GEOMETRIA E MOSAICOS COM GEOGEBRA

Autor: Eugênio Yamaji1

Orientador: Sandra Malta Barbosa2

Resumo

Este artigo tem por objetivo relatar a experiência de uma proposta de atividades para o ensino de alguns conceitos e propriedades de geometria analítica por meio da construção de mosaicos no software de geometria dinâmica Geogebra e da investigação matemática, uma vez que uma das grandes dificuldades do aluno é visualizar e compreender a relação entre a álgebra envolvida neste conteúdo e a sua representação geométrica. Um dos motivos dessa dificuldade está no fato do professor ter poucos recursos em apresentar de maneira dinâmica várias situações e exemplos gráficos quando se limita ao uso do quadro negro. A aplicação dessas atividades ocorreu com 12 alunos voluntários do 3º ano do Ensino Médio do período matutino do Colégio Estadual Professor Newton Guimarães – Ensino Fundamental e Médio de Londrina (PR) como parte integrante do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) mantido pela da Secretaria Estadual de Educação do Paraná (SEED-PR), em convênio com as Instituições Públicas de Ensino Superior (IES), em particular com a Universidade Estadual de Londrina (UEL) no segundo semestre de 2011. As aulas foram aplicadas em contraturno escolar dos alunos e verificou-se que o uso destes recursos, contribuiu de maneira significativa para a compreensão dos conteúdos envolvidos, levando-os a refletir também sobre a importância dos mosaicos e sua relação com a Matemática.

Palavras-chave: tecnologia; investigação matemática; geometria analítica.

1 Introdução

O estudo de geometria analítica do Colégio Estadual Professor Newton

Guimarães de Londrina (PR) destaca-se no processo algébrico em detrimento das

1 Especilização em Estatística, professor de Matemática do C. E. Prof. Newton Guimarães – Londrina

(PR). 2 Doutora em Educação Matemática. Docente Adjunto B. Departamento de Matemática, Universidade

Estadual de Londrina (UEL).

visualizações geométricas das situações propostas, dada a dificuldade e a falta de

dinamismo para a representação das mesmas no quadro-negro. Desta forma, há

pouco interesse e envolvimento dos alunos nas questões propostas, pois estas

acabam se tornando meras atividades algébricas sem a devida compreensão

geométrica dos problemas em estudo. Neste sentido, o bom uso de tecnologias

educacionais aliado a metodologias adequadas pode contribuir para melhorar o

processo de ensino-aprendizagem.

O uso de software de geometria dinâmica contribui para o dinamismo das aulas

e para que o aluno faça a integração entre o processo algébrico e as construções

geométricas. O software Geogebra foi então escolhido, uma vez que ele é gratuito e

encontra-se instalado nos laboratórios de informática dos colégios estaduais do

Paraná.

As atividades propostas foram construções de mosaicos onde se pretendia

através delas explorar alguns conceitos e propriedades da geometria analítica

envolvidas no processo de construção. Nessas atividades, a investigação

matemática aparece de forma que o professor não tivesse que apresentar as

soluções, mas que colocasse situações para o aluno questionar e conjecturar

envolvendo-os de forma mais significativa no processo de ensino-aprendizagem.

As aulas foram ministradas com 12 alunos voluntários do 3º ano do Ensino

Médio do período matutino em contraturno escolar. Essas aulas ocorreram uma vez

por semana, sempre às terças-feiras das 19h às 22h, totalizando 30 horas. Nas

atividades propostas nas aulas, as soluções apresentadas pelos alunos eram

variadas, uma vez que as construções dos mosaicos se tornavam questões abertas

e não havia uma única forma de se construí-los. Coube ao professor, então

questionar com os alunos a validade das construções e ainda sobre os conceitos e

propriedades que apareciam nas mesmas.

A avaliação da compreensão dos alunos foi feita através de questões escritas e

principalmente através dos questionamentos com alunos durante os processos de

construção. Durante tais questionamentos foi perceptível através das falas dos

alunos que o dinamismo das construções, a visualização gráfica aliada à parte

algébrica proporcionada pelo software que a compreensão se tornava mais

significativa, pois eles podiam testar, comparar e tirar as suas próprias conclusões.

Além de contribuir para o aprendizado em geometria analítica, que era o foco

em questão, os alunos puderam perceber a beleza dos mosaicos e a sua relação

com a Matemática. As construções eram como desafios para os alunos; eles

procuravam alternativas para se conseguir a precisão das formas, notavam as

propriedades geométricas e no final além da satisfação de se conseguir efetuar a

construção, cada um colocava o seu toque pessoal na arte final, combinando cores

e efeitos nos mosaicos.

2 Fundamentação Teórica

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do

Paraná – Matemática (2008), no Ensino Médio, os conceitos de geometria plana e

espacial devem ser aprofundados através da representação algébrica, ou seja,

através da geometria analítica.

Em geral, nas aulas de geometria analítica são apresentados conceitos,

propriedades e fórmulas e a seguir, passa-se para a resolução de exercícios do livro

didático. Esta metodologia tradicional traz pouco envolvimento dos alunos durante

as aulas; eles fazem o papel de meros aplicadores e repetidores de fórmulas já

prontas, cujos resultados são verificados se o aluno conseguiu ou não resolver os

exercícios, se chegou ou não na resposta já esperada e pré-determinada. Faz-se

necessário, então, encontrar uma metodologia na qual os alunos se envolvam mais,

que sejam desafiados e que as tarefas não sejam meros exercícios, mas atividades

que possibilitem os alunos a pensar, raciocinar, explorar, formular conjecturas e

justificar suas conclusões. As investigações matemáticas contribuem para que este

tipo de situação de aprendizagem ocorra, conforme afirmam Ponte, Brocardo e

Oliveira (2003).

Na disciplina de Matemática, como em qualquer outra disciplina escolar, o

envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental da aprendizagem.

O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos

com vista a atingir um objetivo. Esse é, precisamente, um dos aspectos

fortes das investigações. Ao requerer a participação do aluno na formulação

das questões a estudar, essa atividade tende a favorecer o seu

envolvimento na aprendizagem (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003,

p.23).

Nas investigações, ao contrário de uma metodologia mais tradicional, as

questões são mais abertas, por isto ela permite que os alunos possam explorar e

investigar sobre as situações propostas, podendo ser aplicada em todos os ramos e

conteúdos matemáticos, sendo muito propícia na Geometria. De acordo com Ponte,

Brocardo e Oliveira (2003), “as investigações geométricas contribuem para perceber

aspectos essenciais da atividade matemática, tais como a formulação e teste de

conjecturas e a procura e demonstração de generalizações” (p.71).

O uso de tecnologias pode permitir que o aluno vivencie tais situações de

exploração, por exemplo, quando ele faz uma investigação dos gráficos de funções

trigonométricas gerados por uma calculadora gráfica ou por algum software. É claro

que a tecnologia por si só não garante uma aula investigativa; cabe ao professor

propor atividades e um ambiente que permita tal situação. O grande diferencial das

tecnologias está nas respostas rápidas, ou feedback, principalmente pelas

representações gráficas desses recursos, permitindo assim que os alunos façam

comparações e conjecturas. Tal potencial encontra-se explícito nas Diretrizes

Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática (2008), “no

contexto da Educação Matemática, os ambientes gerados por aplicativos

informáticos dinamizam os conteúdos curriculares e potencializam o processo

pedagógico” (p.65).

Como recurso tecnológico, neste projeto foi utilizado o software de geometria

dinâmica Geogebra, uma vez que ele é gratuito e encontra-se instalado nos

laboratórios de informática das escolas estaduais do Paraná. Neste programa foram

propostas atividades de construção de mosaicos de tal forma que seja propiciado as

condições para que o aluno possa exercitar nessas atividades o processo

investigativo.

A geometria analítica caracteriza-se, muitas vezes, por uma grande quantidade

de álgebra, e o seu estudo é feito de maneira isolada, sem afinidade com outras

geometrias e outras disciplinas, dessa forma é comum o aluno ter dificuldade em

relacionar as representações algébricas com as geométricas. No colégio em estudo,

as aulas de geometria analítica são ministradas através da apresentação de

conceitos, propriedades, fórmulas e resolução de exercícios e essa metodologia

convencional faz com que os alunos tenham pouca compreensão e visualização

geométrica. Assim, para os alunos, o estudo da geometria analítica acaba se

caracterizando como um estudo de álgebra e não como o estudo de conceitos e

propriedades geométricas. E ainda, os alunos pouco são estimulados a raciocinar,

deduzir e conjecturar, pois recebem fórmulas e propriedades prontas, isto é, apenas

comprovam o que já está estabelecido aplicando tais fórmulas e propriedades nos

exercícios propostos, o que tornam essas atividades meras resoluções algébricas e

não um estudo de geometria.

Segundo Moran (2007), o conhecimento não se impõe e não se dá pela mera

transferência de informação, pois o conhecimento necessita de reflexão e precisa

ser construído, no entanto, a facilidade de informações cria a acomodação e a

multiplicação, ou seja, a repetição do que já é conhecido.

Considerando que o aluno precisa experimentar, testar, analisar e conjecturar

para que através da sua reflexão seja construído o conhecimento, este projeto tinha

o seguinte questionamento: o uso de um software de geometria dinâmica, como o

Geogebra, pode propiciar uma aula de geometria em que o aluno não seja apenas

espectador, mas que esteja envolvido em atividades investigativas fazendo parte do

processo de ensino-aprendizagem?

Portanto, o objetivo do projeto foi pesquisar e aplicar uma metodologia para o

estudo da geometria analítica em que não sejam apresentados conceitos, fórmulas e

propriedades prontas para os alunos, mas uma metodologia que leve os alunos a

pensar, conjecturar, deduzir fórmulas e propriedades geométricas, relacionando a

álgebra com a geometria e ainda que visualizem graficamente a aplicação de tais

propriedades geométricas.

2.1 A Geometria

A presença da geometria na nossa vida cotidiana é incontestável. Ela se

encontra nas formas dos objetos que convivemos como móveis, objetos decorativos,

nos desenhos dos imóveis, dos automóveis e outros. Mas ela se encontra ainda em

outras situações, ainda que não seja tão explicitamente ou que não faça parte do

cotidiano de algumas pessoas, como nos estudos de topografia, astronomia,

eletricidade, medicina, polícia científica, esportes e muitas outras aplicações, ou

seja, é difícil pensar em qualquer atividade humana em que não esteja presente

direta ou indiretamente elementos da geometria.

Embora o historiador grego Heródoto relate que a geometria nasceu no antigo

Egito, existem registros que remontam à época das antigas civilizações da

Mesopotâmia como os tabletes de argila datados do período 1900-1600 a.C., do

período babilônico, que fazem menção ao que conhecemos hoje como Teorema de

Pitágoras (GORODSKI, 2008).

O interesse da geometria nos povos antigos sempre esteve ligado às

aplicações práticas da mesma, como a demarcação de terras no antigo Egito, nas

construções de templos dos chineses e hindus e outras aplicações, seja de ordem,

meramente estética ou estrutural.

Até então, o estudo da geometria estava mais ligado para solucionar problemas

e facilitar as questões técnicas das aplicações em si, não aparecendo ainda os

princípios lógicos e as justificativas teóricas em questão, ou seja, eram

simplesmente regras empíricas. A mudança desse quadro foi lenta e gradual, onde

talvez muitos conhecimentos possam não ter registros.

Tales de Mileto (624 a.C. – 547 a.C.) é considerado o primeiro homem a fazer

descobertas matemáticas específicas e o introdutor da geometria na Grécia.

Destaca-se também na Grécia os estudos de Pitágoras de Samos (569 a.C. – 475

a.C.), Platão (427 a.C. – 347 a.C.) e outros.

Mas um marco na história da geometria ocorreu por volta dos anos 300 a.C.

quando Euclides (325 a.C. – 265 a.C.) escreveu a obra os Elementos. São treze

volumes que contém a maior parte da matemática conhecida na época e se

caracteriza pela organização e os critérios de rigor lógico-dedutivo (GORODSKI,

2008).

Muitos outros estudiosos se destacaram na história da Matemática e

Geometria, mas após a obra de Euclides são de grande relevância os estudos de

Gauss, Bolyai e Lobachvski no século XIX com a descoberta das geometrias não

euclidianas; os estudos de Geometria Analítica de Fermat e Descartes, os estudos

do cálculo infinitesimal de Newton e Leibniz.

Destacam-se na geometria diferencial os estudos de Euler, Gauss e Riemann

que unificou as geometrias euclidianas e não-euclidianas, dando um novo conceito

de espaço, que na perspectiva das Ciências Físicas deram origem a teoria da

relatividade de Einstein (GORODSKI, 2008).

2.2 As Investigações Geométricas

Segundo Moran (2007), o conhecimento integrador e inovador é um dos eixos

principais da educação inovadora. E ainda, o conhecimento acontece na alternância

equilibrada entre o pensamento divergente (não estruturado) e o pensamento

convergente (organizado). O não-estruturado caracteriza-se pelas tensões, pela

pesquisa e busca pelo novo, enquanto que o divergente caracteriza-se dentre outros

aspectos, pela organização, sistematização e estruturação.

Mas infelizmente existem muitos problemas e dificuldades que atrapalham essa

aprendizagem inovadora.

Os principais obstáculos para a aprendizagem inovadora são: o currículo

engessado, conteudista; a formação deficiente de professores e alunos; a

cultura da aula tradicional, que leva os professores a privilegiarem o ensino,

a informação e o monopólio da fala. Também são obstáculos: o excessivo

número de alunos, de turmas e de matérias que muitos professores

assumem e a obsessão pela preparação para o vestibular das melhores

universidades, o que concentra a atenção no conteúdo provável desse

exame e não na formação integral do adolescente (MORAN, 2007, p.45).

De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2003) as tendências curriculares

atuais salientam a importância do estudo da geometria de forma experimental,

indutiva e exploratória, considerando também as aplicações na vida real.

As Investigações Matemáticas em Geometria podem proporcionar novas

formas de abordar o estudo dessa área proporcionando e estimulando o aluno a

fazer experiências, analisar, traçar hipóteses e conjecturas sobre os resultados

obtidos.

As investigações matemáticas contribuem para perceber aspectos

essenciais da atividade matemática, tais como a formulação e teste de

conjecturas e a procura e demonstração de generalizações. A exploração

de diferentes tipos de investigação geométrica pode também contribuir para

concretizar a relação entre situações da realidade e situações matemáticas,

desenvolver capacidades, tais como a visualização espacial e o uso de

diferentes formas de representação, evidenciar conexões matemáticas e

ilustrar aspectos interessantes da história e da evolução matemática

(PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003, p.71).

De acordo com Borba e Penteado (2001), cada vez mais está sendo

reconhecida a importância e a relevância das atividades de investigação, ganhando

destaque a proposta pedagógica experimental com tecnologia, uma vez que esses

recursos permitem resultados e visualizações rápidas, contribuindo desta forma para

as tarefas investigativas que se caracterizam pelas análises e comparações em

detrimento das meras tarefas de memorização e aplicação de técnicas das

metodologias tradicionais.

2.3 O Uso de Tecnologias

De acordo com Moran (2008), nas propostas inovadoras de ensino-

aprendizagem devemos deslocar o foco para o aprender e para o aluno e para tanto,

o uso de tecnologias pode contribuir pois através delas podemos “flexibilizar o

currículo e multiplicar os espaços, os tempos de aprendizagem e as formas de fazê-

lo” (MORAN, 2008, p.45).

Segundo Borba e Penteado (2001) as inovações educacionais não são

exclusividades do uso de tecnologias informática (TI), pois

na verdade, as inovações educacionais, em sua grande maioria,

pressupõem mudança na prática docente, não sendo uma exigência

exclusiva daquelas que envolvem o uso de tecnologia informática. A

docência, independente do uso de TI, é uma profissão complexa. Nela

estão envolvidas as propostas pedagógicas, os recursos técnicos, as

peculiaridades da disciplina que se ensina, as leis que estruturam o

funcionamento da escola, os alunos, seus pais, a direção, a supervisão, os

educadores de professores, os colegas professores, os pesquisadores,

entre outros (BORBA e PENTEADO, 2001, p.56).

É importante salientar que, quando o professor trabalha com inovações

educacionais, ele deve estar consciente que pode se deparar com situações

imprevisíveis, pois este tipo de proposta faz com que ele trabalhe fora da sua “zona

de conforto” e isto ocorre também quando trabalhamos com tecnologias

computacionais e portando “o professor é desafiado constantemente a rever e

ampliar o seu conhecimento” (BORBA; PENTEADO, 2001, p.65).

A incorporação de recursos computacionais e a atividade em si não garantem

bons resultados, pois o sucesso depende ainda da abordagem pedagógica do

professor.

Os resultados do uso de ambientes computacionais são consequências não

de características intrínsecas dos próprios ambientes, mais sim da

abordagem pedagógica em que esses são inseridos. Daí decorre uma

relação de via dupla: por um lado, o sucesso da incorporação de atividades

computacionais, na prática do professor, não dependendo das atividades

por si só, mas são fortemente determinados pelo papel do professor

(GIRALDO; MURUCI, 2010, p.171).

O uso de software de geometria dinâmica é um grande aliado neste tipo de

proposta pedagógica, pois através dele é possível fazer investigações geométricas

de uma forma mais ágil. Os softwares permitem fazer construções rápidas e de

respostas imediatas, o que seria mais moroso se fossem feitas com papel, lápis,

régua, compasso, transferidores e outros instrumentos. Desta maneira é possível

dedicar-se mais tempo na análise dos resultados do que na construção.

Esse suporte tecnológico permite o desenho, a manipulação e a construção

de objetos geométricos, facilita a exploração de conjecturas e a

investigação de relações que precedem o uso do raciocínio formal. Vários

estudos empíricos destacam também que, na realização de investigações, a

utilização dessas ferramentas facilita a recolha de dados e o teste de

conjecturas, apoiando, desse modo, explorações mais organizadas e

completas e permitindo que os alunos se concentrem nas decisões em

termos de processo (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003, p.83).

Existem vários programas de geometria dinâmica como Cabri-Géomètre,

Sketchpad, Geometricks, Geogebra, dentre outros. Conforme mencionado, neste

projeto foi utilizado o programa Geogebra por ser gratuito e encontra-se instalado

nos laboratórios de informática das escolas estaduais do Paraná.

Aliado ao uso das TIC, o estudo da Geometria se deu com o auxílio dos

mosaicos, onde através das suas construções foram feitas as explorações e as

investigações geométricas.

2.4 Os Mosaicos

A palavra mosaico origina-se do termo “mosaicon” que significa “musa” e

algumas fontes traduzem como “paciência das musas”. De acordo com o dicionário

da língua portuguesa Michaellis (2002), mosaico é um desenho feito com embutidos

de pedras de várias cores; pavimento feito de ladrilhos variados; a arte de fazer

obras desse gênero; qualquer obra do artefato composto de partes visivelmente

distintas ou Miscelânea.

Os mosaicos são conhecidos desde os povos antigos: assírios, babilônicos,

persas, egípcios, gregos, chineses e outros, e encontram-se presentes até os dias

atuais.

Os primeiros mosaicos conhecidos foram encontrados em pequenos cones de

cerâmica na antiga Suméria apresentado na Figura 1, a seguir.

Figura1 – Cones de cerâmica.

(Disponível em: <http://mosaico.pt/index.php?page=templates-and-stylesheets>. Acesso em: 18 jun. 2012.)

Os mosaicos, no entanto, podem ser encontrados na própria natureza, tais

como, o abacaxi (ilustrado na Figura 2), jaboti, cobras, favo de abelhas e outros.

Figura 2 – Abacaxi.

A aplicação dos mosaicos pode ser tanto de natureza meramente artística

quanto prática. Atualmente, eles podem ser feitos de vários tipos de materiais: vidro,

pedras, mármore, cerâmica, papéis coloridos e outros materiais. Eles se encontram

em vitrais, pisos, revestimentos, painéis e em produções digitais.

Os mosaicos podem não ser formados necessariamente por figuras

geométricas, mas a grande relação que existe entre os mosaicos e a Matemática é a

busca de padrões e simetria, conforme podemos observar na Figura 3, a seguir.

Figura 3 – Mosaico: padrões e simetria.

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) foi um dos grandes artistas que

maravilharam o mundo com as suas obras repletas de geometria como o mosaico

ilustrado na Figura 4, a seguir.

Figura 4 – Mosaico de Escher.

(Disponível em: <www6.ufrgs.br/espmat/geonoplano/conteudo14.htm>. Acesso em: 18 jun. 2012.)

Seus trabalhos são marcados por duas fases: na primeira esses trabalhos

correspondem à realidade visível de cidades e regiões italianas e na segunda fase,

seus trabalhos caracterizam pela imaginação, detalhes e a busca de regularidades.

Apesar de ser artista, ele se dizia mais intimamente ligado aos matemáticos do que

aos seus colegas artistas (BARBOSA, 2005).

De acordo com Barbosa (2005), “um conjunto de polígonos é uma

pavimentação do plano se, e só se, o conjunto de polígonos cobre sem cruzamentos

o plano” (p.3).

Observe que no exemplo de pavimentação na Figura 5, todo ponto do plano

pertence a pelo menos um polígono (cobre o plano) e que não é a intersecção de

polígonos, ou seja, não há cruzamentos.

Figura 5 – Pavimentação do plano.

As pavimentações podem ser feitas tanto com polígonos regulares quanto com

polígonos irregulares. O fato é que em ambos os casos, no encontro entre dois ou

mais vértices a soma dos ângulos internos nesse ponto é sempre 360°, conforme

ilustrado na Figura 6, a seguir.

Figura 6 – Soma de 360° nos encontros dos vértices.

As pavimentações com polígonos regulares são comuns em pisos e azulejos

que revestem calçadas, cozinhas, banheiros, decorações de fachadas e outras. Elas

se encontram também na natureza, como nos favos de mel, que são construções de

forma hexagonal, conforme ilustrada na Figura 7, a seguir.

Figura 7 - Favo de mel.

Nas pavimentações com polígonos regulares observa-se que no ponto de

encontro dos polígonos a soma dos ângulos internos em torno desse ponto deve ser

sempre 360º, conforme apresentado no exemplo da Figura 8, em que cada

hexágono regular possui um ângulo interno de 120º, de forma que no encontro de

três hexágonos regulares, obtém-se uma soma de 360º.

Figura 8 – Pavimentação com 3 hexágonos regulares.

A pavimentação sem sobreposição com polígonos regulares só é possível com

triângulos equiláteros (Figura 9), quadrados (Figura 10) e hexágonos (Figura 8).

Figura 9 – Pavimentação com 6 triângulos equiláteros.

Figura 10 – Pavimentação com 4 quadrados.

A Tabela 1, a seguir, apresenta as possíveis pavimentações com polígonos

regulares, pois a soma dos ângulos internos dos polígonos regulares colocados

deve ser sempre 360º.

Nº de lados Soma dos ângulos

internos (graus)

Medida de cada ângulo interno

(graus)

Nº de polígonos colocados

3 180 60 6

4 360 90 4

5 540 108 x

6 720 120 3

7 900 128,5714 x

8 1080 135 x

9 1260 140 x

10 1440 144 x

11 1620 147,2727 x

12 1800 150 x

13 1980 152,3077 x Tabela 1 – Possíveis pavimentações com polígonos regulares.

Observa-se na Tabela 1, que multiplicando o número de polígonos colocados

pela medida de cada ângulo interno, o resultado deve ser 360° para que possa

haver uma pavimentação sem sobreposição de polígonos, portanto, isto só é

possível para polígonos regulares de 3, 4 e 6 lados.

3 A Implementação

Este projeto foi aplicado com 12 alunos voluntários de três turmas do 3º ano do

Ensino Médio do Colégio Estadual Professor Newton Guimarães do município de

Londrina (PR) do período matutino. Estes alunos frequentavam as aulas regulares

no período matutino e durante dez terças-feiras, eles tiveram as aulas deste projeto

das 19h às 22h, totalizando 30 horas no meses de setembro, outubro, novembro e

dezembro de 2011. Cabe salientar ainda que o professor das aulas regulares não foi

o mesmo da aplicação deste projeto, portanto não interferindo no planejamento do

professor das aulas regulares. Estes alunos vieram para as aulas do projeto já com

algum conhecimento de geometria analítica.

Durante o projeto percebeu-se a sobrecarga de estudo e excesso de atividades

desses alunos, pois a maioria deles tinham aulas regulares no período matutino,

aulas de curso pré-vestibular, estágios ou outra atividade no período vespertino e

uma vez por semana frequentavam as aulas do projeto, o que motivou a desistência

de três alunos.

As aulas ocorreram no laboratório de informática do colégio que possuía 20

computadores. Foi utilizado ainda um projetor multimídia que precisou ser

requisitado junto à direção do colégio e montado com antecedência a cada aula.

Na primeira aula foram apresentados os objetivos do projeto, a forma como

seriam trabalhadas as aulas e algumas normatizações. Nesta aula foi questionado

sobre os motivos que levaram os alunos a participaram do projeto como relatado por

duas alunas:

Aluna 1: O que me motivou a participar foi primeiramente pelo aprendizado, pois estava muito confusa com relação à geometria e como segundo motivo, pela informação, pois em ano de vestibular é sempre bom aprender, desde coisas simples até o que não sei, e no meu caso como já mencionei, tenho um pouco de dificuldade em geometria, então pretendo melhorar.

Aluna 2: O principal motivo que me levou a participar desse projeto foi a busca por novos conhecimentos e principalmente porque a faculdade que desejo tem essa matéria na grade de disciplinas, então essa é uma boa oportunidade de conhecer a matéria, aumentar meus conhecimentos sobre geometria, sobre o software e sobre mosaicos.

Foi feita ainda na primeira aula a ambientação dos alunos com o

funcionamento dos equipamentos e o software Geogebra através de algumas

atividades de construções geométricas conforme apresentadas a seguir. Alguns

alunos já haviam trabalhado com o programa, porém com pouca experiência. A

partir da segunda aula foram trabalhadas então as construções dos mosaicos e a

exploração dos elementos da geometria envolvidos.

3.1 As atividades

As atividades foram impressas por aula conforme o desenvolvimento de cada

uma delas, pois como as atividades se caracterizavam por serem abertas o tempo

de construção e questionamento em cada uma delas poderia variar conforme a

compreensão e a dificuldade dos alunos. Outro motivo é para que eles não

antecipassem as atividades em casa, ou seja, eles só sabiam sobre as atividades a

serem desenvolvidas no momento da aula. Isto foi importante, pois se fazia

necessário analisar as dificuldades, o desenvolvimento e os questionamentos dos

alunos no momento da construção.

As três primeiras atividades tiveram como foco a ambientação dos alunos com

o Geogebra e as demais as construções de mosaicos para a exploração de

elementos de geometria analítica e outros conceitos e propriedades.

Atividade 1) Retas

a) Nesta atividade mantenha visível o eixo xy e a malha quadriculada (menu

Exibir: Eixos, Malha) e também a Janela de Álgebra;

b) Trace uma reta qualquer utilizando a ferramenta Reta definida por dois pontos;

c) Observe que aparecerá na Janela de Álgebra dois pontos com a suas

coordenadas em Objetos Livres e a equação geral da reta em Objetos

Dependentes;

d) Clique com o botão direito do mouse sobre a equação da reta na Janela de

Álgebra ou sobre a reta na Janela Geométrica. No menu da reta, selecione a

forma da equação reduzida da reta: Equação y = kx + d e observe o resultado

da nova equação na Janela de Álgebra;

e) Identifique na Janela de Álgebra, quais os valores de k e d;

f) Com a ferramenta Mover (Seta), clique e arraste um dos pontos e observe a

nova equação na Janela de Álgebra;

g) Ainda com a ferramenta Mover, clique e arraste a reta e observe a equação da

reta na Janela de Álgebra;

h) Relate o que você observou.

Atividade 2) Retângulo

a) Nesta atividade mantenha visível apenas a Janela de Álgebra;

b) Construa um retângulo de medidas 8 cm por 5 cm;

c) Verifique o seu perímetro e a sua área.

Atividade 3) Círculo inscrito em um triângulo

a) Nesta atividade mantenha visível apenas a Janela de Álgebra;

b) Construa um triângulo escaleno qualquer e a seguir insira um círculo inscrito

neste triângulo de forma que as suas extremidades sejam tangentes aos lados

do triângulo conforme ilustração da Figura 11, a seguir.

Figura 11 – Círculo inscrito em um triângulo escaleno.

c) Qual o perímetro do triângulo? E do círculo?

d) Qual a área do triângulo não ocupada pelo círculo?

Atividade 4) Mosaico formado por quadrados I.

Construa o mosaico da Figura 12, a seguir, formado por quadrados.

Figura 12 – mosaico formado por quadrados.

Atividade 5) Mosaico formado por quadrados II

a) Construa o mosaico do exercício anterior (Figura 12) sem utilizar a ferramenta

de construção de polígonos regulares.

b) Observe a Figura 13 a seguir. Se a equação da reta a é y = x – 2, qual é a

equação da reta b que é paralela à reta a?

Figura 13 – Mosaico com quadrados – equações de retas.

c) Ainda observando a Figura 13, responda: qual é a equação da reta c?

Justifique.

Atividade 6) Mosaico formado por triângulos equiláteros

a) Construa o mosaico conforme a Figura 14 a seguir que é formado por

triângulos equiláteros sem utilizar a ferramenta de construção de polígonos

regulares.

Figura 14 – mosaico formado por triângulos equiláteros.

b) Observando a Figura 15 a seguir, justifique por que a equação da reta a é

xy 731, .

Figura 15 – Mosaico formado por triângulos equiláteros – equações da reta.

c) Ainda observando a Figura 15, responda: qual a equação da reta b?

Atividade 7) Pavimentação com um polígono regular

Nas atividades 5 e 6, os mosaicos foram construídos apenas com quadrados ou

triângulos equiláteros, ou seja, foi feita a pavimentação do plano apenas com um

tipo de polígono regular. Construa um mosaico que seja formado apenas por um tipo

de polígono regular, sem utilizar a ferramenta de construção de polígonos regulares.

Atividade 8) Pavimentação com octógonos regulares e quadrados

A pavimentação do plano também é possível, utilizando-se mais de um polígono

regular.

a) Construa o mosaico da Figura 16 a seguir em que são utilizados apenas

octógonos regulares e quadrados.

Figura 16 – Mosaico com octógono regulares e quadrados.

b) Qual é a distância entre os pontos A(0,0) e B(2,2) da Figura 17, a seguir?

Figura 17 – Distância entre os pontos A e B.

Atividade 9) Área em azulejo

Esta atividade é uma adaptação da questão 29 do Banco de Questões da OBMEP

(Olimpíadas Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) 2010 – nível 3.

A Figura 18 foi montada com 12 azulejos quadrados de lados iguais a 10 cm.

Figura 18 – 12 azulejos quadrados

a) Construa a Figura 18.

b) Qual é a área da região destacada (pintada de cinza)?

Atividade 10) Mosaico estrelado

a) Construa o mosaico ilustrado na Figura 19 a seguir de modo que ele esteja

inserido em um retângulo de 12 cm por 10 cm.

Figura 19 – Mosaico estrelado.

b) Qual a área da região estrelada (área em branco)?

Atividade 11) Colcha quadrada

Esta atividade é uma adaptação da questão 81 banco de questões da OBMEP

(Olimpíadas Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) 2010 – nível 1.

a) Uma colcha quadrada em branco e cinza é feita com quadrados e triângulos

retângulos isósceles conforme ilustrado na Figura 20. Construa esta colcha e

responda: a parte em cinza representa qual percentagem da colcha?

Figura 20 – Colcha quadrada.

b) Considere o Ponto P de coordenadas (2,6) e a reta r: y = x – 2 da Figura 21.

Qual a distância entre o ponto P e a reta r?

Figura 21 – colcha quadrada: distância entre ponto e reta

Atividade 12) Mosaico com arcos

Construa o mosaico da Figura 21, a seguir, formado por círculos e arcos.

Figura 21 – Mosaico com arcos.

4 Análise de Algumas Atividades

Na primeira atividade de ambientação, os alunos construíram retas com dois

pontos livres e não tiveram dificuldade em identificar os coeficientes angulares e

lineares verificando ainda a diferença entre movimentar os pontos da reta e

movimentar a reta como relatado, por exemplo, por uma aluna no item g e i da

atividade:

Aluna 3: A equação da reta mudou de acordo com a mudança de algum dos pontos. Houve também mudança nos valores de k (número que acompanha o x) e de d. Ao movimentar a reta não houve mudança no coeficiente angular; os pontos A e B e o coeficiente linear mudaram, mas o ângulo não se altera, ou seja, não muda inclinação da reta.

Na atividade 4, mosaico formado por quadrados I, os alunos não tiveram

dificuldade de construir o mosaico com a ferramenta polígono regular (quadrado)

como observado na construção da aluna 4, conforme a Figura 22, a seguir.

Figura 22 – Mosaico com quadrados – desenvolvido por uma aluna 4.

Na atividade 5, mosaico formado por quadrados II, quando eles foram construir

com retas (paralelas e perpendiculares), alguns se “perderam” e acabaram pedindo

auxílio aos colegas. Nesta construção, utilizando retas, os alunos ficaram focados

em construir o mosaico e não se atentaram para as perguntas a seguir, como mostra

a Figura 23, onde a aluna 5 não posicionou o mosaico exatamente conforme o

exemplo.

Figura23 – Mosaicos com retas 2 – desenvolvido pela aluna 5.

No entanto, verificou-se que os alunos compreenderam muito bem as

propriedades sobre os coeficientes angulares e lineares, pois comparando a figura

do exemplo da atividade e as suas construções, eles não tiveram dificuldade em

responder a pergunta do item b) y = x + 2 e c) sobre retas paralelas como relata a

observação da aluna 6.

Aluna 6: O coeficiente angular continua o mesmo, só o coeficiente linear é que muda.

5 Conclusão

Por meio da aplicação das atividades propostas no projeto, podemos concluir

que a utilização de mosaicos, do software Geogebra e da investigação matemática

contribuem significativamente para o aprendizado de geometria analítica, pois a

dinâmica do programa conciliando a álgebra e sua representação gráfica permite

que os alunos e inclusive o professor, possa fazer conjecturas e análises sobre os

conteúdos envolvidos em questão.

Por outro lado, é evidente que aplicar as atividades em contraturno com uma

quantidade de alunos bem inferior à das aulas regulares, também contribuiu muito

para a condução dos trabalhos, pois foi possível analisar mais atentamente o

caminhar da construção e compreensão de cada aluno em particular. E ainda, em

uma turma regular, já há o problema de que o número de alunos é maior que o de

computadores disponíveis. O fato de trabalhar com alunos voluntários também

facilitou o trabalho e contribuiu para o resultado positivo, pois se tratavam de alunos

que não estavam participando por obrigação e sim por interesse.

Outro ponto a destacar é o grande tempo gasto para esta metodologia pois

envolve o preparo do professor, das atividades, do material e do laboratório de

informática e outros equipamentos auxiliares como projetor multimídia.

Mas o importante é salientar que a metodologia utilizada pode dar bons

resultados, mas para isso é preciso trabalhar com as estruturas adequadas: número

compatível de computadores e alunos, equipamentos auxiliares e tempo de

preparação do professor.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARBOSA, R. M. Descobrindo Padrões em Mosaicos. São Paulo: Atual, 1993.

BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte, Autêntica, 2001, 3.ed. 2.reimp., 2007 (Coleção Tendências em Educação Matemática, 2).

GIRALDO, V.; MURUCI, M. L. Funções Reais em Ambientes de Geometria Dinâmica: tecnologia e saberes docentes. Recife: SEBEM, 2010.

GORODSKI, C. Um breve panorama histórico da geometria. Revista Matemática Universitária. Rio de Janeiro: SBM, p.14-29, n.44, jun. 2008.

MICHAELIS, H. Moderno Dicionário da Língua Portuguesa. São Paulo:

Melhoramentos, 2000.

MORAN, J. M. A Educação que desejamos: novos desafios e como chegar lá.

Campinas: Papirus, 2007.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação – SEED. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte, Autêntica, 2003, 2.ed., 2009.