Обыкновенные дифференциальные уравнения · 2017-03-07 · 2 ln...

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши. Интегральные кривые. Особое решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у’ = f(х). Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Бернулли. Метод Лагранжа. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Условие тотальности. Уравнения вида у = f(y’) и x = f(y’). Уравнения Лагранжа и Клеро. Геометрическая интерпретация решений дифференциального

уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Ломаная Эйлера. Уточненный метод Эйлера.

Метод Рунге – Кутта. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Уравнения вида y(n) = f(x). Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее

производных до порядка n-1 включительно. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Структура общего решения. Фундаментальна система решений. Определитель Вронского. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”

Уравнения с правой частью специального вида. Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Элементы теории устойчивости. Устойчивость по Ляпунову. Точка покоя. Теорема Ляпунова. Классификация точек покоя. Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в

частных производных первого порядка. Классификация основных типов уравнений математической физики. Уравнение колебаний струны. Граничные, начальные и краевые условия. Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье).

Решение задачи Коши методом Даламбера. Уравнение теплопроводности.

Уравнение Лапласа. Задача Дирихле. Решение задачи Дирихле для круга. Ряды. Основные определения. Свойства рядов. Критерий Коши. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения. Признак Даламбера. Предельный признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак Коши. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов. Признак Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Функциональные последовательности. Область сходимости. Функциональные ряды. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Степенные ряды. Теоремы Абеля. Радиус сходимости. Действия со степенными рядами. Разложение функций в степенные ряды. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Ряды Фурье.

2


Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье. Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье для функций любого периода. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье. Элементы теории функций комплексной переменной. Свойства функций комплексной переменной. Основные трансцендентные функции. Производная функций комплексной переменной. Условия Коши – Римана. Интегрирование функций комплексного переменного. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки. Теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов. Операционное исчисление. Преобразование Лапласа. Свойства изображений. Таблица изображений некотрых функций. Теорема свертки и запаздывания. Интеграл Дюамеля. Решение дифференциальных уравнений с помощью операционного исчисления. Криволинейные интегралы.

Криволинейные интегралы первого рода. Свойства криволинейных интегралов первого рода. Криволинейные интегралы второго рода. Свойства криволинейных интегралов второго рода. Формула Остроградского – Грина. Поверхностные интегралы первого рода. Свойства поверхностных интегралов первого рода. Поверхностные интегралы второго рода. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода. Формула Гаусса – Остроградского. Элементы теории поля. Поток векторного поля. Потенциал. Формула Стокса. Ротор. Оператор Гамильтона. Циркуляция. Дивиргенция. Соленоидальное поле.

3


Обыкновенные дифференциальные уравнения. Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков. В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки. Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:

2

2

0attVS +=

В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.

;; 2

2

dtSd

dtdVa

dtdSV ===

Тогда получаем: 2

)()( 0ttftVtfS ⋅′′

+== - уравнение связывает функцию f(t) с

независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t). Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции. Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Пример.

0583 =+−+′ xyyx - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается 0),,( =′yyxF .

yxdxdyxy

dxydx =++ 22

2

- обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В

общем виде записывается 0),,,( =′′′ yyyxF

02 =∂∂

+∂∂

yzxy

xzy - дифференциальное уравнение в частных производных первого

порядка. Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = ϕ(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

4


Свойства общего решения.

1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. 2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = ϕ(х, С0). Определение. Решение вида у = ϕ(х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения. Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = ϕ(х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0. Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка) Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную ),( yxfy =′ , то какова бы не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение )(xy ϕ= уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение ϕ(х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

),( yxfy =′

Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения . 0=+′ yyx

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

0=+ ydxdyx

ydxxdy −=

xdx

ydy

−=

Теперь интегрируем: ∫ ∫−= xdx

ydy

0lnln Cxy +−=

0lnln Cxy =+

0ln Cxy = Cexy C == 0

5


xCy = - это общее решение исходного

дифференциального уравнения. Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем

;2;1

2 == CС

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

xy 2=

Определение. Интегральной кривой называется график y = ϕ(x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY. Определение. Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши (см. Теорема Коши. ) не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

Особые решения не зависят от постоянной С. Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой. Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: .0=+′ yy Найти особое решение, если оно существует.

ydxdy

−=

dxy

dy−=

∫ ∫−= dxy

dy

Cxy +−=ln Cx eey ⋅= − xeCy −⋅= 1

Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С1 = 0 ошибочно, ведь C1 = eC ≠ 0.

Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

6


Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

0),,( =′yyxF Если такое соотношение преобразовать к виду ),( yxfy =′ то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, азрешенным относительно производной.

Преобразуем такое выражение далее:

р

;0),(;),();,( =−== dydxyxfdxyxfdyyxfdxdy

Функцию f(x,y) представим в виде: ;0),(,),(),(),( ≠−= yxQ

yxQyxPyxf тогда при

одстановке в полученное выше уравнение имеем: п

0),(),( =+ dyyxQdxyxP - это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.

ее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.

Уравнения вида y’ = f(x).

Дал

таком случае . Если заданы начальные условия х0 и у0, то можно

определить постоянную С.

Уравнения с разделяющимися переменными

Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале a < x < b. В все решения данного дифференциального уравнения находятся как dxxfy = ∫ )( C+

Определение. Дифференциальное уравнение ),( yxfy =′ называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

)()( yxy βα=′ . Такое уравнение можно представить также в виде:

;0)(0)()(

;0)()(;0)()( ≠β=α−β

=βα−=βα−′ yприdxxy

dydxyxdyyxy

);()(

1);()( yYy

xXx =β

−=α Перейдем к новым обозначениям

Получаем: ;0)()( =+ dyyYdxxX

7


CdyyYdxxX =+ ∫∫ )()(

гралов После нахождения соответствующих инте получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Если заданы начальные условия, то при их подстановке в об щее решение аходится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

Пример.

н

yxyy

cos2−

=′ Найти общее решение дифференциального уравнения:

xdxdyyy 2cos −=⋅

xdxydyy 2cos −=

∫∫ − xdxydyy 2cos =

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирование по частям.):

заключается

правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

yyyydyyyyvdydu

ydydvyuydyy cossinsinsin

sin;;cos;

cos +=−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

====

= ∫∫ =

Cxyyy +−=+ 2cossin

0cossin 2 =+++ Cxyyy - это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая

функция и не выражена через независимую переменную. В этом и отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

Чтобы проверить

02cossin sin +′ =−′+′ xyyyyy yy

yxyy

cos2

−=′ - верно

имер.

Пр yyy ln=′

Найти решение дифференциального уравнения при условии

(2) = 1. у

ydyydx ln=

yydydx ln

=

∫∫ =yydydx ln

∫=+ )(lnln yydCx

8


2ln2 yCx =+

при у(2) = 1 получаем ;2;022 =⇒=+=+ CCC ;2

1ln 2

−⇒

того илиИ ln)2(2 x =−: ;2 y 42 −±= xey - решение;

Проверка:

частное

422

242

−±⋅=′ −±

xey x , итого

yxey x2′ −±

xey x

ln42)42(

4

42

=−±=−±

=−±

- верно.

Пример. .32

yy =′ Решить уравнение

32

ydxdy

=

dxdyy =− 3

2

∫∫ =− dxdyy 3

2

Cxy +=31

3

общий интеграл 3)(27 Cxy += -

3)(271 C xy += - общее решение

Пример.

).1( 2 +=′ yxy Решить уравнение

∫ ∫=+=

+;

1;

1 22 dxy

dydxy

dy

;2

;2

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= CxtgyCxarctgy

Пример. 0=+′ ye

xyy при ловии у(1) = 0. ус

0=+ yxedxydy

Решить уравнение

;;0 xdxdyeydxxeydy y

y −==+

;∫∫ −= xdxdyeyy

Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см. Интегрирование по частям. ).

);1(;;;;

+−=−−=−−−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==

=== −−−

−− ∫∫ yeeyedyeye

evdydudvdyeyu

dyye yyyyyy

yy

9


;2

)1( 0

2

Cxye y +=+−

Cxye y +=+− 2)1(2 Если у(1) = 0, то 1)10(2 0 +e ;

Итого, частный интеграл

Пример.

1;2;1 =⇒+=⇒+= CCC

: 1)1(2 2+=+− xye y .

)sin()sin( yxyxy −=++′ . Решить уравнение

0)sin()sin( =−−++′ yxyxy

02

cos2

sin2 =− − − − + +

−′yyxyxyxy x

0cos)sin(2 =−−′ xyy 0cossin2 =+′ xyy

∫ ∫−=−= ;cos2sin

;cos2sin

xdxy

xdxy

dydy

Для нахождения интеграла, стоящего в левой части равнения см. Таблица основных уинтегралов. п.16. Получаем общий интеграл:

Cxytg +−= sin22

ln

022

=′

+−

yyxe x Пример. Решить уравнение

Преобразуем заданное уравнение:

022

=+−

ydxdyxe x

022

=+−

ydydxxe x

Cy

dydxxe x =+ ∫∫ − 2

2

Cye x =+− − ln2

Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из того соотношения ю функцию , то получим общее решение.

Пример.

э выразить искому у

)1( 2 +=′ yxy . Решить уравнение

)1( 2 += yxdxdy

10


xdxy

dy=

+12

∫ ∫=+xdx

ydy

12 ; Cxarctgy +=2

2

;

⎟⎟⎞

⎜⎛

+= Cxtgy2

⎠

⎜⎝ 2

Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:

;2

;2

20

000

20

0x

arctgyCCx

arctgy −=⇒+=

олучаем частное решение .22

20

0

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

xarctgyxtgy П

Однородные уравнения. Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме

ется тождество:

Пример.

нуля) выполня).,(),( yxfttytxf n=

Является ли однородной функция

аким и .

?3),( 23 yxxyxf +=

)3(3)(3)(),( 233233323 yxxtyxtxttytxtxtytxf =+=+=+= ),(3 yxft

Т образом, функц я f(x, y) является однородной 3- го порядка Определение. Дифференциальное уравнение вида ),( yxfy =′ называется

часть f(x, y) есть о

р

однородным, если его правая днородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Любое у авнение вида 0),(),( =+ dyyxQdxyxP является однородным если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

,

авнения основано на приведении этого

Рассмотрим однородное уравнение

Решение любого однородного уру ния к уравнению с разделяющимисяравне переменными.

,( yxfy ).=′ Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

).,(),( yxftytxf =

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что x

t 1= . Получаем:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyfyxf ,1),(

11


Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного

аргумента xyu = , т.е.

);(),( uxyyxf ϕ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ϕ=

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде: )(uy ϕ=′

Далее заменяем y = ux, xuxuy ′+′=′ .

;)();();(x

uuuuuxuuxuxu −ϕ=′ϕ=+′ϕ=′+′

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

∫ ∫ +=−ϕ

=−ϕ

;)(

;)(

Cx

dxuu

dux

dxuu

du

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и

найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=′ 1ln

xy

xyy .

Введем вспомогательную функцию u.

uxuyuxyxyu +′=′== ;; .

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном

случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее xyu lnln = .

Подставляем в исходное уравнение:

;ln;ln);1(ln uuxuuuuuxuuuuxu =′+=+′+=+′

Разделяем переменные: ∫ ∫== ;ln

;ln x

dxuu

dux

dxuu

du

Интегрируя, получаем: ;;ln;lnlnln CxeuCxuCxu ==+= Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

.Cxxey =

12


Уравнения, приводящиеся к однородным.

ний, которые с омощью определенных подстановок могут приведены к однородным.

Это уравнения вида

Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнеп

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=′111 cybxa

cbyaxfy .

Если определитель ,011

≠baba

то переменные могут быть разделены подстановкой

;; β+=α+= vyux

где α и β - решения системы уравнений

Пример.

⎩⎨⎧

=++=++

00

111 cybxacbyax

.0)12()32( =−+++− dxyxdyyx Решить уравнение

Получаем ;3212;12)32(

+−− − +

=+−−=+−yxyx

dxdyyx

dxdyyx

Находим значение определителя

05142112

≠=+=−−−

.

;5/75/1

;0342

21;

032012

⎩⎨⎧

=−=

⎩⎨⎧

=++−−=

⎩⎨⎧

=+−=+−−

yx

xxxy

yxyx

Решаем систему уравнений

рименяем подстановку

;5/7;5/1 +=−= vyux П в исходное уравнение:

;0)15/75/22()35/1425/1( =−++−++−−− duvudvvu ;0)2()2( =++− duvudvvu

;1/2

/222

−+

=−+

=uv

uvuvvu

dudv

Заменяем переменную ;;; tutvutvtuv

+′=′== при подстановке в выражение,

записанное выше, имеем:

122−+

=+′t

ttut

переменные: ;12

)1(212

2212

2 22

−−+

=−

+−+=−

−+

=t

ttt

ttttt

tududt Разделяем

∫ ∫ −+−

−=−+

−⋅−= ;

1)21(

21;

121

21

22 ttdtt

ududt

ttt

udu

12 lnln1ln

21 Cutt +=−+−

uCtt 12 ln21ln −=−+

13


;1;ln1ln 22

222

uut

Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х.

2 CttCt =−+=−+

;5/1;1575

5/15/7

+=+−

=+−

== xuxy

xy

uvt

;)15(

251575

15751 2

22

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−+−

+x

Cxy

xy

222 25)75()15)(75()15( Cyxyx =−−+−++

222 2549702573552511025 Cyyxyxyxx =+−−−++++ −

7149252575252525 222 +−+=−++− Cyyxyxx

;2555

22 CC =+=

32 yyxyxx −++−

Итого, выражение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения.

В сл

Cyyxyxx =−++− 22 3

учае если в исходном уравнении вида ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝ +

+=′

bxaaxfy

⎛++

111 cycby определитель

,011

=baba

то переменные могут быть разделены подстановкой

.tbyax =+

мер. .0)133()(2 =−+++ dxyxdyyx При Решить уравнение

;22

13322

133;133)(2 yxdyyxyx

yxyx

yxdxdy

dx +−−

−=+

+− +Получаем = +−−=+

Находим значение определителя ;0662233

=+−=−−

.33 tyx =+ Применяем подстановку

;13−′

=dx

одставляем это выражение в исходное уравнение:

tdy

П

;932;9962;99)3(2;2

13

+)1(3

+−=′−=′+−=−′−

−=−t

′tttttttttttt

Разделяем переменные: ;23

3;

932 dxdt

ttdxdt

tt

−=−

=+−

∫ ∫−=⎟⎠⎝ − 23t⎞

⎜⎛ +

331 dxdt ;

1233ln3 Cxtt +−=−+

Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.

14


;)1(3ln222 2Cxyxyx +−=−+++

;1ln3ln223 2Cyxyx =−+++ 2+

;1ln223 Cyxyx =−+++ таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Линейные уравнения. Определение. Дифференциальное урав ние называется линейным неотносительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

),()( xQyxPy =+′ при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется инейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не авна родным ифференциальным уравнением.

P(x) и Q(x x < b.

ьные уравнения.

лр нулю, то такое уравнение называется линейным неоднод

)- функции непрерывные на некотором промежутке a <

Линейные однородные дифференциал

Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

0)( =+′ yxPy . Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.

dxxPy

dy )(−=

;ln)(ln ∫ +−= CdxxPy

∫−= ;)(ln xdxPCy

решение:

е уравнения.

∫=− dxxP

Cey)(

Общее

Линейные неоднородные дифференциальны

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)≠0) применяются основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

в

15


Метод Бернулли.

и (1654-1705) – швейцарский математик.)

я в том, что ис виде роизведения двух функций

(Якоб Бернулл

Суть метода заключаетс комая функция представляется в uvy = . п

При этом очевидно, что dxduvdvuy ⋅+⋅=′ - ди

dxфференцирование по частям.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

)()( xQuvxPdxdxduvdvu =++

)()( xQuxPdxduv

dxdvu =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

Далее следует важ амечание – т.к. первоначаль ное з ная функция былапредставл и в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это

нкция

ена нампроизведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению. Например, фу 22xy = может быть представлена как ;2;2 22 xyxy ⋅=⋅=

;2 xxy ⋅= и т.п. 1

Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать

так, что выражение 0)( =+ uxPdu . dx

Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

∫ ∫ ∫−=−=−= ;)(ln;)(;)( dxxPudxxPududxxP

udu

∫ =∫=−=+−

;/1;;)lnln)(

1 CudxxPuCdxxP

Для нахождения второй неизвестной фун

( 1CCe

кции v подставим поученное

ыражение для функции u в исходное уравнение )()( xQuxPdxduv

dxdvu =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ в с учетом

того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

;)(); Cdx()()(

dxexQvQdxdvСe

dxxPdxxP ∫==∫−

Интегрируя, можем найти функцию v: )(

)( exQCvdxxP∫= 2

)()(1 CdxexQ1Cdx +∫ ;

Cv =

dxxP+∫∫ ;

Т.е. была получена вторая составляющая произведения uvy = , которое и определяет искомую функцию. Подставляя полученные значения, получаем:

⎟⎠⎝

⎞⎜⎛ +∫∫ 2

)()( CdxexQ

CdxxP

Окончательно получаем формулу:

⋅∫==− )( 1Ceuvy

dxxP

16


⎟⎠⎞

⎜⎝

+∫⋅∫= ∫−

2))(

)( CdxexQeydxdxxP

, С2 - произвольный коэффициент. ⎛ ( xP

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного ифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

д

Метод Лагранжа.

( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - франц зский математик, през. Берлинской АН, Пет

еоднородных линейных дифференциальных равне ции произвольной постоянной.

Вернемся к поставленной задаче:

упоч. чл. (1776)).

. АН

Метод Лагранжа решения ну ний еще называют методом вариа

)()( xQyxPy =+′

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и аменез ее нулем.

0)( =+′ yxPy Далее находится решение получившегос однородного дифференциального уравне

ей от

х. Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

я ния:

∫=− dxxP

eCy)(

1 . Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного

дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функци

));(()(11 exCe

dxdxy −⋅∫+∫==′

)( )()(xP

xdCdy dxxPdxxP −−

одставляем полученное соотношение в исходное уравнение

П

)()(1)()()()( )()(

1)(1 xQexCxPexPxCe

dxxdC dxxPdxxPdxxP

=∫+∫−∫ −−−

);(1 xQedx

= )( )(xdC dxxP∫−

делим переменную функцию С1(х): Из этого уравнения опре

;)()()(

1 dxexQxdCdxxP∫=

Интегрируя, получаем: )( dxxP

;)(1 CdxexQC += ∫∫ Подставляя это значение в исходное уравнение, полу ем:

ча

⎟⎞

⎜⎛ +∫∫= ∫

−CdxexQey

dxxPdxxP )()()( .

⎠⎝

17


Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом

выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует уководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный

Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений азличными методами и сравним результаты.

Пример.

расчета по методу Бернулли. Приринтеграл. р

.1

22 xeaxyyx =+′ Решить уравнение

.1 1

2xaey

xy =+′ Сначала приведем данное уравнение к ст андартному виду:

;;1 1

2xaeQ

xP ==Применим полученную выше формулу:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∫∫= ∫

−Cdxeaeey

dxxx

dxx 22

111

( )∫∫ +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−CadxeCdxeaeey xxxx

1111

).(1

Caxey x +=

Уравнение Бернулли.

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида ,nyQPyy ⋅=+′

г Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное чи равное 1.

Для решения уравнения Бернулли применяют под

де P и сло, не

становку 1

1−= ny

z , с помощью

оторой, уравнение Бернулли приводится к линейному. Для этого разделим исходное уравнение на yn

к.

;11 Q

yP

yy

nn =+′

−

Применим подстановку, учтя, что nn

n

yyny

yynz

′−−=′⋅

−−=′ −

− )1()1(22

2

.

QPzn

=+−z′

−1

Pznz )1( −=−−′ Qn )1( −Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z. Решение этого уравнения будем искать в виде:

18


19

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∫∫= ∫

−CdxeQez

dxPPdx 1

1

.)1((1 nnQ ;)1 1 PPQ −−=− −=

.ln2 xxyyyx =+′ Пример. Решить уравнение

на xy2: .ln112 x

yxРазделим уравнение

yy

=⋅+′

Полагаем .;12y

yzy

z′

−=′=

xzx

zxzx

z ln1;ln1−=−′=+′− .

Полагаем .ln,1 xQx

P −=−=

( );ln;ln lnln CdxxeezCdxxeez xxxdx

xdx

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∫−∫= ∫∫ −−

( );)(lnln;ln CxxdxzCx

dxxxz +−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−= ∫∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎛−= xz ln 2

⎝+Cx

2

Произведя обратную подстановку, получаем:

.2

ln1 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= Cxx

y

.4 2 yxyyx =−′ Пример. Решить уравнение Разделим обе части уравнения на .yx

.41 xyxdx

dyy

=−

;2;2

1; zyyyy

zyz ′=′′=′= Полагаем

;2;421 xxz

dxdzxz

xzy

y=−=−′

2

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

;2;2;02xdx

zdz

xz

dxdz

xz

dxdz

===−

∫ ∫ +=+= ;;lnln2ln;2 2CxzCxzCx

dxz

dz =1

олагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

П


;)()(2 2

dxxdCxxxC

dxdz

+=

;2

)(2)()(22

2 xx

xCxdx

xdCxxxC =−+

;ln21)(;

21)(

2CxxCxdx

xdC+==

Получаем: ;ln12 ⎟⎞

⎜⎛ += xCxz

22⎠⎝

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

;ln21 2

24 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += xCxy

Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

0),(),( =+ dyyxNdxyxM называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции ).,( yxFu = Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде: .;0 Cudu == Таким образом, для 1) в каком случае левая ч

решения надо определить: асть уравнения представляет собой полный дифференциал

най

Если дифференциальная форма

функции u; 2) как ти эту функцию.

dyxNdxyxM ),(),( y+ является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:

.),(),( dyyudx

xudyyxNdxyxMdu

∂∂

+∂∂

=+=

⎪⎪⎩

⎨=

∂∂ ),( yxN

yu

. Т.е. ⎪⎪⎧ =∂∂ ),( yxM

xu

Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:

⎪⎪⎩ ∂

∂=

∂∂∂

xyxN

yxu ),(2

Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и

⎪⎪⎨

⎧∂

∂=

∂∂∂

yyxM

yxu ),(2

достаточное условие того, что левая часть дифференциального равнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.

у

20


yxNyxM ∂=

y x∂∂∂ ),(),(

Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u.

Проинтегрируем равенство ),( yxMx∂

).(),( yCdxyxMu +=

u=

∂ :

∫ Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую

еменная у полагается постоянным

Определим функцию С(у). Продифференцируем полученное равенство по у.

функцию С(у), т.к. при интегрировании перпараметром.

).()y,(),( yCdxxMy

yxNyu ′+

∂∂

==∂∂

∫

Откуда получаем: ∫∂∂

−=′ .),(),()( dxyxMy

yxNyC

Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.

[ ]

.0),(),(=

∂−

∂=

yxMyxN

),(),(),(),()(

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

−∂

∂=

∂∂

∂∂

−∂

∂=′′ ∫∫

yx

dxyxMxyx

yxNdxyxMyxx

yxNyС x

Теперь определяем функцию С(у):

CdydxyxMyxNyC +⎤⎡ ∂

−= ∫ ∫ ),(),()( y ⎥

⎦⎢⎣ ∂

Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:

.),(),(),( CdydxyxMy

yxNdxyxMu +⎥⎦

⎢⎣ ∂

−+= ∫∫ ⎤⎡ ∂

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:

.),(),(),( CdydxyxMy

yxNdxyxM =⎥⎦

⎢⎣ ∂

−+ ∫∫

Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференци

⎤⎡ ∂

алах не бязате ю формулу. Решение может получиться более

методу, которым формула была получена.

о льно использовать полученнукомпактным, если просто следовать

0)15()103( 22 =−++ dyxdxxyx Пример. Решить уравнени

е

;10)103(),( 2

xy

xyxy

yxM=

∂+∂

=∂

∂ Проверим условие тотальности:

.10)15(),( 2

xx

xxxN

=∂−∂

=∂

∂ y

выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Условие тотальности

21


Определим функцию u. );(5)()103()(),( 232 yCyxxyCdxxyxyCdxyxMu ++=++=+= ∫∫

;15),()(5 22 −==′+=∂∂ xyxNyCx

yu

1)1()(;1)( CydyyCyC +−=−=−=′ ∫ ;

ИтогоНаходим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

, .5 123 Cyyxxu +−+=

;.5 2123 СCyyxxu =+−+=

.5 Cyyxx =−+ 23

Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’). Решение уравнений, не содержащих в случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме принимая за параметр производную

одном,

неизвестной функции. .py =′

Для уравнения первого ти па получаем: .)();(dx

Делая замену, получаем:

dppfypfy ′=′=

;)( dppfp ′=dx

В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

∫ +′

== .; Cdpp

dpp

dx

Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:

′ )()( pfpf x

⎪⎩

⎪⎨

+= ∫ Cdpp

x

⎧

=

′

)(

)(

pfy

pf

Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем р льтат:

Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.

езу

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+′= ∫)(

)(

pfx

Cdppfpy

22


У .равнения Лагранжа и Клеро

( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик ин. поч. член Петерб. АН )

Определение.

Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты торого являются функциями т y’.

коо

0)()()( =′+′+′ yRyyQxyP Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.

.)(()(),()( yRyPpfppxfy)(

)(,)()

yQp

yQ ′′

−=ϕ′′

−=ϕ+=

Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что pdxdy = , получа)()()( dppdppfxdxpfpdx

ем: ϕ′+′+= .

Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:


),,( CpFx =

⎩⎨⎧

ϕ+=ϕ+==

)()(),()()(),(

ppfCpFppxfyCpFx

Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции и аргумента вида:

).(yyxy ′ϕ+′= Вообще го , уравнение Клеро являетворя ся частным случаем уравнения Лагранжа. С учетом замены py =′ , уравнение принимает вид:

).py (xp ϕ+=

;)(dxdpp

dxdpxpy ϕ′++=′ ;)(

dxdpp

dxdpxpp ϕ′++=

[ ] ;0)ϕ′+dpx ( p =dx

ет дв возможных решения: Это уравнение име а 0=dp или .0( ) =ϕ′+ px

;cp = В первом случае: )(ccxy ϕ+=

Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий. Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:

лучаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содерж ельно, не явля

яться особым интегралом. ( См. Особое решение.

⎩⎨⎧

=ϕ′+ϕ+=

0)()(

pxpxpy

Исключая параметр р, поит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следоватется частным решением. Это решение будет явл )

23


Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных равне

Пример.

у ний первого порядка.

Решить уравнение с заданными начальными условиями.

.0)1(;1 =+=−′ yxyy x

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого орядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

п

;;;;0x

dxy

dyxy

dxdy

xyy

xyy ===′=−′

∫ ∫ +== ;lnlnln; Cxydxdy xy

;Cxy = Для неоднородного уравнени ия общее решение меет вид:

;)( xxCy = Дифференцируя, получаем: y =′ );()( xCxxC +′ Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:

1)()()( +=−+′ xxCxCxxC 1)( +=′ xxCx

;11)(;11)( Cdxx

xCx

xC +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=′ ∫

x ;ln Cx ++)(xC =

ln xИтого, общее решение: ).( Cxxy ++

учетом начального условия

=

0)1( =y определяем постоянный коэффициент C. C.1;1ln10 C −=C ++=

Окончательно по 2

Для проверки в исхлучаем: .ln xxxxy −+= подставим полученный результат одное дифференциальное

уравнение: ;11ln11ln2 +=+−−−⋅++ xxxxxx веx

рно

Ниже показан график интегральной кривой уравнения.

0.5 1 1.5 2

-0.5

0.5

1

1.5

24


Пример. Найти общий интеграл уравнения 0)1()1( 22 =−+− dyxydxyx . Это уравнение с разделяющимися переменными.

;11

;011 2222 ∫ ∫ −

−=−

=−

+− y

ydyxxdx

yydy

xxdx

;lnln1ln 22 Cyx =+− 1−

:

Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных

С = - 0,5 С = -0,02 С = -1 С = -2

Общий интеграл имеет вид .)1)(1( 22 Cyx =−−

значениях С.

-2 -1 1 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Пример.

С = 0,02 С = 0,5 С = 1 С = 2

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее аданным начальным условиям. з

.0)0(;sin)1(cos +=′ xyxy =y Это уравнение с разделяющимися переменными.

;1

;cossin

1tgxdx

ydy

xx

yy

=+

=+′

;lncosln1ln;1

Cxytgxdxydy

+−=+=+∫ ∫

;cos)1(;ln(ln y cos)1 CxyCx =+=+

25


Общее решение имеет вид: .1cos

−=x

y C

Найдем частное решение при заданном начальном усл вии у(0) = 0. о

.1;11

0 =−= CС

кончательно получаем: О .1cos x

1−=y

Пример. Решить предыдущий особом.

пример другим сп

Действительно, уравнение xyxy sin)1(cos +=′ может быть рассмотрено как инейное неоднородное дифференциальное уравнение. л

.sinsincos xxyxy =−′ Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.

;;sincos;0sincos tgxdxy

dyxyxyxyxy ==′=−′

;cos;lncoslnln;ln CxyCxyCtgxdxy

dy=+−=+=∫ ∫

.cos x

Cy =

е неоднородного уравнения будет иметь вид

: .cos

)(x

xCy = Решени

Тогда .sin)(cos)(cos2 x

xxCxxCy +′=′

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

[ ] ;sincos

sin)(cos

cossin)(cos)(2 x

xxxC

xxxxCxxC

=−⋅+′

;cossin)(;sin);sincos

cos)( CxxdxxCxxCxx

xxC+−===′=

′∫

Итого ;cos x

cos Cxy +−= ;1

cos x−=

Cy

учетом начального условия у(0) = 0 получаемС ;1cos x

1−=y

При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод ешения, исходя из сложности преобразований.

Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального равнения различными способами, совпадают. у

р

26


Пример. Решить уравнение xxyy 2sin2

cos =+′ с начальным условием у(0) = 0.

1

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

;sinln;cos;0cos 1Cxyxdxy

dyxyy +−=−==+′

Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.

Итого

;; sinsin 1 xCx Ceyeey −− =⋅=

Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид: (xCy = ;) sin xe−

;cos)()( sinsin xexCexCy xx −− −′=′ ;cossincos)(cos)()( sinsinsin xxxexCxexCexC xxx =+−′ −−−

;cossin)(;cossin)( sinsin xxexCxxexC xx =′=′ −

∫∫ =−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==== xdxexe

xUxdxedVxdxdUeV

xdxxexС xxx

xx cossin

;sin;cos;cos;

cosin)( sinsinsin

sinsin s

.ssin Ce xx + in sinex −=

( );sin sinsinsin Cexeey xxx +−= −

Проверим полученное общее решение подстановкой одное ифференциальное уравнение.

(верно) Найдем частное решение при у(0) = 0.

кончательно .1sin sin −+= − xexy

;1sin sin xCexy −+−=

в исхд

cossin)cos(cos sin xxCex x +−+ − ;cossincoscos sin xxxCexx x =+− −

.1;10n 0 =+− CCe si0 =

О

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

Это уравнение может быть преобразовано и представлено уравнение с разделенными переменными.

dxxyydyxydyxdx 22 53320 −=− с начальным условием у(1) = 1.

как

);4(5)1(3;53320 222 +=+′−′=′− yxxyyxyyyxyyx 2

;1

54

3;1

54

32222 dx

xxdy

yy

xx

yyy

+=

++=

+′

;1

54

322∫ ∫ +

=+

dxx

xdyy

y

27


122 ln)1ln(

25)4ln(

23 Cxy ++=+

;)1(4;)1()4( 3 2225232 +⋅= C++⋅=+ xyxCy

;4)1( 35

22 −+= xCy

;4)1( 35

2 −+= xCy С учетом начального условия:

;32

125;48125;425;4421;432421 3333335

=⋅==−=−=−⋅= CCCCСС

.42

53

=C

.42

1535

2

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

xy Окончательно

1+=+′ xyyx Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

условием у(1) = 0.

;lnlnln;;;0 Cxyx

dxy

dyydxxdyyyx +−=−=−==+′

;;x

yCxy ==C

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

;)(xxCy =

Подставим в исходное уравнение:

;1)(;1)(;1)()()(2 +=′+

′−+=+ =

′xxCx

xxxCx

xxC

xxCxxCx

;2

)(2

CxxxC ++=

Общее решение будет иметь вид: ;12 x

Cxy ++=

о условия у(1) = 0: ;23;1

210 −=++= CC C учетом начальног

;123

2+−=

xxy Частное решение:

28


Пример. Найти решение дифференциального уравнения ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′

xyyyx ln с

начальным условием у(1) = е. Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися

переменными с помощью замены переменных.

Обозначим: ;;;;ln uuuu eeuxyxeyexyu

xy

+′=′===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Уравнение принимает вид: ;1;1; −=′=+′=+′ uuxuuxueeeux uuu

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

;1

;1x

dxuduu

dxdux =

−−=

;1;lnln1ln;1

CxuCxux

dxudu

=−+=−=−∫ ∫

Сделаем обратную замену: ;;1ln;1ln 1+=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= Cxe

xyCx

xy

xyCx

Общее решение: ;1+= Cxxey C учетом начального условия у(1) = е: ;0;1 == + Cee C

Частное решение: ;exy = Второй способ решения.

;lnln

;lnln

;ln

xxyy

xyy

xyyyyxxyyyx

−=−′

−=′

=′

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:

( )

;;ln;lnlnlnln

;lnln;

ln;ln

;0ln

CxeyCxyCxyx

dxyyd

xdx

yydyy

xyy

yxyy

==+=

===′

=−′

∫ ∫

Решение исходного уравнения ищем в виде: ;)( xxCey =Тогда ( );)()()( xCxxCey xxC +′=′Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

( ) ;ln)()()(

)()(

xeexCxxCxe

xxCxxCxxC =+′

29


;ln)(;ln)(

;ln)()()(

22

2

xxxCxxCx

xxxCxxCxCx

−=′−=′

−=+′

;1lnln

;1;

;;lnln)( 2

2

2 Cxx

xxdx

xx

xv

xdxdu

xdxdvxu

dxx

xxC ++=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−−−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−==

===−= ∫∫

;11ln)( +++ === CxCxxxxC xeeey

Получаем общее решение: ;1+= Cxxey

Пример. Решить дифференциальное уравнение 0=−+′xyey x

y

с начальным

условием у(1)=0. В этом уравнении также удобно применить замену переменных.

;ln;ln;ln;uuxuyuxyu

xyue x

y ′+=′===

Уравнение принимает вид: ;0;0lnln 2 =+′=−+′

+ uuxuuuuxu

;;; 222 ∫∫ −=−=−=′

xdx

udu

xdx

uduuux

;ln1;lnln1 Cxu

Cxu

=+=

Делаем обратную подстановку: );ln(ln;ln CxxyCxe x

y

=−=−

Общее решение: );ln(lnCxxy −= C учетом начального условия у(1) = 0: ;);ln(ln0 eCC =−= Частное решение: );ln(ln exxy −= Второй способ решения.

0=−+′xyey x

y

Замена переменной: ;xyu = ;; uxuyuxy +′=′=

0=−++′ ueuxu u 0=+′ uexu uex

dxdu

−=

xdxdue u =− −

30


∫ ∫=− − ;x

dxdue u

;ln;lnln CxeCxe uu =+= −−

);ln(ln);ln(ln CxuCxu −==− Общее решение: );ln(lnCxxy −=

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка.

у a b A S x Как уже говорилось выше (см. Интегральные кривые. ), линия S, которая задается функцией, являющейся каким- либо решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой уравнения ).,( yxfy =′ Производная y’ является угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой. В любой точке А(х, у) интегральной кривой этот угловой коэффициент касательной может быть найден еще до решения дифференциального уравнения. Т.к. касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее непосредственного построения, то при условии непрерывности функции f(x, y) и непрерывного перемещения точки А можно наглядно изобразить поле направлений кривых, которые получаются в результате интегрирования дифференциального уравнения, т.е. представляют собой его общее решение. Определение. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений. С учетом сказанного выше можно привести следующее геометрическое истолкование дифференциального уравнения: 1) Задать дифференциальное уравнение первого порядка – это значит задать поле направлений. 2) Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение – это значит найти всевозможные кривые, у которых направление касательных в каждой точке совпадает с полем направлений.

31


Определение. Линии равного наклона в поле направлений называются изоклинами.

Численные методы решения дифференциальных уравнений. Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют найти решение в виде аналитической функции, однако эти методы применимы для очень ограниченного класса уравнений. Большинство уравнений, встречающихся при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов. В таких случаях используются численные методы решения, которые представляют решение дифференциального уравнения не в виде аналитической функции, а в виде таблиц значений искомой функции в зависимости от значения переменной. Существует несколько методов численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности результата. Рассмотрим некоторые из них.

Метод Эйлера. (Леонард Эйлер (1707 – 1783) швейцарский математик )

Известно, что уравнение ),( yxfy =′ задает в некоторой области поле направлений. Решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает кривую, которая касается поля направлений в любой точке. Если взять последовательность точек х0, х1, х2, …. и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную линию. y M2 M1 M3 M0 y0 M4 0 x0 x1 x2 x3 x4 x При подстановке заданных начальных условий (х0, у0) в дифференциальное уравнение получаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в начальной точке

),( yxfy =′

).,( 000 yxfytg =′=α Заменив на отрезке [x0, x1] интегральную кривую на касательную к ней, получаем значение

).)(,( 010001 xxyxfyy −+= Производя аналогичную операцию для отрезка [x1, x2], получаем:

).)(,( 121112 xxyxfyy −+= Продолжая подобные действия далее, получаем ломаную кривую, которая называется ломаной Эйлера. Можно записать общую формулу вычислений:

32


).)(,( 1111 −−−− −+= nnnnnn xxyxfyy

Если последовательность точек хi выбрать так, чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:

hyxfyy nnnn ),( 111 −−− +=

Следует отметить, что точность метода Эйлера относительно невысока. Увеличить точность можно, конечно, уменьшив шаг вычислений, однако, это приведет к усложнению расчетов. Поэтому на практике применяется так называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчета.

Суть метода состоит в том, что в формуле hyxfyy ),( 0001 += вместо значения ),( 000 yxfy =′ берется среднее арифметическое значений f(x0, y0) и f(x1, y1). Тогда

уточненное значение:

;2

),(),( 11000

)1(1 h

yxfyxfyy

++=

Затем находится значение производной в точке ) . Заменяя f(x0, y0) средним арифметическим значений f(x0, y0) и , находят второе уточненное значение у1.

,( )1(11 yx

),( )1(11 yxf

;2

),(),( )1(1100

0)2(

1 hyxfyxf

yy+

+=

Затем третье:

;2

),(),( )2(1100

0)3(

1 hyxfyxf

yy+

+=

и т.д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М1 ломаной Эйлера. Аналогичная операция производится для остальных значений у. Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата. При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая решает любое дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера и уточненным методом Эйлера. На каждом шаге вычислений подробно выводятся все указанные выше значения. Для запуска программы дважды щелкните на значке

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

33


Метод Рунге – Кутта.

Метод Рунге – Кутта является более точным по сравнению с методом Эйлера. Суть уточнения состоит в том, что искомое решение представляется в виде разложения в ряд Тейлора. (См. Формула Тейлора. )

...!4!3!2

432

1 ++′′′+′′+′+=+hyhyhyhyyy IV

iiiiii

Если в этой формуле ограничиться двумя первыми слагаемыми, то получим формулу метода Эйлера. Метод Рунге – Кутта учитывает четыре первых члена разложения.

iiiiiii yyhyhyhyyy Δ+=′′′+′′+′+=+ !3!2

32

1 .

В методе Рунге – Кутта приращения Δyi предлагается вычислять по формуле:

( ))(4

)(3

)(2

)(1 22

61 iiii

i kkkky +++=Δ

где коэффициенты ki вычисляются по формулам: );,()(

1 iii yxhfk =

;2

;2

)(1)(

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

i

iii k

yhxhfk

;2

;2

)(2)(

3 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

i

iii k

yhxhfk

( );; )(3

)(4

iii

i kyhxhfk ++= Пример. Решить методом Рунге – Кутта дифференциальное уравнение yxy +=′ при начальном условии у(0) = 1 на отрезке [0; 0,5] с шагом 0,1. Для i = 0 вычислим коэффициенты ki.

;1,0)10(1,0)(1,0),( 0000)0(

1 =+=+== yxyxhfk

( ) ;11,005,105,01,02

;2

)0(1

00)0(

2 =+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

kyhxhfk

;1105,0)055,105,0(1,02

;2

)0(2

00)0(

3 =+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

kyhxhfk

( ) ;1211,0)1105,11,0(1,0; )0(300

)0(4 =+=++= kyhxhfk

;1104,11104,01;1,0

;1104,0)1211,0221,022,01,0(61)22(

61

001

01

)0(4

)0(3

)0(2

)0(10

=+=Δ+==+=

=+++=+++=Δ

yyyhxx

kkkky

Последующие вычисления приводить не будем, а результаты представим в виде таблицы.

34


i xi k Δyi yi

1 0,1000 2 0,1100 3 0,1105

0

0

4 0,1155

0,1104

1

1 0,1210 2 0,1321 3 0,1326

1

0,1

4 0,1443

0,1325

1,1104

1 0,1443 2 0,1565 3 0,1571

2

0,2

4 0,1700

0,1569

1,2429

1 0,1700 2 0,1835 3 0,1842

3

0.3

4 0,1984

0,1840

1,3998

1 0,1984 2 0,2133 3 0,2140

4

0,4

4 0,2298

0,2138

1,5838

5 0,5 1,7976

Решим этот же пример методом Эйлера. Применяем формулу ).,( 111 −−− += nnnn yxhfyy

;1),(,1,0 000000 =+=== yxyxfyx

;1,0)(),( 0000 =+= yxhyxhf .1,11,01),( 0001 =+=+= yxhfyy

;2,1),(1,11,0 111101 =+=== yxyxfyx

;12,0)(),( 1111 =+= yxhyxhf .22,112,01,1),( 1112 =+=+= yxhfyy

Производя аналогичные вычисления далее, получаем таблицу значений:

i 0 1 2 3 4 5 xi 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 yi 1 1,1 1,22 1,362 1,528 1,721

Применим теперь уточненный метод Эйлера.

i 0 1 2 3 4 5 xi 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 yi 1 1,1 1,243 1,400 1,585 1,799

35


Для сравнения точности приведенных методов численного решение данного уравнения решим его аналитически и найдем точные значения функции у на заданном отрезке. Уравнение xyy =−′ является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

;;;;;0 ∫ ∫====′=−′ dxy

dydxy

dyydxdyyyyy

;ln;lnln xCyCxy =+= ;xCey =

Решение неоднородного уравнения имеет вид .)( xexCy =

;)()( xx exCexCy +′=′ ;)(;)(;)()()( xxxxx xexCxexCexCxexCexC −=′=′+=+′

;;;

;;)( Cexedxexe

evdxdudxedvxu

dxxexС xxxxx

xx +−−=+−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==

==== −−−−

−

−− ∫∫

Общее решение: ;1−−= xCey x

C учетом начального условия: ;2;101 =−−= CC Частное решение: ;12 −−= xey x

Для сравнения полученных результатов составим таблицу.

yi i xi Метод Эйлера Уточненный

метод Эйлера Метод Рунге -

Кутта Точное значение

0 0 1 1 1 1 1 0,1 1,1 1,1 1,1104 1,1103 2 0,2 1,22 1,243 1,2429 1,2428 3 0,3 1,362 1,4 1,3998 1,3997 4 0,4 1,528 1,585 1,5838 1,5837 5 0,5 1,721 1,799 1,7976 1,7975

Как видно из полученных результатов метод Рунге – Кутта дает наиболее точный ответ. Точность достигает 0,0001. Кроме того, следует обратить внимание на то, ошибка (расхождение между точным и приближенным значениями) увеличивается с каждым шагом вычислений. Это обусловлено тем, что во – первых полученное приближенное значение округляется на каждом шаге, а во – вторых – тем, что в качестве основы вычисления принимается значение, полученное на предыдущем шаге, т.е. приближенное значение. Таким образом происходит накопление ошибки. Это хорошо видно из таблицы. С каждым новым шагом приближенное значение все более отличается от точного. При использовании кмпьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая решает любое дифференциальное уравнение первого порядка рассмотренным выше методом Рунге- Кутта. Программа подробно выводит результаты вычислений на каждом шаге.

36


Для запуска программы дважды щелкните на значке


Дифференциальные уравнения высших порядков. Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:

0),...,,,( )( =′ nyyyxF В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n):

).,...,,,( )1()( −′= nn yyyxfy Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений. Определение. Решение )(xy ϕ= удовлетворяет начальным условиям

, если )1(0000 ,...,,, −′ nyyyx .)(,....,,)( )1(

00)1(

000−− =ϕ′=ϕ nn yxyx )( 0 =ϕ′ yx

Определение. Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , называется решением задачи Коши.

0),...,,,( )( =′ nyyyxF)1(

0000 ,...,,, −′ nyyyx

Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши). Если функция (n-1) –й переменных вида в некоторой области D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по , то какова бы не была точка ( x ) в этой области, существует единственное решение

),...,,,( )1( −′ nyyyxf

0 , yy

)1(,...,, −′ nyyy )1(000 ,...,, −′ nyy

)(xϕ= уравнения , определенного в некотором интервале, содержащем точку

х0, удовлетворяющее начальным условиям . ),..., )1( −ny,,()( ′=n yyxfy

)1(000 ,...,, −′ nyy0 , yx

Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов. Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений.

Уравнения, допускающие понижение порядка. Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

37


Уравнения вида y(n) = f(x). Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.

;)( 1)1( Cdxxfy n += ∫−

( ) ;)()( 2121)2( CxCdxxfdxCdxCdxxfy n ++=++= ∫∫∫ ∫−

…………………………………………………………….

;...)!2()!1(

)(....2

2

1

1 n

nn

CnxC

nxCdxxfdxdxy ++

−+

−+=

−−

∫∫∫

Пример. Решить уравнение с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1; xey 2=′′′.0;1 00 =′′−=′ yy

;21

12

12 CeCdxey xx +=+=′′ ∫

;41

21

212

12 CxCedxCey xx ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=′ ∫

∫ +++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= ;

21

81

41

322

12

212 CxCxCeCxCey xx

Подставим начальные условия:

;210;

411;

811 123 CCС +=+=−+=

;87;

45;

21

321 =−=−= CCC

Получаем частное решение (решение задачи Коши): 87

45

41

81 22 +−−= xxey x .

Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения.

-10 -8 -6 -4 -2 2 4

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

38


Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно.

Это уравнения вида: . 0),...,,,( )()1()( =+ nkk yyyxFВ уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:

....;; )()()1()( knnkk zyzyzy −+ =′== Тогда получаем: .0),...,,,( )( =′ −knzzzxF Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:

).,...,,,( 21 knCCCxz −ψ= Делая обратную подстановку, имеем:

),...,,,( 21)(

knk CCCxy −ψ=

Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ:

).,...,,,( 21 nCCCxy ϕ=

Пример. Найти общее решение уравнения xyy′′

=′′′ .

Применяем подстановку ;; yzyz ′′′=′′′=

∫ ∫====′ ;;;;x

dxz

dzx

dxz

dzxz

dxdz

xzz

;;lnlnln 11 xCzCxz =+= Произведя обратную замену, получаем:

;2

; 221

11 CxCxdxCyxCy +==′=′′ ∫

;62 32

312

21 CxCxCdxCxCy ++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∫

Общее решение исходного дифференциального уравнения: ;32

3 CxCCxy ++= Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0.

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной. Это уравнения вида .

.

0),...,,( )( =′ nyyyFПорядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных py =′

;pdydp

dxdy

dyyd

dxydy =⋅

′=

′=′′

39


;2

22

2

pdydpp

dypdp

dy

pdydpd

pdyyd

dxdy

dyyd

dxydy ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=′′

=⋅′′

=′′

=′′′ и т.д.

Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

0,...,,, 1

1

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

n

n

dypd

dydppyF

Если это уравнение проинтегрировать, и 0),...,,,,( 121 =−nCCCpyФ - совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка:

.0),...,,,,( 121 =′ −nCCCyyФ Пример. Найти общее решение уравнения .04)( 2 =′−′−′′ yyyyy

Замена переменной: ;; pdydpyyp =′′′=

;04;042 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−− yp

dydpypypp

dydpyp

1) ;4;04yp

dydpyp

dydpy +==−−

Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену

переменной: .ypu =

;4;4y

dyduuydyduu =+=+

;ln4;ln4ln4;4 11 yCuCyuy

dydu =+== ∫∫

;ln4 1 yCyp =

С учетом того, что dxdyp = , получаем:

;ln4

;ln41

1 ∫ ∫== dxyCy

dyyCydxdy

;lnln41

ln)(ln

41

211

1 CyCyCyCd

x +== ∫

Общий интеграл имеет вид: ;4lnln 1 CxyC += 2) ;0;0 =′= yp ;Cy = Таким образом, получили два общих решения.

40


Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных вида: )(,...,, nyyy ′′′

);(... 1)2(

2)1(

1)(

0 xfypypypypyp nnnnn =+′++++ −−−

где p0, p1, …,pn – функции от х или постоянные величины, причем p0 ≠ 0. Левую часть этого уравнения обозначим L(y).

);(... 1)2(

2)1(

1)(

0 yLypypypypyp nnnnn =+′++++ −−−

Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) ≠ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, … pn – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами. Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным. Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение вида 0... 1

)2(2

)1(1

)(0 =+′++++ −

−− ypypypypyp nnnnn

Определение. Выражение называется линейным дифференциальным оператором.

)(... 1)2(

2)1(

1)(

0 yLypypypypyp nnnnn =+′++++ −−−

Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами: 1) );()( yCLCyL = 2) );()()( 2121 yLyLyyL +=+ Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами: 1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением. 2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его решением.

41


Структура общего решения.

Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения. Определение. Если из функций yi составить определитель n – го порядка

)1()1(2

)1(1

21

21

...............

...

...

−−−

′′′=

nn

nn

n

n

yyy

yyyyyy

W ,

то этот определитель называется определителем Вронского. ( Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)

Теорема. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

nyyy ,...,, 21

Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

nyyy ,...,, 21

Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

nyyy ,...,, 21

Теорема. Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

nyyy ,...,, 21

nn yCyCyCy +++= ...2211 , где Ci –постоянные коэффициенты. Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений. Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде. Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена. Теорема. Если задано уравнение вида 0)()( 21 =+′+′′ yxpyxpy и известно одно ненулевое решение у = у1, то общее решение может быть найдено по формуле:

42


.111

)(

21

121 yCdxe

yyCy

dxxp+∫= ∫

−

Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Решение дифференциального уравнения вида или, короче, будем искать в виде , где k = const.

0...)1(1

)( =+++ − yayay nnn

0)( =yL kxey = Т.к. то ,...;; )(2 kxnnkxkx ekyekykey ==′′=′

)....()( 11 n

nnkxkx akakeeL +++= −

При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.

nnn akakkF +++= − ...)( 1

1

Для того, чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

kxey =

;0)( =kxeL т.е. .0)( =kFekx

Т.к. ekx ≠ 0, то - это уравнение называется характеристическим уравнением.

0)( =kF

Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение 0 имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения.

...11 =+++ −

nnn akak

В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные. Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. 1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни. 2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем: a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений: ....;; 1 kxmkxkx exxee −

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней β±α i характеристического уравнение ставится в соответствие два решения: и . xe x βα cos xe x βα sinг) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней β±α i характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

43


.sin...,sin,sin

,cos...,cos,cos1

1

xexxxexexexxxexe

xmxx

xmxx

βββ

βββα−αα

α−αα

3) Составляем линейную комбинацию найденных решений. Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Пример. Решить уравнение 0=−′′′ yy . Составим характеристическое уравнение: ;013 =−k

;01;1;0)1)(1( 21

2 =++==++− kkkkkk

;23

21;

23

21;341 32 ikikD −−=+−=−=−=

Общее решение имеет вид: .23sin

23cos 32

21 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

−xCxCeeCy

xx

Пример. Решить уравнение .022)1( 2 =+′−′′− yyxyx

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение. Таким частным решением будет являться функция .1 xy =

;0220;0;1 11 =+−=′′=′ xxyy Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:

.01

21

222 =

−+′

−−′′

xyy

xxy

Общее решение имеет вид: ;12

12

212 xCdxe

xxCy

dxxx

+∫= ∫ −

;22

)1ln(

1

2

xCdxx

exCyx

+= ∫−−

∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−

++=+−

= ;)1(2

1)1(2

11;)1( 2122221 dx

xxxxCxCyxC

xxdxxCy

;11ln

211

12 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

+−+=xx

xxCxCy

Окончательно: ;11ln 432 C

xxxCxCy +

−+

+=

44


Пример. Решить уравнение .

.

0=− yy IV

Составим характеристическое уравнение: .014 =−k

.;;1;1;0)1)(1( 432122 ikikkkkk −==−===+−

Общее решение: sincos 4321 xCxCeCeCy xx +++= −

Пример. Решить уравнение .044 =+′−′′ yyy Характеристическое уравнение: . 2;044 21

2 ===+− kkkk Общее решение: .2

22

1xx xeCeCy +=

Пример. Решить уравнение .052 =+′+′′ yyy Характеристическое уравнение: ;21;16;052 1

2 ikDkk +−=−==++ .212 ik −−= Общее решение: ).2sin2cos( 21 xCxCey x += −

Пример. Решить уравнение .067 =′+′′−′′′ yyy Характеристическое уравнение: ;0)67(;067 223 =+−=+− kkkkkk

;6;1;0 321 === kkk Общее решение: ;6

321xx eCeCCy ++=

Пример. Решить уравнение .02 =−′−′′ yyy Характеристическое уравнение: ;2;1;02 21

2 =−==−− kkkk Общее решение: .2

21xx eCeCy += −

Пример. Решить уравнение .09 =′′′− yyV

Характеристическое уравнение: ;0)9(;09 2335 =−=− kkkk

;3;3;0 54321 −===== kkkkk

Общее решение: ;35

34

2321

xx eCeCxCxCCy −++++= Пример. Решить уравнение .02 =′−′′ yyy

45


Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему неприменим. Понизим порядок уравнения с помощью подстановки .py =′

Тогда .pdydpy

dydpy =′=′′

;;0;0 1112 Cyppp

dydpy ===−

;lnlnln;;; Cypy

dyp

dpy

dyp

dppdyydp

+==== ∫ ∫

∫ ∫===′= ;;;; dxСydydx

СydyCyyCyp

;;lnln13

ln2

2 CxCCCx eCeeCyCxCyC

==+=

Окончательно получаем: ;1

CxeCy = Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у1 = С1 получается из общего решения при С = 0. Пример. Решить уравнение .03 2 =′+′′ yyy

Производим замену переменной: ;;dydppy

dydpypy =′=′′=′

;;0;03 112 Cypp

dydpyp ===+

;31;

3;3 ∫ ∫−=−=−=

ydy

pdp

ydy

pdpp

dydpy

;;;lnln31ln 3

1

13 −

=′=+−= yCyyCpCyp

;43;; 21

34

131

131

CxCydxCdyydxCdyy +=== ∫∫

;4334

CxCy +=

Общее решение: .)( 43

43 CxCy +=

46


Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение вида ).()(...)( )1(

1)( xfyxpyxpy n

nn =+++ −

С учетом обозначения можно записать: )()(...)( )1(1

)( xLyxpyxpy nnn =+++ −

).()( xfxL = При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном). Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

)()(...)( )1(1

)( xfyxpyxpy nnn =+++ −

Доказательство. Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения. Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:

).()( xfYL ≡ Пусть - фундаментальная система решений линейного однородного уравнения . Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в виде:

nyyy ,...,, 21

0)( =yL

.;...2211 constCyCyCyCy inn =+++= Далее покажем, что сумма nn yCyCyCY ++++ ...2211 является общим решением неоднородного уравнения.

)()()(...)()()()...( 22112211 xfYLyCLyCLyCLYLyCyCyCYL nnnn ==++++=++++ Вообще говоря, решение Y может быть получено из общего решения, т.к. является частным решением. Таким образом, в соответствии с доказанной теоремой, для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором. На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных. Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:

;...1

2211 ∑=

=+++=n

iiinn yCyCyCyCy

Затем, полагая коэффициенты Ci функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:

;)(1∑=

=n

iii yxCy

Можно доказать, что для нахождения функций Ci(x) надо решить систему уравнений:

47


⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=′

=′′

=′

∑

∑

∑

=

−

=

=

)()(

..........................

0)(

0)(

1

)1(

1

1

xfyxC

yxC

yxC

n

i

nii

n

iii

n

iii

Пример. Решить уравнение .2sin xxyy −=+′′ Решаем линейное однородное уравнение .0=+′′ yy

.;;01 212 ikikk −===+

;1;0);sincos( =β=αβ+β= α xBxAey x ;sincos xBxAy +=

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид: ;sin)(cos)( xxBxxAy +=

Составляем систему уравнений:

⎩⎨⎧

−=′+′−=′+′

xxxxBxxAxxBxxA

2sincos)(sin)(0sin)(cos)(

Решим эту систему:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=′

−=′−

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=′−′−

′−=′

)2sin(cos)(

2sinsin

)(

2sinsin

cos)(sin)(

sincos)()(

2

xxxxB

xxxxA

xxxxxAxxA

xxxAxB

Из соотношения найдем функцию А(х). xxxxxA sincossin2)( 2 −=′

( ) =−=−=−= ∫∫∫∫ xdxxxdxxxxdxxdxxxxxxA sinsin32sincossin2sincossin2)( 322

.sincossin32coscossin

32

cos;;sin;

133 Cxxxxxdxxxx

xvdxduxdxdvxu

+−+=−+=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−====

= ∫

Теперь находим В(х).

=+−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

====

=−= ∫∫ ∫ xxdxxxxvdxdu

xdxdvxuxdxxxdxxxB 32 cos

32sinsin

;sin;;cos;

sincos2cos)(

.cossincos32

23 Cxxxx +++=

Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения:

.sincos)cos(sin)cos(sincossin32

sincossinsincossin32coscossincoscossin

32

212222

223

123

xCxCxxxxxxx

xCxxxxxxxCxxxxxxy

+++++=

=+++++−+=

Окончательный ответ: ;sincos2sin31

21 xCxCxxy +++=

48


Таким образом, удалось избежать нахождения частного решения неоднородного уравнения методом подбора.

Вообще говоря, метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной задачей, этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Уравнения с правой частью специального вида.

Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от

вида правой части неоднородного уравнения. Различают следующие случаи: I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

,)()( xexPxf α=

где - многочлен степени m. mmm AxAxAxP +++= − ...)( 1

10

Тогда частное решение ищется в виде:

)(xQexy xr α= Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число α является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения. Пример. Решить уравнение xyy =′−′′′ 4 . Решим соответствующее однородное уравнение: .04 =′−′′′ yy

;2;2;0;0)4(;04 32123 −====−=− kkkkkkk

;23

221

xx eCeCCy −++= Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения. Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.

.0;)( =α= xxP Частное решение ищем в виде: , где )(xQexy xr α= .)(;0;1 BAxxQr +==α= Т.е. .2 BxAxy +=Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В. Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

;0;2;2 =′′′=′′+=′ yAyBAxy

;0;81;18;480 =−==−=−− BAAxBAx

Итого, частное решение: .8

2xy −=

49


Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

.8

23

221

2xx eCeCCxy −+++−=

II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

[ ]xxPxxPexf x β+β= α sin)(cos)()( 21 Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно. Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

[ ]xxQxxQexy xr β+β= α sin)(cos)( 21

где число r показывает сколько раз число β+α i является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию. Т.е. если уравнение имеет вид: )()()( 21 xfxfyL += , то частное решение этого уравнения будет где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений ,21 yyy +=

)()( 1 xfyL = и )()( 2 xfyL = Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.

Пример. Решить уравнение .2sin xxyy −=+′′ Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух

функций f1(x) + f2(x) = x + (-sinx). Составим и решим характеристическое уравнение: ;;01 2,1

2 ikk ±==+

1. Для функции f1(x) решение ищем в виде )( . 1 xQexy xr α=Получаем: ;)(,0,0 BAxxQr +===α Т.е. ;1 BAxy +=

;0;1;;0; 11

===+=″=′

BAxBAxyAy

Итого: ;1 xy =

2. Для функции f2(x) решение ищем в виде: )sin) . (cos)(( 212 xxQxxQexy xr β+β= α

Анализируя функцию f2(x), получаем: ;0;2;0;1)(;0)( 21 ==β=α−== rxPxP Таким образом, ;2sin2cos2 xDxCy +=

50


;2sin2sin2cos2sin42cos4;2sin4cos24

;2cos22sin2

2

2

xxDxCxDxCxDxCy

xDxCy

−=++−−−−=″+−=′

xxDxC 2sin2sin32cos3 −=−−

;31;0 == BA

Итого: ;2sin31

2 xy =

Т.е. искомое частное решение имеет вид: ;2sin31

21 xxyyy +=+=

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

;sincos2sin31

21 xCxCxxy +++=

Рассмотрим примеры применения описанных методов. Пример. Решить уравнение .32 xeyyy =+′−′′Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

;1;012 212 ==−+− kkkk

Общее решение однородного уравнения: .21

xx xeCeCy +=Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

)(xQexy xr α= ;)(;2;1 CxQr ===α

.2 xeCxy = Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

.222;2 22 xxxxxx eCxCxeCxeCeyeCxCxey +++=′′+=′ Подставляя в исходное уравнение, получаем:

.32442 222 xxxxxxx eeCxeCxCxeeCxCxeCe =+−−++

.23;32 == CC

Частное решение имеет вид: .23 2 xexy =

Общее решение линейного неоднородного уравнения: .23 2

21xxx exxeCeCy ++=

Пример. Решить уравнение .12 −=′−′′′ xyy Характеристическое уравнение: k ;1;1;0;0)1(;0 321

23 −====−=− kkkkkk

51


Общее решение однородного уравнения: .321xx eCeCCy −++=

Частное решение неоднородного уравнения: . )(xQexy xr α=.)(;1;0 2 CBxAxxQr ++===α

CxBxAxy ++= 23 Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:

;6;26;23 2 AyBAxyCBxAxy =′′′+=′′++=′ ;1236 22 −=−−− xCBxAxA

;16;02;13 −=−=−=− CABA

;1;0;31

−==−= CBA

Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

.31 3

321 xxeCeCCy xx −−++= −

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Определение. Совокупность соотношений вида:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′′′

=′′′=′′′

0),...,,,,...,,,(......................................................

0),...,,,,...,,,(0),...,,,,...,,,(

2121

21212

21211

nnn

nn

nn

yyyyyyxF

yyyyyyxFyyyyyyxF

где х- независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка. Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Такая система имеет вид:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

),...,,,(

........................................

),...,,,(

),...,,,(

21

2122

2111

nnn

n

n

yyyxfdxdy

yyyxfdxdy

yyyxfdxdy

(1)

Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве. Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции ),,...,,,( 211 nyyyxf ),,...,,,( 212 nyyyxf … ),...,,,( 21 nn yyyxf

52


непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки этой области существует единственное решение

nyyy ,...,, 21

)(x),...,,.( 020100 nyyyxy ...),(),( 2211 yxyx nn ϕ=ϕ=ϕ=

системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям .,..., 0ny,. 20100 yyx Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций ),...,,,( 2111 nCCCxy ϕ= , ),...,2 nCC,,( 122 Cxy ϕ= , …

, которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.

),...,,,( 21 nnn CCCxy ϕ=

Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.

Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++=

++=

++=

uazayadxdu

uazayadxdz

uazayadxdy

333231

232221

131211

(2)

Решения системы (2) обладают следующими свойствами: 1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются решениями этой системы. 2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – тоже являются решениями системы. Решения системы ищутся в виде: constkeuezey kxkxkx =γβαγ=β=α= ,,,,;; Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на ekx, получаем:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=γ−+β+α=γ+β−+α=γ+β+α−

0)(0)(0)(

333231

232221

131211

kaaaakaaaaka

Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:

53


0

333231

232221

131211

=−

−−

kaaaakaaaaka

В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):

,,, 111111111

xkxkxk euezey γ=β=α= ,,, 222

222222xkxkxk euezey γ=β=α= .,, 333

333333xkxkxk euezey γ=β=α=

Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2):

;321332211

xkxkxk eCeCeCy α+α+α= ;321

332211xkxkxk eCeCeCz β+β+β= .321

332211xkxkxk eCeCeCu γ+γ+γ=

Пример. Найти общее решение системы уравнений:

⎩⎨⎧

+=′+=′

yxyyxx

2225

Составим характеристическое уравнение:

;042510;04)2)(5(;022

25 2 =−+−−=−−−=−

−kkkkk

kk

;6;1;067 212 ===+− kkkk

Решим систему уравнений:

⎩⎨⎧

=β−+α=β+α−

0)(0)(

2221

1211

kaaaka

Для k1: ⎩⎨⎧

=β+α=β+α

⎩⎨⎧

=β−+α=β+α−

02024

0)12(202)15(

11

11

11

11

Полагая (принимается любое значение), получаем: 11 =α .21 −=β

Для k2: ⎩⎨⎧

=β−α=β+α−

⎩⎨⎧

=β−+α=β+α−

042021

0)62(202)65(

22

22

22

22

Полагая (принимается любое значение), получаем: 22 =α .12 =β

Общее решение системы: ⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

+=tt

tt

eCeCy

eCeCx6

21

621

2

2

Этот пример может быть решен другим способом: Продифференцируем первое уравнение: ;25 yxx ′+′=′′ Подставим в это выражение производную у′ =2x + 2y из второго уравнения.

;445 yxxx ++′=′′ Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:

54


xxxxx 10245 −′++′=′′ 067 =+′−′′ xxx

1;6 21 == kk

;6; 66 tttt BeAexBeAex +=′+=

;55652 66 tttt BeAeBeAexxy −−+=−′=

;212 6tt BeAey +−=

Обозначив 21 21; CBCA == , получаем решение системы:

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

+=tt

tt

eCeCy

eCeCx6

21

621

2

2

Пример. Найти решение системы уравнений

⎩⎨⎧

++=′+=′

xzyzzyy

Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х). Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем:

.zyy ′+′=′′ Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем: xzyyy +++′=′′ . С учетом первого уравнения, получаем: .2 xyy +′=′′ Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.

.2;0;02;02;2 212 ===−=′−′′=′−′′ kkkkyyxyy

Общее решение однородного уравнения: .221

xeCCy +=

Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле ;)(;1;0);( BAxxQrxQexy xr +===α= α

;2;2;2 AyBAxyBxAxy =′′+=′+=

;41;

41;242 −=−==−− BAxBAxA

Общее решение неоднородного уравнения:

).1(412

21 +−+= xxeCCy x

Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем:

).1(41 22

21 −−++−= xxeCCz x

Пример. Найти решение системы уравнений:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=′+=′+=′

zywwyz

wzy

33

55


Составим характеристическое уравнение:

;013

33

131

1;0

131311

=−

+−

−−

−−=

−−

−k

kkk

kk

kk

;3;2;1;067;03333)1( 32132 =−=−==−−=++++−− kkkkkkkkk

1) k = -1.

;;0;0303

0γ−=β=α

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=γ+β+α=γ+β+α=γ+β+α

Если принять γ = 1, то решения в этом случае получаем: ;;;0 111

xx ewezy −− =−== 2) k2 = -2.

;;;023023

02γ=βγ−=α

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=γ+β+α=γ+β+α=γ+β+α

Если принять γ = 1, то получаем: ;;; 2

22

22

2xxx ewezey −−− ==−=

3) k3 = 3.

;;32;

03303303

γ=βγ=α⎪⎩

⎪⎨

⎧

=γ−β+α=γ+β−α=γ+β+α−

Если принять γ = 3, то получаем: ;3;3;2 3

33

33

3xxx ewezey ===

Общее решение имеет вид:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=

++−=

+−=

−−

−−

−

xxx

xxx

xx

eCeCeCw

eCeCeCz

eCeCy

33

221

33

221

33

22

3

3

2

Элементы теории устойчивости. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из разделов качественной теории дифференциальных уравнений, которая посвящена не нахождению какого – либо решения уравнения, а изучению характера поведения этого решения при изменении начальных условий или аргумента.

56


Этот метод особенно важен, т.к. позволяет делать вывод о характере решения без непосредственного нахождения этого решения. Т.е. даже в тех случаях, когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически. Пусть имеется некоторое явление, описанное системой дифференциальных уравнений:

),...,2,1();,...,,,( 21 niyyytfdtdy

nii == (1)

и начальные условия: .)( 00 ii yty = Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и поэтому неточны. Теорема. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий)

Если правая часть дифференциального уравнения ),( ytfdtdy

= непрерывна и по

переменной у имеет ограниченную частную производную ( )Nf y ≤′ на области

прямоугольника, ограниченного { }byybyattatD +≤≤−+≤≤−= 0000 , , то решение ),,()( 00 yttyty = , удовлетворяющее начальным условиям , непрерывно

зависит от начальных данных, т.е. для любого 00 )( yty =

00 >Δ∃>ε∀ , при котором если ,000 <− yy то ε<− ),(),,( 0000 yttyytty при условии, что

,; 00 TTTtt <<− где

.),(max,,1,min),(0 ytfM

Mb

NaT

Dyt ∈=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так и для системы уравнений. Определение. Если { })(),...,(),()( 21 tttt nϕϕϕ=ϕ

0>

- решение системы дифференциальных уравнений, то это решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого 0 Δ∃

}>ε , такое, что для любого решения

той же системы, начальные условия которого удовлетворяют

{ )(),...,(),()( 21 tytytyty n= неравенствам

),1()()( 00 nitty ii =Δ<ϕ− справедливы неравенства

[ )∞∈∀ε<ϕ− ,)()( 0tttty ii

(Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН) Т.е. можно сказать, что решение ϕ(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t ≥ t0. Если ),1(,0)()(lim nitty iit

==ϕ−∞→

, то решение ϕ(t) называется

асимптотически устойчивым. Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения

{ })(),...,(),()( 21 tttt nϕϕϕ=ϕ системы ),...,2,1();,...,,,( 21 niyyytfdtdy

nii == можно

свести к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций:

57


.,...,1),()()( nittytx iii =ϕ−= Тогда:

dtd

dtdx

dtdy iii ϕ

+=

[ ] [ ] .,...,1,)(),...,(,)(),...,(, 111 nitttftxtxtfdtdx

ninnii =ϕϕ−ϕ+ϕ+= (2)

Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение .0)( =txi

Теорема. Решение { })(),...,(),()( 21 tttt nϕϕϕ=ϕ системы (1) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение системы (2). Это тривиальное решение называется положением равновесия или точкой покоя. Определение. Точка покоя 0)( =txi системы (2) устойчива по Ляпунову, если для любого 0)(0 >εΔ∃>ε∀ такое, что из неравенства

),...,1()()( 0 nitxi =εΔ< следует

0),...,1()( ttnitxi ≥∀=ε< . Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система

),...,2,1();,...,,,( 21 niyyytfdtdy

nii ==

имеющая тривиальное решение 0)( =tyi . Пусть существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая условиям:

),...,( 1 nyyv

1) ≥0 и v = 0 только при у1 = у2 = … = уn =0, т.е. функция v имеет минимум в начале координат.

),...,( 1 nyyv

2) Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль решения yi(t) системы (1)) удовлетворяет условию:

∑∑==

≤∂∂

=∂∂

∂∂

=n

inii

i

n

i

i

i

yytfyv

ty

yv

dtdv

110),...,,( при 0tt ≥

Тогда точка покоя n устойчива по Ляпунову. iyi ,...,1,0 =≡ Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой окрестности начала координат ( )Δ≥++ 22

1 ... nyy выполнялось условие

),(,0 0tttv

≥<β−≤∂∂

где β - постоянная величина, то точка покоя niyi ,...,1,0 =≡ асимптотически устойчива. Функция v называется функцией Ляпунова.

58


Классификация точек покоя.

Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

yaxadtdy

yaxadtdx

2221

1211

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

02221

1211 =λ−

λ−aa

aa

Рассмотрим следующие возможные случаи: 1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные.

.,0,0 2121 λ≠λ<λ<λ Точка покоя будет устойчива. Такая точка покоя называется устойчивым узлом.

0≡= yx

2) Корни характеристического уравнения действительны и

0,0 21 <λ=λ или 021 <λ=λ . В этом случае точка покоя также будет устойчива. 3) Хотя бы один из корней положителен. 21 ,λλВ этом случае точка покоя 0≡= yx неустойчива, и такую точку называют неустойчивым седлом. 4) Оба корня характеристического уравнения положительны 0,0 21 >λ>λ . В этом случае точка покоя 0≡= yx неустойчива, и такую точку называют неустойчивым узлом.

Если полученного решения системы исключить параметр t, то

полученная функция дает траекторию движения в системе координат XOY. ⎪⎩

⎪⎨⎧

β+α=

β+α=λλ

λλ

tt

tt

eCeCy

eCeCx21

21

2221

1211

)(ty ϕ=Возможны следующие случаи: β β α α Устойчивый узел. Неустойчивый узел. Седло. 5) Корни характеристического уравнения комплексные iqpiqp −=λ+=λ 21 , . Если р = 0, т.е. корни чисто мнимые, то точка покоя (0, 0) устойчива по Ляпунову.

59


Такая точка покоя называется центром. Если p< 0, то точка покоя устойчива и называется устойчивым фокусом. Если p > 0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом.

Уравнения математической физики.

Уравнения в частных производных. Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков.

0...

,...,,...,,,,...,,1

12121 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

nkn

k

k

nn xx

uxu

xu

xuxxxF

Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решением уравнения будет некоторая функция ),...,,( 21 nxxxuu = , которая обращает уравнение в тождество.

Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.

Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка от

функции ) можно в общем виде записать как ,...,,( 21 nxxxuu =

0,...,,,,...,,21

21 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

nn x

uxu

xuxxxF

Линейное уравнение в частных производных имеет вид:

0),...,,(...),...,,(),...,,( 212

2121

211 =∂∂

++∂∂

+∂∂

nnnnn x

uxxxXxuxxxX

xuxxxX , (1)

где Xi – некоторые заданные функции. Очевидно, что одним из решений такого уравнения будет функция u = C. Рассмотрим систему уравнений:

;...2

2

1

1

n

n

Xdx

Xdx

Xdx

=== (2)

или n

n

n

n

nnnn XX

dxdx

XX

dxdx

XX

dxdx 112211 ...;; −− === - такая система называется нормальной.

Общее решение этой системы имеет вид:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

−−−

−

−

),...,,,(..........................................),...,,,(),...,,,(

12111

12122

12111

nnnn

nn

nn

CCCxfx

CCCxfxCCCxfx

Если разрешить эти уравнения относительно постоянных С, получим:

60


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=ϕ

=ϕ=ϕ

−− 1211

2212

1211

),...,,(.................................

),...,,(),...,,(

nnn

n

n

Cxxx

CxxxCxxx

Каждая из функций ϕ является интегралом системы (2). Теорема. Если - интеграл системы (2), то функция

- решение уравнения (1). ),...,,( 21 nxxxϕ

),...,,( 21 nxxxu ϕ=

Классификация основных типов уравнений математической физики.

1) Волновое уравнение. (Уравнение колебаний струны, электроколебания, крутильные колебания вала и др.) Это простейшее уравнение гиперболического типа.

2

22

2

2

xua

tu

∂∂

=∂∂

2) Уравнение теплопроводности. (Уравнение Фурье) Это простейшее уравнение параболического типа. Описывает процессы теплопроводности, фильтрации жидкости и газа, некоторые вопросы теории вероятностей.

2

22

xua

tu

∂∂

=∂∂

3) Уравнение Лапласа. Это простейшее уравнение эллиптического типа. Описывает магнитные и электрические поля, гидродинамику, диффузию и др.

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yu

xu

В этих уравнениях функция u зависит от двух переменных, однако, задача может быть расширена для случая трех переменных:

1) Волновое уравнение: ;2

22

2

22

2

2

yua

xua

tu

∂∂

+∂∂

=∂∂

2) Уравнение теплопроводности: ;2

22

2

22

yua

xua

tu

∂∂

+∂∂

=∂∂

3) Уравнение Лапласа: 02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zu

yu

xu

Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений.

Уравнение колебаний струны. Определение. В математической физике струной называется тонкая нить, в которой возможно возникновение напряжений только в продольном, но не в поперечном направлении.

61


Пусть концы натянутой струны закреплены в точках х = а и x = b, возникающие в ней напряжения обозначим Т. Будем также считать, что плотность струны постоянна на всем ее протяжении. Допустим, что в момент t0 = 0 струна выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания. Отклонение струны в каждой точке с координатой х в момент времени t обозначим как

0,),( ≥≤≤= tbxatxuu u C B α A D 0 a x x+Δx b x На произвольный элемент длины нити (х, х + Δх) действуют две силы натяжения AD и BC . При этом:

;),(;x

txxutgTBCAD∂Δ+∂

=α==

Если считать колебания малыми, то можно принять:

α≈α sintg

Тогда проекция силы BC на ось u:

xtxxuTT

∂Δ+∂

≈α),(sin

Проекция силы AD на ось u:

xtxuT

∂∂

−),(

Находим сумму этих проекций:

.),(),(),(2

2

xx

txuTx

txuTx

txxuT Δ∂

∂=

∂∂

−∂Δ+∂

Выражение, стоящее в правой части равенства получено в результате применения теоремы Лагранжа ( см. Теорема Лагранжа ) к выражению, стоящему слева. Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно:

,),(2

2

ttxux

∂∂

Δρ

где ρ - плотность струны. Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы, получим:

xxuT

tux Δ

∂∂

=∂∂

Δρ 2

2

2

2

Или ;, 22

22

2

2

ρ=

∂∂

=∂∂ Ta

xua

tu

62


Для полного определения движения струны полученного уравнения недостаточно. Функция u(x, t) должна еще удовлетворять граничным условиям, описывающим состояние струны на концах (в точках x = a и x = b) и начальным условиям, описывающим состояние струны в момент времени t = 0. Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Таким образом, задача Коши состоит в нахождении решения линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при начальных условиях

),()0,(),()0,( xFtxuxfxu =∂

∂=

и краевых условиях 0),(),0( == tlutu .

Начальные условия показывают, в каком положении находится струна в начальный момент времени и скорость каждой ее точки в начальный момент времени. Функции f(x) и F(x) заданы. Краевые условия показывают, что концы струны закреплены в точках a = 0, b = l

Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье.)

Решение уравнения

2

22

2

2

xua

tu

∂∂

=∂∂

будем искать в виде ) при граничных условиях: ()(),( tTxXtxu =

0;0)()(0)()0(

>⎩⎨⎧

==

ttTlXtTX

Тогда X(0) = X(l) = 0. Подставим решение в исходное уравнение:

;2 TXaTX ′′=′′

;12 X

XTT

a′′

=′′

Можно показать, что функции Х и Т имеют вид:

,...2,1;sincos)(

,...2,1;sin)(

=π

+π

=

=π

=

kl

aktBl

aktAtT

kl

kxxX

kkk

k

Все решения исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющие граничным условиям, можно записать в виде:

,...2,1;sinsincos),( =π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+π

= kl

kxl

aktBl

aktAtxu kkk

Окончательно решение уравнения колебаний струны можно записать в виде:

,sinsincos),(1∑∞

=

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+π

=k

kk xl

ktl

akBtl

akAtxu

63


где ∫π

=l

k xdxl

kxfl

A0

;sin)(2

∫π

π=

l

k xdxl

kxFak

B0

.sin)(2

Решение задачи Коши методом Даламбера. ( Жан Лерон Д’Ламбер (1717 – 1783) – французский математик)

В случае если длина струны очень велика, то на колебания, возникающие в середине струны, концы струны влияния практически не оказывают. Поэтому, рассматривая колебания бесконечной струны, уравнение

2

22

2

2

xua

tu

∂∂

=∂∂

решается только при начальных условиях:

)()0,()()0,(xFxu

xfxu

t =′=

Для нахождения решения введем новые переменные: .; atxatx +=β−=α

Тогда исходное уравнение принимает вид:

.02

=β∂α∂

∂ u

Решением этого уравнения будет функция )()( βψ+αϕ=u , где ϕ и ψ - некоторые функции, которые будем считать дважды дифференцируемыми. Получаем: ).()(),( atxatxtxu +ψ+−ϕ= Если продифференцировать полученный ответ, получим:

)()( atxatxux +ψ′+−ϕ′=′ )()( atxaatxaut +ψ′+−ϕ′−=′

)()( atxatxuxx +ψ ′′+−ϕ ′′=′′ )()( 22 atxaatxautt +ψ ′′+−ϕ ′′=′′

Т.е. . ttxx uua ′′=′′2

Далее с использованием начальных условий находим функции ϕ и ψ.

)()()()()()(

xFxaxaxfxx=ψ′+ϕ′−

=ψ+ϕ

Проинтегрировав последнее равенство на отрезке [0, x], получаем:

.;)(1)()(0

constCCdyyFa

xxx

=+=ψ+ϕ− ∫

Тогда:

.2

)(21)(

21)(

;2

)(21)(

21)(

0

0

CdyyFa

xfx

CdyyFa

xfx

x

x

++=ψ

−−=ϕ

∫

∫

Решение задачи Коши получаем в виде:

64


∫∫+−

+++−−=+ψ+−ϕ=atxatx

dyyFa

atxfdyyFa

atxfatxatxtxu00

)(21)(

21)(

21)(

21)()(),(

∫+

−

+++−

=atx

atx

dyyFa

atxfatxftxu .)(21

2)()(),(

Эта формула называется формулой Даламбера.

Уравнение теплопроводности. Температуру физического тела в произвольной точке с координатами (x, y, z) в момент времени t можно представить в виде функции:

),,( zyxuu = Составим дифференциальное уравнение:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

22

zu

yu

xua

tu

Выражение ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δ 2

2

2

2

2

2

zyx называется оператором Лапласа.

Тогда составленное нами дифференциальное уравнение принимает вид:

uadtu

Δ=∂ 2

и называется уравнением теплопроводности в пространстве. В качестве частных случаев рассматривают:

2

22

xua

tu

∂∂

=∂∂ - уравнение теплопроводности в стержне,

2

22

2

22

yua

xua

tu

∂∂

+∂∂

=∂∂ - уравнение теплопроводности на плоскости.

В случае рассмотрения уравнения теплопроводности в стержне искомая

функция u(x, t) должна удовлетворять записанному выше дифференциальному уравнению, начальному условию )()0,( xfxu = π≤≤ x0 и граничным условиям

. 0,0),(),0( ≥=π= ttutu В результате решения дифференциального уравнения методом Фурье получим:

∫

∑π

∞

=

−

π=

=

0

1

.sin)(2

;sin),(22

ktdttfb

kxebtxu

k

k

tkak

Отметим, что распространение тепла в теле называется стационарным, если функция u не зависит от времени t.

65


Уравнение Лапласа.

Определение. Функция называется гармонической на области σ, если она имеет непрерывные частные производные второго порядка на области σ и удовлетворяет условию

),,( zyxu

0=Δu , где Δ - оператор Лапласа.

Уравнение 02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δzu

yu

xuu называется уравнением Лапласа.

Если на некоторой границе Г тела поддерживать постоянную температуру

, где f – заданная функция, то внутри тела установится единственная постоянная температура. С физической точки зрения это утверждение очевидно, однако, данный факт может быть доказан математически.

),,( zyxfuГ =

Математическое доказательство этого факта называется задачей Дирихле. (Петер Густав Дирихле (1805 – 1859) – немецкий математик)

Решение задачи Дирихле для круга.

Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция f(ϕ), где ϕ - полярный угол. Требуется найти функцию ),( ϕru , которая удовлетворяет уравнению Лапласа

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yu

xu

и при ).(ϕ== fuRr Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:

0112

2

22

2

=ϕ∂∂

+∂∂

+∂∂ u

rru

rru

02

2

2

22 =

ϕ∂∂

+∂∂

+∂∂ u

rur

rur

Полагаем Подставляя это соотношение в уравнение Лапласа, получаем: ).()( rRu ϕΦ=0)()()()()()(2 =ϕΦ ′′+′ϕΦ+′′ϕΦ rRrRrrRr

22

)()()(

)()( k

rRrRrrRr

−=′+′′

−=ϕΦϕΦ ′′

Таким образом, имеем два уравнения:

0)()()(0)()(

22

2

=−′+′′

=ϕΦ+ϕΦ ′′

rRkrRrrRrk

Общее решение первого уравнения имеет вид: ϕ+ϕ=Φ kBkA sincos Решение второго уравнения ищем в виде: mrR = . При подстановке получим:

0)1( 2122 =−+− −− mmm rkrmrrmmr 022 =− km

Общее решение второго уравнения имеет вид: . kk DrCrR −+= Подставляя полученные решения в уравнение )()( rRu ϕΦ= , получим:

66


))(sincos( kk

kkkkk rDrCkBkAu −+ϕ+ϕ=

Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k ≠ 0. Если k = 0, то 0;0 =′+′′=Φ ′′ RRr следовательно )ln)(( 00000 rDCBAu +ϕ+= . Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться через 2π. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В0 = 0. Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D0 = 0.

Окончательно получаем: ∑∞

=

ϕ+ϕ+=ϕ1

0 )sincos(2

),(n

nnn rnBnA

Aru

При этом: ∫π

π−π= ntdttf

RA nn cos)(1

∫π

π−π= ntdttf

RB nn sin)(1

Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется интегралом Пуассона.

(Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)

∫π

π− +ϕ−−−

π=ϕ dt

rtrRRrRtfru 22

22

)cos(2)(

21),(

67


Ряды.

Основные определения.

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом. ,...,...,, 21 nuuu

∑∞

=

=++++1

21 ......n

nn uuuu

При этом числа будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда. ,..., 21 uu

Определение. Суммы , n = 1, 2, … называются

частными (частичными) суммами ряда.

∑=

=+++=n

kknn uuuuS

121 ...

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …

Определение. Ряд называется сходящимся, если

сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

∑∞

=

=++++1

21 ......n

nn uuuu

.,lim1∑∞

=

==n

nn uSSS

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

Свойства рядов. 1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда. 2) Рассмотрим два ряда и ∑ nu ∑ nCu , где С – постоянное число.

Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ≠ 0)

∑ nu ∑ nCu

3) Рассмотрим два ряда и ∑ nu ∑ nv . Суммой или разностью этих рядов будет

называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

∑ ± )( nn vu

Теорема. Если ряды ∑ nu и ∑ nv сходятся и их суммы равны соответственно S

и σ, то ряд ∑ оже сходится и его сумма равна S + σ. ± )( nn vu т

∑ ∑∑ σ+=+=+ Svuvu nnnn )( Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом. Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом. О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

68


При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

Критерий Коши. (необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого

,...,...,, 21 naaa0>ε существовал такой номер N, что

при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство: ε<−+ npn aa .

Доказательство. (необходимость) Пусть , тогда для любого числа aa n→ 0>ε найдется номер N такой, что неравенство

2ε

<− naa выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также

неравенство 2ε

<− + pnaa . Учитывая оба неравенства, получаем:

ε=ε

+ε

<−+−≤−+−=− +++ 22)()( npnnpnnpn aaaaaaaaaa

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем. Сформулируем критерий Коши для ряда.

Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и

достаточно, чтобы для любого

∑∞

=

=++++1

21 ......n

nn uuuu

0>ε существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство

ε<+++ +++ pnnn uuu ...21 . Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости: 1) Если ряд ∑ nu сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так

называемый гармонический ряд ∑∞

=1

1n n

является расходящимся, хотя его общий член и

стремится к нулю.

Пример. Исследовать сходимость ряда ...13

...83

52

21

+−

++++nn

Найдем 031

13

1lim13

lim ≠=−

=− ∞→∞→

nnn

nn - необходимый признак сходимости не

выполняется, значит ряд расходится. 2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена. Однако, этот признак также не является достаточным.

69


Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что

⎩⎨⎧

=nнечетныхпри

nчетныхприSn ,1

,0

Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. 2<nS при любом n.

Ряды с неотрицательными членами. При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами. Теорема. Для сходимости ряда ∑ nu с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.

Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.

Пусть даны два ряда ∑ nu и ∑ при un, vn ≥ 0. nv Теорема. Если un ≤ vn при любом n, то из сходимости ряда следует

сходимость ряда , а из расходимости ряда ∑ nv

∑ nu ∑ nu следует расходимость ряда ∑ nv . Доказательство. Обозначим через Sn и σn частные суммы рядов и ∑ nu ∑ nv .

Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n σn < M, где М – некоторое число. Но т.к. un ≤ vn, то Sn ≤ σn то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.

∑ nv

∑ nu

Пример. Исследовать на сходимость ряд ...ln1...

3ln1

2ln1

++++n

Т.к. nn1

ln1

> , а гармонический ряд ∑ n1 расходится, то расходится и ряд ∑ nln

1 .

Пример. Исследовать на сходимость ряд ∑∞

=1.

21

nnn

Т.к. nnn 21

21

< , а ряд ∑ n21 сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то

ряд ∑∞

=1 21

nnn

тоже сходится.

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если и существует предел 0,0 >> nn vu hvu

n

n

n=

∞→lim , где h – число,

отличное от нуля, то ряды и ∑ nu ∑ nv ведут одинаково в смысле сходимости.

70


Признак Даламбера. (Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)

Если для ряда ∑ nu с положительными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

,1 qu

u

n

n ≤+

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие ∑ nu

,11 ≥+

n

n

uu

то ряд расходится. ∑ nuПредельный признак Даламбера.

Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.

Если существует предел ρ=+

∞→n

n

n uu 1lim , то при ρ < 1 ряд сходится, а при ρ > 1 –

расходится. Если ρ = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

Пример. Определить сходимость ряда ∑∞

=1 2nn

n .

121

2

11

21

22)1(limlim;

21;

2 11

11 <=+

=+

=+

=+

== +∞→

+

∞→++n

nn

nn

uununu n

n

nn

n

nnnnn

Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда ...!

1...!2

1!1

11 +++++n

101

1lim)!1(

!limlim;)!1(

1;!

1 11 <=

+=

+=

+==

∞→∞→

+

∞→+ nnn

uu

nu

nu

nnn

n

nnn


Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

∑ nu

qunn ≤ ,

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

∑ nu

,1≥nnu

71


то ряд расходится. ∑ nu Следствие. Если существует предел ρ=

∞→n

nnulim , то при ρ<1 ряд сходится, а при

ρ>1 ряд расходится.


=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

12

2

5312

n

n

nn .

132

53

12lim

5312limlim

2

2

2

2

<=+

+=

++

=∞→∞→∞→

n

nnnu

nnn

nn



=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1

11n

n

n.

.111limlim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∞→∞→ nu

nn

nn

Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.

011limlim ≠=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∞→∞→e

nu

n

nnn,

таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Интегральный признак Коши. Если ϕ(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке

[1;∞), то ряд ϕ(1) + ϕ(2) + …+ ϕ(n) + … = и несобственный интеграл

одинаковы в смысле сходимости.

∑∞

=

ϕ1

)(n

n ∫∞

ϕ1

)( dxx

Пример. Ряд ...1...31

211 +++++ ααα n

сходится при α>1 и расходится α≤1 т.к.

соответствующий несобственный интеграл ∫∞

α1 x

dx сходится при α>1 и расходится α≤1.

Ряд ∑∞

=α

1

1n n

называется общегармоническим рядом.

Следствие. Если f(x) и ϕ(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и

,0,)()(lim

0≠=

ϕ+→hh

xxf

ax то интегралы и ведут себя одинаково в смысле

сходимости.

∫b

a

dxxf )( ∫ϕb

a

dxx)(

72


При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, исследующую на сходимость числовые ряды по всем рассмотренным выше признакам. Достаточно ввести общий член ряда и нажать Enter. Все признаки будут проверяться по очереди. Для запуска программы дважды щелкните на значке:

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с Maple V Release 4.

Знакопеременные ряды.

Знакочередующиеся ряды. Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

...)1(... 14321 +−++−+− +

nn uuuuu

где ,...3,2,1,0 => nun

Признак Лейбница.

Если у знакочередующегося ряда 4321 абсолютные величины ui убывают и общий член стремится к нулю , то ряд сходится.

...)1(... 1 +−++−+− +n

n uuuuu ...321 >>> uuu 0→nu

Абсолютная и условная сходимость рядов. Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

(1) ∑∞

=

=++++1

21 ......n

nn uuuu

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

∑∞

=

=++++1

21 ......n

nn uuuu (2)

Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого ε>0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:

ε<+++ +++ pnnn uuu ...21 По свойству абсолютных величин:

ε<+++≤+++ ++++++ pnnnpnnn uuuuuu ...... 2121

ε<+++ +++ pnnn uuu ...21 То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

73


Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ∑ nu

∑ nu . Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают. Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а

ряд ∑ nu

∑ nu расходится.

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. Пусть - знакопеременный ряд. ∑ nu

Признак Даламбера. Если существует предел ρ=+

∞→n

n

n uu 1lim , то при ρ<1 ряд

будет абсолютно сходящимся, а при ρ>1 ряд будет расходящимся. При ρ=1 признак не дает ответа о сходимости ряда. ∑ nu

Признак Коши. Если существует предел ρ=

∞→n

nnulim , то при ρ<1 ряд ∑ nu

будет абсолютно сходящимся, а при ρ>1 ряд будет расходящимся. При ρ=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Свойства абсолютно сходящихся рядов. 1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда ∑ nu необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами. Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами. 2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.

3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно

сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд. 4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.

74


5) Если ряды и сходятся абсолютно и их суммы равны

соответственно S и составленный из всех произведений вида и

сумма равна S⋅σ -ся рядов, то в результате

ожно

Функциональные последовательности.

∑∞

=1nnu

σ, то

∑∞

=1nnv

ряд, д,..2,1,, =kivu ki взятых в каком уго но порядке, также сходится абсолютно его

произведению сумм перемножаемых рядов. Если же производить перемножение условно сходящих

.

м получить расходящийся ряд.

Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд

Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования

их значений называется областью сходимости. ак ка , является

называется функциональным. числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится. Совокупность такТ к пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряданекоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

)(lim)( xfxf nn ∞→=

Определение. Последовательность {fn(x)} сходится к функции f(x) на отрезке

,b], [a если для любого числа ε>0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(ε, x), такой, что неравенство

ε<− )()( xfxf n выполняется при n>N.

значении ε>0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой омер


При выбранномн и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек. Последовательность {fn(x)} равномерно сходится к функции f(x) а отрн езке [a,b], если для любого числа ε>0 существует номер N = N(ε), такой, что неравенство

ε<− )()( xfxf n выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].

Пример.

Рассмотрим последовательность ,...sin,...,22sin,

1sin

nnxxx

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.

∞<<∞−= xnx ,0sinlim → nn 0

Построим графики этой последовательности:

75


sinx 55sin x

22sin x

-4 -2 2 4

-1

-0.5

0.5

1

Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х. При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая исследует на сходимость знакочередующиеся ряды и определяет характер сходимости. Достаточно ввести общий член ряда и множитель, определяющий знак и нажать Enter. Все рассмотренные выше признаки будут проверены по очереди. Для запуска программы дважды щелкните на значке:

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с Maple V Release 4.

Функциональные ряды. Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда

называются функции S∑∞

=1)(

nn xu ∑

=

==n

kkn nxux

1,...2,1),()(

Определение. Функциональный ряд =1n

называется сходящимся в точке

(х=х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел

последовательности { называется суммой ряда ∑ в точке х0.

∑∞

)(n xu

)}( 0xSn

∞

=1

)(n

n xu

76


Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд

называется областью сходимости ряда. ∑∞

=1)(

nn xu

Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке

[a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

∑∞

=1

)(n

n xu

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы

для любого числа ε>0 существовал такой номер N(ε), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

∑∞

=1)(

nn xu

ε<+++ +++ )(...)()( 21 xuxuxu pnnn выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b]. Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если

модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

∑∞

=1

)(n

n xu

......21 ++++ nMMM т.е. имеет место неравенство:

nn Mxu ≤)( .

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется

числовым рядом ∑ .

∑∞

=1

)(n

n xu

∞

=

Μ1n

n


=13

cosn n

nx .

Так как 1cos ≤nx всегда, то очевидно, что 33

1cosnn

nx≤ .

При этом известно, что общегармонический ряд ∑∞

=α

1

1n n

при α=3>1 сходится, то в

соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.


=13

n

n

nx .

77


На отрезке [-1,1] выполняется неравенство 33

1nn

xn

≤ т.е. по признаку Вейерштрасса на

этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-∝, -1) ∪ (1, ∝) расходится.

Свойства равномерно сходящихся рядов. 1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

Если члены ряда - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд

сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].

∑∞

=1)(

nn xu

2) Теорема о почленном интегрировании ряда. Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

],[,;)()(11

badxxudxxun

nn

n ∈βα=∫ ∑∫∑β

α

∞

=

β

α

∞

=

3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

Если члены ряда сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой

непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из

этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд

сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

∑∞

=1)(

nn xu

)(x∑∞

=

′1n

nu

∑∑∞

=

∞

=

=11

)()(

n

n

nn dx

xduxu

dxd

На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями. На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд. При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая определяет интервал сходимости для произвольного функционального ряда. Для запуска программы дважды щелкните на значке

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV

elease 4. R

78


Степенные ряды.


Степенным рядом называется ряд вида

вания на сходимость степенных рядов удобно использовать признак аламбера.

∑∞

=+++++ 2 ......n

nn xaxaxaxaa . =0

210 nn

Для исследоД

......32

32

+++++nxxxx

n

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

x

nn

xnxn

xnx

uu

nnn

n

nn

n

n=

+=

+=+=

∞→∞→

+

∞→

+

∞→ 11lim

1lim1limlim

1

1 .

Получаем, что этот ряд сходится при 1<x и расходится пр 1>x . иТеперь определ граничных точках 1 и –1.

При х = -1:

им сходимость в

...41

31

211 −+−+− ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак

Лейбница.).

При х = 1: ...1...31

211 +++++

n ряд расходится (гармонический ряд).

Теоремы Абеля.

2 – 1829) – норвежский математик)

Теорема.

(Нильс Хенрик Абель (180

Если степенной ряд сходится

ри x = x1 , то он сходится и притом

∑∞

=

=+++++0

2 ......n

nn

nn xaxaxaxaa

абсолютно для всех

210

1xx < . п Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

,1 kxa nn ≤

где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство: nn

nnn xx 11

1

Из этого неравенства видно, что при x<x1 численные величины членов нашего ряда будут меньше ( во всяком случае не больше ) соответствующих членов ряда

n xkxxaxa ≤=

правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую

прогрессию. Знаменатель этой прогрессии 1xx по условию теоремы меньше единицы,

следововании делаем вывод, что ряд

ательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд. Поэтому на осн признака сравнения ∑ n

n xa

сходится, а значит ряд сходится абсолютно. ∑ nn xa

79


∑ nxaТаким образом, если степенной ряд n

ся в любой точке интервала длины 2

сходится в точке х1, то он абсолютно

сходит 1х с центром в точке х = 0. Следствие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех 1xx > .

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное

число R всех , что при х таких, что Rx < ряд абсолютно сходится, а при всех Rx > ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называ

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

ется интервалом сходимости.

n

naR 1lim −=

n a∞→

Пример. Найти область сходимости ряда ...!

...!3!2

32

+++++nxxxx

n

∞==−

===∞→∞→∞→

−

∞→n

nn

aR

nnn

n

nlim

)!1(!lim

1)!1(limlim 1 . Находим радиус сходимости − n

n

a

n

!

1

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда тремится к нулю.

с

.0

!

lim =∞→ n

xn

n

Теорема. ∑ nn xa Если степенной ряд сходится для положительного значения

=х1 , то он сходится равнох );( 11 xx− . мерно в любом промежутке внутри

рядами.Действия со степенными

сли некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: то

интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:

1) Интегрирование степенных рядов.

∑∞

=

=0

)(n

nn xaxf , Е

Cxna

dxxadxxadxxfn

nn

nn

nn

== 00

nn ++

=== ∑∑∫∫∑∫∞

=

+∞∞

0

1

1)(

2) Дифференцирование степенных рядов. Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле:

( ) ∑∑∑∞

−∞∞

1nnn dd===

===′000

)(n

nn

nn

n xnaxadx

xadx

xf

80


3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов. Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:

Произведение двух степенных рядов выражается формулой:

оэффициенты сi находятся по формуле:

∑∑∑∞∞∞

±=± )( nnn xbaxbxa === 000 n

nnn

nn

n

∑∑∑∞

=

∞∞

=⋅00 n

nn

nn

n xсxbxa ==0 nn

n

К11110 ... bababac nnnn ++++= −− 0ban

Деление двух степенных рядов выражается формулой:

∑∑∞

=

0

0

n

n

nn xb

коэффициентов qn рассматриваем произведение

∑∑∑∞∞∞

=⋅ nn

nn xbxq

∑ ∞

=

∞

= =0

n

nn

nn

xqxa

Для определения

полученное из записанного выше равенства и решаем

систему уравнений:

=== 000 n

nn

nnxa ,

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++=

++=+=

=

− 0110

0211202

01101

000

.......................................

bqbqbqa

bqbqbqabqbqa

bqa

nnnn

Разложение функций в степенные ряды.

Разложение функций в с епенной ряд имеет больш значение ля решения

различных задач исследования т ое д

функций, дифференцирования, интегрирования, решен

особы разложения функции в степенной ряд. Такие способ

ия дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Возможны различные спы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены

ранее. (См. Формула Тейлора. ) Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи

алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он тол ских робей. ько для разложения в ряд алгебраиче д

Пример. Разложить в ряд функцию x−1

1 .

Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:

81


1 1 - x 1 + x + x2 + x3 + … 1 – x

x x – x2 x2 x2 – x3

3 x ……….

Если применить к той же функции формулу Маклорена

)(!

)0(...!2

)0(!1

)0()0()()(

2 xRxn

fxfxffxf nn

n

+++′′

+′

+= ,

;1)0(;)1(

1)( 2 =′−

=′ fx

xf то получаем:

;2)0(;)1(

2)( 3 =′′−

=′′ fx

xf

;!3)0(;32)( =′′′⋅=′′′ fxf

)1( 4− x……………………………. …

;)(f n !)0(;)1(!)( )(

1 nfxnx n

n =−

= +

того,

пом лагать в ряд может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

Находим дифференциал функции

И получаем: ......1)( 2 +++++= nxxxxf Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования. С ощью интегрирования можно раз такую функцию, для которой известно или

dxxfxdf )()( ′= и интегрируем его в пределах от 0 до х.

;)()(;)()(0000∫∫∫ ′=′=xxxx

dxxfxfdxxfxdf

;)()0()(0∫ ′+=x

dxxffxf

Пример. Разложить в ряд функцию ).1ln()( xxf += Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.

. Ф я y = ln(1 + x).(См ункци ) Теперь ния.

При

решим эту задачу при помощи интегрирова

x

xff+

=′=1

1)(,0)0( получаем по приведенной выше формуле:

∫ +=+ dx

xx

0 1)1ln(

Разложение в ряд функции

x 1

x+11 может быть легко найдено способом алгебраического

деления аналогично рассмотренному выше примеру.

82


...)1(...11

1 432 +−+−+−+−=+

nn xxxxxx

Тогда получаем: ∑∑∫∫∑∫∞

=

+∞

=

∞

= +−=−=−=

+=+

0

1

0 00 00 1)1()1()1(

11)1ln(

n

nn

n

xnn

x

n

nnx

nxdxxdxxdx

xx

Окончательно получим: ...1

)1(...432

)1ln(1432

++

−++−+−=++

nxxxxxx

nn

Пример. Разложить в степенной ряд функцию arctgx . Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.

;1

1)(;0)0(;)( 2xxffarctgxxf

+=′==

∫ +=

x

dxx

arctgx0

211

Подинтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления: 1 1 + x2 1 + x2 1 – x2 + x4- … - x2 - x2 – x4 x4 x4 + x6

………….

...)1(...11

1 2422 +−+−+−=

+nn xxx

x

Тогда ∑∑∫∫∑∫∞

=

+∞

=

∞

= +−=−=−=

+=

0

12

0 0

2

0 0

2

02 12

)1()1()1(1

1n

nn

n

xnn

x

n

nnx

nxdxxdxxdx

xarctgx

Окончательно получаем: ...12

)1(...53

1253

++

−+−+−=+

nxxxxarctgx

nn

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:

)()(...)()( )2(2

)1(1

)( xfyxpyxpyxpy nnnn =++++ −−

Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям. Это решение можно представить степенным рядом:

83


...33

2210 ++++= xcxcxccy

Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные ci. Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов.

Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.) Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты ci. Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям. Пример. Найти решение уравнения 0=−′′ xyy c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0. Решение уравнения будем искать в виде ...2

210 +++= xcxccy...432 3

42

321 ++++=′ xcxcxccy ...201262 3

52

432 ++++=′′ xcxcxccy Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

0...)(...)201262( 43

32

210

35

2432 =++++−++++ xcxcxcxcxcxcxcc

0...)30()20()12()6(2 364

253

142

032 =+−+−+−+−+ ccxccxccxccxc Отсюда получаем: 02 2 =c

030020012

06

36

25

14

03

=−=−=−=−

cccccc

cc

……………… Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:

01

1

0

==

cc

Окончательно получим: ;0;0;61;0;0;1 543210 ====== cccccc ...;

1801

6 =c

Итого: ...1806

163

+++=xxy

Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования. Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.

...!3

)0(!2

)0(!1

)0()0( 32 +′′′

+′′

+′

+= xyxyxyyy

84


Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что .0)0( =′′y Далее запишем дифференциальное уравнение в виде и будем последовательно дифференцировать его по х.

xyy =′′

..........................................................;4)0(;3

;0)0(;2;0)0(;

;1)0()0(;

=+′′′+′′′=

=′′′+′′+′′=

=′′+′+′=

==′′′′+=′′′

VIIVVI

VV

IVIV

yxyyyyyyxyyy

yyxyyyyyyxyy

После подстановки полученных значений получаем:

...1806

163

+++=xxy

Ряды Фурье. ( Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – французский математик)

Тригонометрический ряд.

Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

...)sincos(...)2sin2cos()sincos(2 2211

0 ++++++++ nxbnxaxbxaxbxaa

nn

или, короче, ∑∞

=

++1

0 ).sincos(2 n

nn nxbnxaa

Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда. Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2π, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2π. Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-π; π], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x). Определим коэффициенты этого ряда. Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:

∫π

π− ⎩⎨⎧

==π=≠

=,...2,1,,,,..2,1,0,,0

coscosnmnm

mnmnxdxmx

∫π

π− ⎩⎨⎧

==π≠

=,...2,1,,,

,,0sinsin

nmnmnm

nxdxmx

,...2,1,...,2,1,0,0sincos ===∫π

π−

nmnxdxmx

85


Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций. Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-π; π], то существует интеграл

01

0 )sincos(2

)( adxnxbnxadxa

dxxfn

nn π=++= ∫∑∫∫π

π−

∞

=

π

π−

π

π−

Такой результат получается в результате того, что . 0)sincos(1

=+∫∑π

π−

∞

=

dxnxbnxan

nn

Получаем: ∫−

=π

ππdxxfa )(1

0

Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от -π до π.

=∫π

π−

nxdxxf cos)( nn

nn adxnxnxbnxanxdxa

π=++ ∫∑∫π

π−

∞

=

π

π− 1

20 )sincoscos(cos2

Отсюда получаем: ,...2,1;cos)(1=

π= ∫

π

π−

nnxdxxfan

Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от -π до π.

Получаем: ,...2,1,sin)(1== ∫

−

nnxdxxfbn

π

ππ

Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an. Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2π, непрерывная на отрезке [-π; π] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

,...2,1,0;cos)(1=

π= ∫

π

π−

nnxdxxfan

,...2,1,sin)(1=

π= ∫

π

π−

nnxdxxfbn

существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x). Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

86


Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2π и на отрезке [-π;π] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [-π;π] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва

его сумма равна 2

)0()0( ++− xfxf , т.е. среднему арифметическому предельных

значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-π;π]. Теорема. Если функция f(x) имеет период 2π, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-π;π] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва

она равна 2

)0()0( ++− xfxf . При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно

на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке [-π;π].

Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции. Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ≥ ⎪b-a⎪, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b]. y f(x) α - 2T α a b α+2T α + 4T x

87


Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b]. Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2π ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2π, то функция продолжается на интервал (b, a + 2π) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись. Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2π может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].

Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:

1) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

=∫∫

− четнаяxfdxxf

нечетнаяxfdxxf a

a

a )(,)(2

)(,0)(

0

2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией. 3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций. Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2π, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:

,...)2,1,0(cos)(2cos)(1

0

=π

=π

= ∫∫ππ

π−

nnxdxxfnxdxxfan

,...)2,1(;0sin)(1==

π= ∫

π

π−

nnxdxxfbn

Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:

∑∞

=

+=1

0 cos2

)(n

n nxaa

xf

,...)2,1,0(cos)(2

0

=π

= ∫π

nnxdxxfan

Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:

∑∞

=

=1

;sin)(n

n nxbxf

,...)2,1(;sin)(2

0

=π

= ∫π

nnxdxxfbn

88


Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом T = 2π на отрезке [-π;π].

3)( xxf =

Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:

,...)2,1(;sin)(2

0

=π

= ∫π

nnxdxxfbn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

π=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==

===

π= ∫∫

πππ

0

2

0

3

2

3

0

3 cos3cos2;cos;3

;sin;sin2 nxdxx

nnnxx

nnxvdxxdu

nxdxdvxunxdxxbn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

ππ−

π=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=== ∫

ππ

00

232

sin2sin3cos2;sin;2

;cos;dx

nnxx

nnxx

nnn

nnxvxdxdu

nxdxdvxu

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==

===⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ππ−

π= ∫

π

;cos;

;sin;sin6cos2

02

3

nnxvdxdu

nxdxdvxunxdxx

nnn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

ππ−

π= ∫

ππ

002

3 coscos6cos2 dxn

nxn

nxxnn

n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−−=

π+

ππ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−ππ

+ππ

−π

=π

nnnn

nn

nnx

nnnn n

2

33

2

033

3 212)1(cos12cos2sin6cos6cos2

Получаем:

∑∑∞

=

∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−−==

1

2

31

3 sin212)1(sinn

n

nn nx

nnnxbx .

Построим графики заданной функции и ее разложения в ряд Фурье, ограничившись первыми четырьмя членами ряда.

-3 -2 -1 1 2 3

-30

-20

-10

10

20

30

89


Ряды Фурье для функций любого периода. Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+π

+=1

0 sincos2

)(n

nn xlnbx

lna

axf

,...2,1,sin)(1

,...2,1,cos)(1

;)(10

=π

=

=π

=

=

∫

∫

∫

−

−

−

nxdxlnxf

lb

nxdxlnxf

la

dxxfl

a

l

ln

l

ln

l

l

Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:

∫

∫

∑

=π

=

=

π+=

∞

=

l

n

ln

n

nxdxlnxf

la

dxxfl

a

xlna

axf

0

00

1

0

,...2,1;cos)(2

;)(2

;cos2

)(

Для нечетной функции:

,...2,1;sin)(2

;sin)(

0

1

=π

=

π=

∫

∑∞

=

nxdxlnxf

lb

xlnbxf

l

n

nn

Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Определение. Функции ϕ(х) и ψ(х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если

0)()( =ψϕ∫b

a

dxxx

Определение. Последовательность функций ϕ1(x), ϕ2(x), …, ϕn(x), непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если все функции попарно ортогональны.

jidxxxb

aji ≠=ϕϕ∫ ;0)()(

90


Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков этих функций. Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной (ортонормированной), если

⎩⎨⎧

=≠

=ϕϕ∫ jiji

dxxxb

aji ,1

,0)()(

Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций ϕ1(x), ϕ2(x), …,ϕn(x) называется ряд вида:

∑∞

=

ϕ1

)(n

nn xa

коэффициенты которого определяются по формуле:

[ ]∫

∫

ϕ

ϕ= b

an

b

an

n

dxx

dxxxfa

2)(

)()(,

где f(x) = - сумма равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по

ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b].

∑∞

=

ϕ1

)(n

nn xa

В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются:

∫ ϕ=b

ann dxxxfa )()(

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая разлагает в ряд Фурье произвольную функцию. Для запуска программы дважды щелкните на значке


91


Интеграл Фурье. Пусть функция f(x) на каждом отрезке [-l,l], где l – любое число, кусочно – гладкая или кусочно – монотонная, кроме того, f(x) – абсолютно интегрируемая функция, т.е. сходится несобственный интеграл

∫∞

∞−

dxxf )(

Тогда функция f(x) разлагается в ряд Фурье:

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+π

+=1

0 sincos2

)(n

nn xlnbx

lna

axf

,...2,1,sin)(1

,...2,1,0,cos)(1

=π

=

=π

=

∫

∫

−

−

ntdtlntf

lb

ntdtlntf

la

l

ln

l

ln

Если подставить коэффициенты в формулу для f(x), получим:

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ππ+

ππ+= ∑ ∫∫∫

∞

= −−− 1sinsin)(coscos)(1)(

21)(

n

l

l

l

l

l

l

xlntdt

lntfx

lntdt

lntf

ldttf

lxf

∑∫∫∞

= −−

−π

+=1

)(cos)(1)(21

n

l

l

l

l

dtxtlntf

ldttf

l

Переходя к пределу при l→∞, можно доказать, что 0)(21lim =∫

−∞→

l

ll

dttfl

и

∑∫∞

= −∞→

−π

=1

)(cos)(1lim)(n

l

ll

dtxtlntf

lxf

Обозначим ;1;; 1 πΔ

=π

=−=Δπ

= +n

nnnnu

lluuu

lnu

При l→∞ Δun →0.

∑ ∫∞

= −∞→

−Δπ

=1

)(cos)(lim1)(n

l

lnnl

dtxtutfuxf

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу

∫∫∞

∞−

∞

− dtxtutfdu )(cos)(0

Тогда π

=1)(xf ∫∫

∞

∞−

∞

− dtxtutfdu )(cos)(0

- двойной интеграл Фурье.

92


Окончательно получаем:

[ ]

∫

∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

π=

π=

+=

utdttfub

utdttfua

duuxubuxuaxf

sin)(1)(

cos)(1)(

sin)(cos)()(0

- представление функции f(x) интегралом Фурье. Двойной интеграл Фурье для функции f(x) можно представить в комплексной форме:

∫∫∞

∞−

−∞

∞−π= dtetfduxf txiu )()(

21)(

Преобразование Фурье. Определение. Если f(x) – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом отрезке, то функция

∫∞

∞−

−= dxexfuF iux)()(

называется преобразованием Фурье функции f(x). Функция F(u) называется также спектральной характеристикой функции f(x). Если f(x) – функция, представимая интегралом Фурье, то можно записать:

∫∞

∞−π= dueuFxf iux)(

21)(

Это равенство называется обратным преобразованием Фурье

Интегралы ∫∞

π=

0

cos)(2)( uxdxxfuF и ∫∞

π=

0

sin)(2)( uxdxxfuF называются

соответственно косинус - преобразование Фурье и синус – преобразование Фурье. Косинус – преобразование Фурье будет преобразованием Фурье для четных функций, синус – преобразование – для нечетных. Преобразование Фурье применяется в функциональном анализе, гармоническом анализе, операционном исчислении, теории линейных систем и др.

93


Элементы теории функций комплексного переменного. Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G.

w = f(z) Множество D называется областью определения, множество G – областью значений функции. Комплексную функцию можно записать в виде:

),(),()( yxivyxuzfw +==

)(Im),()(Re),(

zfyxvzfyxu

==

u, v – действительные функции от переменных х и у. Если каждому z∈ D соответствует несколько различных значений w, то функция w=f(z) называется многозначной. Определение. Функция ),(),()( yxivyxuzfw +== имеет предел в точке z0, равный числу А = a + ib, если 0)(lim

00

=−→

Azfz−z

.)(lim0

Azfzz

=→

Свойства функций комплексного переменного.

Для функций комплексного переменного f(z) и g(z) справедливы следующие свойства: 1) [ ] )(lim)(lim)()(lim

000

zgzfzgzfzzzzzz →→→

±=±

2) [ ] )(lim)(lim)()(lim000

zgzfzgzfzzzzzz →→→

⋅=⋅

3) .0)(lim;)(lim

)(lim

)()(lim

0

0

0

0

≠=→

→

→

→zg

zg

zf

zgzf

zzzz

zz

zz

Определение. Функция ),(),()( yxivyxuzfw +== называется непрерывной в точке z0, если выполняется равенство

)()(lim 00

zfzfzz

=→

Основные трансцендентные функции.

Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими. Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл.

94


Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:

...!

...!2!1

12

+++++=nzzze

nz

...)!12(

)1(...!5!3!1

sin1253

++

−+−+−=+

nzzzzz

nn

...)!2(

)1(...!4!2

1cos242

+−+−+−=n

zzzzn

n

См. Представление функций по формуле Тейлора. Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера (см. Уравнение Эйлера.) Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов.

zize iz sincos +=− Также справедливы равенства:

ieez

eez

iziz

iziz

2sin

2cos

−

−

−=

+=

)sin(cos yiyeeeee xiyxiyxz +=== +

( ) ;;2121 zmmzzzzz eeeee ==+ ;2 ziz ee =π+

;)(sincos

;)(cos

sin

iziz

iziz

iziz

iziz

eeeei

zzctgz

eeiee

zztgz

−

−

−

−

−+

==

+−

==

Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т.д.), которые справедливы для функций действительного аргумента. Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются соответственно функции:

;;;2

;2 zz

zz

zz

zzzzzz

eeee

zshzchzcth

eeee

zchzshztheezcheezsh −

−

−

−−−

−+

==+−

==+

=−

=

Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:

;;;cos;sin

izictgzcthizitgzthizzchizizsh

=−==−=

Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2πi, а функции th z и cth z – период πi.

95


Пример. Найти sin(1+2i).

=−−+

=−

=−

=+−−−−−

iieie

ieeee

ieei

iiii

2)1sin1(cos)1sin1(cos

22)21sin(

222222

.1cos21sin21cos2

1sin22

)(1sin)(1cos 22222222

shcheeieei

eeiee+=

−+

+=

++−=

−−−−

Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной.

.; Lnzwzew == Если w = u + iv, то uw ee = и Arg ew = kz π+ 2arg = v.

Тогда eu = zuz ln; = . Итого: ,...2,1,0;2argln ±±=π++== kikzizLnzw

Для комплексного числа z = a + ib ;argabarctgz =

Определение. Выражение zizz arglnln += называется главным значением логарифма. Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами: 1) ;lnln)ln( 2121 zzzz +=

2) ;lnlnln 212

1 zzzz

−=

3) ;ln)ln( znz n =

4) ;ln1ln zn

zn =

Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид:

[ ] ( )112)1arg(1lncos 222 −+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π+−±+−±−= zzLn

ikzzizzizArc

[ ] ( )222 112)1arg(1lnsin zizLni

kzizizizizArc −+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π+−±+−±−=

ziziLn

ik

zizii

ziziiArctgz

+−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+

−+

+−+

−=212

11arg

11ln

[ ] ( )12)1arg(1ln 222 +±=π++±++±= zzLnkzzizzArshz

[ ] ( )12)1arg(1ln 222 −±=π+−±+−±= zzLnkzzizzArchz

zzLnArcthz

−+

=11

21

96


Производная функций комплексного переменного. Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в точке z называется предел:

dzdwzf

zzfzzf

zw

zz=′=

Δ−Δ+

=ΔΔ

→Δ→Δ)()()(limlim

00

Определение. Функция f(z), имеющая непрерывную производную в любой точке области D называется аналитической функцией на этой области. Правила дифференцирования функций комплексного аргумента не отличаются от правил дифференцирования функций действительной переменной. Аналогично определяются производные основных функций таких как синус, косинус, тангенс и котангенс, степенная функция и т.д. Производные гиперболических функций определяются по формулам:

;)(;)( shzchzchzshz =′=′

;1)( 2 zchthz =′

Вывод правил интегрирования, значений производных основных функций ничем не отличается от аналогичных операций с функциями действительного аргумента, поэтому подробно рассматривать их не будем.

Условия Коши – Римана. (Бернхард Риман (1826 – 1866) – немецкий математик)

Рассмотрим функцию комплексной переменной ),(),()( yxivyxuzfw +== , определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области производную

zwzf

z ΔΔ

=′→Δ 0

lim)(

Стремление к нулю Δz→0 может осуществляться в следующих случаях: 1) ;0;0 →ΔΔ=+Δ=Δ xxixz2) ;0;0 →ΔΔ+=Δ yyiz В первом случае:

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Δ−Δ+

+Δ

−Δ+=

ΔΔ

=′→Δ→Δ x

yxvyxxvix

yxuyxxuzwzf

xz

),(),(),(),(limlim)(00

.),(),(lim),(),(lim00 x

vixu

xyxvyxxvi

xyxuyxxu

xx ∂∂

+∂∂

=Δ

−Δ++

Δ−Δ+

=→Δ→Δ

Во втором случае:

97


=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−Δ++

Δ−Δ+

=ΔΔ

=′→Δ→Δ y

yxvyyxviyi

yxuyyxuzwzf

yz

),(),(),(),(limlim)(00

.),(),(lim),(),(lim00 y

vyui

yyxvyyxv

yyxuyyxui

yy ∂∂

+∂∂

−=Δ

−Δ++

Δ−Δ+

−=→Δ→Δ

Тогда должны выполняться равенства:

;;xv

yu

yv

xu

∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂

Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером. Теорема. Если функция ),(),()( yxivyxuzfw +== имеет производную в точке z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у) частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши – Римана. Также справедлива и обратная теорема.

На основании этих теорем можно сделать вывод, что из существования производной следует непрерывность функции. Теорема. Для того, чтобы функция ),(),()( yxivyxuzfw +== была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана.

Интегрирование функций комплексной переменной.

Пусть ) - непрерывная функция комплексного переменного z, определенная в некоторой области и L – кривая, лежащая в этой области.

,(),()( yxivyxuzfw +==

у В L А х Кривая L задана уравнением β≤≤α+== ttiytxtzz );()()( Определение. Интеграл от функции f(z) вдоль кривой L определяется следующим образом:

=++−=++=∫ ∫∫∫L LLL

udyvdxivdyudxidydxivudzzf )()())(()(

idttytytxvtxtytxu +′−′= ∫β

α

)]())(),(()())(),(([ ∫β

α

′+′ dttytytxutxtytxv )]())(),(()())(),(([

98


Если учесть, что ))(())(),(();()()( tzutytxutyitxtz =′+′=′ , то

∫∫β

α

′= dttztzfdzzfL

)()]([)(

Теорема. (Теорема Коши) Если f(z) - аналитическая функция на некоторой области, то интеграл от f(z) по любому кусочно – гладкому контуру, принадлежащему этой области равен нулю.

∫ =L

dzzf 0)(

Интегральная формула Коши. Если функция f(z) – аналитическая в односвязной замкнутой области с кусочно – гладкой границей L. D ρ z0 Тогда справедлива формула Коши:

∫ −π=

L

dzzzzf

izf

00

)(21)(

где z0 – любая точка внутри контура L, интегрирование по контуру производится в положительном направлении (против часовой стрелки). Эта формула также называется интегралом Коши.

Ряды Тейлора и Лорана.

(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик) Функция f(z), аналитическая в круге Rzz <− 0 , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z – z0). Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

,...2,1,0;)(

)(21

!)(

10

0)(

=−π

== ∫ + kzz

dzzfik

zfc

Lk

k

k

Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.

99


Рассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в кольце Rzzr <−< 0 . Эта функция может быть представлена в виде сходящегося ряда:

∑ ∑∑∞

−∞=

∞

=

−∞

= −+−=−=

n nn

n

n

nn

nn zz

czzczzczf

1 0000 )()()()(

,...2,1,0;)(

)(21

10

±±=−π

= ∫γ

+ nzt

dttfi

c nn

Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция f(z) может быть представлена в виде суммы:

∑∑∞

=

−∞

= −=−=+=

1 02

00121 ;

)()(;)()();()()(

nn

n

n

nn zz

czfzzczfzfzfzf

Ряд, определяющий функцию f1(x), называется правильной частью ряда Лорана, а ряд, определяющий функцию f2(x), называется главной частью ряда Лорана. Если предположить, что r = 0, то можно считать, что функция аналитична в открытом круге Rzz <−< 00 за исключением центральной точки z0. Как правило, в этой точке функция бывает не определена. Тогда точка z0 называется изолированной особой точкой функции f. Рассмотрим следующие частные случаи:

1) Функция f(x) имеет вид: . Т.к. степенной ряд

сходится во всех точках внутри круга, то его сумма f1(x) определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга, а, следовательно, и в центре круга z0.

∑∞

=

−==0

01 )()()(k

kk zzczfzf

В этом случае говорят, что особенность функции f в точке z0 устранима. Для устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга (f(z0) = c0) и функция будет аналитической не только в окрестности центра круга, но и в самом центре. В этом случае для любого контура L, содержащего точку z0 и

принадлежащего к кругу

∫ =L

dzzf 0)(

Rzz <− 0 .

2) Функция f(x) имеет вид: ∑∑∞

−==

− −=−

+=mk

kk

m

kk

k zzczz

czfzf )(

)()()( 0

1 01 .

В этом случае точка z0 называется полюсом функции f(z) порядка (кратности) m. При m = 1 точку z0 называют еще простым полюсом.

Порядок полюса может быть определен по формуле: 0)()(lim 0

0

≠=−→

czfzz m

zz

z0 – полюс порядка т.

100


3) Функция f(z) имеет вид )()()(

)()( 211 00

0 zfzfzz

czzczf

m

kk

k

k

kk +=

−+−= ∑∑

=

−∞

=

, где в

ряду ∑∞

=

−

−=

1 02 )(

)(k

kk

zzc

zf не равно нулю бесконечное количество коэффициентов с-k.

В этом случае говорят, что функция f(z) имеет в точке z0 существенно особую точку. Определение. Пусть z0 – изолированная особая точка функция f(z), т.е. пусть функция f(z) – аналитическая в некотором круге Rzz <− 0 из которого исключена точка z0. Тогда интеграл

)()(21

0

zfВычdzzfi zz

L=

=π ∫

называется вычетом функции f(z) в точке z0, где L – контур в круге Rzz <− 0 , ориентированный против часовой стрелки и содержащей в себе точку z0. Вычет также обозначают иногда . )(Re

0

zfsz

Если ;0;)()( 00 Rzzzzczfk

kk <−<−= ∑

∞

−∞=

есть ряд Лорана функции f в

точке z0, то 1)(0

−== czfВыч

zz.

Таким образом, если известно разложение функции в ряд Лорана, то вычет легко может быть найден в случае любой особой точки. В частных случаях вычет может быть найден и без разложения в ряд Лорана.

Например, если функция 0)(,)()()( 0 ≠ϕ

ψϕ

= zzzzf , а )(zψ имеет простой нуль

при z = z0 ) , то z = z0 является простым полюсом функции f(z). 0)(,0)(( 00 ≠ψ′=ψ zz Тогда можно показать, что вычет находится по формуле

)()(

0

01

0 zz

cВычzz ψ′

ϕ== −=

Если z = z0 – полюс порядка m ≥ 1, то вычет может быть найден по формуле:

10

1

1)]()[(

lim)!1(

1)(00

−

−

→−=

−−

== m

mm

zzzz dzzfzzd

mczfВыч

Пример. Найти вычет функции )3()2(

1)( 2 −−=

zzzf относительно точки z = 2.

Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем:

101


.1)3(

1lim3

1lim)]()2[(lim 222

2

22−=

−=

−=−=

→→→= zzdzdzfz

dzdВыч

zzzz

Теорема о вычетах. Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:

0)()(1

=+∞=

==

∑ zfВычzfВычz

N

k zz k

А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен

)(2)(1

zfВычidzzfN

j zzL j

∑∫= =

π=

Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула

)(2)(1

zfВычidxxfN

j zz j∑∫= =

∞

∞−

π=

Пример. Вычислить определенный интеграл ∫∞

∞− + 22 )4(xdx .

Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки 2i. Эта точка является полюсом второго порядка.

Найдем вычет функции =+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=+ →→= 2222

2

2222 )2(1lim

)4()2(lim

)4(1

izdzd

ziz

dzd

zВыч

iziziz

;321

)4(2

)2(2lim 332 iiiziz

=−=+−

=→

Получаем ∫∞

∞−

π=⋅π=

+.

163212

)4( 22 ii

xdx

Пример. Вычислить определенный интеграл ∫∞

∞− +.

)1( 32xdx

Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки i. Эта точка является полюсом второго порядка. Найдем вычет функции

.163

326

)2(16

)(12lim

21

)(3lim

21

)(1lim

21

)1()(lim

21

)1(1

5

5432

2

32

3

2

2

32

iii

izizdzd

izdzd

ziz

dzd

zВыч

iziziziziz

==⋅=

=+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=+ →→→→=

102


Получаем 8

31632

)1( 32

π=⋅π=

+∫∞

∞− ii

xdx

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая находит вычеты задаваемой функции. Для запуска программы дважды щелкните на значке


Операционное исчисление.

Преобразование Лапласа. (Пьер Симон Лаплас (1749 – 1825) – французский математик)

Рассмотрим функцию действительного переменного t, определенную при t ≥ 0. Будем также считать, что функция f(t)- кусочно - непрерывная, т.е. в любом конечном интервале она имеет конечное число точек разрыва первого рода, и определена на бесконечном интервале (-∞, ∞), но f(t) = 0 при t < 0. Будем считать, что функция ограничена условием:

stMetf <)( Рассмотрим функцию

∫∞

−=0

)()( dttfepF pt

где p = a + ib – комплексное число. Определение. Функция F(p) называется изображением Лапласа функции f(t). Также функцию F(p) называют L – изображением или преобразованием Лапласа.

Обозначается );()();()()};({)( tfpFtfpFtfLpF•

•

•

•=→=

При этом функция f(t) называется начальной функцией или оригиналом, а процесс нахождения оригинала по известному изображению называется операционным исчислением. Теорема. (Теорема единственности) Если две непрерывнные функции f(x) и g(x) имеют одно и то же L – изображение F(p), то они тождественно равны.

103


Определение. Функцией Хевисайда (Оливер Хевисайд (1850 – 1925) – английский физик) называется функция

⎩⎨⎧

<≥

=σ0,00,1

)(0 tt

t

Свойства изображений.

Если ) , то справедливы следующие свойства: ()( tfpF•

•=

1) Свойство подобия.

;0;1)( >α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛αα

=α•

•

pFtf

2) Свойство линейности.

)].([)]([)]()([ tgBLtfALtBgtAfL +=+

3) Смещение изображения.

)()( α+=•

•

α− pFetf t

4) Дифференцирование изображения.

)()()1( tftpFdpd n

n

nn

•

•=−

5) Дифференцирование оригинала.

)()0()( tffppF ′=−•

•

6) Интегрирование изображения.

∫∞•

•=

p

dqqFttf )()(

(Справедливо при условии, что интеграл сходится) 7) Интегрирование оригинала.

ppFdf

t )()(0

•

•=ττ∫

Таблица изображений некоторых функций. Для большинства функций изображение находится непосредственным интегрированием. Пример. Найти изображение функции f(t) = sint.

104


=−−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−=

==== ∫∫

∞−

∞−

−

−∞− dttpete

tvdtpedutdtdveu

tdtepF ptptpt

ptpt

000

coscos;cos;

;sin;sin)(

−−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=

===−=

∞−

−

−∞−∫

00

sin1;sin;

;cos;cos1 tpe

tvdtpedutdtdveu

tdtep ptpt

ptpt ∫

∞−

0

2 .sin tdtep pt

1sin)1(0

2 =+ ∫∞

− tdtep pt

;1

1sin 20 p

tdte pt

+=∫

∞− ;

11sin 2p

t+

=•

•

Для многих функций изображения посчитаны и приведены в соответствующих таблицах. № f(t) F(p) № f(t) F(p) 1 1

p1

9 nt 1

!+np

n

2 sinαt 22 α+

αp

10 att sin

222 )(2

appa+

3 cosαt 22 α+p

p 11 att cos

222

22

)( appa

+−

−

4 e-αt

α+p1

12 tte α− 2)(

1α+p

5 shαt 22 α−

αp

13

)cos

(sin21

3

atat

ata

−

− 222 )(

1ap +

6 chαt 22 α−p

p 14 )(tft n

)()1( pFdpd

n

nn−

7 ate t sinα− 22)( ap

a+α+

15

∫ ττ−τt

dtff0

21 )()(

)()( 21 pFpF

8 ate t cosα− 22)( ap

p+α+α+

16 )()( tf n )( pFp n *

* - при условии, что 0)0(...)0()0( )1( ===′= −nfff

Теоремы свертки и запаздывания. Теорема. (теорема запаздывания) Если f(t) = 0 при t < 0, то справедлива формула

)]([)]([ 00 tfLettfL pt−=−

где t0 – некоторая точка.

105


Определение. Выражение называется сверткой функций f1(t)

f2(t) и обозначается f1∗ f2.

∫ ττ−τt

dtff0

21 )()(

и Теорема. (теорема свертки) Преобразование Лапласа от свертки равно оизведению преобразований Лапласа от функций f1(t) и f2(t) .

пр

∫ ττ−τ=•

•

t

dtffpFpF0

2121 )()()()(

Теорема. ( (1797 – 1872) – Интеграл Дюамеля (Дюамель французский

атематик)). Если то верно равенство

осредственным нтегрированием применяются приведенные выще теоремы и свойства.

Пример.

)()();()( tgpGtfpF•

•

•

•== , м

∫ ττ−′τ+=•

•

t

dtgfgtfpGppF0

)()()0()()()(

Для нахождения изображений различных функций наряду с непи

t

tsin . Найти изображение функции

11sin 2 +

=•

• ptИз таблицы изображений получаем: .

По свойству интегрирования изображения получаем: ∫∞•

•=

p

dqqFttf )()(

;21

1sin2 arctgparctgqdq

qtt

pp

−π

==+

=∞∞•

• ∫

t2sin . Пример. Найти изображение функции

известна формула

2

2cos1sin 2 tt −=Из тригонометрии .

Тогда

)4(221]2[cos

21]1[

21]2cos1[

21sin 2

2

+−=−=−=

•

• pp

ptLLtLt =

)4(2

)4(24

22

22

+=

+−+

pppppp .

Операционное исчисление используется как для нахождения значений нтегралов, так и для решение дифференциальных уравнений.

о линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

и Пусть дан

)()()(...)( 01)( tftxatxatxa n

n =+′++

106


Требуется найти решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

и функция f(t) имеет (по теореме единственности) одно и то же изображение Лапласа.

.)0(...;)0(;)0( )1(0

)1(00

−− =′=′= nn xxxxxx Если функция x(t) является решением этого дифференциального уравнения, то оно обращает исходное уравнение в тождество, значит функция, стоящая в левой части уравнения

)]([0k⎣ =

tfLdt

xdaLn

k

k

k =⎥⎦

⎤⎢⎡∑

Из теоремы о дифференцировании оригинала { } можно

сделать вывод, что

)()0()(.

.tffppF ′=−

).0()0( )1( −− kx ...)0(][ )2(1 −− −−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ kkkk

k

pxxpxLpdt

xdL

Тогда ].[][... 0 fLxLadtn

⎣

xdLa n

n

=++⎥⎦

⎤⎢⎡

Обозначим ).(][),(][ pFfLpxxL ==

+++′+=++++ −−−−− ]...[]...)[( )1(

002

01

011

1nnn

nn

nn

n xxpxpaapapapapx Получаем:

е называется вспомогательным (изображающим) или операторным

Отсюда получаем изображение

).(][....]...[ 01002)2(

003

02

1 pFxaxpxaxxpxpa nnnn ++′+++++′++ −−−−

Это уравнениуравнением.

)( px , а по нему и искомую функцию x(t).

Изображение получаем в виде:

)()(

)()()( 1

pRp

pRpFpx

n

n

n

−Ψ+=

Где

. Если эти условия нулевые, то многочлен равен нулю, и формула принимает вид:

;...)( 011

1 apapapapR nn

nnn ++++= −

−

))1(0−′ n...(...)()()( )2(

002

01

0002

3002011−−−

− ++++++′′+′++′++=Ψ nnnnn xpxxpxpaxxpxpaxpxaxap

Этот многочлен зависит от начальных условий

)( pRn

)()( pFpx =

ассмотрим применение этого метода на примерах.

Пример.

Р

.0)0()0(;24 =′==+′′ yyyy Решить уравнение Изображение искомой функции будем искать в виде:

)()(

pRpFy

n

=

107


.4401)(;2]2[][)( 22 +=+⋅+⋅==== ppppRp

LfLpF n

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=+

=4

121

)4(2

22 pp

pppy

Находим оригинал, т.е. искомую функцию: )2cos1(21 xyy −==

•

•

Пример. Решить уравнение .1)0(;02 ==−′ yyy

;1;2)(;0]0[][)( 011 ==Ψ−==== − yappRLfLpF nn

;2

1−

=p

y

;2xeyy ==•

•

Пример. Решить уравнение:

;0)0(;1)0(;0)0(;06116 =′′=′==−′+′′−′′′ yyyyyyy

;6116)(;0]0[][)( 23 −+−==== ppppRLfLpF n .6)()()( 000

23002011 pyypypaypyayapn +−=′′+′++′++=Ψ −

Изображение искомой функции 6116

623 −+−+−

=ppp

py

Для нахождения оригинала необходимо разложить полученную дробь на элементарные дроби. Воспользуемся делением многочленов (знаменатель делится без остатка на p – 1):

p3 – 6p2 + 11p – 6 p - 1 p3 – p2 p2 – 5p + 6 -5p2 + 11p -5p2 + 5p 6p - 6 6p - 6 0 В свою очередь )3)(2(652 −−=+− ppppПолучаем: ).3)(2)(1(6116 23 −−−=−+− pppppp

Тогда: ;3216116

623 −

+−

+−

=−+−

+−=

pC

pB

pA

ppppy

Определим коэффициенты А, В и С.

pppCppBppA +−=−−+−−+−− 6)2)(1()3)(1()3)(2( pCCpCpBBpBpAApAp +−=+−++−++− 6233465 222

pCBACBApCBAp +−=+++++−++ 6236)345()(2

108


⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=

=

−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−−=−−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+−=+

−−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++−=++

=++

23

425

61221

6412

62361345

0

C

B

A

AABBAC

BABA

BAC

CBACBA

CBA

Тогда ;3

23

24

125

6116611

23 −

−+

−+

−

−=

−+−−

=pppppp

py

;234

25 32 xxx eeeyy −+−==

•

•

Приемы операционного исчисления можно также использовать для решения систем дифференциальных уравнений. Пример. Решить систему уравнений:

;3443

⎩⎨⎧

−=′+=′

yxyyxx

1)0()0( == yx

Обозначим )(),( pypx - изображения искомых функций и решим вспомогательные уравнения:

⎩⎨⎧

−=−+=−

⎩⎨⎧

−=′+=′

)(3)(4)0()()(4)(3)0()(

;][3][4][][4][3][

pypxypyppypxxpxp

yLxLyLyLxLxL

Решим полученную систему алгебраических уравнений.

;

)3)(25(214)(

251)(

;)(3

31)(441)(

31)(4)(

2

2

2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−+

=

−+

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−+

=−

−+

=

pppppx

pppy

pyp

pypyp

ppypx

;25

72525

7)3)(25(

)3)(7()( 2222 −+

−=

−+

=−−−+

=pp

ppp

pppppx

;5575)()( tshtchtxpx +==

•

•

;25

125

)( 22 −+

−=

ppppy

;5515)()( tshtchtypy +==

•

•

Если применить к полученным результатам формулы

109


;2

;2

zzzz eeshzeechz−− −

=+

=

то ответ можно представить в виде:

;

52

53

51

56

55

55

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

−=

−

−

tt

tt

eey

eex

Как видно, гиперболические функции в ответе могут быть легко заменены на показательные. Пример. Решить систему уравнений

⎩⎨⎧

+=′+=′

yxyyxx

2225

при x(0) = y(0) = 1

Составим систему вспомогательных уравнений:

;)(2)(2)0()()(2)(5)0()(

;][2][2][][2][5][

⎩⎨⎧

+=−+=−

⎩⎨⎧

+=′+=′

pypxypyppypxxpxp

yLxLyLyLxLxL

;

)6)(1()(

)6)(1(3)(

;1)(2

52)(4)(

51)(2)(

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−=

−−−

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++−+

=

−+

=

ppppx

ppppy

pyp

pypyp

ppypx

;53

52

61

53

11

52

61)( 6tt ee

pppB

pApy +=

−+

−=

−+

−=

•

•

;56

51

61

56

11

51

61)( 6tt ee

pppD

pCpx +−=

−+

−−=

−+

−=

•

•

Если обозначить ;53;

51

21 =−= CC то из полученного частного решения

системы можно записать и общее решение:

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

+=tt

tt

eCeCy

eCeCx6

21

621

2

2

При рассмотрении нормальных систем дифференциальных уравнений этот пример был решен традиционным способом (См. Другой способ решения.). Как видно, результаты совпадают. Отметим, что операторный способ решения систем дифференциальных уравнений применим к системам порядка выше первого, что очень важно, т.к. в этом случае применение других способов крайне затруднительно.

110


Криволинейные интегралы.

Определение. Кривая ktjtittr )()()()( γ+ψ+ϕ= ( bta ≤≤ ) называется непрерывной кусочно – гладкой, если функции ϕ, ψ и γ непрерывны на отрезке [a,b] и отрезок [a,b] можно разбить на конечное число частичных отрезков так, что на каждом из них функции ϕ, ψ и γ имеют непрерывные производные, не равные нулю одновременно. Если определено не только разбиение кривой на частичные отрезки точками, но порядок этих точек, то кривая называется ориентированнной кривой. Ориетированная кривая называется замкнутой, если значения уравнения кривой в начальной и конечной точках совпадают.

)()( brar =

Рассмотрим в пространсве XYZ кривую АВ, в каждой точке которой определена произвольная функция . ),,( zyxf Разобьем кривую на конечное число отрезков и рассмотрим произведение значения функции в каждой точке разбиения на длину соответствующего отрезка.

iiii szyxf Δ),,( Сложив все полученные таким образом произведения, получим так называемую интегральнуюсумму функции f(x, y, z).

∑=

Δn

iiiii szyxf

1

),,(

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на частичные отрезки существует предел интегральных сумм, то этот предел называется криволинейным интегралом от функции f(x, y, z) по длине дуги АВ или криволинейным интегралом первого рода.

∫AB

dszyxf ),,(

Свойства криволинейного интеграла первого рода. 1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой АВ.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.

3) Криволинейный интерал от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.

4) Если кривая АВ разбита на дуга АС и СВ, то

∫∫∫ +=CBACAB

dszyxfdszyxfdszyxf ),,(),,(),,(

5) Если в точках кривой АВ

),,(),,( 21 zyxfzyxf ≤ то

111


∫∫ ≤ABAB

dszyxfdszyxf ),,(),,( 21

6) Справедливо неравенство:

∫∫ ≤ABAB

dszyxfdszyxf ,,(),,(

7) Если f(x, y, z) = 1, то

∑∫=

→λ=Δ=

n

ii

AB

Ssds10

;lim

S – длина дуги кривой, λ - наибольшая из всех частичных дуг, на которые разбивается дуга АВ. 8) Теорема о среднем. Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует точка (x1, y1, z1) такая, что

∫ ⋅=AB

Szyxfdszyxf ),,(),,( 111

Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо определить его связь с обыкновенным определенным интегралом. Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), α ≤ t ≤ β, где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует t = α, а точке В соответствует t = β. Функция f(x, y, z) – непрерывна на всей кривой АВ. Для любой точки М(х, у, z) кривой длина дуги АМ вычисляется по формуле (См. Вычисление длины дуги кривой.):

∫α

′+′+′==t

dttztytxtss )()()()( 222

Длина всей кривой АВ равна:

∫β

α

′+′+′= dttztytxS )()()( 222

Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет находиться по формуле:

∫∫β

α

′+′+′= dttztytxtztytxfdszyxfAB

)()()())(),(),((),,( 222

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги АВ) надо, используя параметрическое уравнение кривой выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить ds дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t. Пример. Вычислить интеграл по одному витку винтовой

линии

∫ ++AB

dszyx )( 222

2 .0;;sin;cos π≤≤=== ttztytx

112


.3

4122

)1(21cos)sin()sin(cos)(

2

2

0

22

0

22222222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+π=

=+=++−++=++ ∫∫ ∫ππ

dttdttttttdszyxAB

Если интегрирование производится по длине плоской кривой, заданной уравнением

то получаем: ,),( bxaxy ≤≤ϕ=

∫∫ ϕ′+ϕ=b

aAB

dxxxxfdsyxf )(1))(,(),( 2

Криволинейные интегралы второго рода. Пусть АВ – непрерывная кривая в пространстве XYZ (или на плоскости ХОY), а точка P(x, y, z) – произвольная функция, определенная на этой кривой. Разобьем кривую точками ) на конечное число частичных дуг. И рассмотрим сумму произведений значений функции в каждой точке на длину соответствующей частичной дуги.

,,( iii zyxM

∑=

Δγβαn

iixP

1

),,( ; ixM Δ∈γβα ),,(

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом по переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В.

∑∫=

→λΔγβα=

n

ii

AB

xPdxzyxP10

),,(lim),,(

Криволинейный интеграл второго рода, т.е. интеграл по координатам отличается от криволинейного интеграла первого рода, т.е. по длине дуги тем, что значение функции при составлении интегральной суммы умножается не на длину частичной дуги, а на ее проекцию на соответствующюю ось. (В рассмотренном выше случае – на ось ОХ). Вообще говоря, криволинейные интегралы могут считаться также и по переменным у и z.

∑∫=

→λΔγβα=

n

ii

AB

yQdxzyxQ10

),,(lim),,(

∑∫=

→λΔγβα=

n

ii

AB

zRdxzyxR10

),,(lim),,(

Сумму криволинейных интегралов также называют криволинейным интегралом второго рода.

∫ ++AB

dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,(

113


Свойства криволинейного интеграла второго рода. 1) Криволинейный интеграл при перемене направления кривой меняет знак.

∫∫ −=BAAB

dxzyxPdxzyxP ),,(),,(

2) (∫ xkP ;),,(),, ∫=

ABAB

dxzyxPkdxzy

3) ∫∫∫ +=+

ABABAB

dzzyxPdxzyxPdxzyxPzyxP ),,(),,()),,(),,(( 2121

4) ∫∫∫ +=

CAACAB

dxzyxPdxzyxPdxzyxP ),,(),,(),,(

5) Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.

∫ ++L


Направление обхода контура L задается дополнительно. Если L – замкнутая кривая без точек самопересечения, то направление обхода контура против часовой стрелки называется положительным. 6) Если АВ – кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси ОХ, то

.0),,( =∫AB

dxzyxP

Аналогичные соотношения справедливы при интегрировании по переменным у и z. Теорема. Если кривая АВ – кусочно- гладкая, а функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – непрерывны на кривой АВ, то криволинейные интегралы

;),,(;),,(;),,( ∫∫∫ABABAB

dzzyxRdyzyxQdxzyxP

∫ ++AB


существуют. Вычисление криволинейных интегралов второго рода производится путем преобразования их к определенным интегралам по формулам:

∫∫β

α

′= dttxtztytxPdxzyxPAB

)())(),(),((),,(

∫∫β

α

′= dttytztytxQdyzyxQAB

)())(),(),((),,(

∫∫β

α

′= dttztztytxRdxzyxRAB

)())(),(),((),,(

[ ]∫∫β

α

′+′+′=++ dttzRtyQtxPRdzQdyPdxAB

)()()(

114


В случае, если АВ – плоская кривая, заданная уравнением y = f(x), то

[ ]∫∫ ′+=+B

A

x

xAB

dxxfxfxQxfxPdyyxQdxyxP )())(,()(,(),(),(

Пример. Вычислить криволинейный интеграл . L – контур,

ограниченный параболами . Направление обхода контура положительное.

∫ +L

dyxydxx 32

yxxy == 22 ;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Представим замкнутый контур L как сумму двух дуг L1 = x2 и xL =2

;356

73

53

772

52

52

2

0

1

23

0

1

23

1

0

51

0

50

1

3

0

1

21

0

31

0

4323232

2211

=−=+++=+

++⋅+=+++=+

∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

xxxxdxx

x

dxxxxdxxdxxdyxydxxdyxydxxdyxydxxLLLLL

115


Формула Остроградского – Грина. (Остроградский Михаил Васильевич (1861-1862) – русский математик,

академик Петерб. А.Н.) (Джордж Грин (1793 – 1841) – английский математик)

Иногда эту формулу называют формулой Грина, однако, Дж. Грин предложил в 1828 году только частный случай формулы. Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром. Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет исключенных участков. y y = y2(x) D A C B y= y1(x) 0 x1 x2 x Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:

∫∫∫∫∫ +++=DACDBCABL

dxyxP ),(

0== ∫∫CDAB

∫∫∫∫∫ −=+=2

1

2

1

1

2

2

1

))(,())(,())(,())(,(),( 2121

x

x

x

x

x

x

x

xL

dxxyxPdxxyxPdxxyxPdxxyxPdxyxP

∫∫ −−=2

1

)))(,())(,((),( 12

x

xL

dxxyxPxyxPdxyxP

∫ ∂∂

==−2

1

2

1

)(

)(12 ),())(,())(,(

y

y

xy

xydy

yPyxPxyxPxyxP

∫∫∫ ∫∫Δ ∂∂

−=∂∂

−= dydxyPdydx

yPdxyxP

x

x

y

yL

2

1

2

1

),(

Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то, проведя аналогичные преобразования, получим формулу для контура произвольной формы:

∫∫∫Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=+ dydxyP

xQdyyxQdxyxP

L

),(),(

Эта формула называется формулой Остроградского – Грина. Формула Остроградского – Грина справедлива и в случае многосвязной области, т.е. области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть формулы будет представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по контурам всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров

116


интегрируется в таком направлении, чтобы область Δ все время оставалась по левую сторону линии обхода. Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского – Грина.

( )

.356

51

722

5722

)(2223

1

0

527

1

0

4251

0

222232

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=−===−=+ ∫∫∫∫∫∫∫ΔΔ

xx

dxxxdxyxdydxxdydxxxdyxydxxx

xL

Формула Остроградского – Грина позволяет значительно упростить вычисление криволинейного интеграла. Криволинейный интеграл не зависит от формы пути, если он вдоль всех путей, соединяющих начальную и конечную точку, имеет одну и ту же величину. Условием независимости криволинейного интеграла от формы пути равносильно равенству нулю этого интеграла по любому замкнутому контуру, содержащему начальную и конечную точки. Это условие будет выполняться, если подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции, т.е. выполняется условие тотальности.

xQ

yP

∂∂

=∂∂

Поверхностные интегралы первого рода.

z ΔSi 0 y Δ x Поверхностный интеграл является таким же обобщением двойного интеграла, каким криволинейный интеграл является по отношению к определенному интегралу. Рассмотрим поверхность в пространстве, которая произвольно разбита на n частей. Рассмотрим произведение значения некоторой функции F в произвольной точке с координатами (α, β, γ) на площадь частичного участка ΔSi, содержащего эту точку.

iSF Δγβα ),,( Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения λ поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности.

∑∫∫=

→λΔγβα=

n

iiiii

S

SFdSzyxF10

),,(lim),,(

117


Свойства поверхностного интеграла первого рода.

Поверхностные интегралы первого рода обладают следующими свойствами: 1) S – площадь поверхности. SdS

S

=∫∫ 2) ∫∫ ∫∫ ==

S S

constkdSzyxFkdSzyxkF ;),,(),,(

3) [ ] ∫∫∫∫∫∫ +=+

SSS

dSzyxFdSzyxFdSzyxFzyxF ),,(),,(),,(),,( 2121

4) Если поверхность разделена на части S1 и S2, то

∫∫∫∫∫∫ +=21

),,(),,(),,(SSS

dSzyxFdSzyxFdSzyxF

5) Если , то ),,(),,( 21 zyxFzyxF ≤

∫∫∫∫ ≤SS

dSzyxFdSzyxF ),,(),,( 21

6) ∫∫∫∫ ≤SS

dSzyxFdSzyxF ),,(),,(

7) Теорема о среднем. Если функция F(x, y, z) непрерывна в любой точке поверхности S, то существует точка (α, β, γ) такая, что

SFdSzyxFS

⋅γβα=∫∫ ),,(),,(

S – площадь поверхности. Проведя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при нахождении криволинейного интеграла, получим формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода через двойной интеграл по по площади проекции поверхности на плоскость XOY.

∫∫ ∫∫Δ

′+′+=S

yx dxdyyxfyxfyxfyxFdSzyxF ),(),(1)),(,,(),,( 22

Поверхностные интегралы второго рода. Если на поверхности S есть хотя бы одна точка и хотя бы один не пересекающий границу поверхности контур, при обходе по которому направление нормали в точке меняется на противоположное, то такая поверхность называется односторонней. Если при этих условиях направление нормали не меняется, то поверхность называется двухсторонней. Будем считать положительным направлением обхода контура L, принадлежащего поверхности, такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остается слева.

118


Двухсторонняя поверхность с установленным положительным направлением обхода называется ориентированной поверхностью. Рассмотрим в пространстве XYZ ограниченную двухстороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан либо уравнением вида z = f(x, y), либо является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ. Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.

∑∫∫=

→λΔγβα=

n

ixyiiii

S

SRdxdyzyxR10

))(,,(lim),,(

∑∫∫=

→λΔγβα=

n

iyziiii

S

SPdydzzyxP10

))(,,(lim),,(

∑∫∫=

→λΔγβα=

n

izxiiii

S

SQdzdxzyxQ10

))(,,(lim),,(

∫∫ ++S

dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),,(),,(),,(

- поверхностный интеграл второго рода. Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны уже рассмотренным нами свойствам поверхностного интеграла первого рода.

Т.е. любой поверхностный интеграл второго рода меняет знак при перемене стороны поверхности, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, поверхностный интеграл от суммы двух и более функций равен сумме поверхностных интегралов от этих функций, если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по частичным поверхностям.

Если S- цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси OZ, то 0 . В случае, если образующие поверхности параллельны осям OX

и OY, то равны нулю соответствующие составляющие поверхностного интеграла второго рода.

),,( =∫∫S

dxdyzyxR

Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению

соответствующих двойных интегралов. Рассмотрим это на примере. Пример. Вычислить интеграл по верхней стороне полусферы ∫∫ −

S

dxdyRz 2)(

.2,2222 RzRRzzyx ≤≤=++ Преобразуем уравнение поверхности к виду: 0)( 2222 =−−++ RRzyx

222 yxRRz −−+=

119


-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4

-2

0

2

4 Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:

222 Ryx ≤+

∫∫∫∫Δ

−−=− dxdyyxRdxdyRzS

)()( 2222

Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам: (См. Двойной интеграл в полярных координатах.)

, 22 yx +=ρ ∫∫∫∫τΔ

ϕρρϕρ=−− ddfdxdyyxR ),()( 222

2442)()(

42

0

42

0 0

422

0

222

0

2 RdRdRdRddxdyRzRR

S

π=ϕ=ϕ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρ−

ρ=ρρρ−ϕ=− ∫∫∫∫∫∫

πππ

Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.

Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны друг с другом соотношением:

∫∫∫∫ γ+β+α=++SS

dSRQPRdxdyQdzdxPdydz )coscoscos(

В этой формуле cosα, cosβ, cosγ - направляющие косинусы нормали к поверхности S в выбранную сторону поверхности.

Формула Гаусса – Остроградского. Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

120


Для вывода формулы Гаусса – Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина – Остроградского. Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными дум доугим координатным осям. После этого полученные результаты обобщаются, приводя к формуле Гаусса – Остроградского:

∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂=++

VS

dxdydzz

zyxRy

zyxQx

zyxPRdxdyQdzdxPdydz ),,(),,(),,(

Отметим, что эта формула применима для вычисления поверхностных интегралов по замкнутой поверхности. На практике формулу Гаусса – Остроградского можно применять для вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело. Тиеют место формулы:

∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ====VSSS

dxdydzzdxdyydxdzxdydzV

Пример. Найти формулу вычисления объема шара.

В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности. Уравнение шара имеет вид: .2222 Rzyx =++ Найти объем шара можно по формуле:

=−−== ∫ ∫∫ ∫ ∫−

−−−

−

−−

−−

−−−

R xR

xR

R

R

xR

xR

yxR

yxR

dyyxRdxdzdydxV0

222

22

22

22

22

222

222

8

.3

4

32

228arcsin

228

3

0

32

0

22

0 022

22222 22

R

xxRdxxRdxxR

yxRyxRy RRR xR

π=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−π=

π⋅

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−+

−−= ∫∫

−

Для решения этой же задачи можно воспользоваться преобразованием интеграла к сферическим координатам. (См. Сферическая система координат.) Это значительно упростит интегрирование.

.3

4232sin

32sin2

3

0

3

0

3

00

2

00

RdRdRddddVR π

=θ=ϕϕθ=ρϕρϕθ= ∫∫∫∫∫∫πππππ

121


Элементы теории поля. Определение. Если каждой точке пространства М ставится в соответствие некоторая скалярная величина U, то таким образом задается скалярное поле U(M). Если каждой пространства М ставится в соотвтствие вектор F , то задается векторное поле F (М). Пусть в пространстве М задана поверхность Δ. Будем считать, что в каждой точке Р определяется положительное направление нормали единичным вектором )(Pn . В пространстве М зададим векторное поле, постовив в соответствие каждой точке точке пространства вектор, определенный координатами:

kzyxRjzyxQizyxPF ),,(),,(),,( ++= Если разбить каким – либо образом поверхность на частичные участки Δi и составить сумму ∑ Δ

iiii PnPF ))()(( , где nF - скалярное произведение, то предел этой

суммы при стремлении к нулю площадей частичных участков разбиения (если этот предел существует) будет поверхностным интегралом.

∫∫Δ

ΔdnF

Определение. Поверхностный интеграл ∫∫

Δ

ΔdnF называется потоком

векторного поля F через поверхность Δ. Если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, то поток векторного поля через всю поверхность будет равен сумме потоков через частичные поверхности. Если преобразовать скалярное произведение в координатную форму, то получаем соотношение:

RdxdyQdzdxPdydzdRQPdnF ++=Δγ+β+α=Δ ∫∫∫∫∫∫ΔΔΔ

]coscoscos[

Если на области Δ существует функция f(x, y, z), имеющая непрерывные частные производные, для которых выполняются свойства:

;;; RzfQ

yfP

xf

=∂∂

=∂∂

=∂∂

то такую функцию называют потенциальной функцией или потенциалом вектора F . Тогда вектор F является градиентом функции f.

kzfj

yfi

xfgradfF

∂∂

+∂∂

+∂∂

==

Потенциал может быть найден по формуле:

∫ ∫∫ ++=x

x

z

z

y

y

dzzyxRdyzyxQdxzyxPzyxf0 00

),,(),,(),,(),,( 000

122


В этой формуле x0, y0, z0 – координаты некоторой начальной точки. В качестве такой точки удобно брать начало координат. Теорема. Для того, чтобы поле вектора F , заданного в некоторой области, имело потенциал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух условий: 1) Интеграл от вектора F по любому кусочно – гладкому контуру, принадлежащему области, равен нулю. 2) Интеграл по любому кусочно – гладкому пути, соединяющему две любые точки поля не зависит, от пути интегрирования.

Формула Стокса. (Джордж Габриель Стокс (1819 – 1903) – английский математик)

Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода. Пусть в пространстве задана некоторая поверхность S. L – непрерывный кусочно – гладкий контур поверхности S. z S L y Δ l x Предположим, что функции P,Q и R непрерывны на поверхности S вместе со своими частными производными первого порядка. Применим формулу, выражающую криволинейный интеграл через определенный.

∫∫

∫

∫∫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

++⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

++′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′∂∂

+′∂∂

+′+′=′+

+′+′=++

β

α

β

α

β

α

L

L

dyyzRQdx

xzRPdtty

yzRQtx

xzRP

dttyyztx

xzRtyQtxPdttztztytxR

tytztytxQtxtztytxPdzzyxRdyzyxQdxzyxP

)()(

])()()()([)]())(),(),((

)())(),(),(()())(),(),(([),,(),,(),,(

Введем обозначения: ;;yzq

xzp

∂∂

=∂∂

=

123


Применив формулу Грина – Остроградского, можно заменить криволинейный интеграл равным ему двойным интегралом. После преобразований устанавливается следуюшее соответствие между криволинейным и поверхностным интегралом:

dxdyyP

xQdzdx

xR

zPdydz

zQ

yRRdzQdyPdx

SL⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=++ ∫∫∫

эта формула и называется формула Стокса. Определение. Вектор B , компоненты которого равны соответственно равны

;;;yP

xQB

xR

zPB

zQ

yRB zyx ∂

=∂∂

−∂∂

=∂

−∂∂

=∂∂

−∂∂

называется вихрем или ротором вектора kRjQiPF ++= и обозначается:

Frot

Определение. Символический вектор z

ky

jx

izyx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

∂∂

∂∂

=∇ ,,

называется оператором Гамильтона. ( Уильям Роуан Гамильтон (1805 – 1865) – ирландский математик) Символ ∇ - “набла”. С учетом этого обозначения можно представить себе понятие ротора вектора F как векторного произведения оператора Гамильтона на вектор F .

RQPzyx

kji

FFrot∂∂

∂∂

∂∂

=×∇=

Определение. Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторного поля вдоль некоторой кривой L называется линейным интегралом от вектора по ориентированной кривой L. F

∫∫ ++=LL

RdzQdyPdxsdF

Если кривая L представляет собой замкнутый контур, то линейный интеграл по такому контуру называется циркуляцией вектроного поля F вдоль контура L.

∫∫ ++==LL

RdzQdyPdxsdFЦ

В векторной форме теорему Стокса можно сформулировать так: Циркуляция вектора вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря (ротора) через эту поверхность.

124


Δ= ∫∫∫Δλ

dFrotnsdF

Отметим, что рассмотренная выше формула Грина – Остроградского является частным случаем формулы Стокса. Также при условии равенства нулю всех компонент ротора вектора, получаем, что криволинейный интеграл по любой пространственной кривой равен нулю, т.е. криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Определение. Выражение zR

yQ

xP

∂∂

+∂∂

+∂∂ называется дивергенцией вектора

(дивергенцией векторной функции) kRjQiPF ++= и обозначается

zR

yQ

xPFdiv

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Таким образом, формулу Гаусса – Остроградского может быть записана в виде:

∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=γ+β+αVS

dxdydzzR

yQ

xPdSRQP )coscoscos(

или

∫∫∫∫∫ =SV

dSnFdvFdiv

т.е. интеграл от дивергенции векторного поля F по объему равен потоку вектора через поверхность, ограниченную этим объемом. Определение. Векторное поле F называется соленоидальным (трубчатым), если div =0 . F C помощью описанного выше оператора Гамильтона можно представить определенные нами понятия следующим образом:

;;; FFrotFFdivfgradf ×∇=∇=∇= Как было сказано выше (См. Уравнение Лапласа.), выражение

2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δ

называется оператором Лапласа. Справедливы следующие соотношения:

fffgradfdiv Δ=∇⋅∇Δ= ;)( Справедливость этих равенств легко проверить непосредственной подстановкой. Теперь рассмотрим примеры применения рассмотренных выше понятий.

125


Пример. Найти rarrot ⋅⋅ )( , если .; kjiakzjyixr ++=++= Найдем скалярное произведение: ;zyxar ++=⋅ Найдем скалярное произведение:

},,{},,{)( 222 zyzxzyxyyxxzxyxRQPrar ++++++==⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

=⋅⋅yP

xQk

zP

xRj

zQ

yRi

RQPzyx

kji

rarrot )(

)()()( xykxzjyzi −+−−−=

Пример. Найти поток векторного поля kyjyxixyF +++−= )()(

1через сторону

треугольника S, вырезанного из плоскости 0=−++ zyx координатными плоскостями. z x = 1 – z z = 1 - y x y = 1 - x y

+−++=+++−=⋅= ∫∫∫∫∫∫− y

SS

dzzyydyydxdydxdzyxdydzxydsnFП1

0

1

0

)1()()(

[ ] =+−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=+−−++ ∫∫∫∫ ∫∫∫

−−−−− 1

0

1

0

21

0

1

0

1

0

1

0

21

0

1

0

1

0

1

0 222)1(

xzyxz yzxxzzyzydydxdxxzxdz

[ ] =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−++−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−+−= ∫∫∫

1

0

21

0

21

0

22

22111

22122 dxxxdzzzzdyyyyyy

++−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−= ∫ 3

1112262232

122

3 1

0

231

0

321

0

32

1

0

2 yyyxxxzzzdyyy

126


127

.21

63

211

21

61

21

21

=+−+−=+−+

Пример. Найти div(grad u), если .zyxeu ++=

[ ]kjiekzuj

yui

xugradu zyx ++=

∂∂

+∂∂

+∂∂

= ++

;zyxeRQP ++=== .33)( uegradudiv zyx == ++

Пример. Определить является ли векторное поле

)65;65;65( xyzxzyyzxF +++= и найти его потенциал.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

∂∂

∂∂

=zu

yu

xugradu ,,

;65;65;65 xyzzuRxzy

yuQyzx

xuP +=

∂∂

=+=∂∂

=+=∂∂

=

Если поле потенциально, то должны выполняться следующие условия:

;66;)3

;66;)2

;66;)1

yyxR

zP

xxyR

zQ

zzxQ

yP

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

Эти условия эквивалентны условию равенства нулю ротора векторного поля.справедливость этого утверждения видна из формулы ротора. Таким образом, поле потенциальное. Потенциал находится по формуле:

;625

25

25)65(55 222

000

xyzzyxdzxyzydyxdxuzyx

+++=+++= ∫∫∫

Обыкновенные дифференциальные уравнения · 2017-03-07 · 2 ln...

Documents