Методи прогнозування часових рядів

Виконав:

студент групи СНм-51

Ілько Михайло

Тернопільський національний технічний університет імені Івана Пулюя

"Наївні" моделі прогнозування

При створенні "наївних" моделей передбачається, що деякий останній період прогнозованого тимчасового ряду краще всього описує майбутнє цього прогнозованого ряду, тому в цих моделях прогноз, як правило, є дуже простою функцією від значень прогнозованої змінної в недалекому минулому.

Найпростішою моделлю є 

 що відповідає припущенню, що "завтра буде як сьогодні".Поза всяким сумнівом, від такої примітивної моделі не варто чекати великої

точності. Вона не тільки не враховує механізми, що визначають прогнозовані дані (цей серйозний недолік взагалі властивий багатьом статистичним методам прогнозування), але і не захищена від випадкових флуктуацій, вона не враховує сезонні коливання і тренди. Втім, можна будувати "наївні" моделі дещо по-іншому

 

 такими способами ми намагаємося пристосувати модель до можливих трендам  це спроба врахувати сезонні коливання.

Середні і ковзні середніНайпростішою моделлю, заснованою на простому усередненні є 

 і на відміну від найпростішої "наївної" моделі, якої відповідав принцип "завтра буде як сьогодні", цій моделі відповідає принцип "завтра буде як було в середньому за останній час". Така модель, звичайно більш стійка до флуктуацій, оскільки в ній згладжуються випадкові викиди щодо середнього. Однак як правило, значення часового ряду з недалекого минулого краще описують прогноз, ніж старіші значення цього ж ряду. Тоді можна використовувати для прогнозування ковзне середнє 

 При прогнозуванні досить часто використовується метод експоненціальних середніх , який постійно адаптується до даних за рахунок нових значень. Формула, що описує цю модель записується як 

 де Yt+1 – прогноз на наступний період часу; Yt – реальне значення у момент часу t; – минулий прогноз на момент часу t; а – постійна згладжування (0 <= а <= 1)).

Методи Хольта і БраунаВ середині минулого століття Хольт запропонував удосконалений метод експонентного згладжування, згодом названий його ім'ям. У запропонованому алгоритмі значення рівня та тренда згладжуються за допомогою експоненціального згладжування. Причому параметри згладжування у них різні. 

 Тут перше рівняння описує згладжений ряд загального рівня. Друге рівняння служить для оцінки тренда. Третє рівняння визначає прогноз на p відліків за часом вперед.Постійні згладжування в методі Хольта ідеологічно грають ту ж роль, що і постійна в простому експоненціальному згладжуванні. Підбираються вони, наприклад, шляхом перебору по цих параметрах з якимось кроком. Можна використовувати і менш складні в сенсі кількості обчислень алгоритми. Окремим випадком методу Хольта є метод Брауна, коли a = ß.

Метод Вінтерса

Хоча описаний вище метод Хольта (метод двохпараметричного експоненціального згладжування) і не є зовсім простим (відносно "наївних" моделей і моделей, заснованих на усередненні), він не дозволяє враховувати сезонні коливання при прогнозуванні. Говорячи більш акуратно, цей метод не може їх "бачити" в передісторії. Існує розширення методу Хольта до трьохпараметричного експоненціального згладжування. Цей алгоритм називається методом Вінтерс. При цьому робиться спроба врахувати сезонні складові в даних. Система рівнянь, що описують метод Вінтерс виглядає наступним чином: 

 Дріб в першому рівнянні служить для виключення сезонності з Y (t). Після виключення сезонності алгоритм працює з "чистими" даними, в яких немає сезонних коливань. З'являються вони вже фінальному прогнозі, коли "чистий" прогноз, полічений майже по методу Хольта множиться на сезонний коефіцієнт.

Регресійні методи прогнозуванняНехай існує прогнозована змінна Y (залежна змінна) і відібраний заздалегідь комплект змінних, від яких вона залежить – X1, X2, ..., XN (незалежні змінні). Природа незалежних змінних може бути різною. Наприклад, якщо припустити, що Y – рівень попиту на певний продукт в наступному місяці, то незалежними змінними можуть бути рівень попиту на цей же продукт в минулий і позаминулий місяці, витрати на рекламу, рівень платоспроможності населення, економічна обстановка, діяльність конкурентів і багато іншого . Модель множинної регресії в загальному випадку описується виразом 

 У більш простому варіанті лінійної регресійної моделі залежність залежної змінної від незалежних має вигляд:  

 Тут β0, β1, β2,…, βN – підбираються коефіцієнти регресії, ε - компонента помилки. Передбачається, що всі помилки незалежні і нормально розподілені.

α=1145200; β=37600

Методи Боксу-Дженкінса (ARIMA)На відміну від розглянутих раніше методик прогнозування часових рядів, в методології ARIMA не передбачається якої-небудь чіткої моделі для прогнозування даної тимчасової серії. Здається лише загальний клас моделей, що описують часовий ряд і дозволяють якось виражати поточне значення змінної через її попередні значення. Потім алгоритм, підлаштовуючи внутрішні параметри, сам вибирає найбільш підходящу модель прогнозування. Існує ціла ієрархія моделей Бокса-Дженкінса. Логічно її можна визначити так 

  – авто регресійна модель порядку p має вигляд: 

 де – залежна змінна у момент часу t;. f0, f1, f2, ..., fp – оцінювані параметри. E(t) - помилка від впливу змінних, які не враховуються в даній моделі. Завдання полягає в тому, щоб визначити f0, f1, f2, ..., fp. Їх можна оцінити різними способами. Один з способів – порахувати їх методом найменших квадратів.MA (q) – модель з ковзаючим середнім порядку q має вигляд: 

 де Y(t) – залежна змінна у момент часу t. w0, w1, w2, ..., wp – оцінювані параметри.Модель ARMA(p,q) включає моделі AR(p) і MA(q): 

 

Метод "Гусениці" SSA Метод “Гусениці” SSA може бути використаний для різних загальних завдань дослідження тимчасових рядів, зокрема – для виділення сигналу і знаходження його ЛРФ. При його використанні по ряду будується траєкторна матриця X заданого розміру , . (L називається довжиною вікна), обчислюються власні числа власні і факторні вектора матриці , формуючи сингулярне розкладання . Набір називається сингулярною трійкою. Зіставляється траєкторний простір, адитивній складовій ряду при виконанні умов роздільності відповідає власний траєкторний підпростір в цьому просторі. В умовах наближеної роздільності метод дозволяє знайти підпростір близький до траєкторного простору даної адитивної складової. Опишемо алгоритм методу SSALRF, в нім можна виділити наступну послідовність кроків. Алгоритм:1. 1.Вибір довжини вікна L і побудова траєкторної матриці по ряду ; 2. Сингулярне розкладання траєкторної матриці ; 3. Вибір сингулярних трійок, відповідних сигналу ; 4. Побудова по власних векторах вибраних сингулярних трійок наближеної ЛРФ порядку

L–1; 5. Знаходження кореня характеристичного полінома цієї ЛРФ; 6. Пошук головного кореня серед всієї безлічі коренів; 7. Отримання наближеною мінімальною ЛРФ (порядку 2) сигналу по головному кореню.

Нейромережеві моделі бізнес-прогнозування

В даний час, найперспективнішим кількісним методом прогнозування є використання нейронних мереж. Можна назвати багато переваг нейронних мереж над іншими алгоритмами, нижче наведено два основних.При використанні нейронних мереж легко досліджувати залежність прогнозованої величини від незалежних змінних. Крім того, продажі носять сезонний характер, мають тренд і якось залежать від активності конкурентів.Використовуючи ж навіть найпростішу нейромережеві архітектури (персептрон з одним прихованим шаром) і базу даних (з продажами і всіма параметрами) легко отримати працюючу систему прогнозуванняЩе одна серйозна перевага нейронних мереж полягає в тому, що експерт не є заручником вибору математичної моделі поведінки часового ряду. Побудова нейромережевої моделі відбувається адаптивно під час навчання, без участі експерта. При цьому нейронній мережі пред'являються приклади з бази даних і вона сама підлаштовується під ці дані.Недоліком нейронних мереж є їх недетермінірованність. Мається на увазі те, що після навчання є "чорний ящик", який якимось чином працює, але логіка прийняття рішень нейромережею абсолютно прихована від експерта.

Перелік використаних джерел і літератури

1. Анализ временных рядов и прогнозирование : Учебное пособие / Садовникова Н.А., Шмойлова Р.А. – Москва: МГУЭСиИ, 2001 г., – 67 с.

2. Методи прогнозування [Електронний ресурс] / wiki – стаття Режим доступу: http://wiki.tntu.edu.ua/Методи_прогнозування

3. Нейрокомпьютинг и его применение в экономике и бизнесе / Ежов A.C., Шумский С.С. Москва: «Мир», 1998. – 212 с.

4. Статистические методы прогнозирования. Учебное пособие / Арженовський С.В., Молчанов И.Н. – Ростов-н/Д: РГЭУ, 2001. – 74 с. – ISBN 5-7972-0379-0.

5. Статистические методы прогнозирования: Учеб. пособие для вузов / Дуброва ТА. – Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 206 с. – ISBN 5-238-00497-4.

Дякуюза увагу!