UNIVERZITET U BEOGRADUMATEMATIKI FAKULTET

SEMINARSKI RAD

TEMA:

ZLATNI PRESJEK

PREDMET: METODIKA NASTAVE MATEMETIKE II

Profesor: Student:LUI ZORAN VUKOVI RADENKO 214/97

BEOGRAD, JUN 2001.gZlatni presjek: geometrija prirode ili prirodna

geometrija Gledajui raznovrsnost pojava svoje okoline ovjek o njoj stie neke intuitivne utiske. Oblici kod gledaoca dobijaju za njega subjektivne karakteristike vidi ih kao vitke, zdepaste, elegantne ili ne, sviaju mu se ili ne sviaju. Ukus je bitan inioc ovjekovih reakcija na drai: on e birati i oblikovati predmete i okolinu po nekom svom nahoenju, iako naj-ee nee moi objasniti ta je to to prepoznaje kao lijepo. Ne znam ta je umjetnost, ali znam ta mi se svia, izjava je koju esto moemo uti. Svi-anje se umee i u prirodne pojave i oblike, lijepi su zalasci sunca, arene kronje stabala u jesen, puevi i koljke sa svojim vijugama; i cvijee nas privlai sve do ukljuivanja u manire ponaanja darujemo ga i njime ukra-avamo okolinu; u gradovima elimo to vie parkova i zelenila, drimo ku-ne ljubimce, vikendom odlazimo u prirodu prema kojoj oigledno osje-amo jaku pripadnost i ne elimo je se odrei. Ima li u svim tim nevidljivim osjeajima i ukusima neto izmjerljivo, izraunljivo, ime bismo dokazali i uinili vidljivom tu vezu ovjeka i prirode?

slika 1: grafikon odabira najljepeg pravougaonika

Ispitanicima je ponueno deset pravougaonika razliitih odnosa (odnosa stranica), izmeu kojih je najvei broj ispitanika izabrao jedan odreeni sa odnosom 21:34 kao najljepi F. Th. Fecher (1876) uinio je eksperiment, otada vie puta ponavljan. (slika1) Mi znamo za taj odnosa brojeva: jo od doba antike Grke, Platona u Teetetu i Euklida u X knjizi Elemenata govorimo o dinamikoj simetriji

2

ili samjerljivosti u kvadratu, odnosno o Zlatnom pravougaoniku ili Zlatnom presjeku. ta je to?

Definicija zlatnog presjeka govori o razmjeri to znai o odnosu dvaju razmjera. Manji dio prema veem odnosi se jednako kao vei dio prema cjelini. Ili: minor:major=major:cjelina. Ili: cjelini. Ili: minor:major=major:cjelina. Ili: A:B=B:(A+B). Geometrijska konstrukcija zlatnog presjeka mogua je na nekoliko naina:Duinu AB dijelimo na pola i prenosimo duinu te polovine pod pravim uglom lijevo ili desno; dobili smo taku C. Nju spajamo s takom B. Veli-inu AC prenesemo s take C na duinu CB, ime dobijemo taku A1. Iz take B estarom prenesemo duinu BA1 na duinu AB i dobijamo taku D koja presjeca prvobitnu duinu AB na odnos major (BD) i minor (DA). (slika 2)

slika 2: konstrukcija z.presjeka 1 slika 3: konstrukcija z. presjek 2

Drugi nain konstrukcije je da kvadrat stranica 1:1 prepolovimo po normali, i spustimo dijagonalu polovine (AB) na bazu. Iz novodobijene zavrne take baze (D) podiemo normalu u C i zatvaramo kvadrat. (slika 3)

Trei nain je malo dui: dijagonala kvadrata stranice 1 koja iznosu korijen iz 2 prenese se estarom na produenu stranicu kvadrata. Omeuje se pravougonik kojem su due stranice korijen iz 2, a krae 1. Ponavlja se isti postupak, tj. dijagonala pravougaonika korijen iz 2 koja iznosi korijen iz 3 prenosi se na produenu stranicu itd., dok se ne stigne do pravougaonika korijen iz 5. Tada se povue simetrala na due stranice i iz donjih spoljanjihuglova se diu lukovi kojima je radijus polovina duine stranice do presjeka s gornjom stranicom. Iz tih taaka se spuste normale koje zatvaraju kvadrat.

3

S obje strane kvadrata preostala su dva manja pravougaonika koji svaki posebno s kvadratom daju zlatni pravougaonika. (slika 4)

slika 4: konstrukcija z presjeka 3

Ovim konstrukcijama smo dobili dvije duine u odnosu koji ini bazu i stranicu onog kvadrata koji su veina ispitanika prepoznali kao najljepi. Za njegove stranice smo rekli da su bile u odnosu 21:34. Rezultat tog dije-ljenja iznosi 0,617647 iracionalni broj, matematiki nemjerljiv.

Meutim, u 13. vjeku jedan je matematiar, Leonardo iz Pise zvani Filius Bonaccio postavio aditivni niz brojeva u kojem je svaki slijedei broj jednak zbroju prethodna dva: 1:1:2:3:5:8:13:21:34:55:89:144 a koji je po njemu dobio ime Fibonaccijev niz. Primjeujemo na odnos 21:34 kao dio tog niza, a raunanje e pokazati da svi brojevi ovog niza podijeljeni sa svojim sljedbenikom, prvim veim brojem, (npr.34:55) uvijek daju rezultat

4

0,6, dakle praktino konstantan odnos kroz cijeli niz ime smo zagospodarili neuhvatljivim iracionalnim brojevima sa beskonanim razlomkom. Obrnuti postupak, dijeljenje veeg sa prvim manjim lanom niza davati e konstantnu aproksimativnu vrijednost 1,6. Tako su zapravo svi brojevi Fibonaccijevog niza u grupama po tri lana (npr. 8:13:21) u zlatnom odnosu. Osnovna mjera zlatnog kvadrata tako iznosi 1:1,618. Oznaka za zlatni presjek je , fi.

Kako jo moemo doi do zlatnog presjeka? Recimo, rasijecanjem krunice na pet jednakih dijelova, to se postie ovako (slika 5): radius krunice (BD) dijeli se na pola (E) i povezuje sa normalom nad centrom (C); duina EC se sputa na dijametar (AD) u taku P, koja se opet spaja sa takom C; duina CP se prenosi na obod krunice taka P1. P1C ulazi pet puta u krunicu, bez ostatka. Ako dobijene vrhove spojimo, dobili smo pravilan petougao, iji presjeci duina krakova ponovno ine pravilne zlatne presjeke ( c(3):b(5) = b(5):a(8) , 3:5 = 5:(3 + 5 = 8) ). (slika 6)

slika 5: konstrukcija petougla slika 6: zlatni odnosi krakova . unutar petougla

5

U sreditu petokrake zvijezde nalazi se manji petougao ije dijago-nale iscrtavaju novi, manji pentagram, postavljen naopako. Njegovi su kraci opet u odnosu zlatnog presjeka. U manjoj je zvijezdi jo manja, i tako se petougao beskonano kopira sam u sebe (slika 7). Pitagorejci su petokraku zvijezdu nazivali pentalfa, jer je sastavljena iz pet slova A, i bila je tajni znak njihovog bratstva.

slika 7: kopiranje pentalfe unutar sebe

Pogledajmo pored sebe: presijecimo jabuku na pola i ugleda emo sjemenke rasporeene na petougaonoj osnovi. I cvijet same jabuke je petou-gaon, kao i neki drugi cvjetovi (slika 8).

slika 8: cvijet jabuke i njen presjek

Petougao jo nije iscrpio svoje mogunosti. Povezivanjem dva susje-dna ugla s centrom ini trougao, koji prepolovljen daje tzv. Pitagorin trou-gao, pravougli, sa stranicama 3-4-5, odnosno baza 3 : hipotenuza 5 = 0,6. Ili

6

skraeno baza1: visina1,6 = 0,618 , zlatni odnos (slika 9). I spoljanji kraci zvijezde ine trouglove sa jednakim odnosima (slika 10). I takvi trouglovi su prepoznatljivi u prirodi pogledajmo metriku rasta cvjetova na slici 11.

slika 9: Pitagorin trokut u pentagramu slika 10: trokut sa zlatnim omjerima . u pentagramu

slika 11: metrika rasta cvjetova po Pitagorinom trokutu

Nainimo i najkompleksniju konstrukciju. Iz osnovnog kvadrata 1:1 konstruiimo zlatni presjek (slika 12), i u novom pravougaoniku izvucimo dijagonalu AB. Na presjeku stare ivice DE dobijamo taku F iz koje povla-imo paralelu do G. Tako smo desni kvadrat DECB presjekli na dva manja- jedan ponovno jednakostranian (FECG), i jedan u zlatnom presjeku (FGBD). Nova dijagonala (DC) i novi presjek (H) prelamaju novi zlatni kvadrat na dva manja, opet jednakostranian i zlatni, ali drugog, vertikalnog, usmjerenja (DFHI). Novim dijagonalama i novim presjecima stvaraju se ro-tacije sve manjih zlatnih i jednakostraninih kvadrata do odreenog centra.

7

Ako sada ubodemo estar u taku D i spojimo gornji lijevi ugao s takom E, zatim ubodemo u taku F i spojimo E sa G, ubodemo u H i spojimo G sa i itd., dobijamo dinaminu spiralu. Cijelu ovu konstrukciju nazivamo vrtloni pravougaonik, i on ini osnovu rasta mnogih organizama u prirodi. Pogle-dajmo najoitiji primjer koljke, pa suncokreta, uzoraka paunovog repa ili iarka (slika 13).

slika 12: konstrukcija vrtlonog pravougaonika

slika13: koljka, suncokret, paunov rep i iarka - neki primjeri dinamine . spirale

Sada, kada znamo ta traimo, izmjerimo i izraunajmo odnose i pro-porcije raznih prirodnih oblika; zapanji e nas uestalost zlatnog odnosa u svim vidovima organskog ivota. Ako negdje ne uoavamo zlatni presjek

8

isprva, to moe biti i zbog deformacije fiktivne mree u kojoj zamiljamo ucrtan neki oblik; pa iako dvije ribe na slici 14 izgledaju sasvim razliito, analiza njihovih mrea pokazuje da obje imaju identinu strukturu, pa tako i razmjere koji se bez mjerenja ne mogu uoiti. Ne udi nas zato da je i samo ljudsko tijelo krojeno po istim prirodnim krojevima, i da ispod praga svijesti ovjek prepoznaje i osjea u prirodi taj uzorak koji oduvijek nosi u sebi. To je posebno zainteresovalo umjetnike koji su, neki svjesno, neki nesvjesno, ugradili ta pravila u svoja djela. Svianje u tim djelima, kao i u prirodi, je u velikoj mjeri odreeno prepoznavanjem metrike kosmosa od kojeg smo svi nainjeni.

slika 14: ribe razliitog izgleda ali jednake strukture

U prethodnom opisali smo konstrukcije zlatnog presjeka i njegovo pojavljivanje u Pitagorinom trouglu, petouglu i vrtlonoj spirali. Nazreli smo princip konstrukcije u pranicima suncokreta i cvjetovima, sjemenki u jabukama, rastu nekih cvjetova i listova begonije, arama paunovog repa, dimenzijama riba i insekata; nazreli smo da toga ima jo mnogo u organskoj prirodi. Naravno da se zlatni odnosi pojavljuju i u strukturi ljudskog tijela, i da je ovjek to odavno primijetio, ili barem osjetio, i ugradio prirodnu metri-ku u svoja umjetnika djela.

9

Najpoznatije proporcionirano obiljeavanje ovjeka izvedeno je na crteu Leonarda da Vincija.

Crte nam kae: ljudsko tijelo je mogue ucrtati u krunicu i kvadrat (kvadrat je pravougaonik sa jednakim stranicama 1x1=1na kvadrat - dakle kvadrat je dimenzija jedan na kvadrat). Visina ovjeka (1) jednaka je irini rastvorenih mu ruku (1). Postavljanjem ruku i nogu u dijagonalu ovjek po-staje sredite krunice. Napokon, potezi ispod koljena oznaavaju zlatni pre-sjeku, kao i na ramenima: od vrha prstiju do ramena : rame do prstiju druge ruke. Tako je i sa glava+tijelo+natkoljenica : potkoljenica. Ipak, Leonardo to nije sam izmislio. Crte je zapravo interpretacija Vitruvijevih studija o pro-porcijama, koje su objedinjenje dotadanjih antikih saznanja.

Na kosturu vidimo kako se zlatni odnosi poinju granati; unutar go-rnjeg dijela tijela na odnos glave i vrata (A) naprama trupu (B); tako se dalje odnose i dijelovi ruku i dijelovi nogu.

Nadalje, uoimo odnose veliina na ljudskoj aci - kako se lanci prstiju odnose u progresiji veliine, i svi se mogu upisati u krunice sa ce-

10

ntrom u korjenu; poput lica, dijelovi tijela su mikrokosmos koji ogleda ma-krokosmos tijela.

U umjetnosti, istorija zlatnog presjeka zapoinje u starom Egiptu, i tu odmah nailazimo na problem: Egipani su upotrebljavali zlatni presjek a da nisu ni znali za njega! Ili barem mi tako smatramo, jer se nigdje ne spominje neto to bi odgovaralo njegovom opisu. Polazite o njihovom znanju su nam est matematikih papirusa, koji ak jo nisu svi tano deifrovani. Rindov papirus poinje ovako: "Tano sabiranje. Vrata ka znanju svih stvari i mranih misterija." Vijekovima i hiljadama godina Egipani su gradili po kanonima koji se nisu mijenjali, i koji su osiguravali uklapanje dijelova u cjelinu premda su bili napravljeni i na razliitim mjestima, i u razliito vrijeme. Postupak rada nam je poznat: umjetnik je najprije sastavio kvadratnu mreu podijeljenu na polja i u nju unosio konture. Matematiki odnosi su se postavljali na osnovu izraunavanja bitnih prirodnih pojava - podizanju i opadanju voda Nila zbog hrane, i astronomskom mjerenju kretanja zvijezda, posebno Orionovog pojasa zbog rasporeda i orjentacije hramova, svetita i piramida (kompleks sa Keopsovom (i jo dvije) piramidom u Gizi je u odnosu na Nil vjerna rekonstrukcija srednje tri Orionove zvijezde prema Mlijenoj stazi, npr.) Tako ispada da je samo matematikim tumaenjem prirode Egipaninu u proraun uao i zlatni presjek; veina konstrukcija ukljuuje korijen iz 5 i pravougle trougle 3-4-5. Na slici 4 je konstrukcija Keopsove piramide, zatim prikaz da je duina stranice u zlatnom odnosu sa polovinom baze;

11

U Grkoj, od 580-497 g. p.n.e. ivio je Pitagora, ovjek koji je traei sastave kojima e objasniti harmonino djelovanje svijeta oko sebe postavio brojeve - ne kao jedinice kvantitete, ve kao principe u kojima se ogleda ko-smiki red. Tako pitagorejski sastav ima monadu, jedinicu, poetak svega; dijadu i trijadu - enski (djeljiv) i muki (nedjeljiv) broj; etiri-potpuna e-nskost, dvostruka djeljivost, broj pet kao potpunost, zbir mukog i enskog naela; i deset kao apsolutni, sveti broj, zbroj 1+2+3+4, tetrakis kojem su se pisale i izgovarale molitve. Pitagora je putovao u Egipat i tamo doznao mno-ge "mrane misterije i znanje svih stvari" uobliene u brojeve. Nakon Pita-gore, Platon e 387. g. p.n.e. napisati na glavna vrata svoje Akademije: "Ne-ka nitko ovdje ne ulazi ako ne zna geometriju"; sjeme metrike nunosti za shvatanje svemira ve je niknulo bogatim plodom. Ubrzo, oko 300. g. p.n.e. Euklid iz Aleksandrije e pisati svoje knjige "Elemenata", u kojima, kao uenik Platonove kole govori o pitanjima geometrije i proporcija i precizno govori o podjeli date duine tako da se manji dio (minor) odnosi prema ve-em (major) kao ovaj prema zbiru manjeg i veeg (tj. cjelini). Poliklet u svo-jim skulpturama, Fidija, Iktin i Kalikrat na Partenonu i mnogi drugi svjesno su baratali matematikim formulama koje su odreivale lijepe proporcije; ta-ko govorimo o Grcima kao o pronalazaima zlatnog presjeka. Sva znanja starih Grka objedinio je rimski arhitekt Markus Vitruvius Polio iz 1. vjeku p.n.e. u svom kapitalnom djelu "De architectura libri decem" ili "Deset knji-ga o arhitekturi", posveenom imperaroru Augustu. Vitruvije, govorei o si-metriji hramova njihove proporcije uporeuje sa razmjerima ovjejeg tijela. I upravo Vitruvije e ucrtati ljudsko tijelo u krunicu to e mnogo kasnije, u 15. vjeku, ponovno interpretirati Leonardo da Vinci. Grci uspostavljaju ka-non lijepih proporcija, koje moemo pratiti na Polokletovom Doriforosu.

Partenon je simbol univerzalnosti savrenih proporcija, sa mnotvom razlaganja u zlatnim presjecima po svim osama; ak i grke vaze su konstr-uisane po dinaminim spiralama.

Na temelju matematike razraenosti Grka i Rimljana, proporcijama - a posebno zlatnim presjekom kao njihovim kljunim iniocem - su se nada-lje kroz istoriju bavili mnogi umjetnici svesno, a drugi su ih manje svjesno

12

ugraivali u svoja djela. U renesansi je, uz spomenutog Leonarda, propo-rcijske sisteme razraivao Albrecht Drer, a u 20. st. francuski arhitekt Le Corbusier postavlja svoj "Modulor", ponovno se prisjeajui starih mudro-sti i odnosu prirode.

Na kraju, zanimljivo je dotai se i narodne umjetnosti. Ako prolazi teorija da ovjek prepoznaje zlatni presjek kao grau prirode i sebe sama, tada bi se pogotovo presjek morao pojaviti i u tradicionalnim narodnim rukotvorinama. Zaista, pogledajmo primjere Meksikih ornamenata, vaze sjevernoamerikih Pueblo Indijanaca, Tibetanski Buda i japanska pagoda.

Da zakljuimo. Veoma privlai ideja da se kroz razmjere zlatnog pre-sjeka moda mogu matematiki otkljuati i pomalo otkrinuti mistina vrata iza kojih iskri rajska svjetlost Boje konstrukcije Univerzuma. Moda je ta-ko, ili se moda samo zavaravamo da su ti nivoi spoznaje dostupne naoj vr-sti. Ipak, ovjek svim svojim biem tei spoznaji Apsoluta i Istine, i od pr-vih iskri svog razuma, od zore ovjeanstva, magijom i religijom pokuava transcedentovati materiju oko sebe u neku viu sferu, gdje sve ima smisla i sve se uklapa. Metafizika matematika je izmjerila svoju okolinu i brojeve meusobno usaglasila. Matematiari-filozofi nisu zadovoljni miljenjem da je umjetnost i ljepota samo intuicija; trai se ono to nije sluajno. Pitago-rejske molitve tetrakisu nisu upuene broju kakav mi danas poznajemo; to je mistini princip harmonije i ljubavi, naelo stvaranja. Broj - apsolut je Bog. Odnedavno, teleskopi su snimili rotaciju galaksija u svemiru; one se okreu u obliku dinamine spirale.

13

LITERATURA

[1] GYORGY DOCZI, The Power of limits, Shambala & Boston . i London 1994.

[2] MLADEN PEJAKOVI, Statohrvatska sakralna arhitektura, Kranska sadanjost, Zagreb 1988. [3] COXETER, Introduction to Geometry Second Education [4] ORE PETROVI, Teoretiari proporcija [5] JADRANKA DAMJANOVI, Vizualni jezik i likovna

. umjetnost, kolska knjiga, Zagreb 1991. [6] http://sokrat.uciteljska-akademija.hr/likovna-kultura/miro4.htm

14