zvonko glumac - matematičke metode fizike (2007)

MATEMATICKE METODE FIZIKEUVOD

Zvonko Glumac

Osijek, 2007

vMathematics is part of physics.

Vladimir Igorevich Arnold

Sadrzaj

1 Poopceni koordinatni sustav 11.1 Definicija poopcenog koordinatnog sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Operator gradijenta u poopcenom koordinatnom sustavu . . . . . . . . . . 61.3 Operator divergencije u poopcenom koordinatnom sustavu . . . . . . . . . 81.4 Operator rotacije u poopcenom koordinatnom sustavu . . . . . . . . . . . 101.5 Laplasijan skalarnog polja u poopcenom koordinatnom sustavu . . . . . . . 121.6 Laplasijan vektorskog polja u poopcenom koordinatnom sustavu . . . . . . 131.7 Elipticki koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Funkcije kompleksne varijable 1 172.1 Kompleksna algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Derivacija kompleksne funkcije:

Cauchy - Riemannovi uvjeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Integral kompleksne funkcije: Cauchyjev integralni teorem . . . . . . . . . 282.4 Cauchyjeva integralna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.1 Primjena u teoriji potencijala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.2 Cauchyev integral i derivacija funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Laurentov razvoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6 Polovi funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.7 Laurentov razvoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.8 Preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.8.1 Konformno preslikavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3 Funkcije kompleksne varijable 2 673.1 Singulariteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2 Racun reziduuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.1 Teorem o reziduumima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.2 Cauchyjeva glavna vrijednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2.3 Pole expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.4 Product expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.5 Izracunavanje nekih tipova odredenih integrala . . . . . . . . . . . . 76

3.3 Disperzijske relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4 Metoda najvece strmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4 Diferencijalne jednadzbe 934.1 Parcijalne diferencijalne jednadzbe, karakteristike i rubni uvjeti . . . . . . 934.2 Diferencijalne jednadzbe prvog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3 Razdvajanje varijabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

vii

viii SADRZAJ

4.4 Singularne tocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.5 Frobeniusov metod - razvoj u red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.5.1 Granice primjenjivosti razvoja u red - Besselova jednadzba . . . . . 1124.6 Drugo rjesenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.7 Nehomogene jednadzbe - Greenove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.8 Numericka rjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5 Ortogonalne funkcije 1415.1 Samoadjungirane diferencijalne jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.2 Hermitski operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.3 Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.4 Potpunost skupa svojstvenih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.5 Razvoj Greenove funkcije po svojstvenim funkcijama . . . . . . . . . . . . 164

6 Specijalne funkcije 1776.1 Diracova delta funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.2 Gama funkcija (faktorijeli) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.2.1 Definicija i osnovna svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.2.2 Digama i poligama funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.2.3 Stirlingovi redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.2.4 Beta funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.2.5 Nepotpune gama funkcije i s njima povezane funkcije . . . . . . . . 193

6.3 Besselove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956.3.1 Besselove funkcije prve vrste J(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956.3.2 Ortogonalnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.3.3 Neumannove funkcije, Besselove funkcije druge vrste N(x) . . . . . 2066.3.4 Hankelove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.3.5 Modificirane Besselove funkcije I(x) i K(x) . . . . . . . . . . . . . 2066.3.6 Asimptotski razvoji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.3.7 Sferne Besselove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6.4 Legendreovi polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.4.1 Funkcija izvodnica (generatrisa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.4.2 Rekurzije i posebna svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.4.3 Ortogonalnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.4.4 Alternativna definicija Legendreovih polinoma . . . . . . . . . . . . 2286.4.5 Pridruzeni Legendreovi polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2296.4.6 Kugline funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.4.7 Operatori momenta kolicine gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2366.4.8 Adicijski teorem za kugline funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.4.9 Integrali umnoska tri kugline funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.4.10 Legendreove funkcije druge vrste Qn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.4.11 Vektorske kugline funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.5 Hermiteovi polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.6 Laguerreovi polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.6.1 Pridruzeni Laguerreovi polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2566.7 Cebisevljevi polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2696.8 Hipergeometrijska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2696.9 Konfluentna hipergeometrijska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

SADRZAJ ix

6.10 Specijalne funkcije - sazetak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

7 Fourierovi redovi 2717.1 Opca svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2717.2 Prednosti koristenja Fourierovih redova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2777.3 Primjene Fourierovih redova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2807.4 Svojstva Fourierovih redova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897.5 Gibbsova pojava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2907.6 Diskretne Fourierove preobrazbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

8 Integralne preobrazbe 2958.1 Integralne preobrazbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2958.2 Razvoj Fourierovog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2978.3 Fourierova preobrazba - teorem inverzije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3008.4 Fourierova preobrazba derivacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3048.5 Teorem konvolucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3068.6 p reprezentacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3088.7 Funkcija transfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3138.8 Elementarna Laplaceova preobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3168.9 Laplaceova preobrazba derivacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3238.10 Ostala svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3278.11 Konvolucijski ili faltung teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3358.12 Inverzna Laplaceova preobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

9 Integralne jednadzbe 3479.1 Teorem konvolucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

10 Varijacijski racun 34910.1 Jedna ovisna i jedna neovisna varijabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34910.2 Primjene Eulerove jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35310.3 Jedna neovisna i nekoliko ovisnih varijabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35510.4 Jedna ovisna i nekoliko neovisnih varijabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35910.5 Vise od jedne ovisne i vise od jedne neovisne varijable . . . . . . . . . . . . 36110.6 Lagrangeovi mnozitelji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36210.7 Varijacije uz uvjete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36410.8 Rayleigh-Ritzova varijacijska tehnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

x SADRZAJ

Ovo su biljeske s autorovih predavanja iz kolegija Matematicke metode fizike, sa petogsemestra profesorskog smjera studija fizike sveucilista u Osijeku. Biljeske nisu strucnorecenzirane i daju se na uvid studentima kao orjentacija za pripremanje ispita.

xi

xii SADRZAJ

Predgovor

Cilj ove knjige je olaksati pratenje predavanja i polaganje ispita iz kolegijaMatematickemetode fizike, studentima fizike sveucilista u Osijeku.Za njezino pratenje je dovoljno elementarno poznavanje vektorskog i integro-diferencijanogracuna, kao i osnovnih pojmova opte fizike.Iz svojeg visegodisnjeg rada sa studentima, autor je dosao do nedvojbenog zakljuckada opsirnost knjige nikako ne moze biti njezin nedostatak. Stoga su i mnoga objasnjenja,racuni i izvodi dani dosta detaljno, uz izostanak samo najelementarnijih algebarskih ma-nipulacija.Vise detalja o pojedinim temama obradenim u ovoj knjizi, zainetersirani citatelj mozenati u nekoj od knjiga navedenih u popisu literature.

u Osijeku, prosinca 2005.Autor

xiii

Poglavlje 1

Poopceni koordinatni sustav

1.1 Definicija poopcenog koordinatnog sustava

Polozaj tocke u trodimnezijskom prostoru je jednoznacno odreden zadavanjem tri broja(koordinate) koji, uz dodatna pravila za njihovo odredivanje, jednoznacno opisuju polozajtocke u prostoru. Te tri koordinate zajedno s pravilima za njihovo odredivanje, nazivamokoordinatnim sustavima. Do sada smo se upoznali s tri1 koordinatna sustava: pravo-kutnim, sfernim i cilindricnim, a u ovom odjeljku cemo problemu koordinatnog sustavaprici nesto opcenitije. Opcenito cemo koordinate oznaciti s q1, q2 i q3. Njihova veza spravokutnim koordinatama je oblika

x = x(q1, q2, q3), y = y(q1, q2, q3), z = z(q1, q2, q3), (1.1)

q1 = q1(x, y, z), q2 = q2(x, y, z), q3 = q3(x, y, z).

Za sferni koordinatni sustav, to su relacije

x = r sin cos, r =x2 + y2 + z2,

y = r sin sin, = arccosz

x2 + y2 + z2, (1.2)

z = r cos , = arctany

x,

a za cilindricni koordinatni sustav, to su relacije

x = cos, =x2 + y2,

y = sin, = arctany

x, (1.3)

z = z.

Koordinatnom linijom nazivamo skup tocaka u prostoru za koje su dvije koordinatnekonstantne, a treca se mijenja. Jedinicnim vektorima qj nazivamo vektore jedninicnogiznosa koji leze na tangenti koordinatne linije (u danoj tocki) i imaju smjer porasta j-tekoordinate. Ako zelimo da vektori qj budu bazni vektori, pokazat cemo da se preobrazbe(1.1) ne mogu odabrati proizvoljno, vec moraju zadovoljavati odredene uvjete.Koordinatnom polohom cemo nazivati skup tocaka u prostoru, za koje su dvije koor-dinate promjenjive, a treca je konstantna.Povezimo bazne vektore pravokutnog i poopcenog koordinatnog sustava. Polazeci od

1Vidjeti npr. u [?].

1

2 POGLAVLJE 1. POOPCENI KOORDINATNI SUSTAV

radij-vektora u pravokutnoj bazi ~r = xx + yy + zz , izracunajmo (d~r)2

d~r = dx x + dy y + dz z (d~r)2 = dx2 + dy2 + dz2.No, pravokutne koordinate su, preko (1.1), dane kao funkcije poopcenih, pa je zato

dx = x

q1dq1 +

x

q2dq2 +

x

q3dq3,

dy = y

q1dq1 +

y

q2dq2 +

y

q3dq3,

dz = z

q1dq1 +

z

q2dq2 +

z

q3dq3.

Uvrstavanje gornjih parcijalnih derivacija u izraz za (d~r)2, daje kvadrat diferencijalnepromjene radij-vektora izrazen preko promjene poopcenih koordinata. Taj se izraz mozepregledno napisati pomocu Lame-ovih parametara ili faktora skale, hj i hi,j, koji sudefinirani na slijedeci nacin

h1 =

( x

q1

)2+

( y

q1

)2+

( z

q1

)2,

h2 =

( x

q2

)2+

( y

q2

)2+

( z

q2

)2, (1.4)

h3 =

( x

q3

)2+

( y

q3

)2+

( z

q3

)2,

hi,j = x

qi

x

qj+

y

qi

y

qj+

z

qi

z

qj, i, j = 1, 2, 3.

Primjetimo da je hi,j = hj,i i da je hi,i = h2i . Tako je npr. za sferni (SKS) i cilindricni

(CKS) koordinatni sustav

SKS : q1 = r, q2 = , q3 = ,

h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin ,

CKS : q1 = , q2 = , q3 = z,

h1 = 1, h2 = , h3 = 1.

Primjer: 1.1 Pokazite da je u sfernom i cilindricnom koordinatnom sustavu hi,j = 0 zai 6= j.

R:

1.1. DEFINICIJA POOPCENOG KOORDINATNOG SUSTAVA 3

Pomocu Lame-ovih parametara, (d~r)2 se moze pregledno napisati kao

(d~r)2 = h21 dq21 + h

22 dq

22 + h

23 dq

23 + 2h1,2 dq1 dq2 + 2h1,3 dq1 dq3 + 2h2,3 dq2 dq3.

Fizicko znacenje Lamee-ovih parametara jeste duljina pomaka duz odredene poopcenekoordinate. Neka se mijenja samo koordinata qj (a preostale dvije su konstantne). Tadaje

(d~r)2 = h2j dq2j d~r = hj dqj qj.

Sada, pomocu skalarnog umnoska, lako mozemo izracunati kosinuse kutova koje jedinicnivektor qj zatvara s baznim vektorima pravokutnog koordinatnog sustava. Ako se mijenjasamo qj koordinata, tada je

d~r =

{hj dqj qj / xdx x + dy y + dz z = x

qjdqj x +

y qj

dqj y + z qj

dqj z / x

Skalarni umnozak daje kosinus kuta izmedu baznih vektora: qj x = cos( qj, x )

hj dqj cos( qj, x ) = x

qjdqj cos( qj, x ) = 1

hj

x

qj.

Slicnim postupkom se i za kutove izmedu qj i y i z dobije

cos( qj, y ) =1

hj

y

qj, cos( qj, z ) =

1

hj

z

qj

Gornje rezultate mozemo pregledno prikazati slijedecom tablicom

x y z

q11

h1

x

q1

1

h1

y

q1

1

h1

z

q1

q21

h2

x

q2

1

h2

y

q2

1

h2

z

q2(1.5)

q31

h3

x

q3

1

h3

y

q3

1

h3

z

q3,

ili matricno

q1q2q3

=M xy

z

, M =

1

h1

x

q1

1

h1

y

q1

1

h1

z

q1

1

h2

x

q2

1

h2

y

q2

1

h2

z

q2

1

h3

x

q3

1

h3

y

q3

1

h3

z

q3

. (1.6)


Iz tablice 1.5 je lako ocitati i inverznu relaciju

xyz

=M T q1q2

q3

, M T =

1

h1

x

q1

1

h2

x

q2

1

h3

x

q3

1

h1

y

q1

1

h2

y

q2

1

h3

y

q3

1

h1

z

q1

1

h2

z

q2

1

h3

z

q3

(1.7)

pa zakljucujemo da mora vrijediti q1q2q3

= M xy

z

=MM T q1q2

q3

, xy

z

= M T q1q2

q3

=M TM xy

z

,tj. da mora biti

M M T =M T M = 1.Izracunajmo najprije dijagonalne elemente M M T :

(1, 1) :

(1

h1

x

q1

)2+

(1

h1

y

q1

)2+

(1

h1

z

q1

)2=

1

h21

[( x

q1

)2+

( y

q1

)2+

( z

q1

)2]= (1.4) = 1,

(2, 2) :

(1

h2

x

q2

)2+

(1

h2

y

q2

)2+

(1

h2

z

q2

)2=

1

h22

[( x

q2

)2+

( y

q2

)2+

( z

q2

)2]= (1.4) = 1,

(3, 3) :

(1

h3

x

q3

)2+

(1

h3

y

q3

)2+

(1

h3

z

q3

)2=

1

h23

[( x

q3

)2+

( y

q3

)2+

( z

q3

)2]= (1.4) = 1,

Od nedijagonalnih elemenata cemo izracunati samo jedan primjer, koji je zatim lakopoopciti i na ostale nedijagonalne elemente

(1, 2) :1

h1h2

( x

q1

x

q2+

y

q1

y

q2+

z

q1

z

q2

)= (1.4) =

h1,2h1h2

i slicno za ostale nedijagonalne elemente. Ocito je da relacija M M T = 1, vodi nazahtjev

hi,j = 0, i 6= j. (1.8)

Proizvoljni vektor ~v mozemo razviti i po pravokutnoj i po poopcenoj bazi

~v = vx x + vy y + vz z = v1 q1 + v2 q2 + v3 q3.

Pomocu relacija (1.6) i (1.7) koje povezuju obje baze, lako je dobiti i veze medu kompo-

1.1. DEFINICIJA POOPCENOG KOORDINATNOG SUSTAVA 5

nentama vektora u tim bazama v1v2v3

=M vxvy

vz

, vxvy

vz

=M T v1v2

v3

.Potrazimo koje uvjete moraju zadovoljavati Lame-ovi parametri, pa da qj cine desnu bazutrodimenzijskog prostora. Da bi se izvelo, treba dokazati dvije stvari:(1) da cine potpun skup, tj. da se svaki vektor prostora moze prikazati kao linearna kom-binacija vektora baze, i (2) da su ortonormirani).

Potpunost: ... dovrsiti ....

Ortonormiranost: qi qj =? = i,j.Sukladno relacijama (1.5) i ortonormiranosti vektora x , y , z , skalarni umnozak qi i qj je

qi qj =(1

hi

x

qix +

1

hi

y

qiy +

1

hi

z

qiz

)(1

hj

x

qjx +

1

hj

y

qjy +

1

hj

z

qjz

)=

1

hihj

( x

qi

x

qj+

y

qi

y

qj+

z

qi

z

qj

)= (1.4) =

hi,jhihj

= (1.8) = 0.

pa qj cine ortonormiran skup. Uz ovaj uvjet je

d~r = h1 dq1 q1 + h2 dq2 q2 + h3 dq3 q3, (d~r)2 = h21 dq

21 + h

22 dq

22 + h

23 dq

23.

Pokazimo jos i da vektori qj cine desnu bazu, tj. da vrijede relacije

q1 q1 = 0, q1 q2 = q3, q1 q3 = q2,q2 q1 = q3, q2 q2 = 0, q3 q3 = q1,q3 q1 = q2, q3 q2 = q1, q3 q3 = 0.

Izravnim uvrstavanjem se dobiva

qj qj =(1

hj

x

qjx +

1

hj

y

qjy +

1

hj

z

qjz

)(1

hj

x

qjx +

1

hj

y

qjy +

1

hj

z

qjz

)= = 0

Za i 6= j se dobiva

qi qj =(1

hi

x

qix +

1

hi

y

qiy +

1

hi

z

qiz

)(1

hj

x

qjx +

1

hj

y

qjy +

1

hj

z

qjz

)=

1

hihj

[( y

qi

z

qj z qi

y

qj

)x +

( z

qi

x

qj x qi

z

qj

)y +

( x

qi

y

qj y qi

x

qj

)z

].

Lako se pokazuje da je qi ( qi qj) = qj ( qi qj) = 0. Npr.

qi ( qi qj) = 1h2ihj

[ x

qi

( y

qi

z

qj z qi

y

qj

)+

y

qi

( z

qi

x

qj x qi

z

qj

)+

z

qi

( x

qi

y

qj y qi

x

qj

)]= 0.

To znaci da je vektor qi qj okomit i na qi i na qj, pa zbog ortonormiranosti mora biti


jednak qk za k 6= i, j, predznak plus dolazi ako vektori cine desnu bazu, a predznakminus, ako cine lijevu bazu (? uvesti tenzor ijk). dovrsiti

Primjer: 1.2 Parabolicni koordinatni sustav: pokazite da izbor koordinata

q1 = r + z, q2 = r z, q3 = arctan yx,

vodi na ortonormiranu bazu qj.

R: dodati sliku i dovrsiti

Neka proizvoljni vektor ~v ovisi o vremenu t

~v(t) = v1(t) q1(t) + v2(t) q2(t) + v3(t) q3(t),

Izracunajmo njegovu vremensku derivaciju

d~v(t)

d t=d v1d t

q1 +d v2d t

q2 +d v3d t

q3 + v1d q1d t

+ v2d q2d t

+ v3d q3d t

.

Lako je opcenito pokazati da je derivacija jedinicnog vektora okomita na sam vektor:derivacijom uvjeta normiranosti slijedi

qj qj = 1,/

d

d t

d qjd t

qj + qj d qjd t

= 0 2 qj d qjd t

= 0 qj d qjd t

.

Iz ovoga zakljucujemo da derivacija vektora qj lezi u ( qi, qk) ravnini

d qjd t

= qi + qk, , = const.

1.2 Operator gradijenta u poopcenom koordinatnom sustavu

Neka je zadana skalarno polje poopcenih koordinata, s(q1, q2, q3). Zadatak je naci gradijenttog polja u poopcenom koordinatnom sustavu. Zapocet cemo s onime sto znamo, a to jegradijent u pravokutnom koordinatnom sustavu

grad s =s =

(x

x+ y

y+ z

z

)s = x

s

x+ y

s

y+ z

s

z.

1.2. OPERATOR GRADIJENTA U POOPCENOM KOORDINATNOM SUSTAVU 7

Sada, prema (1.1), pravokutne koordinate shvacamo kao funkcije poopcenih

s = x s x

+ y f

y+ z

s

z

= x

( s

q1

q1 x

+ s

q2

q2 x

+ s

q3

q3 x

)+ y

( s

q1

q1 y

+ s

q2

q2 y

+ s

q3

q3 y

)+ z

( s

q1

q1 z

+ s

q2

q2 z

+ s

q3

q3 z

)=

s

q1

(x q1 x

+ y q1 y

+ z q1 z

)+

s

q2

(x q2 x

+ y q2 y

+ z q2 z

)+

s

q3

(x q3 x

+ y q3 y

+ z q3 z

)=

s

q1

q1 + s q2

q2 + s q3

q3, (1.9)

gdje smo sqj oznacili gradijent j-te poopcene koordinate u pravokutnom koordinatnom

sustavu

qj = x qj x

+ y qj y

+ z qj z

, j = 1, 2, 3.

No, svaki vektor, pa tako iqj se moze razviti po vektorima baze poopcenog koordinatnog

sustava, tj. mora postojati zapis oblika

qj = g1 q1 + g2 q2 + g3 q3.Zbog ortonormiranosti vektora baze qj, komponente razvoja je lako dobiti skalarnimumnoskom. Tako je

q1 (q1) = g1 = q1 x q1 x

+ q1 y q1 y

+ q1 z q1 z

= (1.5) =

=1

h1

x

q1

q1 x

+1

h1

y

q1

q1 y

+1

h1

z

q1

q1 z

=1

h1

( q1 x

x

q1+ q1 y

y

q1+ q1 z

z

q1

)=

1

h1

q1(x, y, z)

q1=

1

h1.

q2 (q1) = g2 = 1h2

q1 q2

=1

h2 0 = 0.

q3 (q1) = g3 = 1h3

q1 q3

=1

h3 0 = 0.


Gradijent koordinate q1 je usmjeren u pravcu vektora q1, a iznos mu je jednak 1/h1

q1 = 1h1

q1.

Na slican se dobiju i gradijenti preostale dvije poopcene koordinate

q2 = 1h2

q2,q3 = 1

h3q3.

Sada se mozemo vratiti izrazu za gradijent skalarnog polja (1.9) i napisati konacni izrazza operator gradijenta u poopcenom koordinatnom sustavu

s =(q1h1

q1+

q2h2

q2+

q3h3

q3

)s. (1.10)

Primjenjena na sferni (SKS) i cilindricni (CKS) koordinatni sustav, gornja relacija daje

SKS : q1 = r , q2 = , q3 =

h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin

= r r

+

r

+

r sin

, (1.11)

(1.12)

CKS : q1 = , q2 = , q3 = z

h1 = 1, h2 = , h3 = 1

=

+

+ z

z. (1.13)

1.3 Operator divergencije u poopcenom koordinatnom sustavu

Neka je zadano vektorsko polje ~V (q1, q2, q3) = V1 q1 + V2 q2 + V3 q3. Zelimo izracunati

njegovu divergenciju ~V u poopcenom koordinatnom sustavu ~V = (V1 q1 + V2 q2 + V3 q3)

= (V1) q1 + (V2) q2 + (V3) q3 (1.14)

+ V1( q1) + V2( q2) + V3( q3).

Same komponente Vj vektora ~V su skalarna polja, a gradijent skalarnog polja smo upravo

izracunali u odjeljku 1.2, pa nam preostaje jos izracunati izraze oblika qj. Iz tog istog

odjeljka 1.2 znamo i da jeq1 = q1/h1, a buduci da je rotacija gradijenta jednaka nuli,

1.3. OPERATOR DIVERGENCIJE U POOPCENOM KOORDINATNOM SUSTAVU 9

slijedi da je i

0 = q1 = 1

h1q1.

Nadalje je

0 = 1

h1q1 =

1

h1

q1 + ( 1h1) q1

0 =1

h1

q1 1h21(h1) q1 q1 = 1

h1(h1) q1.

Gradijent h1 mozemo raspisati pomocu (1.10)

h1 = q1h1

h1 q1

+q2h2

h1 q2

+q3h3

h1 q3

,

sto konacno vodi na

q1 = 1h1

(q1h1

h1 q1

+q2h2

h1 q2

+q3h3

h1 q3

) q1 = 1

h1 h3

h1 q3

q2 1h1 h2

h1 q2

q3.

Slicnim se nacinom racunaju i rotacije preostala dva jedinicna vektora

q1 = 1h1 h3

h1 q3

q2 1h1 h2

h1 q2

q3,

q2 = 1h2 h1

h2 q1

q3 1h2 h3

h2 q3

q1, (1.15)

q3 = 1h3 h2

h3 q2

q1 1h3 h1

h3 q1

q2.

Pomocu gornjih izraza i jednakosti2

(~a ~b ) = ~b ( ~a ) ~a ( ~b ),mozemo izracunati divergencije jedinicnih vektora

q1 = ( q1 q3) = q3( q2) q2( q3)= q3

(1

h2 h1

h2 q1

q3 1h2 h3

h2 q3

q1

) q2

(1

h3 h2

h3 q2

q1 1h3 h1

h3 q1

q2

)=

1

h1 h2

h2 q1

+1

h1 h3

h3 q1

2Vidjeti npr. [?].


Slicnim se postupkom racunaju i divergencije preostala dva jedinicna vektora, sto svezajedno daje

q1 = 1h1 h2

h2 q1

+1

h1 h3

h3 q1

,

q2 = 1h2 h3

h3 q2

+1

h1 h2

h1 q2

,

q3 = 1h1 h3

h1 q3

+1

h2 h3

h2 q3

.

Vratimo se izrazu (1.14). Izravnim uvrstavanjem izraza (1.10) za divergenciju svake kom-

ponente poljaVj i gornjih izraza za divergencije jedinicnih vektora qj, dobiva se za

divergenciju vektorskog polja

~V = 1h1 h2 h3

[

q1(V1h2h3) +

q2(h1V2h3) +

q3(h1h2V3)

]. (1.16)


SKS : q1 = r , q2 = , q3 =

h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin

~V = 1r2

r

(r2Vr

)+

1

r sin

(sin V) +

1

r sin

V

,

CKS : q1 = , q2 = , q3 = z

h1 = 1, h2 = , h3 = 1

~V = 1

(V) +

1

V

+ Vz z

.

1.4 Operator rotacije u poopcenom koordinatnom sustavu

Proizvoljni vektor ~V u poopcenom koordinatnom sustavu je oblika

~V = V1 q1 + V2 q2 + V3 q3.

Primjenom poznate3 relacije

(a ~b ) = a( ~b ) + ( a) ~b ,3Vidjeti npr. [?].

1.4. OPERATOR ROTACIJE U POOPCENOM KOORDINATNOM SUSTAVU 11

na ~V , dobiva se

~V = (V1 q1 + V2 q2 + V3 q3)= (

V1) q1 + V1 q1+ (

V2) q2 + V2 q2+ (

V3) q3 + V3 q3.

Clanovi oblika Vj se racunaju uvrstvanjam u (1.10), a clanovi oblika qj,

uvrstavanjem u (1.15)

~V =(q1h1

V1 q1

+q2h2

V1 q2

+q3h3

V1 q3

) q1 + V1

(1

h1 h3

h1 q3

q2 1h1 h2

h1 q2

q3

)+

(q1h1

V2 q1

+q2h2

V2 q2

+q3h3

V2 q3

) q2 + V2

(1

h1 h2

h2 q1

q3 1h2 h3

h2 q3

q1

)+

(q1h1

V3 q1

+q2h2

V3 q2

+q3h3

V3 q3

) q3 + V3

(1

h2 h3

h3 q2

q3 1h1 h3

h3 q1

q2

)Sredivanjem gornjeg izraza, dobiva se rotacija vektora izrazena u poopcenom koordinat-nom sustavu

~V = q1h2 h3

[V3h3 q2

V2h2 q3

]+

q2h1 h3

[V1h1 q3

V3h3 q1

]+

q3h1 h2

[V2h2 q1

V1h1 q2

].

(1.17)Primjenjena na sferni i cilindricni koordinatni sustav, gornja relacija daje

SKS : q1 = r , q2 = , q3 =

h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin

~V = rr sin

[V sin

V

]+

r sin

[Vr

sin Vr r

]+

r

[Vr

r Vr

].

CKS : q1 = , q2 = , q3 = z

h1 = 1, h2 = , h3 = 1

~V =

[Vz

V z

]+

[V z

Vz

]+z

[V

V

].


1.5 Laplasijan skalarnog polja u poopcenom koordinatnom sus-tavu

Rezultat dvostrukog uzastopnog djelovanja operatorom nabla na skalarno polje poopcenihkoordinata s(q1, q2, q3) oznacavamo s

(s) = 2si zovemo laplasijan skalarnog polja s. Izraz za 2s je lako dobiti kombiniranjem izraza(1.10) za gradijent skalarnog polja

s = q1h1

s

q1+

q2h2

s

q2+

q3h3

s

q3

i izraza (1.16) za divergenciju vektorskog polja

~V = 1h1 h2 h3

[

q1(V1h2h3) +

q2(h1V2h3) +

q3(h1h2V3)

].

Uvrsti li se u zraz za divergenciju

V1 =1

h1

s

q1, V2 =

1

h2

s

q2, V3 =

1

h3

s

q3,

lako se dolazi do konacnog izraza za laplasijan skalarnog polja u poopcenim koordinatama

2s = 1h1 h2 h3

[

q1

(h2 h3h1

s

q1

)+

q2

(h1 h3h2

s

q2

)+

q3

(h1 h2h3

s

q3

)].

(1.18)ili krace

2s = 1h1 h2 h3

3i=1

qi

(h1 h2 h3h2i

s

qi

)

1.6. LAPLASIJAN VEKTORSKOG POLJA U POOPCENOM KOORDINATNOM SUSTAVU 13


SKS : q1 = r , q2 = , q3 = (1.19)

(1.20)

h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin

(1.21)

2s = 1r2

r

(r2 s

r

)+

1

r2 sin

(sin

s

)+

1

r2 sin2

2s

2. (1.22)

(1.23)

(1.24)

CKS : q1 = , q2 = , q3 = z (1.25)

(1.26)

h1 = 1, h2 = , h3 = 1

(1.27)

2s = 1

( s

)+

1

22 s

2+2 s

z2. (1.28)

1.6 Laplasijan vektorskog polja u poopcenom koordinatnom sus-tavu

Da bismo izracunali laplasijan vektorskog polja ~V (q1, q2, q3) u poopcenim koordinatama,posluzit cemo se ranije poznatom relacijom

2~V = ( ~V ) ( ~V ). (1.29)Izraze za gradijent (1.10)

s = q1h1

s

q1+

q2h2

s

q2+

q3h3

s

q3,

divergenciju (1.16)

~V = 1h1 h2 h3

[

q1(V1h2h3) +

q2(h1V2h3) +

q3(h1h2V3)

],

i rotaciju (1.17)

~V = q1h2 h3

[V3h3 q2

V2h2 q3

]+

q2h1 h3

[V1h1 q3

V3h3 q1

]+

q3h1 h2

[V2h2 q1

V1h1 q2

].


u poopceniom koordinatama vec imamo izracunate, pa je opet potrebno (samo) kombini-

rati te izraze. Tako se npr. za gradijent divergencije vektora ~V dobije

( ~V ) = q1h1

q1

{1

h1h2h3

[

q1(V1h2h3) +

q2(h1V2h3) +

q3(h1h2V3)

]}+

q2h2

q2

{1

h1h2h3

[

q1(V1h2h3) +

q2(h1V2h3) +

q3(h1h2V3)

]}+

q3h3

q3

{1

h1h2h3

[

q1(V1h2h3) +

q2(h1V2h3) +

q3(h1h2V3)

]}.

Slicno se i za rotaciju rotacije ~V dobije

( ~V ) = q1h2h3

{

q2

h3h1h2

[

q1(V2h2)

q2(V1h1)

] q3

h2h1h3

[

q3(V1h1)

q1(V3h3)

]}+

q2h1h3

{

q3

h1h2h3

[

q2(V3h3)

q3(V2h2)

] q1

h3h1h2

[

q1(V2h2)

q2(V1h1)

]}+

q3h1h2

{

q1

h2h1h3

[

q3(V1h1)

q1(V3h3)

] q2

h1h2h3

[

q2(V3h3)

q3(V2h2)

]}.

Izravnim uvrstavanjem gornjih izraza u (1.29), dobiva se konacni izraz za 2~V u po-opcenim koordinatama

2~V = q1{ 2~V

}1+ q2

{ 2~V

}2+ q3

{ 2~V

}3, (1.30)

gdje su{ 2~V

}1

=1

h1

q1

{1

h1h2h3

[

q1(V1h2h3) +

q2(h1V2h3) +

q3(h1h2V3)

]} 1

h2h3

{

q2

h3h1h2

[

q1(V2h2)

q2(V1h1)

] q3

h2h1h3

[

q3(V1h1)

q1(V3h3)

]}{ 2~V

}2

=1

h2

q2

{1

h1h2h3

[

q1(V1h2h3) +

q2(h1V2h3) +

q3(h1h2V3)

]} 1

h1h3

{

q3

h1h2h3

[

q2(V3h3)

q3(V2h2)

] q1

h3h1h2

[

q1(V2h2)

q2(V1h1)

]}{ 2~V

}3

=1

h3

q3

{1

h1h2h3

[

q1(V1h2h3) +

q2(h1V2h3) +

q3(h1h2V3)

]} 1

h1h2

{

q1

h2h1h3

[

q3(V1h1)

q1(V3h3)

] q2

h1h2h3

[

q2(V3h3)

q3(V2h2)

]}.

1.7. ELIPTICKI KOORDINATNI SUSTAV 15


SKS : q1 = r , q2 = , q3 =

h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin

2~V =[ 2Vr 2

r2

(Vr +

1

sin

(sin V) +

1

sin

V

)]r

+

[ 2V + 2

r2

( Vr

V2 sin2

cos sin2

V

)]

+

[ 2V + 2

r2 sin

( Vr

+cos

sin

V

V2 sin

)] .

CKS : q1 = , q2 = , q3 = z

h1 = 1, h2 = , h3 = 1

2~V =( 2V 1

2V 2

2 V

) +

( 2V 1

2V +

2

2 V;

) +

( 2Vz) z .1.7 Elipticki koordinatni sustav

dopisati

Poglavlje 2

Funkcije kompleksne varijable 1:analiticka svojstva

2.1 Kompleksna algebra

Kompleksnim brojem se naziva uredeni par dva realna broja (a, b), koji se obicno pisei kao a+ b, gdje je s =

1 oznacena imaginarna jedinica.2 = 1.

Slicno se uvodi i pojam kompleksne varijable kao uredenog para dvije realne varijable(x, y), koji se opet uobicajeno pise i kao z = x+ y.

Graficki se kompleksni broj ili kompleksna varijabla mogu prikazati u kompleksnojravnini (ili Argandovoj ravnini), tako da realni dio ima smjer apscise, a imaginarni dioima smjer ordinate (slika 2.1) Ovaj se prikaz moze povezati s polarnim koordinatnim

Slika 2.1: Prikaz kompleksne varijable u kompleksnoj ravnini.

17

18 POGLAVLJE 2. FUNKCIJE KOMPLEKSNE VARIJABLE 1

sustavom (vidjeti npr. [4]) na slijedeci nacin

z = x+ y

~ = x x+ y y = x cos+ y sin,

pri cemu je

< z = x = cos,= z = y = sin,z = x+ y = (cos+ sin) = e .

Gornji se zapis naziva polarni prikaz kompleksne varijable (ili broja). Velicina senaziva modul ili iznos kompleksnog broja,

= |z| =x2 + y2

a je faza ili argument kompleksnog broja

= arctany

x

Zbrajanje kompleksnih brojeva se definira kao

z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2) + (y1 + y2).

Mnozenje kompleksnih brojeva se definira kao

z1 z2 = (x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 y1y2, x1y2 + x2y1) = (x1x2 y1y2) + (x1y2 + x2y1).

Matricni zapis kompleksnog brojaPokazimo da je zbrajanje i mnozenje kompleksnih brojeva izomorfno sa zbrajanjem imnozenjem antisimetricne 2 2 matrica oblika

z = x+ y =

[x yy x

].

Primjetimo da formulacija preko matrica ne zahtjeva uvodenje imaginarne jedinice2 = 1. Prema pravilu o zbrajanju matrica je

z1 + z2 =

[x1 y1y1 x1

]+

[x2 y2y2 x2

]=

[x1 + x2 y1 + y2y1 y2 x1 + x2

],

a to je upravo isto sto i matrica zbroja (x1 + x2) + (y1 + y2)

(x1 + x2) + (y1 + y2) =

[x1 + x2 y1 + y2(y1 + y2) x1 + x2

].

Slicno se pokazuje i za mnozenje. Prema pravilu o mnozenju matrica, slijedi

z1 z2 =[

x1 y1y1 x1

][

x2 y2y2 x2

]=

[x1x2 y1y2 x1y2 + y1x2y1x2 y2x1 y1y2 + x1x2

].

2.1. KOMPLEKSNA ALGEBRA 19

No gornji izraz je upravo matrica umnoska z1 z2 = (x1x2 y1y2) + (x1y2 + x2y1)

(x1x2 y1y2) + (x1y2 + x2y1) =[

x1x2 y1y2 x1y2 + x2y1(x1y2 + x2y1) x1x2 y1y2

].

Zbrajanje i oduzimanje je zgodnije izvoditi u pravokutnom prikazu (algebarski), dok jemnozenje, dijeljenje, potenciranje i korjenovanje, zgodnije izvoditi u polarnom prikazu(vektorski).

Pokazimo i slijedece dvije korisne nejednakosti

|z1| |z2| |z1 + z2| |z1|+ |z2|.Dokazimo prvu nejednakost:

|z1| |z2| |z1 + z2|x21 + y

21

x22 + y

22

(x1 + x2)2 + (y1 + y2)2

/ 2x21 + y

21

x22 + y

22 x1x2 + y1y2

+x21 + y

21

x22 + y

22 (x1x2 + y1y2)

/ 2x21y

22 2x1x2y1y2 + y21x22 0

(x1y2 y1x2)2 0,sto je istina, jer je kvadrat realnog broja uvijek veci ili jednak nuli i time je polaznanejednakost dokazana. Slicno se dokazuje i druga nejednakost:

|z1 + z2| |z1|+ |z2|(x1 + x2)2 + (y1 + y2)2

x21 + y

21 +

x22 + y

22

/ 2x1x2 + y1y2

x21 + y

21

x22 + y

22

/ 2x21y

22 2x1x2y1y2 + y21x22 0

(x1y2 y1x2)2 0.Iz zapisa u polarnom obliku, lako se pokazuje da je

|z1 z2| = |z1| |z2|, arg(z1 z2) = arg(z1) + arg(z2).Zaista, prema definiciji je

z1 = 1 e 1 , z2 = 2 e

2 , z1 z2 = 1 e 1 2 e 2 = 1 2 e (1+2),iz cega izravno slijede gornje dvije tvrdnje.

Kompleksne funkcijeAko je f(z) funkcija kompleksne varijable z, ona se zove kompleksna funkcija. Kao i


kompleksni brojevi i kompleksne se funkcije mogu rastaviti na realni u i imaginarni v dio

f(x+ y) = u(x, y) + v(x, y)

< f(z) = u(x, y), = f(z) = v(x, y),gdje su u i v realne funkcije. z = x + y je tocka u kompleksnoj z ravnini, a f(z) =u(z) + v(z) je tocka u kompleksnoj f ravnini (slika 2.2), pa se zato kaze da funkcija fpreslikava skup tocaka z ravnine u skup tocaka f ravnine. Sve elementarne funkcije realne

Slika 2.2: Kompleksna funkcija f preslikava skup tocaka kompleksne z = (x, y) ravnine u skup tocakakompleksne f = (u, v) ravnine.

varijable x, mogu se produljiti u kompleksnu ravninu z, jednostavnom zamjenom

x z.Ovaj se postupak naziva analiticko produljenje.

Kompleksno konjugiranjeJedna jednostavna kompleksna funkcija je funkcija kompleksnog konjugiranja: ona mi-jenja u , tj. ona sve tocke gornje poluravnine z, preslikava u njihove zrcalne slikeu donjoj poluravnini i obratno (slika 2.3). Kompleksno konjugiranje se oznacava zvjez-dicom, pa se tako npr. kompleksno konjugirani broj broja z = x + y, oznacava kaoz ? = x y. Iz definicije kompleksnog konjugiranja kao zrcaljenja, jasno je da dvostrukaprimjena operacije daje identitet, tj. da je

(z ? ) ? = z.

Umnozak z i z ? je realan broj

z z ? = (x+ y) (x y) = x2 + y2= e e = 2,

2.1. KOMPLEKSNA ALGEBRA 21

Slika 2.3: Kompleksno konjugiranje kao zrcaljenje oko realne osi.

Tako da je iznos od z dan sa |z| = z z ? .

Eksponencijalna funkcijaRaspisimo eksponencijalnu funkciju ez u obliku reda

ez =n=0

zn

n !,

za cisto imaginarni z = x i razdvojimo realni imaginarni dio

ez = 1 + x

1 !+( x)2

2 !+( x)3

3 !+( x)4

4 !+( x)5

5 !+( x)6

6 !+( x)7

7 !+( x)8

8 !+

=

(1 x

2

2 !+x4

4 ! x

6

6 !+

)+

(x

1 ! x

3

3 !+x5

5 ! x

7

7 !+

).

Gornje razvoje prepoznajemo kao razvoje kosinusa i sinusa, pa je time pokazana Eule-rova formula

e x = cos x+ sinx. (2.1)

Potencija kompleksnog broja - De Moivreova formulaZa potenciranje kompleksnog broja, korisno je koristiti polarni zapis z = e

zn = ( e )n = n e n = n[cos(n) + sin(n)

].


No, (e )n se moze napisati na dva nacina

(e )n = (cos+ sin)n

e ( n) = cos(n) + sin(n).

Izjednacavanjem gornja dva izraza, dolazi se do De Moivreove formule

cos(n) + sin(n) = (cos+ sin)n, (2.2)

koja povezuje trigonometrijske funkcije kuta n sa trigonometrijskim funkcijama kuta. Tako se npr. za n = 2 i n = 3, raspisom desne strane gornjeg izraza i izjednacavanjemrealnog i imaginarnog dijela lijeve i desne strane dobiva:

cos(2) + sin(2) = (cos+ sin)2,

= cos2 sin2 + 2 sin cos,cos(2) = cos2 sin2 ,sin(2) = 2 sin cos,

cos(3) + sin(3) = (cos+ sin)3,

= cos3 3 cos sin2 + (3 cos2 sin sin3 ),cos(3) = cos(cos2 3 sin2 ),sin(3) = sin(3 cos2 sin2 ).

Korjen kompleksnog broja

Eulerova formula

Logaritam kompleksne varijableGlavna karakteristika po kojoj se logaritam kompleksne varijable razlikuje od logaritmarealne varijable, jeste nejednoznacnost. Evo o cemu se radi. Prema uobicajenompravilu za logaritam umnoska i logaritam potencije, slijedi

ln z = ln( e ) = ln + .

No, ako fazi pribrojimo cjelobrojni visekratnik od 2pi, a buduci da je e2pin = 1, vrijednostz se nece promijeniti

z = e = e (+n2pi), n = 0,1,2, ,

2.2. DERIVACIJA KOMPLEKSNE FUNKCIJE: CAUCHY - RIEMANNOVI UVJETI 23

ali ce se zato promijeniti vrijednost logaritma

ln[ e (+n2pi)

]= ln + + ( 2pi ) n.

To znaci da je logaritam viseznacna (nejednoznacna) funkcija, zato jer jednom paru vri-jednosti kompleksne z = (, ) ravnine, pridruzuje prebrojivo beskonacno vrijednostikompleksne f = ln( e ) ravnine. Ove se vrijednosti dobiju iz gornjeg izraza za

n = 0,1,2, .U racunima je uobicajeno koristiti vrijednosti logaritma za n = 0. Ove se vrijednosti zovuglavne vrijednosti. Takoder je uobicajeno fazu odabrati iz intervala (pi,+pi). Nataj nacin se nikada ne presijeca x os, koja se naziva i cut line (slika 2.4). Ovakav se

Slika 2.4: Uz odabir faze kod racuna logaritma.

izbor kuta moze dovesti u vezu s cinjenicom da logaritam realnog broja x nije definiranza negativne vrijednosti x. Naime, buduci da kompleksna matematika kao svoj posebanslucaj sadrzi realnu matematiku (ogranicavanjem na os realnu os x, tj. uz y = 0), to jeovim izborom postignuto iskljucenje negativnog dijela osi x iz definicije logaritma.

2.2 Derivacija kompleksne funkcije:Cauchy - Riemannovi uvjeti

Kada je zadana kompleksna funkcija kompleksne varijable, jedno od vaznih pitanja nakoja treba odgovoriti jeste i pitanje o derivaciji takve funkcije: moze li se i kako tafunkcija derivirati? Slicno kao i derivacija realne funkcije i derivacija kompleksne funkcijef(z) u tocki z0 se definira kao

f(z0) d f

d z

z=z0

= limdz 0

f(z0 + dz) f(z0)dz

,


uz vazan uvjet da gornji limes ne ovisi o smjeru priblizavanja tocki z0 (slicno kaosto kod funkcije realne varijable, derivacija ne ovisi o tome priblizavamo li se danoj tockis lijeve ili desne strane). U kompleksnoj z ravnini, svakoj tocki je moguce priblizitise na (neprebrojivo) beskonacno mnogo nacina, no svaki od njih se moze prikazati kaokombinacija pomaka u dva medusobno okomita smjera: u smjeru osi x i u smjeru osiy. Neka su z i z0 dvije infinitezimalno bliske tocke u kompleksnoj ravnini. Precizirajmooznake

z0 = x0 + y0,

z = x+ y = (x0 + dx) + (y0 + dy) = z0 + d z,

d z = d x+ d y,

f = u+ v,

d f = f(z) f(z0) = d u+ d v,

Izracunajmo sada diferencijalni omjer

d f

d z=d u+ d v

d x+ d y.

Granicni prijelaz d z 0 cemo izvesti na dva razlicita nacina{d x 0d y = 0

},

{d x = 0

d y 0},

kao sto je to prikazano na slici 2.5.

Slika 2.5: Uz izvod Cauchy - Riemannovih uvjeta. Tocke z i z0 su infinitezimalno bliske.

(1) d x 0, d y = 0d f

d z=d u+ d v

d x+ 0= u

x+

v

x.


(1) d x = 0, d y 0d f

d z=d u+ d v

0 + d y= u

y+ v

y.

Ako zahtjevamo da d f/d z ne ovisi o nacinu (putu) priblizavanja tocki z0, tada gornjadva diferencijalna omjera moraju biti jednaka

u

x+

v

x= u

y+ v

y.

Izjednacavanjem realnih i imaginarnih dijelova gornje jednakosti, dobivaju se Cauchy -Riemannovi uvjeti

u

x= v

y,

u

y= v

x. (2.3)

Cauchy - Riemannovi uvjeti su nuzni uvjeti koji moraju biti zadovoljeni ako postojiderivacija funkcije f(z), tj. ako postoji d f/d z, tada su zadovoljeni Cauchy - Riemannoviuvjeti.

Dokazimo da vrijedi i obrat: ako su zadovoljeni Cauchy - Riemannovi uvjeti i ako suparcijalne derivacije u i v po x i y kontinuirane funkcije, tada postoji d f/d z koja ne ovisio nacinu priblizavanja tocki z0. Dokazimo to na slijedeci nacin

f(x, y) = u(x, y) + v(x, y),

d f(x, y) = f

xd x+

f

yd y,

=

( u

x+

v

x

)d x+

( u

y+

v

y

)d y

/ 1d z

=1

d x+ d y

d f

d z=

[( u

x+

v

x

)d x+

( u

y+

v

y

)d y

] 1(d x+ d y)

=

[( u

x+

v

x

)+

( u

y+

v

y

)d y

d x

]/(1 +

d y

d x

).

Velicina d y/d x koja se pojavljuje u gornjem izrazu je upravo ona funkcija koja opisujekako y ovisi o x, tj. po kojoj putanji se tocka (x, y) priblizava tocki (x0, y0). Pokazimoda ce, primjenom Cauchy - Riemannovih uvjeta, taj clan nestati, tj. da derivacija d f/d znece ovisiti o nacinu priblizavanja danoj tocki. Uvrstimo Cauchy - Riemannove uvjete naokruglu zagradu koja mnozi d y/d x. Ta zagrada tada postaje

u

y+

v

y= v

x+

u

x.


Vratimo se s ovime natrag u izraz za d f/d z

d f

d z=

[( u

x+

v

x

)+

( u

x+

v

x

)d y

d x

]/(1 +

d y

d x

)=

[( u

x+

v

x

)

(1 +

d y

d x

)]/

(1 +

d y

d x

)=

u

x+

v

x

Ovime je pokazano da, ukoliko su zadovoljeni Cauchy - Riemannovi uvjeti, tada d f/d zpostoji i neovisna je o putu kojim se u kompleksnoj z ravnini priblizavamo tocki z0.

Pokazimo jos jednu vaznu posljedicu Cauchy-Riemannovih uvjeta: ako su oni zadovoljeni,tada je familija krivulja u = const. okomita na familiju krivulja v = const. U odjeljku1.1 je relacijom (1.9) pokazano da su poopcene koordinate qj medusobno okomite, akovrijedi (u notaciji iz tog odjeljka)

hi,j = x

qi

x

qj+

y

qi

y

qj+

z

qi

z

qj= 0, i, j = 1, 2, 3

za i 6= j. Ako ovu relaciju zelimo primjeniti na nas problem, moramo najprije primjetitida sada imamo dvodimenzijski, a ne trodimenzijski problem, pa ce biti

hi,j = x

qi

x

qj+

y

qi

y

qj= 0, i, j = 1, 2.

U gornjem su izrazu x i y funkcije od poopcenih koordinata q1 i q2, dok mi sada imamou i v kao poopcene koordinate, za koje treba pokazati da su medusobno okomite. Dakle,u sadasnjoj notaciji, uvjet okomitosti linija u = const. i v = const. glasi

hu,v = x

u

x

v+ y

u

y

v= 0. (2.4)

Ako se x / u i x / v iz gornjeg izraza, izraze preko Cauchy-Riemannovih uvjeta(2.3), lako se vidi da je relacija (2.4) zadovoljena, tj. da su linije u = const. i v = const.medusobno okomite.

Analiticke funkcijeAko je funkcija f(z) derivabilna u z0 i nekoj maloj okolini te tocke, tada se kazeda je f analiticka (ili holomorfna ili regularna) funkcija u tocki z0. Ako je f analitickau cijeloj kompleksnoj ravnini, zove se cijela funkcija. Ako derivacija d f/d z ne postojiu tocki z0, tada se ta tocka naziva singularitet ili singularna tocka funkcije f .

Primjer: 2.1 Provjerite je li f(z) = z2 analiticka funkcija.


R:f(z) = z2 = (x+ y)2 = (x2 y2) + 2xy = u+ v.

Pokazimo da su Cauchy - Riemannovi uvjeti zadvoljeni u cijeloj z ravnini

u

x= 2x =

v

y,

u

y= 2y = v

x.

Ocito su gornje parcijalne derivacije kontinuirane, pa zakljucujemo da je fanaliticka funkcija.

Primjer: 2.2 Provjerite je li f(z) = z analiticka funkcija.

R:f(z) = z = x y = u+ v.

Pokazimo da Cauchy - Riemannovi uvjeti nisu zadvoljeni

u

x= 1 6= v

y= 1, u

y= 0 = v

x,

pa prema tome f nije analiticka funkcija. Primjetimo da je z kontinuiranafunkcija, pa je ovo primjer funkcije koja je svugdje kontinuirana, a nigdje nijederivabilna.

Uocimo neke vazne razlike izmedu derivacije realne funkcije realne varijable i derivacijekompleksne funkcije kompleksne varijable. Derivacije realne funkcije realne varijable jejedno u osnovi lokalno svojstvo te funkcije u smislu da ona sadrzi informaciju samoo ponasanju funkcije u okolini promatrane tocke. Za ilustraciju ove tvrdnje moze pos-luziti Taylorov razvoj iz kojega se vidi da su za odredenje ponasanja funkcije na vecimudaljenostima, potrebne derivacije viseg reda

f(x) = f(x0) + (x x0) d fd x

x=x0

+1

2(x x0) d

2 f

d x2

x=x0

+ .

Postojanje derivacije funkcije kompleksne varijable, ima puno dalekoseznije posljedice.Jedna od njih je i to da, kao posljedica Cauchy - Riemannovih uvjeta, realni i imagi-narni dijelovi kompleksne funkcije f moraju zadovoljavati dvodimenzijsku Laplaceovujednadzbu.

u

x=

v

y

/

x

u

y= v

x

/

y

2 u

x2=

2 v

x y

2 u

y2=

2 v

x y.

Zbroje li se gornje dvije jednadzbe, dobije se dvodimenzijska Laplaceova jednadzba za


funkciju u2 u

x2+2 u

y2= 0. (2.5)

Slicno se izvodi i Laplaceova jednadzba za funkciju v

u

x=

v

y

/

y

u

y= v

x

/

x

2 u

x y=

2 v

y22 u

x y=

2 v

x2.

Oduzimanjem gornjih dvaju jednadzba, dobije se dvodimenzijska Laplaceova jednadzbaza funkciju v

2 v

x2+2 v

y2= 0. (2.6)

Nadalje, analiticnost funkcije f implicirat ce i postojanje derivacija viseg reda (odjeljak2.4). U tom smislu, derivacija u tocki z0 ne odreduje samo lokalna svojstva f , vec isvojstva f na velikim udaljenostima od z0.

2.3 Integral kompleksne funkcije: Cauchyjev integralni teorem

Krivuljni integraliNakon sto smo uveli derivaciju kompleksne funkcije, mozemo se okrenuti i integralu kom-pleksne funkcije.

Integral funkcije kompleksne varijable po krivulji u kompleksnoj ravnini, se moze definiratiprema analogiji s Riemannovim integralom realne funkcije jedne varijable. Krivulju kojapovezuje pocetnu tocku z0 i konacnu tocku z

0 , podijelimo naN dijelova omedenih tockama

zn, kao na slici 2.6. Razmotrimo znacenje slijedeceg zbroja

Slika 2.6: Uz definiciju krivuljnog integrala.

2.3. INTEGRAL KOMPLEKSNE FUNKCIJE: CAUCHYJEV INTEGRALNI TEOREM 29

SN =Nn=1

f(n) (zn zn1),

gdje je n tocka na krivulji izmedu tocaka zn i zn1. Izvedimo granicni prijelaz N uz |zn zn1| 0, za svaki n. Ako limN SN postoji i ako ne ovisi o detaljimaizbora tocaka zn i n, tada je

limN

Nn=1

f(n) (zn zn1) = z 0z0

f(z) d z.

Integral na desnoj strani se zove krivuljni integral f(z) duz zadane krivulje C od z0do z 0 .

Ovo je bio izvod po analogiji s Riemannovim izvodom integrala realne funkcije jednerealne varijable. Postoji i drugi nacin da se definira krivuljni integral, a to je da se svedena kompleksnu kombinaciju realnih integrala: z2

z1

f(z) d z =

(x2,y2)(x1,y1)

[u(x, y) + v(x, y)

](d x+ d y)

=

(x2,y2)(x1,y1)

[u d x v d y + (u d y + v d x)

]=

(x2,y2)(x1,y1)

(u d x v d y) + (x2,y2)(x1,y1)

(u d y + v d x),

za svaki zadani put od (x1, y1) do (x2, y2). Ovim postupkom se integral kompleksne funk-cije svodi na kompleksni zbroj realnih integrala. Po svojoj osnovnoj ideji, ovaj je postupakslican postupku svodenja integrala vektorske funkcije na vektorski zbroj integrala skalar-nih funkcija (vidjeti npr. u [4]).

Primjer: 2.3 Izracunajmo krivuljni integral funkcije f(z) = zn, n = 0,1,2, pokruznici polumjera R sa sredistem u ishodistu, a koju obilazimo u pozitivnomsmjeru (sto znaci suprotno od kazaljke na satu), kao sto je to prikazano naslici 2.7.

R: U polarnom prikazu kompleksne varijable je z = Re , pa je zn =Rn e n i dz = Re ( d), pri cemu je R konstantno na kruznici. Odvojenocemo rjesavati slucajeve kada je n 6= 1 i kada je n = 1.


Slika 2.7: Uz izracunavanje integrala od zn po kruznici sa sredistem u ishodistu.

(A) n 6= 1Czn d z = Rn

2pi0

e n d R e

= Rn+1 2pi0

e (n+1) d

=Rn+1

n+ 1

2pi(n+1)0

ex d x =Rn+1

n+ 1ex2pi(n+1)0

= 0. (2.7)

(B) n = 1 C

d z

z=

2pi0

d R e

Re =

2pi0

d = 2 pi .

Primjetimo da u oba slucaja vrijednost integrala ne ovisi o polumjeru kruzniceR.

Cauchyjev integralni teorem: dokaz pomocu Stokesova teoremaCauchyjev integralni teorem je prvi od dva osnovna teorema koji govore o ponasanjufunkcije kompleksne varijable. Najprije cemo ga dokazati uz donekle ogranicene uvjete,koji su ipak dovoljni za fizicke potrebe.

Teorem: Ako je f(z) analiticka (pa prema tome i jednoznacna) i ako su njezine parcijalnederivacije kontinuirane unutar jednostavno povezanog podrucja R, za svaku


zatvorenu krivulju C iz podrucja R, krivuljni integral f(z) po C je jednak nuliCf(z) d z = 0. (2.8)

Slika 2.8: Uz definiciju jednostavnog (A) i visestruko (B) povezanog podrucja.

Prije dokaza, dvije primjedbe:

(1) Jednostavno povezano podrucje je ono u kojemu se svaka zatvorena krivulja koja leziu tom podrucju moze stegnuti u tocku koja takoder lezi u tom podrucju (slika 2.8.A);visestruko povezano podrucje je ono za koje postoje zatvorene krivulje unutar tog po-drucja, koje se stezu u tocku koja nije unutar tog visestruko povezanog podrucja (slika2.8.B).

(2) Primjetimo da kada bi f(z) iz gornje jednadzbe bila jedna komponenta sile, onda biiscezavanje gornjeg integrala znacilo da je ta komponenta sile konzervativna (vidjetinpr. [4])

Evo sada i dokaza: najprije sa integrala kompleksne funkcije f , prijedimo na kompleksnizbroj integrala realnih funkcija u i v

f(z) = u(x, y) + v(x, y), d z = d x+ d y.

Cf(z) d z =

C

[u(x, y) + v(x, y)

](d x+ d y)

=

C(u d x v d y) +

C(v d x+ u d y). (2.9)


Gore imamo integrale realnih funkcija na koje mozemo primjeniti Stokesov teorem(vidjeti npr. [4])

C~V d~r =

S(C)

( ~V ) d ~S ,

gdje je s S(C) oznacena ploha definirana zatvorenom krivuljom C, a d ~S vektor diferen-cijala plohe okomit na sam diferencijalni element, a iznosa jednakog iznosu diferencijalaplohe. Primjena Stokesovog teorema je moguca ako pretpostavimo da su parcijalne de-rivacije u i v kontinuirane unutar podrucja C. Ploha S(C) je opcenito prostorna ploha(dakle, ne nuzno ravnina) s rubovima u ravnini (x, y). No, ogranicimo li se, radi jednos-

tavnosti, na plohu koja lezi u toj istoj ravnini (x, y), tada je d ~S = dS z , pa Stokesovteorem sada glasi

~V = Vx x + Vy y , d ~r = d x x + d y y

C(Vx d x+ Vy d y) =

S(C)

( ~V ) dS z

=

S(C)

( ~V )z dS =

S(C)

( Vy x

Vx y

)d x d y.

Primjenimo sada Stokesov teorem u gornjem obliku na prvi clan desne strane (2.9) uzVx u i Vy vC(u d x v d y) =

S(C)

( (v) x

u y

)d x d y. =

S(C)

( v

x+ u

y

)d x d y = (2.3) = 0,

prema drugom od Cauchy - Riemannovih uvjeta.

Slicno, ako u drugom clanu desne strane (2.9) identificiramo Vx v i Vy u, premaStokesovu teoremu slijedi

C(v d x+ u d y) =

S(C)

( u

x v y

)d x d y. = 0,

prema prvom od Cauchy - Riemannovih uvjeta.

Time je, uz navedena ogranicenja, dokazana tvrdnja (2.8).

Cauchyjev integralni teorem: Goursatov dokazPodrucje unutar zatvorene krivulje C podijelimo na N manjih zatvorenih krivulja Cn kaona slici 2.9. U racunu zbroja

Nn=1

Cn

f(z) d z,

integrali po unutrasnjim linijama ce se medusobno ponistiti zbog suprotnog smjeraobilaska. Jedino sto ce ostati razlicito od nule jesu integrali po vanjskim dijelovimanekih od zatvorenih krivulja Cn. Zbroj svih tih clanova razlicitih od nule, ce upravo dati


Slika 2.9: Uz Cauchy - Goursatov dokaz Cauchyjeve integralne formule.

integral f(z) po zatvorenoj krivulji CNn=1

Cn

f(z) d z =

Cf(z) d z.

Pokusajmo sada izracunati jedan od integralaCn f(z) d z iz gornjeg zbroja. Da bismo

to izveli, konstruirajmo najprije funkciju n(z, zn)

n(z, zn) =f(z) f(zn)

z zn d f(z)

d z

z=zn

, (2.10)

pri cemu je zn bilo koja tocka iz unutrasnjosti n-tog podrucja zatvorene krivulje Cn.Primjetimo da je [f(z) f(zn)]/[z zn] priblizna vrijednost derivacije f u tocki z = zn.Ako f(z) ima Taylorov razvoj oko zn (sto jos nije dokazano), tada je n(z, zn) reda velicineO(z zn)

f(z) = f(zn) + (z zn) d f(z)d z

z=zn

+1

2(z zn)2 d

2 f(z)

d z2

z=zn

+

f(z) f(zn) = (z zn) d f(z)d z

z=zn

+1

2(z zn)2 d

2 f(z)

d z2

z=zn

+

f(z) f(zn)z zn =

d f(z)

d z

z=zn

+1

2(z zn) d

2 f(z)

d z2

z=zn

+

n(z, zn) =f(z) f(zn)

z zn d f(z)

d z

z=zn

=1

2(z zn) d

2 f(z)

d z2

z=zn

+ .

S porastom broja krivulja Cn, razlika (z zn) ce iscezavati i zato se uvijek moze posticida je

|n(z, zn)| < ,


za svaki proizvoljno mali . Definiciju (2.10), napisimo u obliku

f(z) = n(z, zn)(z zn) + f(zn) + (z zn) d f(z)d z

z=zn

i sve prointegriramo po zatvorenoj krivulji CnCn

f(z) d z =

Cn

n(z, zn)(z zn) d z + f(zn)Cn

d z +d f(z)

d z

zn

Cn

z d z zn d f(z)d z

zn

Cn

d z.

Za prvi clan desne strane smo upravo pokazali da je proizvoljno mali, dok su preosta-la tri clana jednaka nuli prema (2.7), tako da zakljucujemo da je za svaki n, integralCn f(z) d z = 0, pa je i njihov zbroj takoder jednak nuli, tj.

0 =Nn=1

Cn

f(z) d z =

Cf(z) d z,

cime je teorem dokazan.

Posljedica ovog teorema je i da integral analiticke funkcije po krivulji koja nije zatvorena,ovisi samo o rubnim tockama krivulje, a ne i o obliku krivulje. Drugim rijecima, integralne ovisi o obliku puta koji spaja pocetnu i konacnu tocku zk

zp

f(z) d z = F (zk) F (zp) = zpzk

f(z) d z

Morerin teoremMorerin teorem je u odredenom smislu obrat Cauchyeva integralnog teorema.

Teorem: Ako je za neprekidnu funkciju f(z) definiranu unutar jednostruko povezanogpodrucja, integral duz bilo koje jednostavne zatvorene krivulje koja u cjelostilezi u navedenom podrucju, jednak nuli, tada je f(z) regularna funkcija u tompodrucju.

Za dokaz teorema, integrirajmo f(z) od z1 do z2. Buduci da je po pretpostavci teoremaf(z) dz = 0, to integral od z1 do z2 ovisi samo o rubnim tockama. Oznacimo to na

slijedeci nacin z2z1

f(z) dz = F (z2) F (z1).

Ako se nad identitetom

F (z2) F (z1)z2 z1 f(z1) =

z2z1

f(z) dz

z2 z1 f(z1) z2z1

dz

z2 z1

=

z2z1

[f(z) f(z1)

]dz

z2 z1 ,


izvede granicni prijelaz z2 z1, dobiva se

limz2 z1

F (z2) F (z1)z2 z1 limz2 z1 f(z1) = limz2 z1

z2z1

[f(z) f(z1)

]dz

z2 z1 .

Prema teoremu o srednjoj vrijednosti, clan na desnoj strani je jednak nuli, a iz preostaladva clana slijedi

dF

d z

z1

= f(z1).

Gornjim su izrazom dokazane dvije stvari: prvo, da F postoji i drugo, da je F = f .Buduci da je z1 bilo koja tocka iz navedenog podrucja, zakljucuje se da je F analitickau cijelom podrucju. Prema Cauchyevoj integralnoj formuli (6.47) je i f = F takoderanaliticka i time je dokazan Morerin teorem.

... dovrsiti ....

Visestruko povezana podrucjaCauchyev integralni teorem se odnosi na jednostavno povezano podrucje. Pogledajmo stose moze reci o integralu

f(z) dz u visestruko povezanom podrucju (kao na

slici 2.10.A). Funkcija f(z) nije definirana u unutrasnjosti podrucja R i zato Cauchyev

Slika 2.10: Uz Cauchyevu integralnu formulu za visestruko povezana podrucja.

integralni teorem nije primjenjiva na krivulju C. Umjesto toga, moze se napraviti krivuljaC 1 (slika 2.10.B) na kojoj vrijedi Cauchyev integralni teorem. Sa stanovista krivulje C 1,R je jednostavno povezano podrucje. Posljedica Cauchyeva integralna teorema je daintegral ne ovisi o obliku putanje po kojoj se integrira, nego samo o pocetnoj i krajnjoj


tocki integracije. Zato je, za proizvoljno mali1 sa slike 2.10.B AF

f(z) dz = CD

f(z) dz

(negativan predznak dolazi od suprotnog smjera integracije). Primjenom gornje jednakostii Cauchyeva integralna teorema, u granici 0, dobiva se

C 1f(z) dz = 0 =

ABC

f(z) dz +

DC

f(z) dz +

DEF

f(z) dz +

AF

f(z) dz

0 =

Cf(z) dz

C2

f(z) dz.

Negativan predznak u drugom integralu dolazi zato sto se u tom integralu krivulja C2obilazi suprotno smjeru kazaljke na satu (a tom smjeru obilaska se pridruzuje pozitivanpredznak). Iz gornje jednakosti slijedi

Cf(z) dz =

C2

f(z) dz, (2.11)

pri cemu se obje krivulje obilaze u istom smjeru. Iz gornjeg se izraza zakljucuje da,iako ne znamo kolika je vrijednost integrala, ipak znamo da ta vrijednost ne ovisi oobliku krivulje po kojoj se integrira. U konkretnim zadacima za krivulju integracijece se uzimati sto jednostavnije krivulje (dijelovi kruznice, trokuta + ili pravokutnika).To je Cauchyjev integralni teorem za visestruko povezano podrucje.

Primjer: 2.4 Fresnelov integralIzracunajte

ez

2dz po krivulji sa slike 2.11, u granici kada r neograniceno

raste.

R: Buduci da je f(z) = ez2 regularna i analiticka funkcija unutar naz-nacenog podrucja kao i na njegovom rubu, moze se primjeniti Cauchyev inte-gralni teorem A

0

ex2

dx I1

+

_AB

ez2

dz I2

+

0B

ez2

dz I3

=

f(z) dz = 0.

Izracunajmo odvojeno svaki od gornjih integrala:I1 :Ovo je tablicni integral

limr

I1 =

0

ex2

dx =

pi

2.

I2 :1Za proizvoljno mali , vrijednosti funkcije f(z) na segmentima FA i DC su priblizno iste.


Slika 2.11: Uz primjer 2.4.

Izracunajmo integral po luku AB kruznice, kada polumjer neograniceno raste.Uvedimo zamjenu z = r e

I2 = r

pi/40

er2(cos 2+ sin 2)+ d = r

pi/40

er2 cos 2 e(r

2 sin 2) e(r2 sin 2) 1d

|I2| r pi/40

er2 cos 2 d.

Sada se s varijable prelazi na varijablu u definiranu s cos2 = sin u

|I2| r2

pi/20

er2 sinu d u.

Primjetimo li da je

limu0

sinu

u= 1, lim

upi/2sinu

u=

2

pi,

vidimo da je

2u

pi< sinu < u r2 sinu < r22u

pi

er2 sinu < er

2 2upi .

Iz gornjih nejednakosti slijedi

|I2| r2

pi/20

er2 2upi d u =

pi

4r

(1 er2

).


Kada r neograniceno raste

limr

|I2| limr

pi

4r

(1 er2

)= 0,

Time je pokazano da je drugi integral jednak nuli.I3 :U trecem integralu se uvodi zamjena z = epi/4

I3 = limr

r0

e2

epi/4 d = epi/4(

0

cos 2 d 0

sin 2 d

).

Iz I1 + 0 + I3 = 0, slijedi

pi

2

(2

2

2

2

)=

0

cos 2 d 0

sin 2 d .

Usporedbom realnog i imaginarnog dijela lijeve i desne strane, dolazi se dokonacnog rezultata

0

cos 2 d =1

2

pi

2,

0

sin 2 d =1

2

pi

2.

Primjer: 2.5 Izracunajtedz e z/z po krivulji sa slike 2.12.

R: Buduci da je zadana funkcija regularna i analiticka funkcija u naz-

Slika 2.12: Uz primjer 2.5.

nacenom podrucju kao i na njegovom rubu, moze se primjeniti Cauchyev in-


tegralni teoreme z

zdz = 0 =

21

e z

zdz +

32

e z

zdz +

43

e z

zdz +

14

e z

zdz

=

Rr

e x

xdx+

_2 3

e z

zdz +

rR

e x

xdx+

_4 1

e z

zdz.

Zamjenom varijable u = x u trecem integralu i zbrajanjem s prvim, dobivase

0 = 2

Rr

sinx

xd x+

_2 3

e z

zdz

I1

+

_4 1

e z

zdz

I2

(2.12)

I1 :Izracunajmo integral po luku 2 3 kruznice, kada polumjer neograniceno raste.Uvedimo zamjenu z = Re

I1 =

pi0

eR sin e R cos e R cos 1 d|I1|

pi0

eR sin d = 2 pi/20

eR sin d.

Kao i u prethodnom primjeru, promatramo granice

lim0

sin

= 1, lim

pi/2sin

=

2

pi,

vidimo da je

2

pi< sin < R sin < R2

pi

eR sin < eR2pi .

Iz gornjih nejednakosti slijedi

|I1| pi/20

eR2 2pi d =

pi

2R

(1 eR) .

Kada R neograniceno raste

limR

|I1| limR

pi

2R

(1 eR) = 0.

I2 :Ovdje uvodimo zamjenu z = r e , pa je

I2 =

0pi

e r cosr sin d

limr0 I2 = 0pi

d = pi.


Time iz (2.12) slijedi 0

sinx

xd x =

pi

2.

2.4 Cauchyjeva integralna formula

Neka je f(z) regularna analiticka funkcija u jednostruko povezanom podrucju P i nanjegovom rubu K (slika 2.13). Uocimo tocku z0 P u kojoj je f analiticka i regularna.

Slika 2.13: Uz Cauchyev integral.

Funkcija

f(z)

z z0je regularna u svim tockama podrucja P , osim u tocki z0, jer u toj tocki gornji razlomakdivergira2. Izdvoji li se tocka z0 iz podrucja P malom kruznicom k polumjera r koja ucjelosti lezi u podrucju P , tada je f(z)/(z z0) regularna u podrucju izmedu k i K, kaoi na samim rubovima k i K. Prema Cauchyevom integralnom teoremu za visestrukopovezana podrucja (2.11) iz prethodnog odjeljka, znamo da vrijednost integrala regularnefunkcije ne ovisi o obliku krivulje po kojoj se integrira, pa je zato

K

f(z)

z z0 dz =k

f(z)

z z0 dz. (2.13)

2a divergiraju i derivacije; npr.

d

d z

f(z)

z z0=

d f

d z

1

z z0 f(z)(z z0)2

.

2.4. CAUCHYJEVA INTEGRALNA FORMULA 41

Rijesimo integral po maloj kruznici tako sto cemo zapoceti s uvrstavanjem identiteta

f(z) = f(z0) +[f(z) f(z0)

]k

f(z)

z z0 dz =k

f(z0)

z z0 dz +k

f(z) f(z0)z z0 dz

= f(z0)

k

dz

z z0 +k

f(z) f(z0)z z0 dz f(z0) I1 + I2.

Sada rjesavamo integrale I1 i I2.Zamjenom varijable z = z0 + r e

(slicno kao u primjeru 2.3), za integral I1 se dobiva

I1 =

k

dz

z z0 = 2pi0

r d e

r e =

2pi0

d = 2 pi .

Pogledajmo sada integral I2: zbog neprekidnosti f(z), polumjer r kruznice k jemoguce odabrati tako malim, da za svaku tocku z sa kruznice vrijedif(z) f(z0) < ,gdje je > 0 proizvoljno mala pozitivna velicina. Buduci da podintegralna funkcija mozebiti i pozitivna i negativna, to vrijedi slijedeca nejednakost

k

f(z) f(z0)z z0 dz

< k

f(z) f(z0)|z z0| |dz| r, jer tada red

n=0 (z z0)n an divergira. To naravno ne znacida f(z) ne postoji izvan navedene kruznice (podrucja konvergencije). Ona postoji ucijelom podrucju P . Evo jednostavnog primjera: u krugu polumjera r = 1 oko ishodista,red (naziva se i element funkcije)

Pf (z) =n=0

zn

predstavlja funkciju f(z) = (1 z)1 (usporedite s (2.18)). Ova funkcija postoji i izvan

Slika 2.16: Uz analiticko produljenje.

navedenog kruga: npr. u tocki z = 5, ona ima vrijednost f(5) = 1/4. No, ta sevrijednost ne moze izracunati iz gornjeg reda, jer on divegira za z = 5.

Prema Taylorovu razvoju, moze se odabrati tocka z1 blizu ruba podrucja konvergencije(slika 2.16A) i u toj tocki izracunati

f(z1), f(n)(z1), n = 1, 2, 3,

i dobiti element funkcije Pf (z z1) koj pripada tocki z1. Tako dobiveni red

Pf (z z1) =n=0

(z z1)n a n

ima polumjer konvergencije najmanje jednak r |z1 z0| i dodiruje iznutra kruznicupolumjera r (slika 2.16.A). Najcesce je ovaj novi polumjer konvergencije veci od navedenogi prelazit ce pocetnu kruznicu polumjera r. Vratimo se primjeru f(z) = 1/(1 z) cijired

n=0 z

n konvergira za |z| < 1, ima singularitet u z = 1, a analiticka je svuda dalje.

2.6. POLOVI FUNKCIJE 47

Razvije li se f(z) oko tocke z1 =

1

1 z =1

1 + z =1

1 1

1 z 1

=1

1

[1 +

z 1 +

(z 1

)2+

(z 1

)3+

].

Gornji je red konvergentan zaz 1 < 1 |z | < 2,

tj. novo je podrucje konvergencije krug polumjera2 sa sredistem u z1 = (slika 2.16.B).

Rezimirajmo: funkcija f(z) = 1/(1 z) se moze prikazati redom

Pf (z z0) =n=0

zn, z0 = 0

u podrucju P1 u kojemu je |z| < 1, ili redom

Pf (z z1) =n=0

(z )n(1 )n+1 , z1 =

u podrucju P2 u kojemu je |z | 1

je funkcija koja ima pol M-tog reda u tocki z = z0 s reziduumom jednakima1 = 0.

Buduci da je

f(z) = (z z0)m g1(z), g1(z0) = am 6= 0,to je i

limz z0

(z z0)m f(z) = g1(z0) = am 6= 0. (2.21)Pol m-tog reda funkcije f je nultocka m-tog reda funkcije 1/f .

Jednoznacna funkcija, regularna u danom podrucju P kompleksne ravnine, osim u tockamakoje su joj polovi, zove se meromorfna5 funkcija u tom podrucju. Ako funkcija imabeskonacno puno polova, oni se mogu gomilati samo na rubu podrucja P , a ta tockagomilanja se naziva bitni singularitet funkcija.

Primjer: 2.7 Funkcija

f(z) = tan1

z

ima beskonacno puno polova u tockama z0,n = 2/(npi), n = 1,2, , kojese gomilaju oko tocke z = 0, koja NIJE pol.

Primjer: 2.8 Pokazite da cijela racionalna funkcija n-tog stupnja Pn(z) ima u z = pol n-tog reda.

5zeli se reci da su jedini singulariteti u obliku polova (izoliranih tocaka), tj. da nema linija ili povrsina u kojima bifunkcija bila singularna.


R: Oznacimo s z = 1/z. tada jePn(z) = z

nan + zn1an1 + + za1 + a0,

Pn(1/z) =

1

(z 0)nan +1

(z 0)n1an1 + +1

(z 0)1a1 ++a0.

Iz gornjeg se zapisa iscitava da je z 0 = 0 pol n-tog reda, sto znaci da jez0 = 1/z

0 = pol n-tog reda.

Iz gornjeg primjera se zakljucuje da racionalna funkcija

R(z) =Pn(z)

Qm(z),

gdje su Pn(z) iQm(z) polinomi bez zajednickih linearnih faktora, ima za konacni z konacanbroj polova koji su nul-tocke nazivnika, a u z = ima pol (nm)-tog reda ako je n > m.

Odredivanje reziduuma:Ako je z0 pol prvog reda, prema (2.21) je

limz z0

(z z0) f(z) = g1(z0) = a1.

Ako je F (z) = f(z)/g(z) i ako je z0 nultocka prvog reda od g, tj. g(z0) = 0, g(z0) 6=

0, f(z0) 6= 0, tada je z0 pol prvog reda od F

(z z0)F (z) = f(z) z z0g(z)

= f(z)z z0

g(z) g(z0)=

f(z)g(z)g(z0)

zz0,

limz z0

(z z0)F (z) = a1 = limz z0

f(z)g(z)g(z0)

zz0=

f(z0)

g (z0)

a1 = f(z0)g (z0)

. (2.22)

Slicno se pokazuje, (2.20), i da ako funkcija ima pol m-tog reda, tada uz clan 1/(z z0)stoji koeficijent a1 koji je jednak

a1 =1

(m 1) ! limz z0dm1

dzm1(z z0)m f(z).

Primjer: 2.9 Odredite polove i reziduume funkcije F (z) = 1/(1 + z2).

R: Iz zapisa funkcije u oblikuF (z) =

1

1 + z2=

1

(z + )(z )

2.7. LAURENTOV RAZVOJ 51

vidimo da funkcija ima dva pola prvog reda: z0,1 = +, z0,2 = . Funkcija jeoblika F = f/g, pa su, prema (2.22), reziduumi jednaki

a1 =1

2 z

z=

= 12.

Primjer: 2.10 Odredite polove i reziduume funkcije F (z) = 1/ sin z.

R: Kao i u prethodnom primjeru, i ovo je racionalna funkcija, s nulamanazivnika u tockama

z0,n = npi, n = 0, 1, 2, 3, ,tj. polova funkcije F ima prebrojivo beskonacno. Da se radi o polovima prvogreda, vidimo po tome sto je vec a1 razlicit od nule

a1 =f(z0)

g (z0)=

1

cosnpi= (1)n 6= 0.

2.7 Laurentov razvoj

Laurentov6 razvoj je poopcenje Taylorova razvoja, a odnosi se na jednoznacne funkcijeregularne u podrucju omedenom sa dvije jednostavne zatvorene krivulje K i K (slika2.17) unutar kojih se moze smjestiti kruzni vijenac omeden kruznicama k i k polumjera

Slika 2.17: Uz Laurentov razvoj.

r i r uz r > r sa sredistem u z0 unutar K . Za tocke z unutar kruznog vijenca je

r < |z z0| < r.6P. A. Laurent, 1841; K. Weierstrass, 1841


Funkcija f je jednoznacna i regularna u svim tockama kruznog vijenca i na kruznicama,dok se o njoj nista ne pretpostavlja niti u unutrasnjosti K , niti izvan K. Neka je z tockaiz kruznog vijenca, a k kruznica sa sredistem u z koja u cjelosti lezi u vijencu, slika 2.18.Formirajmo krivulju C kao na slici 2.18 koja je odredena kruznicama k, k i k i duzinama

Slika 2.18: Cauchyeva integralna formula i Laurentov razvoj.

, , , . Buduci da tocka z nije obuhvacena krivuljom, to prema Cauchyevoj integralnojformuli (2.15) slijedi da je

1

2 pi

C

f(z )z z dz

= 0.

Integraciju po krivulji C rastavljamo na integraciju po njezinim dijelovimaC=

+

(k )desno

+

+

k +

+

(k )lijevo

+

+

k

.

U granici kada procjep iscezava, integrali po duzinama i postaju isti po iznosu, asuprotni po predznaku (zbog suprotnog smjera obilaska), pa je njihov zbroj jednak nuli

+

= 0.

Isto vrijedi i za integrale po duzinama i

+

= 0.

Preostaju integrali po kruznicama, pri cemu predznak integrala ovisi o smjeru obilaskapojedine kruznice

0 = k

f(z )z z dz

k

f(z )z z dz

+k

f(z )z z dz

.


Kruznica k obuhvaca7 tocku z, pa je prema Cauchyevoj integralnoj formuli (2.15)k

f(z )z z dz

= 2 pi f(z).

Uvrsti li se to u gornju vezu medu integralima, slijedi

f(z) =1

2pi

k

f(z )z z dz

12pi

k

f(z )z z dz

. (2.23)

Sada se postupa slicno kao i kod izvoda Taylorova razvoja: z z = z z0 z + z0 =(z z0) (z z0). Iz slike (2.19) se vidi da vrijede slijedece relacije:

Na kruznici k je |z z0| > |z z0| kada je z k.

Slika 2.19: Cauchyeva integralna formula i Laurentov razvoj.

1

2pi

k

f(z )z z dz

=1

2 pi

k

f(z )(z z0) (z z0) dz

=1

2 pi

k

f(z )z z0

1

1 zz0z z0

dz ,

pri cemu je z z0z z0 < 1.

7I kruznica k obuhvaca tocku z, ali na integral po k ne mozemo primjeniti Cauchyevu integralnu formulu, jer k obuhvacai podrucje K u kojemu funkcija ne mora biti analiticka.


Na kruznici k je |z z0| < |z z0| kada je z k .1

2pi

k

f(z )z z dz

=1

2 pi

k

f(z )(z z0) (z z0) dz

= 12pi

k

f(z )z z0

1

1 z z0zz0

dz ,

pri cemu je z z0z z0 < 1.

Uvrstavanjem gornjih relacija u (2.23), dolazi se do

f(z) =1

2pi

k

f(z )z z0

1

1 zz0z z0

dz 12 pi

k

f(z )z z0

1

1 z z0zz0

dz .

Koristeci se razvojem (2.18) koji konvergira za || < 1, gornji izraz za f(z) postaje

f(z) =1

2pi

k

f(z )z z0

[1 +

z z0z z0 +

(z z0z z0

)2+

(z z0z z0

)3+

]dz

+1

2pi

k

f(z )z z0

[1 +

z z0z z0 +

(z z0z z0

)2+

(z z0z z0

)3+

]dz

=1

2pi

n=0

(z z0)nk

f(z )(z z0)n+1 dz

+1

2pi

n=1

(z z0)nk

f(z ) (z z0)n1 dz .

Prvi zbroj konvergira za sve z unutar kruznice k, a drugi konvergira za sve z izvan k .Ako se u drugom zbroju uvede novi indeks zbrajanja m = n, dobije se

1

2 pi

1m=

(z z0)mk

f(z ) (z z0)m1 dz .

No, m je nijemi indeks po kojemu se zbraja, pa ga mozemo nazvati i n

1

2pi

1n=

(z z0)nk

f(z )(z z0)n+1 dz

,

cime f(z) postaje

1

2pi

n=0

(z z0)nk

f(z )(z z0)n+1 dz

+1

2pi

1n=

(z z0)nk

f(z )(z z0)n+1 dz

.

Prema relaciji (2.11), znamo da integralikik ne ovise o tome jesu li k i k

kruzniceili bilo koje druge jednostavne zatvorene krivulje u podrucju izmedu K i K , uz uvjet daobuhvacaju tocku z0. Zbog toga za f(z) mozemo napisati


Slika 2.20: Uz Laurentov razvoj.

f(z) =1

2pi

n=0

(z z0)nk

f(z )(z z0)n+1 dz

+1

2pi

1n=

(z z0)nk

f(z )(z z0)n+1 dz

=1

2pi

n=

(z z0)nk

f(z )(z z0)n+1 dz

gdje je k bilo koja pozitivno usmjerena zatvorena krivulja (ne nuzno kruznica) izmedu Ki K , koja obuhvaca tocku z0 (slika 2.20). Nazove li se8

an =1

2pi

k

f(z )(z z0)n+1 dz

,

tada je Laurentov razvoj funkcije f(z) oblika

f(z) =

n=an (z z0)n. (2.24)

Laurentov se razvoj razlikuje od Taylorova po negativnim potencijama (z z0), pa jestoga uvijek divergentan bar u z = z0.

Primjer: 2.11 Napisite Laurentov razvoj funkcije f(z) = 1/[z(z 1)].

R: Funkcija ima polove u tockama z0 = 0 i z0 = 1. Ako odaberemo z0 = 0,tada je f(z) analiticka u kruznom vijencu 0 < r < 1 (slika 2.21). U racunukoeficijenata an, za krivulju integracije je najjednostavnije odabrati kruznicu

8primjetimo da an ne mozemo, preko relacije (2.16) povezati s derivacijama f , jer ovdje indeks n moze biti i negativan


Slika 2.21: Uz primjer Laurentovog razvoja funkcije f(z) = 1/[z(z 1)] oko ishodista.

polumjera 0 < < 1 sa sredistem u ishodistu

an =1

2pi

k

f(z)

(z z0)n+1 dz, z0 = 0, f(z) =1

z(z 1)

= 12 pi

k

dz

z n+2(1 z) = (2.18) = 1

2pi

k

dz

z n+2

m=0

zm

= 12 pi

m=0

k

dz

z n+2m.

Na kruznici je z = e , pa je i

an = 12pi

m=0

n1+m 2pi0

e (n1+m) d.

Vrijednost gornjeg integrala ovisi o odnosu n i m: ako je 0 = n+ 1m, tada je 2pi

0

e0 d = 2 pi.

ako je 0 6= n+ 1m, tada je n = n 1 +m neki cijeli broj, pa je 2pi0

e nd = 0.

Obje ove mogucnosti se mogu zapisati kao 2pi0

e (n1+m) d = 2 pi m,n+1.

2.8. PRESLIKAVANJA 57

To daje za koeficijente an

an = 12pi

m=0

n1+m 2pi m,n+1 = 1m=0

m,n+1.

Ako je n = 1, 0, 2, 3, , u m=0 ce se uvijek naci clan koji zadovoljavazahtjev m = n+1 i zato ce koeficijenti an s takvim n imati vrijednost 1. Sviostali koeficijenti s n = 2,3,4, imaju vrijednost nula

an =

{1 n 10 n < 2 .

Time se za razvoj trazene funkcije dobiva

1

z(z 1) =+

n=an(z z0)nz0=0 =

+n=1

(1) zn = (1

z+ 1 + z + z2 +

).

2.8 Preslikavanja

U ovom ce odjeljku biti rijeci o geometrijskim svojstvima kompleksnih funkcija kom-pleksne varijable.

Kod realnih funkcija jedne realne varijable, situacija je razmjerno jednostavna: zadana jefunkcija y = f(x) koja svakoj vrijednosti nezavisne varijable x pridruzuje jednu vrijednosty, sto se onda moze prikazati u dvije dimenzije tako da je x apscisa, a y ordinata. U kom-pleksnom podrucju, stvari su nesto slozenije: kompleksna funkcija w = f(z) je funkcijajedne kompleksne, tj. dvije nezavisne realne varijable z = x+ y

w = f(z) = u(x, y) + v(x, y).

Gornja relacija svakoj tocki kompleksne z = (x, y) ravnine pridruzuje jednu tocku ukompleksnoj w = (u, v) ravnini. Isto tako ce i pojedine linije i plohe iz z ravnine bitipreslikane u odgovarajuce linije i plohe u w ravnini.

U nastavku ovog odjeljka cemo studirati neka jednostavnija od tih preslikavanja.

translacija:

Funkcija translacije je jedna jednostavna funkcija koja svaku tocku prostora, z, samopomice (translatira) za neki konstantni iznos z0 = x0+ y0, to je zbrajanje konstantom(slika 2.22)

w = f(z) = z + z0,

u(x, y) = x+ x0,

v(x, y) = y + y0.

zakret (rotacija):


Slika 2.22: Funkcija translacije.

Funkcija zakreta tocke za neki fiksni kut, je dana mnozenjem konstantom

w = z z0,gdje je z0 konstanta. Kod opisa zakreta je uobicajeno koristiti polarni koordinatni sustavu kojemu je

w = e , z = r e , z0 = r0 e 0 .

U polarnom zapisu je dakle

e = r e r0 e 0 = r r0 e

(+0)

= r r0,

= + 0.

Iznos kompleksnog broja je promijenjen sa r na r r0, a kut je povecan sa na + 0(slika 2.23). Time je izveden zakret za kut 0. cisti zakret (bez promjene iznosa z) sedobije za r0 = 1. Tako je npr. cisti zakret za kut pi/2 radijana, dan mnozenjem sa z0 = .

inverzija:

Pod operacijom (funkcijom) inverzije se misli na inverz u odnosu na mnozenje

w =1

z.

Ponovo, prijelazom u polarne koordinate,

w = e , z = r e ,


Slika 2.23: Funkcija zakreta.

dobiva se

e =1

r e ,

=1

r,

= .Ocito je da naziv inverzija potjece od relacije = 1/r. Ovom se relacijom, npr. unu-trasnjost jedinicne kruznice preslikava u njezinu vanjstinu9. Relacija = ukazuje dase operacijom inverzije osim promjene iznosa, izvodi jos i promjena predznaka kuta tj.zrcaljenje oko realne osi ili, kako smo to ranije zvali, kompleksno konjugiranje.

Pogledajmo kako se neke jednostavne linije u z ravnini preslikavaju u w ravninu. Zapisimooperaciju inverzije u pravokutnim koordinatama

u+ v =1

x+ y

i izjednacimo realne i imaginarne dijelove na obje strane jednakosti

u =x

x2 + y2, x =

u

u2 + v2(2.25)

v =y

x2 + y2, y =

vu2 + v2

.

Jedna vrlo jednostavna linija je npr. pravac paralelan s osi x

y = c0 = const.

9Primjetimo da unutrasnjost jedinicne kruznice ima jednako mnogo tocaka kao i njezina vanjstina.


(x ima proizvoljne vrijednosti). U skladu s gornjim relacijama je

c0 =v

u2 + v2,

sto se moze napisati i u obliku

u2 +

(v +

1

2c0

)2=

1

4c20,

u kojemu prepoznajemo kruznicu10 polumjera 1/(2c0) u w = (u, v) ravnini, sa sredistem

Slika 2.24: Operacijom inverzije, pravac se preslkava u kruznicu.

u tocki [0,1/(2c0)] (slika 2.24).Opcenito ce se svaki pravac ili kruznica u z ravnini preslikati u pravac ili kruznicu u wravnini (dvostruka primjena operacije inverzije daje identitet, pa su zato prvac i kruznicamedusobno inverzne linije). Tako npr. jednadzba

a(x2 + y2) + 2bx+ 2cy + d = 0,

za a 6= 0 opisuje kruznicu, a za a = 0 opisuje pravac u z ravnini. Lako je uvjeriti se da seoperacijom inverzije (2.25) gornja jednadzba preslikava u

d(u2 + v2) + 2bu 2cv + a = 0,sto je za d 6= 0 jednadzba kruznice, a za d = 0 jednadzba pravca u w ravnini.

Tocke razgranista i viseznacne funkcije:Gornja preslikavanja su jednu tocku z ravnine preslikala u jednu tocku w ravnine, pa suu tom smislu to bila jednoznacna ili jedan-jedan preslikavanja. U ovom ce se odjeljku

10Primjetimo da se sve tocke pravca (koji je beskonacne duljine) preslikavaju u sve tocke kruznice (pri cemu je opsegkruznice konacan).


razmatrati preslikavanja koja dvije ili vise tocaka jedne ravnine preslikavaju u jed-nu tocku druge ravnine (i, naravno, njihove inverze). Takva se preslikavanja nazivajuviseznacnim.

Kao prvi primjer promotrimo preslikavanje (funkciju)

w = z2. (2.26)

Za w = e i z = r e , gornje se preslikavanje moze zapisati i kao

= r2, = 2.

Preslikavanje je nelinearno, jer se iznos kvadrira. No, ono sto je vazno u gornjoj relaciji jeda se kut udvostrucava: to znaci da se prvi kvadrant z ravnine 0 < < pi/2 preslikava ucijelu gornju w poluravninu 0 < < pi, a gornja z poluravnina0 < < pi se preslikava ucijelu w ravninu 0 < < 2pi. Donja poluravnina z se opet (tj. po drugi puta) preslikava ucijelu w ravninu. Ovo je primjer dvoznacnog preslikavanja: dvije razlicite tocke z ravnine,z0 i z0 e

pi = z0, preslikavaju se u istu tocku w = z20 u w ravnini. Ovo se preslikavanjemoze prikazati i u pravokutnim koordinatama

u+ v = (x+ y)2

u = x2 y2,v = 2xy.

Iz gornjih se veza vidi da medusobno okomitim pravcima u = c1 i v = c2 u w ravnini,odgovaraju medusobno okomite hiperbole x2 y2 = c1 i 2xy = c2 u z ravnini (slika 2.25).Svaka tocka hiporbole x2 y2 = c1 iz gornje poluravnine, x > 0, se preslikava u jednu

Slika 2.25: Preslikavanje w = z2, povezuje medusobno okomite pravce u = c1 i v = c2 u w ravnini, slikaB, s medusobno okomitim hiperbolama x2 y2 = c1 i 2xy = c2 u z ravnini, slika A.

od tocaka pravca u = c1. No, isto tako se i svaka tocka hiperbole x2 y

zvonko glumac - matematičke metode fizike (2007)

Documents