Controller Design

เรียบเรียงโดย จิระพล ศรีเสริฐผล

บทน า วศิวกรมีความพยายามท่ีจะเขา้ใจและควบคุมการท างานของอุปกรณ์ต่างๆ รอบตวัอยูเ่สมอ เพื่อน ามนัมาใชป้ระโยชน์ใหก้บัมนุษยชาติได ้โดยทัว่ไปแลว้ระบบ (System) ในธรรมชาติเป็นส่ิงท่ีเราไม่เขา้ใจการท างานของมนัอยา่งถ่องแท ้เหมือนกบัเป็นกล่องด าท่ีเราทราบแต่เพียงวา่หากมีขอ้มูลการกระตุน้หรือรบกวนระบบหรืออาจเรียกวา่ อินพุท (Input) และเราทราบวา่ระบบจะมีการตอบสนอง หรือให้ผลลพัธ์ออกมาซ่ึงเราเรียกวา่ เอาท์พุท (Output) ดงันั้นในหลายกรณีแทนท่ีวิศวกรจะพยายามท่ีจะท าความเขา้ใจกบัระบบอยา่งแทจ้ริงวิศวกรจะเล่ียงไปท าความเขา้ใจกบัความสัมพนัธ์ระหวา่งอินพุทและเอาท์พุทของระบบมากกวา่ เพ่ือท่ีจะหาวิธีการก าหนดอินพุทใหก้บัระบบเพ่ือท่ีจะใหร้ะบบมีเอาทพ์ทุตามท่ีตอ้งการได ้ อยา่งไรก็ตามในการศึกษาวิธีการควบคุมระบบเรามีความจ าเป็นอยา่งยิ่งท่ีจะตอ้งเขา้ใจการท างานของระบบ แมว้า่ในหลายกรณีระบบท่ีเราสนใจจะมีความซบัซอ้นมากก็ตาม เราอาจตอ้งใชว้ิธีการจ าลอง (Model) การท างานของระบบข้ึนมา ซ่ึงโดยทัว่ไปแลว้การจ าลองระบบ (System Modeling) จะเป็นการประมาณและก าหนดขอ้จ ากดับางอยา่งข้ึนมาเพ่ือใหร้ะบบสามารถท่ีจะจ าลองเป็นสมการคณิตศาสตร์ท่ีสามารถเขา้ใจได ้ ดงันั้นในการศึกษาเร่ืองการควบคุมระบบ เราจะตอ้งศึกษาในส่วนต่างๆ ดงัน้ี

1. สร้างแบบจ าลองของระบบ 2. ท าความเขา้ใจถึงความสมัพนัธ์ของอินพทุและเอาทพ์ทุของระบบนั้น 3. วธีิการก าหนดอินพทุเพ่ือท่ีจะใหร้ะบบมีเอาทพ์ทุตามท่ีเราตอ้งการ

การศึกษาในเร่ืองการควบคุมระบบมีความจ าเป็นมากข้ึนเร่ือยๆในโลกปัจจุบนัน้ี เน่ืองจากความตอ้งการในการใชท้รัพยากรต่างๆให้มีประสิทธิภาพมากยิ่งข้ึน ระบบควบคุมท่ีมีประสิทธิภาพท าให้เราสามารถประหยดัพลงังาน เวลา และอ่ืนๆไดอ้ยา่งมากในขณะท่ีเราไดผ้ลลพัธ์ออกมาไดต้ามท่ีเราตอ้งการอยา่งถูกตอ้ง การศึกษาของวศิวกรระบบควบคุม จะมีพ้ืนฐานอยูบ่นทฤษฎีการป้อนกลบั (Feedback Theory) และการวิเคราะห์ระบบเชิงเส้น (Linear System Analysis) และหลายกรณีจะตอ้งน าเอาทฤษฎีอ่ืนๆ เช่น Network Theory และ Communication Theory ดงันั้นวศิวกรควบคุมระบบจึงไม่จ ากดัอยูใ่นศาสตร์ของวศิวกรสาขาใดสาขาหน่ึงโดยเฉพาะ แต่จะเป็นการน าเอาองคค์วามรู้ของวิศวกรในหลายสาขาวิชามาใชร่้วมกนั ตลอดจนสามารถไปประยกุตใ์ชใ้นวิศวกรรมสาขาต่างๆ เช่น วศิวกรรมเคร่ืองกล วศิวกรรมไฟฟ้า วศิวกรรมเคมี วศิวกรรมโยธา และอ่ืนๆอีกมากมาย

ระบบควบคุม คือ ส่วนประกอบหลายๆส่วนต่อเช่ือมกนัข้ึนเป็นระบบท่ีจะให้การตอบสนองตามท่ีเราตอ้งการ พ้ืนฐานของการวเิคราะห์ระบบจะมีพ้ืนฐานจากทฤษฎีระบบเชิงเสน้ ซ่ึงจะแสดงความสมัพนัธ์ของอินพทุและเอาท์พุทหรือการตองสนอง ดังนั้นส่วนประกอบหรือกระบวนการ (Process) ท่ีเราตอ้งการท่ีจะควบคุมสามารถแทนท่ีได้ด้วยบล็อก (Block) ดังแสดงในรูปท่ี 1.1 ส่วนอินพุทและเอาท์พุทของระบบมกัแทนด้วยสญัญาณโดยสญัญาณอินพทุจะเป็นส่วนส าคญัของผลลพัธ์หรือเอาทพ์ทุ

รูปท่ี 1.1 การควบคุมระบบ

อินพทุ เอาทพ์ทุ กระบวนการ

2

ระบบควบคุมสามารถแบ่งออกเป็นประเภทใหญ่ๆตามลกัษณะการท างานไดเ้ป็น 2 แบบ คือ 1. ระบบควบคุมแบบเปิด (Open loop Control System) 2. ระบบควบคุมแบบปิด หรือ ระบบควบคุมแบบป้อนกลบั (Closed Loop or Feedback Control System)

ระบบควบคุมแบบเปิด เป็นการใชอุ้ปกรณ์ Controller หรือ อุปกรณ์กระตุน้ (Control Actuator) เพื่อให้ไดก้ารตอบสนองท่ีเราตอ้งการ โดยไม่น าผลการตอบสนองของระบบเขา้สู่การพิจารณา ลกัษณะของระบบควบคุมแบบเปิดแสดงในรูปท่ี 1.2

รูปท่ี 1.2 ระบบควบคุมแบบเปิด

ระบบควบคุมแบบป้อนกลบั ระบบควบคุมแบบป้อนกลบั จะแตกต่างจากระบบควบคุมแบบเปิดก็คือ มีการน าเอาผลท่ีได้จากกระบวนการป้อนกลบัมาเขา้เป็นส่วนหน่ึงของขอ้มูลท่ีจะส่งเขา้ไปเป็นอินพุทท่ีจะให้กบัระบบ การท่ีเราจะทราบค่าเอาท์พุทไดเ้ราจะตอ้งมีการวดัขอ้มูลของเอาท์พุท เม่ือเราทราบค่าเอาท์พุทแลว้เรามกัจะน าค่าเอาท์พุทท่ีไดไ้ปเปรียบเทียบกบัเอาท์พุทท่ีเราตอ้งการจากระบบ จากนั้นความแตกต่างระหวา่งเอาท์พุทท่ีตอ้งการและเอาท์พุทท่ีแทจ้ริงจะถูกส่งต่อไปสู่อุปกรณ์ควบคุม แลว้ส่งต่อเป็นอินพุทเขา้สู่ระบบเพ่ือให้ความแตกต่างระหวา่งเอาท์พุทท่ีตอ้งการและเอาทพ์ทุท่ีแทจ้ริงลดลงเร่ือยๆ จนกระทัง่ไม่มีความแตกต่างระหวา่งค่าทั้งสอง ดงันั้นเราก็จะไดว้า่ค่าเอาท์พุทของระบบเป็นไปตามตอ้งการ ระบบควบคุมแบบป้อนกลบัแสดงในรูปท่ี 1.3 ส าหรับหลักการของการป้อนกลบัท่ีไดอ้ธิบายไปแลว้น้ีถือวา่เป็นพ้ืนฐานของการวเิคราะห์และออกแบบระบบควบคุมอตัโนมติั ท่ีใชก้นัอยู่ในปัจจุบนั

รูปท่ี 1.3 ระบบควบคุมแบบป้อนกลบั

ส าหรับระบบควบคุมหน่ึงๆนั้น อาจจะมีพารามิเตอร์หรือตวัแปรท่ีตอ้งการจะควบคุมมากกว่าหน่ึงพารามิเตอร์ ซ่ึงระบบควบคุมดงักล่าวเป็นระบบท่ีมีความซับซอ้นมากยิ่งข้ึน แต่หลกัการของระบบควบคุมก็จะเหมือนเดิม คือ ทุกตวัแปรท่ีเราตอ้งการควบคุมจะตอ้งมีการวดัค่าท่ีไดจ้ากเอาท์พุท และน ามาเปรียบเทียบกบัค่าท่ีเราตอ้งการของตวัแปรนั้นๆ ส าหรับระบบควบคุมหลายตวัแปร (Multivariable Control System) จะมีลกัษณะดงัในรูปท่ี 1.4

อินพทุ เอาทพ์ทุ กระบวนการ อุปกรณ์กระตุน้

เอาทพ์ทุท่ีตอ้งการ เอาทพ์ทุจริง กระบวนการ อุปกรณ์ควบคุม การเปรียบเทียบ

การวดั

3

รูปท่ี 1.4 ระบบควบคุมหลายตวัแปร

แบบจ าลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ (Mathematical Model of System) เรานิยมท่ีจะใช้แบบจ าลองทางคณิตศาสตร์ เพื่อใช้ในการออกแบบและวิ เคราะห์ระบบควบคุม พฤติกรรมทางพลวตัของระบบ (Dynamic System) นิยมท่ีจะอธิบายดว้ยสมการอนุพนัธ์ ในบทน้ีเราจะสร้างแบบจ าลองของระบบในหลายแบบ เร่ิมจากระบบทางกล ระบบไฮดรอลิกส์ ระบบไฟฟ้า และอ่ืนๆ เน่ืองจากระบบทัว่ไปไม่เป็นระบบเชิงเส้น (Nonlinear System) ดงันั้นในบทน้ีเราจะกล่าวถึงวิธีการท าให้เป็นเชิงเส้น (Linearization) เพ่ือท่ีเราสามารถท่ีจะแกส้มการเหล่านั้นไดด้ว้ยการใชก้ารแปลงลาปลาส (Laplace Transform) หลงัจากนั้นเราจะหาความสัมพนัธ์ของเอาท์พุทและอินพุทของระบบ การประยุกต์การแปลงลาปลาสเขา้กับสมการอนุพนัธ์ ผลจาการแปลงสมการเชิงอนุพนัธ์ไปอยู่ในโดเมนความถ่ีเม่ือถูกจดัรูปอย่างเหมาะสม ก็จะได้แบบจ าลองทางคณิตศาสตร์ท่ีเราเรียกกนัวา่ฟังกช์นัถ่ายโอน (Transfer Function)

1

0 1 1

1

0 1 1

...

... , ( )

n n

n n

m m

m m

a y a y a y a y

b x b x b x b x n m

1.1

1

0 1 1

1

0 1 1

[ ]( )

[ ]

...( )

( ) ...

zero initial condition

m m

m m

n n

n n

L outputTransfer function G s

L input

b s b s b bY s

X s a s a s a s a

1.2

โดยฟังก์ชนัถ่ายโอนน้ีสามารถเขียนและจดัให้อยูใ่นรูปแผนภาพบล็อก (Block Diagram) ได ้เพื่อเราสามารถใช้รูปภาพในการอธิบายลกัษณะของระบบ แผนภาพบล็อกเป็นเคร่ืองมือท่ีช่วยอ านวยความสะดวกในการออกแบบและวเิคราะห์ระบบควบคุมท่ีซบัซอ้น ดงัแสดงในรูปท่ี 1.5 เพื่อท่ีเราจะสามารถเขา้ใจระบบท่ีซบัซ้อนได ้เราจะตอ้งมีความเขา้ใจถึง แบบจ าลองคณิตศาสตร์ของระบบเหล่านั้นเสียก่อน เราจึงมีความจ าเป็นอยา่งยิง่ท่ีตอ้งหาความสัมพนัธ์ระหวา่งตวัแปรต่างๆในระบบเพ่ือท่ีจะไดม้าซ่ึงแบบจ าลองคณิตศาสตร์ และเน่ืองจากระบบท่ีเราควบคุมนั้นโดยส่วนใหญ่เป็นระบบพลวตัหรือระบบท่ีเปล่ียนตามเวลา (Time – varying system) ดงันั้นเราจึงนิยามท่ีจะใชส้มการอนุพนัธ์อธิบายความสัมพนัธ์ของตวัแปรต่างๆ ระบบไม่ว่าจะเป็นระบบใดๆก็ตามจะมีลักษณะคล้ายๆกันอยู่อย่างหน่ึง นั่นคือระบบต่างๆนั้ นจะประกอบดว้ย ส่วนประกอบยอ่ยๆ ซ่ึงน ามาต่อรวมกนัเป็นระบบใหญ่ ดงันั้นในการศึกษาระบบต่างๆนั้น อนัดบัแรกเราตอ้งท าความเขา้ใจกบัส่วนประกอบต่างๆในระบบเสียก่อน

กระบวนการ อุปกรณ์ควบคุม

การวดั

4

รูปท่ี 1.5 แผนภาพบลอ็ก (Block Diagram)

ซ่ึงในการทดลองระบบควบคุมน้ี เราได ้Plant คือ มอเตอร์กระแสตรง (DC Motor) ดงันั้นเราจะได้อธิบายแบบจ าลองทางคณิตศาสตร์ของมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงไวพ้อสงัเขป แบบจ าลองทางคณิตศาสตร์ของมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง (Mathematical Model of DC Motor) มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง เป็นอุปกรณ์ท่ีใชเ้ปล่ียนพลงังานไฟฟ้าเป็นพลงังานกล หรือจะกล่าวว่าเป็นระบบท่ีมีสญัญาณไฟฟ้าเป็นอินพทุ และมีเอาทพ์ทุเป็นพลงังานกลก็ได ้โดยทัว่ไปมอเตอร์จะประกอบดว้ยขดลวดท่ีส่วนหมุน หรือ armature coil ซ่ึงสามารถท่ีจะหมุนไดอ้ยา่งอิสระขดลวดน้ีจะวางอยูใ่นสนามแม่เหล็ก ซ่ึงอาจเป็นแม่เหลก็ถาวร หรือส่วนมากจะเป็นแม่เหล็กไฟฟ้าท่ีสร้างจากกระแสไฟฟ้าผ่าน field coils เม่ือมีกระแสไฟฟ้า ia ไหลผา่น armature coil ซ่ึงวางอยูใ่นสนามแม่เหลก็ ก็จะท าให้เกิดแรงผลกัท าให้ armature น้ีเกิดการหมุน ตามท่ีแสดงในรูปท่ี 1.6

รูปท่ี 1.6 มอเตอร์กระแสตรง

ดงันั้น เราสามารถเขียนแบบจ าลองทางคณิตศาสตร์ของมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงได ้2 แบบ ข้ึนอยูก่บัตวัแปรท่ีควบคุม

1. Armature – Controlled Motor 2. Field – Controlled Motor

แรง F ท่ีกระท าบนขดลวดความยาว L ท่ีมีกระแส ia ไหลผา่นและวางอยูใ่นสนามแม่เหล็กท่ีมีความเขม้สนามแม่เหลก็ B และแรง F ท่ีกระท าเป็นมุมฉากกบั B นั้นจะมีค่าเป็น

aF Bi L 1.3 ถา้มีขดลวดจ านวน N เสน้จะได ้ aF NBi L 1.4 แรงกระท า F น้ียงัส่งผลใหเ้กิดแรงบิด T เม่ือ T = Fb โดย b คือความกวา้งของขดลวด ดงันั้น aT NBi Lb 1.5

X(s) G(s) Y(s)

5

เราจะเห็นว่าแรงบิด T น้ีจะเป็นสัดส่วนกบั Bia ส่วนพารามิเตอร์อ่ืนๆจะคงท่ีส าหรับมอเตอร์หน่ึงๆ ดงันั้นเราสามารถเขียนสมการไดเ้ป็น

1 aT k Bi 1.6 โดยท่ี

1k NbL เน่ืองจาก armature เป็นขดลวดท่ีอยูใ่นสนามแม่เหล็กจึงเกิดการเหน่ียวน า และท าให้เกิดการเหน่ียวน าไฟฟ้าข้ึน ทิศทางของแรงเคล่ือนไฟฟ้าท่ีเกิดข้ึนน้ี จะตรงกนัขา้มกบัความต่างศกัยท่ี์ท าใหเ้กิดการหมุน ดงันั้นเราจึงเรียกแรงเคล่ือนไฟฟ้าท่ีเกิดจากการเหน่ียวน าน้ีวา่ back emf โดยท่ี back emf น้ี จะเป็นอตัราส่วนกบัการหมุนของ armature และสนามแม่เหลก็ท่ีเกิดข้ึนจากขดลวด ท าใหเ้กิดความเขม้ของสนามแม่เหลก็ B มีค่าเป็น

2bv k B 1.7 เม่ือ คือค่าความเร็วรอบของเพลาและ 2k เป็นค่าคงท่ี

Armature – Controlled Motor เป็นมอเตอร์ท่ีก าหนดให้กระแสไฟฟ้าท่ีให้กบั field coil นั้นมีค่าคงท่ี และความเร็วรอบของมอเตอร์จะปรับโดยปรับเปล่ียนความต่างศกัย ์ av ท่ีให้กบั armature การท่ีกระแสไฟใน field coil มีค่าคงท่ีก็แสดงวา่ความเขม้สนามแม่เหลก็ B มีค่าคงท่ี ท าใหเ้ราได ้

3bv k 1.8 เม่ือ 3k คือค่าคงท่ี ในวงจรของ armature นั้นจะประกอบดว้ยความตา้นทาน aR และ inductance aL ตามรูปท่ี 1.7 ซ่ึงในกรณีน้ีจะท าใหเ้กิด back emf bv ข้ึน ดงันั้นถา้หากวา่เราใหค้วามต่างศกัย ์ av กบัวงจร armature เราจะได ้

aa b a a a

div v L R i

dt 1.9

รูปท่ี 1.7 วงจรมอเตอร์กระแสตรง

เม่ือเราพิจารณาสมการน้ีในรูปของแผนภาพบล็อกดังท่ีแสดงในรูปท่ี 1.8 เราจะเห็นว่าค่าท่ีเราให้กับระบบท่ีเป็น av แต่จะถูกลดลงดว้ย back emf bv ซ่ึงท าให้ไดส้ัญญาณความผิดพลาด a bv v สัญญาณความ

6

ผิดพลาดท่ีไดน้ี้จะเขา้สู่ขดลวด armature ดงันั้นสมการท่ี 1.9 น้ีจะอธิบายถึงความสัมพนัธ์ระหวา่งสัญญาณความผิดพลาด และค่ากระแสท่ีไดใ้น armature coil ia แทนค่า bv ลงในสมการท่ี 1.9 จะได ้

3a

a a a a

div k L R i

dt 1.10

กระแส ia ในขดลวด armature จะท าใหเ้กิดแรงบิด T ซ่ึงมีค่าตามสมการท่ี 1.6 เป็น

1 4a aT k Bi k i 1.11 เม่ือ

4k เป็นค่าคงท่ี จากนั้นแรงบิดจะกลายเป็นอินพทุใหก้บัระบบภาระกรรม ซ่ึงในท่ีน้ีคือเอาชนะความเฉ่ือยของระบบเวลาและส่วนการหมุนทั้งหมด ดงันั้นจากระบบเชิงกล

Net torque = T – damping torque 1.12 โดย damping torque มีค่าเท่ากบั c เป็นความหน่วง และ c เป็นค่าคงท่ี ถา้หากเราพิจารณาวา่เพลาไม่มีความยดืหยุน่เชิงมุม หรือเพลาเป็นวตัถุแขง็เกร็งเราจะได ้ Net torque = 4 ak i - c 1.13 ซ่ึงจากกฎขอ้ท่ี 2 เราจะได ้

4 ad

I k i cdt

1.14

จากสมการท่ี 1.10 และ 1.14 น้ีจะอธิบายการท างานของ armature – controlled motor ซ่ึงน ามาเขียนแสดงเป็นแผนภาพบลอ็กไดด้งัรูปท่ี 1.8

รูปท่ี 1.8 แผนภาพบลอ็ก Armature – controlled motor Field – Controlled Motor การควบคุมมอเตอร์แบบ Field – Controlled Motor จะท าโดยการก าหนดให้กระแสท่ีไหลเขา้สู่ armature มีค่าคงท่ี แลว้ปรับภาระกรรมโดยเปล่ียนแปลงความต่างศกัยข์อง field circuit ซ่ึงวงจร field circuit น้ีจะประกอบดว้ย inductance ต่ออนุกรมกบั resistant, Rf ดงันั้นในวงจรน้ี

Load rotation Load Armature coil

Armature circuit

e.m. inductance

va va- vb

-

Back emf vb

ia T

7

f

f f f f

div R i L

dt 1.15

เราสามารถพิจารณาการท างานของ field – controlled motor ในรูปแบบของแผนภาพบล็อกดงัท่ีแสดงในรูปท่ี 1.9 เราจะมีอินพุทเขา้ระบบใน fv จากนั้นจะท าให้เกิดกระแส fi ข้ึนใน field – circuit ความสัมพนัธ์ของกระแสและความต่างศกัยเ์ป็นไปตามสมการขา้งบนน้ี กระแสท่ีเกิดข้ึนจะท าให้เกิดความเขม้สนามแม่เหล็กและเกิดเป็นแรงบิดท่ีเหน่ียวน า armature แต่เน่ืองจากความเขม้สนามแม่เหล็ก B น้ีเป็นสัดส่วนกบักระแส fi ในขณะท่ี ai มีค่าคงท่ี ดงันั้นสมการท่ี 1.15 สามารถเขียนไดเ้ป็น

1 5a fT k Bi k i 1.16 เม่ือ 5k เป็นค่าคงท่ี จากนั้นแรงบิดจะเปล่ียนแปลงเป็นการเอาชนะภาระกรรม คือ ระบบเพลาใหเ้กิดการหมุนดว้ยความเร็วเชิงมุม ซ่ึงจากระบบเชิงกลเราได ้

Net torque = T – damping torque 1.17 โดย damping torque มีค่าเท่ากบั c เม่ือ c เป็นค่าคงท่ี หากเราไม่พิจารณาความยดืหยุน่ของเพลาเราจะได ้ Net torque = 5 fk i - c 1.18 จากกฎของนิวตนัเราจะได ้

5 f

dI k i c

dt

1.19

สมการ 1.15 และ 1.19 จะอธิบายสภาพการท างานท่ีเกิดข้ึนกบั field – controlled motor ซ่ึงจะน ามาเขียนเป็นแผนภาพบลอ็กไดด้งัรูปท่ี 1.9

รูปท่ี 1.9 แผนภาพบลอ็ก Field – controlled motor

การควบคุมแบบสดัส่วน (Proportional control, P-control) การควบคุมระบบแบบป้อนกลบัโดยใชต้วัควบคุมแบบสดัส่วนนั้น สัญญาณควบคุม (u) จะเป็นสัดส่วนโดยตรงกบัค่าสัญญาณความผิดพลาด (e) ท่ีเกิดจากผลต่างระหวา่งค่าสัญญาณอา้งอิงกบัสัญญาณเอาท์พุทของระบบท่ีตอ้งการควบคุม แผนภาพบลอ็กของตวัควบคุมแบบสดัส่วนแสดงไดด้งัรูปท่ี 1.10

รูปท่ี 1.10 ตวัควบคุมแบบสดัส่วน

Kp

Load rotation Load Armature coil

Field circuit

vf if T

U(s) E(s)

8

u(t) = Kpe(t) เม่ือ Kp จะเป็นค่าอตัราขยายของตวัควบคุมน้ีหรือจะเรียกวา่เกนสดัส่วน

ประโยชน์ของตวัควบคุมแบบสดัส่วน (Proportional Controller) คือลดค่าความผิดพลาดของระบบ โดยสามารถตอบสนองกบัค่าสญัญาณความผิดพลาดอยา่งทนัทีทนัใด

การควบคุมแบบอินทิกรัล (Integral Control) การควบคุมแบบอินทิกรัล มีรูปแบบสมการ คือ ( ) ( )Iu t K e t dt เม่ือ KI คือค่าคงท่ีของตวัควบคุม

แบบอินทิกรัล แผนภาพบลอ็กของตวัควบคุมแบบอินทิกรัลแสดงดงัรูปท่ี 1.11 E(s) U(s)

รูปท่ี 1.11 ตวัควบคุมแบบอินทิกรัล

จากรูปแบบการควบคุมแบบอินทิกรัลน้ี จะเห็นวา่สัญญาณควบคุม u(t) จะมีค่ามากโดยท่ีสัญญาณความผิดพลาด e(t) มีค่าเป็นศูนยใ์นภายหลงัเม่ือเวลาผ่านไปแลว้ก็ตาม ทั้งน้ีก็เพราะวา่สัญญาณการควบคุมในกรณีของการควบคุมแบบอินทิกรัลข้ึนอยูก่บัค่าในอดีต (past value) ไม่เหมือนกบัตวัควบคุมแบบสดัส่วนซ่ึงจะข้ึนอยูก่บัค่าปัจจุบนั ประโยชน์ของตัวควบคุมแบบอินทิกรัลก็เพ่ือต้องการลดค่าความผิดพลาดในสถานะอยู่ตัว ในขณะเดียวกนัค่าความมีเสถียรภาพของระบบก็จะลดนอ้ยลงดว้ยการควบคุมแบบอินทิกรัลน้ี จะเป็นการเพ่ิมอนัดบัใหก้บัระบบของเรา เช่น ในกรณีระบบเป็นอนัดบัท่ีหน่ึง และเม่ือใชต้วัควบคุมแบบอินทิกรัล (Integral Controller) แลว้ระบบป้อนกลบัจะมีอนัดบัเป็นสอง การควบคุมแบบอนุพนัธ์ (Derivative Control)

การควบคุมแบบอนุพนัธ์ มีรูปแบบสมการ คือ ( )( ) Dde t

u t Kdt

เม่ือ KD คือค่าคงท่ีของตวัควบคุม

แบบอนุพนัธ์ ส่วนมากแลว้จะใชร่้วมกบัตวัควบคุมตวัอ่ืน เช่น ใชร่้วมกบัตวัควบคุมแบบสัดส่วน ซ่ึงเรียกวา่ตวัควบคุมแบบสัดส่วนบวกกบัอนุพนัธ์หรือ (PD-controller) ดงัแสดงในรูปท่ี 1.12 ถา้ตวัควบคุมแบบสัดส่วนใช้ร่วมกบัอินทิกรัลก็จะเรียกว่าตวัควบคุมแบบสัดส่วนบวกกบัอินทิกรัลหรือ (PI-controller) และถา้ใชต้วัควบคุมแบบสดัส่วนร่วมกบัตวัควบคุมแบบอินทิกรัลและตวัควบคุมแบบอนุพนัธ์ เรียกวา่ (PID-controller)

E(s) U(s)

รูปท่ี 1.12 ตวัควบคุมแบบสดัส่วนรวมกบัตวัควบคุมแบบอนุพนัธ ์

ตวัควบคุมแบบอนุพนัธ์น้ีจะช่วยเพ่ิมค่าความหน่วง (damping) ให้กบัระบบท่ีตอ้งการจะควบคุม นัน่คือ ท าใหร้ะบบมีเสถียรภาพมากข้ึน ในขณะเดียวกนัจะเห็นวา่สัญญาณเอาท์พุทท่ีออกจากตวัควบคุมแบบอนุพนัธ์น้ี

IK

s

P DK K s

9

เป็นสัญญาณท่ีเกิดจากการหาอนุพนัธ์ของสัญญาณความผิดพลาด ดงันั้น ถา้สัญญาณความผิดพลาดน้ีมีสัญญาณรบกวนมาก สัญญาณเอาท์พุทท่ีออกมาจากตวัควบคุมแบบอนุพนัธ์น้ีจะกระเพ่ือม (fluctuate) ค่อนขา้งมาก (เน่ืองจากค่าความชนั (slope) ของสัญญาณมีการเปล่ียนแปลงแปลงค่อนขา้งมาก) ซ่ึงจะท าให้ระบบควบคุมของเราไม่มีเสถียรภาพได ้

ตวัควบคุมแบบพีไอดี (PID controller)

พิจารณาระบบควบคุมแบบปิด

PID controller ประกอบดว้ย 3 เทอม คือ Proportion, Integral และ Derivative

จาก ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

p I D

de tu t K e t K e t dt K

dt

e t r t c t

Laplace Transform

2

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

IP D

I D P Ic P D

KU s K K s E s

s

K K s K s KU sG s K K s

E s s s

ตวัอยา่ง เม่ือใชต้วัควบคุมแบบ PI control จะได ้ ก าหนด

0.0013

0.0241

0

0.0013 0.0241( )

P

I

D

c

K

K

K

sG s

s

G(s) Gc(s) - R(s) C(s) E(s) U(s)

Controller Plant

10

การทดลอง เคร่ืองมอืทดลอง 1. Precision Modular Servo (PMS) จ านวน 1 ชุด ประกอบดว้ย DC motor, Tachometer/Gearbox, Digital Encoder, Input and Output Potentiometers and Magnetic Brake ช้ินส่วนทางกลแสดงในรูปท่ี 1.13 2. คอมพิวเตอร์จ านวน 1 เคร่ือง พร้อมอุปกรณ์เช่ือมต่อกบัชุดทดลอง Precision Modular Servo ดงัแสดงในรูปท่ี 1.14

รูปท่ี 1.13 Precision Modular Servo Mechanical Unit

วตัถุประสงค์ 1.เพ่ือศึกษาและท าความเขา้ใจเก่ียวกบัระบบควบคุมการท างานของมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง 2.เพื่อศึกษาการออกแบบตวัควบคุมและผลการท างานท่ีเกิดจากการท างานของตวัควบคุมแบบต่างๆโดยใชโ้ปรแกรม MATLAB ในการควบคุมการท างานของชุดทดลอง Precision Modular Servo

รูปท่ี 1.14 PMS Control System

11

รูปท่ี 1.15 Modular Servo electrical connections diagram

12

ขั้นตอนการทดลอง 1. จ าลองสถานการณ์การท างานของ Precision Modular Servo ในกรณีท่ีระบบเป็นระบบเปิด และระบบปิดท่ีเป็นระบบป้อนกลบัหน่ึงหน่วย โดยพิจารณาอินพุทแบบขั้นบนัได (Step Input) และอินพุทแบบลาดเอียง (Ramp Input) โดยใชฟั้งกช์นัถ่ายโอนของระบบตามท่ีก าหนด 2. จ าลองสถานการณ์การท างานของ Precision Modular Servo ในกรณีระบบเป็นระบบปิดและมีการเปล่ียนแปลงอตัราขยายท่ีใหก้บัระบบ โดยพิจารณาอินพทุแบบขั้นบนัไดและอินพทุแบบลาดเอียง 3. ออกแบบตวัควบคุมแบบพีไอ (PI controller) ส าหรับระบบ Precision Modular Servo 4. จ าลองสถานการณ์การท างานของ Precision Modular Servo ท่ีมีตวัควบคุมแบบพีไอ โดยพิจารณาอินพทุแบบขั้นบนัไดและอินพทุแบบลาดเอียง 5. ปรับปรุงตวัควบคุมแบบพีไอท่ีท าการออกแบบ เพื่อใหไ้ดก้ารตอบสนองตามตอ้งการ 6. ต่อวงจรของชุดทดลอง Precision Modular Servo ตามรูปท่ี 1.15 7. ท าการเขียนโปรแกรมเพื่อควบคุมการท างานของระบบ Precision Modular Servo โดยใช ้Simulink (Real-Time) ส าหรับตวัควบคุมแบบพีไอ 8. ทดสอบการท างานของระบบ Precision Modular Servo เม่ือระบบมีตวัตวัควบคุมแบบพีไอ โดยพิจารณาอินพทุแบบขั้นบนัได

9. สรุปและวเิคราะห์ผลการทดลอง ก าหนด Open-loop Transfer Function ของระบบคือ

2

( )( )

( ) ( )

add t

e t

K KsG s

u s IL s IR bL s bR K K

เม่ือ Kadd= 91.68 ตารางท่ี1 ค่าตวัแปรภายในระบบของมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

Parameters Value (set1)

I = moment of inertia 140*10e-7 kg.m2

Kt = torque constant 0.052 Nm/A

Ke = electromotive force constant 0.057 Vs/rad

b = linear approximation

1*10e-6 Nms/rad of viscous friction

R = resistant 2.5 Ω

L = inductance 2.5 mH