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IV. SIMILITUD Y ENSAYOS EN MODELOS REDUCIDOS EN HIDRAUUCA

INTRODUCCIÓN:

La Hidráxüica General es una rama de la f&lca aplicada

que estudia las leyes del equilibrio y del movimiento de los flui­

dos.

Bajo las diversas denominaciones que históricamente han

adof^ado los investigadores: Mecánica de Flxíídos, Hidrodinámi­

ca, Hidromecánica, e t c . , siempre el desarroUo de la hidráxüica

ha estado impiüaado por la necesidad ineludible que todas las for­

mas de vida t e r res t r e tienen del agua; sin contar con el efecto mo­

delador del agua sobre la t i e r ra , a nivel ciencias naturales (Geolo­

gía, Morfología) la vida animal y vegetal sobre la superficie de la

t ie r ra no es concebible sin el agua. Posteriormente, la industria

hximana en todos sus aspectos ha diversificado las aplicaciones

en forma sorprendente y ha venido exigiendo a la ciencia aplicada

la solución de innximerables problemas cada vez más complejos.

La alimentación en agua de las comunidades hximanas, el

establecimiento de faciUdades sanitarias, el aporte suplementario

de agua a los cultivos, las posibüidades de comunicación fluvial o

marí t ima, la protección de sitios poblados contra inundaciones.

- 4 1 -

oleajes, mareas , etc . la utüización de la fuerza motriz de

los cursos de agua, son entre otras, aplicaciones tan anti -

gxias como el hombre mismo y a s í dan testimonio las ruinas o

restos indúes, babüonios, egipcios, griegos, romanos, vikin­

gos, aztecas, incas y de muchos otros pueblos antiguos que

adelantaron importantes obras hidráxüicss.

En la época moderna: la energík hidroeléctrica, los grandes

problemas de navegación interna y marí t ima, las reservas hi­

dráxüicss mediante enormes acximxüaclones a fin de poder con­

t r a re s t a r los ciclos hidrol'bgicos desfavorables, las altas pro­

ductividades exigidas a los cultivos practicados por el hombre,

la clrcxilación de variados tipos de flxíídos por los complejos

sistemas indxistriales de la Ingeniería (c^ímica, hasta llegar a

las instalaciones atómicas por las cxiales circxüan metales en

fxisión a altísimas temperaturas y presiones para terminar en

los problemas hldráxülcos de la cardiología, tan de moda, ya

que el corazón no es más que xma simple bomba aspirante im-

pelente y el sistema circulatorio una red de distribución a baae

de conductos flexibles. Son todos estos problemas los que han

exigido, para su solución, xm gran avance de la Hidráulica.

A pesar de las grandes realizaciones a que se ha hecho

mención, siempre ha existido un divorcio notable entre el cú -

-42 -

mxüo de desarroUos teóricos y matemáticos de la Hidrodinámi­

ca y los métodos empíricos de la Hidráxüica Aplicada; hacia me­

diados del siglo pasado, los fxmdamentos teóricos de la hidráxüi­

ca eran conocidos e iicluso a nivel académico se enseñaban en las

escuelas de Europa; nombres de esa época son: Euler, Caxichy,

Boussinesq, Lagrange, Poisson, Coriolls, BernouUi, Beianger,

e t c . , mientras tanto la hidráxüica aplicada avanzaba lentamente y

sin poder hacer uso de tales desarroUos plenamente.

Hacia fines del mismo siglo aparecieron xma serie de

ciratfi^lcos que trataron de establecer xin nexo entre la avanzada

teoría y la Incalente práctica y de düucldar las razones del anti­

guo divorcio a fin de establecer una metodología que permitiera

el avance coordinado de ambos aspectos de la HidráuUca. De esta

época son nombres como los de Reynolds, Hagen, Polseuüle,

Couette, Stokes, Froude, Chezy, Manning, e t c . , más físicos que

matemáticos.

De este acercamiento entre ambos aspectos surgió el

"Modelo Reducido" como instnmiento fundamental de Investiga -

ción y en lo sucesivo se i rá disolviendd el diirorclo; la ejqperimen-

tación en modelos y en la naturaleza impxüsará los desarroUos teó­

ricos de la hidrodinámica, al tiempo que se habrán encontrado los

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medlos de que las teorías y especxüaclones de ésta tengan aplicación

y "traducción" reales para las necesidades de la práctica.

Las más importantes razones del "divorcio" entre los aspectos

teóricos y práctico de la hidrodinámica son:

Los movimientos de 1 iS fluidos reales son de una tal complejidad

y hacen intervenir un tan gran niSmero de variables que la teoría se

muestra la mayor parte de las veces incapaz de traducir en ecuacio -

nes dich s fenómenos, s i se insiste, para lograr una integración de

las ecuaciones teóricas, son necesarias sucesivas fpBbH&naci mes e

hipótesis simpllficadoras que hagan posible la expresión teórica délos

problemas. Este proceso se termina por unos resxütados visiblemen­

te reñidos con los hechos reales constatados;lo que hace dudar de la

bondad de la teoría o por lo menos de su precisión. P . e . : el movimien­

to del agua en un cxirso de agua natural, depende de: dimensiones t rans ­

versales , pendiente, rugosidad de paredes, irregulsnpi dad de márgenes

y fondo, sinuosidad del lecho, materiales arrastrados en suspensión,

disolución, etc, la ecuación de Bernoulli, única arma telSeica, no pue­

de fácilmente dar cuenta de todos estos factores, consecuencia: formu­

las totalmente empíricas para el flujo del agua en cxirs s naturales que

nada parece tuvieran que ver con la hidrodinámica teórica.

En este sentido es notoria la diflcxütad de la teoría para traducir en ecua-

-44-

ciones y calcxüar la disipación de la energía a expensas de la

cual se efectúan todos los movimientos de los fluidos.

Si se razona en sentido inverso, para poder pasar de las

constataciones experimentales a las teorías matemáticas de ca­

rácter general que ofrezcan facüidades de posterior aplicación,

se tropieza con dos exigencias de difícü cximpllmlento: la extra­

polación y la interacción.

La extrapolación tiene límites de validez fclrcunscritos

a las condiciones experimentales: las ccmstataciones hedías en

un vertedero con xina lámina de 1 m . difícilmente se pueden apli­

car a láminas vertientes de 10 ó 20 m. de espesor como en caso

frecuente en las grandes p r e sa s . La disipación de energík expe-

rimstitada en xm pequeño canal, con pequefio radio hidráxilico y ba­

ja velocidad ( 1 . 2 m / s ) , difícilmente se puede extrapolar a flujos

altamente torrenciales de 15 ó 20 m / s . de velocidad en grandes

secciones de obras industriales.

La interacción impide que los hechos experimentales

simples constatados puedan se r adicionados para dar cuenta de

fenómenos más complejos. Las partes adicionadas reaccionan

xinas sobre otras des virtxiando totalmente los resxütados simples.

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S | ; 1 codo — 2 codos, 3 codos - vertedero en psred gruesa, más

greesa, e tc .

Los anteriores hechos dan cuenta de la metodología mo­

derna de la Hidráxüica: las teorías matemáticas y físicas han esta­

blecido un estrecho contacto con la naturaleza y el laboratorio a t r a ­

vés de la experimentación en obras reales construidas y en otras s i -

mxüadas en modelos reducidos. Han podido a s í complementarse y

axmnzar en forma más segura.

Si empre que la teoría se muestra incapaz de traducir y

t ra ta r dn problema, se recurre a la e:!qperimentación, Cxiando la ex­

trapolación y la interacción no permiten la utüización de resultados

experimentales previos, se recurre de nuevo a la experimentación

para casos partlcxüares especúleos.

La ex¡>erimentaclón se apoya en el análisis dimensional

como instrximento, para poder dar cuenta de los fenómenos más im­

portantes y sistematizar su investigación. El análisis dimensional

con su separación y agrupación de variables que intervienen en el fe­

nómeno, facilita la vincxüación a los principios teóricos de la Hidráu­

lica por permitir el análisis de los aspectos preponderantes de un

fenómeno dado.

-48 -

Los computadores electrónicos han venido a ampliar las po­

sibüidades, al ampliar considerablemente los medios de análisis

de las múltiples maneras como se puede t ra ta r un fenómeno, lo

que e escala humana era bien difícü. También en el aspecto teór i ­

co han ampliado la posibUidad ya que permiten integración de ecxia-

ciones más complejas, con condiciones de borde más veiriadas. Se

ha podido Uegar a s í hasta el reemplazo en casos especíTicos del mo­

delo reducido físico, por el modelo matemático, que reproduce las

condiciones físicas; e j , crecientes, ciclo hidrológico, e tc .

-47-

SIMILITUD Y ENSAYOS EN MODELOS REDUCIDOS

Antes de emprender cualquier género de corutrucción costo­

sa es generalmente recomendable estudiar en xina réplica a pequefia

escala denominada modelo, las condiciones de funcionamiento del

lilfltema natural, denominado prototipo, que se trata de construir.

La técnica de los estudios en modtí.o reducido ha avanzado

en una forma tan rápida y se han logrado progresos ta les que en los

países desarrollados y a cierta escala en los sxibdesarrolados, no

se construye ninguna obra hidráulica o aerodinámica de cierta en-

xrergadura, sin que antes haya sido realizada toda xma serle de ensa­

yos en modelo red icido que permitan Uegar a conclusiones ciertas

sobre el comportam.iento general o particxüar del prototipo.

Loe aspectos más Importantes de la hidráxüica y la hidrodi­

námica en los cuales se ha logrado grandes avances y se ha genera­

lizado el uso de los modelos reducidos son entre otros:

a. Grandes Construcciones Hidráxüicae

Los estudios de casi todas las grandes presas y sus diferen­

t e s órganos se verifican antes de ser constrxiídos, mediante ensayos

mn. modelos a escalas variables del orden de 1:20 a 1:60 (la noción de

escala es la relación de dimensloón lineal modelo a dimensión lineal pro-

-48-

totlpo). Así, no sólo se ensaya la presa en su totaUdad sino ade­

más sus par tes , tales como pozos de disipación, xrertederos, ca­

nales de conducción, compuertas, estructuras de disipación de ener

gík por dispersión de la lámina líquida (salto de ski), etc, con el

fin de obtener información detaüada sobre el flujo del agua y sus

efectos sobre las diferentes partes de la construcción.

También se utüizan modelos para estudiar el comportamien­

to de las esclxisas, canales, conductos y otro gran número de es -

truoturas mayores y menores, en particular o integradas dentro de

todo un sistema.

b , RíoB V Puertos

BxiíAsn en todo el mundo enormes trabajos de dragado de r íos ,

rectificación de canales de acceso, protección de márgenes y fondos

contra la erosión, construcción de diques marginales y evacuadores

de crecientes, e t c . , para control de inundaciones y contra crecien­

tes y en general aprovechamiento de r í o s . En la generalidad de los

casos estos trabajos de gran enx^rgadura requieren ensayos en mo­

delos reducidos a fin de determinar las característ icas y comporta­

miento de tales obras y asegurar su estabüldad y buen funcionamien­

to .

En Hidráxüica marftima, los estxiarlos, bahías, ensenadas, e tc .

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que abrigan los puertos, generalmente sometidos a problemas es ­

peciales de corrientes marinas y complejos transportes de sedi­

mentos, influenciados además por las mareas , son sometidos a

ampies estudios en modelos reducidos a fin de determinar la eflca­

cia de los diques de protección contra las olas, la protección con­

t ra las erosiones u deposita ciones provocadas por determinada con­

formación costera y otras varias condiciones de buen fxmcionamien­

to de las diferentes obras portxtarias,

e . Máquinas Hidráxüicas

Tanto las bombas hldráxülcas como las turbinas, convertido­

res hldráxülcos, turbo perforadores hldráxülcos y otras txirbomá -

quinas, son sometidas a ensayos sistemáticos en modelo reducido

con el fin de determinar todas y cada una de sus característ icas de

funcionamiento y limitaciones de implantación (adaptabüidad). Las

grandes turbinas y bombas modernas son generalmente obtenidas

dentro de una "ser ie" previamente determinada y estudiada y cxiyas

caracter ís t icas , mediante las condiciones de simültud, pueden se r

extrapoladas a prototipos adaptados a diferentes condiciones natura­

l e s .

Actxialmente no existe modelo de avión subsónico o supersóni-

- s o ­

co que no haya sido exshustivamente ensayado en modelo reducido

mediante túneles de a i re convenientemente diseñados. Se puede

estudiar, en general, las característ icas aerodinámicas ote un apa­

rato completo o únicamente el correspondiente perfü del ala, e t c , ,

ee puede no utüizar el túnel de a i re sino utUlzar modelos axxtopro-

pxüsados.

En esta forma se estudian los diferentes factores que condi­

cionan el comportamiento del aparato, tales como su sustentación,

a r r a s t r e , capacidad de reacción a los mandas, aterr izaje, amerlza-

je , etc . También se utüizan tales ensayos para estudiar el compor­

tamiento estructural y las acciones puramente elásticas a que pue­

de estar sometido determinado diseflo.

Un interesante tipo de ensayo en modelos reducidos, consis­

te en la determinación de los esfuerzos inducidos por el viento so -

bre las diferentes partes de una estructura; se determinan a s i laa

fuerzas de empuje, carga y succión provodadas por vientos de flife-

rente magnitud, dirección, e tc .

e . Estxnicturas

Los modelos reducidos estructurales permiten prever en qué

medida una estructura cximpllrá su fxmción mediante determinación

de sus deformaciones, esfuerzos, condiciones límites de destrucción

- 5 1 -

estática, determinadas, bien sea para la estructxira completa o pa­

r a algunas de sus pa r tes .

f. Navios

Las fuerzas de a r r a s t r e a que están sometidas las carenas

de los navios y de los hidroaviones, a s í como las formas hidrodi­

námicas de los sxibmarinos se determinan también mediante mode­

lo reducido.

En todos los umam los ensayos en modelo reducido sximinls-

t ran informaciones mxqr útües s i no indispensables, ya que permi­

ten:

La verificación física debs cálculos;

El haUar soluciones que las teor&s actxiales estarían en la incapacidad de sximlnistrar.

Gracias a tales informaciones puede emprenderse la construcción

rea l del prototipo con seguridad y rapidez, ya que han podido eni-

t a r se los tanteos y los costosos e r r o r e s .

fbunbién es importante la versatüidad del modelo que en ra ­

zón de su tamaño mismo permite fácües alteraciones, modificacio­

nes , e t c . , que a nivel prototipo, significarían enormes gastos si

no la ünposibiUdad misma.

•ÑAS iUBLlOTEi

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Para que los resxütados de las medidas experimentales y

las conclusiones obtenidas en modelo reducido pueden ser t rans ­

puestas al p r o t o t ^ , es necesario que los datos que definen cada

xmo de los dos problemas (modelo y prototipo) satisfagan a xm cier­

to número de relaciones que usualmente se denominan condiciones

de "simüitud mecánica",

DIFEREXÍTES CLASES DE SIMIUTUD

Las condiciones de simüitud traducen ciertas analogías en­

t r e prototipos y modelo que podrán aerde orden geométrico, cine­

mático, dinámico, e tc . Tales analogías las denominaremos SIMI-

UTUDES.

a. Simüitud Geométrica

Cuando dos figuras son geométricamente semejantes hay co­

rrespondencia pxinto a punto entre ellas y dos puntos coreespondien-

tes se denominan puntos homólogos. As imi smo , se llaman homólo­

gos: las l£aeas, superficies o vohiúmenes que se corresponden entre

s í . La relación de las dimensiones Ihieales homologas define la e s ­

cala de la simüitud geométrica. Es xma constante.

Así, el modelo será en general geométricamente semejante

-53-

al prototipo. En ciertos casos para estudio en modelo de puertos

y r íos , la escala de reducción para las dimensiones verticales y

horizontales es diferente, se dice entonces que dicho modelo ha s i ­

do "distort l toado". Las formas en planta son geométricamente s e ­

mejantes pero las secciones transversales han sido dilatadas en el

sentido vertical.

b . Simüitud cinemática

Si en dos sistemas geométricamente semejantes se producen

moxrimientos o flujos periódicos o t ransi tor ios , o s i aparecen al l í

deformaciones lentas, es necesario introducir la noción de tiempos

homólogos (o instantes correspondientes) y de partículas homólo -

gaa ( o partícxilas correspondientes).

Cxiando dos sistemas son cinemáticamente semejantes, pa r t í

cxüas homologas ocupan en tiempos homologa posiciones homolo­

gas. Es fácU ver que entonces los vectores velocidad y acelera -

ción en pxintos homólogos tienen direcciones homologas en tiempos

homólogos. En consecuencia, las trayectorias de las partículas

•on curvas homologas. Si se t ra ta de flujos permanentes las Ifoeaa

de corriente homologas son lÍEieas de corriente semejantes.

c. Sim.flltud Dinámica

Se dice que dos sistemas son dinámicamente semejantes sl

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laa partes homologas de tales sistemas están sometidas a s is te­

mas de fuerzas homologas.

Es aparente en particxüar que s l entre los dos sistemas la

distribución de masas es semejente (Lo que puede Implicar en una

cierta medida la simültud geométrica), en virtud de la relación

•f - YY) V la similitud cinemática t rae consigo la s imi-

Utud dinámica.

GENERALIZACIÓN DE LA NOCIÓN DE SIMILITUD

La noción de shnUitud puede pues aplicarse a numerosas ca­

rac ter ís t icas . Acabamos de aplicarla a xma distribución de masas :

"La relación de las masas de partes homologas de dos s is temas,

es independiente de la escogencia de las pa r t e s " .

EA estudios de deformación elástica se debe aplicarla noción

a las rigideces: "La relación de rigideces de secciones homologas

en el modelo y el prototipo debe ser constante", además dicha cons­

tante debe ser la misma tanto para la rigidez de torsión como para

la deflexión.

Es necesario un estudio detallado y completo para poder de­

terminar en cada caso particxüar el tipo de similitud que debe exis-

-55-

t i r entre modelo y prototipo; puede no se r necesaria sino la geo­

métrica o sólo la cinemática, pero en general, cuando hay movi­

miento entran en juego sistemaa de fuerzas y es indispensable la

similitud dinámica.

Las llamadas "condicionee de similitud" traducen precisa -

mente los tipos de simUitudes necesarios entre modelo y prototi­

po,

LA SIMILITUD EN MECÁNICA DE FLUIDOS

prácticamente no existe campo de la física en el cual las le­

yes deducidas del Análisis Dimensional y la experimentación en mo­

delos, hayan prestado mayores servicios que en la Mecánica de

Fluidos,

En efecto, todo problema de Mecánica de Fluidos debería po­

der se r resuelto a part i r de las ecuaciones diferenciales del movi­

miento, unidas a la ecuación de continuidad, a la ecuación de esta­

do del fluido y a la ecuación complementaria sximlnistrada por la

termodinámica,

Desde el punto de vista f&ico, la sdlución está determinada

s l además del sistema completo de ecuaciones, se conocen las con­

diciones Al los Ifinites y las condiciones iniciales, necesarias para

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la Integración del sistema.

Sin embargo, como se verá más adelante dicho sistema r e ­

sulta demasiado complejo para poder ser resuelto por procedimien­

tos de cálcxüo y sistemas de i n t e g r a d a numérica.

Se acude entonces necesariamente a la experimentación que

en muchos casos es el único recurso . Así se llegó a la práctica

de los modelos reducidl>s de los cuales se ha dicho simbóUcamen-

te que son "la única máqxüna Integradora de los complejos sistemas

de ecxutclones de la Mecánica de Fluidos".

FLUIIX)S VISCOSOS INCOMPRESIBLES EN EL

CAMPO DE LA GRAVEDAD

Limitándonos al estudio de los líquidos, considerados incom­

presibles, la infinidad de movimientos hldráxülcos Imaginables pue­

de dar lugar a la distinción de dos clases de tales movimientos.

i . Moxdmiento a sx^>erficle libre (canales, ríos-, ma re s , x^rtede-r o s , e t c ) ,

8. Movimientos en carga (conductos, cuerpos sximergidos, e tc . ) .

La diferencia entre ambas clases es neta:

En los movimientos a superficie l ibre , las diferencias de p r e -

-57-

sión que determinan el movimiento resxütan inmediatamente de

las dimensiones geométricas del flujo, p . e . en el caso de una

presa x^ertedero, el caudal no depende, s i se desprecia la veloci­

dad de acercamiento, sino de la carga sobre el umbral y ésta

constitxiye xm elemento lineal cxiya escala queda axitomáticamenr

t e fijada por la escogencia de escala de similitud geométrica.

En la segxmda clase, las diferencias de presión que deter­

minan el movimiento son completamente ind^endientes de las di­

mensiones l ineales: p . e . en el caso de xm conducto, e l flujo está

determinado por la diferencia de presión que existe entre los ex­

tremos del conducto y esta presión motriz puede ser escogida ar ­

bitrariamente, a pr ior i , sin ninguna relación con las dimensio­

nes del conducto. Se dispone entonces de un grado más de líber -

tad en la comparación de dos sistemas semejantes "en carga".

Las condáelones de extideneia de la similitud son pues dife­

rentes para ambas clases de movimientos.

Las dos grandes clases pueden aun se r sub-divididas según

que la viscosidad juegue o no un papel preponderante en los fenó­

menos estudiados; en el pr imer caso, los Ifqxiidos serán reales o

viscosos y en el segundo se hablará de fluidos perfectos.

Por último hay dos grandes grupos de movimientos denomi-

- s a ­

nados "regímenes" según la importancia de la turbxüencia: movi­

miento laminar y movimiiento turbulento. La disipación de ener­

gía se hace en forma bien distinta para ambos grxipos y en conse­

cuencia las condiciones de simültud difieren.

Clasificación Final

Clases Grupos Reg&ienes

M vlmlento a su­perficie libre

Moxrimiento en carga

Fluido perfecto Fluidos reales o viscosos

Fluido perfecto Fluidos reales o viscosos

Flujo laminar (Ré'gimen de PolseuUle)

Flujo turbulento (Pérdidas de car­ga cuadráticas)

Para Uegar a obtener en forma concreta las condiciones de simiU-

tud, se rezona así :

Consideremos un movimiento líqxüdo Mj realmente existente,

puesto que este movimiento se efectúa realmente, los parámetros

que lo definen desde el punto de vista cinemático y dinámico, en ca­

da punto, satisfacen a las ecuaciones generales de la hidrodinámica:

ecuaciones de Euler y ecxiaclón de continxüdad; s l se escriben tales

relaciones, obtenemos xm sistema 5 i de ecuaciones.

Fluips en carga

J>BsÍ9iando por (h) la cota de un punto contado positlx^miente ha-

-59-

cia arr iba a par t i r de un plano horizontal de referencia, las ectua-

clones del movimiento se escriben bajo la forma de Navier-Stokes:

En un sistema de ejes t r i - rectangulares tenemos:

¿i=- f^x( f^r§ '^)^^^ o)

con los áimbolos:

cLt a t ^^ ^ í ^^

A ^ — _ . ^ ^ ; j . ^ ^ .

(p) es la presión en un pxmto: i u ) y f P ) son respectivamente

el coeficiente de viscosidad dinámica y la masa especffica del flui­

do. Estas son cantidades que se sxiponen constantes independientes

de la presión: u, v, w son las componentes de la velocidad.

Las otras ecuaciones son las siguientes:

Ecxiación de continuicted:

~bu _ 3i^ _ 3io _ ¿5 (flujo conservativo) S x 5 ^ 'dT-

f = cl,:

-60-

Se sxiponen en general el f lu^ a temperatura constante sin in­

tercambio de calor con el exterior, de suerte que la ecuación de

conservación de la energía no sxiministra ninguna nueva relación.

En este sistema, la presión (p) no figura sino en las ecuaciones de

Navier-Stokes y siempre al lado de f ^ » Estos dos términos

permanecerán por consiguiente siempre agrxipados en los desarro­

Uos y en las soluciones que se puedan encontrar.

Podemos entonces poner:

p + ^ gh ° p* (presión estrellada)

El sistema para resolver se escr ibe:

"bMr +. 31^4- ^ í f = o

f A ^

¿Jt f 5J T

Tenemos entonces, cxiatro ecuaciones con cuatro incógnitas

u , v,w, p* consideradas como funciones de x , y , z , t .

La gravedad no aparece explícitamente en el flujo en ct rga

(se reemplaza el estudio de un ñúido pesado por el de un fluido no

pesado a condición de l lamar presión en un punto de cantidad p*).

- 6 1 -

La determinación física d&l problema necesita el conocimiento

de las condiciones iniciales y de las, condiciones en los lúnites: pa­

ra abreviar designaremos esos datos bajo el nombre de "definición I

del s is tema",

Varfables Reducidas

Vamos a tomar las ecxiaclones del movimiento cambiando de xm-

riables . En lugar de hablar de coordenadas x , y , s , de una partícxüa

en el instante t; de componentes u ,v ,w de una xrelocidady de una

presión p*. xxtüizaremos nuevas variables definidas de la manera

siguiente:

Designando por D xma dimensión lineal característica del flujo

estudiado: longitud de un obstácxüo, diámetro de una canaUzación,

e tc , en lugar de considerar las variables x ,y , z tomaremos las xra-

r iables .

D ^ D D

Es decir que para ese flujo, relacionaremos todaa las longitu­

des, todas las coordenadas de un punto a la dimensión escogida D.

Consideremos de la misma manera, tma velocidad caracter ís­

tica en xm pxmto determinado (sl es posible en xm instante determina­

do) sea V esa xrelocldad, Relacicmemos todas las velocidades o to -

-62-

das las componentes de la velocidad a ese valor V. Los tiempos se­

rán relacionados a la cantidad D/V que es homogénea a un tiempo y

las presiones eatreUadas a la cantidad ^v2 que es homogénea a una

presión. El cambio de variables viene definido por las relaciones

siguientes:

X y z • • • • D

- " %

t» = t / -

f

t

D V

yg w D • V

•~-t p»*-p*/ f

Esas variables son sin dimensiones y se las Uama "xrariables

reducidas ' ,

£1 cambio de variable nos conduce a las relaciones siguientes:

5^ 2) ( j )x ' j ~ j ) ^x-'

9>t/. _ aCv^'3 - _y_ ^-t^'

-63-

V y D son magnitudes características a rb i t ra r ias . Hay natural­

mente una ddale infinidad de sistemas V y D posibles; por lo tanto

una doble infinidad de sistemas de variables reducidas. Son todas

independientes de las xmidades fxmdamentales escogidas.

Consideremos la primera de las ecuaciones de Navier-Stokes

la cual se escribirá en xrarlables reducidas as í :

JMJ - _ 5n.' . ^ _ L _ A.U.' A i ' ^ ^ ' ? v.j>

El sistema de ecxiaclones se escribirá entonces:

o¿a.' ^ _ 1 J P ! ^ A_AuJ

<^-^' _ _ ^ ' • L A v '

OÍM?' _ _ ^ P _)- 1 . A ^ '

•2>x' ^ ^ ' "d^'

i p _ -fVP _ VJ?

^ - ^TT - ^ ^ En esta forma a las ecxiaclones del movimiento se les l lama:

"ecuaciones reducidas". No tienen dimensiones y hacen Interx/e -

nlr únicamente un solo coeficiente que depende de los datos del flu­

io.

-64-

Ese coeficiente R, es el "Númerp de Reynolds del flujo" (fue

el Inglés Osborne Reynolds qxüen en 1883 puso primero en eviden­

cia esa relación en el movimiento de los flxíídos viscosos y Som -

merfeld le dló el nonibre de número de Reynolds en 1908). Ese nú­

mero es dn dimensiones y su xmlor numérico depende únicamente

de las unidades escogidas. El número de Reynolds resxime y con­

tiene él mismo todo lo que es necesario conocer para caracter izar

un flujo en carga dado.

Para emplear otra expresión se puede decir que el flujo no es

definido sino para xm valor particxüar de tal o cual magnitud.

Lo que importa únicamente es el xralor numérico que toma la

combinación sin dimensiones ( S J ^ ) , de cuatro magnitudes ca­

racterís t icas del flujo.

Para terminar el estudio de nuestro sistema de ecuaciones, fal­

ta traducir a variables reducidas la definición del sistema (condicio­

nes iniciales y condiciones en los lUnltes). Esto no ofrece dificul­

tades partlcxüares porque esa definición se expresa generalmente

por xma cierta geometría de las fronteras del flujo por campos de

velocidades y campos de presiones.

Condiciones de simiUtud de dps fluips:

Consideremos dos flujos en carga: para el uno y para el otro

-65-

las ecxiaciones del movimiento pueden ser expresadas en variables

reducidas. De inmediato observamos que son idénticas si los nú­

meros de Reynolds de los dos flujos son iguales.

^ ^ ^ , (condición de Reynolds)

En oonsecxiencia sus soluciones son idénticas s l la definición

de cada sistema se expresa de la misma manera en variables redu­

cidas. En particxüar, la semejanza de las fronteras geométricas

(paredes sóUdas) es indispensable; es decir las paredes sóUdas que

limitan los dos flujos deben ser geométricamente semejantes.

Ese resxiltado es absolutamente general. Es cierto para todos

los flujos en carga, los cuales tienen lugar en conductos, alrededor

de ob^ácxüos fijos o móvües , e tc . La condición de simUttud de

los flujos en carga es única: la igualdad de los números de Reynolds.

Aclaremos más las consecuencias de esa slmlUtud. iean dos

flujos semejantes y afectemos con el sxibíh^ced^las magnitudes co­

rrespondientes al pr imer flujo, y del sub&dice^2)las magnitudes co­

rrespondientes al segundo.

Las coordenadas de dos puntos homólogos son tales que:

- 6 6 -

X , Xx

* D, Da

y ' ' D. = Dx

z ' Zl Zx

° D. * Dz

Xl s y> s z ' = .Ql- = cte Xx y , z z Oí.

Esas relaciones traducen la similitud geométrica de los dos

flujos. (L&eas de corriente por ejemplo) y no solamente de su -

perfleles sóUdas y obstácxüos que los limitan).

LcMB tiempos homólogos son tales que:

t _ t i

V. Vx

Las cconponenetes de velocidades homologas (en puntos homó­

logos y en instantes homólogos) son tales que:

U, U í , V, _ Vz

«• = V. ' Vx • ^ ' - V. - Vz

t . Dt 1 Vt

*- ' D x / V. ' ^ * ' . . ^ - J L , ^ ' U z Vz

W l

w. V^

W t

Vz

Las componeites siendo proporcionales, las velocidades lo son

también. Las partículas ocupan posiciones homologas en instantes

homólogos. Esas relaciones traducen la simüitud cinemática de

los dos flujos.

-67-

Un razonamiento análogo nos muestra que:

P*. = P. V. p* 'n y ^ » cte. (eslas son las presio-

* ' * ' nes estrelladas que varían comofv^ pero no las presiones está­t icas p . )

Las fuerzas son entre s í como:

^ = V; f • P. ; = cte Fz V < . D i

Estas relaciones traducen la simiUtud dinámica de los dos

US n

Las potencias puestas en juego son entre ellas como:

• W. _ F , . V, ^ Pt Vt^. D, _r.f.ft W. F . . V. '^, V,"* . Dx

Las velocidades angulares son entre s í como:

- 2 L - VI / D. _ cte Wr Vx/ D ^

Los caudales volumétricos son entre s í como

f tfi» _ VI K p r ^ cte

Vx Vx - D ; '»

y así sucesivamente.

-68-

Todas estas relaciones son constantes y facümente calcxüa-

bles . Toda magnitud particxüar de xmo de los flujos puede ser

ealcxüada a par t i r de la magnitud coX*respondlente del otro con la

ayuda de esas relaciones. En particxüar todos los números de

Reynolds formados con cantidades horntólof^s son iguales dos a

dos. Tales flujos aunque diferentes, son semejantes en el senti­

do más general: lo son geométrica, cinemática y dinámicamente.

Condidones iniciales y condiciones en lofS l ímites:

Es importante no olvidar que la solución física de xm proble­

ma no es completa sino para xma definición dada del sistema: con­

diciones iniciales y condicdones en los límites bien determinadas.

La similitud de dos flujos requiere per lo tanto la identidad de l«s

dos def iliciones, e}q>resadas en variables reducidas.

Al lado de las consideracior^s de orden puramente geométri­

co, cada definición hace intervenir xma o varias velocidades, una

o varias presiones p*, xma o xmrias sx;^erfleles l ibres horizonta­

l e s , a lo largo de las cxiales p* permanece constante (flujo en car-

En los sistemas que vamos a considerar no intervendrá en ge­

neral en la definición de cada sistema sino una velocidad y xma pre-

-78-

de un flujo.

Fluio a superficie libre

Se t ra ta , repitámoslo, de flujos de fluidos incompresibles,

pesados (en el campo de la gravedad) con una o más superficies

l ibres no hiorizontales.

Condiciones de S ^ ü i t u d de dos flujos

A lo largo de toda sxiperflcie libre la presión permauíece cons­

tante; por lo tanto, no es posible dejar agrupar los téx*minos (p)

7 ( P ^ ) ^sijo la forma de presión estrellada p* . En efecto, pa­

ra una condición en los límites tales como p = cte, no tendremos

h » cte y el valor correspondiente de p* no será constante.

Las fuerzas de la gravedad aparecerán entonces, e^q^lícita-

mente en las ecuaciones del moxdmiento.

Expresemos de nuevo las ecuaciones de Navier-Stokes toman­

do el eje de las (z) dirigido hacia arriba como h. En las dos pr i ­

meras ecuaciones, no debe figurar h (debe figurar únicamente en

la te rcera) . d u - ) _ _ i 5 p J ^ ^ i? e.^) -V c^ Acó

y como; ^ = _^ .

dt f ^^ f

-74-

s i pasamos a las xrariables reducidas como lo habíamos hedió an­

teriormente, obtenemos:

CXU.' _ _ ^ f 4_ J ^ A l/J

chu-y _ 3P' . J _ AV-' dJt' a ^ ' ^

^ ~ J>g

Esta relación es llamada número de Fraude o de Reech-

Froude?

A estas ecxiaciones agregamos la ecuación de continxüdad:

2X. ' ' B ^ ' ^ z '

(p') representa aquí, en variables reducidas, la presión estáti­

ca (p) en el sentido ordinario de la palabra (la cual no es necesa­

riamente una presión absoluta), es decir:

r- -r

por consiguiente, la simüitud de dos flujos a sxiperficle Ubre r e ­

quiere las dos condiciones:

- 7 Í -

^ =• ^ ^ (condición de Reynolds)

5 ^ : ^ ( condición de Froude)

(Los trabajos del inglés Froude son de 1872, pero el francés

Reech, enseñaba ya esa ley en 1832 en la Escuela de Ingeniería

Marftima y la publicó en 1852).

La definición de los sistemas hace interxrenlr un solo grupo

de xrelocidades ( sea Voi y Voz ) y xm solo grupo de presiones

(sean Po, y Poz ) ( aquí Po, y '9c:>¿ , representan las presio­

nes absolutas ordinarias. SilP^,"! es nulo su homólogo (n , ^ ) no

lo es forzosamente).

Podemos tomar esas velocidades como xrelocidades de refe­

rencia y esas presiones como presiones de referencia. La sola

condición de Reynolds es entonces:

y la sola condición de Froude:

Vo/ _ Js/oz (e>o o^n«.ral g, - gxj

No olxddemos entonces que la simültud de las presiones ( y

la de las fuerzas que de ellas derixmn) tiene relación con las pre-

-78-

slones relatixms. Si se quiere tener en cuenta todas las presio­

nes en valor absoluto, se debe entonces escribir •'

• ^ - foi _ JP.-JPo. = c i ^ .

Interpretación del Número de Froude:

Para razonar como anteriormente,se puede decir que las

fuerzas que qctúan sobre xma partícxüa son cuatro: fuerza de iner­

cia, de presión, de viscosidad y de masa (la gravedad). La s i ­

militud dinámica impone que los cuadrüáteros formados por esas

fuerzas sean semejantes. L que conUexra que la relación de dos

cualesquiera de esas fuerzas a una tercera sea la misma en los

dos flujos.

La relación de las fuerzas de inercia a las fuerzas de la vis­

cosidad es :

J^ ^ VCP ^ y p (Número de Reynolds)

La relación de las fuerzas de inercia a las fuerzas de graxre-

d a d e s :

^ ^ - _ V l _ ^ (Nxímero de Froude)

-77 -

Encontramos que las condiciones de simüitud eran las que

se había establecido anteriormente. Vemos aquí que el xralor

numérico del número de Froude caracterii^a la relación de las

fuerzas de inercia a las fuerzas de la graxredad.

En un flujo dado, la importancia de un factor cualquiera: ve­

locidad, longitud, e t c . , no existe sino en la medida en que apa­

rezca en el nxímero de Reynolds o en el número de Froude. Cuan­

do dos flujos son semejantes, todos los números de Reynolds for­

mados con magnitudes homologas son iguales dos a dos y todos

los números de Froude formados con magnitudes homologas son

iguales dos a dos.

NOTA:

1. Si se escribe H - ~ - +- - ^ , la simüitud entre dos

movimientos impone l a proporcionaUdad de la carga H en

dos puntos homólogos, lo que impone que ( - ^ ) varíe como

( : ^ ) o ( p * ) c o m o ( ^ v " ) .

En el esso de sx:^erficies l ibres no horizontales, (p) y ( pgh)

son independientes el uno del otro; la simüitud impone entonces

que (p) y ( P ^ ) varíen cada uno como ( ^V ).

(- p ) proporcional a ( ( V ) es xm resxütado conocido con el nom-

-78-

bre de condición de l u l e r .

(- P1^) proporcional a ( ^y^) conduce a la condición de Froude.

2. La necesidad de verificar a la xrez la condición de Reynolds

y la condición de Froude, Uexra a la igxialdad.

e ' l ' y ' ' . s/'J>/'' v", ^'^

Lo que limita muchísinao las posibiUdades de simiiUtud

completa.

En particular s l los dos movimientos son del mismo fluido

( S?< = v \ ) en el campo de la gravedad ( ^ , = ^ s ).

DI ' D2

Lo que hace imposible hacer modelos a escala diferente de

la del prototipo.

Fluidos Compresibles:

Ccmsideremos el movimiento de los gases perfectos. Aunque

la ecuación de estado sea simple { .^ - . rT ), las ecxiaciones de la

dinámica, la ecxiación de continuidad, y la ecuación de la conser-

xmclón de la energía son más complejas que para un üúido incom­

presible, pues los fenómenos caloríficos se manifiestan al mismo

tiempo que la compreslbUldad.

-79-

En general se pueden despreciar las fuerzas de gravedad

delante de las otras fuerzas puestas en juego ( por lo tanto la

condición de Froude desaparecerá). Ladiscuslón de las ecxia-

dones escri tas en variables reducidas, sáministra ahora cua­

t ro grupos sin dimensiones e independientes.

_ V-P Número de Reynolds v i

_M. = J^ Número de Mach, «a.

^ - ( ^ Número de Prandtl.

V = -^E- Relación de calores espe-^ cíf icos.

En los cuales:

(a) designa la celeridad de propagación del sonido a la tem­

peratura T

a . V l ^ = VTyT

{ ¡y ) es el coeficiente de conductiblUdad térmica del fluido, su­

puesto constante.

La simüitud de dos flujos de fluidos compresibles (gases

perfectos) teniendo en cuenta la simüitud geométrica, necesita cxiatro

condiciones. Esas condiciones serán de preferencia expresadas

-80-

utlUzando los datos sximlnlstrados por la definición de los s i s ­

temas .

Nota: se puede dar al número de Mach y al número de Prandtl

una interpretación física como lo hemos hecho para los números

de Reynolds y Froude, Se demuestra a s í que la relación de las

fuerzas de inercia a las fuerzas de elasticidad es proporcional

a M . La teoría cinética de los gases da otra interpretación:

permite establecer que M es proporcional a la relación entre

la energía cinética de traslación del fluido y su energía cinética

molecxüar de agitación térmica.

El número de Prandtl se puede escribir :

9 Viscosidad cinemática X " Difusibülcteid térmica

y traduce la importancia relativa de los efectos debidos a la vis­

cosidad del üúido Con relación a los que provoca su conductiblU­

dad calórica. Para un ^ s . ' ^ es del orden de la unidad, pero

para un líquido puede ser muy grande,

2, Las consideraciones anteriores nos han mostrado el papel

fxmdamental que toman en mecánica de fluidos, las cantidades

sin dimensiones.

- 8 1 -

Otros números sin dimensiones son por ejemplo los coeficientes:

donde F puede se r una fuerza, un a r ras t re o una fuerza portante.

UTIUZACION PRACTICA DE LAS CONDICIONES DE

SIMIUTUD

En numerosos problemas no se consideran sino flujís per­

manentes en promedio. La experiencia muestra entonces que

las condiciones iniciales no intervienen: la definición del siste­

ma se reduce a las solas condiciones en los lómites y hemos xds-

to cuales de ellas pueden s e r utilizadas para traducir las condl -

clones de similitud. Hemos xdsto qxie para xm fluido incompresi­

ble en c a i ^ , la simüitud completa reqxüere xma condición (la

de Reynolds); para un flujo a sxiperflcie libre se necesitan dos

condiciones (la de Reynolds y la de Froude) y en los casos de flui­

dos compresibles son cxiatro las condiciones que deben de cxim -

p l i r se . En general, la observancia rigurosa de las varias con -

diciones de similitud conduce a la imposibiUdad de reaUzar ensa­

yos sobre modelos, pero la experiencia muestra que, mediante

algunas precauciones, es suficiente con una simiUtud aproximada.

-69-

slón sean v», 7 p^^ «» el pr imer sistraua, ( Vo. ) y ( p*^]

en el segundo, ( ^ v D ^ )• son aqui presiones estrelladas P«i * "e> z.

absolutas, es decir, calcxüadas a par t i r de presiones estáticas

absolutas.

Ahora bien, para es tab lecer las variables reducidas, pode­

mos xaay bien tomar respectlxramente( v^,) y (Voz.) como veloci­

dades de referencia en cada moxdmiento y en la misma formia

/ p« I y/p4c \ como orígenes de presiones estrel ladas.

Operando de esta manera las condiciones de simüitud de Uevarán

a: Vo, t D. ^ J / 2 -

Vi y ^

mientras que a la similitud de las presiones ( y la de las fuer­zas que de ellas derivan) tiene relación con las presiones estreUa-das relatixras.

Si se quiere tener en cuenta todas las presiones estrelladas

en valor absolutii« se debe entonces escr ib i r :

f?*.- c»o._ P \ - u».

Esta posibüldad de tomar como origen de presiones estrel la­

das un valor arbitrario en cada flujo, proviene de que éstas son

las derivadas parciales de las presiones estrel las que figuran en

-70-

las ecxiaciones diferenciales dinámicas del moxrimiento (no es

lo mismo para las velocidades) mxiy a menudo se tiene que:

ral •=• Tox.

Interpretación del Número de Reynolds

Es posible encontrar la condición de simüitud de Reynolds

en una forma más rápida, pero sin embargo menos rigurosa, ra ­

zonando de la siguiente manera: el movimiento de una partícxüa

de masa (m) está determinado por el pr incpio fundamental de la

dinámica:

S i T - y r J7 ^co

{- mV ) es la fuerza de inercia de la partícxüa, T T representa

el conjunto de las fuerzas exteriores que actúan sobre ella; fuer­

zas de presión (presión estrellada) y fuerzas de viscosidad.

P a r a que las partículas en dos flujos tengan moxrimientos s e ­

mejantes, es necesario que los trlángiüos formados por esas t r e s

fuerzas sean semejantes.

Tendremos igualdad de las relaciones.

Fuerzas de inercia Fuerzas de viscosidad

Para la xmidad de volximen, las fuerzas de inercia, (donde xma com-

- 7 1 -

diÁÁ. ponente se escribe: <P - S ^ = P ^ ^ 1 ^ 4- • - • • )

V ^ son proporcionales a: ^ - ^

En la mismis forma las fuerzas de xdscosidad, donde una compo­

nente se escribe: M. «^^ -<- )

son proporcionales a : ^ —£

Estos resultados aparecen simplemente si se consideran las

ecxiaciones del moxdmiento, por ejemplo:

M"- J M J - _ J ^ ? y 2 áe.' -4- éL^L. AuJ

La simüitud dinámica entre dos flujos impone entonces la -

igualdad de las relaciones:

y encontramos la condición de Reynolds. Esta manera de p ro ­

ceder no tiene en cuenta las condiciones en los límites e iniciales

del sistema pero tiene la ventaja de dar una interpretación dinámi­

ca muy interesante del número de Reynolds R: este aparece aquí

como una cantidad proporcional a la relación entre las fuerzas de

Inercia y las fuerzas de viscosidad.

Un peqxiefio número de Reynolds caracteriza loimovimientos

-72 -

donde las fuerzas de xdscosidad son preponderantes; xm gran nú­

mero ds Reynolds caracteriza aquellos para los cxiales las fuer­

zas de inercia son las preponderantes.

En nximerosos casos es el mismo fluido el que participa en los

dos flujos. La condición de Reynolds se reduce a:

V, p , •= Vz XJJ.

V. - T>2 V i 1^1

UtL escala de xrelocidades varía entonces en el sentido inverso

del de las longitudes.

Notamos ahora la significación profxmda del número de Re|rnolds

En resximen, las particularidades que afectan un flujo dado, sea

localmente, sea de xma manera general, no son definidas por el

valor de tal o cual magnitud medible considerada aisladamente:

velocidad, longitud. Esas magnitudes no tienen interés sino en

la medida en que se considera su xralor en xm conjunto y más p re ­

cisamente cxiando se trtita de la combinación ( ? y E ) . El va -

Ior numérico de esta combinaclón4ndependientemente del sistema

de unidades de medida, se conserxra cuando se pasa de xm flujo a o-

t ro semejante; él define el orden de magnitud de la relación de las

fuerzas de inercia y de viscosidad: es entonces esa relación de

fuerzas únicamente la que determina todas las particxüaridades

-82-

AdmÜiendo que la slmiUtud geométrica sea mentenida, s a l e g a

prácticamente a los resultados siguientes:

• • Para fluidos incconpreslbles desprovistos de viscosidad,

los flujos permanentes se producen a potencial de veloci­

dades. La simüitud geométrica de las paredes que los U-

mitan t rae consigo automáticamente su simüitud dinámi -

ca,

ll» Para flujos permanentes Íncompresfi>les, en carga, la con­

dición de simüitud es la de Reynolds,

Pero s i esos flujos se efectúan con un número de R^nolds

mtqr grande (superior a un xralor crítico R . ) la condición

de Reynolds ya no es necesaria: se cae al caso anterior,

e . Para dos flujos permanentes de fluidos incompresibles, a

sxiperficle l ibre , que se efectúan a grandes números de

Reynolds (superior a xm xralor crítico R ) la condición de

simüitud qnperativa es la de Froude:

4, Pax« flujos de fluidos compresibles a número de Mach r e ­

lativamente pequeño C^ - 0,2 por ejemplo) se vuelve al ca­

so de flujos de flxíídos incompresibles.

-83-

e . Para fluidos compresibles fluyendo a una velocidad que

se relaciona con la del sonido y s i se t ra ta del mismo

fluid;> de fluidos de la misma atomicidad, la condición

imperativa a observar es la de Macb.

Llevar las ccxidiciones de simiUtud teórica a xma sola

que sea loperatixra, significa que los flujos observados están

principalmente bajo la dependencia de las xrariaciones de un so­

lo factor; (esto no significa que los otros factores no jueguen nin­

gún papel, sino simplemente que sus xrariaciones tienen efectos

despreciables en pr imera aproximación). El problema de la s i ­

müitud Consiste entonces en observar estrictamente la condición

de similitud impuesta por ese factor; el valor de los otros facto­

res puede ser tomado arbitrariamente en xm rango de var iado -

nes predeterminado. La simüitud no es exridentemente rigurosa,

pero ese procedimiento permite en general, alcanzar un grado

de aproximación muy sxificlente en la práct ica.

Notemos qxie, siempre es la experiencia y un cierto cono­

cimiento de los fenómenos lo que permite el enunciado de las con­

diciones de esta simüitud aproximada y el precisar los lúnites

de aplicación.

- 8 4 -

Tomemos como ejemplo el estudio de la resistencia de

las carenas de los barcos . Esa resistencia es d ^ i d a a las fuer­

zas de frotamiento de origen viscoso y a las fuerzas provocadas

por el fcistema de ondas (estas últimas están unidad a las fuer -

zas de graxredad). La simüitud perfecta requiere entonces a la

vez la simüitud de Reynolds y la simüitud de Froude.

Si Consideramos un modelo más pequefio que su p ro to t^o ,

en movimiento sobre el agua, acerca de la ley de Reynolds es ne­

cesario hacer el ensayo a una velocidad más elevada que la del

p ro to t^o , acerca de la ley de Froude se necesitará una velocidad

más pequeña.

Teóricamente serfa posible satisfacer las dos leyes utül-

zando líqxüdos diferentes, pero no se dispone prácticamente para

tales ensayos de Uqxüdos que posean xma viscosidad cinemática su­

ficientemente diferente de la del agua. Se ensayará el modelo so­

b re el agua, conserxrando la 1 ^ de Froude y se t ra tará de hacer

un cálcxüo directo de la resistencia al frotamiento. Este modo de

proceder será permitido cxiando la turbxüencia del fluido sea bas -

tante grande en los dos casos, es decir, para grandes números de

Reynolds avaperiorea a xm valor crllico R Q .

-85-

ANAUSIS DIMENSIONAL

Notaa Generales:

Entre los tipos de fxmciones más generales que han sido

estudiados en Análisis Matemático, las ecxiaciones dimenslonal­

mente homogéneas forman una clase particxüar. La teoría del

Análisis Dimensicmal es la teoría matemática de esa <üase de fun-

cioass . Es xma teoría puramente algébrica.

La aplicación del Análisis Djmmsional tiene xm problema

práctico y es el de estar basada sobre la hipótesis de que la solu­

ción de un problema es expresable por medio de una ecxiación di­

menslonalmente homogénea con relación a las variables determi­

nadas. Esta hipótesis ss justificada por el hecho de que las ecua­

ciones fxmdamentales de la física son dimenslonalmente homogé -

neas y que las relaciones que han podido (aducirse son dimenslo­

nalmente homogénMis.

Sin embargo, y con todo lógica, no se puede asegurar a

pr ior i que xina ecxiación desconocida es dimenslonalmente homo -

gfoea, a menos que sepamos que la ecuación contiene todas las

xrariables que puedan aparecer en xma determinación analüica de

ésta; p . e , en el a r r a s t r e de un cuerpo esférico, en una corriente

. . •^> i --86-

de a i re , se puede considerar que la densidad y la xrlscosldad no

intervienen puesto que ellas eon constantes para un aire están­

dar . La ecxiaclón de la fuerza de a r r a s t r e será entonces de la

forma T , ^ ( V. I>) en la cual V es la velocidad de la co -

rriente y D el diámetro de la esfera.

Sin embargo es evidente que es imposible constrxifr xma

ecuación dimenslonalmente homogénea <}n esta forma puesto que

las xrariables V y D no contienen las dimensiones de xina fuerza

o de una masa .

La primera etapa dn todo problema de análisis dimensio­

nal es el de decidir cxiáles son las variables que entran en el pro­

blema, Sl se le introducen variables que no interxrienen en el fe­

nómeno, en la ecxiación final aparecerán numerosos términos; s i

se omiten xrariables que lógicamente pueden influenciar el fenó -

meno, los resxütados pueden conducir a xm absurdo pero lo más

común es que conduzcan a un resxütadi> incompleto o erróneo, A

pesar del hecho de que ciertas xrariables sean prácticamente cons­

tantes, (por ejemplo la aceleración de la gravedad) pueden se r

esenciales, pues se combinan con xrariables actlxras para formar

productos sin dimensiones.

Frecuentemente se hace la sigxiiente pregunta: Cómo sabe-

-87-

mos que ciertas xrariables influencian un fenómeno ? , Pa ra

responder a esta pregunta se debe conocer sxificlentemente el

problema para e ^ l i c a r el porqué y el cómo de la influencia

de las variables. Antes de hacer un análisis dimensional se de­

be ensayar de poner xma base teórica del fenómeno. Si las ecxia-

ciones diferenciales que gobiernan el fenómeno han podido se r

establecidas, ellas muestran directamente cxiaTes son las xraria­

bles determinantes. Hay algunos campos para los cuales el aná­

l is is dimensional no ha tenido sino mxiy pocas aplicaciones debi­

do a que los conoclm.ientos actuales son incapaces de indicar cuá­

les son las variables determinantes. Por ejemplo, el l£nite de

fatiga de elementos estructurales sometidos a soUcltaciones al -

tornadas, no ha podido ser puesto en relación con otras propie­

dades medibles de los mater iales . En consecuencia, el análisis

dimensional no puede aportar soluciones en la fatiga de los ma­

teriales en el estado actual de nuestros conocimientos.

La naturaleza del análisis dimensional se verá más d a r á

con un ejemplo: consideremos una esfera l i sa , de diámetro D,

sumergida en una corriente de fluido incompresible. Sea V la xre­

locldad del fluido a alguna distancia aguas arr iba de la esfera.

La fuerza de a r ras t re sobre el cuerpo es entonces de la forma

F m ^ ( v/, P , f. f^) , En egta ecuación ( f ) ea la masa espe-

-88 -

cfiiea^( ^ ) la viscosidad dinámica del fluido, ( f ) represen­

ta una función nc precisada. Esta ecxiación significa simplemen­

te que (f) depende de las variables ([ v, D , ^ , ^^ 3 . Nada está

indicado sobre la naturaleza de esa dependencia.

Aplicando el teorema TT se encuentra que la ecxiación

dimenslonalmente homogénea debe tener la forma:

T^ f VÜ)" ' c^

La fxmción (f) es desconocida, pero ella depende de la

sola xrarlable ( v^f ) en lugar de las cuatro xrariables diferentes.

Obserxremos que las expresiones ( ¿ ^ , ) 7 ( -^^^ ) uo t ie­

nen dimensiones.

Expresiones de ese tipo son llamadas "productos adlmen-

e § " . En general s i (u f representa xma longitud, el produc­

to adimensional ( ^"-E, ) o ( JJ=- ) es llamado número de

Reynolds. El número de Reynolds está representado convenclo-

nalmente por R o NR

El número ( F/^y^iI ) es llamado coeficiente de presión

pues la cantidad ( F / L ) puede ser interpretada como represen-

tatixra de una presión. La sxiperflcle proyectada de la esfera es :

-89-

A * 1/4 T D*. Por consiguiente la fórmula anterior del a r r a s ­

t r e de una esfera puede escr ib i rse :

El término C ^ {'(^•)JJ^ea llamado coeficiente de a r r a s t r e ,

y se representa por ( CTX ); el a r r a s t r e de una esfera se escribe:

T =4- f ^'^^^x

puesto que (Cx) es xma función de (R), podemos t razar xm

diagrama con R como abscisa y Cx como ordenada; la figura db-

tMdda es la curxra eaq>erlmental que correspcMids a esa relación

pmra esferas l i sas .

Teorema de Buckin^^m

Se enxmcia de la slgxüente manera:

"Si una ecxiación es dimensionalmente homogéne , puede ser r e ­

ducida a una relación entre una serie completa de productos sin

dimensiones".

El teorema de Buck ln i^m resxime por s í solo toda la teo-

r & del análisis dimensional. Sin embargo, los principios del aná­

l is is fueron empleados antes de que ese teorema fuera demostra-

-90-

do. En 1899 Lord Rayleig^ hizo una Ingeniosa aplicación del

anáUsis dimensional al problema del efecto de la temperatura

sobre la viscosidad de xm gas. El método de Raylel^ es ente­

ramente diferente del de Buckin^iam pero conduce a los mis -

mos resxütados*

Teprema T fVaschv a890^ - Buckinrfiam fl9l5^

A. Una ecxiaclón dimensionalmente homogénea entre xrarlas

variables puede reducirse a xma ecuación entre xm núme­

ro más pequeño de xrariables sia dtoensiones. Es decir

la forma xx^a general de xma ecuación ffsica cxialqxüera

* » ¡ / ( - E . E x ^ r ) = ^

qxie se puede escribir:

T ijr. T Tf-^^ya

Los (;r ) son los productos adimenslonales independien­

tes que se pueden constrxiír con las (p) magnitudes físicas

consideradas en el problema.

B, El número de productos independientes es igual a (p - q);

(q) número de unidades fundamentales que intervienen en

la definición de las (p) magn;itudes del problema o ley físi­

ca.

- 9 1 -

Este teorema admite demostración rigurosa demasiado

matemjitica para que sea conveniente darla aqxií; lo admi­

tiremos sin demostración por el momento.

La apUcación del teorema (;^) necesita varias anotaciones impor­

tantes :

a. La ecuación del fenómeno debe ser completa, es decir,

debe contener todas las variables que de hecho intervie­

nen en el fenómeno.

1», Los productos {7^ ) están constituidos por grxipos

mios entre dos o más variables (p) de las de definición

del fenómeno. Deben ser todos independientes, es decir,

que ninguno de ellos puede deducirse de una combinación

de otros dos o más productos.

c . El teorema {^ ) establece qxie el número de términos adi-

mensionables es igual a (p -q) .

d. La ecuación F (T.-^z - • •• • Tp^}-c^

se puede escr ibir :

Tt ^ c ^ i r ^ T l . . . .. Tp.cf)

e l análisis dimensional no indica la función (F) ni ( ^ );

sólo xma teorfii completa, o la experiencia directa, pue-

-82-

den dar la expresión matemática exacta,

s i : ft> - q) • I 7, ^ ^ ( o ) = ^ ^

• . La apUcación del teorema {7/ ] reduce el númrao de

variables de ( p ) a (p - q).

f. Los t^Wninos ( ^ ) sin dimensiones tienen el mismo xra­

lor numérico en cualqxiier sistema de xmidades absolutas.

BHIQUEíaA DE LOS TÉRMINOS 7 Í

El teorema Tf nod dice ^1 número de productos adimen­

slonales que (teben figurar en la función

7=-(V. T ^3 Tp-fj^o

El procedimiento para encontrar los térininos T consis­

te en buscar una serle completa de productos adimenslonales de

las variables inclxiidas en el fenómeno. Es decir buscar (p-q)

productos adimenslonales independientes.

Se puede operar así; sea p , e , en mecáxüca q * 3 escoja­

mos 3 variables arbi t rar ias Ej Eg E3 y formemos (p-3) produc­

tos definidos.

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cvti o ¿ i ixr. . a ^ o < i " c j

Ti = e . f z ^ j £'^

T. - Ef' E t ' B f ' f s

Ts = ¿>' f ? ' B p fp

Es exridente que esta ser le será independiente; los ity.. ol^,Ui) {¡3. . /S, ./í^) C^. . ^ , ^3 ) son inicialmente

desconocidos pero pueden determinarse mediante la condición

de homogeneidad dimensional que en este caso nos permite ea-

crjDsir una serie de 3 ecuaciones lineales.

Cualquier otro producto adimensional resulta se r una

combinación de éstos.

La escogencia de las variables { E, fz . f s ) nos permi­

te variar la "ser ie" de productos adimenslonales. Tendremos

inllnitas posibüidades para cada una de las cuales es apUcable

el teorema {7/ ) y entre las cuales se escoge según la naturale­

sa del problenna, las facüidades de experimentación, las conve­

niencias físicas o matemáticas de presentación, etc*

Un segundo método para hallar los términos 7Í es el de

Identificación de Lord R a y l e l ^ , consistente dn la descomposición

en serle de la fxmción general y luego, en la identificación de coe­

ficientes de ambos lados*

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Finalmente, la teoría matricial permite xma axitomatiza-

dón de todos los procedimientos y la escrltira cxiasi-inmedlata

de los términos ^T