МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ЦЕНТР «МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ»УКРАЇНСЬКИЙ ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ЛІЦЕЙКИЇВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Л. Т. Гейченко, Л. В. Стахурська

ГРАФІКИ ФУНКЦІЙ

Навчально-методичний посібник

Київ2017

Редакц ійна колег ія :О. В. Лісовий, Л. Т. Гейченко, Л. В. Стахурська,

Т. В. Пещеріна, Є. Д. Омельченко

Рекомендовано науково-методичною радоюНаціонального центру «Мала академія наук України»

(протокол № 4 від 29.11.2016)

Гейченко Л. Т.Графіки функцій : навч.-метод. посіб. / Л. Т. Гейченко, Л. В. Стахурська;за ред. О. В. Лісового. — К., 2017. — 32 с.

Збірник підготовлений відповідно до навчальної програми Всеукраїнської наукової фізико-математичної школи.

Видання містить:• контрольні завдання;• методичні рекомендації та розв’язання різних типів задач із математики;• приклади авторських задач дослідницького характеру.

Збірник адресований учасникам Всеукраїнської наукової фізико-математичної школи, а також іншим учням для підготовки до контрольних робіт із математики у Всеукраїнському конкурсі-захисті науково-дослідницьких робіт учнів – членів Малої академії наук України.

© Міністерство освіти і науки України, 2017© Національний центр «Мала академія наук України», 2017© Український фізико-математичний ліцейКиївського національного університетуімені Тараса Шевченка, 2017

3

Шановні учні!

Мала академія наук України (МАН України), яка на сучасному етапі забезпечує процеси розвитку інтелектуальних здібностей учнів і сприяє формуванню освіченої творчої особистості, компетентної в соціально-цивілізаційному аспекті, створила освітній проект «Наукові школи МАН». За рахунок залучення до навчально-виховного процесу обдарованої молоді, а також досвідчених висококваліфікованих педагогів – викладачів вищих навчальних закладів та провідних ліцеїв у наукових школах створено особливе освітнє середовище, в якому цінуються інтелектуальний потенціал, ерудованість, прагнення до самовдосконалення, взаємодопомога, співпраця. На заняттях учні 8–11-х класів загальноосвітніх навчальних закладів України – слухачі наукових шкіл ознайомлюються з проблематикою науки,поглиблюють базові знання, опановують принципи, методи дослідницької діяльності, набувають навичок самостійної наукової роботи. Система організації навчання у школах поєднує колективні та індивідуальні заняття і припускає розв’язання наукової проблеми, яка передбачає, з одного боку, використання різноманітних методів, засобів навчання, а з іншого – інтегрування знань, умінь із різних галузей науки, техніки, технологій.

Навчально-виховний процес наукових шкіл містить такі складові: основи дослідницької роботи, профільний навчальний курс – теоретичний огляд та практикуми, індивідуальну дослідницьку діяльність – здійснюється з використанням елементів дистанційного навчання і зазвичай передбачає три очні сесії: настановну (осінню), експериментальну (зимову) і підсумкову (весняну). Всі навчальні програми наукових шкіл ґрунтуються на проблемному та дослідницькому підходах і розділені на уроки, з можливістю вільного перегляду незалежно від вибраного напряму.

Під час сесійних зборів проводяться лекційні та практичні заняття, навчально-тематичні екскурсії, особливе значення надається лабораторним і практичним роботам, у процесі яких учні набувають навичок роботи із сучасним цифровим навчальним і науковим обладнанням, оволодівають методикою виконання експерименту та закріплюють теоретичні знання.

У міжсесійний період виконуються проміжні контрольні роботи, слухачі беруть участь у вебінарах, форумах, отримують індивідуальні онлайн-консультації викладачів наукових шкіл щодо вибору теми науково-дослідницької роботи й інших питань, що виникають на різних етапах наукового пошуку.

Для підтримки процесу навчання і забезпечення його ефективності важливим є розроблення електронних навчальних комплексів та створення навчально-методичних посібників. Викладачі наукових шкіл розробляють й оновлюють теоретичні матеріали, збірники контрольних завдань, деталізують плани практичних та семінарських занять. Зокрема, колективом педагогів Українського фізико-математичного ліцею Київського національного університету імені Тараса Шевченка, які забезпечують методичний супровід навчально-виховного процесу наукових шкіл фізико-математичного профілю, розроблено навчальні посібники і методичні вказівки, необхідні для якісного забезпечення навчального процесу цього напряму.

Пещеріна Тетяна Вікторівна,заступник директора НЦ «Мала академія наук України»

4

Як працювати з посібником

На початку цього посібника ми пригадаємо основні властивості і типифункцій, їх перетворення. Нагадаємо і продемонструємо нестандартні методи їх побудови. Зупинимося на використанні графіків функцій для розв’язування завдань з параметрами. Важливо уважно прочитати запропонований навчальний матеріал, розібрати приклади розв’язування задач, виконати вправи.

Ми не ставили перед собою мету розглядати складні задачі олімпіадногорівня, їх ви можете знайти в інтернеті. Наше завдання – показати різноманітність підходів до побудови графіків, оскільки саме графіки є одним із найлегших і найдоступніших способів аналізу і прогнозування поведінки функції. Ці навичкивикористовуються для розв’язання задач із фізики, економіки тощо.

У першій частині цієї методички ми розглянемо задачі на побудову графіківфункцій, використовуючи перетворення початкової (елементарної) функції. Продемонструємо новий спосіб створення ланцюжка перетворень. Цей спосіб є легким для запам’ятовування, оскільки складається з чіткої послідовності нескладних дій.

У другій частині методички розглянемо різні способи побудови графіківнестандартних функцій. У курсі 11-го класу шкільної програми буде запропонованозагальний метод для побудови функцій. Проте оскільки в задачах підвищеної складності 10-го класу досить часто виникає необхідність побудови таких графіків, ми навчимо, як можна обійтися матеріалом 10-го класу в окремих випадках. Навчившись побудові графіків функцій, перейдемо до розгляду задач з параметром, наприклад рівнянь.

Не можна прочитати методичний посібник за одним разом! Його треба читатипоступово, якщо не щоденно, то принаймні кілька разів на тиждень повертатись до нього і знаходити там щось нове для себе. Недостатньо просто прочитати. Читати треба з ручкою, виконуючи всі перетворення і підрахунки на аркушах паперусамостійно. Тільки після цього можна досягти потрібного засвоєння та уникнути великої кількості технічних помилок у подальших розрахунках!

Якщо і після цього у вас виникають проблеми із розв’язанням вправ або виконанням контрольної роботи, радимо вам повернутися до прочитаного. Пам’ятайте, у вас є вчителі, до яких ви завжди можете звернутись за порадою.

Бажаємо успіхів!

5

§ 1. Основні поняття

Розглянемо числові множини 𝐷𝐷 та 𝐸𝐸, які складаються з елементів 𝑥𝑥 та 𝑦𝑦відповідно. Тоді залежність змінної 𝑦𝑦 від змінної 𝑥𝑥 називають функцією, якщо кожному значенню 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷 ми ставимо у відповідність єдине значення 𝑦𝑦 ∈ 𝐸𝐸.

У математиці це записують таким чином: 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

Тут змінну 𝑥𝑥 називають незалежною змінною або аргументом функції, змінну 𝑦𝑦 – залежною змінною або значенням функції; символом 𝑓𝑓 позначають правило, за яким кожному 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷 можна знайти єдине відповідне йому значення 𝑦𝑦 ∈ 𝐸𝐸. Для числових функцій (тобто для функцій, де множини 𝐷𝐷 та 𝐸𝐸 є числовими) під символом 𝑓𝑓 розуміють ті операції, які потрібно виконати над аргументом, щоб дістати відповідне значення функції.

Множину 𝐷𝐷 називають областю визначення функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) і позначають 𝐷𝐷(𝑓𝑓) або 𝐷𝐷(𝑦𝑦), або 𝐷𝐷�𝑓𝑓(𝑥𝑥)�. Таким чином, область визначення функції – це множина всіх значень, яких може набувати незалежна змінна.

Множину 𝐸𝐸 називають областю значень функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) і позначають 𝐸𝐸(𝑓𝑓),або 𝐸𝐸(𝑦𝑦), або 𝐸𝐸�𝑓𝑓(𝑥𝑥)�.

§ 2. Основні властивості функції

Нагадаємо набір основних властивостей функцій, які допомагають нам у роботі з функціями:

• область визначення функції;• область значень функції;• періодичність;• парність;• перетин із осями;• проміжки знакосталості;• монотонність;• асимптоти.

Перші дві властивості ми вже згадували вище. Тепер розглянемо, як деякі з властивостей полегшують побудову графіка.

Періодичність

Для того щоб побудувати графік періодичної функції, будують фрагмент графіка на будь-якому відрізку довжини 𝑇𝑇 (𝑇𝑇 – головний, найменший період).

6

Потім здійснюють послідовні паралельні перенесення фрагмента графіка на 𝑇𝑇, 2𝑇𝑇,3𝑇𝑇 і т. д. вздовж осі 𝑂𝑂𝑥𝑥 (праворуч і ліворуч).

Парність

Графік парної функції симетричний відносно осі 𝑂𝑂𝑦𝑦. Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Тобто для побудови графіка парної або непарної функції треба побудувати графік для 𝑥𝑥 ∈ [0; +∞), а тоді зробити відповідну симетрію.

На жаль, багато функцій не є ані парними, ані непарними. Такі функції називаються функціями загального виду.

Перетин з осями

Оскільки ми розглядаємо побудову графіка функції, то перетинів із віссю 𝑦𝑦не може бути більше одного. Для того щоб знайти його координати підставляємо 𝑥𝑥 = 0 у нашу функцію, тобто перетин із віссю 𝑂𝑂𝑦𝑦 – це точка (0;𝑦𝑦0), де 𝑦𝑦0 = 𝑓𝑓(0).

Перетинів із віссю 𝑂𝑂𝑥𝑥 може бути як завгодно багато. Такі перетини називаються нулями функції, і всі вони є коренями рівняння 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0, і навпаки, всі корені цього рівняння є нулями функції.

Проміжки знакосталості

Як нам відомо з 9-го класу, проміжками знакосталості називаються проміжки, на яких функція набуває додатних чи від’ємних значень. Такі проміжки є розв’язками відповідних нерівностей виду 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 або 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 0.

На графіку такі проміжки відповідають частинам, які знаходяться вище або нижче за вісь абсцис.

§ 3. Основні види функцій

Запишемо функції, графіки яких ми зараз знаємо.

Лінійні функції:• 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏, де 𝑏𝑏 – деяке число;• 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥, 𝑘𝑘 ≠ 0;• 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝑏𝑏, де 𝑘𝑘 і 𝑏𝑏 – дійсні числа.

Обернена пропорційність:• 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘

𝑥𝑥, 𝑘𝑘 ≠ 0

7

Квадратична функція:• 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐, де 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 – дійсні числа і 𝑎𝑎 ≠ 0;• 𝑦𝑦 = [𝑥𝑥], де [𝑥𝑥] – ціла частина числа 𝑥𝑥;• 𝑦𝑦 = {𝑥𝑥}, де {𝑥𝑥} – дробова частина числа 𝑥𝑥.

Степенева функція:• 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑛𝑛, де 𝑛𝑛 – натуральне число;• 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥−𝑛𝑛, де 𝑛𝑛 – натуральне число;• 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥𝑛𝑛 ;• 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑟𝑟, де 𝑟𝑟 – додатний нескоротний дріб;• 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥−𝑟𝑟, де 𝑟𝑟 – додатний нескоротний дріб.

Тригонометричні функції:• 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥;• 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥;• 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥;• 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥.

Обернені тригонометричні функції:• 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥;• 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥;• 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥;• 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥.

Графіки цих функцій, за потреби, можна знайти в підручниках із математики за 9-й і 10-й класи.

§ 4. Перетворення графіків функцій

Нагадаємо ті перетворення функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), які ми вміємо відображати графічно. Тобто ті перетворення, після яких ми можемо побудувати графік новоутвореної функції, виконавши відповідні перетворення графіка початкової функції.

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎)Графік функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) утворюється паралельним перенесенням графіка

функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) уздовж осі 𝑂𝑂𝑥𝑥 на a одиниць ліворуч, якщо 𝑎𝑎 > 0, і праворуч, якщо 𝑎𝑎 < 0.

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑏𝑏Графік функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± 𝑏𝑏 утворюється паралельним перенесенням графіка

функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) уздовж осі 𝑂𝑂𝑦𝑦 на 𝑏𝑏 одиниць угору, якщо 𝑏𝑏 > 0, і вниз, якщо 𝑏𝑏 < 0.

8

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑥𝑥), 𝑘𝑘 > 0Графік функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑥𝑥) утворюється стиском графіка функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

у 𝑘𝑘 разів до осі 𝑂𝑂𝑦𝑦, якщо 𝑘𝑘 > 1, і розтягом у 1𝑘𝑘

разів від осі 𝑂𝑂𝑦𝑦, якщо 0 < 𝑘𝑘 < 1.

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 𝑚𝑚𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑚𝑚 > 0Графік функції 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑓𝑓(𝑥𝑥) утворюється розтягом графіка функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

у 𝑚𝑚 разів від осі 𝑂𝑂𝑥𝑥, якщо 𝑚𝑚 > 1, і стиском у 1𝑚𝑚

разів до осі 𝑂𝑂𝑥𝑥, якщо 0 < 𝑚𝑚 < 1.

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓(−𝑥𝑥)Графік функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) утворюється симетрією графіка функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

відносно осі 𝑂𝑂𝑦𝑦. При цьому точки перетину графіка функції з віссю 𝑂𝑂𝑦𝑦 залишаються незмінними.

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → −𝑓𝑓(𝑥𝑥)Графік функції 𝑦𝑦 = −𝑓𝑓(𝑥𝑥) утворюється симетрією графіка функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

відносно осі 𝑂𝑂𝑥𝑥. При цьому точки перетину графіка функції з віссю 𝑂𝑂𝑥𝑥 залишаються незмінними.

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → |𝑓𝑓(𝑥𝑥)|Графік функції 𝑦𝑦 = |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| утворюється із графіка функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) таким

чином: потрібно побудувати графік функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), потім відобразити симетрично відносно осі 𝑂𝑂𝑥𝑥 частину графіка, нижчу від осі абсцис, і нарешті, частину графіка, що нижча від осі абсцис, відкинути.

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓(|𝑥𝑥|)Графік функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(|𝑥𝑥|) утворюється з графіка функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) таким

чином: потрібно побудувати графік функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) для 𝑥𝑥 ≥ 0, потім відобразити побудований графік симетрично відносно осі 𝑂𝑂𝑦𝑦 і об’єднати результати побудови.

9

§ 5. Побудова графіків функцій за допомогою послідовних перетворень графіків елементарних функцій

ПРИКЛАД 1. Побудуйте графік функції

𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 + 3)3 − 3.

Порядок побудови:

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 → 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 + 3)3 → 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 + 3)3 − 3.

ПРИКЛАД 2. Побудуйте графік функції

𝑦𝑦 = �|𝑥𝑥| − 1 .

Для початку треба побудувати ланцюжок перетворень. Спершу ми будуємо графік 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥. І тут виникає питання: спочатку робимо 𝑓𝑓(|𝑥𝑥|) чи 𝑓𝑓(𝑥𝑥 − 1)?

Побудуємо графіки для обох ланцюжків перетворень:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(|𝑥𝑥|) → 𝑡𝑡(𝑥𝑥 − 1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 − 1) → 𝑡𝑡(|𝑥𝑥|)

Рис. 2 Рис. 3

Графіки відрізняються, а отже, одночасно обидва не можуть бути правильними.Для перевірки розглянемо 𝑥𝑥 = 0. На рис. 2, на відміну від зображення рис. 3, існує значення за 𝑥𝑥 = 0. Підставивши 𝑥𝑥 = 0 в умову нашого приклада, бачимо, що функція не існує для 𝑥𝑥 = 0. Отже, правильним буде рис. 3.

Розв’язуючи наступний приклад, розберемо метод, який допомагає однозначно будувати ланцюжок перетворень.

Рис. 1

10

ПРИКЛАД 3. Побудуйте графік функції 𝑦𝑦 = 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 ��𝑥𝑥 + 𝜋𝜋4�� + 2.

Для побудови нам потрібно заповнити таблицю.

1. У першу колонку треба вписати за порядком дії, які необхідно виконати з числом, яке ми підставляємо замість 𝑥𝑥, для того щоб обчислити відповідне значення 𝑦𝑦:

+𝜋𝜋4

|𝑥𝑥|

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥

∗ 2

+2

2. Тепер вибираємо ту дію, яку неможливо відобразити перетвореннями графіка початкової функції. Це і буде наша стартова функція. Усе, що в таблиці розташовано вище стартової функції, – це перетворення аргументу, а те, що нижче, – функції.

3. Побудова ланцюжка завжди починається від стартової функції, тобто для аргументу ми пишемо дії «вгору»: спочатку найнижчу, потім вищу і так до першого рядка; а для функції – «вниз»: спочатку найвищу, потім нижче і так до останнього рядка.

+𝜋𝜋4

аргу

мен

т

↑|𝑥𝑥|

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥 Стартова функція

∗ 2

фун

кція ↓+2

11

Тобто наш ланцюжок перетворень буде виглядати так:

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥 → 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛|𝑥𝑥| → 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 �𝑥𝑥 +𝜋𝜋4� → 𝑦𝑦 = 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 �𝑥𝑥 +

𝜋𝜋4� → 𝑦𝑦 = 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 �𝑥𝑥 +

𝜋𝜋4� + 2.

Будуємо графік.

Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6

Зауваження. Перетворення для аргументу і функції незалежні, тобто не важливий порядок, в якому ми їх робимо (можливе спочатку перетворення аргументу, потім функції, а можливе навпаки). Проте не можна міняти порядок дій в одній групі (групі дій з аргументом або групі дій із функцією).

ПРИКЛАД 4. Побудуйте графік функції 𝑦𝑦 = �12

|𝑥𝑥| − 1�4− 3.

Робимо нашу табличку.

|𝑥𝑥|

аргумент ↑

Графік для 𝑥𝑥 ≥ 0 і його симетрія відносно 𝑂𝑂𝑦𝑦

∗12

Розтяг графіка в 2 рази від осі 𝑂𝑂𝑦𝑦

−1 Зсув графіка на 1 праворуч

𝑥𝑥4 Стартова функція

−3 функція ↓ Зсув графіка на 3 вниз

12

Ланцюжок перетворень:

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥4 → 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 − 1)4 → 𝑦𝑦 = �12 𝑥𝑥 − 1�

4→ 𝑦𝑦 = �1

2 |𝑥𝑥| − 1�4→ 𝑦𝑦 = �1

2 |𝑥𝑥| − 1�4− 3.

Будуємо графік.

Рис. 7 Рис. 8

ПРИКЛАД 5. Побудуйте графік функції 𝑦𝑦 = 3 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 �2�|𝑥𝑥| − 2��.

Робимо нашу табличку.

|𝑥𝑥|

аргумент↑

Графік для 𝑥𝑥 ≥ 0 і його симетрія відносно 𝑂𝑂𝑦𝑦

−2 Зсув графіка на 2 праворуч

|𝑥𝑥| Графік для 𝑥𝑥 ≥ 0 і його симетрія відносно 𝑂𝑂𝑦𝑦

∗ 2 Стиск графіка в 2 рази до осі 𝑂𝑂𝑦𝑦

𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑥𝑥 Стартова функція

∗ 3 функція ↓ Розтяг графіка в 3 рази від осі 𝑂𝑂𝑥𝑥

Ланцюжок перетворень:

𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑥𝑥 → 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 2𝑥𝑥 → 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 2|𝑥𝑥| → 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 (2|𝑥𝑥 − 2|) →

→ 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 �2�|𝑥𝑥| − 2�� → 𝑦𝑦 = 3𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 �2�|𝑥𝑥| − 2��.

13

Будуємо графік.

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

ПРИКЛАД 6. Побудуйте графік функції 𝑦𝑦 = �𝑡𝑡𝑡𝑡 �2𝑥𝑥 − 𝜋𝜋3� + 1�.

Робимо нашу таблицю.

∗ 2аргумент ↑

Стиск графіка в 2 рази до осі 𝑂𝑂𝑦𝑦

−𝜋𝜋3 Зсув графіка на −𝜋𝜋

3праворуч

𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥 Стартова функція

+1 функція ↓ Зсув графіка на 1 вгору

|𝑓𝑓(𝑥𝑥)| функція ↓ Графік, який вище осі 𝑂𝑂𝑥𝑥, і симетрія тієї частини, що нижче відносно осі 𝑂𝑂𝑥𝑥

14

Ланцюжок перетворень:

𝑦𝑦 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥 → 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝑥𝑥 −𝜋𝜋3� → 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 �2𝑥𝑥 −

𝜋𝜋3� → 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 �2𝑥𝑥 −

𝜋𝜋3� + 1 →

→ 𝑦𝑦 = �𝑡𝑡𝑡𝑡 �2𝑥𝑥 −𝜋𝜋3� + 1�

Будуємо графік.

Рис. 12 Рис. 13

𝑦𝑦 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 �2𝑥𝑥 −𝜋𝜋3�

+ 1

𝒚𝒚 = 𝒕𝒕𝒕𝒕 �𝟐𝟐𝟐𝟐 −𝝅𝝅𝟑𝟑�

Рис. 14

Рис. 15

15

§ 6. Побудова графіка дробово-лінійної функції

Означення. Дробово-лінійною функцією називається функція виду 𝑦𝑦 =𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑑𝑑

,

де 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐,𝑑𝑑 – сталі, 𝑐𝑐 ≠ 0, 𝑎𝑎𝑑𝑑 ≠ 𝑏𝑏𝑐𝑐.

Зауважимо, що 𝐷𝐷(𝑦𝑦):𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 ∖ �−𝑑𝑑𝑐𝑐�.

Для побудови графіка дробово-лінійної функції спростимо її праву частину:

𝑦𝑦 =𝑎𝑎𝑐𝑐�𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎𝑎 �

𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑑𝑑=

𝑎𝑎𝑐𝑐�𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎𝑎 − 𝑑𝑑�

𝑐𝑐𝑥𝑥+𝑑𝑑=

𝑎𝑎𝑐𝑐

+𝑏𝑏𝑐𝑐 − 𝑎𝑎𝑎𝑎

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑑𝑑

=𝑏𝑏𝑐𝑐 − 𝑎𝑎𝑎𝑎

𝑐𝑐2

𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑐𝑐+𝑎𝑎𝑐𝑐.

Позначимо для зручності 𝑘𝑘 = 𝑏𝑏𝑐𝑐−𝑎𝑎𝑑𝑑𝑐𝑐2

,𝑚𝑚 = 𝑑𝑑𝑐𝑐

,𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑐𝑐.

Отримали функцію виду 𝑦𝑦 =𝑘𝑘

𝑥𝑥 + 𝑚𝑚+ 𝑛𝑛. Отже, графіком дробово-лінійної

функції 𝑦𝑦 =𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑑𝑑

є гіпербола з центром у точці А�− 𝑑𝑑𝑐𝑐

; 𝑎𝑎𝑐𝑐�, де 𝑥𝑥 = −

𝑑𝑑𝑐𝑐

та 𝑦𝑦 =𝑎𝑎𝑐𝑐

–

відповідно вертикальна та горизонтальна асимптоти.

ПРИКЛАД 1. Побудувати

графік функції 𝑦𝑦 =5𝑥𝑥 + 64𝑥𝑥 + 3

.

Графіком заданої функції є гіпербола з центром у точці

𝐴𝐴 �− 34 ; 5

4� (рис. 16).

Рис. 16

16

§ 7. Побудова графіків функцій, які є сумою елементарних функцій 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝟐𝟐) + 𝒕𝒕(𝟐𝟐)

Для побудови таких графіків доцільно використовувати метод додавання графіків. Він полягає у графічному додаванні значень функцій 𝑓𝑓(𝑥𝑥) і 𝑡𝑡(𝑥𝑥) для того самого значення аргументу.

Спочатку потрібно побудувати графіки функцій 𝑓𝑓(𝑥𝑥) і 𝑡𝑡(𝑥𝑥), потім для конкретного значення 𝑥𝑥0 додати відповідні ординати точок графіків цих функцій. Таким чином, дістанемо деяке число 𝑦𝑦0. Шуканий графік складається з усіх точок (𝑥𝑥0;𝑦𝑦0), де 𝑦𝑦0 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) + 𝑡𝑡(𝑥𝑥0).

Обов’язково треба обчислювати значення функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑡𝑡(𝑥𝑥) у характерних точках графіків функцій 𝑓𝑓(𝑥𝑥) і 𝑡𝑡(𝑥𝑥): точках перетину з осями координат, точках максимуму та мінімуму.

Зауважимо, що в цей спосіб не варто будувати графіки виду

𝑦𝑦 = 𝑎𝑎1𝑥𝑥2𝑘𝑘 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥2𝑘𝑘−1 + ⋯+ 𝑎𝑎2𝑘𝑘+1,

де 𝑎𝑎2,𝑎𝑎3 ,…, 𝑎𝑎2𝑘𝑘+1 – будь-які числа, 𝑎𝑎1 ≠ 0, оскільки неможливо цим методом визначити максимуми і мінімуми цієї функції.

ПРИКЛАД 1. Побудувати графік функції 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥3 − 0,5𝑥𝑥 + 1.

Рис. 17

17

Побудуємо графіки функцій 𝑦𝑦1 = 2𝑥𝑥3 та 𝑦𝑦2 = −0,5𝑥𝑥 + 1 (рис. 17). Знайдемо відповідні значення функцій 𝑦𝑦1 і 𝑦𝑦2 в точках їх перетину з осями, точці перегину функції 𝑦𝑦1 = 2𝑥𝑥3, а також у деяких додаткових точках, необхідних для побудови основного графіка заданої функції 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥3 − 0,5𝑥𝑥 + 1:

𝑦𝑦1(0) = 2 ∙ 03 = 0 𝑦𝑦2(0) = −0,5 ∙ 0 + 1 = 1 ⇒ 𝑦𝑦(0) = 0 + 1 = 1;

𝑦𝑦1(2) = 2 ∙ 23 = 16 𝑦𝑦2(2) = −0,5 ∙ 2 + 1 = 0 ⇒ 𝑦𝑦(2) = 16 + 0 = 16;

𝑦𝑦1(1) = 2 ∙ 13 = 2 𝑦𝑦2(1) = −0,5 ∙ 1 + 1 = 0,5 ⇒ 𝑦𝑦(1) = 2 + 0,5 = 2,5;

𝑦𝑦1(−1) = 2 ∙ (−1)3 = −2 𝑦𝑦2(−1) = −0,5 ∙ (−1) + 1 = 1,5 ⇒ 𝑦𝑦(−1) = −2 + 1,5 = −0,5.

Наносимо на координатну площину отримані точки та з’єднуємо їх. Ескіз графіка функції 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥3 − 0,5𝑥𝑥 + 1 зображено на рис. 17.

ПРИКЛАД 2. Побудувати графік 𝑦𝑦 = 3√𝑥𝑥23 − 2𝑥𝑥.

Побудуємо графіки функцій 𝑦𝑦1 = 3√𝑥𝑥23 та 𝑦𝑦2 = −2𝑥𝑥 (рис. 18). Оскільки графіки функцій 𝑦𝑦1 та 𝑦𝑦2 не мають максимумів і мінімумів, а їх спільною точкою є початок координат, для побудови графіка функції 𝑦𝑦 = 3√𝑥𝑥23 − 2𝑥𝑥 використаємо значення заданої функції в точці 0, нулі функції, а також значення 𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦2 у додаткових точках, обираючи аргументи праворуч і ліворуч від нулів функції:

3�𝑥𝑥23 − 2𝑥𝑥 = 0;→ 3�𝑥𝑥23 = 2𝑥𝑥;→ �3�𝑥𝑥23 �3

= (2𝑥𝑥)3;→ 27𝑥𝑥2 = 8𝑥𝑥3;

→ 8𝑥𝑥3 − 27𝑥𝑥2 = 0;→ 𝑥𝑥2(8𝑥𝑥 − 27) = 0;→ �𝑥𝑥 = 0

𝑥𝑥 = 338

𝑦𝑦1 �18� =

34

𝑦𝑦2 �18� = −

14

⟹ 𝑦𝑦 �18�

=12 ;

𝑦𝑦1 �−18� =

34

𝑦𝑦2 �−18� =

14

⟹ 𝑦𝑦 �−18� = 1;

𝑦𝑦1(1) = 3 𝑦𝑦2(1) = −2 ⟹ 𝑦𝑦(1) = 1;

18

𝑦𝑦1(−1) = 3𝑦𝑦2(−1) = 2 ⟹ 𝑦𝑦(1) = 5;

𝑦𝑦1(8) = 12 𝑦𝑦2(8) = −16 ⇒ 𝑦𝑦(8) = −4;

𝑦𝑦1(−8) = 12 𝑦𝑦2(−8) = 16 ⇒ 𝑦𝑦(8) = 28.

Рис. 18

ПРИКЛАД 3. Побудувати графік функції 𝑦𝑦 = |𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥| + |𝑥𝑥|.

Побудуємо графіки функцій 𝑦𝑦1 = |𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥| та 𝑦𝑦2 = |𝑥𝑥| (рис. 19). Оскільки функція 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥 періодична, максимумами функції 𝑦𝑦1 = |𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥| будуть точки виду 𝜋𝜋2

+ 𝜋𝜋𝑛𝑛, 𝑛𝑛 𝜖𝜖 𝑍𝑍, а нулями функції – множина точок 𝜋𝜋𝑛𝑛, 𝑛𝑛 𝜖𝜖 𝑍𝑍. Проте, функція 𝑦𝑦2 = |𝑥𝑥| –неперіодична. Тому додамо до декількох максимальних значень та нулів функції 𝑦𝑦1 = |𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥| відповідні значення 𝑦𝑦2 = |𝑥𝑥|.

𝑦𝑦1(0) = 0𝑦𝑦2(0) = 0 ⟹ 𝑦𝑦(0) = 0;

𝑦𝑦1 �𝜋𝜋2�

= 1

𝑦𝑦2 �𝜋𝜋2� =

𝜋𝜋2

⟹ 𝑦𝑦 �𝜋𝜋2�

=𝜋𝜋2 + 1;

𝑦𝑦1 �−𝜋𝜋2� = 1

𝑦𝑦2 �−𝜋𝜋2� =

𝜋𝜋2

⟹ 𝑦𝑦 �𝜋𝜋2�

=𝜋𝜋2 + 1;

19

𝑦𝑦1 �3𝜋𝜋2 � = 1

𝑦𝑦2 �3𝜋𝜋2 � =

3𝜋𝜋2

⇒ 𝑦𝑦 �3𝜋𝜋2 � =

3𝜋𝜋2 + 1;

𝑦𝑦1 �−3π2 � = 1

𝑦𝑦2 �−3π2 � = 3π

2

⇒ 𝑦𝑦 �− 3π2 � = 3π

2 + 1;

𝑦𝑦1(𝜋𝜋) = 0𝑦𝑦2(𝜋𝜋) = 𝜋𝜋 ⟹ 𝑦𝑦(0) = 𝜋𝜋;

𝑦𝑦1(−𝜋𝜋) = 0𝑦𝑦2(−𝜋𝜋) = 𝜋𝜋 ⟹ 𝑦𝑦(−𝜋𝜋) = 𝜋𝜋;

𝑦𝑦1(2𝜋𝜋) = 0 𝑦𝑦2(2𝜋𝜋) = 2𝜋𝜋 ⟹ 𝑦𝑦(2𝜋𝜋) = 2𝜋𝜋;

𝑦𝑦1(−2𝜋𝜋) = 0 𝑦𝑦2(−2𝜋𝜋) = 2𝜋𝜋 ⟹ 𝑦𝑦(0) = 2𝜋𝜋.

Для перевірки опуклості функції достатньо на одному з проміжків, наприклад

(0;𝜋𝜋), розглянути ще пару точок ліворуч і праворуч від точки 𝜋𝜋2.

Графік заданої функції зображено на рис. 19.

Рис. 19

20

§ 8. Графіки функцій, що задані алгебраїчною сумою модулів лінійних виразів

Графіки функцій, що задані алгебраїчною сумою модулів лінійних виразів, будуємо, спираючись на твердження, що алгебраїчна сума модулів 𝑛𝑛 лінійних виразів є кусково-лінійною функцією, графік якої складається з 𝑛𝑛 + 1 прямолінійного відрізка. Тоді графік можна побудувати за 𝑛𝑛 + 2 точками, 𝑛𝑛 з яких є нулями внутрішньо-модульних виразів, а ще дві – довільна точка з абсцисою, яка менша (більша) від меншого (більшого) з цих коренів, відповідно.

У такий спосіб можна будувати графіки функцій, що задані алгебраїчною сумою модулів лінійних виразів, не розкриваючи модулі, а це особливо важливо, коли модулів декілька.

ПРИКЛАД 1. Побудуйте графік функції 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥 − 2|.

Розв’язання. Обчислимо значення функції в точках 2, 0 та 4:

𝑓𝑓(2) = |2 − 2| = 0;

𝑓𝑓(0) = |0 − 2| = 2;

𝑓𝑓(4) = |4 − 2| = 2.

Тепер будуємо графік (рис. 20).

Рис. 20

ПРИКЛАД 2. Побудуйте графік функції 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥 − 2| + |𝑥𝑥 + 1|.

Розв’язання. Обчислимо значення функції в точках –2, –1, 2 та 3:

𝑓𝑓(−2) = |−2 − 2| + |−2 + 1| = 5;

𝑓𝑓(−1) = |−1 − 2| + | − 1 + 1| = 3;

𝑓𝑓(2) = |2 − 2| + |2 + 1| = 3;

𝑓𝑓(3) = |3 − 2| + |3 + 1| = 5.

Будуємо графік (рис. 21).

21

Рис. 21

ПРИКЛАД 3. Побудуйте графік функції 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥 − 2| − |𝑥𝑥 + 1|.

Розв’язання. Обчислимо значення функції в точках –2, –1, 2 та 3:

𝑓𝑓(−2) = |−2 − 2| − |−2 + 1| = 3;

𝑓𝑓(−1) = |−1 − 2| − | − 1 + 1| = 3;

𝑓𝑓(2) = |2 − 2| − |2 + 1| = −3;

𝑓𝑓(3) = |3 − 2| − |3 + 1| = −3.

Графік цієї функції матиме вигляд (рис. 22):

Рис. 22

22

ПРИКЛАД 4. Побудуйте графік функції 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2|𝑥𝑥| + |𝑥𝑥 − 2| − |𝑥𝑥 + 1|.

Розв’язання. Обчислимо значення функції в точках –2, –1, 0, 2 та 3:

𝑓𝑓(−2) = 2 ∙ |−2| + |−2 − 2| − |−2 + 1| = 7;

𝑓𝑓(−1) = 2 ∙ |−1| + |−1 − 2| − | − 1 + 1| = 5;

𝑓𝑓(0) = 2 ∙ |0| + |0 − 2| − |0 + 1| = 1;

𝑓𝑓(2) = 2 ∙ |2| + |2 − 2| − |2 + 1| = 3;

𝑓𝑓(3) = 2 ∙ |3| + |3 − 2| − |3 + 1| = 3.

Графік цієї функції матиме вигляд:

Рис. 23

§ 9. Розв’язання рівнянь з параметрами графічним способом

Розв’язати рівняння з параметром виду 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑎𝑎) = 𝑡𝑡(𝑥𝑥, 𝑎𝑎) означає для кожного значення параметра 𝑎𝑎 з’ясувати, чи має рівняння корені; якщо має, знайти їх.

Рівняння з параметром доцільно розв’язувати графічним способом, якщо його можна звести до виду 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎. Для цього знаходимо область допустимих значень невідомого параметра, вводимо дві функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) i 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 та будуємо їх графіки в одній координатній площині. Рівняння 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 має стільки коренів, скільки горизонтальна пряма 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 перетинає графік функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Пряму 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 зміщуємо вздовж осі 𝑂𝑂𝑦𝑦 паралельно до осі 𝑂𝑂𝑥𝑥. Якщо пряма і графік функції

23

перетинаються, знаходимо абсциси точок перетину візуально, якщо це можливо (доцільно виконати перевірку підстановкою), або розв’язавши рівняння 𝑎𝑎 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)відносно 𝑥𝑥. Якщо пряма і графік функції не перетинаються, то за такого значення параметра рівняння коренів не має.

ПРИКЛАД 1. Розв’язати рівняння 3𝑥𝑥4 = 𝑎𝑎 + 2.

Розв’язання. Область визначення заданого рівняння – множина дійсних чисел. Перепишемо це рівняння у вигляді 3𝑥𝑥4 − 2 = 𝑎𝑎. Застосуємо графічний метод: в одній координатній площині будуємо графіки функцій 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥4 − 2 та 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 (рис. 24)

Рис. 24

Проведемо дослідження.

Якщо 𝑎𝑎 < −2, то розв’язків немає (пряма 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 не має спільних точок із параболою 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥4 − 2).

Якщо 𝑎𝑎 = −2, то рівняння має один корінь 𝑥𝑥 = 1 (пряма 𝑦𝑦 = −2 дотикається до параболи 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥4 − 2 у точці (0; –2)).

Якщо 𝑎𝑎 > −2, то рівняння має два корені 𝑥𝑥1 i 𝑥𝑥2 (пряма 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 перетинає параболу 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥4 − 2 у двох точках).

Відповідь: якщо 𝑎𝑎 < −2, то коренів немає; якщо 𝑎𝑎 = −2, то 𝑥𝑥 = 0, якщо

�𝑎𝑎+23

4.

ПРИКЛАД 2. Розв’язати рівняння √2𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 − 2.

Розв’язання.

√2𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 − 2 �2𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 = (𝑥𝑥 − 2)2𝑥𝑥 − 2 ≥ 0

,

24

�2𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 ≥ 2

, �𝑎𝑎 = 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 ≥ 2

.

Будуємо в одній координатній площині графіки функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 4 для 𝑥𝑥 ≥ 2 та 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 (рис. 25).

Рис. 25

Розв’яжемо рівняння 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 4 − 𝑎𝑎 = 0; 𝑥𝑥1,2 = 3 ± √𝑎𝑎 + 5.

Відповідь: Якщо 𝑎𝑎 < −5, то коренів немає; якщо 𝑎𝑎 = −5, то 𝑥𝑥 = 3;якщо −5 < 𝑎𝑎 ≤ −4, то 𝑥𝑥1,2 = 3 ± √𝑎𝑎 + 5; якщо 𝑎𝑎 > −4, то 𝑥𝑥 = 3 + √𝑎𝑎 + 5.

ПРИКЛАД 3 (ЛДУ). З яким значенням параметра 𝑚𝑚 рівняння |𝑥𝑥(|𝑥𝑥| − 5)| = 𝑚𝑚 має чотири корені?

Дослідження проведемо за допомогою графіків функцій 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥(|𝑥𝑥| − 5)| i 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚, побудованих в одній координатній площині (рис. 26).

25

Рис. 26

Щоб побудувати графік функції 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥(|𝑥𝑥| − 5)|, треба розкрити знак модуля. Для цього розглянемо два випадки:

якщо 𝑥𝑥 ≥ 0,𝑦𝑦 = |𝑥𝑥(|𝑥𝑥|− 5)| ↔ 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥|;

якщо 𝑥𝑥 < 0, 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥(|𝑥𝑥|− 5)| ↔ 𝑦𝑦 = |−𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥| = |𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥|.

В одній координатній площині будуємо графіки функцій ↔ 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥|,якщо 𝑥𝑥 ≥ 0 і 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥|, якщо 𝑥𝑥 < 0.

Оскільки пряма 𝑦𝑦 = 6,25 перетинає графік функції 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥(|𝑥𝑥| − 5)| чотири рази, то якщо 𝑚𝑚 = 6,25, то рівняння |𝑥𝑥(|𝑥𝑥| − 5)| = 𝑚𝑚 має чотири корені.

Відповідь: 𝑚𝑚 = 6,25.

ПРИКЛАД 4 (ЛДУ). За якого найменшого натурального значення параметра 𝑚𝑚рівняння 𝑥𝑥² − |8𝑥𝑥 − 12| = 𝑚𝑚 має два корені?

Розв’язання. Розглянемо функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥² − |8𝑥𝑥 − 12| i 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚 та побудуємо їх в одній системі координат (рис. 27).

Для побудови графіка 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − |8𝑥𝑥 − 12|, перетворимо функцію таким чином:

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − |8𝑥𝑥 − 12| ↔ 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 4|2𝑥𝑥 − 3| ↔

↔ 𝑦𝑦 = �𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 12, якщо 𝑥𝑥 ≥ 1,5,𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 − 12, якщо 𝑥𝑥 < 1,5.

Будуємо графіки.

Проводимо дослідження:

якщо 𝑚𝑚 < −28, то коренів немає;

якщо 𝑚𝑚 = −28, то один корінь;

якщо −28 < 𝑚𝑚 < −4 i 𝑚𝑚 > 2,25, то два корені;

26

якщо 𝑚𝑚 = −4 i 𝑚𝑚 = 2,25, то три корені;

якщо −4 < 𝑚𝑚 < 2,25, то чотири корені.

Отже, рівняння має два корені, якщо 𝑚𝑚 𝜖𝜖 (−28;−4) ∪ (2,25; +∞), а найменше натуральне значення параметра 𝑚𝑚 – це число 3.

Відповідь: 𝑚𝑚 =3.

Рис. 27

ПРИКЛАД 5 (КПІ). Знайти всі значення параметра 𝑎𝑎, з кожним з яких рівняння |𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6| = 𝑎𝑎 має два корені.

Розв’язання. Будуємо графіки функцій 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6| i 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 та виконуємо дослідження. На рис. 28 видно, що рівняння має два корені, якщо 𝑎𝑎 = 0 i 𝑎𝑎 > 0,25.

27

Рис. 28

Відповідь: {0} ∪ (0,25; +∞).

ПРИКЛАД 6 (КПІ). Знайти всі значення параметра 𝑎𝑎, з кожним з яких рівняння|𝑥𝑥 + 2| + |𝑥𝑥 − 3| = 𝑎𝑎 має безліч коренів.

Будуємо графіки функцій 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥 + 2| + |𝑥𝑥 − 3| i y = 𝑎𝑎. Проведемо графічне дослідження (рис.29).

Рис. 29

На графіках видно, що рівняння має коренів 𝑥𝑥 𝜖𝜖 [−2; 3], якщо 𝑎𝑎 = 5.

Відповідь: 𝑎𝑎 = 5.

§ 10. Розкриття модулю під час побудови графіків тригонометричних та обернених тригонометричних функцій

Пропонуємо розглянути побудову графіків тригонометричних та обернених тригонометричних функцій, які містять модуль і які перетвореннями побудувати складно. До таких графіків належать, насамперед, функції, що є сумою, різницею, часткою або добутком функцій. Зауважимо, що проміжки знакосталості підмодульних функцій зручно розглядати на координатній осі, на якій планується побудова заданої функції.

28

Наведемо приклади побудови деяких із таких графіків.

ПРИКЛАД 1. Побудувати графік функції 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥 + |𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥|.

Зобразимо на координатній осі графік функції 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥 для визначення проміжків знакосталості функції:

Рис. 30

Маємо: 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥 + |𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥| ↔ �� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥 ≥ 0𝑦𝑦 = 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥

�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥 < 0𝑦𝑦 = 0

;

Виконуємо побудову графіка, враховуючи проміжки знакосталості:

Рис. 31

ПРИКЛАД 2. Побудувати графік функції 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥|

.

Маємо: 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥|

↔ ��𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥 > 0

𝑦𝑦 = 1�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 0𝑦𝑦 = −1

.

Рис. 32

29

ПРИКЛАД 3. Побудувати графік функції 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥 |𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥|.

Маємо: 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥 |𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥| ↔ ��𝑡𝑡𝑡𝑡𝑥𝑥 ≥ 0𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥

�𝑡𝑡𝑡𝑡𝑥𝑥 < 0

𝑦𝑦 = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥.

Рис. 33

ПРИКЛАД 4. Побудувати графік функції 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟| 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑥𝑥|.

Область визначення функції: 𝑥𝑥 𝜖𝜖 𝑅𝑅, область значення: 𝑦𝑦 𝜖𝜖 �− 𝜋𝜋2

; 𝜋𝜋2�.

Маємо: 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 | 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑥𝑥| ↔ �� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥 ≥ 0𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥)

� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥 < 0𝑦𝑦 = −𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥)

↔ ��𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥 ≥ 0𝑦𝑦 = 𝑥𝑥

�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥 < 0𝑦𝑦 = 𝜋𝜋 − 𝑥𝑥

.

Рис. 34

ПРИКЛАД 5. Побудувати графік функції 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 |𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑥𝑥|.

Область визначення функції: 𝑥𝑥 𝜖𝜖 [−1; 1], область значення: 𝑦𝑦 𝜖𝜖 [−1; 1].

Маємо: 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 |𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑥𝑥| ↔ �� 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥 ≥ 0𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 (𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥)

� 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥 < 0𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛(−𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥)

↔ ��𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥 ≥ 0

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥�𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥 < 0

𝑦𝑦 = −𝑥𝑥.

30

Рис. 35

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

Побудуйте графіки функцій:

1. 𝑦𝑦 = 𝜋𝜋 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(|𝑥𝑥 − 1|) ;

2. 𝑦𝑦 = 2 �𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 �|𝑥𝑥| − 𝜋𝜋3� − 1�;

3. 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 25𝑥𝑥 + 4 ;

4. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥2 + 3;

5. 𝑦𝑦 = −√𝑥𝑥4 + 25 − 𝑥𝑥;6. 𝑦𝑦 = −|𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥| + |𝑥𝑥| + 1;7. 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥 + 3| − 2|𝑥𝑥 + 1| + |𝑥𝑥 − 2|;8. 𝑦𝑦 = √𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 4𝑥𝑥 − 1;9. 𝑦𝑦 = 2𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑥𝑥 − |𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥|𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥;10. 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 |𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥|;11. Знайдіть усі значення параметра a, з кожним з яких рівняння

�|𝑥𝑥| − 1� = a має лише три корені.12. Знайдіть найменше значення параметра a, з яким рівняння

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥 + a = |𝑥𝑥 + 3| − |𝑥𝑥 + 1| має безліч коренів.

31

Для нотаток

Формат 60х84/16. Друк цифровий.Папір офсетний 80 г/м2.