ТОДОРХОЙЛОГЧ, УРВУУ МАТРИЦ

Лекц-2

АШИГЛАХ МАТЕРИАЛУУД

МТ101 Математик-I хичээлийн семинарын гарын авлага

Эдийн засгийн дээд математик

МАТРИЦ ДЭЭР ХИЙХ ҮЙЛДЛҮҮД Нэмэх хасах Тоогоор үржүүлэх Матрицуудыг үржүүлэх Матрицийг хөрвүүлэх

ТОДОРХОЙЛОГЧ А квадрат матрицад тодорхой

дүрмээр тоог харгалзуулж, түүнийг уг матрицийн тодорхойлогч гээд detA гэж тэмдэглэнэ.

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

....det

Nxn хэмжээст тодорхойлогчийг n эрэмбийн тодорхойлогч гэнэ.

Хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг

Гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг гурвалжны дүрэм буюу Саррюссын дүрмээр бодно.

211222112221

1211 aaaaaa

aaA

САРРЮСЫН ДҮРМИЙГ СХЕМЭЭР ХАРУУЛБАЛ

322311332112312213

322113312312332211

333231

232221

131211

33

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

A x

МИНОР, АЛГЕБРИЙН ГҮЙЦЭЭЛТ N-р эрэмбийн тодорхойлогчийн i-р

мөр j-р баганыг дарахад үүссэн n-1 эрэмбийн тодорхойлогчийг aij элемэнтийн минор гэнэ. Mij гэж тэмдэглэнэ.

(-1)i+j Mij=Aij гээд aij элемэнтийн алгебрийн гүйцээлт гэнэ.

ЖИШЭЭ НЬ:

333231

232221

131211

33

aaa

aaa

aaa

A x

3231

21113223

3223 11

aa

aaMA

ТОДОРХОЙЛОГЧИЙН ЧАНАРУУД1. Тодорхойлогчийн гол диогналийн

хувьд тэгш хэмтэй байрлах элемэнтүүдийн байрыг солиход тодорхойлогчийн утга өөрчлөгдөхгүй.

332313

322212

312111

333231

232221

131211

33

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A x

2. Тодорхойлогчийн 2 багана (мөрийн) байрыг солиход тэмдэг нь эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

333231

131211

232221

333231

232221

131211

33

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A x

313233

212223

111231

333231

232221

131211

33

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A x

3. Ижил 2 багана (мөр) -тай тодорхойлогч 0 тэнцүү.

4. Нэг багана мөрийн бүх элемэнтийг нэг ижил тоогоор үржих нь тодорхойлогчийг тэр тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү.

5. Нэг багана (мөрийн) бүх элемэнт 0 бол тэр тодорхойлогч 0 байна.

6. Пропорциональ 2 багана (мөртэй) тодорхойлогч 0 тэнцүү.

7. Тодорхойлогчийн дурын р дүгээр багана (мөр)ийн элемэнт бүр хоёр нэмэгдэхүүний нийлбэр байвал түүнийг хоёр тодорхойлогчийн нийлбэр болгон бичиж болно.

8. Нэг багана (мөр)ийн бүх элемэнтийг нэг ижил тоогоор үржүүлж нөгөө баган (мөр)-ын харгалзах элемэнт дээр нэмэхэд тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

Тодорхойлогч нь түүний аль нэг багана (мөр)ийн элемэнт бүрийг алгебрын гүйцээлтээр үржүүлж нэмсэн нийлбэртэй тэнцүү.

.

332211

332211

333231

232221

131211

33

iiiiii

jjjjjjx

AaAaAa

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

A

Тодорхойлогчийн аль нэг багана (мөр)ийн элемэнт үүдийг өөр нэг багана (мөр)ийн элемэнтүүдийн алгебрийн гүйцээлтээр үржүүлж нэмбэл 0 гарна.

03

132

3

121

ijj

jjj AaAa

8. Гурвалжин хэлбэртэй матрицийн тодорхойлогч нь түүний гол диогнал дээрх элемэнтүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

9. Хэрэв хажуугийн диогналийн альнэг талын элемэнтүүд бүгд 0 бол тодорхойлогч нь хажуугийн диогнал дээрх тоонуудын үржвэрийг

үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

332211

33

22

11

33

00

00

00

aaa

a

a

a

A x

2

)1(

)1(

nn

МАТРИЦ ДЭЭР ХИЙХ ХУВИРГАЛТУУД Матрицийн аль нэг баганын

элемэнтийг тогтмол тоогоор үржүүлж болно.

Матрицийн хоёр мөр (баганa)ын байрыг солих

Аль нэг мөр (баганa)-г чмар нэг тоогоор үржүүлж өөр нэг мөр (багана)-ийн харгалзах элемэнт дээр нэмэхэд матриц өөрчлөгдөхгүй.

МАТРИЦИЙН РАНГ А матрицийн 0ээс ялгаатай

миоруудын хамгийн их эрэмбийг матрицийн ранг гэнэ . Өөрөөр хэлбэл өөр хоорондоо шугаман хамааралгүй мөрийн тоог ранг гэнэ. rang(A), r(A) гэж тэмдэглэнэ.

РАНГ ОЛОХ АРГУУД1. Эмжигч минорын арга2. Матрицийг трапец хэлбэрт

шилжүүлэх3. Матрицаас нэгж матрицмйг

ялгах арга

ЭМЖИГЧ МИНОРЫН АРГА Ямар нэг к эрэмбийн М мионрыг

өөртөө агуулсан к+1 эрэмбийн минор М-г эмжигч мигор гэнэ. Матрицаас тэгээс ялгаатай мнорыг эмжих замаар үүсч буй тодорхойлогчийг бодох замаар рангийг олдог. Матрицийн тэгээм ялгаатай Мминорыг олбол түүнийг эмжигч минорууд тэгтэй тэнцүү гэдгийг шалгачихвал энэ матрицийн ранг М минорын эрэмбэтэй тэнцүү байна.

2. Матрицийг трапец хэлбэрт шилжүүлэх

Элемэнтар хувиргалтаар матрицийг трапец хэлбэрт оруулвал ранг инь трапецийн өндөрт багтаж буй эгнээний өндөртэй тэнцүү.

3. Матрицаас нэгж матрицийг ялгах арга

Матрицад элемэнтар хувиргалт хийж түүний боломжит бүх нэгж баганыг ялгах хүртэл хувиргана. Нэгж баганын тоо нь матрицийн ханг болно.

УРВУУ МАТРИЦN эрэмбийн квадрат матриц А-ийн

хувьд А-1 A=A А-1 =E байх А-1 матрицийг А матрицийн урвуу матриц гэнэ.

Хэрэв матрицийн тодорхойлогч нь 0 байвал тэр матриц урвуугүй байна.

Урвуу матрицийг олохдоо1. Өгөгдсөн матрицуудын элемэнтүүдээс

зохиогдсон тодорхойлогч бодно. Det(A) олно.

2. Матрицийг хөрвүүлнэ.3. Хөрвөсөн матрицийн элемэнт бүрийн

алгебрийн гүйцээлт олно.4. Алгебрийн гүйцээлтүүдээс уялдсан

матрицийг зохионо.5. Уялдсан матрицийг 1/det(A) тоогоор

үржүүлж А-1 олно.

*1

det

1A

AA

Анхаарал тавьсанд

баярлалаа