Август 1989 г. Том 158, вып. 4elibrary.lt/resursai/uzsienio...

Август 1989 г. Том 158, вып. 4

УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК

МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

621.8.034

АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫС ВЫСОКОЧАСТОТНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ЭНЕРГИИ

П. С. Ланда, Я. Б. Дубошинский(Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова)

До недавнего времени было принято считать, что автоколебатель�ные системы — это системы, преобразующие энергию постоянного, неос�циллирующего источника в энергию колебаний [1—7]. Действительно,такие системы удовлетворяют характерным признакам автоколебатель�ных систем, которые на современном языке могут быть сформулированыследующим образом:

1) независимость амплитуды установившихся колебаний от началь�ного состояния системы в широком диапазоне, т. е. существование в фа�зовом пространстве хотя бы одного аттрактора *);

2) независимость спектра колебаний от спектра источника.Однако для реализации указанных признаков автоколебательных

систем наличие именно постоянного источника энергии не является обя�зательным. Толчком к пересмотру определения автоколебательных си�стем явилось открытие возможности хаотических колебаний в пассив�ных нелинейных осцилляторах, находящихся под действием периодиче�ской внешней силы [8, 9]. Такие колебания удовлетворяют перечислен�ным выше признакам и поэтому могут рассматриваться как автоколе�бания.

Оглядываясь назад, можно обнаружить, что в физике давно изве�стен ряд систем, преобразующих энергию высокочастотного источни�ка **) в низкочастотные колебания, частота которых практически не свя�зана с частотой источника. Эти системы также удовлетворяют двум ука�занным признакам, и поэтому их можно отнести к разряду автоколеба�тельных систем. До сих пор на наличие таких систем не обращали долж�ного внимания, вследствие чего они не вошли ни в один из известныхучебников, и учебных пособий по теории колебаний [5, 8, 10]. Вместе стем такие системы не только расширяют наши представления об авто�колебаниях, но и широко используются в технике.

В настоящем обзоре рассмотрены три типа автоколебательных си�стем с высокочастотными источниками энергии, возбуждение колебанийв которых обусловлено тремя различными причинами.

Первый тип систем — это системы с малым по сравнению с перио�дом возникающих автоколебаний временем взаимодействия с источни�ком энергии. При этом система так регулирует поступление энергии, что

*) Аттрактором называется множество точек в фазовом пространстве системы,к которому стремятся все соседние фазовые траектории. В частности, аттракторамиявляются устойчивая особая точка и устойчивый предельный цикл.

**) Высокочастотным здесь и ниже называется источник, частота колебаний ко�торого много выше частоты возбуждаемых автоколебаний.

730 П. С. ЛАНДА, Я. Б. ДУБОШИНСКИЙ

за время взаимодействия она получает толчки нужной величины и внужной фазе.

Системы второго типа — это нелинейные системы, имеющие две сте�пени свободы, одна из которых откликается на внешние высокочастот�ные воздействия (эта степень свободы, в частности, может быть вырож�денной), а другая — на низкочастотные (внутренние). За счет нелиней�ного взаимодействия между динамическими переменными возникаюткомбинационные частоты, так что колебания становятся квазипериоди�ческими. В результате взаимодействия этих колебаний с колебаниямиисточника происходит перекачка энергии высокочастотного источника вэнергию низкочастотных колебаний.

Третий тип систем — термомеханические системы — по существу, со�впадает с классическим. Роль высокочастотного источника энергии здесьзаключается только в том, чтобы поддерживать нужную температурунагреваемого элемента системы. В отличие от первых двух типов, урав�нения, описывающие автоколебания в системах третьего типа, сводятсяк автономным, т. е. не содержащим времени явно. Эти системы включе�ны в настоящий обзор в основном, потому, что они мало известны.

1. Рассмотрим маятник, взаимодействующий с высокочастотным по�лем катушки с током в некотором небольшом интервале координатывблизи положения равновесия (рис. 1). Катушка питается от сети пере�

менного тока или от генератора зву�ковых колебаний. Направление пон�деромоторной силы со стороны ка�тушки коллинеарно направлениюдвижения маятника. Такой маятникбыл предложен авторами работы[11]. Описание экспериментальнойустановки и результаты наблюденияколебаний этого маятника приведе�ны в [12—18].

При малых начальных отклоне�ниях от положения равновесия маят�ник совершает очень малые вынуж�денные колебания на частотевнешней силы. При увеличении на�чального отклонения возможно воз�никновение стационарных колебанийна частоте, близкой к собственнойчастоте колебаний маятника. Приэтом существует несколько устойчи�

вых режимов колебаний с различными значениями амплитуд и фаз. Вы�бор того или иного режима зависит от начальных условий. Частота коле�баний слабо зависит от частоты питающего электромагнит напряжения.

Попыткам теоретического объяснения наблюдаемых эффектов по�священы работы [16—25]. Однако излагаемая в них теория либо не�полна, либо содержит ошибки.

Ниже мы будем опираться на теорию, развитую в работах [21, 26].В отличие от [26] здесь мы учтем нелинейность возвращающей силымаятника.

Уравнение колебаний рассматриваемого маятника при достаточномалых отклонениях от положения равновесия имеет вид

*) Случай, когда функция, определяющая зависимость периодической силы откоординаты, нечетная, рассмотрен в работах [68—71].

функция Хевисайда.Будем рассматривать такие режимы колебаний маятника, для кото�

рых амплитуда а много больше интервала взаимодействия b. При этомусловии на интервале взаимодействия движение маятника можно счи�тать равномерным со скоростью частота колебаний. По�этому силу f(x, t) можно считать зависящей только от времени и ампли�туды колебаний маятника и положить

(при проведении усред�нения учтено, что

Чтобы уравнения (3) имели стационарное решение, нужно, чтобыих правые части не зависели от медленного времени t

n, т. е. от номе�

ра п. Для этого достаточно положитьчисло.

Зависимости устойчивых (сплошные линии) и неустойчивых (штри�ховые линии) значений стационарных амплитуд от относительной рас�

некоторое нечетное число, при

АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 731

где f(x, t) —сила взаимодействия между маятником и электромагнитом.В уравнении (1) сохранены линейный и кубический члены в возвращаю�щей силе. Учет нелинейных членов более высокого порядка не вноситничего принципиально нового в результаты.

Для простоты предположим, что сила взаимодействия имеет вид

где tn— моменты прохождения маятником положения равновесия.

Отметим, что уравнение (1) с учетом (2) является нелинейным из�зазависимости F от а, причем такая нелинейность относится к классуинерционных [4, 6].

Решение уравнения (1) с учетом (2) будем искать в виде

медленно меняющиеся амплитуда и фаза колебаний.Отметим, что роль «медленного» времени, от которого зависят а иможет играть дискретное время t

n.

В первом приближении по методу усреднения [27] уравнения дляполучаем в виде

приведены на рис. 2. Эти зависимости имеют вид близких к периодиче�ским (с «периодом» последовательностей ряда лепестков, соответ�


ствующих разным значениям возможных амплитуд колебаний*). Дляразных значений амплитуд внешней силы, характеризуемых величинойВт, лепестки оказываются вложенными друг в друга, причем меньшимзначениям В

т соответствуют лепестки с меньшей площадью. При умень�

шении Вт верхние последовательности лепестков постепенно исчезают.

Так, самая верхняя последовательность исчезает приТаким образом, как следует из полученных результатов, для каж�

дого фиксированного набора параметров внешней силыет ряд устойчивых дискретных значений амплитуд колебаний м а я т н и к а .

Выход маятника на тот или иной режим колебаний определяется на�чальными условиями. Значения возможных амплитуд колебаний, начи�ная с некоторого номера приближенно равны [26, 28]

целое число. Отсюда и из (3) следует, что времена взаимодей�ствия маятника с внешней силой в процессе стационарных колебанийс этими значениями амплитуд равны

период внешнего воздействия.В связи с этим можно дать следующее физическое объяснение опи�

санному эффекту. Среднее значение силы за время взаимодействия от�лично от нуля и зависит от фазы определяемой величиной Вт. Фазувоздействия система выбирает так, чтобы эта сила подталкивала маят�ник. Через половину периода колебаний маятника, когда маятник, дви�гаясь в обратную сторону, вновь войдет в зону взаимодействия, направ�ление средней силы изменится на противоположное, так как за периодколебаний маятника происходит нечетное число колебаний тока в ка�

*) Последовательности не являются строго периодическими из�за изменения чис�ла m.

тушке. Поэтому при каждом акте взаимодействия маятнику будет сооб�щаться энергия, компенсирующая потери на затухание.

При плавном изменении частоты воздействия амплитуда и часто�та колебаний маятника могут испытывать скачки. При этом возможен«гистерезис», т. е. значения амплитуды и частоты колебаний маятникапри увеличении могут не совпадать с теми же значениями при умень�

Отметим, что хотя частота колебаний маятника должна быть в не�четное число раз меньше частоты воздействия, она всегда остается близ�кой к собственной (это достигается соответствующим выбором системойчисла m). Поэтому зависимость частоты колебаний от частоты воз�действия можно считать слабой и, следовательно, полагать, что необхо�димый признак автоколебательных систем имеет место.

К рассмотренному здесь типу систем относится и так называемая«гравитационная машина» [29] *), модель которой изображена нарис. 3. Шарик, падая на колеблющуюся пластину бесконечной массы,ускоряется, в результате чего могутустановиться стационарные колеба�ния. Практически такая модельбыла осуществлена Брэггом и дру�гими исследователями. Одна из мо�делей осуществлена В. К. Асташе�вым и использована в устройстведля сканирования лазерного луча[30]. Эта модель представляла со�бой пьезоэлектрическую пластинкус наклеенным на нее стеклом, питае�мую от электрического генераторас частотой 200 кГц. На стекло свер�ху падал упругий шарик, и в результате устанавливались периодическиеколебания шарика на низкой частоте.

Близкой к рассматриваемому типу является также система, полу�чившая название «молоточек Андреева» [2, 31].

2. Начало исследованиям систем второго т и п а положено в работеМ. Бетено [32], который наблюдал незатухающие колебания м а я т н и к а ,подвешенного над соленоидом, включенным в цепь переменного тока,частота которого значительно превышала собственную частоту м а я т н и к а(рис. 4) . Маятник представлял собой железный шарик, подвешенный нанити. Попытки теоретического объяснения наблюдаемого явления, сде�л а н н ы е Бетено и впоследствии И. Рокором [33], не увенчались успехом.Н. Минорский [34] не вполне обоснованно свел проблему к парамет�рическому возбуждению маятника. Попытка объяснения эффекта Бете�но на основе явления «гистерезиса», возникающего в нелинейной коле�бательной системе, проведенная в работе [35] **), в настоящее времядискутируется и, по�видимому, не лишена оснований.

*) Такое название нам представляется не вполне удачным, поскольку энергияздесь черпается не из гравитационного поля, а из высокочастотного источника, вызы�вающего колебания пластины.

**) М. И. Козаков, Д. Б. Дубошинский и Я. Б Дубошинский в авторских свиде�тельствах [72, 73] и в других работах дали следующее объяснение механизма воз�буждения колебаний в системах, аналогичных маятник) Бетено: асинхронное преобра�зование высокочастотной энергии в низкочастотную при взаимодействии двух физиче�ски однородных или разнородных колебательных систем происходит из�за того, чтодвижением пассивной низкочастотной системы модулируется по крайней мере один изпараметров высокочастотной колебательной системы, так что за период низкочастот�ных колебаний высокочастотная система четное число раз переходит через значения



В работе Н. Д. Папалекси [36] рассмотрено взаимодействие коле�баний тока в контуре, через который происходит питание электромотора,с углом поворота ротора. Показано, что несинхронное вращение рото�ра*), которое имело место в эксперименте, обусловлено возбуждениеми взаимодействием комбинационных частот. Это, по�видимому, первое

правильное объяснение наблюдаемыхявлений в системах подобного типа.Следует отметить, что Папалекси ука�зал на сходство рассмотренного им яв�ления с возбуждением колебаний ма�ятника Бетено.

С. М. Рытовым [37] исследованасистема, изображенная на рис. 5. Этасистема при условии, что частота по�давляемого на виток L напряжения су�щественно больше собственной часто�ты колебаний железного шарика, мо�жет работать как маятник Бетено.

Система, в некоторой степени ана�логичная маятнику Бетено, предложе�на также в более поздних работах[38, 39]. Она представляет собой элек�тромеханический вибратор, в цепь пи�

тания которого включается конденсатор, образующий вместе с соленои�дом колебательный контур (рис. 6). В работах [38, 39] дается правиль�ное качественное объяснение возбуждения автоколебаний вибратора на

основе комбинационного взаимодействия частот колебаний тока и меха�нической части вибратора. Однако в них допущены некоторые ошибки ине получены результаты в аналитической форме**).

Прежде чем переходить к другим примерам систем рассматривае�мого класса, остановимся на работе системы, изображенной на рис. 6.

прямого и обратного резонансов, в результате чего сила, действующая на низкочастот�ную колебательную систему, превращается из симметричной (квадратичной) в дина�мически двузначную.

*) Несинхронным называется вращение, частота которого не кратна частоте ис�

точника питания.**) Заметим, что система, предложенная в работах [38, 39], по�видимому, наибо�

лее точно соответствует описанному в настоящем пункте типу колебаний. В системахже Бетено и Рытова возбуждение колебаний может быть обусловлено как описаннымздесь механизмом, так и действием нелинейной по координате периодической квадра�тичной силы.


эффициенты, зависящие от параметров системы.В уравнениях (5) отброшены все нелинейные члены, содержащие

степени амплитуды В выше третьей.Из (5) следует условие самовозбуждения колебаний:

условие определяет критическое значение амплитуды источника пита�ния U

кр в зависимости от частоты и других параметров системы. Зави�

носит немонотонный характер и изображена на рис. 7в двух частных случаях:

В обоих случаях при некотором значении частоты

Uкp

достигает минимума. Если в противоположном

случае, когда Из выражения (6) следу�ет, что самовозбуждение колебаний возможно лишь приэксперименте Бетено маятник должен быть подвешен несимметрично.

Знак коэффициента на пороге возбуждения определяет, являетсяли возбуждение колебаний мягким или жеетким

где L(x)—индуктивность катушки с сердечником, которая зависит отвеличины зазора между плитой массы т и сердечником, определяемойсмещением плиты х, F(x, I) пондеромоторная сила, дей�ствующая на плиту [40], Ф = b(х)I—магнитный поток.

В работе [38] показано, что с достаточной точностью можно поло�жить dФ/dx=I dL/dx.

При малых х индуктивность L(x) можно представить в виде поли�нома

Очевидно, что из�за зависимости L от х колебания тока в электри�ческом колебательном контуре могут быть квазипериодическими с ос�новной частотой и квазипериодом частота колебаний ме�ханической части системы (переменной х). Поэтому целесообразно сде�лать замену переменных [26], положив

соответственно амплитуда и фаза вынужденных колебанийтока при L = L

0.

Записав уравнения для переменных х, у и решая их методом усред�нения, получим следующие укороченные уравнения для амплитуды В и

переменной х:


пропорциональна и довольно сложным образом зависит от

и коэффициентов а1, а

2 и а

3.

Анализ выражения для показывает, что привблизи левой по частоте границы области самовозбуждения коэффици�

положителен, т. е. колебания возбуждаются мягко, а вблизи пра�возбуждение колебаний происходит жестко. Интерес�

но отметить, что в случае симметричной подвески маятника в экспери�менте Бетено т. е. самовозбуждения маятника быть не может, но

и следовательно, возможно жесткое возбуждение.Частота колебаний v близка к собственной частоте v

0. Поправка

к собственной частоте в стационарном режиме определяется из второго

уравнения (5) приВ работах [41—43] рассмотрена неустойчивость емкостного датчика

малых смещений, используемого в так называемых экспериментах спробными телами. Такой датчик пред�ставляет собой конденсатор, одна изпластин которого соединена с телом, сме�щение которого требуется измерить. Кон�денсатор включен в цепь электрическогоколебательного контура, содержащегоисточник переменного напряжения. Прин�ципиальную схему датчика можно пред�ставить в виде, изображенном на рис. 8.Известно, что в некотором диапазоне час�

при повышении напряженияше критического значения возникают ме�ханические автоколебания тела массы m.

Для объяснения этого эффекта в работах [41—43] искусственнобыло введено запаздывание возвращающей силы, действующей на осцил�лятор (эта сила равна силе притяжения между пластинами конденса�тора). Такая процедура вызывает возражения хотя бы потому, что си�стема с запаздыванием имеет бесконечное число степеней свободы, тогдакак исходная система (см. приведенные ниже уравнения (7), которыесодержатся также в книге [43]) имеет только две степени свободы.В книге [43] утверждается, что полученные результаты совпадают сприближенным решением уравнений (7). Однако это решение не при�водится. О физическом же механизме возбуждения автоколебаний за

где q — заряд на конденсаторе, емкость кон�собственная частота электрического колеба�

тельного контура при x = 0, d0—расстояние между пластинами конден�сатора при недеформированной пружине,

Такому значению напряжения источника соответствует напряжение наконденсаторе

Формула (9) отличается от приведенной в [41—43] лишь числовыммножителем, хотя механизм возбуждения колебаний оказывается иным.

Анализ выражения для коэффициента нелинейностичто возбуждение колебаний должно быть мягким.

Аналогичный эффект самовозбуждения механических колебанийдолжен иметь место и в оптических датчиках малых смещений, где авто�колебания возникают за счет светового давления [43], Он наблюдалсяэкспериментально при действии СВЧ поля на крутильный маятник [44].

Описанный механизм самовозбуждения лежит в основе возникно�вения механических автоколебаний резонаторов, заполненных каким�либо мощным излучением, например электромагнитным. Так, колебаниястенок наблюдались в резонаторах, используемых в мощных ускорите�лях на встречных пучках [45]. В работах [46—48] описано возникнове�ние генерации упругих волн в диэлектрических резонаторах, накачиеае�

*) Все выражения выписаны в приближении плоского конденсатора.

Отсюда видно, что возбуждение колебаний возможно в основномт. е. на правом склоне резонансной кривой. Это соответствует

результатам работ [41—43] и подтверждается экспериментально. Из(8) следует, что условие возбуждения автоколебаний легче всего, т. е.

при наименьшем U0, выполняется для частоты

меньшее значение напряжения

— сила притяжения между пластинами конденсатора, m — масса ша�рика *).

Сравнивая уравнения (7) и (4), видим, что они отличаются толькохарактером нелинейности. Проведя соответствующие выкладки, получимуравнения для амплитуды В и фазы


счет возникновения и взаимодействия комбинационных частот не гово�рится ничего. Ниже речь пойдет именно об этом механизме.

Уравнения системы имеют вид

738 П. С. ЛАНДА. Я. Б. ДУБОШИНСКИЙ

мых высокочастотным электромагнитным полем. Близкие по сути воп�росы появления отрицательного трения механических конструкций вэлектромагнитных полях обсуждаются в работе [49].

В работах [50—53] рассмотрены механические и электрические си�стемы с двумя степенями свободы, питаемые источниками энергии срав�нительно высокой частоты. Остановимся на системе, изображенной нарис. 9 [54—57], уравнения которой можно записать в виде

относительное перемещение масс т1 и т

2,

линейная часть упругих и диссипативных сил между массами.Нелинейная функция в работах [54—57] выбиралась двух

типов:

В обоих случаях, как следует из уравнений (10), колебания переменныхдолжны быть квазипериодическими с основными частотами

где v — низкая частота автоколебаний.В качестве примера рассмотрим случай

Поступая аналогично предыдущему,получим для амплитуды и фазы колеба�ний переменной х

2 на частоте v уравне�

ния вида (5).Анализ условия возбуждения в этом

случае более громоздок, чем в предыду�щих, но качественное поведение зависи�мости критического значения напряже�ния U

кр от частоты то же, что и рань�

ше. Аналогично определяется и диапазончастот, в котором при заданном U воз�можно самовозбуждение колебаний.

Отметим, что к эффектам рассматри�ваемого типа относятся и так называе�мые явления распадной неустойчивостиволновых процессов [58], при которых

энергия высокочастотной волны эффективно преобразуется в значитель�но более низкочастотную волну.

3. К третьему типу автоколебательных систем с высокочастотнымиисточниками энергии можно отнести некоторые из большой группы такназываемых термомеханических систем *). Мы остановимся на системах,рассмотренных в работах [59, 60].

Пусть имеется невесомая металлическая струна с грузом в середи�не, включенная в цепь переменного тока частоты (см. рис. 10). Такаяструна при определенных условиях может совершать автоколебания как

*) Термомеханические колебания проводов в вертикальной плоскости в 1924 г.демонстрировались Н. И. Добронравовым и А. И. Шальниковым; интенсивные автоко�лебания нагретого провода вокруг оси (рис. 10) или так называемые горизонталь�ные термомеханические колебания, по�видимому, впервые экспериментально обнару�жены в 1971 г. Я. Б. Дубошинским.


в плоскости чертежа, так и перпендикулярно ей вокруг осиде всего рассмотрим случай, когда движение струны происходит в пло�скости чертежа [59].

Уравнение колебаний груза в этом случает имеет вид

где F — сила натяжения струны,ние между опорами, h — коэффици�ент трения.

Сила натяжения F нагретой засчет протекания электрическоготока струны равна [61]

где Е — модуль Юнга (~2·109 г/

/см·с2), S — площадь сечения стру�

ны, Т — разность температур стру�ны и окружающей среды,фициент линейного теплового рас�

ширения половина длины струны в

ненатянутом состоянии при Т = 0, х0 — провисание струны при T=0,

т = 0.получаем для следующее выражение:

где с — теплоемкость материала шарикативление струны. При нагревании струны и ее удлинении сопротивлениеR увеличивается **), так что

определяется коэффициен�том Пуассона).

Чтобы исследовать устойчивость стационарного решения уравнений(11), (13), запишем линеаризованные уравнения для отклонений от ста�ционарного решения Эти уравнения име�ют вид

*) В работе [59] допущена ошибка: предполагается, чтожет быть.

**) Изменение сопротивления при деформации называется тензорезистивным эф�фектом [63].

Уравнение для температуры Т запишем в предположении, чтоохлаждение струны происходит по закону Ньютона с коэффициентомтеплоотдачи q, зависящим от модуля скорости*). В соответствии с [60,62] положимвая поверхность струны.

Тогда уравнение для Т будет иметь вид

где F определяется формулой (12), a R — формулой (14). В линейномприближении уравнения для отклонений

Поэтому для них справедливо все сказанное раньше.Если частота автоколебаний переменной х лежит в одной из обла�

стей параметрического резонанса для переменной [3], то возбуждениевертикальных колебаний шарика обязательно приведет и к колебаниямугла поворота Если же это условие не выполняется, то возбуждение

колебаний возможно лишь жестким образом за счет того, что колеба�ния температуры будут содержать вторую гармонику колебаний углакоторая вызовет модуляцию переменной х на этой частоте. Последняя,в свою очередь, приведет к «параметрической» подкачке энергии в ко�

некоторые положительные коэффициен�ты, зависящие от параметров системы. Из того факта, чтоет, что возбуждение колебаний является жестким. Поэтому даже при

возможен стационарный режим автоколебаний.Отметим, что условие самовозбуждения колебаний

щее из уравнения (17), совпадает с (16), есливенство является условием применимости использованного асимптоти�ческого метода.

Рассмотрим теперь общий случай, когда струна, кроме вертикаль�ных перемещений, может совершать колебания вокруг осиугол поворота запишем уравнения движения груза и изменения тем�пературы Т:

Отсюда следует, что причинами возможного самовозбуждения ко�лебаний являются зависимость сопротивления струны от ее деформации

и достаточная инерционность изменения температуры струны

Чтобы проверить, является возбуждение колебаний мягким илижестким, нужно сохранить в исходных уравнениях наиболее существен�ные нелинейные члены. Решая эти уравнения приближенно асимптоти�ческим методом Крылова — Боголюбова, получим в первом приближе�нии по малому параметру следующее уравнение для амплитуды коле�баний А:

Система (15) описывает в линейном приближении автоколебатель�ные системы с инерционным возбуждением [64—67]. Условие самовоз�буждения колебаний в таких системах имеет вид

лебания переменной Уравнения (18) позволяют рассчитать устано�вившуюся амплитуду колебаний при таком процессе.

Рассмотренные в работе примеры убедительно показывают, что не�которые неавтономные системы, а именно системы, содержащие высоко�частотные источники энергии, могут вести себя как автоколебательные.При этом механизм возбуждения автоколебаний может быть различным.В работе рассмотрены три таких механизма, но, возможно, существуюти другие. Понимание такого рода явлений помогает правильному подхо�ду к анализу процессов в подобных системах. Отметим, что примерывсех трех типов систем были реализованы экспериментально и проде�монстрированы на ряде конференций и семинаров.

Авторы благодарны С. М. Рытову, К. Н. Баранскому, В. Б. Брагин�скому, И. А. Яковлеву за обсуждение работы и ряд ценных советов,а также Д. Б. Дубошинскому, Ю. В. Галкину, М. А. Емельянову,М. И. Козакову, Б. И. Крюкову, Л. М. Литвину и В. В. Рудневу за лю�безно предоставленные материалы их исследований.


27. М и т р о п о л ь с к и й Ю. А. Методы усреднения в нелинейной механике.— Киев:Наукова думка. 1971.

28. Д у б о ш и н с к и й Д. Б., Д у б о ш и н с к и й Я. Б. и др.//ЖТФ. 1979. Т. 49С. 1160.

29. З а с л а в с к и й Г. М. Статистическая необратимость в нелинейных системах.— М.:Наука, 1970.

30. А с т а ш е в В. К., Б а б и ц к и й В. И., Т р е с в я т с к и й А. Н. Сканатор для фо�тоэлектрических устройств наведения на штрих меры в металлорежущих стан�ках.—Авт. свид�во № 580860.//Бюлл. изобретений. 1977. № 43. С. 4.

[31] А н д р е е в Н. Н.//Ж. прикл. физики. 1925. Т. 2, вып. 1—2. С. 205.32. В е t h е n о d М. J.//C. R. Ac. Sci. Paris. 1938. Т. 207. Р. 847.33. R o c a r d Y. Dynamique generale des vibrations.— Paris: Masson et Cie, 1949.—

Ch. 10.34. Mi n o r s k y N. Nonlinear Oscillations.—New York; Princeton, N. J.: van Nostrand,

1962—P. 495—498.35. Д у б о ш и н с к и й Д. Б., К а р а п е т я н А. Г. и др.//[ 15].— С. 55.36. П а п а л е к с и Н. Д. Об одном случае параметрически связанных систем//Собр.

трудов —М.: Изд�во АН СССР, 1948.—С. 208.37. Р ы т о в С. М.//ЖЭТФ. 1944. Т. 14. С. 370.38. Г а б а р е в Ф. А. и др.//Вибротехника. 1987. № 2(59). С. 14.39. Е м е л ь я н о в М. А.//Тр. МВТУ. 1988. Вып. 504 («Вибрация в механизмах и ма�

шинах»). С. 60.40. К а л а ш н и к о в С. Г. Электричество.— М.: Наука, 1977.— С. 255.

[41] Б р а г и н с к и й В. Б., М и н а к о в а И. И.//Вестн. Моск. ун�та. Сер. «Физика,астрономия». 1964. № 1. С. 83.

42. Б р а г и н с к и й В. Б. Физические эксперименты с пробными телами.— М.: Наука,1970.— С. 29—34.

43. Б р а г и н с к и й В. Б., М а н у к и н А. Б. Измерение малых сил в физических экс�периментах.— М.: Наука, 1974.— С. 29.

44. Б р а г и н с к и й В. Б. и др. //ЖЭТФ. 1970. Т. 58. С. 1549.45. К а р л и н е р М. М., Ш а п и р о В. Е., Ш е х т м а н И. А.//ЖТФ. 1966. Т. 36. С. 2017.46. Б е л о к о п ы т о в Г. В.//Изв. вузов СССР. Сер. «Радиофизика». 1987. Т. 30.

С. 1121.47. Б е л о к о п ы т о в Г. В., И в а н о в И. В., Р е ш е т н и к о в М. Е., Ч и с т я е в В. А.//

Изв. АН СССР. Сер. физ. 1987. Т. 51. С. 2208.48. Б е л о к о п ы т о в Г. В. и др.//ЖТФ. 1988. Т. 58. С. 1381.49. Ш а п и р о В. Е. Упругость конфигураций проводящих тел в электромагнитных

полях: Препринт ИФСО�84Ф.— Красноярск, 1978.50. Т о n d I A.//Rev. Mec. Appl. Ser. В. 1963. Т. 8. Р. 573.

[51] Y a m a m o t o Т., H a y a s h i S.//Intern. J. Nonlinear Mech. 1971. V. 6. P. 237.52. S z e m p l i n s k a � S t u p n i c k a W.//Ibidem. 1969. V. 4. P. 335.

53. К о з а к о в М. И., Д у б о ш и н с к и й Д. Б., П е н н е р Д. И.//Уч. зап. ВГПИ. Сер.«Физика». 1972. Т. 40, вып. 6. С. 47.

54. К р ю к о в Б. И. и др.//Машиноведение. 1984. № 6. С. 30.55. Г у с е в В. П., К о в а н о в с к а я В. А., Л и т в и н Л. М., Р у д н е в В. В.//Исследо�

вание и решение задач прикладной механики на ЭВМ.— М.: Наука, 1985.— С. 44.56. Л а н д а П. С., Р у д н е в В. В.//Колебания и виброакустическая активность ма�

шин и конструкций.— М.: Наука, 1986.— С. 139.57. Р у д н е в В. В.//Машиноведение. 1986. № 5. С. 100.58. В и н о г р а д о в а Н. Б. и др.//Теория волн.— М.: Наука. 1979.59. В е р м е л ь А. С.//[15]—С. 159.60. П е н н е р Д. И., Д у б о ш и н с к и й Я. Б., Д у б о ш и н с к и й Д. Б., П е т р о �

с о в В. A.//Ibidem. С. 168.[61 ] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теория упругости.— М.: Наука, 1965.

62. Б а к м а н М. Е., Т е о д о р ч и к К. Ф./'/ЖТФ. 1936. Т. 6. С. 298.63. Физический энциклопедический словарь.— М.: Сов. энциклопедия, 1983.— С. 74464. Б а б и ц к и й В. И., Л а н д а П. С.//ДАН СССР. 1982. Т. 266. С. 1087.65. Б а б и ц к и й В. И., Л а н д а П. С.//Динамика систем.— Горький: ГТУ, 1983.—

С. 147.66. Н е й м а р к Ю. И., Л а н д а П. С. Стохастические и хаотические колебания.— М.:

Наука, 1987.— С. 288.67. B a b i t z k y V. I., L a n d a P. S.//Zs. angew. Math, und Mech. 1984. Bd 64. S. 329.68. Г а й д у к В. И.//ДАН СССР. 1960. Т. 133. С. 760.69. Г а й д у к В. И.//Приближенные методы решения дифференциальных уравнений.—

Киев: Наукова думка, 1964.— С. 33.70. Б у н к и н Ф. В. и др.//ЖТФ. 1988. Т. 58. С. 2241.

[71] Ч е р н о у с ь к о Ф . Л.//ЖВМ и МФ. 1963. Т. 3. С. 131.72. К о з а к о в М. И., Д у б о ш и н с к и й Я. Б., Д у б о ш и н с к и й Д. Б. Электроме�

ханический спусковой регулятор.— Авт. свид�во № 330422//Бюлл. изобретений 1972.№ 8. С. 146.

73. Д у б о ш и н с к и й Д. Б., Д у б о ш и н с к и й Я. Б., К о з а к о в М. И. и др. Реак�тивный электродвигатель.— Авт. свид�во № 1138893//Ibidem. 1985. № 5.— С. 187.


Август 1989 г. Том 158, вып. 4elibrary.lt/resursai/uzsienio...

Documents