Содержание:

I. Введение......................................................................................................................................4

II. Введение в теорию математических бильярдов......................................................................5

1) Основные определения.............................................................................................5

2) Некоторые простейшие примеры использования математического бильярда....6

3) Метод выпрямления в прямоугольнике..................................................................9

4) Обобщение бильярда в пространственный образ.................................................10

5) Плотность и всюду плотность непериодических траекторий.............................12

III. Траектория бильярдного шара в круге...................................................................................13

6) Периодические и непериодические траектории в круге......................................13

7) Теорема Якоби. Применение к теории чисел.......................................................15

8) Теорема Пуанкаре о возвращении. Некоторые механические приложения

теорема Пуанкаре....................................................................................................19

IV. Бильярд в эллипсе.....................................................................................................................25

9) Некоторые свойства эллипса, гиперболы и параболы.........................................25

10) Бильярдные свойства эллипса................................................................................25

11) Понятие каустической кривой................................................................................31

12) Некоторые задачи, решаемые с помощью бильярда в эллипсе..........................32

13) Общий принцип экстремальности бильярдной траектории и его следствия....35

14) Периодические бильярды выпуклой области.......................................................38

15) Периодический бильярд в остроугольном треугольнике....................................39

16) Периодический бильярд в тупоугольном треугольнике......................................40

V. Геометрия прямоугольного бильярда. Периодические траектории в прямоугольнике....42

17) Обмотки тора и бильярд в прямоугольнике..........................................................44

18) Всюду плотность траектории обмотки. Понятие обмотки тора.........................45

19) Бильярд в прямоугольнике и обмотке тора...........................................................46

20) Число π и бильярд................................................................................................49

VI. Список литературы...................................................................................................................51

1A

2A 3A

4A

Р

1P

2P3P

4P

5P

6P

7P

8P

M

N

рис.1

: Лекциипо спецкурсу Введение в теорию математических бильярдов

Основные определения

В этом параграфе приводятся основные понятия, используемые в дальнейшем.Определение 1. Математическим бильярдом называется механическая система,

представляющая собой движение точки (точечного шара) в некоторой области Q, ограниченной границей Г. Траектория точки в области Q определяется начальным

положением точки q (q∈Q ) и начальным вектором её скорости v. При этом предполагается, что движение точки в области происходит без трения, то есть величина скорости остается всегда постоянной, может меняться лишь ее направление. Значит, вектор скорости v можно считать единичным вектором, то есть вектором длины 1. Направление движения точки прямолинейно и меняется только при ударе о границу Г области Q. Изменение направления происходит по закону абсолютно упругого отражения: после удара шара (точки) о границу Г в точке Р шар движется так, что его «угол падения равен углу отражения». Если граница Г в окрестности точки Р криволинейная, то углами падения и отражения являются углы, составленные «падающим» и «отраженным» отрезками траектории с касательной MN к кривой Г, проведенной в точке Р4 (рис.1).

Итак, траекторией бильярда является вписанная в кривую Г ломанная, которая может быть однозначно построена по своему начальному звену. Другими словами, траектория это ломанная однозначно определяемая начальными условиями (q, v), где q - начальное положение, а v – скорость.

Кривая Г, являющаяся границей бильярдной области Q, может иметь точки излома – типа

точек на рис.1. Касательная в этой точке не определена. Поэтому бильярдную траекторию, попадающую в такую

точку, мы будем считать оканчивающейся в ней и в дальнейшем будем называть особой траекторией. Основной интерес будут представлять не особые траектории.

Общая математическая проблема бильярда заключается в том, что бы описать возможные типы бильярдных траекторий в данной области Q. Первый и простейший принцип такого описания – разделение траекторий на периодические, или замкнутые, и остальные – непериодические. На рис.2 изображены некоторые периодические траектории бильярдов в прямоугольнике, в правильном треугольнике и в круге.

Определение 2. Траектория с начальным условием (q, v) будет периодической (или замкнутой), если через некоторое время (через период) точка возвращается в свое начальное положение q c первоначальной скоростью v.

2

vq

рис.2

Некоторые простейшие примеры использования математического бильярда

Задача 1 (на переливание). Имеются два сосуда вместимостью 7 и 11 литров и большая бочка, наполненная водой. Как с помощью этих двух сосудов отмерить ровно 2 литра воды?

Решение: Такие головоломки на переливание жидкостей можно легко решить, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от границу ромбической области. В рассматриваемой задаче стороны области должны иметь длины 7 и 11 единиц (рис.3). По горизонтали отложено количество воды в любой момент времени для 11-литрового сосуда, а по вертикали – та же величина для 7-литрового сосуда.

3

7A 17A 1A 11A 5A 15A

14A

4A

10A

0A16A6A12A2A8A

9A

3A

13A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 117

6

5

4

3

2

1

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

7

6

5

4

3

2

1

0

рис.3

Представим себе, что шар находится в левой нижней вершине в точке 0. Он будет перемещаться вдоль нижнего основания ромба до тех пор, пока не достигнет правой

боковой стороны в точке A0

. Это означает, что 11-литровый сосуд наполнен до краев, а 7-литровый пуст. Отразившись упруго от правого борта, шар покатиться вверх и влево и

ударится о верхний борт в точке A1

. Это означает, что в 11-литровом сосуде осталось всего 4 литра воды, а 7 литров из него перелили в меньший сосуд.

A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17

7л. 0 7 0 4 4 7 0 7 0 1 1 7 0 5 5 7 0 7

11л. 11 4 4 0 11 8 8 1 1 0 11 5 5 0 11 9 9 2

Таблица №1

Прослеживая дальнейший путь шара и записывая все этапы его движения (Таблица №1) до тех пор, пока он не попадает в точку 2 верхнего борта, вы получите ответ и узнаете, в какой последовательности необходимо производить переливания, чтобы отмерить 2 литра воды.

Задача 2 (на переливание). Дан 8-литровый сосуд, наполненный водой до самых краёв. С помощью двух пустых сосудов объёмом 3 и 5 литров воду надо поровну разлить в два больших сосуда.

4

0 1 2 3 4 5

0

1

2

1 2 3 4 50

1

2

33

7 6

54 3

2 1

0

8

рис.4

Решение: Диаграмма для этой задачи – ромб размером 3 на 5 – изображена на рис.4. Главная диагональ ромба, поделенная наклонными прямыми на 8 частей, относиться к 8-литровому сосуду. Как и в предыдущей задаче, бильярдный шар начинает своё движение из точки О. В итоге мы получим решение с числом переливаний, равным 7 (Таблица №2).

3 л. 0 3 0 2 2 3 05 л. 5 2 2 0 5 4 48 л. 3 3 6 6 1 1 4

Таблица №2

Если объёмы двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т.е. взаимно просты), а объём третьего сосуда больше или равен сумме объёмов двух меньших, то с помощью этих трёх сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объёмом среднего сосуда.

рис.5

Когда объём большего сосуда меньше суммы объёмов двух других, возникают новые ограничения. Если, например, объёмы сосудов равны 7, 9 и 12 литрам, то у ромба надо отсечь верхний правый угол (рис.5). Тогда шар сможет попасть в любую точку от 1 до 9, за исключением точки 6. Несмотря на то, что 7 и 9 взаимно просты, отмерить 6 литров воды оказывается невозможным из-за того, что самый большой сосуд имеет слишком маленький объём.

5

Задачи для самостоятельного решения:Задача 1 . Имеются бидоны объёмом 3 и 5 литров, с помощью этих сосудов

отмерить 4 литра воды.Задача 2 . Имеется 10-литровое ведро, доверху заполненное водой, и два пустых

бидона объёмом 3 и 5 литров. Требуется часть воды (целое число литров) вылить, а оставшуюся воду разделить на три равные части.

Метод выпрямления в прямоугольнике

Рассмотрим другой тип элементарных геометрических задач, относящихся к бильярдам. В них либо требуется найти замкнутую траекторию бильярдного шара в данном многоугольнике, либо найти путь бильярдного шара, попадающего через заданное число ударов из одной фиксированной точки внутри многоугольника в другую.

Для решения таких задач существует очень удобный и важный метод «зеркального отражения», или «выпрямления» бильярдной траектории, принадлежащий немецкому математику Г.А.Шварцу. Этот метод является основным техническим приёмом при решении бильярдных задач в многоугольных областях Q.

Метод выпрямления: Построим на плоскости сетку прямоугольников, полученных симметричными отражениями относительно соответствующих сторон. В каждом из этих прямоугольников отметим образы точек А и В при этих отображениях. Метод выпрямления позволяет находить траектории в прямоугольном бильярде по заданными начальным и конечным точкам, при этом среди траекторий можно выбрать траектории с заданным количеством ударов о стенки, решая задачу о кратчайшей траектории.

А

В

С2

3С

С

D

D Е

ВВ

1

2

11

В

рис.6

Задача 1. Пусть на прямоугольнике находится один шар; под каким углом его следует направить из точки А, чтобы он после заданного числа отражений от бортов попал в точку В?

Решение: Для решения отразим прямоугольник (исходный бильярд) симметрично относительно всех его сторон; все полученные таким образом прямоугольники вновь отразим относительно всех их сторон, и так далее до бесконечности (на рис.6 показаны также образы точки В при этих симметриях). В результате всех сделанных отражений

6

траектория шарика «распрямляется» (например, на рис.6 траектория

последовательно переходит в , , ).Если полученная «выпрямленная траектория» проходит через образ точки В в

одном из прямоугольников, то, очевидно, что траектория шара в исходном прямоугольнике пройдёт через В. Поэтому, для того чтобы пустить шар их точки А так, чтобы он после заданного числа отражений о стенки прямоугольного бильярда попал в точку В, нужно провести такой отрезок с началом в точке А и концом в одном из образов точки В, чтобы он пересёк это же самое число раз линии сетки «клетчатой плоскости». Проделав обратную процедуру «свёртывания» проведенного отрезка, преобразим его в искомую траекторию в исходном бильярде (рис.6).

Задача 2. Найти кратчайший путь по которому должна ползти пчела внутри равностороннего треугольника из точки А в точку В, при этом она должна побывать на каждой из сторон треугольника, т.к. там находятся сахар, варенье и мёд.

Решение: Поскольку одинаковыми равносторонними треугольниками можно без щелей и перекрытий замостить всю плоскость, и здесь применима процедура «выпрямления бильярдной траектории».

Нам нужно найти кратчайший путь, по которому должна ползти пчела из точки А в точку В внутри равностороннего треугольника, чтобы сначала насладиться медом на одной стороне треугольника, потом сахаром – на другой стороне, и, наконец, вареньем – на третьей. (Предполагается, что каждая сторона полностью вымазана соответствующим сладким веществом.)

А

ВВ

ВВ

1

23

1 - варенье 2 - сахар 3 - мёд

рис.7

Ответ приведён на рис.7. Нетрудно видеть, что любой другой путь, ведущий требуемым образом от А к В, после зеркальных отражений превращается в путь из точки А в точку , длина которого больше длины отрезка , и поэтому не является кратчайшим.

Обобщение бильярда в пространственный образ

Задача 1. Найти замкнутую бильярдную траекторию в кубе.

7

рис.8

рис.9

Решение: Как и раньше, бильярдный шар считается идеальной упругой невесомой частицей, отражающейся от стенок по закону упругого отражения.

Применим к кубу то же метод «выпрямления траектории», что и для квадрата. Произведя 5 отражений от граней куба мы получим искомую замкнутую траекторию, изображенную на рис. 8 и представляющую собой одну из четырёх возможных траекторий, каждая из которых является решением задачи. Если «свернуть» кубы, проделав обратные отражения, получим замкнутую бильярдную траекторию из 6 звеньев равной длины в исходном кубе. Представим себе куб размером , состоящим из 27 маленьких кубиков с ребром 1/3 каждый, несложно понять, что каждое звено этой

траектории является диагональю такого куба (рис.8), так что его длина равна

, а длина траектории составляет .

Если эту бильярдную траекторию спроектировать на любую грань куба, то в

проекции получиться прямоугольник размером , а если её спроектировать на три плоскости, параллельные трём диагоналям, то получаются ромбы; ещё в одной проекции получается правильный шестиугольник.

8

Задача 2. Найти замкнутую бильярдную траекторию в тетраэдре.

Решение: Поступим точно также, как и в случае куба: отразив тетраэдр симметрично относительно трёх его граней (рис 9), мы получим замкнутую траекторию из четырёх звеньев, которая по одному разу касается каждой грани. Сложнее решается задача о замкнутой бильярдной траектории, которая имеет все звенья равной длины. Одна такая траектория изображена на рис 9, а всего их существует три, причём совершенно одинаковой формы. Каждая из них имеет точки излома на гранях тетраэдра в одной из вершин маленького равностороннего треугольника, расположенного в центре грани. Стороны этого маленького треугольника равны 1/10 ребра исходного тетраэдра, а каждое

звено траектории имеет длину , так что весь путь бильярдного шара

внутри тетраэдра составляет в этом случае .Метод зеркальных отражений, который мы продемонстрировали на примерах 3 - 6,

даёт возможность не только строить разнообразные периодические бильярдные траектории в «хороших» многоугольниках (или многогранниках), но и отыскать критерий периодичности траекторий в таких областях, как прямоугольник или правильный треугольник. Скажем, для бильярда в квадрате неособая траектория, направленная под углом к стороне квадрата, окажется периодической в том и только в том случае, когда

число является рациональным, т.е. представимо в виде обыкновенной дроби m/n (m – целое, n – натуральное).

Плотность и всюду плотность непериодических траекторий

На примере прямоугольников, квадратов и треугольников, используя метод выпрямления, мы можем всегда построить периодические траектории, причём эти траектории могут иметь заданное число звеньев. Теперь мы рассмотрим случай, когда траектория не будет периодической.

Определение 1. Бильярдная траектория в области G является плотной в Q, где Q некоторая область из G, если для любой точки q из Q и для любой окрестности этой точки q бильярдная траектория пересекает эту окрестность. Бильярдная траектория будет всюду плотной, если она плотна на всей области G.

Из определения становиться понятно, что если траектория будет периодической, то она не будет плотной в некоторой заданной области

На рис. 10 показан процесс постепенного распределения траекторий по своим областям. Если бильярдная траектория всюду плотна в области Q, т.е. бильярдный шар рано или поздно обязательно попадает в любую заданную фигуру Ф, лежащую в Q, то мы можем вычислить долю времени за фиксированный промежуток времени Т (т.е.

вычисляем отношение , где t – время, в течение которого за промежуток Т шар

побывал в области Ф), а затем устремляем Т к бесконечности и берём предел .Определение 2. Если указанная доля времени, которую проводит шарик в фигуре

Ф, пропорциональна площади фигуры Ф, и это верно для «типичной» траектории, то говорят, что данная бильярдная система эргодична.

9

рис.10

Траектория в эргодической системе заполняет область всюду плотно и равномерно. Тогда можно заметить, что свойство эргодичности сильнее свойства всюду плотности, поскольку подразумевает его выполнение; таким образом, из эргодичности системы следует всюду плотность типичной траектории, но не наоборот, хотя очень часто оказывается, что если какая-то траектория всюду плотна, то и вся система эргодична.

Траектория бильярдногошара в круге

Периодические и непериодические траектории в круге

Рассмотрим шар в круге Q, ограниченном окружностью Г. Его траекториями

являются вписанные в Г ломанные , обладающие свойством равенства в точках

углов падения и отражения, отсчитываемых от касательных или от радиусов

(рис 11). Отметим, что из этого свойства следует:

Звенья траектории равны между собой

,Опирающиеся на них центральные углы равны

.

Доказательство: Действительно, для любого k=1,2,3,… равны треугольники

, как равнобедренные с равными углами при основаниях (рис. 11), откуда и вытекают указанные равенства хорд и центральных углов.

Расстояние от центра круга до любого звена траектории является постоянной.Любая бильярдная траектория в круге расположена целиком в некотором кольце.

10

O

Pk

M N

O

Pk+1Pk-1

Р0

Р1

Р2

Р3

К1

К2

К3

рис.11

Доказательство: Нетрудно видеть, что середины всех звеньев траектории удалены от центра круга на одинаковое расстояние и, таким образом, они являются касательными к одной и той же окружности с тем же центром О. Следовательно, вся бильярдная траектория расположена круговом кольце (рис. 11). Это позволяет очень просто строить все звенья бильярдной траектории по какому-то одному из них – для этого достаточно провести концентрическую с исходной окружностью радиуса ОК, где К – середина данного звена, затем из концов этого звена провести касательные к окружности

до пересечения с внешней окружностью Г, затем из концов построенных хорд – опять касательные к окружности до пересечения с Г, и так деле – это и будут звенья искомой бильярдной траектории

Замечание. Любая бильярдная траектория в круге никогда не заходит внутрь некоторого концентрического круга, границы которого касаются все её звенья.

Следствие. Бильярд в круге не эргодичен.

Доказательство: Траектория в эргодической системе заполняет область всюду плотно и равномерно, но, в силу предыдущего замечания, любая бильярдная траектория в круге никогда не заходит внутрь некоторого концентрического круга, границы которого касаются все её звенья, значит траектория не всюду плотна, следовательно бильярд в круге не эргодичен.

Теорема. Обозначим через радианную меру углов ... Каждая

вершина траектории ...получается из предыдущей вершины

поворотом на угол относительно центра О окружности Г,

откуда следует, что вершина получается из начальной вершины поворотом на угол . Тогда :

a. если число соизмеримо с , т.е. дробь является

рациональным числом (равным некоторой дроби ), то бильярдная траектория периодична;

11

0P

1P

2P

3P4P

O

Г

0P1P

2P

3P

4P

5

1

2n

5

2

2nрис.12

b. если и несоизмеримы, т.е. число иррационально, то

отвечающая углу траектория не периодична.

Доказательство: (а) Если соизмеримо с , то его можно представить в виде

, где m и n – целые числа. Тогда , и поэтому при повороте на угол каждая точка окружности Г переходит в себя. В частности, все вершины рассматриваемой

бильярдной траектории …обладают тем свойством, что

…,т.е. вершины, начиная с n-й, повторяются. Это и означает, что бильярдная траектория периодична, и следовательно, утверждение доказано.

Если - несократимая дробь, то отвечающая периодическая траектория –

это траектория , где n – знаменатель указанной дроби, и состоит ровно из n звеньев. При m=1 это будет правильный n-угольник, вписанный в окружность Г (рис.12), а при бильярдная траектория представляет собой правильную самопересекающуюся замкнутую (звёздчатую) ломаную, вписанную в Г (рис.12).

Иными словами, бильярдный шар после n отражений от борта Г оказывается в

исходной точке , сделав m оборотов вокруг центра О (т.е. повернувшись вокруг центра

на угол ).(b) Предположим, что бильярдная траектория и в этом случае периодична.

Докажем тогда, что и соизмеримы. Из периодичности траектории вытекает, что, начиная с некоторого номера n,

вершины траектории повторяются: и т.д. Но это означает, что при

повороте на радиан точка переходит сама в себя; следовательно, есть целое

кратное полного угла: . Отсюда - рациональное число. Получили противоречие.

12

Задачи для самостоятельного решения:Задача 1 . Бильярдный шар находиться в круге радиуса R=1 на расстоянии l от его

центра. Установите условие периодичности траектории, если шарик выпущен под углом ϕ к диаметру, на котором он находиться.

Задача 2. Исследуйте траекторию бильярда а) в полукруге; б) в четвертькруге. Указание . Сведите эти бильярды к бильярду в круге.

Задача 3. Докажите, что никакая непериодическая бильярдная траектория не содержит двух параллельных звеньев.

Теорема Якоби. Применение к теории чисел

Теорема 1 (Якоби). Пусть - несоизмеримое с число, - бесконечная последовательность точек окружности Г такая, что

каждая следующая точка последовательности получается из

предыдущей точки поворотом около центра на радиан. Тогда для

любой дуги окружности Г хотя бы одна точка последовательности

лежит на этой дуге.

Доказательство: Пусть - произвольная дуга на окружности Г, - её радиальная

мера. Выберем такое натуральное число N, что . Разобьём окружность Г на N

равных по длине дуг ; радианная мера каждой из них равна и меньше .

Рассмотрим теперь N+1 первых точек последовательности , т.е. точки

. Тогда, хотя бы на одной из N дуг лежит, по крайней мере, две из этих точек;

допустим, точки и лежат на дуге (считаем ). Пусть длина дуги (в

радианах) равна , тогда .

Рассмотрим далее точки последовательности с номерами n, m=n+l, n+2l, n+3l,

…, т.е. точки каждая из которых получается из предыдущей поворотом на

угол ℓα - точно так же, как точка получается из точки . Таким образом, соседние

точки выделенной последовательности отстоят друг от друга на дугу радианной меры .

Так как , то хотя бы одна из точек обязана попасть на дугу . Тем самым теорема доказана.

Теорема 2. Дробные части чисел , когда k пробегает все целые значения

от до , либо образуют конечное множество точек на

полуинтервале , либо всюду плотное множество точек на этом интервале. Первый случай реализуется при рациональном, а второй – при иррациональном числе а (число b при этом может быть произвольным).

13

a

b+a

b+2a

b+3a

b+4a 0b

b-a

b-2a

b-3a

b+5a

b+6a

b b+a b+2a b+3a

b-a

b-2ab-3a

1S

рис.13

Доказательство: Искривим полуинтервал , на котором расположены дробные

части , так, чтобы его концы совпали, и склеив их, получим окружность единичной

длины (рис. 13). Затем сделаем второй шаг: намотаем всю числовую ось ℜ на

полученную окружность так, чтобы точка b оси ℜ совпала со склеенными точками 0 и 1 окружности.

Тогда все точки ak+b отпечатаются на окружности ; «выпрямив» эту окружность

в исходный полуинтервал , мы получим на нем все дробные части чисел .

Однако на окружности отпечатки всех точек получаются из отпечатка точки поворотом на углы ka радиан, где k=…,-2,-1,0,1,2,…. Поэтому, если число а рационально,

то отпечатков на будет конечное число; если же а иррационально, то их будет бесконечно много и располагаться они будут, по теореме Якоби, всюду плотно, а это и требовалось доказать.

Замечание 1. Решение задачи о дробных долях степеней >1 так же использует Теорему Якоби и математический бильярд.

Определение. Произвольная бесконечная последовательность точек на

единичной окружности (или на отрезке ) называется равномерно распределённой

на (на ), если для любой её дуги (интервала) «доля» попавших на неё точек

равна длине этой дуги (интервала) ℓ (Δ) .Теорема 3 (о равномерном распределении точек на окружности). Последовательность

точек , на окружности , полученных каждая из

14

предыдущей поворотом на иррациональный (несоизмеримый с ) угол

, равномерно распределена на .

Замечание 2. В теореме Якоби говориться только о плотности последовательности

на окружности, следовательно, теорема (о равномерном распределении точек на окружности) является обобщением теоремы Якоби, т.к. из неё следует результат теорема Якоби.

Теорема 4 (Вейля). Если среди коэффициентовa1 ,. . ., an∈ℜ

многочлена

хотя бы одно иррациональное число, то

последовательность дробных долей равномерно распределена на

полуинтервале .

Теорема 5 (критерий Вейля). Для того чтобы последовательность

была равномерно распределена на отрезке , необходимо и достаточно, чтобы для любой интегрируемой (по Риману)

функции выполнялось соотношение: «среднее временное равно среднему пространственному», т.е.

Задача. Рассмотрим последовательные степени двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,…. И выпишем подряд первые цифры полученных чисел:

1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4,…1) Встретиться ли в этой последовательности цифра 7?2) Какая цифра встречается в последовательности чаще: 7 или 8? Во сколько

раз?3) Вообще, с любого ли набора цифр может начинаться степень двойки? С

какой частотой появляется заданный набор цифр ?

Решение: Начнём решать задачу «с конца», т.е. ответим сначала на вопрос 3), который обобщает вопросы 1) и 2).

3) Пусть - r-значное число. Если начинается с набора А, то , а так как выполняется:

Логарифмируя по основанию 10, получаем:

15

0P1P

2P0

lg 2

k-1

1lg 1

A

1lg 1

A

k 0

1S

рис.14

Отметим на числовой оси все промежутки между числами k и , т.е.

окружим все целые точки k числовой оси полуинтервалами одинаковой длины .Возьмём теперь бильярд в круге, длина окружности которого равна 1 (т.е. радиус

бильярдного круга равен ), и, как при доказательстве теоремы 2, намотаем

числовую ось на границу этого бильярда – окружность (рис. 14). Тогда все целые точки

0, 1, 2,…, k,… сольются в одну точку на окружности, а все промежутки

- в одну дугу (с концом 0, который ей принадлежит) длины .

Обозначим точку на окружности, в которую попадает при этой намотке число .

А теперь задача сводиться к моделированию первых цифр последовательности

следующим движением бильярдного шара в круге: запускаем шар из точки а точку

на окружности такую, что ¿ P1 P2=lg 2 , и рассматриваем всю последовательность

точек отражения шарика от границы; те n, для которых точки принадлежат дуге ,

являются искомыми показателями двойки – для них числа начинаются с набора

.

Но число - иррациональное*, поэтому последовательность точек , получающихся друг из друга поворотом на угол , по теореме Якоби заполняет окружность всюду плотно. Следовательно, степень двойки может начинаться с

произвольного набора цифр . Более того, поскольку последовательность точек

равномерно распределена на окружности, доля тех чисел n, для которых

* Если , где m и n – целые числа, то , и тогда , чего быть не может , так как

не может оканчиваться нулём

16

начинается с набора А, в пределе равна длине интервала , т.е. равна . Это и

есть частота появления набора в качестве первых цифр чисел .Теперь можно легко ответить на вопросы 1) и 2). Цифра 7 в последовательности

первых цифр чисел обязательно встретиться. Встречается она с частотой, равной

. Цифра 8 в этой последовательности встречается с частотой

. Так как , то (как это ни странно на первый взгляд – особенно после рассмотрения начала последовательности, указанной в условии задачи),

семерки встречаются чаще восьмерок, причём в раз. А то, что вначале восьмёрки всё же встречаются чаще семёрок, связано с тем, что: иррациональное число

примерно равно рациональному числу . Действительно, сделав на окружности 10

прыжков длины , мы сдвинемся на дугу , т.е окажемся примерно в начальной точке. Среди первых 10 степеней двойки нет ни одной, начинающейся с 7 (это экспериментальный факт), а начинающийся с 8 есть, поэтому и среди следующих 10 степеней двойки опять нет ни одной, начинающейся с 7(а с 8 есть) и т.д.; это будет

происходить до тех пор, пока не станет уже существенно отличаться от целого числа – тогда и появиться 7.

В заключение отметим, что числа и т.д. (пропускают, степени основания которых кратны 10) так же чаще начинается с 7, чем с 8,

причём, как и для , чаще в раз. Это объясняется равномерностью распределения точек на окружности длины 1 при отображении бильярдного шара с

углами поворота , являющимися иррациональными числами.

Задачи для самостоятельного решения:Задача 1. Промоделируйте с помощью бильярда в круге все степени числа 3,

начиная с набора цифр 2006.

Задача 2. Докажите, что если число p≠10k, то среди чисел p,p2 , .. . ,pn , .. .найдутся

такие, десятичная запись которых начинается с любого наперёд заданного набора цифр. С какой цифры чаще начинаются с 7 или с 8? И во сколько раз?

Задача 3. Существует ли такое число n∈Ν , такое что выполняется sin n<10-100?

Ответ: Да.

Теорема Пуанкаре о возвращении. Некоторые механические приложения теорема Пуанкаре

В этой теореме фигурирует окружность и преобразование Т – поворот

окружности на угол . Далее рассматривается произвольная точка х на и её образы при поворотах на углы , 2 , 3 ,… - точки

и т.д.(они в формулировке теоремы Якоби

обозначались ). Окружность будем считать расположенной на плоскости, а её

17

D D

x

xy

рис.15

поворот представлять себе как преобразование (поворот) всей плоскости, не меняющее

площадей фигур, при котором окружность переходит в себя: . Если плоскость – двумерное пространство – его можно заменить на пространство любого числа измерений (трёхмерное, четырёхмерное,….), окружность – на произвольную ограниченную область† D в этом пространстве, а преобразование Т считать взаимно однозначным, сохраняющим объёмы и при этом приводящим область D в себя, то указанное следствие из теоремы Якоби сразу же обобщается, а её доказательство упрощается.

Теорема (Пуанкаре о возвращении). Пусть Т – сохраняющие объёмы взаимно однозначное преобразование пространства, переводящее ограниченную область D пространства в себя: Т(D)=D. 1) Тогда в любой сколь угодно малой окрестности U внутри D найдётся точка х, которая после нескольких применений к ней преобразования Т снова возвращается в

область U: точка принадлежит области U при некотором n>0 (рис.). 2)Более того, почти все точки области U возвращаются снова в U – объём невозвращающихся в U точек равен нулю‡.

Доказательство: Рассмотрим области . Их бесконечно много, все они имеют одинаковый ненулевой (по условию) объём и все содержится внутри D.

1) Если бы никакие две из них не пересекались, то суммарный объем равнялся бы бесконечности, и тогда область D не имела бы конечного объёма. Однако область D

ограничена, и поэтому какие-то две (по крайней мере) области и пресекаются, т.е. имеют общие точки. Но тогда пересекаются и области T−l (T k (U ) )=T k−l (U ) и T

−l (T k (U ) )=T0 (U )=U (рис. 15). Пусть у – произвольная точка

пресечения областей Tn (U ) и U, где n=k – l. Так как каждая точка области T

n (U ) получается из некоторой точки области U в результате действия преобразования T

n (по

определению записи Tn (U ) ), то и точка у, лежащая в T

n (U ) , получается из некоторой

† Областью в пространстве называется такая его часть, которая вместе с каждой точкой содержит целиком и некоторый шарик с центром в ней.‡ Мы предполагаем, что множество невозвращающихся точек имеет объём.

18

00

x=(x1, x2)x1

x2R1 R2

x1

x2

x3x3

x2

x1

x

R1R3

рис.16

точки х области U таким же способом: y=T n ( x ) .Но точка у одновременно лежит и в области U.

2)Пусть V – множество невозвращающихся в U точек. Тогда множества V,

T (V ) , T2 (V ) , T3 (V ) , …попарно не пересекаются. Действительно, если Tk (V ) и T

l (V ) пересекаются, то множество T

k−l (V ) пересекается с V, а значит, некоторые точки из V вернулись снова в V, а тем самым и в область U – противоречие. Поскольку полученных множеств бесконечно много и все они имеют одинаковый объём v, то, в силу ограниченности объёма области D, число v не может быть отличным от нуля. Значит, объём множества V равен 0.

Определение 1. Конфигурационным пространством называется пространство конфигураций, т.е. возможных положений заданных объектов.

Пример 1. Две точки x1

и x2

, движутся по прямой ℜ

, можно задать одной

изображающей или конфигурационной точкой х, но уже расположенной на плоскости ℜ2

; при этом первая координата точки х определяет положение на прямой ℜ

первой точки x1

, а вторая координата – положение второй точки x2

(рис. 16).

Пример 2. Три точки x1 , x2 , x3 на прямой ℜ заменяются точкой x=(x1 , x2 , x3) трёхмерного конфигуративного пространства ℜ

3 (рис. 16)

Часто на конфигурации объектов накладываются какие-либо ограничения. Тогда совокупность конфигураций будет заполнять не все многомерное пространство, а лишь его часть, и именно эта часть будет в этом случае называться конфигурационном пространством.

Пример 3. Если точка x1

на прямой ℜ

не может обгонять точку x2

, т.е. если

всегда x1≤x2

, то конфигурационным пространством будет множество точек плоскости {(x1 , x2 )}

, удовлетворяющих условию x1≤x2

,т.е. полуплоскость в плоскости ℜ2

(рис. 17).

19

0

рис.17

10

0 1

1

Пример 4. Если же две точки x1 и x2 , двигаясь свободно на отрезке [0,1 ] , не могут

покинуть его пределов, т.е. 0≤x1≤1 и 0≤x2≤1 , то конфигурационным пространством

будет множество точек {(x1 , x2 )} , заполняющих квадрат со стороной 1 (рис. 17).

Задача. (Н.Н. Константинов). Из города А в город В ведут две дороги (рис. 18). Два велосипедиста, связанные верёвкой длины, меньше 2а, могут проехать из города А в город В по разным дорогам, не разорвав верёвки. Смогут ли разминуться, не столкнувшись друг с другом, два толстяка радиуса а каждый, идя из города А в город В, а другой из города В в город А.?

Решение: Введём вдоль первой дороги координату x1 , а вдоль второй дороги –

координату x2 и рассмотрим конфигурационную плоскость Оx1 x2 , одновременное положение велосипедистов или толстяков изображается конфигурационной точкой x=(x1 , x2) этой плоскости. Одновременному движению по обеим дорогам соответствует

движение конфигурационной точки х. Если длина дороги равна l1 , а второй - l2 ,то

координата x1 меняется от 0 до l1 а x2 - от 0 до l2 ; следовательно, конфигурационная точка обязана находиться в прямоугольнике OKLM (рис. 18), который и является конфигурационным пространством. Велосипедисты начинают двигаться из города А (точка О в конфигурационном пространстве), а заканчивают движение в городе В (вершина прямоугольника L). Значит, в конфигурационном пространстве движению велосипедистов соответствует траектория (кривая) α , идущая из О в L. Аналогично,

движению толстяков будет соответствовать траектория β , идущая из вершины М

прямоугольника в вершину К. Очевидно, кривые α и β , находясь внутри

прямоугольника OKLM, пересекутся в какой-то точке x=(x1 , x2) внутри него. В этой точке координаты велосипедистов и толстяков меньше 2а (ведь велосипедисты проехали это место, не разорвав верёвки!), а следовательно, толстяки обязательно столкнуться. Задача решена.

20

А В

O

M

K

L

рис.18

v

x x

v

0

(x,v)

рис.19

Задача для самостоятельного решения:Задача. Что является конфигурационным пространством а) круглого бильярда? б)

трёх точек прямой ℜ , из которых первые две не обгоняют третьей?Определение 2. Рассмотрим движение некоторой системы объектов – частиц, тел и

т.п. Добавим к пространству конфигураций {x} этих объектов пространство их скоростей {v} (векторов), т.е.будем рассматривать всевозможные пары {(x,y)}. Тогда фазовым пространством будет множество таких пар (x – положение, v - скорость).

Определение 3. Фазовой точкой системы называется изображающая систему точка (x,y). Иными словами, фазовым пространством называется множество всевозможных состояний движения системы.

Пример 5. Если точка х на прямой ℜ

может двигаться по ней с произвольной

скоростью v, то фазовым пространством будет плоскость ℜ2= {(x , v ) }

(рис. 19).

Определение 4. Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и всё его прошлое однозначно определяется состоянием в настоящий момент. Такими процессами являются, например, процессы радиоактивного распада и размножения бактерий. Бывают и недетерминированные процессы: таково движение частиц в квантовой механике (ни прошлое, ни будущее не определены настоящим однозначно) или же распространения тепла (будущее определено настоящим, а прошлое - нет).

21

x

v

рис.20

Именно такие процессы изучаются в классической механике. Если процесс

детерминированный, то никакие фазовая траектория не может пересекаться. T t –

преобразование приводящее любую точку (x (0 ) , v (0 ) ) в (x (t ) , v (t ) ) , то T t - фазовый поток. В фазовом пространстве начальное состояние может занимать некоторую область u. Под

действием фазового потока u→ut . В классической механике рассматриваются такие процессы, при которых u сохраняет свой V. Такие механические процессы называются Гамильтоновы.

Пример 6. Исследуем, как меняется состояние девяти планет Солнечной системы. Для простоты будем считать, что каждая из них представляет собой точку массы 1 и движется вокруг Солнца по своей окружности, не влияя на остальные планеты. Тогда

фазовым пространством является 54-мерное пространство ℜ54

, поскольку у каждой

планеты три пространственные координаты (они выделяют 3×9=27 - мерное

конфигурационное пространство ℜ27

) и три координаты вектора скорости (они выделяют 3×9=27 - мерное пространство скоростей). Однако поскольку каждая планета с номером k (планеты нумеруются в порядке удаления от Солнца) движется по окружности, то её

пространственные координаты (x1,k , x2,k , x3,k) удовлетворяют условию

x1,k2 +x2,k

2 +x3,k2 =Rk

2, где Rk

2 - радиус орбиты k-й планеты, и поэтому конфигурационная

точка х, изображающая положение всех девяти планет, движется не по всему 27-мерному пространству, а лишь по его ограниченной части – так называемому 9-мерному тору Τ 9=S1×S1×. . .×S1

. Кроме того, абсолютная величина скорости каждой планеты

постоянна: |υk|=√υk,1

2 +υk,22 +υk,3

2 =const, k = 1,2,…9. Каждое из этих девяти равенств

задаёт двумерную сферу, а все равенства вместе выделяют в 27-мерном пространстве

скоростей ограниченную часть – 18-мерное «многообразие»

Μ 18=S2×. ..×S2⏟9 раз .

В итоге в фазовом пространстве выделяется некоторое ограниченное 9+18=27-

мерное множество D=T 9×Μ 18, переходящее под действием фазового потока Т в себя:

T(D)=D. Если (x (0 ) , v (0 ) )∈D - фазовая точка для обозначения состояния Солнечной системы в момент t=0 иU – её произвольная окрестность, т.е. множество всех близких по координатам и скоростям положений планет Солнечной системы, то U – область в D, объём которой под действием преобразования Т не меняется. Мы пришли к условию теоремы Пуанкаре о возвращении и можем заключить из неё, что через некоторое время все планеты окажутся вблизи своих начальных положений и будут иметь приблизительно

22

начальные скорости: при некотором n точка Tn (x (0 ) , v (0 ) ) будет лежать в этой же

окрестности U, что и начальная фазовая точка (x (0 ) , v (0 ) ) .Пример 7. Возьмём два сосуда, один наполним газом (А), а другой вакуум (В). Что

произойдёт, если открыть ,соединяющий эти сосуды, кран? В соответствии со вторым началом термодинамики газ устремиться из сосуда А в

сосуд В и будет перетекать из А в В, пока давление в обоих сосудах не сравняется. Однако в статической механике считается, что газ в сосуде состоит из большого числа молекул, взаимодействующих по законам классической механики. Такой газ является замкнутой (гамильтоновой) системой с большим числом степеней свободы, и поэтому фазовое пространство этой системы имеет очень большую размерность. Фазовый поток, определяемый уравнениями движения молекул газа, не меняет областей фазового пространства. А тогда применима теорема Пуанкаре: фазовая точка подходит с течением времени сколь угодно близко к своему начальному состоянию, такому, при котором все молекулы газа перейдут опять в сосуд А.

Итак, через некоторое время газ снова соберется в сосуде А, а в сосуде В вновь будет вакуум. Возникает явное противоречие со вторым началом термодинамики: из него следует, что газ соберётся снова в сосуде А с вероятностью 0, а теорема Пуанкаре утверждает, что с вероятностью 1!

Это противоречие носит название парадокса Цермело, по имени математика, придумавшего его. Разгадка парадокса состоит в том, что «некоторое время», через которое повториться исходное (почти исходное) положение молекул газа, больше времени существования Солнечной системы.

Задача для самостоятельного решения:Задача. Что является конфигурационным пространством а) круглого бильярда? б)

трёх точек прямой ℜ , из которых первые две не обгоняют третьей?

23

Мr2r1

F1 F2

Мr2r1

F1 F2

М

F

l

xb

aF1 F2

c

y

F1 F2x

y

a

b l

Fx

y

p

2p

x

F1 F2

y

2d 1d2r 1r

a

a

F1 F2x

y

a

x a

x

1r2r1d

rdl

x

y

xF1 F2

y

F1 F2x

yl

Fx

y

Бильярд в эллипсе

Некоторые свойства эллипса, гиперболы и параболы

Эллипс Гипербола Парабола

Э={M:r1+r 2=2 a }=¿ {F1 M+MF2=2 a}

Г={М:|r1−r2|=2a} П= {M:|FM|=ρ (M, l ) }

x2

a2+ y2

b2=1 , a2=b2+c2

ξ= ca<1

x2

a2− y2

b2=1 , c2=a2+b2

ξ= ca>1

y2=2pxξ=1

r1

d1

=r2

d2 r1

d1

=r2

d2

=ξ

rd=1=ξ

Бильярдные свойства эллипса

Задача 1. На заданной прямой l найти точку для которой сумма расстояний до двух заданных точек А и В лежащих по одну сторону от l является наименьшим.

d2

24

A B

L СОl

Bрис.21

F1 F2

МN

l

1

2

рис.22

AL+LB=AL+L B'>A B'=AO+OBРешение: Исходя из принципа наименьшего действия луч света выпущенный из

точки А к l после отражения от l пройдет через В только в том случае, если пройдёт через О.

Закон отражения: Точка О на прямой l обладает тем свойством, что АО и ВО являются звеньями одной бильярдной траектории: эти звенья образуют равные углы с l (угол падения равен углу отражения).

Теорема (1 бильярдное свойство). Касательная к эллипсу, проведённая в его

произвольной точке М, образует равные углы с отрезками F1 M

и F2 M

, соединяющими оба фокуса с этой точкой.

Доказательство:

М – точка касания прямой l и эллипса, l – касательная к эллипсу. Выберем на l точку N, которая не будет принадлежать эллипсу. Значит, будет выполняться:

F1N+F2 N>MF1+MF2⇒ точка М доставляет минимум из всех расстояний .Значит, угол 1 будет равен углу 2. Теорема доказана.Выводы: 1) Траектория бильярда, проходящая через один фокус после отражения от стенки,

пройдет через другой фокус. 2) Точка М, принадлежащая l, доставляет минимум сумме расстояний, тогда и

только тогда, когда она является точкой касания с прямой l некоторого эллипса с фокусами в этих точках.

Задача 2. Возьмём вырезанный из бумаги круг, поставим на нём точку А в любом месте, отличном от центра, и сложим круг так, чтобы точка А совпала с какой-то точкой окружности. Разогнём листок и снова согнём, совместив точку А уже с другой точкой окружности. Докажите, что если этот бумажный круг перегибать так, чтобы его край всё время проходил через точку А, то огибающая линия будет эллипсом.

25

А

X

YO

B

C

A

рис.23

S

AX

B

Y

M

рис.24

X

Y

M

A

B

Доказательство: Обозначим буквой О центр круга. Пусть круг сгибается по прямой XY; на точку А попадает точка В края круга, при этом AB⊥XY и прямая XY делит отрезок АВ пополам. Обозначим буквой С точку пересечения прямых XY и OB (рис. 23). Тогда АС=ВС, поэтому ОС+АС=ОС+СВ=R, где R – радиус окружности. Следовательно, при любом сгибе круга сумма ОС+АС постоянна и равна его радиусу. Следовательно, геометрическое место точек С, движущихся при перемещении точки В по окружности, является эллипсом Э с фокусами в точках А и О. Из бильярдного свойства эллипса следует, что все линии сгиба являются касательными к эллипсу Э, поэтому он является огибающей бесконечного множества линий сгиба XY.

Задача 2. Докажите, что если на столе, отбрасываемая лежащим на нем круглым мячом при его освещении точечным источником света S, является эллипсом. Где находится фокус этого эллипса?

26

F2F1

рис.25

Доказательство: Мяч вписан в конус с вершиной S, который пересекается с плоскостью (столом) по некоторой кривой ; А – точка касания мяча с плоскостью . Впишем в конус ещё один шар, касающийся плоскости , но с другой стороны (рис. 24) в точке В. Пусть М – произвольная точка кривой .Через точку М и вершину конуса S проведём прямую, касающуюся обоих шаров в точках X и Y.Соединим точку М с точками А и В.

Отрезки МА и МХ – касательные к мячу, проведённые из одной точки, значит, МА=МХ. По той же причине МВ=MY. Следовательно,

МА+МВ=МХ+MY=XY,причём длина отрезка XY не зависит от положения точки М на кривой - XY и есть общая касательная к двум шарам. Итак, МА+МВ=const, поэтому - эллипс, что и требовалось доказать. Фокусами эллипса являются точки А и В, в частности мяч касается стола в фокусе отбрасываемой им тени.

Задача 3. Наклоните круглый цилиндрический стакан с водой под некоторым углом. Докажите, что поверхность воды примет форму эллипса.

Доказательство: Решение этой задачи почти дословно повторяет решение задачи 2. Действительно, если граница поверхности воды есть кривая (рис. 24), то два вписанных в цилиндрический стакан шара, касающиеся поверхности воды в точках А и В,

обладают тем свойством, что для любой точки M∈ γ справедливо равенствоМА+МВ=MX+MY=XY,

где XY – общая касательная к этим шарам, длина которой не зависит от выбора точки М на .Следовательно, поверхность воды в стакане действительно имеет форму эллипса с фокусами в точках А и В.

Теорема (2 бильярдное свойство). Звенья траектории бильярдного шара, выпущенного из произвольного фокуса эллипса, асимптотически (в пределе) стремиться к большой оси эллипса, т.е. после некоторого числа ударов о борт движение шара будет происходить в сколь угодно малой полосе, содержащей большую ось эллипса (рис. 25).

Доказательство:

Пусть A1 , B1 и А2 - три последовательные точки ударов шара о борт, причём А1 и А2 лежат на верхней половине эллипса, а - B1 на нижней (рис. 26). Тогда, как легко

видеть, точка А2 лежит ниже точки А1 , т.е. ближе к большой оси, поскольку ∠ A1 B1 A2

целиком содержится в ∠ A1 B1 M (М – левый конец большой оси эллипса).

27

F1 F2NM

A1

A2A3

A1A2A3

F1 F2

A

Bрис.26

О О2О1

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5А В

рис.27

Дальнейшие точки ударов об эллипс будем обозначать B2 , A3 , B3 , A4 , .. . , причём

все точки Bk располагаются ниже большой оси эллипса, а все Аk - выше неё. При этом

каждая следующая точка Аk будет находиться ниже предыдущей Аk-1 (поскольку Аk

лежит на дуге эллипса Аk-1 M ), но выше точки М – левого конца большой оси. Докажем,

что при k→∞ точка Аk стремиться к точке М, - это и будет доказывать данную теорему.

Предположим, что предельной точкой для последовательности А1 , А2 ,…, Аk ,…

является не точка М, а некоторая другая точка, которую обозначим А∞ ; тогда А∞ лежит

выше большой оси (рис. 26). Это означает, что все звенья траектории Bk-1 Ak с достаточно

большими номерами k сколь угодно близко подходят к отрезку B∞ A∞ , где точка B∞

лежит на нижней половине эллипса и является пересечением прямой А∞ F1 с эллипсом.Очевидно, что если вся рассматриваемая нами траектория сколь угодно близко

подходила к отрезку B∞ A∞ , то теперь, двигаясь из B∞ в А∞ , шар должен отразиться от

эллипса в точке А∞ и почти в точности по тому же отрезку B∞ A∞ , но в обратном

направлении – от А∞ к B∞ ! Однако при этом шар непременно должен пройти опять через

фокус F1, поскольку он лежит на отрезке B∞ A∞ , хотя по первому бильярдному свойству

эллипса шар после отражения в точке А∞ пойдет по прямой А∞ F2 - через второй фокус.

Полученное противоречие доказывает, что А∞ и М должны совпадать: предельное движение шара должно происходить в сколь угодно малой окрестности большой оси.

Задача 4. На горизонтальном диаметре окружности с центром О выбраны точки О1

и О2, равноудалённые от О (рис. 27). Для произвольной выбранной точки Р1 на окружности стоятся точки Р2, Р3, Р4,…, такие что хорды Р1Р2, Р2Р3, Р3Р4,.. попеременно проходят через точки О1 и О2. Доказать, что положение хорды РnPn+1 при n→∞

стремиться к горизонтальном диаметру.

Доказательство: Точки Р1, Р2, Р3 – составляют два соседних звена ломанной. По заданию ОО1=ОО2, приравняем эти отрезки к l, т.е. ОО1=ОО2= l.

Рассмотрим треугольник AO2 P3 и сторону О2Р3

обозначим как х (О2Р3 = х).

28

С1

А

А1

А2ОF1 F2

В1В2

С2

рис.28

sin∠ A=sinϕ2

2 , sin∠AP3 P2=sin

ϕ1

2АО=ОВ=r, т.к. они являются радиусами окружности, следовательно

sin∠ Ax=

sin∠AP3 P2

AO2

⇒sin ϕ2/2

x=

sin ϕ1/2AO2

=sin ϕ1/2

r+l

Затем рассмотрим треугольник BO2 P3 .

∠P2 P3 B =∠BP3 A-∠AP3 O2=π2−

ϕ1

2 , ∠B= π

2−

ϕ2

2

sin∠Bx=

sin∠BP3 A

O2 B⇒

sin∠( π2−ϕ2

2 )x

=sin∠( π2−ϕ1

2 )r- ℓ

⇒

cos ϕ2/2x=

cosϕ1/2r- ℓ

⇒ tgϕ2

2=r- ℓ

r+ℓtg

ϕ1

2Аналогично получаются формулы связывающие величины углов для любых других

звеньев ⇒ tg

ϕ1

2, tg

ϕ2

2, tg

ϕ3

2, .. .

- последовательность геометрической прогрессии с

коэффициентом q=r-ℓ

r+ℓ<1⇒ tg

ϕn

2→0⇒ϕn→0

.

Теорема (3 бильярдное свойство). Любая траектория в эллипсе касается либо эллипса, либо гиперболы, софокусных (т.е. с теми же фокусами) с данным эллипсом. Первый случай реализуется, когда первое (а тем самым и произвольное) звено траектории не пересекает отрезка фокусов, а второй случай – когда первое (а тем самым и произвольное) звено траектории отрезок фокусов пересекает. При этом во втором случае соответствующие точки касания могут лежать не на самих звеньях ломанных ломаной, а на их продолжениях).

Доказательство: 1 случай (эллипс). Пусть А1А и АА2 – два последних звена бильярдной траектории в эллипсе, причём отрезок А1А не пересекает отрезка фокусов F1F2

(рис. 28). Из первого бильярдного свойства следует, что ∠ A1 AF1=∠A2 AF2 , поэтому отрезок АА2 также не пересекает отрезка фокусов F1F2 (рис. 28).

29

С1

А1А2

ОF1 F2

В1

В2С2

рис.29

А

Возьмём точку В1, симметричную F1 относительно А1А и проведём отрезок B1F2. Он пересечёт А1А в точке С1; при этом u1=F1C1+C1F2=B1C1+C1F2=B1F2, а для всякой точки D на отрезке А1А, отличной от С1, выполнено неравенство u1=F1C1+C1F2<F1D+DF1.

Отсюда следует, что эллипс, софокусный с исходным, для которого сумма расстояний до F1 и F2 равна u1, касается А1А и притом в точке С1. Аналогичное построение проделаем с отрезком АА2 (рис. 28), найдём точку С2 и величину u2=F1C2+C2F2. Таким образом, точка С2 лежит на софокусном эллипсе с const = u2, касающемся АА2.

Докажем, что точки С1 и С2 лежат на одном и том же эллипсе, т.е. докажем, что

u1=u2. Для этого заметим, что Δ B1 AF2=Δ B2 AF1 (по двум сторонам и углу между ними – с вершиной А), откуда B1F2 = B2F1, т.е. u1=u2, что и требовалось. Итак, отрезки А1А и АА2

касаются одного софокусного эллипса с константой u = B1F2 = B2F1.2 случай (гипербола). Случай гиперболы рассматривается аналогично. Пусть А1А и

АА2 – два последних звена бильярдной траектории в эллипсе, причём отрезок А1А пересекает отрезка фокусов F1F2 (рис. 29). Из первого бильярдного свойства следует, что ∠ A1 AF1=∠A2 AF2 , поэтому отрезок АА2 также пересекает отрезок фокусов F1F2 (рис. 29).

Возьмём точку В1, симметричную F1 относительно А1А и проведём отрезок B1F2.

Он пересечёт А2А в точке С2; при этом u1=|F2 C1−B1 C1|=|F2 C1−F1 C1|=B1 F2 , значит

точка C1 является некой точкой гиперболы с фокусами F1 и F2 .Аналогичное построение проделаем с отрезком АА2 (рис. 29), найдём точку С2 и

величину u2=|F1 C2−F2 C2|=B2 F1 . Таким образом, точка С2 лежит на софокусной

гиперболе с const = u2, касающейся АА2.

Докажем, что точки С1 и С2 лежат на одной и той же гиперболе, т.е. докажем, что

u1=u2. Для этого заметим, что Δ B1 AF2=Δ B2 AF1 (по двум сторонам и углу между ними – с вершиной А), откуда B1F2 = B2F1, т.е. u1=u2, что и требовалось. Итак, отрезки А1А и АА2

касаются одного софокусной гиперболы с константой u = B1F2 = B2F1

30

Г

рис.30

QА

z

xy

Г

рис.31

Понятие каустической кривой

Определение. Пусть Q является произвольной выпуклой областью на плоскости, ограниченная кривой Г, в которой бильярдный шар описывает траекторию …Р -1 Р0 Р1 … Кривая , лежащая внутри области Q, называется каустикой, если выполнено следующее условие: из того, что хотя бы одно звено РkPk+1 траектория бильярда …Р-1 Р0 Р1 … касается , следует, что все остальные звенья этой траектории также

касаются кривой (рис. 30). Иными словами, траектория бильярдного шара после каждого отражения касается кривой ,т.е. каустики бильярда Q.Пример 1. Простейшим примером каустики служит окружность, которой касается траектория бильярдного шара в круге. В круглом бильярде имеется одно семейство каустик – концентрические окружности.Пример 2. Если рассмотреть эллиптический бильярд, то у него существует два семейства каустик: это эллипсы и гиперболы, софокусные с данным эллипсом.

Некоторые замечания о каустике:

1) Любой бильярд в выпуклой области с достаточно гладкой границей (в каждой точке границы можно провести касательную и в близких точках эти

касательные образуют маленькие углы) имеет ∞

много каустик, накапливающихся в границе.

2) Почти любая непериодическая бильярдная траектория, касающаяся каустики всюду плотно заполняет область между бортом бильярда Г и этой каустикой. Замечание: из этого следует, что бильярд выпуклой области не является эргодичным. Всегда можно найти шар, в которой нет бильярдной траектории.

3) Если - некоторая выпуклая кривая тогда любую кривую Г, для которой -

каустика, можно получить следующим образом: ℓ γ

- длина кривой , S>ℓγ

, тогда Г S

- состоит из множества точек таких что, если в точку А провести касательную к кривой и найти сумму длин этих касательных и части кривой заключающих между этими концами этих касательных, то сумма будет постоянной (рис. 31).

Некоторые задачи, решаемые с помощью бильярда в эллипсе

1) Один парадоксальный рисунок, противоречащий основам термодинамики

31

F1

F2

А В C DM

N

рис.32

К парадоксу приводит построение такой теплоизолированной системы, в которой, напротив, одно из тел с первоначально одинаковой температурой начинает остывать, а второе – нагреваться. Рассмотрим конструкцию, показанную на рис. 32 и состоящую из двух зеркальных половин (BC и AD) двух софокусных эллипсов и соединяющих их прямолинейных зеркальных перегородок АВ и CD (А и D – концы малой полуоси внешнего эллипса, В и С - внутреннего). В фокусах F1, F2 помещены два точечных источника тепла, первоначально имеющие равные температуры; зеркальные стенки конструкции отражают все лучи (без какого-либо поглощения). Согласно первому

бильярдному свойству эллипса, все тепловые лучи, выходящие из источника F1, частью отразившись о стенки AD, попадают в точку F2. Если бы все тепловые лучи, исходящие из второго источника F2, попадали бы в точку F1, то тогда оба источника не меняли бы со временем свою температуру.

Однако не все лучи из F2 попадают в F1. На рис. 32 изображена одна из траекторий луча F2MNF2, который после отражения в точке М внешнего эллипса попадает в перегородку DC (двигаясь при этом в направлении фокуса F1) отражается от неё в точке N и … попадает снова в F2! То же самое происходит и с лучами, попадающими сначала в перегородку, отражаясь от неё и после второго отражения от внешнего эллипса снова попадающими в F2

(на рис. 32 изображена одна из траекторий, отражающаяся от перегородки АВ).

В результате тело F2 получает, кроме лучей от тела F1, часть своих собственных лучей, и поэтому нагревается;

тело же F1 остывает. Налицо явное нарушение второго начала термодинамики. Для решения данного парадокса рекомендуется заменить точечные источники маленькими кружками.

2) Освещение области.

Поставим задачу: каким наименьшим количеством точечных источников света (лампочек) можно осветить внутренность ограниченной области на плоскости? Граница области представляет собой замкнутую несамопересекающуюся кривую L на плоскости; таким образом, двигаясь по кривой L, мы будем оставлять область всё время по одну сторону от L.

Решение: Конечно же, если область является выпуклой (т.е. с каждыми двумя точками А, В весь отрезок АВ принадлежит области), то достаточно одной лампочки, которую можно поместить в произвольном месте (рис. 33). Действительно, если точка О – лампочка, а А – произвольная точка области , то луч ОА освещает точку А; таким образом, все точки области освещены лампочкой О.

Если же область невыпуклая, тогда одной лампочки для освещения области может не хватить: на рис. лампочка О не освещает ни одной точки А, лежащей в заштрихованной области.

32

А

А

О

рис.33

1 F2F1А В

Левая мочка Права мочка

рис.34

1 F2F1А В

рис.35

F2F1 F1 F2

MM

A BO1 O2

N2

K2N1

K1

рис.36

3) Алгоритм построения невыпуклой области, которую можно осветить не менее, чем n источниками.

а) Пусть 1 – «телефон» (рис. 34). Свойство 1: любая траектория,

выпущенная из одной из мочек, не может пересечь F1F2, т.е. если источник в одной из мочек, то отрезок F1F2 – не освещается.

б)Пусть 2 – «телефон с ямкой» (рис.35).

Свойства:

1) Любой источник, находящийся в ямке, не освещает мочки.2) Если же источник находиться в одной

из мочек, то ямка остаётся не освещённой.3) На самом деле такую область, как

«телефон с ямкой», можно осветить и одним источником.

Доказательство: Для доказательства того, что лампочка, помещённая в середину М

дуги эллипса, осветит всю область 2, достаточно доказать, что полностью будут освещены обе мочки телефона (вся остальная часть области 2 освещается лампочкой напрямую).

Рассмотрим для доказательства набор специально выбранных лучей, выходящих из М. Первый луч выберем выходящим из М в сторону центра О1 левой мочки (рис. 36). Проходя через центр полуокружности О1, луч МО1 отражается от неё в точке К1 и движется в противоположном направлении К1М попадает в точку М, отражается от дуги эллипса в этой точке, проходит затем через центр О2 правой мочки (полуокружности) и, отразившись от правой полуокружности в точке К2, движется опять в обратном

33

рис.37

рис.38

направлении К2М, чтобы после отражения в точке М начать снова двигаться по МК1. Таким образом, МК1МК2М – периодическая бильярдная траектория.

В качестве второго луча, выпущенного из лампочки М, выберем такой, который после отражения в точке N1 левой мочки пройдет через левый фокус эллипса F1. Такой луч найдётся, поскольку луч, идущий из М в А – левый конец большой оси (рис. 36), после отражения попадёт в некоторую точку левой мочки, а луч, идущий из М в К1, отражается в К1 в обратном направлении; таким образом, некоторый луч =MN1, лежащий между лучами МА и МК1, после отражения пройдёт через F1.

Далее, луч отразиться от дуги эллипса (в точке N2) и попадёт во второй фокус эллипса F2.

Наконец, рассмотрим все лучи, расположенные между лучом МК1. Поскольку лучи и МК1 определяют на правой мочке точки F2 и К2, то все лучи между ними заполняют целиком всю дугу F2K2 полуокружности. Соединив F2 и К2 отрезком, находим, что все рассмотренные лучи освещают полностью сегмент круга F2K2 (он заштрихован на рис.36).

Значит, вся правая мочка области 2 полностью освещена лампочкой М. Из симметрии следует, что по тем же по соображениям освещена и вся левая мочка. Итак, область 2 полностью освещена одной лампочкой, помещённой в точку М. Задача решена.

в) 3 – «склеенный телефон» (рис.37).Утверждение: область 3 невозможно

осветить с помощью одного источника.г) 4 – «склеенная группа телефонов»

(рис 38).На каждую область - «телефон»

нужно для её освещения не менее одной лампочки, которая должна располагаться в этой области. Значит, для полного освещения всей области 4 нужно не менее

2N лампочек. Поэтому, если 2N>n, то область не может быть освещена n лампочками.

Можно телефоны склеивать в бесконечном количестве. Но тогда область - не ограниченная, тогда можно уменьшать размеры склеиваемых «телефонов», при этом граница будет иметь особую точку.

Утверждение. Область ограничена замкнутой гладкой кривой всегда может быть освещена конечным числом точечных источников. Если граница имеет хотя бы одну особую точку, т.е. не является гладкой, то можно построить область, которую нельзя осветить конечным числом источников.

34

А В

МА В

М2(min)

М4(max)

(min)М1

М3(max)

рис.39

Общий принцип экстремальности бильярдной траектории и его следствия

Теорема (Общий принцип экстремальности бильярдной траектории). Если ломанная АМВ с данными концами А и В и точки излома М, принадлежащей данной кривой , имеет наименьшую и наибольшую (т.е. экстремальную) длину среди всех близких к ней двузвенных ломанных с точками излома на кривой и теми же концами А и В, то эта ломанная является траекторией бильярдного шара, ведущей из точки А в точку В после отражения от борта, имеющего форму кривой .

Доказательство: Кривая в точке М касается какого-то эллипса Г S0 с фокусами А

и В. Следовательно, касательная l к кривой в точке М является одновременно и

касательной к эллипсу Г S0 . Но углы, образованные звеньями АМ и ВМ ломаной АМВ с

касательной l к эллипсу, равны между собой. Это и означает, что АМВ – бильярдная траектория с бортом .

Пример. Пусть - окружность, А и В – фиксированные точки внутри этой

окружности. Тогда из семейства {Г S } софокусных эллипсов с фокусами А и В выделяются

четыре эллипса Г S1

, ГS2, ГS3

, ГS 4 , два из которых касаются окружности внутренним

образом – пусть это эллипсы Г S1

и ГS 2 , а два эллипсы Г S3

и ГS 4 - внешним образом.

Возникшие четыре точки касания M 1 , M2 , M3 , M4 (рис. 39) являются точками столкновения с бортом бильярдного шара, который из точки А после одного удара о

борт попадает в точку В, и доставляющие: точки M 1 и M2 - локальный минимум длины

ломанной АМВ, точки M3 и M4 - локальный максимум этой длины.Принцип экстремальности бильярдной траектории является частным (и

простейшим) случаем одного из основных принципов классической механики и оптики – принципа наименьшего действия, или экстремального принципа Ферма. В оптике принцип Ферма состоит в том, что свет выбирает из всех возможных путей, соединяющих две данные точки, то путь, который требует наименьшего времени прохождения. Применительно к бильярду этот принцип можно сформулировать так: бильярдный шар «умный» и выбирает самый короткий из всех возможных путей (мы считаем раз и навсегда скорость бильярдного шара постоянной, поэтому мимнимальность длины его траектории эквивалентна минимальности времени его движения по этой траектории). Фактически этот принцип для бильярдного шара нами обоснован выше чисто математически. Оказывается, всю классической механику можно строить как

35

A

B

C

D

K

1

2

1

2a

рис.40

геометрическую оптику многомерного пространства, основываясь именно на принципе Ферма, носящего в механике название «принцип Гамильтона».

Закон Снелиуса – Декарта. Пусть есть граница двух сред, где υ1 , υ2

- скорости распределения света в средах соответственно. Вычислим время, за которое луч света из А попадает в В.

Решение: Пусть t – это время за которое луч пройдёт из точки А в точку В (рис.40).

t=|AC|

υ1

+|CD|

υ2

, cosϕ1=1|AC|

⇒|AC|= 1cos ϕ1

, cos ϕ2=1|BC|⇒|BC|= 1

cos ϕ2 ,

значит t= 1

υ1 cos ϕ1

+ 1υ2 cos ϕ2 .

tg ϕ1=|AD||DK|

=|AD|, tg ϕ2=|KB||KC|=|KB|

просуммируем tg ϕ1 и tg ϕ2 и получим:tg ϕ1+ tg ϕ2=|AD|+|KB|=a

. Для решения задачи нужно t устремить к минимуму, значит, мы получим задачу на условный экстремум:

t=1υ1 cosϕ1

+1υ2 cosϕ2

→min

tg ϕ1+ tg ϕ2−a=0Решим данную задачу.

L (ϕ1 , ϕ2 , λ )= 1υ1 cos ϕ1

+ 1υ2cos ϕ2

+ λ ( tgϕ1+ tg ϕ2−a )

{∂L∂ ϕ1

=sin ϕ1

υ1cos ϕ1

+λ1

cos2 ϕ1

=0 ¿ {∂L∂ ϕ2

=sin ϕ2

υ2cos ϕ2

+λ1

cos2 ϕ2

=0 ¿ ¿¿¿ , значит

- λ=sin ϕ1

υ1

−λ=sin ϕ2

υ2

⇒sin ϕ1

sin ϕ2

=υ1

υ2 - Закон Снелиуса – Декарта.

Теорема (Гюйгенса). Рассмотрим волновой фронт Φ A (t )

точки А через время t. Посмотрим для каждой точки Х этого фронта, считая их источниками

света, волновой фронт ΦX (τ )

через время τ

. Тогда волновой фронт Φ A (t+τ )

точки А через время t+τ

будет огибать все построенные

фронты ΦX (τ )

(X∈Φ A ( t )

(рис. 41).

36

А

Х X

tA

tA

АХ

Y

tA

tA

А ХY

tA

X

рис.41

0z

0y

0x0x

0yрис.42

Доказательство: Рассмотрим точку Y на фронте Φ A (t+τ ) точки А через время t+ τ . Тогда существует путь из А в Y, по которому время распространения света равно t+τ , и нет более короткого пути. Рассмотрим на этом пути точку Х, до которого свет идёт время t. Никакого более короткого пути из А в Х не может быть, так как в противном случае путь из А в Y не был кратчайшим (его можно было бы укоротить). Значит, точка Х

лежит на фронте Φ A (t ) . Точно так же, путь XY свет проходит за время τ , и из точки Х в

точку Y нет более короткого пути. Следовательно, точка Y лежит на фронте ΦX (τ ) точки Х за время τ .

Докажем, что фронты Φ A (t+τ ) и ΦX (τ ) касаются друг друга в точке Y, а не пресекаются. Если бы они не пересекались (рис. 41), то в некоторое время точки фронта Φ A (t+ τ ) луч мог бы из точки Х добраться за время, меньше τ , а значит, из точки А – за

время, меньше t+τ . Это противоречит определению фронта Φ A (t+τ ) . Итак, фронты Φ A (t+ τ ) и ΦX (τ ) касаются друг друга в точке Y, что и требовалось доказать.

Периодические бильярды выпуклой области

Задача. В любой ли выпуклой области с гладкой границей существует периодическая бильярдная траектория? Если да, то, сколько звеньев может иметь эта периодическая траектория?

Решение: Для решения этой задачи попробуем найти двухзвенную периодическую траекторию нужно поступить следующим образом. Для каждой пары точек принадлежащих границе γ вычислить расстояние между этими точками и найти максимальный и минимальный из всевозможных таких расстояний, при этом точка х не должна совпадать с точкой y. Эта задача всегда имеет решение в силу того, что расстояние – это функция непрерывная, а значит, минимум и максимум существует по теореме Вейерштрасса.

x0 , y0∈ γ , ρ (x0 , y0 )≥ ρ ( x , y )⇒касательная, проведенная к γ перпендикулярна к прямой x0 y0 . Если же касательная не перпендикулярна, то ρ (x0 , z0)>ρ (x0 , y0) из этого следует противоречие, значит, x0 , y0 являются вершинами двухзвенной ломанной, которая

будет являться периодической траекторией (рис. 42).

37

kP1kP

1-kP

Г

l

рис.43

Аналогично, точки доставляющие минимум расстояния между точками x0 и y0 будут давать бильярдную траекторию, которая тоже периодическая.

Теорема (Биркгофа). У бильярда в любой выпуклой области Q на плоскости, ограниченной замкнутой гладкой кривой Г, существуют периодические

бильярдные траектории с любым числом звеньев n≥3

.

Доказательство: Пусть число n фиксировано. Посмотрим конкретную периодическую бильярдную траекторию из n звеньев. Рассмотрим всевозможные вписанные в Q замкнутые ломанные γ , число сторон, у которых не превосходит n (в рассмотрение входят вписанные трёхзвенные, четырёхзвенные,…, n-звенные ломанные).

Выберем среди них ту ломанную γ 0 , у которой периметр максимален, и докажем, что

ломанная γ 0 имеет ровно n звеньев.Действительно, если бы число звеньев у неё было меньше n, то её периметр можно

было бы увеличить, заменив произвольное её звено P1 P2 на ломанную P1 P0 P2 с вершиной P0 на дуге между P1 и P2 .

Докажем теперь, что γ 0 - бильярдная траектория в области Q, т.е. при всех k

последовательные звенья ломаной Pk-1 Pk и Pk Pk+1 образуют равные углы с касательной К

Г в точке Pk (рис. 43).

Из максимальности периметра ломанной γ 0 следует, что сумма Pk-1 P+PPk+1 для

всех точек Р на дуге Pk-1 Pk Pk+1 кривой Г максимальна именно при P=Pk , иначе периметр

ломанной γ 0 можно было бы увеличить.

Рассматривая семейство эллипсов Γ S с фокусами в

точках Pk-1 и Рk+1 , найдём тот эллипс Γ S0 , который касается

кривой Г в некоторой точке Р – такой эллипс обязательно найдётся, так как наша кривая гладкая и выпуклая. Но тогда

ясно, что сумма Pk-1 P+PPk+1 максимальна по всем точкам Р,

лежащим на дуге Г между Pk-1 и Рk+1: для любой другой точки

Μ∈ Γ соответствующей ей эллипс из семейства Γ S пересекает

кривую Г и лежит строго внутри эллипса Γ S0 , поэтому

Pk-1 M+MPk+1<Pk-1 P+PPk+1 . Отсюда вытекает, что касание

эллипса Γ S0 с кривой Г происходит именно в точке P=Pk . А тогда из первого

бильярдного свойства эллипса следует, что звенья Pk-1 Pk и Pk Pk+1 образуют равные углы с

прямой l, являющейся одновременно касательной, как к эллипсу Γ S0 , так и к кривой Г в

точке Pk и поэтому Pk-1 Pk и Pk Pk+1 - два звена бильярдной ломаной в области Q. Теорема доказана полностью.

Периодический бильярд в остроугольном треугольнике

Теорема (Фаньяно). В любом остроугольном треугольнике существует периодическая траектория, а именно, одной из таких траекторий

38

1

4

2

3

A C

G H

F

O

B

рис.44

рис.45

является треугольник, вписанный в этот исходный треугольник, причём, этот вписанный треугольник имеет минимальный периметр среди всех вписанных в этот треугольник треугольников.

Доказательство: 1) Пусть Δ FGH - это треугольник вершинами которого являются

основания высот Δ ABC . Покажем, что Δ FGH является бильярдной траекторией. Для этого построим высоты данного остроугольного треугольника. Они буду пересекаться в какой-то точке, которую мы обозначим через О. Затем проведём две окружности с диаметрами ОВ и ОА. Тогда ∠1 =∠2 как вписанные углы в окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу AF, аналогично, ∠3=∠4 так как опираются на дугу BH. Если

рассмотреть ∠2 и ∠3 , то оказывается, что они

равны как вертикальные углы. Значит Δ FGH

образуют равные углы со сторонами Δ ABC , а

следовательно Δ FGH является бильярдной траекторией.

2) Докажем, что периметр Δ FGH является минимальным. Для этого применим

метод выпрямления, заметим, что Δ A ' ' B ' ' C ' ' образуется поворотом на 360 ° . Удвоенный

периметр треугольника, образованного основаниями высот, равен F F ' ' и равен U U ' '

. Удвоенный периметр любого другого треугольника будет являться ломаной,

соединяющий точки U и { U ' '¿ . Из этого следует, что периметр построенного треугольника будет минимальный.

Замечание. Если к найденному выше треугольнику построить ломанную с параллельными звеньями, то мы получим ещё одну периодическую бильярдную траекторию. Периметр соответствующей ломаной будет в два раза больше, чем периметр треугольника, причём таких замкнутых периодических траекторий можно построить бесконечное число.

Периодический бильярд в тупоугольном треугольнике

Задача. Может ли бильярдная траектория «запутаться» в остром угле и остаться там навсегда или бильярдная траектория обязательно выйдет из этого острого угла, совершив какое-то количество отражений от стенок этого угла?

Решение: Для решения этих вопросов применим метод выпрямления.Для этого найдём симметричные копии для углов α . Очевидно, что возможные

бильярдные траектории после выпрямления может лежать только в заштрихованной области Q. Это означает, что после конечного числа соударений о стенки угла, бильярдная траектория перестаёт ударяться о стенки угла. Вычислим максимальное количество вершин (точек соударения) бильярдной

траектории. Величина Q:π+α , а каждый угол составляет α радиан, следовательно, максимальное количество

соударений не превосходит числа

π+αα= π

α+1

. Если π делиться на α , то максимальное количество ударов будет

39

А

В

С

Х Y

рис. 46

1

3

2

4

1

2

равно π /2 . Если π не делиться на α , то максимальное количество ударов равно [π

2]+1.

Итак, пусть N – количество ударов такое, что 0≤N≤N0 , тогда всё выше сказанное можно выразить так:

N0=¿ {π 2,π

2∈Ζ ¿ ¿¿¿

Теорема (о периодичности бильярдной траектории в тупоугольном треугольнике).

Для любого натурального числа n существует тупоугольный ΔΑΒC

, в котором любая периодическая бильярдная траектория имеет больше, чем n звеньев.

Доказательство: Пусть n∈Ν , тогда

1. подберём два числа α и β так, чтобы число

Ν (α , β )=min {−[−πα ];−[−π

β ]}≥n

2. причём α ,β , π - рационально независимы, т.е. из того, что kα+mβ+sπ=0

, где k, m, s∈Ζ следует, что k=m=s=0 . Если хотя бы одно из чисел k, m, s∈Ζ отлично от нуля, то kα+mβ+sπ≠0 .

Выражение

N0=¿ {π α,π

α∈Ζ ¿ ¿¿¿

, можно

переписать как

Ν0 (α )=¿ {[π α ] , πα∈Ζ ¿ ¿¿¿

. Построим

тупоугольный треугольник с острыми углами α и β . Покажем, что любая периодическая бильярдная траектория будет обязательно содержать

звено XY такое, что Χ∈ΑΒ , Υ ∈ΒC . Предположим противное: пусть есть периодическая бильярдная траектория, в которой нет такого звена, т.е. боковая сторона→основание→боковая сторона→основание→…

рис. 47

40

Рассмотрим бильярдную траекторию, попавшую в ∠α (рис. 47), тогда ∠1 = {∠ ϕ' ¿ - по закону упругого удара, ∠1 =∠2 - как накрест лежащие, ∠3=∠4 - по закону упругого

удара, так же ∠3=ϕ−α , ∠2 =∠4−α=ϕ−2 α ,тогда ϕ'=ϕ−2 α .

Затем рассмотрим бильярдную траекторию, попавшую в ∠ β (рис. 47), тогда ϕ ' =∠1 =∠2 , аналогично предыдущему случаю, ϕ

'=ϕ+2 β , следовательно ϕ=ϕ0+2 αn+2 βm . Так как мы рассматриваем периодическую бильярдную траекторию, то через конечное число шагов n и m мы попадём в ту же самую вершину и угол, который

будет получен через n и m шагов будет отличаться от начального угла ϕ0 на величину,

кратную 2 π , т.е. 2πℓ+ϕ0=ϕ0+2αn+2 β m ⇒ αn+β m- πℓ=0

Из этого следует, что α ,β ,π - рационально зависимы, приходим к противоречию.Значит, любая бильярдная траектория содержит в себе звено, соединяющие две

боковые стороны. Звено XY может быть параллельно основанию АС или если XY≠AC ,

то угол, который образует прямая XY с основанием АС, будет меньше α или β . Но тогда бильярдная траектория будет иметь количество звеньев не меньшее максимального числа

соударений о стороны угла α или β . Это следует из метода выпрямления: так как

количество звеньев в периодической траектории не может быть меньше, чем Ν (α ) и Ν (β ), а значит оно будет больше либо равно n.

Замечание. В тупоугольном треугольнике вопрос о существовании о периодической бильярдной траектории, остаётся открытым, но по доказанной теореме всегда можно построить остроугольный треугольник, в котором любая периодическая бильярдная траектория не может иметь больше чем задуманное количество звеньев.

.Геометрия прямоугольного бильярда Периодические траектории в прямоугольнике

Задача. Найдём различия траекторий с чётным и нечётным числом отражений.

Решение: Рассмотрим бильярд в прямоугольнике, с помощью отражений заполним всю плоскость прямоугольниками, равными данному, получив решётку из прямоугольников. Нарисовав на этой плоскости произвольный луч, не проходящий ни через одну из вершин получившихся прямоугольников, мы можем с помощью процедуры, обратной описанной, «сложить» этот луч в траекторию бильярда в исходном прямоугольнике ABCD (рис. 48). Заметим, что при таком «складывании» решётки прямоугольников в исходный прямоугольник ABCD в каждую точку М прямоугольника

ABCD попадает бесконечно много точек M m,n плоскости – именно, все те точки, которые получаются из М описанными выше отражениями (рис. 48).

41

А В

D C

BA

a

А В

CD

M 10M

11M

21M

б

в

рис.48

Если траектория, выходящая из точки М под углом α к стороне АВ, периодична, то это означает, что после выпрямления из этой траектории получиться прямая,

проходящая через М и через одну из точек Mm0 ,n0 . Если нумеровать точки M m,n

индексами m и n, как указано на рис. , то точка M m0 ,n0 должна быть такой, что m0 и n0 -

чётные числа. Именно в этом случае бильярдный шар проходит через ту же точку М под

прежним углом α : номера m0 и n0 показывают, сколько нужно сделать отражений относительно вертикальных и горизонтальных сторон прямоугольников, чтобы получить

из точки Mm0 ,n0 точку М; при этом нечётное число отражений меняет направление, чётное

же не меняет (рис. 48).

Теорема (критерий периодичности бильярдной траектории в прямоугольнике).

Любая неособая траектория выходящая под углом α

к стороне прямоугольника ABCD является периодической в том и только в том

случае, когда tg α=k

является соизмеримым с a /b

, где a и b линейные размеры ABCD.

Доказательство: Действительно, только что было выяснено, что периодичны те и только те траектории, которые (после выпрямления) соответствуют прямым, идущим из

точки М в одну из точек вида M 2m,2n . Заметим теперь, что точка M 2m,2n получается из М

42

MM

К

С

2m,2n

а брис.49

сдвигом на вектор 2 m⋅⃗AB+2n⋅⃗AD , так что ΔΜΜ2 m,2n Κ имеет катеты с длинами MK=2ma1 и Μ 2 m,2n Κ=2 na2 . Таким образом,

k=tg α=2ma2

2na1

=mn

a2

a1 ,

т.е. k соизмеримо с a2/a1 , т.е. k=m

n

a2

a1 , то любая прямая, выходящая из точки М с тангенсом угла наклона k, проходит через точку, получающуюся из М сдвигом на вектор

2 m⋅⃗AB+2n⋅⃗AD , т.е. через точку M 2m,2n . Если эта прямая не проходит через вершины прямоугольников, то соответствует неособая периодическая траектория, что и требовалось доказать.

Замечания:

Условие теоремы иначе: если обозначим угол между диагональю и

основанием, то чтобы Г была периодической необходимо, чтобы

tg αtg ϕ0

∈Q

.

Периодичность не зависит от начального положения точки, а зависит только от направления.

Любая периодическая бильярдная траектория порождает целое семейство периодических траекторий – это семейство содержит параллельные звенья.

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. Докажите, что у всех неособых параллельных бильярдных траекторий в прямоугольнике равное количество звеньев и равные длины.

Задача 2. Найдите необходимое и достаточное условие периодичности бильярда в прямоугольном треугольнике и в равностороннем треугольнике.

Задача 3. Что можно сказать про периодичность особых бильярдных траекторий, если считать, что отражённый луч из вершины прямоугольника является обратным к лучу, который попадает в эту вершину?

43

a

a

a

bbb

b

aa

меридиан

параллель

рис.50

2

2

01

2

рис. 51

Обмотки тора и бильярд в прямоугольнике

Определение 1. Тором называется поверхность, получающаяся при вращении

окружности S1

относительно непересекающей эту окружность прямой MN, лежащей в плоскости окружности (рис. 50).

Способы построения:«склеивание» - рассмотрим прямоугольник с линейными размерами a и b, будем считать его резиновым; как показано на рис. Склеим сначала стороны обозначенные за а, в соответствии с заданными направлениями, а затем склеим стороны b аналогично. И в итоге получим искомую фигуру.

Зафиксировав меридиан и параллель, можно ввести на нем долготу ϕ1 ,

отсчитываемую по параллелям от выбранного меридиана, и широту ϕ2 , отсчитываемую по меридианам от экватора.

«формальный способ» - Τ=S1×S1={(ϕ1 , ϕ2) :ϕ1 , ϕ2∈S1}Рассмотрим теперь простейшее движение точки по тору: пусть точка А движется

так что её широта и долгота меняются равномерно – с

постоянными скоростями ω1 и ω2 . В этом случае можно

написать формулы для зависимости ψ1 и ψ2 от времени t:ϕ1=α+ω1 t , ϕ2=β+ω2 t

Здесь имеется в виду, что, как и в тригонометрии, мы

позволяем координатам ϕ1 и ϕ2 принимать произвольные

(большие 2 π и отрицательные) значения, однако не забываем, что для любых целых m и n точка с координатами (ϕ1+2π m, ϕ2+2πn ) совпадает с точкой (ϕ1 , ϕ2 ) . Так как Τ=S1×S1

, где S1 - единичная окружность, то ϕ2=ω2 t+β , t=(ϕ1−α )/ω1

⇒ϕ2=β+ω2

ω1

⋅(ϕ1−α )=ω2

ω1

⋅ϕ1+β−α⋅ω2

ω1

=ω2

ω1

⋅ϕ1+γ=ω⋅ϕ1+γ.

Учтем теперь, что в действительности мы должны считать, что ϕ1 и ϕ2 меняются

от 0 до 2 π , так что только точка, движущаяся по этой прямой, доходит до одной из сторон квадрата, являющегося карой тора, эта точка «перетаскивает» в соответствующую точку противоположной стороны квадрата и продолжает двигаться по квадрату в том же направлении, что и раньше – до следующего перескакивания (рис. 51). Таким образом, на карте соответствующий «маршрут» - траектория движения – состоит из отрезков, параллельных друг другу; после склейки квадрата в тор эти отрезки склеиваются в

44

a брис.52

непрерывную кривую на торе – она обматывает тор с «угловыми» скоростями ω1 по

экватору и ω2 по меридиану.Определение 2. Траектория движения точки на торе мы будем называть

траекторией обмотки тора с частотами ω1 и ω2 .

Задача 2. Выясним, когда траектория обмотки тора с частотами ω1

и ω2

является периодической.

Решение: Если ω1=0 , то

траекторией является меридиан, и движение по нему периодично с периодом Τ 2=2 π /ω2 .

Если ω2=0 , то происходит периодическое движение по параллели. Пусть обе частоты

отличны от нуля. Тогда через промежутки времени, кратные Τ 1=2 π /ω1 , движущаяся точка оказывается на одном и том же меридиане, а через промежутки времени, кратные Τ 2=2 π /ω2 , точка оказывается на одной и той же параллели. Движение периодично тогда и только тогда, когда через некоторое время Т точка окажется в своем первоначальном положении, т.е. на тех же параллели и меридиане. Для этого нужно, чтобы этот

промежуток времени Т был кратен как Τ 1 , так и Τ 2 , т.е. Τ=mΤ1 и Τ=nΤ 2 с целыми m и n. Таким образом, необходимое и достаточное условие периодичности движения – это

существование натуральных m и n таких, что mΤ1=nΤ 2 , т.е. m ¿2π /ω1=n⋅2π /ω2 .

Теорема. Траектория обмотки тора является периодической

⇔ω1

ω2

∈Q

.

Определение 3.

ω1

ω2

= nm - несократимая дробь, тогда пара (n,m) называется циклом

траектории обмотки тора.

Всюду плотность траектории обмотки. Понятие обмотки тора

Теорема. Если число ω=ω2/ω1

иррационально, то любая траектория соответствующей обмотки тора всюду плотна на торе, т.е. проходит через любую сколь угодно малую область на торе.

Доказательство: Пусть U – произвольная область на торе; проведём меридиан S тора, пересекающий область U по дуге Δ (рис. 53), и рассмотрим последовательные точки

45

U

S

U

S

рис.53

пересечения траектории обмотки тора с этим меридианом - Ρ0 ,Ρ1 , . .. . Точка, двигаясь вдоль

траектории, возвращается на меридиан S через промежутки времени, равные Τ 1=2 π /ω1 .

За каждый такой промежуток времени долгота точки ϕ2 меняется на одну и ту же

величину ψ=ω2Τ 1=

ω2

ω1

⋅2π=ω⋅2π. Это означает, что точка Ρn пересечения траектории

с меридианом S получается из предыдущей точки пересечения Ρn-1 поворотом на угол ψ=ω⋅2 π вдоль этого меридиана. В случае иррациональности ω из теоремы Якоби

вытекает, что хотя бы одна из точек Ρn попадет на дугу Δ . Следовательно, траектория пересечёт область U, что и требовалось доказать.

Выводы:

Если число

ω=ω1

ω2

∈Q

, то траектория обмотки тора является периодической или замкнутой.

Если

ω=ω1

ω2

∈ Ι

, то траектория обмотки тора не является замкнутой.

Если

ω=ω1

ω2

∈ Ι

, то траектория обмотки тора всюду плотно заполняет поверхность тора.

Траектория обмотки тора (периодичность или не периодичность) не зависит от начального положения движения точки, а зависит только от отношения ω2/ω1

.

Определение. Семейство траекторий, для которых ω2/ω1

одинаково называются обмоткой тора. Итак, обмотка тора – семейство параллельных траекторий обмоток тора.

Бильярд в прямоугольнике и обмотке тора

Применим метод выпрямления к бильярду в прямоугольнике в сетке прямоугольников, выделим произвольный прямоугольник, состоящий из четырёх прямоугольников. Его будем называть фундаментальным прямоугольником и обозначим

46

б

а

рис.54

за ∏ ¿ ¿. Будем рассматривать выпрямленную траекторию не на всей плоскости, а в фундаментальном прямоугольнике. Тогда мы увидим следующую закономерность: выпрямленная траектория в фундаментальном прямоугольнике будет состоять из параллельных отрезков, концы которых склеиваются по закону склейки тора, а значит, этой траектории будет соответствовать некоторая траектория обмотки тора.

Найдём частоты соответствующей обмотки тора. Пусть большой шар движется со

скоростью |⃗υ|=1 под углом α , следовательно υ=(υ x , υ y )=(cosα ,sin α )

. Подсчитаем тогда период движения b частоты по меридиану и по параллели:

Τ 1=2 a

sin α, Τ2=

2 bcos α соответственно,

ω1=2πΤ1

= π sin αa ,

ω2=2 πΤ 2

=2 π cosϕ2 b

=π cos ϕb , где 2 π -

полный оборот, а Τ 1 , Τ 2 - время, за которое совершается полный оборот. Траектория обмотки тора является периодической, если частоты соизмеримы, т.е. ω1

ω2

∈Q⇒ π⋅sin αa⋅ b

π⋅cos α∈Q⇒ tgα

ab

∈Q

.

Выводы:

Результат полностью соответствует критерию периодичности, т.е.

tg βa

b

∈Q

Если

ω1

ω2

=tg βa

b

∈ Ι

, т.е. обмотка тора не является периодической, значит бильярд в прямоугольнике не может быть периодическим.

Если

ω1

ω2

=tg βa

b

∈ Ι

, следовательно траектория обмотки тора является не

периодической и всюду плотной в этом торе Т, и следовательно ∏ ¿ ¿

всюду плотно заполняется в выпрямленной траектории, а значит бильярд в исходном прямоугольнике будет всюду плотным.

Замечание: Любая непериодическая бильярдная траектория в прямоугольном бильярде всюду плотна.

Задача («Задача о зайцах»). В некотором узле О квадратной решётки находиться охотник, а в остальных узлах сидят одинаковые и одинаково расположенные зайцы –

47

К

М

N

0O

2

1

4

3

К N

MO

1

2

3

4

рис.55

1A

M

2A

1 2

12

рис. 56

кружки радиуса ξ

с центрами в этих узлах. Охотник наугад стреляет (траектория пули –

луч ℓ

, выходящий из точки О). Вернётся ли он домой с добычей?

Решение: Если траектория пули проходит через узел, отличный от точки О, то заяц, сидящий в этом узле, будет убит «в самое сердце» (в центр кружка). Поэтому интересен только тот случай, когда узел О – единственный на траектории пули, т.е.

тангенс угла наклона луча ℓ к оси Ох и рационален. Оказывается, что и в этом случае

какой-нибудь заяц будет убит, обозначим точки пересечения луча ℓ с вертикальными

прямыми сетки через Α0=0 , Α1 , Α2 ,. . ., Αn ,. . . (рис. 55). Совместим все квадраты решётки,

которые пересекает луч ℓ , с квадратом OMNK, тогда каждая точка Αn перейдёт в

некоторую точку Αn'

на стороне MN. Найдутся такие точки Αm'

и Αm+k'

, расстояние

между которыми будет меньше ξ . Будем считать, что этот луч является выпрямленной бильярдной траекторией в квадрате. Так как луч не проходит ни через одну вершину, т.е. она является не периодической, следовательно, она всюду плотно заполняет этот квадрат, а значит, что бильярдная траектория является всюду плотной. Значит найдется узел такой , что бильярдная траектория попадёт в шар, центром которого является этот узел.

Задача (о пеленге). Пусть на плоскости даны две различные

точки A1

и A2

. Около этих точек вращаются прямые ℓ1

и ℓ2

с

постоянными угловыми скоростями ω1

и ω2

. Пусть М(t) – точка

пересечения прямых ℓ1

и ℓ2

в момент времени t. Требуется описать траекторию движения точки М(t), которую мы назовём «кривой пеленга».

Решение: 1 случай. Пусть прямые параллельны, тогда будем считать, что точка, в этом случае, у ходит на бесконечность.

2 случай. Пусть прямые не являются параллельными, тогда они будут пересекаться в некоторой точке М(t). Если периоды

вращения T 1=2 π /|ω1| и

T 2=2 π /|ω2| соизмеримы, то, очевидно, движение точки М(t) будет периодическим – повторяющимся через некоторый промежуток времени. Однако

48

1A 2A

ttMM tMM

1A2A

МM

рис. 57

нарисовать соответствующие кривые не так уж просто, тогда мы рассмотрим более

простой случай ω1=ω2 .

Если ω1=ω2=ω , т.е. движение прямых ℓ1 и ℓ2 происходит с одинаковыми угловыми скоростями и в одном направлении, то из рис. 57 видно, что углы α 1=α2=ω⋅Δt и поэтому ∠ A1 M ' A2=∠A1 MA2 . Следовательно, в этом случае точка М(t)

вижется по дуге окружности, проходящей через точки A1 и A2 . Какая именно это дуга,

зависит от начальных положений прямых ℓ1 и ℓ2 . Нетрудно показать, что после перехода

прямой ℓ2 через положение A2 A1 точка М продолжает двигаться по дуге той же

окружности, что и раньше. Таким образом, «пеленг» с частотами ω1=ω2 проходит по

окружностям, проходящим через точки A1 и A2 .

В случае ω1=−ω2 кривые пеленга будут гиперболами, проходящими через точки A1 и A2 .

Задача для самостоятельного решения:

Задача. Попробуйте нарисовать какие-нибудь кривые пеленга с ω1=±2ω2 .

Теорема. Если ω1

и ω2

несоизмеримы, то любая кривая пеленга всюду плотно заполняет всю плоскость, т.е. пересекает любой круг на плоскости.

Доказательство: Рассмотрим функцию f, переводящую тор в пространство ℜ2.

Тогда f (ϕ1 , ϕ2)=M - точка пеленга, таким образом тор является конфигурационным

пространством для точек пеленга. Пусть ϕ1 и ϕ1 изменяются по закону: {ψ1=ω1 t+ϕ1 ¿ ¿¿¿.

То есть будет получена некоторая траектория обмотки тора, где M (t )=f (ψ1 ,ψ 2 ) .

Движение точек на тое соответствует движению пеленга, т.к.

ω1

ω2

∈ Ι, то траектория

обмотки тора является не периодической, а значит она всюду плотно заполняет этот тор.

49

1A 2A1 2

M

1

2 МТ

рис. 58

Число π и бильярдАвтор метода, выдающийся математический бильярдист, Гальперин Г. А. Положим

на числовую ось два бильярдных шара с массами M и m (M>m), и будем предполагать, что в начале координат х=0 расположена абсолютно упругая стенка, отражающая налетающий на неё шарик. При отражении от стенки скорость шарика меняется на строго противоположную. Размеры шариков несущественны, и для простоты мы будем считать их точечными частицами. Фиксируем натуральное число N. Следующая процедура позволяет определить любое наперёд заданное количество N последовательных цифр числа π:

1. Массы m и M подбираем так, чтобы M/m=100N 2. Шар m располагаем между стенкой х=0 и шаром М 3. Запускаем шар М в сторону шара m с произвольной скоростью 4. Подсчитываем общее количество ударов в системе (т. е. число столкновений

между шарами и число отражений шара m от стенки) 5. Записываем полученное число в десятичной системе и обозначаем его через

π(N)

рис. 59Теорема: а) число ударов в описанной динамической системе всегда конечно и не

зависит от начальных положений шаров и начальной скорости шара М. б) Число π(N) ударов в системе равно

Указания: Для доказательства части а) сведём описанную динамическую систему

к бильярду в угле величиной α=(10−N ) . Траектория этого бильярда оказывается параллельной одной из сторон угла α , поэтому число ее отражений от сторон угла всегда

конечно и равно π (N )=[ π /α ] (если N≥1 ).

50

Для доказательства раздела б) воспользуемся рядом Тейлора для х и "тонкой

структурой" числа π - равенством [π / (10-N) ]=[ π /10-N ] , получаем основной результат теоремы – часть Б:

π (N )=⌊ π

(10-N ) ⌋=⌊ π

10-N ⌋.

Задача для самостоятельного решения:Задача. Докажите приведённую выше теорему, используя указания для

доказательства.

51

Список литературы

1. Г.А. Гальперин, А.Н. Земляков «Математические бильярды», Москва «Наука», главная редакция физико-математической литературы,1990 г.

2. Научная сеть>> Г.А. Гальперин «Бильярдная динамическая система для числа пи» [Электронный ресурс], Режим доступа: http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1161679&uri=node3.html

3. Эстетика бильярдной игры [Электронный ресурс], Режим доступа: http://pool.org.ua/gentlemen/4/

52