수치해석 2010 년도 봄학기 homework
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수치해석 2010 년도 봄학기 Homework. 환경공학과 20080029 김민진. I.1 Taylor 급수를 유도하고 절단 오차를 설명하라. 절단오차 (truncation error) - 수학적으로 엄밀하게 주어지는 함수 f 의 값을 , 유한의 사칙 연산의 반복 계산 식 fa 로 근사하는 경우 , (fa-f) 의 오차가 생김 . - 예를 들면 , 테일러급수를 이용하여 삼각함수를 계산할 때 , 무한급수의 계산을 유한 항까지의 계산으로 중단하기 위해서 , 절단오차가 발생. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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수치해석2010 년도 봄학기Homework
환경공학과 20080029 김민진
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I.1 Taylor 급수를 유도하고 절단 오차를 설명하라 .
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• 절단오차 (truncation error) - 수학적으로 엄밀하게 주어지는 함수 f 의 값을 , 유한의
사칙 연산의 반복 계산 식 fa 로 근사하는 경우 , (fa-f) 의 오차가 생김 .
- 예를 들면 , 테일러급수를 이용하여 삼각함수를 계산할 때 , 무한급수의 계산을 유한 항까지의 계산으로 중단하기 위해서 , 절단오차가 발생 .
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I.2 다음의 역행렬을 구하는 문제에 대하여
1) 알고리즘을 설명하고 프로그램을 작성 실행하라 .2) 책의 프로그램을 Visual Fortran, Visual C 등의 Compiler 를 이용하여 실행하고 알고리즘 및 계산 결과를 설명하라 . 3) 본 프로그램을 Visual Basic 프로그램으로 변환하라 .
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(1) 알고리즘• 알고리즘 : 알고리즘 : 어떠한 문제를 해결하기 위한
여러 동작들의 유한한 모임이다 .• 입력 : 외부에서 제공되는 자료가 0 개 이상
존재한다 .• 출력 : 적어도 1 개 이상의 결과를 내어야 한다 .• 명확성 : 각 명령어들은 명확하고 모호하지 않아야
한다 .• 유한성 : 알고리듬의 명령어들은 유한번의 수행후에
종료되어야 한다 . 이것 은 수행 시간의 현실적인 유한성을 의미한다 .• 효과성 : 모든 명령어들은 원칙적으로 종이와
연필만으로 수행될 수 있는 기본적인 것이어야 한다 .
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프래그램을 작성 실행하라 .
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Visual Fortran
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Visual C
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III.1 3 원 연립방정식에 대하여 행렬식(Determinant) 을 이용하여 역행렬을 구하는 방법과 연립방정식을 푸는 방법을 설명하라 . ( 수학책 참조 ).
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행렬식• 정방 행렬 A 의 LU 분해가 A=LU 인 경우 , 그
행렬식 |A| 는 |A|=|L| |U|• 로 표현할 수 있다 . Doolittle 법에 따라 LU
분해에서는 , L 의 대각 요소는 모두 1 이고 , 삼각 행렬의 행렬식은 그 대각 요소의 적( 積 ) 이기 때문에
• 가 된다 . 따라서 , |A| 은 U 의 모든 대각 요소의 적으로서 구해진다 . 단 ,LU 분해에 있어서 Pivot 의 선택이 있는 경우는 , Pivot 을 교환할 때마다 행렬식의 부호를 바꾸어주기 위해 , 교환 회수가 m 인 경우 가 된다 .
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• 따라서 , |A| 은 U 의 모든 대각 요소의 적으로서 구해진다 . 단 ,LU 분해에 있어서 Pivot 의 선택이 있는 경우는 , Pivot 을 교환할 때마다 행렬식의 부호를 바꾸어주기 위해 , 교환 회수가 m 인 경우 가 된다 .
• Doolittle 법에 따른 LU 분해의 결과 , 구해진 U와 Gauss 의 소거법에 있어서 전진 소거가 끝난 단계에서의 식 (4.14) 의 계수 행렬이 같은 것은 앞서 서술하였다 . 이것으로부터 , Gauss 소거법에 있어서도 모든 Pivot 의 적
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• 에 따라 행렬식을 구하는 것이 가능하다 . 행렬식만 구하는 경우는 , Gauss 의 단순 소거법에 있어서 우변의 계산과 후진 대입의 계산을 생략하고 , 전진 소거를 하여 , 모든 Pivot 의 적을 구하면 된다 . 따라서 , 행렬식의 계산 순서는 다음과 같다 .
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역행렬• 행렬 A 의 역행렬 이란 , 다음의 관계를
만족시키는 행렬이다 .
• 여기에서 ,I 는 단위 행렬이다 . 역행렬의 계산은 , 식 (4.4)로부터 구하는 것보다 , 소거법 등을 이용하는 편이 계산 횟수가 적게 든다 . 여기에서는 ,LU 분해에 따른 계산 방법을 서술한다 .
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• 은 미지이므로 X 라고 치환하면 , 식 (5.5) 로부터 AX=I
• (5.6) 으로 나타내진다 . Doolittle 법의 LU 분해에 따라 A=LU 를 구하여 LY=I 의 관계로부터 행렬 를 계산하고 , 계속해서 UX=Y 의 관계로부터 행렬 X 를 계산할 수 있다 . 여기에서 , 는 LY=I 의 관계로부터 대각 요소가 모두 1 인 하삼각행렬이 되고 , 의 순서로 , 그리고 j 를 1부터 n 까지라고 하면
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• 으로 구해진다 . 또 , 는 의 순서로 , 그리고 j 를 n 부터 1 까지라고 하면
으로 구해진다 . 또한 , Y 는 하삼각행렬이기 때문에 L 의 배열 에 중복되며 , X 도 U 의 영역에 중복되어 , 이에 따라 배열 영역을 절약할 수 있다 . 나아가 , LU분해의 결과를 A 에 중복시키면 , X 의 계산 결과도 A 에 중복시키는 것이 가능하다 . 단 , LU 분해에 있어서 Pivot을 교환하는 경우는 , 그것에 대응하는 X 의 열교환이 필요하게 된다 . Pivot 교환이 있는 경우의 계산 순서를 서술하였다 .
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III.2 3 원 연립방정식을 이용하여 Gauss 소거법의 알고리즘을 유도하라 .
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III.3 다음의 3 원 연립방정식의 해를 Gauss 의 단순 소거법 및 Pivot 선택법을 이용하여 구하라 .
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III.4 위의 3 원 연립방정식의 해를 교과서에서 제시된 C 및 Fortran 프로그램을 운영하여 구하라 .
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III.5 위의 3 원 연립방정식의 해를 Gauss-Jordan 법에 의하여 구하라 .
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• ( 해 ) 행렬식으로 표현한다면
• 제 1 단계는 , 계수 행렬의 제 1 열의 대각 요소만 1 로 하고 이외는 0 으로 한다 . 이 때문에 , 제 1 행을 1/2 배로 한다 .
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• 다음에 , 제 2 행 - 제 1 행 , 제 3 행 -4× 제 1 행을 계산하여
• 제 2 단계는 , 계수 행렬의 제 2 열의 대각 요소만 1 로 하고 이외는 0 으로 한다 . 이 때문에 , 제 2 행을 -1/3 배 한다 .
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• 다음에 , 제 1 행 -2× 제 2 행 , 제 3 행 -(-7)× 제 2 행을 계산하여
• 제 3 단계는 , 계수 행렬의 제 3 열의 대각 요소만 1 로 하고 이외는 0 으로 한다 . 이 때문에 , 제 3 행을 -3/56 배 한다 .
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• 다음에 , 제 1 행 -(13/3)× 제 3 행 , • 제 2 행 -(-2/3)× 제 3 행을 계산하여
• 이것으로부터 , 의 해를 얻는다 .
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III.6 4 원 연립방정식을 이용하여 LU 분해법의 알고리즘을 Doolittle 방법 및 Crout 방법에 대하여 유도하라 .
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III.7 위의 3 원 연립방정식의 해를 LU 분해법으로 계산기와 Excel 을 이용하여 구하라 .
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III.8 다음의 연립 1 차 방정식을 초기값 로서 Jacobi 법 , Gauss Seidel 법 , SOR 법으로 계산기 , Excel, 프로그램을 이용하여 구하라 .
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IV.1 Derive the all the algorithms using graphs for the case of Bisection, Secant, and Newton Methods.
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IV.2 Compile and run the given programs by using Visual Fortran, Visual Basic and Visual C Compilers.
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IV.3 Solve the example problems by hands, using Excel program, and by the given programs.
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![Page 62: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/62.jpg)
IV.4 연립비선형방정식을 구하기 위한 Newton 법의 알고리즘을 Newton-Raphson 법의 알고리즘과 비교하여 유도하라 .
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6.2 Newton-Raphson 법 ❖근을 구하는 공식들 중 가장 넓게 사용됨 (1) 초기 가정값이 라면 (2) 점 에 접하는 접선을 구할 수 있고 (3) 이 접선이 축과 교차하는 점 개선된 근❖그림 6.5: 1 차도함수의 기울기
(6.5) (6.6)
Newton-Raphs
ix)](,[ ii xfxx
1
0)()(
ii
i
i
xx
xfxf
)(
)(1
i
i
ii
xf
xfxx
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• 6.2.2 Newton-Raphson 법의 문제점 . - Newton-Raphson 법은 매우 효율적이지만 제대로
수행되지 못하는 경우도 있다 . - ( 예 6.5)Newton-Raphson 법의 사용시 느리게 수렴하는
함수의 예 .Newton-Raphson 법을 사용해서 의 양의 근을 구하라 . 초기가정은 한다 .
- (Sol.) - 근의 참값 1 에 수렴은 하지만 수렴속도가매우 느림
910)( xxf 910
110
1
i
i
ii
x
xxx
5.0x
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- Newton-Raphson 법이 수렴하지 않는 네 가지 경우 - Newton-Raphson 법에 대한 일반적수렴 판정의 기준은 존재 (X) - 수렴 = 함수의 성질 & 초기가정의 정확도에 의존함 . - 유일한 해결책 = 근에 ‘’충분히’’가까운 초기 가정을 사용하는 것 . 훌륭한 초기가정 얻기문제에 대한 물리적 이해해의 형태에 대한 정보를제공하는 그래프 사용 .
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IV.5 다음의 2원 연립 비선형 방정식의 해를 Newton 법에 이용하여 구하라 . 초기값은 , 이다 .
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VII.1 최소자승법을 이용하여 선형회귀분석을 수행하는 알고리즘을 BOD 분해능 계수를 추정하는 문제와 시계열 모형중 ARMA 모형의 선형 1차모형 문제에 대하여 설명하라 ( 그림 포함 ). 선형회귀함수의 계수를 유도하라 .
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1) 물질이동식 및 해하천에서의 오염현상은 총체적인 개념으로 BOD 농도를 사용하여
해석하며 , 이러한 BOD 농도에 대한 물질이동식으로 해석한다 . 물질이동식은 유속에 의한 이류유송과 생화학적 분해 반응을 고려하면 다음의 편미분방정식으로 표현된다 .
여기서 , 평균 하천 유 속 (u) 은 유량을 단면적으로 나눈 값 (Q/A)이다 .
위의 식을 정상 상태의 상미분 방정식으로 표현하면 다음과 같다 .변수분리법으로 위의 상미분 방정식을 다음과 같이 풀 수 있다 . 위의 적분은 x=0 일 때의 Co 에서부터 하류 거리 x 일 때 농도 C
까지 설정되었다 . 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다 . 양변에 지수를 취하면 , 다음과 같다 .여기서 , Co 는 원점 X=0 에서의 초기 농도이다 .
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2) 반응계수 추정을 위한 선형회귀분석방법의 적용
(1)식을 농도와 이동 거리에 대한 식으로 정리하면 다음과 같다 .
이동 거리에 따라 측정된 BOD 농도 / 초기농도에 ln 를 취하여 y축으로 이동거리 / 유속을 x 축으로 설정하여 측정된 자료를 도시한다 . 이 도시된 그래프의 기울기는 이다 . 따라서 , 기울기가 BOD 분해능 계수이다 . 다음에 이러한 판정 기법의 예를 나타내었다 .
실험오차나 기타 오차에 의하여 측정된 값이 그래프에 정확히 일치하지 않는 경우에는 선형회귀분석 기법을 이용하여 그래프에 가장 일치하는 경우의 기울기를 구하면 된다 . Excel 의 메뉴에 있는 Regression( 상관분석 ) 을 사용하여 이러한 분석을 수행한 후 그래프를 도시하여 실측값과 계산치와의 비교 분석을 수행한다 .(r 결과클릭 )
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VIII.1 막대공식 , 사다리꼴공식 , Sympson 공식의 수치적분법을 그림을 이용하여 설명하라 .
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막대공식 : 를 구하는 것이 곤란한 경우가 있다 . 이러한 경우에
는 , 수치 해석에 따라 근사값을 구하면 된다 . 정적분은 X=a, X=b, y=f(x) 및 축으로 둘러싸인 면적을
의미한다 . 이것으로부터 , 구간 [a,b] 를 n 개의 등간격 의 소구간 으 로 나누면 , 정적분은 로 정의할 수 있다 .
여기에서 , , 이다 . 이 정의로부터 , n 을 충분히 큰 유한의 정수라 하면 , 그림 8.1 에 보여지는 정적분의 근사값은
,
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VIII. 2 을 막대공식 , 사다리꼴 공식과 Sympson 공식으로 계산하고 ( 계산기 , Excel, Program 을 이용 (유체역학 교과서 부록에 있음 ), 실제값과 비교하라 . 단 , 세분 폭은 이라고 한다 .
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VII.2 ARMA 모형에서의 최소자승법을 설명하라 .
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![Page 83: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/83.jpg)
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VIV.2 수정된 Euler 법을 2차의 Taylor 전개식으로부터 유도하라 .
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VIV.3 외삽법과 내삽법의 알고리즘을 이용하여 다단법중 Adams-Basforth법과 Adams-Moulton 법의 알고리즘을 유도하라 .
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![Page 88: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/88.jpg)
I.1 물질이동식을 해석하기 위한 범용적 유한차분법 알고리즘을 유도하라 .
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I.2 교과서에서 제시된 일반적 유한차분법에 대한 해를 Fortran 및 Basic 프로그램으로 개발한 전산모형과 Excel 을 이용한 Excel 모형으로 구하여라 . 확산계수 및 유속은 교과서에 있는 값을 사용하여라 . 모델링 값을 비교 분석하여 그림에 나타내어라 .
![Page 91: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/91.jpg)
Comparison of FEM and FDMfor Advective Dominant Transport Problem
- 0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40
Node Number
Conce
ntr
atio
n
Linear Quadratic Hermite Modified Hermite GCN FDM
그림 2.4 M1.FOR 모형의 계산 결과 ( 유속에 의한 이동이 지배적인 경우 )
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Comparison of FEM and FDMfor Transport Problem with Advection & Dispersion
- 0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41
Node Number
Conce
ntr
atio
n
Linear Quadratic Hermite Modified Hermite GCN FDM
• 그림 2.5 M1.FOR 모형의 계산 결과 ( 확산 및 유속 이동이 존재하는 경우 )
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Comparison of FEM and FDMfor Transport Problem with Advection & Dispersion
- 0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41
Node Number
Conce
ntr
atio
n
Linear Quadratic Hermite Modified Hermite GCN FDM
그림 2.5 M1.FOR 모형의 계산 결과 ( 확산 및 유속 이동이 존재하는 경우 )
![Page 94: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/94.jpg)
Comparison of FEM and FDMfor Dispersive Dominant Transport Problem
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40
Node Number
Conce
ntr
atio
n
Linear Quadratic Hermite Modified Hermite GCN FDM
그림 2.6 M1.FOR 모형의 계산 결과 ( 확산에 의한 이동이 지배적인 경우 )
![Page 95: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/95.jpg)
그림 2.7 M1-Excel 모형의 운영
![Page 96: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/96.jpg)
D=0.0001725, t=1.25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40
Node Number
Con
cent
ratio
n GCN- ExcelGCA- ExcelM1- ExcelM1.FORGCN- ANAL
그림 2.8 M1-Excel 모형의 계산 결과
![Page 97: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/97.jpg)
I.3 편미분방정식의 특성식을 설명하고 이 특성식의 근의 수에 따라 편미분방정식을 분류하는 방법을 서술하고 , 공학 및 자연과학 문제에 있어서 지배방정식을 이러한 분류된 편미분방정식의 어느 범주에 속하는지 서술하라 .
![Page 98: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/98.jpg)
• 편미분 방정식은 특성식에 따라 쌍곡형 (hyperbolic), 포물형 (parabolic), 타원형 (elliptic) 으로 나누어진다 .
• 편미분방정식은 특성식의 속성에 따라 다음과 같이 분류된다 .
![Page 99: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/99.jpg)
• 위의 편미분방정식중 쌍곡선형인 경우에는 수치해석 불안정성과 오차가 심하기 때문에 격자망을 작게 사용하거나 , 특성법을 사용하여야 한다 . 특성법은 다음과 같이 설명된다 . 연속방정식에 전방차분법을 적용하면 다음과 같다 .
![Page 100: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/100.jpg)
• 위의 전방차분 아날로그에 대하여 특성법에서는 주변수가 유속을 따라 이동한다고 가정한다 . 즉 . 시간과 공간격자의 크기를 특성선상의 유속에 따라 다음과 같이 결정한다 .
![Page 101: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/101.jpg)
• 따라서 , 다음의 식으로 전개된다 .
• 즉 , 주변수가 격자망을 따라서 유속에 의하여 이동하는 것을 알 수 있다 .
• 물질이동식에 GCA 의 알고리즘을 적용하기 위해서는 유속항은 중앙차분법을 , 확산항은 특성법을 적용한다 . 즉 분산이 유속에 따라 이동된 격자에서 일어난 것으로 가정한다 . 따라서 , 분산항은 다음과 같이 평가된다 .
![Page 102: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/102.jpg)
• 일반적으로 지하수 흐름의 지하수 유동 방정식 및 오염물 이동에 관계된 물질이동방정식은 포물형의 편미분 방정식 유형에 속한다 . 이러한 일차원 물질이동방정식에 대하여 여러 수치해석 기법을 적용하여 일차원 모형을 개발하였다 . Excel 을 사용하여 모형을 개발함으로서 수치해석 알고리즘에 대하여 계산결과를 상세히 확인할 수 있었다 . 이러한 계산결과는 저자가 기존에 개발한 BASIC 및 FORTRAN 을 이용한 수치해석모형과 비교하여 수치해석 기법의 타당성을 검증하였다 . 또한 모든 수치해석 기법의 결과는 이론해와 비교하였다 . 수치해석 알고리즘으로 유한차분법 방법중 범용적 Crank-Nicholson 해법 (GCN : Generalized Crank-Nicholson Method) 과 범용적 특성 평균법 (GCA : Generalized Characteristic Averaging Method) 를 사용하였다 .
![Page 103: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/103.jpg)
I.4 GCA 방법에 의한 물질이동식의 수치해석 기법을 설명하고 , 해를 Fortran 및 Basic 프로그램으로 개발한 전산모형과 Excel 을 이용한 Excel 모형으로 구하여라 . 확산계수 및 유속은 교과서에 있는 값을 사용하여라 . 모델링 값을 비교 분석하여 그림에 나타내어라 .
![Page 104: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/104.jpg)
• GCA 방법에 의한 알고리즘은 다음과 같이 특성법(Characteristic Method), 중앙차분평균법 (Centered Difference (Averaging) Method), 범용적 (Generalized) Crank Nicholson 법의 결합에 의해 유도된다 .
• 1)특성법• 편미분방정식은 특성식의 속성에 따라 다음과 같이
분류된다 .
![Page 105: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/105.jpg)
• 따라서 , 다음의 식으로 전개된다 .
• 즉 , 주변수가 격자망을 따라서 유속에 의하여 이동하는 것을 알 수 있다 .
• 물질이동식에 GCA 의 알고리즘을 적용하기 위해서는 유속항은 중앙차분법을 , 확산항은 특성법을 적용한다 . 즉 분산이 유속에 따라 이동된 격자에서 일어난 것으로 가정한다 . 따라서 , 분산항은 다음과 같이 평가된다 .
![Page 106: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/106.jpg)
2) 중앙차분 ( 평균 ) 법 (Centered Difference (Averaging) Method)
• 물질이동식중 유속에 의한 항은 중앙차분법으로 평가된다 . 즉 , 시간도함수는 공간절점에 대하여 평균치를 취하고 , 공간도함수는 시간절점에 대하여 평균치를 취한다 .
![Page 107: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/107.jpg)
• 위의 식을 정리하면 다음과 같다 .
• 여기서 , , 이다 .
• 만약 평균을 취하지 않는 다면 , 위의 식은 다음과 같다 ( 전방차분특성법 ).
• 인 경우 , 두 평균 차분 특성법이나 전방 차분 특성법 모두 다음과 같이 유속에 따라 주변수를 추적하는 알고리즘이 되므로 특성법을 입자추적법이라고도 한다 .
![Page 108: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/108.jpg)
• 유한요소법은 수치해의 오차를 최소화하도록 해를 구하는 방법이다 . 즉 , 수치 해에서는 좌변과 우변이 다르므로 , 좌변과 우변의 차이를 잔차라고 정의한다 . 물질이동식의 잔차의 미분운영함수 L(C) 는 다음과 같이 정의된다 .
![Page 109: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/109.jpg)
• 위의 잔차를 해석하려는 전체 공간에 대하여 최소화하기 위하여 각 격자 혹은 요소에 대한 가중화된 잔차를 다 더한 후에 잔차의 합을 0 이 되게끔 식을 구성한다 . 시간에 대한 미분식은 일반적인 차분법을 적용하므로 잔차는 공간에 대해서만 해석한다 . 물질이동식의 가중잔차의 최소해를 구하기 위한 가중잔차식은 다음과 같다 .
![Page 110: 수치해석 2010 년도 봄학기 Homework](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061518/5681494c550346895db69bca/html5/thumbnails/110.jpg)
• 위의 방법을 가중잔차법 (Weighted Residual Method) 이라고 하며 , 유한요소법의 근본원리가 된다 . 즉 , 공간 및 시간영역에 대하여 격자화된 각 계산점에서 수치해의 오차가 최소화되도록 , 각 격자점의 수치해에 가중치를 곱하여 합한 다음 , 전체 오차가 0 이 되게끔 알고리즘을 설정하는 방법인 것이다 . 가중잔차식은 부분적분과 Green 의 정리를 이용하여 , 확산의 이차 미분항이 일차 미분항으로 변환되고 , 유출경계조건과 결합된다 .
• 일반적으로 컴퓨터를 사용한 미분 혹은 편미분 방정식의 해법에 있어서 수학적 혹은 이론적인 엄밀해와는 달리 컴퓨터는 공간적 , 시간적인 전체 문제영역을 연속적으로는 생각할 수가 없기 때문에 오직 이산화 혹은 격자환된 점 ( 요소내의 절점 ) 에서의 변화에 대해서만 계산이 가능하다 . 따라서 , 어떤 수치해석 기법( 유한차분법 , 유한요소법 등 ) 을 사용하던 간에 지배방정식에 관계되는 모든 주변수 , 매개변수 , 독립변수 , 자료 등을 이산화하여야 한다 . 유한요소법에서는 다음과 같이 대표적인 변수 , 파라미터 등을 기저함수 (Basis Function) 혹은 형상함수(Shape Function) 를 이용하여 이산화한다 .
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• 기저함수는 공간영역의 격자화에만 관계되므로 현상자체의 과정에는 의존하지 않으므로 , 각 요소의 형상에 의해서만 결정된다 . 따라서 , 기저함수는 계산시간을 크게 감소시킬 수 있도록 , 격자점의 좌표계만 주어지면 프로그램 운영 시 초기에 1 회 평가된다 . 즉 , 물질이동식의 물리적 , 화학적 , 생물학적 기작을 평가하기 이전에 입력 자료로서 주어지는 격자망의 구성 방법 혹은 좌표계로서 평가되는 것이다 . 기저함수는 모든 Gauss 지점에서 구해진 후 , 요소행렬들의 적분이 수행될 때 조합된다 .
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II. 유한요소법
II.1 Green 의 정리를 설명하라 .
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• 그린 정리는 적분을 하기에 좀 어려운 구간들이 있을때• 그린정리는 부분적으로도 적용 가는하죠 그래서
면적분을 선적분 형태로 바꾸어서 적용할수 있습니다 . 실생활 예로 시작점 과 끝점을 같이 하고 난다음 움직이면 알아서 면적을 계산에 주는 기계도 있구요 . 여기서 꼭 시작점과 끝이 만나는 닫힌곡선 폐곡선일경우입니다
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II.2 일차원 물질이동식을 해석하기 위한 일차원 유한요소법을 설명하라 . 기저함수를 유도하고 요소행렬의 적분식을 해석적으로 구하는 과정을 포함하여 기술하라 .
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II.3 삼차원 물질이동식을 해석하기 위한 다차원 유한요소법을 설명하라 .
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II.4 수치해석적인 적분법의 하나의 방법인 Gauss 적분법을 설명하라 . (인터넷 자료 참조 ).
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• Gauss 적분법은 선택점의 위치를 결정할 때 함수값을 잘 나타낼 수 있도록 결정하여야 하는데 , 본 모형에서는 기저함수가 선형이므로 계산시간과 해의 수렴상 선택점의 위치가 2 일 때가 가장 적절하여 이를 선택하였다 . Gauss 적분법은 다음의 식으로 나타낼 수 있다 .
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• 식에 조합된다 . 우측부하벡터는 각각의 요소별로 평가된 이후에 부하벡터행렬로 조합된다 . 따라서 우측벡터와 좌측행렬은 선형연립방정식이 되어 이 행렬식을 풀면 각 절점별 농도가 구해진다 . 요소 행렬의 조합 절차는 전체의 행렬 형태가 비대칭 행렬식을 사용할 수 있고 , 변수의 기억용량을 줄이는 방향으로 수행된다 .
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II.5 다차원 유한요소법의 경계조건 해석 알고리즘을 설명하라 .
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II.6 일차원 유한요소법을 이용한 물질이동식의 수치해석 기법을 설명하고 , 해를 Fortran 프로그램 (m1.for)으로 개발한 전산모형과 Excel 을 이용한 Excel 모형으로 구하여라 . 확산계수 및 유속은 교과서에 있는 값을 사용하여라 . 모델링 값을 비교 분석하여 그림에 나타내어라 .
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• 기저함수는 선형기저함수를 이용하였다 . 각 요소행렬의 적분은 수치적분이 아닌 수계산으로 이루어졌다 . 다음에 구체적인 수치해석 알고리즘을 서술하였다 .
• 다음과 같은 유한 요소에 대하여 각 절점별로 선형 보간 함수를 고려하면 기저함수는 다음과 같이 유도할 수 있다 .
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II.7 유한차분법 (gcn.bas, gca.bas, gcn.xls, gca.xls) 을 이용한 물질이동식의 해와 유한요소법 (m1.for, m1.xls) 을 이용한 물질이동식의 해를 비교하여 분석하여라 ( 교과서에 있음 ).
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• 범용적 Crank-Nicholson 법을 사용하는 유한차분법의 해와 유한요소법의 해를 비교하기 위하여 다음과 같이 유한차분법에 있어서의 경계조건을 살펴보았다 . GCN 방법에 대해서는 이미 유한차분법장에서 서술하였다 . 삼대각행렬의 삼대각 요소를 로 , 부하벡터를 로 나타내면 경계조건을 다음과 같이 설명될 수 있다 .
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감사합니다 .