Побудова графіків складених функцій

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені М.П. ДРАГОМАНОВА

Фізико-математичний інститутКафедра математики і теорії та методики навчання математики

Побудова графіків складених функцій

Курсова робота:студента 41 МІ групиКукурузи Андрія Олександровича

Науковий керівник:кандидат педагогічних науки, професор кафедри математики і теорії та методики навчання математикиШвець Василь Олександрович

Комісія:1. 2. 3.

Робота захищена“___”__________2012 рокуОцінка “ ”

Київ 2012

Зміст

Вступ 3

1. Дослідження функції в декартовій системі координат 4

2. Побудова графіків складених функцій. 14

3. Побудова графіків функцій за допомогою прикладного програмного забезпечення

GRAN1. 21

4. Календарне планування і задачі до факультативу «Побудова графіків складених

функцій». 26

Висновки 29

Література 30

Вступ

Функціональна лінія пронизує весь курс алгебри основної школи і

розвивається у тісному зв’язку з тотожними перетвореннями, рівняннями і

нерівностями. Властивості функцій встановлюються за їх графіками, тобто на основі

наочних уявлень, і лише деякі властивості обґрунтовуються аналітично. У міру

оволодіння учнями теоретичним матеріалом кількість властивостей, що підлягають

вивченню, поступово збільшується. Під час вивчення функцій чільне місце

відводиться формуванню умінь будувати і читати графіки функцій, характеризувати

за графіками функцій процеси, які вони описують.

Прикладна спрямованість вивчення функцій, рівнянь, нерівностей та іншого

матеріалу доповнюється окремими аспектами, пов’язаними з ознайомленням учнів з

відсотковими розрахунками, початковими елементарними поняттями теорії

ймовірностей і статистики.

Все вище перераховане доводить актуальність обраної теми курсової роботи.

В ній присутні такі методичні складові:

ОБ’ЄКТ ДОСЛІДЖЕННЯ: методичні проблеми, які виникають при побудові

графіків складених функцій.

ПРЕДМЕТ ДОСЛІДЖЕННЯ: особливості побудови графіків складених

функцій шляхом повного дослідження.

МЕТА: детальний розгляд побудови графіків функцій методом дослідження, а

також за допомогою прикладного програмного забезпечення.

3

1. Дослідження функції в декартовій системі координат.

1. Область визначення функції.

Область визначення (або область існування) функції D(f) — це множина всіх

значень аргументу, при яких функція існує і набуває дійсних значень.

При табличному способі задання функції до області її визначення відносяться

всі значення х, вказані в таблиці. При цьому для проміжного значення х, не

вказаного в таблиці, функція може бути і не визначена.

При графічному способі задання функції область визначення Очевидна із

графіка, а при словесному — із словесного визначення даної функції.

При аналітичному способі задання функції під областю визначення функції

розуміють множину всіх значень х, при яких формула, що визначає функцію, має

зміст. Часто таку область визначення функції називають природною областю

визначення функції. Додаткові умови можуть зменшити природну область

визначення функції.

При аналітичному способі задання функції вираз для функції може: містити

дріб, знаменник якого перетворюється в нуль при певному значенні х, містити

корені парного степеня, підкореневий вираз яких може бути від’ємним. Щоб знайти

область визначення функції у цих двох випадках, треба відкинути всі значення х,

при яких перетворюються в нуль знаменники дробів, що входять у вираз для

функції, а потім відкинути всі значення х, при яких підкореневі вирази коренів

парного степеня від’ємні.

Для загальніших випадків:

ФункціяУмова для знаходження

області визначення

, де

, де збігаються з відповідними

областями визначення

функції f(x)

, де

4

Приклад. Знайти область визначення функції а) ; б) .

а) Знаходження області визначення зводиться до розв’язання нерівності

Маємо і , звідки і . Тобто область визначення

функції ;

б) Формула, якою задана функція, має сенс, коли підкореневий вираз існує і

невід’ємний: , звідси , але не може бути більшим за одиницю,

отже, можливий тільки випадок, коли . Тоді ,тобто область

визначення заданої функції — множина окремих точок .

2. Область значень функції.

Область значень функції E(f) — це множина значень функції, яких вона набуває

при всіх значеннях аргументу з області її визначення. Область значень функції може

складатись з окремих точок, однієї точки, одного або кількох інтервалів та ін.

При табличному і графічному способах задання функції області значень видно

відповідно з таблиці чи графіка Для знаходження області значень функції, заданої

аналітично , потрібно знайти всі значення у, при яких рівняння має

дійсні розв’язки. Якщо загальний розв’язок рівняння можна записати у

вигляді , то для знаходження області значень функції f потрібно знайти мно-

жину тих значень у, для яких вираз має сенс.

В багатьох випадках знайти область значень функції не так просто — необхідно

виконати можливі дослідження функції, будувати графіки, після чого область

5

значень функції очевидна. Якщо відома область значень функції, то легко вказати

можливі найбільші і найменші значення, яких набуває ця функція.

Графік обмеженої функції міститься у смузі між прямими,

паралельними осі абсцис, проведеними на віддалі М від неї. Графік функції,

обмеженої знизу розміщений вище прямої, паралельної осі абсцис,

проведеної на віддалі M від неї. Графік функції, обмеженої зверху

знаходиться нижче прямої, проведеної паралельно осі абсцис на віддалі М

Приклад. Знайти область значення функції а) , б)

а) Розв’язуємо цю рівність щодо х: . Звідси випливає, що дійсним

значенням х відповідають тільки ті значення у, для яких . Розв’язуючи цю

нерівність, одержуємо .

б) Перетворимо квадратний тричлен , виділивши з нього повний

квадрат: . Вираз набуває всі невід’ємні значення, а тому область

значень заданої функції — множина Ця функція необмежена зверху.

3. Парність та непарність функції. Особливості графіка парної та непарної

функцій.

Функція f, що визначена на множині Х, симетричній відносно початку

координат, називатися парною, якщо виконується .

Функція f, що визначена на множині Х, симетричній відносно початку

координат, називатися непарною, якщо виконується .

Парність чи непарність функції перевіряємо, виходячи з визначення парної та

непарної функції. Наприклад, функція , що визначена на множині ,

симетричній щодо початку координат, парна. Справді,

.

Функція визначена на несиметричній множині . Отже, із

означення зробимо висновок, що функція не може бути ні парною, ні непарною.

Властивість 1. Графік парної функції симетричний щодо осі Оу.

6

Властивість 2. Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.

Ці особливості графіків парної та непарної функцій дозволяють спростити

побудову графіків таких функцій, а саме: досить накреслити графік функції у тій

частині області визначення, яка відповідає додатним значенням аргументу, а потім

продовжити цей графік симетрично щодо осі Оу, якщо функція парна, і симетрично

щодо початку координат, якщо функція непарна.

4. Періодичність функції.

Нехай функція f на множині Х. Якщо існує таке, що число

також належить множині Х і , то функцію називають періодичною з

періодом . Найменшим із додатних періодів називають основним. Але основного

періоду може і не бути, наприклад, як у функції .

Встановлення факту періодичності функції істотно полегшує вивчення та

побудову її графіка — періодичну функцію можна досліджувати в межах одного

періоду. Для побудови графіка періодичної функції з періодом досить побудувати

графік цієї функції на інтервалі , а потім одержаний графік періодично

продовжити.

Для визначення періоду іноді використовують такі твердження:

1) якщо - періодична з періодом , то функція є періодичною з

періодом

2) якщо при всіх х і деякому виконується рівність , то

періодична з періодом ;

3) якщо функція періодична, то і складена функція

періодична,причому періоди цих функцій однакові, якщо функція строго

монотонна, і період менший ніж період , якщо не строго

монотонна. Наприклад період функцій є .

5. Нулі та знаки функції.

Нулем функції називається те дійсне значення х, при якому значення функції

дорівнює нулеві.

Геометричний зміст поняття нулів функції такий: нулі функції — це абсциси 7

точок, в яких графік функції перетинає вісь Ох або дотикається до неї. При переході

через ці точки функція може змінювати знак.

Для того щоб знайти нулі функції , потрібно розв’язати рівняння .

Дійсні корені цього рівняння і будуть нулями функції .

Інтервали, де функція не має ні нулів, ні точок розриву, тобто знак функції не

змінюється, називаються інтервалами знакосталості.

Щоб визначити знак функції для всіх точок інтервалу знакосталості, достатньо

визначити знак функції в довільній точці цього інтервалу. Найпростіше обчислити

значення функції в якійсь конкретній точці. Якщо область визначення функції

складається із кількох інтервалів знакосталості, то дослідження знаків функції про-

водимо окремо на кожному з інтервалів.

Приклад. Знайти інтервали знакосталості функції

Область визначення цієї функції . Визначмо точки, де

функція перетворюється в нуль. Для цього прирівняймо нулеві чисельник:

, звідки Дослідження знаків функції проведемо на таких

інтервалах: У кожному з них беремо якусь конкретну

точку. Одержимо такі знаки в кожному із інтервалів: −, +, −, +. Отже: нулі функції

інтервали знакосталості

6. Інтервали монотонності. Максимум та мінімум функції.

Функція називається зростаючою на множині X, якщо для при

виконується нерівність , тобто більшому значенню аргументу

відповідає більше значення функції.

Функція називається спадною на множині X, якщо для при

має місце нерівність , тобто більшому значенню аргументу відповідає

менше значення функції. Зростаючі та спадні функції називають строго

монотонними.

Якщо для таких, що при справедлива нерівність

, то функцію називають неспадною (незростаючою) на

множині X. Незростаючі і неспадні функції називають монотонними.

8

Для визначення інтервалів строгого зpoстання (строгого спадання) функції

потрібно розв’язати нерівність , крім того, розглянути, як розміщені в

цих інтервалах точки, в яких , і чи не заповнюють вони суцільно яку-небудь

частину інтервалу, в якому розглядаємо функцію.

Приклад. Визначити інтервали зростання і спадання функції .

Функція існує при всіх значеннях х, окрім , тобто область її виз-

начення . Знаходимо похідну функції : .

Знаменник останнього дробу додатній при всіх значеннях х (окрім х = ± 2). Дріб

додатній при х > 0, і від’ємний при х < 0. Отже, функція спадає при

і зростає при .

Правило дослідження функції на екстремум: 1) знаходять першу похідну ;

2) знаходять критичні точки функції, для чого розв’язують рівняння ,

знаходять дійсні корені цього рівняння, а також ті точки, в яких похідна не існує.

Далі розташовують всі критичні точки в порядку зростання їх абсцис і

визначають знак на кожному з утворених інтервалів. Якщо змінює знак із

«+» на «-», то функція має максимум в розглядуваній критичній точці. Якщо ж

похідна змінює знак із «-» на «+», то функція має мінімум у даній критичній точці.

Якщо ж у двох сусідніх інтервалах не змінює знак, то екстремуму в

розглядуваній критичній точці функція не має.

Приклад. Дослідити на екстремум функцію .

Знаходимо похідну . Розв’язуємо рівняння і одержуємо

критичні точки Досліджуємо знак похідної в околі кожної із критичних

точок, розглядаємо інтервали Отримаємо таку послідовність

знаків: + , − ,+. У критичній точці х = 0 функція має максимум, у критичній точці х =

1 - мінімум.

Якщо потрібно визначити найбільше (найменше) значений функції на відрізку,

то визначаємо значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка, і серед них

визначаємо максимум і мінімум функції на відрізку.

9

7. Опуклість кривої. Точки перегину.

Крива називається опуклою (вгнутою) у точці , якщо існує такий

окіл точки в усіх точках якого розміщена під (над) дотичною до цієї

кривої в точці .

Для знаходження точок перегину і дослідження графіка функції на опуклість та

вгнутість знаходять другу похідну ;розв’язують рівняння , а також

визначають ті значення х при яких не існує; досліджують знак другої похідної в

околі кожного кореня рівняння і тих точок, в яких не існує. Якщо при

переході через таку точку знак другої похідної змінюється, то точка є

точкою перегину даної кривої. Якщо ж знак другої похідної не змінюється, то точка

не є точкою перегину. У точках, в яких , крива вгнута, а в точках, в яких

, опукла.

Приклад. Знайти точки перегину і дослідити на опуклість криву

Знаходимо другу похідну: . Прирівнюємо до 0 і знаходимо

корені: Знаходимо знак на кожному інтервалі. Оскільки при

переході крізь точки знак змінився, то вони є точками перегину

функції. На інтервалі крива опукла, а на інтервалі

— вгнута.

8. Асимптоти графіка функції.

При дослідження характеру поведінки функції велике значення має

дослідження поведінки при необмеженому зростанні аргументу х, а також

дослідження випадків необмеженого зростання значень в скінченній частині

області визначення. Геометрично ці дослідження приводять до поняття асимптоти.

Розрізняють горизонтальні, вертикальні та похилі асимптоти.

Крива має горизонтальну асимптоту , якщо існує скінченна границя

10

функції при або і ця границя дорівнює b, тобто або

Крива має вертикальну асимптоту х = а, якщо при (справа чи зліва)

. Для знаходження вертикальних асимптот потрібно відшукати значення

аргументу, поблизу яких f(x) необмежено зростає за абсолютною величиною.

Крива має похилу асимптоту в тому і лише в тому випадку,

коли існують скінченні границі і (потрібно окремо

розглядати випадки і )

Похила асимптота права, якщо графік наближається до неї при , ліва,

якщо графік наближається до неї при , двостороння, якщо графік

наближається до неї як при , так і при .

Приклад. Знайти асимптоти кривої .

Маємо

Отже графік має двосторонню похилу асимптоту .

Схема загального дослідження функції:

1. Знаходять область визначення та область значень функції і встановлюють

точки розриву та інтервали неперервності функції.

2. Досліджують функцію на парність, непарність, періодичність,

визначають точки перетину кривої з осями координат, інтервали

знакосталості.

3. Знаходять точки екстремуму та значення функції у цих точках,

встановлюють інтервали монотонності функції.

4. Знаходять точки перегину графіка функції та досліджують графік функції

на опуклість та вгнутість.

5. Знаходять асимптоти графіка функції.

6. Будують графік функції.

Приклад. Дослідити функцію та побудувати її графік.

11

1.Область визначення функції . Точка х = 2 − точка розриву

другого роду.

2. Функція загального вигляду, неперіодична. Точки перетину з осями

координат . На інтервалі функція від’ємна, на інтервалі

додатна.

3. Знаходимо точки екстремуму та визначаємо інтервали монотонності

функції. Перша похідна . Для знаходження критичних точок

розв’язуємо рівняння , звідки х =2 − точка, де похідна не

існує, але цього значення х не розглядаємо, оскільки ця точка не належить області

визначення функції. На інтервалі похідна додатна, а при

похідна від’ємна. Отже, в інтервалі функція

зростає, в - спадає. При функція має максимум утах = 0. При

функція має мінімум: ymin = 12.

4. Знаходимо точки перегину графіка кривої та досліджуємо криву на

опуклість та вгнутість.

Друга похідна . Точок перегину немає.

5. Вертикальні асимптоти знайдемо, прирівнявши знаменник до нуля: x − 2 = 0

=> х = 2 – єдина вертикальна асимптота.

Похилі асимптоти: . Отже, у =

х + 4 — похила асимптота.

6. За одержаними даними будуємо криву (рис. 1).

12

Рис. 1

2. Побудова графіків складених функцій.

Щоб побудувати графік складеної функції , треба знати її властивості

й установити контрольні точки, через які проходить шуканий графік.

Властивості складеної функції можна з'ясувати за відомою схемою дослідження

функцій, а контрольні точки графіка — обчисленням певних значень функції для

відповідних значень аргументу або суто геометрично.

Проте не завжди є потреба встановлювати властивості складеної функції за

всіма пунктами відомої схеми дослідження. Нерідко краще скористатися

властивостями функції і . Тут треба мати на увазі, що складена

функція матиме зміст для тих значень х, для яких має зміст функція

, і набуває значень, для яких існує . Якщо функція парна, то і

функція парна; якщо функції і непарні, то і складена

функція непарна; якщо функція непарна, а функція парна, то функція

парна. Якщо періодична, то і функція періодична.

Для знаходження проміжків зростання (спадання) даної функції доцільно

користуватися теоремою про монотонність складеної функції. Графік функції

можна побудувати в такий спосіб: спочатку побудувати графік функції

і, взявши до уваги значення ординат цієї функції і властивості функції

, побудувати графік заданої функції.

1. Побудова графіків функції .13

а) .

Область визначення функції збігається з областю визначення функції

. Якщо парна чи непарна, то парна. Якщо періодична, то

теж періодична, основний її період може бути меншим за основний період функцій

.

Для проміжки зростання (спадання) заданої функції збігатимуться

з проміжками зростання (спадання) . На проміжках, де , функції і

змінюються в протилежних напрямках.

Оскільки графіки обох функцій збігаються для тих значень х, для яких і

, то при побудові графіка функції проводимо пряму , яка

перетнеться з графіком функції у спільних точках обох графіків.

Для значень х, при яких або , графік лежатиме вище від

графіка функції , а для тих значень х, при яких , графік лежатиме

нижче від графіка (рис. 2).

14

Рис. 2 Рис. 3

б) .


. Якщо парна(непарна), то парна(непарна). Якщо

періодична, то теж періодична, причому періоди рівні. Проміжки зростання

(спадання) функції збігатимуться з проміжками зростання (спадання)

функції .

Графіки функцій матимуть спільні точки для тих значень х, для яких і

15

. Для тих значень х, при яких або , графік даної функції

лежатиме нижче від графіка функції , для тих значень х, при яких

або , графік функції лежатиме вище від графіка функції .

в) .

Область визначення функції знаходимо з умови . Якщо функція

парна, то й дана функція парна. Якщо періодична, то й функція

періодична, їхні періоди рівні.

Проміжки зростання (спадання) функцій і збігаються. Графіки

функцій матимуть спільні точки для тих значень х, для яких і . Для

значень х, при яких , графік лежатиме вище від графіка функції

, а для тих значень х, при яких , графік лежатиме нижче від

графіка . (рис 3.)

г) .

Області визначення функцій і збігаються. Якщо функція

парна(непарна), то й дана функція парна(непарна). Якщо періодична,

то й функція періодична.

Проміжки зростання (спадання) функцій і збігаються.

Графіки функцій матимуть спільні точки для тих значень х, для яких і

. Для тих значень х, при яких або , графік даної функції

лежатиме вище від графіка функції , для тих значень х, при яких

або , графік функції лежатиме нижче від графіка функції

.

Зауважмо, що: для принцип побудови графіків

відповідних функцій такий, як і для функції ; для

принцип побудови графіків відповідних

функцій такий, як і для функції .

д) .

16

Функція визначена для тих значень х, при яких . Нулі функції

— це точки розриву для функції . Через ці точки походять

вертикальні асимптоти графіка функції .

Якщо функція парна (непарна), то і функція парна (непарна).

Якщо функція періодична, то і функція буде періодичною з тим

самим періодом. На інтервалах зростання функції функція спадна; на

інтервалах спадання — зростаюча. Якщо функція на деякому інтервалі

опукла, то функція буде вгнутою на цьому інтервалі.

Якщо , то ; якщо , то і графік функції

лежатиме вище від графіка функції .(рис. 4)

Рис. 4

2. Побудова графіків функцій

17


. Графік розміщений у верхній півплощині, бо .

Якщо парна, то і теж буде парною. Якщо періодична, то і

функція буде періодичною, причому основні періоди в обох функцій рівні.

Якщо функція має горизонтальну асимптоту , то і функція

має горизонтальну асимптоту .

При проміжки зростання (спадання) функції збігаються з проміжками

зростання (спадання) функції , при навпаки.

При точки максимуму (мінімуму) функції переходять у відповідні

точки максимуму (мінімуму) функції ;при точки максимуму

(мінімуму) функції переходять у відповідні точки мінімуму (максимуму)

функції .


Область визначення функції знаходиться із умови .

Нулі функції знаходимо із умови . Для тих х, при яких , графік

лежатиме у верхній півплощині при і в нижній при . Для тих х, при яких

, графік лежатиме у нижній півплощині при і у верхній при .

Функція буде парною, якщо функція парна. Якщо функція

періодична, то і функція буде періодичною, причому її основний

період збігається з основним періодом функції .

При і проміжки зростання (спадання) функцій і

збігаються, при вони різні.

Якщо функція має максимум (мінімум), то і функція при

буде мати максимум (мінімум) і мінімум (максимум) при у відповідній точці.


Області визначення функцій збігаються відповідно з

областю визначення функції .

Оскільки то графіки даних функцій

лежать у смузі між прямими . Вертикальних і похилих асимптот графіки не

мають. Якщо пряма — горизонтальна асимптота функції то пряма 18

(відповідно ) буде асимптотою для даних функцій.

Якщо періодична, то функції будуть теж

періодичними.

Проміжки зростання (спадання) функції знаходимо з умови

;

для функції — з умови: .


Область визначення функції знаходимо з умови , функції

— з умови , де .

Функції будуть парними (непарними), коли функція парна (непарна).

На проміжках, де функція зростає (спадає), функція зростає

(спадає). Напрям зміни функції протилежний напряму зміни функції

.

Вертикальні асимптоти для функції знаходимо з умови ,

а для функції — з умови , де .


Область визначення функцій знаходимо з умови

.

Функції будуть парними (непарними), якщо функція парна (непарна).

Функції будуть періодичними, якщо функція періодична, причому основні

періоди даної функції та функції рівні між собою.

Проміжки зростання (спадання) функції збігаються з проміжками

зростання (спадання) функції ; для функції напрям її зміни

протилежний напряму зміни функції .


Область визначення функцій збігається з областю

визначення функції .Функції будуть парними (непарними), якщо функція

парна (непарна). Функції будуть періодичними, якщо функція

19

періодична. Проміжки зростання (спадання) функції збігаються з

проміжками зростання (спадання) функції , напрям зміни функції

протилежний напряму зміни функції .

3. Побудова графіків функцій за допомогою прикладного програмного

забезпечення GRAN1D.

Програма GRAN1D призначена для графічного аналізу функцій, звідки і

походить її назва (GRaphic ANalysis).

Для роботи з програмою необхідно проінсталлювати програму на диск. Для

роботи програми необхідні файли granl.exe і granl.lng (загальним обсягом близько І

мегабайта), а також бажано, щоб були наявні файли допомоги graul.hip та granl.cnt

(загальним обсягом близько 250 кілобайт).

Після активізації програми на екрані з’явиться зображення, показане на рис. 5.

У верхньому рядку екрану знаходиться “головне меню” - перелік “послуг”, до яких

можна звернутися в процесі роботи з програмою. При зверненні до деякого пункту

головного меню з’являється перелік пунктів (послуг) відповідного підменю.

Перш ніж вводити вирази чи таблиці, що характеризують деяку залежність між

змінними, необхідно вказати тип задання залежності у вікні “Список об'єктів” (на

екрані вгорі праворуч, рис. 6). В верхній частині вікна знаходиться список восьми

можливих типів залежностей: Явна, Параметрична, Полярна, Неявна, Таблична,

Статистична вибірка. Після вибору залежності натискаємо праву клавішу «миші» і

вибираємо пункт Створити. Далі з’являється вікно введення даних.

Введення нових даних може здійснюватися за допомогою клавіатури та за

допомогою “мишки”.

При записі числових значень дробова частина, якщо вона є, відокремлюється

від цілої крапкою. Арифметичні операції позначаються знаками:

+ додавання

− віднімання,

* множення,

/ ділення,

20

^ піднесення до степеня.

Пріоритети (порядок виконання) операцій загальноприйняті. Бажаний порядок

операцій може бути вказаний за допомогою дужок. Вираз, поданий в дужках,

розглядається як єдине ціле і обчислюється в першу чергу. Всередині дужок можуть

бути інші вирази, подані також в дужках. При цьому кожній відкриваючій (лівій)

дужці повинна відповідати закриваюча (права) дужка.

Рис. 5

Рис. 6

21

До виразів можуть бути включені також позначення (які розглядаються як

неподільні символи) деяких функцій. Всі вони па панелі введення даних (рис. 7):

Sin sin (синус),

Сos cos (косинус),

Tg tg (тангенс),

Clg ctg (котангенс),

Asin arcsin (арксинус),

Acos arccos (арккосинус),

Аtg arctg (арктангенс),

Actg arcctg (арккотангенс),

Exp експонента ( ),

Log логарифм за довільною основою (основа та аргумент логарифму

вказуються в дужках через кому. Наприклад, Log(x,x + 3) означає )

Ln логарифм натуральний (за основою е ),

Аbs абсолютна величина,

Int ціла частина аргументу,

Sqrt корінь квадратний,

Pi число .

Рис. 7

Для побудови графіків залежностей між змінними (різних типів задання) і

виконання деяких інших операцій над графічними побудовами призначено пункт

22

“Графік”.

Підпункт “Побудувати” використовується при необхідності побудувати графіки

однієї чи кількох введених залежностей. Якщо графік деякої введеної залежності

будувати не потрібно, тоді за допомогою маніпулятора “мишка” слід зняти мітку

проти позначення залежності у вікні “Список об’єктів”. Графіки залежностей, проти

позначення яких стоїть мітка будуть побудовані при зверненні до послуги

“Побудувати”.

Вирази залежностей подаються у вікні “Список об’єктів” символами того ж

кольору, що і відповідні їм графіки, зображувані у вікні “Графік”. Кількість об’єктів

не обмежується (обмежується лише апаратними ресурсами комп’ютера).

Для задання явної залежності між змінними х та у в декартовій системі

координат, необхідно спочатку встановити тип задання залежності “Явна: Y=Y(Х)”

у вікні “Список об’єктів” . Потім слід звернутися до послуги “Об’єкт/Створити” або

натиснути кнопку на панелі інструментів.

В результаті з’являється допоміжне вікно “Введення виразу залежності”. В

рядок “Y(Х)=” потрібно ввести вираз, що задає залежність. Цей рядок являє собою

список, що розкривається, і при створенні нової залежності відповідний вираз

заноситься в цей список. Тому при створенні наступної залежності можна вводити

вираз з використанням даних з цього списку. Якщо вираз записано неправильно, то

буде виведено повідомлення про помилку.

Явна залежність задається на певному завжди скінченному підрізку. У вікні

“Введення виразу залежності” в рядку “А=” необхідно вказати дійсне число, яке

визначає лівий кінець відрізка, її в рядку “В=” - правий кінець відрізка. При цьому

повинна виконуватись умова А< В. При невиконанні цієї умови виводиться

повідомлення про помилку.

Після введення виразу можна вказати колір, яким у вікні «графік» буде

рисуватися графік залежності, для чого необхідно встановити перемикач «FG» у

відповідне положення (вказавши потрібний колір курсором “мишки”).

В допоміжному вікні також вказується кількість точок побудови графіка (від 10

до 1000, за замовчуванням 100). Потрібно зазначити, що із збільшенням кількості

23

точок побудови швидкість обчислень і побудов графіків зменшується. Разом з тим зі

зменшенням кількості точок побудови зменшується точність графічних побудов.

Іноді зручно не будувати весь графік, а прорисовувати лише вузлові точки. В

цьому випадку потрібно встановити мітку поруч з написом “Не з’єднувати точки

відрізками”.

Кнопка «ОК» служить для створення нового об’єкта у вікні «Список об’єктів»,

а кнопка «Скасувати» скасовує всі дії стосовно створення об’єкта.

Іноді буває необхідно збільшити зображення в деякій частині вікна “Графік” до

розмірів усього вікна. Для цього слід вказати прямокутник, в якому розміщена

частина зображення, що збільшується. Ця операція здійснюється за допомогою

маніпулятора “мишка”. Курсор “мишки” потрібно встановити в одну з вершин

необхідного прямокутника, потім натиснути ліву кнопку “мишки” і, не відпускаючи

її, вказівник “мишки” перевести в точку, що є протилежною вершиною

прямокутника.

Як тільки кнопка “мишки” буде відпущена автоматично відбудеться зміна

масштабу вздовж осей Ох і Оу . У вікні “Графік” будується збільшена до розмірів

усього вікна частина зображення, що була розташована всередині прямокутника. Ця

послуга використовується при необхідності уточнити вид графіка в деякій його

частині, координати характерних його точок тощо.

Приклад. Нехай необхідно побудувати графік функції . Встановимо у

вікні “Список об’єктів” тип залежності “Явна: Y=Y(Х)”. Потім звернемося до

послуги “Об’єкт/Створити...”. В результаті з’явиться допоміжне вікно “Введення

виразу залежності”.

Введемо вираз “ ” в рядку “Y(Х)=”. В рядку “А=” введемо значення лівої

межі відрізка задання функції, наприклад -7, а в рядку “В=” введемо значення правої

межі відрізка задання, наприклад 5. Колір і кількість точок побудові графіка

залишимо заданими за замовчуванням і натиснемо кнопку “ОК”. В результаті у вікні

“Список об’єктів" одержимо: новий об’єкт . У нижній частині цього вікна

подані деякі характеристики залежності: А=- 7 , В = 5 , МіпY = -3, МахY = 46 .

Звернемося тепер до послуги головного меню Графік/ Побудувати. В результаті

24

у вікні “Графік” з’явиться графік залежності , побудований на відрізку

.

4. Календарне планування і задачі до факультативу «Побудова графіків

складених функцій»

№

уроку

Зміст навчального матеріалу Кількість

годин

Тема 1. Схема дослідження функції в декартовій

системі координат

8

1 Область визначення та область значень функції. Приклади. 1

2 Парність, непарність, періодичність, точки перетину з

осями координат Приклади.

1

3 Інтервали знакосталості, точки екстремуму, інтервали 1

25

монотонності функції

4 Точки перегину, опуклість та вгнутість Приклади. 1

5 Асимптоти Приклади. 1

6 Приклади. 2

Тема 2. Побудова графіків складених функцій. 8

8 Побудова графіків функції 2

10 Побудова графіків функцій 1






Тема 3. Побудова графіків функцій за допомогою

прикладного програмного забезпечення GRAN1.

2

16 Знайомство з програмою. Побудова графіків. 1

17 Побудова графіків складених функцій. 1

Задачі.

1. Дослідити та побудувати графіки функцій:

; ; ; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ; ;

; ; .

2. Дослідити та побудувати графіки складених функцій:

1) ; ; ; ; ; ; ; .

2) ; ; ; ; ; ; ; .

26

3) ; ; ; ; .

4) ; ; ; ; ; .

5) ; ; ; ; .

6) ; ; ; ; .

7) ; ; ; ; .

3. Виконати побудову графіків функцій з п. 1 і 2 в GRAN1D.

27

Висновки

В даній курсовій роботі детально розглянуто:

1) Загальне дослідження функції в ПДСК.

2) Особливості побудови графіків складених функцій.

3) Побудова графіків функцій на комп’ютері за допомогою ППЗ GRAN1D.

Також почато розробку програми факультативу « Побудова графіків складених

функцій». При подальшій праці над цією темою, потрібна розробка та апробація

занять факультативу.

Отримані результати роботи можна використовувати учням для самоосвіти і

вчителям при розробці роботи гуртків та позакласних занять з теми « Побудова

графіків складених функцій

28

Література

1. Вірченко Н. О., Ляшко І. І. Графіки елементарних та спеціальних функцій. К.:

«Наукова думка», 1996.

2. Шунда Н. М. Функції та їх графіки. К.: «Рад. школа», 1983.

3. Жалдак М.І., Горошко Ю. В., Є. Ф. Вінниченко. Математика з комп’ютером:

Посібник для вчителів. К.: РННЦ «ДІНІТ», 2004.

4. Корольський В. В., Крамаренко Т.Г. Семеріков С. О. Інноваційні інфоміційно-

комунікаційні технології навчання. Кривий Ріг: Книжкове видавництво

Кирєєвського, 2009.

5. Навчальна програма з математики профільний рівень.

6. Навчальна програма з математики поглиблений рівень.

29

Побудова графіків складених функцій

Documents