ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА -...

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра прикладной математики и информатики

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Практикум по высшей математике

Самара 2008

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ

УДК 514.742.2

Векторная алгебра. Практикум по высшей математике. Учебное пособие / Сост.

Е.В. Башкинова, О.С. Афанасьева. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2008. –37 с.

Приведены краткие сведения и формулы по теме «Векторная алгебра», а так же большое

количество примеров. Представлены задачи для самостоятельного решения (группа А и груп-

па В). Примеры группы А предназначены для решения в аудитории, группы В – для самостоя-

тельной внеаудиторной работы. Для самоконтроля все примеры групп А и В приведены с от-ветами. Предназначено для студентов первого курса машиностроительного и физико-

технололического факултетов.

Библиогр.: назв. 4

УДК 514.742.2

Составители: канд. физ.-мат. наук Е.В. Башкинова,

О.С. Афанасьева

Рецензент: канд. физ.-мат. наук В.Н. Маклаков

© Е.В. Башикнова, О.С. Афанасьева,

составление, 2008

© Самарский государственный технический университет, 2008

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемый практикум по высшей математике «Векторная ал-

гебра» предназначен для студентов инженерных специальностей фа-

культетов МиАТ и ФТ. Его цель – помочь студентам самостоятельно

или с помощью преподавателя овладеть методами решения задач

векторной алгебры. Каждый раздел соответствует одному практиче-

скому занятию по высшей математике, и в нем приводятся основные

теоретические сведения и необходимые формулы. Внимание уделено

как решению типовых задач по данной тематике, так и примерам для

самостоятельной работы.

В пособии использована сквозная нумерация задач. По каждой

теме предлагаются задачи для разбора и решения их в аудитории

(часть А), а также задачи для самостоятельного решения (часть Б).

Задачи расположены по мере возрастания их сложности. Ко всем за-

дачам приведены ответы. В заключении приведен тренировочный

тест для проверки знаний учащихся по данной теме.

4

1. ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

1.1. Основные сведения о векторах

Вектором называется направленный отрезок AB с начальной

точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать парал-

лельно самому себе).

Вектор обозначается двумя точками AB или

одной маленькой буквой a (рис.1).

Координаты вектора AB , заданного двумя точ-

ками 1 1 1; ;A x y z и

2 2 2; ;B x y z в декартовой сис-

теме координат, вычисляются по формуле:

2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1; ; ; ; ; ;AB x y z x y z x x y y z z .

Длиной (или модулем) вектора AB называет-

ся число, равное длине отрезка AB : 2 2 2

2 1 2 1 2 1AB x x y y z z .

Для вектора, заданного в виде ; ;x y za a a a , модуль имеет вид:

22 2

x y za a a a .

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называ-

ется нулевым вектором и обозначается 0 AА .

Вектор AB называется единичным вектором или ортом, если

длина вектора 1AB .

Единичный вектор можно получить из любого ненулевого век-

тора a по следующему правилу: a

a.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных пря-

мых, называются коллинеарными.

Несколько векторов называются компланарными, если сущест-

вует плоскость, параллельная всем прямым, на которых эти вектора

расположены.

А

В

a

Р и с. 1

5

Вектор ; ;x y za a a a , заданный в координатном пространстве

Oxyz, может быть представлен в виде x y za a i a j a k . Такое

представление называется разложением вектора по осям коорди-

нат (или разложением по ортам).

Векторы i, j,k – орты координатных

осей Ox, Oy, Oz, т.е. это единичные

векторы ( 1i j k ), направление

каждого из которых совпадает с поло-

жительным направлением соответст-

вующей оси: 1;0;0i , 0;1;0j ,

0;0;1k (рис. 2).

1.2. Основные операции над векторами

Пусть заданы два вектора ; ;x y za a a a и ; ;x y zb b b b .

Сумма векторов ; ;x x y y z za b a b a b a b определяется по

правилу параллелограмма (рис. 3) или по правилу треугольника

(рис. 4).

Произведением вектора a на действительное число k назы-

вается вектор ; ;x y zka ka ka ka , имеющий длину ka k a , на-

правление которого совпадает с направлением вектора a , если

0k , и противоположно ему, если 0k .

Противоположным вектором -a называется произведение

вектора a на число (–1), т.е. 1a= a .

Разностью двух векторов a и b ; ;x x y y z za b a b a b a b

называется сумма вектора a и вектора b , противоположного b

(рис. 5).

a

b

a + b

Р и с. 3

a

b

a + b

Р и с. 4

b

a

a - b

Р и с. 5

i

j y

z

x

k

Р и с. 2

6

Проекциями вектора a на координатные оси Ox, Oy, Oz на-

зывают координаты вектора: cos ,xa a cos ,ya a cosza a

(рис. 6), где cos , cos , cos – направляющие косинусы вектора;

, , – углы между вектором a и осями координат Ox, Oy, Oz

(рис. 6).

Для направляющих косинусов

выполняется равенство: 2 2 2cos cos cos 1,

где cos , cos ,cosyx z

aa a

a a a.

Проекцией вектора a на век-

тор b называется число

cosb

пр a a a b .

1.3. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число,

равное произведению модулей векторов, умноженное на косинус уг-

ла между векторами:

cosa b a b a b

Свойства скалярного произведения:

1) a ba b a пр b b пр a ;

2) если a b , то 0a b (условие ортогональности векторов);

3) 2

a a a (так называемый квадрат вектора 22a a );

4) a b b a (переместительный закон);

5) 1i i j j k k , 0i j i k j k ;

6) x x y y z za b a b a b a b ;

7) 2 22 2 2 2

cosx x y y z z

x y z x y z

a b a b a ba ba b

a b a a a b b b

;

8) a b c a c b c (распределительный закон);

za

ya

xa

a

z

y

x

Р и с. 6

7

9) работа силы F на прямолинейном участке l : A F l .

1.4. Условие коллинеарности векторов

Два вектора ; ;x y za a a a и ; ;x y zb b b b будут коллинеарными,

(обозначается a b ), если выполняется условие yx z

x y z

aa a

b b b.

ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1.1. Вычислить 2a b , если 3; 4;1a , 1;0;5b .

Решение. 2 2 3; 4;1 6; 8;2a ,

2 6; 8;2 1;0;5 6 1 ; 8 0; 2 5 7; 8; 3a b ,

2 2 22 2 22 7 8 3 49 64 9 122a b x y z .

Ответ: 122 .

Пример 1.2. Найти проекцию вектора AB на ось Oz, если

3;4;1A , 1; 3;5B .

Решение. Проекцией вектора AB на ось Oz (или вектор k ), яв-

ляется координата z данного вектора, поэтому

5 1 4Oz kпр AB пр AB .

Ответ: 4.

Пример 1.3. Найти координаты точки B, если 8; 2; 5CB и

3; 2; 1C .

Решение. CB : С – начало вектора, В – конец вектора, поэтому

; ; 3; 2; 1 8; 2; 5B C B C B C B B BCB x x y y z z x y z .

Далее 3 8Bx , 2 2By , 1 5Bz ;

11Bx , 0By , 4Bz .

Ответ: В (11; 0; 4).

8

Пример 1.4. Вектор составляет с осями Ох и Oz углы 30о и 60

о,

найти угол с осью Оу.

Решение. Дано =30о , =60

о. Используя свойства направляю-

щих косинусов 2 2 2cos cos cos 1, получим 2 2

2 2 2 3 1 3 1cos 1 cos cos 1 1 0

2 2 4 4,

2cos 0 и =90о.

Ответ: =90о.

Пример 1.5. Найти a b , если 12a , 4b , 3a b .

Решение. Определим 2

2 22a b a b a b a a b b .

Для этого надо найти 2 2,2 ,a a b b . Имеем

2 22 12 144a a ,

2 22 4 16b b , из 2

2 22a b a b a b a a b b .

Подставим исходные данные 23 144 2 16a b , 2 151a b , полу-

чим 2

2 2a b a a b 2b 144 151 16 311, 311a b .

Ответ: 311a b .

Пример 1.6. Найти орт вектора 3;0; 4a .

Решение. Орт – это единичный вектор, с координатами

cos ;cos ;cos ; ;yx z

aa a

a a a. Находя

2 2 2 9 0 16 25 5a x y z ,

получим координаты орта: 0

3 4; ; ;0;

5 5

yx zaa a

aa a a

.

Ответ: 0

3 4;0;

5 5a .

9

Пример 1.7. Дано 5c , 6d , а угол между векторами c и d

равен 60о. Найти c d .

Решение. Используя определение скалярного произведения, по-

лучим 1

cos 5 6 cos60 30 152

oc d c d c d .

Ответ: 15c d .

Пример 1.8. Даны векторы 3; 4;1a , 1;0;2b . Найти

1) a b ; 2) 2b ; 3) 2 3a b a b .

Решение. 1) По свойству 6 скалярного произведения (стр. 3)

имеем:

x x y y z za b a b a b a b 3 1 4 0 1 2 3 2 1.

2) По свойству 3 скалярного произведения имеем: 2

2b b b b ,

1 0 4 5b , 22

2 5 5b b .

3) Способ 1. Найдем

2 2 3; 4;1 1;0;2 6; 8;2 1;0;2 7; 8;0a b ;

3 3; 4;1 3 1;0;2 3; 4;1 3;0;6 0; 4;7a b ;

2 3 7; 8;0 0; 4;7 7 0 8 4 0 7 32a b a b .

Способ 2. Используя свойство 8 скалярного произведения, рас-

кроем скобки: 2 22 3 2 2 3 3 2 6 3a b a b a a a b b a b b a a b b a b .

По свойству 4 скалярного произведения имеем a b b a . Следова-

тельно, 2 22 3 2 5 3a b a b a a b b . Подставляя 1a b ,

2 5b в последнее выражение, найдем 2

22 2 2 2a a x y z

9 16 1 26 и окончательно получим: 2 22 3 2 5 3 2 26 5 1 3 5 32a b a b a a b b .

10

Ответ: 1) 1a b ; 2) 2 5b ; 3) 2 3 32a b a b .

Пример 1.9. Найти проекцию вектора a b на направление

вектора c , если 3;2;0a , 1;1;3b , 3; 2;1c .

Решение. Введем обозначение d a b и найдем

3;2;0 1;1;3 3 1;2 1;0 3 2;3;3d . По определению

проекции имеем cosc cпр a b пр d d d c . Используя свойст-

во 7 скалярного произведения cosd c

d cd c

, получим

c

d c d cпр a b d

cd c 22 2

2 3 3 2 3 1 6 6 3 3

9 4 1 143 2 1

.

Ответ: 3

14cпр a b .

Пример 1.10. Найти значение t, при котором векторы 4;2;a t

и 1;1;2b ортогональны.

Решение. Векторы будут ортогональны, если выполняется ра-

венство 0a b (свойство 2 скалярного произведения). Найдем

4;2; 1;1;2 4 1 2 1 2 4 2 2 6 2a b t t t t .

Решаем уравнение 6

6 2 0 32

t t .

Ответ: 3t .

Пример 1.11. Даны три силы 1 2; 2;3F , 2 0;3; 1F ,

3 4;5;3F , приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу

производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения

движется прямолинейно из положения 0;1; 1А в положение

4;5;3В .

11

Решение. Работа силы F на перемещение l находится по фор-

муле A F l . Найдем равнодействующую сил:

1 2 3 2 0 4; 2 3 5; 3 1 3 2; 6; 5F F F F .

Определим вектор перемещения:

4;5;3 0;1; 1 4;4;4l АВ .

В итоге имеем:

2; 6; 5 4;4;4 2 4 6 4 5 4 36A F l .

Ответ: 36А .

Пример 1.12. Даны вершины треугольника 2;5;3А ,

3;0; 1В , 4;3; 1С . Определить внутренний угол треуголь-

ника при вершине С.

Решение. Искомый угол находится между

векторами СА и СВ , выходящими из вершины С

(из рис. 7 видно, что если неверно выбрать одно

из направлений векторов, то можно ошибочно

найти смежный угол с внутренним). Найдем эти

векторы:

2;5;3 4;3; 1 6;2;4СА ;

3;0; 1 4;3; 1 1; 3;0СВ .

Угол между векторами находится с помощью формулы свойство

7 скалярного произведения: cosCA CB

CCA CB

. Имеем

6;2;4 1; 3;0 6 6 0 0CA CB , откуда

cos 0CA CB

CCA CB

090C – треугольник прямоугольный.

Ответ: внутренний угол треугольника при вершине С равен 90о.

Пример 1.13. Найти значения и , при котором векторы

4 2a i j k и 2b i j k коллинеарны.

С

А

В

Р и с. 7

12

Решение. Из условия коллинераности yx z

x y z

aa a

b b b получаем

4 2

1 2. Составляя уравнения

4 2

1 и

2

1 2, найдем 2 и

4 .

Ответ: 2 , 4 .

Задания для самостоятельного решения по теме

«Векторы. Линейные операции над векторами.

Скалярное произведение векторов»

Группа А

1.А. Вычислить модуль вектора AB , если

А(3; –1; –1), В(–7; –11; 4).

Ответ: AB =15.

2.А. По заданному a =9 и a (7; –4; z), найти координату z.

Ответ: z= 4.

3.А. Найти координаты вектора a , если 3 2a и углы между

вектором и осями координат =45о, =90

о, а – неизвестен.

Ответ: =45о(или =135

о), a =(3; 0; 3).

4.А. Вычислить направляющие косинусы вектора a (5; –12; 0).

Ответ: cos 5/13 , cos 12/13 , cos 0 .

5.А. Найти орт вектора a (8; –9; 12).

Ответ: 0

8 9 12; ;

17 17 17a .

6.А. Проверить коллинеарность векторов АB и СD , если

2; 5;1А , 3;0; 1В , 4;2; 1С , 6;12; 5D .

7.А. Даны вектора 2; 3; 1a , 5;1; 1b . Определить проекции

векторов 2a b и 1

32

a b на координатные оси.

Ответ: 1) (12; –1;–3); 2) (3,5; –9,5; –2,5).

8.А. Даны вершины треугольника 2;5;3А , 2;5; 1В ,

4;3; 1С . Определить длину медианы AK.

Указание. Координаты середины отрезка находятся по формулам

13

1 2 1 2 1 2; ;2 2 2

x x y y z zx y z .

Ответ: 42АK .

9.А. Найти 2a b , если 4a , 4b , 3 8a b .

Ответ: 2a b =4.

10.А. Векторы c и d образуют угол 2

3, 2c , 7d . Найти:

1) c d ; 2) 2c ; 3) 2

2c d ; 4) 2 3c d c d .

Ответ: 1) 7c d ; 2) 2 4c ; 3) 2

2 93c d ;

4) 2 3 146c d c d .

11.А. Даны векторы 9c , 4d , угол между векторами 60о.

Найти c d и c d .

Ответ: 133c d , 61c d .

12.А. Даны векторы 1; 4;2a , 1;0; 5b . Найти

1) a b ; 2) 2b ; 3) 2a b a b .

Ответ: 1) 11a b ; 2) 2 26b ; 3) 2 5a b a b .

13.А. Вычислить работу силы 2;3;1F , когда ее точка при-

ложения перемещается из начала в конец вектора l (4; 7; 9).

Ответ: А=22.

14.А. Даны вершины четырехугольника A(1; –2; 2), B(1; 4; 0),

C(–4; 1;1), D(–5; –5;3). Доказать, что его диагонали взаимно перпен-

дикулярны.

15.А. Определить при каком векторы 2 3a i j k и

4 6b i j k взаимно перпендикулярны.

Ответ: =11.

16.А. Найти косинус угла между векторами 3; 6;2a ,

1;0; 5b .

14

Ответ: 1

cos26

a b .

17.А. Даны вершины треугольника 2;5;3А , 3;0; 2В ,

4;3; 1С . Определить внутренний угол при вершине А.

Ответ:6

cos7

A .

18.А. Вычислить проекцию вектора 1;0; 5b на ось вектора

3; 6;2a .

Ответ: 1aпр b .

19.А. Определить будут ли векторы 2 3a i j k и

8 4 12b i j k коллинеарными.


«Векторы. Линейные операции над векторами.

Скалярное произведение векторов»

Группа В

1.В. Вычислить проекцию вектора 1;0; 5b на ось, состав-

ляющую одинаковые углы с координатными осями Ox, Oy, Oz.

Ответ: 2 3 .

2.В. Найти 2 22 4a a b b , если 2;1; 1a , 0;4; 3b .

Ответ: 2 22 4 105a a b b .

3.В. Векторы 2c , 1d , образуют угол 45о. Вычислить ко-

синус угла между векторами p c d и q c d .

Ответ: 1

5.

4.В. Даны три силы 1 1; 3;5F , 2 2; 3;1F ,

3 7; 3; 5F , приложенные к одной точке. Вычислить работу

равнодействующей этих сил, когда ее точка приложения движется

прямолинейно из положения 3; 1; 2C в положение 1;0;7D .

Ответ: А=8.

15

5.В. Даны три вектора 2 5 4a i j k , 5 2 7b i j k и

4 3c j k . Вычислить: 1)спр а b , 2)

b спр а .

Ответ: 1) 21

5, 2)

56

77.

6.В. Даны вершины параллелограмма 1; 2;2А , 1;4;0В ,

4;1;1С . Найти координаты точки D и угол между диагоналя-

ми параллелограмма AC и BD.

Ответ: D (–4;–5; 3), 1

cos161

.

7.В. Даны вершины треугольника 2;0;3А , 3;0; 1В ,

2;3;1С . Определить внешний угол при вершине В.

Ответ: 13

cos574

.

8.В. Найти значения s и t, при котором векторы 5 4a si j k

и 10b i j tk коллинеарны.

Ответ: 1

, 82

s t .

9.В. Найти значение k, при котором векторы 7 8a ki j k и

10 5b i j k ортогональны.

Ответ: k=30.

10.В. Вектор x коллинеарен вектору 3 4 12a i j k , образует

острый угол с осью Оу. Зная, что 39x , найти его координаты.

Ответ: 9;12; 36 .

16

2. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

2.1. Определение векторного произведения

Векторы a , b и c называются компланарными, если они лежат

в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой

из них считается первым, какой – вторым, какой – третьим. Напри-

мер, в записи , ,a b c вектор a считается первым, b – вторым, c –

третьим; в записи , ,b c a вектор b – первый, c – второй, a – тре-

тий.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется

правой, если после приведения их к общему началу из конца третье-

го вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совер-

шающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка на-

зывается левой.

Определение. Векторным произведением вектора a на вектор

b называется вектор a b , который

определяется тремя условиями:

1) длина вектора a b равна

sina b , где – угол между век-

торами a и b , т.е. a b численно

равен площади параллелограмма,

построенного на векторах a и b ;

2) вектор a b перпендикуля-

рен каждому из векторов a и b ;

3) векторы a , b , a b образуют правую тройку векторов

(рис. 8).

2.2. Основные свойства векторного произведения

1. Если a и b – коллинеарные векторы, то 0a b 0a a .

S a

b

φ

900

900

a b

Р и с. 8

17

2. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов a и

b равна площади S параллелограмма, построенного на этих векто-

рах (рис. 8)

S a b .

Отсюда, площадь треугольника

1

2S a b .

3. a b b a (свойство антикоммутативности).

4. a b a b (свойство сочетательности по отношению к

скалярному множителю).

5. a b c a c b c (свойство распределительности отно-

сительно суммы векторов).

6. Момент силы: M r F , где r – радиус-вектор точки, F –

сила, приложенная к точке.

2.3. Выражение векторного произведения

через координаты векторов

Т е о р е м а. Если векторы a и b заданы своими координатами

1 1 1; ;a X Y Z , 2 2 2; ;b X Y Z , то векторное произведение вектора a

на вектор b определяется формулой

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1; ;a b Y Z Y Z Z X Z X X Y X Y .

Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно за-

писать в виде

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

; ;Y Z X Z X Y

a bY Z X Z X Y

,

или через символический определитель третьего порядка:

1 1 1 1 1 1

1 1 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2

i j kY Z X Z X Y

a b X Y Z i j kY Z X Z X Y

X Y Z

.

18


Пример 2.1. Даны 10a , 2b , 12a b . Вычислить a b .

Решение. Используя формулы cosab

a b и 2 2sin cos 1 ,

где – угол между векторами a и b , найдем sin 0 :

12 3cos

2 10 5,

23 4

sin 15 5

.

Тогда по определению векторного произведения имеем

4sin 10 2 16

5a b a b .

Ответ: 16a b .

Пример 2.2. Векторы a и b образуют угол 2

3. Зная, что

1a , 2b , вычислить:

1) 2

a b ; 2) 2

2 2a b a b .

Решение. 1) По определению векторного произведения: 22

2 21 2 sin 2 sin

3 3a b

2

2 sin3

2

32 3

2.

2) Используя свойства 1, 3 и определение векторного произведе-

ния, найдем

2 2 2 2 2 2a b a b a a a b b a b b

4 3a b a b a b ,

откуда 2

2 23 3 1 2 sin 27

3a b .

19

Ответ: 1) 3; 2) 27.

Пример 2.3. Даны точки 2; 1;2A , 1;2; 1B и 3;2;1C . Най-

ти координаты векторных произведений:

1) AB BC ; 2) 2BC CA CB .

Решение. Найдем координаты векторов AB , BC , CA , CB :

1 2; 2 1 ; 1 2 1;3; 3AB ;

2;0;2BC ; 1; 3;1CA ; 2;0; 2CB .

1) 3 3 1 3 1 3

1 3 30 2 2 2 2 0

2 0 2

i j k

AB BC i j k

6 4 6i j k ;

2) 2 2; 6;2CA ; 2 4;6;0BC CA ;

6 0 4 02 4 6 0

0 2 2 22 0 2

i j k

BC CA CB i j

4 612 8 12

2 0k i j k .

Ответ: 1) 6 4 6i j k ; 2) 12 8 12i j k .

Пример 2.4. Векторы a и b составляют угол 450. Найти пло-

щадь треугольника, построенного на векторах 2a b и 3 2a b , если

5a b .

Решение. Найдем векторное произведение вектора 2a b на век-

тор 3 2a b :

2 3 2 3 2 2 3 2 2a b a b a a a b b a b b 8a b .

Так как по условию задачи известны длины векторов a , b и

угол между ними, вычислим площадь треугольника, построенного на

этих векторах. Итак,

20

01 1 1sin 8 5 5 sin 45 50 2

2 2 2S a b a b .

Ответ: 50 2 .

Пример 2.5. Вычислить длины диагоналей и площадь параллело-

грамма, построенного на векторах a k j и b i j k .

Решение. Как видно из рис. 9

1 2d a b i k ,

2 2d b a i j .

Найдем длины диагоналей:

2 2

1 1 2 5d ,

2 2

2 1 2 5d .

Зная свойство 2 векторного произведения, найдем площадь па-

раллелограмма, построенного на векторах a и b :

2 2 20 1 1 2 2 1 1 6

1 1 1

i j k

S a b i j k .

Ответ: 6 , 1 2 5d d .

Пример 2.6. Сила 3;2; 4F приложена к точке 2; 1;1A .

Определить моменты этой силы относительно начала координат.

Решение. Момент силы F относительно точки O задается век-

тором OA F .

Найдем координаты вектора 2; 1;1OA . Тогда момент силы

F относительно точки O :

2 1 1 2 11 7

3 2 4

i j k

M OA F i j k .

Ответ: 2 11 7i j k .

a

b

1d 2d

Р и с. 9

21

Задания для самостоятельного решения

по теме «Векторное произведение»

Группа А

1А. Даны векторы 2;5;7a и 1;2;4b . Найти координаты

X , Y , Z векторного произведения a b .

Ответ: 6; 1; 1 .

2А. Определить и построить вектор a b , если: 1) 3a i ,

2b k ; 2) a i j , b i j ; 3) 2 3a i j , 3 2b j k . Найти в

каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах

a и b .

Ответ: a b равно: 1) 6 j ; 2) 2k ; 3) 6 4 6i j k . Площадь

равна: 1) 6; 2) 2; 3) 2 22 .

3А. Даны векторы 2; 3;1a , 3;1;2b и 1;2;3c . Вы-

числить a b c и a b c .

Ответ: 7;14; 7a b c ; 10;13;19a b c .

4А. Вычислить площадь треугольника с вершинами 7;3;4A ,

1;0;6B и 4;5; 2C .

Ответ: 24,5.

5А. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

2a m n и 2a m n , где m и n – единичные векторы, образую-

щие угол 030 .

Ответ: 1,5.

6А. Сила 2; 4;5F приложена к точке 4; 2;3M . Опреде-

лить момент этой силы относительно точки 3;2; 1A .

Ответ: 4;3;4 .

22


по теме «Векторное произведение»

Группа В

1В. Даны векторы 3; 1; 2a и 1;2; 1b . Найти координа-

ты векторных произведений: 1) a b ; 2) 2a b b ; 3) 2a b

2a b .

Ответ: 1) 5;1;7 ; 2) 10;2;14 ; 3) 20;4;28 .

2В. Построить треугольник с вершинами 1; 2;8A , 0;0;4B и

6;2;0C . Вычислить его площадь и высоту BD .

Ответ: 2 21

7 5;3

S BD .

3В. Вектор x , перпендикулярный к векторам 4; 2; 3a и

0;1;3b , образует с осью Oy тупой угол. Зная, что 26x , найти

его координаты.

Ответ: 6 24 8x i j k .

4В. Вычислить синус угла , образованного векторами

2; 2;1a и 2;3;6b .

Ответ: 5 17

sin21

.

5В. Построить параллелограмм на векторах 2a j k и

2b i k и вычислить его площадь и высоту.

Ответ: 21; 4,2S h .

6В. Сила 3;4; 2F приложена к точке 2; 1; 2C . Опреде-

лить величину и направляющие косинусы момента этой силы отно-

сительно начала координат.

Ответ: 15; 2 2 11

cos ; cos ; cos3 15 15

.

23

3. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ

3.1. Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Определение. Смешанным произведением трех векторов a , b ,

c называется число, равное скалярному произведению вектора a на

векторное произведение векторов b и c , т.е.

a b c .

Следующая теорема выражает геометрический смысл смешанно-

го произведения.

Т е о р е м а 3.1. Смешанное произведение a b c равно объе-

му V параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c , взятому

со знаком «+», если тройка a , b , c – правая, со знаком «–», если

тройка a , b , c – левая. Если же a , b , c компланарны, то

0a b c .

Следствие. Из теоремы выводится тождество

a b c a b c , (3.1)

т.е. знаки « » и « » в смешанном произведении можно менять мес-

тами.

В силу тождества (3.1) смешанные произведения a b c и

a b c можно обозначить более простым символом abc .

3.2. Выражение смешанного произведения

через координаты векторов

Т е о р е м а 3.2. Если векторы a , b , c заданы своими коорди-

натами:

1 1 1, ,a X Y Z , 2 2 2, ,b X Y Z , 3 3 3, ,c X Y Z ,

то смешанное произведение abc определяется формулой

1 1 1

2 2 2

3 3 3

X Y Z

abc X Y Z

X Y Z

. (3.2)

24


Пример 3.1. Найти смешанное произведение векторов

2; 1; 1a , 1;3; 1b , и 1;1;4c .

Решение. По формуле (3.2) находим

2 1 1

1 3 1 24 1 1 3 4 2 33

1 1 4

abc .

Ответ: 33.

Пример 3.2. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами

2;2;2A , 4;3;3B , 4;5;4C и 5;5;6D .

Решение. На рис. 10 схематично

изображена пирамида ABCD . Объем

пирамиды V равен 1

6 объема паралле-

лепипеда, построенного на векторах

AB , AC и AD ; отсюда из теоремы 3.1

заключаем, что V равен 1

6 абсолютной

величины смешанного произведения

AB AC AD . Найдем координаты век-

торов AB , AC и AD , совпадающих с

ребрами пирамиды:

2;1;1AB ; 2;3;2AC , 3;3;4AD .

По формуле (3.2) находим смешанное произведение векторов

AB , AC и AD :

AB AC

2 1 1

2 3 2 7

3 3 4

AD ,

итак, 1 7

76 6

V .

A

B

D

C

Р и с. 10

25

Ответ: 7

6V .

Пример 3.3. Показать, что векторы 3 2a i j k ,

2 3 4b i j k , 3 12 6c i j k компланарны, и разложить век-

тор c по векторам a и b .

Решение. Из теоремы 3.1 известно, что для компланарных векто-

ров смешанное произведение равно нулю. Найдем смешанное произ-

ведение векторов a , b , c по формуле (3.2):

1 3 2

2 3 4 18 48 36 18 36 48 0

3 12 6

abc .

Смешанное произведение 0abc , следовательно, векторы ком-

планарны.

Разложение вектора c по векторам a и b можно записать в сле-

дующем виде:

, ,c a b R .

Подставляя координаты векторов a , b , c в последнюю формулу и

записывая полученное векторное равенство в координатной форме,

получим следующую систему уравнений:

3;12;6 1;3;2 2; 3; 4 .

Решим ее относительно и :

2 3;4; 4; 5;

3 3 12;2 3; 4 2 3; 1.

2 4 6;

Тогда разложение вектора c по векторам a и b имеет вид:

5c a b .

Ответ: векторы компланары; 5c a b .

26


по теме «Смешанное произведение трех векторов»

Группа А

1А. Найти смешанное произведение векторов 1; 1;1a ,

1;1;1b и 2;3;4c .

Ответ: 4.

2А. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами 0;0;1A ,

2;3;5B , 6;2;3C и 3;7;2D .

Ответ: 20.

3А. Определить, какой является тройка a , b , c (правой или ле-

вой), если:

1) a k , b i , c j ; 2) a i , b k , c j ; 3) a i j ,

b i j , c j .

Ответ: 1) правая; 2) левая; 3) векторы компланарны.

4А. Векторы a , b , c , образующие правую тройку, взаимно пер-

пендикулярны. Зная, что 4a , 2b , 3c , вычислить a b c .

Ответ: 24.

5А. Построить векторы 4a i j k , 2b i j и

3 3 4c i j k , показать, что они компланарны, и разложить вектор

c по векторам a и b .

Ответ: векторы компланарны; 2c a b .

27


по теме «Смешанное произведение трех векторов»

Группа В

1В. Построить пирамиду с вершинами 2;0;0A , 0;3;0B ,

0;0;6C и 2;3;8D . Вычислить ее объем, площадь грани ABC и

высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

Ответ: 14V , 3 14S , 14h .

2В. Показать, что точки 2; 1; 2A , 1;2;1B , 2;3;0C и

5;0; 6D лежат в одной плоскости.

3В. Построить параллелепипед на векторах 3 4a i j ,

3b j k , 2 5c j k и вычислить его объем. Правой или левой

будет связка векторов a , b , c ?

Ответ: 51, левая.

4В. Вектор c перпендикулярен векторам a и b , угол между a и

b равен 300. Зная, что 6a , 3b , 3c , вычислить a b c .

Ответ: 27.

5В. Объем тетраэдра 5V , три его вершины находятся в точках

2;1; 1A , 3;0;1B , 2; 1;3C . Найти координаты четвертой вер-

шины D , если известно, что она лежит на оси Oy .

Ответ: 1 0;8;0D ;

2 0; 7;0D .

4. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА

ПО БАЗИСУ

4.1. Понятие о линейном пространстве

Рассмотрим некоторое множество L, составленное из элементов

x, y, z, …, которые мы условимся называть векторами.

28

Множество L называется линейным пространством, если вы-

полняются следующие три группы условий (аксиом).

1. Любым векторам x, y L сопоставлен вектор z L , называе-

мый суммой векторов x и y (обозначается z x y ); при этом имеют

место аксиомы сложения:

1) x y y x (коммутативность);

2) ( ) ( )x y z x y z (ассоциативность);

3) : , (L x x x L называется нулевым элемен-

том);

4) :x L y L x y (в этом случае y называется про-

тивоположным элементом по отношению к x).

2. Для любого x L и любого R определено произведение

x вектора на число, при этом выполняются следующие аксиомы

умножения на число:

1) 1 ( )x x x L ;

2) 1 2 1 2 1 2( ) , , ,x x x L R .

3. Относительно указанных действий имеют следующие аксио-

мы дистрибутивности:

1) 1 2 1 2( )x x x ;

2) ( ) .x y x y

4.2. Линейная независимость системы векторов

Рассмотрим линейную комбинацию векторов 1 2, , , :nx x x L

1 1 2 2

1

( ).n

n n i i i

i

x x x x R

Векторы 1 2, , , nx x x называются линейно независимыми, если ра-

венство

1

n

i i

i

x (4.1)

выполняется лишь при условии 1 2 0.n

Если равенство (4.1) выполняется, когда хотя бы один из коэффи-

циентов i отличен от нуля, то система векторов называется линей-

но зависимой.

29

Т е о р е м а 4.1. Если в систему векторов входит нулевой вектор,

то эта система векторов линейно зависима.

Т е о р е м а 4.2. Для того чтобы система векторов была линейно

зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векто-

ров являлся линейной комбинацией остальных.

4.3. Базис и размерность линейного пространства

Упорядоченная система п линейно независимых векторов

1 2, , , ne e e называется базисом в линейном пространстве L, если

любой вектор x L является их линейной комбинацией, т.е. Lx

справедливо представление вида

1 1 2 2 n nx e e e (4.2)

Числа 1 2, , , n в разложении (4.2) называются координата-

ми вектора х в базисе 1 2, , , ne e e . Записывают

1 2, , , nx .

Соотношение (4.2) – разложение вектора х по базису 1 2, , , ne e e .

Таким образом, при наличии базиса произвольное линейное

пространство может рассматриваться как п-мерное пространство nR .

Т е о р е м а 4.3. Координаты вектора в заданном базисе опреде-

ляются однозначно.

Размерностью линейного пространства L называется такое

число n N , что в L существует п линейно независимых векторов, а

любые п + 1 векторов являются линейно зависимыми.

Иными словами, размерность пространства – это максимальное

число линейно независимых векторов в этом пространстве.

Следующие теоремы связывают понятия базиса и размерности.

Т е о р е м а 4.4. В линейном пространстве L размерности п су-

ществует базис, содержащий ровно п векторов.

Т е о р е м а 4.5. Если в линейном пространстве L существует

базис, то размерность L равна числу базисных векторов.

4.4. Евклидово пространство

Линейное пространство, в котором определено скалярное произ-

ведение векторов, называется евклидовым пространством.

Величина

,x x x

30

называется модулем (длиной) вектора x в евклидовом пространстве.

Если 1x , то x называется нормированным (единичным).

Всякий ненулевой вектор x можно нормировать следующим об-

разом: x

x.

Углом между векторами x и y в евклидовом пространстве на-

зывают число , удовлетворяющее условию:

,cos

x y

x y.

Векторы x и y называются ортогональными тогда и только то-

гда, когда , 0x y .


Пример 4.1. Выяснить, является ли система векторов

3 4a i j k , 3 5 6b i j k и 2 2 10с i j k линейно зави-

симой.

Решение.

Векторное равенство

1; 3;4 3;5;6 2;2;10a b c

3 2 ; 3 5 2 ;4 6 10

равносильно совокупности следующих числовых равенств:

3 2 0,

3 5 2 0,

4 6 10 0.

Найдем главный определитель этой однородной системы урав-

нений относительно , , :

1 3 2

3 5 2 50 36 24 40 12 90 152 0

4 6 10

.

Поскольку главный определитель однородной системы не равен

нулю, то система имеет нулевое решение.

31

Следовательно 0 , а это означает, что система векто-

ров , ,a b c линейно независима.

Ответ: система векторов линейно независима.

Пример 4.2. В двумерном пространстве показать, что вектора

1 2;3a и 2 2;4a образуют базис, и найти координаты вектора

6;3b в этом базисе.

Решение. Проверим, что векторы 1 2;3a и

2 2;4a линейно не-

зависимы. Составим линейную комбинацию:

1 2 2;3 2;4 2 2 ;3 4a a = .

Вычислим главный определитель этой системы:

2 28 6 2 0

3 4.

Векторное равенство равносильно двум скалярным

2 2 0,

3 4 0.

Векторы 1 2,a a линейно независимы и, значит, образуют базис.

Найдем координаты вектора ;b в новом базисе 1 2,a a . Составим

векторное уравнение 2;3 2;4b 2 2 ;3 4

6;3 . Записывая его по координатам, получим систему уравнений

2 2 6,

3 4 3,

решая которую, находим 9, 6

Ответ: 1 29 6b a a .

Пример 4.3. Является ли линейным пространством множество

систем четырех действительных чисел 1 2; ;0;0 ,

1 2; ;0;0 ,

1 2; ;0;0 , где 1 2 1 2 1 2, , , , , – всевозможные действительные

числа? Сумма двух элементов определятся равенством

1 1 2 2; ;0;0 , а произведение любого элемента на любое число

– равенством 1 2 1 2; ;0;0 ; ;0;0 .

32

Решение. Обозначим 1 2; ;0;0x ,

1 2; ;0;0y ,

1 2; ;0;0z . Проверим выполнимость аксиом, определяющих ли-

нейное пространство.

1. 1 1 2 2; ;0;0x y ,

1 1 2 2; ;0;0y x

y x x y . Аналогично видно, что y z z y и z x x z .

2. 1 1 2 2; ;0;0x y и

1 1 2 2; ;0;0y z

1 1 1 2 2 2; ;0;0x y z ,

1 1 1 2 2 2; ;0;0x y z x y z x y z

3. Нуль элементом является 0;0;0;00 получим

1 2 1 20; 0;0;0 ; ;0;0+0x x .

4. Элемент 1 2; ;0;0 является противоположным элементу

1 2; ;0;0 , так как 1 2; ;0;0 +

1 2; ;0;0 = 0;0;0;0 0 .

5. 1 21 1 ;1 ;0;0x x .

6. 1 2 1 2; ;0;0 ; ;0;0x x .

7. 1 2; ;0;0x

1 1 2 2; ;0;0 1 2 1 2; ;0;0 ; ;0;0 x + x .

8. 1 1 2 2 1 2 1 2; ;0;0 ; ;0;0 ; ;0;0x y

= x y .

Все свойства линейного пространства для заданного множества

выполняются, следовательно, данное множество является линейным.

Ответ: множество систем четырех действительных чисел явля-

ется линейным пространством.

Пример 4.4. Векторы 1 2 3 4 5, , , ,e e e e e образуют ортонормирован-

ный базис. Найти скалярное произведение и длины векторов

1 2 52x e e e , 2 3 4 53 2y e e e e .

Решение. По определению скалярного произведения имеем 5

1

1; 2;0;0;1 0;3;1; 1;2i i

i

x y x y

1 0 2 3 0 1 0 1 1 2 4 .

Найдем длины векторов:

33

2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 1 4 0 0 1 6x x x x x x ,

0 9 1 1 4 15y .

Ответ: 4x y , 6x , 15y .

Пример 4.5. Рассматривается линейное пространство много-

членов не выше второй степени. Доказать, что векторы 2

1 1 2 3p t t , 2

2 2 3 4p t t и 2

3 3 5 7p t t линейно зависимы.

Решение.

Составим линейную комбинацию векторов и приравняем к мно-

гочлену второй степени, заданному в общем виде: 2 2 2 21 2 3 2 3 4 3 5 7t t t t t t a bt ct .

Сгруппируем коэффициенты при соответствующих степенях 0 2, ,t t t :

2 22 3 2 3 5 3 4 7t t a bt ct .

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях t :

2 3 ; 1 2 3

2 3 5 ; 2 3 5 21 24 30 27 20 28 0

3 4 73 4 7 ;

a

b

c

.

Следовательно, данные векторы линейно зависимы.

Пример 4.6. Найти нормированный вектор, соответствующий

вектору 3;0;4a .

Решение. Нормировка производится следующим образом:

0 ; ;yx z

aa aa

a a a. Найдем 2 2 2

x y za a a a 9 0 16 5 в

итоге получим нормированный вектор 0 3 4;0;

5 5a .

Ответ: 0 3 4;0;

5 5a .

34


«Линейное пространство. Разложение вектора по базису»

Группа А

1.А. Выяснить, будут ли следующие векторы линейно зависимы:

1) 1 2; 1;3a ,

2 1;4; 1a , 3 0; 9;5a ;

2) 1 1;2;0a ,

2 3; 1;1a , 3 0;1;1a .

Ответ: 1) да; 2) нет.

2.А. Доказать, что векторы 1 1;2e и

2 3;4e образуют ба-

зис. Найти координаты вектора 7;10x в этом базисе.

Ответ: 1 22x e e .

3.А. Установить, образует ли система векторов 2 3a i j k ,

3b i j k и 2 3с i j k базис, и если она образует базис,

разложить вектор 4m i k по базису a , b , c .

Ответ: система векторов образует базис, 9 12 26

2 5 7m a b c .

4.А. В евклидовом пространстве найти угол между следующими

парами векторов: 1) 1;1;1;1a , 3; 5;1;1b , 2) 4;0;2;0;4a ,

3;3;3;3;0b .

Ответ: 1) /2; 2) /3.

5.А. Проверить, ортогональны ли векторы 1;1;1;1x и

1;2;3; 3y .

6.А. Можно ли в пространстве многочленов не выше второй сте-

пени выбрать за базис 1) 27 3 2t t , 23 7 8t t и 21 t t . 2) 2 3t , 23 t t и 21 3t t .

Ответ: 1) нет; 2) да.

35

7.А. Показать, что матрицы 1

1 0

0 0e ,

2

0 2

0 0e ,

3

0 0

3 0e

и 4

0 0

0 4e образуют базис линейного пространства для множества

квадратных матриц второго порядка.

8.А. Является ли линейным пространством множество систем

четырех действительных чисел 1 2; ;1;1 ,

1 2; ;1;1 , 1 2; ;1;1 , где

1 2 1 2 1 2, , , , , – всевозможные действительные числа?

Ответ: нет, так как сумма двух элементов не будет принадле-

жать данному множеству.

9.А. Из линейного пространства исключен некоторый вектор x .

Может ли полученное множество оставаться линейным.

Ответ: нет, так как могут найтись векторы сумма которых рав-

на x .

10.А. Образует ли линейное пространство совокупность троек

целых чисел ; ; .

Ответ: нет, так как при умножении на нецелое число полу-

чим элемент, не принадлежащий множеству.

11.А. Может ли линейное пространство состоять: 1) из одного

вектора; 2) из двух различных векторов.

Ответ: 1) да, из нулевого вектора; 2) нет, поскольку векторы

x y , обратный вектор, нулевой и другие должны принадлежать

этому пространству.

12.А. Найти нормированный вектор AB , если А(3;6;–2;1) и

В(4;5;3;1).

Ответ: 0 1 1 5

; ; ;03 3 3 3 3 3

AB .

36


«Линейное пространство. Разложение вектора по базису»

Группа В

1.В. Даны векторы 1 2 3a e e e , 2 32 3b e e , 2 35c e e , где

1 2 3, ,e e e – базис линейного пространства. Доказать, что векторы

, ,a b c образуют базис. Найти координаты вектора 1 2 32d e e e в

базисе , ,a b c .

Ответ: 2 2d a b c .

2.В. Убедится, что следующие векторы линейно независимы:

1 1;2;1;0b , 2 0;1;0;1b ,

3 1;0;1;0b , 4 0;2;3;0b .

3.В. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника с

вершинами 5;4;4;4;2A , 5;2;8;4;6B , 4;5;9;7;2C .

Ответ: 6AB AC BC , / 3A B C .

4.В. Доказать, что векторы, лежащие на прямой, проходящей че-

рез начало координат, образуют линейное подпространство. Будут ли

векторы образовывать линейное пространство, если прямая не про-

ходит через начало координат?

Ответ: да.

5.В. Образуют ли линейное пространство множество всех мно-

гочленов не выше третьей степени.

Ответ: да.

6.В. Будет ли система векторов обычного трехмерного про-

странства линейно зависима:

1) 2 2i j k и 2 4 4i j k ; 2) 2 3 2i j k и 4 6i j k .

Ответ: 1) да; 2) нет.

7.В. Образует ли линейное пространство совокупность векторов

плоскости, концы которых лежат во второй четверти (векторы откла-

дываются от начала координат).

Ответ: нет.

37

Векторная алгебра

Тренировочный тест

№

п/п Задания Ответы

1 Определить длину вектора AB , если А(1;-2;3),

В(0;3;-4). А 65 Б 74 В 75

Г 123 Д 17

2 Среди векторов a (2;1;-1), b (6;3;-3), c (4;2;-2)

указать коллинеарные.

А a и b Б Нет

В b и c Г Все Д a и c

3 a =20, угол наклона вектора a к оси ОХ равен

/3, прОХ a =…

А 5 Б 10 В 15

Г 30 Д 17

4 Найти скалярное произведение векторов

a (4;-2;0), b (2;-2;1).

А 11 Б 12 В 7

Г (8;2;0) Д -7

5 Найти угол между векторами a и 2 b , если

a (-4;2;4), b (1;1;0,5).

А /6 Б 0 В /2

Г 3 /4 Д /4

6 Даны векторы a и b , ( a b )=60о, 3c a b .

Определить длину вектора c , если a =2, b =1.

А 10 Б 1.5 В 7

Г 0.5 2 Д 13 6 2

7 a (1;2;0), b (-1;0;3), a b …

А (6;3;-2) Б (-6;-3;2)

В (6;0;2) Г (-6;2;3)

Д (6;-3;2)

8 a =3, b =2, a b =2 /3, a b … А 1.5 Б 0.5 В 3 3

Г 0 Д 3

9 Найти объем параллелепипеда, построенного на

векторах 3a i j , 2b i k , 2c j k .

А 4 Б 8 В 7

Г 10 Д 12

10

Найти проекцию вектора c на направление век-

тора b , если 2b m n , 2c m n , m =1,

n =2, ( m n )=60о.

А 18

13 Б

10

15 В

5

23

Г 18

13 Д

9

13

11

Какие из заданных величин являются скалярны-

ми: 1) b d c , 2) a b d ,

3) 3a b c b .

А только 2

Б только 1 и 2

В ни одно Г все

Д только 3

12

Какие из заданных равенств являются верными

1) c d d c , 2) c d d c ,

3) b c d b c b d

А все

Б только 1 и 2

В ни одно

Г только 2 и 3

Д только 3

Ответы: В, Г, Б, Б, В, В, Д, В, А, Д, Б, А.

38

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в

упражнениях и задачах. Ч.1. М.: Оникс 21 век, Мир и Образование,

2007. 304 с.

2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.:

Наука, 2007. 200 с.

3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгеб-

ры. М.: Физматлит, 2008. 312 с.

4. Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика -2 для студентов вузов.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Самара: изд-во Сам-

ГТУ, 2000. 92 с.

http://www.ozon.ru/context/detail/id/858481/

http://www.ozon.ru/context/detail/id/858958/

http://www.biblion.ru/author/82047/

39

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное

произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Основные сведения о векторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Основные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Условие коллинеарности векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Задания для самостоятельного решения (группа А) . . . . . . . . . 1

2

Задания для самостоятельного решения (группа В) . . . . . . . . . 1

4

2. Векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

6

2.1. Определение векторного произведения . . . . . . . . . . . . . . . 1

6

2.2. Основные свойства векторного произведения. . . . . . . . . . 1

6

2.3. Выражение векторного произведения через координаты 1

7


8


1


2

3. Смешанное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3

3.1. Определение и геометрический смысл смешанного про-

изведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3

3.2. Выражение смешанного произведения через координаты 2

3


4


6


7

4. Линейное пространство. Разложение вектора по базису. . . . 2

7

4.1. Понятие о линейном пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

40

7

4.2. Линейная независимость системы векторов . . . . . . . . . . . . 2

8

4.3. Базис и размерность линейного пространства . . . . . . . . . . 2

9

4.4. Евклидово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

9


0


4


6

Тренировочный тест . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

7

Список рекомендуемой литературы 3

7

Векторная алгебра

Составители: БАШКИНОВА Елена Викторовна

АФАНАСЬЕВА Ольга Сергеевна

Печатается в авторской редакции

Подп. в печать 15.07.08 Формат 60х841/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Усл. п. л. 2,32.

Уч. изд. л. 2,28. Тираж 150 экз. Рег. №240. Заказ № 472 _______________________________________________________________________

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Самарский государственный технический университет»

443100. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус.

Отпечатано в типографии

Самарского государственного технического университета 443100 г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корпус № 8

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА -...

Documents