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Zeta di Riemann – trascendenza parte immaginaria zeri non banali Rosario Turco

Sommario

Il presente articolo mostra delle evidenze numeriche, attraverso le frazioni continue, circa gli zeri non

banali della zeta di Riemann ξ(z), che risultano avere la parte immaginaria irrazionale di tipo trascendente.

Introduzione

Sulla zeta di Riemann sono noti moltissimi notevoli studi scientifici, concentrati per lo più in un solo arco

temporale di cento anni. Lo stesso autore ha scritto diversi articoli divulgativi sul tema (vedi Riferimenti

[1][2][3][4][8][9]). La congettura più famosa, la RH (Riemann Hypothesis), tuttora non del tutto dimostrata

rigorosamente, è che “Tutti gli zeri non banali della zeta di Riemann sono sulla retta critica s=1/2”. Una

congettura minore è che “Gli zeri non banali sono zeri semplici”.

D’altra parte ci sono molte evidenze che gli zeri non banali sono zeri semplici: sia perché la derivata prima

negli zeri è diversa da zero (è stato anche verificato computazionalmente dall’autore e da altri), sia perché

in molte espressioni funzionali tale derivata prima negli zeri è al denominatore e il rapporto non tende

all’infinito.

L’ ipotesi di Riemann, inoltre, ha anche molte leggi equivalenti o RH-equivalenti; mentre la ricerca degli zeri

non banali della zeta di Riemann è possibile con una tecnica Newton-Raphson o Metodo delle tangenti ([5]).

Un altro modo affascinante di studiare la zeta di Riemann è pervenire ad uno sviluppo in serie già noto, che

si avvicina alle frazioni continue (vedi [8]):

0

11( ) 1

!

nn

n

n

ss

s n

Con

1

1

ln lnlim

1

n nm

nm

k

k m

k n

Dove n sono le costanti di Stieltjes, e per n=0 abbiamo la famosa costante di Eulero-Mascheroni:

0 = .5772156649015328606065120900824024310421

Richiami teorici sui numeri irrazionali

Ritornando agli zeri non banali, spesso quello che si osserva è che la parte immaginaria è sicuramente

irrazionale, visto che non si osservano periodicità, né numeri finiti; anzi aumentando la precisione si tende

ad avere sempre più cifre decimali dopo la virgola. Ma è la parte immaginaria e irrazionale algebrica o

trascendente?

Sappiamo che i numeri sono principalmente classificabili in:

2

Insieme (numeri naturali, che non contengono i negativi)

insieme (numeri interi, contenente anche i negativi)

insieme (numeri razionali, che permettono esprime un numero come rapporto di interi)

insieme (numeri reali, contenenti i razionali e gli irrazionali)

insieme (numeri complessi)

In realtà , , sono equipotenti, ovvero con lo stesso numero infinito di elementi, cardinalità 0

(aleph zero), corrispondente anche a quello dei numeri Pari o dei numeri Dispari.

I numeri reali (razionali e irrazionali) hanno, invece, numero infinito di elementi, cardinalità 1 (aleph

uno) maggiore, a causa degli irrazionali, come da dimostrazione dovuta a Cantor. In altri termini non si

riesce a metterli in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali e quindi non sono un insieme

numerabile. E’ lo stesso problema dei punti su una retta, che sono infiniti. O forse il problema è che non è

ancora noto un algoritmo che permetta di padroneggiare sull’Infinito in atto.

Gli irrazionali, poi, si suddividono in numeri algebrici e numeri trascendenti. Un numero irrazionale

algebrico è un numero che è soluzione o radice di un polinomio di grado n a coefficienti razionali.

Ad esempio se consideriamo l’equazione associata ad un polinomio di secondo grado del tipo: 2 2 0x ,

di cui il numero irrazionale 2 è una sua soluzione, allora tale radice è un numero irrazionale algebrico.

Se un numero irrazionale non è soluzione di una di un polinomio allora è un numero trascendente come il

numero di Liouville, e la base Neperiana dei logaritmi, il pi greco etc.

Oggi si possono ordinare gli infiniti grazie al Teorema di Cantor ed il concetto dei numeri trasfiniti. Tuttavia

molti numeri non sono stati ancora dimostrati come trascendenti ed è da dimostrare anche l’affascinante

ipotesi del continuo di Cantor.

Le frazioni continue (vedi [5]) sono legate alle fattorizzazioni, alla funzione zeta di Riemann, ai frattali,

all’equazione di Pell, alle equazioni diofantee etc.

Un irrazionale è esprimibile, in pratica, con una frazione continua infinita unica, o frazione continua

illimitata; viceversa una frazione continua illimitata è un numero irrazionale.

Ci sono però anche dei casi particolari, ad esempio Lagrange mostrò che nel caso degli irrazionali

quadratici, ricavabili da un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali, si può avere una frazione

continua periodica (Vedi [10]).

In generale, dato un numero r sviluppabile in frazione continua:

0 1 2 3 0

1

2

3

1( ); ( ); ( ); ( );... ( )

1( )

1( )

( ) ...

r a r a r a r a r a r

a r

a ra r

dove 0( )a r è un intero, e ( )ka r per 1k sono interi positivi, un numero irrazionale, in generale, si può

vedere anche come limite di una successione di frazioni continue troncate, ovvero come limite della

successione delle sue ridotte ai.

3

Per un numero reale, in generale vale la costante di Khinchin:

2log1

1 2 0

1

1( ) lim ( ) ( )... ( ) 1 2.685452001

2

m

nl n

nm

K r a r a r a r Km m

(1)

La (1) è la media geometrica dei primi n termini della frazione continua e converge alla costante di Khinchin;

è, quindi, un indicatore di irrazionalità del numero. In generale la media geometrica dei quozienti parziali di

un numero reale, tranne eccezioni, tende a tale costante. Le eccezioni note sono: razionali, irrazionali

quadratici, le misure di Lesbegue nulle, la e di Nepero, che ha limite infinito.

Inoltre, se il rapporto razionale 0 1 2 3; ; ; ;...n

n

pa a a a

q è la n-esima parte convergente di una frazione

continua, allora è possibile definire la costante di Khinchin-Levy:

2

112ln2

0 lim ( ) 3.275822918721811...nn

nL q r e

(2)

Anche per questa costante valgono le stesse eccezioni, della precedente.

Inoltre esiste il Teorema di Liouville: Se α è un numero algebrico di grado n allora esiste una costante C tale

che, per ogni p e q è:

(4) C

| | n

p

q q

La conseguenza del Teorema è che se troviamo un numero reale β tale che per ogni n esistono p e q>1 con

la proprietà che 1

| | n

p

q q allora β non è algebrico. Una cosa del genere è facile costruirla con le

frazioni continue. Basta fissare a0 e costruire gli altri tale che 1

1

k

k ka q

.

Un altro teorema interessante è il Teorema di Lagrange: Lo sviluppo in frazioni continue di un numero reale

è periodico se e solo se il numero è algebrico su di grado 2.

Osservazioni sugli zeri non banali della zeta di Riemann

Per le nostre verifiche abbiamo usato PARI/GP e le funzionalità in [10]. La precisione \p influenza i risultati

che si ottengono. Nel seguito useremo più valori di /p per mostrare questo effetto. Dopi vari tentativi si è

vede che \p 2000 è tra quelle più indicate, ottenendo circa 2000 cifre dopo la virgola nella parte

immaginaria degli zeri e uno sviluppo in frazione continua con moltissimi termini. Una precisione maggiore

richiede, necessariamente, un tempo di elaborazione della GetCriticalZero maggiore.

Con GetCriticalZero(10) otteniamo che i primi 10 zeri non banali della zeta di Riemann, che hanno la

seguente parte immaginaria:

4

14.13472514173469379045725198356247027078425711569924317568556746014996342980925676494901039317156101

21.02203963877155499262847959389690277733434052490278175462952040358759858606889079971365851418015142

25.01085758014568876321379099256282181865954967255799667249654200674509209844164427784023822455806244

30.42487612585951321031189753058409132018156002371544018096214603699332938933327792029058429390208911

32.93506158773918969066236896407490348881271560351703900928000344078481560863055100593884849613534872

37.58617815882567125721776348070533282140559735083079321833300111362214908961853726473032910494582380

40.91871901214749518739812691463325439572616596277727953616130366725328052872007128299600371988954688

43.32707328091499951949612216540680578264566837183687144687889368552108832230505362645634937106319093

48.00515088116715972794247274942751604168684400114442511777531251981409021641630828133033537230540100

49.77383247767230218191678467856372405772317829967666210078195575043351161151573927873270750740093133

Dall’analisi visuale degli zeri già è evidente l’assenza di periodi; inoltre aumentando la precisione con GetCriticalZero, aumentano le cifre di essi. E’ impossibile, quindi, che si tratta di numeri razionali, e

sicuramente per il Teorema di Lagrange non può essere nemmeno algebrico su di grado 2.

Nel seguito definiamo anche la quantità:

0( )k lS K r K (5)

che rappresenta la differenza rispetto alla costante di Khinchin.

Prendiamo il primo valore della parte immaginaria degli zeri non banali disponibile sopra, ovvero:

N1=14.13472514173469379045725198356247027078425711569924317568556746014996342980925676

494901039317156101

Di esso ci interessa la frazione generatrice del numero irrazionale. Se eseguiamo da PARI/GP otteniamo che:

(09:11) gp > a = contfrac(N1)

%34 = [14, 7, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 12, 23]

Il che vuol dire che: 1

1 141

71

21

21

11

21

11

11

11

1223

N

Difatti se usiamo il piccolo algoritmo in PARI/GP, RealFromContfrac(a) in APPENDICE, riotteniamo il valore

dello zero non banale, dove a è il risultato della contfrac precedente.

La miglior approssimazione di questo numero reale N1 con \p 100 è ottenibile con bestappr(N1,10^100).

Difatti è: (09:45) gp > z=GetCriticalZero(1)

%401 = [14.13472514173469379045725198356247027078425711569924317568556746014996342980925676494901039317156101]

(09:46) gp > bestappr(z[1],10^100)

%402 =

112662239325844908350691374494572419596764477046356222974948346055807232277731987906150647564969303373/7970599937114755

818559867972595159142935025407861178860396378225521808195187712993922314421583691681

(09:46) gp > bestappr(z[1],10^100)*1.

%403 = 14.13472514173469379045725198356247027078425711569924317568556746014996342980925676494901039317156101

5

Ora possiamo calcolare con GetK la media geometrica, con la parte a sinistra della (1). Iniziamo col primo

zero:

\p 100

GetK(1)

L’input 1 significa che vogliamo il primo zero tra i 10 di default della GetCriticalZero; mentre se volessimo

l’undicesimo zero, dovremmo cambiargli anche il default (perché considera solo i primi 10 zeri) e scrivere

GetK(11,11), cioè di prelevare l’11simo zero però calcolando 11 zeri con la GetCriticalZero.

Per il primo zero, contfrac ci ha dato una espansione in frazione continua di lunghezza 11 e K= 2.80553616107465167019187272510911439817361771312416965785666980798036940995769647108529321540985589

K come si vede è vicino alla costante di Khinchin. In particolare è:

S= 0.120090960974651670191872725109114398173617713124169657856669807980369409957

6964710856293215409855888

Se aumentassimo la precisione \p 500 che succede? contfrac dà una espansione in frazione continua di

lunghezza 474 e K= 2.773994934205733231355143482539565448532395909435835386730709035526953858151979551259389841529168390840273373239437582

5395483138078323061527550945851134840986771167219980881683571831188284707338061595499495723211901174866045756144160281

3839346210412760583198411876505750808688577853692325306697652115591078364611819038459930082067227478019495380255183598

3556882147614443007660020203379597258636539438778532675161432537047267564766658597369940712025528673210318407270879758

4514174451678987731562540002

Cioè più aumentiamo la precisione, più lo sviluppo in frazione continua aumenta. Il che è indicativo che non

è possibile esprimerlo come un razionale ma solo come limite di una successione. Per cui sicuramente si

tratta di numero irrazionale.

Con \p 500

S=0.08854973410573323135514348253956544853239590943583538673070903552695385815197955125

93898415291683908402733732394375825395483138078323061527550945851134840986771167219980

88168357183118828470733806159549949572321190117486604575614416028138393462104127605831

98411876505750808688577853692325306697652115591078364611819038459930082067227478019495

38025518359835568821476144430076600202033795972586365394387785326751614325370472675647

66658597369940712025528673210318407270879758451417445167898773156254000231

Con \p 2000 contfrac da una lunghezza di espansione in frazione continua di 1922 ed un K= 2.739705661794699216884779599180639533387970642046727315850595487996701552525229839896122461153356744087965784895036123

6435479302253527392937423129543253677602107971363999970747749581203364182009626148962798830857719682935246866878249

8994818399311735071175101917658661322096044837897709502345483326332209118369774772514039365671802100993807275618884883

9561691051538070777826522900807900368925337364492676248350783356697774189750586143625461777573380593867994091884521043

6780355131800526622491900917169312104530921323540115493688051220340112701417755070928262507028939981807515779147812050

4504006982294098276065317638250388391443648420846806967051970802739192074230974449103847272543881297363290720036374030

8936532574060624153821659194593674271801853847890499881070186600239299598480349403428624789862416068479284199515917161

2990678309498800219042253510031953708051367515929809149070466026826385368005840316557895153968188587913237611636456745

1454948096646292756791232906079556674443681142761187001166347060507512969836277062219439149011906954827335997785919613

8688599043013774445420207814446693849961192771126515519332661000834789564654144829311546606823056661510037071350462827

0655972661917374066454375885654878115110204893587907607135027486202047641285112712580582482509525811615337206968976960

6

0987382556836190587609192393950850397415458086735712477692680110870744800975084121078250482867894784856517208381593054

4041200357511497671299189859252212128617289340610039186339922876679798834998492269930967211475800777416467738882457599

3522610034997548608035201403455564984223065622581287727954078366030619361915375694911568765988977135978363151226682620

1060332836111023673496109621312624514133638290193552434658403765555121131293043139074916135489435922241099732694780722

2724089785006797671464699947788809848919323820188394837246938603925100986039434613603273815728611576182428994964888523

5359394156424211363562463013524866147963801258343392551097936605447509202762837116183358676695180078155227361345465

Verifica con Liouville

Proviamo a guardare il primo sviluppo di 11 termini, attraverso la lente del Teorema di Liouville, per

stabilire se è un irrazionale algebrico. Il Teorema deve essere vero per ogni p e q. La costante deve essere

C>0 e possiamo riformulare il Teorema (4) nella forma:

| | Cn pq

q , con C>0 (6)

Per cui se troviamo un p e q per cui è violata la (6), allora il Teorema è violato ed il nostro zero non banale

non è un valore irrazionale algebrico ma trascendente.

Partiamo dallo zero e troviamo la miglior approssimazione di frazione parziale, cioè:

((13:14) gp > z=GetCriticalZero(1)

%42 = [14.13472514173469379045725198356247027078425711569924317568556746014996342980925676494901039317156101]

(13:14) gp > alpha=z[1]

%43 = 14.13472514173469379045725198356247027078425711569924317568556746014996342980925676494901039317156101

(13:14) gp > c=bestappr(alpha,10^100)

%44 =

112662239325844908350691374494572419596764477046356222974948346055807232277731987906150647564969303373/7970599937114755

818559867972595159142935025407861178860396378225521808195187712993922314421583691681

Questo vuol dire che:

pn=112662239325844908350691374494572419596764477046356222974948346055807232277731987906150647564969303373

qn=7970599937114755818559867972595159142935025407861178860396378225521808195187712993922314421583691681

(13:14) gp > denominator(c)

%45 = 7970599937114755818559867972595159142935025407861178860396378225521808195187712993922314421583691681

Ora proviamo per vari n=2,…10

A questo punto proviamo a fare:

n=1000;

j=0;

for(i=1,n,

val=(alpha-c)*(denominator(c)^i);

if(val>0.0,

print(“OK”);

j++;

);

);

print(“j = “, j);

7

e troveremo sempre valori nulli, anche aumentando n. In pratica la differenza (alpha – c)*q^n è

praticamente zero, mentre la costante C deve essere almeno 1. Per cui, come conclusione di evidenza

numerica, lo zero non banale è sicuramente trascendente.

APPENDICE

Per attivare il software:

\p <valore precisione desiderato>

\r c:\pari\FrC.txt

Sorgente FrC.txt (richiama anche Zeta.txt)

\r c:\pari\Zeta.txt

RealFromContfrac (c)=local();{ /* c è il risultato di una contfrac , x da il valore reale della frazione continua */

i=length(c);

print("len = ", i);

prec = c[i];

i--;

while(i>=1,

x = c[i] + 1/prec;

prec = x;

i--;

);

print("p/q = ", x);

x=x*1.;

print("real = ", x);

}

GetK(j,nz=10)=local();{

pos=j;

print("pos: ", pos);

z = GetCriticalZero(nz);

print("Zeroes: ", z);

a = contfrac(z[pos]);

print("confrac : ", a);

print("length contfrac: ", length(a));

P=1;

for(i=1,length(a),P=P*a[i]);

K=P^(1/length(a));

Ka=2.6854452001;

S=K-Ka;

print("K: ", K);

print("Ka: ", Ka);

print("S: ", S);

return (K);

}

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Riferimenti

[1] Frazioni continue e zeta di Riemann, connessioni con la teoria delle stringhe – R. Turco, M. Colonnese , M. Nardelli

[2] Sulle spalle dei giganti – R. Turco, M. Colonnese et al.

[3] Proposta di dimostrazione alle Ipotesi di Riemann e Congettura molteplicità degli zeri - Rosario Turco, Maria Colonnese

[5] Aggirandosi tra i plot della zeta di Riemann - Tecniche per la ricerca degli zeri non banali - Rosario Turco, Maria Colonnese

[6] La Zeta di Fibonacci in campo reale – Rosario Turco

[7] La Zeta di Keith e i numeri di Keith – Rosario Turco

[8] Frazioni continue e zeta di Riemann, connessioni con la teoria delle stringhe – Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele

Nardelli

[9]On the Riemann Hypothesis. Formulas explained -ψ(x) as equivalent RH. Mathematical connections with “Aurea” section and

some sectors of String Theory – Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli

[10]Software PARI/GP per la zeta di Riemann – Rosario Turco

[11] http://it.wikipedia.org/wiki/Frazione_continua

[12] RH equivalente generale dei numeri naturali – Rosario Turco, Maria Colonnese