схемы разделения секрета
TRANSCRIPT
Медведев Н.В.Титов С.С.
2
Определения:1. Дилер2. Участник3. Злоумышленник
3
Свойства СРС:1.
Совершенность2. Идеальность3. Пороговость4. Линейность
4
5
bkxxF )( 1. Формирование секрета S дилером
если , то
2. Параметризация участников
3. Расчет долей секрета
Над конечным полем
Nixxx N ...1,,...,, 21
SbkxxF
bkxxF
secsec )(
,)(
NNNN sybkxxF
sybkxxF
sybkxxF
)(
...
)(
)(
2222
1111
2-квазигруппа
x kF )(
1
)(
max
qN
qGFK
6
4. Восстановление секретаИнтерполяционный многочлен Лагранжа:
Решение системы уравнений:
SbkxxF
bk
sbkx
sbkx
secsec
22
11
)(
??,
121
22
12
1)( sxx
xxs
xx
xxxF
21
12
12
21
21
1
12
2
)()(
xx
sx
xx
sxb
xx
s
xx
sk
7
«2 из N» Совершенность
8
сbxaxy 21. Формирование секрета S
дилером если , то
2. Параметризация участников
3. Расчет долей секрета
Nixxx N ...1,,...,, 21
,)( 2 сbxaxxF
NNNNN syсbxaxxF
syсbxaxxF
syсbxaxxF
2
222222
111211
)(
...
)(
)(
3-квазигруппа
xaF )(
SсbxaxxF sec2secsec )(
9
4. Восстановление секрета
Интерполяционный многочлен Лагранжа:
Решение системы уравнений:
ScbxaxxF
cba
scbxax
scbxax
scbxax
sec2secsec
3323
2222
1121
)(
??,?,
23212
311
3121
32
))((
))((
))((
))(()( s
xxxx
xxxxs
xxxx
xxxxxF
32313
21
))((
))((s
xxxx
xxxx
10
«3 из N» Совершенность
11
1. Параметризация участников абсциссами из множества
2. Формирование многочлена дилером
- линейность3. Расчет доли секрета для N участников
- идеальность
Интерполяционный многочлен Лагранжа
)...()( 012
21
1 axaxaxaxF kk
kk
Nixxx N ...1,,...,, 21
NN sxF
sxF
sxF
)(
...
)(
)(
22
11
ix
0aS ),,...,,(),,...,,()( 021
0121 xxxxaaaaxF kkkk
kj
k
jj
j
jj
j
j
k
iji ij
ij
k
jjj
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xxxl
xFxlyxL
......)(
)()()(
1
1
1
1
0
0
,0
1
4. Восстановление секрета k участниками
Любой идеальной СРС соответствует связный матроид.Введение в криптографию / Под общ. ред. В.В. Ященко. СПб: Питер, 2001. – 288 с.
Асанов М.О., Баранский В.А., Расин В.В. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы. — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. — С. 288.
Не для любой структуры доступа возможно идеальное разделение секрета.
Для любого набора разрешенных множеств можно построить совершенную СРС
12
kkk
kkk
kk
kk
kk
kk
kk
saxaxaxa
saxaxaxa
saxaxaxa
012
21
1
20212
221
21
10112
121
11
...
...
...
...
Если поле конечно, то каково максимально возможное число участников для линейных пороговых «k из N» CРС?
Гипотеза: , за исключением двух случаев: , когда , и случая , или , когда .Введение в криптографию / Под общ. ред. В.В. Ященко. СПб: Питер, 2001. – 288 с.
13
)(qGFK
maxNN
1max qNN
kq 1kNmq 2 3k 1qk
2qN
Алгоритм удвоения и сложения точек на эллиптической кривой
14
642
23
312 aXaXaXYaXYaY
62
232 aXaXY
baXXY 232
Абелева группа,
00
Форма Вейерштрасса:Теорема Хассе
15
Сложение: Удвоение:
3112
1213
21
2
12
123
33
2211
),(
),(),,(
xxxx
yyyy
xxxx
yyx
yxQP
yxQyxP
)(2
3
22
3
),(2
),(
211
21
12
1
2
1
21
2
22
11
xxy
axyy
xy
axx
yxP
yxP
16
44y 32 xx
легко трудно
Пример:100P=2(2(P+2(2(2(P+2P)))))Всего 8 операций!Элементарное введение в эллиптическую криптографию:
Алгебраические и алгоритмические основы / А.А. Болотов, С.Б. Гашков, А.Б. Фролов, А.А. Часовских. – М.: КомКнига, 2006. – 328 с.
17
?,
?
),(
),(
11
00
nQP
QnPP
yxQ
yxP
Стандартное использованиеэллиптических кривых в криптографии
1. Формирование секрета S дилером
2. Параметризация участников
3. Расчет доли секрета
18
cbxaxxy 232
yxxyxF )()(),(
NNNNN syxxPF
syxxPF
syxxPF
)()()(
...
)()()(
)()()(
22222
11111
NiPPP N ...1,,...,, 21
3deg2,deg2maxdeg F
19
4. Восстановление секрета
Решение системы уравнений:
SyxxxF
syxx
syxx
syxx
kkkk
secsecsecsec
2222
1111
)()()(
)()(
...
)()(
)()(
Для k различных точек на эллиптической кривой EC существует многочлен степени k, имеющий эти точки своими корнями, тогда и только тогда, когда сумма этих k точек равна нулю в группе точек данной кривой .
20
Доказательство основано на теореме о главных дивизорах
k=3
kPPP ,...,, 21
0...21 kPPP
0
1
1
1
33
22
11
yx
yx
yx
EyDCxPF )()(
0)(
0)(
0)(
33
22
11
EyDCx
EyDCx
EyDCx
Пусть неразрешенная коалиция
, тогда
При введение любого другого участника в неразрешенную коалицию из k участников делает ее разрешенной.
Почти-пороговая схема разделения секрета.
21
ECPPP k ,...,, 21
kPPPP ,...,, 21
00)...()(... 12112 PPPPPPPPPP kk
1PP
В данной конечной абелевой группе G для данного k такого, что , не существует k-подмножества, сумма элементов которого равна нулю, в следующих лишь случаях:
1) G – элементарная абелева группа вида , , при или при 2) в группе G имеется единственный (ненулевой) элемент второго порядка, иВ этом случае , четно.
22
Gk 0
rZ22k 1r 22 rk ;2r
.Gk kZG k
23
021
21
gg
gg
1) Пример – СРС «2 из 2»,
8,2 rZ r
)10100011()10100011()00000000(
2) Пример - СРС «k из k» (циклическая группа), k – четно
Вывод: пороговость для EC только в тривиальных случаях
kZG
)6(mod03543210
5,4,3,2,1,0
6
6
Z
k
rq 2
24
EF
sEyCBxPF
sEyCBxPF
sEyCBxPF
EyCBxPF
cbxaxxy
)(
)()(
...
)()(
)()(
)()(
10101010
2222
1111
232
333
222
111
)(
)(
)(
sEyCBx
sEyCBx
sEyCBx
45 232 xxxy
+ P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10P0 P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
P1 P1 P7 0 P4 P10 P8 P9 P6 P2 P3 P5
P2 P2 0 P8 P9 P3 P10 P7 P1 P5 P6 P4
P3 P3 P4 P9 P2 0 P7 P5 P10 P6 P8 P1
P4 P4 P10 P3 0 P1 P6 P8 P5 P9 P2 P7
P5 P5 P8 P10 P7 P6 P3 0 P2 P4 P1 P9
P6 P6 P9 P7 P5 P8 0 P4 P3 P1 P10 P2
P7 P7 P6 P1 P10 P5 P2 P3 P9 0 P4 P8
P8 P8 P2 P5 P6 P9 P4 P1 0 P10 P7 P3
P9 P9 P3 P6 P8 P2 P1 P10 P4 P7 P5 0P10 P10 P5 P4 P1 P7 P9 P2 P8 P3 0 P6
25
Неразрешенные коалиции участников: 1 4 9, 1 5 7, 1 6 10, 2 3 10, 2 5 9, 2 6 8, 3 5 8, 3 7 9, 4 6 7, 5 8 10, 1 2 ∞, 3 4 ∞, 5 6 ∞, 7 8 ∞, 9 10 ∞
26
44y 32 xx
1010
9999299
2222222
1111211
2
32
)()(
)()()(
...
)()()(
)()()(
)()()(
sDFPF
syEDxCBxAxPF
syEDxCBxAxPF
syEDxCBxAxPF
yEDxCBxAxPF
baxxy
555425
444424
333323
222222
111121
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
syEDxCBxAx
syEDxCBxAx
syEDxCBxAx
syEDxCBxAx
syEDxCBxAx
)2,2(
,4432
P
xxy
6791023554217729315948390109688241866079683439708782272218370255
80617267376375082018159598020761972106125638526333287242110470370029614285880758463879034713928845411700941415
704167863106789398397347333261603231031485122
50
y
x
P
Ушаков В.Н. Теорема Чевы и некоторые особенности геометрии пирамиды Хеопса
Гипотеза :Множество всюду плотно на кривой
Теорема 3.Если эллиптическая кривая на полем Q имеет ранг больше единицы, то рациональные точки на ее правой ветви располагаются всюду плотно.Доказательство получено методами топологических групп.
28
mP4432 xxy
1. Существует ли идеально реализуемая структура доступа Г, которую невозможно реализовать как идеальную линейную многомерную СРС?
2. Описать матроиды, соответствующие идеальным СРС
3.
29
1. Описан принцип схем совершенного разделения секрета
2. Свойства СРС3. Пороговая СРС Шамира4. Связь СРС и матроидов5. Выявлена почти-пороговость СРС на EC6. Доказана всюду плотность
рациональных точек на ЕС
30