1

Тема 3Верифікація моделі

Кафера інформатики та комп‘ютерних технологій доцент Бесклінська О.П.

2

Зміст

1.Показники якості моделі

2. Перевірка значущості та довірчі інтервали

3

Постановка задачі

Постановка задачі

Формуваннявихідної

інформації

Формуваннявихідної

інформації

Аналіззалишків

Аналіззалишків

Прогнозна основі

моделі

Прогнозна основі

моделі

Специфікаціямоделі

Специфікаціямоделі

Оцінкапараметрів

моделі

Оцінкапараметрів

моделі

Верифікаціямоделі

Верифікаціямоделі

Етапи побудови моделі

4

1. Показники якості моделі

Верифікація моделі—статистична перевірка на адекватність моделі, тобто наскільки добре розв‘язано проблему специфікації моделі, наскільки добрі оцінки імітаційних та прогнозних розрахунків.

5

Для перевірки коректності побудови моделі визначають:

• стандартну похибку рівняння;• коефіцієнт детермінації;• коефіцієнт множинної кореляції;• стандартну похибку параметрів.

6

Стандартна похибка рівняння (точкова оцінка емпіричної дисперсії залишків)- характеризує абсолютну величину розкиду випадкової складової рівняння

n

iiu u

nS

1

22 1

7

Поправка на число ступенів свободи дає незміщену оцінку дисперсії

залишків:

n

iiu u

mn 1

22

1

1

8

У поняття "тіснота зв'язку" (щільність) вкладається оцінка впливу незалежної змінної на залежну змінну.

Під терміном "значимість зв'язку" (істотність, або значущість) розуміють оцінку відхилення вибіркових змінних від своїх значень у генеральній сукупності спостережень за допомогою статистичних критеріїв.

9

Коефіцієнт детермінації показує, якою мірою варіація залежної змінної (результативного показника) у

визначається варіацією незалежної змінної (вхідного показника) х.

n

iiy yy

nS

1

22 1)(

де

2

22 1

y

u

S

SR

10

Інші формули:

де - розрахункові значення регресанда;

-загальна середня фактичних даних результативного показника;

-фактичні індивідуальні значення результативного показника.

y

y

iy

n

ii

n

i

yy

yyR

1

2

1

2

2

)(

)ˆ(

11

квадрат емпіричного коефіцієнта кореляції між двома рядами спостережень (теоретичними значеннями регресанта та його розрахунковими значеннями ).y

iy

n

i

n

iii

n

iii

yyyy

yyyy

R

1 1

22

2

12

)ˆ()(

)ˆ)((

12

Коефіцієнт кореляції, або індекс кореляції, показує, наскільки значним є

вплив змінної хi , на yi

і розраховується так:

2RR

13

Іноді для спрощення розрахунків тісноту кореляційного зв'язку характеризують

коефіцієнтом кореляції, який розраховується за формулою:

n

ii

n

ii

yy

yyR

1

2

1

2

1 1)(

)ˆ(

14

Якщо зв'язок між результативним і вхідним показниками лінійний, то використовується лінійний коефіцієнт кореляції, який характеризує не тільки тісноту зв'язку, а і його напрям:

2222 yyxx

yxxyrxy

15

2. Перевірка значущості та довірчі інтервали.

16

Зауваження. У задачах регресійного аналізу важливе значення має припущення про нормальний розподіл випадкових величин, що задіяні в даній моделі.

Певні перетворення нормально розподілених величин забезпечують їх розподіл за законом Стьюдента чи за законом Фішера: на підставі першого з них визначаються довірчі інтервали, а другий дає змогу оцінювати відношення двох випадкових величин.

17

Стосовно кожного статистичного результату висувається так звана нульова гіпотеза (про рівність нулю деякої випадкової величини) і альтернативна до неї гіпотеза (про її суттєву відмінність від нуля).

У нульовій гіпотезі формулюють результат, який бажано відхилити, а в альтернативній, яка інакше називається експериментальною, — той, що його необхідно підтвердити.

18

За заданим рівнем значущості множина допустимих значень розбивається на дві неперетинні множини: одна містить значення випадкової величини, ймовірність досягнення яких перевищує заданий рівень значущості, а інша — критична область — визначає ті значення, що досягаються рідко (ймовірність потрапити до такої області нижча від заданого рівня), і розташована вона, як правило, на "хвостах розподілу".

19

При перевірці гіпотез може бути допущена помилка, наприклад може бути відхилена нульова гіпотеза, хоча насправді вона правильна (помилка першого роду), або ж, навпаки, нульова гіпотеза може бути прийнята, хоча вона неправильна (помилка другого роду).

20

R2 R2 R2 R2

00 11?застосувати відповідний статистичний критерій,

який дасть змогу встановити, чи суттєво відрізняється R2 від нуля,

чи ця відмінність пов'язана з особливостями конкретних даних,

тобто зумовлена лише похибками вимірювань.

застосувати відповідний статистичний критерій, який дасть змогу встановити,

чи суттєво відрізняється R2 від нуля, чи ця відмінність пов'язана з особливостями

конкретних даних, тобто зумовлена лише похибками вимірювань.

21

Висувається нульова гіпотеза Н0 : R2 = О.

Це означає, що досліджуване рівняння не

пояснює змінювання регресанда під впливом відповідних регресорів.

У такому разі всі коефіцієнти при незалежних змінних мають дорівнювати нулю.

При цьому нульову гіпотезу можна подати у вигляді

Н0 :а1 =а2 =... = аn = 0.

22

Альтернативною до неї є Н1:

значення хоча б одного параметра моделі відмінне від нуля, тобто хоча б один із факторів впливає на змінювання залежної змінної.

23

Для перевірки цих гіпотез застосовують F- критерій Фішера з

n-m-1 ступенями свободи.

яке порівнюють з табличним значенням розподілу Фішера при заданому рівні значущості α. (Як правило, α = 0,05 або α = 0,01).

mmn

RR

F1

1 2

2

24

Якщо Fтабл < Fексп Якщо Fтабл < Fексп

нульова гіпотеза відхиляється, тобто існує такий коефіцієнт у регресійному рівнянні,

який суттєво відрізняється від нуля, а відповідний фактор впливає на досліджувану змінну.

нульова гіпотеза відхиляється, тобто існує такий коефіцієнт у регресійному рівнянні,

який суттєво відрізняється від нуля, а відповідний фактор впливає на досліджувану змінну.

25

У випадку парної регресії цей критерій розраховується за

формулою:

2

)ˆ(:

1

)ˆ(1

2

1

2

n

yyyyF

n

ii

n

i

26

Коефіцієнт кореляції, як вибіркова характеристика, перевіряється на

значущість за допомогою t-критерію Стьюдента.

Фактичне значення t статистики обчислюється за формулою

21

1

R

mnRtексп

27

tексп порівнюється з табличним значенням

t- розподілу з п – т – 1 ступенями свободи, та при заданому рівні значущості α/2

Якщо

таблексп tt

можна зробити висновок, що коефіцієнт кореляції достовірний (значущий), а зв'язок між залежною змінною та всіма незалежними факторами суттєвий.

28

Можна визначити стандартні похибки оцінок параметрів моделі з урахуванням дисперсії залишків:

jjua cSj

2ˆ

де - дисперсія залишків, обчислюється за формулою:

2u

mn

un

ii

u 1

2

2

29

cjj –відповідний діагональний елемент

матриці похибок С (матриця, обернена до матриці коефіцієнтів системи нормальних рівнянь)

1

1

2

1

11

n

ii

n

ii

n

ii

xx

xnAC

30

Статистичну значущість кожного параметра моделі можна перевірити за

допомогою t-критерію. При цьому нульова гіпотеза буде: Н0: aj=0, альтернативна H1: aj≠0

Експериментальне значення t-статистики для кожного параметра моделі обчислюється за формулою:

ja

jj S

at

31

Довірчі інтервали для кожного параметра aj

обчислюються на основі його стандартної похибки та критерію Стьюдента:

)1(2/ mnttтабл

Табличне значення t табл. , як і раніше, має n-

m-1 ступенів свободи і рівень значущості α/2

jjuтаблjjjuтаблj ctacta 22 ;

32

Завдання: Зробити аналіз залежності обсягу споживання y (у.о.) домогосподарства від наявного прибутку x (у.о.) за вибіркою обсягом n=12, результати якої наведено у таблиці. Визначити вид залежності, оцінити параметри рівняння регресії, оцінити силу лінійної залежності між x та y.

33

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Обсягспожива-

ння

( y у.о.)

107 109 110 113 120 122 123 128 136 140 145 150

Наявнийприбуток

( x у.о.)

102 105 108 110 115 117 119 125 132 130 141 144

34

Графік лінійної регресії

y = 3,4226+0,9361*x

105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155

x

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

y

y=3,423+0,936 х

35

Regression Summary for Dependent Variable: y (labor2.sta)R= ,99160670 R_= ,98328384 Adjusted R_= ,98161222F(1,10)=588,22 p<,00000 Std.Error of estimate: 1,8775

N=12BetaStd.Err.

of BetaB Std.Err.

of Bt(10)p-level

Interceptx

3,4226104,8644320,703600,4977380,9916070,0408850,9360800,03859624,253320,000000

коефіцієнт кореляції

R=0,9916067.

Коефіцієнт детермінації .

98328384,02 RЗначення критерію Фішера

Значення критерію Стьюдента

36

Завдання : За 10 парами спостережень отримано такі результати:

10

1

100i

ix

10

1

200i

iy

10

1

21000i

ii yx

10

1

2 12000i

ix

10

1

2 45000i

iy

За МНК оцініть коефіцієнти рівняння регресії Y на X . Оцініть коефіцієнт кореляції rxy