Федеральное агентство по образованию

Уравнениям математической физики. Введение

Курс лекций для вузов

Составители:В.З. Мешков,А.Т. Астахов,А.А. Ларин

ВОРОНЕЖ 2007

2

Утверждено Научно — методическим советом факультета ПММ25 января 2007 г., протокол 5

Рецензент А.В. Ковалев

Учебное пособие подготовлено на кафедре дифференциальных урав-нений факультета ПММ Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 3-5 курса д/о и в/о и магистров факультетаПММ

Для специальностей: 010501, 510200, 010500, 010200 – Прикладная мате-матика и информатика

3

Программа дисциплины

1. Основные сведения об уравнениях с частными производными.2. Классификация уравнений в частных производных второго

порядка с двумя независимыми переменными.3. Уравнения характеристик.4. Канонические формы уравнений.5. Классификация уравнений второго порядка со многими незави-

симыми переменными в точке.6. Вывод основных уравнений математической физики. Уравнение

колебаний струны.7. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле.8. Задачи, приводящие к уравнениям Пуассона и Лапласа.9. Характеристические уравнения и характеристики.10. Постановка основных краевых задач для дифференциальных

уравнений второго порядка.11. Задача Коши.12. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа. Смешан-

ная краевая задача.13. Корректность постановки задач математической физики.

Теорема Ковалевской. Пример Адамара.14. Основной оператор краевых задач математической физики. Пер-

вая и вторая формулы Грина для основного оператора математическойфизики.

15. Свойства основного оператора математической физики. Сим-метричность. Неположительность.

16. Задача на собственные значения. Свойства собственных значе-ний и собственных функций.

17. Задача Штурма – Лиувилля.18. Метод Фурье. Метод разделения переменных для решения пер-

вой начально–краевой задачи для уравнения колебания струны.19. Сходимость рядов, определяющих классическое решение.20. Метод разделения переменных для решения первой начально

–краевой задачи для уравнения теплопроводности. Сходимость рядов,определяющих классическое решение.

21. Гиперболические уравнения. Задача Коши для уравненияколебаний струны. Формула Даламбера.

22. Неоднородное уравнение. Устойчивость решения.

4

23. Метод распространяющихся волн. Распространение волнотклонения. Распространения волн импульса.

24. Полуограниченная прямая и метод продолжений.25. Распространение краевого режима.26. Задача Коши для трехмерного волнового уравнения. Формула

Кирхгофа.27. Задача Коши для двумерного волнового уравнения. Формула

Пуассона.28. Принцип Гюйгенса. Физическая интерпретация принципа

Гюйгенса.29. Неоднородное уравнение. Принцип Дюамеля.30. Задача Коши. Энергетическое неравенство. Единственность ре-

шения задачи Коши.31. Единственность решения начально-краевых задач для волнового

уравнения. Интеграл энергии.32. Преобразование Фурье функций из пространства S(Rn) . Фор-

мула обратного преобразования Фурье в классе S(Rn) .33. Свойства преобразования Фурье.34. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл

Пуассона.35. Обоснование вывода интеграла Пуассона.36. Физический смысл фундаментального решения уравнения

теплопроводности.37. Принцип максимума для уравнения теплопроводности.38. Следствия из принципа максимума. Принцип минимума.

Принцип максимума модуля. О продолжении неравенств справедливыхна нижнем основании или боковой поверхности.

39. Единственность решения первой начально - краевой задачи дляуравнения теплопроводности. Об устойчивости решения начально - крае-вой задачи по начальным и граничным данным.

40. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплоп-роводности.

41. Постановка основных задач для уравнения теплопроводности.Закон сохранения тепловой энергии. Теорема единственности решениядля ограниченных областей.

42. Уравнение специальных функций. Уравнение Бесселя.43. Степенной ряд для функций Бесселя.44. Рекуррентные формулы.45. Интегральное представление функций Бесселя.

5

46. Функции Ханкеля. Интегральное представление.47. Связь функций Ханкеля и Бесселя. Функция Неймана.48. Асимптотика цилиндрических функций при больших значениях

аргумента.49. Метод Фурье решения краевых задач для уравнения Лапласа.50. Задачи Дирихле и Неймана в круге.51. Интеграл Пуассона.52. Обобщенные функции.53. Пространства основных и обобщенных функций.54. Средние функции. Понятие обобщенной производной.55. Обобщенные и фундаментальные решения дифференциальных

уравнений.56. Свертка и ее основные свойства.57. Неравенство Фридрихса.58. Пространства Hκ(Ω) .59. Эллиптические уравнения. Постановка основных задач для урав-

нений эллиптического типа.60. Некоторые свойства оператора Лапласа. Первая и вторая фор-

мулы Грина для оператора Лапласа.61. Следствия из формулы Грина.62. Фундаментальное решение оператора Лапласа.63. Физический смысл фундаментального решения оператора

Лапласа.64. Интегральное представление функций класса C2 (третья фор-

мула Грина).65. Основные свойства гармонических функций.1) Бесконечная дифференцируемость.2) Теорема о потоке тепла (граничное свойство гармонических

функций).3) Связь аналитических и гармонических функций.4) Теоремы о среднем значении.5) Обратная теорема о среднем значении(без доказательства).6) Принцип максимума.7) Единственность внутренней задачи Дирихле.8) Единственность внешней задачи Дирихле.9) Теорема Лиувилля.10) Оценка производной гармонической функции.

66. Преобразование Кельвина и его свойства. Следствия из теоремыКельвина.

6

67. Скорость убывания на бесконечности гармонических функций.68. Теорема единственности внешней задачи Неймана.69. Функция Грина. Функция Грина внутренней и внешней задач

Дирихле для внутренности и внешности единичного шара.70. Функция Грина внутренней и внешней задачи Дирихле.71. Симметрия функции Грина первой краевой задачи для урав-

нения Лапласа.72. Функция Грина внутренней задачи Неймана.73. Функция Грина внешней задачи Неймана.74. Метод отражения. Функция Грина для полупространств.75. Функция Грина внешней задачи Дирихле для полу-

пространств.76. Функция Грина внешней задачи Неймана для полу-

пространств.

Лекция 1

1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ СЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Теория математических моделей физических явлений составляетпредмет математической физики.

Более подробно в этом курсе будем изучать дифференциальные,интегральные и функциональные уравнения, описывающие явления при-роды.

Пусть Ω – область n -мерного пространства Rn точек x=(x1, ..., xn) ,n > 2 .

Определение. Уравнение в частных производных — это уравне-ние, которое связывает независимые переменные x1 , x2 , ... , xn , неиз-вестную функцию многих переменных u = u(x1, x2, . . . , xn) и ее частныепроизводные, т. е. это уравнение вида

F

(x1, x2, . . . , xn, u,

∂u

∂x1, . . . ,

∂u

∂xn,∂2u

∂x21, . . . ,

∂mu

∂xm11 · · · ∂xmn

n

)= 0, (1)

mi ∈ N∪0 , m1 +m2 + · · ·+mn = m . Здесь F (·) – некоторая заданнаяфункция от соответствующего количества переменных.

Определение. Функция u(x) , заданная в области Ω ⊂ Rn , назы-вается регулярным (классическим) решением уравнения (1), если онанепрерывна вместе со всеми своими производными до порядка m

7

включительно в этой области и при подстановке в уравнение обращаетего в тождество.

Определение. Наивысший порядок входящих в уравнение част-ных производных называется порядком дифференциального уравнения счастными производными. Порядок уравнения (1) равен m .

В курсе математической физики будем рассматривать только диф-ференциальные уравнения с частными производными второго порядка.

Пример. В случае n = 2 уравнение второго порядка имеет вид

F

(x, y, u(x, y),

∂u

∂x,∂u

∂y,∂2u

∂x2 ,∂2u

∂y2 ,∂2u

∂x∂y

)= 0.

Определение. Уравнение с частными производными называетсялинейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех еепроизводных.

Линейное уравнение с частными производными второго порядка отn независимых переменных может быть записано в виде

n∑i=1

n∑j=1

aij(x)∂2u

∂xi∂xj+

n∑i=1

bi(x)∂u

∂xi+ c(x)u = f(x),

aij(x) = aji(x), i, j = 1, . . . , n,

(2)

где aij(x) , bi(x) , c(x) , f(x) – заданные функции от n переменных.Определение. Функции aij(x) , bi(x) , c(x) в уравнении (2) назы-

ваются коэффициентами линейного уравнения.Определение. Функция f(x) называется правой частью уравне-

ния (2). Если f(x) ≡ 0 , то уравнение называется однородным. В против-ном случае – неоднородным.

Уравнение с частными производными второго порядка, линейноеотносительно всех старших производных, имеет вид

n∑i=1

n∑j=1

aij(x)∂2u

∂xi∂xj+ Φ(x, u(x), grad u(x)) = 0,

где коэффициенты aij являются функциями только независимыхпеременных x1 , x2 , ... , xn . Если они зависят также от u(x) и ее первыхпроизводных, то уравнение называется квазилинейным. Таким образом,квазилинейное уравнение имеет вид

n∑i=1

n∑j=1

aij(x, u(x), grad u(x))∂2u

∂xi∂xj+ Φ(x, u(x), grad u(x)) = 0.

8

2. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ

НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Рассмотрим уравнение второго порядка, линейное относительностарших производных, для неизвестной функции u(x, y) двух незави-симых переменных x и y :

a11(x, y)uxx + 2a12(x, y)uxy + a22(x, y)uyy + F (x, y, u, ux, uy) = 0, (1)

где действительные функции aij(x, y) определены в области Ω . Будемсчитать, что все коэффициенты aij одновременно в нуль не обращаютсяни в одной точке области Ω (a2

11 + a212 + a2

22 6= 0) .Введем новые независимые переменные:

ξ = ξ(x, y), η = η(x, y), (2)

где функции ξ и η дважды непрерывно дифференцируемы:ξ, η ∈ C2(Ω) .

Будем считать, что это преобразование осуществляет взаимнооднозначное отображение области Ω на область Ω′ . Потребуем, чтобыякобиан преобразования был отличен от нуля:

D(ξ, η)

D(x, y)6= 0. (3)

Попытаемся преобразование (2) выбрать таким образом, чтобы вновых переменных уравнение (1) имело наиболее простую форму. Преоб-разуем уравнение (1) к новым переменным, полагаяU(ξ, η) = u(x(ξ, η), y(ξ, η)) . Тогда

ux = Uξξx + Uηηx, uy = Uξξy + Uηηy,

uxx = Uξξξ2x + 2Uξηξxηx + Uηηη

2x + Uξξxx + Uηηxx,

uyy = Uξξξ2y + 2Uξηξyηy + Uηηη

2y + Uξξyy + Uηηyy,

uxy = Uξξξxξy + Uξη(ξxηy + ξyηx) + Uηηηxηy + Uξξxy + Uηηxy.

В новых переменных уравнение (1) принимает вид

a11Uξξ + 2a12Uξη + a22Uηη + F = 0, (4)

гдеa11 = a11ξ

2x + 2a12ξxξy + a22ξ

2y , (5)

9

a22 = a11η2x + 2a12ηxηy + a22η

2y, (6)

a12 = a11ξxηx + a12(ξxηy + ξyηx) + a22ξyηy, (7)

F = F (ξ, η, U, Uξ, Uη) – функция, не зависящая от старших производ-ных. При этом непосредственной проверкой можно убедиться в спра-ведливости тождества

a122 − a11a22 = (a2

12 − a11a22)∣∣∣D(ξ, η)

D(x, y)

∣∣∣2. (8)

Теперь можно ввести следующую классификацию уравнений, ли-нейных относительно старших производных.

Определение. Если в точке M(x0, y0) a212 − a11a22 > 0 , то урав-

нение (1) называется уравнением гиперболического типа в точке M ,если в точке M a2

12 − a11a22 < 0 , то уравнение (1) называетсяуравнением эллиптического типа в точке M ,

если в точке M a212−a11a22 = 0 , то уравнение (1) называется урав-

нением параболического типа в точке M .Заметим, что согласно (8) при любой невырожденной

замене переменных тип уравнения не изменяется. Если тип уравнениясохраняется во всех точках области Ω , то уравнение называется урав-нением данного типа во всей области Ω . Если в разных точках областиуравнение принадлежит разным типам, то оно называется уравнениемсмешанного типа в области Ω .

3. УРАВНЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК

Теперь выясним, как нужно вводить новые переменные ξ и η , чтобыуравнение (1) приняло наиболее простой вид. Будем считать, что уравне-ние (1) принадлежит определенному типу во всей области Ω и коэффи-циенты a11(x, y) и a22(x, y) одновременно в нуль не обращаются. В про-тивном случае уравнение (1) содержит только одну старшую производ-ную uxy и уже имеет простейший вид. Для определенности считаем, чтоa11(x, y) 6= 0 .

Из соотношения (5) видно, что для того, чтобы a11 = 0 , нужно вкачестве функции ξ(x, y) взять решение уравнения

a11z2x + 2a12zxzy + a22z

2y = 0. (9)

10

Определение. Уравнение (9) называется характеристическимуравнением для уравнения (1).

Имеет место следующая лемма.Лемма. Пусть функция z(x, y) класса C1 такова, что zy 6= 0

в рассматриваемой области Ω . Для того, чтобы семействокривых z(x, y) = C представляло собой характеристики уравнения (1),необходимо и достаточно, чтобы выражение z(x, y) = C было общиминтегралом обыкновенного дифференциального уравнения

a11(x, y)(dy)2 − 2a12(x, y)dydx + a22(x, y)(dx)2 = 0. (10)

Доказательство.Необходимость. Пусть z(x, y) удовлетворяет (9). Равенство

z(x, y) = C задает функцию y = f(x,C) (по теореме о дифферен-цировании неявной функции), для которой

dy

dx= −zx(x, y)

zy(x, y)

∣∣∣y=f(x,C)

.

Поскольку справедливо соотношение

a11

(dy

dx

)2

− 2a12dy

dx+ a22 =

=

[a11

(−zx

zy

)2

− 2a12

(−zx

zy

)+ a22

]

y=f(x,C)

= 0,

то функция y = f(x,C) удовлетворяет уравнению (10).Достаточность. Пусть z(x, y) = C есть общий интеграл обыкно-

венного дифференциального уравнения (10). Через произвольную точку(x0, y0) проведем интегральную кривую уравнения (10), полагаяz(x0, y0) = C0 и y = f(x,C0) . Т. к. y0 = f(x0, C0) , то для всех точекэтой кривой имеем:

a11

(dy

dx

)2

− 2a12dy

dx+ a22 =

=

[a11

(−zx

zy

)2

− 2a12

(−zx

zy

)+ a22

]

y=f(x,C0)

= 0.

Полагая в последнем равенстве x = x0 , получим (9). Лемма доказана.Полагая ξ = ϕ(x, y) , где ϕ(x, y) = C есть интеграл уравнения

(10), мы обращаем в нуль коэффициент при Uξξ в уравнении (4). Если

11

ψ(x, y) = C – другой интеграл уравнения (10), независимый от ϕ(x, y) ,то, полагая η = ψ(x, y) , мы обращаем в нуль также и коэффициент приUηη .

Уравнение (10) распадается на два уравнения:

dy

dx=

a12 +√

a212 − a11a22

a11, (11)

dy

dx=

a12 −√

a212 − a11a22

a11. (12)

В силу доказанной леммы уравнения (11) и (12) называют урав-нениями характеристик для уравнения (1), а их решения – характери-стиками.

4. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим область G , во всех точках которой уравнение имеетодин и тот же тип.

1. Для уравнения гиперболического типа a212 − a11a22 > 0 правые

части уравнений (11) и (12) действительны и различны. Общие интегра-лы их, ϕ(x, y) = C1 и ψ(x, y) = C2 , определяют действитель-ные семейства характеристик, которые не касаются друг друга. Выбираяξ = ϕ(x, y) , η = ψ(x, y) , получим a11 = 0 , a22 = 0 . Следовательно,уравнение (4) после деления на a12 6= 0 принимает вид

Uξη = F (ξ, η, U, Uξ, Uη). (13)

Определение. Форма уравнения (13) называется (первой) канони-ческой формой уравнения гиперболического типа.

Часто используется и другая каноническая форма, которую можнополучить заменой

α =1

2(ξ − η), β =

1

2(ξ + η).

В этом случае уравнение принимает вид

Uαα − Uββ = F1(ξ, η, U, Uξ, Uη).

2. Пусть в области G уравнение (1) есть уравнение эллиптическо-го типа, т. е. a2

12 − a11a22 < 0 . Тогда уравнения характеристик (11) и

12

(12) при действительных коэффициентах aij имеют комплексно–сопряженные правые части. Все характеристики будут комплексными.Считая, что коэффициенты aij определены в комплексной области ианалитичны, и делая формальную замену ξ = ξ(x, y) , η = ξ∗(x, y) , гдеξ(x, y) = C1 и ξ∗(x, y) = C2 — комплексно–сопряженные интегралы (11)и (12), получим уравнение

Uξη = F2(ξ, η, U, Uξ, Uη) (14)

в комплексной области. Если сделать еще одну замену

α =1

2(ξ + η) = Reξ, β = − i

2(ξ − η) = Imξ,

уравнение (14) примет вид

Uαα + Uββ = F3(ξ, η, U, Uξ, Uη) (15)

уже в действительной области.Определение. Форма (15) преобразованного уравнения (1) есть

канонический вид уравнения эллиптического типа.3. Рассмотрим, наконец, уравнение параболического типа в области

G : a212 − a11a22 = 0 . В этом случае существует только одно уравнение

характеристикdy

dx=

a12

a11.

Пусть ξ(x, y) = C — его интеграл. Возьмем произвольную дваждыдифференцируемую функцию η(x, y) такую, чтобы выполнялось усло-вие

D(ξ, η)

D(x, y)6= 0. (16)

Тогда при замене ξ = ξ(x, y) , η = η(x, y) коэффициент a11 = 0 в силу(9) и a12

2 = 0 , т. к. a122 − a11a22 = 0 . Коэффициент a22 6= 0 т. к. в

противном случае не будет выполняться (16). Следовательно, уравнение(4) принимает вид

Uηη = F4(ξ, η, U, Uξ, Uη). (17)

Определение. Форма (17) преобразованного уравнения (1) пред-ставляет собой каноническую форму уравнения параболического типа.

Отметим еще раз, что приведенная классификация справедлива вовсей области, где уравнение сохраняет определенный тип.

13

Лекция 2

5. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГОПОРЯДКА СО МНОГИМИ НЕЗАВИСИМЫМИ

ПЕРЕМЕННЫМИ В ТОЧКЕ

Рассмотрим уравнение видаn∑

i=1

n∑j=1

aij(x)∂2u

∂xi∂xj+ Φ(x, u(x), grad u(x)) = 0 (1)

с непрерывными коэффициентами aij(x) , x = (x1, x2, ..., xn) .Выясним, как преобразуется уравнение (1) при произвольной не-

вырожденной замене независимых переменных ξ = ξ(x) , т. е.

ξi = ξi(x1, x2, ..., xn), i = 1, 2, ..., n;

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ξ1

∂x1

∂ξ1

∂x2· · · ∂ξ1

∂xn∂ξ2

∂x1

∂ξ2

∂x2· · · ∂ξ2

∂xn

· · · · · · · · · · · ·∂ξn

∂x1

∂ξn

∂x2· · · ∂ξn

∂xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

6= 0. (2)

Т. к. D 6= 0 , то в некоторой окрестности точки ξ = ξ(x) можновыразить переменные x через ξ , x = x(ξ) . Обозначим u(x(ξ))=U(ξ) ,тогда U(ξ(x)) = u(x) . Считая ξi ∈ C2 , имеем

∂u

∂xi=

n∑κ=1

∂U

∂ξκ· ∂ξκ

∂xi, ∀i = 1, n,

∂2u

∂xi∂xj=

∂

∂xi

(∂u

∂xj

)=

∂

∂xi

(n∑

κ=1

∂U

∂ξκ· ∂ξκ

∂xj

)=

=n∑

κ=1

∂

∂xi

(∂U

∂ξκ

)∂ξκ

∂xj+

n∑κ=1

∂U

∂ξκ

∂

∂xi

(∂ξκ

∂xj

)=

=n∑

κ=1

n∑

`=1

∂

∂ξ`

(∂U

∂ξκ

)∂ξ`

∂xi· ∂ξκ

∂xj+

n∑κ=1

∂U

∂ξκ· ∂2ξκ

∂xi∂xj=

=n∑

κ=1

n∑

`=1

∂2U

∂ξκ∂ξ`· ∂ξ`

∂xi· ∂ξκ

∂xj+

n∑κ=1

∂U

∂ξκ· ∂2ξκ

∂xi∂xj. (3)

14

Подставляя выражения для производных (3) в уравнение (1), получим

n∑κ=1

n∑

`=1

[n∑

i=1

n∑j=1

aij∂ξ`

∂xi· ∂ξκ

∂xj

]∂2U

∂ξκ∂ξ`+

n∑κ=1

[n∑

i=1

n∑j=1

aij∂2ξκ

∂xi∂xj

]∂U

∂ξκ+

+Φ∗(

ξ, U,∂U

∂ξ1, . . . ,

∂U

∂ξn

)= 0. (4)

Здесь Φ∗(ξ, U, grad U) = Φ(x, u, grad u) . Обозначая теперь через Aκ`

новые коэффициенты при вторых производных,

Aκ` =n∑

i=1

n∑j=1

aij∂ξ`

∂xi· ∂ξκ

∂xj, (5)

и полагая

Φ(ξ, U, grad U) =n∑

κ=1

[n∑

i=1

n∑j=1

aij∂2ξκ

∂xi∂xj

]∂U

∂ξκ+ Φ∗(ξ, U, grad U),

перепишем уравнение (4) в виде:n∑

κ=1

n∑

`=1

Aκ`∂2U

∂ξκ∂ξ`+ Φ(ξ, U, grad U) = 0. (6)

Далее фиксируем точку x0 и положим

ξ0 = ξ(x0), ακi =∂ξκ(x0)

∂xi.

Тогда соотношение (5) в точке x0 , примет вид

Aκ`(ξ0) =n∑

i=1

n∑j=1

aij(x0)α`iακj. (7)

Полученная формула преобразования коэффициентов aij в точке x0

совпадает с формулой преобразования коэффициентов квадратич-ной формы

n∑

i=1

n∑

j=1

aij(x0)pipj (8)

при невырожденном линейном преобразовании

pi =n∑

κ=1

ακiqκ, det (ακi) 6= 0, (9)

15

переводящим форму (8) в формуn∑

κ=1

n∑

`=1

Aκ`qκq`. (10)

Итак, чтобы упростить уравнение (1) в точке x0 с помощью заме-ны переменных (2), достаточно упростить в этой точке квадратичнуюформу (8) с помощью невырожденного линейного преобразования (9).В курсе линейной алгебры доказывается, что всегда существует преоб-разование (9), при котором квадратичная форма (10) принимает сле-дующий канонический вид:

r∑κ=1

q2κ −

m∑κ=r+1

q2κ, m 6 n. (11)

Кроме того, в силу закона инерции квадратичных форм целые числаr и m не зависят от преобразования (9)(они зависят только от коэф-фициентов aij ). Это позволяет классифицировать уравнения следую-щим образом:

1) если в форме (11) m = n и все слагаемые одного знака (т. е.либо r = m , либо r = 0 ), то уравнение (1) называется уравнениемэллиптического типа;

2) если m = n , но имеются слагаемые разных знаков (т. е.1 6 r 6 n−1 ), то уравнение (1) – гиперболического типа (при r = 1 илиr = n− 1 – нормально-гиперболического типа);

3) если m < n , то это уравнение (1) – параболического типа (приr = n− 1 – нормально-параболического типа).

Пусть коэффициенты aij в уравнении (1) постоянны, т.е. не зависятот x , и пусть преобразование (9) приводит квадратичную форму (8) кканоническому виду (11). Тогда линейная замена независимых перемен-ных

ξi =n∑

κ=1

αiκxκ

преобразует уравнение (1) к следующему каноническому виду:r∑

κ=1

∂2U

∂ξ2κ

−m∑

κ=r+1

∂2U

∂ξ2κ

+ Φ(ξ, U, grad U) = 0. (12)

Замечание. Выше мы привели способ приведения уравнения (1) кканоническому виду в каждой отдельной точке, где задано это уравне-

16

ние. В связи с этим возникает вопрос: нельзя ли одним и тем же преобра-зованием (2) привести уравнение (1) к каноническому виду (12) в доста-точно малой окрестности каждой точки? Чтобы это приведение можнобыло сделать для любого уравнения, необходимо, чтобы число условий

Aκ` = 0, κ 6= `, κ, ` = 1, 2, ..., n;

Aκκ = εκA11, κ = 2, 3, ..., n, A11 6= 0,

где ε = 0,±1 не превосходило числа неизвестных функций ξκ ,κ = 1, 2, ..., n , т. е. чтобы выполнялось условие

n(n− 1)

2+ n− 1 6 n,

т. е. n 6 2 . Для n = 2 это приведение всегда можно сделать (для n = 1это очевидно).

ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙФИЗИКИ

6. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

Многие задачи механики (колебания струн, стержней, мембран итрехмерных объемов) и физики (электромагнитные колебания) приводятк уравнению колебаний вида

ρ∂2u

∂t2= div (κ grad u)− qu + F (x, t), (1)

где неизвестная функция u(x, t) зависит от n (n = 1, 2, 3) простран-ственных переменных x = (x1, x2, ..., xn) и времени t , коэффициентыρ , κ и q определяются свойствами среды; F (x, t) – плотность внеш-него возмущения. В уравнении (1) в соответствии с определениемоператоров div и grad :

div (κ grad u) =n∑

i=1

∂

∂xi

(κ

∂u

∂xi

).

Рассмотрим натянутую струну, закрепленную на концах. Под стру-ной мы понимаем тонкую нить, которая не оказывает никакого сопротив-ления изменению ее формы, не связанного с изменением ее длины. Сила

17

натяжения T0 , действующая на струну, предполагается значительной,так что можно пренебречь действием силы тяжести.

Пусть в положении равновесия струна направлена по оси x .Мы будем рассматривать только поперечные колебания струны,

предполагая, что движение происходит в одной плоскости и что все точкиструны движутся перпендикулярно оси x .

Обозначим через u(x, t) смещение точек струны в момент време-ни t от положения равновесия. При каждом фиксированном значенииt график функции u(x, t) , очевидно, дает форму струны в этот моментвремени (рис. 1).

-

6

-

¢¢¢¢¢¢¢¢

¢¢

¢¢

¢¢

¢¢®

x

u

u(x1, t)

x1 x2

u(x2, t)

M1

M2

−→T (x2, t)

−→T (x1, t)

−−→T (x1, t)

Puc. 1Рассматривая далее только малые колебания струны, мы будем счи-

тать, что смещение u(x, t) , а также производная∂u

∂xстоль малы, что их

квадратами и произведениями можно пренебречь по сравнению с самимиэтими величинами.

Выделим произвольный участок (x1, x2) струны (рис. 1), которыйпри колебании струны деформируется в участок M1M2 . Длина дугиэтого участка в момент времени t равна

S ′ =

x2∫

x1

√1 + u2

x dx ≈ x2 − x1 = S,

вследствие чего можно считать, что в процессе малых колебаний удли-нения участков струны не происходит. Отсюда в силу закона Гука сле-дует, что величина натяжения T в каждой точке струны не меняется

18

со временем. Таким образом, при наших предположениях изменениемвеличины натяжения струны, возникающим при ее движении, можнопренебречь по сравнению с тем, которому она была уже подвергнута вположении равновесия.

Покажем, что величину натяжения T можно считать не зависящейот x , т. е. T ≈ T0 . Действительно, на участок M1M2 струны действуютсилы натяжения, направленные по касательным к струне в точках M1 иM2 , внешние силы и силы инерции. Сумма проекций на ось x всех этихсил должна равняться нулю. Т. к. мы рассматриваем только поперечныеколебания, то силы инерции и внешние силы направлены параллельнооси, и тогда

T (x1) cos α(x1)− T (x2) cos α(x2) = 0,

где α(x) — угол между касательной в точке с абсциссой x к струне вмомент времени t с положительным направлением оси x .

В силу малости колебаний

cos α(x) =1√

1 + tg2 α(x)=

1√1 + u2

x

≈ 1

и, следовательно,T (x1) ≈ T (x2).

Отсюда, ввиду произвольности x1 и x2 , следует, что величина натя-жения T не зависит от x . Таким образом, можно считать, что T ≈ T0

для всех значений x и t .Перейдем к выводу уравнения колебаний струны. Для этого вос-

пользуемся принципом Даламбера, на основании которого все силы, дей-ствующие на некоторый выделенный участок в струне, включая силыинерции, должны уравновешиваться.

Рассмотрим произвольный участок M1M2 струны и составимусловие равенства нулю суммы проекций на ось u всех сил, действующихна него: сил натяжения, равных по величине и направленных покасательным к струне в точках M1 и M2 , внешней силы, направленнойпараллельно оси u , и силы инерции.

Сумма проекций на ось u сил натяжения, действующих в точкахM1 и M2 , равняется

Y = T0[sin α(x2)− sin α(x1)],

но вследствие наших предположений

sin α(x) =tg α(x)√

1 + tg2 α(x)=

∂u∂x√

1 +(

∂u∂x

)2≈ ∂u

∂x

19

и, следовательно,

Y = T0

[(∂u

∂x

)

x=x2

−(

∂u

∂x

)

x=x1

].

Замечая теперь, что

(∂u

∂x

)

x=x2

−(

∂u

∂x

)

x=x1

=

x2∫

x1

∂2u

∂x2 dx,

окончательно получим

Y = T0

x2∫

x1

∂2u

∂x2 dx. (2)

Обозначим через F (x, t) плотность внешних сил, действующих наструну в точке x в момент времени t и направленных перпендикулярнооси x . Тогда проекция на ось u внешней силы, действующей на участокM1M2 струны, будет равна

x2∫

x1

F (x, t) dx. (3)

Пусть ρ(x) – линейная плотность струны, тогда сила инерции учас-тка M1M2 струны будет равна

−x2∫

x1

ρ(x)∂2u

∂x2 dx. (4)

Сумма проекций (2)—(4) на ось u(x, t) всех сил, действующих научасток M1M2 струны, должна быть равна нулю, т. е.

x2∫

x1

[T0

∂2u

∂x2 − ρ(x)∂2u

∂t2+ F (x, t)

]dx = 0.

Отсюда в силу произвольности x1 и x2 следует, что подинтегральнаяфункция должна равняться нулю для каждой точки струны в любоймомент времени t , т. е.

ρ(x)∂2u

∂t2= T0

∂2u

∂x2 + F (x, t). (5)

20

Это и есть искомое уравнение колебаний струны.Если ρ(x) = ρ = const , т. е. в случае однородной струны, уравнение

(5) обычно записывается в виде

∂2u

∂t2= a2∂

2u

∂x2 + f(x, t), a =

√T0

ρ, f(x, t) =

F (x, t)

ρ.

Это уравнение будем также называть одномерным волновым уравне-нием.

Если внешняя сила отсутствует, то мы имеем F (x, t) = 0 и получаемуравнение свободных колебаний струны

∂2u

∂t2= a2∂

2u

∂x2 .

Уравнение вида (1) описывает также малые продольные колебанияупругого стержня

ρS∂2u

∂t2=

∂

∂x

(ES

∂u

∂x

)+ F (x, t)

где S(x) – площадь поперечного сечения стержня и E(x) – модульЮнгав точке x .

Аналогично выводится уравнение малых поперечных колебаниймембраны:

ρ(x)∂2u

∂t2= T0

(∂2u

∂x21

+∂2u

∂x22

)+ F (x, t).

Если плотность ρ постоянна, то уравнение колебаний мембраныпринимает вид

∂2u

∂t2= a2

(∂2u

∂x21

+∂2u

∂x22

)+ f(x, t), a =

√T0

ρ, f =

F (x, t)

ρ.

Последнее уравнение будем называть двумерным волновым урав-нением. Трехмерное волновое уравнение

∂2u

∂t2= a2

(∂2u

∂x21

+∂2u

∂x22

+∂2u

∂x23

)+ f(x, t)

описывает процессы распространения звука в однородной среде иэлектромагнитных волн в однородной непроводящей среде. Этому урав-нению удовлетворяет плотность газа, его давление и потенциал скорос-тей, а также составляющие напряженности электрического и магнитногополей и соответствующие потенциалы.

21

Мы будем записывать волновые уравнения единой формулой:

∂2u

∂t2= a2∆u + f,

где ∆ – оператор Лапласа:

∆ =∂2

∂x21

+∂2

∂x22

+∂2

∂x23.

Лекция 3.

7. УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА ВИЗОТРОПНОМ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ

Процессы распространения тепла или диффузии частиц в средеописывается следующим общим уравнением диффузии:

ρ∂u

∂t= div (κ grad u)− qu + F (x, t). (1)

Рассмотрим твердое тело, температура которого в точке (x, y, z) вмомент времени t определяется функцией u(x, y, z, t) . Если различныечасти тела находятся при различной температуре, то в теле будет проис-ходить движение тепла от более нагретых частей к менее нагретым.Возьмем какую-нибудь поверхность S внутри тела и на ней малый эле-мент ∆S . В теории теплопроводности принимается, что количество теп-ла ∆Q , проходящего через элемент ∆S за время ∆t , пропорционально

∆t ·∆S и нормальной производной∂u

∂~n, т. е.

∆Q = −κ · ∂u

∂~n·∆S ·∆t = −κ ·∆S ·∆t · gradn u, (2)

где κ > 0 — коэффициент внутренней теплопроводности, а ~n — нормальк элементу поверхности ∆S в направлении движения тепла. Будем счи-тать, что тело изотропно в отношении теплопроводности, т. е. что коэф-фициент внутренней теплопроводности κ зависит только от точки(x, y, z) тела и не зависит от направления нормали к поверхности S вэтой точке.

22

Обозначим через q тепловой поток, т. е. количество тепла, про-ходящего через единицу площади поверхности за единицу времени. Тогда(2) можно записать в виде

q = −κ∂u

∂~n. (3)

Для вывода уравнения распространения тепла выделим внутри тела про-извольный объем V , ограниченный гладкой замкнутой поверхностью S ,и рассмотрим изменение количества тепла в этом объеме за промежутоквремени (t1, t2) . Нетрудно видеть, что через поверхность S за промежу-ток времени (t1, t2) , согласно формуле (2), входит количество тепла,равное

Q1 = −t2∫

t1

dt

∫ ∫

S

κ(x, y, z)∂u

∂~ndS,

где ~n — внутренняя нормаль к поверхности S .Рассмотрим элемент объема ∆V . На изменение температуры этого

объема на ∆u за промежуток времени ∆t нужно затратить количествотепла

∆Q2 = [u(x, y, z, t + ∆t)− u(x, y, z, t)]γ(x, y, z)ρ(x, y, z)∆V,

где ρ(x, y, z) , γ(x, y, z) есть соответственно плотность и теплоемкостьвещества. Таким образом, количество тепла, необходимое для изменениятемпературы объема V на ∆u = u(x, y, z, t2)− u(x, y, z, t1), равно

Q2 =

∫ ∫

V

∫[u(x, y, z, t2)− u(x, y, z, t1)]γρ dV

или

Q2 =

t2∫

t1

dt

∫ ∫

V

∫γρ

∂u

∂tdV,

т. к.

u(x, y, z, t2)− u(x, y, z, t1) =

t2∫

t1

∂u

∂tdt.

Предположим, что внутри рассматриваемого тела имеются источ-ники тепла. Обозначим через F (x, y, z, t) плотность (количество погло-щенного или выделяемого тепла в единицу времени в единице объема

23

тела) тепловых источников. Тогда количество тепла, выделяемого илипоглощаемого в объеме V за промежуток времени (t1, t2) , будет равно

Q3 =

t2∫

t1

dt

∫ ∫

V

∫F (x, y, z, t) dV.

Составим теперь уравнение баланса тепла для выделенного объема V .Очевидно, что Q2 = Q1 + Q3 , т. е.

t2∫

t1

dt

∫ ∫

V

∫γρ

∂u

∂tdV =

= −t2∫

t1

dt

∫ ∫

S

κ(x, y, z)∂u

∂~ndS +

t2∫

t1

dt

∫ ∫

V

∫F (x, y, z, t) dV,

или, применяя формулу Гаусса – Остроградского ко второму интегралу,будем иметь

t2∫

t1

dt

∫ ∫

V

∫ [γρ

∂u

∂t− div (κgrad u)− F (x, y, z, t)

]dV = 0.

Т. к. подынтегральная функция непрерывна, объем V и промежутоквремени (t1, t2) произвольны, то для любой точки (x, y, z) рассматривае-мого тела и для любого момента времени t должно быть

γρ∂u

∂t= div (κ grad u) + F (x, y, z, t) (4)

или

γρ∂u

∂t=

∂

∂x

(κ∂u

∂x

)+

∂

∂y

(κ∂u

∂y

)+

∂

∂z

(κ∂u

∂z

)+ F (x, y, z, t). (4′)

Это уравнение называется уравнением теплопроводности неоднородногоизотропного тела.

Если тело однородно, то γ , ρ и κ — постоянные и уравнение (4’)можно переписать в виде

∂u

∂t= a2

(∂2u

∂x2 +∂2u

∂y2 +∂2u

∂z2

)+ f(x, y, z, t), (5)

где

a =

√κ

γρ, f(x, y, z, t) =

F (x, y, z, t)

γρ.

24

Если в рассматриваемом однородном теле нет источников тепла, т. е.F (x, y, z, t) = 0 , то получаем однородное уравнение теплопроводности

∂u

∂t= a2

(∂2u

∂x2 +∂2u

∂y2 +∂2u

∂z2

). (6)

В частном случае, когда температура зависит только от координатx, y и t , что, например, имеет место при распространении тепла в тонкойоднородной пластинке, уравнение (6) переходит в следующее:

∂u

∂t= a2

(∂2u

∂x2 +∂2u

∂y2

).

Наконец, для тела линейного размера, например для однородногостержня, уравнение теплопроводности принимает такой вид:

∂u

∂t= a2

(∂2u

∂x2

).

Отметим, что при такой форме уравнений не учитывается тепло-вой обмен между поверхностью пластинки или стержня с окружающимпространством.

Мы будем записывать уравнения диффузии единой формулой:

∂u

∂t= a2∆u + f. (7)

Уравнение (7) называется также уравнением теплопроводности.

8. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМПУАССОНА И ЛАПЛАСА

Для стационарных процессов F (x, t) = F (x) , u(x, t) = u(x) иуравнения колебаний и диффузии принимают вид

−div (κ grad u) + qu = F (x). (1)

При κ = const , q = 0 уравнение (1) называется уравнением Пуассона

∆u = −f(x), f =F (x)

κ;

при f = 0 уравнение Пуассона называется уравнением Лапласа

∆u = 0.

25

Рассмотрим потенциальное течение жидкости без источников,а именно, пусть внутри некоторого объема V с границей S имеет местостационарное течение несжимаемой жидкости (ρ = const ), характери-зуемое скоростью −→υ (x1, x2, x3) . Если течение жидкости не вихревое( rot−→υ = 0 ), то скорость −→υ является потенциальным вектором, т. е.

−→υ = grad u, (2)

где u – скалярная функция, называемая потенциалом скорости. Еслиотсутствуют источники, то

div−→υ = 0. (3)

Теперь из формул (2) и (3) получим:

div grad u = 0

или∆u = 0,

т. е. потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа.

9. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ИХАРАКТЕРИСТИКИ

Пусть функция ω(x) , x = (x1, x2, ..., xn) , n > 2 , класса C1 такова,что на поверхности ω(x) = 0 ∇ω(x) 6= 0 , и пусть

n∑

i=1

n∑

j=1

aij(x)∂ω(x)

∂xi· ∂ω(x)

∂xj= 0. (1)

Тогда поверхность ω(x) = 0 называется характеристической поверх-ностью (или характеристикой) дифференциального уравнения

n∑

i=1

n∑

j=1

aij(x)∂2u

∂xi∂xj+ Φ(x, u(x), grad u(x)) = 0

с непрерывными коэффициентами aij(x) , x = (x1, x2, ..., xn) .Пусть ω(x) ∈ C2(Ω) и пусть ω − c = 0 – характеристика при

a < c < b . Тогда, если в преобразовании

ξi = ξi(x1, x2, ..., xn), i = 1, 2, ..., n;D(ξ1, ξ2, ..., ξn)

D(x1, x2, ..., xn)6= 0

26

взять ξ1 = ω(x) , то в силу

Aκ` =n∑

i=1

n∑j=1

aij∂ξ`

∂xi· ∂ξκ

∂xj

и (1) коэффициент A11 обратится в нуль в соответствующей областиΩ . Поэтому знание одного или нескольких семейств характеристик диф-ференциального уравнения дает возможность привести это уравнение кболее простому виду.

Примеры характеристик.1. Для уравнения колебаний струны

utt − a2uxx = f(x, t)

характеристическое уравнение имеет вид(

∂ω

∂t

)2

− a2(

∂ω

∂x

)2

= 0

или∂ω

∂t− a

∂ω

∂x= 0,

∂ω

∂t+ a

∂ω

∂x= 0.

Поэтому мы имеем два семейства характеристик:

x + at = C1 и x− at = C2.

2. Характеристическое уравнение для трехмерного волнового урав-нения

utt − a2 (uxx + uyy + uzz) = f(x, y, z, t)

записывается так:(

∂ω

∂t

)2

− a2

((∂ω

∂x

)2

+

(∂ω

∂y

)2

+

(∂ω

∂z

)2)

= 0.

Решением последнего является функция

ω = a2(t− t0)2 − (x− x0)

2 − (y − y0)2 − (z − z0)

2

на поверхности ω = 0 . Следовательно, поверхность

a2(t− t0)2 − (x− x0)

2 − (y − y0)2 − (z − z0)

2 = 0,

называемая характеристическим конусом с вершиной в точке(x0, t0) , есть характеристика волнового уравнения.

27

Волновое уравнение имеет и другое семейство характеристическихповерхностей – семейство плоскостей вида

at + a1x + a2y + a3z = C,

где a1 , a2 , a3 и C – любые вещественные числа, причем

a21 + a2

2 + a23 = 1.

3. Для уравнения теплопроводности

ut − a2(uxx + uyy + uzz) = f(x, y, z, t)

имеем характеристическое уравнение вида(

∂ω

∂x

)2

+

(∂ω

∂y

)2

+

(∂ω

∂z

)2

= 0.

Его характеристиками являются семейство плоскостей t = C .4. Уравнение Пуассона

uxx + uyy + uzz = f(x, y, z)

не имеет вещественных характеристик, ибо из характеристического урав-нения (

∂ω

∂x

)2

+

(∂ω

∂y

)2

+

(∂ω

∂z

)2

= 0

вытекает, что grad ω = 0 на ω = 0 .

Лекция 4

10. ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО

ПОРЯДКА

Как было показано, линейное уравнение второго порядка

ρ∂2u

∂t2= div (κ grad u)− qu + F (x, t) (1)

описывает процессы колебаний, уравнение

ρ∂u

∂t= div (κ grad u)− qu + F (x, t) (2)

28

описывает процессы диффузии, а уравнение

−div (κ grad u)− qu = F (x) (3)

процессы, установившиеся во времени.Уравнения математической физики разделяют на стационарные и

нестационарные.Определение. Стационарными называют уравнения, которые

описывают физические явления, не меняющиеся во времени.Определение. Нестационарными называются уравнения, описы-

вающие физические процессы, характеристики которых меняютсясо временем. В нестационарных уравнениях и задачах вводится допол-нительная переменная t , которая обозначает время.

Пример. Уравнения (1) и (2) – нестационарные, а (3) – стационарное.Пусть Ω ⊂ Rn – область, где происходит процесс, и Γ – ее граница.

Таким образом, Ω – область задания уравнения (3). Областью заданияуравнений (1) и (2) будем считать цилиндр ΩT = Ω× (0, T ) высоты T ис основанием Ω . Его граница состоит из боковой поверхности Γ× (0, T )и двух оснований: нижнего Ω× 0 и верхнего Ω× T (Рис. 2).

Будем предполагать, что коэффициенты ρ , κ и q уравнений (1)–(3) не зависят от времени t ; далее в соответствии с их физическимсмыслом будем считать, что ρ > 0 , κ(x) > c > 0 , q(x) > 0 , x ∈ Ω .При этих предположениях уравнение колебаний (1) – гиперболическоготипа, уравнение диффузии (2) – параболического типа и стационарноеуравнение (3) – эллиптического типа.

-

6

¡¡

¡¡

¡¡¡ª

x1

x2

0

t

Ω

Puc.2

@@@@

@@@@

@@@@

@@@@

T

ΩT

29

Далее, чтобы полностью описать физический процесс, необходимо,кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальноесостояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе тойобласти, в которой происходит процесс (граничные условия).

Различают три типа задач для дифференциальных уравнений.1. Задача Коши для уравнений гиперболического и параболичес-

кого типов: задаются начальные условия, область Ω совпадает со всемпространством Rn , граничные условия отсутствуют.

2. Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаютсяграничные условия на границе Γ , начальные условия отсутствуют.

3. Смешанная задача для уравнений гиперболического и парабо-лического типов: задаются и начальные, и граничные условия, Ω 6= Rn .

При постановки начальных и краевых условий из физическогосмысла задач следует:

a) количество начальных условий в нестационарных задачах должносовпадать с порядком старшей производной по времени;

b) количество краевых условий должно совпадать с половиной по-рядка старшей производной по пространственной переменной.

Т. к. в одномерном случае ограниченная область представляет собойинтервал, граница которого состоит из двух точек, краевое условие, ко-торое ставится на всей границе, распадается на два условия, т. е. ставитсяна каждом из концов отрезка.

Опишем подробнее постановку каждой из перечисленных краевыхзадач для рассматриваемых уравнений (1)–(3).

11. ЗАДАЧА КОШИ

Для уравнения колебаний

ρ∂2u

∂t2= div (κ grad u)− qu + F (x, t)

задача Коши ставится следующим образом: найти функцию u(x, t) клас-са C2(t > 0) ∩ C1(t > 0) , удовлетворяющую уравнению колебаний вполупространстве t > 0 и начальным условиям при t = 0 :

ρutt = div (κ grad u)− qu + F (x, t), x ∈ Rn, t > 0,u(x, 0) = ϕ(x),ut(x, 0) = ψ(x).

30

При этом необходимо, чтобы

F (x, t) ∈ C(t > 0), ϕ(x) ∈ C1(Rn), ψ(x) ∈ C(Rn).

Для уравнения диффузии

ρ∂u

∂t= div (κ grad u)− qu + F (x, t)

задача Коши ставится так: найти функцию u(x, t) классаC2(t > 0) ∩ C(t > 0) , удовлетворяющую уравнению диффузии в полу-пространстве t > 0 и начальному условию при t = 0 :

ρut = div (κ grad u)− qu + F (x, t), x ∈ Rn, t > 0,u(x, 0) = ϕ(x).

При этом необходимо, чтобы

F (x, t) ∈ C(t > 0), ϕ(x) ∈ C(Rn).

Приведенная постановка задачи Коши допускает следующее обоб-щение. Пусть даны дифференциальное уравнение второго порядка

∂2u

∂t2=

n∑i=1

n∑j=1

aij∂2u

∂xi∂xj+

+n∑

i=1

ai0∂2u

∂xi∂t+ Φ

(x, t, u(x, t),

∂u

∂x1, ...,

∂u

∂xn,∂u

∂t

), (1)

кусочно-гладкая поверхность Σ : t = σ(x) и функции ϕ и ψ на Σ .Задача Коши для уравнения (1) состоит в нахождении в некоторой частиобласти t > σ(x) , примыкающей к поверхности Σ , решения u(x, t) ,удовлетворяющего на Σ краевым условиям

u|Σ

= ϕ,∂u

∂−→n |Σ = ψ,

где −→n – нормаль к Σ , направленная в сторону возрастающих t .

12. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЙЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА

Краевая задача для уравнения

−div (κ grad u)− qu = F (x) (1)

31

состоит в нахождении функции u(x) класса C2(Ω) ∩ C1(Ω) , удовлет-воряющей в области Ω уравнению (1) и граничному условию на Γ вида

αu + β∂u

∂−→n |Γ= µ, (2)

где α , β и µ – заданные функции на S , причем α > 0 , β > 0 , α +β > 0 .

Выделяют следующие типы граничных условий (2).Граничное условие первого рода (α = 1, β = 0 )

u|Γ= ϕ.

Граничное условие второго рода (α = 0, β = 1 )

∂u

∂−→n |Γ= ψ.

Граничное условие третьего рода (β = 1, α > 0 )(

∂u

∂−→n + αu

) ∣∣∣Γ= χ.

Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачамипервого, второго и третьего рода соответственно.

Для уравнений Лапласа и Пуассона краевая задача первого рода

∆u = −f(x), x ∈ Ω,

u|Γ= ϕ(x)

называется задачей Дирихле; краевая задача второго рода

∆u = −f(x), x ∈ Ω,∂u

∂−→n |Γ= ψ(x)

называется задачей Неймана.Для уравнений колебаний смешанная задача ставится следующим

образом: найти функцию u(x, t) класса C2(Ω∞) ∩ C1(Ω∞) , удовлетво-ряющую уравнению колебаний в цилиндре Ω∞ , начальным условиям

u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x)

при t = 0 , x ∈ Ω и граничному условию

αu + β∂u

∂−→n |Γ= µ

32

при x ∈ Γ , t > 0 . Так что имеем задачу вида

ρ∂2u

∂t2= div (κ grad u)− qu + F (x, t), x ∈ Ω, t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x),ut(x, 0) = ψ(x)),

αu + β∂u

∂−→n |Γ= µ.

Аналогично для уравнения диффузии смешанная задача ставитсятак: найти функцию u(x, t) класса C2(Ω∞)∩C1(Ω∞) , удовлетворяющуюуравнению диффузии в Ω∞ , начальному условию u(x, 0) = ϕ(x) играничному условию (

αu + β∂u

∂−→n) ∣∣∣

Γ= µ,

т. е. задача имеет вид

ρ∂u

∂t= div (κ grad u)− qu + F (x, t), x ∈ Ω, t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x),

αu + β∂u

∂−→n |Γ= µ.

13. КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. ТЕОРЕМА

КОВАЛЕВСКОЙ. ПРИМЕР АДАМАРА

Поскольку задачи математической физики описывают реальные фи-зические процессы, то математическая постановка этих задач должнаудовлетворять следующим требованиям:

а) решение должно существовать в каком-то классе функций M1 ;б) решение должно быть единственным в некотором класса функций

M2 ;в) решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (началь-

ных и граничных данных, свободного члена, коэффициентов уравненияи т.д.). Непрерывная зависимость решения u(x, t) от данных задачиu обозначает следующее: пусть последовательность данных uκ ,κ = 1, 2, . . . , в некотором смысле стремится к u и uκ , κ = 1, 2, . . . , u

– соответствующие решения задачи; тогда uκ → u , κ → ∞ в смыслесходимости, выбранной надлежащим образом.

33

Требование непрерывной зависимости решения обуславливается темобстоятельством, что данные физической задачи, как правило, опреде-ляются из эксперимента приближенно, и поэтому нужно быть увереннымв том, что решение задачи не будет существенно зависеть от погрешнос-тей измерений.

Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям а)– с), на-зывается корректно поставленной, а соответствующее множествофункций M1 ∩M2 – классом корректности.

Нахождение корректных постановок задач математической физикии методов построения их решений и составляет основное содержаниепредмета уравнений математической физики.

В этом параграфе мы выделим довольно общий класс задач Коши,для которых решение существует, и, единственно. А именно, рассмотримследующую систему дифференциальных уравнений с N неизвестнымифункциями u1 , u2 , ..., uN :

∂κiui

∂tκi= Φ

(x, t, u1, u2, ..., uN , ...

∂α0+α1+···+αnuj

∂tα0∂xα11 ...∂xαn

n, ...

), (1)

i=1, . . . , N . Здесь правые части Φi не содержат производных порядкавыше κi и производных по t порядка выше κi − 1 , т. е.

α0 + α1 + · · ·+ αn 6 κi, α0 6 κi − 1.

Для системы уравнений (1) поставим следующую задачу Коши: найтирешение u1 ,u2 ,...,uN этой системы, удовлетворяющее начальным усло-виям при t = t0 :

∂κui

∂tκ|t=t0

= ϕiκ(x), κ = 0, 1, ..., κi − 1; i = 1, 2, ..., N, (2)

где ϕiκ(x) – заданные функции в некоторой области Ω ⊂ Rn .Теорема Ковалевской. Если все функции ϕiκ(x) аналитичны в

некоторой окрестности точки x0 и все функции

Φ

(x, t, u1, u2, ..., uN , ...

∂α0+α1+···+αnuj

∂tα0∂xα11 ...∂xαn

n, ...

)

аналитичны в окрестности точки(

x0, t0, ϕ10(x0), ..., ϕN0(x0), ...,∂α1+···+αnϕjα0

∂xα1

1 ...∂xαnn

, ...

),

то задача Коши (1), (2) имеет аналитическое решение в некоторойокрестности точки (x0, t0) , притом единственное в классе аналити-ческих функций.

34

Данное утверждение примем без доказательства. Заметимтолько, что для доказательства этой теоремы решение ищется в виде

ui(x, t) =

=∞∑

α0=0

∞∑α1=1

· · ·∞∑

αn=1

∂α0+α1+···+αnui(x0,t0)∂tα0∂x

α11 ...∂xαn

n

α0!α1!...αn!(t−t0)

α0(x1−x01)

α1 · · · (xn−x0n)

αn. (3)

Из начальных условий (2) и из уравнений (1) последовательно опреде-ляются все производные ∂α0+α1+···+αnui(x0,t0)

∂tα0∂xα11 ...∂xαn

nв точке (x0, t0) . Равномерная

сходимость рядов (3) в окрестности точки (x0, t0) доказывается методоммажорант. Единственность построенного решения в классе аналитичес-ких функций следует из теоремы единственности для аналитическихфункций.

В заключение приведем пример, показывающий, что может и небыть непрерывной зависимости решения от начальных данных. Этотпример построен Адамаром.

Решение задачи Коши:

∂2u

∂t2+

∂2u

∂x2 = 0,

u(x, 0) = 0,∂u(x, 0)

∂t=

1

κsin κx

естьuκ(x, t) =

sh κt

κ2 sin κx.

Если κ → ∞ , то1

κsin κx → 0 ; тем не менее при x 6= jπ , j = 0,±1, ...

uκ(x, t) не стремится к нулю при κ →∞ . Таким образом, задача Кошидля уравнения Лапласа поставлена некорректно.

Литература

1. Тихонов А.М. Уравнения математической физики/ Тихонов А.М.,Самарский А.А. – М.:Изд-во МГУ; Наука, 2004.–798с.

2. Свешников А.Г. Лекции по математической физике/ СвешниковА.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. – М.:Изд-во МГУ; Наука,2004.–416с.

3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики/Владими–ров В.С. – М.: Наука, 1988.–512с.

4. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными/Олейник О.А.– М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.–260с.

35

Учебное издание

Уравнения математической физики. Введение

Курс лекций для вузов.

Составители:Мешков Виктор Захарович,

Астахов Александр Тимофеевич,Ларин Александр Александрович

Редактор Е.С. Котлярова