Параметры

По материалам И.Фельдман , 2016г

Найдем корни квадратного трехчлена в левой части неравенства с помощью теоремы Виета:

При каких a множество решений неравенства  x2 - ( a2 + a ) x + a3 ≤ 0 содержит не менее пяти целых чисел? (задача из подборки И. Яковлева)

  x1 + x2 = a 2 + a x1 x2 = a 3 Отсюда x1= a2 , x2

= a

Разложим левую часть неравенства на множители:( x - a2) ( x – a ) ≤ 0

Введём параметрическую плоскость (a;x)   - вертикальная ось x, горизонтальная ось a.Изобразим на параметрической плоскости  (a;x)  множество решений неравенства  (x-a2)(x-a) ≤ 0

Знак неравенства меняется при переходе через нули левой части, то есть через линии x=a2 и  x=a.   Эти линии являются границами областей  плоскости  (a;x),

в каждой из которыхточки соответствуют определённому знаку левой части неравенства.

a

x

Эти линии являются границами областей  плоскости  (a;x) , в каждой из которых точки соответствуют определённому знаку левой части неравенства. Методом проб определим эти знаки.Пусть a=3 x=0 , т.е.берём точку (3;0 ) ; получим:(0-32)(0-3)>0, значит, в области, где лежит эта точка, левая часть неравенства положительна:

a

x

(3;0)

В самом деле,

a x Знак неравенства

Пояснения

0 2 + (2-0)(2-0)>0

3 0 + (0-9)(0-3) >0

3 4 - (4-9)(4-3) <0

-2 3 - (3-4)(2+3) <0

Выделим голубым цветом области, координаты точек которых удовлетворяют исходному неравенству:

Заметим, что точки, на графиках  x=a2 и x= a принадлежат множеству   решений исходного неравенства.Теперь варьируя значения а (двигая слева направо прямую, параллельную вертикальной оси) , заметим, что множество решений исходного неравенства содержит не менее пяти целых значений x при 

3aили при 7a

3

Не менее пяти–это значит 5 и более ,т.е. « ≥5 »По графику смотрим , где целых 5 значений х (при каком a )?Ответ: при a = -3 , а более пяти при a ≤ -3

В самом деле,

Двигаем далее вправо прямую х= a, ищем, где количество целых значений х « ≥5 »по графику смотрим :при a ≥ 7

7

]3;( a

 Ответ: (-∞;-3]; [7;∞) зелёная область

);7[]3;( a