课例 17 勾股定理

A

B Ca

bc

如果直角三角形的两直角边长分别为 a ， b ，斜边长为 c ，

那么 a2 + b2 ＝ c2 .

“ 弦图”

∵ c2 － 4× ab ＝ (a － b)2 ， ∴ c2 ＝ a2 + b2 .

c

a － b

a b

1_2

a

ab

b

c

c

a

ba

bc

c

a

b

c

c a

b

a

b

c

a

b

c

a

b

c

c

a

b

2002 年世界数学家大会会标

a2

b2

c2

a2 + b2 = c2

1955 年希腊发行的一枚纪念邮票

c

a b

a － b

aa a

a

a

c

a

b

b

b

b

bb c

cc

c

c

b

a

a

a

a

b

b

b

1876 年美国总统加菲尔德的证法

cc

a

a b

b

（ a+b) (a+b ） = c2+2× ab 1_2

1_2

A

B C

D E

F

G

K

H

Ｌ

Ｍ

　　 S△ABD = S 矩形 BDLM ， 　　　

S△FBC = S 正方形 FBAG ，　　

　　 ∵ S△ABD = S△FBC ，　　

∴ S 矩形 BDLM = S 正方形 FBAG ．

　 同理， S 矩形 CELM = S 正方形 ACKH ． 　

∴ S 正方形 ABFG + S 正方形 ACKH = S 正方形 BDEC ．

2

1

2

1

A

C

BD

b2 = cx ① a2 = cy ②

①+② 得 a2+b2=c(x+y)=c2 ， a2 + b2 = c2 .

c

ab

x y

b

xy

aA C

D

cb

bx

ca

ay

BC

D

△ ACD∽△ABC △ CBD∽△ABC

=>=>

=>=>

根据切割线定理， AC2 = AD · AE .

∴ AC2 ＝ AD(AB+BC)=(AB – BC)(AB+BC)

= AB2 – BC2.

∴AC2 + BC2 = AB2.

以 B 为圆心 BC 为半径作圆

D

E

AB 交⊙ B 于点 D ，延长 AB 交⊙ B 于点E .

B

AC在 Rt△ABC 中 ，∠ C = 90°.

如图，一根旗杆在离地面 9 m 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 m 处，旗杆折断之前有多高？