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CLAUDIMARY MOREIRA SILVA OLIVEIRA

A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA COM O GEOGEBRA NO ESTÁGIO COM

PESQUISA DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DA UEG/IPORÁ

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em Educação para Ciências e

Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência

e Tecnologia de Goiás – Campus Jataí, como parte

dos requisitos para a obtenção do título de Mestra em

Educação para Ciências e para Matemática.

Área de concentração: Ensino de Matemática.

Linha de pesquisa: Fundamentos, metodologias e

recursos para a Educação para Ciências e Matemática.

Sublinha de pesquisa: Ensino de Matemática.

Orientador: Dr. Duelci Aparecido de Freitas Vaz.

Jataí

2015

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação na (CIP)

OLI/inv

Oliveira, Claudimary Moreira Silva.

A investigação matemática com o Geogebra no estágio com

pesquisa do curso de licenciatura em Matemática da UEG/Iporá

[manuscrito] /Claudimary Moreira Silva Oliveira - 2015.

276 f.

Orientador: Prof. Dr. Duelci Aparecido de Freitas Vaz.

Dissertação (Mestrado) – IFG – Campus Jataí, Programa de Pós –

Graduação em Educação para Ciências e Matemática, 2015.

Bibliografia.

Apêndices.

1. Formação docente. 2.Mediação pedagógica. 3.Investigação

matemática. 4. Geogebra. I. Vaz, Duelci Aparecido de Freitas Vaz. II.

IFG, Campus Jataí. III. Título.

CDD 370.7

Ficha catalográfica elaborada pela Seção Téc.: Aquisição e Tratamento da Informação.

Bibliotecária – Rosy Cristina Oliveira Barbosa – CRB-1/2380 – Campus Jataí. Cod. F20/15.

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho aos meus filhos Kaique Silva OLiveira e Karlla Moreira Oliveira e ao

meu esposo Silvério Sérgio de Oliveira como gratidão pelo respeito que dedicam à minha

profissão, pelo apoio incondicional, por estarem sempre ao meu lado, por todas as palavras de

incentivo e por todo amor e carinho com que sempre fui recebida na volta de cada viagem em

que tive que me ausentar para dedicar aos estudos.

AGRADECIMENTOS

À Deus, que sempre presente em minha vida, foi meu apoio espiritual e a quem recorri em

minha fé, nos momentos de dificuldades, de alegrias, de fracassos e vitórias.

Ao corpo docente e gestores do Instituto Federal de Goiás, Campus Jataí que me

oportunizaram aprendizagens que me serão úteis para a toda a vida.

Ao meu orientador Dr. Duelci Aparecido de Freitas Vaz pelas orientações, pelo

profissionalismo e por ter com que acreditado em mim. Incentivou-me e me inspirou a criar,

recriar e recomeçar. Parafraseando Fernando Pessoa, me ensinou como tirar as pedras do

caminho e com elas construir fortalezas.

Aos estagiários do quarto ano do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade

Estadual de Goiás, Campus Iporá, turma de 2014, Camila Kássia Monteiro de Oliveira,

Letícia de Oliveira Silva, Luzia Leão de Oliveira Bueno, Paula Roberta dos Santos, Pedro

Henrique Cassimiro de Paulo Batista , Junior Carlos Cruvinel, Renato Lourenço de Castro

que participaram ativamente deste projeto. Agradeço o comprometimento, a persistência e o

desejo de superação dedicados à pesquisa. Como diz Paulo Freire, "Não há docência sem

discência, as duas se explicam e seus sujeitos, apesar das diferenças que os conotam, não se

reduzem à condição de objeto, um do outro. Quem ensina aprende ao ensinar e quem aprende

ensina ao aprender." Nossos papéis de não raramente se confundiam entre docentes e

discentes, ensinantes e aprendizes, pesquisados e pesquisadores. Aprendendo ensinamos e

ensinando aprendemos conjuntamente.

Aos meus colegas, em especial os que estiveram mais próximos com quem partilhei sorrisos,

sentimentos, brincadeiras, momentos de estudo, de dificuldades e superações.

Aos meus familiares, especialmente aos meus filhos Kaique Silva OLiveira e Karlla Moreira

Oliveira e esposo Silvério Sérgio de Oliveira pela luz que irradiam em minha vida, pelas

palavras de conforto e ânimo, por estarem sempre ao meu lado mesmo quando eu estava

longe. O amor que me dedicam me faz mais forte e torna a minha vida mais leve.

Enfim, a todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação, o meu muito

obrigado.

Entre o porto e o mar, eu prefiro o mar...

Entre as respostas e as perguntas, eu prefiro as perguntas.

[...] Não gosto de conclusões. Conclusões são chaves que

fecham. Palavras não conclusivas deixam abertas as

portas das gaiolas para que os pássaros voem de novo.

(RUBEM ALVES, 1995)

RESUMO

Este trabalho com o tema a Investigação Matemática com o Geogebra no estágio com

pesquisa do curso de licenciatura em Matemática da UEG/Iporá buscou responder as

seguintes perguntas: A mediação pedagógica dos estagiários do quarto ano do curso de

Licenciatura em Matemática da UEG/Iporá, em 2014 possibilitou a Investigação Matemática

em sala de aula? Como realizar a mediação entre a entre a pesquisa e a formação docente por

meio do Estágio Supervisionado? Trata-se de uma pesquisa qualitativa que teve como aportes

teóricos principais Ponte (2013), Skovsmose (2001), Pimenta e Lima (2008), Valente (1999),

Lorenzato (2010) e Borba (2007). O objetivo foi interpretar a mediação pedagógica dos

estagiários do quarto ano do curso de Licenciatura em Matemática da UEG/Iporá, em 2014,

buscando identificar as peculiaridades da Investigação Matemática em sala de aula e analisar

o Estágio Supervisionado enquanto mediação entre a pesquisa e a formação docente. Outros

objetivos foram estimular a pesquisa como elemento importante na formação do professor,

por meio do Estágio Supervisionado, realizar atividades experimentais de Investigação

Matemática com o Geogebra e contribuir na formação dos futuros professores para o uso

adequado do software educacional Geogebra. Para tanto, os estagiários desenvolveram

projetos de pesquisas em que durante o estágio fez-se estudos teóricos, planejou-se a questão

de pesquisa, definiu-se os objetivos e elaboraram-se atividades pedagógicas de Investigação

Matemática com o Geogebra que foram desenvolvidas pelos estagiários em duas escolas

públicas de Iporá. Após as aulas experimentais analisaram se houve envolvimento e se os

alunos tiveram a oportunidade de experimentar, levantar conjecturas, discutir, formular

respostas, formalizar e generalizar e construir conceitos matemáticos produzindo relatos de

experiência/artigos científicos. Os artigos e as autoavaliações dos estagiários, juntamente com

o diário de campo do pesquisador registrado durante o acompanhamento das aulas e durante

as reuniões do grupo de estudo foram objetos de análise desta pesquisa que visou analisar a

mediação pedagógica dos estagiários na condução das etapas, introdução do assunto, da

investigação e experimentações e da discussão dos resultados, que são peculiares às aulas de

Investigação Matemática. Por se tratar de uma pesquisa de mestrado profissionalizante tem-se

um produto, que se trata de um sítio na internet para tornar pública a pesquisa realizada, que é

significativa por representar uma forma diferenciada de trabalhar o estágio como pesquisa e

possibilitará influenciar no ensino de Matemática de Iporá e de outras localidades por ser uma

forma inovadora de ensinar Matemática.

Palavras-chave: Formação Docente. Mediação Pedagógica. Investigação Matemática.

Geogebra.

ABSTRACT

This work with the theme Mathematics Research with Geogebra on stage with degree course

of research in mathematics UEG/Iporá sought to answer the following questions: The

pedagogical mediation of trainees of the fourth year of the course Degree in Mathematics of

UEG / Iporá in 2014 enabled the Mathematics Research in the classroom? How to conduct

mediation between between research and teacher training through the Supervised Internship?

This is a qualitative study had the main theoretical contributions Bridge (2013), Skovsmose

(2001), pepper and Lima (2008), Valente (1999), Lorenzato (2010) and Borba (2007). The

objective was to interpret the mediation of trainees the fourth year of the Bachelor's Degree in

Mathematics of UEG / Iporá in 2014 in order to identify the peculiarities of Mathematics

Research in the classroom and analyze the Supervised Internship as mediation between

research and training teaching. Other objectives were to stimulate research as an important

element in teacher education through the Supervised Internship, perform experimental

activities of Mathematics Research with Geogebra and contribute to the training of future

teachers for the appropriate use of educational software Geogebra. For this, the trainees have

developed research projects in that during the stage became theoretical studies, planned to

issue research, we defined the objectives and developed to educational activities of

Mathematics Research with Geogebra that were developed by the trainees in two public

schools of Iporá. After the experimental classes examined whether there was involvement and

the students had the opportunity to experience, raise conjectures, discuss, formulate answers,

formalize and generalize and construct mathematical concepts producing experience reports /

papers. Articles and self-assessments of trainees, along with the daily researcher in the area

recorded during the monitoring of classes and during the meetings of the study group were

objects of analysis of this study that aimed to analyze the mediation of trainees in the conduct

of steps, introduction the subject, research and experimentation and discussion of the results,

which are peculiar to the Mathematics Research classes. For it is a professional master's

research has a product, it is a website to publicize the survey, which is significant because it

represents a different way of working the stage as research and allow influence in teaching

math Iporá and elsewhere to be an innovative way of teaching mathematics.

Keywords: Teacher Training. Pedagogical mediation. Mathematics Research. Geogebra.

LISTA DE FIGURAS

Figura 01: O ciclo Investigativo ............................................................................................... 59

Figura 02: As fases da aula de Investigação Matemática ......................................................... 66

Figura 03: Construções de ladrilhamentos comportados no Geogebra .................................. 132

Figura 04: Construção de um ladrilhamento feita por um dos alunos....................................133

Figura 05: Construção de polígonos e suas diagonais, feita por um aluno ............................ 136

Figura 06: Os polígonos que formam um ladrilho ao redor de dos vértices .......................... 140

Figura 07: Alunos desenvolvendo atividades em sala de aula ............................................... 147

Figura 08: Divisão da elipse em trapézios ............................................................................. 151

Figura 09: Construção de aluno: divisões da elipse em retângulos e triângulos .................... 151

Figura 10: Formalizações dos alunos ..................................................................................... 152

Figura 11: Construção da prova do cálculo da área da elipse usando o Geogebra ................ 153

Figura 12: Divisões da área desconhecida em trapézios ........................................................ 154

Figura 13: Esquema da profundidade de um rio .................................................................... 156

Figura 14: Estratégias de resolução de dois alunos do projeto .............................................. 156

Figura 15: Alunos investigando o número de diagonais de um polígono .............................. 163

Figura 16: Construções no Geogebra para prova do cálculo das diagonais dos polígonos. .. 165

Figura 17: Deslocamento da parábola usando a função animar do Geogebra ....................... 180

Figura 18: Rastros da parábola quando se altera os valores de c ........................................... 181

Figura 19: A interferência do coeficiente b na parábola ........................................................ 182

Figura 20: Esquema da situação problema elaborado por um aluno ...................................... 185

Figura 21: O calculo das medidas de um quadrado no Geogebra .......................................... 194

Figura 22: Investigando a área do quadrado no Geogebra ..................................................... 196

Figura 23: Testando a fórmula da área do quadrado no Geogebra ........................................ 196

Figura 24: Construções e cálculo da área de retângulos usando o Geogebra ........................ 197

Figura 25: Investigando a área de triângulos no Geogebra .................................................... 198

Figura 26: Construção de Tangrans de papel ......................................................................... 204

Figura 27: Tangran construído no Geogebra .......................................................................... 207

Figura 28: Estratégias diferenciadas para a construção de um quadrado no Geogebra ......... 208

Figura 29: Alunos produzindo o relatório no projeto sobre propriedades dos polígonos ...... 210

Figura 30: A discussão dos resultados no projeto sobre propriedades dos polígonos ........... 113

Figura 31: O início da construção do cartão degraus centrais ................................................ 214

Figura 32: O cartão degraus centrais ...................................................................................... 216

Figura 33: Estratégia usada pela estagiária na formalização das interações de fractais ........ 217

Figura 34: Alunos em atividades no laboratório de informática ............................................ 220

Figura 35: O fractal aplicado ao quadrado - construções de alunos ....................................... 220

LISTA DE TABELAS

Tabela 01: Medidas de lados e perímetros de quadrados. ......................................................136

Tabela 02: Soma dos ângulos internos de polígonos regulares..............................................136

Tabela 03: Medidas de lados e perímetros de quadrados........................................................195

LISTA DE APÊNDICES

APÊNDICE A: Versão final do produto desenvolvido durante a pós-graduação ........................269

LISTA DE ABREVEATURAS E SIGLAS

UEG – Universidade Estadual de Goiás.

G. E. – Grupo de Estudo formado pelos estagiários do Curso de Licenciatura em Matemática

da Universidade Estadual de Goiás, Campus Iporá.

CTS - Ciência Tecnologia e Sociedade.

ENEMAT – Encontro de Educação Matemática.

SEMIEDU – Seminário de Educação.

EBRAPEM – Encontro Brasileiro de Educação Matemática.

PIBID – Programa Institucional de Bolsas de Incentivo à Docência.

MEC – Ministério da Educação e Cultura.

SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática.

ANPED – Associação de Nacional de Pesquisa e Pós-graduação em Educação.

LDB – Leis de Diretrizes e Bases da Educação.

CNE – Conselho Nacional de Educação.

PPC – Projeto Pedagógico do Curso de Matemática.

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 31

1.....CAPÍTULO I - CARACTERIZAÇÃO E METODOLOGIA DA PESQUISA ........ 39

1.1.......Questões de pesquisa ................................................................................................... 39

1.2.......Os objetivos da pesquisa ............................................................................................. 39

1.2.1..........Objetivos Gerais .................................................................................................... 39

1.2.2..........Objetivos Específicos ............................................................................................ 39

1.3.......Os sujeitos da pesquisa ................................................................................................ 39

1.4.......Tipo de pesquisa .......................................................................................................... 41

1.5.......Descrição dos procedimentos e instrumentos da pesquisa .......................................... 42

1.5.2..........A metodologia e os instrumentos dos estagiários ................................................. 46

1.6.......Atividades de pesquisa do projeto ............................................................................... 46

1.7.......O produto ..................................................................................................................... 48

2.....CAPÍTULO II - AS IMPLICAÇÕES DO DESENVOLVIMENTO DA CIÊNCIA E

DA TECNOLOGIA NA SOCIEDADE E NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ................ 49

2.1.......A visão da ciência construída historicamente .............................................................. 49

2.2.......A educação científica e a escola ................................................................................... 51

2.3.......A escola, a Educação Matemática e o professor no século XXI ................................. 53

3.....CAPÍTULO III - A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA E A MEDIAÇÃO

PEDAGÓGICA COM FOCO NO ALUNO INVESTIGADOR ....................................... 57

3.1.......Os primeiros estudos sobre a Investigação Matemática ............................................... 57

3.1.1.........O termo Investigação Matemática e as etapas do processo investigativo .............. 58

3.1.2..........A Investigação Matemática e a organização do trabalho pedagógico ................... 60

3.1.3..........A condução pedagógica de uma aula de Investigação Matemática ...................... 65

3.1.4..........A avaliação em uma aula de Investigação Matemática ......................................... 68

3.2.......A mediação pedagógica e o processo de construção do conhecimento ....................... 71

3.3.......A mediação pedagógica e o papel do professor ........................................................... 71

3.4.......A mediação pedagógica no ensino de matemática investigativo ................................ 73

3.5.......A mediação pedagógica com foco na ação do aluno investigador .............................. 74

4.....CAPÍTULO IV - OS SOFTWARES EDUCACIOANAIS DE MATEMÁTICA E A

ESCOLHA DO GEOGEBRA .............................................................................................. 77

4.1.......A informática na Educação Matemática ..................................................................... 77

4.2.......Os softwares educacionais .......................................................................................... 79

4.3.......Os softwares educacionais de Matemática .................................................................. 82

4.4.......Ambientes de aprendizagem ....................................................................................... 83

4.4.1..........Ambientes dinâmicos de Matemática ................................................................... 85

4.4.1.1.............Os softwares de Geometria Dinâmica ............................................................. 86

4.5.......A escolha dos critérios de avaliação de um software educacional .............................. 87

4.5.1..........A escolha do software Geogebra nesta pesquisa ................................................... 90

4.5.1.2.............Características do Geogebra: um software de Geometria Dinâmica ............... 92

5.....CAPÍTULO V - O ESTÁGIO SUPERVISIONADO NO CURSO DE

LICENCIATURA EM MATEMATICA DA UEG, CAMPUS IPORÁ ........................... 95

5.1.......A reflexão/pesquisa na formação do professor ........................................................... 96

5.1.1..........A formação de professores e os saberes da docência ............................................ 97

5.2.......O contexto das pesquisas educacionais no Brasil a partir da década de 1970 ............ 98

5.2.1..........Cursos de licenciatura e seus desafios .................................................................100

5.2.2..........A relação entre a formação docente e os saberes profissionais docente...............102

27

5.3.......O Estágio Supervisionado na formação do professor ................................................106

5.3.1..........A concepção de Estágio no Curso de Matemática da UEG/Iporá .......................107

5.4.......Como se realiza o Estágio no curso de Matemática da UEG/Iporá ...........................109

5.4.1..........A articulação entre teoria e prática no Estágio do Curso de Matemática da

UEG/Iporá...............................................................................................................................109

5.4.2..........O Estágio Supervisionado do terceiro ano: um relato de experiência .................110

5.4.3..........A elaboração do projeto de pesquisa do estágio do quarto ano com a mediação

pedagógica da pesquisadora ...................................................................................................113

5.4.4..........O Estágio Supervisionado do quarto ano do curso: a fase de regência ............... 116

5.4.5..........A metodologia da pesquisa realizada pelos estagiários ...................................... 119

6.....CAPÍTULO VI - A MEDIAÇÃO PEDAGÓGICA DOS ESTAGIÁRIOS NA

INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA COMO O GEOGEBRA..........................................126

6.1.......A mediação pedagógica no Projeto Ladrilhar - uma adaptação do projeto Desafio

Geométrico de Dias e Sampaio (2010) para realização de Investigação Matemática com o

software Geogebra .................................................................................................................. 127

6.1.1..........A mediação pedagógica da estagiária .................................................................. 127

6.1.2..........Reflexões sobre a mediação pedagógica .............................................................. 133

6.2.......A mediação pedagógica no Projeto A Investigação Matemática com o Geogebra na

formalização do cálculo de áreas desconhecidas por meio da regra dos trapézios ................ 135



6.3.......A mediação pedagógica no Projeto Formalizando o total de diagonais de um polígono

qualquer por meio da Investigação Matemática com o software Geogebra .......................... 160


6.3.2..........Reflexões sobre a mediação pedagógica ..............................................................170

6.4.......A mediação pedagógica no Projeto O estudo do gráfico da Função Quadrática por

meio da Investigação Matemática com o software Geogebra ................................................ 172



6.5.......A mediação pedagógica no Projeto A Investigação Matemática com o Geogebra no

ensino de áreas e perímetros de retângulos e triângulos para o quinto ano do ensino

fundamental ............................................................................................................................ 189


6.5.2.......Reflexões sobre a mediação pedagógica ................................................................. 200

6.6.......A mediação pedagógica no Projeto A Investigação Matemática com o Geogebra no

estudo das propriedades dos paralelogramos especiais .......................................................... 203



6.7.......A mediação pedagógica no Projeto A Investigação Matemática com o software

Geogebra no estudo da Geometria Fractal ............................................................................. 213



7.....CAPÍTULO VII – PERCEPÇÕES DOS ESTAGIÁRIOS SOBRE A

INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA COM O GEOGEBRA, SOBRE A PROFISSÃO E

SOBRE O ESTÁGIO SUPERVISIONADO ...................................................................... 225

7.1.......Percepções sobre a mediação pedagógica na Investigação Matemática .................... 226

7. 1.1.........As fases da aprendizagem na Investigação Matemática ...................................... 226

7.1.2..........A formação docente e planejamento da Investigação Matemática ...................... 234

7.1.3..........O ambiente de aprendizagem e a mediação do professor .................................... 237

29

7.1.4..........A questão do tempo em uma atividade de Investigação Matemática .................. 241

7.1.5..........A falta de experiência: dificuldades e desafios .................................................... 242

7.2.......Percepções sobre o software Geogebra ...................................................................... 230

7.3.......Percepções sobre a profissão docente ........................................................................ 246

7.4.......Percepções sobre o Estágio Supervisionado em suas formações docentes ................ 248

CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................. 251

REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 261

APÊNDICES ......................................................................................................................... 269

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INTRODUÇÃO

Desde a década de 1990 atuo como professora de Matemática na Educação Básica da

Secretaria de Educação do estado de Goiás. Após cursar Licenciatura em Matemática, em

2004 passei a exercer também a função de docente do Ensino Superior na Universidade

Estadual de Goiás (UEG), Campus Iporá, atuando na área de Educação Matemática, mas

especificamente em disciplinas como Mídias na Educação, Metodologias de Ensino de

Matemática e Estágio Supervisionado. Foi destas experiências pessoais na docência que

surgiu a ideia de se fazer esta pesquisa. Assim, peço licença ao leitor para nesta introdução

usar o verbo na primeira pessoa do singular.

Convivendo simultaneamente nos ambientes de ensino da Educação Básica e do

Ensino superior, nas últimas décadas convivi com os desafios enfrentados nos dois níveis de

ensino. Experimentei os desafios e conflitos da Educação Básica causados pelos baixos

índices de notas obtidos pelos alunos em Matemática. Devido a este baixo rendimento dos

alunos, atualmente se discute muito sobre este assunto e nos debates que acontecem

periodicamente na escola em que atuo, é muito comum se procurar culpados. Nesta procura,

não raras vezes ouve-se dizer que os Cursos de Licenciatura não têm dado conta das suas

funções na formação de professores qualificados para atuar na sala de aula e que isto poderia

explicar as dificuldades de aprendizagens dos alunos e as notas baixas.

Por outro lado, convivo com os problemas e desafios enfrentados pelo curso de

Licenciatura e Matemática da UEG, Campus Iporá, que nos últimos anos vem sofrendo

esvaziamento pela baixa procura dos jovens que cada dia menos se interessam pela profissão

docente. Isto tem acontecido por motivos óbvios como, por exemplo, a crescente

desvalorização do profissional docente que tem ocorrido nas últimas décadas, aumento do

número de universidades que oferecem outros cursos que se apresentam como melhores

possibilidades profissionais, aumento da oferta de cursos técnicos e de cursos na modalidade à

distância, dentre outros. Dos que ali se ingressam, conforme identificado em documentos da

secretaria, menos de 30%, prosseguem seus estudos até se formarem, sendo que muitos deles

reprovam ou evadem do curso ainda na primeira série.

Ali também, não raramente se procura culpados e frequentemente a culpa recai na

Educação Básica que não tem dado aos alunos ingressantes da universidade a formação

mínima necessária para se ingressarem e permanecerem no ensino superior.

Não é objetivo neste trabalho encontrar culpados para tamanhos problemas, nem

tampouco se tem a pretensão de resolvê-los. Contudo, foi levando em consideração as minhas

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próprias vivências enquanto professora da Educação Básica e enquanto formadora de

professores do curso de Licenciatura em Matemática e também me embasando em teóricos da

área de formação de professores como Pimenta (1997), Pimenta e Lima (2008) Borba e

Penteado (2012), Valente (1993), Gravina e Santarosa (1998), Vaz (2012), Lorenzato (2009,

2010), Ponte (2004), Ponte; Brocardo e Oliveira (2013), dentre outros que tomei a iniciativa

de elaborar o projeto de pesquisa que apresentaria na seleção do mestrado.

Os estudiosos acima citados são pesquisadores que defendem a formação docente

tendo como base maior a construção de saberes a partir da pesquisa tendo como foco a

proximidade entre teoria e prática, pela pesquisa ou a pesquisa da práxis. Cada um a sua

maneira, defende o seu ponto de vista, entretanto todos têm em comum o argumento a favor a

pesquisa como elemento importante na formação do professor. Defendem a formação docente

por meio da construção da autonomia, da crítica, da reflexão e da pesquisa. Acreditam que a

reflexão sobre a própria prática e o conhecimento da realidade escolar são essenciais para o

desenvolvimento de uma prática docente consciente.

Para Pimenta (1997) e Pimenta e Lima (2008) o estágio é um componente curricular

dos cursos de Licenciatura em que o aluno da universidade convive em dois importantes

espaços de formação. Na Universidade se aprende os conteúdos específicos da área em que

pretende atuar na docência, estuda teorias de ensino e aprendizagens e convive com a

pesquisa sistematizada. A escola campo da Educação Básica é o seu espaço de

reconhecimento da profissão em suas múltiplas facetas. Para estas pesquisadoras, o estágio

deve ser trabalhado como pesquisa, a aprendizagem deve ser orientada pelo princípio

metodológico geral fundamentado na ação-reflexão-ação e na resolução de situações-

problemas.

De acordo com Valente (1993), Gravina e Santarosa (1998) e Borba e Penteado

(2012) e também de acordo com minha vivência como professora de Matemática, é consenso

entre os professores desta disciplina que os softwares educativos permitem, dependendo das

características do ambiente do programa e da capacidade de proporcionar ambiente interativo

de aprendizagem podem auxiliar no estímulo ao raciocínio e a criatividade facilitando a

compreensão dos conteúdos matemáticos. No entanto as atividades para o ensino de

Matemática com a utilização de ambientes informatizados aparentemente não têm provocado

reflexão nos alunos e valorizam demasiadamente manipulações e simulações dando pouco

valor ao método investigativo com uso de provas e refutações no processo de construção do

conhecimento.

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Segundo Ponte (2004), Lorenzato (2009, 2010), Vaz (2012), Ponte; Brocardo e

Oliveira (2013) a tecnologia associada aos métodos investigativos de ensino aprendizagem

podem ser eficientes no ensino e aprendizagem de Matemática. Para estes, o que diferencia o

método investigativo, em especial a Investigação Matemática, das outras propostas

metodológicas que se baseiam em atividades investigativas está no fato de que nesta proposta

se propõe um tempo maior para as investigações que são realizadas pelos próprios alunos em

fases bem definidas que são a exploração e formulação das questões de investigação, o

levantamento das conjecturas, o refinamento das conjecturas pela realização dos testes e

sistematização dos dados e a formalização Matemática e validação das conjecturas a partir da

argumentação ou das demonstrações. A Investigação Matemática como metodologia de

ensino se trata de uma proposta de trabalho pedagógico em que o aluno possa concretizar o

conhecimento matemático por meio de aulas investigativas. Em que o professor consiga

proporcionar um ambiente no qual o investigador possa por meio da sua própria ação

construir seus conhecimentos.

Com base nestas ideias, quis apresentar então um projeto de pesquisa para o

Mestrado Profissional para Educação em Ciências e Matemática com um tema de estudo que

pudesse contribuir para a minha formação, para formação dos acadêmicos do curso de

Licenciatura em Matemática da UEG/Iporá e que pudesse também contribuir na formação de

conhecimentos matemáticos de alguns alunos do Ensino Fundamental e Médio.

Para a elaboração da proposta primeiramente retomei as pesquisas realizadas pelos

estagiários nos últimos anos para identificar quais são os grandes problemas relacionados ao

Ensino de Matemática destacados em seus trabalhos finais de Estágio Supervisionado. Dentre

os problemas identificados estão a concepção de que a Matemática é muito difícil, o uso

excessivo da metodologia tradicional pelos professores, a pouca variedade no uso de recursos

pedagógicos, o pouco uso de softwares matemáticos e outras tecnologias no ensino,

insuficiente contextualização dos conteúdos que vise colocar o aluno como protagonista e

trazer o contexto do seu dia a dia para a sala de aula e dificuldades no uso adequado da

linguagem Matemática, que haviam sido identificados nas escolas campo pelos estagiários no

período de observação participativa e semirregência. Apresenta então a proposta de

desenvolvimento de um projeto sobre a Metodologia de Investigação com softwares

educacionais de Matemática.

Foi daí que surgiu a ideia de realizar uma pesquisa qualitativa para responder a

seguintes perguntas: A mediação pedagógica dos estagiários do quarto ano do curso de

Licenciatura em Matemática da UEG/Iporá, em 2014 possibilitou a Investigação Matemática

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em sala de aula? Como realizar a mediação entre a entre a pesquisa e a formação docente por

meio do Estágio Supervisionado? Com a proposta de que as ações do projeto se

desenvolvessem por meio do Estágio Supervisionado com pesquisa em que os acadêmicos do

quarto ano do Curso de Licenciatura em Matemática do ano de 2014 desenvolveriam

pesquisas sistematizadas sobre a Metodologia de Investigação Matemática com softwares

educacionais tendo como sujeitos das suas pesquisas os alunos da Educação Básica. Mais

tarde optamos pelo software educacional Geogebra.

Apresentei a ideia aos acadêmicos que prontamente aceitaram participar do projeto.

Participaram inclusive de sua elaboração no ano de 2013. E posteriormente, no ano de 2014,

elaboraram os seus próprios projetos de pesquisa. Contudo, nas propostas de todos eles o

objetivo da pesquisa foi analisar o uso da Investigação Matemática com o software Geogebra

como metodologia de ensino de conteúdos de Matemática. Tais pesquisas se desenvolveram

nos espaços da universidade e da escola campo com a realização de aulas experimentais

durante a fase de regência do estágio. O que diferenciou os projetos dos estagiários, uns dos

outros, foram os conteúdos trabalhados, o nível de ensino e a escola campo em que se

desenvolveu.

Em relação ao meu projeto o objetivo foi interpretar a mediação pedagógica dos



o Estágio Supervisionado enquanto mediação entre a pesquisa e a formação docente. E criar

um produto que se trata de um sítio na internet com informações sobre a realização e com

resultados das investigações. Outros objetivos foram estimular a pesquisa como elemento

importante na formação do professor, por meio do Estágio Supervisionado, realizar atividades

experimentais de Investigação Matemática com o Geogebra e contribuir na formação dos

futuros professores para o uso adequado do software educacional Geogebra.

A proposta foi de utilizar estágio como espaço de realização de pesquisa em que por

meio da utilização das suas próprias experiências na escola como objetos de investigações os

futuros professores tivessem a oportunidade de realizar reflexão e produzir conhecimentos

relacionados à profissão docente. Partindo da formulação de um problema, passando pela

coleta e análise de dados, identificando interrelações entre a prática e os fundamentos teóricos

de forma que se propiciassem a formação de saberes e desenvolvimento de habilidades

necessárias para o exercício da docência. Desta forma se construiriam conhecimentos por

meio da integração entre teoria e prática e pesquisa e reflexão de forma a promover-se a

"formação da capacidade para articular os conhecimentos teóricos à sua prática profissional e

35

de reflexão sobre a educação na sociedade em que se situa o papel do professor e do aluno na

prática social dos indivíduos e a finalidade da ação pedagógica." (OLIVEIRA E PERES,

2013, p. 10).

A pesquisa se justificou pela possibilidade de contribuir para a minha formação

enquanto docente da Educação Básica e enquanto docente universitária formadora de

professores, colaborar na formação dos sete acadêmicos do quarto ano do curso de

Licenciatura em Matemática da UEG/Iporá, futuros professores de Matemática e ainda

contribuir para a ampliação dos conhecimentos matemáticos de mais de cem alunos da

Educação Básica de duas escolas públicas da cidade de Iporá. Ao fazer reflexões sobre

Estágio Supervisionado com pesquisa ainda traz contribuições para melhoria dos estágios na

Universidade Estadual de Goiás.

O produto trata-se de um sítio na internet publicado no endereço

<http://geogebradinamico.wix.com/geogebra>, para tornar públicas todas as sequências

didáticas desenvolvidas com uso da Investigação Matemática com o software Geogebra, bem

com a avaliação deste software e a análise das atividades realizadas em sala de aula. Isto

possibilitará a inserção da pesquisa no meio educacional de Iporá e região tendo ainda a

possibilidade de contribuir em realidades escolares de outras localidades do país se

considerado o alcance da internet.

Desta forma os resultados da pesquisa poderão contribuir efetivamente na melhoria

do estágio do Curso de Licenciatura em Matemática da, UEG Campus de Iporá como também

de outras universidades que tenham foco na formação de professores e as atividades

experimentais poderão servir como material de consulta para atuais e futuros professores que

poderão dar continuidade a ela ou usar as discussões aqui realizadas para aprofundar na

reflexão sobre o ensino e aprendizagem de Matemática.

Este trabalho está dividido em oito capítulos. O capítulo I contém identificação das

características do projeto e da metodologia de pesquisa utilizada. Nele identifica-se as

questões de pesquisa, os objetivos gerais e específicos, a natureza, os procedimentos e

instrumentos e as atividades pesquisa do projeto. Encontra-se ainda uma breve descrição do

produto final desenvolvido.

O capítulo II traz uma análise das implicações do desenvolvimento da ciência e

tecnologia na sociedade, na escola e na Educação Matemática da contemporaneidade.

Identifica os desafios criados pelo desenvolvimento das ciências e tecnologia que provocaram

profundas mudanças nas últimas décadas, no meio ambiente, nas relações sociais e nos modos

de vida da população.

36

Este capítulo tem a finalidade provocar reflexão sobre as implicações advindas do

conhecimento científico e tecnológico na vida das pessoas, na educação e no papel do

professor, enfatizando as novas habilidades e competências esperadas do docente de

Matemática da atualidade. Analisa as consequências educacionais destas transformações e

pondera sobre como a Matemática se torna instrumento para a construção da cidadania no

sentido de que estimula a produção e uso e apropriação crítica dos conhecimentos científicos

e dos recursos tecnológicos em favor da formação crítica do aluno.

O capítulo III argumenta sobre a Investigação Matemática como metodologia de

ensino e aprendizagem e tem como objetivo especificar o que neste trabalho, definimos como

Investigação Matemática e fazer uma breve reflexão sobre as peculiaridades que caracterizam

esta metodologia de ensino, sobre as características do ato de investigar e sobre a mediação

pedagógica necessária para a realização de aulas investigativas.

Faz reflexões sobre a metodologia de Investigação Matemática e a organização do

trabalho pedagógico na condução de uma aula desenvolvida com esta metodologia de ensino.

Discorre sobre as características da ação didática do professor mediador na condução da aula

investigativa e na avaliação e destaca as vantagens da aula investigativa mediada no processo

de construção do conhecimento dos alunos e na formação para a cidadania. Debate a

mediação pedagógica e o processo de construção do conhecimento, provocando reflexões

sobre questões como o papel do professor no ensino por mediação, a mediação pedagógica e

ensino de Matemática por meio de atividades investigativas e a atividade docente com foco na

participação do aluno e na sua própria ação de investigar.

O capítulo IV traz o resultado de estudos sobre os softwares educacionais, os

ambientes de aprendizagens, os programas de geometria dinâmica e sobre o Geogebra.

Apresenta uma pequena síntese histórica dos softwares educacionais e discorrendo sobre o

uso de softwares como recursos pedagógicos identificando processos para a escolha dos

critérios de avaliação de um software educativo. Faz uma reflexão sobre a necessidade de

criação e uso de novos ambientes educacionais e identifica as características dos ambientes

dinâmicos de ensino e aprendizagem Matemática proporcionados pelos softwares de

Geometria Dinâmica como, por exemplo, o Geogebra.

Os temas em debate são os softwares educacionais de Matemática e os ambientes de

aprendizagem bem com as características destes ambientes. Os ambientes dinâmicos de

Matemática característicos dos ambientes de computadores, presentes em softwares

interativos que permitem às pessoas que os manuseiam fazer construções de figuras e objetos,

investigarem suas propriedades descobrindo conceitos matemáticos por meio da manipulação

37

dos elementos que constituem o objeto em estudo. Finalmente, levando em consideração as

possibilidades pedagógicas dos softwares educacionais fazem considerações sobre a escolha

dos critérios de avaliação de um software educacional explicitando a características técnicas e

pedagógicas do Geogebra que foi o software dinâmico escolhido para a realização das aulas

experimentais deste projeto.

O capítulo V apresenta reflexões sobre o Estágio Supervisionado na formação inicial

dos futuros professores do curso de licenciatura em Matemática da UEG, Campus Iporá nos

anos de 2013 e 2014. Apresenta o estágio como uma possibilidade de se desenvolver a

capacidade investigativa, crítica e reflexivas no professor em formação por meio da realização

de pesquisas que possibilitem que teorias e práticas sejam vivenciadas de forma indissociável.

Argumenta sobre a importância da reflexão e da pesquisa na formação do professor e na

construção dos saberes da docência. Dentre os pontos de reflexão constam dos desafios

vivenciados na formação de professores, a construção de conhecimentos e saberes necessários

à docência, a prática reflexiva da profissão, a formação inicial oferecida pelos cursos de

licenciaturas a formação da identidade do professor e o perfil do professor pesquisador.

Inicialmente faz um breve estudo do contexto das pesquisas educacionais no Brasil a

partir da década de 1970. A seguir identifica alguns desafios vivenciados nos cursos de

Licenciatura e caracteriza a relação entre a formação de professores e os saberes profissionais

docente. Caracteriza a concepção de Estágio Supervisionado no Curso de Licenciatura em

Matemática da UEG/Iporá fazendo a descrição de como se realiza o Estágio Supervisionado

do Curso por meio da articulação entre teoria e prática.

Apresenta um relato de experiência do Estágio Supervisionado com pesquisa

descrevendo e ações como o processo de elaboração do projeto de pesquisa do estágio do

quarto ano do curso especificando como se realizaram as aulas experimentais durante a fase

de regência dos acadêmicos. Descreve também a metodologia da pesquisa realizada pelos

estagiários finalizando com os resumos dos projetos de pesquisas desenvolvidos no ano de

2014.

Exibe ainda um relato de experiência de como se realiza o Estágio Supervisionado do

curso de licenciatura em matemática da UEG/Iporá. Descreve o Estágio Supervisionado do

terceiro e do quarto ano desde a elaboração do projeto de pesquisa do estágio, mostrando com

detalhes como se deu a elaboração dos projetos dos acadêmicos, a fase de regência e a

metodologia da pesquisa realizada pelos estagiários.

O capítulo VI apresenta a análise das ações didáticas dos estagiários no

desenvolvimento das atividades experimentais de Investigação Matemática como o software

38

Geogebra. Faz a análise da condução pedagógica nas aulas dos professores em formação,

buscando identificar, no trabalho pedagógico realizado e nas suas ações didáticas,

peculiaridades que caracterizam as aulas de Investigação Matemática.

O capítulo VII traz a análise de algumas afirmações dos licenciandos feitas

principalmente durante os encontros dos grupos de estudos e retratadas no diário de campo da

pesquisadora ou registradas nos seus artigos finais produzido no segundo semestre de 2014,

buscando identificar suas percepções ou aprendizagens sobre a metodologia de Investigação

Matemática no que se refere as fases da aprendizagem na Investigação Matemática, a

formação do professor e planejamento de uma aula de Investigação Matemática, o ambiente

de aprendizagem e a mediação do professor, a questão do tempo e as dificuldades e desafios

decorridos da falta de experiência dos estagiários no que se refere à docência. Busca

identificar ainda as percepções dos acadêmicos sobre o software Geogebra, sobre a profissão

docente e sobre o Estágio Supervisionado.

Finalmente as considerações finais apresentam uma síntese dos temas tratados

durante a pesquisa e buscando identificar se os objetivos foram alcançados. Pondera sobre a

mediação pedagógica na Investigação Matemática, sobre o uso do software Geogebra como

instrumento de aprendizagem, sobre a pesquisa como elemento importante na formação do

professor, por meio do Estágio Supervisionado.

39

1 CAPÍTULO I - CARACTERIZAÇÃO E METODOLOGIA DA

PESQUISA

Este capítulo contém identificação das características do projeto e da metodologia de

pesquisa utilizada. Nele identificam-se as questões de pesquisa e os objetivos Gerais e

específicos, a natureza, os procedimentos e instrumentos e as atividades de pesquisa do

projeto. Encontra-se ainda uma breve descrição do produto final desenvolvido.

1.1 Questões de pesquisa

A pesquisa se desenvolveu buscando responder as seguintes perguntas: A mediação

pedagógica dos estagiários do quarto ano do curso de Licenciatura em Matemática da

UEG/Iporá, em 2014 possibilitou a Investigação Matemática em sala de aula? Como realizar a

mediação entre a entre a pesquisa e a formação docente por meio do Estágio Supervisionado?

1.2 Os objetivos da pesquisa

Os objetivos da pesquisa foram os seguintes:

1.2.1 Objetivos Gerais:

Interpretar a mediação pedagógica dos estagiários do quarto ano do curso de

Licenciatura em Matemática da UEG/Iporá, em 2014, buscando identificar as

peculiaridades da Investigação Matemática em sala de aula e analisar o Estágio

Supervisionado enquanto mediação entre a pesquisa e a formação docente.

Criar um sítio na internet com informações sobre o projeto.

1.2.2 Objetivos Específicos:

Estimular a pesquisa como elemento importante na formação do professor, por meio

do Estágio Supervisionado.

Realizar atividades experimentais de Investigação Matemática com o Geogebra.

Contribuir na formação dos futuros professores para o uso adequado do software

educacional Geogebra.

1.3 Os sujeitos da pesquisa

40

Os sujeitos da pesquisa são sete estagiários do Curso de Licenciatura em Matemática

da UEG/Iporá. Destes, seis são jovens possuindo idade entre vinte e vinte e cinco anos e

apenas um possui idade acima de quarenta anos.

Nenhum deles possuía experiências anteriores na docência até o momento da

realização do Estágio Supervisionado. Dois deles participaram de programas de iniciação a

docência, sendo que destes dois, um participou do Programa Institucional de Bolsas de

Iniciação à Docência (PIBID), que é um programa do Ministério da Educação que tem como

objetivo antecipar o vínculo entre os futuros professores e das salas de aulas da rede pública

por meio da articulação entre os cursos de licenciaturas, as unidades escolares e os sistemas

de educação estaduais e municipais e outro participou como monitor do Programa de Bolsas

Pró-licenciatura da UEG/Iporá que se trata de um programa de formação inicial para

professores da educação básica instituído pelo Ministério de Educação (MEC), por meio da

Secretaria de Educação Básica com o objetivo de contribuir para melhorar a educação no

Ensino Fundamental e Médio. Assim este dois acadêmicos tiveram maior contato com as

pesquisas científicas e com a sala de aula do que outros cinco estagiários que não tiveram

outras experiências na docência que não fosse durante as atividades de estágio, nem antes e

nem durante o curso.

Segundo afirmações deles próprios, apenas um dos sete acadêmicos se ingressou no

curso de Licenciatura em Matemática com intenção de se preparar para a docência. A grande

maioria, cinco deles, procurou o curso porque tinha afinidade com a disciplina de Matemática,

queria aperfeiçoar os seus conhecimentos nesta área ou simplesmente porque diante da falta

de opção, escolheu um curso que fosse oferecido gratuitamente e com possibilidades de

prepará-los para os concursos públicos da área administrativa do governo ou de empresas

privadas. Contudo, vale destacar que, ao concluir o curso, apenas um deles afirma que não

pretende ser professor.

Todos eles afirmaram em algum momento, durantes as atividades de estágio ou nos

encontros para estudo, que ao se ingressar no curso tinham a opinião de que para ser professor

de Matemática, o que precisaria mesmo era saber o conteúdo e que “prestar atenção às

explicações e resolver listas de exercícios” era a única forma para se aprender esta disciplina.

Entretanto, todos eles ao se autoavaliarem no final do Estágio Supervisionado afirmaram ter

mudado de opinião sobre isto. Todos destacaram que atualmente entendem que para ser

professor de Matemática é preciso “dominar os conteúdos da área”, contudo é preciso ter bom

conhecimento das teorias de aprendizagem e “dominar as metodologias de ensino”, com

41

maturidade para serem capazes de escolher qual a metodologia e qual o recurso didático é

mais adequado de acordo com a clientela e com o conteúdo a ser trabalhado.

1.4 Tipo de pesquisa

Trata-se de uma pesquisa de natureza qualitativa de cunho interpretativo porque se

considera que os pesquisadores estiveram lidando com questões importantes relacionadas aos

softwares educativos de Matemática, à Investigação Matemática como metodologia de ensino

e sobre como usá-los pedagogicamente refletindo sobre o papel do professor mediador

buscando percepções e entendimento sobre a natureza geral em relação ao ensino de

Matemática numa perspectiva de que o conhecimento pode ser construído pela própria ação

do aluno.

Em relação à qualificação da pesquisa, optou-se por utilizar a mesma ideia de

Gracias; Penteado e Borba (2000) que consideram desnecessária a qualificação de uma

pesquisa como pesquisa participante, pesquisa-ação ou colaboração. De acordo com estes

autores que são referenciais teóricos desta pesquisa no que se refere ao uso das tecnologias na

Educação Matemática e a formação de professores, estas expressões podem ser "usadas de

várias maneiras e podem servir para rotular qualquer tipo de intervenção feita em sala de aula,

não importando o tipo de reflexão desenvolvida acerca da prática e muito menos a

participação do professor e dos envolvidos no desenho desta pesquisa.” (GRACIAS;

PENTEADO E BORBA, 2000, p. 31). Destacam ainda que embora a expressão "pesquisa

qualitativa" tenha se tornado bastante utilizada não fica claro quais são os papéis e funções de

quem colabora com o pesquisador nem real nível de envolvimento e trabalho destes

colaboradores na pesquisa. Assim, por considerarem estas terminologias amplas demais

optaram por não qualificarem as pesquisas que desenvolviam em escolas. (Ibid.).

Também ao verificar as obras de outros referenciais teóricos importantes utilizados

como, por exemplo, Ponte (2004), Rocha e Ponte (2006), Cunha, Oliveira, Ponte (1995),

Ponte; Oliveira, Brunheira, Varandas, Ferreira (1999), Fonseca, Brunheira e Ponte (1999),

Ponte; Brocardo e Oliveira (2013), que produziram obras baseadas em relatos de pesquisas

realizadas em escolas com envolvimento de professores e alunos, não há em seus trabalhos

menção sobre a qualificação da pesquisa.

Assim sendo esta pesquisa, semelhante aquelas realizadas por estes pesquisadores em

que se utilizaram de situações de ensino e aprendizagem com envolvimento de alunos e

professores com níveis diferenciados de participação, aqui também se optou por não fazer a

42

qualificação da pesquisa. Ao contrário de qualificá-la a escolha foi descrever detalhadamente

como se deram as atividades, quais foram os instrumentos utilizados para coleta de dados e

análises. Estas informações detalhadas colocam o leitor inteirado de como todo o processo se

realizou.

1.5 Descrição dos procedimentos e instrumentos da pesquisa

A ideia do projeto foi apresentada aos acadêmicos no segundo semestre do ano de

2013. Tais acadêmicos eram estagiários do Curso de Licenciatura em Matemática da UEG,

Campus Iporá, que prontamente aceitaram participar da pesquisa inclusive participando da

sua elaboração ainda no ano de 2013.

No início do ano de 2014, elaboraram os seus próprios projetos de pesquisa que

tinham como objetivos analisar a metodologia de Investigação Matemática com o software

Geogebra para o ensino de conteúdos de Matemática. As pesquisas se desenvolveram nos

espaços da universidade e da escola campo com a realização de aulas experimentais durante a

fase de regência do estágio. Os conteúdos trabalhados, o nível de ensino e a escola campo em

que se desenvolveu foi o diferencial entre os projetos.

O estágio foi utilizado como espaço de realização de pesquisa em que por meio da

utilização das suas próprias experiências na escola como objetos de investigações os futuros

professores tiveram a oportunidade realizar reflexão e produção de conhecimentos

relacionados à profissão docente. As pesquisas dos acadêmicos aconteceram no período de

março a outubro do ano de 2014 de forma sistematizada, com uso de procedimento científico,

partindo da formulação de um problema, passando pela coleta e análise de dados

identificando inter-relações com conhecimentos dos fundamentos teóricos que propiciaram a

construção de conhecimentos, formação de saberes e desenvolvimento de habilidades

necessárias para o exercício da docência por meio a integração entre teoria e prática e

pesquisa e reflexão.

Durante o Estágio Supervisionado planejou-se atividades de Investigação

Matemática para serem feitas com o Geogebra que se desenvolveram em duas escolas

públicas de Iporá. Tanto o software Geogebra quanto a metodologia de Investigação

Matemática em sala de aula eram inicialmente desconhecidos dos acadêmicos, isto se

verificou durante os diálogos iniciais realizados no grupo de estudo formado por todos os

acadêmicos estagiários da quarta série do curso de Matemática.

43

O espaço de reflexão-ação se criou pela realização de atividades de Investigação

Matemática em que os professores em formação juntamente com o pesquisador,

desenvolveram aulas experimentais em que foram trabalhados conteúdos de Matemática.

Durante estas aulas se coletou dados e informações que foram analisados dando origem a

produção de relatos de experiências e artigos que foram apresentados em congressos

relacionados à Educação Matemática e/ou a formação de professores.

Os estagiários sob mediação permanente da pesquisadora participaram de todas as

etapas da pesquisa e foram colaboradores em todo o processo até a análise final, buscando nas

suas próprias ações construir as suas formações como professores. Assim, no decorrer da

pesquisa os futuros professores foram se tornando capazes de problematizar, analisar e

compreender suas próprias práticas produzindo significados e conhecimentos que

contribuíram para o crescimento pessoal e profissional possibilitando a transformação de

práticas escolares e mudança nas concepções dos alunos em relação à Matemática.

Nesta perspectiva a pesquisa possibilitou aos acadêmicos a oportunidade para refletir

sobre o ensino de Matemática, sobre a metodologia de Investigação Matemática, sobre o uso

dos softwares educacionais, em especial do Geogebra, como recursos de ensino e

aprendizagem por meio da vivência das suas primeiras experiências na sala de aula em um

contexto desafiador. Neste processo os futuros professores melhor qualificaram suas

formações pelas suas próprias atuações e ainda contribuíram para mudanças de práticas

pedagógicas dos professores parceiros. Assim também, aconteceu a formação dos acadêmicos

estagiários para o uso do computador como recurso de aprendizagem por meio das suas

próprias ações enquanto participantes da pesquisa.

1.5.1 Instrumentos de coleta de dados da pesquisadora

Para a análise das ações didáticas dos acadêmicos buscando identificar

peculiaridades que caracterizam a Investigação Matemática em sala de aula e refletir sobre a

utilização do Estágio Supervisionado como campo de pesquisa que são os objetivos principais

desta pesquisa utilizou-se metodologia qualitativa que se baseou em parte na observação de

situações da sala de aula em que as atividades investigativas se realizaram. Diante das

circunstâncias, selecionou-se e analisou-se um conjunto de acontecimentos relacionados aos

momentos da introdução do assunto, da investigação e da discussão dos resultados conforme

sugere Ponte; Brocardo e Oliveira (2013).

44

Nas analises utilizou-se também os artigos produzidos pelos acadêmicos, após a

conclusão da pesquisa realizada no Estágio Supervisionado sobre o uso da Investigação

Matemática com o Geogebra. As produções contêm as análises que eles mesmos fizeram das

suas próprias aulas, sob a mediação constante da pesquisadora. As partes dos artigos deles

analisadas neste trabalho foram principalmente as discussões dos resultados e as

considerações finais, que estão transcritas em forma de citações diretas ou indiretas nesta

dissertação sendo preservados autorias e coautorias.

Os trabalhos dos acadêmicos foram apresentados em congressos como o Seminário

Educação (SEMIEDU) realizado em 2014, na Universidade Federal do Mato Grosso, em

Cuiabá e IV Congresso de Educação - V GSeminário de Estágio e Encontro PIBID realizado

na Universidade Estadual de Goiás, Campus Iporá/GO.

Utilizou-se ainda de uma autoavaliação escrita manualmente pelos alunos no mês de

novembro de 2014 em que, depois realização da regência, eles avaliaram suas ações docentes

destacando suas aprendizagens, fizeram reflexões sobre suas ações didáticas, suas dificuldade

e forma de superação ao utilizarem a Investigação Matemática como metodologia de ensino.

Nesta autoavaliação identificam-se também aspectos que consideraram positivos e negativos

no uso desta metodologia de ensino.

Além dos artigos e da autoavaliação outro instrumento importante foi o diário de

campo do pesquisador criado no decorrer das atividades coletivas de elaboração, aplicação e

análises das atividades desenvolvidas na escola. O diário de campo do pesquisador se trata de

um caderno utilizado para registros de falas, comentários e situações pedagógicas em dois

locais distintos:

O primeiro local é aquele em que se desenvolveram as atividades experimentais das

salas de aula em que os estagiários desenvolveram a regência. Durante o acompanhamento

das aulas dos acadêmicos a pesquisadora fez anotações de situações pedagógicas peculiares à

Investigação Matemática e aspectos relativos às ações didáticas dos alunos durante a regência.

Fez ainda anotações de falas e comentários dos alunos participantes das aulas experimentais e

de algumas situações específicas das aulas. O segundo local foi o Grupo de Estudos do qual

participou todos os estagiários da quarta série do curso de Licenciatura em Matemática da

UEG/Iporá. As reuniões deste grupo aconteceram periodicamente na própria universidade

desde o segundo semestre de 2013 até final do ano de 2014 e teve a finalidade a realização de

estudos teóricos, planejamento dos projetos de pesquisa, elaboração das atividades didáticas

que se desenvolveram nas escolas campo e por meio de debates, fazer a análise dos resultados

finais das pesquisas.

45

Após a realização das aulas experimentais nas escolas, o grupo se reuniu na

universidade para a avaliação das atividades docentes dos estagiários buscando identificar

suas percepções, suas aprendizagens, peculiaridades das suas ações pedagógicas no que se

refere à Investigação Matemática com o Geogebra, desenvolvidas no Estágio Supervisionado.

Durante estas reuniões, no diário de campo do pesquisador anotaram-se as falas e comentários

dos estagiários que foram utilizadas na pesquisa e estão transcritas nas análises das suas ações

didáticas e das suas aprendizagens.

Algumas das aulas dos alunos e das reuniões do Grupo de Estudo foram filmadas

para facilitar a identificação das ideias e aprendizagens dos estagiários mantendo a

originalidade das suas falas. Em outras, fez-se durante os debates, as anotações das falas mais

significativas que ao final foram conferidas e aprovadas pelos próprios participantes do grupo.

Comentários feitos no grupo de estudo são identificados nas análises como citações

diretas ou indiretas em que a fonte foi identificada com o último sobrenome do autor do

comentário seguido da identificação da informação de que se trata de um comentário verbal

(AUTOR, COMENTÁRIO G. E., ANO). Tais comentários foram registrados no diário de

campo da pesquisadora durante as reuniões do grupo de estudo ou foram identificados nos

vídeos gravados durante os encontros e transcritos nas anotações do diário. As transcrições de

trechos da autoavaliação estão em forma de citações diretas ou indiretas em que a fonte foi

identificada com o último sobrenome do autor do trecho da autoavaliação seguido do ano

(AUTOR, ANO). Utilizou-se a forma de referenciar para entrevistas proposta por (MANZINI,

2006).

As transcrições de falas e comentários e diálogos que aconteceram durante as aulas,

entre estagiário docente e alunos da escola, aqueles que tiveram relevância na análise, estão

transcritos preservando o conteúdo e com correções para a linguagem padrão e destacados em

itálico e precedidos da identificação do autor da fala. Como autores das falas os alunos são

representados por letras maiúsculas do alfabeto e os estagiários pelos seus últimos

sobrenomes.

Quando se tratar dos trabalhos que resultaram das pesquisas dos licenciandos, estes

tiveram a coautoria da pesquisadora que foi a mediadora da pesquisa e de outros professores

parceiros nos sentidos de que orientaram a sistematização das pesquisas, ofereceram

referenciais teóricos e mediação na aplicação, coleta e análise de dados. Tais trabalhos estão

publicados no sítio do produto final da pesquisa e estão elencados nas referências dentre as

obras utilizadas na pesquisa para facilitar o acesso do leitor.

46

As citações destes trabalhos finais produzidos e publicados em anais de eventos e/ou

disponibilizados no sítio do produto foram colocadas nesta dissertação em forma de citação

direta ou indireta em que na fonte se identifica os sobrenomes dos autores, seguidos do ano e

da página em que se encontra o trecho citado (AUTOR, COAUTOR1, COAUTOR2, ano,

pag.).

1.5.2 A metodologia e os instrumentos dos estagiários

A descrição detalhada da metodologia de pesquisa e dos instrumentos de coleta de

dados que os estagiários utilizaram para desenvolver os seus projetos de pesquisas do Estágio

Supervisionado está no capítulo V que trata do assunto "o Estágio Supervisionado na

formação inicial dos futuros professores do curso de Licenciatura em Matemática da UEG,

Campus Iporá, no subitem 6.3.4 que trata da metodologia da pesquisa realizada pelos

estagiários para a realização das suas pesquisas sobre a metodologia de Investigação

Matemática com o Geogebra para o ensino e aprendizagem de conteúdos de Matemática.

Contudo adianta-se que para análise das aulas experimentais os estagiários se

basearam principalmente na observação de situações das salas de aula, selecionadas e

analisadas como um conjunto de acontecimentos relacionados aos momentos da introdução

do assunto, da investigação e da discussão dos resultados característicos das atividades

investigativas. Analisaram se houve envolvimento e se os alunos tiveram a oportunidade de

experimentar, levantar conjecturas, discutir, formular respostas, formalizar e generalizar e

provar conceitos matemáticos. Com a análise produziram relatos de experiência ou artigos

científicos contendo o desenvolvimento das atividades, as suas próprias percepções e

aprendizagens construídas.

1.6 Atividades de pesquisa do projeto

Desde o segundo semestre de 2013, formou-se um grupo de pesquisa na UEG/Iporá

composto de sete futuros professores, acadêmicos do Curso de Licenciatura em Matemática

daquele campus. Os participantes do grupo se encontravam periodicamente para a realização

de estudos, pesquisas e planejamento de atividades previstas, realização de estudos

relacionados ao tema e à problemática, realização de Estudos e Seminários sobre sob a

mediação da pesquisadora, professora de Estágio Supervisionado, sobre o uso do computador

como recurso de ensino e aprendizagem com ênfase nos softwares educacionais e sobre a

Investigação Matemática como metodologia de ensino proposta por Ponte, Brocado e Oliveira

47

(2013) e possibilidades de aplicação em atividades para serem desenvolvidas usando

softwares educacionais.

Durante os encontros de Estágio Supervisionado foram planejadas as atividades

pedagógicas de Investigação Matemática com o software Geogebra para as aulas

experimentais. Tais atividades foram pensadas e elaboradas coletivamente pelo grupo de

estudo sob a mediação da pesquisadora.

As atividades pedagógicas elaboradas pelos estagiários foram sequências de

atividades didáticas nos moldes das sequências didáticas definidas por Libâneo (1994) que as

define como um conjunto de atividades organizadas pelo professor com a intenção explícita

de alcançar resultados relacionados ao domínio do conhecimento e das capacidades

cognitivas. Tendo como ponto de partida para a sua realização, o nível de conhecimento em

que os alunos possuírem no momento da realização das atividades.

As aulas experimentais com um grupo de alunos de duas escolas públicas da cidade

de Iporá Goiás aconteceram sob a mediação e supervisão da professora orientadora durante o

Estágio Supervisionado dos acadêmicos do 4º ano de forma que eles puderam construir suas

primeiras experiências na sala de aula em um contexto desafiador na formação como futuros

professores pela agregação das experiências desta pesquisa aos conteúdos teóricos do curso e

pela reflexão sobre o processo de ensino.

As aulas foram conduzidas pelos pesquisadores estagiários acompanhados da

professora orientadora de estágio. Durante a realização das aulas os dados foram coletados

pelos professores em formação por meio da observação direta e a descrição destas

observações em fichas de acompanhamento em que foram registradas as falas, as produções,

as construções dos alunos e as descobertas e situações inesperadas que aconteceram nas

atividades realizadas. Também se levou em consideração as anotações dos alunos, da análise

das atividades desenvolvidas durante as aulas e da participação individual e coletiva durante a

construção e execução das tarefas. Paralelamente, a professora orientadora de estágio também

fez as suas anotações em um diário de campo e fez a filmagem de algumas aulas.

Os estagiários fizeram a análise das aulas em dois momentos. Primeiramente fez-se

uma análise por meio de um debate que aconteceu no grupo de estudo sob a coordenação da

professora de estágio e em um segundo momento a análise aconteceu individualmente com a

redação dos artigos finais. As analises dos dados coletados tiveram como objetivo avaliar a

metodologia de Investigação Matemática com o software educacional Geogebra para o ensino

e aprendizagem de conteúdos de Matemática. Foram avaliadas as situações em que os alunos

desenvolveram as atividades investigativas identificando se houve envolvimento e se tiveram

48

a oportunidade de experimentar, levantar conjecturas, discutir, formular respostas, formalizar

e generalizar e provar conceitos matemáticos.

A antepenúltima atividade desta pesquisa foi análise das ações didáticas dos

acadêmicos buscando identificar, na mediação pedagógica, peculiaridades que caracterizam a

metodologia de Investigação Matemática. Esta aconteceu por meio da leitura e análise dos

trabalhos finais de estágio produzidos pelos alunos, pelo diário de campo do pesquisador

(elaborado durante as aulas experimentais e durante as reuniões do grupo de estudo) e pela

autoavaliação dos acadêmicos feita ao final dos projetos.

A penúltima atividade foi a análise de algumas afirmações dos licenciandos feitas




Matemática, sobre o software Geogebra, sobre a profissão docente e sobre o Estágio

Supervisionado mediado pela pesquisa. A atividade final foi a criação do produto para a

divulgação dos resultados.

1.7 O produto

O produto criado trata-se de um sítio na internet no endereço

<http://geogebradinamico.wix.com/geogebra> cujo objetivo é divulgar as sequências

didáticas desenvolvidas nas escolas campo com uso da Investigação Matemática com o

software Geogebra. Divulgar também uma avaliação do software Geogebra e a análise das

atividades realizadas em sala de aula. As atividades experimentais poderão servir como

material de consulta para atuais e futuros e contribuir para reflexões sobre o ensino e

aprendizagem de Matemática, sobre a metodologia de Investigação Matemática, sobre o

software educacional Geogebra ou sobre o Estágio Supervisionado com pesquisa.

O sítio apresenta também detalhes sobre como se deu a realização da mediação entre

a pesquisa e a formação docente por meio do Estágio Supervisionado no curso de

Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Goiás, Campus Iporá, nos anos de

2013 e 2014.

Maiores informações sobre o produto estão no apêndice A deste trabalho.

49

2 CAPÍTULO II - AS IMPLICAÇÕES DO DESENVOLVIMENTO DA

CIÊNCIA E DA TECNOLOGIA NA SOCIEDADE E NA EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA

Os novos desafios criados pelo desenvolvimento das ciências e tecnologia nas

últimas décadas provocaram profundas mudanças no meio ambiente, nas relações sociais e

nos modos de vida da população.

Este capítulo tem como finalidade provocar reflexão sobre as implicações advindas

do conhecimento científico e tecnológico na vida das pessoas, na educação e no papel do

professor, enfatizando as novas habilidades e competências esperadas do docente de

Matemática da atualidade.

Analisa as consequências educacionais destas transformações levando em conta que

a escola deve se comprometer com um ensino de qualidade e com a construção da cidadania e

como as práticas educativas precisam se adequar às necessidades sociais, culturais, políticas,

econômicas da realidade brasileira de forma que nos processos educativos seja possível

garantir as aprendizagens mínimas para a formação de cidadãos críticos, participativos,

autônomos e capazes de atuar com responsabilidade e competência no meio social em que

vive. Nesta perspectiva pondera sobre como a Matemática se torna instrumento para a

construção da cidadania no sentido de que estimula a produção, uso e apropriação crítica dos

conhecimentos científicos e dos recursos tecnológicos em favor da formação crítica do aluno.

2.1 A visão da ciência construída historicamente

Historicamente algumas teorias científicas permaneceram como verdades

inquestionáveis durante séculos a visão de uma ciência independente e isolada dos conflitos

ainda continua nos dias atuais. Nesta ideia, os conhecimentos científicos não sofreriam

interferências sociais e políticas externas nem seriam influenciados pelo meio ou pela visão

de mundo do cientista.

Inserindo o conhecimento científico e a ciência no contexto histórico e sociocultural

surgem inúmeros questionamentos em relação à neutralidade desta ciência e sobre até que

ponto é possível ao cientista ser imparcial quando se considera que na esfera social em que ele

vive não está livre das influências das questões ideológicas, das questões sociais, políticas e

econômicas daquele meio.

50

No decorrer da história esta visão de ciência tem sido desmistificada porque se

considera que o pesquisador estando inserido no meio social não poderia ser totalmente

neutro, visto que, convive com valores morais e possui visões de mundo construídas em meio

às classes sociais, seus conflitos e lutas. Então, segundo Fourez (1995) ele não poderia

eliminar por completo estas influências do seu meio nas suas pesquisas. Destacando ainda que

se faz necessário modificar a visão de ciência construída historicamente e para valorizar o seu

caráter construído pelo homem, desmistificando a crença de que a ciência seja totalmente

neutra. Questiona também a visão que trata o conhecimento científico como algo indiscutível

porque considera que seria impossível a ciência chegar a uma última verdade inquestionável.

Faz isso, não com a intenção de negar o valor da ciência, mas porque para ele os fatos não são

neutros, estão relacionados à cultura e a linguagem.

Neste pensamento, as observações e as teorias científicas seriam construídas por

"sujeitos" sociais, que estão politicamente inseridos em um contexto, logo não seriam isentas

da interferência do meio. Para Fourez (1995, p. 189) "em geral de uma maneira inconsciente

as pessoas veiculam ideologias [...] e as representações ideológicas por nós veiculadas

existem independente de nossas intenções".

Assim, o resultado provisório de uma pesquisa em um determinado período histórico

e social estaria sujeito à todas as ideias e valores presentes na sociedade. O conhecimento

científico estaria impregnado de valores e os cientistas, conscientes desta realidade, devem se

organizar no meio em que vive para alcançar o conhecimento verdadeiro e objetivo.

Esta situação torna o conhecimento científico relativo e provisório. Passível de ser

modificado porque mesmo que já tenha sido aceito, ele não seria definitivo e permaneceria em

condições de ser questionado e colocado em dúvida.

A discussão em relação aos vários aspectos do progresso da ciência ainda perdurará

por muito tempo em razão do fato de que as tecnologias continuam crescendo e encontrando a

cada dia novas formas de fazer as informações chegar até as pessoas, entrando em suas casas

e criando novas questões sobre a liberdade e sobre o modo de produção, trabalho e consumo

no sistema capitalista. E por consequência, novas questões também são levantadas sobre o

desenvolvimento científico e as implicações educacionais estão surgindo no decorrer da

história.

Os novos desafios criados pelo desenvolvimento das ciências e tecnologia estão

provocando profundas mudanças no meio ambiente, nas relações sociais e nos modos de vida

da população. Diante deste fato o objetivo do capítulo é analisar as consequências

educacionais advindas do desenvolvimento científico e provocar reflexões sobre o

51

desenvolvimento das ciências, sobre os efeitos desta expansão científica e tecnológica na vida

das pessoas, na educação e no papel do professor, dando ênfase às novas habilidades e

competências esperadas do docente de Matemática na atualidade.

2.2 A educação científica e a escola

As revoluções científicas e tecnológicas provocaram consequências drásticas na

sociedade mudando o rumo da história que podem ser observadas nas mudanças culturais e

sociais e no desenvolvimento da ciência e da tecnologia. Com a vulgarização científica houve

a disseminação de informações relacionadas aos assuntos da ciência para o público não

especializado tornando possível que a linguagem usada pelos cientistas se apresentasse de

forma simplificada e acessível para as pessoas comuns. E foi por meio dos esforços nesse

processo que a ciência passou a fazer parte do cotidiano das pessoas. O que não quer dizer

que estas pessoas tenham consciência em relação à construção de tais conhecimentos ou que

sejam capazes de agir criticamente. Para Cachapuz:

[...] a posse de profundos conhecimentos específicos, como os que têm os

especialistas num determinado campo, não garante a adoção de decisões adequadas,

mas garantem a necessidade de enfoques que contemplem os problemas numa

perspectiva mais ampla, analisando as possíveis repercussões a médio e a longo

prazo, tanto no campo considerado como em qualquer outro. É deste modo que

podem contribuir pessoas que não sejam especialistas, com perspectiva e interesses

mais amplos, sempre que possuam um mínimo de conhecimentos científicos

específicos, sem os quais é impossível compreender as opções em jogo e participar

da adoção de decisões fundamentadas. (2005, p. 23).

Nesta perspectiva, hoje há grande preocupação em relacionar a formação da

cidadania à divulgação do conhecimento científico, alimentando a ideia de que no mundo

atual, tem maior valor quem tiver acesso a maior quantidade de informação que o torne capaz

de agir com responsabilidade em suas decisões, de modo crítico e consciente.

As consequências do desenvolvimento tecnológico e científico em relação aos

impactos ambientais, ao papel social, às modificações causadas pela atividade científica e

pelo desenvolvimento das tecnologias, juntamente com as questões éticas envolvidas nesse

processo e com a ausência da participação popular nas decisões públicas motivaram a criação

do movimento CTS (Ciência, Tecnologia e Sociedade) que surgiu no Brasil, entre as décadas

de 1960 e 1970.

Na proposta desse movimento a Educação Científica é apresentada como sendo um

dos mais importantes meios de progresso tecnológico e econômico das sociedades e é

apontada como fundamental para o desenvolvimento integral dos alunos, tanto no nível

52

cognitivo, como da preparação para a cidadania. Esta preparação para a cidadania está

relacionada à formação crítica para a participação social nas decisões públicas. Para Cachapuz

(2005, p. 27) "[...] tal participação, temos que insistir, reclamam de no mínimo de formação

científica que torne possível a compreensão dos problemas e das opções de solução".

Um dos principais campos de ação e de pesquisa do enfoque CTS está relacionado ao

ensino e educação. Propõe mudanças na estrutura curricular dos conteúdos, nas metodologias

de ensino de ciência, na formação de professores, na relação escola e tecnologias e nas formas

de vinculação das concepções científicas que nesta proposta passam a ser vinculadas ao meio

social.

As propostas de mudanças para o ensino de Ciências apresentadas têm o objetivo de

melhorar a formação dos alunos no que se refere ao pensamento científico. Isto porque,

durante um longo tempo, o conhecimento científico foi considerado neutro e não havia

questionamentos quanto à verdade científica que era perfeita e inquestionável. A qualidade do

ensino era definida, pela quantidade de conteúdos transmitidos. A função do professor era

conseguir transmitir os conhecimentos da ciência acumulados historicamente pela

humanidade.

Para Vaz; Fagundes e Pinheiro (2009, p.100) "atualmente com o desenvolvimento da

ciência e da tecnologia, estão havendo diversas transformações na sociedade contemporânea,

onde reflete em mudanças nos níveis econômicos." De acordo com as novas propostas de

ensino não seria mais suficiente a transmissão de conceitos e conteúdos sendo necessário que

a formação do aluno o leve a ser crítico. Que saiba questionar o próprio conhecimento da

ciência, as vantagens e desvantagens do avanço do conhecimento científico, às relações entre

conhecimento e poder e entre ciência, tecnologia e sociedade. Que seja questionador também

em relação aos usos que o homem faz do conhecimento científico e as relações de poder

envolvidas neste uso.

Logo são necessárias mudanças em relação às atividades de ensino, ao papel do

docente e dos alunos e principalmente no que se refere à formação dos professores. Nesse

sentido Cachapuz (2005, p. 10) propõe “a renovação do Ensino de Ciências necessita, não só

de uma renovação epistemológica dos professores.” Necessita também de mudanças no perfil

do professor, requer renovação didática, inovação nas metodologias das aulas, no material

didático, nos programas de atividades e no currículo.

A Educação Científica é fundamental na preparação para a cidadania, preparação

esta, que passa pela educação escolar e está relacionada à formação crítica para a participação

social nas decisões públicas. Atualmente é possível identificar a importância do enfoque CTS

53

currículos escolares com o objetivo de assegurar uma formação mais crítica aos alunos. Esta

preocupação educacional está de acordo com Vaz; Fagundes e Pinheiro (2009, p. 14) quando

afirmam que o indivíduo constrói a sua formação cidadã “[...] não só conhecendo seus direitos

e deveres, mais tendo uma visão crítica da sociedade em que vivem, trazendo amplos

seguimentos sociais, culturais, religiosos e políticos com as novas imagens da ciência e da

tecnologia, melhorando sua realidade neste contexto.”

Enfim, para que esta formação cidadã aconteça se faz necessário que o docente seja

capaz de estimular a curiosidade e o espírito investigador do aluno proporcionando a este a

oportunidade para, que aprenda a observar a realidade concreta do mundo por meio da ciência

e da tecnologia.

2.3 A escola, a Educação Matemática e o professor no século XXI

O que se espera da escola do século XXI é que seja capaz de contribuir para o

desenvolvimento dos diversos pensares científicos, políticos, analíticos e reflexivos de forma

tornar possível que a aprendizagem dos alunos os tornem capazes de serem críticos em

relação aos problemas sociais, políticos, econômicos do país, sendo questionadores sobre os

processos de produção do conhecimento da ciência e da tecnologia e como estes

conhecimentos interferem na sociedade e na qualidade de vida das pessoas. De acordo com

Cachapuz (2005. p. 23) a participação do cidadão nas tomadas de decisões “necessita por

parte dos cidadãos, mais que um nível de conhecimento muito elevado, a vinculação de um

mínimo de conhecimentos específicos, perfeitamente acessível a todos, com abordagens

globais e considerações éticas que não exigem especialização alguma.

A pesquisa em sala de aula desenvolve práticas com o objetivo de tornar o aluno

sujeito da sua aprendizagem, por meio de relações mais democráticas e cidadãs. Esse modo de

aprender ocorre na sala de aula com base no contexto do aluno e visa a desenvolver

capacidades de pensar, de aprender a aprender e de buscar qualidade formal e política.

O conhecimento científico aprendido na escola deve preparar os alunos para se

tornarem sujeitos das suas aprendizagens desenvolvendo suas capacidades de pensares

individuais e grupais, de aprender a aprender e de ação política. Assim, conscientes do seu

papel social, estejam aptos a interferir nas tomadas de decisões da comunidade em que vivem

se posicionando de maneira crítica participando politicamente e socialmente dos problemas

do seu meio social.

54

Levando em conta que Educação Matemática não está isolada deste contexto, para

Pais (2013, p. 14) "os valores que justificam a existência da Matemática escolar implicam a

escolha de estratégias compatíveis com os objetivos mais amplos da educação, cujo sentido

ultrapassa o contexto de uma disciplina e envolvem aspectos mais amplos".

Nesta ideia, é necessário que o ensino deixe de se fundamentar na transmissão de

conhecimentos por meio do professor e do livro didático como conhecimento pronto e

acabado, passando a partir de situações problemas, abertas para debates que sejam

interessantes e relevantes para quem estuda que como "ser" pensante irá construir seu próprio

conhecimento.

Faz-se necessário a criação de currículos e programas planejados e adequados, de

proposta pedagógica clara e baseada em princípios filosóficos definidos, de métodos e

materiais didáticos apropriados incluindo laboratórios de ciência e informática e professores

especializados são necessidades da escola.

O professor precisa estar comprometido com a formação de cidadãos e o hábito de

questionar os alunos deve ser uma prática inerente à docência para incentivar nos alunos

posturas críticas, questionadoras, construtivas, solidárias e comprometidas e que tenham

alicerce no pensamento e conhecimento científico bem fundamentado. Conforme afirma

Cachapuz (2005, p. 10) “para uma renovação do ensino, precisamos não só de uma renovação

epistemológica dos professores, mas que essa venha acompanhada por uma renovação

didático-metodológica de suas aulas. Destacando que “agora não é só uma questão de tomada

de consciência e de discussões epistemológicas, é também necessário um novo

posicionamento do professor em suas classes para que os alunos sintam uma sólida coerência

entre o falar e o fazer.” (Ibid.).

Em relação à Educação Matemática, as mudanças necessárias para que se efetive um

ensino adequado sofre influência de muitas variáveis e necessitando haver reformulação nas

diretrizes e objetivos da formação de professores e redefinição de métodos, expansão dos

atuais campos de pesquisa, criação e diversificação de estratégias, incorporação do uso

qualitativo das tecnologias digitais e, ainda de uma boa dose de disponibilidade para revirar

concepções enrijecidas pelo tempo.” (PAIS, 2013, p. 13).

O educador da atualidade precisa ter habilidades e competências que antes não eram

consideradas tão relevantes para os profissionais desta área. Necessita conhecer as teorias e

questões sociais, ter uma boa preparação no campo especializado em relação aos

conhecimentos específicos da Matemática e à didática de Matemática, ter uma boa noção das

múltiplas possibilidades do uso das tecnologias como ferramentas de ensino e aprendizagem e

55

conhecer metodologias de trabalho ativas para promover a aprendizagem e criação de

sentimento de necessidade de descobrir e investigar por si próprios sendo capaz de se tornar

produtor e coprodutor de conhecimentos. (LORENZATO, 2009).

E isto é reforçado nos Parâmetros Curriculares Nacionais ao destacar que quando se

refere a formação básica para a cidadania significa “refletir sobre as condições humanas de

sobrevivência, sobre a inserção das pessoas no mundo do trabalho, das relações sociais e da

cultura e sobre o desenvolvimento da crítica e do posicionamento diante das questões

sociais.” (BRASIL, 1998, p. 26). Destacando que “assim, é importante refletir a respeito da

colaboração que a Matemática tem a oferecer com vistas à formação da cidadania.” (Ibid.).

Desta forma, o papel deste profissional deixa de ser o de simplesmente dar respostas,

ou repassar conteúdos, afirmar certezas passando a ser o de criar dúvidas, fazer perguntas,

para o aluno também a pensar e a perguntar para si e para outros deixando de ser transmissor

de conhecimento e passando a ser o de mediador que instiga e acompanha enquanto o aluno

constrói.

De acordo com Skovsmose (2001) o ensino de Matemática em uma visão crítica

poderia voltar-se para o ato de educar matemático em que o educar matematicamente teria

com objetivo central levar os alunos a compreender as situações do cotidiano utilizando os

conhecimentos matemáticos construídos para solucionar problemas da vida.

como cidadãos do futuro, alunos terão que enfrentar muitos problemas do mundo

real que parecem não ser matematicamente claros... O cidadão é competente para

distinguir entre inferências Matemáticas necessárias e os pressupostos de

modelagem dependentes de interesses? Pode-se esperar que colocar mais atenção na

qualidade da negociação do significado matemático na sala de aula pode melhorar a

educação do “leigo competente”. (VOIGT 1998, p. 195 apud , SKOVSMOSE, 2000,

p. 18).

Nesta perspectiva a Matemática se torna um instrumento para a construção da

cidadania no sentido de que estimula a produção e uso e apropriação crítica dos

conhecimentos científicos e dos recursos tecnológicos.

Pensando assim, no contexto atual a postura tradicional do professor frente ao ensino

de Matemática não é suficiente e ele se depara com a necessidade de tornar as aulas desta

disciplina mais produtivas, despertar o espírito crítico dos alunos para que tenham autonomia

e criatividade e que sejam capazes de ter iniciativas próprias e tomar decisões diante de

variadas situações do cotidiano.

Segundo Lorenzato (2010, p. 08) "refletir sobre a sua prática docente e manter-se

atualizado pode ser um caminho pra adquirir a lucidez crítica que a análise das modas exige."

56

O professor precisa usar de senso crítico e estar preparado para lançar mãos de metodologias

inovadoras, que venham despertar nos alunos a percepção de que são capazes de aprender

Matemática e o uso de materiais alternativos e dentre eles os softwares educacionais podem

contribuir muito para despertar para o saber matemático.

Como diz Lorenzato (2010, p. 15) "no passado, professor era sinônimo de

autoridade, fora e dentro da sala de aula. Por isso, muitos professores davam suas aulas como

donos da verdade, cabendo aos seus alunos apenas ouvirem e obedecerem." Ainda hoje

perduram posturas autoritárias e reprodutivistas que são reflexos desta época. Nos dias atuais,

o professor que ainda faz este tipo de prática, precisa mudar sua postura e a sua forma de

atuação na sala de aula, repensar suas atitudes e suas concepções e práticas tradicionais,

conteudistas, passivas, relativas à Matemática e ao processo de ensino-aprendizagem se

colocando a intermediar as situações apontando caminhos que venham propiciar o saber

matemático. Situações estas, em que o professor assume o papel de mediador oferecendo um

leque maior de conhecimento reservado aos alunos, orientando estes a pesquisarem e

buscarem meios para serem utilizados para facilitar suas aprendizagens.

Enfim, no contexto da educação atual a escola deve estar comprometida com um

ensino de qualidade e com a construção da cidadania. Segundo Skovsmose (2001) a prática

educativa precisa estar adequada às necessidades sociais, culturais, políticas, econômicas da

realidade brasileira, que leve em conta os interesses e as motivações dos alunos e garantindo

as aprendizagens mínimas para a formação de cidadãos críticos, participativos e autônomos

que sejam capazes de atuar responsabilidade e competência no meio social em que vive. O

professor, precisa estar comprometido com a formação de cidadãos

Em relação ao ensino-aprendizagem de Matemática, o professor da atualidade

precisa de acordo com Skovsmose (2001) e Lorenzato (2010) deve ter novas habilidades e

competências profissionais. Deve estar consciente da necessidade de provocar a construção

individual e coletiva do conhecimento, mediante questionamento sistemático. Que ao

questionar, problematizar, conscientemente deve levar o aluno ao questionamento, a reflexão

e a construção de novas aprendizagens. Desta forma, o papel deste profissional deixa de ser o

de simplesmente dar respostas, ou repassar conteúdos, afirmar certezas passando a ser o de

criar dúvidas, fazer perguntas, levando o aluno também a pensar e a perguntar para si e para

outros deixando de ser transmissor de conhecimento e passando a ser o de mediador que

instiga e acompanha enquanto o aluno constrói.

57

3 CAPÍTULO III - A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA E A MEDIAÇÃO

PEDAGÓGICA COM FOCO NO ALUNO INVESTIGADOR

Este capítulo tem como objetivo especificar o que neste trabalho, definimos como

Investigação Matemática e fazer uma breve reflexão sobre as peculiaridades desta

metodologia de ensino e sobre as características do ato de investigar. A fim de colocar em

debate a mediação pedagógica e o processo de construção do conhecimento, provocando

reflexões sobre questões como o papel do professor no ensino por mediação pedagógica e o

ensino de Matemática por meio de atividades investigativas e a atividade docente com foco na

participação do aluno e na sua própria ação de investigar.

3.1 Os primeiros estudos sobre a Investigação Matemática

Os primeiros estudos sobre a Investigação Matemática se desenvolveram em

Portugal, Universidade de Lisboa. Um dos primeiros estudiosos e divulgador desta teoria foi

João Pedro da Ponte que publicou os seus primeiros trabalhos nas décadas de 1980 e 1990.

Nestas mesmas décadas e nas décadas seguintes este pesquisador fez estudos e

publicações em parceria com outros importantes estudiosos como Hélia Oliveira, Alexandra

Rocha, Helena Cunha Lina Brunheira, José Manuel Varandas e Joana Brocardo. De acordo

com estes autores a Investigação Matemática em sala de aula cria possibilidades desafiadoras

tanto na para alunos que aprendem quanto para o professor que ensina e aprende em um

processo mútuo.

Dentre as principais ideias difundidas nos estudos encontrados pode se destacar as de

Rocha e Ponte (2006), Cunha, Oliveira, Ponte (1995), Ponte, Oliveira, Brunheira, Varandas,

Ferreira (1999), Fonseca, Brunheira e Ponte (1999), Ponte, Brocardo e Oliveira (2013), que

defendem a realização de investigações Matemáticas em qualquer nível de ensino em uma

forma de investigar que permita aos alunos analisarem e pesquisarem buscando compreender

as construções Matemáticas por meio da criação e formulação de hipóteses, justificação de

conjecturas e respostas, a argumentação e contra-argumentação. Possibilitando assim a

reorganização dos conceitos matemáticos que possui e a formação de novos conceitos.

No Brasil os estudos mostram que a Investigação Matemática é uma estratégia

metodológica que produz bons resultados nas aprendizagens dos alunos. Os destaques são

Fiorentini e Lorenzato (2006), Mendes (2009), Lorenzato (2010), mendes, (2009) que

defendem as atividades investigativas que apresentem questões abertas, que possibilitem a

58

exploração com variadas possibilidades de construção de significados. Para estes estudiosos,

o processo de investigação deve permitir aos alunos problematizar, formular questões e

conjecturas, realizar testes e tentativas em busca de demonstração ou prova de conjecturas que

os levem a formalizações e formação de conceitos matemáticos.

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2013), além de Portugal e Brasil as atividades

investigativas de Matemática aparecem em estudos de outros países como Estados Unidos da

América, Inglaterra e França. Contudo, neste trabalho, o estudo se restringirá basicamente aos

às obras de autores e portugueses e brasileiros e documentos oficiais do Brasil.

3.1.1 O termo Investigação Matemática e as etapas do processo investigativo

O significado do termo investigação usado neste trabalho se assemelha ao sentido da

palavra investigar encontrada nos dicionários da língua portuguesa que definem o investigar

como sendo o ato de seguir os vestígios de; pesquisar; Proceder a diligências; empenhar-se

em descobrir; analisar, averiguar, estudar, examinar, explorar e indagar. Procurar conhecer o

que é ignorado. No entanto, apesar das semelhanças, quando se fala em investigar em

Matemática trata-se de uma metodologia de ensino e aprendizagem de um processo de

investigação bem distinto que envolve fases de aprendizagem bem específicas.

No trabalho pedagógico "o aluno é chamado a agir como um matemático, não só na

formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na

apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor."

(PONTE; BROCARDO E OLIVEIRA, 2013, p. 23) . E de acordo com Gravina e Santarosa o

que diferencia a investigação do aluno é o fato de que "da criança ao matemático profissional,

os objetos mudam de natureza: de físicos passam a abstratos, mas continuam guardando uma

‘concretude’, dada pela representação mental, figural ou simbólica, a eles associada". (1998,

p. 77).

Segundo Ponte; Brocardo e Oliveira:

[...] a realização de uma investigação Matemática envolve quatro momentos

principais. O primeiro envolve o reconhecimento da situação, a sua exploração

preliminar e a formulação de questões. O segundo momento refere-se ao processo de

refinamento das conjecturas. E, finalmente, o último diz respeito à argumentação,

demonstração e avaliação do trabalho realizado. Estes momentos surgem, muitas

vezes, em simultâneo: a formulação das questões e a conjectura inicial, ou a

conjectura e o seu teste, etc. (2013, p. 20).

59

De acordo com proposta apresentada por estes autores as fases de aprendizagem

poderiam ser representadas por meio de um ciclo investigativo. As fases da aprendizagem na

Investigação Matemática estão representadas no ciclo da figura 01.

Figura 01: O ciclo Investigativo.

Fonte: Esquema elaborado pela a autora.

Nesta perspectiva ato de investigar em Matemática se assemelha ao modo como os

matemáticos fazem as suas descobertas. Um matemático "em seu estágio avançado de

pensamento formal, ‘age’ sobre seus objetos de investigação: identifica, em casos particulares

regularidades que se generalizam; testa suas conjeturas em novos casos particulares; e

finalmente aventura-se na tentativa de demonstração. (GRAVINA E SANTAROSA, 1998, p.

77).

Ao analisar uma experiência de Investigação Matemática como o software Geogebra,

Vaz (2012) relata que a primeira fase do que neste trabalho será chamado de ciclo

investigativo de uma Investigação Matemática em sala de aula é a experimentação. A

segunda fase do processo seria levantar conjecturas relacionadas às primeiras

experimentações, "conjecturar significa que depois de perceber as relações oriundas da

experimentação é possível vislumbrar propriedades, relações, resultados gerais." (VAZ, 2012,

p. 41). A terceira fase seria a formalização que seria a demonstração Matemática da

conjectura levantada. A última etapa seria a generalização do resultado, isto é, "[...] investigar

60

outras situações pertinentes, situações particulares, enfim, explorar o alcance do resultado

obtido.” (Ibid.).

Nesta pesquisa o termo Investigação Matemática caracteriza a metodologia de ensino

de Matemática estruturada nas fases do que será chamado ciclo investigativo em que o

processo investigativo passa pela de formulação de problemas, realização de teste e

formulação de conjecturas, à argumentação, formalização e generalização dos conceitos

matemáticos. Assim está de acordo com Vaz (2012) está também de acordo com Gravina e

Santarosa (1998, p. 73) quando dizem que “no contexto da Matemática, a aprendizagem nesta

perspectiva depende de ações que caracterizam o ‘fazer Matemática’: experimentar,

interpretar, visualizar, induzir, conjeturar, abstrair, generalizar e enfim demonstrar.”

Destacando que nesta proposta o aluno tem papel ativo “diferentemente de seu papel passivo

frente a uma apresentação formal do conhecimento, baseada essencialmente na transmissão

ordenada de ‘fatos’, geralmente na forma de definições e propriedades.” (Ibid.).

O as fases investigativas apresentadas por Vaz (2013) e Gravina (1996) e Gravina e

Santarosa (1998) estão de acordo com a proposta de Ponte; Brocardo e Oliveira (2013) em

que o processo de investigação estrutura-se na vivência de fases bem determinadas que podem

ser identificadas em momentos específicos ou podem acontecer simultaneamente durante o

processo investigativo. Para que a ação investigativa aconteça primeiramente torna-se

necessário o reconhecimento da situação e a sua exploração inicial. Desta exploração

preliminar é que surgirão as questões ou a questão de investigação. Definido o problema, a

próxima fase é a do levantamento hipótese e formulação das conjecturas que poderão ser

refinadas, confirmadas ou negadas na fase seguinte que é a fase da experimentação e

realização de testes. Após, a experimentação se realiza a argumentação e a demonstração que

pode confirmar ou não as conjecturas formuladas. Este processo se assemelha a um ciclo de

aprendizagem que neste trabalho será chamado ciclo investigativo e que será mais bem

especificado no final deste capítulo.

Ainda de acordo com estes autores, durante a fase da experimentação a questão

problema inicial poderá se resolver ou não, podendo surgir novas perguntas que poderão

iniciar um novo ciclo investigativo, dar novos rumos à investigação inicial procurando

sempre conhecer quais as razões dos acontecimentos vivenciados nos testes e experimentos.

Logo, conforme afirmam estes autores, numa Investigação Matemática é possível prever

como irá começar, contudo não é possível prever como irá terminar.

3.1.2 A Investigação Matemática e a organização do trabalho pedagógico

61

A atividade de Investigação Matemática que estiver se desenvolvendo em sala de

aula ou em ambientes como o laboratório de informática precisa estar voltada para o

desenvolvimento de conhecimentos matemáticos e para a formação geral do aluno. As

atividades investigativas de Matemática em geral devem auxiliar os alunos de forma que

sejam capazes de:

i) ampliar sua linguagem e promover a comunicação de ideias Matemáticas;

ii) adquirir estratégias de resolução de problemas e de planejamento de ações;

iii) desenvolver sua capacidade de fazer estimativas e cálculos mentais;

iv) iniciar-se nos métodos de investigação científica e na notação Matemática;

v) estimula sua concentração, perseverança, raciocínio e criatividade;

vi) promover a troca de ideias através de atividades em grupo;

vii) estimular sua compreensão de regras. sua percepção espacial, discriminação

visual e a formação de conceitos. (LORENZATO. 2010, p. 44).

Quando se ensina por meio da investigação incentivam-se os alunos a buscarem por

si mesmos as respostas para as questões problemas ao contrário de esperarem respostas

prontas. Segundo Alro e Skovsmose (2006, p. 127) em uma investigação "não há respostas

prontas, conhecimentos de antemão, para os problemas. Elas surgem através de um processo

compartilhado de curiosa investigação e reflexão coletiva, com o propósito de obter

conhecimento." Sendo um processo coletivo que segue a direção da curiosidade que se baseia

na de troca de ideias e experiências e testes a "imprevisibilidade significa o desafio de

experimentar novas possibilidades." (Ibid., p. 128).

A dinâmica de uma aula de Investigação Matemática depende de vários aspectos que

envolvem o trabalho pedagógico como, por exemplo, das concepções do professor e dos

alunos em relação à Matemática, da participação mais ou menos ativa dos alunos, das

questões propostas pelo professor e da forma como conduz a investigação.

O planejamento da aula é o marco inicial para a organização do trabalho pedagógico.

Segundo Ponte; Brocardo e Oliveira (2013, p. 25) "pode sempre programar-se o modo de

começar uma investigação, mas nunca se sabe como ela irá acabar." Durante o

desenvolvimento das atividades investigativas "a variedade de percursos que os alunos

seguem, os seus avanços e recuos, as divergências que surgem entre eles, o modo como a

turma reage às intervenções do professor, são elementos largamente imprevisíveis numa aula

de investigação." (Ibid.).

O ponto de partida pode ser estabelecido pelo professor e as propostas de atividade

devem ser colocadas de forma que os alunos possam estabelecer caminhos para as suas

próprias aprendizagens. Ou podem surgir em momentos inesperados podendo em algumas

situações colocar o professor em um situação de desconforto, o que exige que esteja bem

62

preparado teoricamente para o uso desta metodologia de ensino. (ALRO E SKOVSMOSE,

2006).

Em qualquer das formas em que surgem as questões de pesquisa, nesta forma de

ensinar, o conhecimento é construído a partir da investigação e da exploração. A formalização

e a generalização surgem como resultado da investigação e se traduzem na formação e na

abstração de conceitos significativos para os alunos.

As concepções que o professor e os alunos têm acerca da Matemática assumem

significativa influência numa aula em que se propõe a metodologia investigativa. Dentre elas

podemos citar que é bastante comum a ideia de que o professor sempre é o que sabe mais e

que para aprender a Matemática é preciso ter dons especiais ou de que a Matemática é exata e

admite um único resultado.

Pela Investigação Matemática esta concepção de ensino pode ser reconstruída visto

que, o professor irá trabalhar com o aluno, desfazendo aquela Matemática que é concebida

por eles como uma ciência de cálculos e de difícil aprendizagem. Isto vem disponibilizar aos

professores formas significativas no estudo de Matemática, que podem abranger atividades

com variados tipos de recursos didáticos.

Esta é uma proposta de trabalhar com o educando uma forma flexível e significativa

de estudar os conteúdos matemáticos. Segundo Alro e Skovsmose (2006, p. 58) "há diferentes

aspectos envolvidos no processo de mudança de paradigma de exercícios para os cenários

para investigação. Os padrões de comunicação podem mudar e abrir-se para novos tipos de

cooperação e para novas formas de aprendizagem".

Por esta proposta pedagógica o professor sai da sua zona de conforto, os caminhos

são imprevisíveis e o ponto de chegada também. Para Alro e Skovsmose (2006, p. 58) "tanto

o professor quanto os alunos podem ser acometidos por dúvidas quando chegam a trabalhar

num cenário de investigação, sem a proteção de “regras” de funcionamento bem conhecidas

do paradigma do exercício." Nesta perspectiva "deixar o paradigma do exercício significa

também deixar uma zona de conforto e entrar numa zona de risco." (ALRO E SKOVSMOSE,

2006, p. 58)

Outro ponto a considerar no planejamento de uma aula de Investigação Matemática é

o ambiente de aprendizagem. Para se obter o envolvimento dos alunos nas tarefas "o professor

tem de criar um ambiente em que todos os alunos se sintam à vontade para apresentar as suas

conjecturas, argumentar contra ou a favor das ideias dos outros, sabendo que o seu raciocínio

será valorizado." (PONTE et al., 1999, p. 07).

63

A estes ambientes Skovsmose (2008) denomina cenários para investigação. Afirma

que enquanto no cenário de uma aula tradicional os alunos se dedicam a resolver longas listas

de exercícios pré-elaborados, sem discutir as estratégias e os resultados, no ambiente da aula

baseada na ação investigativa, a organização dos alunos e a condução da aula devem

favorecer a investigação e contribuir para a aprendizagem por meio do diálogo e da interação

entre alunos e professores. De acordo com Skovsmose,

um cenário para investigação é aquele que convida os alunos a formular questões e

procurar explicações. O convite é simbolizado por seus "Sim, o que acontece se...?".

Dessa forma, os alunos se envolvem no processo de exploração. O "por que isto?"

do professor representa um desafio, e os "Sim, por que isto...?" dos alunos indicam

que eles estão encarando o desafio e que estão em busca de explicações. Quando os

alunos assumem o processo de exploração e explicação, o cenário para investigação

passa a constituir um novo ambiente de aprendizagem. No cenário para

investigação, os alunos são responsáveis pelo processo. (grifo do autor). (2008, p.

21).

Os professores devem criar ambientes que contribuam para que os alunos se sintam

encorajados a investigar, formular questões, levantar hipóteses, fazer conjecturas, argumentar,

explicar e justificar suas respostas e raciocínios e também aprender com as experiências dos

colegas. Para ponte et al. (1999, p. 07) "[...] é essencial que se crie um ambiente em que eles

interajam uns com os outros, em que possam exprimir os seus pensamentos e em que

questionem as ideias apresentadas pelos colegas".

De acordo com Skovsmose (2008) enquanto que na aula tradicional os alunos usam

basicamente papel e lápis na resolução dos exercícios que são formulados por uma autoridade

exterior à sala de aula seguindo a premissa central é que existe apenas uma resposta correta,

no cenário para investigação, o próprio ambiente pode dar suporte a um trabalho de

investigação. Os alunos são convidados pelo professor a formularem questões e procurarem

explicações e aceitam o convite, são responsáveis pelo processo de aprendizagem, usam

materiais manipuláveis e novas tecnologias nas suas atividades de aprendizagem e se envolve

em trabalhos de projeto que poderão servir de base a investigações.

Em relação à escolha dos métodos e objetos pedagógicos, para Fiorentini (1995, p.

09) "os métodos de ensino consistem nas “atividades” desenvolvidas em pequenos grupos,

com rico material didático e em ambiente estimulante que permita a realização de jogos e

experimentos ou o contato – visual e táctil – com materiais manipulativos".

Diante de situações problematizadoras, interessantes e desafiadoras os alunos podem

ser estimulados a pensar matematicamente. Em relação a isto Lorenzato, (2010, p. 96),

destaca que "assim, os alunos em sala de aula passam a observar, registrar e documentar

64

atividades discutidas, relacionadas, e ideias importantes que surgem na investigação realizada,

considerando as experiências, as conjecturas, os dados colhidos e aspectos relacionados à

experimentação".

Nessa perspectiva Braumann (2002, p. 05) destaca que "aprender Matemática sem

forte intervenção da sua faceta investigativa é como tentar aprender a andar de bicicleta vendo

os outros andar recebendo informação sobre como o conseguem." E ao fazer esta comparação

completa que, "para verdadeiramente aprender é preciso montar a bicicleta e andar, fazendo

erros e aprendendo com eles". (Ibid.).

De acordo com todos estes estudiosos em uma aula investigativa o envolvimento do

aluno é condição necessária para o sucesso de uma aula investigativa. Nesta ideia "todo

pensamento se origina na ação" e ao ensinar, o aluno deve ser considerado não como ser que

assimila passivamente o conteúdo, mas sim, que reconstrói os conhecimentos já existentes

dando novos e diferentes significados a estes, transformando-os em novos conhecimentos.

Para Ponte; Brocardo e Oliveira (2013, p. 23) "o envolvimento ativo do aluno é uma condição

fundamental da aprendizagem. O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos

e afetivos com vista a atingir um objetivo." Este comprometimento participativo é uma das

principais características das investigações e ao requisitar a participação do aluno na

formulação dos problemas e questões a estudar estar-se-á a envolvê-lo na sua própria

aprendizagem.

Assim é necessária uma filosofia de trabalho na qual o aluno ativo, constrói o seu

próprio saber. Esta em geral está relacionada à prática escolar e ao processo de construção de

novos conhecimentos e maneiras de pensar mediante a exploração e a manipulação ativa de

objetos e ideias, tanto abstratas como concretas, e explicam a aprendizagem através das trocas

que o indivíduo realiza com o meio. É importante que o aluno seja visto como um ser

pensante e ao professor cabe o papel de numa perspectiva formativa procurar fazer com que

os alunos vá se aperfeiçoando nas descobertas e avançando cognitivamente para a formação

de novos conceitos e a compreensão dos conteúdos.

Neste pensamento exige-se no trabalho pedagógico competência e capacidade para

criar situações problematizadoras para provocar o raciocínio e a reflexão. É preciso que o

professor tenha capacidade para aceitar que o centro do ensino aprendizagem não está mais

em si mesmo e que os alunos aprendem pela interação com os colegas e com próprio

professor que passa a ter como competência maior a capacidade e competência para criar

situações de aprendizagens que sejam problematizadoras para provocar o raciocínio e que

possa resultar em aprendizagem. (FONSECA; BRUNHEIRA; PONTE, 1999).

65

Logo, no planejamento de uma aula de Investigação Matemática deve se considerar

todos estes aspectos. É preciso levar em conta ainda, que o planejamento deve ser aberto e

estar pronto para ser modificado. Ao dar início à atividades investigativas muitas questões e

situações imprevistas podem acontecer tanto nos caminhos que os alunos percorrem quanto na

necessidade de maior ou menor intervenção pedagógica.

O planejamento de uma aula para uso da Investigação Matemática deve apresentar

situações problemas abertas ou questões de investigação que dê espaço ao surgimento de

novas questões investigativas. Assim é importante propor situações que possibilitem a

reflexão e estimule o pensamento lógico matemático, que valorize a formulação de

conjecturas e o levantamento de hipóteses com parte do processo de aprendizagem, que leve

em conta as variadas interpretações que podem surgir e considerando as análises como

significativas no ato de aprender e que ao avaliar considere a interação e a participação

individual e coletiva como elementos importantes para a formação do pensamento científico.

A formalização e a generalização dos conceitos matemáticos são previstos como resultados da

investigação. (PONTE; BROCARDO E OLIVEIRA, 2013).

3.1.3 A condução pedagógica de uma aula de Investigação Matemática

No modelo tradicional de ensino o papel do professor como detentor do

conhecimento consiste em intervir para explicar como resolver os problemas e corrigir

dizendo se está errado ou certo diante do aluno que passivamente ouve e repete o que lhe é

apresentado. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais a pratica mais comum,

tradicionalmente, no ensino de Matemática ainda era aquela “em que o professor apresentava

o conteúdo oralmente, partindo de definições, exemplos, demonstração de propriedades,

seguidos de exercícios de aprendizagem, fixação e aplicação, e pressupunha que o aluno

aprendia pela reprodução.” (BRASIL, 1997, p. 39). O que evidenciava que havia ocorrido

aprendizagem era a capacidade de reprodução correta que o aluno fazia daquilo que o

professor ensinava.

No caso da aula de Investigação Matemática a relação entre professor e aluno deve

ser de cooperação, de respeito e de aprendizagem mútua em que o aluno é considerado como

um ser ativo que interage com os colegas, com o professor e com os objetos pedagógicos na

construção dos seus conhecimentos. (PONTE et al., 1999). O professor com a sua experiência

têm papel fundamental devendo na sua ação permitir que o aluno seja capaz de pensar, criar,

66

ser questionador, errar e aprender com os seus erros e acertos. É importante respeitar as

experiências anteriores dos alunos, sua bagagem intelectual e cultural.

O professor tem um papel fundamental no planejamento e na condução de uma aula

de investigação na sala de aula. "A seleção ou criação das propostas e o estabelecimento de

objetivos para a sua realização relacionam-se com a especificidade da turma e com o contexto

em que surgem na aula. Nem os objetivos nem as tarefas podem ser completamente definidos,

de antemão. (OLIVEIRA; SEGURADO E PONTE, 1998, p. 03).

Para que a aula de Investigação Matemática produza resultados positivo é importante

conhecer teoricamente a Investigação Matemática como metodologia de ensino e como a aula

deve ser conduzida respeitando as fases que estruturam uma atividade de investigação. Uma

aula investigativa habitualmente é realizada em três etapas que podem acontecer em

sequência ou simultâneas em alguns casos. Em geral se inicia com a introdução do assunto

pelo professor que dá origem ao problema ou de um problema dado pelo aluno. A seguir tem-

se a realização da investigação que pode ser individual ou em pequenos grupos e que tem com

resultado final a formalização e generalização dos conceitos. A conclusão da aula se dá com a

discussão dos resultados e socialização das descobertas. Contudo a conclusão da aula pode

não significar a conclusão de uma investigação, mas tão somente o reinício de um novo ciclo

investigativo pelos surgimentos de novos problemas e novas conjecturas.

Figura 02: As fases da aula de Investigação Matemática segundo Ponte; Brocardo e Oliveira (2013).

Fonte: Esquema elaborado pela autora

67

Na figura 02 estão representadas as três etapas do desenvolvimento de uma atividade

pedagógica ou de uma aula de Investigação Matemática.

Ao introduzir o assunto o professor deve estimular os alunos a formularem eles

mesmos suas questões de investigação baseado no assunto apresentado ou na questão inicial

proposta. No entanto, segundo Ponte et al. (1999, p.12) formular questões que desfiem os

alunos não é tão simples, "se a questão for considerada por eles como demasiado difícil, é

natural que se sintam intimidados e não se disponham a trabalhar nela. Se for por eles

considerada como demasiado fácil, é encarada como maçadora e desinteressante." E ainda há

que se tomar cuidado com as informações dadas para sejam na quantidade certa e da maneira

mais adequada. Para Ponte et al. (1999, p. 19) "outro aspecto do trabalho do professor é

proporcionar informação útil aos alunos, ajudando-os a recordar ou compreender conceitos

matemáticos e formas de representações importantes." No entanto,

se o professor der informação a menos, os alunos podem sentir-se “perdidos” e sem

saber por onde começar. Se der informação a mais, pode proporcionar pistas

desnecessárias, que distraem os alunos do que realmente interessa. Se der a

informação estritamente necessária, sem qualquer ambiguidade, dá indiretamente

pistas para a resolução da tarefa. (Ibid., p. 11).

E há ainda as peculiaridades criadas pela heterogeneidade das turmas que em geral

são formadas por alunos com níveis de aprendizagem diferente. A seguir Ponte et al. (1999, p.

12) completa "além disso, o que é excessivo para uns pode ser pouco para outros. São

múltiplos os dilemas que o professor enfrenta neste domínio e a solução pode ter de variar de

momento para momento, de turma para turma e de aluno para aluno."

A história de vida influencia nos níveis de conhecimentos individuais e nos modos de

aprender dos alunos, conforme afirma Lorenzato (2010, p. 33) "[...] é natural que os alunos

possuam diferentes habilidades, competências, preferências, linguagens, limites, ritmos de

trabalho, modos de aprender e agir, enfim, suas características intrínsecas".

Quando a turma não estiver habituada a desenvolver atividades investigativas a

atenção do professor em fazer os alunos compreenderem como se dá o processo deve ser

maior ainda. O trabalho pode conduzido mais facilmente quando os alunos compreendem o

que se espera em cada fase do ciclo investigativo que vai desde a formulação da questão a ser

investigada, passando pela experimentação, levantamento de hipóteses ou conjecturas, novas

experimentações, reformulação ou justificação das conjecturas iniciais tendo como resultado a

formalização e generalização dos resultados que deve ser discutidos coletivamente ao final do

trabalho.

68

Segundo Ponte; Brocardo e Oliveira (2013, p. 33) o levantamento de conjecturas

podem surgir de diversas formas "por observação direta dos dados, por manipulação dos

dados ou por analogia com outras conjecturas." As conjecturas estão relacionadas a reflexão

que o aluno faz sobre o que estão a investigar e o professor precisa dar atenção a todo este

processo para estimular e assegurar que os façam progressos na realização da investigação.

Na segunda etapa acontece a investigação propriamente em que por meio da

realização de testes e experimentações acontece a justificação ou prova das conjecturas. É o

momento em que o professor deve procurar fazer com que os alunos compreendam que para

se justificar uma conjectura um teste apenas é insuficiente. São necessários vários testes que

realizados podem afirmar ou negar as conjecturas levantadas. Sendo as conjecturas então,

passiveis de serem comprovadas ou não, podendo ser confirmadas ou negadas a qualquer

momento da investigação.

Haverá casos, porém, em que nesta fase as conjecturas iniciais poderão ser negadas

ou refutadas dando origem a um novo problema provocando o reinício do ciclo investigativo,

conforme explicitado na figura 01.

Na fase das experimentações, poderão surgir questões problemas secundárias em que

para as suas resoluções podem ser necessárias outras experimentações para a formalização de

respostas preliminares necessárias para a resolução do problema principal, conforme pode ser

observado na figura 02.

Para finalizar a aula a "fase de discussão é, pois, fundamental para que os alunos, por

um lado, ganhem um entendimento mais rico do que significa investigar e, por outro,

desenvolvam a capacidade de comunicar matematicamente e de refletir sobre o seu trabalho e

o seu poder de argumentação. (PONTE; BROCARDO E OLIVEIRA, 2013, p. 41).

Para estes pesquisadores "sem a discussão final corre-se o risco de se perder o

sentido da investigação." Logo, percebe-se que a discussão é um momento significativo da

aula em que socializando suas descobertas, confrontando os resultados, sistematizando as

ideias os alunos podem chegar à formalização e a generalização dos conceitos matemáticos e

a reflexão dos resultados da investigação. A Investigação pode se concluir com a

formalização e/ou generalização justificadas na discussão final. Contudo na discussão final

dos resultados podem surgir novas dúvidas dando origem a nova questão problema, podendo

reiniciar-se o ciclo investigativo.

3.1.4 A avaliação em uma aula de Investigação Matemática

69

Como em toda atividade de aprendizagem em uma aula de Investigação Matemática

deve haver avaliação. E segundo Ponte; Brocardo e Oliveira (2013) além dos objetivos

curriculares a que o professor se propõe em uma atividade investigativa é necessário avaliar

alguns pontos que consideram significativos como, por exemplo, avaliar se o aluno é capaz de

realizar investigação, se desenvolveu atitudes como persistência e gosto pelo trabalho

investigativo e se é capaz de usar os conhecimentos matemáticos da aula na resolução de

tarefas e atividades variadas. Par isso se deve levar em conta o que diz Lorenzato (2010, p.

09) "[...] os alunos apresentam inúmeras diferentes respostas, raciocínios, observações e

soluções diante dos mesmos fatos, exercícios, problemas, materiais didáticos e indagações".

Para a realização desta avaliação o professor pode lançar mão de variados

instrumentos como avaliações orais e escritas e atividades produzidas individualmente ou em

grupo. Contudo, é preciso estar atento porque conforme afirma Lorenzato (2010, p. 42), nas

situações investigativas "[...] nós, professores precisamos sempre ter em conta que o acerto

pode camuflar o erro e, também, aquilo que é simples e evidente, para nós geralmente não é

para os alunos."

Por isso sugere que se dê destaque às argumentações orais, dando oportunidade para

os alunos verbalizarem o que aprenderam porque de acordo com Lorenzato (2010, p. 42),

"devido à relatividade do simples, do evidente e do acerto, torna-se altamente recomendável

que os alunos verbalizem o que estão vendo, fazendo ou pensando, para que o professor possa

constatar o tipo de aprendizagem que está acontecendo".

Uma das formas para se avaliar a aprendizagem dos alunos oralmente é por meio de

perguntas e questionamentos que podem acontecer durante o diálogo no decorrer das aulas.

Fazer boas perguntas é essencial para saber o que os alunos estão a pensar. "Com base nas

informações que recolhe, o professor pode adotar diversas estratégias – não interferir no

trabalho dos alunos, interferir de forma discreta e ligeira, ou dedicar uma atenção considerável

a um dado aluno ou grupo de alunos." (PONTE et al., 1999, p. 14).

As perguntas devem surgir não só por parte do professor, visto que, para Lorenzato

(2010, p. 97) "na prática pedagógica, presença do por que indica que a situação de

aprendizagem está ganhando sentido, que o processo de compreensão está em movimento e

não só para aquele que pergunta, uma vez que ela provavelmente influi sobre outros colegas."

Assim, ensinar Matemática valorizando e estimulando os questionamentos dos alunos faz

parte da escolha de um tipo de ensino que valoriza o processo e não apenas os resultados,

optando pela aprendizagem com significado e não somente por memorização.

70

Contudo, além da avaliação argumentativa, avaliar uso da linguagem Matemática

simbólica também é importante considerando o que diz Lorenzato (2010, p. 44) quando

afirma que atualmente a linguagem Matemática se apresenta de forma muito resumida e

precisa “além de possuir expressões, regras, vocábulos e símbolos próprios.” Destacando

como exemplos as fórmulas matemáticas que segundo este pesquisador apesar terem ser

tornado estigmas para muitos “elas são resultados de processos históricos e o significado de

cada um dos seus símbolos precisa ser conhecido para que possam ser compreendidas e

empregadas corretamente.” (Ibid.).

Lembra que nas salas de aulas os alunos e mesmo os professores tem dificuldades

para entender e para explicar os significados da linguagem Matemática que é repleta de

símbolos próprios. Contudo foi justamente este simbolismo que internacionalizou a

linguagem Matemática, tornando possível que a Matemática fosse compreendida

corretamente não só pelos matemáticos como também por pesquisadores de outras áreas das

ciências do mundo todo. Lorenzato (2010, p. 47) pondera, no entanto, que "na sala de aula,

tanto a apresentação como o uso da linguagem Matemática devem ser gradativos e respeitar o

estágio de evolução dos alunos".

A avaliação em uma aula investigativa deve contribuir para a formação do aluno e

deve se fazê-la de forma que sirva como orientação na sua aprendizagem e não tenha fim em

si mesma. A avaliação não deve ser o é objetivo final para o aluno, deve sim, no decorrer do

trabalho, servir para estimular o pensamento e a reflexão, levando-os ao pensamento crítico,

ao levantamento de hipóteses e conjecturas e a compreensão da inter-relação entre os vários

conteúdos matemáticos. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais:

o fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o

problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, a

formular problemas a partir de determinadas informações, a analisar problemas

abertos que admitem diferentes respostas em função de certas condições, evidencia

uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de

conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos.

(BRASIL, 1998, p. 42).

Enfim, esta forma de avaliar requer um novo olhar do professor visto que, ao avaliar

uma atividade de Investigação Matemática, o objetivo final não é verificar se o aluno encontra

as respostas certas ou erradas. Isto porque, como afirma Lorenzato (2010, p. 39) "o acerto dos

alunos nem sempre é resultado de compreensão." É fazê-lo refletir sobre as etapas da

investigação, sobre as experimentações realizadas, sobre as conjecturas levantadas, as

estratégias e argumentos usados, sobre os conceitos matemáticos envolvidos.

71

O erro, nesta concepção de avaliação deve ser interpretado como parte natural, do

processo de aprendizagem. Em um novo modo de encarar o erro, este passa a ser visto como

parte natural, inevitável e indispensável no processo de ensinar e aprender que cria

oportunidades de crescimento tanto para o aluno quanto para o professor. (LORENZATO,

2010).

Desta forma, passa a ser também um instrumento para a avaliação do trabalho

pedagógico do próprio professor servindo para contribuir na sua própria aprendizagem e na

orientação para a realização de novas atividades de investigação. A avaliação deixa de ter o

fim em si mesmo e passa a fazer parte do processo como um ato oportuno de aprender.

3.2 A mediação pedagógica e o processo de construção do conhecimento

Atualmente é consenso que o professor tem papel fundamental na formação de quem

aprende. Assim na sala de aula suas preocupações devem ir muito além da transmissão do

conteúdo historicamente construído necessitando se preocupar também com o

desenvolvimento dos alunos, levando em conta as suas capacidades de aprendizagens e se

preocupando com as suas formações para além das paredes da sala de aula. De acordo com

Ponte et al. (1999, p. 02) "é hoje consensualmente reconhecido que o professor tem um papel

decisivo no processo de ensino e aprendizagem. Ele tem de ser capaz de propor aos alunos

uma diversidade de tarefas de modo a atingir os diversos objetivos curriculares".

Entre as suas competências pedagógicas devem estar a capacidade de equilibrar a

mediação pedagógica, que neste trabalho representa a ação didática na condução da aula, com

momentos de ação e reflexão com o objetivo de possibilitar a construção e apropriação crítica

dos conceitos e conteúdos científicos. Isto provoca a necessidade de que se conheça melhor a

função mediadora na sala de aula para que pela sua intermediação no processo de ensino, na

aprendizagem e no desenvolvimento dos alunos possa contribuir para a superação do ensino

fragmentado e vazio de alguns conteúdos.

3.2.1 A mediação pedagógica e o papel do professor

Resultados de estudos feitos por pesquisadores como Masseto (2000), Moran (2007),

Freire (2007) e Shechtman (2009) apontam que a mediação pedagógica quando dá conta da

sua função de criar e possibilitar situações de aprendizagens e processos educacionais que

tenham como característica peculiar a capacidade de gerar interação baseada nas relações

entre pessoas e no compartilhamento de ideias, experiências e conhecimentos pode funcionar

72

como facilitadora e potencializadora de mudanças educacionais que levem a criação de

modelos de educação mais democráticos voltados para a formação crítica do aluno. Tais

mudanças podem contribuir para a criação de novos alicerces que tenham como suporte a

prática docente do professor que valoriza aspectos de formação baseados na comunicação, na

interação e no crescimento mútuo.

Segundo Masseto (2000, p. 144):

por mediação pedagógica entendemos a atitude, o comportamento, do professor que

se coloca como facilitador, incentivador ou motivador da aprendizagem, que se

apresenta com a disposição de ser uma ponte entre o aprendiz e sua aprendizagem

não uma ponte estática, mas uma ponte 'rolante', que ativamente colabora para que o

aprendiz chegue aos seus objetivos.

Assim, o que caracteriza a intervenção docente mediadora é a atitude e a forma de se

comportar do professor e do aluno dentro de uma relação que tem como objetivo a construção

do conhecimento por meio da reflexão crítica sobre as descobertas e experiências e sobre o

processo de construção da aprendizagem. Nesta perspectiva o gosto pelo saber "vem do

desejo de conhecer e da facilidade em fazê-lo. A facilidade depende do domínio técnico da

leitura, da escrita, da capacidade de análise, comparação, síntese, organização de ideias e sua

aplicação. Não há gosto sem facilidade que vem com a prática e o domínio." (MORAN, 2007,

p.43).

De acordo com Shechtman (2009) a mediação pedagógica permite a construção de

significados por meio de um processo comunicativo que amplia o espaço para o diálogo e

para a negociação, alicerçado na interação entre professores e alunos. Ainda segundo Morin

(2000) apud Shechtman (2009, p. 85), o professor deixa de ser o dono do conhecimento, "para

ser um construtor, um facilitador, aquela pessoa que tem mais experiência teórica e prática

que seus alunos, conhecedor de determinados conteúdos por já haver estudado sobre eles, mas

que nem por isso, sabe tudo sobre o assunto, até porque a completude do saber é impossível."

Corroborando com estas ideias Moran (2007, p. 28) destaca que "o educador

autêntico é humilde e confiante. Mostra o que sabe e, ao mesmo tempo, está atento ao que não

sabe, ao novo. Mostra para o aluno a complexidade do aprender, a nossa ignorância, as nossas

dificuldades [...] aprender é passar da incerteza a uma certeza provisória, que dê lugar à novas

descobertas". Nesta perspectiva lembra que "as mudanças na educação dependem, em

primeiro lugar, de termos educadores maduros intelectual e emocionalmente, pessoas

curiosas, entusiasmadas, abertas, que saibam motivar e dialogar". (Ibid.).

Para Freire (2007) que o ensino só é válido quando resulta um aprendizado em que o

aprendiz se torne capaz de criar e refazer o ensinado por meio da curiosidade, da motivação e

73

da autonomia. Nesta forma de ver o ensino a mediação pedagógica se apresenta como a ação

de um professor que se preocupa em ajudar a desenvolver no aluno tais curiosidades,

motivação, autonomia e gosto pelo aprender.

3.2.2 A mediação pedagógica no ensino de Matemática investigativo

No caso, da Matemática, segundo Lorenzato (2010, p. 01) "[...] o papel que o

professor desempenha é fundamental na aprendizagem desta disciplina, e a metodologia de

ensino empregada é determinante para o comportamento dos alunos." A postura tradicional de

transmissor de conhecimentos em aulas predominantemente expositivas em que o papel do

aluno se reduz a ouvir passivamente o conteúdo explicado e resolução de longas listas de

exercícios não é mais suficiente no que se refere a capacidade de desenvolvimento cognitivo.

Sobre este tipo de educação D'ambrósio afirma que (1996, p. 119) “é baseada ou na

mera transmissão (ensino teórico e aulas expositivas) de explicações e teorias, ou no

adestramento (ensino prático com exercícios repetitivos) em técnicas e habilidades.”

Destacando a seguir que qualquer desta duas possibilidades são equivocadas quando se tem

em conta os avanços relacionados ao entendimento de como se dá os processos cognitivos.

Também não é apropriada para o desenvolvimento de atividades investigativas.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, nas aulas de investigação o professor tem

outras funções. Assume o papel de organizador e facilitador no processo de aprendizagem.

"Não é mais aquele que expõe todo o conteúdo aos alunos, mas aquele que fornece as

informações necessárias, que o aluno não tem condições de obter sozinho. Nessa função, faz

explanações, oferecem materiais, textos etc." (BRASIL, 1998, p. 38).

Para Ponte; Brocardo e Oliveira (2013) a Investigação Matemática requer mais do

que a aplicação de exercícios para o aluno usar mecanicamente fórmulas ou algoritmos e

operações. As situações de ensino proporcionadas devem ter como ponto mais importante a

construção de significados de forma investigativa. É necessário estimular o desenvolvimento

da capacidade de comunicarem-se matematicamente fazendo experimentações, conjecturas,

descrições, apresentações de resultados e argumentação das conjecturas realizadas com uso da

linguagem oral e escrita estabelecendo relações entre elas de outras diferentes representações

Matemática.

No ato de procurar respostas diferentes para um mesmo problema, ou encontrar

novos caminhos para se chegar a uma mesma resposta o aluno adquire confiança no seu

próprio trabalho e melhora a sua capacidade para resolver problemas, não só em Matemática,

74

como também em outras situações da vida. A investigação se torna um exercício para a

imaginação fazendo da Matemática um fértil campo para descoberta. Como afirma Lorenzato

(2010, p. 43) "por meio de experiências pessoais bem sucedidas, o aluno desenvolve o gosto

pela descoberta, a coragem para enfrentar desafios e vencê-los, desenvolvendo conhecimentos

na direção de uma ação autônoma".

Esta perspectiva de trabalho deve ser de acordo com o papel do professor mediador

previsto nos Parâmetros Curriculares Nacionais em uma forma de pensar a educação em que o

aluno seja visto como protagonista capaz de construir sua própria aprendizagem o papel do

professor passa a ser o de mediador que conduz este aprender. “Uma faceta desse papel é a de

organizador da aprendizagem: para desempenhá-la, além de conhecer as condições

socioculturais, expectativas e competência cognitiva dos alunos.” (BRASIL, 1998, p. 30-31).

Neste novo modelo de atuação pedagógica o professor precisar estar disposto e

preparado para “escolher o(s) problema(s) que possibilite(m) a construção de

conceitos/procedimentos e alimentar o processo de resolução, sempre tendo em vista os

objetivos a que se propõe atingir. (Ibid.). O professor assume assim a função de organizar a

aula e intermediar à aprendizagem.

Nesta concepção de ensino, por meio de atividades investigativas, no decorrer das

atividades cabe ao professor a função de mediador entre os alunos e as situações pedagógicas

criadas exercendo a função de encorajá-los por meio de atividades e questionamentos que os

façam pensar, refletir e agir na construção do seu conhecimento. Em relação a atividade

investigativa do aluno Ponte; Brocardo e Oliveira, consideram que as tarefas e as diferentes

fases de Investigação podem levá-los ao desenvolvimento de trabalhos similares aos dos

matemáticos profissionais sendo que pelo ato de fazer conjecturas e de testar e validar ou

rejeitar tais conjecturas chega-se ao processo de criação Matemática.

3.2.3 A mediação pedagógica com foco na ação do aluno investigador

Nesta perspectiva, esta pode ser uma boa proposta metodológica, porém é necessário

que os professores se proponham adequar suas aulas a mesma, sendo preciso então, estar

preparado não só com o conhecimento do conteúdo como da forma de conduzir a

investigação. Dessa forma completam que a realização de investigações, não raras vezes, se

cria conexões com "outros conceitos matemáticos e até mesmo extra-matemáticos. (PONTE;

BROCARDO E OLIVEIRA, 2013). Logo o professor ao gerir a atividade investigativa

precisa atentar-se para a variedade de oportunidades para exploração de tais conexões,

75

promovendo reflexões sobre elas. "Essa é mais uma das situações em que o professor dá

evidência do que significa raciocinar matematicamente." (Ibid., p. 51).

Conhecer os conteúdos específicos da área em que se vai trabalhar é essencial para

que se faça a inter-relação entre conceitos. De acordo com os Parâmetros Curriculares "o

estabelecimento de relações é fundamental para que o aluno compreenda efetivamente os

conteúdos matemáticos, pois, abordados de forma isolada, eles não se tornam uma ferramenta

eficaz para resolver problemas e para a aprendizagem/construção de novos conceitos."

(BRASIL, 1998, p. 37). Para garantir a articulação e o estabelecimento de relações entre os

conteúdos torna-se necessário que o professor conheça bem, não só a metodologia que

pretende usar como também os conteúdos específicos da Matemática.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, dificilmente um professor

promoveria a aprendizagem de conteúdos que não tenha domínio. Assim, para exercer a sua

função de mediador que se interpõe entre o aluno e o conhecimento matemático "o professor

precisa ter um sólido conhecimento dos conceitos e procedimentos dessa área e uma

concepção de Matemática como ciência que não trata de verdades infalíveis e imutáveis, mas

como ciência dinâmica, sempre aberta à incorporação de novos conhecimentos. (BRASIL,

1998, p. 37).

E esta é uma proposta de trabalhar com o educando uma forma flexível e

significativa de estudar os conteúdos sendo necessário muitas vezes, que o professor

estabeleça conexões entre os conceitos matemáticos levando os alunos a pensar sobre elas.

Para Ponte et al. (1999, p. 16) "trata-se de um aspecto do trabalho do professor que requer

uma boa cultura Matemática e capacidade de decidir, em cada momento, se será de prosseguir

o trabalho ou olhar mais atentamente para aspectos que com ele se ligam diretamente".

No uso desta metodologia de ensino o foco está na participação do aluno que na sua

própria ação de investigar constrói o seu conhecimento, logo, deve ser estimulado a pensar,

trabalhar em equipe, levantar hipóteses, buscar argumentos para formalizar ideias, expor

verbalmente e por escrito seus pensamentos e conclusões respeitando o tempo e os níveis de

aprendizagens individuais. Para Lorenzato (2010, p. 33) "as diferenças individuais precisam

ser consideradas pelos professores, mesmo reconhecendo que elas são complicadores para a

prática pedagógica, pois, seria mais fácil se todos os alunos fossem iguais".

Nesta forma de ensinar, partindo da investigação do próprio educando em sala de

aula pode alterar o nível de conhecimento destes alunos. Assim, o professor deixa de ser

detentor do conhecimento para assumir o papel de mediador em uma forma de trabalho

pedagógico em que alunos e professor aprenderiam uns com os outros.

76

Segundo Lorenzato (2010, p. 40) "nas aulas de Matemática, quase tudo

provavelmente é obvio para o professor e quase tudo é novidade para os alunos. Portanto cabe

ao professor, tomar cuidado com o que lhe é evidente." O professor deve estar atento aos

objetivos da aula e ao que se quer que seja aprendido pelos alunos, deve estar aberto a novas

aprendizagens, conhecer bem o conteúdo que vai trabalhar e conhecer bem os processos que

envolvem as atividades investigativas de Matemática em que as aprendizagens aconteçam e

tenham significado para os alunos.

Neste trabalho então, termo mediação pedagógica será o termo usado para

caracterizar a ação didática e as atitudes dos estagiários tomadas nas aulas de Matemática que

desenvolveram durante a regência do Estágio Supervisionado do Curso de Licenciatura em

Matemática da UEG/Iporá conforme o que se entende intervenção docente mediadora descrita

neste capítulo e conforme o tipo de mediação proposto para atividade investigativa e levando

em conta peculiaridades que caracterizam condução de uma aula com Investigação

Matemática.

77

4 CAPÍTULO IV - OS SOFTWARES EDUCACIOANAIS DE

MATEMÁTICA E A ESCOLHA DO GEOGEBRA

Este capítulo debate sobre alguns mitos relacionados ao uso das tecnologias na

educação, raz uma pequena síntese histórica dos softwares educacionais e discorre sobre o uso

de softwares como recursos pedagógicos e sobre a escolha dos critérios de avaliação de um

software educativo. Faz uma reflexão sobre a necessidade de criação e uso de novos ambiente

educacionais e identifica as características dos ambientes dinâmicos de ensino e aprendizagem

Matemática proporcionados pelos softwares de Geometria Dinâmica como, por exemplo, o

Geogebra.

4.1 A informática na Educação Matemática

Os avanços tecnológicos das últimas décadas interferiram nas esferas sociais,

econômicas e políticas da sociedade. A chegada dos equipamentos tecnológicos nas

residências dos alunos e nas próprias instituições de ensino provocou implicações nas funções

dos alunos, do professor, da escola e da educação.

Por meio do uso das tecnologias como recurso de aprendizagem os alunos podem

participar mais ativamente das aulas, visto que, os recursos tecnológicos oportunizam a

vivência de situações e problemas e a reflexão sobre estas estimulando a mudanças de atitudes

diante de fatos do cotidiano. O professor pode, a partir dos conhecimentos prévios dos alunos,

auxiliá-los na identificação dos problemas e possibilidade resolução pelas suas próprias

reflexões e ações. Segundo Lévy (1999, p. 171) "o professor torna-se um animador da

inteligência coletiva dos grupos que estão ao seu encargo." Enfatizando a seguir que, a

atividade pedagógica passa a ser "centrada no acompanhamento e na gestão das

aprendizagens: incitamento à troca de saberes, a mediação relacional e simbólica, a pilotagem

personalizada dos percursos de aprendizagem etc.".

Contudo é preciso lembrar que existem muitos mitos relacionados à implantação do

uso das tecnologias na educação e que as mudanças pedagógicas não dependem apenas da

instalação de computadores nas instituições de ensino. De acordo com Valente (1999, p. 21)

"a análise das experiências realizadas nos permite entender que a promoção dessas mudanças

pedagógicas não depende simplesmente da instalação dos computadores nas escolas." Destaca

ainda que para que as mudanças aconteçam é preciso repensar, além dos aspectos

78

pedagógicos, outros aspectos como a organização do espaço, do tempo e dos ambientes de

aprendizagens.

As tecnologias não se tornarão substitutas do professor como figura central no

processo de ensino aprendizagem. Segundo Demo (2008, p. 134) "não há como substituir o

professor. Ele é a tecnologia das tecnologias, e deve se portar como tal." O que pode

acontecer é a mudança de papéis em relação do modo tradicional de ensinar e aprender. O

professor detentor do conhecimento dará lugar ao mediador que ao mesmo tempo ensina e

aprende e o aluno receptor passivo dará lugar ao aprendiz parceiro.

Corroborando da mesma ideia Moran (2000, p. 17) afirma que as mudanças na

educação dependem também dos alunos. "Alunos curiosos e motivados facilitam

enormemente o processo, estimulam as melhores qualidades do professor, tornam-se

interlocutores lúcidos e parceiros de caminhada do professor-educador." Salienta ainda que

"alunos motivados aprendem e ensinam, avançam mais, ajudam o professor a ajudá-los

melhor." (Ibid., p.18). Alunos e professores podem aprender juntos, mas é do professor a

função de acompanhar, dar direção, complementar, tirar dúvidas dos alunos usando o

ambiente da sala de aula e da escola como laboratório de ensino e aprendizagem.

Prover acesso a internet não dá garantias de que seu uso educativo aconteça com

sucesso e democratizar o acesso não diminui a importância da escola na realização da

formação do aluno. Para que aconteça o uso educativo da internet é necessário haver

apropriação social das informações e conhecimentos em que o foco do ensino e aprendizagem

não seja os conteúdos em si e sim os seus contextos. Segundo Moran (2000, p. 29) "as

tecnologias podem trazer, hoje, dados, imagens, resumos de forma rápida e atraente. O papel

do professor – o papel principal – é ajudar o aluno a interpretar esses dados, a relacioná-los, a

contextualizá-los." Ressaltando que "um dos grandes desafios para o educador é ajudar a

tornar a informação significativa, a escolher as informações verdadeiramente importantes

entre tantas possibilidades." (Ibid., p. 23).

Ter um laboratório de informática na escola que seja acessado esporadicamente em

algumas aulas não é suficiente para que mudanças pedagógicas aconteçam. Apenas o fato

utilização das tecnologias na escola não quer dizer que houve mudanças nas formas de ensinar

e aprender. A tecnologia é apenas um recurso que como qualquer outro objeto pedagógico

pode ser usado em aulas tradicionais, como meio apenas de depósito de informações. De

acordo com Demo (2008, p. 03) “todo processo de aprendizagem requer a condição de sujeito

participativo, envolvido, motivado, na posição ativa de desconstrução e reconstrução de

conhecimento e informação, jamais passiva, consumista, submissa.”

79

Logo, quando se pensa sobre a presença das tecnologias e do computador na escola é

preciso estar claro que o computador e os recursos que o acompanham como a internet e os

softwares e aplicativos não devem ser as figuras centrais no processo de ensino e

aprendizagem, são apenas ferramentas que por si só não provocam avanços e mudanças

educacionais. Os professores e os alunos são os principais personagens e o bom uso com

possibilidade de provocar mudanças depende de professores preparados, bons projetos

pedagógicos e metodologias de ensino adequadas, bons gestores e sérias políticas

educacionais.

No estudo sobre a informática na Educação Matemática feito a seguir buscou-se

considerar a realidade hora apresentada e levar em conta que faz parte do cenário educacional

hoje a presença de muitos equipamentos tecnológios como TV, projetores de multimídias e

laboratórios de informáticas com computadores equipados com acesso a internet, softwares

educacionais e aplicativos, calculadoras, planilhas eletrônicas, dentre outros recursos. Diante

desta realidade a utilização das tecnologias e da informática passou a ser objeto de pesquisa e

debate nas áreas educacionais. Assim, foi tambem motivo de reflexão neste trabalho que deu

ênfase no debate relacionado os aspectos relacionados ao o uso do computador e dos

softwares educacionais como objetos de ensino e aprendizagem.

4.2 Os softwares educacionais

Para melhor compreensão do uso de softwares na sala de aula é importante conhecer

um pouco da história do uso pedagógico destes recursos.

O uso de softwares na educação teve início na segunda metade do século passado. De

acordo com Valente (1993) o uso de softwares na educação teve início na década de 1940.

Um dos destaques entre os primeiros sistemas de computador usados por algumas instituições

de ensino americanas foi o PLATO desenvolvido na década de 1960, pelo engenheiro Donald

Bitzer da Universidade de Illinois. Embora muitas instituições não o tenham usado devido o

seu alto custo, representou um marco importante na história do uso da informática na

educação.

Na década de 1970 os softwares deixaram de ser construídos apenas nas

Universidades, passando a ser criados por pessoas comuns e isto se deve à chegada do

computador pessoal. Na década de 1980 surgiram muitas empresas sem fins lucrativos que

alavancou produção de softwares educativos que, deste então, tem aumentado

exponencialmente. De acordo com Valente (1989), nesta década "no mercado brasileiro existe

80

um pequeno número de softwares educativos que foram desenvolvidos, graças à iniciativa do

governo [...]. Entretanto, o número destes programas ainda é muito pequeno”.

Nas duas décadas a seguir, cresceu muito a produção destes recursos pedagógicos.

Segundo Bona (2009), no final da década passada já havia no mercado um grande número de

softwares educacionais desenvolvidos por pesquisadores, estudantes e educadores em

instituições de ensino, organizações não governamentais e empresas públicas ou privadas.

Atualmente, no mercado há softwares que são denominados de aplicativos ou

softwares genéricos que foram criados para fins não educacionais. Alguns deste podem ser

usados pedagogicamente como no caso das planilhas eletrônicas. Contudo, neste trabalho, a

atenção será para o software educacional que de acordo com Bona (2009), Valente (1989) e

Gladcheff, Zuffi e Silva (2001) são aqueles criados intencionalmente para ser utilizados com

fins educativos.

De acordo com estes pesquisadores um software pode ser chamado educacional

quando sua construção for planejada de maneira que possam ser contextualizados

pedagogicamente servindo como instrumento de ensino e aprendizagem. De acordo com Bona

(2009, p. 36) os projetos de softwares educacionais "contêm, de forma consciente ou não,

opções teóricas de ensino e de aprendizagem, que se diferenciam pelos tipos de ambientes

educacionais oferecidos em maior ou menor grau, interatividade, participação e controle na

construção do conhecimento".

Segundo Valente (1993) os softwares educacionais quando usados em sala de aula

propiciam aos alunos buscarem informações, coletarem dados, refletirem sobre as

informações coletadas e aprender, construindo assim o seu conhecimento. Na mesma ideia

Bona (2009, p. 36) afirma que "muitos softwares educacionais estão se tornando uma solução

reveladora e interessante, à medida que são empregados em uma variedade de situações tais

como em simulações, que substituem sistemas físicos reais da vida profissional e testam

diferentes alternativas de otimização desses sistemas." Destacando que, além disto, "podem

também contribuir na estimulação do raciocínio lógico e, consequentemente, da autonomia, à

medida que os alunos podem levantar hipóteses, fazer inferências e tirar conclusões, a partir

dos resultados apresentados." (Ibid.).

Os softwares quando usados pedagogicamente devem dar oportunidade para

interação entre os alunos, o professor e o ambiente de aprendizagem. Segundo Bona (2009, p.

36) os softwares educativos podem contribuir "para o aluno adquirir conceitos em

determinadas áreas do conhecimento, pois o conjunto de situações, procedimentos e

representações simbólicas oferecidas por essas ferramentas é muito amplo e com um potencial

81

que atende boa parte dos conteúdos das disciplinas." As tarefas de ensino do professor passam

a ter novos significados na visão dos alunos e ao professor se oferece "a oportunidade para

planejar, de forma inovadora, as atividades que atendem aos objetivos do ensino. (Ibid.).

Há que se ter cuidado na escolha da metodologia de ensino, contudo, é preciso

cuidado também na escolha do software que não raras vezes, mesmo possuindo recursos

limitados ou que visam apenas a aprendizagem por instrução, pode enganar o usuário

oferecendo uma interface de visual colorido e chamativo. O seu uso em sala de aula pode, ao

contrário de contribuir para a promoção de mudanças positivas na educação, servir para

reforçar a visão tradicional de ensino. Segundo Gravina e Santarosa (1998, p. 74) "se almeja-

se uma mudança de paradigma para a educação, é necessário ser crítico e cuidadoso neste

processo de uso da informática."

Assim quando se trata de mudanças de paradigmas "a informática por si só não

garante esta mudança, e muitas vezes se pode ser enganado pelo visual atrativo dos recursos

tecnológicos que são oferecidos, mas os quais simplesmente reforçam as mesmas

características do modelo de escola que privilegia a transmissão do conhecimento."

(GRAVINA E SANTAROSA, 1998, p. 06). Para haver mudanças de paradigmas

educacionais se faz necessário ser crítico sobre as mudanças necessárias na educação.

Nesta concepção de ensino e aprendizagem de Matemática a atuação do professor

como mediador do conhecimento se torna parte integrante do processo cabendo ainda ao

educador conhecer e selecionar a metodologias e os recursos didáticos mais adequados a cada

conteúdo e turma de alunos. Os computadores não ensinam sozinhos, da mesma forma que

apenas por existirem na escola e serem utilizados pelos professores em sala de aula não se

pode dizer que está havendo ensino de qualidade.

O desenvolvimento de atividades investigativas com uso do computador e de

softwares educacionais é uma possibilidade de metodologia inovadora para o ensino de

Matemática. Dentre as metodologias que privilegiam as atividades investigativas a

Investigação Matemática se apresenta como uma boa opção metodológica para ser associada

ao computador e aos softwares educacionais no ensino e aprendizagem de Matemática. A

seguir estão os resultados do estudo desta possibilidade teórico metodológica trazendo

reflexões sobre esta metodologia de ensino se sobre e a organização do trabalho pedagógico

na condução de uma aula desenvolvida com Investigação Matemática.

Quando se trata do ensino e aprendizagem de Matemática encontra-se no mercado ou

livremente na internet uma variedade de softwares que podem ser utilizados conforme os

objetivos do professor e as expectativas de aprendizagem esperadas dos alunos.

82

4.3 Os softwares educacionais de Matemática

O uso da informática no ensino de Matemática e dos softwares educacionais é

defendido por pesquisadores como Gravina (1996), Gravina e Santarosa (1998), Gladcheff,

Zuffi e Silva (2001), Vaz (2012), Fiorentini (2009), Mendes (2008), Cruz (2005) que

defendem o uso de recursos tecnológicos no processo de ensino e corroboram da ideia de que

estas ferramentas quando utilizadas pedagogicamente têm funcionado como instrumentos de

inovação na educação. Contudo, enfatizam que fica a critério do professor escolher a melhor

proposta para inserção do computador nas aulas de Matemática.

Segundo Gladcheff, Zuffi e Silva (2001) podem ser diversos os objetivos de uso do

computador e dos softwares em aulas de Matemática. Podem servir como fonte de

informação, instrumentos auxiliares no processo de construção do conhecimento, para

construção e autonomia, desenvolvimento de raciocínio lógico na busca de resolução de

problemas.

Existe na internet e no mercado uma variedade de softwares educacionais de

Matemática que segundo Valente (1993) pode ser categorizado em: tutoriais, de exercício e

prática, simulação, sistemas de hipermídia e jogos educacionais. Os que se baseiam na

construção Gravina e Santarosa (1998) os categoriza em ambientes dinâmicos, interativos

e/ou de modelagem ou simulação. Neste trabalho não se fará a descrição de tais categorias,

contudo, é aconselhável que o professore as conheça antes de escolher o software para ser

utilizado em sala de aula.

São vários os softwares de Matemática disponíveis para uso do professor em várias

versões como shareware, demo e freeware e livres. Os classificados como sharewares são

aqueles disponibilizados gratuitamente, porém com algum tipo de limitação, em

geral possuem funcionalidades limitadas e/ou tempo de uso gratuito limitado. As versões

demo são dos programas normais que não apresentam toda a sua funcionalidade. Os softwares

freeware e os livres podem ser usados sem custos e livremente. Nestes, inclusive o usuário

poderá modificá-lo e fazer a redistribuição de cópias modificadas livremente porque código

fonte é aberto e está disponível ao usuário. Serão enfatizados neste trabalho apenas os

softwares gratuitos que podem ser usados sem custos para a escola.

Dentre os softwares de Matemática gratuitos encontrados na internet pode se destacar

seguintes: o programa Régua e Compasso (C. a. R.), que pode ser usado para estudo de

Geometria e construção de gráficos, o Winmat para o estudo de Álgebra e Matrizes, o Polly

para o estudo de Geometria Espacial, os Winplot, Gnuplot e Kmplot para o estudo de

83

Gráficos, o Tangran para estudo de Geometria plana, o Super logo que é interdisciplinar e em

Matemática pode ser usado para desenvolvimento de raciocínio lógico e estudo de Geometria

Plana.

Destaca-se também o Geogrebra que é um software dinâmico e livre pode ser

utilizado no estudo de Geometria, Álgebra e Cálculo. O uso destes recursos com ambientes

dinâmicos possibilita a criação de situações de aprendizagens mais dinâmicas e produtivas.

As características e organização destes ambientes serão tratadas a seguir.

4.4 Ambientes de aprendizagem

Neste trabalho, serão chamados ambientes de aprendizagens ou cenários de

aprendizagens àqueles ambientes em que os alunos puderem atuar com oportunidades de

aprender por meio da sua própria ação em interação com os materiais e pessoas que ali se

encontram. (Skovsmose, 2000). Logo, serão assim denominados, os lugares organizados

previamente pelo professor com intenção de oportunizar aprendizagens tendo como base a

ação do aluno.

Quando se tratar de ambientes virtuais de aprendizagem, estará se referindo aos

espaços onde os professores, os alunos, o computador e seus programas e recursos interagem

possibilitando a construção de conhecimentos. (MORAN, 2000). O ambiente dinâmico se

refere aqueles caracterizados por Gravina e Santarosa (1998) como sendo aqueles softwares

educacionais em que seja possível o aluno construir figuras, investigar propriedades e

conceitos matemáticos por meio da manipulação dos objetos na tela do computador. Ou que

tenham estrutura que possibilitem a exploração e manipulação das ferramentas, movimentos

permitindo que pela experimentação sejam construídas as aprendizagens.

Este trabalho não tem a intenção de classificar os ambientes de aprendizagem. O que

se pretende é refletir sobre os processos de ensino e os papéis dos professores e alunos nestes

espaços de formação visto que, as inúmeras tecnologias disponíveis oportunizam que sejam

criados variados ambientes de aprendizagem que oferecem aos alunos oportunidades de

aprender por meio da sua participação ativa e reflexiva. Estas novas possibilidades

influenciam no planejamento, na forma e no tempo de desenvolvimento das aulas e na

avaliação. Segundo Valente (1999, p. 21) "é necessário repensar a questão da dimensão do

espaço e do tempo da escola. A sala de aula deve deixar de ser o lugar das carteiras

enfileiradas para se tornar um local em que professor e alunos podem realizar um trabalho

diversificado em relação ao conhecimento." Abrem-se oportunidades para a aprendizagem

84

pela naturalidade e pela criatividade por meio de atividades problematizadas e

contextualizadas, que levem em conta a realidade do aluno.

Nesse sentido, é importante a criação de um ambiente de aprendizagem que

oportunize desafios e que esteja aberto a questionamentos, que desperte curiosidade e reflexão

e articulação entre conteúdos e proporcione análise crítica que possa contribuir na formação

de cidadãos conscientes, autônomos e capazes de transformações sociais. (SKOVSMOSE,

2000). Nesse novo ambiente, o aluno pode administrar o seu tempo e construir suas

aprendizagens, cabendo ao professor o papel de orientador ou mediador na busca, seleção e

reflexão sobre as informações coletadas pelos alunos. Para Moran, Massetto e Behrens (2007,

p. 16) "as mudanças na educação dependem, em primeiro lugar, de termos educadores

maduros intelectual e emocionalmente, pessoas curiosas, entusiasmadas, abertas, que saibam

motivar e dialogar. Pessoas com as quais valha à pena entrar em contato, porque desse contato

saímos enriquecidos".

Contudo para que o docente seja capaz de criar e administrar ambientes de

aprendizagens que garantam ao aluno a construção e reconstrução de seus próprios

conhecimentos precisa estar preparado, possuir conhecimentos técnicos e pedagógicos e estar

consciente das mudanças de papéis nestes ambientes. De acordo com Almeida F. J.,

há necessidade de que o professor seja preparado para desenvolver competências,

tais como: estar aberto a aprender a aprender, atuar a partir de temas emergentes no

contexto e de interesse dos alunos, promover o desenvolvimento de projetos

cooperativos, assumir atitude de investigador do conhecimento e da aprendizagem

do aluno, propiciar a reflexão, a depuração e o pensar sobre o pensar, dominar

recursos computacionais, identificar as potencialidades de aplicação desses recursos

na prática pedagógica, desenvolver um processo de reflexão na prática e sobre a

prática, reelaborando continuamente teorias que orientem sua atitude de mediação.

(1988, p. 02)

Esta afirmação está de acordo com Valente (1997) quando diz que a formação de

professores deve proporcionar formação que dê condições para construção de conhecimentos

técnicos e computacionais e sobre como promover a interação entre recursos técnicos e

práticas pedagógicas na produção de conhecimentos e "deve-se criar condições para que o

professor saiba recontextualizar o aprendizado e a experiência vivida durante a sua formação

para a sua realidade de sala de aula compatibilizando as necessidades de seus alunos e os

objetivos pedagógicos. (VALENTE, 1997, p. 14). Estes conhecimentos, quando construídos

na formação docente "possibilita a transição de um sistema fragmentado de ensino para uma

abordagem integradora de conteúdo e voltada para a resolução de problemas específicos do

interesse de cada aluno." (Ibid., p. 14).

85

O computador, quando usado na produção de ambientes de aprendizagens podem

contribuir para uma abordagem mais globalizada dos conteúdos, contudo implica em vencer

desafios. De acordo com Valente (1999, p. 02) "primeiro, implica em entender o computador

como uma nova maneira de representar o conhecimento, provocando um redimensionamento

dos conceitos já conhecidos e possibilitando a busca e compreensão de novas ideias e valores.

Destacando a seguir que quando se deseja usá-lo para esta finalidade, se faz necessário

analisar cuidadosamente o significado de ensinar e aprender bem, o que leva a outra

necessidade que é rever qual deve ser o papel do professor neste contexto.

De acordo com Lorenzato (2009, p. 100) "um software não funciona

automaticamente como estímulo à aprendizagem. O sucesso dele está em promover a

aprendizagem que depende de sua integração com o currículo e com as atividades de sala de

aula". No planejamento de uma atividade pedagógica com uso do computador e de

multimeios é preciso que o professor saiba criar o ambiente, selecionar, disponibilizar e

manusear os recursos materiais para que estejam adequados às expectativas de aprendizagens

esperadas dos alunos e mediar às situações de aprendizagem promovendo a interação entre os

alunos e entre os alunos e os objetos de estudo, pesquisando juntamente com eles

desenvolvendo uma aula não-linear em que a aprendizagem seja construída pelas ações dos

próprios alunos.

No caso da Educação Matemática de acordo com Borba (1999) os conteúdos

curriculares podem ser dinamizados, e os processos de ensino podem ser potencializados

quando se usa ambientes de aprendizagens criados com recursos de informática com uso do

computador e aplicativos. Estes ambientes dinâmicos permitem aprendizagem Matemática

por experimentação possibilitando o surgimento de conceitos novos e de novas teorias.

A seguir apresentam-se algumas características dos ambientes dinâmicos que serão

os tipos de ambientes de Matemática aos quais daremos ênfase neste trabalho.

4.4.1 Ambientes dinâmicos de Matemática

Os ambientes de Matemática chamados dinâmicos são os ambientes de

computadores interativos que permite a quem os manuseia fazer construções de figuras e

objetos, investigar suas propriedades descobrindo conceitos matemáticos por meio da

manipulação dos elementos que constituem o objeto em estudo. A manipulação é realizada no

próprio software usando suas ferramentas e recursos que podem ser analisados por suas

visualizações na tela da máquina.

86

Esse tipo de ambiente permite a interação entre o usuário e os objetos em construção

e análise, permitindo assim a possibilidade de Investigações Matemáticas em que por meio da

experimentação se refina as conjecturas levantadas, confirmando-as para chegar a

formalização de conceitos e em alguns se faz a generalização matemática. (CRUZ, 2005).

Durante a experimentação pode acontecer também de as conjecturas serem descartadas

quando não se é possível confirmá-las, provocando não raramente a criação de um novo

problema. Todas estas ações desafiadoras possibilitam o desenvolvimento do pensamento

matemático. "No contexto da Matemática, a aprendizagem nesta perspectiva depende de

ações que caracterizam o "fazer Matemática": experimentar, interpretar, visualizar, induzir,

conjeturar, abstrair, generalizar e enfim demonstrar. (GRAVINA E SANTAROSA, 1998, p.

73).

Por tornarem possíveis as manipulações de objetos matemáticos de forma interativa e

dinâmica estes tipos de ambientes se apresentam como ideais para a realização de

Investigação Matemática em que o aluno tem a possibilidade de construir seus próprios

conhecimentos fazendo conjecturas, experimentações, formalizações e generalizações tendo

como base as análises que o ambiente permite.

Os ambientes dinâmicos serão ainda explorados no estudo dos softwares

educacionais de Matemática e nos critérios de escolha dos softwares. No texto a seguir o que

se fez foi caracterizar os softwares de Geometria Dinâmica que são classificados como

ambientes dinâmicos de ensino e aprendizagem de Matemática.

4.4.1.1 Os softwares de Geometria Dinâmica

Os programas de computador caracterizados como softwares de Geometria Dinâmica

são aqueles que possibilitam a interação entre o usuário e o objeto em estudo na tela do

computador. O manuseio das suas ferramentas e recursos permite ao usuário a construção de

figuras geométricas e/ou gráficas e a manipulação das suas propriedades em um processo de

experimentação que auxiliam na construção de conhecimentos de Matemática. (CRUZ, 2005).

Por meio da utilização de softwares, o ensino de Matemática e geometria "pode adquirir

características mais dinâmicas, contando assim com diferentes possibilidades de visualização

para os objetos geométricos na tela do computador." (LORENZATO, 2009, p. 111).

Numa perspectiva investigativa, o uso educacional para estudos não só de Geometria

como de outros conteúdos de Matemática estes recursos podem ser acontecer de forma a

valorizar o conhecimento matemático e as suas construções por meio da interpretação, da

87

visualização, experimentação, formalização, demonstração e generalização. "É o aluno

agindo, diferentemente de seu papel passivo frente a uma apresentação formal do

conhecimento, baseada essencialmente na transmissão ordenada de ‘fatos’, geralmente na

forma de definições e propriedades. (GRAVINA E SANTAROSA, 1998, p. 73).

Por todas estas possibilidades de Investigação Matemática, neste projeto, fez-se a

escolha de um software de Geometria Dinâmica para o desenvolvimento das atividades

experimentais com alunos. Dentre os diversos softwares matemáticos que possuem ambiente

dinâmico como, por exemplo, o Cabri-Geometre, o Régua e Compasso (C. a. R) e o

Geometricks, optamos neste trabalho pelo software Geogebra.

Outros critérios usados para na escolha do Geogebra e as suas características que

influenciaram na decisão estão a seguir.

4.5 A escolha dos critérios de avaliação de um software educacional

Para a realização da escolha do software utilizado nas aulas de Investigação

Matemática experimentais deste projeto, primeiramente procurou-se conhecer os critérios de

escolhas de um software educacional. Tais critérios são explicitados a seguir.

No contexto da escola atual é preciso garantir aos professores formação e preparação

para o uso das tecnologias no ambiente escolar. Estar preparado para analisar criticamente,

avaliar e utilizar os softwares educacionais tornou-se uma necessidade. Segundo Valente

(1993, p. 01) "para a implantação dos recursos tecnológicos de forma eficaz na educação são

necessários quatro ingredientes básicos: o computador, o software educativo, o professor

capacitado para usar o computador como meio educacional e o aluno, sendo que nenhum se

sobressai ao outro.” Nesta perspectiva "o computador não é mais o instrumento que ensina o

aprendiz, mas a ferramenta com a qual o aluno desenvolve algo e, portanto, o aprendizado

ocorre pelo fato de estar executando uma tarefa por intermédio do computador." (Ibid.).

Para usar um software educativo, assim como qualquer outro recurso didático o

professor ao planejar as sua aula deve ter objetivos bem definidos, dominar as funções básicas

do objeto educacional, conhecer variadas metodologias de ensino para ser capaz de escolher

aquela que mais se adequar as expectativas de aprendizagens previstas. "Desta forma, é

preciso que o educador procure aspectos considerados positivos nestes aplicativos, a fim de

que realmente se constituam em facilitadores para uma aprendizagem significativa, dentro dos

objetivos definidos pelo educador e a escola." (GLADCHEFF; ZUFFI E SILVA, 2001, p. 03).

88

De acordo com Valente (1989) ao avaliar os recursos computacionais que se

pretende usar como recursos de aprendizagem é importante se orientar por meio de alguns

critérios que tratem da qualidade e da avaliação dos softwares no que se refere às

possibilidades de aprendizagens dos alunos. A escolha deve ser de acordo com o tipo de

atividade pedagógica que se pretende realizar e com as expectativas de aprendizagem

esperadas. De acordo com Brasil, (1998, p.44) "[...] o bom uso que se possa fazer do

computador na sala de aula também depende da escolha de softwares, em função dos

objetivos que se pretende atingir e da concepção de conhecimento e de aprendizagem que

orienta o processo".

Na escolha devem-se analisar as possibilidades pedagógicas oferecidas pelo software

em relação ao conteúdo que se quer ensinar e a metodologia de ensino mais adequada para os

objetivos que se quer atingir. "Quanto aos softwares educacionais é fundamental que o

professor aprenda a escolhê-los em função dos objetivos que pretende atingir e de sua própria

concepção de conhecimento e de aprendizagem" (BRASIL, 2000, p. 35). Aprendendo a

identificar as características dos que "se prestam mais a um trabalho dirigido para testar

conhecimentos dos que procuram levar o aluno a interagir com o programa de forma a

construir conhecimento." (Ibid.).

Logo quem faz a escolha precisa estabelecer relações entre os fundamentos teóricos e

metodológicos e á prática pedagógica que se fará. Os softwares que ofereçam ambientes

interativos em que seja possível explorar situações que permitam a aprendizagem por meio de

atividades investigativas são mais adequados para de utilizar em sala de aula.

Assim, quando se pretende usar um software pedagogicamente é preciso

primeiramente definir qual será o programa mais adequado fazendo uma escolha crítica e

criteriosa, de acordo com o conteúdo que se quer trabalhar, os objetivos da aula e a variedade

de programas que tem a disposição. Depois, refletir sobre os objetivos que se pretende

alcançar para escolher conscientemente a metodologia de ensino mais adequada. Tudo isso

requer do professor bom preparo em relação aos conteúdos, a ferramenta educacional e

conhecimento teóricos e metodológicos. (VALENTE, 1989).

Quando se fala em análise de software, logo são lembradas as características

estabelecidas para se avaliação de um produto de software genérico pela norma ISO/IEC

9126, publicada em 1991, que são: funcionalidade, usabilidade, confiabilidade, eficiência,

manutenibilidade e portabilidade.

A funcionabilidade se trata do conjunto de funções para que se destina o produto

sejam elas explicitas ou implícitas. A usabilidade trata-se da facilidade do manuseio e uso do

89

software. A confiabilidade trata-se do desempenho ao longo do tempo dentro das condições

estabelecidas em relação ao nível de desempenho do produto. A manutenibilidade trata-se das

facilidades de correções, atualizações e alterações. E a portabilidade trata-se da possibilidade

ou não de usar o produto em diversas plataformas com pequenas adaptações.

Contudo, neste trabalho, quando o assunto for a avaliação de softwares educacionais

dar-se-á maior atenção às análises relacionadas aos aspectos pedagógicos. A maior valoração

de análise será em relação aos aspectos educacionais, visto que, segundo Gladcheff, Zuffi e

Silva (2001, p. 04) "[...] há que se considerar que é o professor quem realiza a escolha desse

software e, em geral, não está familiarizado com tantos critérios técnicos." E destaca que ao

escolher um software usado com objetivos educacionais, "deve levar em conta características

formais (se ele está ajudando a criança a desenvolver sua lógica, a raciocinar de forma clara,

objetiva, criativa)." (Ibid.). No entanto, é preciso também que sejam considerados outros

aspectos como, por exemplo, "aspectos de conteúdo (se a temática desenvolvida por ele tem

um significado atraente para a realidade de vida da criança)." (Ibid.).

De acordo com esta pesquisadora, o professor ao analisar um software educacional

deve levar em conta os seguintes alguns aspectos como as características técnicas em relação

a documentação, manual, idioma das instruções; os aspectos de software referentes a

compatibilidade hardware e software, instalação e desinstalação, funções disponíveis e

suporte técnico; os aspectos pedagógicos gerais quanto aos objetivos, quanto ao projeto

pedagógico/plano de ensino/proposta educacional, interatividade, linguagem Matemática,

valorização do progresso pessoal e grupal; os aspectos quanto à usabilidade relacionados à

interface, orientações de uso, manuseio das funções, equilíbrio na utilização de animação, o

som, as cores e outras mídias; as características relacionadas aos conceitos que determinam

como são trabalhados os conceitos matemáticos, contextualização, transversalidade e

praticidade e ainda deve analisar se o programa é livre, se tem custo, se aceita reclamações.

Estes aspectos estão em conformidade como aqueles propostos por Valente quando

afirma que os softwares educativos devem obedecer aos seguintes padrões:

a) engajamento do usuário com o sistema: ser interativos, proporcionar a qualidade

do diálogo, não deve julgar o usuário responder a um erro com "dicas" , oferecer

ajuda.

b) controle do aprendizado: o controle do aprendizado deve estar nas mãos do

estudante e permitir mais do que uma maneira de resolver o problema.

c) o valor do erro: o feedback deve ser neutro quanto à direção a ser seguida,

d) programação sólida e efetiva: usar diferentes tipos de representação da

informação, intenção clara, os objetivos devem ser claros, permitir ao usuário refletir

sobre o que ele fez anteriormente, propor questões desafiantes e engajar mais de um

estudante.

90

e) documentação: os manuais do programa devem ser bem escritos. O nível de

explicação de como o programa deve ser iniciado, mensagem de erro etc., deve ser

tal que o professor e o aluno sejam capazes de entendê-la. (1989, p. 09 e 10).

Ao fazer a escolha do software para usar no ambiente da sala de aula, estes padrões

devem ser levados em consideração pelo professor visto que, são determinantes na dinâmica

da aula interferindo na forma de ensinar do educador e na forma de aprender dos alunos.

4.5.1 A escolha do software Geogebra nesta pesquisa

Neste trabalho especificamente, a Investigação Matemática, foi a metodologia de

ensino utilizada nas atividades experimentais e o software educacional de Matemática

escolhido para uso em sala de aula foi o Geogebra. Quando se fez a escolha do software se

levou em conta os aspectos sugeridos por Gladcheff, Zuffi e Silva, (2001) e Valente (1989),

Costa (2012), contudo o foco maior da avaliação foi em relação as possibilidade de realização

da Investigação Matemática, descrita no capítulo III. A ênfase da análise para a escolha se deu

em relação a aspectos baseados em perguntas como: O software é dinâmico? É interativo? É

Livre? Permite controle de aprendizagem pelo usuário? É de fácil manuseio? Favorece o

estudo autônomo? Possibilita a vivência das fases da Investigação Matemática (conjectura

experimentação e refinamento das conjecturas, formalização e generalização), pelos alunos?

A partir dos estudos realizados e pensando nos conteúdos de Matemática escolhidos

pelos estagiários em parceria com os professores desta disciplina nas escolas campo e nas

peculiaridades da metodologia de Investigação Matemática que se pretendia usar, o grupo de

estágio tomou a decisão de escolher para a realização das atividades experimentais um

software que se qualificasse como de Geometria Dinâmica. Outras características que

influenciaram na decisão foram as facilidades de manuseio e o fato de possuir versão em

português e apresentar critérios técnicos e pedagógicos satisfatórios de acordo com os

elencados anteriormente neste capítulo.

Um critério considerado importante foi que o programa pudesse ser encontrado

gratuitamente na internet e possibilitasse explorar tanto conteúdos de Geometria como de

construção e análise de gráficos. Ou outro critério definitivo foi o software poder ser

executado na plataforma Linux, visto que, nas duas escolas públicas em que se desenvolveu

esta pesquisa este é o sistema operacional usado.

Dentre as possibilidades avaliadas estavam os softwares Cabri-Geometre, o Régua e

Compasso (C. a. R.), o Geometricks, o Igeom e o Geogebra. Todos apresentam versão em

português e são classificados como softwares de Geometria Dinâmica. O software Cabri-

91

Geometre é um software dinâmico, bem conceituado, oferece um ambiente rico em

ferramentas e possibilidades de realização de Investigação Matemática. É produzido pela

companhia francesa Cabrilog e é bastante utilizado em pesquisas sobre o ensino de

Matemática. Contudo foi descartado porque sua utilização depende de pagamento de licença e

as escolas públicas em que as aulas experimentais se desenvolveram não possuíam recursos

financeiros para a compra desta licença. O software Geometricks foi desenvolvido pelo

dinamarquês Viggo Sadolin e é representado no Brasil pelo Prof. Dr. Marcelo de Carvalho

Borba e pela Prof. Dra. Miriam Godoy Penteado, da Universidade Estadual Paulista

(UNESP). Não é gratuito, mas pode ser adquirido por baixo custo ou em versão demo gratuita

na internet. Apesar de ser um software que apresenta características que estão de acordo com

o tipo procurado foi descartado por três motivos: apesar de ser de baixo custo não é gratuito,

as ferramentas para construção de análise de gráficos se apresentaram limitadas para o tipo de

Investigação Matemática que este projeto se propõe e é um software para ser executado na

plataforma Windows. O sistema operacional utilizado nas duas escolas campo do projeto é

Linux.

Os softwares Régua e Compasso (C. a. R.), e Igeom, também se enquadram como

softwares dinâmicos, são gratuitos, de fácil manuseio e podem ser usados no sistema Linux.

Ambos permitem construção de objetos geométricos e a construção e análise de gráficos. O

aplicativo Régua e Compasso (C. a. R.), desenvolvido pelo professor René Grothmann da

Universidade Católica de Berlim, na Alemanha, é um software de Geometria Dinâmica plana,

gratuito, disponível para download na internet. O Igeom Geometria Interativa online

disponível no endereço <http://www.matematica.br/igeom>. É um software para ensino de

geometria interativa desenvolvido sob supervisão do professor Leônidas de Oliveira Brandão,

do Instituto de Matemática e Estatística (IME) da USP. O Igeom é uma ferramenta gratuita

para ensinar de maneira ativa e interativa, que pode ser usado no ensino fundamental, médio e

superior. Como tem opção de ser executado no modo online, diretamente na internet e sem

download, pode ser executado na plataforma Linux ou Windows.

Estes dois últimos são softwares dinâmicos que atende as características esperadas

para um ambiente desse tipo, são gratuitos e permitem boas possibilidades de Investigação

Matemática. Contudo, o grupo de pesquisa, optou pelo software Geogebra que é rico em

possibilidades de Investigação Matemática, gratuito e livre e dinâmico.

Até o momento da avaliação este software era desconhecido de todos os acadêmicos

estagiários quarto ano do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de

Goiás, Campus Iporá, participantes do grupo de pesquisa que desenvolve este projeto. Isto foi

92

verificado durante o período de avaliação e seleção dos softwares. A opção pelo Geogebra se

deu principalmente por suas características dinâmicas e pela riqueza de ferramentas e recursos

que oferece permitindo que sejam explorados os mais variados conteúdos de Matemática

como construção e análise de gráficos, geometria, álgebra, dentre outros.

A análise se deu com base nos critérios elencados neste capítulo, foram considerados

relevantes os aspectos técnicos, contudo, o que pesou mais na decisão e escolha foram às

possibilidades pedagógicas que o software oferece.

4.5.1.2 Características do Geogebra: um software de Geometria Dinâmica

O Geogebra foi criado prof. Dr. Markus Hohenwarter da Flórida Atlantic University,

em 2001, está classificado como um software de Geometria Dinâmica apesar de também

permitir a exploração de conteúdos como álgebra e construção e análise de gráficos.

Características técnicas do Geogebra

O Geogebra atende a muitos dos critérios procurados no software que desejado para

a realização desta pesquisa. De acordo com Oliveira; Guimarães e Andrade o software

Geogebra pode der caracterizado assim:

o Geoebra é um software livre e gratuito que se caracteriza como um ambiente

computacional de geometria dinâmica e álgebra e construções gráficas e foi

desenvolvido por Markus Hohenwarter. Além de ser livre e gratuito o GeoGebra é

um software multiplataforma, ou seja, pode funcionar em qualquer computador

independente de seu sistema operacional; e ainda não precisa ser instalado no

computador quando utilizado online. A interface do software possui uma linguagem

simples e contém vários recursos que são de fácil manipulação, pois a cada

ferramenta escolhida é dada uma “dica” de como utilizá-la. Além disso, todas as

tarefas executadas na área de construção aparecem também na janela algébrica.

(grifo do autor). (2012, p. 04).

É gratuito, possui versão em português, funciona na plataforma Linux, é de fácil

manuseio, possui uma infinidade de recursos e ferramentas Matemáticas. Assim, se apresenta

como o software propício para realização de Investigações Matemática. Suas funcionalidades

o tornam um software propício para usado na Educação Matemática desde a primeira fase do

Ensino Fundamental até o Ensino Médio e Superior para o estudo de geometria, álgebra e

cálculo.

Dispõe de inúmeros recursos que vão dos mais simples até os mais complexos e

sofisticados. Possui desde paleta de cores, redação e edição de textos, construção de objetos

geométricos, função de inserir imagens, calculadora, área de gráficos, controles deslizantes,

93

movimentos, dentre muitos outros. Quando o usuário abre o software Geogebra irá encontrar

uma tela branca e ferramentas que proporcionam inúmeras possibilidades de construções,

experimentações e análises que poderão ser utilizadas na construção de conhecimentos

matemáticos. De acordo com Costa (2012, p. 30) ao usar o Geogebra é um ambiente dinâmico

em que as construções Matemáticas "podem ser encaradas como verdadeiros quebra-cabeças:

temos algo a ser construído e as peças disponíveis [...] o perfeito arranjo delas podem permitir

chegar à solução". (Ibid.).

Dispõe também de alguns recursos que somente as versões de softwares de

Geometria Dinâmica mais atualizados possuem, como por exemplo, o arrastar, que permite

com uso do mouse arrastar o objeto construído pela tela do computador mudando a

configuração por meio da criação de movimentos. Esta função diferencia o Geogebra de

outros softwares de Geometria Dinâmica menos atualizados como o Geometricks e permite ao

usuário por meio dos movimentos e experimentações estabelecer relações entre os diferentes

elementos constituidores do objeto em estudo.

Há ainda o comando de traço ou rastro que possibilitam a visualização da trajetória

do objeto ponto a ponto. A animação de objetos e figuras é também um recurso que permite a

simulação de situações que não são possíveis de serem realizadas e analisadas em objetos

estáticos. Outros recursos importantes são os que permitem as transformações geométricas

como, por exemplo, a reflexão, a rotação, a simetria, a translação e ampliação e redução de

figuras e objetos.

Assim o Geogebra atendeu às expectativas iniciais por ser livre, ter uma interface

simples de fácil manuseio, os recursos permitem manipulação e interação entre o usuário e o

objeto em estudo, possibilita trabalhar conteúdos de Geometria e Álgebra e Gráficos. Além do

fato de que "uso do Geogebra aliado a outros recursos didáticos contribuem para um processo

de aprendizagem autônoma do estudante, ou seja, a preocupação está centrada nos processos

de ensino e aprendizagem.” (OLIVEIRA; GUIMARÃES E ANDRADE, 2012, p. 05).

Características e possibilidades pedagógicas do Geogebra

Pesquisas realizadas por autores como Vaz (2012), Nóbrega (2010), Bortolossi

(2012) mostram que o software Geogebra é um software dinâmico que permite aos alunos

criarem, fazerem e agirem sobre as suas ferramentas e objetos, com poder para escolherem

estratégias e decidirem como resolver um problema, agindo assim como sujeito ativo na sua

aprendizagem. O software, de acordo com Vaz (2012, p. 40) vale a pena ser utilizado "porque

94

se enquadra na categoria da geometria dinâmica, livre, permitindo uma boa interatividade,

possibilitando trabalhar teoremas, construção de conceitos, testarem hipóteses e fazer

releituras importantes de conteúdos matemáticos. E ainda por permitir que o saber do aluno

"seja obtido através da interação realizada em atividades planejadas. Assim, podemos

articular o processo de ensino aprendizagem, passando de um modelo baseado na informação

para um modelo fundamentado na construção do saber. (Ibid.).

Nesta mesma ideia, Oliveira; Guimarães e Andrade (2012, p. 05) afirmam que "a

utilização deste software oferece oportunidades ao aluno de transformar suas imagens mentais

em imagens visíveis, ou ainda de observar e criar novas imagens de acordo com que se dá o

processo de formulação de hipóteses ou de descobertas Matemáticas".

Estas são peculiaridades da Investigação Matemática que de acordo com as

características de um ambiente dinâmico que promove um processo interessante e desafiador

de ensino e aprendizagem descrito no item 4.4.1 deste capítulo. De acordo com Gravina

(1996) neste processo as explorações e estratégias que vão se delineando ao longo do trabalho

"são similares às que acontecem no ambiente de pesquisa de um matemático profissional. Esta

postura investigativa contribui para a formação de uma concepção sobre Matemática diferente

daquela construída, usualmente, ao longo da vida escolar." (Ibid., p. 09).

O Geogebra ao ser manipulado pelos alunos possibilita a construção e a reconstrução

do conhecimento por meio do levantamento de hipóteses, da experimentação, do refinamento

das hipóteses e da formalização de conceitos matemáticos. Segundo Cruz, (2005, p. 19) "O

ambiente dinâmico e interativo pode garantir condições para que a construção Matemática

também seja dada pela indução e generalização".

Desta forma, o Geogebra foi o software escolhido para ser utilizado neste trabalho,

inicialmente por ser um software educativo da categoria livre, ter ambiente dinâmico e

interativo, visto que suas características estão de acordo como conceito de educativo e

dinâmico usado neste trabalho. Seus os objetos e suas propriedades podem ser manipulados

de forma dinâmica pelos alunos. O que está de acordo com Cruz (2005) quando diz que a

exploração em um ambiente dinâmico e interativo deve centrar-se "na possibilidade do grupo

de alunos analisarem o objeto construído considerando questões didáticas que oportunizam,

em face da dinamicidade que o ambiente oferece visualizações não apenas desse objeto, mas

de outros entes relacionados diretamente à figura. (Ibid., p. 20). Assim, caracterizando-se

como ambiente dinâmico, possivelmente poderia propiciar a Investigação Matemática em sala

de aula no estudo de variados conteúdos de Matemática.

95

5 CAPÍTULO V - O ESTÁGIO SUPERVISIONADO NO CURSO DE

LICENCIATURA EM MATEMATICA DA UEG, CAMPUS IPORÁ

Na a pesquisa realizada para a construção deste capítulo, que se trata especificamente

da formação de professores e das especificidades do Estágio Supervisionado realizado pelos

alunos do Curso de Licenciatura em Matemática da UEG Campus Iporá, além da orientação

do professor Dr. Duelci Aparecido de Freitas Vaz, contamos com a colaboração da Drª.

Flomar A. Oliveira Chagas, professora do Instituto Federal de Goiás, Campus Jataí que

contribuiu com a sugestão de obras e na realização da pesquisa para que fosse possível

identificar as características que marcaram o Estágio Supervisionado do Curso de Matemática

da UEG/Iporá que de acordo com projeto de Estágio do Curso tem proposta à formação pela

proximidade entre teoria e prática, pela pesquisa.

De acordo com as atividades desenvolvidas pelos acadêmicos, em alguns momentos

do estágio em suas formações o foco do debate e das pesquisas são relacionados a função

social do professor, à construção da identidade profissional e aos aspectos gerais da profissão.

Enquanto em outros o debate está relacionado ao trabalho do professor diretamente em sala de

aula e nesses casos, as pesquisas tiveram foco na análise de metodologias de ensino, recursos

de aprendizagem e nas aprendizagens Matemáticas por meio de atividades investigativas que

propiciassem a construção conhecimento por meio da ação dos próprios alunos numa

perspectiva de indissociação entre teoria e prática.

Os estudos se deram no Parecer 009/2001 do Conselho Nacional de Educação e em

teóricos da área de formação de professores como Pimenta (1997), Pimenta e Lima (2008),

Nóvoa (2002), Lorenzato (2009), Ponte (2004), Almeida e Pimenta (2014). São pesquisadores

que defendem a formação docente tendo como base maior a construção de saberes a partir da

pesquisa tendo como foco a proximidade entre teoria e prática, pela pesquisa ou a pesquisa da

práxis. Cada um a sua maneira, defende o seu ponto de vista, entretanto todos têm em comum

o argumento a favor a pesquisa como elemento importante na formação do professor.

Defendem a formação docente por meio da construção da autonomia, da crítica, da

reflexão e da pesquisa. Acreditam que a reflexão sobre a própria prática e o conhecimento da

realidade escolar são essenciais para o desenvolvimento de uma prática docente consciente. A

formação do professor se dá durante toda a sua vida escolar, acontece em parte na licenciatura

e continua depois da sua formação inicial, por meio da própria prática docente.

96

Neste trabalho o foco do debate se dará principalmente em relação a formação inicial que

acontece nos cursos de formação de professores, tratando especificamente daqueles que não

tiveram ainda experiências docentes.

Da formação docente inicial, segundo Pimenta (1997, p. 06) espera que se "mobilize

os conhecimentos da teoria da educação e da didática, necessários à compreensão do ensino

como realidade social." E que se desenvolva nos professores em formação "a capacidade de

investigar a própria atividade para, a partir dela, constituírem e transformarem os seus

saberes-fazeres docentes, num processo contínuo de construção de suas identidades como

professores." (Ibid.). Nesse sentido “a universidade é por excelência o espaço formativo da

docência, uma vez que não é simples formar para o exercício da docência de qualidade e a

pesquisa é o único caminho metodológico para esta formação.” (PIMENTA E LIMA 2008, p.

41). Para Pimenta (1997, p. 06), "do curso de formação inicial se espera que forme o professor

ou que colabore para sua formação".

Uma possibilidade de se desenvolver a capacidade investigativa, crítica e reflexivas

no professor em formação poderiam ser por meio do incentivo à realização de pesquisas que

possibilitassem que teorias e práticas fossem vivenciadas de forma indissociável.

5.1 A reflexão/pesquisa na formação do professor

De acordo com Fiorentini e Lorenzato (2009, p. 77) "a reflexão é uma condição

necessária, mas não-suficiente para o professor vir a ser pesquisador. A prática investigativa

pressupõe primeiro, uma prática reflexiva." Destaca ainda que no trabalho do professor "é

essa prática ou atitude que o faz perceber problemas em seu trabalho e levantar questões que

podem levá-lo a um processo mais sistemático de pesquisa." (Ibid.).

Na mesma ideia Ponte (2004, p. 41) afirma que a pesquisa do profissional em

formação dever ser "orientada por valores, mas não está ao serviço de quaisquer valores – a

não ser os valores da qualidade da educação e do questionamento e reflexão." Torna-se

necessário então, formar professores que assumam atitudes investigadoras. “Um professor

atuante não pode ser apenas alguém que aplica conhecimentos produzidos por outros atuando

indiferente aos processos e mecanismos sociais que interferem na rotina escola e na

educação." (Ibid.).

Corroborando da mesma compreensão Nóvoa (1997, p. 27) destaca que “as situações

conflitantes que os professores são obrigados a enfrentar (e resolver) apresentam

características únicas, exigindo, portanto características únicas: o profissional competente

97

possui capacidades de autodesenvolvimento reflexivo." Enfatiza ainda que "a lógica da

racionalidade técnica opõe-se sempre ao desenvolvimento de uma práxis reflexiva." E ainda

segundo Nóvoa (2002, p. 23), “o aprender contínuo é essencial, se concentra em dois pilares:

a própria pessoa, como agente, e a escola, como lugar de crescimento profissional

permanente”. Logo a formação acontece de forma contínua e reflexiva e procura encontrar

novos modos para o uso do conhecimento construído.

Para Almeida e Pimenta (2014), "o estágio desempenha um importante papel na

formação docente por meio da pesquisa ao favorecer, estimular e até mesmo conduzir

investigações que partam de situações vividas pelos alunos das licenciaturas nas escolas."

Com base nos estudos destes e de outros estudiosos sobre o assunto o que se deseja

neste capítulo é caracterizar a epistemologia do estágio realizado nos moldes previsto no

projeto de Estágio do Curso de Licenciatura em Matemática da UEG/Iporá em que segundo o

seu projeto se dá ênfase a proximidade entre teoria e prática, pela pesquisa da práxis em que o

futuro professor ao contrário de ser um mero objeto de investigação toma para si ao papel de

próprio sujeito da investigação se colocando como agente de mudanças por meio da atividade

reflexiva no que se refere sua própria pratica e a sua profissão. Pela pesquisa seu próprio fazer

e da realidade em que está inserido busca construir conhecimentos que contribuam melhorar a

qualidade do seu trabalho.

Ao verificar as produções finais dos acadêmicos, no terceiro ano percebe-se que o

foco do debate e das pesquisas são relacionados a função social do professor, à construção da

identidade profissional e aos aspectos gerais da profissão buscando a consciência das

interrelações entre teoria e prática por meio da pesquisa. Enquanto que no quarto ano do curso

o debate está relacionado ao trabalho do professor diretamente em sala de aula e o foco das

pesquisas está nas análises de metodologias de ensino, nos recursos de aprendizagem e nas

aprendizagens Matemáticas por meio de atividades investigativas que propiciem a construção

conhecimento por meio da ação dos próprios alunos numa perspectiva de indissociação entre

teoria e prática.

No estudo para construção deste capítulo levou-se em consideração ainda que para

ser professor no contexto atual da educação, faz-se necessário um conjunto de esforços,

interesse, expectativas e de valores e crenças que não raramente vão ao encontro com a

precariedade das condições de trabalhos e que os desencontros entre as condições de trabalho

e o ideal de formação se refletem na ação docente.

5.2 A formação de professores e os saberes da docência

98

Para compreender a função do Estágio Supervisionado na formação inicial dos

professores se faz necessário identificar como se dá a construção dos saberes necessários à

docência na formação de professores frente aos desafios enfrentados pelos cursos de

licenciatura. Dentre os pontos de reflexão neste trabalho, constam dos desafios vivenciados na

formação de professores, dos conhecimentos e dos saberes necessários à docência, da prática

reflexiva da profissão, da formação inicial oferecida pelos cursos de licenciaturas formação da

identidade do professor e do perfil do professor pesquisador, dentre outros temas relacionados

ao exercício da profissão. Logo, o que se busca a seguir é responder a pergunta: quais são os

principais desafios enfrentados pelos cursos de licenciatura e como se dá a construção dos

saberes necessários à docência na formação de professores?

5.2.1 O contexto das pesquisas educacionais no Brasil a partir da década de 1970

Até o final da década de 1970, valorizavam-se nas pesquisas educacionais,

prioritariamente os aspectos didáticos e pedagógicos como, por exemplo, os métodos e as

técnicas de ensino, o planejamento e a avaliação. A partir desse época, período tecnicista, as

pesquisas educacionais se fortaleceram e consolidaram ocorrendo a diversificação das

temáticas de estudo e o aprimoramento da sistemática e do rigor metodológico. Nesse

período, de acordo com Fiorentini; Souza Jr; Melo (2012, p. 310) "o professor vê-se reduzido

à condição de técnico que apenas toma conhecimento, por meio de cursos de atualização, do

que foi pensado/produzido pelos especialistas". Apesar das pesquisas estarem relacionadas

aos processos de ensino e de aprendizagem, conforme Charlot (2005), Fiorentine e Lorenzato

(2009) estas tinham como foco o modo como os alunos aprendiam, dando pouco valor ou

importância a forma como os professores ensinavam. Os saberes dos professores considerados

sem relevância e sem legitimidade "embora a prática pedagógica da sala de aula e os saberes

docentes tenham começado, nesse período, a serem investigados, as pesquisas não tinham

intuito de explicitá-los e/ou valorizá-los como formas válidas de legítimas de saber."

(FIORENTINI; SOUZA JR; MELO (1998, p. 314).

A partir da década de 1980, segundo Fiorentini (2009, p. 07) surgiram novos grupos

de pesquisas e de investigação nas diversas áreas da educação como a Sociedade Brasileira de

Educação Matemática (SBEM), a Associação de Nacional de Pesquisa e Pós-graduação em

Educação (ANPED) e criação e ampliação dos programas de pós-graduação na Pontifícia

Universidade Católica do Rio de Janeiro e nas Universidades Federais do país. Nesta década,

"a dimensão sociopolítica dominaria o discurso pedagógico, sobretudo as

99

relações/determinações sociopolíticas e ideológicas da prática pedagógica", entretanto, “os

saberes dos professores continuam pouco valorizados, não sendo problematizados",

(FIORENTINI; SOUZA JR; MELO (1998, p. 313).

As pesquisas davam destaque aos pontos negativos das práticas pedagógicas e às

carências dos saberes docentes. Segundo Fiorentini e Lorenzato (2009. p. 33) "os primeiros

estudos sobre as práticas pedagógicas em sala de aula procuravam analisá-la em sua

negatividade, isto é, pelas suas carências ou confirmações em relação ao modelo teórico que

idealizava".

Nesta ideia, a formação de professores, por muito tempo, teve o foco quase que

exclusivamente centrado no conhecimento sobre a disciplina ministrada. O domínio da

disciplina era explorado parcialmente. Contudo, a pesquisa em educação foi sofrendo

transformações, incentivadas a partir das interferências do movimento de profissionalização

do ensino que começou ainda nesta década. A partir de então, pode-se citar o reconhecimento

de que existem saberes que são específicos da profissão docente, que são desenvolvidos por

professores durante o seu processo de formação, para o exercício da profissão e de saberes da

experiência da própria profissão como educadores. Para Charlot (2005) o saber e a formação

são inseparáveis, a relação com o saber é a fundamentalmente a base da aprendizagem.

Assim, muitas pesquisas foram desenvolvidas tendo como objeto de pesquisa os

saberes dos professores o que provocou o crescimento, a diversificação e a polarização de

conhecimentos relacionados ao campo de pesquisa educacional.

Simultaneamente, às mudanças ocorridas nas pesquisas da área da educação, nas

últimas décadas, ocorreram também no Brasil e no mundo, transformações nos campos da

economia, das tecnologias e das mudanças sociais que interferiram no contexto educacional,

influenciando no perfil profissional dos professores. O contexto atual da educação exige

profissionais preparados para lidar com os avanços tecnológicos e com as várias exigências

sociais da atualidade.

Diante do novo perfil esperado dos professores, as pesquisas sobre formação e

práticas buscam novos caminhos para a formação docente. Dentre os pontos principais,

constam a formação da identidade do professor, os conhecimentos e saberes necessários à

docência, a prática reflexiva da profissão, a formação inicial oferecida pelos cursos de

licenciaturas, o perfil do professor pesquisador, dentre outros temas relacionados ao exercício

da profissão. Ao tratar da formação inicial do professor, há, porém, de se levar em conta os

desafios enfrentados nos cursos de licenciatura no campo institucional e curricular.

100

5.2.2 Cursos de licenciatura e seus desafios

Os profissionais da educação, em suas práticas convivem com vários problemas. De

acordo com Ponte entre os desafios encontrados pelos profissionais destas áreas estão:

o insucesso de seus alunos, relativamente a objectivos de aprendizagem curricular e

até a objectivos básicos de socialização e enculturação; a desadequação dos

currículos e programas em relação às necessidades e condições dos públicos a que se

destinam; o modo ineficaz e desgastante como funcionam as instituições educativas;

a incompreensão de grande parte da sociedade, a começar pelos meios de

comunicação social, para as condições extremamente adversas em que se trabalha na

educação. (2004, p. 01).

Como em outros níveis da educação, a formação nos cursos de licenciaturas ao longo

da sua história passa por inúmeros desafios elencados pelo Parecer 009/2001 do Conselho

Nacional de Educação, documento que constitui a Proposta de Diretrizes para a Formação de

Professores da Educação Básica, em cursos de nível superior no Brasil. Esses desafios são

apontados também por pesquisadores renomados como, por exemplo, Pimenta (1997) e

Fiorentini e Lorenzato (2009) que pesquisam sobre a temática.

O referido Parecer 009/2001 elenca como principais desafios os do campo

institucional e do campo curricular. Quanto ao campo institucional, estão: a segmentação da

formação dos professores e a descontinuidade na formação dos alunos da educação básica, a

submissão da proposta pedagógica à organização institucional, o isolamento das escolas de

formação, o distanciamento entre as instituições de formação de professores e os sistemas de

ensino da educação básica. Já no campo curricular, os maiores desafios ocorrem por

desconsiderar o repertório de conhecimento dos professores em formação, por desconsiderar

as especificidades próprias dos níveis e/ou das modalidades de ensino em que são atendidos

os alunos da educação básica e ainda, por desconsiderar as especificidades próprias das etapas

da educação básica e das áreas do conhecimento que compõem o quadro curricular na

educação básica. Além dessas desconsiderações, há também de se levar em conta o tratamento

inadequado dado aos conteúdos em geral, há ausência de conteúdos relativos às tecnologias

da informação e das comunicações. Outro desafio, diz respeito ao tratamento inadequado

dado à pesquisa, e não se pode deixar de dizer do tratamento restrito da atuação profissional e

da concepção restrita de prática e, por fim há poucas oportunidades para o desenvolvimento

cultural.

Um dos aspectos importantes trata-se do ingresso do aluno na graduação. A

formação básica dos ingressantes ao magistério, conforme o referido Parecer é deficitária

visto que, eles chegam à graduação sem os conhecimentos mínimos necessário para

101

prosseguimento dos estudos neste nível de ensino. Este fato relaciona-se com outro desafio

que é a pouca consideração dada pela instituição formadora aos saberes anteriores dos alunos,

futuros professores, "o repertório de conhecimentos prévios dos professores em formação nem

sempre ser considerado no planejamento e desenvolvimento das ações pedagógicas",

(BRASIL, 2001, p.19).

Outro desafio consiste na aproximação ente os conteúdos pedagógicos e os

específicos. O conhecimento didático-pedagógico fica em segundo plano uma vez que há

valorização excessiva e preocupação exagerada com as disciplinas específicas nos cursos de

licenciatura, "é frequente colocar-se o foco quase que exclusivamente nos conteúdos

específicos", (Ibid., p. 21).

É o ideal contrastando com o real. De acordo com o Parecer 009/2001, "as escolas de

formação devem garantir, com qualidade e em quantidade suficiente, recursos pedagógicos,

tais como: bibliotecas, laboratórios, videoteca, entre outros, além de recursos de tecnologia da

informação", (BRASIL, 2001, p.50). Este é o ideal, porém o real é a convivência com a falta

destes investimentos na formação de professores nos cursos de licenciatura, nas instituições

superiores de ensino, visto que elas, na sua maioria, não dispõem das condições ideais para o

ensino de qualidade.

A maioria das instituições formadoras não conta com laboratórios adequados e nem

equipados para desenvolver pesquisas. A pouca valorização da pesquisa como prática

investigativa também é um desafio que urge ser superado. Ao se dar pouca importância à

prática investigativa perde-se a oportunidade de se formar cidadãos pesquisadores e aguçar a

criatividade a criticidade. Ainda são poucas as instituições de formação de professores que

estimulam a pesquisa para o exercício da profissão.

Também a ser superada, é a falta de interdisciplinaridade e de transdisciplinaridade

nos cursos de formação de professores. Na maioria das vezes, o fazer pedagógico acontece de

forma isolada, tornando o conhecimento fragmentado. Currículos organizados por

justaposição de disciplinas e a figura do professor transmissor de conteúdos curriculares,

predominam “na organização universitária que, a despeito de serem tomados como

verdadeiros e inquestionáveis, muitas vezes são fragmentados, desarticulados, não

significativos para os alunos [...]” (PIMENTA E ANASTASIOU, 2010, p.154).

As diretrizes curriculares propõem um envolvimento entre as disciplinas para juntas

formar um ensino homogêneo, para tanto, "a interdisciplinaridade e a transdisciplinaridade

previstas na organização curricular das etapas da educação básica requerem um

redimensionamento do enfoque disciplinar desenvolvido na formação de professores."

102

(BRASIL, 2001, p. 27). Outro problema constatado nos cursos de formação de professores

está no fato de que eles "não instigam o diálogo com a produção contínua do conhecimento e

oferecem poucas oportunidades de reinterpretá-lo para os contextos escolares no qual atuam"

(BRASIL, 2001, p. 21). A formação inicial pouco tem preparado o futuro professor para atuar

na docência com compreensão das práticas pedagógicas que se constituem num processo de

formação contínua.

Ao tratar da formação de professores e dos saberes profissionais é preciso levar em

conta as dificuldades e os desafios encontrados nos cursos de formação de professores que

refletem nas formas de ensinar, de aprender e nas relações estabelecidas com os saberes dos

envolvidos. Urgem medidas, como políticas públicas e adequação dos cursos de formação de

professores para oportunizar uma formação com boa base teórica e que possibilite ao docente

em formação a construção de uma postura crítica e reflexiva frente a sua própria prática e aos

problemas da educação, que caracteriza o professor pesquisador.

5.2.3 A relação entre a formação de professores e os saberes profissionais docente

Nos cursos de formação de professores, a formação inicial do docente é precária, em

parte, porque os currículos são fragmentados e desarticulados e estabelecem restrita relação

com o cotidiano do professor em formação. Estes fatores acabam interferindo na ação docente

e na relação estabelecida pelos professores com os saberes pedagógicos.

O desenvolvimento de currículos com conteúdos mais próximos à realidade pode

contribuir neste processo. O fato de os cursos de Licenciatura desenvolver currículos formais

compostos de conteúdos e de atividades distantes da realidade e do que se deseja como real

prática social de educação, pouco tem contribuído para a formação profissional docente. De

acordo com Pimenta (1997, p.6):

dada a natureza do trabalho docente, que é ensinar como contribuição ao processo de

humanização dos alunos historicamente situados, espera-se da licenciatura que

desenvolva, nos alunos, conhecimentos e habilidades, atitudes e valores que lhes

possibilitem, permanentemente, irem construindo seus saberes fazeres docentes, a

partir das necessidades e desafios que o ensino, como prática social, lhes coloca no

cotidiano.

Isto vai ao encontro dos dizeres de Fiorentini; Souza Jr e Melo (1998, p. 322) quando

afirmam que "embora o saber seja pessoal e evolua com o tempo e a experiência, ele é

cultural, isto é, constitui-se pelas interações com os outros membros da nossa cultura". Estes

autores destacam que "o nosso saber não é isolado, ele é partilhado e transforma-se, modifica-

se a partir da troca de experiências e da reflexão coletiva com os outros" (Ibid.). A formação

103

do professor irá refletir diretamente nas suas ações pedagógicas e em sua forma de planejar e

fazer intervenções no cotidiano escolar que irá influenciar na formação dos seus alunos.

Segundo Pimenta:

o conhecer diretamente e/ou através de estudos as realidades escolares e os sistemas

onde o ensino ocorre, ir às escolas e realizar observações, entrevistas, coletar dados

sobre determinados temas abordados nos cursos, problematizar, propor e

desenvolver projetos nas escolas; conferir os dizeres de autores e da mídia, as

representações e os saberes que têm sobre a escola, o ensino, os alunos, os

professores, nas escolas reais; começam a olhar, ver e analisar as escolas existentes

com olhos não mais de alunos, mas de futuros professores. (1997, p.11).

A formação deve acontecer em um lugar que se possibilite o desenvolvimento amplo

por meio do engajamento, por meio de relações e inter-relações que façam sentido para quem

aprende. Conforme Charlot (2005), para que haja aprendizagem, o sujeito precisa aceitar ser

educado. E isto só se efetiva quando o indivíduo realiza atividades que fazem sentido para a

sua vida.

Nos cursos de formação de professores é ainda comum haver uma supervalorização

das disciplinas específicas em detrimento das pedagógicas, existe fragmentação dos

conteúdos das diversas áreas do currículo, faltando inter-relação entre as disciplinas de

conteúdos específicos.

Segundo Pimenta (1997, p. 09), é preciso vencer a contradição que se instalou em

que ao mesmo tempo em que os professores em formação "esperam que a didática lhes

forneça as técnicas a serem aplicadas em toda e qualquer situação para que o ensino dê certo;

esperam ao mesmo tempo em que desconfiam, pois há tantos professores que cursaram a

disciplina (e até a ensinam!) e, no entanto, não tem didática." Estes mesmos de certa forma

reconhecem que "para saber ensinar não bastam a experiência e os conhecimentos específicos,

mas se fazem necessários os saberes pedagógicos e didáticos. Na história da formação dos

professores, esses saberes têm sido trabalhados como blocos distintos e desarticulados."

(Ibid.).

O trabalho do professor exige à formação de uma atitude interdisciplinar que

englobe, além da aquisição de conhecimento, as ações pedagógicas que sejam capazes de

promover transformações mais amplas tanto nos alunos, nos professores, na instituição como

também no meio social em que estes estão inseridos. Assim, é preciso se repensar sob qual a

concepção de sujeito se sustenta a formação oferecida. O futuro professor precisa ter

conhecimentos que contemple várias áreas disciplinares pela construção de um conhecimento

amplo que lhe permita segurança no exercício da docência.

104

De acordo com Fiorentini; Souza Jr; Melo (1998) e Charlot (2005), os fatos políticos,

os acontecimentos econômicos, assim como a transformações sociais devem ser objeto de

estudo e de análise no espaço escolar. Este estudo deve favorecer a integração da formação

intelectual com outros conhecimentos da sociedade em que o aluno está inserido. E integração

requer, por sua vez, a formação de professores que sejam capazes de promover efetiva

articulação entre teoria e prática, também cumpra a dimensão política do papel docente.

A formação do professor-pesquisador de acordo com Pimenta e Lima (2008) podem

representar meios para que se estabeleçam as condições para um professor assumir a sua

própria realidade profissional como objeto de pesquisa. A relação entre teoria e prática se

constitui condição necessária do processo de pesquisa que transforma o próprio pesquisador.

Para estas pesquisadoras "o papel das teorias é iluminar e oferecer instrumentos e esquemas

para análise e investigação que permitem questionar as práticas institucionalizadas e as ações

dos sujeitos." (Ibid., p. 43). E ao mesmo tempo, "colocar elas próprias em questionamento,

uma vez que as teorias são explicáveis sempre provisórias da realidade." (Ibid.).

Em relação ao saber profissional, Pimentel e Pontuschka (2014) corroboram com

Tardif (2006) quando afirmam que este é o saber do indivíduo em formação e está relacionado

com a sua identidade, com as suas experiências cotidianas de vida e com a sua história e

atuação profissional, com o seu trabalho no dia a dia com os alunos e com outros participantes

da escola. Os saberes dos professores "dependem das condições reais de trabalho, da

personalidade e da experiência profissional própria de cada um, situando-os na interface entre

o social e o individual." (TARDIF, 2006 APUD PIMENTEL E PONTUSCHKA, 2014, p. 83).

Os saberes da docência constroem-se, pela integração entre os saberes disciplinares,

os saberes curriculares e os saberes experienciais. Segundo Pimenta e Lima (2008) as

instituições de ensino superior, de formação de professores, devem promover a valorização da

pesquisa tendo o professor como foco principal lembrando que quando se deseja trabalhar

com a noção de professor com perfil de investigador, reflexivo é necessário cuidado para

saber distanciar os problemas cotidianos e imediatistas da sala de aula, visto que estão

relacionados à profissão professor, outros aspectos sociais, profissionais que devem ser

considerados. Sendo então

um saber plural, resultante de saberes oriundos da formação profissional que se

articulam com saberes pessoais, com saberes provenientes da formação escolar

anterior, com saberes dos programas, dos livros didáticos usados em seu trabalho e,

ainda, com saberes advindos da sua própria experiência na profissão. (TARDIF,

2006 apud Pimentel e Pontuschka, 2014, p. 84).

105

Para Ponte (2004, p. 12), há que se ter cuidado com os termos professor pesquisador

e professor reflexivo usados necessitando que seja claro o sentido que se quer dar a estes

conceitos. Quanto a isso é necessário que seja clara a concepção de pesquisa norteadora da

formação inicial "pois ser um pesquisador não é partir em busca do acúmulo de

conhecimentos e informações sobre uma determinada temática ou um problema enfrentado na

escola." (SILVA E LIMONTA, 2012, p. 18).

A formação inicial do professor deve ser uma “oportunidade de aprendizagem da

profissão docente e da construção da identidade profissional.” (PIMENTA E LIMA, 2008, p.

99). Logo não dever objetivar apenas a instrumentalização técnica, deve fazer mais do que

ensinar conteúdos e metodologias e técnicas para serem aplicados na sala de aula. De acordo

com Nóvoa (1997, p. 25) "a formação não se constrói por acumulação (de cursos, de

conhecimentos ou de técnicas), mas sim através de um trabalho de reflexividade crítica sobre

as práticas e de (re) construção permanente de uma identidade pessoal". Para Almeida e

Pimenta (2014), "o saber docente é produto de múltiplas interações decorrentes da história de

vida de cada professor, dos sistemas de ensino e instituições escolares, das teorias do campo

educativo e científico, bem como do coletivo profissional."

Segundo Silva e Limonta (2012, p. 18) deve ser "compromisso das instituições

formadoras e das políticas públicas de formação: tornar os profissionais da educação “sujeitos

de conhecimento” capazes de apreender, analisar, criticar e produzir conhecimentos sobre seu

trabalho". Para Silva:

a pesquisa é fundamental porque no despertar da curiosidade, da inquietude, do

questionamento, do desejo de ter novas respostas, da descoberta e criação, da

atividade da práxis e na recusa de ser homem-massa, objeto dos outros contém a

possibilidade de formar sujeitos autônomos capazes de dizer não e de tomar as

próprias decisões. (2009, p. 11).

Assim, em suas formações, para estes pesquisadores, os professores devem ser

chamados a se conceberem como autores e produtores de seus próprios conhecimentos a

partir da investigação da suas próprias práticas incluídas na suas vidas pessoais, levando em

conta todo o contexto em que estão inseridos. A construção do conhecimento acontece pelo

seu próprio saber, fazer, pensar e sentir no enfrentamento do cotidiano da sua profissão.

Conforme Pimenta (1997) é neste processo contínuo, iniciado mesmo antes da

formação inicial, e não somente no momento da atuação profissional, que é construída a

identidade profissional do professor. Identidade esta que é construída a partir do significado

que se dá à profissão, ao rever os significados e as tradições. Ao se confrontar teorias e

práticas, ao se fazer análise das práticas a partir das teorias construindo assim novas teorias.

106

Os saberes da docência e a identidade são construídos conforme o significado que o

professor assume de seus valores, de suas formas da atuação na sociedade, das suas histórias

de vida, das suas angústias e do sentido que ele dá ao ser professor na sua vida. Em relação a

isto, Fiorentini; Souza Jr; Melo propõem que:

1) A formação inicial de professores não pode continuar dicotomizando teoria e

prática, pesquisa e ensino e conteúdo específico e pedagógico. 2) Os eixos de

formação teórica, tanto em relação à(s) disciplinas(s) de sua área de atuação como

àquela relativa à educação, devem continuar tendo lugar de destaques na formação

do professor [...] tendo a prática pedagógica como instância de problematização,

significação e exploração de conteúdos da formação teórica. 3) Os professores de

ensino fundamental e médio poderiam organizar-se em grupos de estudo/pesquisa de

modo a buscar coletivamente reflexivamente a superação de suas práticas

curriculares, promovendo assim seu próprio desenvolvimento profissional. 4) Os

professores universitários que trabalham e investigam a formação continuada

poderiam forma parcerias com os professores do ensino médio e fundamental com o

intuito de desenvolver pesquisa-ação. (1998, p. 332-333).

Enfim, a pesquisa constitui-se de um processo que favorece a construção do

conhecimento. A formação do professor está intrinsecamente ligada forma como os saberes

construídos se manifesta na docência e são incorporados à sua identidade profissional.

(PIMENTA E LIMA, 2008). Ao pesquisar a própria prática, o professor tem a oportunidade

para construir conhecimento sobre esta mesma prática e se reconhecer como professor,

modificando e reformulando as suas formas de trabalhar e se desenvolver profissionalmente.

Neste processo, terão oportunidade de interferir positivamente para inovação dos currículos e

para fortalecimento da profissão e ainda contribuir com as práticas profissionais de outros

professores e de outras instituições.

Nesse sentido o Estágio Supervisionado se apresenta como um espaço importante na

formação inicial do professor. Segundo Pimenta e Lima (2008, p. 62) quando "volta-se para o

desenvolvimento de uma ação vivenciada, reflexiva e crítica." Contudo lembram que para que

isto aconteça este "deve ser planejado gradativa e sistematicamente com essa finalidade”.

(Ibid.). Logo, se faz necessário ter bem definido qual o tipo de estágio se pretende realizar e

quais habilidades esperam se formar na formação inicial de professores.

5.3 O Estágio Supervisionado na formação do professor

O Estágio Supervisionado é um momento importante da formação dos futuros

profissionais. Nos cursos de formação de professores conforme Buriolla (1999 apud

PIMENTA E LIMA, 2008), o estágio deve constituir de uma ação vivenciada, reflexiva e

crítica em relação a profissão e a função do professor. Para Pimenta e Lima 2008, o estágio é

107

importante na formação de professores porque por meio dele o futuro profissional tem a

oportunidade de conhecer aspectos indispensáveis para a formação da sua identidade e dos

saberes da docência.

Há uma predominância de uma visão técnica do estágio como se ele não dependesse

das outras áreas de formação e esta concepção deve ser superada visto que o estágio não deve

ser apenas uma atividade prática. O estágio segundo Pimenta e Lima (2008, p. 45) "não é

atividade prática, mas teórica, instrumentalizadora da práxis docente, entendida esta como

atividade de transformação da realidade." Lembrando ainda que sob esta perspectiva "o

estágio curricular é atividade teórica de conhecimento, fundamentação, diálogo e intervenção

na realidade, esta, sim, objeto da práxis. Ou seja, é no contexto da sala de aula, da escola, do

sistema de ensino e da sociedade que a práxis se dá." (Ibid.).

Neste sentido o estágio deve proporcionar a articulação dos saberes e práticas e

constitui-se em um grande desafio, oportunizar e estimular ao acadêmico a produção de

saberes. Para que o estágio aconteça efetivamente é necessário superar as barreiras da falta de

articulação entre as áreas do conhecimento. Torna-se necessário então, formar uma concepção

de estágio em que o futuro professor, forme sua identidade de professor por meio da pesquisa

que proporcione reflexões sobre acontecimentos e ações que os auxiliem na compreensão da

realidade da escola. Essa análise deve acontecer por meio das atividades nas escolas que

envolvam amplamente os aspectos da profissão que compõem a complexidade do trabalho

pedagógico e construção da identidade do professor.

5.3.1 A concepção de Estágio no Curso de Matemática da UEG/Iporá

Neste trabalho não se teve a intenção de tecer críticas ao formação de professores

que tem como foco na imitação de modelos e também não esteve em questão a formação por

meio da imitação de modelos ainda que corrobore da ideia de Pimenta e Lima que quando

afirmam que neste modelo o futuro professor se forma basicamente pela ação passiva de "[...]

observar os professores em aula e imitar esses modelos, sem proceder a uma análise crítica

fundamentada teoricamente e legitimada na realidade social em que o ensino se processa."

(PIMENTA E LIMA, 2008, p.36). Também não é objetivo descrever e analisar aquela

formação se embasa na instrumentalização técnica, apesar de se considerar que as técnicas

metodológicas e instrumentais sejam importantes na atividade do professor.

Neste trabalho considera-se que a aplicabilidade de técnicas e de instrumentos deve

fazer parte da formação dos professores, mas dentro de um contexto mais amplo que tem

108

como base o estudo das relações entre teoria e prática como indissociáveis, por meio da

pesquisa científica. As análises de técnicas metodológicas que vise à investigação em sala de

aula e os instrumentos pedagógicos e as práticas dos estagiários são uma parte importante da

formação, contudo dentro de um contexto que tenha como base as relações entre teoria e

prática como indissociáveis, por meio da pesquisa científica.

É importante lembrar que a pesquisa realizada no estágio do curso de Matemática

não se trata daquela ideia de que ao se fazer ensino, automaticamente se estaria fazendo

pesquisa ou o contrário. Trata-se do tipo de pesquisa em os processos do fazer ensino e do

fazer pesquisa não acontecem naturalmente e simultaneamente sem que haja intencionalidade

humana e reflexibilidade de forma sistemática. Desta forma na ideia de pesquisa aqui

pretendida, o fazer ensino está vinculado à pesquisa, de modos articulados e interligados

intrinsecamente de maneira que o ensino dá suporte à pesquisa da mesma forma que esta dá

suporte ao ensino, contudo com a interferência intencional, reflexiva e sistemática do

pesquisador.

Leva-se em consideração neste trabalho que na formação com foco apenas no debate

sobre a teoria e prática corre-se o risco de que estes dois aspectos sejam identificados como

dissociados criando-se um distanciamento entre estes dois aspectos da construção dos saberes

docentes também não será discutida. O debate se dará então em relação a formação em que se

busca a aproximação entre a teoria e a prática por meio da pesquisa e considerando estes dois

aspectos como indissociáveis em que as ações de formação se darão por meio da realização de

pesquisas que possibilitem a ampliação e análise do contexto da sala de aula bem como de

todos os contextos em que o estágio se realiza.

Por meio da realização do estágio como campo de pesquisa que possibilita a vivência

reflexiva e crítica da realidade, a identidade profissional tem maiores possibilidades de ser

construída e considera-se que pela investigação da realidade se formam nos estagiários,

atitudes e habilidades de pesquisadores ao compreender e problematizar as situações

vivenciadas no estágio. Assim, para que este cumpra a sua função se faz necessário o seu

desenvolvimento aconteça sob a perspectiva que as atividades nele realizadas possam ser

utilizadas como objetos de pesquisa de forma que os estagiários possam relacionar teoria e

prática pela análise e reflexão sobre a realidade do campo de estágio. O Estágio

Supervisionado se apresenta assim como espaço de possibilidades para os estagiários

desenvolverem atitudes e habilidades de pesquisadores a partir das situações vivenciadas nas

atividades de estágio.

109

Conforme afirmam Almeida e Pimenta (2014) é ainda durante a vida escolar como

estudante e depois especificamente na graduação que os saberes, as habilidades, as posturas e

atitudes que formam o docente começam a ser construídas. Nos períodos de estágio, por meio

das experiências pessoais que acontecem no contato direto com a escola campo tais saberes,

habilidades e posturas são ressignificados pelo acadêmico. Contudo a formação não termina

na licenciatura e é na atuação docente e no exercício da profissão que os conhecimentos vão

sendo reconstruídos. Assim, "a formação inicial não torna a profissionalidade um produto

acabado, mas pode fornecer fundamentos e diretrizes para que os profissionais, em seus

ambientes de trabalho, possam construí-la e reconstruí-la diante de sua temporalidade e de

seus contextos socioculturais".

Nesta visão de formação o Estágio Supervisionado assume destaque como

componente curricular propício para a realização de pesquisas, produção e divulgação de

conhecimentos relacionados à profissão docente como também as situações de aprendizagem

específicas da disciplina de Matemática em sala de aula. Desta forma fornecendo elementos e

direção para que os futuros professores construir saberes essenciais para formação

profissional.

5.4 Como se realiza o Estágio no curso de Matemática da UEG/Iporá

Este capítulo foi redigido em parte usando a primeira pessoa do singular por ser

tratar de um relato de experiências das atividades desenvolvidas pelos estagiários do terceiro e

do quarto ano do curso sob minha intervenção pessoal como orientadora. Está em foco a

atividade realizada pelos estagiários sob a minha mediação constante. Intervenções

pedagógicas foram necessárias e isto me coloca no centro da pesquisa juntamente com os

outros sujeitos, no caso, os estagiários.

5.4.1 A articulação entre teoria e prática no Estágio do Curso de Matemática da UEG/Iporá

O projeto de Estágio Curricular desenvolvido no Curso de Licenciatura em

Matemática da Universidade Estadual de Goiás, Campus Iporá, está de acordo como o

previsto na LDB 9394/96 acontece como uma modalidade obrigatória e é regido por

princípios, ações e metas da Universidade. Está de acordo com as Diretrizes do Conselho

Nacional de Educação na Resolução nº 2 CNE/CP, de 19 de fevereiro de 2002 e se cumpre

como instrumento de integração. Tem como base a articulação entre a teoria e a prática e entre

o saber e o fazer por meio da pesquisa. Desenvolve-se como uma “forma de integrar o

110

processo de formação do aluno, futuro profissional, de modo a considerar o campo de atuação

como objeto de análise, de investigação e de interpretação crítica, a partir dos nexos com as

disciplinas do curso." (PIMENTA E LIMA, 2008, p. 24 apud OLIVEIRA E PERES, 2013, p.

02).

De acordo com o Projeto Político Pedagógico do Curso (PPC), o objetivo do curso de

Matemática Universidade Estadual de Goiás, Campus Iporá é:

formar profissionais aptos para exercer as atividades docentes em Matemática no

Ensino Fundamental e Médio, capaz de articular seu saber pedagógico e disciplinar

e avançar no campo do conhecimento com atividades voltadas para pesquisa em

Educação Matemática contribuindo, dessa forma, para o desenvolvimento da região

em que se localiza. (UEG, 2009, p. 40).

O projeto de estágio no curso está em consonância com o PPC enfatiza a necessidade

de proximidade entre teoria e prática, pela pesquisa. No terceiro ano do curso, o foco do

debate e das pesquisas é relacionado à função social do professor, à construção da identidade

profissional e aos aspectos gerais da profissão.

No quarto ano o debate está relacionado ao trabalho do professor diretamente em sala

de aula por meio do desenvolvimento de projetos e as pesquisas têm foco na análise de

metodologias de ensino, recursos de aprendizagem e nas aprendizagens Matemáticas por meio

de atividades investigativas que propiciem a construção conhecimento por meio da ação dos

próprios alunos. Debate-se à profissão docente com ênfase nas situações de aprendizagem

específicas da disciplina de Matemática em sala de aula numa perspectiva de indissociação

entre teoria e prática.

5.4.2 O Estágio Supervisionado do terceiro ano: um relato de experiência

Nesta pesquisa o que se deseja é analisar a mediação pedagógica dos acadêmicos

estagiários do quarto ano do curso na realização de Investigação Matemática com o Geogebra

em sala de aula. Entretanto, para analisar a ação didática dos acadêmicos é importante

compreender como foram preparados para a execução desta estratégia metodológica de

ensino, logo, torna-se necessário conhecer como se deu o processo de trabalho para a

formação inicial dos futuros professores durante o estágio desde terceiro ano do curso.

Sou professora orientadora desta turma do Curso de Licenciatura em Matemática da

Universidade Estadual de Goiás, Campus Iporá e atuei como orientadora das atividades de

estágio desde o ano de 2013 quando teve início a primeira fase do Estágio Supervisionado do

terceiro ano do curso. Ao começar as orientações, logo após a apresentação do projeto de

111

estágio do curso para os acadêmicos, apresentei aos alunos uma seleção de obras relacionadas

à formação do professor, a profissão em si e a importância do estágio nesta formação inicial

como, por exemplo, Fiorentini e Lorenzato (2009), Pimenta e Lima (2008), Pimenta e

Anastasiou (2010), Charlot (2005), D'Ambrósio (1996), Lima (2012), Nóvoa (1997),

Braumann (2002), dentre outros. Apresentei também alguns documentos como o Parecer

009/2001 do Conselho Nacional de Educação e o Projeto Político Pedagógico do Curso de

Licenciatura em Matemática da UEG/Iporá e o Projeto Pedagógico Institucional da

Universidade Estadual de Goiás (PPI).

Solicitei-se que cada estagiário escolhesse duas destas obras para realizar a primeira

atividade do estágio que foi leitura das obras escolhidas. Depois da leitura, nos encontros de

estágio, aconteceu a realização de seminários sobre as obras com o objetivo de discutir o

Estágio Supervisionado, a formação do professor e a profissão, confrontando os pontos

comuns e divergentes destas obras. Paralelamente aos debates teóricos iniciou-se a

observação participativa dos estagiários na escola, com intenção inicialmente, não somente de

análise específicas de sala de aula, mas de identificação dos desafios profissionais

vivenciados pelos professores e outros aspectos que envolvem o trabalho educacional na

escola.

A segunda atividade foi a escolha e delimitação do tema de pesquisa a partir da

problemática que cada um identificou como aquela que norteará o seu estágio durante o ano.

A problemática foi identificada por meio das leituras e debates teóricos na Universidade e por

meio das relações que inicialmente fizeram das questões em debate com o contexto da escola

observado nas visitas, entrevistas com professores e diretores, participação em reuniões,

conselhos de classe, dentre outras atividades. A atividade seguinte foi a elaboração do projeto

de pesquisa do estágio do terceiro ano do curso em que cada acadêmico sobe a minha

mediação, delimitou uma pergunta que deveria ser respondida durante as pesquisas teóricas e

práticas do Estágio Supervisionado durante o ano de 2013.

No estágio do terceiro ano do curso se deu o início da atividade docente por meio do

estabelecimento dos primeiros contatos com a escola campo, o desenvolvimento atividades

que possibilitaram aos futuros professores conhecerem a estrutura física, política, pedagógica,

a organização administrativa, os desafios e realizações e ainda auxiliar o professor em sala de

aula realizando a monitoria e participando de atividades preestabelecidas pelo professor

orientador e o professor regente e/ou profissional supervisor. Todas estas atividades tiveram

como objetivo a adaptação e incorporação de atividades, comportamentos e valores próprios

da profissão docente pela própria ação dos estagiários, provocando amadurecimento

112

profissional, psicológica e social gerando oportunidade pra refletir sobre a escola e o trabalho do professor dando início assim a construção das suas identidades de professores. E teve

como objetivo também responder as questões de pesquisa dos projetos dos estagiários que

utilizaram da própria prática no Estágio Supervisionado como objeto de pesquisa.

O estágio foi utilizado como espaço de realização de pesquisa em que por meio da

utilização das suas próprias experiências na escola como objetos de investigações os futuros

professores tiveram a oportunidade realizar reflexão e produção de conhecimentos

relacionados à profissão docente. As pesquisas aconteceram de forma sistematizada, com uso

de procedimento científico, partindo da formulação de um problema, passando pela coleta e

análise de dados identificando inter-relações com conhecimentos dos fundamentos teóricos

que propiciaram a construção de conhecimentos, formação de saberes e desenvolvimento de

habilidades necessárias para o exercício da docência por meio a integração entre teoria e

prática e pesquisa e reflexão. Assim promoveu-se a "formação da capacidade para articular os

conhecimentos teóricos à sua prática profissional e de reflexão sobre a educação na sociedade

em que se situa o papel do professor e do aluno na prática social dos indivíduos e a finalidade

da ação pedagógica." (OLIVEIRA E PERES, 2013, p. 10).

Conforme previsto no projeto de estágio do curso a redação e estruturação do

trabalho final foi uma etapa importante para a conclusão do estágio. Os trabalhos produzidos

pelos alunos em forma de resumos expandidos ou artigos foram apresentados para a

comunidade acadêmica e publicados nos anais do II Encontro de Educação Matemática da

UEG/Iporá (ENEMAT) disponível em <http://www.anais.ueg.br/index.php/enemat/> e foram

apresentados também no Seminário de Estágio Supervisionado da UEG/Iporá e publicados

nos anais do III Congresso de Educação da UEG, Campus Iporá/2013, disponível em

<http://www.anais.ueg.br/index.php/congressoeducacaoipora/article/view/4098/2386>.

No Estágio Supervisionado desta série, o que busquei como orientadora da turma foi

quebrar ou superar a fragmentação entre a teoria e a prática. Não se teve ideia de confronto

entre elas. A ideia usada foi a de práxis em que o estágio se desenvolveu com postura

investigativa em que os alunos observaram, refletiram e fizeram intervenções nos contextos

da escola e na vida dos professores e alunos e buscando a partir das experiências vivenciadas

identificarem os desafios da profissão docente, analisar metodologias de ensino e

aprendizagens e instrumentos didáticos, refletir sobre as práticas educativas a avaliação e o

planejamento, sobre o que é ser professor pesquisador, sobre o perfil necessário para o

professor do século XXI e sobre a função social do professor como agente de mudanças

sociais. Logo, o estágio realizado nesta perspectiva "não é atividade prática, mas atividade

113

teórica, instrumentalizadora da práxis docente, entendida esta como a atividade de

transformação da realidade." (PIMENTA E LIMA, 2008, p. 10).

Assim, o estágio realizado por esta turma do Curso de Licenciatura em Matemática

da UEG/Iporá, se afastou "da compreensão até então corrente, de que seria a parte prática do

curso." (PIMENTA E LIMA, 2008, p. 09). Por meio de uma nova postura em que o "estágio

que deve caminhar para a reflexão, a partir da realidade." (Ibid.). As pesquisas realizadas se

deram de forma que fosse possível aos professores em formação visualizarem e analisarem os

contextos das escolas campo de forma ampliada e assim pudessem obter nas teorias as

possibilidades instrumentais para a realização das investigações e das análises e que a partir

destas ações pudessem fazer questionamentos relacionados ás práticas escolares, das

instituições, dos gestores, dos professores, dos alunos e das suas próprias. O estágio realizado

nestes moldes está de acordo com Pimenta e Lima (2008, p. 10) quando afirmam que o

estágio como práxis deve ser uma "atividade teórica de conhecimento, fundamentação,

diálogo e intervenção na realidade." Destacando que isto quer dizer que "é no trabalho

docente do contexto da sala de aula, da escola, do sistema de ensino e da sociedade que a

práxis se dá". (Ibid.).

Como o foco desta pesquisa do mestrado são as atividades de Estágio

Supervisionado do quarto ano do curso, é importante esclarecer que neste trabalho a descrição

do estágio do terceiro ano tem a função apenas de facilitar a compreensão de todo o contexto

em que se deram as atividades na série seguinte. Não fiz a análise dos trabalhos produzidos

nesta série, contudo para conhecê-los basta acessá-los na página "O Estágio ", na aba "O

estágio do 3º ano/2013" do sítio do produto final deste projeto.

5.4.3 A elaboração do projeto de pesquisa do estágio do quarto ano com a mediação

pedagógica da pesquisadora

De acordo com o previsto no projeto de Estágio Supervisionado do Curso de

Matemática, no segundo semestre do terceiro ano do curso, os acadêmicos e professor

orientador elaboram coletivamente a questão de investigação central e elaboram o projeto de

Estágio Supervisionado desta turma para ser desenvolvido no quarto ano.

Neste período, eu já estava aprovada no Mestrado em Educação para Ciências e

Matemática do Instituto Federal de Goiás, Campus Jataí e diante dos problemas relacionados

ao ensino de Matemática problemas como, por exemplo, a concepção de que a Matemática é

muito difícil, o uso excessivo da metodologia tradicional pelos professores, a pouca variedade

114

no uso de recursos pedagógicos, o pouco uso de softwares matemáticos e outras tecnologias

no ensino, insuficiente contextualização dos conteúdos que vise colocar o aluno como

protagonista e trazer o contexto do seu dia a dia para a sala de aula e dificuldades no uso

adequado da linguagem Matemática, que haviam sido identificados nas escolas campo pelos

estagiários no período de observação participativa e semirregência. Apresentei então aos

estagiários a proposta de desenvolvimento de um projeto sobre a Metodologia de Investigação

com softwares educacionais de Matemática.

A ideia foi bem recebida e iniciaram então, sob a minha mediação, a realização de

estudos teóricos sobre a Investigação Matemática em sala de aula e sobre o uso de softwares

educacionais como instrumentos de ensino de Matemática como possibilidade de

contextualização do conteúdo, inclusão das tecnologias nas aulas de Matemática em aulas

investigativas.

De acordo com o Projeto Pedagógico do Curso de Matemática (2009, p. 40) as

atividades de estágio deverão estimular o aluno "no desenvolvimento de projetos de pesquisa

e atividades científicas para construir e compartilhar o conhecimento e capacitar o discente,

para a análise crítica de materiais didáticos e de sua prática docente e elaborar propostas

alternativas para intervir na realidade vivenciada. Porque se entende que este momento

possibilita ao estagiário construir seu próprio caminho, ao inserir-se num processo de

pesquisa tendo oportunidade de formar assim suas próprias concepções em relação à

Educação Matemática e ao papel do professor em sala de aula. “A pesquisa é componente

essencial das práticas de estágio, apontando novas possibilidades de ensinar e aprender a

profissão docente.” (PIMENTA E LIMA, 2008, p.114).

Segundo Pimenta e Lima (2008, p. 236) "a pesquisa nos estágios pode assumir

diversas modalidades." Destacando que uma destas modalidades é a realização de estágios a

partir de projetos de pesquisas dos professores orientadores. "Nesse caso, os estagiários

poderão se envolver com planejamento, execução e avaliação de instrumentos e de situações

para a coleta de dados, adquirindo assim habilidades de pesquisa." (Ibid., p. 237).

Completando enfatizam que esta modalidade pode dar origem a outra que é "a proposição de

pequenos projetos de pesquisas dos próprios estagiários, a partir de questões problematizadas

nas situações vivenciadas." (Ibid.). Deixam claro que "essas modalidades não são

necessariamente excludentes; podem se justapor, se combinar, se imbricar." (Ibid.).

Nesta ideia o meu projeto de pesquisa do mestrado passou a ser o projeto também da

turma do quarto ano e eixo norteador das pesquisas dos estagiários que se deram por meio do

desenvolvimento de pequenos projetos de pesquisas individuais em que colocaram seus

115

próprios processos de ensino como objeto de pesquisa. Os detalhes em relação ao processo de

elaboração do projeto de pesquisa estão descritos a seguir.

Inicialmente, criei um grupo de estudos formado pelos acadêmicos estagiários do

terceiro ano do Curso de Licenciatura em Matemática da UEG/Iporá. Organizei encontros

periódicos semanais para o estudo teórico de obras como Ponte; Brocardo e Oliveira (2013),

Lorenzato (2009, 2010), Skovsmose (2008), Bona (2009), Cruz (2005), Valente (1993),

dentre outros.

Conforme pude verificar nos diálogos dos primeiros encontros do grupo de estudo,

os acadêmicos já possuíam uma ideia do que se pode chamar de atividade investigativa de

matemática, no entanto, não conheciam especificamente proposta metodológica da

Investigação Matemática nos moldes propostos por Ponte (2004) e Ponte; Brocardo e Oliveira

(2013).

Foi por meio dos estudos realizados nos encontros do grupo de estudo que os

acadêmicos construíram seus primeiros conhecimentos sobre esta metodologia de ensino e

ampliaram os estudos sobre os softwares educacionais de Matemática iniciado na terceira

séria na disciplina de Mídias na Educação Matemática. A ênfase dos estudos sobre os

softwares educacionais foram sobre as características dos ambientes dinâmicos que os tornam

propícios para a realização de Investigações Matemática.

A atividade seguinte foi a realização de um levantamento dos softwares educacionais

de Matemática disponíveis atualmente na internet que possuem ambientes dinâmicos. Para

esta seleção de softwares sugeri o estudo das obras de Bona (1998), Gravina e Santarosa

(1998), Glaudcheff (2001), Valente (1993, 1999) para embasamento teórico sobre o assunto.

Orientei pesquisas sobre os procedimentos necessários para a escolha do software

educacional. Os detalhes do como se deu a escolha podem ser verificados no capítulo IV deste

trabalho que trata do tema os softwares educacionais, os ambientes de aprendizagens, os

programas de geometria dinâmica. Nos item 5.3 está a descrição dos critérios de avaliação e

escolha de um software educacional e no item 5.3.1.está descrito como se deu a escolha do

software Geogebra para realização e atividade de Investigação Matemática nesta pesquisa.

Ao final do ano de 2013 já estava decido que o software educacional com ambiente

dinâmico, gratuito e livre que seria usado para Investigação Matemática nas pesquisas do

Estágio Supervisionado do quarto ano seria o Geogebra, um software até então desconhecido

de todos os alunos. Então, com a colaboração dos estagiários elaborei o projeto de pesquisa

que seria desenvolvido no estágio do quarto ano para responder a seguinte pergunta: a

116

Investigação Matemática com o software Geogebra pode contribuir no ensino de conteúdos de

Matemática para alunos do Ensino Básico?

5.4.4 O Estágio Supervisionado do quarto ano do curso: a fase de regência

Assim como no terceiro ano, estágio do quarto ano iniciou-se com a proposta de

obras (livros, artigos e teses de mestrados e doutorados) para leitura ou releitura e

embasamento teórico. As obras sugeridas foram relacionadas principalmente ao trabalho do

professor em sala de aula, as metodologias de ensino e recursos didáticos. Dentre as obras que

foram analisadas estão Borba e Penteado (2012), Cruz (2005), Dias e Sampaio (2010), Ponte,

Brocardo e Oliveira (2013), D'ambrosio (1996), Fiorentini e Lorenzato (2009, 2010), Mendes

(2008), Alro e Skovmose (2006), Gravina e Santarosa (1998), Lopes (2013), Cunha; Oliveira

e Ponte (1996), Valente (1993), Vaz (2012), Cruz (2005), dentre outros. Nesta série o

estagiário deve estar preparado para assumir uma sala de aula, realizar a fase de regência,

considerando que o percurso efetuado ao longo da observação participativa e semirregência

do ano anterior, o amparam para atuar como regente.

Em paralelo às leituras, seminários, redação de resenhas, resumos e fichamentos os

acadêmicos tomando como base o projeto da turma elaborado no segundo semestre do

terceiro ano, no ano de 2013, fizeram a delimitação dos seus temas individuais de pesquisa e

definiu-se a problemática que norteou a sua própria pesquisa durante o estágio desta série.

Todas as atividades foram realizadas com a minha mediação e intervenção constante.

Algumas questões estiveram relacionadas também aos seus trabalhos de Final de

Curso (TC) e nesse caso o orientador de TC também foi parceiro da pesquisa e o artigo final

produzido como trabalho final do Estágio Supervisionado também fez parte do texto da

monografia. Também sobe a minha mediação os acadêmicos elaboraram os seus projetos de

pesquisa individuais. De acordo com Pimenta e Lima (2008, p. 228) "o estágio com pequenos

projetos possibilita que os estagiários vivenciem um processo em todas as suas etapas de

diagnóstico, planejamento, execução e avaliação, em um espaço de tempo com começo meio

e fim." E a vivência do processo "lhe permite ser aprendiz e autor simultaneamente, enquanto

aprende a organizar e gerir o que é necessário e possível em um determinado tempo." (Ibid.).

Nenhum dos estagiários possuía experiências profissionais anteriores ao estágio. A

fase de regência foi uma etapa importante na formação inicial dos futuros professores por ser

o período em que tiveram a oportunidade de vivenciar os desafios da profissão e por meio das

análises das suas práticas e dos seus próprios processos de ensino como objeto de pesquisa.

117

A pesquisa é componente essencial das práticas de estágio, apontado novas

possibilidades de ensinar e aprender a profissão docente, inclusiva para os

professores formadores, que são convocados, a rever suas certezas, suas concepções

do ensinar e do aprender e seus modos de compreender, de analisar, de interpretar os

fenômenos percebidos nas atividades de estágio. Assim o estágio torna-se

possibilidade de formação continua para os professores formadores. (PIMENTA E

LIMA, 2008, p. 114).

Após a elaboração dos seus projetos individuais de pesquisa os acadêmicos sob a

minha mediação e com a colaboração do meu orientador e dos seus orientadores de TC

criaram as atividades pedagógicas que se desenvolveram nas escolas campo. Fizeram

juntamente comigo e com os professores regentes das turmas as escolhas dos temas e

conteúdos em que se utilizariam da Investigação Matemática com o Geogebra como

metodologia de ensino e aprendizagem. A seguir, foram elaboradas de forma coletiva, nos

grupos de estudo, as atividades pedagógicas para experimentação com os alunos.

O planejamento constou-se da escolha dos temas e conteúdos, embasamento teórico

sobre a possibilidade de Investigação Matemática com o Geogebra para o ensino dos

conteúdos escolhidos, identificação das expectativas de aprendizagens, detalhamento da

metodologia usada em sala de aula e planejamento da avaliação.

A pesquisa no Estágio Supervisionado do quarto segue os moldes de uma pesquisa

científica porque "trata-se de um processo fundamental de construção do conhecimento que

começa com a identificação de um problema relevante – teórico ou prático – para o qual se

procura de forma metódica, uma resposta convincente que se tenta validar e divulgar."

(PONTE, 2004, p. 4) e "todo esse processo é respaldado pela reflexão sobre o ato de ensinar e

aprender Matemática, reflexão esta desenvolvida a partir da teoria em confronto com a prática

realizada em sala de aula." (OLIVEIRA E PERES, 2013, p.11).

Tal confronto se dá numa perspectiva não de separação ou confrontação dissociada,

mas de forma se propicie a construção conhecimento por meio da ação dos próprios alunos

nas suas práxis, numa perspectiva de indissociação entre teoria e prática, que caracteriza a

formação pela pesquisa da própria prática em que por meio da práxis docente ou da

investigação e da pesquisa em que analisa a própria prática e simultaneamente faz reflexões

durante esta prática em sala de aula o futuro professor vai construindo a sua identidade e

recriando os seus conceitos de professor, aluno, aula e aprendizagem. Neste processo a prática

como atividade sistemática e a ação de ser professor são inseparáveis e vistas como processos

simultâneos.

118

As expectativas foram de que os alunos participantes das suas aulas experimentais

por meio das atividades de Investigação, nas vivências de situações em que por meio do

levantamento de conjecturas, experimentações, formalizações de conceitos ou mesmo

generalizações de fórmulas Matemáticas pudessem desenvolver habilidades como, por

exemplo, da compreensão de conceitos, procedimentos e estratégias Matemáticas e

capacidade para aplicar os conhecimentos construídos em situações diversificadas do

cotidiano ou de construção de novos conhecimentos acerca da própria Matemática.

Desenvolver raciocínios para resolução de problemas, capacidade para trabalhar em

grupos, trocar informações e se comunicar. Estimular o espírito crítico e criativo para a

utilização confiante de procedimentos e estratégias para compreensão dos conceitos

matemáticos. Desenvolver progressivamente a linguagem Matemática oral e simbólica, as

demonstrações Matemáticas, as conexões entre diferentes conteúdos e o desenvolvimento de

atitudes de cooperação e autonomia.

A experimentação aconteceu em sete turmas do Ensino Básico sendo que duas

atividades se desenvolveram no contra turno com 10 alunos de uma turma do quinto ano da

primeira fase ano do Ensino Fundamental com os conteúdos Propriedades de Polígonos e

Áreas e perímetros de retângulos e triângulos. Uma atividade foi desenvolvida por 27 alunos

do nono ano do Ensino Fundamental, no horário normal de aulas com o conteúdo Diagonais

de Polígonos. A atividade de Geometria na construção de ladrilhamentos foi desenvolvida no

contra turno por 12 alunos do primeiro ano do Ensino Médio. A atividade sobre a

Investigação das iterações de fractais foi desenvolvida no horário normal de aulas por 32

alunos do primeiro ano Ensino Médio. A atividade de Investigação Matemática com o

Geogebra para análise de gráficos das funções quadráticas foi desenvolvida no horário normal

de aula, por outra turma também de 32 alunos do primeiro ano do Ensino Médio. A atividade

de Investigação da Regra dos trapézios foi desenvolvida por 12 alunos do terceiro ano do

Ensino Médio.

Ao todo participaram das aulas experimentais dos projetos dos estagiários 126 alunos

do Ensino Básico. Somou-se ao final, um total de aproximadamente 65 aulas ministradas em

um total de 8 a 12 aulas por projeto, dependendo da turma e do conteúdo trabalhado.

Como professora orientadora de estágio, acompanhei presencialmente todas as aulas

dos estagiários que fizeram parte deste trabalho, auxiliei na coleta de dados por meio de

anotações e seleção situações importantes ou até inesperadas que aconteceram, registrei

fotografias, arquivei produções nos computadores e fiz, juntamente com os estagiários,

arquivamento de atividades feitas manualmente pelos alunos. Estes dados foram analisados

119

posteriormente pelos estagiários dando origem a um relato de experiência científico. Parte

deles também foi utilizada nas minhas análises da mediação pedagógica dos estagiários.

Em paralelo a coleta e análise de dados dos estagiários, eu também fiz as anotações e

coletei dados para a minha própria pesquisa registrando as práticas dos professores em

formação, a condução das etapas da investigação, a linguagem Matemática utilizada, as

atividades propostas, como lidavam com as situações inesperadas, etc.

Esta coleta serviu para a análise da mediação pedagógica dos estagiários e

identificação das percepções e aprendizagens sobre a Investigação Matemática com o

Geogebra. De acordo com Pimenta e Lima (2008, p. 228) "a realização dos estágios sob a

forma de projetos pode estimular nos estagiários o desenvolvimento de um olhar sensível e

interpretativo às questões da realidade, uma postura investigativa, uma visão de conjunto do

espaço escolar, uma percepção das dificuldades que a escola enfrenta." Contudo lembra que

esta forma de trabalho estimula também a sensibilidade reconhecer também as "conquistas

reveladas nas ações dos profissionais que ali se encontram". (Ibid.).

Os trabalhos dos acadêmicos foram apresentados em congressos como o Seminário

Educação (SEMIEDU) realizado em 2014, na Universidade Federal do Mato Grosso, em

Cuiabá e IV Congresso de Educação - V Seminário de Estágio e Encontro PIBID realizado na

Universidade Estadual de Goiás, Campus Iporá/GO. Desta forma o Estágio Supervisionado funcionou como um eixo articulador entre a

teoria e a prática.

Portanto, oferece a oportunidade para que o professor em formação entre em contato

com a realidade profissional com todas as suas implicações, em que irá atuar, para

conhecê-la e para desenvolver suas competências e habilidades necessárias à

aplicação dos conhecimentos teóricos e metodológicos trabalhados ao longo do

curso. (OLIVEIRA E PERES, 2013, p.11).

As pesquisas realizadas tiveram intencionalidade de produção de conhecimentos que

possibilitaram a compreensão da realidade de forma a possibilitar o desenvolvimento de

competências e habilidades necessárias a docência.

5.4.5 A metodologia da pesquisa realizada pelos estagiários

Nos trabalhos realizados pelos acadêmicos, predomina a abordagem qualitativa

sendo que os artigos se apresentam como reflexões retrospectivas sobre o trabalho realizado

na escola campo de estágio. Realizaram pesquisa qualitativa de cunho interpretativo, visto

que, como pesquisadores estiveram lidando com questões importantes relacionadas aos

120

softwares educativos de Matemática e a Investigação Matemática como metodologia de

ensino. Sobre como usá-los pedagogicamente refletindo sobre o papel do professor mediador

buscando percepções e entendimento sobre a natureza geral em relação ao ensino de

Matemática numa perspectiva de que o conhecimento pode ser construído pela própria ação

do aluno.

Nesse caso, considerou-se que os estagiários pesquisadores estiveram lidando com

uma questão importante que foi analisar a Investigação Matemática com o software Geogebra

para o estudo de conteúdos de Matemática refletindo sobre como a metodologia de ensino e o

recurso didático contribuiu na aprendizagem dos alunos e sobre o papel do professor na

realização de aulas investigativas. E por tratar-se de uma forma de pesquisa em que, de acordo

com Fiorentini e Lorenzato (2009), os dados foram coletados e analisados de forma

reflexivas, buscando-se aspectos subjetivos e motivações não explícitas, ou mesmo

inconscientes, de maneira espontânea. Isto porque se buscou percepções e entendimento sobre

a natureza geral em relação à potencialidade do software Geogebra como instrumentos para

realização de atividades investigativas de Matemática em sala de aula.

A metodologia de pesquisa se deu inicialmente com a realização e um estudo

detalhado sobre a metodologia de Investigação Matemática e sobre os softwares educacionais

de Matemática dentre eles o Geogebra que se iniciou no segundo semestre de 2013 durante as

aulas de Metodologia de Ensino de Matemática e momentos de orientações para o Estágio

Supervisionado. Paralelamente aos estudos teóricos aconteceu a elaboração do projeto de

pesquisa que seria desenvolvido no Estágio Supervisionado do quarto ano do Curso de

Licenciatura em Matemática da UEG/Iporá. Em 2014, definidos a questão de pesquisa e os

objetivos realizamos novos estudos sobre o assunto e a elaboração do projeto de pesquisa

individualizado dos acadêmicos estagiários.

Neste processo a investigação tendo com base Ponte (2004) se deu como um

processo fundamental para a construção de conhecimentos e produção de saberes dos

acadêmicos que identificaram um problema relevante que foi ausência de atividades

investigativas nas aulas de Matemática e por meio da realização de uma pesquisa

sistematizada em que se buscou de forma metódica uma resposta convincente para a

indagação que era saber se a Metodologia de Investigação Matemática com o software

Geogebra poderia contribuir para no desempenho dos alunos. E todo o processo se deu a

partir de reflexões sobre o ato de ensinar de aprender Matemática nas práticas dos estagiários

em sala de aula. De acordo com Fiorentini e Lorenzato (2009, p. 49) a pesquisa pode

121

aprofundar nossa compreensão sobre como são utilizados e mobilizados os conhecimentos

quando se ensina Matemática em sala de aula.

Cada estagiário sob a minha orientação, elaborou um projeto de pesquisa individual

com o objetivo de analisar a Investigação Matemática com o software Geogebra no estudo de

conteúdos de Matemática como a formalização do cálculo do número de diagonais de

polígonos quaisquer, regra dos trapézios, área de polígonos, propriedades de polígonos,

relação entre áreas e iterações de fractais, condições geométricas para construções de

ladrilhamentos e funções quadráticas. De acordo com Pimenta (2008, p. 228) "a realização de

estágios em forma de projetos desenvolve uma atitude de autonomia e de criatividade dos

estagiários uma vez que possibilita a descoberta de espaços de intervenção significativa para a

sua formação e para as escolas".

Durante o Estágio Supervisionado depois de elaborados o projeto de pesquisa

individual dos estagiários durante as reuniões do grupo de estudo foram elaboradas

coletivamente as atividades experimentais que seriam desenvolvidas em sala de aula. O grupo

sob a minha orientação elaborou atividades de Investigação Matemática para serem feitas com

o Geogebra que foram desenvolvidas em duas escolas públicas de Iporá. Nas aulas

experimentais, se baseando principalmente na observação de situações das salas de aula,

selecionando e analisando um conjunto de acontecimentos relacionados aos momentos da

introdução do assunto, da investigação e da discussão dos resultados, os estagiários avaliam

as atividades investigativas.

Analisaram se houve envolvimento e se o aluno teve a oportunidade de experimentar,

levantar conjecturas, discutir, formular respostas, formalizar e generalizar e provar conceitos

matemáticos. Com a análise produziram relatos de experiência ou artigos científicos contendo

o desenvolvimento das atividades, as suas próprias percepções e aprendizagens construídas.

Esta forma de análise dá espaço para várias interpretações visto que, durante a coleta

de dados a principal fonte de informações foi o fazer do aluno e o desenvolvimento de cada

uma das etapas das aprendizagens da Investigação Matemática que passa pelo experimentar,

conjecturar, formalizar saber matemático na perspectiva construtivista tendo como princípio

básico que o conhecimento se constrói a partir das ações do sujeito.

Na atividade de Investigação Matemática o investigar é procurar conhecer o que não

se sabe. Assim, o processo de criação Matemática é composto de muitas possibilidades de

acontecimentos inesperados e de descobertas imprevistas em que para se resolver o problema

proposto, pode acontecer novas descobertas que podem se revelar tão importante quanto ou

até mais importantes que solucionar do problema original, contrastando inclusive com a

122

imagem comum desta ciência como sendo lógica e dedutiva cheia de rigor e certezas

absolutas. Para Fiorentini e Lorenzato (2009, p. 76), "neste sentido, uma experiência

educativa pode resultar em um fracasso pedagógico, mas, do ponto de vista investigativo, a

mesma experiência pode significar uma rica fonte de aprendizagem ou de produção de

conhecimento sobre a prática docente." E neste processo os instrumentos de coleta de dados

mais expressivos são os registros de alunos e professores, pois a maior parte se fundamenta

em situações de ensino e aprendizagem.

Os estagiários escolheram cada um deles uma determinada turma onde foram

realizadas as aulas teste de Investigação Matemática com o Geogebra buscando analisar o

software como instrumentos propícios ou não às atividades investigativas de Matemática em

sala de aula. Assim, nos períodos em que se realizaram as aulas experimentais para os alunos

das sete turmas analisadas, cada uma delas se tornou objeto de pesquisa a ser investigado para

cada um dos sete estagiários.

Nas aulas de teste observação direta e a descrição destas observações em fichas de

acompanhamento em que são registradas as falas, as produções, as construções dos alunos, as

descobertas e situações inesperadas que porventura vieram a acontecer na realização das

atividades foram o principal instrumento de coleta de dados. Também foram usados

instrumentos de coleta de dados as fotografias, as redações e as atividades feitas pelos alunos

com ênfase nas construções realizadas no Geogebra e arquivadas para serem analisadas. A

coleta de dados se deu principalmente por meio de fichas em que os estagiários descreviam as

situações de sala de aula, reflexões sobre acontecimentos presenciados nos momentos em que

realizaram as aulas experimentais. Também registraram fotografias e filmagem de algumas

aulas e este material serviu de apoio nas análises.

As atividades realizadas pelos alunos em material impresso ou construídas no

software Geogebra e arquivadas no computador foram utilizadas nas análises e foram

importantes para a compreensão dos acontecimentos e das situações vivenciadas e descritas

pelos estagiários que analisam suas próprias experiências como professores iniciantes e ao

mesmo tempo analisam a utilização da metodologia de Investigação Matemática com o

Geogebra na aprendizagem dos conteúdos de Matemática pelos alunos que participaram das

aulas. De acordo com pimenta (2008, p. 231) o professor ou futuro professor "pode colocar

seu próprio processo de ensinar como objeto de pesquisa, o que deverá resultar em produção

de conhecimento no campo da Didática."

O espaço de reflexão-ação foi criado pela proposta do uso da Investigação

Matemática como metodologia de ensino em que os estagiários como investigadores

123

realizaram aulas experimentais, fizeram coleta de dados e analisaram os resultados de tais

atividades tendo em vista o objetivo da pesquisa que é analisar a Investigação Matemática

com o Geogebra para o estudo de conteúdos de Matemática.

Neste processo os futuros professores foram se formando pelas suas próprias

atuações e ainda tiveram oportunidade para contribuir para mudanças de práticas pedagógicas

dos professores parceiros. Assim também, aconteceu a formação dos acadêmicos estagiários

para o uso do computador como recurso de aprendizagem por meio das suas próprias ações

enquanto participantes da pesquisa.

Os estagiários sob a minha mediação permanente participaram de todas as etapas da

pesquisa e foram colaboradores em todo o processo até a análise final, buscando nas suas

próprias ações construir as suas próprias formações como professores. Assim, no decorrer da

pesquisa os futuros professores foram se tornando capazes de problematizar, analisar e

compreender suas próprias práticas produzindo significados e conhecimentos que

contribuíram para suas formações pessoais e profissionais.

Após a realização das aulas experimentais os estagiários fizeram as análises das

atividades desenvolvidas na escola produzindo os relatos de experiência. As análises se deram

por meio do relato de experiência buscando identificar a interação entre o aluno e o software

Geogebra, pelo uso da metodologia de Investigação Matemática.

Os relatos de experiências analisados estão com os nomes verdadeiros dos

pesquisadores que autorizaram por escrito, o uso dos seus nomes completos e verdadeiros, a

análise de todo o trabalho e que suas produções fossem anexadas na integra este trabalho. Tais

produções sofreram interferência minha como orientadora de Estágio Supervisionado que

mesmo nos momentos em que tentava me distanciar para observar me via como presença

constante e efetiva nas suas produções.

Para Silva (2009, p. 167) os processos envolvidos no ato de pesquisar "são

suscetíveis de desenvolver as capacidades de análise e investigação, capazes de formar

sujeitos no espírito crítico, na dúvida metódica e na busca da unidade teoria e prática, pois

permitem o movimento ação-reflexão-ação." Assim a pesquisa possibilitou aos acadêmicos a

oportunidade para refletir sobre o ensino de Matemática, sobre a metodologia de Investigação

Matemática, sobre o uso dos softwares educacionais, em especial do Geogebra, como

recursos de ensino e aprendizagem por meio da vivência das suas primeiras experiências na

sala de aula em um contexto desafiador.

125

6 CAPÍTULO VI - A MEDIAÇÃO PEDAGÓGICA DOS ESTAGIÁRIOS

NA INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA COMO O GEOGEBRA

Este capítulo apresenta a análise da condução das aulas feitas pelos estagiários,

buscando identificar no trabalho pedagógico que realizaram ações didáticas peculiares às

aulas de Investigação Matemática. O termo mediação pedagógica neste trabalho será o termo

usado para identificar a ação didática e as atitudes dos estagiários tomadas nas aulas de

Investigação Matemática que desenvolveram durante a regência do Estágio Supervisionado

do Curso de Licenciatura em Matemática da UEG/Iporá conforme já descrito e justificado no

capítulo III e levando em conta peculiaridades que caracterizam a mediação pedagógica em

uma aula de Investigação Matemática conforme descritas no início do mesmo capítulo.

A forma como serão identificados os estagiários e os alunos das escolas campo neste

e no próximo capítulo deste trabalho, a maneira como foram transcritos os diálogos e as

citações dos artigos dos acadêmicos, da autoavaliação, das falas e dos comentários transcritos,

bem como as suas fontes além da descrição das bases da análise estão descritas no capítulo I,

que trata da caracterização e metodologia da pesquisa, no item 1.7.1., que trata dos

instrumentos de coleta de dados utilizados pelo pesquisador nas análises e na discussão dos

resultados.

Os instrumentos utilizados como fonte de dados para as análises fora os trabalhos

finais de estágio, as suas autoavaliações, o diário de campo dos estagiários, os arquivos de

atividades das aulas experimentais e o diário de campo da pesquisadora que se trata de um

caderno utilizado para registros de falas, comentários e situações pedagógicas das atividades

experimentais das salas, as salas de aula em que os estagiários desenvolveram a regência e do

acompanhamento das aulas dos acadêmicos. No diário de campo encontram-se as anotações

de situações da sala de aula peculiares à Investigação Matemática e aspectos relativos às

ações didáticas dos alunos durante a regência, falas e comentários dos alunos participantes das

aulas experimentais e de algumas situações específicas das aulas.

A identificação dos estagiários constando a idade, as experiências profissionais

anteriores, algumas de suas concepções acerca do ensino de Matemática e outras informações

estão publicadas na página quem somos do sítio do produto final desta pesquisa. A

identificação do(a) estagiário(a) pesquisador(a) pode trazer informações importantes para o

entendimento da sua ação pedagógica como professor em formação, visto que, de acordo com

Pimenta e Lima (2008) e com Fonseca, Brunheiras e Ponte (2004) aspectos como suas

experiências profissionais anteriores, idade, concepções acerca do ensino de matemática

126

podem interferir na sua condução das aulas bem como nas suas dificuldades em relação ao

uso da metodologia e do recurso didático.

A descrição da mediação pedagógica da professora orientadora de estágio que esteve

presente em todas as etapas orientando desde a elaboração dos projetos, auxiliando

presencialmente no desenvolvimento das atividades experimentais nas escolas campo,

fotografando, filmando e relatando as situações didáticas mais importantes no diário de

campo, orientando nas análises dos resultados e na elaboração dos trabalhos finais está

descrita no capítulo V nos itens 5.4.3, 5.4.4 e 5.4.5 que faz um relato de experiência de como

se realizou o Estágio Supervisionado na formação inicial dos futuros professores do curso de

licenciatura em Matemática da UEG, campus Iporá.

Em cada projeto os estagiários serão identificados nas análises por seus últimos

sobrenomes e os sujeitos da sua pesquisa, alunos da escola campo, serão identificados por

letras maiúsculas do alfabeto. A análise é constituída inicialmente de um breve resumo

contendo o objetivo do projeto e informações importantes para o entendimento da ação

pedagógica do professor em formação.

A seguir tem-se a análise da condução didática no desenvolvimento da atividade

experimental. Para facilitar a identificação das peculiaridades que caracterizam a Investigação

Matemática, presentes no desenvolvimento pedagógico, as atividades foram subdivididas em

três etapas, conforme sugere Ponte, Brocardo e Oliveira (2013).

A primeira etapa foi o arranque da aula ou introdução do assunto, a segunda etapa foi

à fase das experimentações e a terceira etapa foi a fase da discussão dos resultados finais.

Assim organizou-se então a análise da mediação pedagógica dos estagiários nestas três fases

buscando identificar no trabalho pedagógico realizado algumas peculiaridades que indiquem

como aconteceu a Investigação Matemática em Sala de aula.

Tais peculiaridades que se buscou identificar são aquelas descritas detalhadamente

no capítulo III deste trabalho. Analisou-se como se deu o arranque da aula e a elaboração da

questão de pesquisa. O processo de investigação, levantamento de conjecturas, refinamento

desta conjecturas por meio da experimentação, a formalização e a generalização dos conceitos

matemáticos. Também se analisou como o estagiário foi capaz de lidar com aspectos como a

gestão do tempo, dos diálogos e diferença de níveis de conhecimentos dos alunos.

Assim da mediação pedagógica dos estagiários na condução da atividade de

Investigação Matemática se deram pela avaliação do papel que os professores em formação

desempenharam como docentes e da forma como fez a gestão das atividades investigativas.

127

6.1 A mediação pedagógica no Projeto Ladrilhar - uma adaptação do projeto Desafio


software Geogebra

A pesquisa da estagiária Oliveira tem com o tema Projeto Ladrilhar - uma adaptação

do projeto Desafio Geométrico de Dias e Sampaio (2010) para realização de Investigação

Matemática com o software Geogebra. Trata-se da adaptação de uma atividade do módulo I

do Curso de especialização para professores do Ensino Médio de Matemática da Universidade

Federal de São Carlos do estado de São Paulo, para realização de Investigação Matemática

com o software Geogebra. O objetivo da pesquisa foi analisar se Investigação Matemática

com o Geogebra contribui para o ensino aprendizagem de conceitos geométricos por meio das

construções de ladrilhamentos e da análise das condições geométricas necessárias para o

ladrilhamento bem comportado.

A elaboração do projeto, a pesquisa e as aulas experimentais aconteceram nas

atividades do Estágio Supervisionado do quarto ano do curso de Licenciatura em Matemática

da UEG/Iporá e foram desenvolvidas por uma turma de alunos com idade entre quatorze e

quinze anos que estudam primeiro ano do Ensino Médio de Escola Pública Estadual da cidade

de Iporá/GO.

Neste trabalho final, análises feitas pela estagiária sobre as suas aulas experimentais

fundamentaram-se nas atividades desenvolvidas pelos alunos nas fases da Investigação

Matemática destacadas por Ponte; Brocardo e Oliveira (2013) e Vaz (2012). De acordo com

estes estudiosos no desenvolvimento de uma atividade investigativa os alunos devem passar

pelas fases do levantamento de conjecturas, da experimentação e refinamento das conjecturas,

da formalização e da generalização Matemática. A os instrumentos de coleta de dados foram

as anotações da pesquisadora, as atividades dos alunos, observação das falas e afirmações que

foram transcritas e as construções que os fizeram com o Geogebra que foram arquivadas no

computador.

6.1.1 A mediação pedagógica da estagiária

As aulas investigativas experimentais desenvolvidas pela estagiária Oliveira foram

adaptadas para a turma do primeiro ano do Ensino Médio, tendo como base as atividades do

projeto Desafio Geométrico de Dias e Sampaio (2010), do módulo I do Curso de

especialização para professores do Ensino Médio de Matemática da Universidade Federal de

São Carlos do estado de São Paulo, para realização de Investigação Matemática com o

128

software Geogebra. As expectativas de aprendizagem foram de que os alunos por meio de

análises geométricas, identificassem as três condições necessárias para a construção de um


Na adaptação desenvolvida pela estagiária manteve-se a mesma expectativa de

aprendizagem do projeto original. A adaptação foi em relação às atividades propostas e a

metodologia de ensino. A nova proposta foi que os alunos identificassem as condições

necessárias para a construção de um ladrilhamento bem comportado por meio da Investigação

Matemática com o Geogebra.

Como a metodologia de ensino proposta foi a Investigação Matemática e de acordo

com Ponte, Brocardo e Oliveira (2013), a condução de uma atividade pedagógica deve passar

por três etapas que podem acontecer em momentos distintos ou em alguns casos

simultaneamente. A primeira delas é o arranque da aula ou introdução do assunto, a segunda é

a fase da experimentação e a terceira fase é quando acontece a discussão dos resultados. A

condução da aula se deu então, identificando estas fases na gestão da atividade pedagógica

feita pela estagiária.

A introdução do assunto

Na primeira aula, a estagiária apresentou o software Geogebra, mostrou os recursos e

explorou os conceitos básicos de geometria que seriam necessários para a realização da

Investigação Matemática. Neste momento, os alunos se mostraram receptivos e curiosos em

relação ao software. Não demonstraram grandes dificuldades em relação aos conceitos

geométricos básicos e nem em relação o ambiente do software.

Na segunda aula, fez-se o arranque da aula com a introdução do assunto e as

explorações iniciais do tema. A exploração da cantiga popular Se esta rua fosse minha foi

importante nesse momento inicial despertando os alunos para o assunto em questão que era

"os tipos de ladrilhamentos". A apresentação de imagens de ladrilhos fez com que os alunos

despertassem para o fato de que existem tipos variados de ladrilhamentos e que estes

obedecem ou não certos padrões.

A estagiária, por estas atividades iniciais, conseguiu despertar o interesse dos alunos,

fazê-los levantar conjecturas que seriam importantes para o prosseguimento da atividade e

ainda certificar que os alunos não sabiam a resposta para a questão de investigação que iria

propor. Caso conhecessem, não haveria sentido continuar sendo necessário replanejamento da

questão.

129

O ambiente de aprendizagem criado deixou os alunos à vontade para participarem,

levantarem hipóteses, explorar suas próprias ideias, expor verbalmente o que pensavam. Ou

por meio da escrita aqueles que tinham menos habilidade em falar e expor o que pensavam.

Apesar da pouca experiência da estagiária em lidar com situações de sala de aula, conseguiu

por meio da exploração da cantiga popular e da história e das imagens de ladrilhos que

apresentou em slides ou fotografias despertar o interesse dos alunos para o tema em questão.

Algumas das imagens foram fotografias que ela mesma tirou de locais conhecidos da cidade

outras foram coletadas na internet.

Para introdução da questão de investigação a estagiária solicitou que os alunos

separassem as imagens apresentadas em grupos, apenas observando os padrões matemáticos

que fossem comuns. Foi um momento de muita troca de ideias e conjecturas até chegarem

conclusão de que havia um grupo de imagens em que os ladrilhos seguiam um padrão bem

definido, um grupo que não seguia nenhum padrão na construção e ou outro grupo que não

poderiam colocar no primeiro grupo e que também não poderiam colocar no segundo grupo.

Criaram então um terceiro grupo para colocarem aqueles que não fariam parte de nenhum dos

dois grupos criados.

Como as aulas aconteciam no contra turno, a estagiária não tinha que seguir

rigorosamente o cronograma de tempo planejado. Então se mostrou tranquila e administrou

bem as atividades, não tendo que se preocupar como tempo cronometrado que precisa ser

seguido quando se está em sala de aula no horário normal das aulas.

Estimulou os alunos a participarem e somente depois que haviam esgotado todos os

argumentos e conjecturas em relação da separação dos ladrilhos em três grupos foi que falou

pela primeira vez o termo ladrilhamento bem comportado. Mostrou então para os alunos que

aquele grupo de ladrilhos que seguiam um padrão bem definido na construção era os

chamados ladrilhos bem comportados. E que os outros dois grupos seriam os chamados

ladrilhos não comportados.

Nesse momento lançou a questão de investigação: Quais são as condições

necessárias para que um ladrilhamento possa ser chamado de bem comportado? De acordo

com Oliveira, Segurado, Ponte (1998, p. 04). As investigações "podem ter como ponto de

partida uma questão ou uma situação proposta quer pelo professor, quer pelos alunos." No

caso, a questão problema inicial foi apresentada pela professora.

Na turma muito participativa, os alunos conjecturaram que uma condição seria que

fossem formados por uma mesma figura (polígono), que tivesse as mesmas medidas, ou que

fossem formados por polígonos regulares e seguissem o mesmo padrão de tamanho e ordem,

130

dentre outras. Contudo, apesar da muitas conjecturas levantadas não souberam identificar

quais seriam as condições necessárias para a construção de um ladrilhamento bem

comportado. (OLIVEIRA C. K. M. ; OLIVEIRA C. M. S. E VAZ, 2014).

Partindo daí, a estagiária propôs a Investigação Matemática com o Geogebra.

Explicou que tinham uma questão a se investigada que era saber quais as condições

necessárias para que um ladrilhamento pudesse ser chamado bem comportado. Informou

nesse momento que são três as condições para que isto aconteça e deu detalhes de como seria

a investigação, explicando que estariam usando palavras novas como conjecturar,

experimentar, formalizar e generalizar, mas que quando cada uma fosse surgindo seriam

informados dos seus significados.

Explicou que o objetivo da investigação seria responder a pergunta problema e

entregou a cada um deles um bloco de notas para registrarem todas as pistas, conjecturas,

descobertas e outras informações que ela sugerisse. E que no final das atividades aquele

bloquinho de notas seria entregue a ela com todas as informações anotadas.

A mediação pedagógica da estagiária na fase de arranque da aula esteve de com

acordo Ponte, Brocardo e Oliveira (2013, p. 26) para quem "o cuidado posto nesses momentos

iniciais tem especial relevância quando os alunos têm pouca ou nenhuma experiência com as

investigações." Destacando que "independentemente do nível etário da classe, há que garantir,

nesta fase inicial, que os alunos compreendem o que significa investigar." (Ibid.). Assim na

fase inicial de uma investigação, o professor deve deixar clara qual a questão problema a ser

investigada e procurar criar um ambiente propício que desperte o interesse dos alunos pelo

assunto e pela questão problema e deve "informar os alunos do papel que se propõe

desempenhar. (Ibid. p. 28).

A fase das experimentações

A aula seguinte se deu no laboratório de informática e os alunos ficaram ansiosos

diante da possibilidade de usarem o laboratório, disseram que este era muito pouco usado nas

aulas dos professores e que raramente tinham aula nesse ambiente. De acordo com as

constatações feitas durante o período em que se realizou o estágio nesta escola, o laboratório

de informática é muito pouco utilizado pelos alunos, seja nas aulas dos professores de forma

pedagógica, seja fora do horário de aula.

A justificativa dos gestores da escola é que isto acontece porque não há na unidade

escolar uma pessoa com disponibilidade para trabalhar naquele ambiente desde que o cargo de

131

dinamizador foi extinto no início do ano de 2011. Assim, quando o professor faz uso daquele

local para dar aulas, ele mesmo fica responsável por ligar e desligar as máquinas, organizar o

espaço, instalar os programas que precisar usar e gerir a aula atendendo as dificuldades

técnicas e de aprendizagem do conteúdo de todos os alunos da turma. Esta situação precária

de trabalho tem criado resistências nos professores em utilizar aquele espaço

pedagogicamente.

Quando se iniciou a exploração das ferramentas do Geogebra, percebeu-se que

alguns alunos não tinham muito contato com o computador e em conversas informais

descobriu-se que metade da turma não tinha acesso a internet fora da escola. Contudo, mesmo

os que eram pouco familiarizados com o uso do computador não tiveram dificuldades no

manuseio dos recursos do Geogebra, aprenderam facilmente a usar e a manipular as

ferramentas do software. Esta facilidade dos alunos confirma o que diz Oliveira; Guimarães e

Andrade (2012, p. 04) quando afirmam que o a interface do Geogebra "possui uma linguagem

simples e contém vários recursos que são de fácil manipulação".

Como muitos conceitos geométricos seriam usados na investigação proposta, estes

foram relembrados por meio da realização de pequenos desafios. Relembrou se as ideias de

ponto e reta, os conceitos de retas paralelas, perpendiculares, polígonos, polígonos regulares,

vértices, ângulos, dentre outros.

Para facilitar a organização didática da aula, a experimentação foi dividida em

pequenas atividades em que as fases do levantamento de conjecturas, experimentação e

formalização aconteceram alternadamente ou até simultaneamente. Houve momentos em que

se acontecia uma experimentação finalizando em uma formalização que ao mesmo tempo

dava origem a novas conjecturas levando a novas experimentações.

Este surgimento de questões problemas secundárias e às vezes inesperadas é peculiar

à Investigação Matemática. No caso isto aconteceu porque nas condições necessárias para um

ladrilhamento bem comportado estão envolvidos diversificados conceitos geométricos que se

integram uns aos outros. Todas as experimentações se deram em buscas de respostas para

questões secundárias e pistas subsequentes que levaram a resolução da questão principal que

era identificar as três condições geométricas necessárias para a construção de um


Depois de relembrados os conceitos geométricos pré-requisitos para a realização da

investigação e de os alunos estarem familiarizados com as ferramentas e recursos mais

simples do Geogebra a estagiária propôs que construíssem ladrilhamentos usando polígonos

regulares ou não regulares como preferissem.

132

Com esta atividade esperava-se que conseguissem identificar que todos os polígonos

usados na construção de um ladrilho bem comportado deveriam ser polígonos regulares que

não fossem pentágonos. Esta é primeira condição para a construção de um ladrilhamento bem

comportado.

O Geogebra foi importante nesse momento. Mesmo com o pouco conhecimento de

informática que tinham, os alunos conseguiram usar as ferramentas polígono e polígono

regular necessárias para a construção. Conseguindo mover as figuras, aumentar o tamanho.

Perceberam que se usassem a ferramenta polígono poderiam modificar o formato e as

medidas, e assim modificar suas propriedades, no entanto se usassem a ferramenta polígono

regular não poderiam modificar o formato, arrastar, mover, contudo as propriedades não

seriam alteradas. Estas são características dinâmicas do Geogebra propícias para a realização

de atividades investigativas já foram destacadas por Vaz (2012), Oliveira; Guimarães e

Andrade (2012), Costa (2012), Nobrega (2010), Bortolossi (2012).

Durantes as construções alguns alunos que usaram a ferramenta polígono perceberam

que com esta não conseguiriam construir um ladrilhamento bem comportado, alguns

apagaram e recomeçaram usando o polígono regular, outros não. Depois de algum tempo,

todos tinham construído seus ladrilhamentos.

A estagiária pediu então que anotassem nos bloquinhos as estratégias que tinham

usado e as percepções que tiveram. O uso do caderninho de anotações e relatos de descobertas

e estratégias também é peculiar as aulas de Investigação Matemática conforme Ponte,

Brocardo e Oliveira (2013).

A seguir, fez-se a discussão dos resultados parciais da investigação, todos os alunos

apresentaram suas estratégias e pela comparação das estratégias e ferramentas usadas entre

eles chegaram à formalização de que: Para se construir um ladrilhamento bem comportado

todos os polígonos usados na construção deveriam ser polígonos regulares. (DIAS E

SAMPAIO, 2010).

Figura 03: Construções de ladrilhamentos comportados no Geogebra.

133

Fonte: Arquivos da estagiária com atividades dos alunos participantes do projeto.

Para as construções de ladrinhamentos comportados da figura 03, de acordo com a

estagiária:

O software foi um recurso significativo nesta etapa, visto que, ao aplicar os recursos:

arrastar, mover, ampliar, reduzir, dentre outros os alunos foram buscando as

possíveis soluções para o desafio apresentado. Após as construções chegaram à

conclusão de que realmente para ser um ladrilho comportado, seria necessário que

os polígonos fossem regulares. Mas que esta formalização não valia no caso os

ladrilhamentos feitos com o pentágono. (OLIVEIRA C. K. M. ; OLIVEIRA C. M. S.

E VAZ, 2014, p. 1580).

Um fato relevante foi que no momento em que ela estava registrando a formalização

no quadro dois dos alunos que tentaram construir os seus ladrilhamentos usando pentágonos e

não conseguiram lembraram que deveria acrescentar que isto não valeria para os pentágonos.

Então a formalização deveria ser: para se construir um ladrilhamento bem comportado todos

os polígonos usados na construção deveriam ser polígonos regulares que não fossem

pentágonos.

Este acontecimento dá indicativos de que estagiária mostrou habilidade no

desenvolver da aula neste momento, esperando que os próprios alunos descobrissem que ali

havia uma exceção e que ao registrar uma formalização esta exceção também deve ser

registrada.

Na atividade seguinte a expectativa foi de que os alunos formalizassem a segunda

condição geométrica necessária para a formação de um ladrilhamento perfeito que é a

seguinte: para a formação dos ladrilhos comportados é necessário que a intersecção, seja um

lado ou um vértice do polígono que forma este ladrilho. Obedecendo a esta condição, a somas

dos ângulos dos polígonos que formam a intersecção será 360 graus. Veja figura 04 feita por

um dos alunos do projeto.

Figura 04: Construção de um ladrilhamento feita por um dos alunos.

134

Fonte: Arquivos da estagiária - atividades dos alunos participantes do projeto.

Para se chegar a esta formalização primeiramente os alunos precisavam saber como

calcular a soma dos ângulos internos de um polígono qualquer.

A estagiária, iniciando um diálogo sobre as medidas de ângulos de polígonos

diagnosticou que os alunos já sabiam que a somas dos ângulos internos e um triângulo

equilátero é igual a 60° + 60° + 60° = 180°. E que a soma dos ângulos internos do quadrado é

igual a 4 . 90° = 180°. Partindo deste conhecimento questionou sobre a soma dos ângulos

internos de outros polígonos regulares como o pentágono, hexágono, eneágono. Percebendo

que não sabiam calcular as medidas dos ângulos internos de polígonos com o número n de

lados, maior que quatro, propôs a seguinte questão: vamos descobrir uma estratégia ou uma

fórmula que sirva para calcular a medida da soma dos ângulos internos de qualquer polígono

regular?

Diante da dificuldade dos alunos em levantar conjecturas, solicitou que construíssem

no Geogebra um triângulo equilátero e um quadrado e procurasse estabelecer relações entre o

valor da soma dos ângulos do triângulo equilátero e a soma dos ângulos do quadrado. Esperou

que usassem os recursos do software para calcular as medidas dos ângulos internos de cada

um dos polígonos, aumentassem e diminuíssem as dimensões das figuras e fizessem suas

próprias análises. Os alunos conversavam entre si na dupla de trabalho e também com os

colegas do lado. Comparavam as suas figuras com as dos colegas e comentários foram

surgindo:

Aluna A: Se dividir o quadrado em duas partes, as duas metades serão triângulos.

Aluno B: Mas não serão triângulos equiláteros.

Aluna A: Mesmo assim a soma dos ângulos desses dois triângulos será 180° cada um.

135

Aluno C: Isso é a metade da soma dos ângulos do quadrado.

A estagiária Oliveira percebendo que as conjecturas dos alunos estavam no caminho

certo sugeriu:

Oliveira: Construam um pentágono ao lado destas figuras e analisem se há relação entre as

somas dos ângulos internos do triângulo, do quadrado e do pentágono.

Esta postura da estagiária deu indícios de que compreende a mediação e interação

como aspectos fundamentais do processo de ensinar e aprender matemática e da importância

do outro na aprendizagem.

Depois de construir o pentágono uma aluna falou em voz alta:

Aluna A: O valor da soma dos ângulos do quadrado é o dobro da soma dos ângulos do

triângulo porque pode ser dividido em dois triângulos. E do pentágono é o triplo porque dá

para ser dividido em três triângulos.

Percebendo que nem todos os alunos entenderam a suas conjecturas, a professora

pediu que fosse ao quadro e explicasse a sua hipótese. Os colegas concordaram que ela tinha

razão, contudo, um aluno questionou:

Aluno D: Mas isto vai valer sempre, para qualquer polígono regular?

Aluna P: Vai sim D! Aqui no Geogebra eu posso dividir os polígonos em triângulos, e se eu

aumentar ou diminuir o tamanho de qualquer polígono o valor da soma dos ângulos internos

dos triângulos não mudam! Dá sempre 180.

Aluno D: Mas, e se o polígono tiver muitos lados? Você fez só com quatro e com cinco lados.

Neste diálogo destaca-se como a manipulação do Geogebra e o diálogo que se

estabeleceu entre professora e alunos oportunizaram a exploração das propriedades

geométricas relacionadas às medidas dos ângulos internos dos polígonos, de forma que os

alunos foram se apropriando de conceitos que foram se definindo por meio das conjecturas,

construções e experimentações e das falas estabelecidas no grupo. Isto está de acordo com

Gravina e Santarosa (1998) quando afirmam que os softwares educacionais com

características dinâmicas, com o caso do Geogebra, surgem como uma nova forma de

explorar os conteúdos e construir novos conhecimentos porque permitem conjecturas e

experimentações que provocam o redimensionamento dos conceitos que os alunos já

136

conhecem interligando-os com aqueles ainda desconhecidos na busca de compreender as

novas ideias que vão sendo construídas.

Nesse momento a estagiária sugeriu que construíssem novos polígonos conforme

figura 05.

Figura 05: Construção de polígonos e suas diagonais, feita por um aluno.

Fonte: Arquivos da estagiária: atividades dos alunos participantes do projeto.

Solicitou que em seguida os dividissem em triângulos e completassem uma tabela

conforme mostra a figura:

Tabela 01: sugerira pela estagiária - triângulos que partem de um mesmo vértice no polígono.

Número de lados do polígono 3 4 5 6 7 8 9 n

Número de triângulos formados 1 2 3 4 5 6 7 n-2

Fonte: Diário de campo da estagiária.

Completando a tabela 01 os alunos formalizaram que o número de triângulos

congruentes possíveis de serem construídos no interior de um polígono regular de n lados será

sempre igual a 𝑛 − 2. Em seguida a estagiária sugeriu que completassem uma nova tabela

como a tabela 02 a seguir.

Tabela 02: Soma dos ângulos internos de polígonos regulares.

Polígono N° de

lados

N° de

vértices

N° de triângulos do

vértice

Soma dos ângulos

internos

quadrado 4 4 2 360º

pentágono 5 5 3 540º

hexágono 6 6 4 720°

heptágono 7 7 5 900°

octógono 8 8 6 1080°

qualquer n n n-2 180° . (n - 2) Fonte: Diário de campo da estagiária.

137

De acordo com Oliveira C. K. M; Oliveira C. M. S. e Vaz (2014) por meio desta

tabela:

durante e depois da construção os alunos puderam observar e analisar os dados ali

inseridos e compará-los com as informações das construções no Geogebra. Por meio

da comparação, chegaram a formalização Matemática de como se calcula a somas

dos ângulos internos de um polígono qualquer usando a formalização anteriores.

Assim, conseguiram formalizar que a soma dos ângulos internos de um polígono

poderia ser calculada pela fórmula 𝑆𝑛 = 180. (𝑛 − 2) se considerassem Sn igual a

soma e n igual ao número de lados desse polígono. (2013, p. 1581).

As tabelas seriam um recurso interessante se os alunos não tivessem identificado

nenhuma relação entre as somas dos ângulos dos polígonos e a quantidade de triângulos que

poderiam ser formados ao dividi-los em triângulos congruentes. Como já haviam levantado

esta conjectura, a estagiária poderia ter prosseguido a atividade de investigação mediando as

descobertas já realizadas instigando para que partindo desta descoberta chegassem sozinhos,

sem o artifício da tabela, à formalização de que o número de triângulos formados seria sempre

o número de lados n subtraído de 2 unidade ou 𝑛 − 2. A partir daí formalizar que a soma Sn

dos ângulos internos de qualquer polígono seria 𝑆𝑛 = (𝑛 − 2) . 180° provavelmente

aconteceria naturalmente e abriria espaço para a troca de ideias e para o diálogo entre os

alunos. A construção da tabela mecanizou a descoberta e empobreceu a realização da

investigação.

Por meio da construção da tabela os alunos chegaram à formalização do cálculo da

soma dos ângulos internos de um polígono regular. Contudo não perceberam a exceção do

triângulo. Nesse momento a estagiária foi feliz na proposta que fez.

Propôs que testassem a fórmula para o maior número possível de polígonos regulares.

Fazendo a testagem da fórmula para calcular as somas dos ângulos internos de decágonos,

dodecágonos, eneágonos e também triângulos. Assim, identificaram que a fórmula valia para

todos os polígonos regulares, exceto os triângulos equiláteros e formalizaram então que 𝑆𝑛 =

(𝑛 − 2). 180°, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 3, se considerassem Sn igual a soma e n igual ao número de lados

desse polígono.

Ampliando os conhecimentos dos alunos a estagiária questionou:

Oliveira: Esta fórmula vale para todos os polígonos convexos ou vale apenas para os

polígonos regulares? Vamos fazer a testagem usando a calculadora?

Calculando a soma dos ângulos internos de vários polígonos convexos regulares e

não regulares os alunos formalizaram então que 𝑆𝑛 = (𝑛 − 2) . 180°, 𝑠𝑒 𝑛 > 3, para qualquer

138

polígono convexo. Feita a formalização a estagiária fez a prova Matemática por indução para

se chegar à generalização Matemática da fórmula. Conforme Oliveira C. K. M; Oliveira C. M.

S. e Vaz:

partindo do princípio que certamente para 𝑛 = 3 temos que o polígono convexo

triangular em que por meio da geometria elementar sabe-se que a soma dos seus

ângulos é 180°. Supondo então que a afirmação seja válida para 𝑛 = 𝑘 ≥ 3, isto é,

que a soma dos ângulos de um polígono convexo com 𝑘 lados é 𝑆𝑘 = ( 𝑘 −2 ). 180°. No polígono 𝑎0𝑎2. . . 𝑎𝑘 que é obtido ao traçar o segmento 𝑎0𝑎2 tem k

lados; logo a soma dos seus ângulos é 𝑆𝑘 = (𝑘 − 2) . 180°. Tomando a soma dos

ângulos do polígono original como 𝑆𝑘 mais a soma dos ângulos do triângulo

𝑎0𝑎1𝑎2 tem-se que, 𝑆𝑘 + 1 = 𝑆𝑘 + 180° = (𝑘 − 2). 180° + 180° =(𝑘 − 1). 180°. (2014, p. 1581).

Nesse momento, diante da dificuldade dos alunos em relação à representação abstrata

da Matemática, a estagiária concluiu a prova rapidamente passando para uma nova questão:

Oliveira: Vocês saberiam, com os conhecimentos que já possuem calcular o valor de cada

ângulo interno de um polígono regular?

E surpreendentemente desenrolou-se o seguinte diálogo:

Aluna M: Basta dividir o valor da soma dos ângulos internos pelo número de ângulos do

polígono.

Aluna P: Mas isso não vale sempre, se o polígono não for regular isto não vale.

Aluna M: Mas não foi isso que a professor perguntou? Como calcular os ângulos de um

polígono regular?

Estagiária: Como ficaria a fórmula Matemática então?

Aluno X: Fica Â =𝑆𝑘

2

Aluna P: Fica 𝑆𝑛 =(𝑛−2).180°

2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 3.

Aluno X: Isso não é a mesma coisa que Â =𝑆𝑛

2, 𝑐𝑜𝑚 𝑛 > 3?

Aluna P: Agora sim, você lembrou que tem que ser com 𝑛 > 3.

Diante das conjecturas dos alunos a estagiária propôs então que fizessem alguns

testes calculando os valores de ângulos de polígonos regulares para comprovarem se suas

formalizações Matemáticas estavam corretas.

No diálogo dos alunos pode-se identificar que compreenderam as formalizações dos

cálculos da soma de ângulos e dos valores de cada ângulo de um polígono regular. Neste

momento a estagiária poderia ter explorado o calculo de valores de ângulos internos de

139

polígonos convexos não regulares. Como os alunos não apresentavam dificuldades com as

formalizações à oportunidade para ampliar os conhecimentos poderia ter sido aproveitada.

Contudo, passou-se para a formalização da segunda condição necessária para a

construção de um ladrilhamento comportado solicitando que os alunos voltassem às

construções de ladrilhamentos que haviam feito antes no Geogebra e partindo da primeira

condição já identificada, de que todos os polígonos da intersecção deveriam ser regulares e

dos conhecimentos que tinham construído sobre ângulos de polígonos regulares,

investigassem qual seria outra condição Matemática que poderia ser identificada. As

conjecturas levantadas foram:

Aluna A: A somas dos ângulos na intersecção dos polígonos é sempre igual. Nem precisa

calculadora... é só conferir aqui no Geogebra.

Aluna M: Se juntar os ângulos dá para fechar um círculo.

Aluno H: Eu não calculei... o que eu fiz foi tentar desenhar no Geogebra um circulo com o

centro na intersecção... fiz um circulo em cada uma e deu certinho. Dá para fechar o circulo

sim, em todas!

Aluno X: Então mede sempre 360°?

O diálogo estabelecido permite observar a importância do momento das tentativas de

justificativas das hipóteses para o processo de argumentação matemática. As ideias e

conjecturas dos alunos vão se concretizando em imagens mentais e visuais criando novas

ideias que vão se concretizando e novos conceitos matemáticos. Para Oliveira; Guimarães e

Andrade (2012) ao utilizar o Geogebra o aluno tem a oportunidade de transformar as imagens

mentais em imagens visíveis por meio do processo de formulação de hipóteses que provocam

as descobertas que levam a construção de novos conceitos matemáticos.

A última pergunta foi direcionada a professora estagiária que teve habilidade para

conduzir a investigação sem confirmar nem negar a conjectura em questão. Ao contrário

sugeriu que calculassem os valores dos ângulos das intersecções e conferissem quanto daria a

soma de todos eles.

Alguns alunos usaram a fórmula e a calculadora para fazer o que a professora estava

sugerindo, contudo parte deles usou os recursos do próprio Geogebra para medir os ângulos e

depois fazer a soma. Após alguns testes, sem dificuldades formalizaram que: a soma dos

ângulos dos polígonos regulares nas interseções será sempre 360°. Neste momento a

estagiária cometeu uma distração e completou a condição Matemática acrescentando:

140

Oliveira: Observem que para a formação dos ladrilhos comportados é necessário também

que a intersecção, seja um lado ou um vértice do polígono que forma este ladrilho.

Na proposta de investigação, esta condição Matemática deveria ter sido descoberta

pelos alunos por meio da experimentação. Apesar de ter planejado bem a investigação e

conhecer bem o conteúdo, talvez pela inexperiência ou pela pressa a estagiária adiantou a

resposta que deveria ser investigada pelos alunos.

E fazendo a leitura da análise desse momento da aula, no relato de experiência

produzido, percebe-se que o fato não foi mencionado e também ficou implícito se os alunos

identificaram ou esta condição Matemática para o ladrilhamento comportado.

Em relação ao Geogebra afirma que:

o software Geogebra contribuiu para desenvolver a Investigação Matemática nesta

atividade possibilitando que os alunos construíssem os polígonos com variados

vértices e dividissem em triângulos, utilizando as ferramentas do software e assim

observaram e analisaram cada figura até obter o resultado final. Possibilitando ainda,

que durante a investigação Matemática os alunos interagissem com o conteúdo

proposto, vivenciando e observando cada fase da investigação Matemática.

(OLIVEIRA C. K. M.; OLIVEIRA C. M. S. E VAZ, 2014, p. 1584).

Esta afirmação em relação ao Geogebra não foi pontual, não dá indicações reais de

como o software foi utilizado na investigação. Afirma que houve interação dos alunos com o

conteúdo e que vivenciaram as fases da investigação. Contudo a afirmação é vaga e

inconsistente. Faltou na redação à avaliação das atividades mediadas como o Geogebra na

análise desta etapa, clareza, para que quem não tenha presenciado a aula pudesse compreender

o processo acontecido.

A terceira condição Matemática que os alunos deveriam investigar seria para a

constatação de que a repartição dos ladrilhos ao redor dos vértices do ladrilhamento é

continuamente a mesma. Ou seja, os mesmos polígonos que formam um ladrilho ao redor de

um vértice, são os mesmos que formam todos os outros vértices conforme figura 06.

Figura 06: Os polígonos que formam um ladrilho ao redor de dos vértices.

141

Fonte: Dias e Sampaio (2010, p. 29).

A estagiária aqui adiantou para os alunos a informação de que a terceira condição

para um ladrilhamento perfeito está relacionada à distribuição dos ladrilhos ao redor do

vértice. Solicitou que voltassem as construções doe ladrilhamentos feitos no Geogebra nos

quais eles já identificaram as duas primeiras condições. Dentre eles procurassem analisar

como estavam dispostos os polígonos nas intersecções dos vértices. Também poderiam

construir outros ladrilhamentos, desde que as novas construções atendessem as duas primeiras

condições Matemáticas já identificadas. Durante as experimentações e análises houve

comentários como, por exemplo:

Aluna A: Os polígonos que se encontram em todos os vértices formando o círculo de 360º

são sempre os mesmos.

Aluno B: Estão distribuídos do mesmo jeito. Será que esta é a condição professora?

Estagiária: E se você mudar o lado de olhar, a sequência muda?

Aluna M: Não muda não, tanto faz se girar para frente ou se girar para trás, fica sempre do

mesmo jeito.

Aluno C: Acho que já sei qual é a condição. O jeito que os ladrilhos vão ser colocados vão

sempre seguir o mesmo padrão, não importa o lado que eu começar a fazer o circulo.

Aluna M: A divisão dos ladrilhos ao redor dos vértices do ladrilhamento continua sempre

igual. Em todos os vértices.

Por meio deste diálogo os alunos formalizaram que a terceira condição para um

ladrilhamento perfeito e á seguinte: a distribuição de ladrilhos ao redor de cada um dos

vértices do ladrilhamento é sempre a mesma. Percebe-se nesta situação a busca da

142

formalização. A evolução e aprofundamento da argumentação matemática dos alunos ocorrida

por meio da mediação pedagógica da estagiária.

A discussão dos resultados

Após a descoberta das três condições para a construção de um ladrilhamento perfeito,

deu-se na aula um momento de discussão dos resultados conforme previsto para uma

Investigação Matemática. No relato de experiência publicado não há descrição de como este

momento se deu e como contribui para a formalização dos conceitos matemáticos. A

estagiária destaca apenas que a fase de discussão dos resultados foi importante para a

finalização da investigação, pois foi o momento de "comparar os resultados obtidos entre os

alunos, discutir e organizar as ideias, para que os alunos entendam o significado da

investigação, e também formalizem e generalizem os conceitos matemáticos". (OLIVEIRA C.

K. M. ; OLIVEIRA C. M. S. E VAZ, 2014, p. 1583).

Entretanto, ao observar a discussão dos resultados em sala de aula presenciou alguns

minutos em que os alunos tiveram oportunidade para falar das suas descobertas e do software

Geogebra. Talvez pela pouca experiência em liderar um debate, o foco da discussão foi maior

em relação ao Geogebra do que em relação às aprendizagens Matemáticas. As falas dos

alunos a seguir indicaram que o ambiente dinâmico do software foi relevante para despertar o

interesse em investigar, entretanto não há muita referência às estratégias e descobertas que

fizeram em relação aos conteúdos matemáticos.

Aluna M: Utilizando o Geogebra e consegui construir os ladrilhos e ir observando passo a

passo o que estava acontecendo [...] isto foi muito diferente, muito melhor do que ficar só

olhando os desenhos nos slides ou no quadro igual acontece nas aulas de Matemática.

Aluna A: Eu nem gosto de Matemática porque acho muito difícil [...]. No ano passado o

professor ensinou a gente a calcular os ângulos de polígonos e eu não entendi e agora já

consigo calcular até daqueles grandões de muitos lados.

Aluno X: Depois que eu assisti às aulas aqui eu descobri o ladrilhamento das paredes do

banheiro lá de casa é comportado. Ele é feito de hexágonos azuis e quadrados bancos igual

um desenho que o colega A fez.

Aluna A: Naquele que eu fiz os ângulos dos encontros medem, um deles 90 graus e os outros

dois dos hexágonos medem 135 graus cada um, tudo deu 360 graus.

143

Aluna P: Até agora eu não tinha entendido porque aquele só de triângulos é comportado.

Agora que entendi. Ele só é comportado se os triângulos tiverem os lados iguais, porque aí os

ângulos vão medir 60 graus.

Aluna M: Lógico uai, se gasta seis triângulos em cada encontro então sessenta vezes seis dá

360 graus.

A professora estagiária ficou quase o tempo todo só observando os alunos falarem. A

intervenção e a mediação só aconteciam quando solicitada. Praticamente não fez

interferências o que deu liberdade para os alunos exporem suas ideias. Isto foi importante para

que os alunos pudessem, eles mesmos, nas análises, irem organizando suas ideias por meio do

diálogo entre eles.

No entanto faltou certo direcionamento para que outros pontos importantes da

investigação fossem debatidos. O termino da aula interrompeu abruptamente a discussão que

não foi retomada na aula seguinte. Assim, pode-se dizer que foi um momento importante,

contudo poderia ter sido mais bem explorado diante da boa vontade dos alunos em falar das

suas descobertas.

Na última aula, os alunos resolveram alguns problemas apresentados pela estagiária

em papel impresso os quais fizeram em grupo usando calculadora e recorrendo ao Geogebra

quando sentiam necessidade e não houve dificuldades. Isto deu indícios de que os conteúdos

trabalhados foram aprendidos pelos alunos.

Para concluir a proposta a sugestão foi que, divididos em dupla de trabalho, fizessem

no Geogebra um ladrilhamento comportado e um ladrilhamento não comportado bem

coloridos. Os desenhos construídos foram impressos e encadernados em forma de um

catálogo e cada aluno ficou com uma cópia.

6.1.2 Reflexões sobre a mediação pedagógica

A mediação pedagógica da estagiária na condução das investigações e suas falas nas

reuniões grupo de estudo indicam que o desenvolvimento da sua pesquisa provocou reflexões

sobre aos desafios da docência, compreensão e aplicação da Investigação Matemática como

metodologia de ensino e aprendizagem. Ao avaliar as sua própria mediação pedagógica

destaca que antes de iniciar o curso pensava que para ser uma boa professora precisar dominar

muito bem os conteúdos e que isto seria suficiente. Lidar com a aprendizagem dos alunos não

era uma preocupação sua, visto que na sua ideia, se dominasse o conteúdo, por consequência

saberia ensinar. Contudo, "no decorrer do curso, percebi que os conteúdos de Matemática

144

podem ser melhores ensinados quando se utiliza metodologias adequadas e recursos didáticos

variados". (OLIVEIRA, COMENTÁRIO G. E. 2014).

Em relação as regência, diz que, ao receber a proposta da orientadora de estágio para

desenvolver aulas investigativas com os alunos da escola, inicialmente teve medo, mas

aceitou o desafio.

Pensei que não seria capaz de desenvolver a metodologia de Investigação

Matemática com os alunos porque eu já os conhecia. Como monitora do programa

pró-licenciatura já havia observado algumas aulas da professora regente nesta turma

e vi que mostravam desinteresse em estudar os conteúdos de Matemática e tinham

muita dificuldade para fazer as tarefas em sala de aula. (Ibid.).

E lembra que ficou surpresa com a curiosidade e o interesse dos alunos quando

começou a desenvolver o projeto. Diz que "os alunos ficavam entusiasmados ao verem os

resultados das suas construções. Como eram construídas por eles passo a passo e isso

estimulou a curiosidade em entender os conceitos matemáticos utilizados". (Ibid.).

Na sua autoavaliação cita que suas maiores dificuldades foram lidar com perguntas e

conjecturas apresentadas pelos alunos.

Uma dificuldade que tive veio da falta de experiência na sala de aula. Caso eu

respondesse a determinadas perguntas ou confirmasse uma conjectura antes da

experimentação a investigação ficaria prejudicada. Então, ter habilidade para lidar

com isso foi um grande desafio. Optei por seguir o conselho da minha orientadora,

responder a uma pergunta com outra pergunta. Isto me dava tempo para pensar sobre

como lidar com a situação. (OLIVEIRA, 2014).

Em relação às interferências do seu projeto para a vida dos alunos destaca lembrando

SKOVSMOSE (2008), que suas pretensões foram de que pudesse contribuir para o

desenvolvimento da autonomia intelectual dos alunos participantes fazendo com que

explorassem suas próprias capacidades intelectuais, duvidando de resposta e situações já

preestabelecidas, questionando, elaborando problemas e buscando soluções para as perguntas

que eles mesmos fizeram e argumentando em defesas das suas estratégias. Considera que

desenvolvendo estas habilidades, os alunos poderiam utilizá-las para resolver outros

problemas matemáticos ou não, dentro e fora da escola. (OLIVEIRA COMENTÁRIO G. E.

2014).

Sobre seu futuro na docência afirma: "Por meio das atividades descobri que na sala

de aula quero atuar de forma criativa, usando metodologias e recursos diferenciados para

atuando como mediadora, sem oferecer respostas prontas." (Ibid.). Enfatizando: "Quero que

meus alunos aprendam a buscar suas próprias respostas e construir por sim mesmos os seus

conhecimentos". (Ibid.)

145

Destaca ainda que na sua autoavaliação: "O Estágio Supervisionado foi definitivo

para que eu pudesse compreender a minha função social e política como professora. Que ser

professor de Matemática vai muito além do ensinar conteúdos de álgebra e geometria".

(OLIVEIRA, 2014).

Enfim a mediação pedagógica da estagiária permitiu que acontecesse a Investigação

Matemática em Sala de aula. Além do que, trabalho final produzido e as afirmações que fez

nos debates do grupo de estudo dão indícios de que o desenvolvimento da pesquisa provocou

reflexões sobre teorias de ensino e aprendizagem e sobre metodologias de ensino, em especial

a Investigação Matemática. Tais reflexões se refletiram na sua formação e na sua ação

docente, fazendo com que acontecesse os processos de ação-reflexão-ação em que teoria e

prática foram utilizadas de forma indissociada.

6.2 A mediação pedagógica no Projeto A Investigação Matemática com o Geogebra na

formalização do cálculo de áreas desconhecidas por meio da regra dos trapézios

O objetivo da pesquisa da estagiária Santos foi analisar metodologia de Investigação

Matemática em sala de aula usando o software educacional Geogebra para o ensino de do

conteúdo Integral Numérica para uma turma de terceiro ano do Ensino Médio de uma escola

pública de Iporá/GO. Buscou-se identificar se o Geogebra, por ser um software dinâmico,

pode contribuir de forma significante para a realização da Investigação Matemática em sala de

aula em as aulas investigativas de forma a contribuir para que os alunos pudessem agir como

investigadores matemáticos.


A pesquisa realizada pela estagiária foi planejada e desenvolvida a partir das

atividades de pesquisa desenvolvidas no Grupo de Pesquisa formado pelos acadêmicos do

quarto ano do curso de Licenciatura em Matemática da UEG/Iporá que faz parte do Projeto

de Mestrado da professora de Estágio Supervisionado que também é aluna do curso de

Mestrado Profissional em Educação, Ciências e Matemática do Instituto Federal de Goiás,

Campus de Jataí. As atividades de pesquisa, a elaboração da atividade, as aulas

experimentais e a análise das aulas se desenvolveram durante as orientações e a regência

do Estágio Supervisionado sob mediação e supervisão da professora orientadora. A

proposta de atividade experimental foi planejada coletivamente e contou-se também com

as colaborações do professor Ms. Renato Assis Ribeiro da Universidade Estadual de Goiás,

146

Campus Iporá que auxiliou na elaboração do plano de atividades e do professor Dr. Duelci

Aparecido de Freitas Vaz do Instituto Federal de Goiás, Campus Jataí que orientou no

planejamento e na análise das atividades experimentais. O conteúdo da Investigação

Matemática foi o cálculo de áreas desconhecidas por meio da Regra dos Trapézios.

O projeto foi desenvolvido em uma turma de 14 alunos com idade média de 17

anos, do terceiro ano do Ensino Médio de uma grande escola pública da cidade de Iporá,

Goiás.

De acordo com o trabalho final da estagiária "a questão planejada para

investigação dos alunos foi: Como calcular a áreas de figuras desconhecidas se as fórmulas

que conhecemos não forem suficientes para isto?" (SANTOS, OLIVEIRA E VAZ, 2014,

p. 163). O objetivo foi que alunos conseguissem formalizar e generalizar a regra dos

trapézios por meio da Investigação Matemática com uso do software Geogebra. O tempo

previsto para o desenvolvimento das atividades foi de aproximadamente 10 horas/aulas.

Os instrumentos para coleta de dados da estagiária foram os relatórios dos alunos,

fotos, análise de atividades dos alunos e as anotações realizadas durante as aulas,

instrumentos estes que também foram utilizados como fonte de dados para a produção

deste trabalho, juntamente com as anotações que ela mesma fez em um diário de campo.

De acordo com a estagiária nas análises de todas as atividades

Foram observadas as fases das conjecturas, das experimentações, formalização e

generalização. Também se observou a capacidade de concentração e interação com o

grupo, precisão na apresentação dos grupos, atenção nas atividades propostas,

estratégias utilizadas na resolução dos problemas e atividades. A atenção e

experimentação no manuseio do software, adesão da proposta investigativa,

estratégias utilizadas para construção da proposta e para chegar à formalização e

generalização, capacidade de aplicação em situações cotidianas. E por fim, na

resolução dos exercícios utilizando a Regra dos Trapézios, estratégias e

interpretação dos exercícios aplicados ao dia-a-dia. (SANTOS, OLIVEIRA E VAZ,

2014, p. 173).

As análises feitas pela estagiária em relação às suas aulas se deram a partir das

situações de sala de aula e de escritos da formalização dos alunos, estratégias usadas na

resolução dos problemas, vivência das fases da investigação Matemática e capacidade de

aplicação do conteúdo em situações problemas.

O artigo final produzido com estas análises se constitui de uma fonte de dados

importante que foi utilizada para analisar a sua mediação pedagógica nas aulas de

Investigação Matemática.


147

No desenvolvimento da sequência de atividades se levou em consideração os passos

da Investigação Matemática proposta por Ponte, Brocardo e Oliveira (2013), que consideram

essa metodologia de ensino como uma forma de atividade em que se valorizam os processos

matemáticos pela vivência das fases do conjecturar, experimentar, formalizar e generalizar os

conceitos matemáticos. Ainda segundo estes autores "uma aula de Investigação Matemática

habitualmente tem início com a introdução do assunto pelo professor que dá origem ao

problema." (PONTE; BROCARDO E OLIVEIRA, 2013, p. 41). Deste primeiro contato dos

alunos com o conteúdo é que se propõe a questão a ser investigada na próxima etapa.

A mediação pedagógica da estagiária na aula experimental teve início como a

introdução do assunto. Inicialmente contou um pouco da história da Geometria, enfatizando

as descobertas egípcias e a Geometria grega de Euclides que é a base da Geometria

Euclidiana. Logo em seguida apresentou o software Geogebra, explorando juntamente com os

alunos os principais conceitos de Geometria que seriam pré-requisitos para a Investigação

Matemática que seria proposta. Conforme afirma a estagiária um dos objetivos desta aula foi

"relembrar a ideia de pontos e retas, relembrar conceitos de segmento de reta, plano, polígono,

poliedros [...] além de relembrar como se calcula áreas de formas planas e, espaciais e áreas

de formas desconhecidas pela soma das áreas de figuras conhecidas." (SANTOS, OLIVEIRA

E VAZ, 2014, p. 163).

Depois de explorados os recursos do Geogebra e de relembrados alguns conceitos

básicos de Geometria e cálculos de áreas de regiões planas e espaciais, os alunos resolveram

problemas encontrados em livros didáticos representativos de situações reais e/ou cotidianas

em que fizeram os cálculos de áreas utilizando às fórmulas convencionais e/ou as somas de

áreas de polígonos conhecidos. Segundo Ponte; Brocardo e Oliveira (2013) é comum e natural

que nas primeiras tentativas de realização de aulas investigativas "o professor comece por

recorrer a tarefas já construídas, utilizando-as nessa forma ou fazendo pequenas adaptações.

Depois de algumas experiências “é provável que comece a ganhar confiança para ser

ele próprio a pensar nas situações a propor aos seus alunos." (Ibid. p. 142). A figura 07

apresenta situações em que os alunos trabalharam em grupo durante a resolução dos

problemas propostos e durante a apresentação para a turma das estratégias que utilizaram para

resolvê-los.

Figura 07: Alunos desenvolvendo atividade em sala de aula.

148

Fonte: Santos; Oliveira e Vaz, 2014, p. 164.

Esta aula concluiu com a discussão coletiva da resolução dos problemas. Conforme

relata a estagiária este foi um momento importante não só para despertar os alunos para o

tema, mas principalmente para verificar o nível de conhecimento da turma sobre o assunto. E

assim, saber se a questão investigativa que seria proposta na próxima estava de acordo com a

capacidade de realização dos alunos. Segundo a estagiária:

nesta primeira aula foi perceptível que os alunos da turma possuíam razoável

conhecimento dos conceitos básicos de geometria e não apresentavam grande

dificuldade nos cálculos matemáticos confirmando o que já havia informado a

professora da turma. Conheciam também as fórmulas básicas para o cálculo de área

de regiões planas e para o cálculo de volumes dos sólidos mais comuns como o

cubo, o cilindro e os prismas. Identificou-se também que conheciam a forma

geométrica da elipse e os elementos que a constituem. Isto nos deixou bastante

animados porque estes conhecimentos são pré-requisitos para a investigação a ser

proposta na etapa seguinte. (SANTOS, OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 164).

Este trecho em que destaca suas percepções sobre os conhecimentos da turma acerca

do conhecimento que possuíam sobre o assunto indica que a estagiária tem bom domínio de

como fazer a introdução do assunto como ponto de partida para a Investigação Matemática

dos alunos. Propôs atividades para verificar alguns conhecimentos dos alunos sobre os

conceitos geométricos como forma de planejar as futuras intervenções e para saber se a

questão que iria propor estava de acordo com o nível de conhecimento da turma. Para Ponte et

al. (1999, p. 11) "se a questão for considerada por eles como demasiado difícil, é natural que

se sintam intimidados e não se disponham a trabalhar nela. Se for por eles considerada como

demasiado fácil, é encarada como maçadora e desinteressante".

A mediação pedagógica da estagiária neste caso indica bom domínio da metodologia

de Investigação Matemática, também porque fez a introdução do assunto revelando aspectos

da construção histórica científica do conteúdo, da revisão de conceitos importantes que

necessitavam serem relembrados por meio da exploração das ferramentas e recursos do

Geogebra que era um software desconhecido dos alunos. Criou um ambiente agradável que

deixou os alunos à vontade para trabalhar, ofereceu recursos e informações que facilitaram as

resoluções tomando o cuidado para não dar as respostas prontas. Segundo Ponte et. al. (1999.

149

p. 07) "o professor tem de criar um ambiente em que todos os alunos se sintam à vontade para

apresentar as suas conjecturas, argumentar contra ou a favor das ideias dos outros, sabendo

que o seu raciocínio será valorizado."


Na segunda etapa, antes de lançar a questão problema, a estagiária primeiramente

apresentou para os alunos a imagem de uma elipse. Em seguia pediu que construíssem uma

elipse usando as ferramentas do Geogebra. Após a construção do objeto é que foi lançada a

questão de pesquisa: “Como se calcula a área de uma elipse?”

Como era a primeira vez que os alunos realizariam uma Investigação Matemática a

estagiária dispensou alguns minutos da aula para explicar que aquela questão problema

deveria ser respondida por meio da realização de uma Investigação Matemática. Deixou claro

para os alunos que se esperava deles naquela aula e nas próximas justificando o que quer dizer

Investigação Matemática, quais os passos de uma investigação e quais eram os seus papéis

como investigadores. Esta ação da estagiária indica que esteve seguindo as orientações de

Ponte; Brocardo e Oliveira (2013) quando afirmam que a mediação pedagógica do professor

fica mais fácil quando os alunos compreendem o que se espera deles em cada fase, desde a

formulação problema, levantamento de conjecturas, passando pela experimentação que tem

como resultado a formalização e generalização dos resultados que deve ser discutidos

coletivamente ao final do trabalho.

Em seguida esperou que levantassem conjecturas sobre como poderiam calcular a

área desconhecida da elipse. Conforme pode ser confirmado no relato da estagiária:

Houve conjecturas como: e se calculássemos a média aritmética de todos os raios

da elipse? Mas ao mesmo tempo outra conjectura: para isto precisaríamos saber

quantos raios tem uma elipse, se não sabemos não há como calcular a média. Outro

aluno disse em tom de brincadeira: e se pudéssemos esticar daqui e empurrar dali

até que a elipse fique circular? Houve risadas, mas havia lógica no que foi dito.

(grifo da autora). (SANTOS, OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 165).

Além destas conjecturas destaca que:

Houve ainda a sugestão de que se fizesse um retângulo no interior da elipse e que se

calculasse a área do retângulo desprezando o que ficasse na área externa a ele. Mas

chegaram à conclusão de que também havia lógica na situação proposta, mas que a

área externa seria muito grande e por consequência o erro no cálculo também seria

muito grande." (Ibid.).

Neste momento a estagiária foi habilidosa na condução usando esta última conjectura

para dar início à experimentação propondo para os alunos que utilizassem da mesma ideia de

150

buscar uma construir no interior da elipse, formas poligonais conhecidas. Sugerindo que

dividisse a elipse em várias partes. Lembra que para fazer isso se embasou em Ponte, Brocado

e Oliveira (2013), o levantamento de conjecturas pode surgir de diversas formas podendo

acontecer por meio da análise ou manipulação dos dados ou ao fazer comparações com outras

conjecturas. E que o professor pode usar as próprias conjecturas que vão surgindo para

conduzir a novas experimentações que levem os alunos a irem confirmando e refinando suas

conjecturas. (SANTOS, OLIVEIRA E VAZ, 2014).

Como pretendia que os alunos conseguissem visualizar nas divisões da elipse as

formas de trapézios sugeriu que usassem o Geogebra para dividir a elipse em partes iguais

usando a ferramenta, retas paralelas. Todos os alunos dividiram a elipse verticalmente,

usando a ferramenta indicada. Em seguida a estagiária solicitou que tentassem construir

polígonos conhecidos usando as divisões da elipse. Nesse momento, a maioria dos alunos

construiu polígonos em forma de trapézios e/ou triângulos, conforme figura 08:

Figura 08: Divisão da elipse em trapézios.

Fonte: Santos, Oliveira e Vaz, 2014, p. 168.

Por meio dessa construção a estagiária lançou vários questionamentos: O que

aconteceu com a figura depois de traçar retas paralelas e ligar os pontos das extremidades?

Com que figuras se parecem essas formadas por feixes de retas paralelas com os pontos

ligados? Como calcular a área dessa elipse?

Contudo, de repente a estagiária percebeu que um dos alunos dividiu a sua elipse em

retângulos, trapézios e triângulos usando retas perpendiculares às retas paralelas já

construídas, conforme figura 09.

151

Figura 09: Construção de aluno: divisões da elipse em retângulos e triângulos.

Fonte: Santos, Oliveira e Vaz, 2014, p. 168.

A estagiária não descartou sua construção, apesar de ser pega de surpresa. Quando

questionada pelo aluno se sua construção estava errada, não disse sim ou não. Disse apenas

que poderia seguir suas investigações seguindo as mesmas orientações que fossem dadas aos

colegas. A seguir argumentou lembrando os alunos que eles conheciam as fórmulas para

calcularem as áreas dos retângulos, trapézios e triângulos. E conheciam a ferramenta que

poderia ser usada para calcular áreas de polígonos no Geogebra. Solicitou então que usassem

tais conhecimentos para calcularem a área total da elipse. Esta ação da estagiária foi correta

ao conduzir Investigação Matemática e indica também que possui bom domínio do conteúdo.

Neste momento a estagiária foi habilidosa não descartando a estratégia do aluno,

mesmo porque, a sua construção estava muito coerente e permitia o cálculo aproximado da

área da elipse pela soma das áreas dos triângulos, trapézios e retângulos formados.

Os alunos foram anotando suas estratégias para calcular a área da elipse, depois de

algum tempo obtivemos respostas como estas, relatadas na figura 10 a seguir:

Figura 10: Formalizações dos alunos.

152

Fonte: Santos, Oliveira e Vaz (2014, p. 167).

Pode-se observar pelas análises das anotações que os alunos perceberam essência

Matemática da Regra dos Trapézios.

Com esta atividade os alunos conseguiram formalizar o cálculo da área aproximada

da elipse como sendo a soma da área dos trapézios construídos no seu interior. Inclusive o

aluno que fez as divisões da elipse de forma diferente. A partir daí, foi solicitado que os

alunos aproximassem a figura da tela do computador usando a ferramenta zoom para que

percebessem que quanto mais partições, menor é a margem de erro no cálculo da área da

elipse.

Uma situação destacada pela estagiária foi a pergunta de um dos alunos:

Aluno P: se a regra chama Regra dos Trapézios e na demonstração da regra foram

utilizados apenas trapézios então porque na maioria dos desenhos das elipses que

construímos tinham um triangulo nos focos da elipse?

Esta pergunta mostra o nível de envolvimento deste aluno no processo investigativo.

Como a pergunta não fazia parte da investigação, mas era uma informação que poderia

contribuir para o entendimento da regra dos trapézios, a estagiária não propôs nova

investigação sobre ela, apenas fez a demonstração da igualdade da área do trapézio com a área

do triângulo quando considerado que o triângulo seria um trapézio de base menor igual a zero.

Contudo, esta poderia ser uma questão geradora de Investigação Matemática e outra

oportunidade.

Neste momento, antes de passar para a fase de conclusão da atividade, a estagiária

deveria ter se lembrado de verificar o andamento da atividade do aluno que fez a construção

153

diferente. Cometeu erro visto que a estratégia de resolução diferente, feita pelo aluno

anteriormente foi esquecida. Não houve retorno para ver quais foram as suas reflexões e

aprendizagens.

Para concluir a estagiária fez a demonstração para os alunos, a fórmula do cálculo da

área da elipse usando o seguinte argumento.

Considerando que a área do círculo é 𝐴 = 𝜋𝑟² <=> 𝐴 = 𝜋. 𝑟. 𝑟 e considerando que a

elipse é uma fórmula oval como diâmetros (d1) e (d2) de medidas diferentes. E raios (r1) e (r2)

de medidas diferentes.

Figura 11: Construção da prova do cálculo da área da elipse usando o Geogebra.

Fonte: Da autora.

Conforme a figura 11, medindo o comprimento da elipse e dividindo por 2 o

resultado obtido é conhecido como "raio 1". A seguir medindo a largura da elipse no seu

ponto central que representa a metade do comprimento e dividindo por 2 tem-se o raio "raio

2".

Multiplicando a metade da largura pela metade do comprimento chega-se a

conclusão de que se a área do círculo é 𝐴 = 𝜋𝑟² <=> 𝐴 = 𝜋. 𝑟. 𝑟 tem-se para a área da elipse

𝐴 = 𝜋. (𝑑1

2) . (

𝑑2

2). Logo a área da elipse é 𝐴 = 𝜋. 𝑟1 . 𝑟2.

A = Pi.r1.r2

154

Resumindo: Se considerar 𝑎 = 𝑟1 = (𝑑1

2) 𝑒 𝑏 = 𝑟2 = (

𝑑2

2). A área interior de uma

elipse é dada por 𝜋. 𝑎. 𝑏, onde a representa o semi-eixo (metade do eixo) maior,

e b corresponde ao semi-eixo menor.

Neste momento, o Geogebra foi usado como um recurso visual para demonstração da

fórmula. Contudo mesmo sem a intenção de realização de investigação, os alunos fizeram as

suas construções seguindo as orientações para que compreendessem todo o processo da

demonstração do cálculo da área da elipse.

Em seguida solicitou que comparassem as áreas calculadas antes para confirmarem

que quanto maior o número de divisões da elipse menor a margem de erros. Nesse momento

também os alunos formalizaram por escrito as suas conclusões.

A estagiária não propôs investigação para a formalização da fórmula do cálculo da

área da elipse, apenas mostrou e solicitou que comparassem a área aproximada calculada

anteriormente pela soma das áreas dos trapézios para perceberem que se trata de um resultado

bem próximo da área real. Justificou que não o fez porque o objetivo desta investigação era a

formalização da regra dos trapézios e a área da elipse foi aqui utilizada apenas por ser uma

área desconhecida dos alunos. Não era objetivo da sua pesquisa, formalizar o cálculo da área

da elipse. No entanto é importante deixar claro que dependendo o nível de conhecimento da

turma a demonstração do cálculo da área da elipse pode ser investigada pelos próprios alunos

por meio da Investigação Matemática em sala de aula.

Em relação à demonstração da fórmula da área dos trapézios a demonstração

realizada foi à seguinte:

Figura 12: Divisões da área desconhecida em trapézios.

Fonte: Arquivo de atividades da estagiária.

Na figura 12, ℎ = 𝑥𝑖+1 ‒ 𝑥𝑖 , sendo i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n

155

𝐴 =ℎ

2∙ [𝑓𝑥0

+ 𝑓𝑥1] +

ℎ

2∙ [𝑓𝑥1

+ 𝑓𝑥2] +

ℎ

2∙ [𝑓𝑥2

+ 𝑓𝑥3] +

ℎ

2∙ [𝑓𝑥3

+ 𝑓𝑥4] +

ℎ

2∙ [𝑓𝑥4

+ 𝑓𝑥5] + ⋯

+ℎ

2∙ [𝑓𝑥𝑜

+ 𝑓𝑥𝑛]

𝐴 =ℎ

2∙ [𝑓𝑥0

+ 𝑓𝑥𝑛+ 2 ∙ (𝑓𝑥1

+ 𝑓𝑥2+ ⋯ + 𝑓𝑥𝑛−1

]

De acordo com a estagiária, no que se refere a regra dos trapézios:

Considerando a participação dos alunos, o resultado da experimentação realizada e

que a demonstração da regra dos trapézios é razoavelmente simples, optamos por

fazê-la juntamente com os alunos que neste momento apresentaram dificuldades em

abstrair a regra, contudo conseguiram acompanhar a demonstração apresentando

sugestões e opiniões nas quais se identificou que compreendiam a demonstração

Matemática apesar de não conseguirem fazer sozinhos. (SANTOS, OLIVEIRA E

VAZ, 2014, p. 170).

E destaca que "após a construção da demonstração, a maioria dos alunos conseguiu

representar matematicamente a regra dos trapézios como sendo 𝐼 = (𝑥1+𝑥2

2) ∙ ℎ, onde 𝑥1 + 𝑥2

representam a distância entre os pontos definidos e h seria a amplitude entre eles". (SANTOS,

OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 171).

Como destaca a estagiária, ao avaliar as suas aulas nos debates do grupo de estudo.

ao construir um elipse no Geogebra e ao subdividi-la em partes iguais, eles

conseguiram visualizar a essência da regra dos trapézios relacionando as partes da

elipse com a formas trapezóides. E por fim conseguiram formalizar a regra dos

trapézios quando descobriram que para calcular a área aproximada da elipse bastava

calcular a área dos trapézios e somá-las. A seguir lembra que a generalização

aconteceu depois da demonstração da fórmula. (SANTOS, COMENTÁRIO G. E.

2014).

Destacando que "o software Geogebra proporcionou aos alunos um ambiente

propício para criar, fazer testes e elaborar conceitos novos provando suas hipóteses levantadas

ou até mesmo negando-as." (SANTOS, COMENTÁRIO G. E., 2014). Considera que para a

formalização da formalização da regra dos trapézios o software contribuiu de forma

significativa visto que:

o Geogebra como seu ambiente dinâmico permitiu aos alunos fazerem construções,

observações, experimentações e análises que seriam difíceis de serem realizadas

apenas com uso do lápis e papel. O manuseio das ferramentas que o software dispõe

foi essencial na elaboração das estratégias dos alunos até chegarem as formalizações

Matemáticas por meio das suas próprias investigações. (Ibid.).

De acordo com a acadêmica a Investigação Matemática com Geogebra foi capaz de

fazer a aluno criar e pensar conceitos novos sobre a sua própria criação. Foi possível por esta

metodologia envolver os alunos nas aulas como indivíduos capazes de levantar hipóteses e

conjecturas, experimentar, formalizar ideias e generalizar conceitos matemáticos, cabendo ao

156

professor o papel de mediar às situações, fazer perguntas, oferecer informações necessárias e

na medida certa para que as respostas pudessem ser descobertas pelos próprios alunos.

Após a demonstração do cálculo dá regra dos trapézios foi introduzido para os alunos

o termo Integral Numérica e propôs-se a resolução de problemas que representam situações

reais. Dentre tais problemas destacamos este de Franco (2006) que enuncia o seguinte: A

determinação da área da seção reta de rios e lagos é importante em projetos de prevenção de

enchentes (para o cálculo da vazão da água) e nos projetos de reservatórios (para cálculos do

volume total de água). A menos que dispositivos como os sonares sejam usados na obtenção

do perfil do fundo dos rios/lagos, o engenheiro deve trabalhar com os valores da

profundidade, obtidos em pontos discretos da superfície. Um exemplo típico de seção reta de

um rio é mostrado na figura 13.

Figura 13: Esquema da profundidade de um rio.

Fonte: Franco, (2006).

Use a integração numérica sobre pontos igualmente espaçados de h para calcular a

área da seção reta do rio da figura.

Nesse exercício eles puderam verificar uma aplicação Matemática real. Fizeram o

exercício, porém houve dificuldade de alguns alunos na aplicação da fórmula da Regra dos

Trapézios construída na generalização, mas com a intervenção da estagiária conseguiram

resolver. Além desse eles fizeram outras aplicações, inclusive calculando volume usando a

regra. A figura 14 mostra as estratégias utilizadas por dois alunos em suas resoluções.

Figura 14: Estratégias de resolução de dois alunos do projeto.

157

Fonte: Arquivos da estagiária: atividades dos alunos participantes do projeto.

Como afirma estagiária:

Saber formalizar a fórmula para ao cálculo da área usando a regra dos trapézios já

indica que os alunos compreenderam o conteúdo e sabendo resolver situações como

esta indica que sabem também relacionar o conteúdo com situações de aplicação e

que poderão usá-lo para resolver problemas do dia-a-dia. (SANTOS, OLIVEIRA E

VAZ, 2014, p. 172).

De acordo com a acadêmica por meio das suas Investigações Matemáticas os alunos

reconheceram a importância do conteúdo trabalhado em situações da realidade como para

calcular a área de curvas não conhecidas e o volume de superfícies irregulares. Isto contribuiu

para a formação do indivíduo como um ser pensante e ciente da importância do conhecimento

matemático para a vida. "Ao questionar, experimentar, formalizar em busca de soluções para

problemas de Matemática, desenvolveram também estas habilidades de questionamento,

busca de estratégias e soluções para problemas do cotidiano e do meio em que vivem."

(SANTOS, COMENTÁRIO G. E., 2014).

Concluídas as atividades experimentação passou-se à discussão final dos resultados.


De acordo com Ponte, Brocado e Oliveira (2013, p.41) para finalizar a aula, "a fase

de discussão é, pois, fundamental para que os alunos, por um lado, ganhem um entendimento

mais rico do que significa investigar e, por outro, desenvolvam a capacidade de comunicar

matematicamente e de refletir sobre o seu trabalho e o seu poder de argumentação." Para estes

pesquisadores "sem a discussão final corre-se o risco de se perder o sentido da investigação."

158

(Ibid., p. 41). Logo, percebe-se que a discussão é um momento significativo da aula em que

socializando suas descobertas, confrontando os resultados, sistematizando as ideias os alunos

podem chegar a formalização e a generalização dos conceitos matemáticos e a reflexão dos

resultados da investigação.

Tendo como base esta ideia a estagiária descreve que "fez-se a discussão em relação

a todo o processo de investigação realizado até o momento para que os alunos pudessem

refletir sobre as fases vivenciadas e sobre os resultados". (SANTOS; OLIVEIRA E VAZ,

2014, p. 173). Lembrando que "a discussão foi um momento significativo da aula em que

socializando suas descobertas, confrontando os resultados, sistematizando as ideias, os alunos

puderam chegar à formalização e à generalização dos conceitos matemáticos e à reflexão dos

resultados da investigação". (SANTOS; OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 173). Contudo o seu

relato de experiência não traz detalhes de como se deu tal discussão. Informa apenas que ao

fim da formalização da investigação Matemática, debateram sobre o termo Integração

Numéricas e sobre as importantes aplicações da regra dos trapézios.

Acompanhando este momento da aula, verificou-se que a discussão dos resultados

foi não aconteceu propriamente em forma de debate. Foi um momento importante, em que

aconteceu como uma revisão geral de conteúdo. A professora levantava alguns

questionamentos que eram respondidos pelos alunos ou por ela mesma fazendo uma

retrospectiva das aulas, relembrando pontos importantes e destacando as ideias principais.

Porém, não houve discussão sobre as construções feitas pelos alunos, sobre as diferentes

estratégias de resolução dos problemas e sobre como as conjecturas iniciais foram se

confirmando ou sendo descartadas até chegarem às formalizações.

Novamente não houve menção a estratégia do aluno que calculou a área aproximada

da elipse dividindo-a em retângulos e triângulos e não em trapézios e triângulos como sugeriu

a professora. Ao verificar os seus arquivos, mais tarde, após a aula, verificou-se que ele fez

nova construção no Geogebra, semelhante a que os alunos que estavam ao seu lado fez e

concluiu as atividades normalmente. Este aluno não foi acompanhado em sua investigação

como deveria. Não se sabe se ele em que momento e nem o motivo porque ele abandonou a

sua estratégia de resolução. Ele não teve a oportunidade para expor a sua estratégia que por

consequência não foi analisada pelos colegas. Perdeu-se então a exploração de um trabalho

que poderia provocado um debate rico e desencadeador de novas aprendizagens.


159

A mediação pedagógica da estagiária, bem como o seu trabalho final e suas

afirmações feitas no grupo de estudo mostram que as intervenções da acadêmica permitiram

que as aulas se desenvolvessem de acordo com a ideia defendida por Mendes (2008) de que

ao desenvolver atividades investigativas o aluno passa da condição de simples ouvinte passivo

para a condição de agente da aprendizagem desenvolvendo habilidades características da

própria investigação passando a utilizar sua criatividade para buscar soluções para os

problemas. Reconstruindo assim os conhecimentos Matemáticos e adquirindo também

autonomia Matemática e autonomia intelectual.

Ao avaliar suas dificuldades na realização das aulas experimentais, conforme

verificado na sua autoavaliação Santos destacou que "as dificuldades se deram quando

percebemos que os alunos não tinham os conhecimentos prévios pré-requisitos para a

investigação da regra dos trapézios. Não sabiam como calcular áreas de polígonos simples

como o triângulo, losango e trapézios." (SANTOS, 2014). Lembrando que:

esta situação levou a necessidade de replanejamento da atividade pedagógica

incluindo atividades de revisão do conteúdo de área de polígonos e superfícies

planas como retângulos, triângulos, losangos, trapézios, etc, visto que, sem estes

conhecimentos a investigação do cálculo da área da elipse por meio da soma das

áreas dos trapézios poderia ficar prejudicada. (Ibid.).

O replanejamento das aulas foi um desafio prático que faz parte da profissão docente

assim como respeitar o nível de conhecimento dos alunos. Reconhecer a necessidade de rever

seu próprio planejamento indica que se faz presente a consciência de que no trabalho docente

é preciso saber lidar com as situações imprevistas em relação aos conhecimentos prévios dos

alunos e ou em relação aos conhecimentos pré-requisitos para a introdução de novos

conteúdos.

Em sua autoavaliação, Santos afirma que em todo o seu percurso de formação no

curso de Licenciatura em Matemática, conheceu teorias e tendências educacionais para o

ensino de Matemática que visam a aprendizagem pela própria ação do aluno e o uso de

posturas menos tradicionais do professor. Destacando que "o Estágio Supervisionado

representou a oportunidade de por meio da realização de pesquisas e experimentações e

análises, vivenciar e refletir sobre as teorias estudadas e reconhecer como a teoria e prática

estão interligadas e interrelacionadas. (SANTOS, 2014).

Enfim, reconhece a teoria e prática como indissociável e reconhece o aluno como

indivíduo pensante e reconhece necessidade de como docente, se assumir novas atitudes

frente à Educação Matemática. Tem consciência de que os modos como conduz a aula por

160

meio da mediação pedagógica irão definir como se dará ou não os processos investigativos

em sala de aula.

6.3 A mediação pedagógica no Projeto Formalizando o total de diagonais de um

polígono qualquer por meio da Investigação Matemática com o Software Geogebra

A pesquisa do licenciando Castro teve a finalidade de responder a pergunta: A

Investigação Matemática com o Geogebra contribui para que os alunos sejam capazes de

formalizar o cálculo do número de diagonais de um polígono qualquer de n lados? O objetivo

foi verificar se Investigação Matemática com o software Geogebra pode contribuir para que

os alunos consigam deduzir a fórmula geral do cálculo do total de diagonais de qualquer

polígono regular. As aulas experimentais se realizaram em uma turma do nono ano do Ensino

Fundamental de uma escola pública da cidade de Iporá/GO.

Nas análises, o estagiário será identificado como Castro e os sujeitos da sua pesquisa

serão identificados por letras maiúsculas do alfabeto.

6.3.1 A mediação pedagógica do estagiário

A atividade desenvolvida foi a elaboração, experimentação e análise sistematizada

por meio de uma pesquisa que teve como objetivo verificar se Investigação Matemática com o

software Geogebra pode contribuir para que os alunos consigam deduzir a fórmula geral do

cálculo do total de diagonais de qualquer polígono regular. As aulas experimentais se

realizaram em uma turma do nono ano do Ensino Fundamental de uma escola pública da

cidade de Iporá/GO.

As atividades de experimentação com uso da metodologia de Investigação

Matemática com o Geogebra aconteceu respeitando as fases de introdução do assunto,

experimentação e discussão dos resultados nos os processos matemáticos pela vivência das

fases do conjecturar, experimentar, formalizar e generalizar os conceitos matemáticos

conforme proposta de Ponte, Brocardo e Oliveira 2013. A seguir a análise do

desenvolvimento da atividade pedagógica.

O estagiário se propôs a conduzir a atividade de Investigação Matemática realizando

a atividade investigativa em três fases distintas que são o arranque da aula, da experimentação

e da discussão dos resultados, de acordo com o proposto por Ponte, Brocardo e Oliveira 2013.


161

O desenvolvimento da primeira atividade da aula se deu com a apresentação do texto

TMS revela maior placa de vídeo HD que fala sobre maior monitor de vídeo do mundo.

Inicialmente os alunos juntamente com o professor fizeram a fizeram a leitura do texto e

participaram de um bate papo sobre as dimensões da maior TV do mundo que possui 66,4

metros de largura por 28,8 metros de altura e 2 844 polegadas que depende de uma equipe de

cinco pessoas para ser controlada.

Este momento de introdução da atividade, de acordo com Ponte et al. (2004, p. 12)

"constitui um dos principais momentos onde o professor tem de evidenciar a sua capacidade

de colocar boas questões." Durante o debate, diante da pergunta de um dos alunos sobre como

se faz para medir uma TV em polegadas o estagiário foi habilidoso em responder a pergunta

propondo um desafio que era "descobrirem como se faz a medida em polegadas do monitor de

um computador ou da tela de uma TV." (CASTRO; OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 133).

Como no Laboratório de Informática em que os em que os alunos se encontravam

não havia uma TV, o estagiário entregou várias fitas métricas e réguas e pediu para os alunos

medirem as telas dos monitores dos computadores até descobrirem como se calcula a medida

em polegadas de tais regiões retangulares. O relato do estagiário descreve muito bem como se

deu esta etapa da aula. Destaca que os alunos por seus conhecimentos prévios, "sabiam que

uma polegada mede 2,54cm e conjeturavam que os monitores de computadores em geral

possuem 15 polegadas ou mais." (CASTRO; OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 133).

A conjectura inicial dos alunos foi que a medida em polegadas do monitor poderia

ser encontrada dividindo a largura do monitor por 2,54. Então, "primeiramente mediram a

largura do monitor na horizontal, dividiram a medida por 2,54cm. O resultado foi menor que

15 polegadas." (CASTRO; OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 133). Por este cálculo tiveram

negada a conjectura inicial, "descartaram esta possibilidade porque pela dimensão da área dos

monitores eles imaginavam que não poderiam ser menores que 15 polegadas." (Ibid.).

Continuaram então as experimentações e "depois de algum tempo e mais algumas medições e

cálculos chegaram à conclusão que era feito pela distância entre os vértices opostos do

retângulo do monitor. (Ibid., p. 134).

O estagiário mostrou, nesta atividade, tem bom conhecimento da metodologia de

ensino, orientando e mediando a Investigação Matemática dos alunos, até que descobrissem

por si mesmos, por meio de suas próprias tentativas, como se deve proceder para medir em

polegadas, a tela de um monitor de computador ou TV.

162

Outro ponto que vale ser destacado foi a forma como o estagiário usou as perguntas e

conjecturas dos alunos para por meio delas relembrar conceitos básicos de Geometria plana

como de polígono, diagonal, vértice, lado, dentre outros.

Esta atividade contemplou o seu objetivo que foi familiarizar os alunos com os

termos usados para identificar as fases da Investigação Matemática: conjecturar, experimentar

e formalizar, familiarizando-os com o processo de investigação. Teve finalidade também de

relembrar alguns conceitos de Geometria Euclidiana e diagnosticar os conhecimentos dos

alunos relativos a diagonais polígonos buscando identificar se a questão investigativa que

seria proposta já não era conhecida. Caso fosse não se justificaria a proposta de investigação

que pretendia apresentar para os alunos nas próximas aulas.


A segunda etapa da atividade se iniciou com a apresentação dos recursos e

ferramentas da área de Geometria do software Geogebra para os alunos. O programa era

desconhecido de todos, entretanto, em poucos minutos já conseguiam manusear muitas de

suas ferramentas, usando as funções para aumentar e diminuir figuras, carregar, arrastar,

colorir e nomear objetos, etc.

Quando os alunos já estavam familiarizados com o software então lançamos a

pergunta problemática: como se calcula o número de diagonais de um polígono?

Para iniciar a investigação primeiramente pedimos para que os alunos construíssem

um polígono regular de quatro lados no Geogebra depois que traçassem todas suas

diagonais. A seguir fizemos as seguintes indagações: quantas diagonais possuem

este polígono quadrado? Quantas diagonais partem de cada vértice deste polígono?

[...] pedimos para que eles construíssem vários polígonos regulares, com quatro

lados, cinco lados, oito lados, etc. e construíssem em cada um deles todas as suas

diagonais. (CASTRO; OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 134).

Para a maioria alunos a compreensão da questão de investigação só se deu depois

que o professor estagiário solicitou que construíssem um quadrado usando a ferramenta

polígono regular levantando nova pergunta quantas diagonais possuem este polígono

quadrado? Quantas diagonais partem de cada vértice deste polígono?

Nesse caso, o estagiário lançou uma pergunta de repente sem procurar antes preparar

os alunos para esta pergunta. Não retomou o assunto da aula anterior e também não fez a

pergunta a partir do que os alunos estavam explorando dentre os recursos do Geogebra. Isto

fez com que a pergunta lançada parecesse desconectada em meio ao assunto da primeira aula

e às ferramentas do Geogebra que estavam sendo analisadas. Foi preciso então que o

professor os direcionasse para a realização da investigação. Neste ato acabou por oferecer

163

mais informações do que havia necessidade e isto induziu os alunos às conjecturas e respostas

desejadas, limitando a investigação dos alunos.

Como pretendia que a investigação partisse do polígono regular com expectativa de

que os alunos conseguissem generalizar a fórmula para todos os polígonos convexos, deveria,

antes de lançar a questão de pesquisa, ter relembrado algumas das características e

propriedades dos polígonos regulares. O estagiário poderia ter retomado o assunto da aula

anterior, relembrado o conceito de polígono regular e de diagonal mostrando a construção

destes dois elementos usando as ferramentas do Geogebra. Então, partindo desta preparação

inicial lançaria a questão de pesquisa. Isto teria facilitado para os alunos o entendimento do

problema e a identificação do que era para ser investigado dando maior liberdade para

levantarem conjecturas e fazerem suas experimentações.

A proposta de construção de uma tabela para auxiliar os alunos a encontrarem

relações entre o número de lados dos polígonos regulares construídos, o número de diagonais

que saem dos seus vértices e o número total das suas diagonais parecia uma boa ideia. A

figura 15 a seguir mostra os alunos durante o preenchimento dos dados da tabela.

Figura 15: Alunos investigando o número de diagonais de um polígono.

Fonte: Diário de campo da pesquisadora.

O inesperado aconteceu quando o estagiário lançou a pergunta: "Qual a relação

existente entre o número de lados do polígono regulares e o número de diagonais que partem

de cada um dos seus vértices? Seriam capazes de criar uma fórmula que pudesse ser usada

para calcular o número de diagonais de qualquer polígono regular?" Assim que terminou de

fazer a pergunta, um aluno, inesperadamente correu ao quadro e escreveu (𝑙 − 3) explicando:

Aluno C: Professor, seu eu chamar o número de lados de l a fórmula fica 𝑙 − 3 porque o

número de diagonais que saem de cada vértice é sempre 3 a menos que o número de lados.

Acrescentou ainda:

164

Aluno C: Eu calculei do mesmo jeito que a gente calculava quando aprendi equações do

primeiro grau do ano passado. Troquei a pergunta do professor por uma letra e diminui 3

diagonais do número de lados porque esse valor era fixo.

Não se esperava uma formalização tão rápida. Segundo Ponte; Brocardo e Oliveira

(2013) situações assim podem acontecer em uma aula de Investigação Matemática visto que

esta metodologia trabalha com situações nem sempre previsíveis. E aí o professor precisa

decidir rapidamente que rumo dar a aula, para se dar aos outros alunos da turma a

oportunidade de experimentarem suas próprias conjecturas e fazerem suas próprias

descobertas.

Neste caso o estagiário pensou rápido e conduziu a aula utilizando a própria

conjectura apresentada pelo aluno conforme relata no seu artigo.

Partindo da sua conjectura então pedimos para todos os alunos calcularem o número

de diagonais de um eneágono, usando a fórmula que passamos a chamar (𝐧 − 𝟑),

em que n representa a quantidade de lados. Depois conferissem se a resposta estava

correta contando as diagonais que partiam de cada vértice. E que repetissem o teste

para outros polígonos regulares com quantidade n de lados. (CASTRO E


A decisão tomada pelo estagiário e a forma como conduziu a situação inesperada

mostra que apesar da dificuldade apresentada na apresentação inicial da questão de

investigação, conhece bem a metodologia de ensino. Mostrou habilidade no seu uso quando

utilizou da própria formalização do aluno, apresentando-a aos colegas como sendo uma

conjectura que deveria ser testada, podendo ser comprovada ou até negada se houvesse outra

explicação melhor.

Esta condução deu oportunidade para que todos os alunos da sala pudessem testar,

experimentar, relacionar a resposta dos colegas com as suas próprias conjeturas, até se

confirmar que a formalização do número de diagonais que partem do vértice é 𝒅𝒗 = 𝒏 − 𝟑,

o número de lados n desse polígono subtraído de três unidades. E oportunizou também que a

exceção do triângulo fosse identificada. O relato do estagiário confirma isto:

Depois de repetir o teste para vários polígonos regulares n número de lados

certificaram que a conjectura levantada é verdadeira chegando a seguinte

formalização: o número de diagonais que partem do vértice de um polígono regular

qualquer será sempre igual ao número de lados n desse polígono menos três, exceto

nos polígonos de três lados. Instigamos para que representassem esta formalização

matematicamente ao que formalizaram: (𝒅𝒗 = 𝑛 − 3), 𝑠𝑒 𝑛 > 3. (CASTRO;


165

Repetindo os testes para vários polígonos regulares de lado n, os alunos não só

certificaram que a conjectura do colega estava correta como também descobriram que para

um triângulo equilátero a fórmula não vale, chegando à conclusão de que este é um caso em

que há exceção. Contudo como não estão habituados a elaborarem linguagens Matemáticas

que traduzam suas ideias foi necessária a intervenção do professor para a representação da

exceção em representação simbólica para representação da formula (𝒅𝒗 = 𝑛 − 3), 𝑠𝑒 𝑛 > 3.

A figura 16 mostra algumas construções dos alunos usando o software Geogebra,

durante as experimentações.

Figura 16: Construções no Geogebra para prova do cálculo das diagonais dos polígonos.

Fonte: Arquivo da pesquisadora: atividades feitas pelos alunos participantes.

As construções dos alunos conforme pode ser observado na figura 16 possui

polígonos variados e com quantidade de lados n também variados. Esta é uma das vantagens

de se usar o Geogebra, visto que, por meio de construções e caminhos diferentes os alunos

podem chegar a formalizações matemáticas semelhantes conforme afirma Cruz (2005). No

caso, usando de estratégias diferentes e construções também diferentes chegaram à

formalização de que o número de diagonais que saem de cada (𝒅𝒗 = 𝑛 − 3), 𝑠𝑒 𝑛 > 3.

A situação que aconteceu a seguir também demonstra habilidade do estagiário na

condução da Investigação Matemática.

Tendo os alunos formalizado o número de diagonais que saem de cada vértice como

(𝒅𝒗 = 𝑛 − 3), 𝑠𝑒 𝑛 > 3, o professor induziu os alunos ao erro fazendo a seguinte pergunta:

sabendo que o número de diagonais que partem do vértice de um polígono regular qualquer

será sempre igual ao número de lados n desse polígono menos três, exceto nos polígonos de

três lados, qual seria então a fórmula para calcular o número total de diagonais de um

polígono regular qualquer?

Como esperado, os alunos conjecturam que:

Aluno A: Basta calcular o número de diagonais de um dos vértices e multiplicar pela

quantidade de vértices desse polígono.

166

Aluna G: Se o número de diagonais de um vértice é 𝑑𝑣 = 𝑛 − 3 então o total de diagonais

será 𝑑𝑡 = 𝑛 . (𝑛 − 3).

Aluna B: É só contar o número de lados do polígono e multiplicar pela quantidade de

diagonais que saem de cada vértice (𝑛 − 3). 𝑛.

Diante das conjecturas dos alunos, o estagiário pediu que verificassem se as

conjecturas eram verdadeiras "calculando o número de diagonais do hexágono usando a

fórmula que estavam sugerindo e depois conferissem se a resposta estava certa fazendo a

contagem das diagonais nos hexágonos. E que repetissem o teste para outros polígonos

regulares." (CASTRO; OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 136).

Depois de alguns cálculos os alunos perceberam que os resultados dos cálculos não eram os

esperados, que a quantidade obtida quando usava a fórmula era sempre o dobro da quantidade

verdadeira de diagonais. Diante do impasse um aluno sugeriu:

Aluno N: se o resultado está dando o dobro do número correto de diagonais, basta dividir

tudo por dois e a fórmula fica assim 𝐷 =𝑛 . (𝑛−3)

2.

Foi ao quadro, testou o cálculo para o pentágono, o hexágono e o octógono e

certificou que sua conjectura estava certa. No entanto não soube explicar porque inicialmente

deu o dobro e porque tinha que dividir por dois.

Os alunos levaram algum tempo até chegarem à conclusão de que ao multiplicar o

número de lados pelo número de diagonais que partem do vértice estavam "contando uma

mesma diagonal duas vezes" e que por isso necessitava a divisão do total por dois. Durante o

tempo em que estiveram fazendo testes e experimentações na busca da explicação do porque

da necessidade de se dividir o resultado final obtido pelo uso da fórmula 𝑛 . (𝑛 − 3) por dois,

por várias vezes tentaram fazer com que o professor desse a resposta, forçando-o a confirmar

suas conjecturas. Ao que o acadêmico se saiu bem sempre respondendo a uma pergunta com

outra pergunta, sem negar nem confirmar as conjecturas que apresentavam.

Para finalizar a formalização do cálculo do número de diagonais de um polígono

regular o professor pediu que a fizessem primeiramente em forma de texto e em seguida a

traduzissem para a linguagem Matemática. Na maioria dos casos, no texto inicial que

elaboraram está expressa corretamente a formalização Matemática do cálculo do número de

diagonais do polígono, e inclusive a exceção de que a fórmula não é válida para os triângulos.

Contudo na representação Matemática a exceção não foi expressa.

167

A formalização de alguns alunos:

Se soubermos o número de lados de um polígono regular, para calcular o número de

diagonais desse polígono basta apenas subtrair o número de lados menos três para

encontrar o número de diagonais que saem de cada vértice e em seguida multiplicar

este número pela quantidade de lados do polígono dividindo finalmente o resultado

da multiplicação por dois. Isto pode ser feito para todos os polígonos regulares

menos para os triângulos que não possui diagonais. A fórmula fica assim: d =l(l− 3)

2.

(ALUNO A).

A fórmula é d =v(v− 3)

2. Para calcular o número de diagonais de qualquer polígono

regular que pode ser regular ou não que tiver mais de três vértices. Porque quando

calcular o número de vértice menos 3 vai saber o número de diagonal que sai de

cada vértice e aí multiplica pelo número de vértices. O resultado vai dar o dobro da

resposta certa porque a mesma diagonal sai de dois vértices, aí então tem que dividir

o resultado por dois. (ALUNA B).

Na maioria dos textos dos alunos eles formalizaram corretamente o cálculo do

número de diagonais dos polígonos e expressaram a exceção do triângulo equilátero, no

entanto, ao fazer a representação Matemática simbólica, a exceção não foi lembrada. Foram

necessários vários questionamentos do estagiário para que enfim chegassem a formalização

Matemática 𝑑 =𝑛(𝑛− 3)

2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 3 em que 𝑑 é o total de diagonais do polígono regular e 𝑛

é úmero de lados.

Neste momento se identifica também que o estagiário teve bom domínio da

metodologia de Investigação Matemática conduzindo os alunos para fazerem a formalização

simbólica, sem dar a eles a resposta pronta. Conforme se verifica no diálogo entre estagiário e

alunos.

Castro: Se no texto se lembraram de colocar a exceção do triângulo, porque não

representaram esta exceção na fórmula?

Aluno D: Porque não sabemos como fazer.

Castro: Registrando somente: 𝑑 =𝑛(𝑛− 3)

2 vocês estão dizendo que esta fórmula vale para

qualquer polígono inclusive para o triângulo. Como poderíamos registrar a exceção

matematicamente?

Aluno A: 𝑑 =𝑛(𝑛− 3)

2, 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 3?

Castro: E se o n for menor que três?

Aluno A: É mesmo! Não pode ser só exceto n = 3, tem que ser também exceto n < 3.

Aluno M: Então já sei! Fica assim, 𝑑 =𝑛(𝑛− 3)

2, 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≤ 3.

Castro: Está certo, mas não haveria outra forma de representar esta exceção?

168

Aluno P: Olha professor eu fiz assim: 𝑑 =𝑛(𝑛− 3)

2, 𝑠ó 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 3.

Castro: Mas como isto ficaria em linguagem simbólica?

Aluno M: Acho que é assim: 𝑑 =𝑛(𝑛− 3)

2, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 > 3.

Aluna O: Professor pode ser assim? 𝑑 =𝑛(𝑛− 3)

2, 𝑠𝑒 𝑛 > 3. Desse jeito só fica a linguagem

simbólica.

Por meio da discussão da situação-problema, instalou-se um diálogo entre os alunos

e entre os alunos e o estagiário que permitiu a reconstrução de ideias e o reconhecimento de

conceitos matemáticos envolvidos como também as suas representações. O diálogo

estabelecido favoreceu a explicitação das observações feitas e auxiliou na condução a

linguagem formal da Matemática.

E assim por meio deste diálogo chegaram finalmente à formalização simbólica do

calculo do número de diagonais de um polígono qualquer, 𝑑 =𝑛(𝑛− 3)

2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 3. Após a

formalização, usaram a fórmula, para calcular os números de diagonais de variados polígonos

regulares de n lados. Isto, para certificarem de que a fórmula estava correta.

Confirmada a veracidade da fórmula, o professor lançou uma nova pergunta.

Castro: Esta fórmula vale para todos os polígonos regulares, todos estão de acordo com isto.

Mas vale só para os regulares? Ou vale também para os não regulares?

Ao elaborar a sequência de atividades era esperado que esta pergunta surgisse

durante algum momento da aula, partindo dos alunos. Entretanto como isto não aconteceu, o

próprio estagiário lançou a pergunta. Solicitou em seguida que verificassem se a fórmula valia

apenas para os polígonos regulares e se valia também para outros polígonos convexos não

regulares de n lados.

Depois de alguns cálculos para experimentação da fórmula para outros polígonos não

regulares, usando os recursos de construção e a planilha eletrônica do Geogebra, chegaram à

conclusão esta é válida para quaisquer polígonos de n lados.

Na etapa seguinte o que o estagiário se propõe é fazer a demonstração da fórmula e a

generalização para todos os casos fazendo a prova por indução Matemática. A demonstração

feita pelo estagiário foi à seguinte.

Vamos provar por indução, a fórmula que permite calcular o número de diagonais de

um polígono convexo: 𝑑(𝑛) = 𝑛(𝑛 − 3)/2.

169

Primeiramente vamos verificar se a fórmula é válida para 𝑛 = 3𝑑(3) = 3(3 − 3)/2

𝑑(3) = 0

Vamos verificar agora se vale para 𝑛 = 4, 𝑛 = 5, etc.

𝑑(4) = 4(4 − 3)/2

𝑑(4) = 2

𝑑(5) = 5(5 − 3)/2

𝑑(5) = 5

Vamos supor um número qualquer 𝐾,

𝑑(𝑘) = 𝑘. (𝑘 − 3)/2

Se vale para k, vale também para 𝑘 + 1, ou

𝑑(𝑘+1) = (𝑘 + 1). ((𝑘 + 1) − 3)/2

𝑑(𝑛) = 𝑛(𝑛 − 3)/2 => 𝑑(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1). (𝑘 − 2)/2

𝑑(𝑘+1) = (𝑘 + 1). (𝑘 − 2)/2

𝑑(𝑘+1) = (𝑘² − 2𝑘 + 𝑘 − 2)/2

𝑑(𝑘+1) = (𝑘² − 𝑘 − 2)/2 <=> 𝑑(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1). (𝑘 − 2)/2

𝑑(𝑘+1) = (𝑘 + 1). ((𝑘 + 1) − 3) <=> 𝑑(𝑛) = 𝑛(𝑛 − 3)/2

Logo a fórmula é válida para calcular o número de diagonais de qualquer polígono

convexo com n lados, exceto para o triângulo. Logo podemos generalizar que 𝑑 =𝑛(𝑛− 3)

2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 3. (CASTRO; OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 140).

Nesse caso, como não estavam habituados a este tipo de demonstração,

consideraram-na muito difícil. Ao final nem todos os alunos compreenderam a demonstração,

contudo foi uma oportunidade de se familiarizarem com representações Matemáticas mais

abstratas.

Ao final de cada etapa solicitou-se dos alunos a elaboração de pequenos registros

escritos das suas formalizações e de observações que considerassem importantes em relação

ao conteúdo e a aula. Conforme afirma Ponte, Brocardo e Oliveira (2013), estes relatórios

foram importantes para a coleta de informações sobre o desenvolvimento da atividade e sobre

os conceitos que já estavam claros e sobre aqueles que deveriam ser retomados nas etapas

seguintes e também serviu para auxiliar os alunos na representação e formalização textual e

simbólica dos conceitos matemáticos estudados e fazendo-os refletir sobre as atividades que

estavam realizando em cada etapa das suas investigações.


Em relação a esta fase da Investigação no seu relato de experiência expressa apenas o

seguinte:

Concluímos a atividade fazendo a discussão da descobertas dos alunos dando

oportunidade para que pudessem compartilhar o que aprenderam com os demais

colegas da sala. Foi um momento significativo em que puderam ajudar uns aos

outros a compreenderem algumas coisas que ainda não estavam claras para todos e

tirarem as dúvidas que ainda restavam. (CASTRO; OLIVEIRA E VAZ, 2014, p.

140).

170

Em sala de aula esta fase aconteceu rapidamente e sem aprofundamento das

discussões faltou o que Ponte; Brocardo e Oliveira (2013) consideram essencial em uma

Investigação Matemática que o momento do debate final que promova o confronto da ideias,

para justificar, questionar ou afirmar a validade das formalizações. Importante também para o

compartilhamento por toda a turma dos conhecimentos produzidos individualmente ou em

grupo.

Nesse momento o estagiário apresentou dificuldades na condução da discussão

deixando que alguns alunos falassem muito e que outros ficassem alheios ao debate. Faltou

habilidade para orientar e moderar o debate entre os alunos que os fizessem explicar e

compartilhar suas ideias e conclusões.

A discussão final poderia ter sido mais bem explorada valorizando os processos de

resolução dos alunos e as estratégias que desenvolveram para chegarem aos resultados ainda

que estes não estivessem exatamente corretos. Em parte pode se atribuir esta dificuldade

pouca experiência do acadêmico em sala de aula e em parte porque a aula finalizou antes da

discussão ser concluída o que provocou alvoroço dos alunos que desejavam sair da sala para

participarem das atividades do intervalo das aulas. E esta era a última aula cedida pelo

professor regente para o desenvolvimento das aulas experimentais.


A mediação pedagógica do estagiário na condução da aula permitiu que as atividades

de Investigação Matemática dos alunos acontecessem de acordo com as características

propostas por Ponte; Brocardo e Oliveira (2013) quando afirmam que em uma aula

investigativa é preciso deixá-los trabalharem de forma autônoma, contudo o professor

continua a ter papel fundamental com a função de auxiliar na compreensão do que significa

investigar e na forma como deve conduzir as suas investigações. As dificuldades apresentadas

na condução das atividades também são peculiares a esta metodologia de ensino e são

previstas por estes como sendo comuns aos professores que estão desenvolvendo as primeiras

aulas com esta metodologia de ensino. Os maiores desafios para os professores iniciantes são

a organização do tempo, a dosagem das informações, elaborarem perguntas com níveis de

dificuldade adequados para a turma, a condução dos diálogos, o uso da linguagem

Matemática, dentre outras. (Ibid.).

Na autoavaliação, ao descrever as suas dificuldades o estagiário diz: "Tive

dificuldade em administrar o tempo das aulas para a execução das atividades planejadas e

171

com a condução dos diálogos, visto que, tudo ocorre de forma muito imprevisível."

(CASTRO, 2014). Como a questão inicial de investigação dependia da investigação de outras

questões secundárias destaca: "Tive dificuldade também para saber a hora certa de dar alguma

sugestão ou informação nova ou fazer uma pergunta." (Ibid.). Lembrando ainda que o Estágio

Supervisionado, para ele, foi importante porque "proporcionou um ângulo diferente de

visualização da profissão docente. Por meio da pesquisa foi possível identificar vários

desafios da profissão e pela reflexão e pesquisas foi possível encontrar formas para superá-

los. (CASTRO, AUTOAVALIAÇÃO, 2014).

Contudo lembra que no decorrer das aulas foi adquirindo segurança e maior

habilidade para lidar com a turma e que este sentimento de domínio de conteúdo e

metodologia foi crescente a medida que as aulas iam acontecendo. "Percebi que estas

dificuldades foram sendo amenizadas na medida em que as aulas vão acontecendo e com a

experiência que se vai adquirindo. Nas aulas finais já me sentia muito mais seguro na

condução das investigações dos alunos." (CASTRO, AUTOAVALIAÇÃO, 2014).

Ao avaliar o uso do Geogebra como instrumento para Investigação Matemática

enfatiza que o ambiente dinâmico do Geogebra o torna propício para realização de

Investigações Matemáticas. "No ambiente do Geogebra, os alunos não encontram respostas

prontas, ao contrário, os que eles encontram ali são muitas e variadas ferramentas para

elaborar suas construções, conjecturar, experimentar até conseguir formalizar os conceitos

matemáticos. (Ibid.). Afirmando que "estas características faz com que a combinação de

Geogebra e a Investigação Matemática se apresente como uma boa opção metodológica para

ser usada pelo professor de Matemática para ensinar variados conteúdos desta disciplina."

(Ibid.).

Estas reflexões do estagiário estão de acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2013)

quando afirmam que no desenvolvimento de uma tarefa de investigação é preciso que os

alunos utilizem de variados processos que caracterizam este tipo de atividade como a

exploração e formulação de questões, a formulação de conjecturas as experimentações

visando reformular ou justificar e validar as conjecturas e a avaliar o seu próprio processo de

investigação até a formalização da resposta do problema.

O estagiário ao propor a Investigação Matemática no Geogebra proporcionou aos

alunos um ambiente virtual com características propícias para o desenvolvimento das suas

investigações. Ao contrário de entregar construções prontas, disponibilizou variadas

ferramentas para que fizessem suas próprias construções. As ferramentas disponíveis no

software para as funções arrastar, aumentar, diminuir, movimentar, apagar ou esconder

172

objetos, dentre outras favoreceram as descobertas e análises dos alunos na busca pela

formalização do cálculo das diagonais de polígonos.

Outro ponto destacado no sua autoavaliação foi que "o sucesso de uma investigação

depende também, tal como de qualquer outra proposta do professor, do ambiente de

aprendizagem que se cria na sala de aula. (CASTRO, 2014). Destaca ainda, que o professor da

atualidade "precisa saber lidar com as novas tecnologias em sala de aula e precisa conhecer

variadas metodologias de ensino e aprendizagem para poder escolher, de acordo com cada

turma, conteúdo ou situação de sala de aula, aquela que for mais adequada." (CASTRO,

2014).

Estas afirmações, associadas a sua mediação pedagógica permite afirmar que por

meio do ato de pesquisar e refletir sobre sua própria prática o acadêmico aprendeu não só

conteúdos de Matemática e como utilizar a Investigação Matemática como metodologia de

ensino, mas também, a questionar, duvidar, intervir para resolver problemas dentro e fora da

sala de aula. Desenvolveu a habilidade de questionar a verdades não só em relação aos

conhecimentos Matemáticos construídos historicamente como também em relação as

metodologias de ensino, recursos didáticos, uso da tecnologias na sala de aula e sobre a

função do professor da atualidade.

6.4 A mediação pedagógica no Projeto O estudo do gráfico da Função Quadrática por

meio da Investigação Matemática com o software Geogebra

Este projeto do estagiário Batista se desenvolveu durante o ano de 2014, como

atividade do Estágio Supervisionado do quarto ano do Curso de Licenciatura em Matemática

da Universidade Estadual de Goiás, Campus Iporá. O objetivo foi desenvolver e analisar uma

atividade de Investigação Matemática com o Geogebra para o estudo da parábola da Função

Quadrática numa perspectiva em que os alunos por meio da análise das suas construções

cheguem as suas próprias conclusões e formalizem e generalizem os conceitos relacionados

ao conteúdo.


Sob a mediação da professora supervisora do Estágio Supervisionado estagiário

Batista desenvolveu na segunda fase do Estágio supervisionado uma pesquisa sistematizada

em que passou por cinco etapas. A primeira etapa foi a realização de estudos teóricos sobre a

metodologia Investigação Matemática, sobre o software Geogebra e sobre temas relacionados

173

ensino e aprendizagem de Matemática e a profissão docente. A segunda etapa foi a elaboração

de uma atividade de Investigação Matemática com o Geogebra nos moldes propostos por

Ponte, Brocardo e Oliveira (2013) e Vaz (2012), em que o aluno deve passar pelas fases

investigativas do levantamento de conjecturas, experimentação, formalização de

generalização dos conceitos que acontecem nos momentos de introdução do assunto,

investigação e discussão dos resultados mediados pelo professor. No caso o objetivo da aula

foi fazer o estudo da parábola da Função Quadrática.

A terceira etapa que foi a realização da experimentação em sala de aula. Na quarta

etapa que veio logo a seguir, seu deu a análise da atividade experimental desenvolvida e

produção de um relato de experiência. A quinta e última fase foi a publicação do artigo

produzido em um evento relacionado à profissão docente.

As aulas experimentais se desenvolveram, em horário normal das aulas de

Matemática, em uma turma de trinta e dois alunos do primeiro ano do Ensino Médio de uma

escola pública da cidade de Iporá Goiás. A professora titular da turma foi parceira no projeto

participando da escolha do tema, elaboração das atividades e acompanhamento das aulas e da

análise comentada das aulas.

A análise das aulas, feita pelo estagiário, se deram conforme sugere Ponte 2013, por

meio das observações em sala, selecionando e analisando um conjunto de acontecimentos

relacionado à introdução do assunto, a investigação e da discussão dos resultados.

Analisaram-se as vivências das fases investigativas do experimentar, conjecturar, discutir,

formular as respostas, formalizar e generalizar e provar conceitos matemáticos. Os

instrumentos de coleta de dados e informações foram os relatórios dos alunos em que

descreveram detalhadamente o que aconteceu nas aulas em relação às suas aprendizagens, o

diário de campo do estagiário, as construções no Geogebra arquivadas no computador, as

fotos e os registros das atividades realizadas pelos alunos. O artigo final produzido se

constitui de um instrumento importante para a análise da mediação pedagógica do estagiário

que está a seguir.


A fase de introdução do assunto ou arranque da aula foi a primeira fase realizada

pelo estagiário na atividade de Investigação Matemática conforme sugere Ponte, Brocardo e

Oliveira (2013). Para introduzir o tema que seria estudado o acadêmico optou por apresentar

uma situação contextualizada e real. Como a realização da Copa do Mundo no Brasil seria

174

dali a poucos dias e o principal assunto entre os alunos no momento era este, o estagiário

propôs que fizessem a leitura de um texto que falava das reformas realizadas nos estádios de

futebol em que aconteceriam os jogos da copa, dando destaque para o estádio do Maracanã.

Destacou as antigas e as novas medidas do campo de futebol do estádio do Maracanã e suas

dimensões de 75m x 110m que passaram a ser usadas para atender às normas da FIFA para

sediar jogos da copa do mundo.

Após a leitura do texto fez-se um debate sobre o texto. Enquanto debatia com os

alunos as questões como custos da reforma, impactos sociais, econômicos e políticos

consequentes de tais investimentos do governo, dentre outros, o estagiário direcionou a

discussão para a atuação dos jogadores, influência das dimensões do estádio em suas atuações

e possíveis trajetórias de uma bola em jogo quando lançada de certa distancia do gol sem

obstáculos a frente.

Simulou algumas situações em que pudessem acontecer gols de falta em linha reta

questionando sobre as prováveis trajetórias da bola em cada um dos casos, recolhendo dados

gerais e quantitativos que pudessem ajudar a levantar hipóteses com objetivo de elaborar

problemas a serem investigados. Questionou os alunos: "Se a bola for lançada verticalmente

para cima ela vai subir em linha reta? Vai cair no mesmo lugar? Perguntamos sobre os fatores

que influenciam na trajetória de uma bola quando chutada para cima?" Esperou que

levantassem algumas hipóteses.

Os alunos conjecturaram que "a bola não cairia no mesmo lugar porque sua trajetória

seria uma curva, que a trajetória sofreria interferência que seria força do vento, direção do

chute, peso da bola, precisão do chute, sua altura e por fim sua velocidade." (BATISTA E

OLIVEIRA, 2014, p. 182). Logo a seguir fez novo questionamento:

Batista: Se o jogador chutar a bola a gol. Supondo que o ponto de partida da bola seja

exatamente a 20m de distancia do gol. Qual é a equação que representa a trajetória da bola

do ponto de partida até o gol?

Os alunos ficaram e silêncio por alguns segundos, até que um deles fez um

questionamento que desencadeou o seguinte diálogo:

Aluno M: Depende. Se o jogador chutar a bola e ela seguir em linha reta, na horizontal a

equação será do primeiro grau.

Aluna A: Mas a bola pode fazer uma curva e aí a equação será do segundo grau.

Aluno P: É mesmo! Acho que se for em linha reta a equação vai ser y = ax +20.

175

Aluna M: Não! A professora a de física disse que a equação do espaço percorrido por um

objeto em linha reta é sempre S = so + v.t . Então a equação é S = 20 +v.t.

Aluna M: Mas professor! Nesta equação, só tem como achar a equação se souber a

velocidade. Porque o tempo vai variar.

Aluno P: Ou então se souber o tempo. Aí a velocidade pode estar variando.

Aluno C: Não é isso! O professor não perguntou qual a equação do espaço. Ele quer a

equação da trajetória da bola. Se ela for em linha reta, na linha do solo, a equação fica Y =

0. É uma equação do primeiro grau, constante.

Batista: Correto! Se a bola partir na horizontal, em linha reta sobre o solo, sua trajetória vai

ser constante, com y = 0.

Batista: E se a bola não partir em linha reta?

Aluno P: Aí professor, a bola vai fazer uma curva e a equação vai ser do segundo grau.

Batista: Nesse caso, qual seria esta equação?

Os alunos souberam descrever apenas que a bola faria uma trajetória curva em forma

de parábola. Contudo não souberam encontrar a equação da parábola. Sugeriram apenas que

seria uma equação de 2°grau. Quanto a ser possível fazer o gol a conjectura levantada foi que

sim, desde que o vento, a força e a direção do chute fossem o suficiente para deslocá-la até o

gol.

Conforme se identifica no trabalho final do estagiário:

Os alunos souberam descrever apenas que a bola faria uma trajetória curva em

forma de parábola. Contudo não souberam encontrar a equação da parábola.

Sugeriram apenas que seria uma equação de 2°grau. Quanto a ser possível fazer o

gol a conjectura levantada foi que sim, desde que o vento, a força e a direção do

chute fossem o suficiente para deslocá-la até o gol. (BATISTA E OLIVEIRA, 2014,

p. 183).

Diante das conjecturas dos alunos o estagiário faz nova indagação.

Batista: Então vamos considerar a seguinte situação. Se após o chute, a bola descreveu uma

trajetória curva, alcançando a altura máxima de 4m. Qual a equação matemática que

representa o percurso feito pela bola? Nestas condições seria possível se fazer o gol?

A resposta da aluna A fez nova conjectura:

Aluna A: Se a bola subiu e caiu, sua trajetória foi uma curva em forma de parábola. Acho

que depende da velocidade da bola para saber se ela vai chegar até o gol.

176

Aproveitando-se da conjectura levantada o estagiário utiliza-se de outras conjecturas

levantadas anteriormente para estruturar uma pergunta direta:

Batista: Se sabemos a distância que a bola percorreu e a altura máxima alcançada, não

seria possível, com estes dados, encontrarmos a equação do segundo grau que representa a

trajetória da bola? Para em seguida descobrir se ela vai chegar até o gol? Vamos pensar

nisto até as próximas aulas.

Como a atividade de investigação foi realizada no horário normal de aula, a primeira

aula terminou quando os alunos desenharam as possíveis trajetórias da bola e anotaram suas

conjecturas em um bloquinho de anotações que receberam do estagiário. Nesta aula, a questão

problema foi apenas estruturada.

Na segunda aula o estagiário optou por, antes de iniciar a investigação, com os

alunos, explorar juntamente com eles alguns recursos do Geogebra, visto que este era um

software desconhecido deles. Esta e as próximas atividades se realizaram usando os

computadores do laboratório de informática da escola. Ali, apesar de não ter um profissional

dinamizador ou técnico para apoiar os professores durantes às aulas, é um espaço que possui

aproximadamente trinta máquinas em funcionamento, o que permitiu do desenvolvimento de

atividade em grupos e individuais, mesmo se tratando de uma turma com trinta e dois alunos

matriculados.

O arranque da aula termina com a estruturação do problema seguida da exploração

de alguns recursos do software Geogebra e de um diálogo em que o professor descreve para

os alunos a Investigação Matemática esclarecendo o significado de alguns termos como

conjecturar, experimentar, formalizar e generalizar. Descreve também qual será o seu papel

como professor e o que se esperava dos alunos. Este diálogo foi necessário porque os alunos

não estavam habituados a desenvolver atividades investigativas.

De acordo com Ponte; Brocardo e Oliveira o arranque da aula deve ser breve e é uma

fase importante para que o aluno compreenda o que será investigado, qual o problema a ser

resolvido e qual será o seu papel durante a investigação. É importante também para que o

professor faça a introdução do tema despertando o interesse para o assunto. A condução

didática deste momento deve ser feita adequadamente, principalmente quando alunos estão

pouco ou nada familiarizados com as investigações.

A condução da aula feita pelo estagiário até o momento foi razoavelmente adequada

para o início de uma Investigação Matemática. Ele demonstrou certa habilidade na introdução

do assunto e na estruturação da questão problema que poderia ter sido fornecido por escrito,

177

mas que, no caso, a opção foi elaborar e estruturar o problema utilizando as próprias

conjecturas iniciais dos alunos. Contudo a questão problema estruturada na primeira aula não

foi relembrada na segunda etapa, criando um espaço muito grande entre a introdução do

assunto e o início da investigação que se dará nas próximas etapas.

O fato de os alunos não conhecerem o software Geogebra obrigou o professor a criar

um espaço entre a formulação da questão para que os alunos aprendessem a usar o ambiente

do software. Isto desviou a atenção dos alunos para outro ponto que não fosse à questão de

pesquisa. Talvez fosse melhor estratégia, em outra oportunidade, mostrar primeiro os recursos

do Geogebra e só depois dar início à formulação da questão de investigação.


Para facilitar a organização didática da aula, esta etapa foi dividida em pequenas

atividades conforme relata o estagiário:

Esta etapa foi dividida em 5 atividades. As fases do levantamento de conjecturas,

experimentação e formalização aconteceram de forma alternada e as vezes

simultaneamente podendo uma formalização dar origem a outra conjectura que da

origem a outra experimentação até que se chegue a resposta do problema inicial.

(BATISTA E OLIVEIRA, 2014, p. 183).

A análise da mediação pedagógica aconteceu observando estas cinco fases definidas

pelo acadêmico.

Atividade 1:

Em um primeiro momento fez-se a exploração com a intenção de que os alunos

relembrassem a formalização Matemática da definição de uma função quadrática e a

formalização dos zeros da função. A definição e o conceito de zero da função já foram

estudados na série anterior.

Ao identificar que os alunos já conheciam a formula geral da função do segundo grau

ax² + bx + c e sabiam identificar os coeficientes a, b e c em uma equação e separá-los

ordenadamente o estagiário não propôs uma investigação sobre isso, visto que, a dificuldade

dos alunos era apenas em fazer a formalização em linguagem Matemática simbólica. O que

fez então foi apenas auxiliá-los na formalização Matemática da definição de função

quadrática, ou função polinomial do segundo grau definindo-a como sendo qualquer

função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números

reais e a 0.

178

Identificou-se também que os alunos já sabiam calcular os valores das raízes x’ e x”

usando a fórmula de Bhaskara. A dificuldade apresentada foi na identificação destas raízes

como os zeros da função e na localização destes valores no gráfico da função.

A partir deste diagnóstico solicitou para os alunos construírem os gráficos de

exemplos de funções do 2° grau usando o Geogebra. Os exemplos utilizados foram: f(x) = x² -

5x + 6, 𝑔𝑥 = x ²+ 6x + 9, ℎ𝑥 = x² + 5x + 4. Depois da construção dos gráficos, solicitou-se

que calculassem as raízes destas mesmas funções utilizando o método que já conheciam.

Depois deveriam localizar nos gráficos construídos os valores encontrados para as raízes

calculadas.

Como relata o estagiário, com esta atividade os alunos "perceberam que os valores

das raízes são os pontos de interseção da parábola com o eixo x das abcissas." (BATISTA E

OLIVEIRA, 2014, p. 183). Em seguida sugeriu que

substituíssem a variável x da equação pelos os valores das raízes e calculassem o

resultado. E comparassem os resultados entre eles. Por meio das comparações

chegaram a formalização de que os pontos de intersecção da parábola com o eixo

das abscissas no plano cartesiano são as raízes ou zeros da função que fazem ax² +

bx + c = 0." (Ibid., p. 184).

Novamente os auxiliou na aquisição da linguagem Matemática e na formalização dos

conceitos:

as raízes ou os zeros da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação

quadrática ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de

Bháskara: 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 . Se temos f(x) = 0 => ax2 + bx + c = 0 => 𝑥 =

−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 . (grifo do autor). (Ibid.).

As dificuldades apresentadas pelos alunos nesta aula foram nas substituições das

variáveis e nos cálculos das operações. Quanto à formalização não apresentaram grandes

dificuldades.

Para concluir esta aula, o estagiário voltou ao problema original da trajetória da bola

chutada a gol de uma distância de 20m. Pediu para analisarem os desenhos da trajetória da

bola que fizeram anteriormente e identificando os representaria os valores das raízes da

função que representa trajetória da bola. Conforme relata o estagiário:

sem dificuldades identificaram que: o ponto de saída da bola seria o valor de x' e o

ponto em que ela cairia ao chão seria o valor de x" e que entre eles estaria os 20m de

distância entre o ponto de saída ou marca da falta e o ponto de chegada da bola ao

gol. Identificando inclusive que: o valor de x' seria igual a zero porque a bola estaria

partindo do ponto zero metros para cair à uma distância de vinte metros. (BATISTA

E OLIVEIRA, 2014, p. 185).

179

A afirmação acima se baseia na participação dos alunos e nas anotações feitas pelos

alunos durante a realização das atividades, recolhidas e analisadas pelo estagiário.

A forma escolhida pelo estagiário em criar novas questões secundárias de pesquisa

foi adequada, visto que, para responder a questão inicial os alunos teriam que dominar vários

outros conceitos relacionados às raízes das funções, concavidade da parábola, valores de

máximos e de mínimos, dentre outros. No entanto, a questão inicial de investigação deveria

ter sido lembrada logo no início da fase de experimentações. Por meio dela é que os alunos

deveriam ter identificado quais outros conceitos matemáticos seriam necessários para

respondê-la.

Atividade 2:

Em um segundo momento da experimentação, a atividade desenvolvida teve a

finalidade de fazer o estudo da concavidade de parábola. Iniciou-se a experimentação usando

o Geogebra, conforme relata o estagiário:

propusemos que os inserissem a função definida por f(x) = ax² + bx + c no e usando

a ferramenta controle deslizante e inserissem a função exibir rastro do Geogebra e

alterassem os valores do coeficiente a e anotassem os que perceberam sobre qual a

relação existente entre os valores do coeficiente a e a posição da concavidade dos

gráficos construídos. Em seguida pedimos que se levantassem e analisassem os

gráficos que os colegas também haviam construído. (Ibid., p. 08).

Por meio de suas construções, experimentações e análises dos rastros da parábola

quando se alterou os valores do coeficiente a os alunos chegara a formalização de que se os

valores de a forem negativos a concavidade da parábola será voltada para baixo e quanto os

valores de a forem positivos a concavidade da parábola será voltada para cima. Se a for igual

da zero a função é do primeiro grau e o gráfico é uma reta.

Figura 17: Deslocamento da parábola usando a função animar do Geogebra.

180

Fonte: Batista e Oliveira (2014, p. 187).

A figura 17 mostra o deslocamento da parábola quando os alunos usaram a função

animar para confirmarem se esta formalização valeria mesmo para qualquer valor de a. A

formalização em linguagem Matemática neste caso acontece naturalmente. Sem dificuldades

os alunos formalizaram que para todo a > 0, a concavidade da parábola é para cima e para

todo a < 0 a concavidade é para baixo.

Após a generalização e a argumentação para mostrar que a formalização é válida

para todos os casos o estagiário solicita para os alunos analisarem a trajetória da bola em

relação ao sinal de a. Identificaram a trajetória da bola só pode ser representada por uma

equação que tenha o coeficiente a maior que zero (a>0). Conforme afirma o estagiário "o

manuseio do objeto pelos alunos foi fundamental para que compreendessem a relação entre o

valor do coeficiente a e a posição da concavidade da parábola." (BATISTA E OLIVEIRA,

2014, p. 09).

Novamente a questão problema só foi retomada no final da segunda atividade,

quando deveria ser o contrário. Retomando a questão inicial, os alunos juntamente com o

professor definiriam o que deveria ser investigado na próxima etapa.

Atividade 3:

No terceiro momento da investigação a atividade teve como objetivo analisar o

coeficiente c no gráfico da função quadrática. Utilizando o mesmo gráfico já construído na

atividade anterior o estagiário sugere que os alunos experimentem variar apenas o coeficiente

c usando a função rastro deixando os valores de a e b fixos, analisando o comportamento do

gráfico e buscando identificar como o valor do coeficiente c interfere nesse comportamento.

181

Neste caso, também sem dificuldades os alunos formalizaram que: o coeficiente c

indica o ponto em que a parábola corta o eixo y. A figura 18 mostra os rastros da parábola

quando se altera os valores de c permitindo a visualização e análise do deslocamento do ponto

c sobre o eixo de y.

Figura 18: Rastros da parábola quando se altera os valores de c.


A seguir o estagiário lembra os alunos que "se o coeficiente c for positivo o ponto em

que a parábola corta o eixo de y estará acima do eixo de x e se o coeficiente c for negativo o

ponto em que a parábola corta o eixo de y estará acima do eixo de x e se c for igual a zero este

ponto será no ponto (0,0)." (BATISTA E OLIVEIRA, 2014, p. 188).

Neste momento, preocupado com o tempo da aula e com a demora dos alunos nas

experimentações, o estagiário adiantou a formalização que deveria ser dos alunos. De acordo

com Ponte, Brocardo e Oliveira (2013) é peculiar às Investigações Matemáticas trabalhar com

situações problemas e por isso demandam maior tempo para realização das atividades do que

em algumas outras metodologias. Contudo, o professor habituado em elaborar um plano para

ser executado em um determinado tempo, nas primeiras investigações nem sempre respeita o

tempo necessário ao aluno, não para a realização das atividades e não raras vezes, antecipa as

respostas que deveriam ser elaboradas pelos alunos.

Após a formalização o estagiário retoma o problema original e pede aos alunos para

identificarem o valor de c no gráfico da trajetória da bola. Conforme pode ser verificado no

seu relato "identificaram que na equação da trajetória da bola o valor do coeficiente c é igual a

zero, logo será uma equação incompleta". (BATISTA E OLIVEIRA, 2014, p. 188).

Como se pode observara a retomada do problema original é feita sempre ao final de

cada etapa. Isto não inviabiliza a investigação dos alunos e também não descaracteriza a

182

metodologia de Investigação Matemática. Contudo se as investigações partissem da questão

ao contrário dela ser usada para confirmações das formalizações feitas, a pesquisa teria mais

sentido para o aluno.

Quanto ao fato do acadêmico ter adiantado fazendo a formalização que deveria ser

dos alunos, foi até compreensível, quando se leva em consideração que além do fato dele não

possuir experiências na docência, naquele dia em especial a aula teve duração menor que o

tempo previsto. Ele teve então que fazer uma escolha, ou concluía a formalização naquela

aula ou deixaria para concluir na próxima semana

Para aproveitar a atenção dos alunos naquele momento em que perguntavam e

faziam pressão esperando uma resposta o estagiário optou por finalizar a formalização

considerando que naquele momento a aprendizagem poderia ser maior. Se deixasse a

formalização não concluída, quando reiniciasse tudo na semana seguinte os alunos poderiam

ter perdido a motivação e esquecido conceitos importantes levando a um prejuízo maior.

Atividade 4:

No quarto momento da investigação, foi solicitado para os alunos repetirem a

experimentação anterior agora analisando a interferência do coeficiente b na parábola. O

estagiário chama a atenção para o fato de que "quando se está usando a opção exibir rastro do

Geogebra, se varia o coeficiente b da parábola é possível observar a criação de uma nova

parábola, não importando se a concavidade da parábola original está voltada para cima ou

para baixo." (BATISTA E OLIVEIRA, 2014, p. 189).

Figura 19: A interferência do coeficiente b na parábola.


183

Conforme relata o estagiário "Durante a experimentação os alunos anotaram várias

observações que indicam que identificaram as interferências do coeficiente b na parábola." A

figura 19 mostra o deslocamento do gráfico quando se altera o valor do coeficiente b. Neste

momento da investigação os alunos fizeram algumas observações importantes em suas

anotações. Tais observações foram transcritas pelo estagiário em seu relato:

- O coeficiente b define como será a inclinação até o eixo y e depois que passa para

o outro lado do eixo de y.

- O coeficiente b interfere no ponto do vértice da parábola e a movimentação deste

ponto dá origem a construção de outra parábola com a concavidade virada para o

lado contrário da concavidade da parábola original.

- Se a concavidade da parábola está para baixo quando movimentamos estes ponto

b se ele for positivo a parábola decresce do lado direito e se ele for negativo cresce

do lado esquerdo. E quando a parábola está com a concavidade para cima acontece

o contrário.

- Quando b é zero o vértice da parábola é um ponto do eixo de y. Se variar o

coeficiente a o b fica fixo e se mover o coeficiente c o coeficiente b vai se mover em

linha reta sobre o eixo de y.

- O coeficiente b interfere nos valores de máximo ou de mínimo da função. (grifo do

autor). (BATISTA E OLIVEIRA, 2014, p. 190).

Esta atividade demandou mais tempo que o esperado. De acordo com o estagiário as

anotações dos alunos foram importantes, visto que, o debate realizado sobre elas foi

determinante para que os alunos "chegassem a conclusão que o ponto b interfere na

construção da parábola principalmente em função do Xv e do Yv." (BATISTA E OLIVEIRA,

2014, p. 192). Partindo desta descoberta dos alunos e da exploração destes dois pontos o

estagiário mostrou como calcular o Xv pela média aritmética ou encontrando o ponto médio

da distância entre os zeros da função e como calcular o Yv substituindo o Xv na função.

A demonstração da fórmula de cálculo do Xv e do Yv foi realizada pelo estagiário

com a participação dos alunos. A demonstração das fórmulas teve o objetivo de familiarizar

os alunos com a linguagem Matemática simbólica.

Sabendo que a forma geral da equação do segundo grau é f(x) = ax² + bx + c, e que

o gráfico desta função é sempre uma parábola.

Se considerarmos f '(x) = 0, teremos 2ax + b = 0. Desta equação temos: 2ax = -b

assim, x = -b/2a. Logo a coordenada x do vértice é igual a -b/2a.

Conhecida a coordenada x do vértice, se substituirmos esta na forma geral f(x) = y

= ax² + bx + c ,teremos:

y = a(-b/2a)² + b(-b/2a) + c

y = a(b²/4a²) – b²/2a + c

y = b²/4a - b²/2a + c

y = (b² - 2b² + 4ac)/ 4a

y = (-b² + 4ac)/ 4a

E sabendo que (b² - 4ac) = Δ.

184

De: y = (-b² + 4ac)/ 4a. Temos que: y = -Δ/4a.

Logo a coordenada x do vértice é igual a -Δ/4a. (BATISTA E OLIVEIRA, 2014, p.

192).

Mesmo com a apresentação da demonstração das fórmulas e depois da realização de

vários cálculos experimentais usando a fórmulas do Yv e Xv, os alunos ainda tiveram

dificuldades em perceberem que variando o coeficiente “b” ela interferia na variação dos

valores de Maximo ou de mínimo. Conforme destaca o estagiário "Foi necessário um tempo

maior para as análises, além de exigir uma mediação cuidadosa para que não se respondesse

ao problema em investigação sem que houvesse as devidas reflexões." (BATISTA E

OLIVEIRA, 2014, p. 191).

Neste momento da investigação o estagiário soube aguardar o tempo do aluno e

dosar bem as informações para que pudessem chegar as suas próprias conclusões. Agiu

conforme sugere Ponte et al. (1999) quando afirma que no caso dos alunos apresentarem

dificuldades no prosseguimento da investigação o professor deverão apoiá-los, dando o tempo

necessário, fornecendo informações na quantidade certa, incentivando a curiosidade, a

autoconfiança e a reflexão por meio da criação de um ambiente dinâmico e propício, que

colabore com as suas descobertas.

Novamente o problema inicial só foi relembrado ao final da aula para a localização

do Xv e Yv, localizando a altura máxima da bola.

Atividade 5:

O quinto momento foi quando se resolveu o problema original sobre a trajetória da

bola no Maracanã. No início desta aula o estagiário teve o cuidado de fazer uma recapitulação

das investigações realizadas até o momento, das conjecturas e dos resultados já obtidos. Fez

isto embasado em Fonseca, Brunheiras e Ponte (1999, p. 09) quando afirmam que "por vezes,

pode ser útil proporcionar um momento de discussão durante a realização da tarefa com o

objectivo de ajudar os alunos a ultrapassar em certas dificuldades, de motivá-los em fases

mais críticas do trabalho, ou mesmo de enriquecer a investigação".

Depois da revisão relembrou com os alunos o problema inicial: Se o jogador chutar a

bola a gol. Supondo que o ponto de partida da bola foi exatamente a 20m de distancia do gol.

Após o chute a bola descreveu uma parábola, alcançando a altura máxima de 9m. Qual a

equação Matemática que representa o percurso feito pela bola? Nestas condições seria

possível se fazer o gol? Solicitamos que construíssem um esboço da trajetória da bola usando

as informações que o problema trazia, conforme a figura 20 abaixo.

185

A figura 20 mostra o esquema da situação feito por duas alunas.

Figura 20: Esquema da situação problema elaborado por um aluno.

Fonte: Batista e Oliveira (2014, p.191).

Analisando o esboço das alunas é possível detectar que:

identificaram que a parábola terá concavidade voltada para baixo que o valor de seu

coeficiente a será menor do que zero e os valores de x’ é igual zero que é a origem

da trajetória da bola. Identificaram o coeficiente c e seu valor igual a zero. O valor

de x’’ igual a 20m que é distancia de onde a bola seria lançada até o ponto em que

ele chega ao solo. Perceberam que a altura máxima atingida pela bola é o valor de

Yv será 9m, identificando também que o Xv é igual a 10m. Como estas alunas, vários

outros fizeram as mesmas observações. Contudo nenhum conseguiu encontrar os

valores de a e b no gráfico. (BATISTA E OLIVEIRA, 2014, p. 192).

O estagiário, relata também que alguns alunos "usaram o Geogebra para construir o

gráfico inserindo forma geral da função quadrática, fixando o valor de c igual a zero e

movendo os coeficientes a e b. Estes encontraram apenas valores aproximados. Porém,

nenhum deles obteve certeza dos valores que são decimais." (Ibid.). Destaca que sugeriu que

"usassem as fórmulas do y = -Δ/4a e Xv = -b/2a e os seus valores para encontrar os

coeficientes a e b." (Ibid.). Encontrando os valores dos coeficientes a = − 9

100 e b = +

9

5, os

alunos encontraram também a equação da parábola que representa a trajetória da bola.

A condução didática do estagiário foi definitiva para que os alunos desenvolvessem o

cálculo e a resolução do problema formalizando que a equação que representa a trajetória da

bola diante dos dados informados pelos problemas é: y = − 9

100 𝑥² +

9

5 𝑥 = 0.

Nesta aula não houve tempo suficiente para uma boa discussão dos resultados.

186

Na aula seguinte os alunos fariam avaliação de final de semestre que foi adiantada

devido ao início dos jogos da Copa do Mundo que interferiram no calendário escolar. A

discussão dos resultados só aconteceu alguns dias após a última aula.

De acordo com Fonseca, Brunheiras e Ponte:

O ideal é fazê-la logo após a exploração da tarefa, mas muitas vezes isso não é

possível devido ao horário espartilhado dos alunos. Frequentemente o que acontece

é que o desenvolvimento da actividade de investigação decorre numa aula e a

discussão apenas na aula seguinte, o que dificulta o arranque da discussão final, pois

os alunos, de uma aula para a outra, já não se lembram tão bem daquilo que fizeram

e, de uma maneira geral, os registos escritos não são suficientemente ricos para

ajudá-los. (1999, p. 09).

Conforme destaca os autores, o estagiário realmente teve dificuldade na gestão

didática da discussão dos resultados visto que, depois de alguns dias, os alunos tiveram

dificuldade de interpretarem suas próprias anotações rascunhadas. Isto provocou a

necessidade de destinar um espaço de tempo para que pudessem relembrar a investigação.

Ao final de cada momento os alunos fizeram suas anotações no bloquinho de notas.

O estagiário também tinha o seu bloco de anotações. Contudo, como se tratavam de rascunhos

e desenhos, os alunos em alguns casos não conseguiram interpretar seus desenhos e

resoluções. Para reavivar as lembranças dos alunos o estagiário solicitou para abrirem os

arquivos salvos no computador com as construções feitas no Geogebra.

Depois de fazer a discussão, passo a passo, juntamente com os alunos, de todas as

atividades já realizadas até a formalização da equação que descreve a trajetória da bola,

chamou a atenção para uma pergunta que ainda estava sem resposta: Nestas condições seria

possível se fazer o gol?

Seguiu-se o seguinte diálogo:

Aluno P: Já sabemos que a bola partiu de uma distância de 20 metros de distancia do gol.

Aluno A: Então a distância que a bola percorreu não pode ser menos que 20m.

Aluna M: Se x' é o ponto de partida e x" é o ponto de chegada da bola no chão, então é só

achar os valores das raízes da equação que encontramos.

Aluno A: Mas x' é o ponto de partida, então ele vale zero.

Aluno P: Já fiz professor! Encontrei o x" que vale 20m.

Batista: Como fez o cálculo tão rápido?

Aluno P: Não fiz o cálculo. Eu construí o gráfico da equação do Geogebra uai! Aí deu para

ver que o x' vale zero e o x" vale 20m.

Batista: Então mostre para os colegas como você fez!

187

Batista: Alguém encontrou a distância percorrida pela bola fazendo o cálculo?

Aluno A: Eu professor! Usei a calculadora e o x" também deu 20m.

Batista: Estão venham os dois mostrar para os colegas como fizeram.

Assim, chegaram à conclusão de que nas condições apresentadas pelo problema seria

possível sim fazer o gol.

Apesar das dificuldades iniciais, a discussão final foi um momento importante de

reflexão para que os alunos pudessem compreender cada passo da investigação que eles

mesmos realizaram. Foram identificando como cada pista foi surgindo até que tivessem a

equação da parábola descrita pela bola. Estagiário e alunos foram relembrando juntos cada

conjectura levantada, como elas se confirmaram ou não, como surgiram outros problemas

derivaram do problema inicial e como foram resolvidos.


A condução de uma Investigação Matemática requer do professor esteja preparado

tanto em relação ao conteúdo, quanto em relação da gestão didática da aula visto que sua

função é de moderar e orientar o trabalho dos alunos, fornecendo informações, interligando

ideias, estimulando a comunicação entre os alunos. (FONSECA, BRUNHEIRAS E PONTE,

1999). Nesta perspectiva o estagiário se mostrou bem preparado em relação ao conteúdo

trabalhado, no entanto, não esteve muito seguro em relação à metodologia de ensino em

alguns momentos, conforme se pode perceber na sua mediação pedagógica. Contudo, grande

parte dos contratempos que aconteceram podem ser justificados pela falta de experiência do

estagiário na gestão de uma sala de aula e pela falta de experiência também dos alunos no que

se refere à realização de atividades investigativas. Assim, com a realização de outras

atividades de Investigação Matemática, tanto alunos quanto o professor poderão se tornar

mais eficientes na condução das suas atividades.

As dificuldades encontradas pelo estagiário estiveram relacionadas principalmente a

falta de experiência na docência e na gestão da sala de aula. De acordo com Ponte; Brocardo e

Oliveira (2013) é comum nas primeiras atividades de Investigação Matemática a que o

professor se propõe desenvolver, ter dificuldades em cumprir o planejamento seguindo um

cronograma previsto antecipadamente. Administrar o tempo da aula se torna um desafio

devido à imprevisibilidade que acontecem nas experimentações dos alunos. Quando os alunos

também não têm o hábito de desenvolver atividades investigativas os desafios do professor se

188

tornam ainda maiores. Até mesmo fazer com que entendam os seus papéis como

investigadores pode ser uma dificuldade.

Quando a turma é grande, gerir o diálogo é outra tarefa difícil. Controlar a conversa

paralela, cuidar para que um aluno mais adiantado dê a resposta pronta para os colegas

causando prejuízos às suas investigações, ouvir todos os que querem expor suas ideias e

discutir cada uma delas dando importância para todas as conjecturas apresentadas. Fazer os

mais tímidos falarem, incluindo todos no debate também é outro cuidado se deve ter. Como

afirma Freire (1996), o diálogo é importante para que a sala de aula se estabeleça como um

ambiente propício para a produção de conhecimentos.

No caso da aula do estagiário, na discussão dos resultados, como se tratava de uma

turma grande, por vezes teve dificuldade em manter a disciplina e controlar a conversa

paralela, isto fez com que muitos comentários e descobertas dos alunos não fossem

identificados. Teve dificuldade em algumas aulas em administrar o tempo chegando a fazer

para os alunos uma formalização de deveria partir deles. Este foi um momento que

possibilitou formação na própria ação em sala de aula visto que, de acordo com Nóvoa (1997)

conhecer e reconhecer os processos de organização do trabalho escolar, os processos de

gestão da sala de aula, saber utilizar variadas metodologias de ensino e experimentar situações

novas e inesperadas constitui-se em possibilidade de reconhecimento da profissão

Na última aula, teve dificuldade em manter o interesse, visto que, o tempo da aula foi

maior do que o necessário para a atividade planejada, o que fez com que a turma ficasse

ociosa por alguns minutos, provocando barulho e algazarra. Teve dificuldade também em

fazer com que todos os alunos participassem de todas as atividades, principalmente daqueles

momentos em que deveriam expressar suas ideias. Alguns alunos, apesar de desenvolver suas

experimentações se mantiveram calados em praticamente todas as aulas, sem receberem

incentivos do professor para participarem. Neste momento a ação do saber se constrói como

afirma Charlot:

(...) a relação com o saber é o conjunto das relações que um sujeito mantém com um

objeto, um ‘conteúdo de pensamento’ uma atividade, uma relação interpessoal, um

lugar, uma pessoa, uma situação, uma ocasião, uma obrigação, etc., ligados de uma

certa maneira com o aprender e o saber; e, por isso mesmo, é também relação com a

linguagem, relação com o tempo, relação com a ação no mundo e sobre o mundo,

relação com os outros e relação consigo mesmo enquanto mais ou menos capaz de

aprender tal coisa, em tal situação. (2005, p. 81).

No seu trabalho final o estagiário destaca que:

o docente precisa estar bem preparado em relação ao conteúdo, em relação a

metodologia e quanto aos recursos didáticos porque a investigação nem sempre

189

ocorre conforme se planejou podendo tomar outros rumos caso surja alguma

pergunta inesperada por parte dos alunos. (BATISTA E OLIVEIRA 2014, p. 193).

A afirmação mostra estar ciente da necessidade de uma boa formação para exercer a

docência. Nos encontros do grupo fez a seguinte afirmação: "os desafios que enfrentei nesta

primeira experiência serviram para eu refletir sobre como foi importante meu papel de

professor. Apesar de todas as dificuldades estou satisfeito comigo mesmo por ter conseguido."

(BATISTA, COMENTÁRIO G. E., 2014). Esta outra fala, mostra amadurecimento e

consciência do seu papel como professor. Mostra também consciência de que na docência os

desafios sempre vão existir e que a busca por superação é uma constante na vida do professor.

De acordo com o estagiário a Investigação Matemática com o Geogebra contribui

significativamente na aprendizagem dos alunos. O software como recurso de ensino e

aprendizagem possibilitou aos alunos "aprender de forma mais interativa em que o aluno tem

a oportunidade de movimentar os gráficos, fazer experimentações e observações que os

auxiliaram no entendimento do conteúdo. (BATISTA E OLIVEIRA 2014, p. 193).

Destacando em seus depoimentos que o Estágio Supervisionado foi importante "por permitir a

possibilidade de a teoria à prática fazendo com que nos reconheçamos como professores

vivenciando todos os desafios, conflitos e perspectivas da nossa futura profissão." (BATISTA,

COMENTÁRIO G. E., 2014).

A mediação pedagógica do acadêmico, juntamente com suas afirmações, permite

dizer que apesar das dificuldades em lidar com a utilização metodologia de ensino

investigativa, a pesquisa realizada provocou reflexões acerca do trabalho do professor e dos

desafios da profissão. Provocou reflexões ainda sobre o seu papel como educador matemático

e sobre como a sua forma de conduzir uma atividade pode influenciar negativamente ou

positivamente na aprendizagem dos alunos. Enfim, sobre os papéis do professor e dos alunos

e sobre a importância de respeitá-los em suas capacidades de produzir conhecimentos

matemáticos por meio das suas próprias ações.

6.5 A mediação pedagógica no Projeto A Investigação Matemática com o Geogebra no

ensino de área perímetros de retângulos e triângulos para o quinto ano do Ensino

Fundamental

A pesquisa da estagiária Silva buscou responder a seguinte pergunta: os alunos do

quinto ano do Ensino Fundamental seriam capazes de realizar Investigação Matemática com o

Geogebra para aprender Geometria? O objetivo foi verificar se a Investigação Matemática

como o Geogebra seria uma metodologia de ensino adequada para o ensino do conteúdo de

190

calculo de áreas e perímetros de retângulos e triângulos para alunos do quinto ano do Ensino

Fundamental.

A experimentação aconteceu como atividade de regência do Estágio Supervisionado

do quarto ano do curso de Licenciatura em Matemática da UEG/Iporá em uma turma de

alunos com idade entre dez e doze anos que estudam o quinto ano em uma Escola Municipal

da cidade de Iporá/GO.


A atividade pedagógica desenvolvida experimentalmente pela estagiária Silva foi

planejada coletivamente durante as reuniões do grupo estudo forma pelos acadêmicos do

quarto ano do Curso de Matemática da UEG/Iporá. Trata-se de atividades de Investigação

Matemática com o software Geogebra para alunos do quinto ano do Ensino Fundamental de

uma Escola Municipal da cidade de Iporá/GO.

A sua pesquisa aconteceu durante as atividades de regência do Estágio

Supervisionado. A análise das atividades investigativas teve como base as situações

vivenciadas na própria sala de aula pela identificação das etapas da aula investigativa que são

a introdução do assunto, da investigação e da discussão dos resultados. Verificou-se o

envolvimento dos alunos e se tiveram oportunidade para experimentarem, levantarem

conjecturas, discutirem, formularem respostas, formalizarem, generalizarem e provarem

conceitos matemáticos.


A introdução do assunto ou o arranque da aula de Investigação Matemática

representa o início da atividade, quando o professor apresenta o tema aos alunos, propõe a

tarefa e busca envolvê-los no trabalho. Contudo "a possibilidade de desafiar os alunos não se

restringe ao momento de arranque da atividade. Ela prolonga-se durante todo o trabalho."

(PONTE et al., 1998). No caso, a introdução do tema da atividade pedagógica se deu por meio

da exploração dos recursos e ferramentas da área de geometria do software Geogebra. Fez-se

a apresentação "das ferramentas e dos recursos do software, analisando e discutindo

coletivamente as funções de cada ferramenta e partir das indagações e afirmações feitas

procuraram-se indicadores dos conhecimentos prévios dos alunos em relação os conceitos

básicos de geometria." (SILVA E OLIVEIRA, 2014, p. 240). Buscou-se familiarizar os

alunos com os softwares e chamar as suas atenções para os conceitos geométricos.

191

Um fato interessante que vale ser destacado nesta aula foi a habilidade da estagiária

na condução da aula quando na exploração inicial do tema percebeu que os alunos não sabiam

diferenciar os conceitos retas perpendiculares e de retas paralelas. Ao contrário de dar a

resposta explicando as características que as diferenciam, usou a situação de dúvida e

curiosidade dos mesmos para lançar a primeira questão de investigação, que não estava

prevista para esta aula. A questão foi a seguinte: O que são retas paralelas e o que são retas

perpendiculares e o que as diferenciam umas das outras?

A primeira questão investigativa surgiu então de uma situação imprevista surgida em

um momento que tinha como objetivo apenas explorar as ferramentas e recursos do Geogebra

e relembrar os conceitos geométricos pré-requisitos para o estudo do cálculo de áreas e

perímetros de retângulos e triângulos. De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2013), uma

investigação pode surgir de forma planejada, com uma questão apresentada pelo professor, ou

de uma dúvida inesperada, ou mesmo de uma questão proposta de forma imprevista pelos

alunos. No caso a questão de investigação "surgiu das dificuldades iniciais do aluno em

relação aos conceitos de perpendicular e paralela. E a partir das questões levantadas se deu o

levantamento das conjecturas dando início à primeira Investigação Matemática desta turma de

crianças." (SILVA E OLIVEIRA, 2014, p. 241). A dúvida dos alunos deu origem a questão de

pesquisa que suscitou as conjecturas levantadas quando cada um dos alunos tentou expressar

o pensava ser retas paralelas e perpendiculares. Tais conjecturas foram refinadas durante a

experimentação, usando as ferramentas do Geogebra.

durante a experimentação inicial pedimos que cada aluno fizesse uma reta usando os recursos do software

Geogebra e em seguida construíssem uma reta paralela e outra reta perpendicular à reta inicial criada usando as

ferramentas e . A seguir, sugerimos que calculassem o ângulo entre as

retas e analisassem a o que havia em comum entre os ângulos de cada uma. Após os alunos fazerem a

experimentação e compararem com as conjecturas levantadas inicialmente pedimos que formalizassem o

conceito de retas perpendiculares e paralelas. (SILVA E OLIVEIRA, 2014, p. 241).

Ao final da experimentação os alunos souberam formalizar os conceitos de reta

paralelas e perpendiculares, além de estarem bem familiarizados com o software Geogebra.

Vale ressaltar que mesmo a turma sendo constituída de alunos com idade entre dez e

doze anos, não tiveram dificuldades na realização da tarefa em relação a Investigação

Matemática e também não tiveram dificuldades em relação ao Geogebra. Manusearam com

facilidade as ferramentas do software, testaram suas conjecturas por meio das suas próprias

construções até chegarem à formalização da definição de retas paralelas e retas

192

perpendiculares. Isto dá indícios que tanto a metodologia de ensino investigativa quanto o

software Geogebra podem ser usados por crianças do ensino básico de primeira fase.

A mediação pedagógica até este momento atende ao o proposto por Ponte (1998)

quando afirmam que "durante a atividade enquanto os alunos vão desenvolvendo as atividades

propostas o professor precisa estimular a busca de estratégias e respostas e manter o diálogo

conduzindo a investigação." (PONTE et al.,1998). A estagiária soube lidar muito bem com as

perguntas e dúvidas das crianças tanto em relação ao software, respondendo aos

questionamentos feitos e fornecendo informações apenas no suficiente para a continuidade da

investigação.


A atividade de investigação na aula da estagiária seguiu os passos peculiares às

Investigação Matemática que são o levantamento de conjecturas, experimentação e

formalização Matemática sugeridos por Ponte; Brocardo e Oliveira (2013). A estagiária

destaca que no desenvolvimento da aula:

durante a experimentação o aluno formula hipóteses, também chamadas conjecturas

e continuando com a experimentação o aluno confirma se as conjecturas criadas

estão corretas ou não. Estando erradas o aluno retoma com os testes, e estando

corretas, passa-se para a fase da formalização e para a generalização

Matemática.(SILVA E OLIVEIRA, 2014, p. 242).

Contudo antes de apresentar a questão de pesquisa que os alunos deveriam

investigar, a estagiária deu início à aula "explicando como ocorreria a investigação, como os

alunos atuariam como investigadores e quais são as fases e os objetivos da investigação.

(SILVA E OLIVEIRA, 2014, p. 243). Este foi um momento importante para que as crianças

compreendessem como se daria o processo de investigação nesta aula fazendo interligações

com a atividade realizada na aula anterior. Para esta explicação descreveu os passos de uma

investigação criminal fazendo comparações com o processo investigativo que iriam realizar.

Esta explicação dos passos da investigação fez com que os alunos se assumissem como

investigadores interessados em descobrir as respostas para as questões Matemática que lhes

eram apresentadas conforme se observa no diálogo a seguir:

Aluna A: Agora sou o Sherlock Holmes da Matemática.

Aluno C: E o G vai ser o Grande Polegar. Certo G?

193

Aluno D: E você será o Inspetor Bugiganga. Se não descobrir a resposta será demitido!

Pode começar a usar as parafernálias do Geogebra para fazer sua investigação.

Aluna F: Tio Bugiganga, eu sou a Penny, vamos investigar juntos? Lembra que o inspetor

lembra que no desenho Bugiganga tem uma sobrinha que ajuda ele a descobrir os crimes?

Foi nesse clima descontraído que a estagiária então apresentou a primeira questão de

investigação do dia. A pergunta era a seguinte: "O que é um quadrado?"

Inicialmente ficaram meio decepcionados com a pergunta. Disseram que isso

qualquer um já sabia. O diálogo mostras as respostas iniciais dos alunos.

Aluna A: O quadrado é uma figura geométrica que tem quatro lados.

Aluno P: Não é só isso. Para ser quadrado o polígono tem que ter quatro lados iguais.

Aluno C: A professora disse que em Geometria não se diz que tem lado igual, se diz que tem

lados congruentes. O quadrado tem quatro lados congruentes e duas diagonais congruentes.

Entretanto, em suas conjecturas, nenhum aluno se lembrou da propriedade segundo a

qual um polígono para ser quadrado deve possuir quatro ângulos retos. Para que

formalizassem corretamente as propriedades do quadrado a estagiária sugeriu então que

construíssem um quadrado usando as ferramentas do Geogebra que já conheciam.

Alguns utilizaram a ferramenta polígono regulares outros utilizaram a malha

quadriculada e a ferramenta polígono e alguns tentaram fazer usando somente a ferramenta

polígono, sem usar a malha e teve ainda uma dupla de alunos que fizeram utilizando a malha

quadriculada, pontos e seguimentos de retas. Contudo todos eles fizeram as suas construções

se baseando na conjectura de que para ser quadrado a figura geométrica precisa possuir três

lados congruentes. E intuitivamente fizeram os objetos quadrados com os ângulos retos.

Apenas um dos alunos fez a construção em forma de losango. E logo que terminou a

construção questionou a professora:

Aluno J: Meu desenho não está quadrado e eu fiz todos os lados com as medidas iguais de 5

cm. Eu já conferi, as medidas estão iguaiszinhas. Porque meu quadrado está diferente

professora? Porque meu quadrado não ficou quadrado?

Nesse momento todos os colegas queriam se levantar para ver o desenho do colega,

entretanto a professora pediu que ficassem onde estavam solicitando que calculassem as

medidas dos ângulos internos e dos lados das suas figuras construídas. A figura 21 abaixo

mostra uma das construções feitas pelos alunos.

194

Figura 21: O calculo das medidas de um quadrado no Geogebra.

Fonte: Silva e Oliveira, 2014, p. 244.

Depois que encontraram as medidas dos ângulos internos das suas construções a

estagiária disse então: agora sim, podem se levantar e comparar as medidas do seu polígono

com as medidas dos ângulos e lados dos polígonos dos colegas. Depois de algumas

comparações pediu que aumentassem as medidas dos lados das suas figuras, mantendo-as

com medidas iguais, contudo sem modificar o formato das suas construções. Solicitou que

comparassem novamente as medidas dos ângulos internos e dos lados dos seus polígonos com

as medidas encontradas nas construções dos colegas. Para ponte et al. (1999, p. 07) "[...] é

essencial que se crie um ambiente em que eles interajam uns com os outros, em que possam

exprimir os seus pensamentos e em que questionem as ideias apresentadas pelos colegas".

Logo uma aluna falou alto:

Aluna C: Professora, eu já sei por que a figura do B não está quadrado! É porque não tem

os ângulos do canto quadradinhos! Não medem 90 graus como os outros.

Então o aluno B ajustou a sua figura para as medidas dos lados ficarem iguais e os

ângulos ficarem com 90 graus como nas construções dos colegas. E assim, os alunos

chegaram à formalização do quadrado como sendo uma figura de lados AB = BC = CD = DA

e que tem nos vértices quatro ângulos internos de noventa graus ou α = β = γ = ε = 90°,

identificando assim as propriedades dos quadrados.

Para o cálculo do perímetro a estagiária solicitou que:

todos colocassem de forma visível a malha quadriculada e ajustassem os seus

quadrados às unidades quadradas da malha e colorissem a figura. Depois numa

tabela anotarem as medidas dos lados e da quantidade de unidades quadradas que

195

estavam sendo ocupadas pela parte colorida. Usando as ferramentas e

calculassem a área e o perímetro da figura.

(SILVA E OLIVEIRA, 2014, p. 245).

A seguir a estagiária solicitou que "arrastando com o mouse, aumentassem ou

diminuíssem os lados e fosse anotando sempre as medidas dos lados e a quantidade de

unidades quadradas da malha estava sendo ocupada pela parte colorida" (SILVA E

OLIVEIRA, 2014, p. 247). E que fossem anotando em uma tabela os valores da área e do

perímetro.

Tabela 03. Medidas de lados e perímetros de quadrados.

Lados do quadrado (cm) 1 2 3 4 4,5 5 5,6 10,5 n

Medida do Perímetro

Medida da Área


A tabela 03 foi um instrumento não previsto que a estagiária usou ao perceber que os

alunos estavam com dificuldades para organizarem em forma de texto as informações,

descobertas e dados que iam acumulando. Segundo ela mesma afirmou em um dos debates do

grupo de estudo "neste momento agi inspirada em Fonseca, Brunheiras e Ponte (1999) quando

afirmam que às vezes é preciso que o professor forneça instrumentos e pistas para um

caminho possível para o prosseguimento da investigação." (SILVA, COMENTÁRIO G. E.,

2014). Destacando ainda "a tabela, não estava prevista no plano de aula, mas sugeri para os

alunos porque imaginei que organização dos dados iria facilitar a formalização dos alunos

sem que eu precisasse dar mais informações sobre o conteúdo." (Ibid.)

Assim, a construção e a análise coletiva da tabela associada às experimentações que

os alunos iam desenvolvendo no Geogebra foi um recurso importante usado pela estagiária

para que por meio da análise dos padrões de valores os alunos chegassem a formalização do

cálculo da área e do perímetro dos quadrados. Para Alro e Skovsmose (2006, p. 59) os alunos,

"[...] devem ser convidados para um cenário para investigação, a fim de se tornarem

condutores e participantes ativos do processo de investigação."

A experimentação no Geogebra foi descrita pela estagiária:

solicitamos então que desenhassem todos os quadradinhos do interior do quadrado ...

depois contassem quantas unidades quadradas tinham. Depois aumentassem as

medidas dos lados, mantendo as características do quadrado e novamente contassem

as unidades quadradas e agora comparassem com as anotações da tabela. Repetimos

as anotações e comparações aumentando e diminuindo as medidas dos lados ... A

formalização do cálculo do perímetro aconteceu naturalmente mas quanto ao calculo

196

da área foram muitas as conjecturas e ideias até que a formalização acontecesse...

Após várias conjecturas e comparações das medidas no software com as anotações

da tabela chegaram a conclusão de que : - para encontrar a área podemos olhar as

medidas dos lados e depois fazer um lado vezes o outro ou seja, 𝐴 = 𝑙 . 𝑙 e para

calcular o perímetro basta somar as medidas dos lados 𝑃𝑒 = 𝑙 + 𝑙 + 𝑙 + 𝑙. (SILVA E OLIVEIRA, 2014, p. 246).

A figura 22 mostra a construção realizada no Geogebra.

Figura 22: Investigando a área do quadrado no Geogebra.


Para generalização das fórmulas a estagiária solicitou que fizessem a seguinte

construção.

Figura 23: Testando a fórmula da área do quadrado no Geogebra.


197

Na figura 23, movimentando um dos pontos de vértices do quadrado, altera-se a

medidas dos lados e da área desse quadrado em função das medidas dos lados mantendo as

propriedades originais. Por meio desta experimentação e análise das propriedades do

quadrado os alunos "identificaram que as fórmulas do perímetro e área descobertas

anteriormente valem para qualquer quadrado de lado n, generalizando que o perímetro de um

quadrado de lado n é: 𝑃 = 4 . 𝑛 e a área deste quadrado é: 𝐴 = 𝑛²." (SILVA E OLIVEIRA,

2014, p. 247).

Concluíram as atividades a aula fazendo alguns cálculos práticos como consta no

relato de experiência. Calcularam "as medidas dos lados da área da janela, da parede e do piso

da sala de aula que eram exemplos de quadrados mais próximos que tinham. (SILVA E

OLIVEIRA, 2014, p. 250). Para encerrar a atividade deste dia a estagiária fez uma breve

discussão dos resultados das descobertas daquela aula e solicitou que os alunos anotassem em

seus bloquinhos de anotações as formalizações das propriedades do quadrado bem como as

formalizações dos cálculos da área e do perímetro. Pediu que anotassem primeiramente em

forma de texto e a seguir em linguagem simbólica Matemática.

Na aula seguinte a questão de pesquisa foi: qual a definição de retângulo e como se

calcula a medida da área e do perímetro de um retângulo?

Para as construções os retângulos, depois de algumas conjecturas levantadas e várias

tentativas construíram os retângulos usando retas paralelas e perpendiculares conforme mostra

a figura 24.

Figura 24: Construções e cálculo da área de retângulos usando o Geogebra.


De forma similar à usada para as formalizações das propriedades, do calculo da área

e do perímetro do quadrado, usando as movimentações e análises da construções no

Geogebra, associadas as anotações e uma tabela foram desenvolvidas as experimentações que

198

possibilitaram os alunos chegarem a formalização de que o retângulo é um polígono que

possui os quatro ângulos retos e a formalização e generalização de que o perímetro de um

retângulo de base n e altura h é 𝑃 = 2 . ℎ + 2 . n ou 𝑃 = 2. (𝑛 + ℎ) e que a área desse

retângulo é 𝐴 = 𝑛 . ℎ.

Para o estudo do triângulo foi solicitado dos alunos que desenhassem um triângulo

usando dois lados e a diagonal do retângulo e em seguida calculassem a base, a altura e a área

do triângulo formado conforme pode ser observado na figura 25. A estratégia usada para a

experimentação foi a de completar a tabela a partir da análise das construções.

Figura 25: Investigando a área de triângulos no Geogebra.


Depois das novas experimentações com valores inteiros e decimais para o

comprimento da base e da altura os alunos chegaram à generalização de que a área de

qualquer triângulo pode ser sempre calculada pela fórmula: 𝐴 = 𝑏 .ℎ

2

Um cenário para investigação é aquele que convida os alunos a "formular questões e

procurar explicações. O convite é simbolizado por seus "sim, o que acontece se...?".

(SKOVSMOSE, 2008, p. 21). Dessa forma, os alunos se envolvem no processo de

exploração." O cenário criado pela professora, quando apresentava as questões investigativas,

quando mediava as experimentações e o ambiente dinâmico proporcionado pelo Geogebra

fizeram com que os alunos se sentissem instigados a buscarem respostas para questões

Matemáticas apresentadas.

Os alunos envolveram no processo, se sentiram verdadeiros investigadores buscando

pistas e argumentos que levassem à descoberta das respostas. "Quando os alunos assumem o

processo de exploração e explicação, o cenário para investigação passa a constituir um novo

ambiente de aprendizagem. No cenário para investigação, os alunos são responsáveis pelo

processo." (SKOVSMOSE, 2008, p. 21).

199

O ambiente dinâmico e interativo do Geogebra possibilitou, conforme já destacou

destaca Cruz (2005) que o grupo analisasse os objetos construídos permitindo visualizações

das propriedades destes objetos e de outras propriedades relacionadas a estas figuras.

Após as investigações os fizeram o relatório das últimas formalizações e resolveram

exercícios práticos para contextualizar os cálculos de área em problemas que representassem

situações cotidianas dos alunos.

De acordo com Skovsmose (2001) o ensino de Matemática em uma visão crítica

poderia ser voltado para o educar matemático em que o educar matematicamente teria com

objetivo central levar os alunos a compreender as situações do cotidiano utilizando os

conhecimentos matemáticos construídos para solucionar problemas da vida. As

contextualizações realizadas nas atividades práticas foram importantes para os alunos

perceberem que os conteúdos aprendidos fazem parte dos seus cotidianos e poderão ser

utilizados para solucionar problemas do dia a dia.

A condução da aula esteve de acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2013)

quando afirmam que em contextos de ensino e aprendizagem, investigar não quer dizer que

tenha que se lidar apenas com problemas sofisticados e difíceis. Quer dizer sim, que os

problemas para os quais se busca respostas, devem ser interessantes para quem buscar

resolvê-los. Logo, "investigar não representa obrigatoriamente trabalhar com problemas

muito difíceis. Significa, pelo contrário, trabalhar com questões que nos interpelam e que

se apresentam no início de modo confuso, mas que procuramos clarificar e estudar de

modo organizado. (PONTE; BROCARDO E OLIVEIRA, 2013, p. 9). Ressaltando ainda

que é necessário que os problemas estejam adequados ao nível da turma, que pode ser de

nível básico inicial ou de nível superior universitário ou em nível de pós-graduação.


Conforme relata a estagiária a turma fez no final da atividade o compartilhamento

das experiências em que "os alunos mostram para os colegas as figuras construídas e como

foram descobrindo cada informação. Como foram identificando as pistas nas investigações

durante as que fizeram construções no Geogebra até chegarem à confirmação dos fatos."

(SILVA E OLIVEIRA, 2014, p. 250). Na fase final do trabalho é necessário que o professor

"promova um diálogo com os alunos enquanto estes estão executando a atividade e os

encoraje a discutir com outros grupos em sala de aula. O papel do professor na etapa de

discussão final do trabalho é outra questão relevante." (CORRADI, 2011, p. 10). Nesta ideia a

200

estagiária conduziu a discussão dos resultados conforme pode ser observado no diálogo entre

professora e alunos.

Silva: Agora que estamos concluindo, gostaria de saber o que mais gostaram de fazer como

investigadores matemáticos.

Aluna F: Eu gostei quando descobri que um polígono para ser quadrado não é bastante ter

só quatro lados iguais, precisando também ter os ângulos retos.

Aluna A: Gostei de usar o Geogebra, para fazer as contas do calculo das áreas e perímetros

das figuras geométricas. Eu fazia desenho e mandava-o fazer a conta e ele fazia. Não

precisava eu ficar somando lado, mais lado, mais lado, mais lado, para saber o perímetro.

Aluno D: Eu nunca tinha parado para pensar que um triângulo é a metade de um retângulo.

Tudo ficou mais fácil de ver agora.

Silva: Conte-nos uma situação fora da escola em que podemos usar a Investigação

Matemática para resolver um problema.

Aluno G: Eu acho que eu usei esta semana para construir uma rampinha de skate no quintal

lá de casa. Eu fiz com um ângulo grande e ficou alta demais, não dava tempo de eu sair e já

caía. Então eu diminuí o ângulo, aí deu certo.

Aluno N: Para fazer o muro do lote meu pai precisou saber quantos tijolos comprar. Agora

já dá para saber antes de ir à loja de Cerâmica comprar o material.

Durante as discussões dos alunos se valorizou as suas estratégias e construções

utilizadas nas resoluções dos problemas. E assim a estagiária contemplou em sua mediação

pedagógica o que sugere Ponte; Brocar e Oliveira (2013) quando afirmam que para finalizar a

aula a "fase de discussão é, pois, fundamental para que os alunos, por um lado, ganhem um

entendimento mais rico do que significa investigar e, por outro, desenvolvam a capacidade de

comunicar matematicamente e de refletir sobre o seu trabalho e o seu poder de argumentação.

(PONTE; BROCARDO E OLIVEIRA, 2013, p. 41). Esta foi uma etapa importante para em

que os conhecimentos produzidos individualmente ou em grupo fossem partilhados com toda

a turma.


Ao elaborar esta atividade a estagiária se propôs a desenvolver um conteúdo que faz

parte do programa da professora regente para a turma e as aulas aconteceram no contra turno

para os alunos que apresentavam dificuldades de aprendizagem dentro do horário normal de

201

aula. A professora da turma participou da escolha do conteúdo e do planejamento, contudo

não acompanhou as aulas porque no mesmo horário em que elas aconteciam, ela ministrava

aulas para outra turma. Isto foi um ponto negativo, visto que, apesar da professora participar

do planejamento e da avaliação dos relatórios produzidos pelos alunos durante as aulas, ela

não participou efetivamente do desenvolvimento da atividade.

Nas aulas da estagiária os alunos trabalharam alternando atividades hora individuais,

hora em grupos. Durante e ao final de cada atividade produziam um pequeno texto em que

registravam o que aprendiam e a formalizações realizadas. Estes relatórios foram avaliados

posteriormente para verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao conteúdo. Foram

utilizados também pela estagiária para analisar sua própria mediação pedagógica no

desenvolvimento da Investigação Matemática com Geogebra.

A análise destes relatórios, das atividades desenvolvidas em sala de aula, as

construções no Geogebra, as falas dos alunos durante o desenvolvimento das atividades

evidenciam boa participação e envolvimento dos alunos na realização das tarefas. Evidenciam

também que estes vivenciaram todas as fases peculiares da Investigação Matemática

participando da elaboração dos problemas e questões de investigação, elencando conjecturas e

hipóteses, discutindo, experimentando e formalizando conceitos matemáticos.

Os desafios da estagiária estiveram em organizar as atividades de tal forma que

tantos os alunos com maiores dificuldades no conteúdo quanto àqueles que já tinham mais

conhecimentos pudessem investigar passando por todas as fases até a formalização

Matemática dos conceitos. Utilizar a linguagem simbólica para representar conceitos

geométricos também foi um desafio, visto que, de acordo com depoimento da própria

professora da turma, esta não era ainda uma linguagem pouco explorada em sala de aula.

Os alunos apresentaram alguma dificuldade com conceito e o sinal de congruência e

com a nomenclatura dos elementos formadores dos polígonos como os nomes dos vértices,

dos ângulos e dos seguimentos que formam os lados. Entretanto, as dificuldades foram sendo

superadas durante o desenvolver das investigações e produções dos relatórios.

A gestão do tempo, não foi uma dificuldade, visto que, as aulas aconteceram todas

em dois tempos de cinquenta minutos, o que permitiu que todas as tarefas pudessem ser

introduzidas, realizadas e discutidas dentro do tempo das aulas. Isto vem a confirmar o que

diz Fonseca; Brunheiras e Ponte (1999, p. 09) quando afirmam que "seria conveniente realizar

o trabalho com investigações em aulas de duas horas, pois isso permitiria que a fase de

discussão tivesse lugar na segunda hora, ou em parte dela."

202

Isto porque, segundo estes estudiosos, no desenvolvimento de aulas investigativas

são frequentes a atividade de investigação acontecer em uma aula e a discussão apenas na

próxima aula "o que dificulta o arranque da discussão final, pois os alunos, de uma aula para a

outra, já não se lembram tão bem daquilo que fizeram e, de uma maneira geral, os registros

escritos não são suficientemente ricos para ajudá-los. (Ibid. p. 09).

A mediação pedagógica da estagiária na condução das aulas permite afirmar que a

Investigação Matemática com o Geogebra ocorreu conforme caracterizada por Ponte;

Brocardo e Oliveira. Na mediação pedagógica da estagiária Silva podem ser identificadas

todas as três etapas de introdução do assunto, investigação ou experimentações e discussão

dos resultados que devem ser contempladas durante o desenvolvimento da atividade

investigativa. Os alunos participaram da busca da construção de um tipo de fazer e pensar

matematicamente por meio da elaboração dos problemas, elaboraram conjecturas, fizeram

experimentações e formalizaram conceitos geométricos.

A estagiária na gestão da aula administrou satisfatoriamente os imprevistos, que

como afirma Ponte; Brocardo e Oliveira (2013), são muito comuns acontecerem, replanejou a

aula tanto para administrar tais imprevistos como também para atender à dificuldades

específicas sobre o conteúdo que foram surgindo durante as aulas.

Os alunos participaram ativamente das aulas, discutiram as descobertas que fizeram,

formalizaram conceitos, fizeram representações dos conceitos em linguagem simbólica e

finalmente desenvolveram sem dificuldades os problemas de contextualização do conteúdo

em situações cotidianas. Foram capazes de usar as aprendizagens da sala de aula para resolver

problemas comuns do cotidiano que conforme afirma a estagiaria eram "problemas

desafiadores em que fosse necessário recorrerem aos conceitos aprendidos para resolverem."

(SILVA E OLIVEIRA, 2014, p. 250). Destacando que buscou "contextualizar os cálculos de

área em problemas que representassem situações cotidianas dos alunos." (Ibid.). A capacidade

dos alunos de resolver tais problemas demonstra que aquilo que eles estudaram tem

significado diante dos problemas da realidade.

Assim a condução didática da atividade está também de acordo com Pais (2002, p.

28) quando afirma que "uma forma de dar sentido ao plano existencial do aluno é através do

compromisso com o contexto por ele vivenciado, fazendo com que aquilo que ele estuda

tenha um significado autêntico e por isso deve estar próximo a sua realidade." Para este autor

a contextualização do saber deve ocupar destaque na ação pedagógica dos professores da

atualidade para que os alunos sejam capazes de vincularem os conteúdos estudados em sala de

203

aula com contextualizações compreensíveis por eles, até mesmo quando essa contextualização

se dá no próprio campo da Matemática.

6.6 A mediação pedagógica no Projeto A Investigação Matemática com o Geogebra no

estudo das propriedades dos paralelogramos especiais

O objetivo foi da pesquisa do estagiário Cruvinel, foi analisar a Investigação

Matemática com o Geogebra para o ensino das propriedades de polígonos em uma turma de

alunos do quinto ano do Ensino Fundamental de uma escola pública municipal da cidade de

Iporá. A pergunta que se buscou responder foi: a Investigação Matemática com o software

educacional Geogebra favorece o ensino de propriedades de polígonos para alunos do quinto

ano?


O projeto desenvolvido pelo estagiário Cruvinel se desenvolveu em parceria com a

professora orientadora de Estágio Supervisionado da Universidade Estadual de Goiás,

Campus Iporá e as atividades pedagógicas forma elaboradas coletivamente nos encontros do

grupo de estudo e pesquisa formado pelos estagiários do quarto ano do curso de Licenciatura

em Matemática.

Participaram voluntariamente do projeto, 10 alunos do quinto ano do Ensino

Fundamental de uma escola municipal de Iporá/GO. Os alunos têm idade entre oito e dez

anos, moram todos nas proximidades da escola. Segundo o estagiário os alunos participantes

"são disciplinados, curiosos, gostam de realizar trabalhos em grupo, demonstraram gostar da

escola e ter bom relacionamento com professora de Matemática titular da turma e com os

coleguinhas." (CRUVINEL E OLIVEIRA, 2014, p. 148).

De acordo com o estagiário a atividade se desenvolveu com a utilização da

Investigação Matemática com o Geogebra no estudo dos conteúdos de Matemática em que

"por meio da mediação do professor os alunos pudesse vivenciar as momentos que

identificam a investigação passando pelas fases do visualizar, explorar, fazer conjecturas e

refletir, sobre suas propriedades e conceitos." (CRUVINEL E OLIVEIRA, 2014, p. 149). As

suas análises aconteceram a partir de observação de situações de salas de aula conforme Ponte

(2004), quando selecionou e analisou um conjunto de acontecimentos relacionados aos

momentos da introdução do assunto, da investigação e da discussão dos resultados e fizemos

análise das atividades investigativas. O artigo final produzido foi um instrumento importante

204

utilizado para obtenção de informações sobre as peculiaridades da Investigação Matemática

presentes na mediação pedagógica do estagiário.


Uma aula de Investigação Matemática se inicia com a introdução do assunto que

"abrange o reconhecimento da situação, a sua exploração preliminar e a formulação de

questões. (PONTE; BROCARDO E OLIVEIRA, 2006, p. 20). Este é o momento em que o

professor apresenta o tema para a turma e apresenta a questão a ser investigada. É o momento

ideal também para o professor diagnosticar os conhecimentos prévios dos alunos para detectar

o nível de conhecimento que possuem sobre o assunto. Este diagnóstico é importante para a

condução didática da aula oferecendo ao professor informações que possam auxiliar na

proposição da questão de pesquisa e também para detectar a necessidade ou não da revisão de

conceitos pré-requisitos para a investigação dos alunos.

A aula do estagiário Cruvinel teve início como ele mesmo afirma "o objetivo da

atividade foi motivar os alunos para o estudo da Geometria e identificar os seus

conhecimentos prévios sobre o assunto." (CRUVINEL E OLIVEIRA, 2013, p. 149).

Apresentou para os alunos um Jogo de Tangran. Em seguida iniciou uma conversa com os

alunos sobre o jogo, suas peças e sua origem e história. Ao contrário de entregar jogos prontos

para os alunos jogarem, propôs que construíssem seus próprios jogos usando papéis coloridos.

Enquanto os alunos construíam e enquanto jogavam o Tangran fazia questionamentos sobra

as peças que iam se formando, detectando que os alunos sabiam sobre suas características e

propriedades e oferecendo informações que poderiam ser importantes quando fossem realizar

suas investigações. A figura 26 mostra os alunos no momento do jogo.

Figura 26: Construção de Tangrans de papel.

Fonte: Cruvinel e Oliveira, 2014, p. 149.

205

Após o jogo o estagiário, identificando que o tempo da aula estava terminando, não

fez a apresentação da questão de investigação, solicitou apenas que os alunos "fizessem um

comentário oral e registro no caderno sobre o que aprenderam ao realizar as atividades."

(CRUVINEL E OLIVEIRA, 2013, p. 149).

Apesar da sua inexperiência na atuação em sala de aula, a condução didática da aula

demonstra que o estagiário estava preparado para o imprevisto do término do tempo da aula

que pode acontecer sem que todas as atividades planejadas sejam concluídas. Durante a aula

de Investigação Matemática "é fundamental que o aluno se sinta á vontade e lhe seja dado

tempo para colocar questões, pensar, explorar as suas ideias e exprimi-las, tanto ao professor

como aos seus colegas." (PONTE; BROCARDO E OLIVEIRA, 2013, p. 28). E para que isto

seja garantido é preciso estar preparado para o replanejamento da aula durante o seu próprio

acontecimento.

Na segunda aula, como a questão de pesquisa não havia sido apresentada na aula

anterior, o estagiário optou por não apresentá-la logo no início. Preferiu explorar com os

alunos os recursos e ferramentas do Geogebra, visto que não conheciam o software.

A aula se realizou no laboratório de informática da escola que é pequeno, ocupando

uma área de aproximadamente vinte metros quadrado. Estava em boas condições de

funcionamento, contudo possui apenas dez computadores. Para esta turma que é composta de

dez alunos a quantidade de máquinas foi a ideal, permitindo o desenvolvimento de atividades

em grupo e atividades individuais. Entretanto, a escola possui turma com mais de trinta

alunos, o que dificulta muito o trabalho dos professores quando realizam aulas no ali. No

entanto, diferente das escolas estaduais de Iporá, as escola municipais, como esta, conta com

um dinamizador no laboratório com a função de auxiliar o professor desde o planejamento até

a realização das aulas auxílio pedagógico e técnico.

No início da segunda aula, o estagiário apresentou aos alunos o software Geogebra,

explorando juntamente com eles os recursos e ferramentas do ambiente dinâmico do

programa. Conforme relato do estagiário, durante a aula propôs-se desafios que pudessem

fazer os alunos lembrarem os conceitos de polígonos, polígonos regulares, vértices e ângulos

internos e externos, entre outros.

Em sua autoavaliação relatou que "durante a aula ficou perceptível que a professora

da turma já usara outros softwares de Matemática em suas aulas." (CRUVINEL, 2014.). O

fato de os alunos já estarem habituados a desenvolverem tarefas usando softwares de

Matemática contribuiu para que as atividades propostas para serem desenvolvidas com o

Geogebra fossem compreendidas e executadas facilmente. Facilidade esta, que também pode

206

ser atribuída ao fato de o Geogebra ser um software de fácil manuseio, com área de trabalho e

ferramentas bem simples e acessíveis. (OLIVEIRA; GUIMARÃES E ANDRADE, 2012).

Foi solicitado para os alunos que durante a aula fosse anotando os conceitos

geométricos novos que fossem aprendendo. O estagiário também fez as suas anotações. Em

relação aos conceitos matemáticos as atividades desenvolvidas e as anotações feitas pelo

grupo evidenciam que os alunos e mesmo o estagiário apresentam dificuldades em formalizar

e comunicar as ideias e conceitos geométricos na sua forma simbólica. Tanto alunos como

estagiário conseguiam explicitar com clareza os conceitos aprendidos quando se expressavam

oralmente. Contudo, no caso da descrição escrita dos mesmos conceitos demonstravam pouca

habilidade para representar simbolicamente os conceitos geométricos.

Como exemplo pode-se citar o caso da aluna M que verbalmente conceituou

polígono regular como "uma figura geométrica que possui os lados congruentes". No entanto

quando solicitado que criasse um polígono regular e o representasse justificasse porque

poderia ser chamado de polígono regular usando linguagem Matemática simbólica, construiu

um pentágono de vértices A, B, C, D, E, como representação geométrica de um polígono

regular e justificou "este pentágono é um polígono regular porque os lados AB = BC = CD =

DE = EA e os ângulos AÔB = BÔC = CÔD = DÔE = EÔA." Na representação simbólica

usou o símbolo de igualdade para representar congruência, o que demonstra sua pouca

habilidade em demonstrar simbolicamente o conceito de polígono regular.

Entretanto, também o estagiário apesar de ter representado corretamente no quadro a

definição de polígono regular, repetidas vezes afirmou para a turma que "um polígono diz-se

regular se tiver todos os seus lados e ângulos idênticos, sejam eles internos ou externos."

Quando na Geometria Euclidiana não existem triângulos “idênticos”, mas sim congruentes.

Logo a definição correta que o estagiário deveria ter apresentado seria definir um polígono

regular como sendo todo polígono convexo que deve ter duas características que são: possuir

todos os seus lados têm a mesma medida (ou seja, são congruentes) e todos os seus ângulos

internos têm a mesma medida (ou seja, são congruentes).

Definições incorretas feitas pelo professor induzem o aluno a formação de conceitos

errados e representações simbólicas também equivocadas. (PONTE; BROCARDO E

OLIVEIRA, 2013). O uso do sinal de igual para representar a congruência dos lados do

polígono regular pode ser pela sua própria dificuldade com representações simbólicas, porém,

pode ter sido induzida a representar congruência como igualdade por ouvir o professor fazer a

definição de lados congruentes como sendo lados idênticos.

207


A apresentação do problema e a investigação sobre as propriedades dos polígonos se

deram na terceira aula. Inicialmente o estagiário explicou o que é uma Investigação

Matemática e o significado de algumas palavras como conjecturar, experimentar, formalizar

que poderiam ser desconhecidas para os alunos.

Solicitou aos alunos que os alunos construíssem a imagem geométrica do jogo de

Tangran usando os recursos do Geogebra. Foi um momento rico de aprendizagens em que os

alunos puderam trocar informações entre os colegas, tornando a construção do jogo uma

atividade coletiva. Como afirma o estagiário "nesse momento relembraram conceitos como o

de: ponto médio, semelhança de triângulos, retas paralelas, perpendiculares e concorrentes,

área e perímetro de triângulos e quadriláteros e relações entre medidas dos comprimentos dos

diferentes segmentos de reta figuras que constituem o Tangran.

Figura 27: Tangran construído no Geogebra.

Fonte: Arquivos do estagiário.

Depois de construído o Tangran conforme mostra a figura 27 o estagiário fez a

seguinte pergunta: Qual das figuras que compõem o Tangran é um quadrado? Logo eles

identificaram corretamente a figura quadrada.

O estagiário fez outra pergunta:

Cruvinel: Se basearam em que propriedades desta figura para afirmarem que se trata de um

quadrado?

208

Por meio desta pergunta os alunos estabeleceram o seguinte diálogo, que nesse caso,

como processo de argumentação, auxiliou na construção do saber pensar e fazer Matemática

possibilitando a aquisição da linguagem Matemática.

Aluno A: Porque todos os seus lados são iguais.

Aluna S: Mas o pentágono que desenhamos na aula passada tinha todos os lados iguais e

não era um quadrado, era um polígono regular.

Aluna G: Em geometria a gente não fala que os lados são iguais, a gente diz que os lados

são congruentes. Eu acho que quadrado é quando tem quatro lados congruentes.

Cruvinel: Então vamos construir um quadrado usando o Geogebra? Mas quero que façam

um quadrado exatamente igual a este do Tangran. Com as mesmas medidas dos lados e dos

ângulos.

Os alunos mediram os lados e ângulos do quadrado do Tangran usando as

ferramentas do Geogebra e logo em seguida começaram as suas construções.

Figura 28: Estratégias diferenciadas para a construção de um quadrado no Geogebra.

Fonte: Cruvinel e Oliveira, 2014, p. 152.

A figura 28 mostra como os alunos usaram estratégias diferentes em suas

construções. Conforme descreve o estagiário em seu relato de experiência:

Alguns se lembraram que o quadrado é um polígono regular e usou a ferramenta

polígono regular para construí-lo. Nesse caso as suas dificuldades estiveram em

fazer com que as medidas dos lados ficassem iguais as do quadrado do desenho do

Tangran. No desafio que propusemos o novo quadrado deveria ter as mesmas

medidas de ângulos e lados.

Alguns alunos conseguiram fazer a construção por tentativa e erro usando a

ferramenta polígono. Fizeram a figura, mediram os lados e ângulos e por tentativa

foram movendo os pontos de vértices da figura até que cumprissem o desafio.

Alguns alunos desenharam com o auxilio das ferramentas retas perpendiculares,

distância, comprimento, retas paralelas e a ferramenta que mede o ângulo.

(CRUVINEL E OLIVEIRA, 2014, p. 152).

Depois de construídos os quadrados, o estagiário perguntou se sabiam dizer por que

suas figuras poderiam ser chamadas de quadrados. Todos os alunos afirmaram que era porque

209

as figuras tinham quatro lados iguais. Então o estagiário pediu que criassem uma caixa de

texto no Geogebra, ao lado da figura construída e escrevessem nela a definição de quadrado.

Dois alunos afirmaram que o quadrado é um polígono regular de quatro lados. Dois

alunos afirmaram que o quadrado é uma figura geométrica que possui quatro lados iguais.

Três afirmaram que o quadrado é uma figura geométrica que possui quatro lados congruentes.

Apenas uma aluna escreveu a definição em linguagem simbólica afirmando que: o meu

polígono A, B, C, D é um quadrado porque AB = BC = CD = DA.

Analisando a formalização do conceito de quadrado que os alunos fizeram, nenhuma

delas define corretamente o quadrado. Nenhumas das formalizações fazem referência à

medida de noventa graus dos ângulos. O uso da palavra ou símbolo de igual para definir a

congruência dos lados, tanto nas formalizações textuais quanto na formalização simbólica

mostra que ainda não assimilaram o conceito de congruente.

Percebendo que os alunos ainda não conseguiram formalizar corretamente o quadrado,

o estagiário passa nova atividade para os alunos.

pedimos então para os alunos retornarem a malha quadriculada e ajustarem seu

quadrado com os pontos da malha. Anotarem as novas medidas. Depois movessem

os pontos de vértices ajustando a outros pontos da malha, com a condição de que se

mantivesse a forma da quadrada da figura. Perguntamos aos alunos: Quando se

aumenta ou diminui o tamanho da forma quadrada o que acontece com as medidas

dos ângulos? E o que se percebe em relação à medidas dos lados? (CRUVINEL E

OLIVEIRA, 2014, p. 152).

A condução didática da atividade, feita pelo estagiário, mostra que o estagiário

esteve ciente do seu papel como orientador do trabalho investigativo dos alunos. Segundo

Fonseca; Brunheiras, Ponte (1999) ao se desenvolver um trabalho investigativo o que se

deseja é que os alunos tenham atitudes investigativas. Assim, a função orientadora do

professor deve ser a de fornecer e promover reflexões, instigando a busca de resposta. A

atividade de investigação deve ser feita pelos próprios alunos a partir de suas ideias e de suas

pesquisas. A forma de conduzir as perguntas e novas informações que possam apoiar a

pesquisa deve acontecer com o intuito de estimular o pensamento, os novos questionamentos,

o levantamento de novas conjecturas e novos testes que levem a formalização esperada é

determinado pela mediação pedagógica do professor.

Com esta atividade os alunos chegaram a formalização do quadrado como sendo um

polígono que possui quatro lados congruente e quatro ângulos retos. Alguns definiram o

quadrado como um retângulo que possui quatro lados congruentes, identificando o quadrado

210

como sendo uma figura retangular. Contudo a palavra igual para expressar a congruência dos

lados ainda foi usada por alguns alunos.

A seguir os alunos fizeram a formalização das propriedades dos quadrados usando

linguagem simbólica. Parte deles apresentou dificuldade com a representação Matemática

simbólica e foram acompanhados individualmente até concluírem suas formalizações.

O estagiário percebendo que os alunos definiam o quadrado como sendo uma figura

retangular, lançou nova questão: Vocês afirmam que o quadrado é um retângulo de lados e

ângulos congruentes. Qual é então a definição do retângulo?

As respostas indicavam que identificavam o retângulo como sendo uma figura

geométrica que possui todos os ângulos retos, contudo, buscavam outras propriedades.

Aluno A: Uma figura com ângulos retos e os lados paralelos iguais.

Aluna S: Uma figura geométrica que tem os ângulos de 90º, mas não tem os lados iguais.

Aluna G: Uma figura geométrica que tem quatro ângulos de 90º, duas diagonais iguais e os

lados que são paralelos são iguais.

Como relata o estagiário Cruvinel (2014, p. 153) "todas as conjecturas afirmavam

que os ângulos do retângulo medem 90º ou são retos. A dificuldade na formalização era em

relação aos lados." A atividade proposta a seguir foi:

repetimos as experimentações anteriores analisando o retângulo até concluírem que

a formalização do retângulo enunciada somente em função da existência dos quatro

ângulos de 90º já era suficiente e que o quadrado era um retângulo especial. E que

em ambos as diagonais são congruentes e se interceptam nos pontos médios de cada

uma. (Ibid.).

Nas aulas seguintes os processos investigativos utilizados para os alunos definirem as

propriedades do losango e do triângulo equilátero foram similares aos usados para a definição

das propriedades do quadrado e do retângulo. Assim os alunos fizeram a definição das

propriedades de todas as figuras das peças do Tangran.

Para finalizar o estagiário pediu que os alunos "descrevessem as peças do Tangran

com objetivo de reconhecer as formas geométricas envolvidas por meio da redação de um

texto que usasse linguagem textual e Matemática simbólica." (CRUVINEL E OLIVEIRA,

2014, p. 154). A figura 29 mostra os alunos no momento da produção do relatório final.

Figura 29: Alunos produzindo o relatório no projeto sobre propriedades dos polígonos.

211


Pela análise dos textos finais produzidos pelos alunos identifica-se que a dificuldade

com o conceito de congruência foi superada, visto que esta palavra passou a ser usada

corretamente nas definições dos alunos. As dificuldades foram em relação a expressão

simbólica das propriedades das formas geométricas das peças do jogo de Tangran.

Para Costa (2012, p. 29) "o fator diferença para o processo educativo não são apenas

os instrumentos usados, mas fundamentalmente a ação e a postura do professor." Passadas as

primeiras aulas, a condução das atividades indica que o Geogebra foi manuseado com

facilidade pelos alunos do quinto ano e contribuiu para que caracterizar os polígonos por

permitir que os alunos pudessem mover, aumentar, diminui as figuras construídas sem que

esta perdessem suas propriedades. Contudo, a condução didática da investigação realizada

adequadamente pelo estagiário foi definitiva para que os alunos partissem de suas conjecturas

iniciais, fizessem reflexões sobre os experimentos que iam realizando no software e assim

chegassem às formalizações Matemáticas das propriedades dos polígonos estudados.


Em relação ao momento da discussão dos resultados o relato do estagiário informa

apenas que após a redação do texto fizeram "a discussão final dos resultados que foi um

momento rico de troca de informações e experiências que possibilitou o esclarecimento de

dúvidas que ainda restavam." (CRUVINEL E OLIVEIRA, 2014, p. 154). Não traz detalhes

sobre como se deu tal discussão.

Pela redação do relato de experiência identifica-se que o estagiário não atribuiu

muita importância a este momento da investigação. Apesar de afirmar que foi um momento

rico de troca de informações e de experiências e que possibilitou o esclarecimento de dúvidas,

não relata como se deu o debate, quais pontos forma destaques e quais dúvidas foram

212

esclarecidas.

Entretanto, analisando a realização da discussão dos resultados realizada na aula foi

possível identificar que no momento do debate o estagiário conduziu bem a investigação

valorizando os pontos relevantes destacados pelos alunos, permitindo que expressassem suas

ideias e comunicassem as estratégias utilizadas durante as atividades. A figura 30 mostra o

momento da discussão dos resultados.

Figura 30: A discussão dos resultados no projeto sobre propriedades dos polígonos.


As principais dúvidas que ainda restavam eram em relação à representação simbólica

das propriedades dos polígonos. E estas foram amenizadas quando o estagiário solicitou que

os alunos fosse ao quadro escreverem as suas formalizações foram fazendo coletivamente as

correções necessárias.


As dificuldades apresentadas pelo estagiário na condução didática da Investigação

Matemática dos alunos se restringiram às aulas iniciais. O estagiário destaca em sua

autoavaliação sua dificuldade dizendo que "a falta de experiência me impediu de tomar as

decisões certas e de intervir adequadamente em cada situação." (CRUVINEL, 2014). Durante

os encontros do Grupo de estudo destaca ainda as dificuldades no uso do tempo para o

cumprimento do plano de aula, afirmando que "as vezes os alunos demoravam a chegar na

formalização esperada e isto me deixava ansioso e com a sensação de que se tivesse dando

aula expositiva no quadro o conteúdo renderia muito mais." (CRUVINEL, 2014).

Lembra que na sua autoavaliação "uma dificuldade foi com a falta de material na

escola, que obrigou a adequação do planejamento." (CRUVINEL, 2014). A ideia inicial era

que os alunos explorassem jogos de Tangran prontos, no entanto como a escola não dispõe

213

destes jogos foi necessário adequar à realidade, fazendo a construção dos jogos em papel, com

os próprios alunos.

Relata que "o laboratório de informática possui poucos computadores e as vezes nem

todos funcionam, o que dificulta a realização de atividades individuais." Contudo afirma que

sua maior dificuldade foi "lidar com o fato de que parte dos alunos tinham maior facilidade e

chagavam primeiro que os outros aos resultados e formalizações e ficavam ansiosos para

mostrarem suas estratégias de resolução." (Ibid.). Nesse caso a estratégia que utilizada foi

colocar os alunos que terminavam primeiro para auxiliarem os outros colegas. Contudo

mesmo deixando claro que eles só poderiam tirar dúvidas em relação as ferramentas do

Geogebra, tinham que deixar os outros descobrirem as respostas sozinhos, em alguns casos,

ansiosos por mostrarem o que tinha descoberto, acabavam por dar a resposta pronta para os

colegas.

Entretanto, analisando a condução didática da aula, uma dificuldade que não foi

destacada pelo estagiário foi as sua própria dificuldade inicial em expressar corretamente, na

forma verbal, os conceitos geométricos. Como exemplo pode-se citar quando inicialmente

definiu o polígono regular como sendo aqueles que tiverem "todos os seus lados e ângulos

idênticos, sejam eles internos ou externos." Utilizando a palavra "idênticos" para expressar a

congruência.

Concluindo é importante destacar que apesar das dificuldades iniciais na condução

das investigações os resultados foram positivos. O bom êxito desta atividade esteve no fato de

que tanto alunos, quanto estagiário estarem conscientes de quais eram os seus papéis durante

as aulas. Os alunos colaboraram e cooperaram entre si e com o professor durante as

resoluções das tarefas. O professor, apesar de conhecer pouco a turma e da sua inexperiência

na docência e de estar trabalhando pela primeira vez em sala de aula utilizando a Investigação

Matemática com o Geogebra, a cada aula se mostrou mais preparado e seguro quanto as

decisões que precisavam serem tomadas e de como conduzir o desenvolvimento das tarefas.

6.7 A mediação pedagógica no Projeto a Investigação Matemática com o software

Geogebra no estudo da Geometria Fractal

Esta pesquisa da acadêmica Bueno teve por objetivo analisar os papeis do professor

e do aluno em uma aula de Investigação Matemática com software Geogebra para o estudo

das iterações de alguns Fractais. Analisa uso da Investigação Matemática com o software

214

Geogebra para o ensino do conteúdo de Geometria Fractal numa perspectiva de que o aluno

constrói o seu próprio conhecimento.


A pesquisa realizou-se em uma turma do 1º ano do Ensino Médio de uma escola

pública de Iporá/GO durante a regência do Estágio Supervisionado do Curso de Licenciatura

em Matemática/2014. As análises das aulas experimentais se deram a partir da observação dos

acontecimentos da sala de aula, da participação dos alunos, dos relatórios produzidos e das

produções no Geogebra.


No arranque da aula a estagiária faz a introdução do assunto Geometria Fractal e

desenvolve com os alunos a primeira investigação sobre as construções das primeiras

iterações dos Fractais. Antes e introduzir o termo Geometria Fractal, inicia a aula relembrando

alguns conceitos de Geometria Euclidiana como as definições de ângulos, seguimento de

retas, polígonos convexos, polígonos regulares e não regulares, ponto médio, mediatriz,

bissetriz, etc.

Explorou também um pouco da história da Geometria Euclidiana enfatizando que

esta é uma geometria que tem como base os postulados de Euclides de Alexandria. Contou

um pouco da história de Euclides e enfatiza que o estudo da geometria Euclidiana, como

todos os outros estudos de Matemática surgiu da necessidade de se compreender o mundo que

nos rodeia e da possibilidade de se utilizar de tais estudos em favor da resolução de problemas

do cotidiano. Destacou como a Geometria Euclidiana se ocupa em estudar as formas e as

ligações algébricas e as conexões existentes se fundamentando na ideia intuitiva de ponto que

dá origem às ideias de retos e planos, que representam conjuntos infinitos destes pontos.

Partindo da história da Geometria Euclidiana, fez-se a introdução do termo

Geometria Fractal mostrando algumas imagens de Fractais e algumas destas formas que estão

presentes na natureza. Apresentando como um ramo da Matemática os fractais, suas

propriedades e comportamentos. Destacou que por existirem muitas situações que a

Geometria Euclidiana não consegue explicar, falhando nas tentativas de se medir os tamanhos

de alguns objetos, por exemplo, foi que surgiu então a Geometria Fractal, utilizada atualmente

em várias áreas das ciências e tecnologias como a de computação por exemplo.

215

Diante da realidade de que o ensino de Matemática tem enfatizado a grande

importância dos conhecimentos matemáticos na vida das pessoas sem, contudo, explicitar

como tais conhecimentos podem contribuir para a vida cotidiana dos alunos ou prepará-los

para utilizá-los para resolver problemas do dia a dia, esta introdução histórica, feita pela

estagiária, foi importante por contribuir para que os alunos compreendessem como se deu a

história, como evoluiu e quais necessidades provocaram a necessidade de se estudar e

conhecer a Geometria. Visualizando historicamente como o estudo da formas no espaço

direcionou para a necessidade de se dominar operações mentais e de se formalizar as ideias

que deram origem ao rigor matemático para validar proposições criando a Matemática

abstrata.

A primeira atividade proposta para os alunos foi a construção de um cartão fractal

tridimensional denominado cartão fractal degraus centrais. No relato de experiência da

atividade a estagiária relata que para a construção do cartão inicialmente mostrou-se a

planificação de um cartão e a seguir entregou-se uma folha de papel colorido para que os

alunos construíssem os seus cartões

pedindo para marcarem o ponto médio da folha, ao longo de sua altura, dobrando

onde foi marcado,com a folha dobrada ao meio, fizessem dois cortes verticais

simétricos a uma distância 4

x das extremidades da folha, considerando x a largura

menor da folha de papel retangular, de altura 2

a . E sugerimos que observassem que

242

xxa

. Em seguida dobrar o retângulo formado para cima, fazendo um vinco na

dobra. Voltar o retângulo dobrado para a posição inicial e puxar o centro da figura

em relevo obtendo a primeira iteração fractal. Dobrar novamente repetindo o

processo agora sobre a primeira parte dobrada, porém em uma escala menor. Dobrar

novamente o retângulo para cima, fazendo um vinco na dobra e voltar o retângulo

dobrado para a posição inicial e puxe outra figura em relevo para que no cartão se

identifique a primeira e a segunda iteração fractal. (BUENO; OLIVEIRA E

ANDRADE, 2014, p. 561).

A figura 31 mostra o início da construção do cartão degraus centrais.

Figura 31: O início da construção do cartão degraus centrais.

Fonte: Bueno; Oliveira e Andrade (2014, p. 561).

216

A seguir os alunos repetiram este processo sobre as partes dobradas sucessivamente

em escalas menores obtendo iterações menores conforme pode ser observado na figura 32.

Figura 32: O cartão degraus centrais.

Figura 32: Arquivos da pesquisadora.

A construção do cartão degraus centrais serviu como ponte para a os

questionamentos e argumentações que levaram a questão de investigação: se o cartão for

maior e tiver mais dobras como calcular matematicamente quantos paralelepípedos novos

teria cada interação?

Determinada a questão de investigação, a estagiária apresentou a proposta de

trabalho para a turma e explicou os passos da Investigação Matemática que deveriam fazer,

esclarecendo o significado de termos como conjecturar, experimentar, formalizar, generalizar

que seriam usados durante o desenvolver das atividades seguintes. Deixou claro o que

esperava dos alunos em cada fase da investigação e quais eram as expectativas de

aprendizagens.

A fase da introdução da tarefa, conforme destaca Ponte; Brocardo e Oliveira (2013)

foi importante para que os alunos tomassem conhecimento do tema a ser estudado e

relembrassem conceitos geométricos pré-requisitos para a investigação da questão de pesquisa

proposta pela estagiária. Foi essencial para que compreendessem a atividade que estava sendo

proposta criando um ambiente de expectativa que favoreceu a continuidade do trabalho.


Para facilitar o entendimento de como se deram os momentos de experimentação foram

organizados de acordo com as novas questões que iam surgindo durante as aulas ou sendo

propostas pela estagiária, a fase das experimentações será dividida em partes:

217

1ª parte: A formalização do cálculo do número de paralelepípedos para cada iteração

do fractal cartão degraus centrais:

A primeira fase da experimentação teve como ponto de partida a busca de resposta

para a questão de investigação proposta que era descobrir como calcular o a quantidade de

paralelepípedos tem cada uma das iterações de um cartão fractal degraus centrais.

Primeiramente os alunos levantaram algumas conjecturas sem chegarem a nenhuma

conclusão. A estagiária então solicitou que anotassem suas ideias em um bloco de notas. E

que cada nova descoberta que fizessem também fossem anotadas no bloco.

Os alunos receberam também tabelas idênticas as usadas por Barbosa (2013), um

pesquisador que desenvolveu uma atividade semelhante com alunos de uma escola.

Figura 33: Estratégia utilizada pela estagiária para formalização das interações de fractais.

Fonte: Bueno; Oliveira e Andrade (2014, p. 563).

A utilidade da tabela representada na figura 33 foi facilitar a organização de dados e

organizar as ideias no decorrer da investigação. Conforme Lorenzato, (2010, p. 96), destaca

que em uma aula de Investigação Matemática os alunos em sala de aula "passam a observar,

registrar e documentar atividades discutidas, relacionadas, e ideias importantes que surgem na

investigação realizada, considerando as experiências, as conjecturas, os dados colhidos e

aspectos relacionados à experimentação".

Os alunos, pela organização das informações sobre o nível da interação, a quantidade

de paralelepípedos do mesmo nível e depois de pequena intervenção da estagiária com alguns

questionamentos identificam a potência que calcula a quantidade de paralelepípedos naquele

nível nas tabelas e formalizam a sequência 20, 2¹, 2², 2³, 24 ,.... 2n. "Durante o decorrer da aula

o professor está constantemente a fazer a gestão da situação didáctica. Essa gestão assume

uma forma mais visível em certas situações." (PONTE et al., 1998, p. 18). Nesse momento a

estagiária estimulou os alunos a refletirem e falarem sobre as relações que percebiam nos

dados organizados na tabela.

218

Esta intervenção foi positiva no sentido que levou os alunos a perceberem que

poderiam sempre ter uma potência com base 2 como fator multiplicador e tendo n como o

nível da iteração ou número de iterações. Assim depois de mais algumas discussões os alunos

formalizaram que "o processo de construção dos paralelepípedos se dá por uma lei de

potência 2𝑛, onde n = 0,1, 2,3,... é o número de iterações, e que seu fator multiplicador é 2,

pois cada paralelepípedo é cercado por dois novos paralelepípedos." (BUENO; OLIVEIRA E

ANDRADE, 2014, p. 563).

No momento da análise da formalização um dos alunos percebeu que a sequencia

encontrada era uma Progressão Geométrica, fazendo a ligação entre a formalização realizada

com outro conteúdo já estudado na disciplina de Matemática. O questionamento que fez não

estava previsto para aquela aula.

A condução da estagiária nesse momento demonstrou que tem bom conhecimento da

metodologia de Investigação Matemática e apesar de não estar preparada para a demonstração

algébrica da fórmula, recorreu à demonstração usada por Barbosa (2013) e solicitou ajuda da

professora da turma para fazer a prova Matemática da fórmula. A seguir o relato da estagiária

sobre como fez a demonstração para mostrar que realmente a fórmula encontrada trata-se de

uma PG visto que, pelos valores da tabela, a quantidade de paralelepípedos novos a cada

iteração pode ser representada por: 2𝑛−1.

Realmente trata-se de uma P. G. Na primeira iteração tem-se 21-1 = 1

paralelepípedo, na segunda iteração tem-se 22-1 = 2 paralelepípedos, na terceira

interação tem-se 23-1 = 4 paralelepípedos, na quarta iteração tem-se 24-1 = 8

paralelepípedos, na quinta iteração tem-se 54-1 = 8 paralelepípedos. E assim segue-

se para outras iterações: 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 1 + 2, 𝑎3 = 1 + 2 + 4, 𝑎4 = 1 + 2 + 4 + 8, ..., 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1. Daí percebe-se que a relação é uma PG de razão

igual q = 2. O termo geral dessa sequência é igual a soma S dos termos de uma PG

onde 𝑎1 = 1 e 𝑞 = 2. Na primeira iteração tem-se: 𝑆1 = 1.21 − 1

2 − 1, assim 𝑆1 = 2.

Na terceira iteração tem-se: 𝑆3 = 1.2³ − 1

2 − 1 , assim 𝑆3 = 7. Na quarta iteração tem-

se: 𝑆4 = 1.24 − 1

2 − 1, assim 𝑆4 = 15. Logo para n iterações: 𝑆𝑛 = 2n-1. (BUENO;

OLIVEIRA E ANDRADE, 2014, p. 564).

Esta situação confirma o que diz Ponte et al. (1998, p. 17) "durante a realização da

actividade surgem, além disso, ocasiões para estabelecer conexões com outros conceitos

matemáticos ou extra-matemáticos. Muitas vezes, será oportuno estabelecer essas conexões

ou levar os alunos a reflectir sobre elas."

Lembrando que situações assim exigem do professor bom conhecimento matemático,

capacidade de decisão e atenção para agir fazendo interferências nos momentos adequados.

219

Nesse momento a dificuldade da estagiária não foi quando a como lidar com a pergunta dos

alunos ou a como deveria agir na condução da aula.

Suas dificuldades foram em relação ao conteúdo de Matemática. Esteve insegura e

demonstrou nervosismos, teve que recorrer rapidamente à internet para encontrar a prova da

fórmula e necessitou contar com ajuda da professora regente, o que não seria possível se

estivesse sozinha em sala de aula com a turma.

Outro ponto que vale ser destacado foi que a estagiária preocupada em cumprir o

plano previsto para aquela aula, não esperou que os alunos tirassem suas próprias conclusões

em relação ao questionamento sobre a fórmula 2n ser ou não uma PG e também não deu o

tempo necessário para que fizessem suas análises em relação a questão. A estagiária logo

concordou afirmando que se tratava de uma PG e fez ela mesma a prova Matemática, ficando

os alunos nesse momento apenas como observadores.

Outra consequência do questionamento imprevisto foi o fato de que o tempo previsto

para a discussão dos resultados, foi ocupado pela demonstração da fórmula, fazendo com que

a discussão final fosse breve e pouco proveitosa. E também por ter um tempo determinado

previsto para o cumprimento de todo plano a discussão não foi retomada na aula seguinte.

2ª parte: a Investigação Matemática com o Geogebra

A segunda parte da atividade realizou-se no laboratório de informática da escola. O

laboratório desta unidade escolar possui 35 computadores, destes, 27 em bom funcionamento.

Vale ressaltar esta não é a realidade da maioria das escolas de Iporá, visto que os laboratórios,

na maioria delas se encontram em situações precárias, com poucas máquinas em condições de

uso, conforme verificamos nas visitas realizadas pelos estagiários no período de estágio.

Contudo como não há uma pessoa responsável pelo laboratório porque este cargo foi

extinto pelo último secretário de educação estadual. Assim, o professor que vai usá-lo como

alunos, assume para si a responsabilidade por ligar e desligar máquinas, coordenar turmas

grandes, com mais de trinta alunos como é o caso desta, dentre outras responsabilidades. Isto

tem provocado o uso precário e apenas esporádico do laboratório por parte dos professores da

escola.

Assim como nas atividades diárias dos professores da escola, na realização das aulas

de estágio, todas estas responsabilidades recaíram sobre o estagiário e sobre o orientador de

estágio. Inclusive a responsabilidade de instalação do software que pretende usar. Entretanto,

alguns pontos de dificuldades da escola acabaram favorecendo o desenvolvimento da

220

atividade pela estagiária, como por exemplo, não se não há uso do espaço por parte dos

professores da escola, logo, não houve dificuldade de agendamento de horários, o que

propiciou que todas as aulas pudessem acontecer consecutivamente facilitando a sequência

das atividades de investigação dos alunos.

Figura 34: Alunos em atividades no laboratório de informática.


Na primeira aula no laboratório de informática a estagiária tomou o cuidado de

dividir com os alunos algumas responsabilidades como, por exemplo, cada um desligar a

máquina que estivesse usando ao final da aula e recolocar as cadeiras no lugar. E a estagiária

contou também com o auxílio da professora regente da turma que acompanhou todas as aulas.

Em relação ao conteúdo a primeira atividade desta etapa teve como objetivo explorar

os recursos e ferramentas do Geogebra, visto que os alunos não conheciam o software e não

estavam habituados a usarem o computador nas aulas de Matemática. A estagiária mostrou a

interface do software e apenas os recursos da área de Geometria Euclidiana que seriam

necessários para o estudo da Geometria Fractal.

Depois de conhecidas as ferramentas e os principais recursos do ambiente dinâmico

do software a estagiária solicitou que os alunos utilizassem as ferramentas do software e

construíssem um fractal aplicado ao quadrado.

Figura 35: O fractal aplicado ao quadrado - construções de alunos.

221


Depois de construídos os fractais aplicados ao quadrado, fazendo-se as ligações entre

dos pontos médios dos lados do quadrado e repetindo isso para os quadrados menores que vão

surgindo enquanto for possível encontrar os pontos médios dos lados conforme figura 35, a

estagiária solicita que os alunos calculem as áreas dos quadrados formados em cada iteração.

Enquanto os alunos calculavam as áreas dos quadrados das iterações foi lançada a questão de

investigação: é possível identificar a qual iteração pertence um quadrado conhecendo apenas a

área que ele ocupa na interação a que pertence?

A estagiária em seu relato de experiência descreve como conduziu a investigação

desta pergunta:

pedimos então para os alunos observarem a cada repetição, ou seja, a cada novo

quadrado construído o que vai acontecendo com a área. Os alunos anotaram e

observaram que a cada repetição o novo quadrado é a metade do anterior e

escreveram em forma de fração a relação de cada quadrado construído com o

primeiro quadrado. Identificaram que 𝐴2 (área do segundo quadrado) é metade da

área 𝐴1 (área do primeiro quadrado), 𝐴3 (área do terceiro quadrado) é um quarto da

área de A1, A4 é um oitavo da área A1 e A5 é um dezesseis avos de A1. A sequência

das áreas anotadas ficou assim: A 1

2, A

1

4, A

1

8, A

1

16,...

Sugerimos que os alunos transformassem os denominadores em potências: A 1

2¹ , A

1

2²

, A 1

2³ , A

1

24 ..., A

1

2𝑛. Assim formalizaram que: conhecendo a área do quadrado de

uma das iterações, bastará substituir o valor de A na fórmula A 1

2𝑛 em função de n.

Ao desenvolver o cálculo o valor encontrado para n será a iteração em que se

encontra o quadrado da área conhecida. (grifo da autora) (BUENO; OLIVEIRA E

ANDRADE, 2014, p. 565).

Os alunos usaram uma tabela do próprio Geogebra para organizarem os dados que

iam coletando durante os testes que iam fazendo no software. Estiveram interessados e

participaram ativamente da aula. Um ponto que vale destacar foi que a estagiária nesse

momento não esteve tão preocupada como o tempo como aconteceu em outras aulas

anteriores.

Esteve mais tranquila e segura e deixou os alunos fazerem suas tentativas, testes e

experimentações livremente, criando uma tabela de dados organizados dos modos que

considerassem mais adequados para suas próprias análises. Deu-se liberdade também para

consultarem os colegas, analisarem outros fractais construídos e tirarem suas conclusões.

Como a turma era grande, este foi um momento da aula que necessitou a intervenção

e auxilio da professora regente que acompanhava a aula e até mesmo da orientadora de

estágio.

Como ressalta a estagiária, o Geogebra foi um bom recurso para a realização das

investigações dos alunos.

222

identificamos no decorrer da pesquisa que o Geogebra contribui na aprendizagem

dos alunos porque os possibilitou visualizar as figuras, fazer comparações, aprender

com seus erros e assimilar de forma dinâmica os conceitos geométricos. Os alunos,

envolveram-se nas atividades, fizeram questionamentos e tiraram suas próprias

conclusões. Assim a Investigação Matemática como Geogebra foi importante no

processo de ensino e aprendizagem do conteúdo por permitir que os alunos

aprendessem por meio na interação com o software por meio das suas próprias

construções de forma dinâmica enquanto o professor mediador orienta os alunos no

trabalho investigativo. (BUENO; OLIVEIRA E ANDRADE, 2014, p. 566).

A aula transcorreu conforme sugere Fonseca; Brunheiras e Ponte (2004, p. 03) "na

fase de desenvolvimento do trabalho pretende-se que os alunos adquiram uma atitude

investigativa, devendo por isso haver a preocupação em centrar a aula na actividade dos

alunos, nas suas ideias e na sua pesquisa." A estagiária atuou como orientadora da atividade

fornecendo as informações necessárias para o prosseguimento das investigações, entretanto,

optou em responder sempre a uma pergunta com outra pergunta, sem dar respostas prontas

que pudessem fazer com que os alunos identificassem as respostas antes de refletirem sobre as

descobertas que iam fazendo.


A fase de discussão dos resultados, de acordo com Fonseca; Brunheiras e Ponte

(2004, p. 05), "o professor, na sua função de moderador e orientador, cabe-lhe estimular a

comunicação entre os alunos." E lembram ainda que este é o momento adequado para que

sejam tiradas as dúvidas, realizar a sistematização das conclusões e fazer a validação dos

resultados.

Em relação à fase da discussão dos resultados a estagiária relata apenas que "alguns

só compreenderam todo o processo no final, no momento da discussão dos resultados que foi

um momento importante para a troca de informações e ideias." Não traz explicações sobre

como este momento aconteceu. Contudo quem presenciou a aula percebeu que este momento

foi pouco explorado se realizando mais como um momento de revisão da aula feito pela

estagiária com pouquíssimas participações dos alunos, apesar desta contar ainda com tempo

suficiente para a realização de um debate participativo.

Nesta fase os alunos não foram, conforme sugere Fonseca; Brunheiras e Ponte (2004,

p. 05) "confrontados com hipóteses, estratégias e justificações diferentes das que tinham

pensado" não foram, "estimulados a explicitar as suas ideias, a argumentar em defesa das suas

afirmações e a questionar os colegas." Entretanto, ainda assim foi um momento importante

visto que propiciou que algumas dúvidas fossem sanadas e alguns pontos fossem mais bem

223

compreendidos por alguns alunos que tiveram mais dificuldade principalmente na

representação simbólica das formalizações.

6. 7. 2 Reflexões sobre a mediação pedagógica

A estagiária Bueno, no seu trabalho final, destaca que como professora o seu papel foi

"desempenhar um conjunto de papéis bastante diversificados desafiando os alunos, avaliando

o seu progresso, raciocinando matematicamente e apoiando o trabalho deles que atuam

ativamente levantando hipótese, conjecturando, experimentando, testando e formalizando

matematicamente os conteúdos. (BUENO; OLIVEIRA E ANDRADE, 2014, p. 567). Papel

que ela desempenhou a contento visto que, apesar das dificuldades vivenciadas.

Destaca ainda que:

os resultados mostraram por meio das Investigações como Geogebra os alunos

puderam vivenciar o processo, pensando sobre o que iam investigar e se

comportaram como pesquisadores, colocando como descobridores. Buscaram

conhecer, investigar, questionar e procuraram responder as situações que foram

apresentadas, através da exploração de possibilidades, levantando conjecturas,

experimentando e formalizando suas descobertas. (BUENO; OLIVEIRA E

ANDRADE, 2014, p. 567).

Os resultados positivos acima, além de serem apontados pela estagiária, puderam ser

também identificados nas atividades desenvolvidas pelos alunos já analisadas acima, nas nos

seus relatórios e nos resultados da avaliação escrita da professora regente titular da turma

conforme relata durante a avaliação da mediação pedagógica da estagiária enfatizando que

a metodologia de Investigação Matemática, a utilização do Geogebra e a forma

contextualizada como trabalhou o conteúdo produziram resultados muito positivos. “[...] os

relatórios dos alunos, apesar de pouco elaborados e de não mostrarem os detalhes das suas

investigações, deixa claro que compreenderam o objetivo da acadêmica. Fizeram

formalizações Matemáticas e foram capazes de interligar os conceitos de geometria

aprendidos em sala de aula com situações fora escola." (PROFESSORA TITULAR,

COMENTÁRIO ORAL, 2014).

Destaca ainda que "a estagiária explorou especialmente conceitos geométricos e

introduziu a Geometria Fractal, um tema que para os alunos foi novidade, especialmente

quando ela abordou a presença da Geometria Fractal na natureza." (Ibid.). Lembrando que "as

notas dos alunos na avaliação escrita foram condizentes com as suas anotações e

formalizações registradas nos relatórios". (Ibid.).

224

Na realização desta atividade, algumas dificuldades acabaram por interferir no

desenvolvimento das investigações dos alunos e no resultado final. Dentre elas podemos citar

o fato de estagiária não possuir experiências anteriores em sala de aula e teve dificuldade de

administrar o tempo das aulas visto que o número de aulas semanais disponíveis para o

projeto era de apenas duas aulas. Como destaca a professora titular da turma "um fator

externo negativo foi o pequeno número de aulas da disciplina disponíveis para o projeto;

assim a cada semana a retomada necessitava mais delongas principalmente quando não os

alunos não relembravam o feito nas aulas anteriores." (PROFESSORA TITULAR,

COMENTÁRIO ORAL).

Também apresentou dificuldades para formalizar certos conceitos matemáticos tanto

na linguagem Matemática textual como também na linguagem simbólica. Em relação a isto a

professora titular da turma destaca que "embora tenha tido sucesso em suas intenções, a

acadêmica apresentou dificuldades na lida com a linguagem Matemática ao descrever

elementos geométricos na construção do objeto educacional que propôs." (Ibid.).

Algumas dificuldades foram detectadas por ela própria conforme destaca em seu

relato de experiência "a pouca experiência docente que tenho também dificultou o andamento

de algumas aulas o que fez com que a investigação demorasse mais do que o esperado."

(BUENO; OLIVEIRA E ANDRADE, 2014, p. 566). Outro desafio foi a disponibilidade de

um tempo pré-determinado para a execução do planejamento também foi uma dificuldade

devido às questões imprevistas que surgiram e a quantidade muito grande de alunos na turma

que conforme relata a estagiária "por ser uma turma grande e não estarem habituados a este

tipo de investigação tivemos alguma dificuldade até que percebessem o que se esperava

deles." (BUENO; OLIVEIRA E ANDRADE, 2014, p. 566).

O grande número de alunos também dificultou o atendimento individual e a

avaliação contínua e administração do tempo da aula e a dosagem de informações que

pudessem atender as necessidades dos que sabiam menos e dos que sabiam mais. Segundo a

professora titular "a estagiária, talvez pela falta de experiência, teve dificuldade ouvir e

valorizar as participações de todos os alunos e também deixou que alguns dos alunos ficassem

à parte nas discussões." (PROFESSORA TITULAR, COMENTÁRIO ORAL).

Outra dificuldade foi manter todos os alunos ocupados, trabalhando e produzindo

visto que, alguns alunos terminavam rapidamente a atividade proposta e ficando ociosos

começavam a conversar entre si, ou mesmo, dar as respostas para os que ainda estavam

fazendo suas experimentações.

225

A solução encontrada neste caso foi fazer um contrato com os alunos em que, quem

terminasse primeiro passaria a ser monitor na aula, auxiliando os colegas nas suas

investigações, mas com o compromisso não dar respostas prontas. Isto facilitou muito o

atendimento individualizado, contudo avaliar o rendimento de cada um para ver se avançava

ou não em termos de capacidade de buscar suas respostas por meio da manipulação das

ferramentas do Geogebra se tornou um desafio. No entanto a avaliação final da estagiária foi

que "todos os problemas que tivemos foram situações possíveis de serem contornadas com o

auxilio da professora regente e da orientadora de estágio que acompanharam a aula e não

chegaram a comprometer os resultados da pesquisa." (BUENO; OLIVEIRA E ANDRADE,

2014, p. 567).

Um fato que vale ser destacado foi a participação da professora titular da sala que foi

parceira do projeto que participou desde a escolha do tema, auxiliou na elaboração da

sequência de atividades didáticas, acompanhou todas as aulas e participou da avaliação final

tanto dos alunos aplicando a avaliação escrita e auxiliando na construção dos relatórios nos

finais das aulas, quando o tempo era insuficiente para ser concluído pelos alunos ainda em

sala. Participou também das análises das atividades produzidas pelos alunos e da análise da

mediação pedagógica da estagiária.

As dificuldades apresentadas pela estagiária podem ser atribuídas a pouca

experiência tanto em relação à docência em si quanto em relação ao uso da metodologia de

Investigação Matemática. Durante o planejamento das atividades e preparação paras as aulas

algumas vezes a estagiária fez comentários como por exemplo "estou ansiosa!", "não sei se

vou conseguir...", "dar aulas só no quadro seria mais fácil!", "será que os alunos vão conseguir

fazer as tarefas que eu passar?". (BUENO, COMENTÁRIO G. E., 2014).

Estes comentários mostram o nível de ansiedade em se encontrava antes da

realização das aulas e dá indicativo também de que só estaria realizando uma aula com

Investigação Matemática porque a condição de participante no grupo de estudo como

estagiária lhe incumbia esta obrigação. Quando afirma que dar aulas expositivas seria mais

fácil passa a ideia de que se sentiria mais segura ministrando uma aula nos moldes

tradicionais.

Outras afirmações remetem a este desejo de se sentir segura reproduzindo o modelo

de aulas que fez parte da maioria do tempo de sua experiência escolar como aluna. Ao dizer

"esta é uma metodologia muito diferente daquelas do tempo em que fiz o colegial... no meu

tempo não tinha esse tipo de aula não, nós tínhamos era que resolver exercícios e fazer

226

provas...", dá indicativos de que não se sentia segura para a realização da Investigação

Matemática em sala de aula.

Ao afirmar "eu tenho consciência de que os alunos participam e se interessam muito

mais quando os professores fazem aulas com metodologias diferentes... presenciei isto

durante o período de observação e semiregência do estágio... e também já li muito sobre isto!

(BUENO, COMENTÁRIO G. E., 2014). Apesar de achar que os alunos participam mais das

aulas com uso de metodologias inovadoras, de ter conhecimentos teóricos sobre estas

metodologias, dá a ideia de que se pudesse escolher, escolheria o modelo tradicional para dar

as suas aulas. Isto indica o quanto o modelo tradicional tem se perpetuado no ensino de

Matemática.

Durante as aulas, por vezes a estagiária, ao ser questionada pelos alunos sobre algum

conceito, ao contrário de dosar as informações, esperar que o aluno refletisse e descobrisse

por si só a resposta para o seu questionamento, ela foi ao quadro de deu uma brilhante

explicação expositiva respondendo a pergunta feita. Como por exemplo, quando o aluno A

durante as explorações das ferramentas do Geogebra questionou "aqui tem uma ferramenta

para construir retas perpendiculares. O que são retas perpendiculares?" (A). Ao contrário de

solicitar que o aluno construísse várias retas perpendiculares, analisasse as propriedades

comuns nas suas construções e chegasse por si mesmo a conclusão de que as retas

perpendiculares são retas concorrentes que formam ângulos retos na intersecção entre elas, a

estagiária deu a resposta para a pergunta do aluno em uma explicação expositiva detalhada.

Outras dificuldades foram àquelas comuns já destacadas por Ponte; Brocardo e

Oliveira (2012) e por Ponte; Oliveira e Brunheiras (1999) como sendo dos professores que

realizam Investigação Matemática em sala de aula pela primeira vez. Dificuldade em

administrar o tempo da aula para cumprir o planejamento. No caso a estagiária tinha duas

aulas por semana, não consecutivas, para o desenvolvimento do projeto. Assim, como tinha

que desenvolver a introdução, o desenvolvimento e o fechamento da aula em um tempo de

cinquenta minutos, em algumas das aulas não foi possível a produção adequada das anotações

dos alunos e nem a discussão dos resultados.

Na semana seguinte, depois de dias de distância da aula anterior, os alunos já haviam

esquecido conceitos e detalhes das atividades o que demandava mais tempo na introdução das

aulas. Esta dificuldade com o tempo se refletiu não só no andamento das aulas como também

nos relatos escritos dos alunos. Como estes foram feitos na sua maioria, às pressas, no final da

aula, em alguns dos relatórios as suas anotações das descobertas e procedimentos realizados

227

no desenvolvimento das tarefas eram pouco detalhados, como frases incompletas e afirmações

superficiais.

Entretanto, esta inconsistência de conceitos matemáticos nas produções dos alunos

pode ser atribuída em parte à inexperiência da estagiária na condução da metodologia de

ensino. Poderia ter estimulado mais a escrita durante as aulas, enfatizado a importância de

anotarem os conceitos matemáticos, usarem a linguagem simbólica, evitando que no final da

aula as anotações fossem incompletas ou inconsistentes.

Estas dificuldades e outras como aquelas relacionadas à linguagem Matemática,

intervenções nos momentos adequados, gestão do diálogo, interferiram no andamento e

realização das aulas investigativa, contudo, ainda assim, os resultados finais no que se refere a

participação ativa, interesse e aprendizagem foram positivos. Os alunos desenvolveram todas

as atividades propostas, se mostraram interessados e participativos durante a maioria do

tempo e tanto na discussão final dos resultados quanto na avaliação escrita demonstraram boa

aprendizagem dos conteúdos.

Na avaliação final das aulas, a estagiária, com segurança afirmou

No início estava tensa e ansiosa, mas como as aulas aconteciam com certa distância

umas das outras, isto me dava tempo para "digerir" e refletir. Todo o processo me

fez amadurecer como professora... e descobrir que quando se tem conhecimento

teórico da metodologia e do conteúdo, as atividades vão se desenvolvendo com

naturalidade... e na por meio da reflexão da prática a gente amadurece como

profissional... ufa, foi melhor do que eu esperava. (BUENO, COMENTÁRIO G. E.,

2014).

Este último comentário indica que a estagiária conclui o projeto consciente de que os

conhecimentos teóricos e a prática estão inter-relacionados e que tanto a boa prática depende

de saberes pedagógicos que podem ser construídos e aperfeiçoados na própria prática.

229

7 CAPÍTULO VII – PERCEPÇÕES DOS ESTAGIÁRIOS SOBRE A

INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA COM O GEOGEBRA, SOBRE A

PROFISSÃO E SOBRE O ESTÁGIO SUPERVISIONADO

Neste capítulo o objetivo é analisar algumas afirmações dos alunos feitas




Matemática, sobre o software Geogebra, sobre a profissão docente e sobre o Estágio

Supervisionado. As principais fontes de informações foram as autoavaliações dos estagiários,

as anotações do diário de campo da pesquisadora e os trabalhos finais de Estágio

Supervisionado dos licenciandos.

7.1 Percepções sobre a mediação pedagógica na Investigação Matemática

Dentre os pontos analisados sobre a metodologia de Investigação Matemática estão

as fases da aprendizagem na Investigação Matemática, a formação do professor e

planejamento de uma aula de Investigação Matemática, o ambiente de aprendizagem e a

mediação do professor, a questão do tempo e as dificuldades e desafios decorridos da falta de

experiência dos estagiários no que se refere à docência.

7.1.1 As fases da aprendizagem na Investigação Matemática

Conforme já descrito no capítulo III, uma aula de Investigação Matemática, de

acordo com Ponte, Brocardo, Oliveira (2013), Vaz (2012), Fonseca, Brunheiras e Ponte

(1999) em geral, se dá em três etapas que podem acontecer de forma distinta e em sequência

ou podem acontecer, em alguns casos, simultaneamente. Habitualmente o desenvolvimento da

atividade investigativa se inicia com o arranque da aula ou introdução do assunto, que é o

momento em que o professor apresenta ou fornece algumas informações essenciais sobre o

tema e faz-se a determinação do problema que será investigado. A questão problema pode ser

elaborada conjuntamente por professor e os alunos, pode ser proposta pelo professor ou pode

surgir do questionamento dos próprios alunos.

Nos debates realizados no Grupo de Estudo do projeto, durante as avaliações das

suas aulas os estagiário expuseram as suas ideias que foram registradas na íntegra no

momento da fala ou foi registrada posteriormente, nos casos em que se fez filmagem da

230

reunião. Em relação às fases da aprendizagem na Investigação Matemática, dentre as falas dos

licenciandos destaca-se que os estagiários que identificam a formulação do problema como

sendo uma fase como peculiar às atividades de Investigação Matemática destacando que "um

trabalho investigativo começa com a formulação e uma questão e descobri que formular

questões desafiantes para um grupo de alunos não é tão simples como parece." (CASTRO,

COMENTÁRIO G. E., 2014). Enfatizando "no meu caso, fui eu quem apresentou a questão

que deveria ser investigada pelos alunos." (Ibid.). Outra estagiária afirma "procurei, desde a

primeira aula, estimular que os alunos fizessem perguntas que contribuíssem para a

elaboração da questão problema." (SANTOS, COMENTÁRIO G. E., 2014). Uma terceira

acadêmica salienta "minha maior dificuldade foi formular as questões para investigação".

(BUENO, COMENTÁRIO G. E.). Uma quarta estagiária destaca [...] iniciamos a primeira

aula fazendo a apresentação do assunto para os alunos [...] na primeira aula fizemos a

apresentação das ferramentas dos recursos do software [...] e partir das indagações foi

determinada a primeira questão a ser investigada." (SILVA, COMENTÁRIO G. E., 2014).

Nestas afirmações dos estagiários é possível identificar que a elaboração da questão a

que seria investigada, em cada caso, o problema surgiu de uma forma diferente. Em alguns

casos, foi definida antecipadamente pelo próprio estagiário, em outros foi elaborada pelo

estagiário e alunos durante a aula e houve situações ainda em que a primeira questão de

investigação surgiu de forma imprevista necessitando o replanejamento da sequência

pedagógica, conforme destaca a estagiária Oliveira, "o grande desafio foi saber como

conduzir a investigação da questão que surgiu de repente, sem que esta condução estivesse

prevista ou planejada." (SILVA, COMENTÁRIO G. E., 2014).

No caso da estagiária Oliveira o questionamento e as conjecturas dos alunos deram

origem ao problema. O estagiário Castro apresentou a questão problema já elaborada e esta

deu origem às conjecturas dos alunos quando formularam ideias com base em suposições sem

uma fundamentação verificada. Outros estagiários fizeram a elaboração do problema

investigativo juntamente com os alunos. Todos os licenciandos, nas primeiras aulas,

apresentaram para os alunos a definição de Investigação Matemática e fizeram

esclarecimentos sobre os termos e palavras relacionados às fases do ciclo investigativo. Isto

pode ser identificado nos seus trabalhos finais.

Como exemplos de relatos semelhantes aos dos encontrados em outros trabalhos da

turma temos a seguinte afirmação: "primeiramente apresentamos a metodologia de

Investigação Matemática [...] apresentamos os significados dos termos que seriam usados com

frequência como “fazer conjecturas”, “levantar hipóteses”, “experimentação”, “formalização”

231

e “generalização”, dentre outros. (OLIVEIRA; OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 05). A estagiária

Santos que enfatiza que logo no início das aulas procurou:

[...] deixar claro o que seria esperado deles em cada fase, desde a formulação da

questão a ser investigada, passando pela experimentação, levantamento de hipóteses

ou conjecturas, novas experimentações, reformulação ou justificação das conjecturas

iniciais tendo como resultado a formalização e generalização dos resultados.

SANTOS; OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 164-165).

A mesma acadêmica salienta ainda que para agir como investigadores "era

necessário, nesse momento, que os alunos compreendessem o que é e como iriam investigar,

porque iriam investigar e o que se esperava deles como resultado da investigação. (Ibid.).

Outra estagiária que afirma "iniciamos a aula explicando como ocorreria a investigação, como

os alunos atuariam como investigadores e quais são as fases e os objetivos da investigação."

(SILVA E OLIVEIRA, 2014, p. 243).

As ações e afirmações dos estagiários indicam que estiveram seguindo as orientações

de Ponte; Brocardo e Oliveira (2013) que consideram que a ação didática do professor fica

mais fácil quando os alunos compreendem o que se espera deles em cada fase, desde a

formulação do problema, levantamento de conjecturas, passando pela experimentação que

tem como resultado a formalização e generalização dos resultados que deve ser discutido

coletivamente ao final do trabalho. A etapa seguinte, após a formulação da questão problema

e explicitação dos papéis dos alunos e do professor no processo investigativo é quando

acontece a investigação propriamente dita. É a fase em que o aluno por meio de

experimentações e teste variados, faz a justificação ou o refinamento das conjecturas e têm

como resultados a formalização e generalização dos conceitos.

Esta fase, a das experimentações, foi desafiadora para os estagiários que estavam

realizando suas primeiras atividades na docência. Dentre os desafios a estagiária Bueno, sua

autoavaliação destaca a sua "dificuldade em dosar as informações para os alunos que faziam a

investigação." (BUENO, 2014). Para Batista "foi difícil lidar com o nível de aprendizagem

diferentes dos alunos." (AUTOAVALIAÇÃO, 2014). Destaca que enquanto alguns

precisavam mais informações para seguir com suas investigações, outros já haviam

formalizados suas respostas e ficavam ansiosos por ter que esperar o tempo dos colegas.

Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2013) e para Fonseca; Brunheiras e Ponte (1999),

estas são dificuldade peculiares até mesmo aos professores mais experientes. Para Ponte et al.

(1999) quando os alunos apresentarem dificuldades no prosseguimento da investigação o

professor deverá apoiá-los, dando o tempo necessário, fornecendo informações na quantidade

certa, incentivando a curiosidade, a autoconfiança e a reflexão por meio da criação de um

232

ambiente dinâmico e propício, que colabore com as suas descobertas. Contudo para dosar a

quantidade de informação de forma a responder às necessidades dos alunos, sem correr o risco

de responder a questão investigada por antecipação o professor precisar ser cuidadoso e

criterioso.

Sobre as habilidades que podem ser desenvolvidas nos alunos por meio da

Investigação Matemática a estagiária Oliveira na sua autoavaliação destaca que "a

Investigação Matemática instiga os alunos a pensarem, duvidarem, discutirem,

experimentarem, desenvolverem o raciocínio lógico, características fundamentais de se

aprender matemática. (OLIVEIRA, 2014). Segundo Skovsmose (2001) e Lorenzato (2010)

mediante o questionamento sistemático é que acontece a construção individual e coletiva do

conhecimento. E que ao questionar, problematizar, conscientemente leva o aluno a novos

questionamentos, a reflexão e a construção de novas aprendizagens que se refletirão em outras

situações da vida, dentro e fora da escola.

Em relação ao ensino utilizando a problematização, uma estagiária na sua

autoavaliação destaca ter identificado no decorrer das suas aulas que quando se dá aos alunos

oportunidade para investigar, descobrir por si mesmos as respostas e soluções para os

problemas "ele aprendem a planejar, elaborar estratégias, organizar dados e informações que

vão colhendo, argumentar e formalizar respostas." (SANTOS, 2014). Enquanto que outro

estagiário destaca que a resolução de problemas por meio da Investigação Matemática

"favoreceu a construção do conhecimento, proporcionando atividades que permitiram aos

alunos o desenvolvimento de capacidades de interpretar situações problemas, levantar

conjecturas, fazer experimentações e chegarem à formalização algébrica Matemática da

situação em estudo." (CRUVINEL E OLIVEIRA, 2014, p. 155). Para o estagiário Castro no

decorrer das aulas "o alunos tornam aos poucos mais questionadores, aprendem a duvidar e a

argumentar." (CASTRO, AUTOAVALIAÇÃO, 2014).

Estas percepções dos estagiários demonstram ciência de que ao se ensinar

Matemática é preciso, além de ensinar os conteúdos, desenvolver nos alunos posturas críticas

e questionadoras sobre os próprios conceitos, conteúdos e resultados matemáticos

historicamente construídos de forma que por meio das suas aprendizagens consigam perceber

as inter-relações entre os conteúdos aprendidos e o mundo a sua volta. Nesta visão é

necessário que se incentive a curiosidade e o pensamento questionador. (ALRO E

SKOVSMOSE, 2006).

Durante o desenvolvimento das etapas de introdução do assunto,

investigações/experimentações e discussão dos resultados que são etapas organizadoras da

233

ação didática do professor, os alunos vivenciam o ciclo investigativo passando pelas fases do

levantamento de conjecturas, experimentações, refinamento e justificação das conjecturas,

formalização dos conceitos matemáticos. A etapa final é a discussão dos resultados e

socialização das estratégias e descobertas, contudo, como destaca Ponte, Brocardo e Oliveira

(2013) a discussão final dos resultados pode não significar a conclusão de uma investigação,

mas tão somente o reinício de um novo ciclo investigativo pelo surgimento de novos

problemas e novas conjecturas. Lembrando ainda que na fase das experimentações é possível

surgir questões problemas secundárias que necessitem investigações preliminares para

respondê-las antes de se dar prosseguimento na busca da resposta do problema inicial. Os

seus resultados também devem ser discutidos e formalizados.

Todos os estagiários afirmam que de forma mais ou menos eficiente realizou nas

suas aulas esta fase peculiar das Investigações Matemática. Apesar de nos seus trabalhos

finais não constarem muitas informações sobre o desenvolver desta etapa, todos afirmam que

este foi um momento para a conclusão do ciclo investigativo dos alunos. O estagiário Batista

relata que concluiu a atividade investigativa "fazendo a discussão de todo o processo até o

encontro da resolução do problema inicial. Debatemos sobre cada atividade desenvolvida,

cada passo da investigação até que fosse encontrado o resultado final. (BATISTA E

OLIVEIRA, 2014, p. 193). Para Bueno "a discussão dos resultados que foi um momento

importante para a troca de informações e ideias. (BUENO; OLIVEIRA E ANDRADE, 2014,

p. 566). E Oliveira destaca que a fase de discussão dos resultados foi importante para a

finalização da investigação, pois é o momento de comparar os resultados obtidos entre os

alunos, discutir e organizar as ideias, para que os alunos entendam o significado da

investigação, e também formalizem e generalizem os conceitos matemáticos. (OLIVEIRA C.

K. M.; E OLIVEIRA C. M. S. E VAZ, 2014, p.12).

Em outras afirmações identifica-se superficialmente como se deu a discussão dos

resultados. De acordo com Cruvinel ao final da atividade fizeram a discussão final dos

resultados "que foi um momento rico de troca de informações e experiências que possibilitou

o esclarecimento de dúvidas que ainda restavam. (CRUVINEL E OLIVEIRA, 2014, p. 154).

A estagiária Silva diz que concluiu a atividade "aula pedindo que os alunos fizessem o

relatório das suas aprendizagens e fizemos a discussão final dos resultados. (SILVA E

OLIVEIRA, 2014, p. 250). O estagiário Castro destaca que concluíram a atividade fazendo à

discussão dos resultados, destacando que discutiram as descobertas dos alunos dando

oportunidade para que pudessem compartilhar o que aprenderam com os demais colegas da

sala. Destaca ainda que "foi um momento significativo em que puderam ajudar uns aos outros

234

a compreenderem algumas coisas que ainda não estavam claras para todos e tirarem as

dúvidas que ainda restavam." (CASTRO, OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 140).

Com mais detalhes a estagiária Santos descreve que ao final da atividade

investigativa a discussão dos resultados foi um momento significativo da aula "em que

socializando suas descobertas, confrontando os resultados, sistematizando as ideias, os alunos

puderam chegar à formalização e à generalização dos conceitos matemáticos e à reflexão dos

resultados da investigação." (SANTOS, OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 11).

Conforme se verifica nos trabalhos finais dos estagiários, estes não trazem detalhes e

informações mais precisas sobre como se deu a discussão dos resultados em suas aulas.

Contudo, pelas análises das suas ações didáticas observadas durante as aulas e das anotações

registradas no diário de campo e pelas afirmações feitas durante as reuniões do grupo de

estudo e registradas também nas anotações da pesquisa, pode se identificar que esta fase se

realizou de forma ainda que de forma superficial, ao final das Investigações Matemáticas nos

projetos de todos os estagiários. Contudo, pelas análises da gestão deste momento peculiar e

importante no desenvolvimento de atividades de Investigação Matemática, percebe-se que em

sua maioria não se realizaram propriamente como uma discussão ou debate. O que aconteceu

em quase totalidade dos casos foi uma revisão dos processos investigativos que foi

apresentado pelo professor, havendo pouca participação efetiva dos alunos.

A dificuldade dos estagiários na gestão deste momento foi variada. Nas turmas com

maior número de alunos a dificuldade foi administrar o tempo, organizar o diálogo de forma

que todos pudessem participar e identificar o nível de conhecimento adquirido pelos alunos

sobre o conteúdo. Nas turmas com menor número de alunos, administrar o tempo e identificar

as falas e participações de todos os alunos não foi um problema. Nesses casos foi mais fácil

identificar as aprendizagens e dificuldades. As dificuldades estiveram na organização do

diálogo e no aproveitamento da fala participativa dos alunos.

7.1.2 A formação docente e planejamento da Investigação Matemática

A Investigação Matemática trata-se de uma proposta metodológica que exige do

professor disponibilidade para adequar as suas aulas. De acordo com Ponte; Brocardo e

Oliveira (2013), para usar esta metodologia de ensino o professor precisa estar preparado não

só como o conhecimento do conteúdo como da condução da aula que exige uma ação didática

dinâmica e diferenciada. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, para a realização de

aulas investigativas o professor precisar ter um bom conhecimento do conteúdo que vai

235

trabalhar bem como da metodologia de ensino que trata a matemática como uma ciência

dinâmica e aberta a incorporação de novos conhecimentos. (BRASIL, 1998).

Em uma aula de Investigação Matemática o planejamento é importante. Ao planejar

é preciso que o desenvolvimento do conteúdo e a ação didática sejam pensados levando em

conta a imprevisibilidade que é peculiar às atividades investigativas. O nível de conhecimento

dos alunos sobre o tema, a forma como reagem às intervenções do professor, os rumos que

tomam na investigação e as dúvidas que surgem de forma inesperada podem requerer

mudanças não previstas tanto na condução da aula como na sequência do conteúdo.

Reflexões sobre isto podem ser encontradas nos trabalhos dos estagiários. Para o

estagiário Batista "o docente precisa estar bem preparado em relação ao conteúdo, em relação

a metodologia e quanto aos recursos didáticos." (BATISTA E OLIVEIRA 2014, p. 193). Nos

debates do grupo de estudo afirmou que seu maior desafio no planejamento e condução das

aulas não foi dominar o conteúdo de funções quadráticas. Suas maiores dificuldades foram

planejar uma ação didática que pudesse ser efetiva na aprendizagem dos alunos, obedecendo

aos critérios necessários para uma aula investigativa. Enfatiza que "a vida toda eu tive aulas

de matemática expositivas e tradicionais, e agora precisava fazer diferente [...] tive que

entender muito bem as características de uma aula de Investigação Matemática para fazer o

meu planejamento." (BATISTA, COMENTÁRIO G. E., 2014).

O estagiário Cruvinel destacou esta necessidade de se conhecer bem a metodologia e

o conteúdo. "O conteúdo que trabalhei parecia fácil porque foi Geometria para o quinto ano,

mas na hora do planejamento e principalmente na hora da aula, tive dificuldades com a

linguagem matemática que deveria usar." (CRUVINEL, COMENTÁRIO G. E., 2014). E

completando diz que além de conhecer muito bem o conteúdo teve que entender muito bem a

metodologia de ensino para conseguir conduzir a investigação dos alunos. Esta mesma

percepção pode ser encontrada no trabalho da acadêmica Santa quando diz que por meio da

sua pesquisa chegou à conclusão de que "o preparo do professor é essencial, visto que, é a

atitude de planejar, buscando a melhor forma de mediar o conteúdo e a condução da aula que

define como se dá a participação do aluno na construção da sua aprendizagem. (SANTOS,

OLIVEIRA E VAZ, 2014, p.173).

A estagiária Bueno, ao contrário dos colegas, destacou que suas maiores dificuldades

foram em relação ao conteúdo de Geometria Fractal. "Descobri que nesse tipo de aula, pouco

adianta dominar a metodologia de ensino se não dominar muito bem o conteúdo [...] as

perguntas dos alunos são muito imprevisíveis e a investigação pode se desviar para outros

conteúdos que não estão no plano." (BUENO, COMENTÁRIO G. E., 2014). Na opinião da

236

estagiária Oliveira para o professor "aplicar esta metodologia necessita de preparação e

planejamento." (OLIVEIRA C. K. M.; OLIVEIRA C. M. S. E VAZ, 2014, p.12). Na sua

aoutoavaliação, Cruvinel destaca que "na prática não é fácil, ocorrem situações inesperadas

que pegam o professor de surpresa exigindo que se pense rápido em como lidar com tal

situação (CRUVINEL, 2014). A acadêmica Santos, na sua autoavaliação afirma que as

dificuldades se deram quando percebeu "que os alunos não tinham os conhecimento prévio

pré-requisitos para a investigação da regra dos trapézios. Não sabiam como calcular áreas de

polígonos simples como o triângulo, losango e trapézios." (SANTOS, 2014). Destacando que

teve que relembrar estes conteúdos que eram pré-requisitos para a investigação que seria

proposta e que por isto teve que rever o seu planejamento inicial.

A estagiária Silva lembra que em sua primeira aula nada saiu como planejou. No

momento da introdução do assunto os alunos fizeram uma pergunta não planejada que passou

a ser o foco das primeiras investigações. "Tudo o que eu havia planejado foi mudado de

última hora com o problema levantado pelos alunos. Já pensou se eu não estivesse bem

preparada tanto no conteúdo como na forma de conduzir a investigação?" (COMENTÁRIO

G. E., 2014). O estagiário Cruvinel na sua autovaliação afirma que sempre pensou que o

importante era saber o conteúdo e que planejamento fosse perca de tempo.

Sempre pensei que se eu dominasse o conteúdo era só chegar na frente e explicar

bem que os alunos entenderiam. Mas depois de dar aulas usando com investigação

cheguei a conclusão de que sem planejar tudo fica muito imprevisível e a aula

perderia o rumo. Ainda acho que para alguns conteúdos a aula expositiva é melhor,

mas em certos conteúdos com uma aula de investigação bem planejada os alunos

aprendem bem mais. (CRUVINEL, 2014).

Nos comentários dos estagiários pode-se identificar a compreensão de que uma aula

de Investigação Matemática depende de aspectos relacionados à ação didática, com o

ambiente de aprendizagem criado e ao papel desempenhado pelos alunos durante a aula

necessitando que o professor tenha domínio do conteúdo que irá trabalhar e da metodologia

de ensino. Assim, todos estes aspectos devem ser levados em conta ao se planejar uma aula de

Investigação Matemática. E deve-se levar em conta ainda que o planejamento precisa estar

aberto e pronto para ser modificado. O planejamento é o ponto de partida, contudo, o

replanejamento é essencial e faz parte da dinâmica do professor que faz opção por ensinar

Matemática por meio de investigação.

Enfim, todos estão em comum acordo que o planejamento de uma aula de

Investigação Matemática deve conter problemas abertos e situações problemas que permitam

o surgimento de outras questões investigativas secundárias. Tais situações problemas devem

237

possibilitar a reflexão e estimular o pensamento lógico matemático, valorizar a formulação de

hipóteses e conjecturas levantadas pelos próprios alunos. Deve não só permitir variadas

interpretações como levar em conta as possibilidades de caminhos imprevistos pelos quais os

alunos poderão se embrenhar. Outro ponto que precisa ser valorizado é a interação e a

participação individual e coletiva como aspectos importantes na construção do conhecimento

em que a partir das conjecturas e experimentações dos alunos seja possível ter como resultado

a formalização e a generalização de conceitos.

7.1.3 O ambiente de aprendizagem e a mediação do professor

De acordo com Ponte et al. (1999) quando se planeja uma aula de Investigação

Matemática, o ambiente de aprendizagem precisa ser pensado e organizado de forma a

possibilitar que o aluno se sinta a vontade para falar, expor suas ideias e conjecturas. Que

tenha liberdade para argumentar a favor ou contra as ideias dos colegas. Que se sinta

valorizado e encorajado a esclarecer suas dúvidas recorrendo à mediação professor.

Segundo Skovsmose (2008) os cenários para investigação são ambientes que podem

dar suporte a um trabalho investigativo. Nestes ambientes os alunos são convidados pelo

professor a formularem questões e procurarem explicações e aceitam o convite. São

responsáveis pelo processo de aprendizagem, usam materiais manipuláveis e novas

tecnologias nas suas atividades de aprendizagem. Nesse ambiente, o professor tem um papel

fundamental, que pode ser tanto na preparação, organização e sistematização da

aprendizagem, como no direcionamento ou orientação do processo de aprendizagem. De

acordo com Borba e Penteado (2012) o uso do computador quando bem administrado e

utilizado em aulas planejadas, possibilita um ambiente propício para os alunos pensarem,

criarem, questionando e errando de forma ativa e interativa. Assim, as suas interferências no

ambiente e a forma como atua no uso dos recursos didáticos e na realização das atividades

pedagógicas são determinantes no processo construção do conhecimento.

Segundo a estagiária Bueno, "nos momentos de investigação procurava me colocar

aberta paras as perguntas, não deixar os alunos com dúvidas por falta de informação e

também não confundi-los com excesso de informações”. (COMENTÁRIO G. E., 2014).

Destaca ainda: [...] e principalmente busquei ao responder suas perguntas não responder a

própria questão de pesquisa. Nestes momentos lembrava da minha orientadora que dizia que

quando tivéssemos dúvidas sobre o que responder deveríamos responder a uma pergunta com

outra pergunta. (Ibid.).

238

Sua fala indica que se preocupou em auxiliar os alunos nas suas dificuldades dando

espaço para que fizessem perguntas e esclarecessem as suas dúvidas.

As falas de outros estagiários ocorridas durante os encontros do grupo de estudo

indicam que o ambiente de aprendizagem foi planejado e esteve entre suas preocupações

durante a aula. Sobre isto, Santos afirma que "o software Geogebra foi importante para

garantir um ambiente de aprendizagem que os alunos descobrissem quase que sem a minha

ajuda, que quanto mais trapézios se faz no interior da elipse mais o valor total da área se

aproxima do valor real." (COMENTÁRIO, G. E., 2014). Outro estagiário lembrou na sua

autoavaliação que "a aula no laboratório de informática, com uso do computador, contribuiu

muito para criar um ambiente lúdico e interativo capaz de estimular o raciocínio e a

criatividade facilitando a compreensão do cálculo das diagonais dos polígonos". (CASTRO,

2014).

A acadêmica Silva frisa que o fato de desenvolver aulas de Matemática no

laboratório de informática fez com que os alunos saíssem da rotina da sala de aula e

proporcionou um ambiente de aprendizagem interativo diferente do comum e isto foi um fator

importante de motivação. Destacando a seguir que "ao fazer as experimentações no ambiente

do software, os alunos coletaram dados, fizeram questionamentos que os conduziram a

formação dos conceitos sobre as áreas do retângulo e do triângulo." (SANTOS,

COMENTÁRIO G. E., 2014).

O estagiário Batista que em relação às aulas de Investigação Matemática com o

Geogebra "dentre os pontos positivos dou destaque para a interação vivenciada nas aulas.

(COMENTÁRIO G. E., 2014). Outro professor em formação afirma que o ambiente criado

nas aulas de Investigação Matemática "possibilitou a participação ativa entre os alunos e

professores, (OLIVEIRA; OLIVEIRA E VAZ, 2014, p.12).

Outras afirmações mostram como o ambiente dinâmico do Geogebra contribuiu para

a criação de um cenário investigativo permitindo aos alunos aprenderem por meio de suas

próprias construções e análises. Segundo Cruvinel as propriedades dos polígonos "foram

sendo descobertas por meio das construções dos alunos que no ambiente do Geogebra os

alunos inseriam dados, arrastavam, aumentavam ou diminuíam o objeto, apagavam e

construíam novamente usando outras ferramentas diferentes. (COMENTÁRIO G. E., 2014).

O Geogebra "proporcionou um ambiente virtual investigativo devido a suas

características de não entregar as formas geométricas prontas para o aluno, mas disponibilizar

várias ferramentas para suas construções. (CASTRO; OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 141).

Complementando a mediação pedagógica do professor ao orientar a investigação e a ação do

239

aluno sobre o ambiente do software são essenciais para a aprendizagem visto que, o uso

Geogebra por si só dá garantias de que a aula aconteça de forma investigativa.

De acordo com Batista "Investigação Matemática com o Geogebra propiciou

enriquecimento do ambiente de aprendizagem devido a grande quantidade de recursos que

analisar o comportamento dos gráficos que iam construindo." (COMENTÁRIO G. E., 2014).

Para Santos a Investigação Matemática com o Geogebra "contribuiu para a realização de uma

aula dinâmica por permitir que os alunos, eles mesmos manusearem as ferramentas do

software e por meio das suas próprias investigações descobrirem propriedades e

formalizações matemáticas." (COMENTÁRIO G. E., 2014).

Para o estagiário Batista a interação entre os alunos e o software Geogebra e

principalmente a interação entre os alunos que queriam mostrar para os colegas suas

construções e estratégias e também queriam ver como eles tinham feito as suas construções e

descobertas (AUTOAVALIAÇÃO, 2014). Outro acadêmico afirma em seu artigo que "houve

envolvimentos dos alunos durante as atividades no ambiente do Geogebra, quando os mesmos

experimentaram, levantaram conjecturas, discutiram, formularam respostas, generalizaram e

provaram conceitos matemáticos. (CRUVINEL E OLIVEIRA, 2014, p. 155).

As afirmações dos acadêmicos em relação ao ambiente de aprendizagem

proporcionado pelo software Geogebra estão de acordo com Cruz, (2005,) para quem o

ambiente dinâmico e interativo como o do Geogebra pode permitir que os alunos se envolvam

na aula participando ativamente e assim aprendam os conteúdos de Matemática por meio do

levantamento de conjecturas, das experimentações, da formalização e dependendo do nível da

turma por indução e generalização.

De acordo com as afirmações dos estagiários pode-se perceber que o ambiente

dinâmico proporcionado pelo uso do Geogebra permitiu que os alunos fizessem construções

de figuras e objetos investigando suas propriedades descobrindo assim os conceitos

matemáticos. O próprio software proporciona um ambiente de aprendizagem dinâmico em

que por meio da interação entre o usuário e os objetos em construção e análise, permite-se a

possibilidade de investigações matemáticas em que por meio da experimentação se pode

confirmar conjecturas levantadas, refiná-las e confirmá-las formalizando e em alguns casos

generalizando conceito matemáticos. Assim, por tornarem possíveis as manipulações de

objetos matemáticos de forma interativa e dinâmica o software se apresenta como um bom

recurso para a realização de Investigação Matemática possibilitando ao aluno construir seus

próprios conhecimentos fazendo conjecturas, experimentações, formalizações e

generalizações tendo como base a análise que o ambiente permite.

240

Contudo, percebe-se que a falta de estrutura física e pedagógica das escolas

dificultam a criação de ambientes de aprendizagens ideais conforme foi destacado pelo

estagiário Cruvinel em uma das reuniões do Grupo de Estudo que “a dificuldade na criação de

um ambiente adequado foi com a falta de material na escola, que obrigou a adequação do

planejamento.” (CRUVINEL, COMENTÁRIO, G. E., 2014). Em relação ao laboratório frisou

ainda que "o laboratório de informática possuía poucos computadores o que dificultou a

realização de atividades individuais." (Ibid.). A estagiária Silva compartilha da mesma

opinião quando afirma que "um laboratório de informática com apenas dez computadores,

dificulta muito o trabalho do professor e não permite a criação de um ambiente adequado

paras as investigações." (SILVA, COMENTÁRIO, G. E., 2014).

Outros estagiários tiveram dificuldades semelhantes. Segundo Batista "foi difícil

trabalhar com uma turma muito grande, em um laboratório de informática, sem ter ali um

dinamizador para auxiliar nas dificuldades técnicas dos alunos." (BATISTA,

COMENTÁRIO, G. E., 2014). Para Bueno "o ambiente do software Geogebra foi adequado,

entretanto, o ambiente físico do laboratório de informática com muitos computadores

estragados e sem manutenção técnica não colabora muito para a criação de um ambiente

propício para a aula de Investigação Matemática." (BUENO, COMENTÁRIO, G. E., 2014).

Durante o desenvolvimento das atividades experimentais foi perceptivo como

alguma situações do dia a dia da sala de aula podem dificultar o trabalho do professor que se

propõe a criação de ambientes de aprendizagem diferenciados. Uma destas situações comuns

é a quantidade de alunos que, em alguns casos, estudam em uma mesma sala de aula.

Quando a quantidade de alunos é grande fica difícil manter um ambiente

colaborativo, visto que, a interação entre professor e alunos e entre alunos e alunos fica

prejudicada dificultando a realização de uma aula mais dialogada. Em uma aula com uso de

computador, isto se agrava quando o laboratório de informática da escola não possui infra-

estrutura adequada e compatível para o número de alunos matriculados por sala naquela

Unidade Escolar. Contudo, por serem estas situações muito comuns, o professor precisa

aprender a lidar com estas dificuldades em prol de um ensino de Matemática mais adequado

para o contexto em que vivem os alunos de hoje.

Assim, os resultados mostram que os licenciandos compreenderam que para a

criação de ambientes de aprendizagens propícios, exige-se no trabalho pedagógico maior

competência e capacidade para criar situações em sala de aula que sejam problematizadoras

para provocar o raciocínio e a reflexão. É preciso que o professor tenha capacidade para

administrar imprevisto e compreender que os alunos aprendem pela interação com os colegas

241

e com próprio professor. Aceitar que dificuldades como falta de estrutura física e pedagógica

são muito comuns e que estas ao contrário de serem consideradas como obstáculos

intransponíveis, podem ser vistas como desafios que podem ser administrados e utilizadas

inclusive como objetos de estudos.

Entenderam ainda que o papel do professor mediador é o de criador de dúvidas, que

faz perguntas, levando o aluno também a pensar e a perguntar para si e para outros. O aluno

que deixa a postura passiva para assumir uma função mais dinâmica na construção do seu

próprio conhecimento com auxílio do professor parceiro e mediador que orienta na seleção de

informações e dados promovendo reflexão, compreensão da realidade, administrando as

dificuldades e aprendendo reciprocamente por meio do trabalho em parceria com os alunos. O

professor detentor do conhecimento dará lugar ao mediador que ao mesmo tempo ensina e

aprende e o aluno receptor passivo dará lugar ao aprendiz parceiro. Assume assim o papel de

organizador e facilitador no processo de aprendizagem.

7.1.4 A questão do tempo em uma atividade de Investigação Matemática

A questão do tempo foi um ponto relevante observado durante as aulas experimentais

dos acadêmicos. Este aspecto relativo às atividades de Investigação Matemática já foi

observado por vários pesquisadores como Lorenzato (2009), Fonseca, Brunheiras e Ponte

(1999), Ponte; Brocardo e Oliveira (2013). De acordo com Lorenzato (2009) nas atividades

investigativas se propõe um tempo maior para as investigações que são realizadas pelos

próprios alunos.

No uso desta metodologia de ensino, segundo Fonseca, Brunheiras e Ponte (1999) o

foco está na participação dos alunos que nas suas próprias ações de investigarem constroem

os seus conhecimentos, logo, devem ser estimulados a pensar, trabalhar em equipe, levantar

hipóteses, buscar argumentos para formalizar ideias, expor verbalmente e por escrito seus

pensamentos e conclusões respeitando o tempo e os níveis de aprendizagens individuais. Para

Lorenzato (2010) é preciso levar em consideração as diferenças individuais dos alunos

respeitando o tempo necessário para as suas aprendizagens.

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2013) a organização do tempo se constitui um

dos grandes desafios para os professores que usam a metodologia de Investigação Matemática

em sala de aula. De acordo com estes autores é peculiar às Investigações Matemáticas

trabalhar com situações problemas e por isso demandam maior tempo para realização das

atividades do que em algumas outras metodologias.

242

Assim conforme já previsto por estes autores a questão do tempo se apresentou como

um desafio para os estagiários que estavam iniciando suas atividades como docentes. Em

relação a isto Cruvinel destacou que "às vezes os alunos demoravam a chegar à formalização

esperada e isto me deixava ansioso e com a sensação de que se tivesse dando aula expositiva

no quadro o conteúdo renderia muito mais. (COMENTÁRIO G. E., 2014). Outra acadêmica

frisa: "Tive dificuldades nas primeiras aulas quanto a condução da aula em relação ao uso do

tempo. (BUENO, COMENTÁRIO G. E., 2014). O aluno Batista afirmou em sua

autoavaliação que "tinha dúvida em quando devia intervir para obter maior aproveitamento do

tempo da aula." (BATISTA, 2014).

A estagiária Santos, em sua autoavaliação, frisa que na sua pesquisa percebeu que em

aulas de Investigação Matemática "É preciso ao mesmo tempo, dar informações na

quantidade certa para não prejudicar o processo investigativo do aluno, cuidar da disciplina da

sala, lidar com o aluno que descobre rápido a resposta e com o aluno que por mais que se

incentive não consegue chegar a formalização. (Santos, 2014). Destacando que é preciso o

professor estar bem preparado tanto em relação ao conteúdo quanto em relação à forma de

conduzir aula. O acadêmico Castro concluiu que "a investigação matemática deve sempre que

possível ser usada no ensino, de forma bem planejada, levando em consideração que as aulas

investigativas demoram bem mais que uma aula convencional. (CASTRO; OLIVEIRA E

VAZ, 2014, p. 140).

Percebe-se então que as dificuldades encontradas pelos estagiários estiveram

relacionadas principalmente em seguir o cronograma da aula e simultaneamente respeitar o

tempo de aprendizagem dos alunos. Contudo estas dificuldades podem ter sido comuns

principalmente pela a falta de experiência na docência e na gestão da sala de aula. De acordo

com Ponte; Brocardo e Oliveira (2013) é comum nas primeiras atividades de Investigação

Matemática a que o professor se propõe desenvolver, ter dificuldades em cumprir o

planejamento seguindo um cronograma previsto antecipadamente. Administrar o tempo da

aula se torna um desafio devido à imprevisibilidade que acontecem nas experimentações dos

alunos. Quando os alunos também não têm o hábito de desenvolver atividades investigativas

os desafios do professor se tornam ainda maiores. Até mesmo fazer com que entendam os

seus papéis como investigadores pode ser uma dificuldade. Nas futuras aulas de Investigação

Matemática, os licenciandos, cientes disto poderão e já tendo passado pela primeira

experiência poderão administrar melhor o tempo das aulas.

7.1.5 A falta de experiência: dificuldades e desafios

243

A condução de uma Investigação Matemática requer que professor esteja preparado

tanto em relação ao conteúdo, quanto em relação da gestão didática da aula visto que sua

função é de moderar e orientar o trabalho dos alunos, fornecendo informações, interligando

ideias, estimulando a comunicação entre os alunos. (FONSECA, BRUNHEIRAS E PONTE,

1999). Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2013) os maiores desafios para os professores

iniciantes são a organização do tempo, a dosagem das informações, elaborarem perguntas

com níveis de dificuldade adequados para a turma, a condução dos diálogos, o uso da

linguagem Matemática, dentre outras.

Por meio das narrativas dos estagiários nos encontros do Grupo de Estudo as suas

maiores dificuldades foram "formular as questões para investigação e "dosar" as informações

para os alunos que faziam a investigação", "o nervosismo por assumir uma sala de aula pela

primeira vez. Ou ainda "manter a sala de aula organizada e os trinta e dois alunos atentos às

primeiras atividades", "lidar com a certeza de que estava sendo avaliado." Outras dificuldades

citadas foram "trabalhar com a diferença de nível de conhecimentos dos alunos, a falta de

estrutura física do laboratório de informática", "alunos tinham maior facilidade e chegavam

primeiro que os outros aos resultados e formalizações", "tomar as decisões certas e de intervir

adequadamente em cada situação." Houve ainda dificuldades no "uso adequado da linguagem

matemática" e na condução das discussões dos resultados.

As dificuldades encontradas pelos estagiários são aquelas já destacadas por Ponte;

Brocardo e Oliveira (2013) como sendo comuns a quem realiza as primeiras experiências no

uso da metodologia de Investigação Matemática o que no caso dos acadêmicos se agravam

por serem também suas primeiras atividades como docente. Segundo estes autores em suas

primeiras experiências na realização de Investigação Matemática em sala de aula o professor

pode ter dificuldades em cumprir o planejamento seguindo um cronograma previsto

antecipadamente. Quando os alunos também não têm o hábito de desenvolver atividades

investigativas os desafios do professor se tornam ainda maiores. Até mesmo fazer com que

entendam os seus papéis como investigadores pode ser uma dificuldade. Gerir o diálogo,

controlar a conversa paralela, manter o interesse, cuidar para que um aluno mais adiantado dê

a resposta pronta para os colegas causando prejuízos às suas investigações, ouvir todos os que

querem expor suas ideias e discutir cada uma delas dando importância para todas as

conjecturas apresentadas também pode se constituir tarefas difíceis quando se tem pouca

experiência na docência.

Assim, as dificuldades apresentadas pelos estagiários na gestão das aulas poderiam

ser consideradas comuns aos iniciantes na docência e aos iniciantes no uso da Investigação

244

Matemática como metodologia de ensino e aprendizagem de Matemática. Desta forma muitas

das dificuldades apresentadas poderão ser minimizadas com o desenvolvimento de novas

experiências docentes com uso desta metodologia de ensino.

7. 2 O Geogebra

Na realização de atividades com utilização do Geogebra como recurso de ensino e

aprendizagem de Matemática foi possível observar que houve motivação por parte

principalmente dos alunos. O ambiente dinâmico foi positivo para a realização das atividades

de Investigação Matemática conforme afirma o estagiário Castro ao destacar que o ambiente

dinâmico do Geogebra permitiu aos alunos "construir, ampliar, diminuir, arrastar os objetos o

que permite a visualização, comparação e análise de propriedades matemáticas que auxiliam

no entendimento de situações matemáticas que não seriam possíveis só olhando figuras

estáticas nos livros ou no quadro negro." (COMENTÁRIO G. E.,2014). Outra fala semelhante

foi da acadêmica Santos quando afirmou que "na realização da Investigação Matemática os

alunos formularam hipóteses e por meio do Geogebra fizeram testes e experimentações que os

auxiliaram na formalização matemática da Regra dos trapézios. (COMENTÁRIO G. E.,

2014).

A facilidade no manuseio de suas ferramentas foi uma característica que chamou a

atenção dos estagiários conforme pode se verificar em suas afirmações. Para a estagiária

Bueno "o Geogebra é um software interativo que responde de acordo com as intervenções dos

alunos." Para Batista "o Geogebra é um software fácil de usar e com muitas ferramentas bem

simples que facilita a investigação dos alunos porque eles não encontram nada pronto, só uma

tela branca e algumas barrinhas com muitos recursos para usarem nas suas construções

(BATISTA, 2014). Segundo Silva, "ao contrário do que esperávamos, em poucos minutos os

alunos já conseguiam utilizar várias ferramentas, foi na verdade uma grande surpresa a

facilidade com que os alunos pequenos conseguiram manusear os recursos do programa

Geogebra." (COMENTÁRIO G. E., 2014)

Dentre as afirmações encontradas nos artigos finais dos alunos destacam-se ainda

outras citações que confirmam as potencialidades do Geogebra para o ensino de Matemática.

O Geogebra propiciou um ambiente dinâmico propício para ser associado a

metodologia investigativa com foco no aluno que ativamente construiu a sua

aprendizagem [...] As ferramentas oferecidas pelo software levaram os alunos a

explorarem as propriedades das formas em suas construções de forma muito

dinâmica, com efeitos nas formas prontas, tais como arrastar, aumentar, ficar

movimentando na tela, entre outros. (CASTRO; OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 141).

245

O que o diferencia o Geogebra de outra ferramenta de ensino é sua interatividade

com a infinidade de funções e comando, que acaba por trazer um grande interesse

por parte de quem o esta utilizando. (BATISTA E OLIVEIRA, 2014, p.193).

Os alunos do quinto ano são ainda crianças e não apresentaram dificuldade no uso

dos recursos do Geogebra confirmando que o software é de fácil manuseio e pode

ser usado para explorar conteúdos de Matemática mesmo no primeiro nível do

Ensino Fundamental. (CRUVINEL E OLIVEIRA, 2014, p. 155).

[...] os alunos puderam construir polígonos, estudar suas particularidades, definir as

condições para que os ladrilhos fossem comportados. E assim colaborando para uma

melhor compreensão de geometria, por meio da visualização de cada construção.

(OLIVEIRA C. K. M. E OLIVEIRA C. M. S., 2013, p. 13).

[...] o Geogebra permitiu colocar o aluno como formador de seu próprio

conhecimento fazendo com que ele interagisse com o objeto em estudo manipulando

as ferramentas do programa no processo de levantamento de conjecturas,

experimentação e formalização matemática. (SILVA E OLIVEIRA, 2014, p. 251).

[...] com o Geogebra os alunos puderam vivenciar o processo, pensando sobre o que

iam investigar e se comportaram como pesquisadores, colocando como

descobridores. (BUENO, OLIVEIRA E ANDRADE, 2014, p. 567).

As afirmações dos acadêmicos estão de acordo com Cruz (2005), Gladcheff, Zuffi e

Silva (2001), Borba (2007), Vaz (2012) quando caracteriza os ambientes dinâmicos dos

softwares de Matemática como o Geogebra. O software se mostrou propício para a realização

de investigações matemáticas em sala de aula por apresentar ambiente interativo permitindo

aos alunos construir, ampliar, diminuir, arrastar os objetos o que permite a visualização,

comparação e análise de propriedades matemáticas que auxiliam no entendimento de

situações matemáticas colocando os alunos como formadores de seus próprios conhecimentos

pela interação com o objeto em estudo.

De acordo com os licenciandos, o software, além de auxiliar na compreensão das

propriedades Matemática dos objetos por meio da visualização, o Geogebra possibilita outras

formas de dar significado a conteúdos que poderiam lhes parecer, sem o recurso da

visualização, muito abstratos. Por meio das suas construções os alunos podem levantar

hipóteses, fazer questionamentos e por meio das suas experimentações, validarem as suas

conjecturas chegando à formalização de conceitos Matemáticos.

Utilizando o Geogebra os alunos das escolas campo puderam vivenciar o processo

investigativo pensando sobre o que iam investigar se comportando como verdadeiros

pesquisadores. Buscaram por si mesmos conhecerem, investigarem, questionarem buscando

responder as situações lhes eram apresentadas pelos professores. Contudo é preciso estar

ciente de que como afirmam Gladcheff; Zuffi e Silva (2001) que para usar um software

educativo, assim como qualquer outro recurso didático o professor ao planejar as sua aula

deve ter objetivos bem definidos, dominar as funções do objeto educacional, conhecer

variadas metodologias de ensino para ser capaz de escolher aquela que mais se adequar as

expectativas de aprendizagens previstas.

246

7. 3 Percepções sobre a profissão docente

A sociedade contemporânea vem sofrendo mudanças que afetam os múltiplos setores

sociais e dentre eles atinge a área da Educação. Juntamente com o setor educacional a

profissão docente sofre as interferências do avanço tecnológico e científico exigindo

profissionais capazes de acompanhar as transformações sociais que ocorrem rapidamente. Isto

torna necessário que os professores adquiram habilidades para lidar com as tecnologias no

meio educacional. Precisam adquirir competências para ensinar. Assim o professor da

atualidade precisa ter domínio dos conteúdos da sua área bem como ter bom conhecimento

sobre metodologias de ensino e ter domínio técnico de recursos didáticos, sejam eles,

artefatos tecnológicos ou não.

As afirmações dos estagiários demonstram a consciência destes desafios da

profissão. O estagiário Cruvinel afirma que "o professor da atualidade precisa estar bem

preparado não só em relação ao conteúdo, como também deve conhecer variadas

metodologias de ensino e vários recursos didáticos." Justificando que isto dará a ele opções

para escolher a metodologia e os recursos didáticos mais adequados de acordo com o

conteúdo, com cada situação e com as características da turma em que vai dar aula.

(CRUVINEL, COMENTÁRIO G. E., 2014). A acadêmica Oliveira lembra "a importância de

se trabalhar utilizando metodologias de ensino e recursos didáticos variados, de acordo como

o conteúdo que se deseja explorar." (OLIVEIRA C. K.. M. E OLIVEIRA C. M. S., 2013, p.

13). E outra estagiária destaca que "o ensino de Matemática na educação contemporânea

exige aulas mais dinâmicas com uso de metodologias de ensino que estimulem a curiosidade e

o pensamento crítico do aluno, motivando-os a aprender com prazer." (BUENO, OLIVEIRA

E ANDRADE, 2014, p. 567).

Esse contexto requer tanto que sua formação seja sólida e contínua. Mais ainda,

"requer que seja capaz de promover formação e autoformação pela ação reflexão, diálogo e

intervenção em busca constante de um saber teórico e saber prático que permita novas

posturas metodológicas que somente poderão ser assumidas a partir da sua

formação." (CRUVINEL E OLIVEIRA, 2014, p. 154). O contexto social atual exige do

docente formação contínua e adequada. Exige um profissional capaz de novas posturas

educacionais baseada em um novo papel de mediador que orienta, auxilia e incentiva os

alunos nas suas aprendizagens (LORENZATO, 2010).

Isto provoca a necessidade de que os professores, planejem as aulas "de maneira a

dar condições necessárias aos estudantes para desenvolverem as habilidades e competências

247

necessárias construindo a sua aprendizagem por meio da investigação." (BUENO, OLIVEIRA

E ANDRADE, 2014, p. 567). Assim o aluno também assume novas funções e papéis de

pesquisador capaz de selecionar e organizar informações e administrar a construção do seu

próprio conhecimento. De acordo com a estagiária Oliveira, durante o curso teve “a percepção

de que precisa ser professora consciente de que além de dar a matéria é necessário a adequar

conteúdo situações do dia a dia além dos temas transversais." (OLIVEIRA C. K. M.;

OLIVEIRA C. M. S. E VAZ, 2014, p.13).

Para a estagiária Bueno é preciso "sair da rotina, fazer estudos teóricos, analisar e

usar diversificadas metodologias de ensino e recursos didáticos, realizar pesquisas, contribui

para desenvolvermos a habilidade de fazer diferentes interpretações acerca da sala de aula e

da profissão docente." (COMENTÁRIO G. E., 2014). Isto requer formação continuada e

abertura para novas aprendizagens.

O educador da atualidade precisa ter habilidades e competências que antes não eram

consideradas tão relevantes para os profissionais desta área. Conforme afirma Lorenzato

(2009) o docente da atualidade precisa conhecer as teorias e questões sociais, ter uma boa

preparação no campo especializado em relação aos conhecimentos específicos da Matemática

e à didática de Matemática, ter uma boa noção do uso das tecnologias como ferramentas de

ensino e aprendizagem e conhecer metodologias ensino a aprendizagem que possibilitem a

criar nos alunos o sentimento de necessidade de descobrir e investigar por si próprios sendo

capaz de se tornar produtor e coprodutor de conhecimentos.

A estagiária Silva destaca: "Aprendi há várias formas de tornar uma aula dinâmica e

que a aula expositiva não é crime, ao contrário é necessária em muitos casos

(COMENTÁRIO G. E, 2014). E conforme cita outra estagiária em sua autoavaliação "[...]

aprendi a lidar com recursos didáticos feitos manualmente com sucatas, contudo aprendi

também a utilizar a informática e os softwares educacionais como objetos de ensino e a usar

metodologias de ensino investigativas em sala de aula. (OLIVEIRA, 2014). Outra acadêmica

destaca:

Hoje sou um pouco de cada tipo de professor [...] professora mediadora, professora

tradicional, professora dinâmica [...] estou ciente no futuro, de que dependendo da

situação poderei escolher qual o papel será mais adequado a cada situação [...]

Minhas aulas poderão ser lúdicas, expositivas, de laboratório, tecnológicas, etc.

Porém, o que faz a diferença é a ciência que tenho do meu papel de professora e dos

desafios da profissão. (SANTOS, COMENTÁRIO G. E., 2014).

Por estas afirmações as estagiárias se apresentam cientes de que é importante o

professor estar preparado para situações diversas da sua profissão. Situações que podem

248

exigir adequação de papéis de acordo com as condições estruturais ou pedagógicas do

ambiente em que vai atuar ou de acordo com suas próprias capacidades e habilidades

docentes. O professor da atualidade deve estar preparado para exercer papéis diversos, estar

pronto para dialogar com o novo, estar aberto à utilização consciente e crítica das novas

tecnologias, contudo, é preciso estar preparado também para lidar com turmas de alunos

indisciplinados, com a violência escolar, como a ausência dos pais na escola, com o descaso

daqueles que estão à frente do poder e com a crescente desvalorização profissional.

As afirmações dos estagiários, em geral permitem afirmar que houve reflexões

acerca do trabalho do professor e dos desafios da profissão. Formou-se consciência crítica

sobre os seus papéis como educadores matemáticos e sobre como as suas formas de conduzir

uma atividade pode influenciar negativamente ou positivamente nas aprendizagens dos

alunos. Enfim, sobre os papéis do professor e dos alunos e sobre a importância de respeitá-los

em suas capacidades de produzir conhecimentos matemáticos por meio das suas próprias

ações.

As percepções dos licenciandos estão de acordo com Skovsmose (2001) e Lorenzato

(2010) o professor da atualidade deve ter novas habilidades e competências profissionais.

Deve estar consciente da necessidade de provocar a construção individual e coletiva do

conhecimento, mediante questionamento sistemático. E que ao questionar, problematizar,

conscientemente deve levar o aluno ao questionamento, a reflexão e a construção de novas

aprendizagens. Assim a docência se baseia no ato de ensinar a partir dos interesses,

necessidades e problemas dos alunos, escolhendo conteúdos e elaborando técnicas e

estratégias com uso de materiais adequados criando um ambiente que favoreça o estudo, a

pesquisa e a investigação que levem a formação da autonomia.

7.4 Percepções dos estagiários sobre o Estágio em suas formações docentes

Durante o Estágio Supervisionado com pesquisa criou-se um espaço de reflexão-ação

por meio da proposta de pesquisa sobre a Investigação Matemática como metodologia de

ensino em que os estagiários como investigadores realizaram pesquisas teóricas, planejaram e

desenvolveram aulas experimentais, fizeram coleta de dados e analisaram os resultados de tais

atividades tendo em vista o objetivo da pesquisa que foi analisar a Investigação Matemática

com o Geogebra para o estudo de conteúdos de matemática. Para a acadêmica Oliveira o

estágio representou uma oportunidade de "realizar pesquisa sistematizada por meio do

desenvolvimento de projetos e da vivência da realidade de sala de aula analisar e acompanhar

249

a interação dos alunos na utilização da Metodologia de Investigação matemática com o

software Geogebra." (OLIVEIRA C. K. M. E OLIVEIRA C. M. S., 2013, p. 13). Destaca

ainda que "através da busca de uma problemática, da pesquisa e coleta de dados, para ser

analisado, discutido e exposto os resultados finais contribuindo para minha própria formação

e ainda para a formação de outros profissionais. (Ibid., p.12). Outra estagiária destaca em sua

autoavaliação "por meio do estágio com pesquisa vivenciamos a pesquisa sistematizada

vivendo-a desde a elaboração do projeto, estudos teóricos, elaboração da atividade

pedagógica, experimentação em sala de aula, coleta e análise dos dados e produção do artigo

com os resultados finais. (SANTOS, 2014).

As afirmações mostram que por meio da pesquisa os estagiários tiveram a

oportunidade de refletir sobre o ensino de Matemática, sobre a metodologia de Investigação



sala de aula em um contexto desafiador. Assim o Estágio com pesquisa possibilitou a

oportunidade para refletir sobre o ensino de Matemática, sobre a metodologia de Investigação



sala de aula em um contexto desafiador. "É o trabalho de identificação, de exploração, de

construção de elementos e de processos que constitui a pesquisa sobre a relação com o saber –

que, em última instância, permite compreender as formas (eventualmente contraditórias) de

mobilização no campo do saber e do aprender” (CHARLOT, 2005, p. 23).

Representou um período em que os estagiários tiveram a oportunidade de vivenciar

os desafios da profissão e por meio das análises das suas práticas conforme sugere Pimenta

(1997, p. 06) é importante que desenvolva nos professores em formação "a capacidade de

investigar a própria atividade para, a partir dela, constituírem e transformarem os seus

saberes-fazeres docentes, num processo contínuo de construção de suas identidades como

professores." A estagiária Bueno destaca que "pesquisando a nossa própria práxis como

estagiários tivemos a oportunidade de vivenciar associação entre teoria e a prática por meio da

ação, reflexão, ação. (COMENTÁRIO G. E., 2014). De acordo com outro estagiário:

A partir da prática como regentes em sala de aula e por meio do desenvolvimento

dos projetos de pesquisa foi possível refletir sobre metodologias de ensino, sobre o

uso adequado dos objetos pedagógicos, sobre as características dos alunos [...] O

Estágio Supervisionado contribui na formação inicial dos acadêmicos, futuros

professores que irão atuar na realidade atual que exige profissionais qualificados,

competentes, compromissados e que saibam pesquisar e produzir conhecimentos a

partir de suas próprias práticas. (CRUVINEL E OLIVEIRA, 2014, p. 154).

250

Na visão dos licenciandos o estágio representou uma oportunidade de formação em

que o licenciando assumiu papel ativo, construindo saberes docentes por meio do confronto

com a realidade, possibilitando assim reflexão sobre a função do professor e sobre os desafios

vivenciados por estes profissionais na atualidade. Segundo uma das acadêmicas "o Estágio

Supervisionado representou a oportunidade oferecida para que se pudesse refletir sobre a

profissão de professor por meio da pesquisa e da prática na escola campo." (SANTOS;

OLIVEIRA E VAZ, 2014, p.174). Para outro licenciando o Estágio Supervisionado contribui

na formação inicial dos acadêmicos, futuros professores "que irão atuar na realidade atual que

exige profissionais qualificados, competentes, compromissados e que saibam pesquisar e

produzir conhecimentos a partir de suas próprias práticas." (CRUVINEL E OLIVEIRA, 2014,

p. 154). Segundo Castro "o Estágio Supervisionado proporcionou um ângulo diferente de

visualização da profissão docente." (CASTRO; OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 141).

Destacando que por meio do estágio "foi possível identificar vários desafios da profissão e

pela reflexão e pesquisas foi possível encontrar formas para superar estes em grande parte."

(CASTRO; OLIVEIRA E VAZ, 2014, p. 141).

O estagiário Batista registra que por meio da ação e da reflexão tiveram a

oportunidade de pensar sobre os aspectos práticos e humanos da docência. "Sobre como é

necessário sermos mais humanos, olharmos para educação com um olhar mais crítico para

que possamos atuar na profissão, como formador de opinião." (BATISTA E OLIVEIRA

2014, p. 194). Destacando ainda que isto provoca em si o sentimento de corresponsabilidade

na luta por melhorias na Educação Matemática buscando assumir para si "o compromisso de

formar alunos que tenham pensamentos próprios e críticos e capazes de lutar em prol de uma

sociedade melhor para todos." (BATISTA E OLIVEIRA 2014, p. 194).

Assim, pode se afirmar que sob a percepção dos futuros professores o Estágio

Supervisionado com pesquisa desenvolvido no Curso de Licenciatura em Matemática foi,

como sugere Pimenta e Lima (2008), um momento importante nas suas formações como

futuros profissionais se constituindo de uma ação vivenciada, reflexiva e crítica em relação à

profissão e a função do professor visto que, por meio dele, tiveram a oportunidade de

conhecer aspectos indispensáveis para a sua formação profissional e construir saberes da

docência.

251

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Para as considerações finais se faz importante a retomada da questão de investigação

deste projeto. Isto porque, todas as ações desenvolvidas, aconteceram com uma intenção clara

de se responder a seguintes perguntas: “A mediação pedagógica dos estagiários do quarto ano

do curso de Licenciatura em Matemática da UEG/Iporá, em 2014 possibilitou a Investigação

Matemática em sala de aula? Como realizar a mediação entre a entre a pesquisa e a formação

docente por meio do Estágio Supervisionado?"

A busca de resposta se deu principalmente pela análise dos projetos desenvolvidos

pelos estagiários, no ano de 2014. Tais projetos se desenvolveram durante as atividades de

Estágio Supervisionado realizado com a concepção de que a formação docente deve ter como

base a construção de saberes a partir da pesquisa e ter como foco principal a proximidade

entre a teoria e a prática por meio da pesquisa da práxis. Assim este trabalho, se ancora na

ideia de que a formação docente de um profissional pode ser mais efetiva quando tem como

alicerce a reflexão sobre a própria prática e/ou práxis e o conhecimento da realidade escolar

por meio da crítica, da reflexão e da pesquisa.

Nesta perspectiva, por meio da mediação do Estágio Supervisionado na concepção

de Pimenta (1997) e Pimenta e Lima (2008) que consideram este um componente curricular

dos cursos de Licenciatura em que o aluno da universidade tem na escola campo seu espaço

de reconhecimento da profissão em que a construção dos saberes docentes devem ser

orientados pelo princípio metodológico geral fundamentado na ação-reflexão-ação e na

resolução de situações-problemas. Se apoiando nos estudos de Ponte (2004), Lorenzato (2009,

2010), Vaz (2012), Ponte; Brocardo e Oliveira (2013) que defendem a Investigação

Matemática como proposta metodológica eficiente para o ensino e aprendizagem de

Matemática, segundo a qual as investigações são realizadas pelos próprios alunos em fases

bem definidas que são a exploração e formulação das questões de investigação, o

levantamento das conjecturas, o refinamento das conjecturas pela realização dos testes e

sistematização dos dados e a formalização Matemática e validação das conjecturas a partir da

argumentação ou das demonstrações. Tendo também como base as ideias de Valente (1993),

Gravina e Santarosa (1998) e Borba e Penteado (2012) e as situações comuns da sala de aula

que apontam para um consenso entre os professores de matemática de que os softwares

educativos dinâmicos permitem um motivador e interativo capaz de estimular o raciocínio e a

criatividade facilitando a compreensão dos conteúdos matemáticos. Neste projeto se propôs

então, a usar a tecnologia, especificamente o software Geogebra, associado à Investigação

252

Matemática em sala de aula numa perspectiva de que a atuação pedagógica do professor deva

acontecer pela da mediação da aprendizagem dos alunos enquanto eles mesmos, por meio das

suas investigações, constroem os seus conhecimentos.

Os objetivos principais do trabalho foram interpretar a mediação pedagógica dos



o Estágio Supervisionado enquanto mediação entre a pesquisa e a formação docente. E criar

um produto que se trata de um sítio na internet com informações sobre a realização e com

resultados das investigações. Outros objetivos do projeto foram estimular a pesquisa como

elemento importante na formação do professor, por meio do Estágio Supervisionado, realizar

atividades experimentais de Investigação Matemática com o Geogebra, contribuir na

formação dos futuros professores para o uso adequado do software educacional Geogebra.

A identificação das características peculiares a Investigação Matemática em sala de

aula na mediação pedagógica dos estagiários se deu pela análise qualitativa das suas

atividades desenvolvidas durante as pesquisas realizadas durante a fase de regência do Estágio

Supervisionado. Foram utilizados como objetos de análises principais os acontecimentos de

sala de aula que foram cuidadosamente selecionados e registrados e os artigos produzidos

pelos acadêmicos. As análises se apoiaram ainda nas falas dos participantes durante as

reuniões do grupo de estudo e na autoavaliação feita logo após a conclusão das atividades. As

presenças destas peculiaridades nos processos investigativos dos alunos indicam como a

mediação pedagógica possibilitou ou não a Investigação Matemática em sala de aula.

O produto criado foi um sítio na internet no endereço

<geogebradinamico.wix.com/geogebra>, onde estão disponibilizados os artigos dos

acadêmicos com a descrição e análise das atividades experimentais desenvolvidas nas escolas

campo, informações técnicas e pedagógicas e endereço para download do software Geogebra,

dentre outras informações que poderão se utilizadas por outros professores se interessarem

por utilizar a Investigação Matemática com o Geogebra em sala de aula.

Por meio dos estudos e análises realizadas identificou-se que o conhecimento

científico e o desenvolvimento tecnológico têm provocado implicações na vida das pessoas,

na educação e no papel do professor. Tais implicações afetam diretamente a profissão docente

e a atuação do professor em sala de aula. Com presença de muitos equipamentos tenológios

como TV, projetores de multimídia e laboratórios de informáticas com computadores

equipados com acesso a internet, softwares educacionais e aplicativos, calculadoras, planilhas

eletrônicas, dentre outros recursos no ambiente da escola e da sala de aula da escola cria-se a

253

necessidade de se formar professores de Matemática para o uso destas tecnologias. No caso da

disciplina de Matemática o computador por meio dos softwares educacionais, muitos deles

oferecem ambientes de aprendizagens dinâmicos e interativos que podem ser utilizados

pedagogicamente pelo professor que precisa estar preparado para utilizá-los adequadamente

como instrumentos de aprendizagem.

Estes ambientes dinâmicos de Matemática, característicos dos ambientes de

computadores, presentes em softwares interativos quando bem utilizados pelo professor

permitem às pessoas que os manuseiam fazer construções de figuras e objetos, investigarem

suas propriedades, descobrindo conceitos matemáticos por meio da manipulação dos

elementos que constituem o objeto em estudo. São propícios para o desenvolvimento de

atividades investigativas com uso de metodologias, como a Investigação Matemática

possibilitando que a aluno aprenda por suas próprias ações quando levanta hipóteses e

conjecturas, faz experimentações e testes e formaliza e conceitos matemáticos.

Foi possível identificar também que os estagiários, ainda que participando do mesmo

curso de licenciatura, do mesmo grupo de estudo do estágio e recebendo orientações do

mesmo professor orientador e se propondo a utilizar a mesma metodologia de Investigação

Matemática tiveram mediações pedagógicas diferentes uns dos outros. Contudo em todos os

casos percebeu-se que houve preocupação como o incentivo a curiosidade dos participantes, a

motivação e a construção do conhecimento pela própria ação do aluno. Houve interação entre

alunos, entre os alunos e os estagiários e entre os alunos e o ambiente dinâmico do software

Geogebra.

Ficou perceptível como a figura do professor foi importante e crucial para que

acontecesse a ligação entre os conhecimentos que os alunos já possuíam e os conhecimentos

matemáticos historicamente construídos. A consciência da intencionalidade e o sólido

conhecimento teórico metodológico foram essenciais para que a mediação de efetivasse.

Um dos objetivos deste trabalho foi contribuir na formação docente dos futuros

professores de Matemática por meio do Estágio Supervisionado, que neste projeto foi

utilizado como espaço de realização de pesquisa. Ao final do trabalho foi possível identificar

que ocorreu a formação de saberes docentes, quando que por meio da utilização das suas

próprias experiências na escola como objetos de investigações os futuros professores tiveram

a oportunidade realizar reflexão e produção de conhecimentos relacionados à profissão

docente, à metodologia de Investigação Matemática e ao software educacional Geogebra.

Por meio da análise da mediação pedagógica dos estagiários identificou-se que suas

mediações pedagógicas possibilitaram a Investigação Matemática em sala de aula visto que,

254

estiveram presentes peculiaridades que caracterizam as atividades desenvolvidas com esta

metodologia de ensino. Dentre elas destaca-se que em todos os projetos dos acadêmicos as

atividades investigativas das sequências pedagógicas desenvolvidas durante a regência

aconteceram em três etapas distintas que Ponte; Brocardo e Oliveira (2013) destacam como

características da realização de aulas com Investigação Matemática. Também se identificou

na ação didática de todos os estagiários a preocupação em possibilitar aos alunos a vivências

das fases do levantamento de conjecturas, experimentações, formalizações e generalizações

dos conceitos matemáticos.

A imprevisibilidade tanto em relação ao tempo gasto nas investigações, à forma de

elaboração da questão problemas, ao surgimento de situações novas e inesperadas e à

necessidade constante de replanejamento, também são características comuns às Investigações

Matemáticas e estiveram presentes em quase a totalidade das atividades experimentais

realizadas. As maiores dificuldades dos estagiários foram lidar com esta imprevisibilidade. De

acordo com os estudiosos desta metodologia estas dificuldades são muito comuns aos

professores iniciantes, como também aos professores que já são experientes, mas que estão

usando a metodologia investigativa pela primeira vez.

Em relação às atividades desenvolvidas pelos alunos que participaram das aulas

identificou-se que a condução das atividades os permitiu participarem ativamente das

resoluções dos problemas, fazerem perguntas, levantarem conjecturas, fazerem

experimentações e formalizações matemáticas. Tiveram também a oportunidade de se

familiarizarem com a linguagem textual e com a linguagem simbólica matemática.

A mediação pedagógica dos estagiários, possibilitou o aperfeiçoamento de

habilidades nos alunos, que segundo Lorenzato (2010) podem ser desenvolvidas e

aprimoradas por meio de atividades investigativas. Dentre estas habilidades destaca-se a

ampliação das suas linguagens Matemáticas, a capacidade de expor ideias relacionadas a

solução de problemas, a aquisição de capacidade de elaboração de estratégias para resolução

de problemas e compreensão de relações entre os conteúdos estudados em sala de aula e

problemas da vida cotidiana. Outras habilidades foram estimuladas como, por exemplo, a

capacidade de concentração, perseverança, raciocínio e criatividade. Promoveu-se ainda a

interação entre os alunos e entre alunos e professor, compreensão de regras e estimulo às

percepções visuais e espaciais e de formação de conceitos.

Outro objetivo foi contribuir na formação dos futuros professores para o uso

adequado do software educacional Geogebra. Isto aconteceu por meio dos estudos teóricos

sobre o uso educacional do software, por meio da análise do seu ambiente dinâmico e das

255

suas ferramentas e recursos e por meio do desenvolvimento das atividades experimentais nas

escolas campo.

O software Geogebra se mostrou propício para a realização de Investigações

Matemáticas. A aula com uso do Geogebra quando realizada em uma perspectiva

investigativa traz vantagens em relação à aula com uso apenas de papel, lápis e lousa, pois

permite ao aluno construir objetos, arrastar, movimentar, comparar propriedades, conjecturar,

experimentar e formalizar conceitos a partir da análise das suas próprias construções.

Os resultados mostram que a Investigação Matemática com o Geogebra se constitui

uma forma de ensinar e aprender de forma dinâmica, em que os alunos interagem como o

ambiente do programa e interagem entre si e com o professor, o que torna as atividades

matemáticas mais atrativas e instigantes.

Contudo há que se ter em mente que para utilizar o software Geogebra

pedagogicamente, é preciso um bom plano de aula e uma mediação pedagógica adequada que

assegure que este seja realmente usado como ambiente de aprendizagem e não somente para

animar e agradar os alunos por saírem da sala de aula tradicional. Faz-se também importante

destacar que os desafios encontrados pelos professores iniciantes para os usos da Investigação

Matemática com o Geogebra para o ensino e aprendizagem de conteúdos de Matemática,

foram muitos. Dentre eles se destacam a falta de estrutura física dos laboratórios de

informática e falta de interesse de alguns dos professores parceiros em acompanhar o

planejamento, a execução e a análise das aulas, a inexperiência dos alunos em realizar

atividades investigativas, a pouca familiaridade dos alunos com o uso do computador, a

diferença de níveis de aprendizagens entre os alunos. Em alguns casos o número de alunos

muito grande por turma também se constituiu uma dificuldade.

Em uma das escolas o laboratório de informática conta com apenas dez máquinas o

que dificulta o desenvolvimento de atividades individuais como o Geogebra as turmas que

tem mais de dez alunos. Na outra escola o laboratório possui um bom número de máquinas

em funcionamento, contudo, naquele ambiente não há um funcionário para auxiliar o

professor nem mesmo na instalação de softwares. O professor que usa aquele ambiente para

dar aulas precisa, além de dar a sua aula, assistir pedagogicamente e tecnicamente todos os

seus alunos, precisa ainda fazer a instalação do software, ligar e desligar as máquinas,

organizar arquivos e verificar se não houve danos à peças ou equipamentos. Todas estas

dificuldades afastam o professor daquele ambiente, mesmo os mais experientes.

No caso dos estagiários, que tinham um professor parceiro, houve dificuldades para

se reunir com este professor para escolher o conteúdo e planejar. A maioria dos docentes

256

trabalha com carga horária de sessenta horas, em três turnos, o que faz torna a organização de

uma reunião um desafio, devido a falta de tempo disponível para outras atividades que não

seja dar aulas.

O grande número de alunos por turma também se constituiu em alguns casos, um

desafio. Os estagiários inexperientes tiveram dificuldades, nestas turmas grandes, em

administrar o tempo das aulas de acordo com as atividades planejadas. Foi muito comum o

tempo de a aula terminar sem que a atividade planejada tivesse se cumprido, além do fato de

que ao administrar os diálogos, ficava difícil identificar aqueles alunos que não estavam

participando do debate e valorizar a falas de todos os que participavam.

A diferença de nível de conhecimento entre os alunos em uma mesma turma também

foi uma dificuldade. Observou-se, por exemplo, que mesmo no Ensino Médio há alunos que

não sabem ler e interpretar um texto simples ou redigir expondo corretamente suas ideias. E

para estes, fazer formalizações matemáticas simbólicas, se apresentou como uma tarefa de

grande nível de dificuldade. Nesta realidade, aqueles alunos que têm mais facilidade, ficavam

impacientes em esperar o tempo necessário para a aprendizagem dos colegas e não raras

vezes, deram as respostas prontas ou adiantaram as formalizações.

Algumas das dificuldades encontradas não podem ser resolvidas de imediato, mas

podem ser contornadas caso o professor se proponha a isto, como no caso da quantidade de

máquinas insuficientes e da falta de condições técnicas para uso dos laboratórios de

informática. Outras podem ser minimizadas com a realização de novas experiências como no

caso das dificuldades que surgiram que podem ser atribuídas à falta de experiência dos

alunos, por não estarem habituados à realização de investigações ou não estarem

familiarizados com o uso do computador ou dos estagiários por não estarem habituados ao

trabalho em sala de aula seja com o uso Geogebra como recurso de aprendizagem ou por

estarem experimentando pela primeira vez a metodologia de Investigação Matemática. Estas

poderão ser minimizadas com o desenvolvimento de outras atividades desse tipo, as tornando-

as familiares para alunos e professores.

Assim, apesar reconhecer que houve dificuldade, este projeto não se deteve a

explorar este assunto, visto que, os resultados positivos obtidos e identificados na mediação

pedagógica dos estagiários permitem afirma que, mesmo diante dos muitos desafios

encontrados, por meio da Investigação Matemática com o software Geogebra as condições de

aprendizagem se tornam favoráveis à construção dos conhecimentos matemáticos pelos

alunos. Os desafios são muitos, contudo, possíveis de serem contornados quando a se tem

consciência da função do professor em sala de aula no contexto atual, quando se tem

257

conhecimentos sólidos em relação ao conteúdo e domínio da metodologia de ensino que se

pretende usar e bons conhecimentos teóricos sobre como se processa as aprendizagens dos

alunos.

A mediação das pesquisas dos acadêmicos aconteceram no período de março a

outubro do ano de 2014. Estas aconteceram de forma sistematizada e com uso de

procedimento científico. Partindo da formulação de um problema, passando pela coleta e

análise de dados, identificando inter-relações entre a prática e os fundamentos teóricos que

propiciaram a formação de saberes e desenvolvimento de habilidades necessárias para o

exercício da docência. Desta forma se construiu conhecimentos por meio a integração entre

teoria-prática e pesquisa-reflexão. Promoveu-se a "formação da capacidade para articular os

conhecimentos teóricos à sua prática profissional e de reflexão sobre a educação na sociedade

em que se situa o papel do professor e do aluno na prática social dos indivíduos e a finalidade

da ação pedagógica." (OLIVEIRA E PERES, 2013, p. 10).

Os resultados mostram que ao desenvolver pesquisas no Estágio Supervisionado os

futuros professores tiveram a oportunidade de construir saberes pedagógicos e conhecimentos

a partir de suas próprias práticas e assim se reconhecerem como professores sendo capazes de

criarem, modificarem e reformularem as suas formas de trabalhar e se desenvolverem

profissionalmente. Nesse sentido o Estágio Supervisionado se apresentou como um espaço

importante na formação inicial do professor. Segundo Pimenta e Lima (2008) o estágio deve

voltar-se para o desenvolvimento de atividades vivenciadas de forma reflexiva e crítica e deve

ser planejado gradativa e sistematicamente com essa finalidade, tendo em mente quais

habilidades esperam se formar na formação inicial de professores. Neste sentido o estágio

proporcionou a articulação dos saberes e práticas constituindo-se em um grande desafio que

teve como meta oportunizar e estimular a produção de saberes por meio da ação-reflexão-ação

em uma concepção de estágio em que o futuro professor deveria formar a sua identidade de

professor por meio da pesquisa que proporcionassem reflexões sobre acontecimentos e ações

que os auxiliassem na compreensão da realidade da escola.

Assim a compreensão do conceito de pesquisa como instrumento metodológico e

epistemológico articulador do processo de ação-reflexão-ação na construção do conhecimento

dos futuros professores. Além do entendimento dos processos de formação baseados na

reflexão da ação e sobre a ação. Foram fundamentais para que a mediação no Estágio

Supervisionado se realizasse com a função formadora baseada na pesquisa e na construção da

autonomia.

258

O espaço de discussão criado durante a mediação da orientadora de estágio sobre o

uso das tecnologias e softwares matemáticos, sobre metodologias de ensino, sobre recursos

didáticos e sobre os desafios da profissão docente por meio da pesquisa sistematizada se

constituiu de espaços importantes para a formação profissional dos licenciandos. Por meio das

experiências do estágio com pesquisa os estagiários tiveram a oportunidade de desenvolver

projetos relevantes para as suas formações profissionais.

Por meio da mediação entre a pesquisa e a formação docente o que se buscou foi

quebrar ou superar a fragmentação entre a teoria e a prática. A ideia usada foi a de práxis em

que o estágio se desenvolveu com postura investigativa em que os alunos observaram,

refletiram e fizeram intervenções nos contextos da escola e na vida dos professores e alunos e

buscando a partir das experiências vivenciadas identificarem os desafios da profissão docente,

analisar metodologias de ensino e aprendizagens e instrumentos didáticos, refletir sobre as

práticas educativas a avaliação e o planejamento, sobre o que é ser professor pesquisador,

sobre o perfil necessário para o professor do século XXI e sobre a função social do professor

como agente de mudanças sociais. Logo, o estágio foi realizado numa perspectiva não de

"atividade prática, mas atividade teórica, instrumentalizadora da práxis docente, entendida

esta como a atividade de transformação da realidade." (PIMENTA E LIMA, ano, p. 10).

As dificuldades para mediar o Estágio Supervisionado com pesquisa estiveram no

fato de que os acadêmicos tinham poucos conhecimentos no que ser refere à realização de

pesquisa sistematizada, na dificuldade que apresentaram para realizar as análises e redigir os

textos. Outro fator dificultador esteve no fato de que a professora orientadora da turma que

orientou as pesquisas estar pouco habituada a trabalhar o estágio sob esta perspectiva.

Outras dificuldades que podem ser lembradas são o fato de os professores de

Matemática das escolas campo terem uma carga horária muito extensa o que dificultou

encontrar momentos adequados para as entrevistas e reflexão coletiva. As práticas

autoritárias, a desvalorização do professor e descontentamento com a profissão leva os

professores a encararem participações em atividades de pesquisas com os estagiários como

sendo mais um acréscimo de serviço não remunerado, provocando ainda certo descrédito de

que os resultados possam ser positivos. A expectativa e a cobrança por receitas prontas

provocaram angústia nos estagiários. Contudo as dificuldades encontradas serviram não como

barreiras, mas sim, para reflexões importantes sobre a profissão docente.

Esta pesquisa foi relevante porque contribuiu para a minha formação enquanto

docente da Educação Básica e enquanto docente universitária formadora de professores,

contribuiu na formação dos sete acadêmicos do quarto ano do curso de Licenciatura em

259

Matemática da UEG/Iporá, futuros professores de Matemática e ainda contribuiu para a

ampliação dos conhecimentos matemáticos de mais de cem alunos da Educação Básica de

duas escolas públicas da cidade de Iporá. Ao fazer reflexões sobre Estágio Supervisionado

com pesquisa ainda traz contribuições para melhoria dos estágios na Universidade Estadual de

Goiás.

O produto é um sítio na internet publicado no endereço

<http://geogebradinamico.wix.com/geogebra>, com o objetivo de divulgar as sequências

didáticas desenvolvidas por meio da Investigação Matemática com o software Geogebra, bem

como a avaliação deste software e a análise das atividades realizadas em sala de aula. Isto

possibilitará a inserção da pesquisa no meio educacional de Iporá e região tendo ainda a

possibilidade de contribuir em realidades escolares de outras localidades do país se

considerado o alcance da internet. Desta forma os resultados da pesquisa poderão contribuir

efetivamente na melhoria do estágio do Curso de Licenciatura em Matemática da UEG

Campus de Iporá como também de outras universidades que tenham foco na formação de

professores. Também as atividades experimentais poderão servir como material de consulta

para atuais e futuros professores que poderão dar continuidade a ela ou usar as discussões

aqui realizadas para aprofundar na reflexão sobre o ensino e aprendizagem de Matemática.

261

REFERÊNCIAS

ALMEIDA, Fernando José. Educação e informática: os computadores na escola. São Paulo,

Cortez, 1988. 103 p.

ALRO, Helle; SKOVSMOSE, Olé. Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática.

Tradução: Orlando de A. Figueiredo. Belo Horizonte, Autêntica, 2006. 158 p.

ALVES, George de Sousa. SOARES, Adriana Benevides. Geometria Dinâmica: um estudo

de seus recursos, potencialidades e limitações através do software Tabulae. In: Instituto

Geogebra. Rio de Janeiro, 2003. p. 1-12. Disponível em: <http://www.geogebra.im-

uff.mat.br/biblioteca/WIE_George_Adriana.pdf.> Acesso em: 14 de maio 2014.

BORTOLOSSI, Humberto José; REZENDE, Wanderley Moura; PESCO, Dirce Uesu.

Geogebra. 2012. In: Instituto Geogebra. Rio de Janeiro. Disponível em:

<http://www.geogebra.im-uff.mat.br/index.html>. Acesso: 20 de ago. 2014

BATISTA, Pedro Henrique Cassimiro de Paulo; OLIVEIRA, Claudimary Moreira Silva. O

estudo do gráfico da Função Quadrática por meio da Investigação Matemática com o

software Geogebra. Universidade Estadual de Goiás (UEG). Anais do IV Congresso de

Educação do Câmpus Iporá, vol. II, 2014, p. 176-194. Disponível:

<http://www.anais.ueg.br/index.php/congressoeducacaoipora/article/view/4518>. Acesso:

09 de fev. 2014.

BONA, Berenice de Oliveira. Análise de Softwares educativos para o ensino de

Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Universidade Luterana do Brasil.

Carazinho, RS, Brasil, 2009. p. 35-55. Disponível em

<www.if.ufrgs.br/eenci/artigos/Artigo_ID71/v4_n1_a2009.pdf.> Acesso: 29 de ago. 2014.

BORBA. Marcelo Carvalho; PENTEADO, Mirian Godoy. Informática na Educação

Matemática. Belo Horizonte, Autêntica, 2012. 98 p.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:

Matemática /Secretaria de Educação Fundamental. Brasília : MEC /SEF, 1998.

__________. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:

introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1997.

__________. Secretaria de Educação Básica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino

Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 2000.

__________, Conselho Nacional de Educação, Parecer 009/2001. Brasília, 2001, MEC/ SEF,

2001. Disponível < http://portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/009.pdf>. Acesso: 14 de ago.

2014.

BRAUMANN, Carlos A. Divagações sobre investigação Matemática e o seu papel na

aprendizagem da Matemática. In J. P. Ponte; C. Costa, A. I. Rosendo, E. Maia, N.

Figueiredo, e A. F. Dionísio (Eds.), Actividades de investigação na aprendizagem da

Matemática e na formação de professores. Lisboa: SEM-SPCE, 2002. p. 5-24. Disponível

262

em: <http://spiem.pt/DOCS/ATAS_ENCONTROS/2002/2002_02_CABraumann.pdf>.

Acesso: 25 de jun. 2014.

BUENO, Luzia Leão de Oliveira, OLIVEIRA, Claudimary Moreira Silva, ANDRADE

Calebe Martes de. A Investigação Matemática com o software Geogebra no estudo da

Geometria fractal. Anais do IV Congresso de Educação do Câmpus Iporá, vol. II, 2014, p.

555-568. Disponível:

<http://www.anais.ueg.br/index.php/congressoeducacaoipora/article/view/4571/2657 >.

Acesso: 09 de fev. 2014.

CACHAPUZ, António. et al. A necessária renovação do ensino de ciências. São Paulo,

Cortez, 2005. 263p.

CASTRO, Renato Lourenço de; OLIVEIRA, Claudimary Moreira Silva; VAZ Duelci

Aparecido de Freitas. Formalizando o total de diagonais de um polígono qualquer por

meio da Investigação Matemática com o software Geogebra. Anais do IV Congresso de

Educação do Câmpus Iporá, vol. II, 2014, p. 127-142. Disponível: <

http://www.anais.ueg.br/index.php/congressoeducacaoipora/article/view/4517/2615>.


COSTA, Luiz Jorge. Prática de Ensino III: Construções Geométricas - Guia de Estudos da

disciplina. Ouro Preto - MG. Edição do autor. 2012. 196 p.

CHARLOT, Bernard. Relação com o saber, formação de professores e globalização. Porto

Alegre, ARTMED Editora, 2005. 160 p.

CRUVINEL, Junior Carlos; OLIVEIRA, Claudimary Moreira Silva. A Investigação

Matemática com o Geogebra no estudo das propriedades dos paralelogramos

especiais. Anais do IV Congresso de Educação do Câmpus Iporá, vol. II, 2014, p. 143-156.

Disponível: < http://



CRUZ, Donizete Gonçalves da. A utilização de Ambiente Dinâmico e Interativo na

construção do conhecimento produzido. Tese ( Mestrado em Educação Matemática) Setor

de Ciência Humanas e Sociais, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2005. 169 p.

Disponível em:

<http://dspace.c3sl.ufpr.br/dspace/bitstream/handle/1884/7414/DONIZETE%20GON%C3%8

7ALVES%20DA%20CRUZ.pdf?sequence=1>. Acesso: 09 de set. 2014.

CUNHA, Maria Helena; OLIVEIRA, Hélia; PONTE, João Pedro da Ponte. Investigações

Matemáticas na sala de aula. In A. Pinheiro, A. P. Canavarro (Eds.), Actas do ProfMat 95

Lisboa: APM, 1995. p. 161-168.

D'AMBROSIO, Ubiratan, Educação Matemática da Teoria à prática. Coleção Perspectiva

em Educação Matemática. Campinas - SP. Papirus, 1996. 121 p.

Demo, Pedro. Pedro Demo aborda os desafios da linguagem no século XXI. In: Maria

SALGADO, Umbelina Cariafa; AMARAL, Ana Lucia. Tecnologias na Educação:

ensinando e aprendendo com as TIC: guia do cursista/Brasilia; Ministério da Educação.

263

Secretaria de Educação à distância; 2008. Cap. 4, p. 139-149. Disponível em:

<http://eproinfo.mec.gov.br/webfolio/Mod86886/unidade%203/nota10.pdf>. Acesso: 04 de

ago. 2014.

FIORENTINI, Dario. Alguns Modos de Ver e Conceber o Ensino da Matemática no

Brasil. Zetetiké, ano 3, nº4, p. 1-37, 1995. Disponível em:

<http://www.cempem.fae.unicamp.br/prapem/publicacao.htm.> Acesso em: 25 de jun 2014.

FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Ségio. Investigação em educação matemática:

percursos teóricos e metodológicos. 2 ed. Campinas - SP, Autores Associados, 2009. 240 p.

FIORENTINI Dario; SOUZA JR Arlindo; MELO Gilberto. Saberes docentes: um desafio

para acadêmicos e práticos. In: GERALDI, Corinta M.C; FIORENTINI, Dario; PEREIRA,

Elisabete M. de A. (orgs.).Cartografias do trabalho docente: professor (a)-pesquisador (a).

Campinas - SP, Mercado das Letras, 1998, p.307-335.

FOUREZ, Gérard. A construção das ciências: Introdução à filosofia e ética das ciências.

Trad. de Luiz Paulo Rouanet. São Paulo, Editora Unesp, 1995. p. 207-225.

FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 505

p.

FONSECA, Helena. BRUNHEIRA, Lina. PONTE, João Pedro da. Actividades de

investigação na aula de Matemática. Veritati – Revista da U.C.Sal, Universidade Católica

do Salvador, p. 57-73.

FREIRE, Paulo; FAGUNDEZ, Antônio. Por uma pedagogia da pergunta. Rio de Janeiro:

Paz e Terra, 1985. 158 p.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da Autonomia: Saberes necessários à prática educativa. 16 ed.

São Paulo - SP, Paz e Terra, 2007. 148 p.

GLADCHEFF Ana Paula; ZUFFI E. M.; SILVA D. M. Um Instrumento para Avaliação da

Qualidade de Softwares Educacionais de Matemática para o Ensino Fundamental. Anais

do Congresso da Sociedade Brasileira de Computação VII WORKSHOP DE

INFORMÁTICA NA ESCOLA, Fortaleza, CE, Brasil, 2001. p. 1-12. Disponível em:

<http://revistas.pucsp.br/index.php/pensamentorealidade/article/viewFile/8484/6296>.

Acesso: 29 de ago. 2014.

UEG, Universidade Estadual de. Projeto Político Pedagógico do Curso de Licenciatura em

Matemática, Câmpus Iporá. 2009.

GRACIAS,Telma S.; PENTEADO Miriam G.; BORBA e Marcelo C. (orgs.) A informática

em ação: formação de professores, pesquisa e extensão. São Paulo. Olho d’Água, 2000. 80 p.

GRAVINA, Maria Alice, SANTAROSA, Maria Lucila, A aprendizagem da Matemática

em ambientes informatizados, Revista Informática na educação: teoria & prática, v. 1, n. 2

(1998). p. 73-78. Disponível em: <

https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/20962/000243348.pdf?sequence=1>.

Acesso: 20 de jun. 2014.

264

GRAVINA, M. A. Geometria dinâmica uma nova abordagem para o aprendizado da

geometria - MG. In: Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, Belo Horizonte, MG.

1996. Anais Belo Horizonte: SBIE, 1996. p. 1-13. Disponível em: <

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/EDUCACAO_E_T

ECNOLOGIA/GEODINAMICA.PDF>. Acesso: 20 de jun. 2014.

ISO 9126-1. (1997) International Organization for Standardization. ― Information

technology - Software quality characteristics and metrics - Part 1: Quality characteristics and

sub-characteristics‖. ISO/IEC 9126-1 (Commitee Draft).

LÉVY, Pierre. Cibercultura. (Trad. Carlos Irineu da Costa). São Paulo: Editora 34, 2009.

250 p.

LIBÂNEO, José Carlos. Didática. São Paulo: Cortes Editora, 1994. 263 p.

LORENZATO, Sérgio. (org.). O laboratório de ensino de Matemática na formação de

professores. Coleção Formação de professores. 2. ed. São Paulo: Autores Associados, 2009.

185 p.

_____________. Para aprender Matemática . Coleção Formação de professores. 3.

ed. São Paulo: Autores Associados, 2010. 140 p.

MANZINI, Eduardo José. Considerações sobre a transcrição de entrevistas. Observatório

Nacional de Educação Especial de São Paulo, SP. 2006. p. 1-17. Disponível em:

<http://www.oneesp.ufscar.br/texto_orientacao_transcricao_entrevista>. Acesso: 20 de nov.

2014.

MASETTO, Marcos T. Mediação pedagógica e o uso da tecnologia. In: Moran, José

Manuel (org.). Novas tecnologias e mediação pedagógica. Campinas, SP: Papirus, 2000.

MENDES, Iran Abreu. Matemática e Investigação em sala de aula: tecendo redes

significativas na aprendizagem. 2. ed. São Paulo: Livraria da Física, 2009. 216 p.

MORAN, José Manoel. Ensino e aprendizagem inovadores com tecnologias. Revista

Informática na Educação: Teoria & Prática. Porto Alegre, vol. 3, n.1 2000. UFRGS. Programa

de Pós-Graduação em Informática na Educação, pág. 137-144. Disponível em: <

http://seer.ufrgs.br/InfEducTeoriaPratica/article/view/6474>. Acesso: 20 de nov. 2014.

_____________. A educação que desejamos: novos desafios de como chegar lá. Campinas:

Papirus, 2007. 174 p.

MORAN, J. M.; MASSETO, M. T.; BEHRENS, M. A. Novas tecnologias e mediação

pedagógica. 3. ed. Campinas: Papirus, 2007. 173 p.

NÓBREGA, J. C. C.; ARAÚJO, L. C. L. Aprendendo Matemática com o GeoGebra. 1. ed.

Brasília: Editora Exato, 2010.

NÓVOA, Antonio. (coord). Os professores e sua formação. Lisboa-Portugal: Dom Quixote,

1997. 94 p.

265

________________. Refletindo sobre educação continuada. Revista Nova Escola.

Agosto/2002.

OLIVEIRA, Helia Margarida. SEGURADO, Maria Irene. PONTE, João Pedro da. Tarefas

de investigação em Matemática: Histórias da sala de aula. In G. Cebola e M. Pinheiro

(Eds.), Desenvolvimento curricular em Matemática, p. 107-125. Lisboa: SEM-SPCE, 1998.

OLIVEIRA, Claudimary Moreira Silva, PERES, Thalitta Fernandes de Carvalho. O Estágio

como pesquisa: formação inicial de professores no curso de Licienciatura em Matemática da

UEG, Unidade de Iporá/GO, 2013. p. 1-14. Disponível em:

<http://vedipe.blessdesign.com.br/pdf/gt05/co%20grafica/artigoprof_Claudimary_Thalitta_U

EGIpora.pdf>. Acesso: 13 de out. 2014.

OLIVEIRA, Iara Letícia Leite de, GUIMARÃES, Simone Uchôas, ANDRADE, José Antônio

Araújo andrade. As potencialidades do GeoGebra em processos de Investigação

Matemática: uma análise do desenvolvimento de objetos de aprendizagem da EaD no ensino

presencial. 2012. Revista do Instituto GeoGebra Internacional de São Paulo. v. 3, n. 2, 2014.

p. 1-15. Disponível em: <http://revistas.pucsp.br/index.php/IGISP/article/view/9598/7161>.

Acesso: 25 de set. 2014.

OLIVEIRA, Camila Kássia Monteiro, OLIVEIRA, Claudimary Moreira Silva de, VAZ

Duelci Aparecido de Freitas. Projeto ladrilhar: uma adaptação do projeto Desafio


software Geogebra. Anais do Seminário Educação 2014 : Educação e seus Modos de Ler-

Escrever em Meio à Vida. 2014. p. 1575-1584. Disponível em:

<http://sistemas.ufmt.br/ufmt.evento/filesTemp/_Anais_SEMIEDU_2014%20-

%20Completo.pdf>. Acesso: 20 de mar. 2014.

PAIS, Luis Carlos. Ensinar e aprender Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2013. 152

p.

______________. Didática da Matemática: uma análise da influência francesa. 2. ed. Belo

Horizonte: Autêntica, 2002. 125 p.

PIMENTA, Selma Garrido; ANASTASIOU. L. G. C. Educação, Identidade e profissão

docente. Docência no Ensino Superior. 4. ed. São Paulo: Cortez. 2010, Cap. 1, p. 141-158.

PIMENTA, Selma Garrido; LIMA, Maria Socorro Lucena. Estágio e Docência. São Paulo:

Cortez, 2008. 296 p.

PIMENTA, Selma Garrido. A didática como mediação na construção da identidade do

professor: uma experiência de ensino e pesquisa na licenciatura. In: ANDRÉ, M. E. D. A. de;

OLIVEIRA, M. R. N. S. (orgs.). Alternativas no ensino de didática. 4. ed. São Paulo: Papirus,

1997.

PIMENTEL, Carla Silva, PONTUSCHKA, Nadia Nacib. A construção da profissionalidade

docente em atividades de estágio curricular: experiências da Educação Básica. In:

ALMEIDA, Maria Isabel de, PIMENTA, Selma Garrido, (orgs). Estágios Supervisionados

na formação docente. 1. ed. São Paulo, Cortez, 2014. p. 69-112.

266

PONTE, João Pedro da. Pesquisar para compreender e transformar a nossa própria

prática. 2004. Educar em Revista, 24, 37-66. Disponível em:

<http://ojs.c3sl.ufpr.br/ojs/index.php/educar/article/viewFile/2208/1851> Acesso: 10 de set.

2014.

PONTE João Pedro da, BRUNHEIRA Lina, FERREIRA Catarina Ferreira, OLIVEIRA Hélia,

VARANDAS José. Investigando as aulas de investigações Matemáticas. In ABRANTES

P., PONTE J. P., FONSECA H., BRUNHEIRA L. (Eds.), Investigações matemáticas na aula

e no currículo. Lisboa. 1999. Disponível em:

<http://www.prof2000.pt/users/j.pinto/textos/texto12.PDF> Acesso: 10 de jun. 2014.

PONTE, João Pedro. OLIVEIRA, Helia Margarida. BRUNHEIRA, Lina. VARANDAS, João

Manoel. FERREIRA, C. O trabalho do professor numa aula de investigação matemática.

Lisboa Pt.,Quadrante, Volume 7. n. 2, p. 41-70. 1998.

PONTE João Pedro da, BROCARDO Joana, OLIVEIRA, Hélia. Investigações na Sala de

aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2013. 131 p.

ROCHA, A., PONTE, J. P. (2006). Aprender Matemática investigando. Zetetiké, 14(26),

29-54. Disponível em: <

http://www.fe.unicamp.br/revistas/ged/zetetike/article/view/2428/2190>. Acesso: 15 de ago.

2014.

SANTOS, Paula Roberta dos, OLIVEIRA, Claudimary Moreira Silva, VAZ Duelci

Aparecido de Freitas. O uso do software Geogebra metodologia e da Investigação

Matemática na formalização do cálculo de áreas desconhecidas por meio da regra dos

trapézios. Anais do IV Congresso de Educação do Câmpus Iporá, vol. II, 2014, p. 157-175.

Disponível: < http://



SHECHTMAN, S. Mediação Pedagógica em ambientes virtuais de aprendizagem a partir

da complexidade e do pensamento ecossistêmico. Dissertação de Mestrado da Universidade

Católica de Brasília, Brasília, 2009.

SILVA, Kátia Augusta Curado Pinheiro Cordeiro da, Pesquisa: espaço de formação do

sujeito. Revista de Educação, Linguagem e Literatura da UEG-Inhumas v. 1, n. 1, março de

2009. p. 157-167. Disponível em:

<http://www.revista.ueg.br/index.php/revelli/article/download/2835/1797>. Acesso: 10 de

jun. 2014.

SILVA, Kátia Augusta Curado Pinheiro Cordeiro da, LIMONTA, Sandra Valéria. A pesquisa

na formação e no trabalho dos professores da educação básica. Rev. Diálogo Educ.,

Curitiba, v. 12, n. 37, set./dez. 2012. Disponível em: <

www2.pucpr.br/reol/index.php/DIALOGO?dd1=7201edd99=pdf>. Acesso: 12 de jun. 2014.

267

SILVA, Letícia de Oliveira, OLIVEIRA, Claudimary Moreira Silva. Investigação

Matemática em sala de aula: o uso do software Geogebra no ensino de área e perímetro

de quadrados, retângulos e triângulos. Anais do IV Congresso de Educação do Câmpus

Iporá, vol. II, 2014, p. 235-252. Disponível: < http://



SKOVSMOSE, Olé. Educação Matemática crítica: a questão da democracia. Campinas, SP:

Papirus, 2001. 160 p.

_______________. Educação Crítica: Incerteza, Matemática e Responsabilidade. São

Paulo: Cortez, 2006. 304 p.

_______________. Desafios da Reflexão em Educação Matemática Crítica. Campinas. SP.

Editora Papirus, 2008. 130 p.

_______________. Cenários para investigação. Bolema – Boletim de Educação

Matemática, Rio Claro, n. 14, p. 66 – 91, 2000.

VALENTE, José Armando. Diferentes usos do computador na educação. UNICANP 2002.

Disponível em: <http://www.educacaopublica.rj.gov.br/biblioteca/tecnologia/0022.html>.

Acesso: 28 de ago. 2014.

________________. Computadores e conhecimento: repensando a educação. Campinas:

UNICAMP. 1993.

________________. O Computador na Sociedade do Conhecimento. Campinas:

UNICAMP. 1999.

________________. Questão do software: Parâmetros para o desenvolvimento de software

educativo. Campinas : NIED, 1989. Disponível em:

<http://www.nied.unicamp.br/ojs/index.php/memos/article/view/79>. Acesso: 06 de ago.

2014.

________________. Visão analítica da Informática na Educação no Brasil: a questão da

formação do professor. Revista Brasileira de Informática na Educação. RS: Sociedade

Brasileira de Computação, nº 1, set. de 1997.

VAZ, Caroline Rodrigues; FAGUNDES, Alexandre Borges e PINHEIRO, Nilcéia A. Maciel.

O surgimento da ciência, tecnologia e sociedade (CTS) na educação: uma revisão. Anais

do I Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia, Curitiba, 2009. ISBN: 978-85-

7014-048-7. Disponível em <http://ensinandoquimica.files.wordpress.com/2013/05/o-

surgimento-da-cic3aancia-tecnologia-sociedade-na-educac3a7c3a3o.pdf>, acesso em 20 de

set. 2013.

VAZ, Duelci Aparecido de Freitas, Experimentando, conjecturando, formalizando e

generalizando: articulando investigação Matemática com o Geogebra. Educativa, Vol. 15,

No 1 (2012). Disponível em: http://seer.ucg.br/index.php/educativa/article/view/2491 Acesso

20 de set. de 2013.

269

APÊNDICES

271

APÊNDICE A: VERSÃO FINAL DO PRODUTO DESENVOLVIDO

DURANTE A PÓS-GRADUAÇÃO

O produto é um sítio na internet publicado no endereço

<http://geogebradinamico.wix.com/geogebra> com todas as sequências didáticas

desenvolvidas com uso da Investigação Matemática com o software Geogebra, bem com a

avaliação deste software e a análises das atividades realizadas em sala de aula.

A seguir a descrição das páginas, abas e links do sitio.

272

Na primeira página "Início" do sítio, à direita, localizam-se algumas informações

sobre o produto e sobre que assuntos poderão ser encontrados nas outras páginas.

À esquerda da página inicial encontram-se os links que darão entrada para os

projetos de pesquisa dos estagiários bem com as análises que fizeram das aulas experimentais

de Investigação Matemática como o Geogebra. As atividades experimentais poderão servir

como material de consulta para atuais e futuros professores que poderão dar continuidade a

ela ou usar as discussões aqui realizadas para aprofundar na reflexão sobre o ensino e

aprendizagem de Matemática, sobre a metodologia de Investigação Matemática, sobre o

software educacional Geogebra e sobre o Estágio Supervisionado com pesquisa.

273

Na página "O projeto" contém identificação das características do projeto de

pesquisa e da metodologia de pesquisa utilizada. Abrindo este link identifica-se a questão de

pesquisa, os objetivos Gerais e específicos, a natureza, os procedimentos e instrumentos e as

atividades pesquisa do projeto. Encontra-se ainda uma breve descrição do produto final

desenvolvido. Na página "Quem somos" estão os emails de contatos e algumas informações

profissionais dos pesquisadores.

Na página "O Geogebra" está descrito como se deu a escolha do Geogebra para o

desenvolvimento das atividades experimentais deste projeto, assim como as características

técnicas e pedagógicas do software. O link "Site oficial do softwares educacional Geogebra"

abaixo dá entrada para o sitio oficial <http://www.geogebra.org/> onde, além de outras

informações técnicas sobre o softwares pode se encontrar exemplos de atividades

desenvolvidas por pesquisadores, um link para fazer download gratuito do programa, link

para manual oficial do software com as suas principais ferramentas e formas de utilização

destas ferramentas e recursos.

A página "links úteis" apresenta informações adicionais sobre o software Geogebra

como por exemplo estudos desenvolvidos por pesquisadores de várias universidades, vídeos

explicativos, manuais, exemplo de atividades, etc.

274

Na página "Investigação Matemática" estão as abas que direcionam o leitor para os

projetos de pesquisas dos estagiários onde se encontram os resumos das pesquisas e os links

para os artigos produzidos pelos acadêmicos. O leitor poderá ter acesso às mesmas

informações utilizando os links à esquerda na primeira página do sitio.

Na página "O Estágio" e nas abas "O estágio do 3º ano/2013" e "O estágio do 4º

ano/2014" o leitor encontra o relato de experiência do Estágio Supervisionado com pesquisa

realizado em 2013 e 2014, assim como links para os artigos produzidos pelos acadêmicos ao

final de cada etapa.

275

Na página "Outras produções" encontram-se os links para as produções originárias

da pesquisa.

O link centralizado, abaixo, na primeira página "O Estágio Supervisionado do Curso

de Licenciatura em Matemática da UEG/Iporá" dá acesso ao projeto de Estágio

Supervisionado do Curso com a descrição de todos os objetivos e etapas do projeto.

Desta forma os resultados da pesquisa poderão contribuir efetivamente na melhoria

do Ensino de Matemática. As atividades experimentais serão úteis como material de consulta

276

para atuais e futuros professores que poderão dar continuidade a ela ou usar as discussões

aqui realizadas para aprofundar na reflexão sobre o ensino e aprendizagem de Matemática.

Espera-se ainda que os resultados obtidos possam contribuir para melhorias no

estágio do Curso de Licenciatura em Matemática da UEG, Campus de Iporá como também de

outras universidades que tenham foco na formação de professores.

1 claudimary moreira silva oliveira a investigaÇÃo matemÁtica com o geogebra no estÁgio com...

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