ОБЫКНОВЕННЫЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ.

• Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функций у = у(х).

• Их можно записать в виде

где х — независимая переменная.

( )( , , ',..., ) 0 (1)nF x y y y

• Наивысший порядок n входящей в уравнение (1) производной называется порядком дифференциального уравнения.

• Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая п раз дифференцируемая функция , которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество.

( )y x

• Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка (1) содержит n произвольных постоянных C1, С2, ... , Сn:

• Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.

1 2( , , ,..., )ny x C C C

• задача Коши (дополнительные условия задаются в одной точке)

• краевая задача (дополнительные условия задаются в более чем одной точке)

• Пример:

2

2

cos , 0, (0) 1;

, 1, (1) 2, (1) 0.

dxx t t x

dty

y x x y yx

2 sin , 0 1, (0) 1, (1) 0;

, 1 3, (1) 0, (1) 1, (3) 2.

y y y x x y y

y x yy x y y y

• Решение задачи Коши.

• сущность метода конечных разностей. состоит в следующем:

• 1. область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек - узлами. Эти узлы составляют разностную сетку.

• 2. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке (сеточной функцией).

• 3. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции.

• Такая замена дифференциального уравнения разностным называется его аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией).

• Метод Эйлера.

• Рассмотрим уравнение

с начальным условием

для определенности будем считать, что решение нужно получить для значений х > x0.

( , )y f x y

0 0( )y x y

1. выбирается достаточно малый шаг и строится

система равноотстоящих точек

2. Вычисляются

h

0kx x kh

1 1 1( , )k k k ky y h f x y

• При этом искомая интегральная кривая проходящая через точку заменяется ломанной с вершинами .

( )y f x0 0 0( , )L x y

0 1 2...L L L ( , )k k kL x y

• Для оценки погрешности на практике пользуются двойным просчетом: с шагом h и шагом h/2.

• Погрешность более точного значения (при шаге h/2) оценивают приближенно так:

• где - значение точного решения уравнения при ,• -приближенное значение полученное при

вычислениях с шагом h . • - приближенное значение полученное с шагом h/2.

( )k k k ky x y y y

( )ky x

kx x

ky

ky

ky

• Пример.• Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных

значений решения задачи Коши на отрезке [0; 0,3] с шагом h=0,1.

2 , (0) 0,5y x y y

• Рассмотрим систему двух уравнений первого

порядка

• с начальными условиями

1

2

( , , )

( , , )

y f x y z

z f x y z

0 0 0 0( ) , ( ) .y x y z x z

• Приближенные значения вычисляются для этой системы по формулам

1 1 1 1 1

1 2 1 1 1

( , , ),

( , , ), 1, 2,..., .

k k k k k

k k k k k

y y h f x y z

z z h f x y z k n

• Модификации метода Эйлера. • 1) Метод Эйлера-Коши

1 1k k ky y h f ( , )k k kf f x y

11 2

k kk k

f fy y h

• Оценка погрешности в точке , полученная с помощью двойного пересчета, имеет вид:

• где - значение точного решения уравнения при

,

• -приближенное значение полученное при вычислениях с шагом h .

• - приближенное значение полученное с шагом h/2.

kx

( )ky x

kx x

ky

ky

1( )

3k k k ky x y y y

• Пример.

• Используя метод Эйлера-Коши, составить таблицу приближенных значений решения задачи Коши на отрезке [0; 0,3] с шагом h=0,1.

2 , (0) 0,5y x y y

• 2) другая модификация метода Эйлера заключается в итерационном уточнении значения на каждом шаге.

• В качестве нулевого приближения берут

(0)1 1k k ky y h f

ky

• Далее строится итерационный процесс

• Итерации продолжают до тех пор, пока для двух последовательных приближений не будет выполнено условие

( ) ( 1)1 1 1( ( , ) ( , )

2i i

k k k k k kh

y y f x y f x y

( ) ( 1)i ik ky y

• Как правило, при достаточно малом h итерации быстро сходятся.

• Если после трех-четырех итераций не произошло совпадение нужного числа десятичных знаков, то следует уменьшить шаг расчета h.

• Метод Рунге-Кутта.

• Рассмотрим уравнение

с начальным условием

( , )y f x y

0 0( )y x y

• Если известно значение в точке , то вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам:

1ky 1kx

ky

1k kx x h

( )1 1 1

( )( ) 12 1 1

( )( ) 23 1 1

( ) ( )4 1 1 3

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 4

( , ),

( , ),2 2

( , ),2 2

( , ),

2 2 .6

kk k

kk

k k

kk

k k

k kk k

k k k kk k

K f x y

h hKK f x y

h hKK f x y

K f x h y hK

hy y K K K K

• Оценку погрешности метода можно получить с помощью двойного просчета по формуле

1( )

15k k k ky x y y y