บทที่ 4...

ME TUMechanical Engineering DepartmentFaculty of Engineering, Thammasat University

ME 654OPTIMUM DESIGN OFMECHANICAL PARTS

บทท�� 4การหาจุ�ดต่ำ��าท��สุ�ดของฟั�งก�ชั่��นท��

ไม่�ม่�ข�อจุ�าก�ดด�วยว�ธี�การเชั่�งต่ำ�วเลข

ด�ลยโชั่ต่ำ� ชั่ลศึ%กษ์�Mechanical Engineering Department

Thammasat University

Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization

2 ME TUMechanical Engineering DepartmentFaculty of Engineering, Thammasat University

ME654

ห�วข�อ

การหาจุ�ดต่ำ��าท��สุ�ดของฟั�งก�ชั่��นต่ำ�วแปรเด�ยว

ด�วยว�ธี�การเชั่�งต่ำ�วเลข การหาจุ�ดต่ำ��าท��สุ�ดของฟั�งก�ชั่��น

หลายต่ำ�วแปรด�วยว�ธี�การเชั่�งต่ำ�วเลข



ME654

การหาจุ�ดต่ำ��าท��สุ�ดของฟั�งก�ชั่��น ต่ำ�วแปรเด�ยว ด�วยว�ธี�การเชั่�งต่ำ�วเลข 1

ว�ธี�ต่ำ�ดคร%�ง ว�ธี�ต่ำ�ดสุ�วนทอง ว�ธี�ประม่าณด�วยพาราโบลา ว�ธี�ของน�วต่ำ�น

x

f(x)



ME654

ว�ธี�ต่ำ�ดคร%�ง1. หาจุ�ด 3 จุ�ดเรียงกั น A B C โดยที่�จุ�ด B อย��ต่ำ��าที่�สุ�ด

2. หาจุ�ด D โดยกัารีแบ่�งครี��งช่�วง -A B3. เรียกัจุ�ดที่�ต่ำ��าที่�สุ�ดเป็ นจุ�ด B ใหม่� จุ�ดที่�อย��ข้$างซ้$ายข้องจุ�ด B เป็ นจุ�ด Aและข้$างข้วาเป็ นจุ�ด C



ME654

ว�ธี�ต่ำ�ดคร%�ง (2) ที่�ากัารีหาจุ�ด D โดยสุล บ่ไป็แบ่�งครี��งช่�วง - B C ต่ำาม่รี�ป็ 4.1ให$เรียกัจุ�ดที่�ต่ำ��าที่�สุ�ดเป็ นจุ�ด B ใหม่� จุ�ดที่�อย��ข้$างซ้$ายข้องจุ�ด Bเป็ นจุ�ด A และข้$างข้วาเป็ นจุ�ด C



ME654

ว�ธี�ต่ำ�ดคร%�ง(3)

ที่�าซ้�)าไป็เรี*�อยๆจุนได$ความ่ละเอยดที่�ต่ำ$องกัารี



ME654

โปรแกรม่ Bisection C BRACKETING

DO 100 I=1,MAXITERXC=XB+STEPCALL OBJFNC(XC,FC)IF (ABS(FC-FB).LT.FTOL) GOTO 200IF (FC.GT.FB) GOTO 200

XA=XBFA=FBXB=XCFB=FC

100 CONTINUEC BISECTION200 XD=(XC+XB)/2

CALL OBJFNC(XD,FD)IF (FD.LT.FB) THENXA=XBFA=FBXB=XDFB=FDELSE

XC=XDFC=FDENDIFXD=(XA+XB)/2CALL OBJFNC(XD,FD)IF (FD.LT.FB) THENXC=XBFC=FBXB=XDFB=FDELSEXA=XDFA=FDENDIFI=I+1IF (I.GT.MAXITER) GOTO 300IF (ABS(FA-F0).LT.FTOL) GOTO 300



ME654

ว�ธี�ต่ำ�ดสุ�วนทอง

สุม่ม่�ต่ำ,ว�าสุ ดสุ�วนรีะหว�างรีะยะ A-B และ B-C เป็ น

wac

ab

และสุม่ม่�ต่ำ,ว�าที่�ากัารีแบ่�งช่�วง B-C ที่�จุ�ด D โดยม่สุ ดสุ�วน

wac

bc

1

zac

bd



ME654

ว�ธี�ต่ำ�ดสุ�วนทอง (2)

ต่ำ$องกัารีให$ความ่กัว$างข้องช่�วงกัารีค$นหาลดลงอย�างสุม่��าเสุม่อ จุะต่ำ$องกั�าหนดให$

wzw 1 หรี*อ

wz 21

wbc

bd

รี กัษาสุ ดสุ�วนกัารีค$นหาต่ำาม่เด,ม่

ww

z

1 หรี*อ



ME654


wzw 1

ww

z

1

แกั$สุม่กัารีที่ )งสุอง จุะได$

0132 ww

38197.02

53

w



ME654


สุ ดสุ�วน w = 0.38197 เรียกัว�าสุ ดสุ�วนที่อง (Golden Ratio)

ในกัารีค$นหาแต่ำ�ละรีอบ่ความ่กัว$างข้องช่�วงที่�ค$นหาจุะลดลงเหล*อ 0.61803 เที่�าข้องช่�วงเด,ม่

เสุม่อ

ในกัารีค$นหาแบ่บ่ต่ำ ดครี��งช่�วงกัว$างจุะลดลงด$วยสุ ดสุ�วนที่�ไม่�แน�นอน

ค*ออาจุลดลงเหล*อ 0.75 หรี*อ 0.5 เที่�าข้องช่�วงเด,ม่แล$วแต่ำ�จุ งหวะข้องกัารีค$นหา



ME654

ว�ธี�ของน�วต่ำ�น

)(2

1)()()( 02000 xfxfxfxf

0)(2

1)(

)()( 0000

xfxfxfxf

ป็รีะม่าณฟั0งกั1ช่ �นด$วยอน�กัรีม่ข้องเที่ย1เลอรี1

ที่�จุ�ดต่ำ��าที่�สุ�ด ความ่ช่ นเป็ นศู�นย1 ใช่$ Forward Difference

)(

)(0

0

xf

xf



ME654

ต่ำ�วอย�าง 4.1



ME654

ต่ำ�วอย�าง 4.1 (2)



ME654

ต่ำ�วอย�าง 4.1 (3)



ME654

การบ�าน 4



ME654

การหาจุ�ดต่ำ��าท��สุ�ดของฟั�งก�ชั่��นหลาย ต่ำ�วแปร ด�วยว�ธี�การเชั่�งต่ำ�วเลข 2



ME654

ว�ธี�ค�นหาท�ละท�ศึทาง



ME654




ME654

ต่ำ�วอย�าง 4.2 (2)



ME654

ว�ธี�ลงทางชั่�นท��สุ�ด



ME654

ว�ธี�ลงทางชั่�นท��สุ�ด (2)



ME654




ME654

ต่ำ�วอย�าง 4.3 (2)



ME654

ป�ญหาของว�ธี�ลงทางชั่�นท��สุ�ดการเด�นแบบซิ�กแซิก



ME654

ว�ธี�เกรเด�/ยนร�วม่



ME654

ว�ธี�เกรเด�/ยนร�วม่ (2)



ME654




ME654

ต่ำ�วอย�าง 4.5 (2)



ME654

เปร�ยบเท�ยบการล0�เข�า



ME654

การเข�ยนโปรแกรม่PROGRAM CONJUGPARAMETER N=2DIMENSION X(N),X1(N),G(N),D(N),G0(N),D0(N)

C SPECIFY OPTIMIZATION PARAMETERSMAXITER=100XTOL=0.00001FTOL=0.00001GTOL=0.00001F0=1.E9

C SPECIFY INITIAL VALUE OF VARIABLESX(1)=-1X(2)=1OPEN (2,FILE='CONOUT.TXT')OPEN(3,FILE='CONLOG.TXT')

C EVALUATE THE INITIAL POINTCALL OBJFNC(X,N,F)

C START STEEPEST DIRECTION PROCESS DO 200 J=1,MAXITER

WRITE(2,*) J,(X(I),I=1,N),FWRITE(*,*) J,(X(I),I=1,N),FIFLAG=0

C EVALUATE GRADIENTCALL GRADF(X,N,G)



ME654

การเข�ยนโปรแกรม่C FIND SIZE OF G

SIZEG=0DO 110 I=1,N

110 SIZEG=SIZEG+G(I)*G(I)SIZEG=SQRT(SIZEG)

C EXIT CONDITION 1IF (ABS(SIZEG).LT.GTOL) GOTO 600

C COMPUTE CONJUGATE DIRECTIONIF (J.EQ.1) THENDO 112 I=1,ND(I)=-G(I)D0(I)=-G(I)

112 G0(I)=G(I)SIZEG0=SIZEGELSEBETA=(SIZEG/SIZEG0)**2DO 114 I=1,ND(I)=-G(I)+BETA*D0(I)G0(I)=G(I)

114 D0(I)=D(I)SIZEG0=SIZEGENDIF

n

iic

1

c



ME654

การเข�ยนโปรแกรม่C LINE SEARCH IN CONJUGATE DIRECTION

SIZED=SIZVEC(D,N)DO 130 I=1,N

130 D(I)=D(I)/SIZEDC EVALUATE OBJECTIVE FUNCTION

CALL MLINE(X,N,D,F)C EXIT CONDITION 2 190 IF ((J.GT.2).AND.(ABS(F-F0).LT.FTOL))GOTO 600 F0=F 200 CONTINUE 600 WRITE(2,*) J,(X(I),I=1,N),F

END



ME654

โปรแกรม่ย�อย OBJFNC

SUBROUTINE OBJFNC(X,N,F)DIMENSION X(N)

C ***** INPUT YOUR OBJECTIVE FUNCTION HERE.*****C THE DEFAULT FUNCTION IS 2D ROSENBROCK FUNCTION.

F=(1-X(1))**2+100*(X(2)-X(1)**2)**2WRITE(3,*) (X(I),I=1,N),FEND



ME654

โปรแกรม่ย�อย GRADF

SUBROUTINE GRADF(X,N,G)DIMENSION X(N),G(N)

C ***** INPUT YOUR GRADIENT FUNCTION HERE ******C –- OR --C USE CENTRAL DIFFERENCE IN CASE NO ANALYTICAL EXPRESSION FOR C GRADIENT

DX=0.0001DO I=1,N X(I)=X(I)+DXCALL OBJFNC(X,N,FF)X(I)=X(I)-2*DXCALL OBJFNC(X,N,FB)G(I)=(FF-FB)/2/DXX(I)=X(I)+DXENDDOWRITE(*,*) 'G',(G(I),I=1,N)END



ME654

ว�ธี�ของน�วต่ำ�นสุ�าหร�บต่ำ�วแปรหลายม่�ต่ำ�

ในหลายม่�ต่ำ�



ME654

การบ�าน

4



ME654

ว�ธี�ค�นหาแบบต่ำาราง



ME654

ว�ธี�สุาม่เหล��ยม่สุะท�อน



ME654

การสุ��ม่ลดพ2/นท��



ME654

ว�ธี�ล�าด�บข�/นต่ำอนทางพ�นธี�กรรม่



ME654

การผสุม่



ME654

การกลายพ�นธี��



ME654

ต่ำ�วอย�างการท�างาน



ME654

การสุ��ม่จุ�ดใน N ม่�ต่ำ�C SPECIFY THE RANGE

NDATA=10000XMIN=-10XMAX=10FMAX=1.E9FMIN=-1.E9

C RANDOMLY GENERATE DATA POINTS

DX=XMAX-XMIN DO 200 J=1, NDATA 50 DO 100 I=1,N

CALL RANDOM_NUMBER(RR)

100 X(I)=XMIN+DX*RR 200 WRITE(*,*)

(X(I),I=1,N)

บทที่ 4...

Documents