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TECHNISCHE MECHANIK 7(1986)Heft3
Manuskripteingang: 16. 7. 1985
Zur Stabilität starr ummantelter Ringe und Kreiszylinderschalen
unter radialem Außendruck
Hans Gläser
Einleitung
Die Kenntnis der kritischen Beullasten ummantelter Rin-
ge und Kreiszylinderschalen ist z. B. für die Verlegung
dünnwandiger Rohre in geologischen Medien im Kraft-
werksanlagenbau, für die Auskleidung von Schächten
aber auch für Dichtheitsprüfungen geschweißter Innen-
auskleidungen im chemischen Apparatebau bedeutungs-
voll. In] vorliegenden Beitrag sollen die numerischen Er-
gebnisse aus Untersuchungen, die rein elastisches Ma-
terialverhalten der kritischen Beullastermittlung zugrun-
de legen mit denen, die die Fließspannung hierbei be—
rücksichtigen, auf ihre praktische Verwendung, speziell
zur Bestimmung des zulässigen Diehtheitsprüfdruckes ge-
schweißter Innenauskleidungen, abgeschätzt werden.
Dabei wird nach einer umfangreicheren Recherche ein-
schlägiger Beiträge im wesentlichen auf die Untersuchun-
gen von H. Hain und S. Jacobsen [2] Bezug genom-
men.
l. Zur Stabilität des gebetteten elastischen Kreis—
ringes unter radialem Außendruck
Die klassische Stabilitätstheorie geht von der Vernach-
lässigung der Verformung des Grundzustandes und der
Linearität der Beziehungen zwischen den beim Ausbeu-
len zusätzlich auftretenden Verformungen und Schnitt-
kräften aus.
Die äußeren Kräfte (konstanter. radialer Außendruck)
wirken normalentrcu.
Im Kontaktbereich der Beulfigur mit der l.’mgebung
wird in [l] für die radialen Bettungskräfte näherungswei-
>P die Gültigkeit des Winklersclien Gesetzes p Z —c t w
angenommen. Die starre l7mnlanldnng ergibt sich als
Sonderfall.
Tangential wirkende Bettungskräfte werden vernachläs-
sigt. Dies soll auch näherungsweise für den Fall der star-
ren Ummantelung vorausgesetzt werden, denn die vor
allem beim einwelligen Beulen mit der Umfangsstau—
chung des Ringes verbundenen Schubkräfte zwischen
Ring und Ummantelung wirken stabilisierend.
Die Differentialgleichungen für das Knickproblem des
elastisch gebetteten Kreisringes werden bei Berücksich-
tigung einer möglichen Umfangsdehnung der Ringmittel-
fläche aus dem Potential der Kreiszylinderschale durch
den Grenzübergang zum ebenen Dcformationszustand
gewonnen. Für den Kontaktbereich gilt:
l'} ' l1 V _ 2
w—flr— v — w)
(l — V3)r ( W
+_
52w Z f [*pW" *Wz) +_ä "a
28
E . h2} _ .— 9m
*6“.—(W w- w )- +r.c.w2
]dw
12(1__V2) l.3 ‚W
(1)
Die zugehörigen Eulerschen Differentialgleichungen hei-
fsen
_ A E . h f A x
p W + w) + *‘WM (W — v „)( .w (l _ V2) r W
E ' h3 i. ‘ q i g _ g
1.3 (“ppr “WWW + W) — r C W A 0
WAD — VW Z 0 (2)
bzw. zusammengefaßt zu einer Differentialgleichung für
die radiale Verschiebung
WSW + (2+ ammo + (1+a+b)w„p = 0
vsz-dwcoawcl (3)
Beim Stabilitätsproblem der starr ummantelten Ausklei-
dung interessieren speziell die Differentialgleichung und
deren Lösung für den nicht gebetteten Bereich. Diese fol-
gen aus dem Integral von (2) und Streichung der mit c
behafteten Glieder zu
w = Cl + C2 ' cosz + C3 ' sinÄcp
+ (I4 ' costp + C5 ' sintp
1+ a
v I C +1+~*—
° ( 12'r2/h2) C1 ' «P (4)
+ C2 ' sinÄxp ~ %C3 ' (:0sz
l
Ä
+ C4 ' simp + (IS - cossp
Die überstrichenen Gröfsen beziehen sich auf den Kon-
taktbereich bzw. elastisch gebetteten Bereich7 die nicht
überstrichenen auf den nicht gebetteten.
sp , g? : Winkelkoordinate _
a , 07 z halber Öffnungswinkel des nicht bzw. ge-
betteten Bereiches
w, W : radiale Verschiebung des Kreisringes
v, V : tangentiale Verschiebung des Kreisringes
Ä = V 1 + a
. 3_ p r r
E - 1* )
1* : ‚_L12(1 — V2)
Bild l
a) niclirwrlligcs Beulen
b) I‘inwclligcs Beulen
Der Kreisring mit starrer Ummantelung zeigt bei Insta—
bilität zwei mögliche Beulformen:
rotatirinssymmetrisches oder mehrwelliges Beulen
b) asymmetrisches oder einwelliges Beulen.
zu a) mehrwelliges Beulen
Es sind die l„ösungen für den nicht gebetteten Bereich
(4) maßgebend. Die lntegrationskonstanten (10 ‚.‚Cs
werden aus den folgenden Symmetrie- und Randbedin-
gungen bestimmt.
szo) : 0’ ‘V,w(w=0> : 0’ quzm Z 0’
(6)
V(xp=ia) : 0» “’,¢(¢:ia) = 0, wann)
Damit erhält man aus (4) die Beulbedingung zu
1+ a .
1 + ——~—— a(cos7\a' sina — Ä - srnÄa ' cosa) +
( l2'r2/h2)
+ (Ä —%) sinÄcx ' sinoz = 0 (7)
zu b) ein welliges Beulen
Die von Hain angegebene numerische Auswertung der
Beulbedingung (7) zeigt, daß die auftretenden Beulla—
sten für beliebige r/h-Verhältniszahlen stets wesentlich
höher liegen als im Falle des einwelligen Beulens, d. h.
bei einem abhebenden Bereich.
Unter Beachtung der Symmetriebedingungen in (6), ‘
W : 0 und 7,80 = k0nst.,
woraus-mit V (E I o) —‘ 0, V 2 Cl t? folgt, sowie der Über-
gangsbedingungen
W200 szza—mv WWW) : 0*
W‘WWHX) Z 0* (8)
anrm i 0’ prza) I Fuflaw)
ergeben sich aus (4) nach Elimination der Integrations-
konstanten zwei transzendente Gleichungen als Beulbe—
dingungen zur Ermittlung des Eigenwertpaares a, Ä.
1 . 2(7 a Ä) ' smÄa +(——A——‘1T + a)
Ä 12- rZ/h2
(ÄsinÄa ~ cota — cosÄa) = 0 (9)
Ä ' tana — tanÄa I 0
I mehrwelliges Beulen
2103
/
/ clnwelliges Beulen
103 I /—i
/
100 200 300 400 % 500
Bild 2
Kritischer Druck des starr ummantelten elastischen Ringes
Zur numerischen Auswertung der Beulbedingungen (7)
und (9) nach Hain ist im Bild 2 der kritische Beuldruck
über Zahlenwerte r/h aufgetragen. Dabei wird deutlich
sichtbar, daß die beim einwelligen Beulen bedeutend
niedrigeren kritischen Beullasten für das Versagen in-
folge Instabilität z. B. näherungsweise auch für eine Aus-
kleidung in einem langen starren Zylinder bei radialem
Außendruck, maßgebend sind.
Als Erklärung kann die tangentiale Nachgiebigkeit ange—
sehen werden, die beim mehrwelligen Beulen nicht mög-
lich ist. In der nachfolgenden Übersicht sind Zahlen-
werte für eine mögliche starr ummantelte Auskleidung
auf der Grundlage der vorgestellten Beultheorie elasti-
scher Ringe unter radialem Außendruck angegeben.
Für
E : 2,1 - 105 MPa, v=0,3, h=5mm,r=400mm,
r I 750 mm
01: = 270 MPa folgt
r(mm) r/h l a pkr(MPa) 0¢(MPa)
i 400 80 250 9,4 751,2
i 750 i 150 i 500 2.9 427,5Lg i
Die infolge der kritischen Beullasten pkr in der Ausklei-
dung auftretenden limfangsspannungen 0w liegen we-
sentlich höher als die Fließgrenzc 0F z. B. des austeniti.
stillen Materials einer Auskleidung. Die Bestimmung des
kritischen Bculdruckes unter der Voraussetzung rein
elastischen Materialverhaltens ist für diesen Anwendungs-
fall irreal.
2. Zur Stabilität des ummantelten Ringes unter
radialem Außendruck bei Berücksichtigung
der Fließgrenze
J acobsen hat Beulbedingungen für ummantelte Ringe
und Kreiszylinderschalen unter radialem Außendruck
angegeben, die das Nichtüberschreiten der Fließgrenze
durch die Umfangsspannung in der Zylinderwand sowie
einen möglichen Spalt zwischen Ummantelung und Zy-
linderwand berücksichtigen. Für das maßgebende einwel-
lige Beulen nach Bild 3 sollen die wichtigsten Formeln
dieser Theorie dargestellt werden.
2‘)
rI—n
Bild 3
Geometrie zum einwelligen Beulen
Hiernach gelten folgende geometrische Beziehungen
7=1r—a, l:2/3-ß'p, sinß = r-sina/p bzw,
p = r ' sina/sinß, 1: 2/3 ' ß ' r ° sina/sinß (10)
Die Umfangslänge des Ringes bzw. der Kreiszylinder-
schale vor und nach der Verformung ist bei Beachtung
der Spaltbreite A.
U =2'1T(r—A),U=2'7'r+3's, (11)0
wobei s die Halbwellenlänge darstellt.
Für die Stauchung A U = Uo — U gilt die elastische Glei-
chung
2'1r(r—A)—2'7'r+3's=E:—:(’Y’l‘2+B'P2) (12)E
Die Differentialgleichung der elastischen Linie für den
Kreisbogenträger
l M
w’xx+;2__ow:_E.I
führt mit dem Ansatz w = wo cos n ' auf die Bezie-
hung
_fi+__1:_12P'p (14)
|2 p2 E . h?»
Die kritische Umfangsspannung, die die Fließspannung
z. B. der Innenauskleidung nicht überschreiten soll, setzt
sich aus den Anteilen infolge radialen Druckes, Krüm-
mungsänderung und Knickbiegung zusammen.
. . 6' 'p-w
= zpp+Eh1_l+_P___115a 0F ( p) h2 ()
h 2 r
Der Längsbehinderung bei langen Rohren wird durch
E* = E / (l — Rechnung getragen.
Im weiteren Fortgang der Rechnung lassen sich die Grö-
ßen 7, p und lvermöge (10) sowie wo und s durch die
Parametervariablen a und ß ausdrücken.
30
_ 2.6'r'sina'tan(a—ß)
Wo _ ä n'sinß (l6)
2 ß' ' '01 ls = ä'fißsm—ll'tz'tanzm—ßfl
Die Elimination dieser Größen in den Beziehungen (12),
(14-) und (15) führt schließlich auf die Beulbedingung,
ausgedrückt durch die Gleichungen
9'1r2 sin2a_1 _ -
(4.32 )(77 0+5 sinzß)
_ sinoz 3 _1T'A_ ‚sind _l_. 2 _
2 (sinß) [a r ß sinßa+4 tan (a
9.„2_
4-52
B: r°sina 3 (17)
l2'( . )h'smß
_ sinß
E 2 ' r (1 — sind)
p'f_sina + 4-fi'r'sina-tan(oz—fi)
E'h sinß lfl'h'sinß
Die numerische Auswertung der Beulbedingung (17)
liefert für zugeordnete Kombinationen der Parameter-
variablen a und ß den kritischen Beuldruck abhängig
vom Wandstärken-Durchmesserverhältnis, wobei die
Spaltbreite A und die Fließgrenze 0F der betrachteten
Kreiszylinderschale als Parametergrößen fungieren. Das
Bild 4 zeigt auszugsweise diese Resultate in dimensions-
loser Darstellung z. B. für die Spaltbreiten A = 0,0 und
A = 5 ' 10~4 r.
Für praktische Anwendungszwecke erweist sich die Dar—
stellung des kritischen Beuldruckes in Abhängigkeit vom
Durchmesser der starr ummantelten Kreiszylinderschale
für unterschiedliche Wandstärken h, separiert nach den
Fließgrenzen der eingesetzten Werkstoffe, als günstig.
In diesem Sinne geben Darstellungen wie nach Bild 5
z. B. für eine austenitische Auskleidung mit einer Fließ-
grenze (IF = 270 MPa übersichtliche Informationen über
den zu vermeidenden kritischen Beuldruck bei Dicht- u
heitsprüfungen.
LITERATUR
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derschale unter Manteldruck. Stahlbau 35, 1966.
31
Bild 4
Kritischer Druck des starr ummanteltcn Ringes nach Jacobson
35 4D 45 50
Wanddicke
inVO/oo
desDurchmessers(moozflr)
..s
_a
_~_L
ON-FG‘
20 5
18
b
des Radius
I
%
7
Anfangsspatt 0,0 o/ao
15
20
dimensionsloser Knickwert (10"-
25
L
E
30
/ / ///A
35 4C 45 50
Wanddicke
in
0/00
desDurchmessers
1000
d.4
d
C"
CD
oNb
1b
L
.cIN
20
18
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~O
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0 1,5;&\\\\\\\\\'\\
p$2»
:‘\\\\\\m§§
*2”\\
\\\\
‘a\;
\\\\
\
\\\\‘\\\\\\\\
\\
\k
Anfongsspalt 0,5 0/00
des Radius
78910
2.0
J
l
2,5
y
‚ 6}
60%
30 35 40 45 so
35 4.0 45 50
5 b 15
dimensionsloser Knickwert (10"-
30
1 0,; = 270 MPG
p” HHH—Pa
3,5
0 10C” ZUG-C 3000
Bild 5
Kritischer Druck des starr ummantcltcn Ringes
[7]
[81
[9]
[10]
[11]
Zagustin, E. A., und Hermann, G.: Stability of an elastic
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