第 37课时┃　平移与旋转

第 37课时┃ 考点聚焦

考点聚焦

考点 1 平移

定义 由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原 图形上所有的点都沿同一个 ________运动，且运动相 等的距离，这样的图形的平移改变叫做图形变换简称平移

图形平移有两个基本条件

(1)图形平移的方向就是这个图形上的某一点到平移后 的图形对应点的方向； (2)图形平移的距离就是连结一对对应点的线段的长度

平移性质

(1)对应线段平行 (或共线 )且 ________，对应点所连的 线段 ________，图形上的每个点都沿同一个方向移动了 相同的距离； (2) 对应角分别 ________ ，且对应角的两边分别平行、 方向一致； (3) 平移变换后的图形与原图形 ________

方向

相等 平行且相等

相等

全等

考点 2 旋转

定义

由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中， 原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个 方向，转动同一个角度，这样的图形改变叫做图 形的旋转变换，简称旋转．这个固定的点叫做 __________，转动的角度叫做 ________

图形的旋转有三个基本条件 (1)旋转中心； (2)旋转方向； (3)旋转角度

旋转的性质

(1)对应点到旋转中心的距离 ________； (2) 对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的 角度； (3) 旋转前后的图形的形状和大小相同

旋转中心 旋转角

相等

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第 37课时┃ 浙考探究

浙考探究

► 　类型之一　图形的平移

命题角度：1. 平移的概念；2. 平移前后的两个图形的对应角、对应线段的关系．

例 1 [2012· 义乌 ] 如图 37 － 1 ，将周长为 8 的△ ABC 沿 BC 方向平移 1 个单位得到△DEF ，则四边形 ABFD 的周长为 ( 　　 ) A ． 6 　　 B ． 8 C ． 10 　　 D ． 12 图 37 － 1

C

[ 解析 ] 将周长为 8 个单位的等边△ ABC 沿边 BC 向右平移 1 个单位得到△ DEF ，∴ AD ＝ 1 ， BF ＝ BC ＋ CF ＝ BC ＋ 1 ， DF ＝ AC.

又∵ AB ＋ BC ＋ AC ＝ 8 ， ∴ 四边形 ABFD 的周长＝ AD ＋ AB ＋ BF ＋ DF ＝ 1 ＋

AB ＋ BC ＋ 1 ＋ AC ＝ 10.

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利用“平移前后的两个图形全等”，“平移前后对应线段平行且相等”是解决平移问题的基本方法．

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► 　类型之二　图形的旋转命题角度：1. 旋转的概念；2. 求旋转中心，求旋转角；3. 求旋转后图形的位置和点的坐标．

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例 2 [2011· 聊城 ] 将两块大小相同的含 30° 角的直角三角板 (∠BAC ＝∠ B′A′C ＝ 30°) 按图 37 － 2① 方式放置，固定三角板 A′B′C ，然后将三角板 ABC 绕直角顶点 C 顺时针方向旋转 ( 旋转角小于 90°) 至图②所示的位置， AB 与 A′C交于点 E ， AC 与 A′B′ 交于点 F ， AB 与 A′B′ 相交于点 O.

(1) 求证：△ BCE≌△B′CF ； (2) 当旋转角等于 30° 时，AB 与 A′B′ 垂直吗？请说明理由．

图 37 － 2

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解： (1) 因为∠ B ＝∠ B′ ， BC ＝ B′C ，∠ BCE ＝∠B′CF ，所以△ BCE≌△B′CF.

(2)AB 与 A′B′ 垂直．理由如下： 旋转角等于 30° ，即∠ ECF ＝ 30° ，所以∠ FCB′ ＝ 60° ，又∠ B ＝∠ B′ ＝ 60° ，根据四边

形的内角和可知∠ BOB′ 的度数为360° － 60° － 60° － 150° ＝ 90° ，所以 AB 与 A′B′ 垂

直．

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[ 解析 ] (1) 利用旋转角相等，可得∠ BCE ＝∠ B′CF ，从而容易找出全等三角形的条件． (2) 在四边形 BCB′O 中，求∠ BOB′ 的度数．

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(1) 求旋转角时，只要找到一对对应点和旋转中心的夹角即可； (2) 旋转不改变图形的大小，旋转前后的两个图形全等．

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► 　类型之三　图形变换的综合问题

命题角度：对称、平移、旋转的综合问题．

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例3 [2012· 济宁] 如图37－3，在平面直角坐标系中，

有一Rt△ ABC，且A

－1，3，B

－3，－1，C

－3，3，已知

△ A1AC1是由△ ABC旋转变换得到的． (1)请写出旋转中心的坐标是________，旋转角是

________度； (2)以(1)中的旋转中心为中心，

分别画出△ A1AC1顺时针旋转 90° 、180° 的三角形；

(3)设Rt△ ABC两直角边 BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c， 利用变换前后所形成的图案 证明勾股定理．

图 37 － 3

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解：(1)(0，0) 90 (2)画出图形如图所示： (3)由旋转的过程可知，

四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形． ∵ S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B＋4S△ ABC,

∴ (a＋b)2＝c2＋4×12ab，

a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab， ∴ a2＋b2＝c2.

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[解析 ] (1)由图形可知，对应点的连线 CC1、 AA1的垂直平分线过点 O，即点 O为旋转中心，再根据网格结构，观察可得旋转角为 90°；

(2)利用网格结构，分别找出旋转后对应点的位置，然后顺次连结即可；

(3)利用面积，根据正方形 CC1C2C3的面积等于正方形 AA

1A2B的面积加上△ ABC的面积的 4倍，列式计算即可得证．

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求一个图形旋转后、平移后的图形的某点的坐标，一般应把握三点：一是根据图形平移、旋转的性质；二是利用图形的全等关系；三是点所在象限的符号．

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