对《勾股定理》专题复习的认识

单位： 66 中学姓名 :周岩

2023年4月21日

初中数学“四基”教学研究系列活动初中数学“四基”教学研究系列活动

一、核心内容归纳：

• 基本知识：勾股定理及逆定理

一、核心内容归纳：

• 基本技能： 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股

定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

一、核心内容归纳：

• 基本思想与方法： 数形结合，分类讨论，方程思想，转化

化归，由特殊到一般，数学建模。

一、核心内容归纳：

• 基本经验： 已知两边求第三边通常利用勾股定理直

接计算或者列方程求解，立体图形中的勾股定理问题通常转化为平面图形来解决。

二、常见问题枚举：

• 知识点 1 ：（已知两边求第三边 )1 ．在直角三角形中 , 若两直角边的长分别为 1c

m ， 2cm ，则斜边长为 _____________ ．2 ．已知直角三角形的两边长为 3 、 4 ，则另一条边长是 ________________ ．

考查意图说明： 2 ， 3 训练学生分类讨论思想

3 、三角形 ABC 中 ,AB=10,AC=17,BC 边上的高线 AD=8, 求 BC 的长？

考查意图说明：

知识点 2 ：

一、利用方程求线段长

如图，公路上 A ， B 两点相距 25km ， C ， D 为两村庄， DA⊥AB 于 A ， CB AB⊥ 于 B ，已知 DA=15km ， CB=10km ，现在要在公路 AB 上 建一车站 E ，使得 C ， D 两村到 E 站的距离相等，

A

D

E B

C15

25

10

（ 3 ）使得 C ， D 两村到 E 站的距离最短（ 2 ） DE 与 CE 的位置关系（ 1 ） E 站建在离 A 站多少 km 处？

CB

A D

E

F

1、如图，用一张长方形纸片 ABCD进行折纸，已知该纸片宽 AB为 8cm， �长 BC�为 10cm．当折叠时，顶点 D落在 BC边上的点 F处（折痕为 AE）．想一想，此时 EC有多长？ �

二、利用方程解决翻折问题

3、如图，将一个边长分别为 4 、 8 的长方形纸片ABCD折叠，使 C点与 A点重合，则 EF的长是 ?

F

E

D

CB

A

D’

2、在矩形纸片 ABCD中， AD=4cm， AB=10cm，按图所示方式折叠，使点 B与点 D重合，折痕为EF，求 DE的长。 A B

CD

E

F

C’

考查意图说明：

4, 折叠矩形 ABCD 的一边 AD, 折痕为 AE, 且使点 D 落在 BC 边上的点 F 处 , 已知 AB=8cm,BC=10cm ，

求点 F 和点 E 坐标。

,

y

A

B C

D

E

FO x

5. 边长为 8 和 4 的矩形 OABC的两边分别在直角坐标系的 x轴和 y轴上，若沿对角线 AC折叠后，点 B落在第四象限 B1 处，设 B1C交 x轴于点 D，求（ 1 ）三角形 ADC的面积，（ 2 ）点 B1 的坐标，（ 3 ） AB1 所在的直线解析式 .

EO

C B

A

B1

D x

y

问题二：如图，已知正方体的棱长为 2cm（ 1 ）求一只蚂蚁从 A 点到 F 点的距离。（ 2 ）如果蚂蚁从 A 点到 G 点，求蚂蚁爬行的距离。（ 3 ）如果蚂蚁从 A 点到 CG 边中点 M ，求蚂蚁爬行的距离。

E

A B

C

F

G

D

H

●M

问题一：如图，已知圆柱体底面直径为 2cm ，高为 4cm （ 1 ）求一只蚂蚁从 A 点到 F 点的距离。（ 2 ）如果蚂蚁从 A 点到 CG 边中点 H ，求蚂蚁爬行的距离。 A

F

●H

知识点 3 ：勾股定理在立体图形中的应用

变式三：将变式二中的长方体放置如图墙角位置，试求上述蚂蚁行走的对应路线的长。

变式一：将正方体改为有一组对面为正方形的长方体，长为 4cm ，宽 2cm ，高 2cm ，试求上述蚂蚁行走的对应路线的长。

变式二：将正方体改为有一组对面为正方形的长方体，长为 4cm ，宽 2cm ，高 3cm ，试求上述蚂蚁行走的对应路线的长。

E

A B

C

FG

D

H

●M

E

A B

C

F

G

D

H

●M

知识点 4 ：判断一个三角形是否为直角三角形

考查意图说明：勾股定理逆定理应用

1. 直接给出三边长度 ;2. 间接给出三边的长度或比例关系（ 1 ） . 若一个三角形的周长 12cm, 一边长为 3cm, 其他两边之差为 1cm, 则这个三角形是 ___________ 。 （ 2 ）．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ____________ ．（ 3 ）在△ ABC 中， ，那么△ ABC 的确切形状是 _____________ 。

2:1:1:: cba

3 如图，正方形 ABCD 中，边长为 4 ， F 为 DC 的中点， E 为 BC 上一点， 你能说明∠ AFE 是直角吗？

BCCE4

1

变式：如图，正方形 ABCD 中， F 为 DC 的中点， E 为 BC 上一点，且 你能说明∠AFE 是直角吗？

BCCE4

1

4 、一位同学向西南走 40 米后，又走了 50 米，再走 30 米回到原地。问这位同学又走了 50 米后向哪个方向走了？

寻找规律性问题一• 1 如图，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，

以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF ，再以第二个正方形的对角线 AE为边作第三个正方形 AEGH ，如此下去…（ 1 ）记正方形 ABCD 的边长，依上述方法所作的正方形的边长依次为，的值。

• （ 2 ）根据以上规律写出第 n 个正方形的边长的表达式。

寻找规律性问题二教参 157 页 13 题 : 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：（ 1 ）用含有 n （ n 是正整数）的等式表示上述变化规律；（ 2 ）推算出 OA10 的长；（ 3 ）求出 S12 + S22 + S32 + … + S102 的值。

1

S1

S2S3S4

S5...

O A1

A2

A3A4A5

A6

（ 2003 山东烟台）请阅读下列材料：问题：现有 5 个边长为 1 的正方形，排列形式如图 1 －①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形 . 要求：画出分割线并在正方形网格图 ( 图中每个小正方形的边长均为 1) 中用实线画出拼接成的新正方形 .

5

小东同学的做法是：设新正方形的边长为 x(x＞ 0). 依题意，割补前后图形的面积相等，有 x2 ＝ 5 ，解得 x＝ . 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成得矩形对角线的长 . 于是，画出图②所示的分割线，拼出如图③所示的新正方形 .

图 1 图③

图①

图②

参考小东同学的做法，解决如下问题：现有 10 个边长为 1 的正方形，排列形式如图 2④ ，请把它们分割后拼接成一个新的正方形 . 要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图 ( 图中每个小正方形的边长均为 1) 中用实线画出拼接成的新正方形 .

图⑤图④

（ 1）四年一度的国际数学家大会于 2002年 8月 20日在北京召开 . 大会会标如图甲 . 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 . 若大正方形的面积为 13，每个直角三角形两条直角边的和是 5. 求中间小正方形的面积 .

图甲 图乙

（ 2）现有一张长为 6.5cm、宽为 2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成 6块，再拼合成一个正方形 . （要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）

2006 年北京市中考

教材改编题

教材 68 页练习 1 ：有一个直径为 50dm 的圆形洞口，想用一个正方形盖住洞口，则需要正方形的对角线至少多长？

变式一：有一个直径为 50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？

变式二：有一个长为 40cm ，宽为 30cm 的长方形洞口，想用一个圆盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？

教材 67 页探究 2 ：如图 , 一架长为 10m 的梯子 AB 斜靠在墙上 , 梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m.

问题：如果梯子的顶端下滑 1m, 那么它的底端是否也滑动 1 m?

BD

A

C

O

变式一：当梯子的顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的距离 AC会等于梯子底端下滑的距离 BD?

变式二：如果设梯子的长度为 c 米， AO=b 米， BO=a 米，请用含 a 、 b 的式子表示当梯子顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的距离 AC 会等于梯子底端下滑的距离 BD?

教材 70 页练习 5 ：要从电线杆离地面 5m 处向地面拉一条长为 13m 的钢缆，求地面钢缆固定点 A 到电线杆底部 B 的距离。变式一：如果电线杆的高度未知，现有一根一端固定在电线杆顶端的钢缆，且钢缆长比电线杆长 8 米，地面钢缆固定点 A到电线杆底部 B 的距离为 12 米，求电线杆的高度。

C

BA

变式二：现有一根一端固定在电线杆顶端的钢缆，给你一把米尺，你能测量出旗杆的高度吗？请你设计方案。

教材 71 页练习 11 ：如图①，分别以直角三角形 ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 S1 、 S2 、 S3 表示，则不难证明 S1=S2+S3 .问题：如图②，分别以直角三角形 ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S1 、 S2 、 S3 表示，那么 S1 、 S2 、 S3 之间有什么关系？ ( 不必证明 )变式一：如图③，分别以直角三角形 ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 S1 、 S2 、 S3 表示，请你确定 S1 、 S2 、 S3 之间的关系并加以证明；变式二： 若分别以直角三角形 ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用 S1 、 S2 、 S3 表示，请你猜想 S1 、 S2 、 S3 之间的关

系 ?.

三、命题发展预测

• 7 ： 2 ： 1 7 有基本计算 2 有大题中勾股定理的计算，反比例函数综合问题、四边形证明中作为求线段长度的基本方法

四、对于本章复习的想法：• 基本计算的准确性• 注意数学思想方法的渗透例如数形结合、分类

讨论，方程思想等• 注意勾股定理与实际相结合的问题• 注意培养学生的动手操作能力及合作探究能力

如勾股定理探索，数学活动中的折纸问题• 注意勾股定理在综合性问题中的应用例如动点

问题，也为以后学习的相似三角形，二次函数等问题做好铺垫