квадратные уравнения
TRANSCRIPT
Павлопольська ЗОШ І –ІІІ ступенів
Вчитель математики Чегодаєва Г.Б..
Як ви думаєте, як називаються такі рівняння:
055
,0183
,032x
2
2
2
xx
x
x
Зміст Означення квадратного рівняння Дискримінант квадратного рівняння Формула коренів квадратного рівнян
ня Теорема Вієта Задача Самостійна робота
Означення квадратного рівняння.
Озн. 1. Квадратним рівнянням називається рівняння виду
ах2 + bх + с = 0, де х –змінна, а, b і с - деякі числа, причому а 0.
Числа а, b і с - коеффіцієнти квадратного рівняння. Число а називають першим коеффіцієнтом, b – другим коєфіцієнтом і с – вільним членом.
Якщо в квадратному рівнянні ax2+bx+c=0
хоча б один з коефіцієнтів b або с дорівнює нулю, то таке рівняння
називається неповним квадратним рівнянням
КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ
ПОВНІ НЕПОВНІ
Повні квадратні рівняння
Неповні квадратні рівняння
Квадратні рівнянння
а ≠ 0, в ≠ 0, с ≠ 0 а ≠ 0, в = 0, с = 0
х2+5х-7=0
х+х2-3=0
Х2-8х-7=0
25-10х+х2=0
7х2-2х=0
3х +х2=0
12 +5х2=0
9х2-8=0
а) 2х2 – х + 4 = 0
б) 6х - х2 + 7 = 0
в) 7 + 5х2 = 0
г) х – 6х2 = 0
д) - х + 7х2 = 15
а = 2, в = -1, с = 4;
а = -1, в = 16, с = 7;
а = 5, в = 0, с = 7;
а = -6, в =1, с = 0;
а = 7, в =-1, с = -15.
Визначте коєфіцієнти Визначте коєфіцієнти квадратних рівнянь:квадратних рівнянь:
Розвязати рівняння:
1 варіант:
а) 10х + х2= 0
б) 49х2 – 81 = 0
2 варіант:
а) 3х2 – 2х = 0
б) 125 + 5х2 = 0
Дискримінант квадратного рівняння
Озн. 2. Дискримінантом квадратного рівняння ах2 + bх + с = 0 називається вираз b2 – 4ac.Його позначають буквой D, т.б. D= b2 – 4ac.
Можливі три випадки: D 0 D 0 D 0
Якщо D 0
В цьому випадку рівняння ах2 + bх + с = 0 має два дійсних коренів:
.2
и 2
21a
Dbx
aDb
x
Якщо D = 0
В цьому випадку рівняння ах2 + bх + с = 0
має один дійсний корінь:
ab
x
ab
x
2
2
0
Якщо D 0
Рівняння ах2 + bх + с = 0 не має дійсних коренів.
Формула коренів квадратного рівняння
ах2 + bх + с = 0.
.42 ,2
де,21 acx bDa
Db
Розвязати рівняння 3x2- 2x - 16= 0
Тут a = 3, b = -2, c = -16.
Маємо D = b2- 4ac = (-2)2- 43(-16) = 196.
Так як D > 0, то рівняння має два коренів.
Знайдемо їх за формулою ,2a
Dbx
,26
142 и 2-
6
14232
21
xx
Самостійна робота Варіант 1.№1.Розвязати рівняння:а) х2+7х-44=0;б) 9у2+6у+1=0;в) –2t2+8t+2=0;г) а+3а2= -11.№2. При якихзначеннях х рівні значення многочленів:(2-х)(2х+1) і(х-2)(х+2)?
Варіант 2.№1. Розвязати рівняння:а) х2-10х-39=0;б) 4у2-4у+1=0;в) –3t2-12t+6=0;г) 4а2+5= а.№2 При якихзначеннях х рівні значення многочленів. :(1-3х)(х+1) і (х-1)(х+1)?
.
Алгоритм розвязку квадратного рівняння:
Знайти дискримінант квадратного рівняння D=b2-4ac.
якщо D<0, то дане квадратне рівняння не має коренів;
якщо D=0, то дане квадратне рівняння має єдиний
корінь, якийдорівнює
2).
якщо D>0, то дане квадратне рівняння має
два коренів, які дорівнюють
Розвязати квадратне рівняння.
3Х2 –18Х+24=0D1=к2- ас
92-3•24=72=9>0
23
391
а
DкХ1=
Х2= 43
391
а
DК
Розвяжи рівняння способом Розвяжи рівняння способом виділення квадрата двочлена:виділення квадрата двочлена:
1 варіант: - 6х + х2 – 8 =0
2 варіант: 3х2 -10х + 3 = 0
3 варіант: х2 – 8х + 20= 0
Розвяжи рівнянняРозвяжи рівняння
за допомогою формул :за допомогою формул :1 варіант: а) -7х + 5х2 + 1 =0
б) (х – 1)(х + 1) = 2 (5х – 10,5) в) 6х – 9 = х2
2 варіант: а) 2х2 + 5х -7 = 0
б) –х2 = 5х – 14
в) х2 – 8х + 7 = 0
РОЗВЯЖИ РІВНЯННЯ ГРАФІЧНО:
1 варіант: 3х2 + 7х = - 6
2 варіант: а) х2 + 7х = -6
3 варіант: а) 6х + х2– 3 =0
Історичні відомості:
Квадратні рівнянння вперше зустрічаються в працях індійського математика та астронома Ариабхатти.
Інший індійський вчений Брахмагупта (VII в) виклав загальне правило розвязку квадратних рівнянь , яке практично співпадає з сучасним.
В Древній Індії були поширені публічні змагання з розвязку важких задач. Задачі часто звучали в віршованій формі. ________________________________________________
________________________________________________
Задача Бхаскари: На дві зграї розділившись,
Розважались в гаї мавпи,
Одна восьма їх в квадраті
Гучно разом забавлялись.
Криком радісним дванадцять
Все повітря колихали.
Разом скільки, ти дізнайся,
Мавп було утому гаї?
Розвязок задачи Бхаскары:
Нехай було x мавпочок, тоді в гаї розважалось –
Складаємо рівняння:
2
8
x
+ 12 = х
Відповідь: х1= 16 , х2= 48 мавпочок.
2
8
x
Задачі
Розвязати рівняння 2x2- 5x + 2 = 0.
Розвязати рівняння 2x2- 3x + 5 = 0.
Розвязати рівняння x2- 2x + 1 = 0.
Якщо перший коефіцієнт квадратного рівняння дорівнює 1, то таке рівняння називають зведеним
Наприклад,
03
;04
;012x
2
2
2
xx
x
x
Франсуа Вієт
Теорема Вієта.
Якщо зведене квадратне рівняння x2+px+q=0 має дійсні корені, тоді їх сума дорівнює -p, а добуток дорівнює q, тоді естьx1 + x2 = -p ,x1 x2 = q
(Сумма коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому с протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену).
Х2 – 14Х + 24 = 0
D=b2 – 4ac = 196 – 96 = 100
X1 = 2, X2 = 12
X1 + X2 = 14, X1•X2 = 24
Розвяжіть та перевірте!
Х2 + 3Х – 10 = 0
Х1·Х2 = – 10,
Х1 + Х2 = – 3,
Методом підбору знаходимо корені:
Х1 = – 5, Х2 = 2
Вгадайте корені
х2 – 7х + 12 = 0
х = 3, х = 4
х2 + 18х + 32 = 0
х = - 16, х = -2
х2 – 5х – 14 = 0
х = -2, х = 7
х2 + 5х + 6 = 0
х = -3, х = -2
х2 – 8х + 12 =
0 х = 2, х =
6 х2 + 5х + 4 =
0
х = -4, х = -1
х2 – 5х – 6 = 0 х = -1, х = 6
Розвяжи усно рівняння: