1

เอกสารในหองเรยน

บทท 4 Kinetics of Systems of Particles

(จลนศาสตรของระบบอนภาค)

กลาวนา

ในบทนจะศกษาการเคลอนทแบบ Kinetics ของระบบอนภาค ทไดนาเอาสมการการเคล อนท หรอกฎขอท 2

-ของนวตน สมการความสมพนธของงานและพลงงาน สมการความสมพนธของอมพลสและโมเมนตม มา

ประยกตใชวเคราะหการเคลอนทของระบบอนภาค

เอกสารนเปนเอกสารประกอบใชระหวางเรยนในหอง ทสรปเนอหา สมการวเคราะห และโจทยปญหาตวอยาง

ตางๆ ในตาราอางอง [1] (แบบปกปดวธการวเคราะหบางสวน) ท งนเพอใหนกศกษามเอกสารในระหวางเรยน และ

สามารถจดบนทกไปพรอมกบการบรรยายในหองเรยนไดอยางสะดวก

4.1 สมการการเคลอนท (Generalized Newton’s Second Law) พจารณาระบบอนภาคในรปท 4.1 ทประกอบดวย

อนภาค n อนภาค ทอยรวมกนภายใตพนผวปดรอม

ใดๆ (System boundary) จากรป อนภาค mi ใดๆ ถก

กระทาดวยแรง 1 2 3, , , ...F F F

และ 1 2 3, , , ...f f f

โดยท

1 2 3, , , ...F F F

คอ “แร งก ร ะท าภายนอก ”

(external force) เนองจาก แรงคงทภายนอก แรงโนม

ถวง แรงจากสนามแมเหลกไฟฟา เปนตน

1 2 3, , , ...f f f

คอ “แรงกระทาภายใน” (internal

force) เนองจาก แรงปฏกรยาจากอนภาคขางเคยง

(แรงดงดดของอนภาคขางเคยง) ทกระทาตอมวล mi

สมการกฎขอท 2 ของนวตน สาหรบมวล mi

1 2 3 1 2 3... ...

i i

i ir

F ma

F F F f f f m+ + + + + + + =

Σ =ɺɺ

สาหรบอนภาคมวลอนๆ สมการเคลอนท (กฎขอท

2 ของนวตน) กสามารถกระทาไดเชนเดยวกน

r

ir

im

im

1F

2F

3F

1f

2f

3f

iρρρρ

รปท 4.1

เมอนาสมการการเคลอนทของแตละอนภาคมา

รวมกน จะไดสมการเคลอนทท งระบบเปน

i irF f mΣ +Σ = Σ ɺɺ

พจน fΣ

เปนแรงปฏกรยาภายในทแตละอนภาค

กระทาตอกน ทมขนาดเทากนแตทศทางตรงกนขาม

ดงน นผลรวมของแรงภายในท งระบบจะเปนศนย ซง

สมการการเคลอนทของระบบอนภาคจะเหลอเพยง

i irF mΣ = Σ ɺɺ

(4.1)

จากรป ระบบอนภาคมตาแหนงของจดศนยกลาง

มวล (G) ทหางจากจด O คอ r และมสมการ

ความสมพนธของตาแหนงศนยกลางมวล เปน

2

i it rm r m= Σ (4.2)

โดยท t im m= Σ เปนมวลรวมของระบบอนภาค

ดงน นอนพนธอนดบสองเทยบตอเวลาสมการ (4.2) คอ

t i irm r m=Σ ɺɺ

ɺɺ (4.3)

จะพบวาสมการท (4.1) เทากบสมการท (4.3) ทม

ความสมพนธคอ

t tr aF m F mΣ = Σ = ɺɺ

(4.5)

ความหมายของสมการ (4.5) คอ “ผลรวมของ

แรงภายนอกท กระทาตอระบบอนภาค จะเทากบ

ผลคณของมวลรวม ( itm m= Σ= Σ= Σ= Σ ) กบความเรงของ

จดศนยกลางมวล (a)”

สมการท (4.5) สามารถแยกเปน สมการใน

แนวแกนของระบบพกดฉาก x-y-z ไดเปน

x x

y y

z z

t

t

t

a

a

a

F m

F m

F m

Σ =Σ =

Σ = (4.5a)

ขอควรระวง: สมการการเคล #อนท # (4.5) เปนสมการ

vector (จะตองจดการแบบเวกเตอร)

4.2 วธการงานและพลงงาน (Work and Energy) พจารณาการเคลอนทในรปท 4.1

สมการงานและพลงงาน สาหรบอนภาคมวล mi

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2ii i i iU T T U T− −= ∆ + =

โดยท

( )1 iT และ ( )1 i

T คอพลงงานจลนของอนภาค

mi ณ ตาแหนงท 1 และ 2 ตามลาดบ

( )1 2 iU − คองานเนองจากแรงกระทาภายนอก

1 2 3, , , ...F F F

แล ะแ ร งก ร ะท าภ าย ในขอ ง แ ร ง

ปฏกรยาจากอนภาคขางเคยง 1 2 3, , , ...f f f

สาหรบอนภาคมวลอนๆ สมการความสมพนธงาน

และพลงงาน กสามารถกระทาไดเชนเดยวกน

เมอนาสมการความสมพนธงานและพลงงานของ

แตละอนภาคมารวมกน จะไดท งระบบเปน

( )1 2

,1 2 ,1 ,1 2 ,2S S S S S

iiU T

U T T U T

−

− −

Σ = Σ∆

= ∆ + = (4.6)

เมอ: ( ),1 2 1 2S iU U− −= Σ และ ST∆ คอการเปลยน

พลงงานจลนรวมท งระบบ S iT T= Σ

สาหรบวตถแขงเกรง (Rigid body) หรอระบบ

วตถแขงเกรง (System of rigid bodies) ณ จดจบยด

(joined) จะมแรงสทธเนองจากแรงจบยด if

และ if−

ซงเปนแรงคปฏกรยากน ดงรป 4.2 งานสทธเนองจาก

แรงดงกลาวนจะเปนศนย เปนเพราะ ณ จดจบยดนจะม

การกระจดเดยวกน ดงน นงานจะหกลางกนไป

งานสทธ ณ จดจบยดของวตถแขงเกรง: 0if

U =Σ

รปท 4.2

ส า ห ร บ ร ะ บ บ ก ล ไ ก ย ด ห ย น (Nonrigid

mechanical system) จะประกอบดวยชนสวนยดหยน

เชน สปรง ทมการสะสมพลงงานศกยยดหยน คอ eV

ดงน น จากสมการท (4.6) สามารถเขยนวเคราะห

สาหรบระบบกลไกยดหยน ไดเปน

,1 2S S SU T V−′ = ∆ +∆ (4.7)

หรอ

,1 ,1 ,1 2 ,2 ,2S S S S ST V U T V−′+ + = + (4.7a)

โดยท

,1 2SU −′ = งานจากแรงภายนอก ยกเวน แรงโนม

ถวงและแรงจากสนสวนยดหยน เชน สปรง

หรอ

หรอ

หรอ

3

ST =พลงงานจลนรวมของระบบ S iT T= Σ

SV =พลงงานศกยรวมของระบบ , ,S S g S eV V V= +

พลงงานจลนของระบบอนภาค: ST

v

iv

im

iρρρρɺɺɺɺ

r

ir

im

iρρρρ

รปท 4.3

นยาม พลงงานจลนของระบบอนภาค คอ 21

2S i i iT T m v= Σ = Σ

12S i i iT m v v= Σ i

จากความสมพนธของความเรวสมพทธ ในรปท

4.3 จะพบวา

i iv v ρ= + ɺ

เมอ vคอความเรวของจดศนยกลางมวล G ของ

ระบบอนภาค และ iρɺ คอความเรวสมพทธของอนภาค

im เทยบตอความเรวของจดศนยกลางมวล G ดงน น

หากใช i iv v ρ= + ɺ แทนในสมการพลงงานจลนของ

ระบบอนภาคจะได

( ) ( )2

2

12

12

1 12 2

i i i

i i i

i i i i i

T m v v

m v v

m v m m v

ρ ρ

ρ ρ

= Σ

= Σ + +

= Σ +Σ +Σ

i

i

i

ɺ ɺ

ɺ ɺ

แตเนองจาก iρ วดจากจดศนยกลางมวล G ซง

0i im ρΣ = พจน ( ) 0i i i i

dm v v mdt

ρ ρΣ = Σ =i i

ɺ และ

พจน ( )2 2 21 1 12 2 2 ti im v v m m vΣ = Σ =

สดทายจะ

ได พลงงานจลนรวมของระบบ เปน

221 1

2 2S t i iT m v m ρ= +Σ

ɺ (4.8)

ความหมายของสมการ (4.8) คอ “พลงงานจลน

รวมของระบบอนภาค เทากบ พลงงานจลนของจด

ศนยกลางมวล บวก พลงงานจลนจากความเรว

สมพทธของแตละอนภาค ( )iρɺ เทยบตอความเรว

จดศนยกลางของระบบมวล ( )v

”

4.3 วธการอมพลสและโมเมนตม (Impulse and Momentum)

4.3a โมเมนตมเชงเสน (Linear Momentum)

จากรปท 4.3 โมเมนตมเชงเสนของแตละ

อนภาค คอ i i iG m v= เมอ ,im i iv r=

ɺ คอมวล และ

ความเรวของแตละอนภาค ตามลาดบ ดงน น โมเมนตม

เชงเสนรวมของระบบอนภาค คอ

S i i iG G m v= Σ = Σ

แทน i iv v ρ= + ɺ จะได

( )S i iG m v ρ= Σ +

ɺ

( ) ( )0

S

S

i i i

ti i i

G v m m

d dG v m m m vdt dt

ρ

ρ

= Σ +Σ

= Σ + Σ = +

ɺ

S iG v m= Σ

S tG m v=

(4.9)

สมการท (4.9) คอ “โมเมนตมเชงเสนรวมของ

ระบบอนภาค เทากบ ผลคณของมวลรวมกบ

ความเรวของจดศนยกลางมวล” อนพนธเทยบตอ

เวลาของสมการ (4.9) จะได S t tG m v m a F= = = Σ ɺ ɺ

ดงน นจะไดความสมพนธของแรงลพธภายนอกท

กระทาตอระบบอนภาค กบอตราการเปลยนโมเมนตม

เชงเสนของระบบอนภาค คอ

SF GΣ = ɺ (4.10)

4

4.3b โมเมนตมเชงมม (Angular Momentum)

พจารณาระบบอนภาคในรปท 4.4 โดยมจด

ศนยกลางมวลทจด G และมจดสงเกตแบบคงท (fixed-

observer) ทจด O สาหรบการวเคราะหโมเมนตม

เชงมมรอบจด O และ G สามารถกระทาได ดงน

O

Gr

ir

im i

m

1F

2F

3F

1f

2f

3f

System boundary

Particle: mi

iρρρρ

(fixed)

รปท 4.4

1) โมเมนตมเชงมมรอบจดสงเกตคงท : O

โมเมนตมเชงมมของแตละอนภาค im ใดๆ รอบ

จด O คอ ,o i i i iH r m v= × เมอ ir

คอเวกเตอรการ

กระจดของอนภาค im เมอวดจากจด O และ i im v

คอโมเมนตมเชงเสนของอนภาค im ดงน น โมเมนตม

เชงมมรวมของระบบอนภาครอบจด O คอ

( ), ,O S i i iO iH H r m v= Σ = Σ ×

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

, ,:

0

O S O S i i i i i i

i i i i i i

i i i

i i

d H H r m v r m vdt

v m v r m v

r m a

r F

= Σ × +Σ ×

= Σ × +Σ ×

= Σ +Σ ×

= Σ ×

ɺ ɺ ɺ

ɺ

ซง ,O i i iM r F= × ดงน น จะความสมพนธของ

โมเมนตรอบจด o ทเกดจากแรงภายนอก iF

กบ

อตราการเปลยนแปลงโมเมนตมเชงมมรวมท งระบบ

อนภาค คอ

( ) ,, O So iM HΣ =

ɺ (4.11)

2) โมเมนตมเชงมมรอบจดศนยกลางมวล : G

โมเมนตมเชงมมของแตละอนภาค im ใดๆ รอบ

จด G คอ ,o i i i iH m vρ= × เมอ iρ

คอเวกเตอรการ

กระจดของอนภาค im เมอวดจากจด G และ i im v

คอโมเมนตมเชงเสนของอนภาค im ดงน น โมเมนตม

เชงมมรวมของระบบอนภาครอบจด G คอ

( ) ( ), ,G S i i i i i iG iH H m v m rρ ρ= Σ = Σ × = Σ ×

ɺ

(4.12)

แทน i iv v ρ= + ɺ จะได

( )( ) ( )

( ) ( )( )

,

0

G S i i i

i i i i i

i i i i i

i i i

H m v

m v m

v m m

v m

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

= Σ × +

= Σ × +Σ ×

= − ×Σ +Σ ×

= − × +Σ ×

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ดงน น จะได

( ),G S i i iH mρ ρ= Σ ×

ɺ (4.12a)

สมการท (4.12) เรยกวา “โมเมนตมเชงมมรวม

สมบรณ (absolute angular momentum)” เพราะ

ความเรว iv หรอ rɺ เปนความเรวสมบรณ สวนสมการ

ท (4.12a) เรยกวา “โมเมนตมเชงมมรวมสมพทธ

(relative angular momentum)” เพราะความเรว iρɺ

เปนความเรวสมพทธ ซ #งจะพบวาโมเมนตมเชงมมรวม

สมบรณและสมพทธรอบจดศนยกลางมวล G จะม

เทากบ อนพนธเทยบตอเวลาของสมการ (4.12) จะได

( ) ( )( ) ( )

, ,:G S G S i i i

i i i i i i

d dH H m rdt dt

m r m r

ρ

ρ ρ

= Σ ×

= Σ × + Σ ×

ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺɺ

แทน i ir r ρ= + ɺ ɺɺ จะได

5

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

,

0

0 0

G S i i i i i i

i i i i i i i i

i i i i i

i i i

H m r m r

m r m m r

dr m m rdt

dr m rdt

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ

= Σ × + + Σ ×

= Σ × + Σ × + Σ ×

= − Σ + Σ + Σ ×

= − + Σ + Σ ×

ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺ ɺ ɺɺ

ɺ ɺɺ

ɺ ɺɺ

ดงน น จะได

( )( ) ( )

,G S i i i

i i i i i

H m r

m a F

ρ

ρ ρ

= Σ ×

= Σ × = Σ ×

ɺ ɺɺ

(4.13)

ซง ,G i i iM r F= × ดงน น จะความสมพนธของ

โมเมนตรอบจด G ทเกดจากแรงภายนอก iF

กบ

อตราการเปลยนแปลงโมเมนตมเชงมมรวมท งระบบ

อนภาค คอ

( ) ,, G SG iM HΣ =

ɺ (4.14)

4.4 สมการอนรกษพลงาน และอนรกษโมเมนตม (Conservation of Energy and Momentum)

4.4a) สมการอนรกษพลงงาน (Conservation

of Energy)

หากไมมงานจากแรงไมอนรกษ เชน งาน

จากแรงนอก งานจากแรงเสยดทาน (ยกเวน งานจาก

พลงศกยโนมถวง gV และพลงงานศกยยดหยน eV )

น นคอ ,1 2 0SU −′ = จากสมการท (4.7) จะได

0S ST V∆ +∆ = (4.15)

หรอ

,1 ,1 ,2 ,2S S S ST V T V+ = + (4.15a)

โดยท 221 1

2 2S t i iT m v m ρ= +Σ

ɺ

, ,S S g S eV V V= +

สมการท (4.15) “กฎการอนรกษพลงงานกล”

(พลงงานกล = พลงงานจลน + พลงงานศกย)

4.4b) สมการอนรกษโมเมนตม (Conservation

of Momentum)

หากแรงลพธภายนอกทกระทากบระบบ

อนภาคเปนไมศนย 0FΣ =

สมการท (4.10) จะได

0SF GΣ = = ɺ

,1 ,2S SG G=

(4 .16)

โดยท S tG m v=

สมการท (4.16) “กฎการอนรกษโมเมนตมเชง

เสน”

และเชนเดยวกน หากโมเมนตของแรงภายนอกท

กระทาตอระบบอนภาครอบจด O หรอจดศนยกลาง

มวล G เปนศนย จากสมการท (4.11) และ (4.14) จะ

ไดเปน

( ) ,, 0O So iM HΣ = =

ɺ หรอ ( ) ,, G SG iM HΣ =

ɺ

, 1 , 2 , 1 , 2O S O S G S G SH H H H= = (4.17)

โดยท ( ),O S i i iH r m v= Σ ×

( ) ( ),G S i i i i i iH m v m rρ ρ= Σ × = Σ ×

ɺ

สมการท (4.17) “กฎการอนรกษโมเมนตม

เชงมม”

หรอ

6

สวนท 1 ตวอยาง Kinetics of Systems of Particles

วธทา

a) ความเรงของจด O: นXนคอความเรงของจด ศก. มวล ของระบบอนภาค : oa

จาก Equation of motion ของระบบอนภาค (สมการ 4.6)

t aF mΣ = ( )3

3ooi a a i AnsF m

F

m

=

∴

⇒ =

b) ความเรงเชงมมรอบจด O : θθθθɺɺɺɺɺɺɺɺ

จากสมการท (4.14) : “ผลรวมของโมเมนตจากแรงภายนอกรอบจด G (จด O ใน ตย. นK) จะเทากบอตราการ

เปล #ยนแปลงโมเมนตมเชงมมรอบจด G” น นคอ

( ) ( ), ,, ,G S O SG i O iM H M HΣ = ⇒Σ =

ɺ ɺ

( ) ( )i i i i idr F m vdt

ρΣ × = Σ ×

( ) ( )2

2

3

3( )Fb A

dbF k rm r kdt

Fb mr

nsCWmr

θ

θ

θ

− = Σ −

=

=ɺɺ

ɺ

ɺɺ θθθθɺɺɺɺ

θθθθɺɺɺɺ θθθθɺɺɺɺ

v rθθθθ==== ɺɺɺɺ

v rθθθθ==== ɺɺɺɺ

v rθθθθ==== ɺɺɺɺ

วธทา โจทยถามหาความเรวของชนสวน C: VC ซงเปนความเรวหลงการระเบด ดงน นสมการวเคราะหจะตองใช

สมการอนรกษโมเมนตมเชงเสนของการระเบด ณ จด P น นคอ

โมเมนตมของระบบกอนชน = โมเมนตมของระบบหลงชน: ,1 ,2S SG G=

(1)P B BA A C CMv m v m v m v →= + + แตมตวแปรไมทราบคาเพมมา 3 ตวแปร ไดแก , ,P BAv v v

7

1) หา Pv ณ จด P (จดสงสด โพรเจกไทล) น นคอ

, 0 #P zv = และ ( ),

35

3300 / #5P x u i m sv = =

2) หา Av ณ จด P หลงการระเบด เคลอนทในแนวดงสงสด 500 m. ใชสมการอนรกษพลงงาน น นคอ

2

1,112 A A Am v m gh+ 2

,212 A Am v=

( ) ( )

2

2

2 2,1 ,1

,1

1 22

2 9.81 9950 .045 / #0

A

A A A A

AA A k m s

g

m gh

m v m gh v h

v v v

= ⇒ =

= = =∴

+

3) หา Bv ณ จด P หลงการระเบดเคลอนทออกในแนวระนาบ ( ), 0B zv =

เคลอนทตกทจด Q ทามม 45o ระยะ

ตกในแนวระนาบ 4,00 m. ความสง ณ h ดงรป

สมการเคลอนทแนวระนาบ: , 4,000. (2)

h PQ

PQ PQB

S mconst

t tv = = = →

หา PQt จากการเคลอนทในแนวดง z (ทราบระยะ ,v PQS h= ) :

, ,1v PQ v BQS u t− = 2

,1 2 22 BQ BQ v PQg t t S h

g g− ⇒ = = แตไมทราบ h ซงสามารถหาไดจาก การ

เคลอนทจากจด O – P น นคอ 2

,v Pu( )( )

2

,2

,

2300 4

2935/ 5

.22 2 8

79. 1

8v P

v P

uu h hh mg

g

∴ == − ⇒ = =

ดงน นจะได ( )2935.78 24.4652 29.81B QQ Bt h

gt s∴ == = แทนคาใน (2) จะได

163.5 / 45 : #24.4

4,000 4,000

65PQ

o

BB mm m

ts x

svv ∴ ∠= = =

สรปคาททราบคอ

( )

,

,35

0 #

3300 / #5

99.045 / #

163.5 / 45 : #o

P z

P

P x

A

B

u i m s

k m s

m s x

vv

v

v

v

=

= =

=

= ∠

แทนคาใน (1) หา Cv จะได

จาก (1): P B BA A C CMv m v m v m v= + + แทนคาททราบ

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )2 2 2

320 300 5 99.045 9 163.5cos 45 163.

426.58 173.42 82.54 /

426.58 173.42

5sin 455

6

36 20 300 9 163.5cos 45 9 163.5sin 455

5 99.045

82.54 467.8 /

o o

C

o

C

C

o

C

P B BA A C C

i j k m s

m s Ans

i z i j

i j

k

Mv m v m v m v

v

v

v

v

= +

∴ = − −

= − −

+

+

= − +

−

=

⇒ −

= + +

8

วธทา โจทยถามหา a) พลงงานจลนรวมของระบบ : ST b) โมเมนตมเชงเสนรวมของระบบ : SG

c) โมเมนตมเชงมม

รวมของระบบรอบจด O ,: O SH

a) พลงงานจลนรวมของระบบ:ST

จากสมการ (4.8): 221 1

2 2(1)S t i iT m v m ρ= + Σ →

ɺ

ซ ง reli vρ = ɺ คอความเรวสมพทธของแตละอนภาคเทยบตอความเรว จด ศก. มวลของระบบอนภาค (จด O): ดงน,น

“หากเราเคลอนทไปพรอมกบจด ศก. มวล O จะเหนความเรวสมพทธของแตระอนภาคเปนความเรวในแนวสมพทธของการ

เคลอนทแบบหมน น*นคอ ( ) ( ) ( )260reli i i i

nv r r r πρ θ= = Ω = = ɺɺ ดงรปดานลาง”

1, 1 1relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ

2, 2 2relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ

3, 3 3relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ

4, 4 4relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ

แทนคาททราบใน (1) จะได

จาก ( ) ( ) ( ) ( )

22

2 2 2 22

1, 2, 3, 4,

2 2 2

1 12 2

1 12 2

1 12 2

16 4(1.6) 1.2 1.6 2 3.77 2

16.128 38.536 54.66

3.142

S

S b rel rel rel rel

S

S

t i i

t

T J J

T m v m

T m v m

J A

v v

s

v v

T

n

ρ

∴ =

= +Σ

= + + + +

= + + +

+ =

ɺ

b) โมเมนตมเชงเสนรวมของระบบ:

SG

จากสมการ (4.9) S tG m v=

แทนคา จะได

( ) ( )16 4 1.6 1.

26.88 / (

/

)

2S

S

G kg i m

G i kg m s N s Ans

s

∴

= +

= i i

ความเรวสมพทธ ของแตละอนภาค ( )

1, 2,

11, 2, 1

22

60 60

3.77

800

/

5

#

.4

rel

rel rel

rel

nv v

v v s

r

m

ππ

= =

= = =

⇒

( )

3, 4,

33, 3, 3

22

60 60

1

3.142 / #

000.3re

rel rel

l rel

nv v r

v v m s

ππ= = =

⇒ = =

9

c) โมเมนตมเชงมมรวมของระบบรอบจด O ,

:O S

H

จากสมการ (4.12a) ( ),G S i i iH mρ ρ= Σ ×

ɺ

1, 1 1relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ

2, 2 2relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ

3, 3 3relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ

4, 4 4relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ

แทนคาคานวณ, ,

:O S G S

H H====

( ) ( ),G S i i i i i iH m r m vρ ρ= Σ × = Σ × ɺ

( ) ( ), 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4G SH r m v r m v k r m v r m v k= × + × − × + ×

( ) ( ), 1 1 1 3 3 32 2G SH rm v k r m v k= −

( )( ) ( )( ), 2 0.45 1.6 3.77 2 0.3 1.6 3.142G SH k k= −

( )2

,

2

, 5.429 3.016

2.412 /

2.412 / ( ) .

O S

G S

H kg m s k

kg m s N m s CCW

H

s

k

n

k

A

∴ =

=

−

=

i i

i

i

10

สวนท 2 แบบฝกหดทายบท Kinetics of Systems of Particles

11

12

13

14

ตาราอางอง

[1] Meriam J. L., and Kraige L. G. “Engineering Mechanics: Dynamics,” 6th Ed., John Wiley

and Sons, Inc, 2007.