انتقال حرارت
DESCRIPTION
ضقTRANSCRIPT
����� ��� � �� ���
����� ��� ����
������ ����� �����
����� ��� ��� �� � ��
!"�# ����� � �$ ����%
�& '�$'�# ���
(�)*+��,-./
0�� 1�����
2
(�3�� :5�6� 7'��% 0�6)�� �+ ��
�*��8�� (�3�� :An Introduction to Heat Transfer
��*�3� :�����!"�# �&'�$'�# ��� � ����% � �$
������)�9� '��)�� :�'�� : (�)*+��,-./
0�� 1�����
;
�����
�������
�� �� :�����
< =��>
< =?� >
< 1+��
��� �� :������ ����� �����
< 5�'3? (3���
< �@+ �� � A� =��> ��*���B� C9 �@�
< � A� �@+ � =��> ��*���B� C9 �@�
< C9 �@���'��% C �D �+ �@+ �� =��> ��*���B�
< (��$ $� �@+�� � ��'��% C �D �+ �@+ �� =��> ��*���B� C9 �@�
< �'�3� =�$3E��# �� 5�F �D ��>
< 5939 $� ���@G 7'��% 0�6)�� ���H �>
< ��3 � 7'��% 0�6)�� ���H
< I��� ����J+ =��KH
< ��'��% C �D �+ �L3� C��3)�� ' 7'��% 0�6)����M�
< 5)?�� N�)*� O3�� ' 7'��% 0�6)��
< ��P)� Q�6� �+ ��L
< ��L O3�� ���+ ��3 � 7'��% 0�6)�� ���H R��@� '�
��� �� : �!"�� ����� �����
< N�' ����J� ��>)�>��P)� �$���& N�'(
< N�' � � ��>
< �J� UV)M� N�'
���#$ �� :%���� ����� �����&��'( � �������
< % 7F �@�!#�
< � ��? =�?�" �� 5)G��� N�'
< 5����D C)G��� !)*��
< �+ 5 �� !*& ' �'W� =��> =����
< X��Y+�& Z�@� ' ��# � 5��3)�� [5JB\ ' �@+ �� ��'W� =��>
7
< �+ 5JB\ =����
< �+ C��3)�� =����
< ��#
< �@+ �D ]�*&� ' �'W� =��>
< 5��� �+ 03^ 5+ �� =����
< �@+� 5+ �@��...
< ��3)��R�@� � �J� 03^ 5+ 5
< '���L�� 7'��% 0�6)�� C9 �@� � � �%
< `��\ N�'
< �� H N�'
)*+ �� : ,��*"�- ����� �����) /���-0�-��(
< 7���& ������ �+ 5*��6�
< N�' ����J� ��>
< 5JB\ 03^ ' 7'��% 0�6)�� ���H � =��� �$�� C�F 7����P� C*��6�
< $93��' 5+��� � �$�� C�F 7F �@�<('393#
< 5��> ��' $� (���& a�)K� ��>
< 7�E��> �+�Y� C�+�'
)�2 �� :�3�3 �� ,��*"�- ����� ����� ��)�40�� /���-(
< � Y% b�3)� ���
< C)?�� 5@�3� ]�'c (���& ' �$�� b���G
< 7'��% 0�6)�� ���H R��@� ���+ �����J� � �+�Y� b+��'
< 5�F (���& 5)?�� 5@�3� V��# ��
< F (���&5� 5939 ' 5@�3� 0�% ' �� =+�d �� U�\ ��>
< 5�F (���& 5939 ' 5@�3� 0�% ' �� ��% '�G ��>'=+�d ��
< 5939 ' 5)?�� 5@�3� N3�P� (���& U�\ ��>
)��� �� :��"�5 ����� �����
< � ���H
< � ���H R�+ b+��'
< ���� ]�*&� ' ��+�� ��'��% 0�6)��
6-���
e
�� �����
H�% ��f&5\VM � 7'��% 0�6)�� g' h%�� $� ��,�� ���Y��� b�3� 5# G�+i�'� � 5+
� #�&'�$'�# g��� ���c ��>�jL '�� > � a��G �)@�\ ��8��� ' R���G =�� .
�� f�f� (��3Y��� �� � g' �9��� �+ �)@��� X���Gc '3k�� 5+ ��f& R�� �9��� $� ���3�
�*�3� ��f& $� ;��)&���� � � �B)�� gV# ' . �� �E��� 7�>�)G� =�� R� � ��f& R�� '
(�����3M ���� �� � !���3Y��� � # �+ 5# G�+ 5)G� 3&� ��3�B������3M `�Jl� �G > .
� �3& !��% �*��L !��M '�#�� � ��� m���+ ���c 7� %$ $� �Y��� ' =�� ]$F 5# '
Q & �'�� ��� �H�% ��f& �'�c!�� � ���� � �#.
b�3� ��f& R�� n����8��E� f�� (���� $� 5# �G ]�Y�� �B��G'3L 5)G�? !��M '�#�f �'�
�� ��.
!"�# ����� ����% � �$ –�&'�$'�# ���
(����< (�)*+��,-./
p
��� ��� :�����
q�3�� r���f���s�7'��% 0�6)�� Modes or Methods of Heat Transfer
N�' �� ]f����� 5� b�3� 7'��% 0�6)�� ���V# ��f�? �k� $� :,< X)��>t< X��Y+�&)=?� > (
-<�� ]�Y�� ��+�� 3G) ��G,���+ �' (.
��G ' t1�c �J� 5+ ��D �J� $� ;c 0�6)�� �+ 7'��% 0�6)�� ��39��c 5)G�W� 1�� � 5+ �$3�
�G =�� .�� 5# 5�38�� >5)?�� ���+ a�)K� N�' 5� $� ;c 0�6)�� ���+ ��?� �� �� �>� ��:
0�� =9�% ' ) �'� G �+ 5#, (�G uK�� 5+ Q�� $� b�J� 5+ �8)*+�� 5�3� v�> (�+ ;c =��
�� �6)�� �k� '3� �J� 3G .�� �@�@�� 7'��% 0�6)�� 5+��� N�' R�� G�+.
]� =9�% ' ) �'� Gt (�+ ��?� 5)� 1�c �J� 5+ Q�� $� b�J� I��^ $� �' ;c !> � # �$3�
�� �6)�� ��# .�� �)��> 7'��% 0�6)�� 5+��� N�' R�� G�+.
]3� =9�% ' ) �'� G- (1�c �J� 5+ Q�� $� �' ;c ��� �� �6)�� �$3� �� � . N�' R��
�� X��Y+�& 7'��% 0�6)�� ��� > G�+.
728. N�' �6)�� a�)K� ��>7'��% 0
w
72:. ;c 0�6)�� �+ 7'��% 0�6)�� �$�� 5�G] ,y[
& %���� (Conduction)
b�J� �� � 7���& ' ���� 0�6)�� 5+ =��> b�J� R�� ' �� UV)M� �d� ' R#�� 0��� ��> �>
]�Y�� �� ���. �� $� ���� [b�J� ��L3����#�� X��Y+�& �d� ' 5# =�� R�� �+ Z�? ��# '3�+
5�6�5�6� 5+ � � �6)�� �8� �� ����3� b�3� ���� 0�6)�� 5��+ 3G���� �? �l� =#�%
03�93� ]�Y�� ��& �9�)*��# 5�G N�@�'� �� � �$�� ��> 3G. 7'��% 0�6)�� ���V# �)# '
�J !�*6� � A� ��{ � � A� � �@+ �D [�@+ � [�@+ �� ���)9�% 5+ 7'��% 0�6)�� h
�G ��+ �1K+ ' 5# =� '3� R�� ' �)��+ ��c ��> �# !�>�3M hJ+ .
�� 5)G3� ��$ 7'3l+ �@+ �� =9�% ' �)��> 7'��% 0�6)�� �+ !|�% 59 �@� 3G) 5�'3? (3���(:
),(
x
Tkq
∂∂
−=
[}3? 5�+�' ' q ��'��% '�G ]W/m2 [ [T 7'��% 5& ' ]K[ [x
T
∂
∂ �� (�� ���]K/m [ �k
�)��> 7'��% 0�6)�� ���H]W/mK [�� G�+ . '�6�k 0�6)�� (c ' 5# '� ���J� 5+ �8)*+
�� ]�Y�� �)��> 7'��% '�6� �f�? ��> b�J� ' [ ���kb�J� $� �)�'f+ �f�? ��{ ��>
~
�� G�+.(��)�9� b�3� 7'��% 0�6)�� C�H�?�+ 5# =�� '��$�� �$c ��>.> �3> ���� �>$�� R���
R���L =��> ���H ��'� ��� 7���& 5+ =*��� �G�+ .�=�V 5�+�' ' �B�� ), ( ��@� R�+
� 1��f?� =�& ' 5# =��K 7�l)x�� 1>�# �� '�6� �� (�� ��� �8� 7'�� 5+ [+��x
T
∂
∂
�9� =�� �B\ $� �)�D3#q�� 5��J� =�� ��.
72;.�'�3� $� 7'��% 0�6)��
(� )M�� �&'�M ��>'�3� ' 7'��% 0�6)�� 0��� 5� & $� �> �+'�# ' ���V# � 03 @� ��>
�� =��> G�+ . '�3� �&'�M '�& ��� � A� b���G ' ��# Z�? V��T1 �'�& ��� �
�&'�MT2G�+ .
72< .5�F �D �'�3� $� 7'��% 0�6)��
T1�&'�M `�� ��� T2 �&'�M `�� ���
m��
�&c
�$�� �3� �'�#
T1 T2 R1 R2 R3
�
�� �' 5�'3? (3��� =G3� ��$ 7'3l+ (�3�:
)t( tR
Tq
x
Tkq
∆=⇒
∂∂
−=
�� 5k%V� �� 5# 3G 5�G 5)�*��)�9� (���& �+ �' }3? 7'��% 0�6)�� (���& (�3� 5+ 3 � �$��
5# ����� R��q [5)�*��)�9� (���&'�6� �+ k
x∆ � ����)�9� =���6� �+ T∆ ��*��)L UV)M� �+ �'
3 � �$�� 5�G ����)�9� .�� ��G I+��� ��� '�� �� ����� R�� 5+ ���+ [ � ����� (�3�
=G� !�>�3M �G ����� '��:
)-( Ak
x
Ak
x
Ak
x
TT
R
Tq
3
3
2
2
1
1
21
∆+
∆+
∆−
=∆
=∑
[}3? C�+�' ' A0 �� `�� � � 7'��% 3�� 7'��% 0�6)�� =�& �+ G�+.
& %��=� (Convection)
0��� 5# '� 3&� ����$ =?� > �� X��Y+�&)Q��� �� $�� ( �� � =#�% ��& `�� �� '�3& '
5)G� 3&� �� UV)M� ��& '�& � 0��� R�+ � G�+. q3� � �+ 3M X��Y+�& 7'��% 0�6)��
��\�6� �$c � �'�&��� !�* 3G.
X��Y+�& r'�&�(Forced Convection): �3> (���& �+�6� ' !*& 5# ���8�> ) ��� �+
!*& 3M $� �) # �� �)��+ (�� '��� ���. [!*& � 0��� R�+ ��� UV)M� � �3> (���& �d� '
�� 7'3\ 0��� � !*& R�+ 7'��% 0�6)�� ���.��% 0�6)�� [7'��% 0�6)�� q3� R�� 5+ X��Y+�& 7'
5)B� �'�&� �� 3G . ��G ' -5�3 � � � (��� �'�&� 7'��% 0�6)�� $� �� 5# =�� �G��L ��>
=�> ���� Heat Sink������)�9� C���� �� R? b�3� �G �Y�� ��3> (���& �d� ' )5��L (
��L ��M �3> (���& Z�@� ' ��> �� �'�# �3G.
72>.��)�9� ]$�39 ( �# ��M R? $� � �B)�� �+ ����)�'�&� X��Y+�& $� �9���(
�
X��Y+�& �$c�� X@�^ (Natural or Free Convection) : ' !*& U��^� 0��� 5# ���8�>
�G '���G U��^� b�J� 0��� �+ 3M ��� UV)M� �d�) ]�� ]�*&� ' � R���L 5+ �� ]�*&� '
F�+ = � 5+ (�� c =?� > 7'��% 0�6)�� �' ��� �� 7'3\ �@�^ �� �$ . ��G ' /5�3 � ��
�G � � (��� �@�^ 7'��% 0�6)��$� �' ���+ �'�K+ $� � �B)�� �+ 0f�� ��3> 1����� 5# =��
�� (��� > .
72?. 5���3+ �3> 1����� 3� ���+ �'�K+ ��) �$c X��Y+�& $� �9���(
$� �9��� (�3�� 5+��� X��Y+�& ���V# �A�* �3� �+��+ ' =K� �'�3� ��' $� X��Y+�& 0�6)�� 5+ (
�# �'�G� �3> =M�3��� (���&
�
72@ .7'��% 0�6)��X��Y+�&
∗ �� =��> [N�' R��' 7'��% 0�6)�� ���| q��G Conduction ��*D �f9 0��� ���$ [=��
Z�? R#�� �'�3� 5+�� 5+ �� f� ���M R#�� 0��� ' ��& �'�& $� 7'��% 0�6)�� � 3G
�� �6)�� =��> 7'3l+ �'�3� 3G.
�� �'�3� 5+ �� f� R#�� C�F ���+ R���+��+ =G3� (�3�:
)/( 0=∂
∂−= y
y
Tkq
X��Y+�& 7'��% 0�6)�� ' R�3�� 1����� (3����� a��@� ��$ C�+�' 7'3l+ 3G:
)�( ( )∞−= TThAq wall
( )∞−= TThAq w
( �# ��Lh) X��Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H (� ��\� U�>� $� ��� � =�� ����J 0�6)�� h
�� ���H R�� ( '�c =�+ X��Y+�& 7'��% G�+ .0�6)�� ��L ���f�? ��'�+X��Y+�& 7'��% 5+
�� ]�Y�� �$�� C�F C�H�? � # ���G �>�3M ��Gc (c �+ !Y�L �l? ' 5# .
∞U�∞T
∞T
∞U
wT
���H 0��� X�'��% =��>
=��
X��Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H]W/m2K[
7'��% 0 �� `��]m2[
�
& A"�5(Radiation)
$� � �B)�� �+ ]�*&� C >3���� �*�^��P���)�9� R�3�# �B\ $� �)��+ ��� ' Q^�� ����� 3M $�
�� ��# . 7'��% 0�6)�� ����� 0�6)�� q3� R�� 5+ 1+���� 5)B� X��Y+�& 3G . 7'��% 0�6)�� =� >�
`�� ��� 5+ ��+�� '� �8)*+ !*& `�� q3� � !*& . R��' 5A�'� 1+���+ r� 5�6� ��f&
=�� �G. 5# ���� !*& � ���+ !>�+ b6? �� �'� ��'��% 0 �� =G3� (�3�:
)�( 43421)()( 21
42
41 TTAhTTAq rrad −=−= σ
}3? C�+�'[ (�B)�� (3���–R�f)93+ 5�+�' R�� ' '� ]�� σ (�B)�� =+�d �� R�f)93+ � G�+
�+��+ (c '�6�10-8W/m2K4*5.6677�� [G�+ hr 5�G r��+( �|�+ 7���J� 03��? ��>
7'��% 0�6)��G�+ X�M XH��' �k� $� 7���J� �� 3G X� a��@� =��> � XA�Y+�& . �l? '
' ���� ��{ ]�*&� 7'��% 0�6)�� 5��J� ���+ $��� '3� b+��' � ���� !*& 1+�� 5A�'� ��# =9�%
�G =��.
�
�� ��� : ! "��# ��� ��� ��
Conduction Heat Transfer
�+ (��3Y��� ( �# ��Gc �H�% �l? ��\� U>N�' 0�6)�� �+ !#�% 7F �@� ( '�c =�+ ��>
�� �@+ �� � �� '��*+ b���G ' 7F �@� R�� �% � 7'��% G�+.
$� 7'��% 0�6)�� �+ !#�% 7F �@��� 5)G3� ��$ 7'3l+ R�f�'�# 7�l)K� ' =��> I��^ �3G:
),( t
Tc
k
q
z
T
y
T
x
T
∂∂
=+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ρ
&2
2
2
2
2
2
59 �@� ),( X�M =9�% ' % '� X���J� �) $� � �B)�� �+�>��P)� r$���& N�'( �l? ' 5#
=?�� >�3M '��� hJ+ '3� ]3� . 3&3� f�� ��8� ����J� ���G�' 7F �@� R�� �% ���+ 5)9�
�� �'� ' 5# G�+ � ��>J�� '��� hJ+ '3� ��� �� 7V�l N�' R�� 5� & $� ���� �� �> (�3�
3 � �'�G� ��$ '�3� 5+:
< ���> � Duhamel
< R��� Q+�� Green’s Function
< �gVLF �� Laplace Transform
< 0��8)�� ��� Integral Transform
7�l)K� ' X�� 59 �@� ), (�� 5)G3� ��$ ��G 5+ 3G:
)t( t
T
k
c
kqT
rr
T
rr
T
∂∂
=+∂
∂+
∂∂
+∂
∂ ρθ
&2
2
22
2 11
����� /���B Fourier’s Law
�� (�� ��� �+ !�6)*� ����� b�J� �� ' =��> ��'��% '�G (3��� R�� I+���� `�� 0 ��
��'��%) 7'��% 0 �� `�� �3� � ' �� (�� ���x
T
∂∂ ( '� :
)-(
∂
∂=⇒
∆
∆
mK
Wk
x
TkAq
Ax
Tqα
�
728.=+�d 7'��% 0�6)�� ���H �+ �@+ �� b�J� �� ' 7'��% 0�6)��
59 �@� ����� 5�$�3� �\� $� � �B)�� �+), (=9�% ' �' �� =�+ � �� ��> !�'�c.
& ,=C�� %���� �D������ �3��!� �!" E�
)/( dxx
qqqqq x
xxdxxx ∂
∂+=⇒= +
Q�6� `�� ( 3+ =+�d Z�? �+A=dx.dy
)�( 00)(2
2
=∂
∂⇒=
∂
∂−
∂
∂⇒
x
Tk
x
TkA
x) - ( �)/(
( 3+ =+�d Z�? �+k C�+�' $� ���89��8)�� �+ )�:(
)�( 1Cx
T=
∂
∂
)�( 21 CxCT +=
�� 5k%V� & ' �@+ �� ��� Q�$3� G�+ =+�d ��'��% =��> ���H ��� 5# 3G !*
3+ >�3M ��M.
& �3��!� �D������ %����,=C�� F�!" ��
q
k=constant
p�
dy
y
qqdx
x
qqqq
qqqq
y
y
x
xyx
dyydxxyx
∂
∂++
∂
∂+=+
+=+ ++
).( 0=∂
∂+
∂
∂⇒ y
yx qy
qdx
x
q
$� � �B)�� �+)- :(
)�( y
TkAqA
x
Tkq yyxx ∂
∂−=
∂
∂−= ,
=G� !�>�3M:
),y( yx AdxdyA =××= 1,1
( �# R����& �+)-([) .( � ),y (=G� !�>�3M:
),,( 0)()( =∂
∂−
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂dydx
y
Tk
ydxdy
x
Tk
x
��'��% =��> ���H ( 3+ =+�d Z�? �+:
),t( 02
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂⇒
y
T
x
T
& " G� %���� �D������ �3��!�!,5���� �=�$ �" F�
),-(
dxdyx
Tk
xdxdyq
dxx
qqdxdyqq
qdxdyqq
x
xx
dxxx
)(
1)(
∂
∂−
∂
∂=′′
∂
∂+=′′+
=×′′+ +
&
&
&
pp
=G� !�>�3M =��> 7'��% 0�6)�� ���H ( 3+ =+�d Z�? �+:
),/( 02
2
=′′+∂
∂k
q
x
T &
& F�!" G� %���� �D������ �3��!�/��H H� ,!"�5 � ,5���� I=�$ �"
),�( (� 9� !Y% =∂∂
+=+ )1(dxdyوt
Tcdxdyqdxdyqq xx ρρ&
),�( t
Tcdxdydx
qqdxdyqq
x
xxx ∂
∂+
∂
∂+=+ ρ&
),�( t
Tcdxdydydx
x
Tk
xdxdyq
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂= ρ)(&
),.( t
T
k
ckq
x
T
∂∂
=+∂∂ ρ
/2
2
&
ρ � �3lK� ]�& C=�� !*& �j�� r���� .
+a��@� �c
k
ρα = ��'��% 1KL ���H Thermal Diffusion�� =G3� (�3�:
),�( t
Tkq
x
T
∂
∂=+
∂
∂
α1
/2
2
&
�J�& ��| ]3�@�'�3� (G �� �� =�� (G ]�� 0�% ' ��$ :
ot
T
t
Tc
x
Tp >
∂∂
⇒∂∂
=∂
∂ρ
2
2
pw
=�� (G ]�� 0�% ' iL.
∗� Q�$3� �'�3� ' �' � �' ��$ ��G ' �G � � (����+��+
212
1
2
2
2
2
2
)(
)(
00
CxCxk
qT
Ck
xq
x
T
xkkوk
q
x
T
t
TStateSteady
kq
x
T
++−
=
∗+−
=∂∂
≠−
=∂
∂
=∂∂
⇒=+∂
∂
&
&
&
&
[ ] w
w
www
x
TLxk
qT
Tk
qLxx
k
qT
Lk
qTCCL
k
qTTTLx
Cx
T���رناز
+−−
=⇒
+++−
=⇒
+=⇒+−
=⇒=⇒−=
=⇒=∂∂
=
22
222
222
2
10
2
22
22
00
&
&
&&
<!�+��+ �' �> �'�3� R�� $� 7'��% 0�6)�� !�>�3M X� :
, .)�� N�' $� � 5��J� (�+X9F b���G (3D =B� (�3� X� ���L =�� �# �93� 7'��%
��+ �G��# '3�+ �R���+��+ 3G �'�M:
43421&& 12 ×××= WLqQout
%�� ' ���� !Y%
!YJ Y%
!Y%
p~
t .59 �@� ��' $�)(∗ %�� r�$� 5+ ���L X� =G3� (�3� :
=��' C9 r��+x
TL
k
q
∂
∂=+
−)(
&
nD C9 r��+x
TL
k
qL
k
q
∂∂
==−− &&
)(
nD = � 59 $�)()( LTfLk
qR
x
Tkq Lx
&& =
−=
∂
∂−= −=
=��' C9 $�LqLR
qh
x
TRq Lx
&&
+=
−−=
∂
∂−= =
LqqqQoot&2+=+=
∗ 5| 3G 5&3�q r@+ �D =9�%' r'� �+ =�� 3G X� a��@� ��$ 7'3\ 5+ 5| .
n
Tkq
jy
Tki
x
TkTkq
∂
∂−=
∂
∂−
∂
∂−=∇−=
→
→ rrr
r@+� '�3� r��+ �� > �3�M �@+ �� =��> ' :
nD=��'
n=�� `�� �+ 3 � %�� '� �+
p�
.
72 =K� �'�3� ��' �+ �� > �3�M )59 �$�3� �3�M �� �� > �3�M �> �G�+(
��' ��� !�> �3��M (�� > ��*��)L �3�M � �| 5��� ��*��)L 5+ (�3� X� �' �� Q���' � ��Y
X� �G�+� > �3�M�+ X�'��% '�G �3�M � �)*> 3 � � .
��@� �@+ �� =��>=��> �� 3�&� 7�l�)K� 7���& $� Xs�' ���lJ�� �� ���P� �� (�� ���
G�+ 5)G� .
<
)t,( 0
00
≠∂∂
=∂∂
=∂∂
x
T
z
T
y
T
�J��� 03^ 5+ r� 5939:
p�
)tt( )(0
00
θ
θ
fqr
T
z
TT
≠≠∂
∂
=∂
∂=
∂
∂
�� > �3�M !> r� ���� �)*> 5939 f|�� .
&F������� %�H�K��L �� ��M �+$ Composite Walls
�'�3� � � ' i�& �+ C�F �D $� F3 @� 3&3� ��> �G ����� a�)K� ��> ���) �' ���G
���+ .(�'�3� R�� $� 7'��% 0�6)�� 5+ �3+�� 7���J� 5+ 1K+ R�� ' �� �> !�$� �L.
725�F �D �'�3� $� 7'��% 0�6)��
)t-( 1
21 _
x
TTkAq
∆=
p�
)t/( Ak
xqTT
x
TTAkq
x
TTkAq
i
i
ii
11
3
43
2
32
5
∆=−
−=
∆
−=
+
� X A� b���G ' Steady ⇐=== 321 qqqq
)t�( Ak
x
Ak
x
Ak
x
TTq
3
3
2
2
1
1
41
∆+
∆+
∆−
=⇒
& �3�3 H� ,N�!2 ����� �������
5939 03^ 5+ ��lq�@G � �&'�M � ��M� ri, ro R)G3� �+ ���8+ �k�' 5�'3? (3��� 7F �@�
7'��% 0�6)��5��3)�� 7�l)K� ' =G� !�>�3M ��:
)t�( r
TkAq
∂
∂−=
)t�( r
dr
lk
qdT
r
Trlkq
ππ
22 =−⇒
∂
∂−=
)t.(
lkr
r
TTq
r
r
lkq
TT
i
o
oi
i
ooi
π
π
2
ln
ln2
−=⇒
=−
)t�( R
Tq
∆=
)-y( lk
r
rn
R i
o
π2
1
=
�� ����� R� > 5+ 5939 ���+ (�3� =G3� �)�$3E��# ��>:
)-,( ...
2
ln
2
ln
2
2
3
1
1
2
++
∆=
lk
rr
lk
rr
Tq
ππ
p�
& ,��=N ����� ����� O��P Overall Heat Transfer Coefficient
72=K� �'�3� �� $� 7'��% 0�6)��
� A� 7'��% 0�6)�� b���G ' :
)-t(
−=
∆
−=
∆
−=
−=
∞
∞
)(
)(
)(
)(
2324
3
3223
1
2112
1111
TTAhq
x
TTAkq
x
TTAkq
TTAhq
)--( 4321 qqqq ===
$�)-t ( �)-- (�� 5Y�)� 5# 3G:
)-/( AhAhAk
x
Ak
x
TTq
212
2
1
1
21
11
)(
++∆
+∆
−= ∞∞
)-�(
+∆
+∆
+=⇒∆=
km
W
hk
x
k
x
h
UtUAqo2
22
2
1
1
1
111
}3? 7'�� ' U�� ��3 � 7'��% 0�6)�� ���H G�+.
& ���� O��P,N�!2 )�D�� F��" ,��=N ����� �
�� ����� Q^�6� ���+ ��# 7'��% 0�6)�� ���H C��J� 5+ 1K+ R�� ' !�$� ��L. 5�939 ��
�� (c (���+ b�J� � '� (���& 0��� (c �M� ' 5# ' �G 5^�%� ��8� 0��� b�3� f
�� �k� !����.
p�
725��3)�� 5939 �� 7'��% 0�6)�� ��
ho 7'��% 0�6)�� ���H R|�� r�3> � 5��3)�� U��^� b�J� hi X���Y+�& 7'���% 0��6)�� ����H
�� 5939 (�' 0��� G�+.
)-�(
2
1
1
2
2
2
1
2
)ln(1
lrA
lrA
Ahlk
r
r
Ah
TTq
o
i
ooii
oi
π
π
π
=
=
++
−=
a��@� �+
)-�( TAUq oo ∆=
5)G3� ��$ 7'3\ 5+ X&'�M `�� �*%�+ X�3 � 7'��% 0�6)�� ���H �� 3G:
)-.(
o
o
ii
o
o
hlk
r
rA
Ah
A
U
1
2
ln
1
1
2
++
=
π
a��@� �+
)-�( TAUq ii ∆=
�� 5)G3� ��$ 7'3l+ ��M� `�� ��3 � 7'��% 0�6)�� ���H 3G:
)/y(
oo
ii
i
i
Ah
A
lk
rr
A
h
U
++
=
π2
ln
1
1
2
��Q� 5�F � g� � '�& ' ��c �+?��� b���G Z� �=�� =+�d �� (�� ��� 0c
)/,(
)(2121
21
22
11
∗∗
∂
∂≠
∂
∂→
≠
=∂
∂−=
∂
∂−=
x
T
x
T
kk
x
TAkq
x
TAkq
p�
∗��WL I)�� X9� '� 3&� g� � r�> 5�6� ' X8)�3�L 5| 3G 5&3�r 5+ '�� 3&�
5�+�' ��9 )(∗∗=�� ��c F�+ ' 5| .
& R��N ,���S" %��TPCritical Thickness of Insulation
X�M� �'�& r�� Ti r�� �+ b�J� Z�@� ' 5939 R�� � ∞T (c XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H �
hG�+ X� . I��� =��KH �+�6� ' �f�? C939 '�& ��'��% =���6� $�(ro-ri)�� ��� U�\ !��#.
)/t(
lrhlk
r
r
TTq
o
i
o
i
)2(
1
2
ln
ππ+
−= ∞
)/-( 2
2
2 )(
11)(
ج��
hrkrTT
dr
dq oo
i
−−
=∞
)//( �B\ I)�� C�6� R���+��+U�@� 0�6)�� =�� ! �f|�� 7'��% ⇒<∂
∂=⇒ 0
2
2
8
or
q
h
kr
)/�( ↑↑⇒ qA
72����J+ q�@G �*% �+ 7'��% 0�6)��
& ��5 ������� �� ����� �����,5���� �=�$ �"�40��
�D �+ �L3� 5��3)�� �� ��G I+��� ��M� ��'��% 5q&���8+ �k� '
)/�( )(rTT =
)/�( 01
2
2
=+∂∂
+∂∂
kq
r
T
rr
T &
)/.( 1
2
2
1C
k
qr
r
Tr
kq
r
Tr
rr+
−=
∂
∂⇒−=
∂
∂
∂
∂⇒ &
)/�( 21
2
ln4
CrCk
rqT ++
−=⇒
&
w�
72��M� ��'��% 5 �D �+ �L3� 5��3)��
)�y( ( )
−=−⇒=
==
=22
04
0
)(
rRk
qTT
dr
dT
TRrT
wr
w
&
��Q� : ��ch � k��� 5��J� �+��
k :����$c r�> N�' �+ � G�+ X� � �� ��3M �f&X>�8 '�c =�+ �' (c (�3� X� �J� . 5)9�
k ]$F � �| X� ���P� �� �+ 5)G� �' �� �*%�+ ��3M 0��& 5| =��!�G�+ . R��� >k '
]�*&� ��&G�+ X� f�� X9�)*��| 5sG � (�s� $� X@+�� .
:h8)*+ ' 5+ X� 5+��� R��� > � '� 0��� i�& [(���& 5��> [(���& !� R�+ �389� ���H
XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H � ��s�\� 3&� '� .
�� U��D( V�W� �� ����� �������� Extended Surfaces
��L $� 7'��% 0�6)�� X�'�+ 5)?�� N�)*� O3�� $� '3k�� �>FinG�+ X� .��L f?� ���+ �> 1��
0� ' 5� & $� a�)K� Q���\ ' [`�� �� $� 7'��% 0�6)�� ��M ' ��'��% ��> ]$�39 �'�#
�� '��� � �B)�� '3� �8� ��> �+'�# �'��*+ � ������)�9� ����. ��> �+'�# $� � �@� ��G '
��L � � (��� a�)K� Q���\ ' �> �G =��.� �� $� � �B)�� �+ 1K+ R�� ' �$�� �> 5+ �\�M �
��L R�� $� 7'��% 0�6)�� ��'�+ � � (��� �> �G =��.
wp
72��L q3�)� ��> �+'�# �>
03^ �+ ��L =���� X+ C��' ��� �+ oT. b��J� ���� ' 5�# ∞T '� '���� � R)?��� ��k� ' ��+
∞−= TToθ � ∞−= TTooθ
ww
mx
oe−= θθ
R��N �#��� X�:
Coshml
xlCoshmo
)( −= θθ
R�@� 03^ �+ ��L:
)�,( ��L (����' :X�| =9�% ' ��ش�ر���د��يدر��ه��و��
����وا��qf =η
)�t( ml
tghml
lph
mltghhpkA
o
o
f ==θ
θη
}3? C�+�' ' h [X��Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H k [��L ��'��% =��> ���H A � ��L Q�6� `��
p�� ��L Q�6� (3����L G�+.
)�-( A�'�|��L X:hA
pk
hA
hpkA
o
o
f ==θ
θε =���� X+ 03^ �+ ��L r��+
w~
�+ b�J� Z�@� ' �' (c � F�+ X�'��% =��> ���H 5| '� ����� XA�'�| X���$ ��Lh '���� !�|
!�> . C�+�' ���f�? ��*B� 5+ (3�#� )�- (�� !�$� �L.
)�/( 1
1R
hA
hAq o
o
⇒
===θ
θ ��L (�+ =9�%'
<9�% ' =���6� ��L (�+ =hA
1=�� .
)��( 2
1R
hpkA
hpkAq oo
==θ
θ
��L �+ =9�% ' =���6�R2=�� .
)��( ��آ�را�
R
R
hA
pk
R
R
hpkA
hA
R
R
fε=⇒
==
2
1
2
1
1
2 :
�� Q��� ' �+ ��'��% =���6� 5+ ��L (�+ ��'��% =���6� $� =*�'�� ��L �A�'�# 5# =B� (�3�
�� ��'��% ��L G�+.
�3�� 1����� (3��� R�� �'�c �� �8� '��� �' !��#:
)��( )( ∞−= TThAq ��+ 7'��% 0�6)�� ( �| ��$ r��+h �� A !�> ���P� �'.
N�)*� �� � ���P� r��+A �> R�? $� )�> ��L (!��| X� � �B)��.
0c ��� =9�%' 5��3)�� ��L r��+ r� I��� ���)�� �+=G� !�>�3M :
)�.( )( ∞↓
−= TTAhq
dlπ
}3? 03��? ' d � ��� l�� ��L 03^ G�+.
5&3� :
�+ 0��� U�^ �' R�?h �) | �� 5�@� ��#���D
5��' r�� ���& `��
w�
%0��+Y� 6W�� �" F�� X� F��" ,P��� Z"���
7��H�? :
< (�� ��� =�& ' b6? �� x !�'� ) =��KHt=�� �$�� (
< h=�� =M�3�s� � =+�d .
�� C�$�3�r��
w�
0)
1(
)(
0)(
)(
))(22()(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=−∂
∂
=−
=
−−∂
∂
=−−∂
∂
−+∂
∂−
∂
∂−=
∂
∂−
−+++−=∂
∂−
+=
∞
∞
∞
∞
∞
+
θθ
θ
mx
TT
mKA
hpm
TTKA
hp
x
T
TThpx
TkA
TThpdxdxx
TkA
x
TkA
x
TkA
TTtdxzdxhdxdx
Td
dx
dTkzt
x
Tkzt
qqq
وا �
convdxxx
0�� r$�� b���G:
ooo TTTT
x
θθ =−=⇒=
=
∞
0
]� r$�� b���G:
a9� ( ��L 03^G�+ ��+ .
;�3&
o
mx
o
hpkAq
e
TT
x
θ
θθ
θ
=
=
=⇒=
∞→
−
∞ 0
; (I��� ��)�� ��L:
)(
cosh
)(cosh
00
mltghhpkAq
ml
xlm
xx
T
lx
o
o
θ
θθ
θ
=
−=
=∂
∂⇒=
∂
∂
=
� (R�@� 03^ �+ ��L:
LxLx
LLx
hdx
dk
TThAx
TkA
Lx
==
∞−
−=⇒
−=∂∂
−
=
θθ
)( )(
��[�� 6\��� �" X�:
w�
�!��| X� � �B)�� ��$ ����� 5+ ��L (����' a��@� $.
I��� ��)�� r��+mL
mltghf
)(=η
Lkzt
tzhL
kA
hpmL
)22( +==
2
3222
LktL
hL
kt
hL
ktz
hzmLtوz ===>>
AreaprofileLtAp ⇒=
2
3
2
3
2
2
LkAp
h
LkAp
htgh
f
=η
5| X����G r��+ 2
1
2
2
1
<<
k
ht + (�3� X� ��8�c [G�+ ���)�� 5�| XA��> R�? (����' 5��J� r��
�$��� 5+ R�? 03^ 5+ }3? 5�+�' ' �)*�� I���2
t���� �G `�Jl� 03^ � �| 5?�H� .
�G `�Jl� 03^5�+�' $�
2
tLLC +=
�� 5��J� [ �� �% X��6� R��D r��M5% =�� .
(����' R���+��+ �'� 7'��% 0 �� f�� ��)�� ' 5| X���)*� r�> R�? r��+ 7'3l�+ X��6� '3�+
3G X� (��+ ��$ .
X�| '3�+:
( ) tLttLA
tL
kAp
h
tL
kAp
htgh
cp
f
=+=
+
+
=
2
2
2
2
2 2
3
η
=�� �G � � (��� X���)*� � X���� ��?��L Q^�6� �+ R�?� (����' �sG ' . X���� R�? '3�
� �+ iE� � =��> ��*���B� 59 �@� �% b�3� =��� ���c =��+ R��? � $��+ a��@� $� � �B)� .
w�
�� (3D ��| 5&3�` R�� R���+��+ =�� �B\ X���� R�? r��)�� ' 7'��% 0 �� R�� �V� � �����?
�)*> I��� ��)�� .
72 '� 3 ���L �> $�+ ��>���J� 5939 �>] �[
21
2
3
KAp
hLC
[%]η
21
2
3
KAp
hLC
[%]η
w�
72��L (����' � 0��G� �+ �> a�)K]�[
w�
�)��'�L �*%�+ f�� X��J� r�> R�? (����' �sG' 2
1
2
3
KAp
hLC=�� �G !�' .
&����� O��P ]��!5 ��� X� V�W� F��" ,��=N �����
)( oi TTUAQ −=
!��| X� a��@� �' '� ��L `�� �| � $�+ �)+�:
�'�&د�%��$ر���د��يدر����ون#"!ازو��#"!ازآ� ار�
ارت � #"!و��#"!ازوا����t =η
~�
( )
( )
tooo
iiti
iiiiti
ft
fff
t
Ah
TTQ
ه�ا�(TT
Q
Ah
TTTTAhQ
A
Af
TAh
ThAThAA
η
η
η
ηη
ηη
1
1)(
11
23
212
111
−=
−=
−=−=
−−=
∆
∆+∆−=
!A� =9�% ' :
i
i
ii
toiiti
ootoiiti
oi
A
UAU
TUATAUQ
RAh
UA
*�
hAR
Ah
TTQ
=⇒
∆=∆=
++=
++
−=
ηη
ηη
111
11
ooto
i
iti
i
hA
AR
A
U
ηη++
=⇒1
1
~p
& ,4L X�H�" ]��!5^�=5 %����� ]���( �_��� �" `W�
TAh
ThAThAA fff
t ∆
′∆+∆−=
ηη
)(
c
cff
AR
TThATT
′−=−′ ∞ η)(
}3? C�+�' ' Rc � g� � =���6� Ac�� ��L Q�6� `�� �� 5��' `�� G�+.
ffc
c
ff hA
TT
A
R
hA
TT
ηη11
∞∞ −′=
+
−
Ac
Rc
hA
hATT
TT
ff
ff
+
−
=−′∞
∞
η
η1
1)(
TAh
A
R
hA
hAThA
ThAA
c
c
ff
ff
ff
f
t ∆
+
∆
+∆−
=η
ηη
η
1
1
)(
ThA
A
R
hA
TThATAh
c
c
ff
f
t ∆
+∆+∆−∆
=η
η
11
+−−=
+−−=
44344211
111
111
C
c
cff
ff
c
cf
f
t
A
RhA
A
A
A
hAfRA
Af
η
η
η
ηη
−−=⇒
1
11CA
A ff
t
ηη
~w
C�D�
,. =��KH 5+ r'�3� U�^ ��7.5cm� =J� �8� U�^ $� � =�� I��� 5+ b�J� �� ��d�
r�� 930CXA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H � Cm
wo2
570 �93� '�3� �M� ' ����> =��
(�f�� 5+ 7'��%3
35.0m
Mw'�3� ��|�% r�� =*+3��� !�G�+ 5)G� k=21.
0
570
93
2
2
2
2
2
=+∂∂
+∂∂
=
=∞
kq
y
T
x
T
Cm
Wh
CT
o
o
&
�$�� b���G
−=∂
∂−
=∂
∂
∞= )(
0
5.7 TThAx
TK
x
T
cmxA
CTCxk
qTا�-ا,��لزيش�
CxCxk
qT
o
o
o 1861862
2
2
212
=⇒+−
=⇒
++−=⇒
&
&
t. 5JB\ ���=��KH �+ X*″
81 03^ � 2ftXH�� � 1ft r�3> Z�@� ' 80oF '� '��� .
�| X� '3M�+ 5JB\ 5+ 5| �G'3M X�+�� r���� �| ���hr
Btu400 0�6)�� ���H � G�+
����� 5+ R�A�L � F�+ $� XA�Y+�& 7'��%3,4 Ffthr
Btu
°2 0 �@� r�� =*+3��� [G�+
5JB\.
~~
5)��3M:5JB\ 0 �@� r��
5.108
)80)(12(3)80()12(4400
)80()80(
0
21
21
=⇒
−×+−××=
−+−=⇒
=++
∞T
TT
TAhTAhq
qqq
rad
rad
&
-. '3�3� �� }��)%� }��� X�M� '�&2
50000fthr
Btu r�� ' �>$�� $� X�+�� r���� 5000oF
'�3� � $�� R�� XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H � �| X� =?��' Ffthr
Btu
°220G�+ X� .
X�M� '�3� r�� ���1000oF7'��% 0�6)�� ����? R�� 0 �@� =���6� =*+3��� G�+ .
~�
)10005000)((
111
1
)10005000)((
)10005000(50000
)10005000(50000
21
21
−+=
+=
+=
+=⇒
=−+
−=
=−+
rc
cr
cr
cr
cr
r
q
hhQ
hh
hh
hh
RR
RRR
qAhAh
h
qhAA
rad48476
/. r�� ' r F3? �'f+ 5JB\ � 200oF � 160oF 5+ r F3? r� 5��� C���3+ �8�s� $�
���1′′ 03^ � 1 ft�� �G �& . b�3� 7�JB\ R�+ r��? =�� �G N3& 5JB\ � �> 5+ 5���
=�� �G�L I��� . f�� �' 5��� X��& `�� I��� =�� �G�L I��� b�3� 7�JB\ R�+ r��?
(���& � �G �Y�� 5��� ' Xs��)s9� (���& [5JB\ � R�+ ��)9� UV)M� =�� 5+ =�� ���G3L
Xs��)s9�hr
Btu40
�| X� a�� 7'��% . r��)�� � ' X�'��% '�G R��� > � 5��� ��|�% r��
��| 5��J� �' 5��� .
;. ��� 5+ ��+ C��� �� X�'��% =��> R��@� =�&1′′ �8� C �� � r� �'3| �M� ' ���c $� X ��
r�3> Z�@� ' �'80oF �> X� '��� . C�\�? 5+ 5�6� � ' X A� b���G �Y�� $� iL3 ′′ 5+ ��
�������258oF � 196oF 3��G X��� .XA���Y+�& 7'����% 0���6)�� �����H �����Fhft
Btuo24 [��G�+
+ X��M 03^ �+ ��L 5��� X�'��% =��> ���H 5��J� =*+3���.
<.X*� 5��� �� r��)�� � C��� 5+ �sG1′′=�� �l)� X A�� '�3� 5+ . '�3� r�� 200oF � 3+
C��� � �)*� 03^ �C �sG 2ft =�� . b�J� r�3> r�� 100oF 7'��% 0�6)�� ���H ��� =��
XA�Y+�&Fhrft
Btuo2
6 � R��@� =*+3��� G�+ X���� 5�6� r�)b�� ( R���$� 7'���% 0��6)�� � 5���
5���.
�. =��KH 5+ `�� 5+ 5JB\ ��L r�� ' b�J� � To,Ti �| X� �& !> $� �' . 0�6)�� ���H
b�J� � R�� r��+ XA�Y+�& ' 7'��%ho,hi G�+ X� . ���| Z�?Ti $� ��)�'f+ To �G�+ . X��
r�� ' 5| X��J� �+ 5JB\ R�� !�>�3MTi � ��s� 5�9 �� X��'��% =�� . I����+ '3�k�� R��+
Xs��)s9�q&=*+3��� !��| X� �93� 5JB\ ' =M�3�s� '3�+ r���� q&.
=�� ( 3+ r$�3� r��@� 5+
~�
a.G�+ X� ��$ Q+�� 7'3\ 5+ X *& ' �� Q�$3� (��$ $� r� 5kJ9 ' :
yzxyzyxzyxT 22),,( 222 +−+−= �d !*& X�'��% ��3M��� ' ���| R���@� G�+ 5)G�� 3&� f�� X�'��% 5 �D � 3G Z�? =+
�| >�3M ���P� (��$�+ �� X%�3� ]�| .
~�
��$ ��� :%�&�� ��� ��� ��
2-D Conduction Heat Transfer
N�' ��'�+ 5+ �l? R�� 5)?�� ��l)M� �@+ � 7'��% 0�6)�� �A�*� �% ���+ 3&3� ��> =�� .
k�� R�� ���+ �>��P)� �$���& N�' �)+� '3)N�' $� 0��)� ����J� ��> (�G 5A�'� $� iL =��
N�' 5+ (c 5)M� �L �)��> 7'��% 0�6)�� �A�*� �% ���+ 3&3� � � ��> �G =�� . 5+ ]$F
N�' 5# =�� �'�c �� 5�6� ���� hJ� R�� ' �G 5A�'� ��> ����J� � � � ���G�' �+ ��
�� �� � �G�+�'� ' ���B� 5+ h%�� R ��� �� 7V�lJ� ��>1���� 5A�'� ����� ���
�� �3G.
b3�&U�� �4�4S5 ��)U������[�� H����- (
N�' (��� $� hJ� R�� ' G �'�G� f�� �)��L 5# 5����� > �% ���+ a�)K� ����J� ��>
�P)� �$���& N�' �#� 5+ ���� �)��> 7'��% 0�6)�� 7F �@� 3 � !�>�3M �B)#� �>�.
�'�L C9 �@� ���8+ �k� ' �' ��$ ]� 5��� ��:
),( 0)()()()()()( 322
2
1322
2
1 =+∂∂
+∂
∂++
∂∂
+∂
∂Tyb
y
Tyb
y
TybTxa
x
Txa
x
Txa
���a, b Q+�� �> T=*�� �% �+�� �>��P)� �$���& N�' �+ � � 3+ ��M ��{ C9 �@� ��8�c �G�+ .
=G3� ��$ 7'3l+ �' }3? 59 �@� ;�3& (�3)+ ��# Z�?:
)t( )()(),( yYxXyxT =
=G� !�>�3M �G � � 59 �@� ' }3? ;�3& �'�W8��& �+:
)-( 2
322
2
1322
2
1
1)()()(
1)()()( λ±=
+++
++
YYyb
dy
dYyb
dy
Ydyb
XXxa
dx
dXxa
dx
Xdxa
)/( [ ] 0)()()( 2322
2
1 =±++ Xxadx
dXxa
dx
Xdxa λ
)�( [ ] 0)()()( 2322
2
1 =++ Yybdy
dYyb
dy
Ydyb λm
�� ���8�> � �B)�� �@+� 7'��% 0�6)�� �A�*� ����J� �% ���+ �>��P)� �$���& N�' $� (�3�
��$ b���G 5# 3 ��G�+ '����+ :
,< �# �& R8 > �$�� b���G �+ R8 > 59 �@� �� C���3+ (�3)+ �' 5��*� 7��& $� ���.
t< R8 > �$�� ��G �� �+ R8 > ��*���B� C9 �@� �� b�3� (�3)+ �' 5��*� �8� =�&
� 1�� � R8 >��{ �$�� ��G �� �.
~�
5&3� : =�V�2λ 3G ;�K)�� ��+ �'3^ �$�� ��*���B� C9 �@� �� )Boundary-Value (
5lK�� '�6� C9 �@� 5+ �Y�� R8 > =�&)Characteristic Value ( ��.
�'�c ��, :;�3& 5# =�� 5lK�� '�6� ����$ �$�� '�6� 5��*� �� �G�+ �� 3��L (c ��> .
(��3� 5��� �� �> �G�+ ���P)� �� =+�d ���3�.
�'�c ��t : 5��*� ��;�3& 5lK�� '�6� $� ��� $� �lJ�� �� �6� ���+ b6? ���+ ��{ ��>
��>�)��'�Lλ ]��+ Eigen Value '� .
5lK�� '�6� 5��*�)Characteristic Value ( ]� C��� ��*���B� C9 �@� �� ���G ��$
���8+ �k� ' �' R8 >.
)�( [ ] 0)()()( 32
212
2
=+++ uxfxfdx
duxf
dx
udλ
�@� 59 �@� }3? 59 Sturm-Liouville '� ]�� .$�� b���G ��# Z�? R��� > 5��*� R�� �
G�+ R8 > . 59 �@�)� ( '3)#�? $� � �B)�� �+)(1
xpedxf
=∫�� 5)G3� ��$ 7'3l+ 3G:
)�( [ ] 0)()()( 2 =++
uxwxq
dx
duxp
dx
dλ
5��'3�+
).( pfxw
pfxq
3
2
)(
)(
=
=
��# Z�?nλ �
mλ�G�+ }3? 5��*� a�)K� 5lK�� '�6� � .�� Q+�3� 5# !�> (��� !�>�3M
5lK��)Characteristic function (nϕ � mϕ5+ �3+�� nλ � mλ )*> ��@)� b���G � �
!��� � ��L �' ��@�.
!�'� (3D
)�( �)(
)(
xu
xu
n
m
ϕ
ϕ
=
=
;�3& 5# 59 �@� ���+ ��{ ��>)� (�� R���+��+ �)*> !�*�3�:
' ;�Hnϕ [ ] 0)()( 2 =++
mm
m wxqdx
dxp
dx
dϕλ
ϕ
' ;�Hmϕ− [ ] 0)()( 2 =++
nn
n wxqdx
dxp
dx
dϕλ
ϕ
� � Q & �+=G� !�>�3M }3? 7'�:
),y( [ ] 0)()( 22 =+
−
w
dx
dxp
dx
d
dx
dxp
dx
dnmmn
n
m
m
n ϕϕλλϕ
ϕϕ
ϕ
��:
),,( [ ] ∫∫
−
=−
b
a
n
m
m
n
b
a
nmmndx
dxp
dx
d
dx
dxp
dx
ddxw
ϕϕ
ϕϕϕϕλλ )()(22
�f& 5+ �f& ���89��8)�� �+:
~�
),t( [ ]b
a
n
m
m
n
b
a
nmmndx
dxp
dx
d
dx
dxp
dx
ddxw
−
=− ∫
ϕϕ
ϕϕϕϕλλ )()(22
Q+�3� �W9nϕ �
mϕ�G�+ '����+ ��$ b���G ����> �)*> ��@)� :
),-( 0)()( == buau
��
),/( ,0,0 ==== bxax dx
du
dx
du
��
),�( 0,0 =
+=
+== bxax
uBdx
duuB
dx
du
d� C�+�' 7�),�(�� ��$ 7'3l+ G�+:
),�( ( ) ( )nnmmmn
nmnmmnnmmn
BB
B
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
+′−+′=
′±′−′=′−′
5)G� ��� 5# 3G 5&3� !�G�+0)( =xϕ ' x=a �� x=b 59 �@� =��' = � 7'3l��� ' ),t (
� UW%� 3+ >�3K� ��@� ��G I6J� =�& �$�� b���G 5+ �$��� � 3G.
5&3� : ���p(a)=p(b) � u(a)=u(b) � )()( buau ′=′�� �H'� ��@� ��G ��8�c 3G . R�� 5+
=9�%�� �� 3��L �$�� ��G ��3�.
D"���!�� 6"��5 �� OD� �" 6"��5 Z
��# Z�?)(xnϕ Y� 5�3 ��$� Q+�� 5+ =*� ��@)� Q+�3� $� ��w(x) 5�\�? ' (a,b)G�+ .
�� ��8�c =G3� (�3�:
),�( ∑∞
=
=+++=0
221100 )(...)()()()(n
nn xbxbxbxbxf ϕϕϕϕ
5��J� ���+bm ' �' }3? 5�+�' R�?�^ )()( xxw mϕ 5�\�? ' � ;�H a �� b�� 0��8)�� !����:
),.( ∑ ∫∫∞
=
=0
)()()()()()(n
b
a
nmn
b
a
m dxxxxwbdxxxfxw ϕϕϕ
��:
),�( dxxxw
dxxxfxw
bb
a
n
b
a
m
n
∫
∫=
)()(
)()()(
2ϕ
ϕ
0��� :�+ 03^ �+ �@+� ��L �� =��KH 5+ =����l���8+ �k� ' . ��L C��L ��� f(y)�� � G�+
b�J� ��� ∞T��H � =�� �7'��% 0�6)�� '��*+ �� �'f+ G�+ .�+��+ �' ��L ����L =9�% ��� .
~�
=�� R8 > !#�% 59 �@� G �9� �)*�� R8 > �$�� b���
)ty( 02
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂
y
T
x
T
)t,(
∞
∞
∞
=
=
=∞
=
TlxT
TxT
TyT
yfyT
),(
)0,(
),(
)(),0(
��# Z�?∞−= TTθ=G� !�>�3M G�+ :
)tt(
0),(
0)0,(
0),(
)(),0(
02
=
=
=∞
−=
=∇
∞
lx
x
y
Tyfy
θ
θ
θ
θ
θ
=�& (3�#�y�� R8 > G�+.
)t-( 2
2
2
2
2 11λθ ±=−=⇒=
dx
Yd
Ydx
Xd
XYX
=�V�2λ3^ ��+ R8 > =�& 5# �� ;�K)�� �'y��+ 5��*� 5lK�� '�6� 5+ . ;�K)��
01 2
2
2
=− Ydx
Yd
YλG >�3M �Y�� �)*�� ��@)� 5# ��93+�E�> Q+�3� 5+ .
)t-(
0)(
0)(
0),()()(
0)0(
0)0,()0()(,01 2
2
2
=∞
=
==
=
===+
X
lY
lxlYxX
Y
xYxXYdx
Yd
Y
θ
θλ
)t/( yByAY λλ sincos += )t�( 00)0( =⇒= AY
)t�( ,...2,1,
00sin0)( ==
≠⇒=⇒=
ml
mB
yBlY πλλ
��
)t�( yl
mBY
πsin=
)t.( xxDeCeX
λλ += −
)t�( 00)( =⇒=∞ DX
)-y( xCeX
λ−=
)-,( yBCex λθ λ sin−=
)-t( yl
neAyeA
xl
n
nn
x
nn
πλθ
πλ sinsin
−− ==
!>�+ �\� $� � �B)�� �+ 0�% =G� !�>�3M ���:
)--(
∑
∑
∞
=
∞
=
−
=
=
=
1
1
sin)(
)(),0(
sin
n
n
n
xl
n
n
yl
nAyf
yfy
yl
neA
π
θ
πθ
π
)-/(
∫
∫∫ ==
l
l
n
l
n
dyyl
n
dyyl
nyf
Adyyl
nyf
lA
0
2
0
0sin
sin)(,sin)(
2π
ππ
)-�( l
yned
l
nyf
l n
l
xnl π
ηπη
θπ
sinsin)(2
10
∑ ∫∞
=
−
=
��� 0�%).()(),0( 0 valueconstyfy θθ ==
)-�( ( )1cos2
cos2
sin2
0
00 0 −−=−== ∫ ππ
πθ
ππ
θ mm
yl
m
m
l
ldyy
l
m
lA
ll
n
)-�( ...,2,1,01)12(coscos12
02
=∀−=+=⇒+=
=⇒=
kknkn
Akn n
ππ
)-.( 0)12(
4θ
π+=
kAn
)-�( ∑∞
=
+− ++
=0
)12(0 )12(
sin)12(
4),(
k
l
xk
l
yke
kyx
ππ
θθ
π
)/y( 0),(),( TyxyxT += θ
0��� :�� 5��*�� � (��� �$�� b���G �+ ��� 0� �% ('�6� ��G $� � �B)�� �+ [��G ' �G
��� �.
�p
)/,( dyy
l
n
dyyl
n
Al
l
n
∫
∫+
+
=
0
2
0
0
2
)12(cos
2
)12(cos
π
πθ
)/t( �'�c ��2
2cos1cos2 α
α+
=
)/-(
2
)12(sin
2
1
)12(cos1
2
1
2
)12(cos
0
0
2
0
2
l
l
yny
dyl
yndyy
l
n
l
ll
=
++=
++=
+∫∫
π
ππ
)//( n
ll
n
l
l
n
n
l
l
yn
n
ldyy
l
n
)1()12(
20
2
)12(sin
)12(
2
2
)12(sin
)12(
2
2
)12(cos
00
0
0
0
0
−+
=
−+
+=
+
+=
+∫
πθπ
πθ
ππ
θπθ
)/�( n
nn
A )1()12(
4 0 −+
=π
θ
)/�( l
yne
nyx
n
l
xn
n
2
)12(cos)1(
)12(
4),(
0
2
)12(
0 ππ
θθ
π +−
+=∑
∞
=
+−
c&U�� F��N F��
,( �J� UV)M�Finite Difference : ' � X*�3� 5����+ �k� $� � �� � ���V| N�'
=� �J� ����L r�> 5��> ' �A�*� �% r��+ X9� =�� 7���J� r��M R� K�
'� .
t( �J� !Y%Finite Volume
a9� ( 5)?�� (��$��Structured
; (�+ (��$��Unstructured
-( �J� ��f&�Finite Element
/( r$�� ��f&�Boundary Elements
���f� : 3��� !| 5��*� $� @+ ��.
���@� : '�� X�3 � =9�%' �' X�M��{ �A�*� 5+ !� @� =��+�� .
�w
�( 5sG (�+ r�> N�'Mesh-less Methods N�' R�� NV� =�� �G 5A�'� X�$�� 5+
5sG �93� $� ;��)&� �>)��6� (+G�+ X� �% (��$ ' XA3& 5?�\ '3k�� 5 . $3�> 5)9�
5)M��G�� �A�*�)7���J� !Y% � =� �k� $� ( '� '��*+.
U�����S� de�0� Finite Difference
5)�G3� ���$ 7'3�\ 5+ @+ � ' X�'��% C �D (�+ X A� =9�% ' ���� 0�6)�� �+ !|�% 59 �@�
X� 3G .
)/�( 02
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂
y
T
x
T
72 �J� UV)M� =M�3��� 5�G ��
�� b*+ �' }3? ]� 5��� 7�6)�� 59 �@� '3��� ��� b*+ $� � �B)�� �+ 0�% =�& ' �)+� [!�>
x!�'� :
)/.(
( )
2
...)(2
41
22
1
...41
2)()(2
...2
...2
2
2
11
2
2
4
42
1122
2
4
44
2
22
11
2
22
1
2
22
1
order
xOx
TTT
x
T
x
TxTTT
xx
T
x
Tx
x
TxTTT
x
Tx
x
TxTT
x
Tx
x
TxTT
iii
iii
iii
iii
iii
+∆+∆
+−=
∂
∂⇒
∂
∂∆−+−
∆=
∂
∂⇒
+×∂
∂∆+
∂
∂∆+=−
∂
∂∆+
∂
∂∆−=
+∂
∂∆+
∂
∂∆+=
−+
−+
−+
−
+
��>�)��'�L ���� $� ( �# �k� U�\ �+)@+ 5+ ]� 5��� $� (=G� !�>�3M:
)/�( 2
11
2
2 2
x
TTT
x
T iii
∆
+−≅
∂
∂⇒ −+
=�& ' ����� R� > 5+y!�'� :
)�y( 2
11
2
2 2
y
TTT
y
T jjj
∆
+−≅
∂
∂ −+
∗=� �+ �' ]� 5��� I)�� 5�6� 5� �+ rf|�� UV)M� 2)( x∆�$ X� ���6�.
< G X� 5)G3� F�+ 7F �@� ����> r��+ � 3G X� r'�W� �'� G ��6� r�� 0��� 3.
�~
�'� G ��� ���+,�� =G3� (�3�:
)�,( 02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
y
T
x
T
)�t( 0)
4
1(
02
)4
1(
02
2
14
2
12 =+−
++− TTTT
)�-( )1(04 142 =−+ TTT
����� R� > 5+. � !�'�c X� =� 5+ f�� �8� 59 �@� � � 59 �@� � ����� R� > 5+ � 5�6�
% �+ � �c X� =�+ ��6� ]� � r�� ��& C9 �@� 5��*� ��6� ��� � ��� ��& 7F �@� R�� �
�c>�3M =�+.
<r���� 5�$�3� N�' ) : �J� !Y% N�' $� ��M =9�% (
)�/( 04
1
,1,1,,1
1,,
=−+++⇒∗
×∆×∆
−=
+−−
+
jijijiji
jiji
dx
TTTTjT
xy
TTkq
Z�?�+ k � =+�d yx ∆=∆
�J� :!�G�+ 5)G� I��� ���:
��
)��( 03
0
1,,,1 =−++⇒
+=+
=
+−
++
+
TTTT
qqqq
q
jijiji
dyydxxyx
dxx
5+ �J� $�� ' XA�Y+�& ' 0���:
)��( convdyyyx qqqq +=+ +
)��( 2
)()(
2
)()( 1,,,
,1,,,1 x
y
TTkTTh
x
y
TTky
x
TTk jiji
ji
jijijiji ∆
∆
−+−=
∆
∆
−+∆
∆
− +∞
+−
=G3� ��$ 7'3\ 5+ X*����� 59 �@� ��8)� �� (�3� X� �> ��� 7F �@� r��+ X�| '3^ 5+:
KT=F
G�+ X� X�3���3� r�> N�' F�+ 59 �@� �% r��+:
< N�' !�6)*� ��>Direct Methods :N�' ���� Gauss Elimination
< N�' ��> �'���� Iterative Methods :�� 0��� (�3�� 5+ 5# N�' (�3�Gauss-
Seidel N�' � Jacobi �+ ]�� �' .
��
C�D�
,. ������ 5+ r� ��Y�L 5��G X&'�M � X�M� r�� 15oC � 5oC X�� �G�+ . =��K�H ����
5��G5mm (c �@+� � 31× G�+ �)� =���> ����H 5��G $� 7'��% UV�� =*+3���
5��G X�'��%Km
w24.1=�� .
t. r�� ' �3>300oC ��@+� 5+ r� 5JB\ r�' $� 25.05.0 × ����H ���� '� (����& ��)�
XA�Y+�& 7'��% 0�6)��Km
w2250 JB�\ R�� U��s� $� 7'��% 0�6)�� =*+3��� G�+ 5
5JB\ r�� 400oC=�� .
-. 5s�9�% ' =�� �G I��� �V��| U��s� $� rf�? r� 5JB\ U�^ X@��@�� r���� (c �8�
7G 5+2800m
W �| X� =?��' . b��J� r��� ���20oC 7'���% 0��6)�� ����H �
b�J� � 5JB\ R�+ XA�Y+�&Km
W212\ r�� =?� =*+3��� G�+ rf�? 5JB.
/. X��'��% =���> ��+ r�@+ ��� r'�3�� ' ��� Q�$3�mK
W50 =��K�H � 50mm 5�+
7'3\2
bxaT += 5| G�+ X� a=200oC � 22000m
cbo
−= � x �*%�+ m =�� .
(c 5&� � ' X�'��% '�G � '�3� R�� ' 7'��% �93� ��� R��@� =�� ;3��� . �� Q�$3�
G�+ X� (��$ $� �6)*� � X A� b���G ' .
�. 5+ F3? $� (c '�& 5| r� �'3| '�3� $� `�� %�� ��$� 5+ 7'��% UV�� 5��J� =*+3���
=��K��H0.5cm� mkWk 40=
=��K��H 5��+ r���&c (c X&'���M '���& � � 3��+
cmوmk
Wk 105.2= G�+ X� . '��& r�� X��M� 900K X&'��M '��& r��� �
460K 3G Z�? .��| 5��J� f�� �' �&c � F3? ��)�� �l? r�� .
�. ! �f|�� r�� � �L�3> �� X�'��% 0� X%��^ ' ��� $� ��� �'�3� 800K�| $��Y� .
$�Y� ! �f|�� =���6� 5��J� =*+3��� =�� �G � � (��� �sG ' 5| X����G r��+
'�3� .
KmWh
KmWh
KT
KT
c
g
c
g
2
2
400
200
300
1300
=
=
=
=
��
=hg=�� �� r�>$�� XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H .
�. X�'��% =��> ���H �+ m�$ F3? i�& $� 5939 ��cmW
o19 X�M� ��� 5+ 2cm ��� �
X&'�M4cm C���3+ 3cm =�� �G ����G3L =*+$c I��� 5�F . X��M� '�& r�� ���
600 oC '�& r�� � I��� X&'�M100 oC %�� ��$� 5+ 7'��% 0�6)�� =*+3��� G�+
5939 03^.
=*+$cmkWk 2.0=
.. =��KH 5+ r�&c r'�3� 0.1mX�'��% =��> ���H � mKW7.0
Z��@�' U���s� $�
r�� 5+ �� �+270K XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H � KmW
240 � � ' ��8� U�^ $
r�� 5+ R9�� r�3> Z�@�330K XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H � KmW
210 '� '��� .
`�� %�� ��$� 5+ '�3� R�� $� 7'��% UV�� =*+3���.
�. X�M� q�@G 5+ X|$�� C939 X�M� '�& oλr r�� ' Ti '� '��� . Z��@� ' 5�939 R��� ���
r�� 5+ X��J�∞TXA�Y+�& ���H � ∞h I��� =��KH R��@� =*+3��� G�+ 5)G� '���
����8+ ��k� ' �' I��� b6? � ��| �k�?�\ 5939 X�'��% =���6� $� 5939 R�� r��+ 5���+ .
r� 5939 r��+ �' }3? 5Y�)�� ���� 5�+ X*10mm I���� =��K�H � 0,2,5,10,40mm
��| (�J)�� . XA�Y+�& ���HKmW
25 I���� X��'��% =��> � Km
W2055.0
Z��?
3G.
,y. �L3� r� 5��3)�� ' (Solid) q�@G 5+ ri 7G 5+ X)M�3�s� X�'��% 5 �D q& X�� ��93�
3G .r�� 5+ X��J� Z�@� ' 5��3)�� R�� ���∞T XA�Y+�& ���H � hc G�+ 5)?�� '���
��| =+�d:
−+=
−
∞∞
∞
2
124
)(
i
ic
c
i
r
r
k
rh
Th
rq
T
TrT &
,,. 7���G 5���+ X���s��)s9� (������&700A ������ 5���+ r F3���? X�+����| ' 5mm �
=�����6�W
K−× −4106 '� (�����& . r�3��> Z���@� ' ���+�| R����30oC �����H �
XA�Y+�&KmW
225 '� '��� . ��| 5��J� �' �+�| R�� `�� r�� . X��'��% =���6� $�
��| �k�?�\ F3? .
��
,t. '� (���& '�K+ (c ' 5| r� 5939 X�M� '�& r�� 300oC =�� . 5939 R�� X�M� ���
5cm (c =��KH � 5.5mm =�� . =��� ��G ����G3L I���� 5��F � b��3� 5939 R�� .
5��+F =��K��H0��9cm=����> � (c X���'��% KmW
250]� 5���F =��K��H � 4cm �
(c X�'��% =��>KmW
235.0G�+ X� . I���� 5�939 X&'�M :�� r�� 30oC =��� .
��| 5��J� �' 5939 R�� 03^ %�� ��$� 5+ 7'��% UV�� . 5939 X�'��% =��>KmW
247
3G Z�? .939 R�� ����> r�3> 7'��Y� ' X���� ' 520oC G�+ 5)?�� '��� . =*�+3���
}��� r�3> � 5939 R�+ 7'��% 0�6)�� XA�Y+�& ���H.
,-. m�$H F3? i�& $� r� 5��3)��)13(
FhftBtuk o=
03�+ 1′ ���� � 4 ′′ ]��Y�� =��&
5+ r� �'3| $� X�'��% 7��� �03^20 ft�> X� '3� . $� ����M ]�8�> (c XA��� r��
�'3|1500oF =�� . �'3�| �M� r�>$�� r�� ���2300oF 7'���% 0��6)�� ����H �
XA����Y+�&FhrftBtu
o218
����M� $� 5��3)����� '3���� =������ =*���+3��� ���G�+
�'3|)27.0(
2
hft=α
,/. $3*� i�& $� r�&c)65.0,02.0(
2
== hhr
ftα =�M�3�s� 5��9�� r�� ' 100oF �'
�� r�>$�� Z�@� ' 1200oF �> X� '��� . XA��Y+�& ���HFhrftBTu
o24 � � 3�+
=�� (�*s� �&c O3�� C��| r��+ . =�GW� $� iL �&c f|�� r�� =*+3���20 hr '
r����)9�%(a) =��K��H 5��+ =������ X��+ '�3��� 2 ft (b) '��*��+ (3)��� ����+5��+ `����
Q�6�22)( ′×′C �@+� 5+ �@s� 222 ×× 5�)?�� '���� X6��� `�� r�' (c 5&� �� 5|
=�� .
,�. �������������� 5�����������+ r� 5��3)�������������5 ′′ =*�����������+$c i������������&$�
FhrftBTuh
Flbm
BTuC
ft
bmoop 125.0,25.0,
136
3===ρ
=��M�3�s� 5���9�� r���� '
100oF r�� 5+ X��J� ' �' 1200oF XA��Y+�& ����H ��+ FhftBTu
o4 X�� '����
�> . 5+ 5��3)�� f|�� r�� 5s�c r��+ ]$F (��$500oF 5��J� ��$ r��)9�% ' �' ��+
��
��| .(a) ��+ X��M 5��3)�� (b) q�B�'� 5+ 5��3)�� t � �)*��� I��� XJ�� r�' 5| 73?
=��.
,�. ($� 5+ X8��M r3�� �� 3lb c i�& $� � 7'�� 5�+ X�s��)s9� r���� 9� C���3+ ]3����39
50W 3G X� ]�� . 3��� X&'�M `�� ���0.5ft2 b��J� r�3�> r��� 70oF ����H �
XA�Y+�&FhftBTu
o20.2 5+ 3�� r�� 5s�c r��+ ]$F (��$ =*+3��� G�+ 220oF ��+
=�� b�J� r�� 3�� 5�9�� r�� .
��
���'( ��� :��# ��� ���) ��*)" +��,)- � ���"����
Unsteady Conduction Heat Transfer
X� 5&�3� �'W� � '���L�� =��> 7'��% 0�6)�� �A�*� �+ X���� r�> �+'�| $� r'��*+' !�3G . 5+
(c ' 5| =�� X�A�*� 5� &$� X�M� }��)%� r�>'3�3� '���� �'�3� $� 7'��% 0�6)�� 0��� (�3��
(��$�+ �'�& r�� �| X� ���P� .'���� X�M� b���G �� 3��L 7����P� ��9 5+ 5)9�) �3> r��
$�� �� ( 5�+ �)��+ ���6� �+ �� (��$ $� X��@� Q+�� 7'3\ 5+ �' X�M� �'�& �� 7����P� (�3)+ ��G
�| Z�? �� 3��L 7'3\ . ���'3�3� (�G RG�' (��$ $� '���� 5�3 Y� r�� 7����P� is��+
(��' 5kJ9 � �'�& r�� X��+ 1�L � G�+ X� (��$ $� r� ����L '��*+ Q+�� X A� b���G 5+
=�� >� r'�s�{�' � r'�| ��M !)*�� X%��^ =�& R{�' �� R| ��M ;c r�� R��@� iE�
'� r� �j�� . �| ��L ���$�' X��$ ' '���L�� 7'��% 0�6)�� r��+ (�3� X� r�8� r��9��� . �V��
� (G �� �G�+ X�� 5� & (c $� (��$ �+ R��$ O3�� r�� 7����P� � �3> X����� . ' R���� >
$� 5��� �9�� ' ;�W� � Y�� � (G �� �%��� C��| r�� 5)K�' I��^ $� 7�@�� =M�� �%���
G�+ X� �'W� �� '���L�� 7'��% 0�6)�� �A�*� 5� & .�H�% R)� ' '3k�� '���L�� $�(Unsteady)
�� X�@� �'W� ���� 5s�9�% ' =�� ��P)� (��$ �+ �'�3 > (Transient) �' X�� '��s+ X)9�% r��+
��+ (��$ $� �6)*� � X A� b���G 5+ X��@� (��$ =GW� $� iL !*& r�� 5| . =��� X���+
�| r$�*9� f�� �' �� 3��L b���G 0c ��� =9�% ' (�3� X� }3? =9�% � R�+ 5| .
6)�� !|�% 7F �@� ��� r� 5��3)��� [X�'��| ���@)� 7�l)K� ' �'W� �� '���L�� =��> 7'��% 0�
r���+ X�B�)K� r���G�' � G�+ X� X���J� r�> �% r�'� 7F �@� ( 3+ X�M ��G 5+ � r��|
=�� �G �����L (c �% . r���+�)|Ozicik [Myers ��� � Carslaw and Jager ��' r���%
r�> 5��> r��+ X�3�)� r�> �% 7'3�\ 5+ (�3� X� � G�+ X� a�)K� r$�� b���G � a�)K�
Hand Book �' '�s+ X���G'�| (��3Y��� b�3� . 5+ }3? r��+�)| X�� s� 7V�lJ� Q^�6�'
=��36� �' (��c XH��' r�> ���s� � 1�� �� 3G X� �����L (��3Y��� 5+ X�' ;�)| 7'3\
�|.
� ����L r�> 5��> ' !|�% 7F �@� X��'��% 5 �D [=��> 7'��% 0�6)�� ���H 5| X����G
> N�' � | 5+ �$���� �)*> X�M��{ 7'3\ 5+ Xs�f�? ��3M ���� � ����V| r �� r� 5�+
���� r'�Y� r�>'�f?� ]�� $� r'��*+ � 3G X� �% X���c ANSYS [NISA � Fluent =��+��
�'� �' 7F �@� R�� �% .
' �+ (��3Y��� �l? R��' ��+ R���� > � '����L�� �A�*�� �% r �+'�| '��*+ X9� X��6� r��G�
�3G X� ��Gc (c ���)� � X���J� �% r��G�' . �J� UV)M� r � N�' �l? r��)�� ' ��� H
G�>�3M ��Gc f�� �% N�' R�� �+ (��3Y��� � 5)?�� '��� hJ+ '3�.
��
)fL�� �M��!�
),( τα ∂
∂=′′′+
∂∂
+∂∂ T
kq
y
T
x
T 12
2
2
2&
' �f�'�| 7�l)K� R
)t( τα ∂
∂=′′′+
∂
∂+
∂
∂ T
kq
r
T
rr
T 112
2&
' r� 5��3)�� 7�l)K�
)-(
=
s
myDiffusivit
c
k2
ρα
}3? 7F �@�' q ′′′&[X�'��% C �D τ(��$ [ k=��> 7'��% 0�6)�� ���H وα 1KL ���H
G�+ X� .
���Xs�f�? U> r��+ X9:
d�� :(��$ �+ 5@�� r�� 7����P� �3J� � (G �� (��$ 7� R��@�.
8 . U�� %���g ��2�h��X���� %���g �� Lumped Capacity System
�3lK� ]�&ρ
�j�� r����C
!Y%V
X��& `��A
5�9�� r�� To
r�� 5+ X��J� ' (����� !*&∞T ��� X� '���
�p
�� Z�? C)G��� !)*�� ' 3GG�+ (��$ $� X@+�� ���� � =M�3�s� !*& ' �� Q�$3� . �k� $�
=���6� X�@� Xs�f�? !*& �M� ' �)��>XA�Y+�& =���6� �+ 5*��6�' �) # b�J� 0��� $�
G�+ . 5| =�� $�Y� X)�� Z�? R��G�+ '����+ ��$ b���G:
)/( 1.0)( <A
Vk
h
'�6�k
hx�+ � (�3�� 5+ 3�+ @+ (Biot)�� 5)M��G 3G) x=�� 5lK�� 03^ ( =�V� �+ �
Bi� � (��� �� �� (��+ ��$ 7'3l+ }3? ��G ����� R�� 5+ 3G ��:
)�( 1.0<=k
hxBi
r���� C�$�3� $�: X�M� r���� 7����P� = 7'��%b�J� 5+ �G �Y+�&
)�( τρ
τρ
)()( cV
hA
o
eTT
TTTcVTThA
−
∞
∞∞ =
−
−⇒
∂
∂−=−
)�(
=
=
oTT
0τ5�9�� ��G
�+$ I�2�h�� )�D�� ���(
(�*�� X��� ' � �> (c (�' Q��� � U�" [ '� '��� �@��� �f�? U�" �M� ' ��# Z�?
)U��^� b�J� r�� �+ 7��B)� (�'� '��� . !)*�� �# 0�%� ' �G 5)B '��� b�J� ���
� � �� �� b�J� ��� �+ 0 �@� 5+ q��G !)*�� ��� � 3G �� � . � U�" r�� R)?�� U>
� (�3�� 5+ (c 7��3)J��=�� (��$ $� �@+.
�� ��$ 7'3l+ !#�% 7F �@� �G�+:
).(
∂
∂−=−+−
∂
∂−=−
∞t
TVCTTAhTTAh
t
TVCTTAh
22222221211
11112111
)()(
)(
ρ
ρ
C�9�� b���G �+:
)�(
=∂
∂
==
01
021
t
T
TTT
� R)G3� �+F �@7�� ��� ��$ ��G 5+ !#�% 7F �@� �'3���L� 7'3\ 5+ �3G:
5@�� !Y%
X��& `��
�w
),y(
=
++−−
=−
+
0
0
2
222
22
222
112
222
11
2
111
111
111
11
TDVC
Ah
VC
AhT
VC
Ah
TVC
AhTD
VC
Ah
ρρρ
ρρ
��$ r�>�)��'�L R)?�� �k� ' �+:
),,(
222
223
222
112
111
111
VC
AhK
VC
AhK
VC
AhK
ρ
ρ
ρ
=
=
=
� �� ��$ ]�? 5+ 7F �@� �� �� �3G:
),t( ( )
( )
=++−−
=−+
0
0
23222
2111
TDKKTK
TKTDK
� U�" ��� }3? 7F �@� ��8)� �% �+X� =�+ (��$ $� �@+�� 7'3\ 5+ (c 7��3)J� ��c:
),-( tmtmNeMeTT 21
1 ++= ∞
),/( 1
12
21
K
NeMeTTT
tmtm +++= ∞
' ' =+�3d }3? b+�� 5+�G a��@� ��$ 7'3\ ��:
),�( ( ) ( )2
4 31
2
3213211
KKKKKKKKm
−+++++−=
),�( ( ) ( )2
4 31
2
3213211
KKKKKKKKm
−++−++−=
),�( 2
21
0m
mm
TTM
−
−= ∞
),.( 1
21
0 mmm
TTN
−
−= ∞
: .%��#� ," �=�� )D-�� ��'( %���� Semi-Infinite
�~
b3� (�_S3 �� /�#(��0=τ �" `W� F��� To��� ,� .
),�(
،Tوxه�فT
x
T
Tkq
T
y
T
x
T
z
?)(1
1/
2
2
2
2
2
2
2
2
=∂∂
=∂∂
∂∂
=′′′+∂∂
+∂∂
+∂∂
ττα
τα
)ty( r$�� ��G 0)( >= ττ oToوT
5�9�� ��G iToxوT =)(
F ��� � | 5+gVL
)t,(
πατ
αττ
)(
2
)(
ioox
oi
o
TTkA
x
TkAQ
xerf
TT
TxوT
−=
∂∂
−=
=−
−
=
c (%"�i ,5���� ��2 :�_S3 �� `W�o=�( ,� ���B ,�"�i ,5������2 %S5 .
)2
1()4exp(/2
)4exp(2
)(
1
2
2
2
2
)2
1(
ατατπατ
ατπ
τα
τ
τα
ατx
erfk
xqxk
qTT
xkA
QTT
oq
x
Tk
ToxوT
T
x
T
ooi
o
i
oox
i
xerfkA
xoQ
−−−=−
−=−
>=
∂∂
−
=∂∂
=∂∂
−−
=
� (F��� �" ,W�S� �� /�#(�� %��#� ," �=�� )D-∞T���( ,����B .
X���J� ;�3&:
��
5�9�� ��G
+−
×
+−−=
−−
>∂∂
−=−
=
∞
==∞
)2
(1
)exp(2
1
)(
)(
2
2
k
hxerf
k
h
k
hxxerf
TT
TT
ox
TkATThA
ToxوT
i
i
oxox
i
ατατ
ατατ
τ
> . �fL � �����f�� j�S�fk �+��� ,��D-� �� F�!" G� F��'( %���� l�f!� �� �fL X
����� ���B ,C�*"�-
(a)%��#� ," IS�k
(a)τα ∂
∂=
∂
∂ T
x
T 12
2
oToxوT i == τ)(
ox
T
ox
o >∂∂
=
= τ
X���J� ;�3&:
r$�� ��G:
��
oTTk
h
x
TLxLx >−−=
∂
∂=∞= τ)(
C9 �@� �%(a)�' � | 5+ NSeparation of Variables=�� ��WL (�s�� . ;�)| 5+ �% r��+
Myers��| 5@&��� .
;�3&:
(b) ∑∞
=
−
∞∞
+−=−
1
)(
2
22
)sin()(2)(
n
LL
nn
nni
n
e
Lk
hLL
xCosLSinTT
k
hLTxوT
ατλ
λλ
λλτ
5|nλ 3G X� 5��J� ��$ C�+�' $� .
3�+ �Biotk
hL= �
=
k
hLLL nn λλ tan
0�6)�� ' ���� � Xs�f�? �k� $� '� ��d��� 7'���% . =����6� 5�+ =���> =����6� =*�� X�9��
� �+ 5| =�� XA�Y+�&Bi�> X� (��� ��$ .
)tt( k
hLBi =
�> X� (��� 5�'3? � �+ 5| =�� !*& ' �� �3� �3B� (�f�� X�� .
)t-( 2L
Fo ατ=
c
k
ρα = 5D �>α X�@� G�+ �)�'f+ k �)���+ 7'���% =���> �d�' �3B� (�f�� �� � =�� �)�'f+
=�� .Heisler C�+�' (b) =�� � �| !�' XA�> X�J�� 7'3\ 5+ �' . ���� ��d�� �> X�J�� R��'
@+ X+iBFo3 وG X� �� O3H� 5+ .!�'� �> X�J�� R��' :
)t/( � r�� 5�9�=Ti
f|�� r�� =To ∞
∞
∞
−=
−=
−=
TT
TT
TxوT
oo
ii
θ
θ
τθ )(
X�J�� $�)7<, ( 5��J� a�)K� b���G r��+ � a�)K� r�����$ ' �' 5JB\ f|�� r�� (�3� X�
�| .
X�J�� $� (�3� X� G�+ ]$F r�8� ��6� ' �� ���)7<t (=*�oθ
θ 5+ ��8�c '�c =�+ �'
C�+�' � |:
))((oi
o
i θθ
θθ
θθ
=
r�� �| 5��J� �' .
} X�J�� $� (�3� X� 5kJ9 �> ' �G �6)�� 7'��% 5��J� r��+)7<- ( �| � �B)��{.
X�J��)7<t( X�J��)7<,(
��
−=
=
∞ )(0 TTCVQ
Q
iρ
(b)%��#� ," �������
[ ]∞=
−=∂
∂−
=
=
=
=
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
TوrThr
Tk
Tو
TorوT
rFo
k
hrBi
T
z
TT
rr
T
rr
T
o
rr
i
o
o
o
)(
)0(
)(
111
2
2
2
2
2
22
2
τ
τατ
ταϕ
(c) X�L
[ ]
=
=
−=∂
∂−==
∂∂=
∂
∂
∞=
z
oo
o
orori
rF
k
hrBi
TrThr
ThTorوTFiniteoوT
rTrT
rr
ατ
ττ
α
),(,)(,)(
1)(12
2
��J�� $� � �B)�� ]�8�> ��>Heisler ��J�� R�� 5# 3G 5&3� ��+ �> $� �)���+ 5�'3? � r��+
t/y =�� } �\ . $� �) | 5�'3? ' t/y 5�| =��� ]$F �3�G ���8 > 5��'3? r��> r�� 5s�c r��+
$� r�)��+ 7V &Summation r��> X��J�� ' �� � R�� 5| �3G 5��J� Heisler ]��Y��
�=�� ��.
CkJ9 �� �G a�� 7'��%τ
R�@�
��
)? (F�!" �+$ ��D-� �� ��'( %����
(a)%��#� ," �\ �" F� �4��
)t�( τα ∂
∂=
∂∂
+∂∂ T
y
T
x
T 12
2
2
2
Z�?
)t�( ),(),( 21 ττ yTxTT ×=
( �| R����& �+)t� (' )t� ( 3G X� 5Y�)� .
)t�( 2
22
22
21
21
1
1)()(
1
Ty
TT
x
TT
T ∂∂
−∂∂
−=∂∂
−∂∂
ατ
ατ
7�JB\ ' =��> 5��*� � �% 5+ �Y�� 5Y�)�' =��KH 5+ =���� X+12 22 LوL R��� 3G X�
r�> X�J�� b�3� =9�% � Heisler=G3� (�3� X� �W9 �)*> �% �+�� :
)t.( 21 2
^
2
1^^
)()( LoLoTT
TT
TT
TT
TT
TT
∞
∞
∞
∞∞
−
−×
−
−=
−
−
(b)��!"� �" O!Y� 321 222 LLL ××
)t�( 321 222 )()()( LL
i
L
ii TT
TT
TT
TT
TT
TT
TT
TT
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
−−
×−−
×−−
=−−
λ
(c)]�!� � ���S� �\ �" �������
��
)-y(
Lcyl
i TT
TT
TT
TT
TT
TT
zوTrوTT
T
z
T
r
T
rr
T
2
1
21
2
2
2
2
)()(
)()(
11
∞
∞
∞
∞
∞
∞
−−
×−−
=−−
×=∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
λ
τττα
�J�: ��� 5+ r F3? r�>'3J�0.11 r�� �+ $3� $�� r� �'3| ' �)�1200KXA�Y+�& ���H �
Km
W2
100 3G X� � � '��� . '3J� 5�9�� r�� ���300K r��� �� �| X� 03^ 7� 5D G�+
5+ (c f|��800K���+
;�)| 5 � H 0�& I^:
488%2/51
05/01002/
1021.1,541
2.5178325
=×
==
×==
==−
k
hrBi
C
kو
o
α
ρ
⇐5)G��� N�' $� (�3� X� iL �| � �B)�� .
20:14)(8601.05417832
1004811.0)
1300300
1200800ln(
4
==⇒××
×−=−=
−
−
==−
− −−
∞
∞
st
t
eeTT
TT tcD
ht
vc
hA
i
ρρ
�J�: ��� 5+ ��+ r� 5���40mm�G 5)M�� 3| 73��� $� ) (� > 3| 73���Al2O3 r��
(c 5�9��800Kr�� �+ X9��� �+ (����� � KوKm
Wh 3001600
2= ��M $� iL 3G X�-�
3G X� ����L 5��� '� 5+ X6��� 5���d . ��' X� '�6� 5D 5+ X�F3^ X���$ $� iL 5��� r�� );�)| r��)�� ' ��3M 0�&(
5JB\
56��
��
43421 1.072.03/22
2
2/1600
2
10259.53.2210683970 5
>=×
===
×==== −
o
k
hr
k
hLBi
وcوkو
toc
αρ
�G a�� 7'��%)r���� C�+�' $�(
)1)(()(
)(
))((
oi
io
o
TTTT
TTcvQو
QTTcvQ
−−+=∞
−=
−−∞=−
∞∞
∞
∞
ρ
ρ
'� 3 � $�)7<� (!�'� :
KTQ
Q
r
tBiFBi
k
hrBi
o
o
o
o
561)56.01)(300800(30056.0
95.0)(
43.13.22
02.01600
222
=−−+=⇒≅
==
=×
==
α
�-�5:
)(αT(��$ ' 5��3)�� 5)*> � `�� R�8���� r�� st 35==�� .
�N �������� ����� ����� �3��!� F�
r@+ �� =9�%
)-,(
2
1
2
2
)1(
)0(
)0(
1
TxT
TxT
TtT
x
T
t
T
i
==
==
==∂
∂=
∂∂
α
�� `��k U��Explicit
)-t( ( ) n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
TTTTx
tT
x
TTT
t
TT
++−∆
∆=
∆
+−=
∆
−
+−+
+−+
112
1
211
1
2
21
αα
�� ,+=P U��Implicit
)--( ( )2
11
111
2
1 21
x
TTT
x
TTn
i
n
i
n
i
n
i
n
i
∆
+−=
∆
− +−
++−
−
α
(��$�� �G a�� 7'��%-�
��
��c X� =�+ (��f > '3^ 5+ �>�� 5| X*����� 7F �@� ��8)� 5+ 3G X��Y�� �� H N�'
]� �> ' !> 5+ =*� 5� � .=�� (�s� ]� � (��$ 0�� 5��� $� N�' � �> N�+ r��M .
∗ ��M ��� X�@� =�� '���L X� H N�' N�' X�9� 3�G X�� ���� ��M R�� 3G 7���J� '��
3G '�� ��M ��� � =�� '���L�� `��\=�� R� � ��| �G' . ���+ `���\ N�' r'����L r���+
!�G�+ 5)G� :
)-/( 2
12
<∆
∆
x
tα
0��� :
`��k U��
�p
)-�(
( )
122
12
2322
12
112
11
2121
11
)020(0
)2(
)220(0
2
100)1(
20)0(
0
Tyoxt
T
TTTxt
TT
Toxoxt
TTn
TTTxt
TT
xT
xT
T
o
i
ooo
i
nnn
o
nn
i
→+−∆
=∆
−
+−∆
=∆
−
⇒+−∆
=∆
−⇒=
+−∆
=∆
−
==
==
=
+
α
α
α
α
�> r�� 5| X)��/+ �' 5�6� (��$ �� ]� ]�� ( �| ��L 5+ q��G !�'�c =�n+1!��| X� .
,+=P U��
)-�(
)2(
)2(
)2(
14
13
122
03
13
13
12
112
02
12
12
11
1
21
11
TTTxt
TT
TTTxt
TT
TTTxt
TTo
o
+−∆
=∆
−
+−∆
=∆
−
+−∆
=∆
−
α
α
α
;�K)�� �+t∆ � 5x!�'�c X� =�+ i����� 7F �@� ��8)� $� �' ;�3& ����)� .
���� ����� �3��!� F��N ��!" �� �� ������� �
)-�( 2
2
2
21
y
T
x
T
t
T
∂
∂+
∂
∂=
∂∂
α
`��k U��:
)-.( )2()2( 112112
1
+−+−
+
+−∆
+−∆
=∆
−jiو
nn
jiوn
jiوn
jوi
n
jiوn
jiو
n
jiوn
jiوTTT
yTTT
xt
TT αα
)-�( xyوx
t∆=∆<
∆
∆
4
12
α r'���L ��G
�w
)/y( ( )111
11
11
1112
1
4 +++
++
++
++−
+
+++−∆
=∆
−n
jiو
n
iووn
jiو
n
iووn
jوi
n
iووn
iووTTTTT
xt
TT α
�~
72��J�� > ��>� ���+ ��*� =��KH �+ =K� '�3�2L] �[
��
72��J�� q�@G �+ =���� X+ 5��3)�� ��*��> ��>0r] �[
��
./�� ��� :01�)/��2 ��� ���) ��) !2��4 ��"2(
Convection Heat Transfer (External Flow)
=�� ��$ 7'3l+ XA�Y+�& I��^ $� 7'��% 0�6)�� � �+'�# X�\� 5�+�':
)( ∞−= TTAhq
(3��� 5+ 5�+�' R��]5��� A�����=�� U��@� f�� .
�l? R�� ' Q+�� ( �| ��L �� NV� � X@� ]� �hG�+ X� .
72=K� `�� �� U��^� ' ������� �'�> �$�� C�F [5��3)�� U��^� ' 5939 C�3 Y� � �>
���HX��Y+�& 7'��% 0�6)�� ���) h( ����L Q+�� 5939 ����'��� �J� $� �� (c ��� [�> ��� � �>
�+ ���� @+Re � Pr�� G�+ .=?�� >�3M '��� hJ+ '3� �)��+ g' 03^ ' ���� R��.
&�����- G���Y� �" �D���� :
!�'� 5)�*)�F� ' X�| '3^ 5+:
),(
=++
=++
=+
0
0,
0
,,
,
yyyyx
xxyxxx
iij
f
f
f
yx
y
σσσσ
σ
!*& �'�& $� '� X?�| �$��� 5+ 0��� r�� XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H
7'��% 0 �� O3��
��
5s�'3�+
)t( x
xxxx x ∂
∂=
σσ ,
xxyyxy σσσ ,, =�& ' 0���� r�> 1�� ����� 5+y�x �)*�> X�G�+ 1�� � .fi X� Y% r�����
=�� ]�& ����.
���V| 7F�%��|� r��+ }3? 7F �@�' Closed Form Solution I���^ $� 7F �@� � !�'�
�� �% �+�� I�� r��G�'.
3G X� 5)G3� ��$ 7'3\ 5+ r@+ � !|��� �+�� ��{ 7F��� ' !|�% 7F �@�:
)-(
=∂
∂+
∂
∂∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
0
)(
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
y
v
x
u
y
v
x
v
y
p
y
vv
y
vu
t
v
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
t
u
µρ
µρ
ρ �3lK� ]�&uv, [!A�� � X6?� =��� r�> 5B93� p ['��? µ�)*> ������ 5)�$3s�� . R��
7'3�\ 5�+ 5�D 7F �@� R�� �% �s�� X�\� =�� 5| �'�� 5)*+ ;�3& X�| =9�% ' 7F �@�
r � r��G�' 7'3\ 5+ 5D � X���J�)r��3�E��| ( ��� 3&� ��8� 7'��� 5�+ ��� X�M��{ r��
=�� XA�Y+�& 7V & . G�+ f�D�� X��M 0��� =��� 5| XA��)9�% ' )�f9'��*+ 0��� (���& ( X�
1KL � '��? 7V & �+�6� ' XA�Y+�& 7V & $� (�3�(Diffusion) �| �k�?�\ . 7F �@� ��8�c
��L (c r���+ f��� 5)*+ r�> ;�3& (�3� X� � �3G X� �% �� =%�' ��| �. X�^ '3�k�� R��+
�% 3� =�@+ R��� > =�� �G U�\ 7F �@� R�� �% =�& X�&3� �+�� NV� ��M� 0��\
'���)M� ' � ���c =��+ X�+�Y� r��> N�' �� | 5�+ r �+'�| ���)� $� r'��*+ [Q��& X���J�
=�� 5)?�� '��� (����� .
G3� ��$ 7'3l+ XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ��*���B� 59 �@� 3G X� 5) .
)/( )()(2
2
2
2
y
T
x
Tk
y
Tv
x
TuCp ∂
∂+
∂∂
=∂∂
+∂∂
ρ
��% i|3)��� ������ 7F �@� �)+� =�� ]$F }3? 59 �@� �% r��+ 3G X� 5k%V� 5| '3��� >
=��� (��� � �3G),( υu r'���L�� � 7F �@� ( 3+ X�M ��{ $3�> b���G R��' � �� R��@�
� �)*> �$ �s�� XA�Y+�& 7V & �)*� r � r�> ;�3& is��+ � �J� X���J� r�> ;�3&
3+ �>�3M X��6� X9� �J��� . R���@� =��& X�+�Y� r��> N�' $� � �B)��� $3�> =9�% R��'
r��>�8)�� q�3��� =M��� � �' X�� '��s+ 03 @� '3�+ ��s�\� ����H � 7'��% 0�6)�� ����H
����� r���� �$����) (PIV) Particle Image Velocimetry ��� (Laser Doppler Velocimetry (LDV) �'
5)BGc r�> (���& ' �3lK+ ]3)� � 0�6)�� � 7'��% 0�6)�� r�> ��L $� r�� I�� � �� I� �
=�� 5)M�� !>��? . � r � [X���J� �%' R�66J� r�> NV� �+ �� f� ���c ' �' X� �k� 5+
��
L $� r�)��+ X+�Y� r�> N�' r��� '�s+ r��>�8)�� ����� � ��> R�G��3+'3�' 0�6)�� r�> ��
X�'��%<+�� X� !>��? X� ��+ .
�,4�4S5 F�� U�
H�� I�M �M��!� ��!"� �4S5
The Laminar Boundary Layer Equations Using Scaling Principle
03^ 5+ =K� CJB\ �� ��' $� ��WL�� !#��� 0��� (���&L���8+ �k� ' �' . C�F C9 �@� 0�%
�� '��� 5@9��� '3� � �@+� ���J� $� � �B)�� �+ �' �$�� !�> � $� =��� 7����P�u=0 ��
∞= Uu $� �' �� 7����P� � oTT = �� ∞= TT �k� ' �� ���!� . C�\�? ' x 5� % C9 $�
�$�� C�F =��KHδ=�� ) δ �$�� C�F =��KH�$��� (�3�� 5+ $� =��� (c ' 5# =�� ��
�� �B\∞U�� ���P� �#.( 5JB\ $� '� �?�# �$��� 5+ 5�%�� '=��� ∞U �� [∞T ' =��� [
=�&y '��? � �B\ ∞P=�� . �$�� C�F 5+ �� f� C�%�� ' 5Y�)� ' )5�%�� ' q�B�'� �+ ��δ $�
03^ � 5JB\L ( �@+�)Scale ( 7����P� ���+ ��$x,y�� 5)?�� �k� ' 3G:
)�( ,~,~,~ ∞UuyLx δ
+�� 5�\3� (��3Y��� 5 3G 7F��� ������ 5+ �3+�� h%�� 1K+ R�� C@9��� $� �� , � t
'������ �.
�� Z�? !��#5B93� 5# �+ =��� ��>U(�� ��� � �+ =��� ��>L
U�G�+ ����)� . $� ����>
!��� � �k� U�\ '��? 7����P�)=�� �)�' Z�? =K� CJB\ '3� ' ()��3� C9 �@� ��8�c ' !
=�&x�� � � 1�� � ��$ 7'3l+ 3G:
)�( 2
~.
L
U
L
UU
L
Uυ+
)�( 1~υ
UL
).( 1~ReL
5Y�)�:
1KL 5� & 5��c ���+2
2
y
u
∂
∂υ5� & �+ � ��'f+ C��� 5# =�� ]$F G�+ 5��� !> X��Y+�&
Re �% 1G�+ .+��+��+ R��� 7V & 5��c � ���+Re�G�+ 5��� !> f�� F�+ ��> . 5# =�� ]$F
03^ �+ (���& �+ 3 � =�& ' 5lK�� � ��8�c [G�+ ����)� �$�� C�F =��KH (�3�
=?�� �' ��� ���)�
�L �8)�3Continuity
)�(
δv
L
U
y
v
x
u
≈
=∂∂
+∂∂
0
),y( L
Uv
δ~⇒
��
=�& ' !)��3�x
),,(
L
UUL
L
U
L
U
L
UU
L
U
x
P
L
U
L
U
U
L
U
dx
dPUU
LL
UU
y
u
x
u
dx
P
y
uv
x
uu
L
L
2
2222
2
2
2
2
.ReRe/
~
)1
1
2
2(
2122
)22
(1
..
)(1
==≅
+
<<↓
+∂
∂−=+
++−=+
∂
∂+
∂
∂+
∂−=
∂
∂+
∂
∂
υυυυ
δυ
δ
δ
υρ
δυ
ρδδ
υρ
��� is��+ ��ox
P~
∂∂'f+ 5��� ��8�c �G�+ �+��+ ��+ XA�Y+�& � 1K+ X�
),t( L
L
U
L
U
Re1~~
2
2
δδυ
⇒
=�& ' !)��3�y
),-(
1
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
11
).
(1
..
)(1
<<↓
++
∂
∂−=+
++∂
∂−=+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
LL
U
y
p
L
U
L
U
L
U
LL
U
L
U
y
P
L
U
L
U
L
UU
y
v
x
v
y
P
y
vv
x
vu
δδρ
δδ
δδδδ
ρδδδδ
υρ
iL
),/( 2
2
~1
L
U
y
P δρ ∂
∂−
�sG
),�(
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+→− ∫
2
22
3
22
2
22
2
2
.~~
~~
LL
UO
p
L
UO
x
P
x
P
L
UPPdy
L
UPP
x
o
δρδρ
δρ
δρ
δδ
δ
δδ
�9�
),�(
+
∂
∂
=∂
∂
2
22
.0~
),(
LL
U
dx
dP
x
P
inviscidisFlowyoftindependenisPdx
dP
x
P
δρδ
δδδ
��
=�& ' !)��3� C9 �@� ' }3? ��c =�+ ���)� $� � �B)�� �+x:
),�(
2
222
22
2222
)(1
~
.11
~
1
δυδ
ρ
υδ
ρρρ
δ
δ
U
LL
U
dx
dP
L
U
U
LL
U
dx
dP
L
U
L
U
+
−−
∂+
−−+
<<↓
59 �@� R���+��+ !)��3� =�& ' x:
),.( odx
dP
dx
dUU =+∞
∞ρ
�� 5)G3� ��$ 7'3l+ 3G:
),�( 2
2
y
u
dx
dUU
y
uv
x
uu
∂
∂+=
∂
∂+
∂
∂ ∞∞ υ
5*��6�
)ty(
1)(~)(~
)(~
)(~
,
2
22
2
2
2
<<∂
∂∂
∂∂∂∂
∂∂
∂∂
Lo
LU
LU
o
xP
ydP
L
Uo
y
P
L
Uo
x
P
x
P
y
P
δδ
δρ
ρ
��
)t,( x
P
y
P
∂∂
<<∂∂
=�& ' ]3)� � Y
)tt( 0=∂
∂
y
P
����� C9 �@�Energy Equation
)t-( ≡
+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂ϕβρ )()()(
2
2
2
2
y
pv
x
puT
y
T
x
Tk
y
Tv
x
TuC p
�� 7V & ��'f+ C��� ��'�+ 5+ (3�#� !�$� �L:
)t/( ϕδ
ρδ
ρβδδ
δρ +++++ 2
2
2
22()
11(~)( U
LL
U
L
UUT
LkT
L
U
L
UTC o
op
�� Z�? �G�+ 5��� !> ������� �'�> � ��'��% �$�� C�F =��KH !��#) ' �@+ 1K+ '
�� � � `�H3� �)��+ '3� R�� 3G (!�'� :
)t�( TCLL
U
CLc
k
L
U
L
U
Ppp
ρϕδβ
δρ+++++
<<<<
)1()11
(~
1
2
23
2
1
2
��
)t�( 222 )()(2)(2x
v
y
u
y
v
x
u
∂∂
+∂∂
+
+
∂∂
+∂∂
= µµϕ
2
2
2
2
4
22
2
2
2
2
2
2
22
~2~
)(~
δµ
δδ
µ
δδ
µδ
δµϕ
U
L
U
L
UU
L
U
L
UUU
LL
U
+++
++
+
L
U
UL
UUU32
2
2
2
2
~/
~ρ
υυ
ρδ
ρυδ
µ =
5Y�)�' :
)t�( 2
)()(
2
2
)(
ab
py
u
x
PTu
y
Tk
y
Tv
x
TuC
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂µβρ
]�� $� }3? 7'�� ' a �� �k� U�\ 5)G� 5# �)�� !��# !�G�+:
)t.( 1/
/~
223
<<==TC
UEcif
TC
U
LUTC
Lu
Inertia pppρρϕ
]��(a) $ 5# =�� ( �# �k� U�\ �+�� ����Ec<<1 ]�� '3� ' G�+ (b)�� =G3� (�3�:
)t�( T
LUT
LU
termpressure βρβ
ρϕ 1
~3
3
=
��� $�� ���+ 0c
)-y( TT
oT
p
1)(
1),1(~
1−=
∂∂
−=ρ
ρβ
β
7�@��� ���+) ����;c(
)/y( termpressureT >>⇒ϕβ 05.0~
��D 0�% �> 5+� $� 5�ϕ� U�\ kG >�3M �k� U�\ f�� '��? ]�� !��# �. 7'3l��� ' 5#
�� � �� ��$ 7'3l+ ����� C9 �@� 3G:
)/,( 2
2
y
Tk
y
Tv
x
TuCp ∂
∂=
∂
∂+
∂
∂ρ
H�� ��M ��P��FThermal Boundary Layer Assumption
)( ∞−= TThAq S
5�+�' R�� ' Ts [`�� ��� ∞T �� !*& $� '� �?�# �$��� 5+ 0��� ��� 5# 5�38�� > G�+
��% 0�6)�� !*& ��� f� ' G �'�G� f�� V�' I��^ $� ���� 7=��>�� ]�Y�� R���+��+ [ ���:
0=∂
∂−= y
y
TkAq
0��� 7'��% =��> ���H
�p
72=K� `�� �� ��' �+ �$�� C�F
��|�� �+=G� !�>�3M }3? C9 �@� � :
5��J� ���+h!��| ]3�@� ��+ ?0
=∂∂
−∂∂
−=
∞
=
y
T
TT
y
Tk
hS
y
��?)( == yfT
h :X@H3� XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H:Cm
W
°2 Coefficient Local Heat Transfer
�h 3G X� a��@� ��$ 7'3l+ =K� 5JB\ r��+ 5| =�� b�3)� 7'��% 0�6)�� ���H :
∫
∫
∫
∫
×
××
==dx
dxh
dA
hdA
hx
o
x
o
x
o
x
o
)1(
)1(
%�� Z�� 5+ =K� 5JB\ r��+
0��� :G�+ ��$ 7'3\ 5+ X@H3� XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H ���h�A� � 5��J� �' .
x
x
o
x
o
x
o
xxx
x
hxh
axdxxx
adxax
xxh
axxhdxxhx
h
axxh
1.1)(
1/11
)(
)()(1
)(
1.01.01.0
1.0
1.0
=⇒
===⇒
=→=
=
∫∫
∫
7����P� 5| 3G X� 5k%V�hx� xh 3+ >�3M ��$ 7'3\ 5+ .
������� �'�> �$�� C�F ' =��� Q�$3� ��'��% �$�� C�F ' �� Q�$3�
Tδ Tδ
�w
& Gf� �f\ �� ,C�f*"�- ����f� �f���� O��P � %N�� FH�� ��M �����[5 �D����
�S�k:
�"��5� FH�� ��M �M��!�H�3�+�� & /��h3�L (Colburn-Reynolds Analogy)
+ ' K1 !� '�c =�+ �' ������� �'�> � ��'��% �$�� C�F 7F �@� ��� ��> . 5k%V�
�� R�� �% 5# ��#�(��c �)*� 7F �@ ����� ���# 7F �@� �% $� ��<=�� i#3)�� . R���+��+
�� 5)*+ �% ��M b���G ' (�3�)Closed Form (� '�c =�+ f� . g3�$�V+ �% 0��� ���+
Blasius N�' $� ��� 5+ =*� =��� Q�$3� 5+��� Z�? �+ 5# =�� '3� R�� ' ���V# ��>
��+��� ���P)�δy�� C9 �@� 7'3l+ �' �$��C�F X�f& 7�6)�� ��*���B� 7F �@� (�3�
3 � �% �)%��+ � =G3� �93 @� ��*���B� . hJ+ '3� g3�$�V+ ��+��� �% ��f& R�� ' 5)9�
=?�� >�3K� '���.
�� '��+ 7'��% 0�6)�� ���H � ����\� ���H R��@� ���+ 5# ��8� N�' (3? N�' �'< R�'�#
Von-Karman + 5# =��l0��8)�� 7'3 C�\�? ' 7F �@� $� ����y=0 �� δ=y Z�? �
5� & �D Q�$3� �� �� � =��� ���+ �� G�+ .�� ����3M �� 7F��� �)# 5+ 5@&��� �+ ��3�
N�' 7'��% 0�6)�� �H��' ��>}3? �#W9�> '��� 5@9��� '3� �'.
� !)��3� 0�6)�� ]f����� � R�+ 5+��� X��Y+�& 7'��% 0�6)�� hJ� ' 5&3� �9�& 7��� $� ���
�� 7'��% 0�6)�� G�+ .� 7'�� 5+�� � 3�G �' � ���f�? �k� $� 5# 5�38�� > �8 0�6)�� (�3�
�~
f�� �H��' ��� $� �# ��*B� 5+��� '3�+ !^V)� � ]�'c (���& ' �' 7'��% 0�6)�� � !)��3�
�� =�+ 0�6)�� q3� � ���+ !> 5+��� 7F �@� ��c.
72������� �'�> � ��'��% �$�� 5�F
)/t( )(
1
)(1
2
2
2
2
2
2
2
2
y
v
x
v
y
p
y
vv
x
vu
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
νρ
νρ
Z�? :0=∂∂
x
p=�� X)�' Z�? =K� CJB\ '3� ' [ .
)/-( 02
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=∂∂
⇒∂∂
≅>>≅∂∂
x
U
x
u
L
VV
y
u
δ
Xs����� �'�> r$�� 5�F 59 �@�:
)//(
∂∂
=∂∂
+∂∂
2
2
y
u
y
uv
x
uu ν
X�'��% r$�� 5�F 59 �@�:
)/�( 2
2
y
T
c
k
y
Tv
x
Tu
p ∂∂
=∂∂
+∂∂
ρ
�!��| X� @+ X+ �' 7F �@� �)+� !�>�3M =G:
)/�(
l
xx
V
PP
V
vV
ly
yTT
TTT
V
UU
S
===
=−
−==
∗∗∗
∗
∞
∞∗∗
2ρ
3G X� �\�% �G @+ X+ C9 �@�:
)/�( 2
2
Pry
T
y
Tv
x
Tu
∂∂
=∂
∂+
∂∂ ∗
∗∗
∗
)/.( αν
=Pr�)���L �
�)���L �3� 1KL =*� ���f�? �k� $�� !)�υ�� 7'��% 1KL 5+ G�+ .�> ���Pr=1 ' G�+
+ 7'3l�cG�>�3M �+��+ ������� �'�> � ��'��% �$�� C�F =��KH 5# =�� ��� . �k� $� 5)9�
9��8)�� �� ��+��� �% �+ �H��'��� 5# � (��� (�3�3
1
Pr=tδ
δ C9 �@� 5+ 5&3� �+ (3�#�)//( �
)/�(�� �# Z�? �� � =��� Q�$3� ���+ �' ��$ Q+�3� (�3�:
��
)/�( Pr)Re(
Re),(
2
1
xfTوyوو
yxfUو
∗∗∗
∗∗∗
=
=
!�'� �G�+ 1�� a��@� $�:
)�y(
Re)(Re
1
2
Re)(
21
21
Re)(
3
322
300
xfوyوC
xfوLV
V
VC
xfوL
V
y
Vu
y
u
f
f
yy
∗∗
∗
∗∗
∗
=
=
==
=∂
∂=
∂
∂=
=
ρ
µ
ρ
τ
µρ
µµτ
$� =*�'�� ��'��% '�G a��@� I^:
)�,( ∗
∗∞
= ∂∂−−
=∂∂
−== y
T
L
TTk
y
Tkq s
y y
)(00
)�t( Pr)Re()(
)(4 xfوو
TTL
TTk
TT
qh
s
s
s
∗
∞
∞
∞ −
−−=
−=
�+ � �� a��@� ��$ 7'3l+ =���� @+ 3G:
)�-( Pr)Re,,( *4 xf
K
hLNu ==
�� 5k%V� (3�#� �� � ����> 5# Pr=1 7F ��@� 5+���� ��9�+ ��8�c G�+ // � /� ���G
Q+�3�f3 � f4 3+>�3M 5+��� f�� . �>�3M 5+��� 7'��% 0�6)�� ���H � ����\� ���H 5Y�)� '
3+. �' (3)��)�� @+ X+ � ��$ 7'3l+!��| X� a��@� :
)�/( 2PrRe
f
P
C
VC
hNuSt →==
ρ
72 Q�$3� ���H�6)��=K� `�� ��' �+ 7'��% 0
C�+�')�- ( �j�� =� >� 7'���% 0��6)�� ���H ( '�c =�+ ���+ 5# =*�c �8���+ � '� ��
��\� �)��'�L =B> ��& 5+ �'3�� �� �+�Y� N�' $� X��Y+�&)∞ULCkh p ,,,,,, µρ ( $� �����
�+ ���� 5� @+Pr, Nu � Re�� 3 � � �B)�� (�3�.
C�+�' =� >�)�/:(
��
C�+�')�/ ( '� ]�� $93��' 5+��� . 7'���% 0�6)�� � =��� (��� R�+ 5�+�' 5# �'� 5&3�
�� '����+ 5�+�' �� � . b���G ' 5�+�' R�� 5)9�Pr=1 � 0=∂
∂
x
P ��c =�+ R��� ��+ [=��
�� 3&� �� 5�+�' R�� $� � (��� (�3� ��� $� �@��� a�^ ���+ (�3� Pr �� � �B)�� (�3�
3 �]� [�� ���# ��$ 7'3l+ 5�+�' =���� ' � 3G:
)��( 60Pr6.0Pr2
32
<<= StC f
��7�: 16� '��? (�� ��� =K� CJB\ ��' 5)BGc (���& ' ��) # C�9 �@� � '� )�� ( '
3+ >�3M } �\ ���6� 7'3l+ f�� =9�% R��.
�J� : ��+�' �sG ' xx hوhqو�'�c =� 5+ �' .
5105Re ×<=µ
ρVxx
CKB\ 0�& $�.t!�'� :
xNu=31
21
PrRe332.0
�> ���+x ]3�@� →= xx
x h�1&م��1&م�
k
LhNu
)20100()(
PrRe664.0
)(
31
2/1
−=−=⇒
=
−=
∞
∞
xsx
xx
S
hTThq
h
TThq
`�� %�� ��$� 5+
���+� �� H� /���- b4�T� ��
��
5��> ��' $� 0��� (���& ���+ �+ a�)K� ��> 03���? $� �� b��3� ��G ������L ��+�Y� ���>
=*& 3� a�)K� (�66J�. 5��3)�� r��+ 0��� r��+ Nu �*%�+ $93��' 3G X� a��@� . ���$ '
�G 5A�'� 5��3)�� ��' $� (���& ���+ �' 7�E��> �+�Y� 5�+�' =��.
),�(
=
=
µρVD
k
hDNu
Re
725��3)�� ��' $� (���& ] �[
�*5 �W"����K�4� ,"
r�� ' ��3M ]� �→== 31
PrRem
DD CK
DhuN=�� 0��� !��? .
��- $93��' a�)K� ��� ��$� 5+ ����� Q�6� ���+ 7���> 5�+�' �� �6�
m c ReD
0.330 0.989 0.4-4 0.385 0.911 4-40 0.465 0.683 40-4000 0.618 0.193 4000-40000 0.805 0.027 5104 ×40000-
5��3)�� ��' $� (���& ���+ ���� }3? 0�& ' �G 5A�'� ��� 5# 3G 5&3� ���� Q�6� �+ ��> ��
5��> ���+ � =�� } �\ a�)K� ��>)1G Q�6� � ������ [�@�H (... R��� �j��� 0���& $� ���+
3 � � �B)�� Q^�6�.
��- a�)K� Q^�6� ���+ 7���> � �� �6�
��
0��� : ��' $� �3> (���& �)K� CJB\ �� '3� ��$ 7�lK�� �+ �# . R�� ��' $� 7'��% 0�6)�� O��
�+��+ �' 5��3)��.
731.0
228.0
105.1109Re 53
=
=
×−×→
m
C
D
�-�5:
X�3���3� b+��')X+�Y� ( ( �| ��L r��+uN ��> (c =�� 5| G�+ X� 3&3� ��| � 5��3)�� 03%
=�� 7��B)�. X&'��M (����& ' XA��Y+�& 7'��% 0�6)�� hJ� �� s� 5+ 0��� 5� �|� �+ ����
X� !�$� �L:
8( '��? ' �3>1 arm r�� � 50oC (c r��� 5�| X�)K� }'� `��� ��� r�' r$�3� '3^ 5+
100oc '� (���& =�� . 5JB\ 03^0.2m (c r���L � 0.1m 03�^ r��� �+ $93��' � =��
5JB\4104 × =�� . � �3�> �$c (����& =���� ��� �=�� '6D �3> 5+ 5JB\ $� ���� 0�6)�� ���
(c '��? � �+��+10 atm�G >�3M '6D ���� 0�6)�� ��� [ 3G
��
�:
;�)| r��)�� 0�& I^:
6.17)50100()02.0(6.176.172.0
299.0118118
118Re664.0
))((
7.0.
0299.01384
33.05.0
=−××=⇒=×==
===
−×=
==→==
∞
xqL
kh
prK
LhuN
TTLwhq
prوkm
mkatmpkوT
L
L
sL
o
f
'��? ]� = *�' ,yiL =�� �G �B* �� :
5112,
1212
108Re20)(102Re
1.010
×==××==
×=⇒=
νν
ννρρ
ULULL
$�� $� � =�� �G ��$ $93��' �5105× $� ��+ � G >�3M N3�P� (���& iL =�� 5)GW�
3 � � �B)�� �|�� r$�� 5�F X+�Y� 7F �@�:
[ ] ( )
6.143)50100)(2.01.90(6.143
6.1432.0
0299.0961
7.0871)108(037.0Pr)871Re037.0( 3/18.0531
8.0
=−××=
=×=
×−×=−==
q
uN
k
LhuN L
L
G >�3M �� ��$ '��*+ XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� iL .
:( � ]�� 5kBJ� �� rF�+ `�� U�\ 1K+ �� $(A) U��\�� �V���| 1�K+ �� � (B) ��s���
'� '��� b�J� r�3> (���& Z�@� ' `�� R�� =�� �G .
��
7F���% $� ������| ' , � t ����� �=���� ���) | XA���Y+�& 7'����% 0���6)�� '���6� Ts=100o
�oTو
smU 2020.0 == ∞∞�=��'6D =9�% �> ' XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ��� G�+
� :
c��L F�#��� ��- Rh\ 6-�� m:
=�@H� ' 5| XA�Y�c$�t 7'���% 0��6)�� �G �>�3M N3��P� �)+� (� > $� 5JB\ r�' (���&
=9�%' �) |,�c X� 3&3+ .!��| X� � � ��$ I��^ 5+ (c'�6� 5��J� r��+ X9�:
←=→×=
→×=×
== −∞
48.0105Re
1009.1102.19
20Re
5
66
cx
L
x
v
LU
$ 56��� 5+ (��' $� ��+0�� =9�% ' r�
��
[ ][ ]( )
Wq
TTAhq
h
qquNuN
uN
uN
s
1568
)20100)(15.0(2.39)(
2.391
)107.28(1366
21407.0)1009.1(037.0
1366)7.0(871)1009.1(037.0
1
11
3
1
2112
33.08.062,1
33.08.061,2
=
−××=−×=
=×
=
<⇒>⇒
=×=
=−×=
∞
−
>( � �@�� 1 G Q�H 5+ X���)*cm10 r�� �+ =KL $�+ �'3# $� ( '�c (���+ $� iL C°285
r�3> (���& ' ��M b�3)� r�� �+ r� ���# C°50 ��� X� '��� ، ' 7'��% 0�6)�� (�f��
�=�� '6D �'3# $� ���M r 5kJ9)�+ �' �+ R? ��# Z�? =��� s
m2�+(.
�3>
T=285
T=50
�:
2.0)1.0()1.0( 22 =+=D
!����� 5��J� �' $93��' �:
8.496881018
2.02Re
6=
××
== −∞
νDU
588.0,246.0 ==⇒ mC
��3M 0�& I^ :66.01027
1018Pr
6
6
=××
== −
−
αν
3102.27 −×=k�
64.123)66.0()8.49688(246.0PrRe 3
1588.03
1=××→==⇒ m
DD CK
DhuN
52.72.0
102.2764.123
3
=×
×=×=→−
D
kuNh
Cm
WTThq s °
=−×=−×=′′→ ∞ 22.1767)50285(52.7)(
h 1<h 2
�p
�4QD�: 03^ 5+ r� 5JB\ r��+ �' 7'��% 0�6)�� r'3�� � X+�Y� b+��' $� � �B)�� �+ , � �)�
+ (c r�' �+ N$� 5# X6?� � r 3 � =9�% � ' =���� X+ Z�� =��� �, [ G��� 5���d �+ �)�
��# 5*��6�).��# �A�� �' 3M 5Y�)� 5JB\ � �3> ���+ �� Z�? �+ iE�(
�w
��-5\VM ��' �+ (���& ' 7'��% 0�6)�� � ����\� ����H 5��J� ���+ �+�Y� b+��' $� ��
�B\ 5� % C���$ �+ =K� 7�JB\] �[
�~
��-���+ 7'��% 0�6)�� ����H(���& �&'�M ��>] �[
'� 5�� �
��
$� 5�� ��� 5JB\
��
.�6 ���:
01�/��2 ��� ��� ��)��"2 07)4� %�#(
Convection Heat Transfer (Internal Flow)
=�� ;3��� 0��� � 5939 '�& R�+ XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H.
!��' q3�
r$�� b���G q�3��
X�'�+:
72�M� (���&�) � �'� ��� Q�$3� � 5)?�� 5@�3� ��� Q�$3�(
!�'� 5)?�� N�)*� 5�%�� ' :
=���:
Laminar ]�'c
Turbulent N3�P�
=+�d X�'��% '�Gcteq =′′
=+�d �'�& r�� cteTT sw ==
r$�� b���G $� X�3 � =9�%
)()( xfT��xqq w =′′=′′
, (5939 r �'� 5�%�� ' Entrance
t ( 5939 r �'� $� '� 5�\�? ' (���& (���)5)?�� 5@�3� (Fully Developed
��
),(
5939 '
(���& r��+
5JB\ � R�+
)1(0
12
2
2
2
2
2
2
L
yuu
y
u
x
p
r
ruu
av
o
av
−=→=∂∂
+∂∂
−
−=
µ
Xs����� �'�> 5)?�� 5@�3� (���& ' :
)t(
∂∂
∂∂
=∂∂
r
Tr
rrx
Tu 1
α
)-(
=∂∂
=
=∂∂
constx
pvx
u
0
0
X8)?�� 5@�3� b���G
�� ,=*� Z���� F��� b��!5Bulk Mean Temp
)/(
ctehctek
h
r
TkqوTThq
constTT
rrr
T
TT
TT
rxf
TT
TT
xfAV
uTdA
ucdA
TdAucT
o
o
rrmw
mw
o
rrmw
w
mw
w
av
m
=→=⇒∂∂
−=′′−=′′
=−
=∂∂
−=
−−
∂∂
→≠−−
===
=
=
∫∫∫
)(
)(
)(ρ
ρ
A=�� 5939 Q�6� `�� .iL 5| !���� X� 5Y�)� h $� X@+�� x=*�� ) .5)?�� 5@�3� (���&' (
FH�� Z���2 l���n /���- ������� �!��5 ��
�� ��+ ��G ' �� Q�$3� =+�d ��'��% '�G �� � =+�d �'�3� ��� =9�% ' 5# � (��� (�3� �@+
=�& ' (cx � � ���P� ��� �6�� 5)?�� 5@�3� �%V�\� � �# 5�Y�)� ' 3�GNu $� �6)*�� x
�� =�+ �c .�'�3� ��' $� =+�d ��'��% '�G �+ (���& �)+� � ��'�+ �>� 3G.
��
)�(
)(
)(
)(
11
2
)1(2
00
1
)(
2
2
2
2
x
TrTو
x
TrgTو
x
TrووrfT
r
Tr
rrx
T
r
rV
ro
ruu
r
Tr
TTrr
r
Tr
rrx
Tu
x
T
x
T
x
T
dx
dT
dx
dT
cteTThq
mom
moo
mo
m
o
av
wo
m
mwmw
mw
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
−
−=
=∂
∂⇒=
=⇒=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
=−=′′
ψ
α
α
5| =?�� 5Y�)� (�3� X� F�+ b+��' g����+:
)�( 36.4
11
48
11
48
)(
===⇒=
−=′′
k
hDNu
D
kh
TThq mw
����� ����� O��P ]��!5 F��" ,5�h��S� � ,"�*5 Z"���
, .5)?�� 5@�3� �V��| r� 5�F (���&:
1K+ R��' Tbr�Y+ Tm=�� 5)?' '�s+ .
)�(
ωω ω rrbrrb
wb
bw
wb
w
dr
dfkhTThA
dr
dfTTk
TTkq
TThq
rfTT
TT
== =→−=−−
−−=
−=
=−
−
)()(
)(
)(
)(
$� X@+�� nD = � (3Dx 5Y�)�' G�+ X � h Q+�� f�� x=*�� .
1-a=+�d '�3� X�'��%'�G : (q=constant)
).(
36.436.4 =→=k
hdNu
hpl
qTThplq =∆→∆=
11 bw TTT −=∆
Tb1 Tb2
Tw1 Tw2 q=cte
��
��$ 5�+�' $� (�3� X� 5��J� r��+ 5Y�)�' �| � �B)�� f�� .
)�( 22 TbTwT −=∆
1b<=+�d '�3� ���
),y(
)(
66.366.3
xTTwT
Thplq
k
hd��Nu
b
d
−=∆
∆=
==
X��6� N�':
),,( 2
)( 21 TbTbTT w
+−=∆
I�� N�':
),t(
−−
−=∆
−=∆
∆=−=
−−
=
=−−
=−
=−
+=−+
∫ ∫
2
1
12
12
12
2
1
2
1
1
ln
)(
)(
ln
1
ln
)(
)()(
2
1
TbT
TbT
TbTbT
hpl
TbTbCmT
ThplTbTbCmq
TbT
TbTh
Cm
lTbT
TbT
hp
Cm
dxTT
dT
hp
Cm
dx
dTCmTThp
dxdx
dTTCmTThpdxTbCm
w
w
p
p
w
w
p
w
wp
Tb
Tb obw
bp
bpbw
bbpbwp
&
&
&
&
&
&
&&
l
ρ
t . U�\ r�> 5939 ' 5@�3� 0�%' r� 5�F (���&=+�d '�3� r��
Tb1 Tb2
Tw
��
),/( [ ]14.0
3/2
Re)(04.01
PrRe)(0668.066.3
++==
ωµµa
avL
D
LD
k
hDuNb�3)�
�'�3� r�� ' →ωµ
),�( log
2
21 Tو
TbTbT
ab ∆+
=
=�� � '��� 5+ �3+�� �8� U��@� C�+�'(Sieder and Tate)�� 3G:
),�(
)(2
1
10PrRe
)()(Pr)(Re86.1
21
14.031
31
bbw
wDd
TTTT
Tplhq
L
D
l
duN
−−=∆
∆=
>
= µµ
- . ���+5�F (���& 5939 ' 5@�3� 0�%' r�U�\ r�> � =+�d X�'��% '�G ' �sG ��$ =��3�
X@H3�� � (��� �G =��.
72���� Q�6� �+ 5939 ���+ b�3)� � �@H3� =���� 5@�3� (���& �+ 5939 � �'� Q�6� ' ��
5)?��
��
)2
( 21 bb TT +
d�k F�� �3�3 �� ����� �!��5 U��[� /���-
(Reynolds Analogy) ��(Colburn Analogy)
),�( y
um ∂
∂+= )( ευρτ
mε5+� �� =&f9 ���� a��@� N3�P� (���& ' 3G.
),.( y
TCq Hpw ∂
∂+−=′′ )( εαρ
Hε� 5+� �� 1KL ���H f� �� a��@� �� 3G . � �G�+ 1�� � ��'��% '�G ��M Q�$3� Z�? �+
=&f9 ��+��+ Z�? 5+� �� ��> 5+� �� 1KL ���H � �� =G� !�>�3M ��:
),�( )1(R
y−= ωττ
)ty( )1(R
yqq −′′=′′ ω
)t,( Hm εε =
���
)tt( 1Pr, == αυ
$� ��8�c),� ( �)ty(
)t-(
av
wp
x
b
x
bw
wp
avw
T
T
u
owp
w
wpwp
w
u
Ch
TT
qh
TTc
uq
dTduc
q
dTdyC
q
y
T
C
q
b
w
au
ττ
τ
ττ
ω
ω
=
−
′′=
−=′′
−=′′
−=′′
⇒∂
∂−=
′′
∫∫
!�'�
)t/( 2
2
1avfw uC ρτ =
)t�( 2
f
avp
xC
uc
h=
ρ
(3)��)�� � a��@� 5+ 5&3� �+
)t�( 2
f
x
CSt =
�p
X+�Y� I��^ $��G � � (��� =��:
)t�(
60,100Pr7.0,10Re
PrRe023.0
4
2.PrRe
PrRe
2Pr
4
8.0
31
32
≥<<>
=
=
=
=
=
DL
Nu
Cf
�&ديد��2ام
cfNu
NuSt
CSt
D
n
f
f
x
3M�����|���P� X��M �� :
)t.(
bww
bbb
w
avD
TTTcTeT
TTT
TTد��يدرخ&اصز�
uN
a
−=∆⇒=
+=
∆=∆
=
2
,:
PrRe023.0
21
log
14.0
31
8.0
µµ
��7�: (���& ' �+�Y� b+��' $� � �J� �@� 5+ ���� ��f& R�� ' ��G �'�G� ��M� ��> =��� .
I�� b+��' �� �' �� ;�)# ' (�3� ��> 0�� 5�+ �3�+�� ���+�)# �� � 5)?���L 7'��% 0�6)�� ���>
�# 3Y)*& ��'��%],/ [ �],�.[
heatingn
Coolingn
4.0
3.0
=
=
�w
72 � �'� ���+ =���� ��'��%5939 i�F3+'3� (���& � =+�d ��'��% '�G �+ ��>5)?�� 5@�3�
�~
. �# ��� :���8 ��� ��� ��!
Radiation Heat Transfer
���� $�X� 7'3\ i�^��P���)s9� ��3�� '��)�� 7'3\ 5+ X�+�� r���� X&3� ��WL.
X�'��% ��3�� a�^mm µλµ 20001.0 <<
XA�� a�^ mm µλµ 7.02.0 <<
0c ��� !*& :*& ���� !Black Body
5| !�A3� X� ���� X *& 5+:
,. �| X� ;W& �' X�+�� r���� 5 > .
t. =�� =M�3�s� 7��& 5 > ' ��3�� '��)�� .
-. =�� �)��+ (�*s� r�� ' r�8� !*& �> $� (c X�'��% r���� '��)�� .
���� !*& �@�@�� 7'� '� 3 � ��G ' λbE��% 5&' �*% �+ (��� �3� 03^ � 7'
� � �G =�� . 03^ 5+ ��J�� 5�� �)��+ ��>�� ���+ =�� uK�� f�� ��G ' 5# 5�38�� >
�3� �� 0�6)�� �)>��3# ��> �� �3+�� !> 5+ R�� (3��� I^ ��#�% ��6� R�� +�� �3G:
]6.5215[6.2897max RmmKT °= µµλ
∗��� �8���+ X�J�� ��$ `�� =�� ���� !*& $� �� 5+ �G �6)�� r�.
��VL C�+�'
),(
−
=1)
2exp(5
1,
T
c
CEb
λλ
λ
��
R�f)93+ r���� 5�+�':
)t( 4, TdEE
o
bb σλλ == ∫∞
���� !*& 7��\3lM � }3? b+��' (G RG�' r��+:
r�� � �>T�'� .
)-( ;W& ���H1
)(
)(
111
==
==
567��'#b
b567��'#A
وTE
TE8�9ن�
AEEAq
εε
ε
� X�'��% 0 �@� $�!�':
εαεα =⇒=321321 11 AEAE bb
� 3�G X�� ;W�& ������{ !*& b�3� �G �'�M ���� ��{ !*& $� 1+�� I��^ $� 5��c 5|��D
r�� 0 �@� ��� X�'����+ X�'��% .
`W� G� H� ��hN � A"�5H�" jc'-
7'3�\ 5�+ �' X� `�� �� 5+ X�+�� r���� 5��c 0 ��@� !*�& (c $� '3�� � 1+���'�+ [;W�&
X� 3G .
b�3� �G ;W&A1 ���� !*& 5+ �G ' �\
��
)�( 1=++
++=
ταρ
ταρ GGGG���' X�+�� r����
τ: 0�6)�� ���H)'3�(
α:;W& ���H
ρ:g�s@�� ���H
X � '3� 3M $� �' X�+�� r���� �� !*& 5| !��| Z�? ��� iL > )0( =τ =G� !�>�3M ��8�c:
bEε :!*& 3M r�� �^�M 5+ Q�@��
)�( bEGJ ερ +=
}3? C�+�' ' J�� �)��3� �' G�+.
)�( {)
1()()(
αε
ρε
−
−−=
−−=→−= bb EJ
JEJ
JAqGJAq
$� �k� U�\ Z�?�+τ
��
).(
A
JEq
JEAJEAq
EJJAq
b
bb
b
εε
εε
εε
εε
−−
=⇒
−−=
−−=
−
−−=
1
1)(
1)(
)1
(
�� ]�*&� r��+ iL!�'� 1+�� I��^ $� r���� ���| 0 :
���� !*& r��+⇐= JEb
��� O��PView Factor
X�+�� r���� $� r�*| 7'3\ 5+ � ���H `�� 5# =�� I5+ � � �# ��� �' `�� j�� � �'
�+ ��%V�\� �' (cFij!�> X� (��� .
`�� 5# ����� '�6�,�� ��� �' � �# `�� 5+t�� �+ =�� �+��+ �':
)�( 121121 FAJq =−
`�� 5# ����� '�6�t�� ��� �' `�� 5+ � �#,�� �+ =�� �+��+ �':
),y( 212212 FAJq =−
�+ 3+ >�3M �+��+ �G 59 �� ����� �# '�6� =���� ' :
),,( 2122121121 FAJFAJQ −=−
0 �@� '��:
&��� O���P ]�" Z"��� :
=�� !�� �����
��
),t( ∑
=
=
=N
j
ij
jijiji
F
AAFA
1
1
5kBJ� ��' 1+�� 0 �� 5��J� r��+N �@� [XJ�� N2=�� $��� '3� � ���H . $��� R��
�3G ���� i����� 7'3\ 5+ � ����H 5| 3G X� (��+ �� `H�� X��8�> .
),-(
nnnn FFF
FFF
FFF
...............
.................
.............
...........
21
282221
181211
MMM
H ]� � 5| =*�� ]$F X9� '3^ 5+ �>� ���G 5��J� �fY��3 .
uK��� �' �� �����H ]�� � (�3� X� � ����H r��+ �G 5)B� X���� 5�+�' � $� � �B)�� �+
3 � .
�J�:
),/( ∑=
=++⇒=3
1131211 11
j
ij FFFF
∗� ��{ !*& �> � ���H JG�+ X� �B\ N 3M 5+ =*� ; .
),�( [ ] [ ]
[ ] [ ]1
21
212
21
221
13
1
21
212
21
221
12
1312
11
2
4)(4)(1
2
4)(4)(
1
0
w
wwwwF
w
wwwwF
FF
F
+−−+−=⇒
+−−++=
=+⇒
=
�J�:
��'3� �� ��G ���H,��| ��L (c �M� 5+ =*��' .
��
�> ���$ =�� �� �+��+ ��'3� 3M 5+ =*� ��'3� ��� ���H 5| � ;�3& (�3� X� ��8� �� �+
1+��$�+ �� ;W& ��'3� (�' 3G ��'3� 5�+ '�� ��'3��� $� 1+�� 5D X�'�� 5� �� G >�3M
��+ X � �' r�8� r�& � =�� ��'3� (�' �? (c� ]� � G�+ ��'3� r�' XlKG !�D ���.
F��Q5 U��h��S�,5�
),�( 11 12
0
1211
11
=⇒=+=
FFFF
0��� '�� �sG,:
X��� ��D-� �� ,�"�5 Fo��� �����
��
��$ �sG ' 0��� r��+:
),�( 21221
121121112
2
1
FEAq
FEAFJAq
b
b
=
==
`��$� r���� 0 ��, :
),.( )(61
14
24
1121
22121121
2112
TTFA
EFAEFA
qqq
bb
−=⇒
−=
−=
!�'� X�| '3^ 5+:
),�( ∑=
−=N
j
jiiji TTFAq1
441 )(6
�J� :
0��� ' ,�'�c =�+ �' !*& `�� $� X9�6)�� r���� .
[ ] [ ]
[ ] [ ]1
21
212
21
221
13
1
21
212
21
2112
1
43
41131
42
41121
44
2
4)(4)(
2
4)(4)(
)(6)(6)(6
w
wwwwF
w
wwwwF
TTFATTFATTFAqN
j
jiiji
+−−++−=
+−++=
−+−=−=∑=
p��
92���&:�;� ��� ���
[1] Carslaw, H.S., and Jaeger, J.C., Conduction of Heat in Solids, 2nd
ed., Oxford University Press, London, 1959 [2] Arpaçi, V. S., Conduction Heat Transfer, Addison-Wesley,
Reading, M.A., 1996 [3] Myers, E.E., Analytical Methods in Conduction Heat Transfer,
McGraw-Hill, New York, 1971 [4] Kays, W.M., and Crawford, M.E., Convection Heat and Mass
Transfer, McGraw-Hill, New York, 1980 [5] Bejan, A., Convection Heat Transfer, John Wiley & Sons, New
York, 1995 [6] Eckert, E.R.G., and Drake, R.H., Jr., Analysis of Heat and Mass
Transfer, McGraw-Hill, New York, 1981 [7] Siegel, Ro., and Howell, J.R., Thermal Radiation Heat Transfer,
McGraw-Hill, New York, 1981 [8] Özicik, Boundary Layer Value Problems of Heat Conduction,
International Textbook, Scranton, P.A., 1968 [9] Incropera, F.P., and Witt, D.P., Introduction to Heat Transfer, John
Wiley & Sons, New York, 1996 [10] Leinhard IV, J.H., and, Leinhard V, J.H.,A Heat Transfer Text
Book, Phlogiston Press, Cambridge Massachusetts, 2001 [11] Holman, J.P., Heat Transfer, McGrow-Hill, New York, 1997 [12] White, F.M., Fluid Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1999 [13] White, F.M., Viscous Fluid Flow, McGrow-Hill, New York,
1991 [14] Kay, W.S., and London, A.L., Compact Heat Exchangers,
Krieger Publishing Company, Malabor, Florida, 1998 [15] Saunders, E.A.D., Heat Exchangers: Selection, Design, and
Construction, Longman, Harlow, 1988
مادسیج
نینو یریادگیبه یپنجره ا ،جیمادس
مفهوم اشاره نیا در باشد. یم رانیدهکده علم و دانش ا یبه معنا یو در مفهوم بوم ییدانا فتهیش یبه معنا madsageمخفف کلمه جیمادس
باشد. ی( مرانیاقوام ا نیاز اول یکیکشورمان( و ماد ) یبایز یاز روستاها یکی) جیبه دو کلمه س
در ،هرچه راحت تر جامعه بزرگ علمی ایران یو دسترس یعلم شرفتیبا هدف بهبود پ( IRESNET) جیمادس یژوهشپ -شیشبکه آموز
دانش آموخته رشته یرضا محمود یارشد جناب آقا ینامه کارشناس انیاز طرح پا جیمادس هی. هسته اولفضای مجازی ایجاد شده است
باشد، بر گرفته یمهر البرز م یمعاون دانشگاه مجاز یدکتر عباد یاستاد گرانقدر جناب آقا ییکه با راهنما تهراندانشگاه یآموزش تیریمد
. شده است
رانپژوهشی ای –شبکه آموزشی