1

เอกสารในห้องเรียน

บทท่ี 5 Plane Kinematics of Rigid bodies

(คิเนเมติกสข์องวตัถเุกรง็ในระนาบ)

กล่าวน า

ในบทนี้จะศกึษาการเคลื่อนทีแ่บบ Kinematics ของวตัถุเกรง็ในระนาบในรูปแบบต่างๆ เอกสารนี้เป็นเอกสาร

ประกอบใชร้ะหว่างเรยีนในหอ้ง ทีส่รปุเนื้อหา สมการวเิคราะห ์และโจทย์ปญัหาตวัอย่างต่างๆ ในต าราอ้างองิ [1] (แบบ

ปกปิดวธิกีารวเิคราะหบ์างส่วน) ทัง้นี้เพื่อใหน้ักศกึษามเีอกสารในระหว่างเรยีน และสามารถจดบนัทกึไปพรอ้มกบัการ

บรรยายในหอ้งเรยีนไดอ้ยา่งสะดวก

5.1 การเคล่ือนท่ีของวตัถเุกรง็ในระนาบ (Plane Motion of Rigid body)

การเล่ือนไถลในแนวตรง: เสน้ทุก

เส้นบนวตัถุขนานกับต าแหน่งเดิม

และจดุจะเคลื่อนทีเ่ป็นเสน้ตรง

การเล่ือนไถลในแนวโค้ง: เสน้ทุก

เส้นบนวตัถุขนานกับต าแหน่งเดิม

แต่จดุจะเคลื่อนทีเ่ป็นเสน้โคง้

การหมุนรอบแกนคงท่ี: ทุกเส้น

หมนุกรวดไปดว้ยมมุเท่ากนั และจุด

เคลื่อนทีเ่ป็นวงกลมรอบแกนหมนุ

การเคล่ือนท่ีแบบทัว่ไป: เป็นการ

รวมกันระหว่างการเคลื่อนที่แบบ

เลื่อนไถลกบัการหมนุรอบแกนคงที ่

2

5.2 การเคล่ือนท่ีแบบหมนุ (Rotation)

การหมนุรอบแกนคงท่ี (Rotation about a Fixed Axis)

การเคล่ือนท่ีแบบหมุน: ของเส้น d

dt

2

2

d dor

dt dt

d d or d d

เม่ือ

การกระจดัเชงิมุม (Angular displacement: rad )

ความเรว็เชงิมมุ (Angular velocity: rad/s )

ความเรง่เชงิมุม (Angular acceleration: rad/s2 )

กรณี ความเร่งเชิงหมุนคงท่ี : .const

0t

2 2

0 02

2

0 0

1

2t t

ความสมัพนัธ ์การเคล่ือนท่ีเชิงเส้น – เชิงมมุ: ของจดุ

1) ความสมัพนัธเ์ชิงขนาด (Scalar relations)

22

n

t

v r

va r vr

a r

2) ความสมัพนัธเ์ชิงเวกเตอร ์(Vectors relations)

n

t

V r

a r V

a r

เม่ือ

, :V a เวกเตอรค์วามเรว็และความเรง่เชงิเสน้ ของจดุ ตามล าดบั

, : เวกเตอรค์วามเรว็และความเรง่เชงิมมุ ของจดุ ตามล าดบั

:r เวกเตอรค์วามยาวจากจดุหมนุ O ไปยงัจดุ A (จุดตอ้งการ

หาความเรว็ และความเรง่)

3

ส่วนท่ี 1 ตวัอย่าง

4

5

6

ส่วนท่ี 2 แบบฝึกหดัท้ายบท

7

8

9

5.3 การวิเคราะหก์ารเคล่ือนท่ีแบบสมับรูณ์ (Absolute Motion) การวเิคราะหก์ารเคลื่อนทีแ่บบสมับูรณ์ของจดุใดๆ สามารถกระท าไดด้งันี้

1) หาความสมัพนัธเ์ชงิเรขาคณติ ระหว่างการกระจดัเชงิเสน้ และการกระจดัเชงิมมุ ( ( )x f )

2) หาอนุพนัธค์รัง้ทีห่นึ่ง จะไดค้วามเรว็ ทัง้ความเรว็เชงิเสน้และเชงิมมุ ( )d

x fdt

3) หาอนุพนัธค์รัง้ทีส่อง จะไดค้วามเรง่ ทัง้ความเร่งเชงิเสน้และเชงิมุม 2

2( )

dx f

dt

10

11

12

13

14

15

5.4 การวิเคราะหก์ารเคล่ือนท่ีแบบสมัพทัธ ์(Relative Motion)

5.4a) ความเรว็สมัพทัธเ์น่ืองจากการหมนุ (Relative Velocity Due to Rotation)

5.4b) จดุหมนุชัว่ขณะ (Instantaneous Center of Zero Velocity)

สมการความสมัพนัธ ์ความเรว็สมัพทัธข์องจดุ A กบัจดุ B

1) ความเรว็จดุ A เมือ่เทียบกบัจดุ B

/A B A BV V V

เมือ่ /

:A B

V ความเรว็ของจดุ A ทีเ่กดิจากการหมนุของวตัถุเกรง็รอบจดุ B ดงัรปู

2) ความเรว็สมัพทัธ ์/A B

V ทีเ่กิดจากการหมุนรอบจดุ B คือ (ระยะห่างระหว่าง B-A = r)

ความสมัพนัธเ์ชิงขนาด (Scalar relations)

/A Bv r

โดย ความเรว็เชงิมุมของเสน้ AB ดงัรปู

ความสมัพนัธเ์ชิงเวกเตอร ์(Vector relations)

/A BV r

จากรปูถา้จดุ C เป็นจดุทีม่คีวามเรว็เป็นศูนย ์จะเรยีกว่า “จดุหมุนช่วงขณะ” ซึง่มคีวามเรว็เชงิมมุเป็น

ดงันัน้จะไดค้วามสมัพนัธค์วามเรว็จดุ A และจดุ B เป็น

A A A A

B BB B

v r v r

v rv r

16

5.4c) ความเร่งสมัพทัธ ์(Relative Acceleration)

สมการความสมัพนัธ ์ความเร่งสมัพทัธข์องจดุ A กบัจดุ B

1) ความเรว็จดุ A เมือ่เทียบกบัจดุ B

/A B A Ba a a

เมือ่ /

:A B

a ความเรง่ของจดุ A ทีเ่กดิจากการหมนุของวตัถุเกรง็รอบจดุ B ดงัรปู

2) ความเร่งสมัพทัธ ์/A B

a ทีเ่กิดจากการหมุนรอบจดุ B คือ (ระยะห่างระหว่าง B-A = r)

/ /A B A B A Bn ta a a a

ความสมัพนัธเ์ชิงขนาด (Scalar relations) ของความเรง่สมัพทัธใ์นทศิทาง n และ t คอื

2

2/

/

/ /

A B

A B n

A B A Bt

va r

r

a v r

ความสมัพนัธเ์ชิงเวกเตอร ์(Vector relations) ของความเรง่สมัพทัธใ์นทศิทาง n และ t คอื

/ /

/

A B A Bn

A B t

a r V

a r

17

ส่วนท่ี 1 ตวัอย่าง (ความเรว็สมัพทัธ ์#1)

18

ส่วนท่ี 1 ตวัอย่าง (ความเรว็สมัพทัธ ์#2)

19

ส่วนท่ี 1 ตวัอย่าง (ความเรว็สมัพทัธ ์#3)

20

ส่วนท่ี 1 ตวัอย่าง (ความเรว็สมัพทัธ ์#4)

21

ส่วนท่ี 2 ตวัอย่าง (จดุหมนุชัว่ขณะ # 1)

22

ส่วนท่ี 2 ตวัอย่าง (จดุหมนุชัว่ขณะ # 2)

23

ส่วนท่ี 3 ตวัอย่าง (ความเร่งสมัพทัธ ์# 1)

24

ส่วนท่ี 3 ตวัอย่าง (ความเร่งสมัพทัธ ์# 2)

25

ส่วนท่ี 3 ตวัอย่าง (ความเร่งสมัพทัธ ์# 3)

26

ส่วนท่ี 4/1 แบบฝึกหดัท้ายบท (ความเรว็สมัพทัธ)์

27

28

29

ส่วนท่ี 4/2 แบบฝึกหดัท้ายบท (จดุหมนุชัว่ขณะ)

30

31

ส่วนท่ี 4/3 แบบฝึกหดัท้ายบท (ความเร่งสมัพทัธ)์

32

33

34

ต าราอ้างอิง

[1] Meriam J. L., and Kraige L. G. “Engineering Mechanics: Dynamics,” 6th Ed., John Wiley and Sons, Inc, 2007.