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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)

Zusammenfassung der Vorlesung’Physik für Ingenieure (Maschinenbau)’

WS 2013/2014

(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 1 / 40


Klausurinformationen – Hauptklausur

Datum: 24.03.2014Zeit: 14:00 s.t. - 16:00 Uhr

Räume: A – E→ HZO-30F – I → HZO-40J – N→ HNBO – Z→ HNA

Material: TaschenrechnerStifte (nicht rot, kein Bleistift)Lineal/GeodreieckStudentenausweis

Bonuspunkte:in der Übung für die Klausur

ab 50 % → 1 %...

...ab 90 % → 9 %ab 95 % → 10 %

– keine zusätzliche Anmeldung nötig

– keine Formelsammlung erlaubt

– Zum Bestehen der Klausur reichen 50 % (inkl. Bonus)

Nachschreibeklausur: 22.09.2014Pfingstprüfung: 13.06.2014



Übersicht

� Einheiten� Mechanik

� Kinematik� Kreisbewegung� Newton’sche Axiome� Reibung� Gravitation� Arbeit� Leistung/Energie� Impuls/Stöße� Schwingungen

� starre Körper� Drehmoment� Rotationsenergie� Drehimpuls� Zentripetalkraft

� Elastizität

� Hydrostatik/Hydrodynamik� Druck� Schweredruck� Kompressibilität� Auftrieb� Kontinuitätsgleichung� Bernoulli-Gleichung� Viskosität/Hagen-Poiseuille

� Wärmelehre� Temperatur� Zustandsgleichung� thermische Ausdehnung� Wärmekapazität� latente Wärme



Einheiten

Jede zusammengesetzte Einheit lässt sich in die 7 SI-Basisgrößen zerlegen.

Größe Einheit Abkürzung

Masse Kilogramm kgLänge Meter m

Zeit Sekunde sStoffmenge Mol molTemperatur Kelvin KStromstärke Ampere ALichtstärke Candela cd

Beispiel: Kraft [F] = [m a] = Newton = N = kg ms2



Mechanik



Kinematik

– Bewegung einer Punktmasse (= die Masse eines Körper ist in einem Punkt konzentriertund hat keine Ausdehnung)

gleichförmige Bewegung– v(t) = konstant [v] = m/ s

– mittlere Geschwindigkeitv(t) = (x2 − x1)/(t2 − t1) = ∆x/∆t

– momentane Geschwindigkeitv(t) = dx/dt

gleichförmig beschleunigte Bewegung– a(t) = konstant 6= 0 [a] = m/ s2

– v(t) = a · t+ v0

– x(t) = 1/2 · a · t2 + v0 · t+ x0

Beispiel – Freier Fall:

Schiefer Wurf→ x- und y-Komponenten können unabhängig voneinander behandelt werden



Winkel

ebener Winkel:

– Gradmaß→ Vollkreis 360°– Bogenmaß→ Vollkreis 2π

Einheit [ϕ] = rad

ϕ = KreisbogenlängeRadius = ∆s

r

Umrechnung:

Vollkreis = 360° = 2π rr = 2π

→ Dreisatz: ϕ° = 360°2π ϕrad



Kreisbewegung

s = r ϕ∆s = r∆ϕ

Tangentialgeschwindigkeit

vT =dsdt

= rdϕdt︸︷︷︸ω

→ vT = r · ω [ω] = s−1 = rad/ s

Tangential- (aT) und Winkelbeschleunigung (ω): → aT = r · ω [ω] = s−2 = rad/ s2

Umlaufzeit T: Zeit für eine Umdrehungϕ = 2π

ω · T = 2π T = 2πω

Frequenz f: Anzahl der Umdrehungen pro Zeitf = 1/T [f] = s−1 = Hz

→ ω = 2π f



Ursachen der Bewegung / Newton’sche Axiome

– Durch eine Kraft wird eine Änderung der Geschwindigkeit erreicht– Die Kraft ist eine vektorielle Größe

1. Newton’sche Axiom:

’Ohne äußere Einflüsse verbleibt jeder beliebige Körper inRuhe oder in gleichförmiger Bewegung’

~a =d~vdt

= 0

für v = 0 m/s oder v = const.



Ursachen der Bewegung / Newton’sche Axiome


’Durch einwirkende Kräfte erfährt ein Körper eineBeschleunigung, die der Kraft proportional ist und deren

Richtung besitzt’

~F = m~a [F] = [m a] = Newton = N =kg m

s2


’Übt ein Körper A auf einen Körper B eine Kraft aus (actio),so übt auch B auf A eine entgegengesetzt gleichgroße

Gegenkraft (reactio) aus.’

~FA→B = −~FA←B



Reibung

Reibungsarten– Haftreibung (µH)– Gleitreibung (µG)– Rollreibung (µR)

Die Reibung hängt von der Beschaffenheit der Ober-fläche ab (µ), jedoch nicht von der Größe derAuflagefläche.

Reibungszahl: µ = ReibungskraftNormalkraft = |~FR|

|~FN|

|~FR| = µ |~FN| µH > µG

Schiefe Ebene:

|~FH| = |~FG| sinα|~FN| = |~FG| cosα

|~FH||~FG|

= sinαcosα = tanα = µH



Gravitation

Massen ziehen sich gegenseitig an, gemäß:

|~F| = G m1·m2r2

GravitationskonstanteG = 6,67 · 10−11 m3 kg−1 s−2

Beispiel – Die Erde wiegen:(rErde = 6370 km)

F = m g = Gm ·Mr2

→ M =g r2

G

M ≈ 6 · 1024 kg



Arbeit

Die Arbeit erhält man aus dem Produkt von Kraft und Weg

~W = ~F ·~s [W] = N · m = Joule = J

betragsmäßig: |~W| = |~F| · |~s| · cos �(~s,~F)

Hubarbeit: W = F · h = m g h

Beschleunigungsarbeit: W = 12 m v

2

In der Mechanik benutzen man diese Größen meist in Form der potentiellen (Epot = mgh) und

der kinetischen Energie(Ekin = 1

2mv2)

.



Leistung, Energie

Leistung = Energie pro Zeit

P = ∆W∆t [P] = Watt = W = J

s = kg m2

s3

Energie kann als Vorrat an Arbeitsvermögen gesehen werden. [W]=[E]– leistet man am System Arbeit, so fügt man Energie hinzu– leistet das System Arbeit, so wird Energie abgeführt– die Gesamtenergie im abgeschlossenen System bleibt jedoch konstant.

Energieerhaltung: Ekin + Epot = Eges = konstant

Beispiel – Freier Fall:

(Ekin + Epot)h0 = (Ekin + Epot)h=0

m g h0 = 1/2m v2

→ vmax =√

2 g h0



Impuls / Stöße

Impuls = Masse mal Geschwindigkeit

Der Impuls verknüpft die Masse mit derGeschwindigkeit

~p = m~v [p] = kg ms

Kraftstoß:

p =t2∫t1

F dt

~F = d~pdt = m d~v

dt = m ~a

Stoßvorgänge:a) elastischer Stoß

– es gilt Impulserhaltung– es gilt Energieerhaltung– nach dem Stoß gehen beide Stoßpartner ihren eigenen Weg

b) inelastischer Stoß– es gilt Impulserhaltung– die Energie in Bezug auf die Translation muss nicht erhalten bleiben– nach dem Stoß bewegen sich die Stoßpartner gemeinsam weiter



Beschreibung von Schwingungen

Eine harmonische Schwingung lässtsich darstellen durch

x(t) = x0 · sin(ωt+ ϕ0)

ungedämpfte Schwingungsgleichung

x(t) + ω2x(t) = 0

Lösung für

– Federpendel: ω =√

Dm

– Fadenpendel: ω =√gl



Ausgedehnte starre Körper

homogene Körper– die Masse ist gleichmäßig über das Volumen verteilt

Dichte: ρ = mV [ρ] = kg m−3

inhomogene Körper– die Masse ist ungleichmäßig über das Volumen verteilt– Zerteilung des Körpers in Volumenelemente mit homogener Dichte, die mit der

’Punktmechanik’ beschrieben werden.

ρi =∆mi∆Vi

mGesamt =∑i

ρi∆Vi

Die Summierung aller Effekte auf die einzelnen Massenteile, ergibt den Effekt fürden gesamten starren Körper.



Kinematik starrer Körper / Drehmoment

Ein starrer Körper kann mehrere Bewegungsformen – auch gleichzeitig – ausführen– Translation des Schwerpunktes– Rotation um eine oder mehrere Achsen

Drehmoment = Hebelarm⊥ mal Kraft

|~M| = |~r× ~F| = |~r| · |~F| · sin �(~r,~F) [M] = N · m = Joule = J



Gleichgewicht

Ein Gleichgewicht ist erreicht, wenn alle angreifende Drehmomente sich zu Nullsummieren

∑i~Mi = 0

siehe Beispiele aus der Vorlesung:– Balken mit Gewichten– Wippschaukel– ...

zweiarmiger Hebel– Drehachse zwischen den Angriffspunkten der Kräfte

einarmiger Hebel– Drehachse außerhalb der Angriffspunkte der Kräfte



Rotationsenergie

Die kinetische Energie eines starren Körpers setzt sich zusammen aus seinerTranslationsenergie des Schwerpunktes und aus seiner Rotationsenergie um eineoder mehrere Achsen.

Ekin = Etrans + Erot = 12m v

2 + 12 Θω2

Das Trägheitsmoment Θ =∫r2dm hängt sowohl von der Geometrie des Körpers

ab, als auch von der Lage seiner Drehachse. [Θ] = kg m2

Zylindermantel um eine Hauptachse– Θ = m r2

Vollzylinder um eine Hauptachse– Θ = 1

2m r2

Der Steiner’sche Satz findet Anwendung wenn dieDrehachse parallel verschoben wurde

ΘA2 = ΘA1 +md2



Drehimpuls

Drehimpuls: ~j =~r× ~p = Θ~ω [j] = kg m2

s

In einem abgeschlossenen System ist der Drehimpuls erhalten∑~j = const., in

Analogie zur Impulserhaltung der Translation.



Zentripetalkraft

Bei einer gleichförmigen rotierenden Bewegung (|~v| = const.) führt die Richtungsänderungdes Geschwindigkeitsvektors zu einer Beschleunigung des Körpers zum Mittelpunkt hin.

Radialbeschleunigung: aR = v2r = ω2 r

Dies ist verbunden mit einer Kraft, die ebenfalls zum Zentrumhin wirkt und den Körper somit auf der Kreisbahn hält.

Zentripetalkraft: FR = m aR = m v2

r = m ω2 r

Für den Körper – im rotierenden System – existiert eine der Zentripetalkraft gleich großeentgegengesetzte Kraft, die Zentrifugalkraft FZ.



Zusammenstellung

Translation Rotation VerknüpfungWeg:~r Winkel: ϕ s = rϕGeschwindigkeit: ~v W.-Geschw.: ω = ϕ v = rωBeschleunigung: ~a W.-Beschl.: ω = ϕ a = rωKraft: ~F = m~a Drehmoment: ~M = Θ~ω ~M =~r× ~FImpuls: ~p = m~v Drehimpuls:~j = Θ~ω ~j =~r× ~pEnergie: Ekin = 1

2mv2 Rot.-Energie: Erot = 1

2 Θω2

~F = d~pdt

~M = d~jdt

Wir sehen, wir können die Rotation eines starren Körpers formal genausobehandeln, wie die Translation einer Punktmasse. Aber es muss das

Trägheitsmoment Θ bezüglich der Drehachse bekannt sein.



Quiz

Welche Aussage ist zu dem Zeitpunkt richtig, bei dem diemaximale Auslenkung aus derRuhelage einer Schwingung erreicht wird?

� Die Beschleunigung ist null.

� Die Geschwindigkeit hat ein Maximum.

� Die potentielle Energie hat ein Maximum.

Ein Mensch der Massem = 100 kg besteigt einen Hügel der Höhe h = 500 m. Die dabeiverrichtete HubarbeitW ist (≈)

� 5000 N

� 500 N/ m

� 500 kJ

� 50000 J

Ein Sprinter benötigt für die 100- m-Strecke 10 s. Dann beträgt seine mittlereGeschwindigkeit.

� 1 km/ s

� 1 m/ min

� 1/10 m/ s

� 36 km/ h



Elastizität

Eine Zug– bzw. Schubspannung σ an einem Festkörper bewirkt eineLängenänderung

Spannung σ = FA [σ] = Pascal = Pa

rel. Längenänderung ε = ∆ll

– elastischer Bereich (I)

Hook’sches Gesetz: σ = E εProportionalität ist der

Elastizitätsmodul E

– plastischer Bereich (II)– Einschnürung und Bruch (III)



Elastizität

Wenn ein Körper in einer Dimension gedehnt oder gestaucht wird, so führt dies auchzu Änderungen in den anderen Dimensionen.

Querkontraktionszahl: µ = −∆d/d∆l/l

Scherung

Scherspannung: τ = Fs/AScherung: γ = ∆x/l = tanα

Schubmodul: G = τγ

= Fs/Atanα



Hydrostatik und Hydrodynamik



ideale/reale Flüssigkeit

Eine ideale Flüssigkeit ...– ist inkompressibel– hat keine innere Reibung (Viskosität)– ist homogen (sie hat überall die gleiche Dichte)– fließt immer laminar

Eine reale Flüssigkeit muss diese Eigenschaften nicht haben; kann turbulentfließen.

Laminar: Turbulent:

Strömungslinien können bei turbulenter Strömung abreißen und Wirbel bilden

Abschätzung der Strömungsart durch die Reynoldszahl Re = ρ r vη

laminar . 1000 . turbulent



Druck / Kompressibilität

Der hydrostatische Druck verteilt sich gleichmäßig und ist in der gesamtenFlüssigkeit gleich groß.

Druck: p = KraftFläche = F

A [p] = Pascal = Pa

Eine allseitige Druckausübung auf einen Körper für zu einer Kompressiondesselben.

Kompressionsmodul: K = − ∆p∆V/V [K] = Pa

Anwendung: z.B. hydraulischer Lift→ F1A1

= F2A2



kommunizierende Rohre / Schweredruck

Gleich hoher Flüssigkeitsstand in offenen Rohren, unabhängig von der Form derGefäße.

Der Schweredruck in einer Flüssigkeit nimmtlinear mit der Tiefe zu.∗

Gesamtdruck: p = p0 + ρ g h

Hydrostatischer Druck + Schweredruck

* für eine Flüssigkeit mit konstanter Dichte ρ



Auftrieb

Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit, undhängt im wesentlichen von dem Volumen ab, welches der Körper verdrängt.

Auftriebskraft: FA = ρflüssig g V = mflüssig g

Ob ein Körper schwimmt/steigt, schwebt oder sinkt hängt nun von derGewichtskraft des Körpers ab. Dies kann man reduzieren auf den Vergleich derbeiden Dichten zueinander.

F >FA G

F =FA G

F <FA G

F =FA G

r rK fl.< r r

K fl.£ r r

K fl.>r r

K fl.=

Schwimmt der Körper auf, so gilt FG = FA; somit verdrängt der Körper genau dasgleiche Gewicht an Flüssigkeit wie er selber wiegt!



Grundgleichungen der Hydrodynamik

Der Volumenstrom ist die Menge (Volumen) an Flüssigkeit, die pro Zeit durch einebestimmte Fläche fließt.

Volumenstrom: V = ∆V∆t = A ∆x

∆t = A · υ [V] = m3

s

Aus der Massen- und Energieerhaltung folgen wichtige Beziehungen für die Dynamik eineridealen Flüssigkeit

MassenerhaltungKontinuitätsgleichung→ A υ = konstant

Energieerhaltung

Bernoulli-Gleichung→ p|statisch + 12ρυ

2|stau = pges = konstant



Flüssigkeit mit Viskosität

Viskosität η beschreibt– innere Reibung von Flüssigkeiten und Gasen– Reibung von festen Körpern in Flüssigkeiten

[η] = Pa · s = Poise

Reibungskraft eines Objekts, welches durcheine Flüssigkeit gezogen wird: FR = η · A · dv

dx

Strömungsprofil in einem Rohr

Volumenstrom durch eine Rohr der Länge L und dem Radius R

Gesetzt von Hagen-Poiseuille V = π(p1−p2)8 η L · R4



Quiz

Zwei gleich große Bechergläser sind bis zum Rand mit Wasser gefüllt,wobei in dem einen Glas ein Stück Holz schwimmt. Vergleichen Sie dasGewicht der gefüllten Gläser.

� Das ohne Holz ist schwerer.

� Beide sind gleich schwer.

� Das mit Holz ist schwerer.

Ein Taucher taucht in 9 m Wassertiefe unter einen Felsvorsprung, so dass nur noch 3 mWasser über ihm sind. Wie ändert sich der Schweredruck?

� Der Druck wird größer, denn über dem Taucher liegen jetztdie 3 m Wasser und der Felsen.

� Der Druck bleibt gleich.

� Der Druck wird kleiner, denn über dem Taucher liegenjetzt nur noch 3 m Wasser.



Wärmelehre



Temperatur

Die Temperatur ist eine makroskopische Eigenschaft eines Systems und ein Maß fürdie mittlere kinetische Energie der enthaltenen Teilchen.

Ekin = m2 v

2 = 32kBT kB Boltzmannkonstante

Gemessen wird die Temperatur über reproduzierbare physikalische Effekte(Gas–/Flüssigkeitsthermometer, Bimetalle, elektrischer Widerstand, ...)

Angabe der Temperatur:– Celsius Skala ( °C) 0 °C = Gefrierpunkt und 100 °C = Siedepunkt von Wasser

– Kelvin Skala ( K) absoluter Nullpunkt bei 0 K; es gilt TK = T °C + 273,15– ...



Zustandsgleichung für ideale Gase

Modellvorstellung ideales Gas– Gasteilchen werden als Massepunkte behandelt– einatomig (Bsp. Edelgase)– Wechselwirkungen der Gasteilchen laufen über ideal elastische Stoßvorgänge

ab

Zustandsgleichung pV = NkBT = n R T

NkB = n NAkB = n R

1 mol = 1 · NA = 6,022 · 1023 Teilchen

N: TeilchenanzahlNA : AvogadrokonstanteR: allgemeine Gaskonstanten: Anzahl der Mole



thermische Ausdehnung

Erwärmt man einen Körper so dehnt er sich gleichmäßig in alle Richtungen aus, dabei ist dieGrößenzunahme proportional zur ursprünglichen Größe

relative Längenänderung: ∆LL = α ∆T

oder L′ = L(1 + α ∆T) α: linearer Ausdehnungskoeffizient

für das Volumen gilt:

relative Volumenänderung: ∆VV = β ∆T

oder V′ = V(1 + β ∆T) β: Volumenausdehnungskoeffizient

Einheit: [α] = [β] = K−1

Insbesondere gilt für einen isotropen Festkörper β = 3α

Flüssigkeiten und Gase besitzen aufgrund ihrer Formeigenschaften nur einenVolumenausdehnungskoeffizienten.



Wärmekapazität / latente Wärme

Das Zu- oder Abführen einer bestimmte Wärmemenge ∆Q resultiert in einer Änderung derTemperatur des Stoffes. (Die Einheit der Wärmemenge ist die der Energie [∆Q] = Joule)

∆Q = m cp ∆T Einheit: [cp] = J · kg−1 · K−1

Bei einem Phasenübergang – z.B. fest zu flüssig – geht die zugeführte (abgeführte) Wärmenicht in die Erhöhung (Erniedrigung) der Temperatur über. Die Energie dient dazu die Kräftezwischen den Molekülen zu überwinden.

Phasenübergänge:



Quiz

Die Temperaturdifferenz zweier Körper beträgt in der Celsiusskala 253 °C. In der Kelvinskalabeträgt diese Temperaturdifferenz

� -20 K

� 20 K

� 273 K

� 253 K

� 526 K


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