yani; C10 (Rn)

uzay¬n¬n W kp (Rn) uzay¬nda yo¼gun oldu¼gu gösterilmistir.

p = 2 ve = Rn olmas¬durumundaHk (Rn) :=W k2 (Rn) uzay¬n¬n Fourier dönüsümü

yard¬m¬yla tan¬mlanabilece¼gi gösterilmis ve baz¬esitsizliklerin ispat¬için bu yöntem

kullan¬lm¬st¬r. � Rn s¬n¬rl¬, aç¬k kümesinin C1 s¬n¬f¬ndan olmas¬ durumunda

W kp () uzaylar¬nda gömme teoremi ispats¬z olarak verilmis ve bunun yard¬m¬yla

W kp () Sobolev uzaylar¬nda denk normlar elde edilmistir. Daha sonra Friedrichs

yaklas¬m teoremi ve bu teoremin uygulamalar¬verilmistir. Ayr¬ca key� � Rn

s¬n¬rl¬, aç¬k kümesi için

C1 () \W kp ()

uzay¬n¬n W kp () uzay¬nda yo¼gun oldu¼gu gösterilmistir. Charles J. Amick (1979)

taraf¬ndan yay¬mlanan makalede key� � Rn s¬n¬rl¬, aç¬k kümesi için C1��uza-

y¬n¬n W kp () uzay¬nda yo¼gun olmad¬¼g¬gösterilmistir. Ancak � Rn s¬n¬rl¬, aç¬k ve

s¬n¬r¬C1 den olan küme olmas¬durumunda yo¼gunlu¼gun sa¼glanaca¼g¬ispatlanm¬st¬r.

Ricardo G. Duran (1982) yapm¬s oldu¼gu çal¬smada B � kümesine göre y¬ld¬zs¬

küme olan � Rn kümesi için W kp () uzay¬nda polinomsal yaklas¬m elde etmistir.

Son olarakta Edgar A. Cohen (1971) taraf¬ndan çal¬s¬lan W r2 ([��; �]) Sobolev uza-

y¬nda trigonometrik yaklas¬m üzerinde durulmustur.

Zay¬f türev kavram¬analizde çok önemli yere sahiptir. Çünkü; zay¬f türev kavram¬na

dayal¬insa edilen Sobolev tipli fonksiyon uzaylar¬n¬n tam uzay olmas¬n¬garanti eden

önemli bir araçt¬r. Bir çok matematikçi bu kavrama birbirinden ba¼g¬ms¬z olarak

ulasm¬slard¬r. Örne¼gin; ·Italyan matematikçi Beppo Levi�nin (1906) çal¬smas¬nda

zay¬f türev kavram¬üzerinde duruldu¼gu görülebilir. Ayr¬ca bu kavram üzerinde L.

Tonelli (1926), G. C. Evans (1933) ve ba¼g¬ms¬z olarak ayn¬y¬lda O. M. Nikodym

(1933) taraf¬ndan çal¬s¬lm¬st¬r. Rus matematikçi Sergei Lvovich Sobolev ise zay¬f

türev tan¬m¬n¬1935 ve 1936 y¬l¬nda yay¬mlanan makalelerinde kendisi taraf¬ndan

tan¬mlanan genellesmis fonksiyonlar ve diferensiyel denklemlerin genellesmis çözümü

2

yard¬m¬yla vermistir.

Sergei L. Sobolev 1936 ve 1938 y¬llar¬nda yapm¬s oldu¼gu çal¬smalarda kendisi ve

belirli mertebeden zay¬f türevleri Lp () uzay¬na ait olan fonksiyonlar¬nW kp () uza-

y¬n¬tan¬tm¬s ve daha sonraki y¬llarda da bu uzaylar¬n di¼ger özelliklerini inceleyen

makaleler yazm¬st¬r. S. L. Sobolev (1950) haz¬rlad¬¼g¬"Some Application of Func-

tional Analysis in Mathematical Physics" isimli kitab¬nda bu uzaylar¬n matematiksel

�zi¼gin çesitli problemlerine uygulamas¬n¬n önemine vurgu yapm¬st¬r. Son y¬llarda

Sobolev uzaylar¬ k¬smi türevli denklemlerin ve analizin standart bir arac¬ haline

gelmistir.

3

2. TEMEL KAVRAMLAR

Tezin içerisinde kullan¬lan önemli tan¬m ve teoremler bu bölümde ifade edilecektir.

2.1 Baz¬Semboller

Tan¬m 2.1.1 �j negatif olmayan tamsay¬lar olmak üzere � = (�1; :::; �n) n -lisine

katl¬indeks denir.

Derecesi j�j =nXj=1

�j olan x�11 :::x

�nn monomu x� ile gösterilmektedir. Benzer olarak

e¼ger Dj =@@xj

ise bu durumda basama¼g¬j�j olan diferensiyel operatör

D� = D�11 :::D

�nn

ile ifade edilmektedir. Belirtelim ki D(0;:::;0)f = f dir.

� ve � iki katl¬indeks olsun. E¼ger 1 � j � n için �j � �j sa¼glan¬yorsa o taktirde

� � � söylemi kullan¬l¬r. Bu durumda �� � da bir katl¬indeks olup

j�� �j+ j�j = j�j

gerçeklenir. Ayr¬ca

�! = �1!:::�n!

gösterimi kullan¬l¬r. E¼ger � � � ise

��

�

�=

�!

�! (�� �)!=

��1�1

�:::

��n�n

�

dir. x noktas¬n¬n bir komsulu¼gunda j�j defa sürekli diferensiyellenebilen f ve g

fonksiyonlar¬için

D� (fg) =X���

��

�

�D�f (x)D���g (x)

Leibntz formülü gerçeklenir.

4

n reel de¼giskenli ve derecesi en fazla k olan tüm polinomlar¬n lineer uzay¬n¬}k ile

gösterelim. Dolay¬s¬yla bu uzay

}k :=

8<:p (x) : c� 2 R; p (x) =Xj�j�k

c�x�

9=;olarak yaz¬labilir. Sonuç olarak

fx� : j�j � kg

monomlar kümesi }k lineer uzay¬n¬gerer.

Teorem 2.1.1 Rn üzerindeki

fx� : j�j � kg

monomlar kümesi lineer ba¼g¬ms¬zd¬r (Cheney 2001).

Teorem 2.1.2 }k uzay¬n¬n boyutu�k+nn

�dir (Cheney 2001).

Tan¬m 2.1.2 x 2 Rn ve A � Rn olsun. x noktas¬n¬n A kümesine olan uzakl¬¼g¬

d (x;A) := infy2A

jx� yj

ile tan¬mlan¬r. Benzer olarak e¼ger ; 6= A, B � Rn ise bu durumda B kümesinin A

kümesine olan uzakl¬¼g¬

d (B;A) := infy2B

d (y; A) = infx2A;y2B

jy � xj

seklinde tan¬mlan¬r (Adams and Fournier 2003).

Tan¬m 2.1.3 ; 6= A � Rn olsun. A kümesinin çap¬

� (A) := supx;y2A

jx� yj

5

ile tan¬ml¬d¬r (Adams and Fournier 2003).

2.2 Kümelerin Geometrik Özellikleri

kümesinde tan¬ml¬Sobolev uzaylar¬n¬n birçok özelli¼gi (Gömme teoremleri, denk

normlar) kümesinin düzgünlük kosullar¬na ba¼gl¬d¬r. Bu düzgünlük kosullar¬n¬n

baz¬lar¬asa¼g¬da ifade edilmistir.

Tan¬m 2.2.1 � Rn s¬n¬rl¬, aç¬k küme olsun. Rn�1 üzerinde tan¬ml¬fonksiyonlar¬n

bir uzay¬V ile gösterilsin. E¼ger her bir x0 2 @ için 9r > 0 ve 9g 2 V fonksiyonu

mevcut öyle ki (gerekti¼ginde koordinat sisteminin dönüstürülmesiyle)

\B (x0; r) = fx 2 B (x0; r) : xn > g (x1; :::; xn�1)g

gerçekleniyorsa bu durumda @ s¬n¬r¬V s¬n¬f¬ndand¬r denir. Özel olarak;

(i) E¼ger V s¬n¬f¬Lipschitz sürekli fonksiyonlardan olusuyorsa @ (veya ) Lipschitz

s¬n¬f¬ndand¬r denir.

(ii) k 2 f1; 2; :::g olmak üzere e¼ger V s¬n¬f¬Ck fonksiyonlar¬ndan olusuyorsa @

(veya ) Ck s¬n¬f¬ndand¬r denir.

(iii) E¼ger 8k = 1; 2; ::: için @ s¬n¬r¬Ck s¬n¬f¬na ait ise bu durumda @ (veya )

C1 s¬n¬f¬ndand¬r denir (Atkinson and Han 2005).

Not 2.2.1 E¼ger @ s¬n¬r¬C1 s¬n¬f¬na ait ise bu durumda @ boyunca d¬sa yön-

lendirilmis birim normal vektör alan¬� = (�1; :::; �n) tan¬ml¬d¬r. Belirtmek gerekir

ki e¼ger kümesi C1 s¬n¬f¬na ait ise ayn¬zamanda Lipschitz s¬n¬f¬na da aittir.

Simdi yukar¬da tan¬mlanan s¬n¬�ara örnekler verelim.

6

Örnek 2.2.1 kümesi Sekil 2.1 ile verilen küme olsun.

Sekil 2.1 @ s¬n¬r¬d�uzg�un olan � R2 k�ume

x0 noktas¬n¬ göz önüne alal¬m. Bu durumda (y1; y2) koordinat sistemi y1 = x2;

y2 = �x1 olacak sekilde seçilebilir. Dolay¬s¬yla

\B (x0; r) = fy 2 B (x0; r) : y2 > g (y1)g

olacak sekilde g düzgün fonksiyonu vard¬r. Benzer olarak @ s¬n¬r¬n¬n di¼ger noktalar¬

içinde uygun bir (y1; y2) koordinat sistemi ve g düzgün fonksiyonu vard¬r. O halde

@ s¬n¬r¬C1 s¬n¬f¬na aittir (Fuµcik and Kufner 1980).

7

Örnek 2.2.2 kümesi Sekil 2.2 ile verilen ABCD dikdörtgeni ise bu durumda

Lipschitz s¬n¬f¬na aittir.

Sekil 2.2 @ s¬n¬r¬Lipschitz s¬n¬f¬na ait olan � R2 k�umesi

Gerçekten; e¼ger x 2 @ noktas¬herhangi bir kenar üzerinde ise bu durumda uy-

gun � e¼grisi sabit fonksiyon ile tan¬mlan¬r. Ayr¬ca CD parças¬boyunca noktalar

için (y1; y2) koordinat sistemi y1 = x1; y2 = x2; AB parças¬boyunca noktalar için

(y1; y2) koordinat sistemi y1 = x1; y2 = x2; BC parças¬boyunca noktalar için (y1; y2)

koordinat sistemi y1 = �x2; y2 = �x1 olacak sekilde seçilir. Do¼gal olarak A;B;C;D

köse noktalar¬için yukar¬daki koordinat sistemlerinin hiçbiri uygun de¼gildir. C ve D

noktalar¬için uygun koordinat sistemleri Sekil 2.2 de gösterilmistir. Böylece ABCD

dikdörtgeninin Lipschitz s¬n¬f¬na ait oldu¼gu görülür (Fuµcik and Kufner 1980).

8

Örnek 2.2.3 Sekil 2.3 ile verilen 1 ve 2 kümeleri Lipschitz s¬n¬f¬na ait de¼gildir.

Sekil 2.3 S¬n¬r¬Lipschitz s¬n¬f¬na ait olmayan 1 ve 2

k�umeleri

x0 noktas¬n¬n komsulu¼gu içinde kalan @1 s¬n¬r¬n¬n parças¬bir fonksiyon yard¬m¬yla

temsil edilebilir. Ancak bu fonksiyon Lipschitz kosulunu sa¼glamayacakt¬r. Dolay¬s¬yla

1 Lipschitz s¬n¬f¬na ait de¼gildir. Di¼ger yandan herhangi bir daireden S parças¬n¬n

ç¬kar¬lmas¬yla elde edilen kümeyi 2 olarak tan¬mlayal¬m. x1 noktas¬n¬n komsulu¼gu

içinde kalan @2 s¬n¬r¬n¬n parças¬bir fonksiyon ile tan¬mlanamaz. Bundan dolay¬

2 kümeside Lipschitz s¬n¬f¬na ait de¼gildir (Fuµcik and Kufner 1980).

Tan¬m 2.2.2 (Y¬ld¬zs¬Küme) � Rn s¬n¬rl¬, aç¬k küme ve B � aç¬k yuvar

olsun.

(i) E¼ger 8y 2 ve 8� 2 [0; 1] için �y 2 gerçekleniyorsa kümesine 0 noktas¬na

göre y¬ld¬zs¬küme ad¬verilir.

(ii) E¼ger 8y 2 , 8x 2 B ve 8� 2 [0; 1] için x + � (y � x) 2 gerçekleniyorsa bu

durumda kümesine B yuvar¬na göre y¬ld¬zs¬küme ad¬verilir (Burenkov 1998).

9

Örnek 2.2.4 Orijini içeren � R2 konveks kümesi hem s¬f¬r noktas¬na göre y¬ld¬zs¬

küme hem de key�B � aç¬k yuvar¬na göre y¬ld¬zs¬kümedir.

Örnek 2.2.5 � R2 kümesi x231+x

232 = 1 (Astroid) denklemi yard¬m¬yla tan¬mlanan

e¼grinin iç k¬sm¬olsun. Bu durumda kümesi s¬f¬r noktas¬na göre y¬ld¬zs¬kümedir.

Ancak key�B � yuvar¬na göre y¬ld¬zs¬küme de¼gildir.

Teorem 2.2.1 B (0; 1) � Rn birim yuvar olsun. Bu durumda bu yuvar¬n hacmi

� (n) =�n2

��n2+ 1�

olup ayr¬ca @B (0; 1) küresinin yüzey alan¬

!n = n� (n)

dir (Evans 1998).

2.3 Lebesgue ·Integrali ·Için Baz¬Önemli Teoremler

Teorem 2.3.1 (Lebesgue Bask¬n Yak¬nsakl¬k Teoremi) � Rn ölçülebilir

kümesi üzerinde f fonksiyonuna hemen hemen her yerde yak¬nsayan Lebesgue

integrallenebilir fonksiyonlar¬n dizisi ffmg1m=1 olsun. E¼ger h:h:h: x 2 için

jfn (x)j � g (x)

olacak sekilde Lebesgue integrallenebilir g fonksiyonu varsa bu durumda f Lebesgue

integrallenebilirdir ve

limn!1

Z

fn (x) dx =

Z

f (x) dx

gerçeklenir (Rao 1987).

10

Teorem 2.3.2 1 � 2 � ::: � m � ::: � Rn,

:=[m2N

m

ve f : �! R [ f�1g olsun. 8m 2 N için f jm k¬s¬tlama fonksiyonlar¬m

üzerinde integrallenebilir ve

limm!1

Zm

jf (x)j dx <1

olsun. Bu durumda f fonksiyonu üzerinde integrallenebilirdir ve

Z

f (x) dx = limm!1

Zm

f (x) dx

gerçeklenir (Jost 1998).

Teorem 2.3.3 � Rn aç¬k küme, f : �! R[f�1g fonksiyonu integrallenebilir

ve � > 0 olsun. Bu durumda 1 �� olacak sekilde 1 aç¬k kümesi vard¬r öyle ki������Z

f (x) dx�Z1

f (x) dx

������ < �

gerçeklenir (Jost 1998).

Tan¬m 2.3.1 (Kompakt Destek) � Rn aç¬k kümesi üzerinde tan¬ml¬fonksiyon

f olsun.

suppf := fx 2 : f (x) 6= 0g

kümesine f fonksiyonunu deste¼gi denir. E¼ger suppf kümesi s¬n¬rl¬ise f fonksiyonu

kompakt deste¼ge sahiptir denir.

11

Teorem 2.3.4 (Fubini Teoremi) 1 � Rn1, 2 � Rn2 Lebesgue ölçülebilir

kümeler ve = 1 � 2 üzerinde f fonksiyonu Lebesgue integrallenebilir olsun.

Bu durumda

(i) H:h:h: x 2 1 için f (x; :) fonksiyonu 2 üzerinde Lebesgue integrallenebilir,Z2

f (x; y) dy fonksiyonu 1 üzerinde integrallenebilirdir ve

Z1

0@ Z2

f (x; y) dy

1A dx =

Z

f (x; y) dxdy

gerçeklenir.

(ii) H:h:h: x 2 2 için f (:; y) fonksiyonu 1 üzerinde Lebesgue integrallenebilir,Z1

f (x; y) dx fonksiyonu 2 üzerinde integrallenebilirdir ve

Z2

0@ Z1

f (x; y) dx

1A dy =

Z

f (x; y) dxdy

gerçeklenir (Atkinson and Han 2005).

Teorem 2.3.5 (Genellesmis Minkowski Esitsizli¼gi) A � Rn1 ve � Rn2

ölçülebilir kümeler olsun. Ayr¬ca kabul edelim ki f fonksiyonu �A kümesi üzerinde

ölçülebilir ve h:h:h: y 2 A için f (:; y) 2 Lp () sa¼glans¬n. E¼ger asa¼g¬daki esitli¼gin

sa¼g taraf¬sonlu ise ZA

f (:; y) dy

Lp()

�ZA

kf (:; y)kLp() dy

gerçeklenir (Burenkov 1998).

12

Teorem 2.3.6 ; 6= � Rn aç¬k küme ve f 2 Lloc1 () olsun. E¼ger 8' 2 C10 ()

için Z

f (x)' (x) dx = 0

ise üzerinde hemen hemen her yerde f = 0 d¬r (Atkinson and Han 2005).

Teorem 2.3.7 (Green Formülü) � Rn s¬n¬rl¬, aç¬k ve @ s¬n¬r¬C1 s¬n¬f¬na ait

olsun. E¼ger g; h 2 C1��ise bu durumda 1 � i � n için

Z

@g

@xihdx = �

Z

g@h

@xidx+

Z@

gh�idS (2.3.1)

gerçeklenir. Burada �i d¬sa do¼gru yönlendirilmis birim normal vektör alan¬n¬n

i -inci bilesenidir (Evans 1998).

Not 2.3.1 (i) g; h 2 C2��olsun. Simdi (2.3.1) ifadesinde g fonksiyonu yerine

@g@xj

2 C1��fonksiyonu yaz¬l¬rsa

Z

@2g

@xi@xjhdx = �

Z

@g

@xj

@h

@xidx+

Z@

@g

@xjh�idS (2.3.2)

bulunur. Simdi (2.3.1) ifadesi bir kez daha uygulan¬rsa

Z

@g

@xj

@h

@xidx = �

Z

g@2h

@xj@xidx+

Z@

g@h

@xi�jdS (2.3.3)

elde edilir. (2.3.2) ifadesinin sa¼g taraf¬ndaki ilk integralde (2.3.3) ifadesi ve h 2

C2��için @2h

@xi@xj= @2h

@xj@xioldu¼gunuda kullan¬rsak

Z

@2g

@xi@xjhdx = �

Z

@2h

@xi@xjgdx+

Z@

�@g

@xjh�i + g

@h

@xi�j�dS (2.3.4)

gerçeklenir. (2.3.4) ifadesi ikinci basamaktan türevler için Green formülü olarak

adland¬r¬l¬r.

13

Bu tip islemler ard¬s¬k olarak devam ettirilirse k 2 N ve g; h 2 Ck��fonksiyonlar¬

için

Z

(D�g)hdx = (�1)j�jZ

g (D�h) dx+

Z@

G (h; g) dS (2.3.5)

formülü sa¼glan¬r. Burada j�j = k olacak sekilde katl¬indeks �, j�j < k; j j < k ve

x 2 @ noktas¬nda d¬sa do¼gru yönlendirilmis birim normal vektörün i -inci bileseni

�i = �i (x) olmak üzere G (h; g) ifadesi

��D�h

�(D g) �i

tipindeki çarp¬mlar¬n toplam¬d¬r.

(ii) h 2 Ck0 () ise x 2 @ için h (x) = 0 olup dolay¬s¬yla j�j < k için D�h (x) = 0

sa¼glan¬r. O halde bu tip fonksiyonlar için G (h; g) ifadesi s¬f¬ra esittir. Bundan dolay¬

(2.3.5) ifadesindeki yüzey integrali s¬f¬ra esit olup asa¼g¬daki önemli ifade elde edilir.

g 2 Ck��ve h 2 Ck0 () ise bu durumda j�j � k olacak sekilde 8� katl¬indeksi

için Z

(D�g)hdx = (�1)j�jZ

g (D�h) dx (2.3.6)

gerçeklenir.

(iii) h 2 Ck0 () ve supph = K1 olsun. Bu durumda K1 � ve x 2 nK1 için

h (x) = 0 olur. Dolay¬s¬yla (2.3.6) ifadesinde üzerinden integral yerine K1

üzerinden integral al¬nabilir. Bundan dolay¬x 2 nK1 için g fonksiyonunun de¼gerleri

önemsizdir. O halde (2.3.6) ifadesi g 2 Ck () ve h 2 Ck0 () fonksiyonlar¬için de

geçerlidir.

14

Teorem 2.3.8 (Taylor Formülü) � Rn kümesi x0 2 noktas¬na göre y¬ld¬zs¬

bir bölge, k 2 N ve f 2 Ck () olsun. Bu durumda 8x 2 için

f (x) =Xj�j<k

D�f (x0)

�!(x� x0)

�+kXj�j=k

(x� x0)�

�!

1Z0

(1� t)k�1 (D�f) (x0 + t (x� x0)) dt

gerçeklenir (Burenkov 1998).

2.4 Fourier Dönüsümü ve Fourier Serisi

Tan¬m 2.4.1 (L1 Uzay¬nda Fourier Dönüsümü) f 2 L1 (Rn) olmak üzere f

fonksiyonunun Fourier dönüsümü

bf (y) := 1

(2�)n2

ZRn

e�ix:yf (x) dx; y 2 Rn (2.4.1)

ve f fonksiyonunun ters Fourier dönüsümü

_f (x) :=

1

(2�)n2

ZRn

eix:yf (y) dy; x 2 Rn (2.4.2)

ile tan¬ml¬d¬r. je�ix:yj = 1 ve f 2 L1 (Rn) oldu¼gundan 8x; y 2 Rn için (2.4.1) ve

(2.4.2) ifadelerinde verilen integraller yak¬nsakt¬r.

f 2 L2 (Rn) fonksiyonu için Fourier ve ters Fourier dönüsümü tan¬mlar¬n¬ ifade

edelim.

Teorem 2.4.1 (Plancherel Teoremi) f 2 L1 (Rn) \ L2 (Rn) olsun. Bu durumdabf; _f 2 L2 (Rn) ve bf L2(Rn)

=

_f L2(Rn)

= kfkL2(Rn) (2.4.3)

gerçeklenir (Evans 1998).

15

Tan¬m 2.4.2 (L2 Uzay¬nda Fourier Dönüsümü) (2.4.3) ifadesi yard¬m¬yla bir

f 2 L2 (Rn) fonksiyonunun Fourier dönüsümünü asa¼g¬daki gibi tan¬mlayabiliriz.

L2 (Rn) uzay¬nda m!1 için fm ! f olacak sekilde bir

ffmg1m=1 � L1 (Rn) \ L2 (Rn)

dizisini seçelim. (2.4.3) ifadesine göre

cfm � bfj L2(Rn)

= \fm � fj

L2(Rn)

= kfm � fjkL2(Rn)

ve dolay¬s¬ylancfmo1

m=1dizisi L2 (Rn) uzay¬nda Cauchy dizisidir. Bundan dolay¬bu

dizi bir limit noktas¬na sahiptir. Bu limit noktas¬n¬ bf olarak tan¬mlayal¬m. Yani;L2 (Rn) uzay¬nda m!1 için cfm ! bfd¬r. bf n¬n tan¬m¬ncfmo1

m=1yaklas¬m dizisinin seçiminden ba¼g¬ms¬zd¬r. Benzer olarak

_f tan¬mlanabilir.

Tan¬m 2.4.3 (Konvolüsyon) f; g 2 L1 (Rn) olsun. 8x 2 Rn için

h (x) :=

ZRn

f (x� y) g (y) dy

ile tan¬mlanan h fonksiyonuna f ile g fonksiyonlar¬n¬n konvolüsyonu denir. h = f�g

ile gösterilir.

Teorem 2.4.2 f 2 L1 (Rn), g 2 L1 (Rn) ve g fonksiyonu kompakt destekli olsun.

Bu durumda

supp (f � g) � supp (f) + supp (g)

gerçeklenir (Kesevan 1989).

16

Teorem 2.4.3 (Fourier Dönüsümünün Özellikleri) f; g 2 L2 (Rn) olsun. Bu

durumda

(i)

ZRn

fgdx =

ZRn

bf bgdy(ii) D�f 2 L2 (Rn) olacak sekilde her � katl¬indeksi için dD�f = (iy)� bf(iii) f =

� bf�_(iv) \(f � g) = (2�)

n2 bf bg

gerçeklenir (Evans 1998).

Teorem 2.4.4 8f 2 L2 (Rn) için

bf L2(Rn)

= kfkL2(Rn)

gerçeklenir (Atkinson and Han 2005).

Tan¬m 2.4.4 (Fourier Serisi) V bir iç çarp¬m uzay¬, ff �mg1m=1 ortonormal eleman-

lar¬n bir dizisi ve f 2 V key� eleman olsun.

1Xm=1

(f; f�m)V f�m

serisine f eleman¬n¬n Fourier serisi denir. (f; f�m)V sabitlerine de f eleman¬n¬n

Fourier katsay¬lar¬denir (Davis 1963).

17

Tan¬m 2.4.5 (Kapal¬Dizi) V normlu uzay¬nda ffmg1m=1 bir dizi olsun. E¼ger her

f 2 V eleman¬na fi elemanlar¬n sonlu lineer kombinasyonlar¬yard¬m¬yla istenilen

yak¬nl¬kta yaklas¬labiliyorsa bu diziye kapal¬dizi denir. Yani; 8f 2 V; 8� > 0 için

kf � (a1f1 + :::+ amfm)kV < �

olacak sekilde a1; :::; am 2 R sabitleri vard¬r (Davis 1963).

Tan¬m 2.4.6 (Tam Dizi) V iç çarp¬m uzay¬nda ffmg1m=1 bir dizi olsun. E¼ger

8m 2 N için (g; fm)V = 0 olmas¬g = 0 olmas¬n¬gerektiriyorsa ffmg1m=1 dizisine tam

dizi denir (Davis 1963).

Teorem 2.4.5 (Gram-Schmidt Ortonormalizasyon Yöntemi) V iç çarp¬m

uzay¬nda lineer ba¼g¬ms¬z elemanlar¬n bir dizisi ffmg1m=1 olsun. Bu durumda V

uzay¬nda ortonormal bir ff �mg1m=1 dizisi vard¬r öyle ki 8m 2 N için

Span ff1; :::; fmg = Span ff �1 ; :::; f �mg

esitli¼gi gerçeklenir (Davis 1963).

Teorem 2.4.6 V iç çarp¬m uzay¬nda ff �mg1m=1 ortonormal elemanlar¬n bir dizisi

olsun. Asa¼g¬daki dört önerme dikkate al¬ns¬n.

(i) ff �mg1m=1 kapal¬dizidir.

(ii) 8f 2 V için

limk!1

f �kX

m=1

(f; f�m)V f�m

V

= 0

gerçeklenir.

18

(iii) 8f 2 V için

kfk2 = (f; f)V =1Xm=1

j(f; f�m)V j2

Parseval özdesli¼gi sa¼glan¬r.

(iv) ff �mg1m=1tam dizidir.

Bu durumda

(i), (ii), (iii)) (iv)

sa¼glan¬r. Ayr¬ca e¼ger V uzay¬n¬n Hilbert uzay¬ olmas¬ durumunda (iv) ) (iii)

gerçeklenir. Dolay¬s¬yla bu dört ifade denktir (Davis 1963).

2.5 Birimin Düzgün Parçalanmas¬

Teorem 2.5.1 (Birimin Düzgün Parçalanmas¬) � Rn olmak üzere

�[i2J

Gi

olacak sekilde Rn içindeki aç¬k kümelerin bir ailesi fGigi2J olsun. Bu durumda

�i 2 C10 (Rn) fonksiyonlar¬vard¬r öyle ki

(i) supp�i � Gi

(ii) 8x 2 için 0 � �i (x) � 1

(iii) 8x 2 için bir M � J sonlu kümesi vard¬r öyle ki 8i 2 JnM için �i (x) = 0

(iv) 8x 2 içinXi2J

�i (x) = 1

gerçeklenir (Ziemer 1989).

19

f�igi2J fonksiyonlar¬n kümesine kümesinin fGigi2J aç¬k örtüsüne göre birimin

düzgün parçalanmas¬ad¬verilir.

Teorem 2.5.2 K � Rn kompakt küme olsun. Bu durumda K kümesi üzerinde

� � 1 olacak sekilde bir � 2 C10 (Rn) fonksiyonu vard¬r (Kesevan 1989).

Yukar¬da ad¬geçen � fonksiyonuna K kompakt kümesine göre kesme fonksiyonu ad¬

verilir.

2.6 Mutlak Süreklilik

Tan¬m 2.6.1 (Mutlak Süreklilik) f : [a; b] �! R fonksiyonunu göz önüne alal¬m.

E¼ger 8" > 0 için 9� > 0 öyle ki ayr¬k aral¬klar¬n

(aj; bj) � [a; b] ; j = 1; :::; n

her bir sonlu kümesi içinnXj=1

(bj � aj) < �

sa¼glan¬rkennXj=1

jf (bj)� f (aj)j < "

gerçekleniyorsa f fonksiyonuna [a; b] aral¬¼g¬nda mutlak süreklidir denir. � R aç¬k

küme olmak üzere e¼ger her bir [a; b] � kapal¬ aral¬¼g¬nda f fonksiyonu mutlak

sürekli ise bu durumda f fonksiyonuna � R aç¬k kümesi üzerinde lokal mutlak

sürekli fonksiyon ad¬verilir.

Teorem 2.6.1 f : [a; b] �! R fonksiyonunun mutlak sürekli olmas¬için ,

f (x) = f (a) +

xZa

g (t) dt; x 2 [a; b]

olacak sekilde g 2 L1 (a; b) fonksiyonunun mevcut olmas¬d¬r (Rao 1987).

20

Teorem 2.6.2 f : [a; b] �! R fonksiyonu mutlak sürekli ise o taktirde h:h:h:

x 2 (a; b) için dfdx2 L1 (a; b) mevcuttur (Rao 1987).

Teorem 2.6.3 �1 < a < b <1; k 2 N; m 2 N0; m < k ve ayr¬ca [a; b] aral¬¼g¬nda

f (k�1) mutlak sürekli olsun. Bu durumda 1 � p � 1 için

f (m) Lp(a;b)

� C1

�kfkLp(a;b) +

f (k) Lp(a;b)

�olacak sekilde C1 > 0 say¬s¬vard¬r (Burenkov 1998).

Yukar¬daki teorem dikkate al¬nd¬¼g¬nda asa¼g¬daki sonuç verilebilir.

Sonuç 2.6.1 Q � Rn yüzleri koordinat düzlemlerine paralel olacak sekilde key�

küp olmak üzere e¼ger f 2 Ck (Q) ise o taktirde

@mf@xmj

Lp(Q)

� C2

0@kfkLp(Q) + @kf@xkj

Lp(Q)

1Aolacak sekilde C2 > 0 say¬s¬vard¬r (Burenkov 1998).

21

3.DÜZGÜNLEST·IR·IC·I VEDÜZGÜNLESMEN·INBAZI ÖZELL·IKLER·I

3.1 Düzgünlestirici

Tan¬m 3.1.1 ! fonksiyonu

! 2 C10 (Rn) ; supp! � B (0; 1) ;

ZRn

!dx = 1 (3.1.1)

özelliklerini gerçeklesin. � > 0; 8x 2 Rn için !� (x) = 1�n!�x�

�fonksiyonunu tan¬m-

layal¬m. Bu durumda !� fonksiyonuna düzgünlestirici ad¬verilir.

Tan¬m 3.1.2 � Rn ölçülebilir bir küme ve � > 0 olsun. üzerinde tan¬ml¬f

fonksiyonu 8B yuvar¬için f 2 L1 ( \B) özelli¼gini gerçeklesin. A� operatörü

8x 2 Rn için

(A�f) (x) = (!� � f0) (x) =1

�n

ZRn

!

�x� y

�

�f0 (y) dy

=

ZRn

! (z) f0 (x� �z) dz

=

ZB(0;1)

! (z) f0 (x� �z) dz (3.1.2)

olarak tan¬mlan¬r. A� operatörüne f fonksiyonunun � -¬nc¬ basamaktan düzgün-

lesmesi ad¬verilir. Burada f0 fonksiyonu

f0 (x) =

8<: f (x) ; x 2

0 ; x =2

seklindedir.

22

Yukar¬da tan¬mlanan A�f fonksiyonu için A�f 2 C1 (Rn) ve � katl¬indeks olmak

üzere

D�A�f = ��j�j (D�!)� � f0

sa¼glan¬r. Gerçekten; 1 � i � n için

x 2 Rn, ei = (0; :::; 1; :::; 0), x = (x1; :::; xn), y = (y1; :::; yn) ve supp!� = B olmak

üzere

A�f (x+ eih)� A�f (x)

h=

Z

!� (x� y + eih)� !� (x� y)

hf (y) dy (3.1.3)

seklinde yaz¬labilir. Di¼ger yandan türev için Lagrange teoremini kullan¬rsak

� 2 (xi � yi; xi � yi + h) ve � 2 (xi � yi; �) say¬lar¬vard¬r öyle ki������!�(x1�y1;:::;xi+yi+h;:::;xn�yn)�!�(x1�y1;:::;xi�yi;:::;xn�yn)

h

�@!�@xi(x� y)

������=

����@!�@xi(x1 � y1; :::; �; :::; xn � yn)�

@!�@xi

(x1 � y1; :::; xi � yi; :::; xn � yn)

����=

����@2!�@x2i(x1 � y1; :::; �; :::; xn � yn)

���� (� � xi + yi)

�����@2!�@x2i

(x1 � y1; :::; �; :::; xn � yn)

���� jhj� M jhj (3.1.4)

gerçeklenir. Burada M = maxx2Rn

���@2!�@x2i(x)��� say¬s¬x ve y noktalar¬ndan ba¼g¬ms¬zd¬r.

Simdi de (3:1:3) ifadesinin sa¼g¬ndaki integralde asa¼g¬daki islemler yap¬l¬rsa������Z

!� (x� y + eih)� !� (x� y)

hf (y) dy �

Z

@!�@xi

(x� y) f (y) dy

�������

Z

����!� (x� y + eih)� !� (x� y)

h� @!�@xi

(x� y)

���� jf (y)j dy

23

=

Z\B

����!� (x� y + eih)� !� (x� y)

h� @!�@xi

(x� y)

���� jf (y)j dy�

Z\B

M jhj jf (y)j dy

= M jhjZ\B

jf (y)j dy (3.1.5)

elde edilir. (3:1:5) ifadesinin sa¼g¬ndaki integral sonlu oldu¼gundan h! 0 için

limh!0

Z

!� (x� y + eih)� !� (x� y)

hf (y) dy =

Z

@!�@xi

(x� y) f (y) dy

bulunur. Burada (3:1:3) ifadesi göz önüne al¬n¬rsa

@A�f (x)

@xi=

Z

@!�@xi

(x� y) f (y) dy

=1

�

Z

1

�n@!

@xi

�x� y

�

�f (y) dy

=1

�

��@!

@xi

��

� f0�(x)

elde edilir. Ayr¬ca ! 2 C10 (Rn) olmas¬ndan dolay¬yukar¬daki islemler ard¬s¬k olarak

yap¬l¬rsa A�f 2 C1 (Rn) ve D�A�f = ��j�j (D�!)� � f0 oldu¼gu görülür.

3.2 Düzgünlesmenin Baz¬Özellikleri

Teorem 3.2.1

suppA�f � (suppf)� (3.2.1)

gerçeklenir.

24

·Ispat: Teorem 2.5.2 kullan¬l¬rsa

suppA�f � suppf + supp!�

� suppf +B (0; �)

= (suppf)�

bulunur.N

Ayr¬ca belirtelim ki

� := fx 2 : d (x; @) > �g

kümesi üzerinde A� operatörü

(A�f) (x) =

ZB(0;1)

f (x� �z)! (z) dz

seklinde tan¬mlan¬r.

Teorem 3.2.2 � Rn aç¬k küme ve f 2 Lloc1 () olsun. Bu durumda

A�f 2 C1���

ve kümesi üzerinde hemen hemen her yerde � ! 0+ için

A�f ! f

gerçeklenir. Burada

� := fx 2 : d (x; @) > �g

ile tan¬mlanan kümedir.

25

·Ispat: x 2 � eleman¬n¬ sabitleyelim. Bu durumda 1 � i � n olmak üzere h

yeterince küçük olsun ki x+ eih 2 � gerçeklensin. Di¼ger yandan

A�f (x+ eih)� A�f (x)

h=

Z

!� (x� y + eih)� !� (x� y)

hf (y) dy

yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla bu esitlik ve (3:1:4) ifadesi göz önüne al¬n¬rsa������A�f (x+ eih)� A�f (x)

h�Z

@!�@xi

(x� y) f (y) dy

������=

������Z

�!� (x� y + eih)� !� (x� y)

h� @!�@xi

(x� y)

�f (y) dy

������=

������ZV

�!� (x� y + eih)� !� (x� y)

h� @!�@xi

(x� y)

�f (y) dy

�������

ZV

����!� (x� y + eih)� !� (x� y)

h� @!�@xi

(x� y)

���� jf (y)j dy�

ZV

M jhj jf (y)j dy

= M jhjZV

jf (y)j dy (3.2.2)

olacak sekilde V �� mevcut olup (3:2:2) ifadesi elde edilir. f 2 Lloc1 () olmas¬n-

dan dolay¬(3:2:2) ifadesinin sa¼g taraf¬sonludur. Dolay¬s¬yla h! 0 için

@A�f (x)

@xi= lim

h!0

A�f (x+ eih)� A�f (x)

h=

Z

@!�@xi

(x� y) f (y) dy

bulunur. Ayr¬ca @!�@xi(x� y) = 1

�1�n

@!@xi

�x�y�

�oldu¼gu da göz önüne al¬n¬rsa

@A�f

@xi(x) =

1

�

Z

1

�n@!

@xi

�x� y

�

�f (y) dy =

1

�

��@!

@xi

��

� f�(x)

gerçeklenir.

26

Benzer düsünceyle 1 � i; j � n için

@2A�f

@xi@xj(x) =

1

�2

��@2!

@xi@xj

��

� f�(x)

oldu¼gu gösterilebilir. Bu islemler ard¬s¬k olarak yap¬l¬rsa A�f 2 C1���ve

D�A�f = ��j�j (D�!)� � f

elde edilir.

f 2 Lloc1 () oldu¼gundan Lebesgue diferensiyel teoreminden h:h:h: x 2 için

limr!0

1

m (B (x; r))

ZB(x;r)

jf (y)� f (x)j dy = 0 (3.2.3)

gerçeklenir. Bu sekilde sabitlenen x noktalar¬için

jA�f (x)� f (x)j =

�������Z

B(0;1)

f (x� �z)! (z) dz �Z

B(x;�)

f (x)!� (x� y) dy

�������=

�������Z

B(x;�)

1

�n!

�x� y

�

�f (y) dy �

ZB(x;�)

f (x)!� (x� y) dy

�������=

�������Z

B(x;�)

1

�n!

�x� y

�

�[f (y)� f (x)] dy

�������� C

1

�n

ZB(x;�)

jf (y)� f (x)j dy

= C� (n)1

� (n) �n

ZB(x;�)

jf (y)� f (x)j dy

= C� (n)1

m (B (x; �))

ZB(x;�)

jf (y)� f (x)j dy (3.2.4)

elde edilir. (3:2:4) ifadesinde � ! 0+ için limite geçersek esitsizli¼gin sa¼g taraf¬ndaki

ifade h:h:h: x 2 için s¬f¬ra yaklasacakt¬r. Bundan dolay¬h:h:h: x 2 için A�f ! f

27

gerçeklenir. Bu da ispat¬tamamlar.N

Sonuç 3.2.1 f 2 C () olsun. Bu durumda üzerinde � ! 0+ için

A�f ! f

gerçeklenir.

·Ispat: f 2 C () oldu¼gundan (3:2:3) ifadesi kümesinin tamam¬nda sa¼glan¬r.

Yani; 8x 2 için

limr!0

1

m (B (x; r))

ZB(x;r)

jf (y)� f (x)j dy = 0

gerçeklenir. Dolay¬s¬yla (3:2:4) ifadesinden üzerinde � ! 0+ için A�f ! f elde

edilir.N

Teorem 3.2.3 f 2 C () olsun. Bu durumda 81 �� bölgesinde � ! 0+ için

A�f ! f

düzgün yak¬nsar.

·Ispat: x 2 1 olmak üzere

(A�f) (x) =

ZB(0;1)

f (x� �z)! (z) dz

gerçeklenir. Ayr¬ca 1 �� oldu¼gundan � > 0 olmak üzere d (1; @) > 2�

sa¼glanmal¬d¬r.

supx21

jA�f (x)� f (x)j � supx21

ZB(0;1)

jf (x)� f (x� �z)j j! (z)j dz

� C supx21

supz2B(0;1)

jf (x)� f (x� �z)j (3.2.5)

28

elde edilir. Di¼ger taraftan

B� (1) := fx 2 : d (x; @1) � �g

kompakt kümesi üzerinde f fonksiyonu düzgün sürekli oldu¼gundan (3:2:5) ifadesi

dikkate al¬nd¬¼g¬nda 1 bölgesi üzerinde � ! 0+ için A�f ! f düzgün yak¬nsakt¬r.

Böylece ispat tamamlan¬r.N

Teorem 3.2.4 1 � p � 1 olmak üzere 8f 2 Lp () fonksiyonunu göz önüne alal¬m.

Bu durumda

kA�fkLp(Rn) � C kfkLp() (3.2.6)

ve gerçeklenir. Ayr¬ca e¼ger f fonksiyonu negatif olmayan fonksiyon ise bu durumda

kA�fkL1(Rn) = kfkL1()

sa¼glan¬r. Burada C = k!kLp(Rn) (negatif olmayan ! çekirde¼gi için C = 1) dir.

·Ispat: 1.Durum 1 < p <1 ve 1p+ 1

p0= 1 olsun. Hölder esitsizli¼gini kullan¬rsak

jA�f (x)j =

������ZRn

!� (x� y) f0 (y) dy

������=

������ZRn

[!� (x� y)]1p [!� (x� y)]

1

p0 f0 (y) dy

�������

0@ ZRn

j!� (x� y)j dy

1A 1p00@ Z

Rn

j!� (x� y)j jf0 (y)jp dy

1A 1p

= k!k1

p0

L1(Rn)

0@ ZRn

j!� (x� y)j jf0 (y)jp dy

1A 1p

elde edilir. Bu esitsizlikte her iki taraf¬n p -inci mertebeden üssü, Rn üzerinden

29

integrali al¬n¬r vede integrallerin s¬ras¬n¬de¼gistirmek için Fubini teoremi kullan¬l¬rsa

ZRn

jA�f (x)jp dx � k!kp

p0

L1(Rn)

ZRn

0@ ZRn

j!� (x� y)j jf0 (y)jp dy

1A dx

= k!kp�1L1(Rn)

ZRn

jf0 (y)jp0@ Z

Rn

j!� (x� y)j dx

1A dy

= k!kpL1(Rn)Z

jf (y)jp dy

bulunur. Dolay¬s¬yla 1 < p <1 için (3:2:6) gerçeklenir.

2.Durum p =1 olsun.

jA�f (x)j =

������ZRn

!� (x� y) f0 (y) dy

�������

ZRn

j!� (x� y)j jf0 (y)j dy

= kf0kL1(Rn) k!kL1(Rn)

elde edilir.Dolay¬s¬yla (3:2:6) gerçeklenir.

3.Durum p = 1 olsun. Fubini teoremi kullan¬l¬rsa

ZRn

jA�f (x)j dx �ZRn

0@ ZRn

j!� (x� y)j jf0 (y)j dy

1A dx

=

ZRn

jf0 (y)j

0@ ZRn

j!� (x� y)j dx

1A dy

= k!kL1(Rn) kfkL1()

elde edilir. Bundan dolay¬(3:2:6) gerçeklenir. Ayr¬ca dikkat edilirse (3:1:1) ifadesin-

den negatif olmayan ! çekirde¼gi ve negatif olmayan f fonksiyonu için

kA�fkL1(Rn) = kfkL1()

30

sa¼glan¬r.N

Teorem 3.2.5 1 � p <1; 8 f 2 Lp () için Lp () uzay¬ndaki süreklilik modülü

w (�; f)Lp() = supjhj��

kf0 (x+ h)� f(x)kLp()

olmak üzere

kA�f � fkLp() � Cw (�; f)Lp()

gerçeklenir.

·Ispat: 1.Durum 1 < p <1 ve 1p+ 1

p0= 1 olsun. Hölder esitsizli¼gi kullan¬l¬rsa

jA�f (x)� f (x)j =

������ZRn

!� (x� y) f0 (y) dy �ZRn

!� (x� y) f (x) dy

�������

ZRn

j!� (x� y)j jf0 (y)� f (x)j dy

=

ZRn

j!� (x� y)j1

p0

j!� (x� y)j1p jf0 (y)� f (x)j dy

�

0@ ZRn

j!� (x� y)j dy

1A 1p00@ Z

Rn

j!� (x� y)j jf0 (y)� f (x)jp dy

1A 1p

= k!k1

p0

L1(Rn)

0@ ZRn

j!� (x� y)j jf0 (y)� f (x)jp dy

1A 1p

elde edilir. Burada her iki taraf¬n p -inci mertebeden üssü, üzerinden integrali

al¬n¬r, x � y = z de¼gisken de¼gistirmesi yap¬l¬r ve integrallerin s¬ras¬n¬de¼gistirmek

için Fubini teoremi kullan¬l¬r ise

Z

jA�f (x)� f (x)jp dx � k!kp�1L1(Rn)

Z

0@ ZRn

j!� (x� y)j jf0 (y)� f (x)jp dy

1A dx

31

= k!kp�1L1(Rn)

Z

0B@ Zjzj��

j!� (z)j jf0 (x� z)� f (x)jp dz

1CA dx

= k!kp�1L1(Rn)

Zjzj��

j!� (z)j

0@Z

jf0 (x� z)� f (x)jp dx

1A dz

elde edilir. Dolay¬s¬yla

kA�f � fkpLp() � k!kp�1L1(Rn)

0@supjzj��

Z

jf0 (x� z)� f(x)jp dx

1AZRn

j!� (z)j dz

= k!kpL1(Rn)

0@supjzj��

Z

jf0 (x+ z)� f(x)jp dx

1A= k!kpL1(Rn)

hw (�; f)Lp()

ipgerçeklenir. Buradan istenilen elde edilir.

2.Durum p = 1 olsun. z = x � y de¼gisken de¼gistirmesi yap¬p daha sonra Fubini

teoremini kullan¬rsak

Z

jA�f (x)� f (x)j dx �Z

0@ ZRn

j!� (x� y)j jf0 (y)� f (x)j dy

1A dx

=

Z

0B@ Zjzj��

j!� (z)j jf0 (x� z)� f (x)j dz

1CA dx

�Z

jzj��

j!� (z)j

0@Z

jf0 (x� z)� f (x)j dx

1A dz

elde edilir. Bundan dolay¬

kA�f � fkL1() � k!kL1(Rn)w (�; f)L1()

sa¼glan¬r. Böylece istenilen elde edilmis olur.N

32

Sonuç 3.2.2 1 � p <1 olmak üzere 8f 2 Lp () fonksiyonu için Lp () uzay¬nda

� ! 0+ iken

A�f ! f

gerçeklenir.

·Ispat: w (�; f)Lp(), Lp () uzay¬nda f fonksiyonunun süreklilik modülü oldu¼gu için

lim�!0+

w (�; f)Lp() = 0

gerçeklenir. Dolay¬s¬yla Teorem 3.2.5 dikkate al¬n¬rsa istenilen elde edilir.N

Sonuç 3.2.3 1 � p <1 olmak üzere 8f 2 Lp () fonksiyonu için

kA�fkLp()

�!0+�! kfkLp()

(3.2.7)

gerçeklenir.

·Ispat: Lp () uzay¬nda normun özelli¼ginden

���kA�fkLp()

� kfkLp()

��� � kA�f � fkLp()

yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla Teorem 3.2.5 kullan¬l¬rsa istenilen elde edilir.N

33

4. ZAYIF TÜREV VE TEMEL ÖZELL·IKLER·I

4.1 Zay¬f Türev

·Ilk olarak �1 � a < b � +1 olmak üzere bir boyutlu durumda (a; b) aç¬k aral¬¼g¬n¬

göz önüne alal¬m. Fonksiyonel analizden bildi¼gimiz üzere

d

dx: C1 (a; b) � C (a; b) �! C (a; b)

diferensiyel operatörü C (a; b) uzay¬nda kapal¬d¬r. Yani; 8m 2 N için fm 2 C1 (a; b),

f; g 2 C (a; b) ve C (a; b) uzay¬nda m!1 için

fm ! f

dfmdx

! g

gerçeklendi¼ginde f 2 C1 (a; b) dir. Ayr¬ca (a; b) üzerinde dfdx= g sa¼glan¬r. Bu-

rada; C (a; b) uzay¬nda fm ! f limitinin anlam¬, 8 [�; �] � (a; b) kapal¬aral¬¼g¬nda

kfm � fkC[�;�]m!1�! 0 olmas¬d¬r. Gerçekten;

fm 2 C1 (a; b) oldu¼gundan dfmdx2 C (a; b) sa¼glan¬p

xZ�

g (s) ds =

xZ�

limm!1

dfm (s)

dsds = lim

m!1

xZ�

dfm (s)

dsds = lim

m!1[fm (x)� fm (�)] = f (x)�f (�)

gerçeklenir. E¼ger x de¼giskenine göre türev al¬rsak 8x 2 (a; b) için g (x) = df(x)dx

elde

edilir. Dolay¬s¬yla f 2 C1 (a; b) ve (a; b) üzerinde dfdx= g sa¼glan¬r.

Simdi 1 � p <1 oldu¼gunu kabul edelim. Asa¼g¬daki basit örnek göstermektedir ki

d

dx: C1 (a; b) � Llocp (a; b) �! Llocp (a; b) (4.1.1)

diferensiyel operatörü Llocp (a; b) uzay¬nda kapal¬de¼gildir.

34

Örnek 4.1.1 (a; b) = (�1; 1) olmak üzere 8x 2 (�1; 1), 8m 2 N için f (x) = jxj ve

fm (x) =�x2 + 1

m

� 12 fonksiyonlar¬n¬tan¬mlayal¬m. Bu durumda

limm!1

fm (x) = limm!1

�x2 +

1

m

� 12

= jxj

ve

limm!1

dfm (x)

dx= sgnx

gerçeklenir. Hatta bu yak¬nsakl¬klar Lp (�1; 1) uzay¬nda gerçeklenir. Ancak

jxj =2 C1 (�1; 1) olmas¬ndan dolay¬(4:1:1) ile tan¬ml¬diferensiyel operatörü kapal¬

de¼gildir.

Bu nedenle Llocp (a; b) uzay¬nda (4:1:1) ile tan¬ml¬diferensiyel operatörünün kapan¬s¬

ile çal¬smak do¼gald¬r. Böyle bir yaklas¬m diferensiyel kavram¬n¬n genellesmesine

neden olmaktad¬r.

Di¼ger taraftan; e¼ger f 2 C1 (a; b) ve ' 2 C10 (a; b) ise bu durumda k¬smi integrasyon

yard¬m¬yla

bZa

f (x)'0(x) dx = f (x)' (x) jba �

bZa

f0(x)' (x) dx = �

bZa

f0(x)' (x) dx

yaz¬labilir. Bu esitlikte diferensiyel kavram¬n¬genellestirmek için do¼gal olarak kul-

lan¬labilir. Çünkü; baz¬fonksiyonlar (a; b) aral¬¼g¬nda adi türeve sahip olmay¬p ancak

bir g 2 Lloc1 (a; b) fonksiyonu mevcut olabilir öyle ki 8' 2 C10 (a; b) için

bZa

f (x)'0(x) dx = �

bZa

g (x)' (x) dx

sa¼glan¬r. Simdi çok boyutlu durumda ve key� mertebeden türev için uygun bir

tan¬m verelim.

35

Tan¬m 4.1.1 (Zay¬f türev) � Rn aç¬k küme, j�j 6= 0 olacak sekilde � 2 Nn0katl¬indeks ve f; g 2 Lloc1 () olsun. E¼ger 8' 2 C10 () için

Z

fD�'dx = (�1)j�jZ

g'dx (4.1.2)

gerçekleniyorsa g fonksiyonuna üzerinde f fonksiyonunun � -¬nc¬ mertebeden

zay¬f türevi ad¬verilir. g = D�wf ile gösterilir.

Örnek 4.1.1 n = 1, = (0; 2) ve

f (x) =

8<: x ; 0 < x � 1

1 ; 1 � x < 2

olarak tan¬mlans¬n. Bu durumda

g (x) =

8<: 1 ; 0 < x � 1

0 ; 1 < x < 2

fonksiyonu için (0; 2) aral¬¼g¬nda f0w = g gerçeklenir.

Çözüm: Key�' 2 C10 () fonksiyonunu göz önüne alal¬m.

2Z0

f'0dx = �

2Z0

g'dx

oldu¼gunu göstermeliyiz. O halde ' 2 C10 () oldu¼gunu kullanarak

2Z0

f'0dx =

1Z0

x'0dx+

2Z1

'0dx

= x' (x) j10 �1Z0

' (x) dx� ' (1)

= �2Z0

g'dx

36

elde edilir. Dolay¬s¬yla (0; 2) aral¬¼g¬nda f0w = g gerçeklenir.N

Örnek 4.1.2 n = 1, = (0; 2) ve

f (x) =

8<: x ; 0 < x � 1

2 ; 1 < x < 2

olarak tan¬mlans¬n. Bu durumda f0w zay¬f türevi mevcut de¼gildir.

Çözüm: f 0w zay¬f türevinin mevcut oldu¼gunu kabul edelim. Yani; 8' 2 C10 () için

2Z0

f'0dx = �

2Z0

g'dx

olacak sekilde g 2 Lloc1 () fonksiyonu mevcut olsun. Dolay¬s¬yla

�2Z0

g'dx =

2Z0

f'0dx =

1Z0

x'0dx+ 2

2Z1

'0dx = �

1Z0

'dx� ' (1) (4.1.3)

gerçeklenir.

Simdi 8<: 0 � 'm � 1

'm (1) = 1 ve 8x 6= 1 için limm!1

'm (x) = 0

kosulunu sa¼glayan f'mg1m=1 � C10 () fonksiyonlar dizisi seçelim. (4:1:3) ifadesin-

deki ' fonksiyonu yerine 'm fonksiyonlar¬ yaz¬p daha sonra m ! 1 için limit

al¬n¬rsa

1 = limm!1

'm (1) = limm!1

8<:2Z0

g'mdx�1Z0

'mdx

9=; = 0

elde edilir. Bu ise çeliskidir. Dolay¬s¬yla f0w zay¬f türevi mevcut de¼gildir.N

37

Örnek 4.1.3 n = 1 ve = R olsun. jxj0w = sgnx gerçeklenir.

Çözüm: Key�' 2 C10 (R) fonksiyonunu alal¬m.

ZR

jxj'0(x) dx = �

ZR

(sgnx)' (x) dx

oldu¼gunu gösterelim. K¬smi integrasyon uygulan¬rsa

ZR

jxj'0(x) dx = �

0Z�1

x'0(x) dx+

1Z0

x'0(x) dx

=

0Z�1

' (x) dx�1Z0

' (x) dx

= �ZR

(sgnx)' (x) dx

elde edilir. Dolay¬s¬yla jxj0w = sgnx gerçeklenir.N

Örnek 4.1.4 n = 1 ve f 2 Lloc1 (R) olsun. Bu durumda Lebesgue integral teorisinden

bildi¼gimiz gibi

xZa

f (y) dy fonksiyonu R kümesinde lokal mutlak süreklidir. Ayr¬ca

h:h:h: x 2 R için

0@ xZa

f (y) dy

1A0

= f (x) gerçeklenir. Di¼ger yandan 8 f 2 Lloc1 (R)

için R üzerinde 0@ xZa

f (y) dy

1A0

w

= f (x)

sa¼glan¬r.

38

Çözüm: ' 2 C10 (R) key� fonksiyonunu göz önüne alal¬m. supp' = [c; d] olsun.xZa

f (y) dy fonksiyonu R üzerinde lokal mutlak sürekli oldu¼gu için k¬smi integrasyon

yard¬m¬yla

ZR

0@ xZa

f (y) dy

1A'0(x) dx =

dZc

0@ xZa

f (y) dy

1A'0(x) dx

=

0@ xZa

f (y) dy

1A' (x) jdc �dZc

' (x) d

0@ xZa

f (y) dy

1A= �

dZc

0@ xZa

f (y) dy

1A0

' (x) dx

= �ZR

f (x)' (x) dx

elde edilir. Dolay¬s¬yla R üzerinde

0@ xZa

f (y) dy

1A0

w

= f (x)

gerçeklenir.N

Örnek 4.1.5 n = 1 ve = R olsun. R üzerinde (sgnx)0

w zay¬f türevi mevcut

de¼gildir.

Çözüm: Kabul edelim ki g 2 Lloc1 (R) zay¬f türevi mevcut olsun. Bu durumda key�

' 2 C10 (R) fonksiyonu için

ZR

(sgnx)'0(x) dx = �

ZR

g (x)' (x) dx

39

gerçeklenmelidir. Di¼ger yandan

ZR

(sgnx)'0(x) dx = �

0Z�1

'0(x) dx+

1Z0

'0(x) dx = �' (0)� ' (0)

olup 8' 2 C10 (R) için ZR

g (x)' (x) dx = 2' (0)

elde edilir. Key� 2 C10 (R) fonksiyonu için ' (x) = x (x) fonksiyonunu göz

önüne al¬rsak Teorem 2.3.6 yard¬m¬yla

ZR

xg (x) (x) dx = 0 =) g � 0

elde edilir. Dolay¬s¬yla 8' 2 C10 (R) için 2' (0) = 0 gerçeklenir. Bu ise çeliskidir.N

Tan¬m 4.1.2 (Zay¬f Türev) � Rn aç¬k küme, j�j 6= 0 olacak sekilde � 2 Nn0katl¬indeks ve f; g 2 Lloc1 () olsun. E¼ger Lloc1 () uzay¬nda m!1 için

m ! f

D� m ! g

olacak sekilde f mg1m=1 � C1 () fonksiyonlar dizisi varsa g fonksiyonuna

üzerinde f fonksiyonunun � -¬nc¬mertebeden zay¬f türevi ad¬verilir.

Teorem 4.1.1 Tan¬m 4.1.1 ve Tan¬m 4.1.2 denktir.

·Ispat: (Tan{m 4:1:2 =) Tan{m 4:1:1) m 2 C1 () ve 8' 2 C10 () için k¬smi

integrasyon uygularsak

Z

mD�'dx = (�1)j�j

Z

D� m'dx

40

elde edilir. Sol taraftaki ifade m!1 içinZ

fD�'dx integraline yaklas¬r. Gerçek-

ten; m!1 için������Z

( m � f)D�'dx

������ � maxx2supp'

jD�'jZ

supp'

j m � f j dx �! 0

sa¼glan¬r. Benzer düsünceyle sa¼g taraftaki ifade de m ! 1 için (�1)j�jZ

g'dx

integraline yaklas¬r. Bundan dolay¬8' 2 C10 () için

Z

fD�'dx = (�1)j�jZ

g'dx

gerçeklenir. Dolay¬s¬yla Tan¬m 4.1.1 anlam¬nda g = D�wf sa¼glan¬r.

(Tan{m 4:1:1 =) Tan{m 4:1:2)

Bm :=

�x 2 : jxj < m; d (x; @) >

2

m

�

kümesi tan¬mlans¬n. Bu kümenin karakteristik fonksiyonu �m olsun. 8m 2 N için

m = A 1mf�m

fonksiyonlar¬n¬tan¬mlayal¬m. Di¼ger yandan; f 2 Lloc1 () oldu¼gundan f�m 2 L1 ()

ve

j m (x)j =���A 1

m(f�m) (x)

��� � ZB(0;1)

j! (z)j���(f�m)�x� z

m

���� dz <1olup m fonksiyonu kümesi üzerinde iyi tan¬ml¬d¬r. Teorem 3.2.2 deki islemler

benzer olarak yap¬l¬rsa m 2 C1 () elde edilir. Ayr¬ca Sonuç 3.2.2 ve ileride

verece¼gimiz Teorem 4.2.6 dikkate al¬n¬rsa Lloc1 () uzay¬nda m!1 için

41

m = A 1m(f�m)! f

ve

D� m = D��A 1

m(f�m)

�= A 1

m(D�

w (f�m))! D�wf = g

elde edilir.N

Tan¬m 4.1.3 (Zay¬f Türev) � R aç¬k küme, k 2 N ve f; g 2 Lloc1 () olsun.

E¼ger kümesi üzerinde f fonksiyonuna denk öyle ki (k � 1) -inci mertebeden adi

türevi h(k�1) lokal mutlak sürekli ve h(k) � g olacak sekilde bir h fonksiyonu varsa

bu durumda g fonksiyonuna üzerinde f fonksiyonunun k -¬nc¬mertebeden zay¬f

türevi ad¬verilir. g = Dkwf = f

(k)w ile gösterilir.

Teorem 4.1.2 Tan¬m 4.1.1 ve Tan¬m 4.1.2 de n = 1 olmas¬durumunda Tan¬m 4.1.1,

Tan¬m 4.1.2 ve Tan¬m 4.1.3 denktir.

·Ispat: = (a; b) olmas¬durumunu inceleyelim.

(Tan{m 4:1:3 =) Tan{m 4:1:1) Key� ' 2 C10 () fonksiyonunu göz önüne alal¬m.

h(k�1) fonksiyonu (a; b) üzerinde lokal mutlak sürekli oldu¼gundan k defa k¬smi

integrasyonla

bZa

f'(k)dx =

bZa

h'(k)dx = (�1)kbZa

h(k)'dx = (�1)kbZa

g'dx

istenilen elde edilir.

(Tan{m 4:1:2 =) Tan{m 4:1:3) k = 1 olsun. Lloc1 () uzay¬nda m ! f oldu¼gundan

bir fmsg alt dizisi ve m ((a; b) =G) = 0 olacak sekilde bir G � (a; b) alt kümesi

mevcut olup 8x 2 G için ms(x)

s!1�! f (x) gerçeklenir. z 2 G eleman¬n¬sabitleyelim

42

ve

ms(x) = ms

(z) +

xZz

0

ms(y) dy

esitli¼ginde s!1 için limite geçelim. Bu durumda 8x 2 G için

f (x) = f (z) +

xZz

g (y) dy = h (x)

elde edilir. Di¼ger yandan g 2 Lloc1 () oldu¼gundan

xZz

g (y) dy fonksiyonu mutlak

süreklidir. Dolay¬s¬yla (a; b) aral¬¼g¬nda f fonksiyonuna denk olan lokal mutlak sürekli

h fonksiyonu mevcuttur ve h0 � g gerçeklenir.

E¼ger k > 1 ise a < � < x < � < b için msfonksiyonlar¬na ortalama Taylor formülü

uygularsak (Burenkov 1998)

ms(x) =

�Z�

p (x; y) ms(y) dy +

1

(k � 1)!

xZ�

(x� y)k�1

0@ yZ�

! (u) du

1A (k)ms(y) dy

� 1

(k � 1)!

�Zx

(x� y)k�1

0@ �Zy

! (u) du

1A (k)ms(y) dy

gerçeklenir. Burada; p 2 C ([a; b]� [a; b]) ; 8y 2 [a; b] için p (:; y) 2 }k�1, ! 2

C10 (�; �) ve

�Z�

! (u) du = 1 dir. Dolay¬s¬yla yukar¬daki ifadede x 2 G için s ! 1

iken limite geçersek

f (x) =

�Z�

p (x; y) f (y) dy +1

(k � 1)!

xZ�

(x� y)k�1

0@ yZ�

! (u) du

1A g (y) dy

� 1

(k � 1)!

�Zx

(x� y)k�1

0@ �Zy

! (u) du

1A g (y) dy

= h (x)

43

elde edilir. Ayr¬ca x 2 G için

h(k�1) (x) =

�Z�

@k�1

@xk�1p (x; y) f (y) dy+

xZ�

0@ yZ�

! (u) du

1A g (y) dy��Zx

0@ �Zy

! (u) du

1A g (y) dy

gerçeklenir. Di¼ger yandan [�; �] aral¬¼g¬nda

0@ yZ�

! (u) du

1A g (y) ;

0@ �Zy

! (u) du

1A g (y) 2 L1 [�; �]

sa¼gland¬¼g¬ndan h(k�1) fonksiyonu lokal mutlak süreklidir. Dolay¬s¬yla x 2 G için

h(k) (x) =

0@ xZ�

! (u) du

1A g (x) +

0@ �Zx

! (u) du

1A g (x) =

0@ �Z�

! (u) du

1A g (x) = g (x)

elde edilir.N

4.2 Zay¬f Türevin Temel Özellikleri

Teorem 4.2.1 � Rn aç¬k küme, f; g 2 Lloc1 (), kümesi üzerinde g = D�wf ve

key� 0 � alt kümesini göz önüne alal¬m. Bu durumda 0 kümesi üzerinde de

g = D�wf gerçeklenir.

·Ispat: Key�' 2 C10 (0) fonksiyonunu göz önüne alal¬m. Bu ' fonksiyonu �0kümesi üzerinde s¬f¬r olarak tan¬mlanarak ' 2 C10 () fonksiyonuna genisletilebilir.

Bu durumda

Z0

g'dx =

Z

g'dx = (�1)j�jZ

fD�'dx = (�1)j�jZ0

fD�'dx

yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla g fonksiyonunun 0 üzerinde f fonksiyonunun � -¬nc¬mer-

tebeden zay¬f türevi oldu¼gu ispatlanm¬s olur.N

44

Teorem 4.2.2 � Rn aç¬k küme, f1; f2 2 Lloc1 () ve kümesi üzerinde

g1 = D�wf1 2 Lloc1 ()

g2 = D�wf2 2 Lloc1 ()

zay¬f türevleri mevcut olsun. Bu durumda c1; c2 2 R olmak üzere D�w (c1f1 + c2f2)

mevcut olup

D�w (c1f1 + c2f2) = c1D

�wf1 + c2D

�wf2

gerçeklenir.

·Ispat: Key�' 2 C10 () fonksiyonunu alal¬m. Bu durumda

Z

(c1f1 + c2f2)D�'dx = c1

Z

f1D�'dx+ c2

Z

f2D�'dx

= (�1)j�j c1Z

g1'dx+ (�1)j�j c2Z

g2'dx

= (�1)j�jZ

(c1g1 + c2g2)'dx

= (�1)j�jZ

(c1D�wf1 + c2D

�wf2)'dx

gerçeklenir. Buradan istenilen elde edilmis olur. Dolay¬s¬yla D�w zay¬f türev ope-

ratörü lineerdir.N

Teorem 4.2.3 � Rn aç¬k küme, j�j 6= 0 olacak sekilde � 2 Nn0 katl¬indeks,

kümesi üzerinde tan¬ml¬f fonksiyonu 8x 2 için (D�f) (x) klasik anlamda türeve

sahip ve D�f 2 C () ise bu durumda kümesi üzerinde

D�f = D�wf

gerçeklenir.

45

·Ispat: 8' 2 C10 () ve D�f 2 C () olmas¬kullan¬larak Not 2.3.1 yard¬m¬yla

Z

fD�'dx = (�1)j�jZ

D�f'dx

elde edilir.N

Not 4.2.1 (i) Teorem 4.2.3 deki D�f fonksiyonunun süreklilik sart¬kald¬r¬lamaz.

Örne¼gin;

f (x) :=

8<: x2 sin�1x2

�; x 6= 0

0 ; x = 0

fonksiyonunu tan¬mlayal¬m. f fonksiyonunun klasik anlamda türevi

f0(x) =

8<: 2x sin�1x2

�� 2

xcos�1x2

�; x 6= 0

0 ; x = 0

olup R nin tamam¬nda mevcuttur. Ancak buldu¼gumuz bu klasik türev f

fonksiyonunun zay¬f türevi de¼gildir. Çünkü;

1Z0

2

x

����cos� 1x2����� dx =

1Z1

jcos yjy

dy =1

olmas¬ndan dolay¬f0=2 Lloc1 (R) gerçeklenir. Dolay¬s¬yla f 0 fonksiyonu f fonksi-

yonunun zay¬f türevi de¼gildir.

(ii) Belirtmek gerekir ki e¼ger f 2 Lloc1 () fonksiyonu kümesi üzerinde D�wf zay¬f

türevine sahip ise bu durumda D�wf 2 Lloc1 () olmal¬d¬r.

Teorem 4.2.4 � Rn aç¬k küme, j�j 6= 0 olacak sekilde � 2 Nn0 katl¬ indeks,

f; g; h 2 Lloc1 () fonksiyonlar¬için kümesi üzerinde g = D�wf ve h = D�

wf gerçek-

lensin. Bu durumda kümesi üzerinde hemen hemen her yerde g = h sa¼glan¬r.

46

·Ispat: 8' 2 C10 () fonksiyonlar¬n¬göz önüne alal¬m. Hipotezden

Z

fD�'dx = (�1)j�jZ

g'dx

ve Z

fD�'dx = (�1)j�jZ

h'dx

yaz¬labilir. Bu iki ifadeyi taraf tarafa ç¬kart¬rsak key�' 2 C10 () fonksiyonlar¬için

Z

(g � h)'dx = 0

elde edilir. Teorem 2.3.6 dan kümesi üzerinde hemen hemen her yerde g = h

sa¼glan¬r.N

Klasik anlamda türev kavram¬gibi zay¬f türev kavram¬da lokal bir kavramd¬r. Yani;

E¼ger g 2 Lloc1 () fonksiyonu lokal üzerinde f 2 Lloc1 () fonksiyonunun � -¬nc¬

basamaktan zay¬f türevi (8x 2 için x eleman¬n¬n bir Ux komsulu¼gu vard¬r öyle

ki g fonksiyonu Ux üzerinde f fonksiyonunun � -¬nc¬basamaktan zay¬f türevi) ise

bu durumda g fonksiyonu üzerinde f fonksiyonunun � -¬nc¬ basamaktan zay¬f

türevidir. Gerçekten;

Key� ' 2 C10 () fonksiyonunu göz önüne alal¬m. Dolay¬s¬yla supp' �s[

m=1

Uxm

olacak sekilde fUxmgsm=1 aç¬k örtüsü vard¬r. O halde8>><>>:

(i) m 2 C10 (Uxm)

(ii) supp' üzerindesX

m=1

m = 1

olacak sekilde f mgsm=1 birimin parçalanmas¬n¬göz önüne alabiliriz.

47

üzerindesX

m=1

' m = ' sa¼gland¬¼g¬ndan

Z

fD�'dx =sX

m=1

ZUxm

fD� (' m) dx

= (�1)j�jsX

m=1

ZUxm

g' mdx

= (�1)j�jZ

g'dx

istenilen elde edilir.

Teorem 4.2.5 � Rn aç¬k küme, j�j 6= 0 olacak sekilde � 2 Nn0 katl¬indeksi için

D�w operatörünün tan¬m kümesini G� () ile gösterelim. Yani;

G� () :=�f 2 Lloc1 () : D�

wf mevcut

olsun. Bu durumda D�w zay¬f türev operatörü

D�w : G� () � Lloc1 () �! Lloc1 ()

kapal¬bir operatördür.

·Ispat: 8m 2 N için fm 2 G� () olacak sekilde ffmg1m=1 fonsiyonlar dizisi, f; g 2

Lloc1 () ve Lloc1 () uzay¬nda m!1 için

fm ! f

D�wfm ! g

gerçeklensin. Key�' 2 C10 () fonksiyonu için

Z

fmD�'dx = (�1)j�j

Z

D�wfm'dx

48

sa¼glan¬r. m!1 için limite geçersek

Z

fD�'dx = (�1)j�jZ

g'dx

olur. Buradan D�wf = g ve f 2 G� () olup D�

w operatörü kapal¬d¬r.N

Teorem 4.2.6 (·Integral ·Isareti Alt¬nda Zay¬f Türev) � Rn aç¬k küme,

A � Rm ölçülebilir küme, j�j 6= 0 olacak sekilde � 2 Nn0 katl¬indeks olsun. Kabul

edelim ki f fonksiyonu � A kümesi üzerinde tan¬ml¬, h:h:h: y 2 A için f (:; y) 2

Lloc1 (), üzerinde D�wf (:; y) zay¬f türevi mevcut ve 8K � kompakt kümesi için

f;D�wf 2 L1 (K � A) olsun. Bu durumda üzerinde

D�w

0@ZA

f (x; y) dy

1A =

ZA

(D�wf) (x; y) dy (4.2.1)

gerçeklenir.

·Ispat: Key�' 2 C10 () fonksiyonlar¬için

f (x; y)D�' (x) , (D�wf) (x; y)' (x) 2 L1 (� A)

gerçeklenir. Gerçekten;

Z�A

jf (x; y)D�' (x)j dxdy � maxx2

jD�' (x)jZ

supp'�A

jf (x; y)j dxdy <1

elde edilir. Di¼ger ifade de benzer olarak gösterilebilir. Dolay¬s¬yla Tan¬m 4.1.1 ve

integral s¬ras¬n¬de¼gistirmek için Fubini teoremi kullan¬l¬rsa

Z

0@ZA

(D�wf) (x; y) dy

1A' (x) dx =

ZA

0@Z

(D�wf) (x; y)' (x) dx

1A dy

49

= (�1)j�jZA

0@Z

f (x; y)D�' (x) dx

1A dy

= (�1)j�jZ

0@ZA

f (x; y) dy

1AD�' (x) dx

esitli¼gi gerçeklenir. Böylece (4:2:1) ifadesi ispatlanm¬s olur.N

Teorem 4.2.7 (Düzgünlesme ve Zay¬f Türevin De¼gisme Özelli¼gi ) � Rn

aç¬k küme, j�j 6= 0 olacak sekilde � 2 Nn0 katl¬indeks, f 2 Lloc1 () ve üzerinde

D�wf zay¬f türevi mevcut olsun. Bu durumda 8� > 0 için � üzerinde

D� (A�f) = A� (D�wf) (4.2.2)

gerçeklenir.

·Ispat: D�wf 2 Lloc1 () oldu¼gundan Teorem 3.2.2 yard¬m¬yla A� (D�

wf) 2 C1���

dir. Ayr¬ca 8x 2 � için

A�f (x) =

ZB(0;1)

! (z) f (x� �z) dz

gerçeklenir. Tan¬m 4.1.1 den � üzerinde D�w (f (:� �z)) = (D�

wf) (:� �z) esitli¼gi

sa¼glan¬r. (x; z) 2 � �B (0; 1) için

F (x; z) = f (x� �z)! (z)

G (x; z) = (D�wf) (x� �z)! (z)

fonksiyonlar¬n¬ tan¬mlayal¬m. Bu durumda 8K �� kompakt kümesi için F ve

G fonksiyonlar¬L1 (K �B (0; 1)) uzay¬na aittir. Gerçekten F ve G fonksiyonlar¬

� � B (0; 1) kümesi üzerinde ölçülebilirdir. (Çünkü; e¼ger bir h fonksiyonu E �

Rn ölçülebilir kümesinde ölçülebilir fonksiyon ise bu durumda H (x; y) = h (x� y)

olarak tan¬mlanan fonksiyon f(x; y) 2 R2n : x� y 2 Eg � R2n ölçülebilir kümesi

50

üzerinde ölçülebilir fonksiyondur.) K � � oldu¼gundan K� � sa¼glan¬p

ZK

0B@ ZB(0;1)

j! (z) f (x� �z)j dz

1CA dx � maxz2B(0;1)

j! (z)jZK

0B@ ZB(0;1)

jf (x� �z)j dz

1CA dx

= M

ZK

0B@ ZB(x;�)

jf (y)j dy

1CA dx

� M

ZK

0@ ZK�

jf (y)j dy

1A dx

� Mm (K)

ZK�

jf (y)j dy <1

elde edilir. Dolay¬s¬yla F (x; z) 2 L1 (K �B (0; 1)) gerçeklenir. G (x; z) 2 L1 (K �B (0; 1))

olmas¬da benzer sekilde gösterilebilir. Di¼ger yandan Teorem 4.2.3 ve Teorem 4.2.6

göz önüne al¬n¬rsa 8x 2 � için

D� (A�f (x)) = D�w

0B@ ZB(0;1)

! (z) f (x� �z) dz

1CA=

ZB(0;1)

! (z)D�w (f (x� �z)) dz

=

ZB(0;1)

! (z) (D�wf) (x� �z) dz

= A� (D�wf) (x)

gerçeklenir. Bundan dolay¬istenilen elde edilir.N

51

Tan¬m 4.1.1 de zay¬f türev do¼grudan tan¬mlanm¬st¬r (Klasik anlamda türevde oldu¼gu

gibi tümevar¬msal de¼gil). Dolay¬s¬yla söyle bir soru ortaya ç¬kmaktad¬r: "D�wf zay¬f

türev mevcut iken � < � olmak üzere D�wf zay¬f türevi mevcut mudur?" Asa¼g¬daki

örnek göstermektedir ki genelde bu sorunun cevab¬olumsuzdur.

Örnek 4.2.1 (x1; x2) 2 R2 olmak üzere f (x1; x2) = sgnx1 + sgnx2 tan¬mlans¬n.

Bu durumda Örnek 4.1.5 de gördü¼gümüz üzere�@f@x1

�w;�@f@x2

�wmevcut de¼gildir.

Ancak R2 üzerinde�

@2f@x1@x2

�w= 0 gerçeklenmektedir.

Çözüm: Key�' 2 C10 (R2) alal¬m.

ZR2

f (x)@2'

@x1@x2dx =

1Z�1

1Z�1

sgnx1@2'

@x1@x2dx1dx2 +

1Z�1

1Z�1

sgnx2@2'

@x1@x2dx1dx2

=

1Z�1

0@ 1Z�1

@2'

@x1@x2dx2

1A| {z }

=0

sgnx1dx1 +

1Z�1

0@ 1Z�1

@2'

@x1@x2dx1

1A| {z }

=0

sgnx2dx2

= 0

elde edilir. Dolay¬s¬yla R2 üzerinde�

@2f@x1@x2

�w= 0 gerçeklenir.N

Teorem 4.2.8 � Rn aç¬k küme, k 2 N, k � 2, f 2 Lloc1 () ve baz¬1 � j � n için

kümesi üzerinde�@kf@xkj

�wzay¬f türevi mevcut olsun. Bu durumda s < k kosulunu

sa¼glayan 8s 2 N için kümesi üzerinde�@sf@xsj

�wzay¬f türevi mevcuttur.

·Ispat: Q yüzleri koordinat düzlemlerine paralel ve Q � olacak sekilde key� küp

olmak üzere Sonuç 2.6.1 yard¬m¬yla h 2 Ck (Q) için

@sh@xsj L1(Q)

� C1

0@khkL1(Q) + @kh@xkj

L1(Q)

1A (4.2.3)

olacak sekilde h fonksiyonundan ba¼g¬ms¬z C1 > 0 say¬s¬vard¬r.

52

f 2 Lloc1 (), Q � oldu¼gundan 8m 2 N için fm = A 1mf 2 C1 (Q) gerçeklenir.

Dolay¬s¬yla Sonuç 3.2.2 den L1 (Q) uzay¬nda

fmm!1�! f

sa¼glan¬r. Ayr¬ca Teorem 4.2.7 ve Sonuç 3.2.2 yard¬m¬yla L1 (Q) uzay¬nda

@kfm@xkj

= A 1m

@kf

@xkj

!w

!m!1�!

@kf

@xkj

!w

gerçeklenir. (4:2:3) ifadesi kullan¬l¬rsa

@sfm@xsj� @sfl@xsj

L1(Q)

� C1

0@kfm � flkL1(Q) + @kfm@xkj

� @kfl@xkj

L1(Q)

1Ayaz¬labilir. ffmg1m=1 fonksiyonlar dizisi L1 (Q) uzay¬nda yak¬nsak oldu¼gundan Cauchy

dizisidir. Dolay¬s¬yla kfm � flkL1(Q)m;l!1�! 0 olmal¬d¬r. Benzer olarak

n@kfm@xkj

o1m=1

dizisi için de ayn¬seyler söylenebilir. Böylece

limm;l!1

@sfm@xsj� @sfl@xsj

L1(Q)

= 0

gerçeklenir. L1 (Q) tam uzay oldu¼gundan gQ 2 L1 (Q) fonksiyonu vard¬r öyle ki

L1 (Q) uzay¬nda@sfm@xsj

m!1�! gQ gerçeklenir. Tan¬m 4.1.2 dikkate al¬n¬rsa gQ fonksi-

yonu Q üzerinde f fonksiyonunun xj de¼giskenine göre s -inci mertebeden zay¬f türe-

vidir. Belirtelim ki e¼ger Q1 ve Q2 arakesiti bostan farkl¬ ve yukar¬da belirtilen

kosullara uygun key� küplerse bu durumda Q1 \ Q2 üzerinde h:h:h: gQ1 = gQ2

sa¼glan¬r. Çünkü; gQ1 ve gQ2 fonksiyonlar¬f fonksiyonunun Q1 \ Q2 üzerinde za-

y¬f türevleridir. Bundan dolay¬ g 2 Lloc1 () fonksiyonu vard¬r öyle ki uygun Q

küplerinin her biri üzerinde h:h:h: g = gQ olup g fonksiyonu f fonksiyonunun Q üz-

erinde s -inci mertebeden zay¬f türevidir. Dolay¬s¬yla g fonksiyonu f fonksiyonunun

üzerinde xj de¼giskenine göre s -inci mertebeden zay¬f türevidir.N

53

Teorem 4.2.9 � Rn aç¬k küme, k 2 N; k � 2; f 2 Lloc1 () ve j�j = k olacak

sekildeki 8� 2 Nn0 katl¬indeksi için kümesi üzerinde D�wf zay¬f türevleri mevcut

olsun. Bu durumda 0 < j�j < k kosulunu sa¼glayan 8� 2 Nn0 katl¬ indeksi için

kümesi üzerinde D�wf zay¬f türevi mevcuttur.

·Ispat: Q = (a; b)� :::� (a; b) kübünü göz önüne alal¬m. h 2 Ck (Q) olsun.

�1; :::; �n 2 N0 olmak üzere j�j = �1 + :::+ �n için

D�h L1(Q)

=

@�1@x�11

@�2+:::+�nh

@x�22 :::@x

�nn

! L1(Q)

� C1

8<: @�2+:::+�nh@x

�22 :::@x

�nn

L1(Q)

+

@kh

@xk��2�:::��n1 @x

�22 :::@x

�nn

L1(Q)

9=;:::

� C2

8<:khkL1(Q) + Xj�j=k

kD�hkL1(Q)

9=; (4.2.4)

esitsizli¼gi gerçeklenir. Teorem 4.2.8 in ispat¬ndaki 8m 2 N için fm = A 1mf 2 C1 (Q)

fonksiyonlar¬n¬göz önüne alal¬m. Teorem 4.2.7 ve Sonuç 3.2.2 yard¬m¬yla L1 (Q)

uzay¬nda

fmm!1�! f

D�fm = A 1m(D�

wf)m!1�! D�

wf

gerçeklenir. Ayr¬ca (4:2:4) ifadesi dikkate al¬n¬rsa

D�fm �D�fl L1(Q)

� C2

8<:kfm � flkL1(Q) +Xj�j=k

kD�fm �D�flkL1(Q)

9=;yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla Teorem 4.2.8 in ispat¬ndaki benzer düsünceyle

limm;l!1

D�fm �D�fl L1(Q)

= 0

gerçeklenir. L1 (Q) uzay¬tam oldu¼gundan L1 (Q) uzay¬nda D�fmm!1�! gQ olacak

sekilde gQ 2 L1 (Q) fonksiyonu vard¬r. Bundan dolay¬Tan¬m 4.1.2 dikkate al¬n¬rsa

54

gQ fonksiyonu f fonksiyonunun Q üzerinde � -¬nc¬mertebeden zay¬f türevi oldu¼gu

sonucuna var¬l¬r. Teorem 4.2.8 in ispat¬n¬n son k¬sm¬nda yap¬lanlar do¼grultusunda

üzerinde D�wf zay¬f türevinin mevcut oldu¼gu söylenebilir.N

Teorem 4.2.10 f 2 Lloc1 () ve 1 � p <1 olmak üzere D�wf 2 Lp () zay¬f türevi

mevcut olsun. Bu durumda 81 �� kümesi için

kD� (A�f)�D�wfkLp(1)

�!0+�! 0

gerçeklenir.

·Ispat: D�wf = g 2 Lp () olsun. Teorem 4.2.7 den 1 kümesinde D� (A�f) = A�g

gerçeklenir. Ayr¬ca Sonuç 3.2.2 yard¬m¬yla � ! 0+ için

kA�g � gkLp(1) �! 0

sa¼glan¬r. Dolay¬s¬yla istenilen elde edilir.N

Teorem 4.2.11 (Fonksiyonlar¬n Çarp¬m¬n¬n Zay¬f Türevi)

(i) 1 < p < 1; 1p+ 1

p0= 1 olmak üzere e¼ger f;

�@f@xj

�w2 Llocp () ve g;

�@g@xj

�w2

Llocp0() ise bu durumda

�@ (fg)

@xj

�w

=

�@f

@xj

�w

g + f

�@g

@xj

�w

(4.2.5)

gerçeklenir.

(ii) f;�@f@xj

�w2 Lloc1 () ve g;

�@g@xj

�w2 C () olmas¬durumunda da (4:2:5) ifadesi

gerçeklenir.

55

·Ispat: (i) ' 2 C10 () fonksiyonunu sabitleyelim. supp' � 1 �� olacak sekilde

1 bölgesini göz önüne alal¬m. Ayr¬ca

�f (x) :=

8<: f (x) ; x 2 10 ; x =2 1

�g (x) :=

8<: g (x) ; x 2 10 ; x =2 1

fonksiyonlar¬ tan¬mlans¬n. Bu durumda�f 2 Lp (1) ;

�g 2 Lp0 (1) gerçeklenir.

Dolay¬s¬yla Sonuç 3.2.2 yard¬m¬yla � ! 0+ için

A��f � �f Lp(1)

�! 0 A��g � �g Lp0 (1)

�! 0 (4.2.6)

sa¼glan¬r. Di¼ger taraftan Teorem 4.2.1 den

Z1

�f@'

@xjdx =

Z1

f@'

@xjdx = �

Z1

�@f

@xj

�w

'dx

elde edilir. Dolay¬s¬yla1 kümesi üzerinde�@�f

@xj

�w

=�@f@xj

�wolup benzer düsünceyle�

@�g

@xj

�w=�@g@xj

�woldu¼gu da görülebilir. Bundan dolay¬

�@�f

@xj

�w

2 Lp (1),�@�g

@xj

�w2

Lp0 (1) yaz¬labilir. O halde Teorem 4.2.10 dan � ! 0+ için @A��f

@xj�

0@ @�f

@xj

1Aw

Lp(supp')

�! 0

@A��g

@xj� @�g

@xj

!w

Lp0 (supp')

�! 0 (4.2.7)

56

gerçeklenir. A��f ve A�

�g düzgün fonksiyonlar oldu¼gu için

Z1

�A�

�f��

A��g� @'

@xjdx = �

Z1

@

@xj

h�A�

�f��

A��g�i'dx

= �Z1

@A��f

@xj

�A�

�g�'dx�

Z1

A��f@A�

�g

@xj'dx (4.2.8)

yaz¬labilir. Simdi � ! 0+ için

Z1

�A�

�f��

A��g� @'

@xjdx �!

Z1

�f�g@'

@xjdx =

Z

fg@'

@xjdx (4.2.9)

oldu¼gunu gösterelim. Hölder esitsizli¼gi ve (4:2:6) ifadesi kullan¬l¬rsa � ! 0+ için������Z1

h�A�

�f��

A��g��

�f�gi @'@xj

dx

������ �

������Z1

hA�

�f �

�fi �A�

�g� @'

@xjdx

������+

������Z1

�fhA�

�g � �

gi @'@xj

dx

�������

A��f � �f Lp(1)

A��g Lp0 (1)

maxx21

���� @'@xj����

+ A��g � �

g Lp0 (1)

�f Lp(1)

maxx21

���� @'@xj����

�! 0

elde edilir. Simdi de � ! 0+ için

Z1

24@A��f@xj

A��g + A�

�f@A�

�g

@xj

35'dx !Z1

240@ @�f

@xj

1Aw

�g +

�f

@�g

@xj

!w

35'dx=

Z

��@f

@xj

�w

g + f

�@g

@xj

�w

�'dx

(4.2.10)

oldu¼gunu gösterelim.

57

Hölder esitsizli¼gi ve (4:2:7) ifadesi dikkate al¬n¬rsa � ! 0+ için������Z1

24@A��f@xj

A��g �

0@ @�f

@xj

1Aw

�g �

�f

@�g

@xj

!w

+ A��f@A�

�g

@xj

35'dx������

=

����������Z1

266664�@A�

�f

@xj��@�f

@xj

�w

�A�

�g +

�A�

�g � �

g��

@�f

@xj

�w

+�A�

�f �

�f��

@�g

@xj

�w+ A�

�f�@A�

�g

@xj��@�g

@xj

�w

�377775'dx

�����������

Zsupp'

������@A��f

@xj�

0@ @�f

@xj

1Aw

���������A��g��� j'j dx+ Z

1

���A��g � �g���������0@ @

�f

@xj

1Aw

������ j'j dx+

Zsupp'

���A��f ��������@A�

�g

@xj� @�g

@xj

!w

����� j'j dx+Z1

���A��f � �f��� ����� @�g

@xj

!w

����� j'j dx

� M

8>>>>>><>>>>>>:

@A��f@xj��@�f

@xj

�w

Lp(supp')

A��g Lp0 (supp')

+ A��g � �

g Lp0 (1)

� @�f

@xj

�w

Lp(1)

+ @A��g@xj

��@�g

@xj

�w

Lp0 (supp')

A��f Lp(supp')

+ A��f � �

f Lp(1)

� @�g@xj�w Lp0 (1)

9>>>>>>=>>>>>>;�! 0

elde edilir. (4:2:8), (4:2:9) ve (4:2:10) göz önüne al¬n¬rsa

Z

fg@'

@xjdx = �

Z

��@f

@xj

�w

g + f

�@g

@xj

�w

�'dx

yaz¬labilir. Bu esitlik key� ' 2 C10 () fonksiyonu için geçerli oldu¼gundan (4:2:5)

ifadesi gerçeklenir.

58

(ii) ' 2 C10 () fonksiyonunu sabitleyelim. supp' � 1 �� olacak sekilde

1 bölgesini göz önüne alal¬m.�f fonksiyonu (i) s¬kk¬ndaki gibi tan¬mlans¬n. Bu

durumda�f 2 L1 (1) olup Teorem 3.2.3 ve Sonuç 3.2.2 den � ! 0+ için

A��f � �f L1(1)

�! 0

kA�g � gkC(1) �! 0 (4.2.11)

gerçeklenir. (i) s¬kk¬nda 1 kümesi üzerinde�@�f

@xj

�w

=�@f@xj

�woldu¼gunu göster-

mistik. Dolay¬s¬yla�@�f

@xj

�w

2 L1 (1) olup Teorem 4.2.10, Teorem 4.2.7 ve Sonuç

3.2.2 yard¬m¬yla � ! 0+ için @A��f

@xj�

0@ @�f

@xj

1Aw

L1(supp')

�! 0

@A�g@xj��@g

@xj

�w

C(supp')

�! 0 (4.2.12)

sa¼glan¬r. A��f ve A�g düzgün fonksiyonlar oldu¼gundan

Z1

�A�

�f�(A�g)

@'

@xjdx = �

Z1

@

@xj

h�A�

�f�(A�g)

i'dx

= �Z1

@A��f

@xj(A�g)'dx�

Z1

A��f@A�g

@xj'dx (4.2.13)

yaz¬labilir. Simdi � ! 0+ için

Z1

�A�

�f�(A�g)

@'

@xjdx!

Z1

�fg

@'

@xjdx =

Z

fg@'

@xjdx (4.2.14)

oldu¼gunu gösterelim.

59

(4:2:11) ifadesi kullan¬l¬rsa � ! 0+ için������Z1

�A�

�fA�g �

�fg� @'

@xjdx

������ �Z1

���A��f � �f��� jA�gj ���� @'@xj

���� dx+ Z1

����f ��� jA�g � gj���� @'@xj

���� dx� max

x21jA�gjmax

x21

���� @'@xj���� A��f � �

f L1(1)

+ kA�g � gkC(1)maxx21

���� @'@xj���� �f

L1(1)

�! 0

istenilen elde edilir. Simdi de � ! 0+ için

Z1

24@A��f@xj

(A�g) + A��f@A�g

@xj

35'dx !Z1

240@ @�f

@xj

1Aw

g +�f

�@g

@xj

�w

35'dx=

Z

��@f

@xj

�w

g + f

�@g

@xj

�w

�'dx

(4.2.15)

oldu¼gunu gösterelim. (4:2:11) ve (4:2:12) ifadeleri kullan¬l¬rsa � ! 0+ için������Z1

24@A��f@xj

(A�g)�

0@ @�f

@xj

1Aw

g ��f

�@g

@xj

�w

+ A��f@A�g

@xj

35'dx������

=

����������Z1

266664�@A�

�f

@xj��@�f

@xj

�w

�A�g + (A�g � g)

�@�f

@xj

�w

+�A�

�f �

�f��

@g@xj

�w+�@A�g@xj

��@g@xj

�w

�A�

�f

377775'dx����������

� maxx21

j'j

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

Zsupp'

����@A��f@xj��@�f

@xj

�w

���� jA�gj dx+ Z1

jA�g � gj����� @

�f

@xj

�w

���� dx

+

Z1

���A��f � �f��� ���� @g

@xj

�w

��� dx+ Zsupp'

���@A�g@xj��@g@xj

�w

��� ���A��f ��� dx

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;

60

� maxx21

j'j

8><>:maxx21jA�gj

@A��f

@xj�

0@ @�f

@xj

1Aw

L1(supp')

+ kA�g � gkC(1)

0@ @

�f

@xj

1Aw

L1(1)

+maxx21

����� @g

@xj

�w

���� A��f � �f L1(1)

+

@A�g@xj��@g

@xj

�w

C(supp')

A��f L1(1)

)

istenilen elde edilir. (4:2:13) ; (4:2:14) ve (4:2:15) ifadeleri göz önüne al¬n¬rsa

Z

fg@'

@xjdx = �

Z

��@f

@xj

�w

g + f

�@g

@xj

�w

�'dx

d¬r. Bu key�' 2 C10 () fonksiyonu için geçerli oldu¼gundan (4:2:5) gerçeklenir.N

Teorem 4.2.12 (De¼giskenlerin De¼gismesi) f 2 Lloc1 () ve 1 � j � n için�@f@xj

�w2 Lloc1 () zay¬f türevleri mevcut olsun. Ayr¬ca y = h (x) fonksiyonu C1

s¬n¬f¬ndan difeomor�zm ve h () = e olsun. ef (y) = f (h�1 (y)) olarak belirleyelim.

Bu durumda ef 2 Lloc1 �e� ve 1 � � � n için�@ ef@y�

�wzay¬f türevi mevcut olup

@ ef@y�

!w

=

nXj=1

�@f

@xj

�w

@xj@y�

gerçeklenir.

·Ispat: 1 � j � n için�@f@xj

�w2 Lloc1 () zay¬f türevleri mevcut oldu¼gundan Tan¬m

4.1.2 dikkate al¬n¬rsa ffmg1m=1 � C1 () fonksiyonlar dizisi vard¬r öyle ki Lloc1 ()

uzay¬nda 1 � j � n için

fmm!1�! f ;

@fm@xj

m!1�!�@f

@xj

�w

gerçeklenir.

61

8m 2 N için efm (y) = fm (h�1 (y)) fonksiyonlar¬n¬tan¬mlayal¬m. Bu durumda efm 2

C1�e� olup klasik türev için bildi¼gimiz kuraldan

@ efm@y�

=nXj=1

@fm@xj

@xj@y�

yaz¬labilir. Simdi Lloc1�e� uzay¬nda efm m!1�! ef oldu¼gunu gösterelim. Gerçekten

8e1 �� e kümesi için m!1 iken

Ze1��� efm (y)� ef (y)��� dy =

Ze1��fm �h�1 (y)�� f

�h�1 (y)

��� dy=

Z1

jfm (x)� f (x)j jJ (x)j dx

�! 0

d¬r. Burada 1 = h�1�e1� ve J (x), h (x) dönüsümünün Jakobiyenidir. Dolay¬s¬yla

jJ (x)j fonksiyonu 1 kümesinde s¬n¬rl¬, 1 �� ve Lloc1 () uzay¬nda fmm!1�! f

oldu¼gundan yukar¬daki ifadenin sa¼g taraf¬s¬f¬ra yaklas¬r. Böylece istenilen elde edilir.

Simdi de Lloc1 () uzay¬nda @fm@xj

m!1�!�@f@xj

�wolmas¬ndan yararlanarak Lloc1

�e�uzay¬nda

@ efm@y�

=nXj=1

@fm@xj

@xj@y�

m!1�!nXj=1

�@f

@xj

�w

@xj@y�

oldu¼gunu gösterelim. Gerçekten; e1 �� e olmak üzere m!1 için

Ze1

�����@ efm@y�(y)�

@ ef@y�

(y)

!w

����� dy =

Z1

�����nXj=1

@fm@xj

(x)@xj@y�

�nXj=1

�@f

@xj

�w

@xj@y�

����� jJ (x)j dx�

Z1

nXj=1

����@fm@xj(x)�

�@f

@xj

�w

���� ����@xj@y�

���� jJ (x)j dx� max

1�j�nmaxx21

����@xj@y�

���� jJ (x)j�

nXj=1

Z1

����@fm@xj(x)�

�@f

@xj

�w

���� dx�! 0

62

elde edilir. Dolay¬s¬yla Tan¬m 4.1.2 göz önüne al¬n¬rsa�@ ef@y�

�wzay¬f türevi mevcut

olup @ ef@y�

!w

=nXj=1

�@f

@xj

�w

@xj@y�

sa¼glan¬r.N

Teorem 4.2.13 � Rn aç¬k, ba¼glant¬l¬küme, f 2 Lloc1 () ve j�j = k olacak sekilde

8� 2 Nn0 katl¬indeksi için D�wf zay¬f türevlerinin mevcut oldu¼gunu kabul edelim.

üzerinde D�wf = 0 ise bu durumda f (x) 2 }k�1 dir.

·Ispat: 1 �� ba¼glant¬l¬küme olsun. Ayr¬ca 1 �� 2 �� olacak sekilde 2ba¼glant¬l¬kümesini seçelim.

ef (x) =8<: f (x) ; x 2 2

0 ; x =2 2

fonksiyonunu tan¬mlayal¬m. Bu durumda ef 2 L1 (2) ve j�j = k olacak sekilde

8� 2 Nn0 katl¬indeksi için 2 üzerinde

D�wef = D�

wf = 0

sa¼glan¬r. A� ef (x) düzgünlesmesini göz önüne alal¬m. E¼ger d (1; @2) > � ise Teorem

4.2.7 den x 2 1 için

D�A� ef (x) = A�

�D�wef (x)�

yaz¬labilir. Bundan dolay¬j�j = k olacak sekilde 8� 2 Nn0 katl¬indeksi için 1üzerinde D�A� ef (x) = 0 gerçeklenir. Bu nedenle A� ef (x) fonksiyonu 1 içindedüzgün fonksiyon olup k -¬nc¬basamaktan tüm türevleri s¬f¬rd¬r. Buradan P (�)k�1 (x) 2

}k�1 olacak sekilde bir polinom olmak üzere 8x 2 1 için

A� ef (x) = P(�)k�1 (x)

63

elde edilir. Sonuç 3.2.2 yard¬m¬yla � ! 0+ için

A� ef � f L1(1)

�! 0

gerçeklenir. Yani; L1 (1) uzay¬nda P(�)k�1

�!0�! f sa¼glanmal¬d¬r. Teorem 2.1.2 göz

önüne al¬n¬rsa 1 üzerinde tan¬ml¬derecesi (k � 1) den küçük veya esit tüm poli-

nomlar¬n kümesi L1 (1) uzay¬nda sonlu boyutlu bir alt uzay olup dolay¬s¬yla ka-

pal¬d¬r. O halde f (x) limiti de derecesi (k � 1) den küçük veya esit olacak sekilde

bir polinomdur. Yani; 8x 2 1 için f (x) = Pk�1 (x) yaz¬labilir. Simdi

(m)1 �� ; (m)1 � (m+1)1 ve

[m2N

(m)1 =

olacak sekilden(m)1

om2N

ba¼glant¬l¬kümelerin bir dizisini göz önüne alal¬m. Az önce

ispat ettik ki her bir (m)1 kümesi için x 2 (m)1 olmas¬durumunda f (x) = P(m)k�1 (x)

sa¼glan¬r. Bu durumda P (m+1)k�1 (x) polinomu P (m)k�1 (x) polinomunun devam¬d¬r. Ancak

bir polinomun devam¬tektir. Dolay¬s¬yla Pk�1 (x) polinomu vard¬r öyle ki x 2

için f (x) = Pk�1 (x) sa¼glan¬r.N

Teorem 4.2.14 f : [a; b] �! R ölçülebilir fonksiyonunun [a; b] üzerinde mutlak

sürekli olmas¬için ()�dfdx

�w2 L1 (a; b) zay¬f türevinin mevcut olmas¬d¬r.

·Ispat: (=)) f (x) fonksiyonu [a; b] üzerinde mutlak sürekli olsun. Bu durumda

Teorem 2.6.2 dikkate al¬n¬rsa h:h:h: x 2 (a; b) için dfdx= g klasik anlamda türevi

mevcut olup g 2 L1 (a; b) gerçeklenir. Key� ' 2 C10 (a; b) fonksiyonunu göz önüne

alal¬m. Dolay¬s¬yla 'f fonksiyonu da [a; b] üzerinde mutlak süreklidir. O halde

h:h.h: x 2 (a; b) için d('f)dx

klasik anlamda türevi mevcut olup

d ('f)

dx= 'g + f

d'

dx

64

yaz¬labilir. (a; b) aral¬¼g¬nda bu esitlik integre edilirse

bZa

d ('f)

dxdx =

bZa

'gdx+

bZa

fd'

dxdx = f' jba= 0

bulunur. Bundan dolay¬

bZa

�'g + f

d'

dx

�dx = 0 =)

bZa

fd'

dxdx = �

bZa

g'dx =) g =

�df

dx

�w

2 L1 (a; b)

gerçeklenir. Böylece ispat¬n ilk k¬sm¬tamamlan¬r.

((=) g =�dfdx

�w2 L1 (a; b) zay¬f türevi mevcut olsun.

h (x) =

xZa

g (t) dt

fonksiyonunu ele alal¬m. Teorem 2.6.1 göz önüne al¬n¬rsa h (x) fonksiyonu [a; b]

aral¬¼g¬nda mutlak süreklidir. Bundan dolay¬h:h:h: x 2 (a; b) için dhdx= g klasik

anlamda türevi mevcuttur. ·Ispat¬n ilk k¬sm¬ndan dolay¬�dhdx

�wzay¬f türevi mevcut

olup klasik anlamda türev ile çak¬s¬r. Yani;

�df

dx

�w

=

�dh

dx

�w

=)�d (f � h)

dx

�w

= 0

yaz¬labilir. Teorem 4.2.13 den dolay¬f �h = C (sbt) olmal¬d¬r. h (x) mutlak sürekli

oldu¼gundan f (x) = C+h (x) fonksiyonuda [a; b] aral¬¼g¬nda mutlak süreklidir. Di¼ger

yandan h (a) = 0 oldu¼gundan f (a) = C olmal¬d¬r. Dolay¬s¬yla

f (x) = f (a) +

xZa

g (t) dt

olup ve ayr¬ca g 2 L1 (a; b) oldu¼guda dikkate al¬n¬rsa f fonksiyonunun [a; b]

aral¬¼g¬nda mutlak sürekli oldu¼gu elde edilir.N

65

5. SOBOLEV UZAYLARI

5.1 Sobolev Uzaylar¬Tan¬m¬

Tan¬m 5.1.1 (Sobolev Uzay¬) 1 � p � 1, k 2 N0 olmak üzere

W kp () :=

�f : �! R j f 2 Lloc1 () ; 8 j�j � k için D�

wf 2 Lp ()

ile tan¬mlanan küme Lp () uzay¬n¬n alt uzay¬d¬r. Bu uzaya W kp () Sobolev uzay¬

denir.

Tan¬m 5.1.2 f 2 W kp () olmak üzere f fonksiyonununW

kp () Sobolev uzay¬ndaki

normu

kfkWkp ()

:=

8>>>>><>>>>>:

0@Xj�j�k

Z

jD�wf j

p dx

1A 1p

; 1 � p <1

Xj�j�k

esssupx2

jD�wf j ; p =1

olarak tan¬ml¬d¬r. Bu norma standart norm denir.

Asa¼g¬daki teoremde, yukar¬da tan¬mlanan k:kWkp ()

fonksiyonelinin gerçekten norm

aksiyomlar¬n¬sa¼glad¬¼g¬gösterilmistir.

Teorem 5.1.1 k:kWkp ()

: W kp () �! R fonksiyoneli bir norm tan¬mlar.

·Ispat: 1 � p <1 olsun.

kfkWkp ()

= 0, h:h:h. f = 0

ve k�fkWkp ()

= j�j kfkWkp ()

özellikleri aç¬k olarak sa¼glan¬r. Simdi f; g 2 W kp ()

fonksiyonlar¬n¬alal¬m. Minkowski esitsizli¼gi ve k:kLp() normunun özelli¼gi göz önüne

66

al¬n¬rsa

kf + gkWkp ()

=

0@Xj�j�k

kD�wf +D�

wgkpLp()

1A 1p

�

0@Xj�j�k

�kD�

wfkLp() + kD�wgkLp()

�p1A 1p

�

0@Xj�j�k

kD�wfk

pLp()

1A 1p

+

0@Xj�j�k

kD�wgk

pLp()

1A 1p

= kfkWkp ()

+ kgkWkp ()

üçgen esitsizli¼gi elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar. p = 1 için de benzer islemler

yap¬larak norm oldu¼gu gösterilebilir.N

Tan¬m 5.1.3 8m 2 N için fm; f 2 W kp () olsun.

(i) ffmg1m=1 fonksiyonlar dizisinin f fonksiyonunaW kp () uzay¬nda yak¬nsak olmas¬

için() limm!1

kfm � fkWkp ()

= 0 olmas¬d¬r.

(ii) ffmg1m=1 fonksiyonlar dizisinin f fonksiyonuna W kp;loc () uzay¬nda yak¬nsak ol-

mas¬için() 8V �� için limm!1

kfm � fkWkp (V )

= 0 olmas¬d¬r.

Not 5.1.1 Tan¬m 4.1.3 göz önüne al¬n¬rsa su sonucu ç¬karabiliriz. n = 1 ve � R

aç¬k aral¬k olmak üzere f 2 W kp () () f � h olacak sekilde h fonksiyonu vard¬r

öyle ki h(k�1) lokal mutlak sürekli ve h(k) 2 Lp () olmas¬d¬r.

Örnek 5.1.1 = B (0; 1) � Rn ve f (x) = jxj�� olmak üzere �; n; p nin hangi

de¼gerleri için f fonksiyonu W 1p () uzay¬na aittir?

Çözüm: x 6= 0 olmak üzere f fonksiyonunun xi de¼giskenine göre klasik türevi

@f

@xi= �� jxj���1 xijxj = ��

xi

jxj�+2

67

olup Df (x) :=�@f@x1; :::; @f

@xn

�ile tan¬ml¬gradiyent vektörünün normu

jDf (x)j =s�2

x1

jxj2(�+2)+ :::+ �2

xn

jxj2(�+2)=

�

jxj�+1

olarak bulunur. Key� ' 2 C10 () fonksiyonu ve � > 0 sabitlenmis say¬ olsun.

Bu durumda Teorem 2.3.7 yard¬m¬yla � = (�1; :::; �n), @B (0; 1) üzerinde içe yön-

lendirilmis birim normal vektör olmak üzere

ZnB(0;�)

f'xidx = �Z

nB(0;�)

fxi'dx+

Z@B(0;�)

f'�idS

yaz¬labilir. �+ 1 < n olmas¬durumunda �! 0�������Z

@B(0;�)

f'�idS

������� � k'kL1()Z

@B(0;�)

���dS

� C�n�1�� �! 0

gerçeklenir. Böylece e¼ger �+ 1 < n ise key�' 2 C10 () için

Z

f'xidx = �Z

fxi'dx

sa¼glan¬r. Ayr¬ca jDf (x)j = �jxj�+1 2 Lp (), (�+ 1) p < n: Dolay¬s¬yla

f 2 W 1p (), � < n�p

p:N

Yukar¬daki örnekteki fonksiyon için f 2 C () , � � 0 olmas¬d¬r. E¼ger n = 2;

1 � p < 2 ve 0 < � < 2�ppise bu durumda f 2 W 1

p () ve f =2 C () gerçeklenir.

Örnek 5.1.2 � < 1 olmak üzere = B (0; �) � R2, x 2 B (0; �) için

f (x) = log

�log

�1

jxj

��

fonksiyonunu göz önüne alal¬m. Bu durumda f 2 W 12 () gerçeklenir.

68

Çözüm: f 2 L2 () oldu¼gu kolayca gösterilebilir. x 6= 0 olmak üzere f fonksi-

yonunun xi de¼giskenine göre klasik türevi

@f

@xi(x) =

xi

jxj2 log jxj

olup

jDf (x)j =s

x21jxj4 log2 jxj

+x22

jxj4 log2 jxj=

1

jxj log jxj

bulunur. BuradanZ

jDf (x)j2 dx = � 2�log �

<1 oldu¼gu görülür. Simdi @f@xi (x) klasik

anlamda türevinin zay¬f türev oldu¼gunu gösterelim. Key� ' 2 C10 () fonksiyonu

ve � > 0 yeterince küçük olmak üzere k¬smi integrasyon uygulan¬rsa

ZnB(0;�)

f'xidx = �Z

nB(0;�)

fxi'dx+

Z@B(0;�)

f'�idS

elde edilir. Di¼ger yandan �! 0 için�������Z

@B(0;�)

f'�idS

������� � k'kL1()Z

@B(0;�)

log

�log

�1

�

��dS

= k'kL1() � (n) � log�log

�1

�

��! 0

sa¼glan¬r. Dolay¬s¬yla 8' 2 C10 () için

Z

f'xidx = �Z

fxi'dx

gerçeklenip f 2 W 12 () elde edilir. Ancak x! 0 için f (x) fonksiyonu s¬n¬rs¬zd¬r.N

Son örnek göstermektedir ki Sobolev uzay¬na ait bir f fonksiyonu baz¬düzgünlük

özelliklerine sahip olmas¬na ra¼gmen kötü davran¬slara da sahip olabilir.

69

Not 5.1.2 Bildi¼gimiz gibi Lp () uzay¬ fonksiyonlar¬n denklik s¬n¬�ar¬ndan olus-

maktad¬r. Dolay¬s¬yla Lp () uzay¬nda bir f fonksiyonunun sürekli olmas¬n¬n anlam¬

f fonksiyonunun içinde bulundu¼gu denklik s¬n¬f¬bir sürekli fonksiyon temsilcisine

sahip olmas¬anlam¬na gelmektedir. Benzer düsünce W kp () Sobolev uzaylar¬için

de geçerlidir.

5.2 Sobolev Uzaylar¬n¬n Temel Özellikleri

Klasik anlamda türev kurallar¬n¬n zay¬f türev kavram¬na uygulamas¬n¬n yan¬nda

Sobolev uzaylar¬n¬n kendisi çok iyi bir matematiksel yap¬ya sahiptir.

Teorem 5.2.1 f; g 2 W kp () ve j�j � k olsun. Bu durumda

(i) D�wf 2 W

k�j�jp () ve ayr¬ca j�j+ j�j � k olacak sekilde 8�; � katl¬indeksi için

D�w (D

�wf) = D�

w

�D�wf�= D�+�

w f

gerçeklenir.

(ii) � 2 C10 () ) �f 2 W kp () olup

D�w (�f) =

X���

��

�

�D��D���

w f (5.2.1)

gerçeklenir.

(iii) W kp () Banach uzay¬d¬r.

70

·Ispat: (i) Key� ' 2 C10 () fonksiyonunu alal¬m. Bu durumda D�' 2 C10 ()

olup

Z

D�wfD

�'dx = (�1)j�jZ

fD�+�'dx

= (�1)j�j (�1)j�+�jZ

D�+�w f'dx

= (�1)j�jZ

D�+�w f'dx

D�w (D

�wf) = D�+�

w f elde edilir.

(ii) j�j üzerinde tümevar¬mla teoremi ispatlayal¬m. j�j = 1 olmak üzere key� ' 2

C10 () fonksiyonunu alal¬m. Bu durumda

Z

�fD�'dx =

Z

[fD� (�')� f (D��)'] dx

= �Z

(�D�wf + fD��)'dx

elde edilir. Yani j�j = 1 için (5:2:1) ifadesi gerçeklenir.

Simdi l < k olmak üzere (5:2:1) ifadesinin 8� 2 C10 () fonksiyonu ve j�j � l için

geçerli oldu¼gunu kabul edelim. j�j = l + 1 olacak sekilde � katl¬indeksini seçelim.

Bu durumda j�j = l; j j = 1 olmak üzere � = � + olmal¬d¬r. Key� ' 2 C10 ()

fonksiyonunu alal¬m. Burada � = � + ve���� �+���

�=���

�oldu¼gunu dikkate

al¬rsak

Z

�fD�'dx =

Z

�fD� (D ') dx

= (�1)j�jZ

X���

��

�

�D��D���

w fD 'dx

71

= (�1)j�j+j jZ

X���

��

�

�D w

�D��D���

w f�'dx

= (�1)j�jZ

X���

��

�

��D (D��)D���

w f +D��D w

�D���w f

�'dx

= (�1)j�jZ

X���

��

�

��D��D���

w f +D���D���w f

�'dx

= (�1)j�jZ

(X���

��

�

�D��D���

w f

)'dx

elde edilir.

(iii) ffmg1m=1 � W kp () Cauchy dizisi olsun. Bu durumda

kfm � flkWkp ()

=

0@Xj�j�k

kD�wfm �D�

wflkpLp()

1A 1p

< �

olup j�j � k olacak sekilde 8� katl¬indeksi için fD�wfmg

1m=1 dizisi Lp () uzay¬nda

bir Cauchy dizisidir. Lp () uzay¬ tam uzay oldu¼gundan f� 2 Lp () fonksiyonu

vard¬r öyle ki j�j � k olacak sekilde 8� katl¬indeksi için Lp () uzay¬nda

D�wfm

m!1�! f�

gerçeklenir. Özel olarak j�j = 0 için Lp () uzay¬nda fm �! f(0;:::;0) � f sa¼glans¬n.

Simdi iddia ediyoruz ki :

"f 2 W kp () ve 8 j�j � k için D�

wf = f�" (5.2.2)

Key�' 2 C10 () fonksiyonunu dikkate alal¬m.

72

Z

fD�'dx = limm!1

Z

fmD�'dx

= limm!1

(�1)j�jZ

D�wfm'dx

= (�1)j�jZ

f�'dx

elde edilir. Buna göre (5:2:2) ifadesi do¼grudur. Dolay¬s¬yla j�j � k olacak sekilde

8� katl¬indeksi için Lp () uzay¬nda

D�wfm

m!1�! D�wf

gerçeklenir. Sonuç olarak W kp () uzay¬nda m ! 1 için fm ! f sa¼glan¬p W k

p ()

uzay¬Banach uzay¬d¬r.N

Teorem 5.2.1 in iddialar¬n¬n en önemlisi W kp () uzay¬n¬n Banach uzay¬olmas¬d¬r.

Bu gerçek fonksiyonel analizin k¬smi türevli denklemlere uygulamas¬nda önemli rol

oynamaktad¬r. p = 2 olmas¬durumunda W k2 () uzay¬nda iç çarp¬m

(f; g)Wk2 ()

:=Xj�j�k

Z

D�wf (x)D

�wg (x) dx

ile tan¬mlanm¬st¬r. p = 2 özel durumunda Hk () :=W k2 () gösterimi kullan¬lmak-

tad¬r.

Teorem 5.2.2 W k2 () uzay¬Hilbert uzay¬d¬r.

·Ispat: (f; g)Wk2 ()

fonksiyoneli aç¬k olarak iç çarp¬m aksiyomlar¬n¬sa¼glar.

(f; f)Wk2 ()

=Xj�j�k

kD�wfk

2L2()

= kfk2Wk2 ()

olarak yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla Hk () uzay¬Hilbert uzay¬d¬r.

73

Teorem 5.2.3 � Rn aç¬k küme, k 2 N0 olmak üzere

(i) 1 < p <1 için W kp () uzay¬re�eksif uzayd¬r.

(ii) 1 � p <1 için W kp () uzay¬ayr¬labilir uzayd¬r.

Özel olarak p = 2 ise W k2 () = Hk () uzay¬re�eksif, ayr¬labilir, Hilbert uzay¬d¬r.

·Ispat: V kp () :=

ng = fg�gj�j�k : 8 j�j � k, g� 2 Lp ()

ovektör de¼gerli fonksiyon-

lar¬n lineer uzay¬olsun. V kp () üzerindeki normu

kgkV kp () :=Xj�j�k

kg�kLp()

olarak tan¬mlayal¬m. Bu durumda V kp () uzay¬Lp () uzay¬n¬n sonlu say¬da direkt

çarp¬m¬d¬r. 1 � p < 1 için Lp () uzay¬ayr¬labilir, 1 < p < 1 için Lp () uzay¬

re�eksif uzay olmas¬ndan dolay¬1 � p <1 için V kp () uzay¬ayr¬labilir, 1 < p <1

için V kp () uzay¬re�eksif uzayd¬r. Simdi W

kp () uzay¬n¬standart norma denk olan

kfkWkp ()

=Xj�j�k

kD�wfkLp() normu ile donat¬p

J : W kp () �! V k

p ()

f �! Jf := fD�wfgj�j�k

operatörünü göz önüne alal¬m. Bu durumda J lineer, kJfkV kp () = kfkWkp ()

normu

koruyan, bire-bir dönüsümdür. Dolay¬s¬yla J izometrik operatördür. J operatörünün

görüntü kümesi

fV kp := G (J) =

ng = fD�

wfgj�j�k : f 2 W kp ()

olineer uzay¬d¬r. W k

p () tam uzay oldu¼gundan W kp () uzay¬n¬n izometri alt¬ndakifV k

p görüntüsü de Vkp () uzay¬n¬n kapal¬bir alt uzay¬d¬r. Di¼ger yandan re�eksif bir

uzay¬n kapal¬her alt uzay¬da re�eksif uzay olaca¼g¬ndan 1 < p <1 için fV kp alt uzay¬

74

da re�eksif uzayd¬r. Benzer olarak ayr¬labilir bir uzay¬n key� alt uzay¬da ayr¬labilir

olaca¼g¬ndan 1 � p <1 için fV kp alt uzay¬da ayr¬labilir uzayd¬r. J izometrik dönüsüm

oldu¼gundan W kp () ile fV k

p aras¬nda hiç bir fark gözetlenmez. O halde 1 � p < 1

için W kp () ayr¬labilir, 1 < p <1 için W k

p () re�eksif uzayd¬r.N

Not 5.2.1 (i) ffmg1m=1 � W 1p () olmak üzere Lp () uzay¬nda fm

m!1�! f ve

81 � i � n için Lp () uzay¬nda �@fm@xi

�w

m!1�! gi

sa¼glans¬n. Bu durumda f 2 W 1p () ve

�@f@xi

�w= gi gerçeklenir. Gerçekten;

Key�' 2 C10 () fonsiyonunu ele alal¬m. Bu durumda

Z

f@'

@xidx = �

Z

gi'dx (5.2.3)

oldu¼gunu göstermeliyiz. ffmg1m=1 � W 1p () oldu¼gundan

Z

fm@'

@xidx = �

Z

�@fm@xi

�w

'dx (5.2.4)

sa¼glan¬r. ' 2 C10 () olmas¬ndan dolay¬ (5:2:4) ifadesinde m ! 1 için limite

geçebiliriz. Dolay¬s¬yla (5:2:3) ifadesi elde edilir.

(ii) Yukar¬daki önermenin hipotezindeki sartlar¬ha��etebiliriz. Bunun için " (5:2:4)

ifadesinde m ! 1 için limite geçti¼gimizde hangi kosul alt¬nda (5:2:4) ifadesinden

(5:2:3) ifadesi elde edilebilir?" sorusuna yan¬t aranmal¬d¬r. 1 < p <1 olmak üzeren�@fm@xi

�w

o1m=1

dizisinin zay¬f yak¬nsak olmas¬yeterlidir. Re�eksif bir uzayda s¬n¬rl¬

her dizi zay¬f yak¬nsak bir alt diziye sahip olaca¼g¬ndan yukar¬daki önerme su sekilde

de ifade edilebilir:

75

" ffmg1m=1 � W 1p () olmak üzere Lp () uzay¬nda

fmm!1�! f

ve 81 � i � n içinn�

@fm@xi

�w

o1m=1

s¬n¬rl¬olsun. Bu durumda f 2 W 1p () sa¼glan¬r."

Tan¬m 5.2.1 C10 ()Wkp ()

:=�W kp () seklinde tan¬mlan¬r. Yani;

f 2�W kp () , W k

p () uzay¬nda fmm!1�! f olacak sekilde ffmg1m=1 � C10 ()

fonksiyonlar dizisinin var olmas¬d¬r.

Dolay¬s¬yla�W kp () uzay¬W

kp () uzay¬n¬n bir alt uzay¬d¬r. p = 2 olmas¬durumunda

Hk0 () :=

�W k2 () gösterimi kullan¬l¬r.

Teorem 5.2.4 f 2�W kp () ve

ef (x) :=8<: f (x) ; x 2

0 ; x 2 Rnn

olsun. � 1 olacak sekildeki 81 kümesi için ef 2 �W kp (1) gerçeklenir. Özel

olarak ef 2 W kp (Rn) olur.

·Ispat:�W kp () uzay¬n¬n tan¬m¬ndan W k

p () uzay¬nda fmm!1�! f olacak sekilde

ffmg1m=1 � C10 () fonksiyonlar dizisi vard¬r. 8m 2 N için

ffm (x) :=8<: fm (x) ; x 2

0 ; x 2 Rnn

fonksiyonlar¬tan¬mlans¬n. Bu durumda ffm 2 C10 (1) ve W kp (1) uzay¬nda

ffm m!1�! ef76

gerçeklenir. Çünkü; ffm � ef Wkp (1)

= kfm � fkWkp ()

sa¼glanmaktad¬r. Bundan dolay¬ ef 2 �W kp (1) olmal¬d¬r.N

Teorem 5.2.5 1 � p < 1 olmak üzere f 2�W kp () olsun. Bu durumda A�f

düzgünlesmesi için W kp () uzay¬nda A�f

�!0�! f gerçeklenir.

·Ispat:

ef (x) :=8<: f (x) ; x 2

0 ; x 2 Rnn

fonksiyonu tan¬mlans¬n. Teorem 5.2.4 den ef 2 W kp (Rn) olmal¬d¬r. Bu durumda

j�j � k olacak sekilde 8� katl¬indeksi için D�wef 2 Lp (Rn) sa¼glan¬r. Sonuç 3.2.2 ve

Teorem 4.2.7 yard¬m¬yla j�j � k olacak sekilde 8� katl¬indeksi için Lp () uzay¬nda

D��A� ef � �!0�! D�

wef

gerçeklenir. Bu ise W kp () uzay¬nda A� ef �!0�! ef olmas¬anlam¬na gelir. Ayr¬ca ef

fonksiyonu ve A� ef düzgünlesmesinin tan¬m¬ndan üzerinde ef = f ve A� ef = A�f

olur. Dolay¬s¬yla W kp () uzay¬nda A�f

�!0�! f gerçeklenir.N

Teorem 5.2.6�K¬smi ·Integrasyon

�1p+ 1

p0= 1 olmak üzere f 2 W k

p () ve

g 2�W kp0() olsun. Bu durumda j�j � k olacak sekilde 8� katl¬indeksi için

Z

gD�wfdx = (�1)

j�jZ

fD�wgdx (5.2.5)

gerçeklenir.

77

·Ispat: g 2�W kp0() olmas¬ndan dolay¬W k

p0() uzay¬nda gm

m!1�! g olacak sekilde

fgmg1m=1 � C10 () fonksiyonlar dizisi vard¬r. Zay¬f türev tan¬m¬ndan

Z

gmD�wfdx = (�1)

j�jZ

fD�gmdx (5.2.6)

yaz¬labilir. Simdi

Z

gmD�wfdx

m!1�!Z

gD�wfdx

Z

fD�gmdxm!1�!

Z

fD�wgdx

olduklar¬n¬gösterelim. m!1 için

������Z

(gm � g)D�wfdx

������ �

0@Z

jD�wf j

p dx

1A 1p0@Z

jgm � gjp0

dx

1A 1

p0

� kfkWkp ()

kgm � gkWk

p0 ()

! 0

ve

������Z

f (D�gm �D�wg) dx

������ �

0@Z

jf jp dx

1A 1p0@Z

jD�gm �D�wgj

p0

dx

1A 1

p0

� kfkWkp ()

kgm � gkWk

p0 ()

! 0

gerçeklenir. Dolay¬s¬yla (5:2:6) ifadesinde m ! 1 için limit al¬n¬rsa yukar¬daki

sonuçlardan (5:2:5) ifadesi elde edilir.N

78

Teorem 5.2.7 (Sobolev Uzaylar¬için Minkowski Esitsizli¼gi) � Rn aç¬k

küme, A � Rm ölçülebilir küme, k 2 N ve 1 � p <1 olsun. Ayr¬ca kabul edelim ki

f fonksiyonu �A kümesi üzerinde ölçülebilir ve h:h:h: y 2 A için f (:; y) 2 W kp ()

sa¼glas¬n. Bu durumda ZA

f (x; y) dy

Wkp ()

�ZA

kf (x; y)kWkp ()

dy (5.2.7)

gerçeklenir. (kf (x; y)kWkp ()

normu x de¼giskenine göre hesaplanmaktad¬r.)

·Ispat: (5:2:7) ifadesinin sa¼g taraf¬sonlu olsun. Bu durumda Hölder esitsizli¼ginden

8K � kompakt kümesi ve j�j � k olacak sekilde 8� katl¬indeksi için

ZA

0@ ZK

jf (x; y)j dx

1A dy <1,ZA

0@ ZK

jD�wf (x; y)j dx

1A dy <1

sa¼glan¬r. Gerçekten; 1p +1p0= 1 olmak üzere

ZA

0@ ZK

jf (x; y)j dx

1A dy �ZA

8><>:0@ Z

K

jf (x; y)jp dx

1A 1p0@ Z

K

dx

1A 1

p09>=>; dy

= (m (K))1

p0ZA

0@ ZK

jf (x; y)jp dx

1A 1p

dy

< 1

bulunur. Di¼ger ifade de benzer olarak gösterilebilir. Dolay¬s¬yla K � A kümesi

üzerinde ölçülebilir olan f fonksiyonu j�j � k olacak sekilde 8� katl¬ indeksi için

D�wf fonksiyonlar¬Fubini teoreminden L1 (K � A) uzay¬na aittir. Simdi Teorem

4.2.6 ve Lp () uzay¬için Minkowski esitsizli¼gini kullan¬rsak ZA

f (x; y) dy

Wkp ()

=Xj�j�k

D�w

0@ZA

f (x; y) dy

1A Lp()

79

=Xj�j�k

ZA

D�wf (x; y) dy

Lp()

�Xj�j�k

ZA

kD�wf (x; y)kLp() dy

=

ZA

kf (x; y)kWkp ()

dy

istenilen elde edilir.N

Teorem 5.2.8 1 � p < 1 olmak üzere�W kp (Rn) = W k

p (Rn) gerçeklenir. Yani;

C10 (Rn) uzay¬W kp (Rn) uzay¬nda yo¼gundur.

·Ispat: � 2 C10 (R+) fonksiyonunu 0 � � (t) � 1;

� (t) :=

8<: 1 ; 0 � t � 1

0 ; t � 2

olacak sekilde tan¬mlans¬n. f 2 W kp (Rn) fonksiyonunu alal¬m. Simdi de

f (R) (x) := f (x) �

�jxjR

�

fonksiyonunu tan¬mlayal¬m. Bu durumda

f (R) (x) =

8<: f (x) ; jxj � R

0 ; jxj � 2R

olur. Belirtelim ki D�����jxjR

�fonksiyonlar¬R � 1 e göre düzgün s¬n¬rl¬d¬r. Teorem

5.2.1 in (ii) önermesinden h:h:h: x 2 Rn için

��D�wf

(R) (x)�� = �����X

���

��

�

�D�wf (x)D

����

�jxjR

������ � CX���

��D�wf (x)

��

80

gerçeklenir. Di¼ger yandan j�j � k olacak sekilde 8� katl¬indeks ve jxj � R için

��D�wf

(R) (x)�D�wf (x)

�� = 0d¬r.

Ayr¬ca��D�

wf��p 2 L1 (Rn) olmas¬ndan dolay¬R!1 için

D�wf

(R) �D�wf Lp(Rn)

=

0@ ZRn

��D�wf

(R) (x)�D�wf (x)

��p dx1A 1

p

=

0B@ Zjxj>R

��D�wf

(R) (x)�D�wf (x)

��p dx1CA

1p

� CX���

0B@ Zjxj>R

��D�wf (x)

��p dx1CA

1p

+

0B@ Zjxj>R

jD�wf (x)j

p dx

1CA1p

! 0

gerçeklenir. Dolay¬s¬yla W kp (Rn) uzay¬nda

f (R)R!1�! f

sa¼glan¬r. Bu durumda 8� > 0 için çok büyük R > 0 say¬s¬vard¬r öyle ki

f (R) � f Wkp (Rn)

<�

2(5.2.8)

gerçeklenir. Simdi f (R) fonksiyonunun A�f (R) düzgünlesmesini göz önüne alal¬m.

Bu durumda A�f (R) 2 C10 (Rn) olup W kp (Rn) uzay¬nda

A�f(R) �!0�! f (R)

81

sa¼glan¬r. Yani; yeterince küçük � > 0 vard¬r öyle ki

A�f (R) � f (R) Wkp (Rn)

<�

2(5.2.9)

gerçeklenir.

Son olarak (5:2:8) ve (5:2:9) ifadelerini birlestirirsek key� � > 0 say¬s¬için

A�f (R) � f Wkp (Rn)

< �

gerçeklenir. Dolay¬s¬yla C10 (Rn) uzay¬n¬n W kp (Rn) uzay¬nda yo¼gun olmas¬ elde

edilmis olur.N

Not 5.2.2 Teorem 5.2.8 p = 1 için do¼gru de¼gildir. Örne¼gin; Rn üzerinde f � 1

olarak al¬rsak 8' 2 C10 (Rn) için

kf � 'kWk1(Rn)

� kD�wf �D�'kL1(Rn) = kD

�'kL1(Rn) > 0

olur.

Teorem 5.2.9 (Friedrichs Esitsizli¼gi) � Rn s¬n¬rl¬bölge olsun. Bu durumda

8f 2�W kp () fonksiyonu için

kfkLp() � (� ())k

0@Xj�j=k

kD�wfk

pLp()

1A 1p

| {z }= �f�p;k;

(5.2.10)

gerçeklenir (http://www.iadm.uni-stuttgart.de, 2008).

·Ispat: C10 () uzay¬�W kp () uzay¬nda yo¼gun oldu¼gundan (5:2:10) ifadesini f 2

C10 () fonksiyonlar¬için ispatlamak yeterlidir. f 2 C10 () fonksiyonunu alal¬m.

Q kenar uzunlu¼gu d = � () ve � Q olacak sekilde bir küp olsun. Ayr¬ca f (x)

82

fonksiyonunu Qn kümesi üzerinde s¬f¬r alarak genisletelim.

Q = fx = (x1; :::; xj; :::; xn) : 0 < xj < d; j = 1; :::; ng

olacak sekilde koordinat sistemi seçebiliriz.

x =

0@x1; :::; xn�1| {z }=x0

; xn

1A =�x0; xn�olmak üzere

f (x) =

xnZ0

@f

@xn

�x0; y�dy

gerçeklenir. Bu durumda 1p+ 1

p0= 1 olmak üzere Hölder esitsizli¼gi kullan¬l¬rsa

jf (x)jp �

0@ xnZ0

���� @f@xn�x0; y�����p dy

1A0@ xnZ0

dy

1Ap

p0

� dp

p0

dZ0

���� @f@xn�x0; xn

�����p dxnelde edilir. Esitsizli¼gin her iki taraf¬n¬n Q üzerinden integrali al¬n¬rsa

Z

jf jp dx =ZQ

jf jp dx � dp

p0

0@ dZ0

dxn

1A0@ZQ

���� @f@xn����p dx

1A = dpZ

���� @f@xn����p dx (5.2.11)

sa¼glan¬r. Yani;

kfkLp() � � ()

0@Z

���� @f@xn����p dx

1A 1p

� � ()� f�p;1;

gerçeklenip k = 1 için (5:2:10) ifadesi ispatlanm¬s olur. k > 1 olmak üzere (5:2:10)

ifadesini ispatlamak için (5:2:11) ifadesi ard¬s¬k olarak uygulan¬rsa

Z

���� @f@xn����p dx � dp

Z

����@2f@x2n

����p dx � :::

83

ve dolay¬s¬yla Z

jf jp dx � dkpZ

����@kf@xkn

����p dx � dkp [�f�p;k;]p

gerçeklenir. Böylece istenilen ifade ispatlanm¬s olur.N

Not 5.2.3 (5:2:10) ifadesi key�f 2 W kp () fonksiyonu için do¼gru de¼gildir. Örne¼gin;

e¼ger s¬n¬rl¬ bölge ve f fonksiyonu derecesi (k � 1) den küçük veya esit olacak

sekilde s¬f¬rdan farkl¬bir polinom ise bu durumda �f�p;k; = 0 olmal¬d¬r. Ancak

bu kfkLp() 6= 0 olmas¬gerçe¼gi ile çelismektedir.

5.3 Sobolev Uzaylar¬n¬n Fourier Dönüsümü Yard¬m¬yla Karakterizasyonu

= Rn oldu¼gunda Hk (Rn) Sobolev uzaylar¬n¬Fourier dönüsümü yard¬m¬yla tan¬m-

lamak mümkündür. Sobolev uzaylar¬n¬n baz¬özelliklerini ispatlamak için asa¼g¬da

tan¬mlayaca¼g¬m¬z Fourier dönüsüm yöntemi oldukça yararl¬d¬r. Bu kesimde tüm

fonksiyonlar kompleks de¼gerli kabul edilecektir.

Teorem 5.3.1 (Hk Uzaylar¬n¬n Fourier Dönüsümü Yard¬m¬yla Karakteri-

zasyonu) k 2 N0 olmak üzere

(i) f 2 L2 (Rn) fonksiyonunun Hk (Rn) uzay¬na ait olmas¬için ,

�1 + jyjk

� bf 2 L2 (Rn)

olmas¬d¬r.

(ii) 8f 2 Hk (Rn) için

1

CkfkHk(Rn) �

�1 + jyjk� bf L2(Rn)

� C kfkHk(Rn) (5.3.1)

olacak sekilde C > 0 sabiti vard¬r (Evans 1998).

84

·Ispat: ()) f 2 Hk (Rn) oldu¼gunu kabul edelim. Bu durumda j�j � k kosulunu

sa¼glayan 8� katl¬indeksi için D�wf 2 L2 (Rn) dir. Bilindi¼gi gibi f 2 Ck0 (Rn) olmas¬

durumunda dD�f = (iy)� bf gerçeklenir. Düzgün fonksiyonlar uzay¬Hk (Rn) uzay¬nda

yo¼gun olmas¬ndan dolay¬f 2 Hk (Rn) durumunda da

[D�wf = (iy)

� bfesitli¼gi sa¼glan¬r. Dolay¬s¬yla j�j � k kosulunu sa¼glayan 8� katl¬indeksi için (iy)� bf 2L2 (Rn) olmal¬d¬r. Özel olarak � = (k; :::; 0) ; (0; k; :::; 0) ; :::; (0; :::; k) seçersek

ZRn

jyj2k��� bf ���2 dy � C

ZRn

��Dkf��2 dx <1

ve dolay¬s¬yla ZRn

�1 + jyjk

�2 ��� bf ���2 dy � C kfkHk(Rn)

elde edilir. Buradan�1 + jyjk

� bf 2 L2 (Rn) oldu¼gu görülür.(()

�1 + jyjk

� bf 2 L2 (Rn) ve j�j � k oldu¼gunu kabul edelim. Bu durumda

(iy)� bf L2(Rn)

�ZRn

jyj2j�j��� bf ���2 dy � C

�1 + jyjk� bf L2(Rn)

(5.3.2)

sa¼glan¬r. f� :=�(iy)� bf �_ olarak tan¬mlayal¬m. Key�' 2 C10 (Rn) fonksiyonu için

Teorem 2.4.3 dikkate al¬n¬rsa

ZRn

(D�') fdx =

ZRn

\(D�') bfdy=

ZRn

(iy)� b' bfdy = ZRn

b'bgdy = ZRn

'gdx

85

elde edilir. Burada bg := (iy)� bf olmak üzere g fonksiyonubg (y) = (iy)� bf ) g (x) = (�1)j�j

�(iy)� bf �_ = (�1)j�j f�

olarak bulunur. O halde 8' 2 C10 (Rn) için

ZRn

fD�'dx = (�1)j�jZRn

f�'dx

gerçeklenir. Dolay¬s¬yla f� = D�wf ve (5:3:2) ifadesinden D

�wf 2 L2 (Rn) olup f 2

Hk (Rn) elde edilir.N

Not 5.3.1 �1 + jyjk� bf

L2(Rn)fonksiyoneliHk (Rn) uzay¬üzerinde bir norm tan¬m-

lar. Bu norm (5:3:1) ifadesine göre Hk (Rn) uzay¬n¬n k:kHk(Rn) standart normuna

denktir.

Simdi çok kullan¬sl¬olan kesirli Sobolev uzaylar¬n¬tan¬mlayal¬m.

Tan¬m 5.3.1 0 < s <1 olmak üzere f 2 L2 (Rn) olsun. E¼ger

(1 + jyjs) bf 2 L2 (Rn)ise bu durumda f fonksiyonu Hs (Rn) uzay¬na aittir denir. Bu uzayda norm

kfkHs(Rn) := (1 + jyjs) bf

L2(Rn)

seklinde tan¬mlanmaktad¬r.

Tan¬m 5.3.2 X � Y olacak sekilde iki Banach uzay¬X ve Y olsun. E¼ger 8x 2 X

için

kxkY � C kxkX (5.3.3)

olacak sekilde C > 0 say¬s¬varsa X uzay¬Y uzay¬na sürekli gömülür denir. X Y

86

ile gösterilir. E¼ger (5:3:3) ifadesi gerçekleniyor ve X uzay¬ndaki her s¬n¬rl¬dizi Y

uzay¬nda yak¬nsak bir alt diziye sahip iseX uzay¬Y uzay¬na kompakt gömülür denir.

X Y ile gösterilir.

Örnek 5.3.1 k > n2olmak üzere Hk (Rn) C (Rn) gerçeklenir. Yani; 8f 2 Hk (Rn)

için

kfkC(Rn) � C kfkHk(Rn)

olacak sekilde C > 0 say¬s¬vard¬r.

Çözüm: C10 (Rn) uzay¬Hk (Rn) uzay¬n¬n yo¼gun alt uzay¬oldu¼gundan ispat¬key�

f 2 C10 (Rn) fonksiyonu için yapmak yeterli olacakt¬r. f fonksiyonunun Fourier ve

ters Fourier dönüsümleri s¬ras¬yla

bf (y) : =1

(2�)n2

ZRn

e�ix:yf (x) dx

_f (x) : =

1

(2�)n2

ZRn

eix:yf (y) dy

olarak tan¬mland¬¼g¬ndan

f (x) =1

(2�)n2

ZRn

eix:y bf (y) dysa¼glan¬r.

jf (x)j � C1

ZRn

��� bf (y)��� dy= C1

ZRn

1 + jyjk

1 + jyjk��� bf (y)��� dy

� C1

0@ ZRn

�1 + jyjk

��2dy

1A 120@ Z

Rn

�1 + jyjk

�2 ��� bf (y)���2 dy1A 1

2

87

= C

0@ ZRn

�1 + jyjk

�2 ��� bf (y)���2 dy1A 1

2

= C kfkHk(Rn)

Yukar¬da ZRn

1�1 + jyjk

�2dy = !n

1Z0

rn�1

(1 + rk)2dr <1, k >

n

2

gerçe¼ginden faydaland¬k. Burada; !n ifadesi Rn içindeki birim kürenin (n� 1)

boyutlu Lebesgue ölçüsünü göstermektedir. Dolay¬s¬yla key� f 2 C10 (Rn) fonksi-

yonu için

kfkC(Rn) � C kfkHk(Rn)

gerçeklenir.N

Örnek 5.3.2 8f 2 Hn (Rn) için

kfkC(Rn) � C kfk12

Hn(Rn) kfk12

L2(Rn)

olacak sekilde C > 0 sabiti vard¬r.

Çözüm: C10 (Rn) uzay¬Hn (Rn) uzay¬n¬n yo¼gun alt uzay¬oldu¼gundan ispat¬key�

f 2 C10 (Rn) fonksiyonu için yapmak yeterli olacakt¬r. Key� � > 0 için

jf (x)j2 � C1

0@ ZRn

��� bf (y)��� dy1A2

= C1

0@ ZRn

1 + � jyjn

1 + � jyjn��� bf (y)��� dy

1A2

� C1

0@ ZRn

(1 + � jyjn)2��� bf (y)���2 dy

1A0@ ZRn

(1 + � jyjn)�2 dy

1A� C2

�

0@ ZRn

�1 + �2 jyj2n

� ��� bf (y)���2 dy1A

88

� C2�

8<:ZRn

���� bf (y)���2 + �2 (1 + jyjn)2��� bf (y)���2� dy

9=;� C2

�1

�kfk2L2(Rn) + � kfk2Hn(Rn)

�

gerçeklenir. � =kfkL2(Rn)kfkHn(Rn)

olarak al¬rsak istenilen

kfkC(Rn) � C kfk12

Hn(Rn) kfk12

L2(Rn)

esitsizlik elde edilir.N

Örnek 5.3.3 s1 < s2 ise Hs2 (Rn) � Hs1 (Rn) gerçeklenir.

Çözüm: f 2 Hs2 (Rn) fonksiyonunu alal¬m.

ZRn

(1 + jyjs1)2��� bf (y)���2 dy =

Zjyj�1

(1 + jyjs1)2��� bf (y)���2 dy + Z

jyj>1

(1 + jyjs1)2��� bf (y)���2 dy

� 4

Zjyj�1

��� bf (y)���2 dy + Zjyj>1

(1 + jyjs2)2��� bf (y)���2 dy

< 1

elde edilir.N

Ayr¬ca e¼ger s1 < s < s2 ise Hs2 (Rn) � Hs (Rn) � Hs1 (Rn) ba¼g¬nt¬s¬da gerçeklenir.

0 < � < 1 olmak üzere s = �s1+(1� �) s2 olarak yazarsakHs (Rn) uzay¬n¬nHs1 (Rn)

ve Hs2 (Rn) uzaylar¬n¬n interpolasyonu oldu¼gu gösterilebilir. Asa¼g¬daki teoremde bu

ispatlanm¬st¬r. Ayr¬ca teoremin ispat¬nda a � 0; b � 0; p � 1 için ap+ bp � (a+ b)p

denkli¼gi kullan¬lm¬st¬r.

Teorem 5.3.2 1 � s1 < s2 ve 0 < � < 1 olmak üzere s = �s1 + (1� �) s2 olsun.

E¼ger f 2 Hs2 (Rn) ise

kfkHs(Rn) � C kfk�Hs1 (Rn) kfk1��Hs2 (Rn)

89

olacak sekilde C > 0 say¬s¬vard¬r.

·Ispat: f 2 Hs2 (Rn) olsun. Bu durumda f 2 Hs (Rn) ve f 2 Hs1 (Rn) sa¼glan¬r.

ZRn

(1 + jyjs)2��� bf (y)���2 dy � C1

ZRn

�1 + jyj2

�s ��� bf (y)���2 dy= C1

ZRn

�1 + jyj2

��s1+(1��)s2 ��� bf (y)���2�+2(1��) dyolarak yaz¬labilir.

�1 + jyj2

��s1 ��� bf (y)���2� 2 L 1�(Rn)�

1 + jyj2�(1��)s2 ��� bf (y)���2(1��) 2 L 1

1��(Rn)

1�ile 1

1�� eslenik üsler oldu¼gundan Hölder esitsizli¼gi kullan¬l¬rsa

ZRn

(1 + jyjs)2��� bf (y)���2 dy � C1

0@ ZRn

�1 + jyj2

�s1 ��� bf (y)���2 dy1A�

�

0@ ZRn

�1 + jyj2

�s2 ��� bf (y)���2 dy1A1��

� C2

0@ ZRn

(1 + jyjs1)2��� bf (y)���2 dy

1A�

�

0@ ZRn

(1 + jyjs2)2��� bf (y)���2 dy

1A1��

= C2 kfk2�Hs1 (Rn) kfk2(1��)Hs2 (Rn)

elde edilir. Dolay¬s¬yla istenilen

kfkHs(Rn) � C kfk�Hs1 (Rn) kfk1��Hs2 (Rn)

esitsizli¼gi gerçeklenir.N

90

5.4 Sobolev Uzaylar¬nda Denk Normlar

S¬n¬r de¼ger problemleri ile ilgili çal¬smalarda Sobolev uzaylar¬üzerindeki denk norm-

lar¬kullanmak genel olarak yarar sa¼glamaktad¬r. Sobolev uzaylar¬üzerindeki denk

normlar¬ elde etmek amac¬yla birçok sonuç elde edilmistir. Denk normlarla ilgili

çal¬smalar¬m¬za baslamadan önce 1 � p <1 için W kp () uzay¬üzerinde

jujWkp ()

:=

0@Xj�j=k

kD�wuk

pLp()

1A 1p

seklinde tan¬ml¬yar¬normu hat¬rlatal¬m. Teorem 4.2.13 dikkate al¬nd¬¼g¬nda e¼ger

ba¼glant¬l¬ve jujWkp ()

= 0 ise bu durumda u fonksiyonu içinde der u (x) � k � 1

olacak sekilde bir polinomdur.

Tan¬m 5.4.1 (Yar¬Norm) V lineer uzay¬üzerinde tan¬ml¬fonksiyonel ' olsun.

E¼ger ' fonksiyoneli

(i) 8x 2 V için 0 � ' (x) <1

(ii) 8x 2 V ve 8� 2 R için ' (�x) = j�j' (x)

(iii) 8x1; x2 2 V için ' (x1 + x2) � ' (x1) + ' (x2)

özelliklerini gerçekliyorsa ' fonksiyoneline yar¬norm denir.

Sobolev gömme teoremi modern analiz ve s¬n¬r de¼ger problemleri için oldukça önem-

lidir. "Bir f fonksiyonu W kp () Sobolev uzay¬na ait ise bu fonksiyon belirli baska

bir uzaya ait midir? " sorusunu dikkate alal¬m. Bu sorunun cevab¬evettir. Asa¼g¬da

ifade edilen Sobolev gömme teoremi ilerleyen k¬s¬mlarda kullan¬lacak olup oldukça

detayl¬bir ispata sahip oldu¼gundan burada ispata yer verilmeyecektir.

91

Teorem 5.4.1 (Sobolev Gömme Teoremi) � Rn s¬n¬rl¬, aç¬k ve C1 s¬n¬f¬na

ait küme olsun. Ayr¬ca p � 1; 1 � q <1 ve 0 � r < k sa¼glans¬n.

(i) k � r � np+ n

q� 0 ise bu durumda W k

p () W rq () gömülmesi süreklidir.

(ii) k � r � np+ n

q> 0 ise bu durumda W k

p () W rq () gömülmesi kompaktt¬r.

(iii) p (k � r) > n ise bu durumda W kp () Cr

��gömülmesi kompaktt¬r.

(http://www.iadm.uni-stuttgart.de, 2008)

Not 5.4.1 (Özel durumlar) r = 0 olsun.

(i) pk < n olsun. k� np+ nq� = 0, q� = np

n�kp olmas¬d¬r. pk < n oldu¼gundan q� <1

dur. Bu durumda q < q� için

W kp () Lq ()

gömülmesi kompaktt¬r. q = q� olmas¬durumunda ise

W kp () Lq ()

gömülmesi süreklidir.

(ii) pk = n ise bu durumda q� =1 olur. Bu durumda 8q <1 için

W kp () Lq ()

gömülmesi kompaktt¬r.

92

(iii) pk > n ise bu durumda

W kp () C

��

gömülmesi kompaktt¬r.

(iv) q = p, r < k olsun. Bu durumda

W kp () W r

p ()

gömülmesi kompaktt¬r. Özel durumda k � 1 için

W kp () Lp ()

gömülmesi de kompaktt¬r.

Teorem 5.4.2 � Rn s¬n¬rl¬, aç¬k, ba¼glant¬l¬ve C1 s¬n¬f¬na ait küme olsun. Kabul

edelim ki 1 � l � N için fl : W kp ()! R yar¬normlar¬asa¼g¬daki iki kosulu sa¼glas¬n:

(i) 8u 2 W kp () ve 1 � l � N için fl (u) � C kukWk

p ()

(ii) u fonksiyonu der u (x) � k � 1 olacak sekilde bir polinom ve 1 � l � N için

fl (u) = 0) u = 0

Bu durumda

kuk = jujWkp ()

+NXl=1

fl (u) (5.4.1)

veya

kuk(1) =(jujp

Wkp ()

+

NXl=1

fpl (u)

) 1p

(5.4.2)

W kp () üzerinde norm tan¬mlar. Bu normlar k:kWk

p ()standart normuna denktir.

93

·Ispat: (5.4.1) ifadesi ile tan¬ml¬fonksiyonel homojen olup üçgen esitsizli¼gini gerçek-

ler. kuk = 0 ise bu durumda j�j = k olacak sekilde her � katl¬ indeksi için u

fonksiyonu der u (x) � k� 1 olacak sekilde bir polinom ve 1 � l � N için fl (u) = 0

olmal¬d¬r. Bundan dolay¬hipotez (ii) den u = 0 olur. Dolay¬s¬yla (5.4.1) ifadesi ile

tan¬ml¬fonksiyonel W kp () uzay¬üzerinde norm tan¬mlar.

Hipotez (i) den 8u 2 W kp () için

kuk � C1 kukWkp ()

olacak sekilde C1 > 0 sabiti vard¬r. Dolay¬s¬yla 8u 2 W kp () için

kukWkp ()

� C2 kuk (5.4.3)

olacak sekilde C2 > 0 sabitinin varl¬¼g¬n¬göstermek yeterli olacakt¬r. Ancak (5.4.3)

ifadesinin var olmad¬¼g¬n¬kabul edelim. Bu durumda fumg1m=1 � W kp () fonksiyon-

lar dizisi vard¬r öyle ki

m kumk � kumkWkp ()

(5.4.4)

sa¼glan¬r. 8m 2 N için vm := umkumkWk

p ()

olarak tan¬mlarsak (5.4.4) ifadesinden

kvmkWkp ()

= 1 (5.4.5)

kvmk � 1

m(5.4.6)

gerçeklenip dolay¬s¬yla (5.4.5) ve (5.4.6) ifadelerini sa¼glayan fvmg1m=1 � W kp ()

dizisi vard¬r. (5.4.6) ifadesinde m!1 için

jvmjWkp ()

! 0 (5.4.7)

81 � l � N için fl (vm)! 0 (5.4.8)

sa¼glanmal¬d¬r. W kp () W k�1

p () gömülmesinin kompakt olmas¬ ve (5.4.5)

ifadesi göz önüne al¬nd¬¼g¬nda�vmj

alt dizisi vard¬r öyle ki W k�1

p () uzay¬nda

94

j !1 için

vmj! v0 2 W k�1

p () (5.4.9)

gerçeklenir. Di¼ger yandan (5.4.7) ifadesi dikkate al¬nd¬¼g¬nda j�j = k olacak sekilde

her � katl¬indeksi için D�wvmj

Lp()

j!1�! 0 (5.4.10)

sa¼glanmal¬d¬r.

Lp () uzay¬nda D�w operatörü kapal¬oldu¼gundan j�j = k olacak sekilde her � katl¬

indeksi için D�wv0 = 0 gerçeklenir. Bu durumda (5.4.9) ve (5.4.10) ifadelerinden

W kp () uzay¬nda j !1 için

vmj! v0

v0; der v0 (x) � k � 1 olacak sekilde polinom (5.4.11)

sa¼glan¬r. (5.4.8) ifadesinden j ! 1 için fl�vmj

�! 0 gerçeklenir. Hipotez (i) den

81 � l � N için fl yar¬normlar¬sürekli olup dolay¬s¬yla fl�vmj

� j!1�! fl (v0) elde

edilir. O halde fl (v0) = 0 olmal¬d¬r. Hipotez (ii) dikkate al¬n¬rsa v0 = 0 gerçeklenir.

Ancak bu (5.4.11) ifadesi dikkate al¬nd¬¼g¬nda (5.4.5) ifadesi ile çelisir. Dolay¬s¬yla

(5.4.1) ifadesi ile tan¬ml¬norm Sobolev uzay¬üzerinde tan¬mlanan standart norma

denktir.N

Not 5.4.2 k � 2 olmak üzere f1 (u) := kukLp() olarak tan¬mlayal¬m. f1 fonksiyoneli

W kp () üzerinde yar¬norm tan¬mlar. Ayr¬ca Teorem 5.4.2 nin (i) ve (ii) sartlar¬

sa¼gland¬¼g¬ndan

kuk(1) =

0@Xj�j=k

kD�wuk

pLp()

+ kukpLp()

1A 1p

(5.4.12)

normu k:kWkp ()

standart normuna denktir. Buradan görülmektedir ki 0 < j�j < k

kosulunu sa¼glayan her � katl¬ indeksi için kD�wukLp() ifadesi (5.4.12) ifadesindeki

norm ile de¼gerlendirilebilir.

95

6. SOBOLEV UZAYLARINDA YAKLASIM

Sobolev uzaylar¬n¬n daha fazla özelliklerini incelemek için düzgün fonksiyonlar yard¬m¬yla

Sobolev uzay¬içindeki bir fonksiyona yaklas¬m probleminin gelistirilmesine ihtiyaç

vard¬r. Sobolev uzay¬na ait fonksiyonlar¬içeren esitsizliklerin ispat¬nda genelde ilk

olarak düzgün fonksiyonlar için esitsizlik elde edilip daha sonra yo¼gunluk yard¬m¬yla

istenilen esitsizlik bulunur. Bu yöntemin dayand¬¼g¬temel ilke Sobolev uzaylar¬nda

düzgün fonksiyonlar¬n yo¼gun olmas¬gerçe¼gidir.

6.1 Friedrichs Yaklas¬m Teoremi Ve Uygulamalar¬

Teorem 6.1.1 (Friedrichs) 1 � p < 1 olmak üzere f 2 W 1p () olsun. Bu

durumda ffmg1m=1 � C10 (Rn) fonksiyonlar dizisi vard¬r öyle ki Lp () uzay¬nda

fmm!1�! f

ve 81 �� , 81 � i � n için Lp (1) uzay¬nda

@fm@xi

m!1�!�@f

@xi

�w

gerçeklenir (Kesevan 1989).

·Ispat: 1.Ad¬m

f0 (x) :=

8<: f (x) ; x 2

0 ; x 2 Rnn

olarak tan¬mlayal¬m. Bu durumda Lp (Rn) uzay¬ndaA�f0�!0�! f0 gerçeklenir. Dolay¬s¬yla

Lp () uzay¬nda A�f0�!0�! f sa¼glan¬r. j�j = 1 olacak sekilde � katl¬ indeks ve

1 �� olsun. Bu durumda d (1; @) > 0 olmal¬d¬r. d (1; @) > � > 0 olacak

sekilde � > 0 say¬s¬n¬belirleyelim. x 2 1 olmas¬durumunda A�f0 (x) = A�f (x)

olup Teorem 4.2.7 yard¬m¬yla 1 üzerinde

D�A�f0 = A� (D�wf)

96

gerçeklenir. Buradan Lp (1) uzay¬nda

D�A�f0�!0�! D�

wf

elde edilir.

2.Ad¬m Birinci ad¬mda m!1 için �m ! 0 olmak üzere Lp () uzay¬nda

gmm!1�! f

ve 81 �� için Lp (1) uzay¬nda

@gm@xi

m!1�!�@f

@xi

�w

olacak sekilde fgmg1m=1 := fA�mf0g1m=1 fonksiyonlar dizisi kurmustuk.

Simdi 0 � � � 1; B (0; 1) üzerinde � � 1 ve supp� � B (0; 2) olacak sekilde � 2

C10 (Rn) fonksiyonunu göz önüne alal¬m. Ayr¬ca 8m 2 N için �m (x) := ��xm

�olmak

üzere f�mg1m=1 � C10 (Rn) fonksiyonlar dizisini tan¬mlayal¬m. Bu durumda 8m 2 N

için

fm := �mgm 2 C10 (Rn)

olmal¬d¬r. Dolay¬s¬yla ffmg1m=1 fonksiyonlar dizisi fgmg1m=1 fonksiyonlar dizisi ile

ayn¬yak¬nsakl¬k özelli¼gine sahiptir. Gerçekten;

kfm � fkLp() � kfm � gm + gm � fkLp()

� kgm � fkLp() + kfm � gmkLp() (6.1.1)

B (0;m) üzerinde �m � 1 oldu¼gundan B (0;m) üzerinde fm = gm sa¼glan¬r. Ayr¬ca

jfmj � jgmj olmas¬da dikkate al¬n¬rsa m!1 için

97

kfm � gmkLp() =

0B@ Zfx:jxj>mg\

jfm (x)� gm (x)jp dx

1CA1p

�

0B@ Zfx:jxj>mg\

jfm (x)jp dx

1CA1p

+

0B@ Zfx:jxj>mg\

jgm (x)jp dx

1CA1p

� 2

0B@ Zfx:jxj>mg\

jgm (x)jp dx

1CA1p

� 2

8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

0B@ Zfx:jxj>mg\

jgm (x)� f (x)jp dx

1CA1p

+

0B@ Zfx:jxj>mg\

jf (x)jp dx

1CA1p

9>>>>>>>>>=>>>>>>>>>;! 0

elde edilir. O halde (6:1:1) ifadesi göz önüne al¬n¬rsa Lp () uzay¬nda fmm!1�! f

sa¼glan¬r. Ayr¬ca @fm@xi ��@f

@xi

�w

Lp(1)

� @fm@xi � @gm

@xi

Lp(1)

+

@gm@xi ��@f

@xi

�w

Lp(1)

(6.1.2)

gerçeklenip B (0;m) üzerinde @fm@xi

= @gm@xi

sa¼gland¬¼g¬için m!1 iken

@fm@xi � @gm@xi

Lp(1)

=

0@ Z1

����@ (�mgm)@xi� @gm@xi

����p dx1A 1

p

=

0B@ Z1\fx:jxj>mg

����@�m@xi gm + �m@gm@xi

� @gm@xi

����p dx1CA

1p

98

�

0B@ Z1\fx:jxj>mg

����@�m@xi gm����p dx

1CA1p

+

0B@ Z1\fx:jxj>mg

�����m@gm@xi � @gm@xi

����p dx1CA

1p

� maxx2Rn

����@�m@xi����0B@ Z1\fx:jxj>mg

jgmjp dx

1CA1p

+maxx2Rn

j�m � 1j

0B@ Z1\fx:jxj>mg

����@gm@xi����p dx

1CA1p

� 1

mmaxx2Rn

����0 � xm

����

8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

0B@ Z1\fx:jxj>mg

jgm � f jp dx

1CA1p

+

0B@ Z1\fx:jxj>mg

jf jp dx

1CA1p

9>>>>>>>>>=>>>>>>>>>;

+2

8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

0B@ Z1\fx:jxj>mg

���@gm@xi � � @f@xi�w���p dx1CA

1p

+

0B@ Z1\fx:jxj>mg

���� @f@xi�w���p dx1CA

1p

9>>>>>>>>>=>>>>>>>>>;! 0

elde edilir. Dolay¬s¬yla (6:1:2) ifadesi göz önüne al¬n¬rsa Lp (1) uzay¬nda

@fm@xi

m!1�!�@f

@xi

�w

gerçeklenir. Böylece ispat tamamlanm¬s olur.N

Simdi yukar¬da verilen Friedrichs yaklas¬m teoreminin temel baz¬ uygulamalar¬n¬

verelim.

99

Teorem 6.1.2 (Zincir Kural¬) g 2 C1 (R) öyle ki g (0) = 0 ve 8s 2 R için��g0 (s)�� �M olsun. 1 � p <1 olmak üzere e¼ger f 2 W 1p () ise bu durumda

g � f 2 W 1p ()

ve 1 � i � n için �@

@xi(g � f)

�w

=�g0 � f

�� @f@xi

�w

gerçeklenir.

·Ispat: s 2 R için��g0 (s)�� �M ve g (0) = 0 oldu¼gundan ortalama de¼ger teoreminden

8s 2 R için

jg (s)j �M jsj

elde edilir. Buradan 8x 2 R için

j(gof) (x)j = jg (f (x))j �M jf (x)j

olup dolay¬s¬yla g � f 2 Lp () gerçeklenir. Benzer olarak 1 � i � n için

�g0 � f

�� @f@xi

�w

2 Lp ()

bulunur. Di¼ger yandan Teorem 6.1.1 göz önüne al¬n¬rsa ffmg1m=1 � C10 (Rn) fonksi-

yonlar dizisi vard¬r öyle ki Lp () uzay¬nda

fmm!1�! f

ve 81 �� , 81 � i � n için Lp (1) uzay¬nda

@fm@xi

m!1�!�@f

@xi

�w

gerçeklenir.

100

' 2 C10 () fonksiyonunu alal¬m ve daha sonra supp' � 1 �� olacak sekilde 1kümesi seçelim. 8m 2 N için fm fonksiyonlar¬düzgün fonksiyon oldu¼gundan k¬smi

integrasyon ve klasik anlamda bilinen zincir kural¬ndan

Z

(g � fm)@'

@xidx =

Z1

(g � fm)@'

@xidx = �

Z1

�g0 � fm

� @fm@xi

'dx (6.1.3)

elde edilir. j(g � fm) (x)� (g � f) (x)j �M jfm (x)� f (x)j gerçeklendi¼ginden Lp ()

uzay¬nda g � fmm!1�! g � f sa¼glan¬r. Ayr¬ca g0 � fm fonksiyonu M ile düzgün s¬n¬rl¬

oldu¼gundan Lp (1) uzay¬nda

�g0 � fm

� @fm@xi

m!1�!�g0 � f

�� @f@xi

�w

gerçeklenir. Gerçekten; �g0 � fm� @fm@xi ��g0 � fm

�� @f@xi

�w

+�g0 � fm

�� @f@xi

�w

��g0 � f

�� @f@xi

�w

Lp(1)

� �g0 � fm��@fm@xi �

�@f

@xi

�w

� Lp(1)

+

� @f@xi�w

��g0 � fm

���g0 � f

�� Lp(1)

� M

0@ Z1

����@fm@xi ��@f

@xi

�w

����p dx1A 1

p

+

0@ Z1

����� @f@xi�w

����p ����g0 � fm�� �g0 � f����p dx1A 1

p

(6.1.4)

olup (6:1:4) ifadesinin sa¼g taraf¬ndaki ilk terim m ! 1 için s¬f¬ra yaklas¬r. Di¼ger

yandan ffmg1m=1 � Lp (1) oldu¼gundan ffmg1m=1 fonksiyonlar dizisinin bir alt dizisi

vard¬r (bu alt diziyi tekrardan fm olarak numaraland¬ral¬m) öyle ki 1 içinde h:h:h:

fmm!1�! f

101

sa¼glan¬r. Ayr¬ca g0sürekli oldu¼gundan 1 içinde h:h:h:

g0 � fm

m!1�! g0 � f

gerçeklenir. Sonuç olarak Lebesgue bask¬n yak¬nsakl¬k teoreminden (6:1:4) ifadesinin

sa¼g taraf¬ndaki ikinci ifade de s¬f¬ra yaklas¬r. Dolay¬s¬yla (6:1:3) ifadesinde limite

geçebiliriz. Böylece istenilen elde edilir.N

Teorem 6.1.3 1 � p < 1 olmak üzere f 2 W 1p () fonksiyonu öyle bir K �

kompakt kümesi d¬s¬nda f � 0 olsun. Bu durumda f 2�W 1p () gerçeklenir.

·Ispat: K � 1 �� olacak sekilde 1 kümesini belirleyelim. K kümesi üzerinde

' � 1 olacak sekilde ' 2 C10 (1) kesme fonksiyonunu göz önüne alal¬m. Bu

durumda 'f = f esitli¼gi sa¼glan¬r. Teorem 6.1.1 yard¬m¬yla ffmg1m=1 � C10 (Rn)

fonksiyonlar dizisi vard¬r öyle ki Lp () uzay¬nda

fmm!1�! f

ve 1 �� , 81 � i � n için Lp (1) uzay¬nda

@fm@xi

m!1�!�@f

@xi

�w

gerçeklenir. Dolay¬s¬yla W 1p () uzay¬nda

'fmm!1�! 'f

sa¼glan¬r. Ayr¬ca 'fm 2 C10 () oldu¼gundan 'f = f 2�W 1p () gerçeklenir.N

102

Teorem 6.1.4 (Stampacchia) g : R! R, g (0) = 0 olacak sekilde Lipschitz sürekli

fonksiyon g olsun. E¼ger s¬n¬rl¬ve 1 < p <1 için f 2�W 1p () ise

gof 2�W 1p ()

gerçeklenir.

·Ispat: f 2�W 1p () fonksiyonunu alal¬m. Bu durumda W

1p () uzay¬nda

fmm!1�! f

olacak sekilde ffmg1m=1 � C10 () fonksiyonlar dizisi vard¬r.

8m 2 N için gm := g � fm fonksiyonlar¬ tan¬mlans¬n. fm fonksiyonlar¬ kompakt

destekli ve g (0) = 0 oldu¼gundan gm fonksiyonlar¬da kompakt desteklidir. Ayr¬ca g

Lipschitz sürekli ve fm 2 C10 () olmas¬ndan dolay¬gm fonksiyonlar¬da Lipschitz

süreklidir. Gerçekten; 8x; y 2 için

jgm (x)� gm (y)j = jg (fm (x))� g (fm (y))j

� K jfm (x)� fm (y)j

� Km jx� yj

d¬r. Dolay¬s¬yla gm 2 Lp () sa¼glan¬r. Buna ek olarak 1 � i � n için���@gm@xi ��� � Km ve

s¬n¬rl¬oldu¼gundan@gm@xi

2 Lp ()

gerçeklenir. Böylece 8m 2 N için gm 2 W 1p () olup gm fonksiyonlar¬ kompakt

destekli oldu¼gundan Teorem 6.1.3 yard¬m¬yla gm 2�W 1p () elde edilir.

jgm (x)� (g � f) (x)j = jg (fm (x))� g (f (x))j � K jfm (x)� f (x)j

esitsizli¼ginden dolay¬Lp () uzay¬nda gmm!1�! g � f sa¼glan¬r.

103

Rn içindeki i -inci standart baz vektörü ei olmak üzere

jgm (x+ hei)� gm (x)jjhj � K

jfm (x+ hei)� fm (x)jjhj

ve dolay¬s¬yla

lim supm!1

@gm@xi Lp()

� Klim supm!1

@fm@xi Lp()

(6.1.5)

gerçeklenir.n@fm@xi

o1m=1

fonksiyonlar dizisi Lp () uzay¬nda yak¬nsak oldu¼gundan

(6:1:5) ifadesi göz önüne al¬n¬rsa 81 � i � n içinn@gm@xi

o1m=1

dizisinin s¬n¬rl¬olmas¬

elde edilir. Not 5.2.1 yard¬m¬yla

g � f 2 W 1p ()

ve Lp () uzay¬nda@gm@xi

m!1�!�@ (g � f)@xi

�w

oldu¼gu görülür. Dolay¬s¬yla W 1p () uzay¬nda fgmg

1m=1 dizisi yak¬nsak olup g � f 2

�W 1p () gerçeklenir.N

Sonuç 6.1.1 � Rn s¬n¬rl¬, aç¬k küme ve f 2 H10 () olsun. f

+; f� fonksiyonlar¬

f+ (x) : = max ff (x) ; 0g ;

f� (x) : = max f�f (x) ; 0g

olarak tan¬mlans¬n. Bu durumda jf j ; f+; f� 2 H10 () gerçeklenir.

·Ispat: p = 2 ve g (t) = jtj alarak Teorem 6.1.4 ü uygulayal¬m. f 2 H10 () oldu¼gun-

dan jf j 2 H10 () elde edilir. Ayr¬ca

f+ =jf j+ f

2; f� =

jf j � f

2

oldu¼gu göz önüne al¬n¬rsa f+; f� 2 H10 () gerçeklenir.N

104

Teorem 6.1.5 � Rn aç¬k küme ve 1 � p < 1 olmak üzere f 2 W kp () olsun.

Bu durumda W kp;loc () uzay¬nda � ! 0+ için

A�f ! f

gerçeklenir.

·Ispat: ·Ilk olarak j�j � k kosulunu sa¼glayan her � katl¬indeksi için � üzerinde

D�A�f = !� �D�wf (6.1.6)

oldu¼gunu ispatlayal¬m. Key� x 2 � için

D�A�f (x) = D�

0@Z

!� (x� y) f (y) dy

1A=

Z

D�x!� (x� y) f (y) dy

= (�1)j�jZ

D�y!� (x� y) f (y) dy (6.1.7)

sa¼glan¬r. Sabitlenmis x 2 � noktas¬için ' (y) := !� (x� y) ile tan¬mlanan

' fonksiyonu C10 () uzay¬na aittir. Dolay¬s¬yla zay¬f türev tan¬m¬ndan

Z

D�y!� (x� y) f (y) dy = (�1)j�j

Z

!� (x� y)D�wf (y) dy

yaz¬labilir. Bu esitlik (6:1:7) ifadesinde göz önüne al¬n¬rsa

D�A�f (x) = (�1)j�j+j�jZ

!� (x� y)D�wf (y) dy

= [!� �D�wf ] (x)

(6:1:6) ifadesi elde edilmis olur.

105

Simdi 1 �� olacak sekilde 1 aç¬k kümesi seçelim. Bu durumda (6:1:6) ifadesi

ve Sonuç 3.2.2 yard¬m¬yla Lp (1) uzay¬nda � ! 0+ için

D�A�f ! D�wf

gerçeklenir. Dolay¬s¬yla � ! 0+ için

kA�f � fkpWkp (1)

=Xj�j�k

kD�A�f �D�wfk

pLp(1)

! 0

sa¼glan¬p istenilen elde edilir.

6.2 Düzgün Fonksiyonlar Yard¬m¬yla Yaklas¬m

Bu kesimde W kp () uzay¬na ait bir fonksiyona yak¬nsayan düzgün fonksiyonlar¬n

varl¬¼g¬üzerinde durulacakt¬r. Ayr¬ca belirtelim ki ilk olarak burada @ s¬n¬r¬n¬n

düzgünlü¼gü için herhangi bir kabulde bulunulmayacakt¬r. Ancak daha sonra key�

� Rn s¬n¬rl¬, aç¬k kümesi için C1��uzay¬n¬n W k

p () uzay¬nda yo¼gun olamaya-

ca¼g¬gösterilmis (Amick 1979) ve @ s¬n¬r¬n¬n düzgün olmas¬durumunda yo¼gunlu¼gun

sa¼gland¬¼g¬ispatlanm¬st¬r.

Teorem 6.2.1 � Rn s¬n¬rl¬, aç¬k küme ve 1 � p < 1 olmak üzere f 2 W kp ()

olsun. Bu durumda 8m 2 N için

fm 2 C1 () \W kp ()

olacak sekilde ffmg1m=1 fonksiyonlar dizisi mevcut olup W kp () uzay¬nda m ! 1

için

fm ! f

gerçeklenir.

106

·Ispat:

i :=

�x 2 : d (x; @) > 1

i

�

olmak üzere =1[i=1

i olarak yaz¬labilir.

Vi := i+3ni+1 =�x 2 : 1

i+ 3< d (x; @) <

1

i+ 1

�

kümelerini tan¬mlayal¬m.

Ayr¬ca =

1[i=0

Vi olacak sekilde V0 �� aç¬k kümesini seçelim. Bu durumda

fVig1i=0 aç¬k kümelerine ba¼gl¬ birimin düzgün parçalanmas¬ f�ig1i=0 olsun. Yani;

kabul edelim ki 8>><>>:(i) 8i 2 N0 için 0 � �i � 1; �i 2 C10 (Vi)

(ii) üzerinde1Xi=0

�i = 1(6.2.1)

olsun. Simdi f 2 W kp () fonksiyonunu seçelim. Teorem 5.2.1 in (ii) ifadesinden

�if 2 W kp () ve supp (�if) � Vi oldu¼gu görülür.

� > 0 say¬s¬n¬ sabitleyelim. Daha sonra yeterince küçük �i > 0 seçelim öyle ki

f i := !�i � (�if) ile tan¬ml¬ f i fonksiyonu Wi := i+4ni � Vi (i = 1; 2; :::) ve

W0 = ; için8<: kf i � �ifkWkp ()

= kf i � �ifkWkp (Wi)

� �2i+1

; (i = 0; 1; :::)

supp (f i) � Wi ; (i = 1; 2; :::)(6.2.2)

özelliklerini gerçeklesin.

g :=1Xi=0

f i fonksiyonunu tan¬mlayal¬m. Bu durumda her bir V �� aç¬k kümesi

için toplam¬n içinde en fazla sonlu adette terim s¬f¬rdan farkl¬ olmas¬ndan dolay¬

g 2 C1 () sa¼glanmal¬d¬r. Ayr¬ca f =1Xi=0

�if olmas¬ndan dolay¬her bir V ��

107

için

kg � fkWkp (V )

=

1Xi=0

�f i � �if

� Wkp (V )

�1Xi=0

�f i � �if�

Wkp ()

� �

1Xi=0

1

2i+1

= �

gerçeklenir. Teorem 2.3.2 göz önüne al¬n¬rsa kg � fkWkp ()

� � elde edilir.N

Bu kesimde ayr¬ca W kp () uzay¬n¬n elemanlar¬na düzgün fonksiyonlar yard¬m¬yla

yaklas¬l¬p yaklas¬lamayaca¼g¬örneklendirilecektir. Daha aç¬k olarak C1��uzay¬n¬n

W kp () uzay¬nda yo¼gun olup olmad¬¼g¬üzerinde durulacakt¬r. � R2 s¬n¬rl¬, aç¬k

küme olmak üzere asa¼g¬daki örnek göstermektedir ki böyle bir yaklas¬m¬n olmas¬

için kümesinin s¬n¬r¬olan @ üzerinde baz¬kosullar gereklidir.

Örnek 6.2.1 U � R2 öyle ki

U :=�(x1; x2) 2 R2 : x1 2 (�1; 1) ; x2 2 (0; 2)

n�(x1; x2) 2 R2 : x1 = 0; x2 2 (0; 1]

kümesi ve � : R! [0; 1],

� (t) :=

8<: 1 ; t < 12

0 ; t > 34

olacak sekilde � 2 C1 (R) fonksiyonu verilsin. Ayr¬ca p � 1 olmak üzere

f (x1; x2) :=

8<: � (x2) ; x1 > 0

0 ; Un f(x1; x2) 2 R2 : x1 > 0g

f 2 W 1p (U) fonksiyonu tan¬mlans¬n. Simdi kabul edelim ki f fonksiyonuna W 1

p (U)

uzay¬nda yak¬nsak olan ffmg1m=1 � C1�U�fonksiyonlar dizisi mevcut olsun. Bu

108

durumda h:h:h: x2 2�0; 1

2

�için

limm!1

1Z0

fj1� fm (x1; x2)jp + jfm (�x1; x2)jpg dx1 = 0 (6.2.3)

limm!1

1Z0

fjD1fm (x1; x2)jp + jD1fm (�x1; x2)jpg dx1 = 0 (6.2.4)

sa¼glan¬r. Ayr¬ca 8 (x1; x2) 2 (0; 1)� (0; 2) için

fm (x1; x2)� fm (�x1; x2) =x1Z

�x1

D1fm (x1; x2) dx1

gerçeklenir. Buradan

jfm (x1; x2)� fm (�x1; x2)j �x1Z

�x1

jD1fm (x1; x2)j dx1

�1Z

�1

jD1fm (x1; x2)j dx1

� C

0@ 1Z�1

jD1fm (x1; x2)jp dx1

1A1p

= C

8<:0Z

�1

jD1fm (x1; x2)jp dx1 +1Z0

jD1fm (x1; x2)jp dx1

9=;1p

= C

8<:1Z0

jD1fm (�x1; x2)jp dx1 +1Z0

jD1fm (x1; x2)jp dx1

9=;1p

olmas¬ndan dolay¬(6.2.4) ifadesi dikkate al¬nd¬¼g¬nda h:h:h: x2 2�0; 1

2

�için

limm!1

0Z�1

jfm (x1; x2)jp dx1 = limm!1

1Z0

jfm (x1; x2)jp dx1

sa¼glanmal¬d¬r. Ancak bu (6.2.3) ifadesi ile çelisir. Dolay¬s¬yla 8p � 1 için C1�U�

uzay¬W 1p (U) uzay¬nda yo¼gun de¼gildir. Di¼ger yandan W

kp (U) W 1

p (U) gömülmesi

109

sürekli oldu¼gundan 8k; p � 1 için C1�U�\W k

p (U) uzay¬Wkp (U) uzay¬nda da yo¼gun

de¼gildir.N

Not 6.2.1 Yukar¬da tan¬mlanan U kümesinden kaynaklanan zorluklar¬n nedeni

@U 6= @U olmas¬d¬r. Dolay¬s¬yla bu not Fraenkel taraf¬ndan ortaya at¬lan

"C1��uzay¬W k

p () uzay¬nda yo¼gun olmayacak sekilde @ = @ kosulunu sa¼glayan

� R2 s¬n¬rl¬kümesi var m¬d¬r?"

sorusu ile iliskilidir.

kp > 2 olmas¬durumunda C1��uzay¬W k

p () uzay¬nda yo¼gun olmayacak sekilde

@ = @ kosulunu sa¼glayan � R2 s¬n¬rl¬kümesinin mevcut oldu¼gunu ispatlaya-

l¬m. Bu ifadenin yerine daha güçlü bir ifade olan kp > 2 olmas¬durumunda

C��\W k

p () uzay¬n¬n Wkp () uzay¬nda yo¼gun olamayaca¼g¬n¬ispatlamak yeter-

lidir.

Sekil 6.1 @A s¬n¬r¬C1 s¬n¬f¬ndan olmayan k�ume

Sekil 6.1(a) da gösterilen A kümesi (0; 0) noktas¬nda ince oldu¼gundan bu noktada

C1 s¬n¬f¬ndan olma özelli¼gi bozulmaktad¬r. Ancak @A = @A sa¼glanmaktad¬r. Sekil

6.1(b) ise A kümesinin s¬ras¬yla (0; 0) noktas¬n¬n sol ve sa¼g taraf¬nda bulunan B ve

110

E aç¬k alt kümelerini göstermektedir. Ayr¬ca B ve E birim disk kabul edilmektedir.

� fonksiyonu yukar¬daki gibi tan¬mlanmak üzere bu fonksiyon yard¬m¬yla

g (x1; x2) :=

8<: � (x1) ; (x1; x2) 2 E

0 ; (x1; x2) 2 AnE(6.2.5)

g 2 W kp (A) fonksiyonu tan¬mlans¬n.

Teorem 6.2.2 A � R2 Sekil 6.1 ile tan¬mlanan s¬n¬rl¬küme ve kp > 2 olsun. Bu

durumda C�A�\W k

p (A) uzay¬Wkp (A) uzay¬nda yo¼gun de¼gildir (Amick 1979).

·Ispat: (6.2.5) ifadesi ile tan¬ml¬g fonksiyonuna W kp (A) uzay¬nda C

�A�\W k

p (A)

uzay¬n¬n elemanlar¬yard¬m¬yla yak¬nsanamayaca¼g¬n¬ispatlayal¬m. Kabul edelim ki

böyle bir yak¬nsama olsun. Yani; fgmg1m=1 � C�A�\ W k

p (A) fonksiyonlar dizisi

W kp (A) uzay¬nda m ! 1 için g fonksiyonuna yak¬nsas¬n. Dolay¬s¬yla W k

p (B) ve

W kp (E) uzaylar¬nda da gm

m!1�! g sa¼glan¬r. kp > 2 ve @E s¬n¬r¬düzgün oldu¼gundan

W kp (E) C

�E�gömülmesi süreklidir. Yani; 8f 2 W k

p (E) için

max(x1;x2)2E

jf (x1; x2)j � C kfkWkp (E)

(6.2.6)

olacak sekilde C > 0 say¬s¬vard¬r. Ayn¬ifade B � A diski içinde yaz¬labilir. W kp (E)

uzay¬nda m!1 için gm ! g oldu¼gundan (6.2.6) ifadesi dikkate al¬nd¬¼g¬nda

limE� (x1;x2)!(0;0)

jg (x1; x2)� gm (x1; x2)j = j1� gm (0; 0)jm!1�! 0

olmal¬d¬r. Di¼ger yandan benzer düsünce B diski içinde yap¬l¬rsa gm (0; 0)m!1�! 0

olmas¬ elde edilir. Ancak bu bir çeliski olup kp > 2 için C�A�\ W k

p (A) uzay¬

W kp (A) uzay¬nda yo¼gun de¼gildir.N

Asa¼g¬da ifade edece¼gimiz teorem n � 1 olmak üzere � Rn s¬n¬rl¬, aç¬k ve @ s¬n¬r¬

C1 s¬n¬f¬ndan olan kümeler için do¼grudur. Ancak kolayl¬k olmas¬aç¬s¬ndan burada

n = 2 için ispat yap¬lacakt¬r.

111

Teorem 6.2.3 � R2 s¬n¬rl¬, aç¬k küme ve @ s¬n¬r¬C1 s¬n¬f¬ndan olsun. Ayr¬ca

kabul edelim ki 1 � p <1 için f 2 W kp () olsun. Bu durumda 8m 2 N için fm 2

C1��olacak sekilde ffmg1m=1 fonksiyonlar dizisi vard¬r öyle ki W k

p () uzay¬nda

m!1 için

fm ! f

gerçeklenir.

·Ispat: Key� x0 2 @ noktas¬n¬sabitleyelim. @ s¬n¬r¬C1 s¬n¬f¬na ait olmas¬ndan

dolay¬9r > 0 yar¬çap¬ve 9 2 C1olacak sekilde : R! R fonsiyonu vard¬r öyle ki

\B�x0; r

�=�x 2 B

�x0; r

�: x2 > (x1)

gerçeklenir. V := \B

�x0; r

2

�olarak belirleyelim.

x 2 V; � > 0 olmak üzere x� := x+��e2 de¼gisken noktas¬n¬tan¬mlayal¬m. Yeterince

büyük sabitlenmis � > 0 say¬s¬, 8x 2 V ve tüm küçük � > 0 say¬s¬için

B�x�; �

�� \B

�x0; r

�olmas¬n¬dikkate alal¬m.

Sekil 6.2 @ s¬n¬r¬C1 s¬n¬f¬ndan olan k�ume

112

Ayr¬ca x 2 V için f� (x) := f�x��fonksiyonunu tan¬mlayal¬m. g� := !� � f� olsun.

Aç¬k olarak g� 2 C1�V�sa¼glan¬r. Simdi iddia ediyoruz kiW k

p (V ) uzay¬nda � ! 0+

için

g� ! f (6.2.7)

gerçeklenir. Bu ifadeyi do¼grulamak için j�j � k olacak sekilde key�� katl¬indeksini

alal¬m. Bu durumda

D�g� �D�wf Lp(V )

� D�g� �D�

wf� Lp(V )

+ kD�wf� �D�

wfkLp(V )

olarak yaz¬labilir. Bu esitsizli¼gin sa¼g¬ndaki ikinci terim � ! 0+ için s¬f¬ra yak¬n-

sar. Çünkü; Lp normuna göre öteleme süreklidir. Teorem 6.1.5 in ispat¬ndaki ben-

zer düsünce ile bu esitsizli¼gin sa¼g¬ndaki ilk terim de � ! 0+ için s¬f¬ra yak¬nsar.

Dolay¬s¬yla (6:2:7) ifadesi do¼grudur.

Key�� > 0 seçelim. @ s¬n¬r¬n¬n kompakt olmas¬ndan dolay¬sonlu çoklukta x0i 2 @

noktalar¬, ri > 0 yar¬çaplar¬, uygun Vi := \ B�x0i ;

ri2

�kümeleri ve gi 2 C1

�Vi�

fonksiyonlar¬bulabiliriz öyle ki

@ �N[i=1

B�x0i ;

ri2

�ve kgi � fkWk

p (Vi)� � (6.2.8)

gerçeklenir.

�N[i=0

Vi olacak sekilde V0 �� aç¬k kümesini belirleyelim. Bu durumda Teorem

6.1.5 dikkate al¬nd¬¼g¬nda g0 2 C1�V0�fonksiyonu vard¬r öyle ki

kg0 � fkWkp (V0)

� � (6.2.9)

sa¼glan¬r.

113

Simdi fVigNi=0 aç¬k kümelerine göre birimin düzgün parçalanmas¬f�igNi=0 fonksiyon-

lar¬n¬dikkate alal¬m. g :=NXi=0

�igi fonksiyonunu tan¬mlayal¬m. Bu durumda aç¬k

olarak

g 2 C1��

sa¼glan¬r. Ayr¬ca f =NXi=0

�if olmas¬, Teorem 5.2.1 in (ii) ifadesinden ve (6.2.8),

(6.2.9) ifadelerinden dolay¬j�j � k kosulunu sa¼glayan key� � katl¬indeksi için

kD�g �D�wfkLp() =

D�

NXi=0

�igi

!�D�

w

NXi=0

�if

! Lp()

�NXi=0

kD� (�igi)�D�w (�if)kLp(Vi)

� CNXi=0

kgi � fkWkp (Vi)

� CN�

olup kg � fkWkp ()

� CN� gerçeklenir. Dolay¬s¬yla istenilen elde edilir.N

Teorem 6.2.4 � Rn s¬n¬rl¬, aç¬k ve 0 noktas¬na göre y¬ld¬zs¬küme olsun. Bu

durumda C1��uzay¬W k

p () uzay¬nda yo¼gundur.

·Ispat: 8m 2 N için

m :=

�x :

m� 1m

x 2 �

kümeler dizini göz önüne alal¬m. kümesi 0 noktas¬na göre y¬ld¬zs¬küme oldu¼gun-

dan

x 2 m+1 )m

m+ 1x 2 ) m+ 1

m

m� 1m| {z }

=�0���1

m

m+ 1x 2 ) m� 1

mx 2

sa¼glan¬p dolay¬s¬yla m+1 � m ve � m elde edilir. f 2 W kp () fonksiyonunu

alal¬m. 8m 2 N için fm (x) := f�m�1mx�olacak sekilde ffmg1m=1 fonksiyonlar dizisi

114

tan¬mlayal¬m. Aç¬k olarak fm 2 W kp (m) sa¼glan¬r. Simdi m!1 için

kfm � fkWkp ()

! 0

oldu¼gunu gösterelim.

f 2 Lp () oldu¼gundan

supjz(x)j� d

m

Z

jf (x+ z (x))� f (x)jp dx m!1�! 0

gerçeklenir. E¼ger z (x) = � xmve jxj � � () = d ise bu durumda jz (x)j � d

m

sa¼glan¬p buradan m!1 için

kfm � fkLp() =

0@Z

����f �m� 1mx

�� f (x)

����p dx1A 1

p

! 0

elde edilir. Ayr¬ca 0 6= j�j � k kosulunu sa¼glayan � katl¬indeksi için

kD�wfm �D�

wfkLp() =

0@Z

jD�wfm (x)�D�

wf (x)jp dx

1A 1p

=

0@Z

������m� 1m

�j�jD�wf

�m� 1m

x

��D�

wf (x)

�����p

dx

1A 1p

=

0@Z

��������

m�1m

�j�j � 1�D�wf�m�1mx�+D�

wf�m�1mx�

�D�wf (x)

������p

dx

1A1p

� 1�

�m� 1m

�j�j!| {z }

!0

0@Z

����D�wf

�m� 1m

x

�����p dx1A 1

p

+

0@Z

����D�wf

�m� 1m

x

��D�

wf (x)

����p dx1A 1

p

| {z }!0

m!1�! 0

115

elde edilir. Dolay¬s¬yla W kp () uzay¬nda fm

m!1�! f gerçeklenir.

8m 2 N için fm fonksiyonlar¬n¬n A�fm (x) düzgünlesmelerini göz önüne alal¬m. Bu

durumda A�fm 2 C1��d¬r. s¬n¬rl¬ve � m oldu¼gundan W k

p () uzay¬nda

A�fm�!0�! fm

sa¼glan¬r. m ! 1 için �m ! 0 olacak sekilde f�mg1m=1 dizisi ve 8m 2 N içinffm := A�mfm ile tan¬mlanannffmo1

m=1dizisini belirleyelim. Bu durumda

kA�mfm � fkWkp ()

= kA�mfm � fm + fm � fkWkp ()

� kA�mfm � fmkWkp ()

+ kfm � fkWkp ()

olupW kp () uzay¬nda ffm m!1�! f gerçeklenir. Dolay¬s¬yla ispat tamamlanm¬s olur.N

6.3 W kp () Sobolev Uzaylar¬nda Polinomsal Yaklas¬m

� Rn s¬n¬rl¬, aç¬k küme olsun. Verilen j 2 N0 için

jf jj;p :=

0@Xj�j=j

kD�wfk

2Lp()

1A 12

tan¬mlay¬p W kp () uzay¬nda standart norma denk olan

kfkk;p =

kXj=0

jf j2j;p

! 12

normunu dikkate alal¬m. B � kümesinin tüm noktalar¬na göre y¬ld¬zs¬küme

olmak üzere W kp () Sobolev uzaylar¬nda polinomsal yaklas¬m¬n hatas¬için bir üst

s¬n¬r 1983 y¬l¬nda R. G. Duran taraf¬ndan elde edilmistir. Ayr¬ca c/S ile sonlu S

kümesinin eleman say¬s¬, !n ile Rn uzay¬ndaki birim kürenin Lebesgue ölçüsü ve <kile derecesi k dan düsük polinomlar¬n kümesi gösterimleri kullan¬lacakt¬r.

116

Lemma 6.3.1 h 2 Lp (Rn) ve p � q > 1 olacak sekilde q say¬s¬belirlensin. � 2 Rn,

j�j = 1 olsun. Ayr¬ca

h1 (x; �) : = supt>0

1

t

tZ0

jh (x+ s�)j ds

h� (x) : =

0B@ Zj�j=1

hq1 (x; �) d��

1CA1q

fonksiyonlar¬n¬tan¬mlayal¬m. Bu durumda

kh�kLp(Rn) �p

p� 1!1qn khkLp(Rn)

gerçeklenir.

·Ispat: h1 (x; �) fonksiyonu h fonksiyonunun � yönündeki Hardy-Littlewood maksi-

mal fonksiyonu oldu¼gu için

ZRn

hp1 (x; �) dx ��

p

p� 1

�p ZRn

jh (x)jp dx (6.3.1)

gerçeklenir (Stein 1970). Dolay¬s¬yla (6.3.1) ifadesi ve Hölder esitsizli¼gi kullan¬l¬rsa

ZRn

[h� (x)]p dx =

ZRn

0B@ Zj�j=1

hq1 (x; �) d��

1CApq

dx

�ZRn

!pq�1

n

0B@ Zj�j=1

hp1 (x; �) d��

1CA dx

= !pq�1

n

Zj�j=1

0@ ZRn

hp1 (x; �) dx

1A d��

� !pq�1

n !n

�p

p� 1

�p ZRn

jh (x)jp dx

117

= !pqn

�p

p� 1

�p ZRn

jh (x)jp dx

istenilen elde edilir.N

Teorem 6.3.1 � Rn s¬n¬rl¬, aç¬k ve B � kümesinin tüm noktalar¬na göre

y¬ld¬zs¬küme olsun. Ayr¬ca p � q > 1; j < k ve kümesinin çap¬d olsun. E¼ger

f 2 W kp () ise bu durumda

infQ2<k

jf �Qjj;q � Cdk�j+

nq

[m (B)]1p

jf jk;p

gerçeklenir. Burada

C = (c/ f� : j�j = jg) k � j

n1q

p

p� 1!1qn

0@ Xj�j=k�j

(�!)�2

1A 12

dir (Duran 1983).

·Ispat: Teorem 6.2.1 den dolay¬ispat¬f 2 W kp ()\C1 () için yapmak yeterlidir.

Verilen x 2 B eleman¬için

Pk (f) (x; y) : =Xj�j<k

D�f (x)(y � x)�

�!

Qk (f) (y) : =1

m (B)

ZB

Pk (f) (x; y) dx

fonksiyonlar¬tan¬mlans¬n. Aç¬k olarak görülmektedir ki; Qk (f) derecesi k dan düsük

bir polinomdur. Tümevar¬mla

D�Qk (f) (y) = Qk�j�j (D�f) (y) (6.3.2)

oldu¼gu gösterilebilir. Gerçekten; ilk olarak (6.3.2) ifadesinin j�j = 1 olacak sekilde

118

� katl¬indeksi için do¼gru oldu¼gunu gösterelim.

D�Qk (f) (y) =1

m (B)D�

0@ZB

Pk (f) (x; y) dx

1A=

1

m (B)

ZB

D�Pk (f) (x; y) dx

=1

m (B)

ZB

Xj�j<k

D�f (x)1

�!D� (y � x)�

=1

m (B)

ZB

Xj�j<k

D�f (x)1

(�1 � 1)!:::�n!(y1 � x1)

�1�1 ::: (yn � xn)�n

=1

m (B)

ZB

Xj�j<k�1

D�1+11 :::D�n

n f (x)1

�!(y � x)�

=1

m (B)

ZB

Xj�j<k�1

D�+�f (x)1

�!(y � x)�

= Qk�j�j (D�f) (y)

olup j�j = 1 olacak sekilde � katl¬ indeksi için (6.3.2) ifadesi do¼grudur. Simdi

r < j olmak üzere j�j � r olacak sekilde � katl¬indeksi için (6.3.2) ifadesinin do¼gru

oldu¼gunu kabul edip, j�j = r+1 olacak sekilde � katl¬indeksi için (6.3.2) ifadesinin

do¼gru oldu¼gunu gösterelim. j�j = r ve j j = 1 olmak üzere � = � + olsun. Bu

durumda j�j = j�j+ j j olur. Bundan dolay¬

D�Qk (f) (y) = D�+ Qk (f) (y)

= D��Qk�j j (D

f) (y)�

= Qk�j j�j�j (D�D f) (y)

= Qk�j�j (D�f) (y)

elde edilir. Dolay¬s¬yla (6.3.2) ifadesi tümevar¬mla ispatlanm¬s olur.

119

Di¼ger yandan

jf �Qk (f)jj;q =

0@Xj�j=j

kD� (f �Qk (f))k2Lq()

1A 12

� (c/ f� : j�j = jg)12

Xj�j=j

kD� (f �Qk (f))kLq()

= (c/ f� : j�j = jg)12

Xj�j=j

kD�f �Qk�j (D�f)kLq()

(6.3.3)

oldu¼gu görülür. j�j = j olacak sekilde � katl¬indeksi için

kD�f �Qk�j (D�f)kLq()

ifadesini hesaplayal¬m.

(D�f �Qk�j (D�f)) (y) =

1

m (B)

ZB

D�f (y) dx� 1

m (B)

ZB

Pk�j (D�f) (x; y) dx

=1

m (B)

ZB

[D�f (y)� Pk�j (D�f) (x; y)] dx

oldu¼gundan

jD�f (y)�Qk�j (D�f) (y)jq �

0@ 1

m (B)

ZB

jD�f (y)� Pk�j (D�f) (x; y)j dx

1Aq

gerçeklenir. Dolay¬s¬yla genellesmis Minkowski esitsizli¼gi kullan¬l¬rsa

kD�f �Qk�j (D�f)kLq() � 1

m (B)

8<:Z

0@ZB

jD�f (y)� Pk�j (D�f) (x; y)j dx

1Aq

dy

9=;1q

� 1

m (B)

ZB

0@Z

jD�f (y)� Pk�j (D�f) (x; y)jq dy

1A 1q

dx

(6.3.4)

120

elde edilir. Di¼ger yandan x 2 B; y 2 için Taylor formülü yard¬m¬yla

jD�f (y)� Pk�j (D�f) (x; y)j

=

���������������

Xj�j<k�j

D�(D�f)(x)�!

(y � x)�

+(k � j)X

j�j=k�j

(y�x)��!

1Z0

(1� t)k�j�1D� (D�f) (x+ t (y � x)) dt

�X

j�j<k�j

D� (D�f) (x) (y�x)�

�!

���������������=

������(k � j)X

j�j=k�j

(y � x)�

�!

1Z0

(1� t)k�j�1D� (D�f) (x+ t (y � x)) dt

������� (k � j) dk�j

Xj�j=k�j

1

�!

1Z0

��D� (D�f) (x+ t (y � x))�� dt

= (k � j) dk�jX

j�j=k�j

1

�!

1

jy � xj

jy�xjZ0

����D�D�f

�x+ s

y � x

jy � xj

����� dsoldu¼gu görülür.

h (z) :=

8><>:X

j�j=k�j

1�!

��D�D�f (z)�� ; z 2

0 ; z =2

fonksiyonu tan¬mlans¬n. Bu durumda h 2 Lp (Rn) olur. E¼ger h1 ve h� fonksiyonlar¬

Lemma 6.3.1 de belirtilen h fonksiyonuna ba¼gl¬fonksiyonlarsa

jD�f (y)� Pk�j (D�f) (x; y)j � (k � j) dk�j

1

jy � xj

�jy�xjZ0

Xj�j=k�j

1

�!

����D�D�f

�x+ s

y � x

jy � xj

����� ds= (k � j) dk�jh1

�x;

y � x

jy � xj

�

121

elde edilir. Buradan

jD�f (y)� Pk�j (D�f) (x; y)jq � (k � j)q d(k�j)qhq1

�x;

y � x

jy � xj

�

gerçeklenip ayr¬ca � B (x; d) oldu¼guda dikkate al¬n¬rsa

Z

jD�f (y)� Pk�j (D�f) (x; y)jq dy � (k � j)q d(k�j)q

Zjy�xj�d

hq1

�x;

y � x

jy � xj

�dy

bulunur. Dolay¬s¬yla

0@Z

jD�f (y)� Pk�j (D�f) (x; y)jq dy

1A 1q

� (k � j) dk�j

8><>:Z

jy�xj�d

hq1

�x;

y � x

jy � xj

�dy

9>=>;1q

= (k � j) dk�j

8><>:Z

jzj�d

hq1

�x;

z

jzj

�dz

9>=>;1q

= (k � j) dk�j

8><>:dZ0

Zj�j=1

hq1 (x; �) d��rn�1dr

9>=>;1q

= (k � j) dk�j�dn

n

� 1q

8><>:Z

j�j=1

hq1 (x; �) d��

9>=>;1q

= (k � j) dk�j�dn

n

� 1q

h� (x)

elde edilir. (6.3.4) ifadesi göz önüne al¬n¬p ilk olarak Hölder esitsizli¼gi daha sonra

Lemma 6.3.1 kullan¬l¬rsa

kD�f �Qk�j (D�f)kLq() � 1

m (B)(k � j) dk�j

�dn

n

� 1qZB

h� (x) dx

� 1

m (B)(k � j) dk�j

�dn

n

� 1q

kh�kLp(Rn) [m (B)]1� 1

p

= (k � j) dk�j�dn

n

� 1q

kh�kLp(Rn) [m (B)]� 1p

122

� (k � j) dk�j�dn

n

� 1q p

p� 1!1qn khkLp(Rn) [m (B)]

� 1p

=k � j

n1q

dk�j+nq

[m (B)]1p

p

p� 1!1qn khkLp(Rn)

gerçeklenir. Di¼ger yandan

khkLp(Rn) =

X

j�j=k�j

1

�!D�D�f

Lp()

�X

j�j=k�j

1

�!

D�D�f Lp()

�

0@ Xj�j=k�j

(�!)�2

1A 120@ Xj�j=k�j

D�D�f 2Lp()

1A 12

oldu¼gu da göz önüne al¬n¬rsa

kD�f �Qk�j (D�f)kLq() � k � j

n1q

p

p� 1!1qn

0@ Xj�j=k�j

(�!)�2

1A 12

dk�j+nq

[m (B)]1p

�

0@ Xj�j=k�j

D�D�f 2Lp()

1A 12

seklinde yaz¬labilir. Bu durumda (6.3.3) ifadesi dikkate al¬nd¬¼g¬nda

jf �Qk (f)jj;q � (c/ f� : j�j = jg)12k � j

n1q

p

p� 1!1qn

0@ Xj�j=k�j

(�!)�2

1A 12

dk�j+nq

[m (B)]1p

�Xj�j=j

0@ Xj�j=k�j

D�D�f 2Lp()

1A 12

= Cdk�j+

nq

[m (B)]1p

0@Xj j=k

kD fk2Lp()

1A 12

= Cdk�j+

nq

[m (B)]1p

jf jk;p

istenilen elde edilir.N

123

6.4 W r2 ([��; �]) Sobolev Uzaylar¬nda Trigonometrik Yaklas¬m

Bu kesimde

f1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx; :::g

dizisi W r2 ([��; �]) uzay¬nda tam olmamas¬na ra¼gmen bu dizinin W r

2 ([��; �]) uza-

y¬n¬n bir alt uzay¬olan 2� periyotlu periyodik f (m) (x) (m = 0; 1; :::; r � 1) türevle-

rine sahip olan f fonksiyonlar¬n¬n uzay¬nda tam oldu¼gu gösterilmistir. Ayr¬ca

f1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx; :::g

dizisinin W r2 ([��; �]) uzay¬nda tam diziye genisletilebilece¼gi incelenmistir.

Daha aç¬k olarak; sabit a¼g¬rl¬kl¬W r2 ([��; �]) Sobolev uzaylar¬nda trigonometrik

yaklas¬m için iki sonuç verilmistir. ·Ilk sonuç;

�xr; xr�1; :::; x; 1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx; :::

dizisiW r

2 ([��; �]) uzay¬nda tam olmas¬na ra¼gmen diziden en yüksek dereceli xr ele-

man¬n¬n ç¬kar¬lmas¬ile elde edilen dizinin tam olamayaca¼g¬verilmistir. ·Ikinci sonuç

ise; fonksiyonun kendisi ve ilk (r � 1) -inci mertebeden türevi 2� peryotlu periyo-

dik fonksiyonlar oldu¼gu zaman sadece trigonometrik fonksiyonlara göreW r2 ([��; �])

uzay¬nda Parseval özdesli¼ginin gerçeklendi¼gi gösterilmistir. Bilindi¼gi gibiW r2 ([��; �])

Sobolev uzay¬

W r2 ([��; �]) :=

�f : [��; �]! R j f (r�1) mutlak s�urekli; f (r) 2 L2 ([��; �])

olarak tan¬mlan¬p bu uzayda norm ve iç çarp¬m s¬ras¬yla

kfk2W r2 ([��;�])

:=rXk=0

�k

�Z��

�f (k) (x)

�2dx (6.4.1)

124

(f; g)W r2 ([��;�])

:=rXk=0

�k

�Z��

f (k) (x) g(k) (x) dx (6.4.2)

ile verilir. Burada 0 � k � r için �k verilen pozitif sabitlerdir. Kolayl¬k olmas¬

için ilerleyen k¬s¬mlarda W r2 ([��; �]) gösterimi yerine W r

2 [��; �] gösterimini kul-

lanaca¼g¬z (Cohen 1971).

·Ilk olarak �0 = �1 = 1 olanW 12 [��; �] uzay¬nda sinüslerin ve kosinüslerin tam küme

olarak düzenlenemeyece¼gini gösterelim. Bunun için

f (x) = x =2 span f1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kxg

oldu¼gunu gösterelim. Parseval özdesli¼ginin sa¼glanmad¬¼g¬n¬ ispatlamak yeterli ola-

cakt¬r. f1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx; :::g dizisi W 12 [��; �] uzay¬nda ortogonaldir.

Ayr¬ca

k1k2W 12 [��;�]

=

�Z��

dx = 2�

ksin kxk2W 12 [��;�]

=

�Z��

sin2 kxdx+

�Z��

k2 cos2 kxdx =�1 + k2

��

kcos kxk2W 12 [��;�]

=

�Z��

cos2 kxdx+

�Z��

k2 sin2 kxdx =�1 + k2

��

olup dolay¬s¬yla

T0 (x) : = (2�)�12

T1 (x) : = (2�)�12 sin x

T2 (x) : = (2�)�12 cosx

:::

T2k�1 (x) : =�1 + k2

�� 12 ��

12 sin kx

T2k (x) : =�1 + k2

�� 12 ��

12 cos kx

:::

125

dizisi W 12 [��; �] uzay¬nda ortonormal dizidir. Bu durumda

(x; T0)W 12 [��;�]

= 0

(x; T2k)W 12 [��;�]

= 0 ; k � 1

(x; T2k�1)W 12 [��;�]

= 2 (�1)k+1 � 12 (1 + k2)

� 12 k�1 ; k � 1

(6.4.3)

ve ayr¬ca

kxk2W 12 [��;�]

= 2�

�1 +

�2

3

�(6.4.4)

esitlikleri bulunur.

Key� iç çarp¬m uzay¬nda fpkg1k=0 ortonormal dizi olmak üzere

1Xk=0

(f; pk)2 � kfk2 (6.4.5)

Bessel esitsizli¼gi geçerlidir. Belirtmek gerekir ki; (6.4.5) ifadesinde e¼ger esitlik olursa

(6.4.5) ifadesi Parseval özdesli¼gi ad¬n¬al¬r. (6.4.5) ifadesinin sol taraf¬nda (6.4.3)

ifadesi, sa¼g taraf¬nda (6.4.4) ifadesi kullan¬l¬rsa

21Xk=1

k�2�1 + k2

��1 � 1 + �2

3

bulunur. Ancak

2

1Xk=1

k�2�1 + k2

��1< 2

1Xk=1

k�2 =�2

3< 1 +

�2

3

gerçeklenir. Dolay¬s¬yla Parseval özdesli¼gi sa¼glanmay¬p W 12 [��; �] uzay¬nda

f1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx; :::g dizisi tam de¼gildir.

126

f (x) = x =2 span f1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kxg oldu¼gunu göstermenin baska bir

yolu daha vard¬r. Bunu f fonksiyonunun klasik Fourier serisi ileW 12 [��; �] uzay¬nda

a�k = (f; T2k)W 12 [��;�]

ve b�k = (f; T2k�1)W 12 [��;�]

olmak üzere

a�0T0 (x) +1Xk=1

[a�kT2k (x) + b�kT2k�1 (x)]

ile tan¬mlanan modi�ye serisini kars¬last¬rarak yapabiliriz.

f (x) = x fonksiyonu [��; �] aral¬¼g¬nda tek fonksiyon oldu¼gu için f fonksiyonunun

klasik Fourier serisi ve modi�ye seri yaln¬zca sinüslü terimler içerecektir.

L2 [��; �] uzay¬nda sinüslerin ve kosinüslerin ortonormal kümesine göre klasik Fourier

katsay¬lar¬

a0 = (2�)�12

�Z��

f (x) dx

ak = ��12

�Z��

f (x) cos kxdx; k � 1

bk = ��12

�Z��

f (x) sin kxdx; k � 1 (6.4.6)

ile tan¬ml¬d¬r. Bundan dolay¬f (x) = x fonksiyonunun klasik Fourier serisi

x = 2

1Xn=1

(�1)n+1 sinnxn

; � � < x < �

dir. Aksine (6.4.3) ifadesi kullan¬larak modi�ye seri

X (x) = 21Xn=1

(�1)n+1 sinnx

n (1 + n2)(6.4.7)

olarak bulunur.

(6.4.7) ifadesinde verilen seri ve bu seriden türetilmis seri mutlak ve düzgün yak¬n-

127

sakt¬r. Bundan dolay¬X (x) fonksiyonu kapal¬formda elde edilebilir. Belirtelim ki

�� � x � � için

cosh ax =sinh a�

�

(1

a+ 2a

1Xn=1

(�1)n cosnxa2 + n2

)(6.4.8)

gerçeklenir. (6.4.8) ifadesinde a = 1 al¬p (6.4.7) ifadesi kullan¬l¬rsa

coshx = ��1 sinh �h1�X

0(x)i

elde edilir. Buradan x 6= 0 için

X (x) = x� �sinh x

sinh �6= x (6.4.9)

bulunur. Ayr¬ca X (x) ve X0(x) için serilerin düzgün yak¬nsakl¬¼g¬ndan aç¬k olarak

modi�ye seri, (6.4.9) ifadesi ile verilen X (x) fonksiyona L2 [��; �] uzay¬nda yak¬n-

sakt¬r. Dolay¬s¬yla f1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx; :::g dizisi W 12 [��; �] uzay¬nda

tam de¼gildir. Ancak bu dizi L2 [��; �] uzay¬nda tamd¬r.

Di¼ger yandan

fx; 1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx; :::g

dizisinin sabit a¼g¬rl¬kl¬W 12 [��; �] uzay¬nda tam oldu¼gu gösterilebilir. Gerçekten;

f0 2 L2 [��; �] oldu¼gundan 8� > 0 için sn (x) trigonometrik polinomu vard¬r öyle ki

�Z��

hf0(x)� sn (x)

i2dx < � (6.4.10)

gerçeklenir.

E¼ger

tn (x) :=

xZ��

sn (t) dt

olarak tan¬mlan¬rsa bu durumda tn fonksiyonu x -li terim içerir. f (x) fonksiyonu

128

mutlak sürekli oldu¼gu için

�Z��

24 xZ��

f0(t) dt� tn (x)

352 dx = �Z��

[f (x)� f (��)� tn (x)]2 dx (6.4.11)

yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla

rn (x) := f (��) + tn (x)

tan¬mlan¬p (6.4.11) ifadesinde Cauchy-Schwartz esitsizli¼gi kullan¬l¬rsa

�Z��

[f (x)� rn (x)]2 dx < 4�2�

elde edilir. Yukar¬daki ifadeler dikkate al¬n¬rsa

kf � rnk2W 12 [��;�]

= �0

�Z��

(f (x)� rn (x))2 dx+ �1

�Z��

�f0(x)� sn (x)

�2dx

<��1 + �04�

2��

esitsizli¼gi gerçeklenir. Dolay¬s¬yla � > 0 key� oldu¼gu için

fx; 1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx; :::g

dizisinin W 12 [��; �] uzay¬nda tam olmas¬elde edilir.

Teorem 6.4.1 r � 1 olmak üzere W r2 [��; �] Sobolev uzay¬nda

fxr�1; xr�2; :::; 1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx; :::g

dizisi tam de¼gildir. Ancak

fxr; xr�1; :::; x; 1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx; :::g

dizisi tamd¬r (Cohen 1971).

129

·Ispat: ·Ilk olarak

fxr�1; xr�2; :::; 1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx; :::g

dizisinin W r2 [��; �] uzay¬nda tam olmad¬¼g¬n¬gösterelim. Bunu tümevar¬mla ispat-

layal¬m. Simdi bu ifadenin W r�12 [��; �] uzay¬nda do¼gru oldu¼gunu kabul edelim.

Yani pozitif a¼g¬rl¬klar¬n key� f�kgr�1k=0 kümesi için Wr�12 [��; �] uzay¬nda

fxr�2; xr�3; :::; 1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx; :::g

kümesinin elemanlar¬n¬n sonlu lineer kombinasyonu ile xr�1 eleman¬na yak¬nsana-

mayaca¼g¬n¬kabul edelim. Daha sonra da kabul edelim ki en az bir f�kgrk=0 kümesi

için W r2 [��; �] uzay¬nda

fxr�1; xr�2; :::; 1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx; :::g

kümesinin elemanlar¬n¬n sonlu lineer kombinasyonu ile xr eleman¬na yak¬nsama ol-

sun. O halde verilen key� � > 0 için Tn (x) trigonometrik polinom olmak üzere

R (x) :=r�1Xi=1

�ixr�i + Tn (x)

lineer kombinasyonu bulabiliriz öyle ki

rXk=0

�k

�Z��

h(xr)(k) �R(k) (x)

i2dx < r2�

gerçeklenir. Bu durumda

rXk=1

�k

�Z��

h(xr)(k) �R(k) (x)

i2dx < r2�

130

esitsizli¼gi de sa¼glan¬r. Dolay¬s¬yla k¬sa islemlerle W r�12 [��; �] uzay¬nda

r�1Xi=1

�i (r � i)xr�i�1 + T0n (x)

r

ifadesinin xr�1 fonksiyonuna yak¬nsad¬¼g¬görülür. Bu ise tümevar¬m kabulü ile çelisir.

O halde teoremin ilk ifadesi ispatlanm¬s olur.

Simdi teoremin ikinci k¬sm¬n¬ispatlayal¬m. Pozitif a¼g¬rl¬klar¬n key� f�kgr�1k=0 kümesi

için W r�12 [��; �] uzay¬nda

fxr�1; xr�2; :::; x; 1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx; :::g

dizisinin tam oldu¼gunu kabul edelim. Pozitif a¼g¬rl¬klar¬n key� f�kgrk=0 kümesi için

W r2 [��; �] uzay¬nda

fxr; xr�1; :::; x; 1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx; :::g

dizisinin tam oldu¼gunu gösterelim. Key� f 2 W r2 [��; �] fonksiyonunu dikkate

alal¬m. Bu durumda f0 2 W r�1

2 [��; �] sa¼glan¬r. Dolay¬s¬yla tümevar¬m kabulünden

verilen key� � > 0 için

S (x) :=

r�1Xi=1

�ixr�i + Tn (x)

sonlu lineer kombinasyonu vard¬r öyle ki

rXk=1

�k

�Z��

�f (k) (x)� I(k) (x)

�2dx < �

gerçeklenir. Burada I (x) :=

xZ��

S (t) dt+f (��) olarak tan¬mlanm¬st¬r. Belirtelim ki

I (x) fonksiyonu xr; xr�1; :::; x; 1; sin x; cosx; :::; sin kx; cos kx fonksiyonlar¬n¬n lineer

kombinasyonudur.

131

Yukar¬daki esitsizlik kullan¬larak

�Z��

hf0(x)� I

0(x)i2dx =

�Z��

hf0(x)� S (x)

i2dx

<�

�1

yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla

�Z��

[f (x)� I (x)]2 dx =

�Z��

24 xZ��

f0(t) dt�

xZ��

S (t) dt

352 dxesitli¼ginde Cauchy-Schwartz esitsizli¼gi kullan¬l¬rsa

�Z��

[f (x)� I (x)]2 dx <4�2�

�1

elde edilir. Bundan dolay¬

rXk=0

�k

�Z��

�f (k) (x)� I(k) (x)

�2dx <

�1 +

4�2�0�1

��

gerçeklenir. � > 0 key� ve bu sonuç W 12 [��; �] uzay¬nda elde edilmesinden dolay¬

tümevar¬mla ispat tamamlanm¬s olur.N

(6.4.2) ifadesi kullan¬larakW r2 [��; �] uzay¬nda sinüslerin ve kosinüslerin ortonormal

kümesi

T0 (x) = (2��0)� 12

T1 (x) =

�

rXi=0

�i

!� 12

sin x

T2 (x) =

�

rXi=0

�i

!� 12

cosx

132

:::

T2k�1 (x) =

�

rXi=0

�ik2i

!� 12

sin kx

T2k (x) =

�

rXi=0

�ik2i

!� 12

cos kx

:::

olarak bulunur. a�k := (f; T2k)W r2 [��;�]

ve b�k := (f; T2k�1)W r2 [��;�]

olmak üzere bunlar

a�0T0 (x) +

1Xk=1

[a�kT2k (x) + b�kT2k�1 (x)] (6.4.12)

modi�ye serisinin katsay¬lar¬olarak görülmektedir.

Sinüslerin ve kosinüslerin olusturdu¼gu dizi W r2 [��; �] uzay¬nda tam olmamas¬na

ra¼gmen bunlar W r2 [��; �] Sobolev uzay¬n¬n belirli bir alt uzay¬nda tamd¬r. Ayr¬ca

bu ba¼glamda klasik Fourier serisi ve modi�ye seri tamamen ayn¬d¬r.

Teorem 6.4.2 Sabit a¼g¬rl¬kl¬W r2 [��; �] Sobolev uzay¬n¬n

�f 2 W r

2 [��; �] : 0 � k � r � 1; f (k) (��) = f (k) (�)

ile tan¬mlanan alt uzay¬n¬ dikkate alal¬m. Bu durumda bu alt uzaya ait tüm f

fonksiyonlar¬için sinüs ve kosinüslere göre Parseval özdesli¼gi sa¼glan¬p modi�ye seri

ile klasik Fourier serisi çak¬s¬r.

·Ispat: (6.4.2) ifadesi kullan¬larak k¬sa hesaplamalardan sonra (6.4.12) modi�ye

serisi için katsay¬lar

a�0 =

��02�

� 12

�Z��

f (x) dx

a�k = ��12

rXi=0

�ik2i

! 12

�Z��

f (x) cos kxdx; k � 1

133

b�k = ��12

rXi=0

�ik2i

! 12

�Z��

f (x) sin kxdx; k � 1 (6.4.13)

olarak bulunur. 1 � k � r olmak üzere teoremin periyodiklik hipotezinden f (k) (x)

fonksiyonu için klasik Fourier katsay¬lar¬�nkan ve �nkbn dir. Dolay¬s¬yla L2 [��; �]

uzay¬için Parseval özdesli¼gi yard¬m¬yla

rXk=0

�k

�Z��

�f (k) (x)

�2dx = �0a

20 +

1Xn=1

rXi=0

�in2i

!�a2n + b2n

�(6.4.14)

yaz¬labilir. (6.4.6) ve (6.4.13) ifadeleri kars¬last¬r¬l¬rsa

(a�0)2 = �0a

20

(a�k)2 =

rXi=0

�ik2i

!a2k; k � 1

(b�k)2 =

rXi=0

�ik2i

!b2k; k � 1

gerçeklenir. Dolay¬s¬yla (6.4.14) yard¬m¬yla

(a�0)2 +

1Xk=1

�(a�k)

2 + (b�k)2� = �0a

20 +

1Xk=1

rXi=0

�ik2i

!�a2k + b2k

�=

rXk=0

�k

�Z��

�f (k) (x)

�2dx

elde edilir. O halde bu alt uzayda Parseval özdesli¼gi sa¼glan¬r. Simdi klasik Fourier

serisi ile modi�ye serinin ayn¬oldu¼gunu gösterelim. f (x) fonksiyonu için (6.4.12)

modi�ye serisi

a�0 (2��0)� 12 +

1Xk=1

24a�k �

rXi=0

�ik2i

!� 12

cos kx+ b�k

�

rXi=0

�ik2i

!� 12

sin kx

35(6.4.15)

olmal¬d¬r.

134

(6.4.13) ifadesini dikkate ald¬¼g¬m¬zda (6.4.15) ifadesi

(2�)�1�Z

��

f (x) dx+

1Xk=1

��1

26666664

0@ �Z��

f (x) cos kxdx

1A cos kx+

0@ �Z��

f (x) sin kxdx

1A sin kx

37777775= (2�)�

12 a0 +

1Xk=1

��12 (ak cos kx+ bk sin kx)

biçimini al¬r. Dolay¬s¬yla modi�ye seri ve klasik Fourier serisi çak¬s¬r.N

Sonuç 6.4.1W 12 [��; �] uzay¬n¬n 2� periyotlu periyodik olan tüm f fonksiyonlar¬n¬n

olusturdu¼gu alt uzay¬dikkate alal¬m. Bu durumda bu alt uzaya ait olan tüm f

fonksiyonlar¬ için sinüs ve kosinüslere göre Parseval özdesli¼gi gerçeklenir. Ayr¬ca

(6.4.12) serisi ile klasik Fourier serisi çak¬s¬r.

135

KAYNAKLAR

Adams, R. A. and Fournier, J. J. F. 2003. Sobolev spaces. Academic Press, 24-78

p., Canada.

Atkinson, K. and Han, W. 2005. Theoretical numerical analysis. A functional analy-

sis framework, 274-322 p., Springer.

Amick, C. J. 1979. Approximation by smooth function in Sobolev spaces. Bull.

London Math. Soc., (11); pp. 37-40.

Burenkov, V. I. 1998. Sobolev spaces on domains. Teubner-Texte zur Mathematik.

137, 15-28 p., Stuttgart.

Cheney, W. 2001. Analysis for applied mathematics. Springer-Verlag, 246-267 p.,

New York.

Cohen, E. A. 1971. Trigonometric approximation in the Sobolev spacesW r2 ([��; �])

with constant weights. SIAM. J. MATH. ANAL., 2, (4); pp. 529-535.

Davis, P. J. 1963. Interpolation and approximation. Blaisdell Publishing Company,

188-195 p., USA.

Duran, R. G. 1983. On polynomial approximation in Sobolev spaces. SIAM. J.

NUMER. ANAL., 20, (5); pp. 985-988.

Evans, G. C. 1933. Complements of potential theory II. Amer. J. Math.; pp. 29-49.

Evans, L. C. 1998. Partial di¤erential equations. American Mathematical Society,

239-292 p.

Fuµcik, S. and Kufner, A. 1980. Nonlinear di¤erential equations. Studies in Applied

Mechanics 2. Elsevier Scienti�c Publishing Company, 47-49 p., Czechoslo-

vakia.

Jost, J. 1998. Postmodern analysis. Springer-Verlag, 204-205 p., Germany.

Kesevan, S. 1989. Topics in functional analysis and applications. John Wiley &

Sons. New Delhi, 51-103 p., India.

Levi, B. 1906. Sul principio di Dirichlet. Rend. Ciev. Mat. Palermo 22; 293-395.

Rao, M. M. 1987. Measure theory and Integration. John Wiley & Sons, Inc.,

160 p., Canada.

136

Sobolev, S. L. 1991. Some applications of functional analysis in mathematical

physics. Translations of Mathematical Monographs. American Mathemati-

cal Society. Third edition.

Stein, E. M. 1970. Singular integrals and di¤erentiability properties of functions.

Princeton University Press. Princeton, 4-9 p., New Jersey.

Suslina, T. 2004. Sobolev spaces. http://www.iadm.uni-stuttgart.de, Erisim Tarihi:

15.02.2008.

Tonelli, L. 1926. Sulla guadrature della super�cie. Rend. R. Accad. Lincei. 6;

pp. 633-638.

Ziemer, W. P. 1989. Weakly di¤erentiable functions. Springer-Verlag, 53 p., New

York.

137

ÖZGEÇM·IS

Ad¬Soyad¬ : Sezgin SUCU

Do¼gum Yeri : ANKARA

Do¼gum Tarihi : 05.11.1983

Medeni Hali : Bekar

Yabanc¬Dili : ·Ingilizce

E¼gitim Durumu (Kurum ve Y¬l)

Lise : Kaya Bayaz¬to¼glu Süper Lisesi (2001)

Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2006)

Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dal¬�Subat 2007- Ocak 2009

�

138