Введение в динамическуюэпистемическую логику-2

НУГ "Формальная философия",проект "Динамический поворот в логической

семантике"(15-05-0005)

Виталий ДолгоруковШкола философии

ПовторениеФормы группового знания

Формулы и модели

Построить модель для следующих формул (или доказать,что это невозможно)(1) ¬Kaϕ ∧Kbϕ(2) ¬Kaϕ ∧ ϕ(3) Kaϕ ∧ ¬ϕ(4) K̂aϕ ∧ ¬ϕ(5) Kaϕ ∧ (ϕ→ ψ) ∧ ¬Kaψ(6) Kaϕ ∧Ka(ϕ→ ψ) ∧ ¬Kaψ(7) K̂aϕ ∧ K̂a¬ϕ(8) KaKbϕ ∧ ¬Kaϕ(9) KaKbϕ ∧ ¬KbKaϕ(10) KbKaϕ ∧KaKbϕ ∧ ¬KaKbKaϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Формулы и модели

Они не знают, что мы знаем, что они знают, что мызнаем

¬KbKaKbKaϕK̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Формулы и модели

Они не знают, что мы знаем, что они знают, что мызнаем¬KbKaKbKaϕ

K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Формулы и модели

Они не знают, что мы знаем, что они знают, что мызнаем¬KbKaKbKaϕK̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ

w1 : ϕ

w2 : ϕ

b

w3 : ϕ

a

w4 : ϕ

b

w5 : ϕ

a

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ

w1 : ϕ

w2 : ϕ

b

w3 : ϕ

a

w4 : ϕ

b

w5 : ϕ

a

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ

w1 : ϕ

w2 : ϕ

b

w3 : ϕ

a

w4 : ϕ

b

w5 : ϕ

a

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ

w1 : ϕ

w2 : ϕ

b

w3 : ϕ

a

w4 : ϕ

b

w5 : ϕ

a

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ

w1 : ϕ

w2 : ϕ

b

w3 : ϕ

a

w4 : ϕ

b

w5 : ϕ

a

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ

w1 : ϕ

w2 : ϕ

b

w3 : ϕ

a

w4 : ϕ

b

w5 : ϕ

a

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ

w1 : ϕ

w2 : ϕ

b

w3 : ϕ

a

w4 : ϕ

b

w5 : ϕ

a

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ

w1 : ϕ

w2 : ϕ

b

w3 : ϕ

a

w4 : ϕ

b

w5 : ϕ

a

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ

w1 : ϕ

w2 : ϕ

b

w3 : ϕ

a

w4 : ϕ

b

w5 : ϕ

a

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Групповое знание

Итерация знания

Kni ϕ� Ki...Ki︸ ︷︷ ︸

n

ϕ

Пример:K3

aϕ = KaKaKaϕДля любого i верно, что Kn

i ϕ = Kiϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Групповое знание

Итерация знанияKn

i ϕ� Ki...Ki︸ ︷︷ ︸n

ϕ

Пример:K3

aϕ = KaKaKaϕДля любого i верно, что Kn

i ϕ = Kiϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Групповое знание

Итерация знанияKn

i ϕ� Ki...Ki︸ ︷︷ ︸n

ϕ

Пример:

K3aϕ = KaKaKaϕ

Для любого i верно, что Kni ϕ = Kiϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Групповое знание

Итерация знанияKn

i ϕ� Ki...Ki︸ ︷︷ ︸n

ϕ

Пример:K3

aϕ = KaKaKaϕ

Для любого i верно, что Kni ϕ = Kiϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Групповое знание

Итерация знанияKn

i ϕ� Ki...Ki︸ ︷︷ ︸n

ϕ

Пример:K3

aϕ = KaKaKaϕДля любого i верно, что Kn

i ϕ = Kiϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

"Все знают"

EGϕ =∧i∈G

Kiϕ

Пример:E{a,b}ϕ = Kaϕ ∧Kbϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

"Все знают"

EGϕ =∧i∈G

Kiϕ

Пример:E{a,b}ϕ = Kaϕ ∧Kbϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

"Все знают"

EGϕ =∧i∈G

Kiϕ

Пример:

E{a,b}ϕ = Kaϕ ∧Kbϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

"Все знают"

EGϕ =∧i∈G

Kiϕ

Пример:E{a,b}ϕ = Kaϕ ∧Kbϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

"Все знают"

Что значит E2{a,b}ϕ ?

E2{a,b} = E{a,b}E{a,b}ϕ = E{a,b}(Kaϕ ∧Kbϕ) = KaKbϕ ∧

KbKaϕ ∧KaKaϕ ∧KbKbϕ = Kaϕ ∧Kbϕ ∧KaKbϕ ∧KbKaϕПостроить модель дляE{a,b} ∧ ¬E2

{a,b}

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

"Все знают"

Что значит E2{a,b}ϕ ?

E2{a,b} = E{a,b}E{a,b}ϕ

= E{a,b}(Kaϕ ∧Kbϕ) = KaKbϕ ∧KbKaϕ ∧KaKaϕ ∧KbKbϕ = Kaϕ ∧Kbϕ ∧KaKbϕ ∧KbKaϕПостроить модель дляE{a,b} ∧ ¬E2

{a,b}

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

"Все знают"

Что значит E2{a,b}ϕ ?

E2{a,b} = E{a,b}E{a,b}ϕ = E{a,b}(Kaϕ ∧Kbϕ)

= KaKbϕ ∧KbKaϕ ∧KaKaϕ ∧KbKbϕ = Kaϕ ∧Kbϕ ∧KaKbϕ ∧KbKaϕПостроить модель дляE{a,b} ∧ ¬E2

{a,b}

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

"Все знают"

Что значит E2{a,b}ϕ ?

E2{a,b} = E{a,b}E{a,b}ϕ = E{a,b}(Kaϕ ∧Kbϕ) = KaKbϕ ∧

KbKaϕ ∧KaKaϕ ∧KbKbϕ

= Kaϕ ∧Kbϕ ∧KaKbϕ ∧KbKaϕПостроить модель дляE{a,b} ∧ ¬E2

{a,b}

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

"Все знают"

Что значит E2{a,b}ϕ ?

E2{a,b} = E{a,b}E{a,b}ϕ = E{a,b}(Kaϕ ∧Kbϕ) = KaKbϕ ∧

KbKaϕ ∧KaKaϕ ∧KbKbϕ = Kaϕ ∧Kbϕ ∧KaKbϕ ∧KbKaϕ

Построить модель дляE{a,b} ∧ ¬E2

{a,b}

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

"Все знают"

Что значит E2{a,b}ϕ ?

E2{a,b} = E{a,b}E{a,b}ϕ = E{a,b}(Kaϕ ∧Kbϕ) = KaKbϕ ∧

KbKaϕ ∧KaKaϕ ∧KbKbϕ = Kaϕ ∧Kbϕ ∧KaKbϕ ∧KbKaϕПостроить модель дляE{a,b} ∧ ¬E2

{a,b}

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

"Общее знание"

CGϕ�∞∧i=0

EnGϕ = ϕ ∧ EGϕ ∧ E2

Gϕ ∧ E3Gϕ...

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Дистрибутивное знание

Kaϕ ∧Kb(ϕ→ ψ)

D{a,b}ψ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Дистрибутивное знание

Kaϕ ∧Kb(ϕ→ ψ)D{a,b}ψ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Определения форм группового знания

Ri = {< wj , wk > |wj , wk ∈W}REG

=⋃i∈G

Ri

RDG=

⋂i∈G

Ri

RCG– R∗ рефлексивное транзитивное замыкание:

R ⊂ R∗∀x∀y∀z((xR∗y ∧ yR∗z)→ xR∗z)∀xxR∗x

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Определения форм группового знания

M,wi |= EGϕ е.т.е. ∀w′(wiREGw′ →M,w′ |= ϕ)

M,wi |= DGϕ е.т.е. ∀w′(wiRDGw′ →M,w′ |= ϕ)

M,wi |= CGϕ е.т.е. ∀w′(wiRCGw′ →M,w′ |= ϕ)

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Определения форм группового знания

M,wi |= EGϕ е.т.е. ∀w′(wiREGw′ →M,w′ |= ϕ)

M,wi |= DGϕ е.т.е. ∀w′(wiRDGw′ →M,w′ |= ϕ)

M,wi |= CGϕ е.т.е. ∀w′(wiRCGw′ →M,w′ |= ϕ)

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Определения форм группового знания

M,wi |= EGϕ е.т.е. ∀w′(wiREGw′ →M,w′ |= ϕ)

M,wi |= DGϕ е.т.е. ∀w′(wiRDGw′ →M,w′ |= ϕ)

M,wi |= CGϕ е.т.е. ∀w′(wiRCGw′ →M,w′ |= ϕ)

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Определения форм группового знания

M,wi |= EGϕ е.т.е. ∀w′(wiREGw′ →M,w′ |= ϕ)

M,wi |= DGϕ е.т.е. ∀w′(wiRDGw′ →M,w′ |= ϕ)

M,wi |= CGϕ е.т.е. ∀w′(wiRCGw′ →M,w′ |= ϕ)

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Некоторые свойства

CG(ϕ→ ψ)→ (CGϕ→ CGψ)

CGϕ→ (ϕ ∧ EGCGϕ)CG(ϕ→ EGϕ)→ (ϕ→ CGϕ)

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Некоторые свойства

CG(ϕ→ ψ)→ (CGϕ→ CGψ)CGϕ→ (ϕ ∧ EGCGϕ)

CG(ϕ→ EGϕ)→ (ϕ→ CGϕ)

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Некоторые свойства

CG(ϕ→ ψ)→ (CGϕ→ CGψ)CGϕ→ (ϕ ∧ EGCGϕ)CG(ϕ→ EGϕ)→ (ϕ→ CGϕ)

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Формулы и модели

(1) E{a,b,c}ϕ ∧ ¬KaKbϕ(2) E{a,b}ϕ ∧ ¬E{a,b}E{a,b}ϕ(3) D{a,b}ϕ ∧ ¬Kaϕ ∧ ¬Kbϕ(4) C{a,b}ϕ ∧ ¬Kcϕ(5) E2

{a,b}ϕ ∧ ¬C{a,b}ϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Иерархия форм группового знания

У нас есть следующие операторы:DG, Ki, CG, EG, ϕКак они связаны между собой? Что откуда следует?

CGϕ→ EGϕ→ Kiϕ→ DGϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Иерархия форм группового знания

У нас есть следующие операторы:DG, Ki, CG, EG, ϕКак они связаны между собой? Что откуда следует?CGϕ→ EGϕ→ Kiϕ→ DGϕ

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

ПовторениеФормы группового знания

Домашнее задание

Проверить:DGDGϕ→ DGϕKaDGϕ→ Kaϕ(a ∈ G)

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику